2015 Topcoder Open Marathon Match threepipes_s 解法

1. 2015 Topcoder Open
Marathon Match
Round1 ～SmallPolygons～
@threepipes_s 解法

2. 問題概要
 2次元平面上にいくつかの整数座標頂点と整数 N が与えられる．
 多角形の最大数を N として，面積の合計をできる限り小さくせよ．
 与えられた頂点をすべて使うこと
 頂点は必ず1つの多角形に属すこと
 辺同士は交差しないこと
N=2

3. 最終出力(1)
N = 17, 頂点995 N = 12, 頂点140
同じ色のものは1つの多角形

4. 最終出力(2)
N = 14, 頂点21 N = 2, 頂点1398
同じ色のものは1つの多角形

5. 最終出力(3)
N = 3, 頂点92 N = 15, 頂点27
同じ色のものは1つの多角形

6. 今回の取り組み
 多角形上での頂点の入れ替えによる面積縮小
 頂点集合をNより大きく分割して多角形を作った後，多角形がN個にな
るまで統合
 生成した多角形がN個未満なら，N個になるまで分割
 もしくは分割できなくなるまで
 ほかの多角形とも頂点をやりとりし，面積縮小
 上記を何パターンか行い，面積がもっとも小さかったものを採用

7. クラスタリング
 とりあえず点集合をN個に分けてみる
 K-means法 でクラスタリング
 参考-“ http://tech.nitoyon.com/ja/blog/2013/11/07/k-means/”
毎回うまくいくわけではないが，
(特に頂点数が分割数に対して小さいとき)
何度か試してうまくいったものを採用
以降はクラスタごとに考える
(他のクラスタの辺と交差することはない)

8. 多角形を作ってみる
 凸包 (蟻本を参考に)作成
 凸包で使っていない頂点を左から順に巻き込んでいく感じ(？)

9. 多角形を作ってみる
 凸包 (蟻本を参考に)作成
 凸包で使っていない頂点を左から順に巻き込んでいく感じ(？)
1. 凸包作成

10. 多角形を作ってみる
 凸包 (蟻本を参考に)作成
 凸包で使っていない頂点を左から順に巻き込んでいく感じ(？)
1. 凸包作成
2. 凸包上側を作る辺でまだ使ってい
ない辺をx座標の小さい方から取り込
む

11. 多角形を作ってみる
 凸包 (蟻本を参考に)作成
 凸包で使っていない頂点を左から順に巻き込んでいく感じ(？)
1. 凸包作成
2. 凸包上側を作る辺でまだ使ってい
ない辺をx座標の小さい方から取り込
む

12. 多角形を作ってみる
 凸包 (蟻本を参考に)作成
 凸包で使っていない頂点を左から順に巻き込んでいく感じ(？)
1. 凸包作成
2. 凸包上側を作る辺でまだ使ってい
ない辺をx座標の小さい方から取り込
む

13. 多角形を作ってみる
 凸包 (蟻本を参考に)作成
 凸包で使っていない頂点を左から順に巻き込んでいく感じ(？)
1. 凸包作成
2. 凸包上側を作る辺でまだ使ってい
ない辺をx座標の小さい方から取り込
む

14. 多角形を作ってみる
 凸包 (蟻本を参考に)作成
 凸包で使っていない頂点を左から順に巻き込んでいく感じ(？)
1. 凸包作成
2. 凸包上側を作る辺でまだ使ってい
ない辺をx座標の小さい方から取り込
む
3. 完成！

15. 今回の取り組み
 多角形上での頂点の入れ替えによる面積縮小
 頂点集合をNより大きく分割して多角形を作った後，多角形がN個にな
るまで統合
 生成した多角形がN個未満なら，N個になるまで分割
 もしくは分割できなくなるまで
 ほかの多角形とも頂点をやりとりし，面積縮小
 上記を何パターンか行い，面積がもっとも小さかったものを採用

16. 方針：面積を小さくする
 よく見ると，入れ替えたら面積が小さくなりそうな場所がある
 入れ替えてみよう
注目！

17. 方針：面積を小さくする
 よく見ると，入れ替えたら面積が小さくなりそうな場所がある
 入れ替えてみよう
注目！

18. 方針：面積を小さくする
 よく見ると，入れ替えたら面積が小さくなりそうな場所がある
 入れ替えてみよう
注目！
B
A
Aの面積(現在へこませてる)
より，
Bの面積(新たにへこませる)
が大きい場合，
交換によって面積を小さくできる

19. 方針：面積を小さくする
 外側 (膨らませてる方？) も同様に交換できる

20. 方針：面積を小さくする
 外側 (膨らませてる方？) も同様に交換できる

21. 方針：面積を小さくする
 外側 (膨らませてる方？) も同様に交換できる

22. 方針：面積を小さくする
 外側 (膨らませてる方？) も同様に交換できる
B
A
先ほどとは逆に，
Aの面積(現在膨らませてる)
より，
Bの面積(新たに膨らませる)
が小さい場合，
交換によって面積を小さくできる

23. ここまでの方針適用
 割とうまくいってる
 (注意：今までの説明とは上下反転してます)

24. ここまでの方針適用
 うまくいってる…？
N = 13, 頂点1084

25. ここまでの方針適用
 うわあああ
N = 2, 頂点1398

26. 今回の取り組み
 多角形上での頂点の入れ替えによる面積縮小
 頂点集合をNより大きく分割して多角形を作った後，多角形がN個にな
るまで統合
 生成した多角形がN個未満なら，N個になるまで分割
 もしくは分割できなくなるまで
 ほかの多角形とも頂点をやりとりし，面積縮小
 上記を何パターンか行い，面積がもっとも小さかったものを採用

27. 問題点
 Nが小さくて頂点が大きいとき，ほとんど縮小が行われない
 クラスタ内の頂点が多すぎる
 辺と点の交換は，処理時間の関係でランダムに選ばれるが，頂点が多いと交換可能
なペアへのヒット率が悪い．
 縦に長くなっていて，交換を妨げている．

28. 問題点
 Nが小さくて頂点が大きいとき，ほとんど縮小が行われない
 クラスタ内の頂点が多すぎる
 辺と点の交換は，処理時間の関係でランダムに選ばれるが，頂点が多いと交換可能
なペアへのヒット率が悪い．
 縦に長くなっていて，交換を妨げている．
初期分配が悪い

29. 方針：Nを気にせず分割してみる
 クラスタあたりの頂点が減り，面積の縮小は十分に行われる
 これをN個の多角形(下の図ではN=2)に統合できるかが問題
 案①：最初からクラスタの結合箇所を決めておく
 案②：面積を縮小した後に結合箇所を探す

30. 方針：Nを気にせず分割してみる
 クラスタあたりの頂点が減り，面積の縮小は十分に行われる
 これをN個の多角形(下の図ではN=2)に統合できるかが問題
 案①：最初からクラスタの結合箇所を決めておく
 案②：面積を縮小した後に結合箇所を探す 採用！

31. 方針：初期多角形の変更
 これまでの方針だと，かなり非対称な図形が出来上がる可能性が高い
 クラスタの結合を行うため，360度どの方向の結合可能性も等しくしたい

32. 方針：初期多角形の変更
 これまでの方針だと，かなり非対称な図形が出来上がる可能性が高い
 クラスタの結合を行うため，360度どの方向の結合可能性も等しくしたい
重心を基準に角度でソート

33. 方針：初期多角形の変更
 これまでの方針だと，かなり非対称な図形が出来上がる可能性が高い
 クラスタの結合を行うため，360度どの方向の結合可能性も等しくしたい
重心
重心を基準に角度でソート

34. 方針：初期多角形の変更
 これまでの方針だと，かなり非対称な図形が出来上がる可能性が高い
 クラスタの結合を行うため，360度どの方向の結合可能性も等しくしたい
重心
重心を基準に角度でソート

35. 方針：初期多角形の変更
 これまでの方針だと，かなり非対称な図形が出来上がる可能性が高い
 クラスタの結合を行うため，360度どの方向の結合可能性も等しくしたい
重心
重心を基準に角度でソート

36. 方針：初期多角形の変更
 これまでの方針だと，かなり非対称な図形が出来上がる可能性が高い
 クラスタの結合を行うため，360度どの方向の結合可能性も等しくしたい
重心
重心を基準に角度でソート

37. 方針：初期多角形の変更
 これまでの方針だと，かなり非対称な図形が出来上がる可能性が高い
 クラスタの結合を行うため，360度どの方向の結合可能性も等しくしたい
重心
重心を基準に角度でソート

38. 方針：初期多角形の変更
 これまでの方針だと，かなり非対称な図形が出来上がる可能性が高い
 クラスタの結合を行うため，360度どの方向の結合可能性も等しくしたい
重心
重心を基準に角度でソート

39. 方針：初期多角形の変更
 これまでの方針だと，かなり非対称な図形が出来上がる可能性が高い
 クラスタの結合を行うため，360度どの方向の結合可能性もできるだけ等しく
したい
重心
重心を基準に角度でソート

40. 方針：初期多角形の変更
 これまでの方針だと，かなり非対称な図形が出来上がる可能性が高い
 クラスタの結合を行うため，360度どの方向の結合可能性もできるだけ等しく
したい
重心を基準に角度でソート
重心
凸包作るよりはるかに楽だった…

41. 方針：クラスタの結合
 隣接しているクラスタなら結合できそうだけど，隣接の定義は？
 クラスタ間の距離：重心同士の距離で定義
 あるクラスタからもっとも近いクラスタは隣接しているとして，
その距離の1.4倍以内なら(だいたい)隣接クラスタである，という試行結果

42. 方針：クラスタの結合
 隣接しているクラスタなら結合できそうだけど，隣接の定義は？
 クラスタ間の距離：重心同士の距離で定義
 あるクラスタからもっとも近いクラスタは隣接しているとして，
その距離の1.4倍以内なら(だいたい)隣接クラスタである，という試行結果
1

43. 方針：クラスタの結合
 隣接しているクラスタなら結合できそうだけど，隣接の定義は？
 クラスタ間の距離：重心同士の距離で定義
 あるクラスタからもっとも近いクラスタは隣接しているとして，
その距離の1.4倍以内なら(だいたい)隣接クラスタである，という試行結果
1
隣接

44. 方針：クラスタの結合
 隣接しているクラスタなら結合できそうだけど，隣接の定義は？
 クラスタ間の距離：重心同士の距離で定義
 あるクラスタからもっとも近いクラスタは隣接しているとして，
その距離の1.4倍以内なら(だいたい)隣接クラスタである，という試行結果
1
隣接
1.4
隣接

45. 方針：クラスタの結合
 隣接しているクラスタなら結合できそうだけど，隣接の定義は？
 クラスタ間の距離：重心同士の距離で定義
 あるクラスタからもっとも近いクラスタは隣接しているとして，
その距離の1.4倍以内なら(だいたい)隣接クラスタである，という試行結果
1
隣接
1.4
隣接
1.6

46. 方針：クラスタの結合
 隣接しているクラスタなら結合できそうだけど，隣接の定義は？
 クラスタ間の距離：重心同士の距離で定義
 あるクラスタからもっとも近いクラスタは隣接しているとして，
その距離の1.4倍以内なら(だいたい)隣接クラスタである，という試行結果
1
隣接
1.4
隣接
1.6
隣接でない！
と判断

47. 方針：クラスタの結合
 隣接クラスタ同士で辺のペアを調べ，結合できるか確認
 結合に必要な面積がもっとも小さい辺のペアを，クラスタの結合コストとする
 1度採用された辺は，ほかのクラスタとの結合には使わない

48. 方針：クラスタの結合
 隣接クラスタ同士で辺のペアを調べ，結合できるか確認
 結合に必要な面積がもっとも小さい辺のペアを，クラスタの結合コストとする
 1度採用された辺は，ほかのクラスタとの結合には使わない
1. 結合できる辺を探す

49. 方針：クラスタの結合
 隣接クラスタ同士で辺のペアを調べ，結合できるか確認
 結合に必要な面積がもっとも小さい辺のペアを，クラスタの結合コストとする
 1度採用された辺は，ほかのクラスタとの結合には使わない
1. 結合できる辺を探す

50. 方針：クラスタの結合
 隣接クラスタ同士で辺のペアを調べ，結合できるか確認
 結合に必要な面積がもっとも小さい辺のペアを，クラスタの結合コストとする
 1度採用された辺は，ほかのクラスタとの結合には使わない
1. 結合できる辺を探す
2. もっとも面積が小さくなる辺
のペアを採用

51. 方針：クラスタの結合
 結合コストが求まった
 目的はクラスタをN個に結合すること

52. 方針：クラスタの結合
 結合コストが求まった
 目的はクラスタをN個に結合すること
最小全域木の構築
(N個にまとめるので，正確には全域ではないが)

53. 方針：クラスタの結合
 クラスタを21個から2個にまとめる

54. 方針：クラスタの結合
 クラスタを21個から2個にまとめる

55. 今回の取り組み
 多角形上での頂点の入れ替えによる面積縮小
 頂点集合をNより大きく分割して多角形を作った後，多角形がN個にな
るまで統合
 生成した多角形がN個未満なら，N個になるまで分割
 もしくは分割できなくなるまで
 ほかの多角形とも頂点をやりとりし，面積縮小
 上記を何パターンか行い，面積がもっとも小さかったものを採用

56. 方針：クラスタの分割
 頂点をクラスタに割り振る際，どうしてもクラスタの数がNより小さくなって
しまうことがある
 特に，頂点数に対してNが大きいときに起こりうる

57. 方針：クラスタの分割
 頂点をクラスタに割り振る際，どうしてもクラスタの数がNより小さくなって
しまうことがある
 特に，頂点数に対してNが大きいときに起こりうる
 クラスタを分割しよう

58. 方針：クラスタの分割
 結合と同じように，辺のペアを見て分割できるか調べる
 クラスタ内で完結するので，結合よりは簡単

59. 方針：クラスタの分割
 結合と同じように，辺のペアを見て分割できるか調べる
 クラスタ内で完結するので，結合よりは簡単
 最も取り除く面積が大きくなる分割を採用する

60. 方針：クラスタの分割
 結合と同じように，辺のペアを見て分割できるか調べる
 クラスタ内で完結するので，結合よりは簡単
 最も取り除く面積が大きくなる分割を採用する

61. 方針：クラスタの分割
 結合と同じように，辺のペアを見て分割できるか調べる
 クラスタ内で完結するので，結合よりは簡単
 最も取り除く面積が大きくなる分割を採用する

62. 方針：クラスタの分割
 結合と同じように，辺のペアを見て分割できるか調べる
 クラスタ内で完結するので，結合よりは簡単
 最も取り除く面積が大きくなる分割を採用する

63. 方針：クラスタの分割
 結合と同じように，辺のペアを見て分割できるか調べる
 クラスタ内で完結するので，結合よりは簡単
 最も取り除く面積が大きくなる分割を採用する
注意

64. 方針：クラスタの分割
 結合と同じように，辺のペアを見て分割できるか調べる
 クラスタ内で完結するので，結合よりは簡単
 最も取り除く面積が大きくなる分割を採用する
注意
切り取りライン(？)が外側を通る場合，
面積が減ることも増えることもある
ので要確認

65. 方針：クラスタの分割
 結合と同じように，辺のペアを見て分割できるか調べる
 クラスタ内で完結するので，結合よりは簡単
 最も取り除く面積が大きくなる分割を採用する
注意
切り取りライン(？)が外側を通る場合，
面積が減ることも増えることもある
ので要確認

66. 今回の取り組み
 多角形上での頂点の入れ替えによる面積縮小
 頂点集合をNより大きく分割して多角形を作った後，多角形がN個にな
るまで統合
 生成した多角形がN個未満なら，N個になるまで分割
 もしくは分割できなくなるまで
 ほかの多角形とも頂点をやりとりし，面積縮小
 上記を何パターンか行い，面積がもっとも小さかったものを採用

67. 方針：他のクラスタとの連携
 クラスタ内で先ほど行っていた頂点のやりとりを，他のクラスタとも
行う

68. 方針：他のクラスタとの連携
 クラスタ内で先ほど行っていた頂点のやりとりを，他のクラスタとも
行う
 他のクラスタ内の辺との交差も考慮しなくてはならないので，頂点数
が少ない場合にのみ適用可能
 今回は頂点数500以下の場合にのみ適用

69. 方針：他のクラスタとの連携
 クラスタ内で先ほど行っていた頂点のやりとりを，他のクラスタとも
行う
 他のクラスタ内の辺との交差も考慮しなくてはならないので，頂点数
が少ない場合にのみ適用可能
 今回は頂点数500以下の場合にのみ適用
 近いクラスタだけ確認したら頂点多くてもいける？(未確認)

70. 方針：他のクラスタとの連携
 クラスタ内で先ほど行っていた頂点のやりとりを，他のクラスタとも
行う
 他のクラスタ内の辺との交差も考慮しなくてはならないので，頂点数
が少ない場合にのみ適用可能
 今回は頂点数500以下の場合にのみ適用
 近いクラスタだけ確認したら頂点多くてもいける？(未確認)
ここまでの方針で70後半～80くらい(5/2時点)

71. 方針：その他
 手法
 仕上がったものを，分割して結合する，を何度か適用
 焼き鈍し法もどき
 その他の実装
 ビジュアライザの作成 (ステップ実行など)
 Testerの組み込み (Javaで助かった！)

72. 方針：その他
 手法
 仕上がったものを，分割して結合する，を何度か適用
 焼き鈍し法もどき
 その他の実装
 ビジュアライザの作成 (ステップ実行など)
 Testerの組み込み (Javaで助かった！)
以上です！

73. マラソンマッチR1
おつかれさまでした！