Se hace un recorrido de la historia de la geometría a través de diez periodos en los cual se van proponiendo una serie de actividades.

1. Períodos A través
da
Historia
A
Xeometría

2. Índice
 O nacemento da Xeometría nas civilizacións pre-
helénicas
 O período pre-alexandrino da matemática grega:
Thales, Pitágoras e Eudoxo
 Euclides e a fundamentación axiomática da
Xeometría. Os Elementos
 Os tres problemas clásicos gregos
 Outros momentos gloriosos da Xeometría grega:
Arquímedes e Apolonio
 A Xeometría árabe. Unión entre Matemáticas e Arte
 Descartes e a Xeometría analítica
 O quinto postulado. Xeometrías non euclídeas
 Félix Klein. A Topoloxía
 Xeometría fractal

3. C
O
N
T
I
D
O
S
A
C
T
V
I
D
A
D
E
S
RECURSOS
O nacemento da Xeometría nas civilizacións pre-
helénicas
 Mesopotamia  India  Exipto China
∆ Coñecemento científico como don divino
∆ A orixe da Xeometría
∆ O sentido práctico da Xeometría
∆ Comprensión dos diferentes sistemas de
numeración
∆ Unidades de medida non convencionais
∆ Construción e clasificación de triángulos
∆ Principais documentos conservados
 Traballando con pauciños
 Sistemas de numeración
América precolombina
MP
MW
MW
MP
SE

4. Principais documentos conservados
Tablilla Plimptom. Mesopotamia
(aprox. 1900 a.C.)
Papiro de Moscova (aprox.
1800 A. C.)
Tratado CHOU PEI
(aprox. 1200 A.C.)
Papiro de Rhind. Exipto (aprox.
1650 A. C.)

5. Sistemas de numeración
Sistema exipcio
Sistema chinés-xaponés
Sistema cuneiforme

6. América precolombina
Calendario azteca
Calendario inca
Sistema de numeración maya

7. C
O
N
T
I
D
O
S
A
C
T
V
I
D
A
D
E
S
RECURSOS
O período pre-alexandrino da matemática grega:
Thales, Pitágoras e Eudoxo (640 a.C.—355 a.C.)
∆ Teorema de Thales. Corolarios e Aplicacións
∆ Teorema de Pitágoras. Demostración e
Aplicacións.
∆ Construción de polígonos inscritos nunha
circunferencia
∆ Polígonos semellantes. Razón de
semellanza.
∆ Puntos notables dun triángulo
∆ O número de oro
 Aplicando o Teorema de Thales
 Demostración empírica do Teorema de Pitágoras
Estrelando un polígono
VHS
 Aplicando o Teorema de Pitágoras
SE
MP
SM
MW

8. C
O
N
T
I
D
O
S
A
C
T
V
I
D
A
D
E
S
RECURSOS
Euclides (325 a. C. --265 a. C.)e a fundamentación
axiomática da Xeometría. Os Elementos
∆ O Método axiomático. Os Elementos
∆ Definicións básicas: axiomas, postulados e teoremas
∆ Os cinco postulados
∆ Método deductivo como base dunha ciencia abstracta
∆ Demostración da suma dos ángulos dun triángulo
∆ Sólidos Platónicos. Fórmula de Euler
 Traballando as dificultades didácticas dos postulados
 Os poliedros. Clasificación e propiedades
 Demostración empírica da suma dos tres ángulos dun triángulo
VHS
MP
SM
MW
SM

9. Os postulados de Euclides
P1: Unha recta pode trazarse desde un punto
calquera hasta outro.
P2: Una recta finita pode prolongarse
continuamente e facerse una recta ilimitada
ou indefinida.
P3: Una circunferencia pode describirse con un
centro e unha distancia.
P4. Tódolos ángulos rectos son iguais entre sí.
P5. Por un punto exterior a unha recta só se
pode trazar unha única paralela a dita recta
pasando por dito punto

10. C
O
N
T
I
D
O
S
A
C
T
V
I
D
A
D
E
S
RECURSOS
Os tres problemas clásicos gregos
 A cuadratura
do círculo
∆ Carácter intelectual de la geometría
∆ Significado de cada un dos problemas
∆ Restricións para a súa resolución
∆ Resolución de ecuacións
∆ Números racionais
∆ Números irracionais
∆ Números transcendentes
∆ Números alxebraicos
 A duplicación
do cubo
 A trisección
do ángulo
 Cadrando o círculo
 Lenda de Apolo
SM
MW
MW
SE

11. Cadrando o círculo
O primeiro documento escrito que
apareceu sobre o problema
remóntase ao año 1650 A.C. co
papiro de Rhind, onde o escriba
exipcio Ahmes transcribe un
documento de a lo menos dous
séculos antes que trata sobre o
cálculo do número π. Di que hai
que cortar 1/9 do diámetro do
círculo e construír o cadrado co
restante, o que da unha
aproximación a π sorprendente,
3.1605. Fai a experiencia e
comproba se obtés a mesma
aproximación.
 Colle un círculo de diámetro
dado (12cm) e intentar facer un
cadrado de área igual á do
círculo.
El hombre de Vitrubio (Leonardo da Vinci)

12. Lenda de Apolo
A peste do ano 427 a.c. causa a morte de Pericles
xunto coa dunha cuarta parte da poboación de
Atenas. Para tentar rematar con ela enviouse a un
mensaxeiro ao oráculo de Apolo en Delos. O
oráculo indicou que sería preciso duplicar o
volume do altar cúbico de Apolo. Os atenienses
duplicaron as dimensións do altar para compracer
o oráculo, pero en realidade a peste non cesou.
 Cal foi o motivo de que a peste non cesara? Cales
serían as dimensións do altar duplicado?. Unha
estratexia para chegar á solución pode ser que o
intentes primeiro para un cadrado.

13. C
O
N
T
I
D
O
S
A
C
T
V
I
D
A
D
E
S
RECURSOS
Outros momentos gloriosos da Xeometría grega:
Arquímedes (III a. C) e Apolonio
∆ Principio de Arquímedes
∆ Leis da Panca
∆ Formulación matemática dunha lei científica
∆ O número π
∆ Método de exhausción
∆ Área e perímetro de polígonos regulares
∆ Área e perímetro da circunferencia
∆ Cónicas. Propiedades das cónicas. Aplicacións
∆ Volume da esfera
 En busca de 
 Lenda da coroa
 Aproximación á área do círculo
 O mundo das cónicas
MW
MP
MP
SE
MW

14. Lenda da coroa
Conta a lenda que Hierón II, Rey
de Siracusa, pediu ao seu parente
Arquímedes que comprobara se unha
coroa que encargara a un ourive
local era realmente de ouro puro. O
rey lle pediu de forma expresa que
non danase a coroa. Arquímedes
deulle voltas ao problema sen saber
como atacalo, ata que un día, ao
meterse na bañeira para darse un
baño, se lle ocorreu a solución .
 Cal foi dita solución? Con
que nome se a coñece?

15. O mundo das cónicas
 Indica qué cónicas e qué propiedades das mesmas considéranse
as idóneas para a construcción dos aparellos que ves nas
seguintes imaxes
Antenas de televisión
Espellos solares
…os faros dos coches. A
lámpara situada no foco
fai que o haz de luz se
concentre na carretera.
Radares primarios de
defensa aérea
Radares fixos

16. C
O
N
T
I
D
O
S
A
C
T
V
I
D
A
D
E
S
RECURSOS
A Xeometría árabe. Unión entre Matemáticas
e Arte
∆ Transformacións xeométricas no plano:
Xiro, translación e simetría
∆ As figuras planas
∆ Análise Didáctica das isometrías. Dificultades
∆ Mosaicos regulares e semirregulares
∆ Mosaicos periódicos y aperiódicos
∆ Frisos e rosetóns
∆ Percepción espacial
 Escher
 Polígonos regulares que recobren o plano
 Constrúe o teu mosaico
 Traballando os recubrimentos do plano
 Dificultades didácticas nas isometrías
 Penrose
MP
SM
MW
MW
MW
 A Alhambra
 Federov (1891)

17. Traballando os recubrimentos do plano
 Observa estes
recubrimentos do plano e di
que tipo de isometrías ou
combinación delas se aplica
para obter ditas
composicións.

18. A Alhambra
El CLAVO HUESO PAJARITA

19. Mosaicos periódicos e aperiódicos

20. C
O
N
T
I
D
O
S
A
C
T
V
I
D
A
D
E
S
RECURSOS
Descartes (1596-1650) e a Xeometría analítica
∆ O discurso do Método.
∆ Paso clave na abstracción de concetos xeométricos
∆ Método de Descartes-Fermat
∆ A Xeometría analítica. Vantaxes do método analítico
sobre o sintético
∆ Análise da notación
∆ Coordenadas cartesianas. Representación
∆ Resolución de sistemas de ecuacións. Aplicacións
 Posición relativa dunha recta e unha circunferencia no plano
 O Plano da túa cidade
 O xadrez
MW
SM
SE
Geogebra

21. C
O
N
T
I
D
O
S
A
C
T
V
I
D
A
D
E
S
RECURSOS
O quinto postulado. Xeometrías non
euclídeas.
 Hiperbólica: Lobachevsky,
Bolyai e Gauss
∆ Análise do quinto postulado de Euclides
∆ Concepto de paralelismo. Dificultades didácticas
∆ Xeometría hiperbólica.Propiedades
∆ Xeometría elíptica.Propiedades
∆ A cuarta dimensión
 Elíptica: Riemann
 As Laranxas
 Trazado de rutas minimais para traxectos en avións
 Dificultades no concepto de paralelismo
MW
SM

22. C
O
N
T
I
D
O
S
A
C
T
V
I
D
A
D
E
S
RECURSOS
Enunciado original:
“si una recta, al cortar a otras dos, forma
ángulos internos de un mismo lado menores
de dos rectos, esas dos rectas prolongadas
indefinidamente se cortan del lado en los que
están los ángulos menores de dos rectos”
Enunciado de Tolomeo:
“por un punto exterior
una recta sólo se puede
trazar una única paralela”
El quinto postulado (Axioma de las
paralelas

23. Diferencias entre as tres xeometrías
Elíptica HiperbólicaEuclídea

24. C
O
N
T
I
D
O
S
A
C
T
V
I
D
A
D
E
S
RECURSOS

25. A cuarta dimensión
Representación da gravidade como curvatura do espazo

26. As Laranxas
 Colle unha laranxa e traza un
triángulo na súa superficie. Que
observas?. Compara o que
ocorre si facémolo mesmo
nunha cadeira de montar (ver
figura). Analiza ditas
situacións comparándoas co
que ocorre si o facemos nun
plano.
Paraboloide hiperbólico
Ver diferencias

27. Trazado de rutas minimais para traxectos
en avións
 Como se pode ver no mapa, as cidades de Madrid e Tokio atópanse,
aproximadamente, no mesmo paralelo. Sen embargo na viaxe en avión entre
as dúas cidades, sobrevóase o Círculo Polar Ártico, preto do Polo Norte. A
que pensas que se debe a elección deste traxecto?
 Do mesmo xeito o avión que une Madrid e Washington voa sobre
Groenlandia. Pensas que as liñas aéreas están equivocadas na elección
destas rutas? Por que?

28. C
O
N
T
I
D
O
S
A
C
T
V
I
D
A
D
E
S
RECURSOS
Félix Klein. A topoloxía
∆ Definición de Topoloxía. Topoloxía intuitiva
∆ Homeomorfismos
∆ Clasificación das Xeometrías segundo
as transformacións que permitan
∆ Teoría de grafos
∆ Teoría de nós
∆ Estudio de figuras con propiedades xeométricas
especiais: A botella de Klein
 Construíndo a banda de Möbius. Propiedades
 As sete pontes de KÖNIGSBERG
 O teorema das catro cores
 Xogo: enlazados
MW
MP

29. C
O
N
T
I
D
O
S
A
C
T
V
I
D
A
D
E
S
RECURSOS

30. A botella de Klein
Representación da “botella de Klein”

31. BANDA DE MÖBIUS
 Constrúe a banda de Möbius seguindo as instrucións do debuxo.
Comproba que estamos ante unha superficie dunha soa cara o que se ve
cando tentamos pintar un lado dunha cor e o oposto doutra, chegará un
momento no que as dúas cores coincidan nun punto. Ademais esta única
cara non é orientable. Se partimos cunha triada de eixes perpendiculares,
e se despraza paralelamente ao longo da cinta, chegarase ao punto de
partida ca orientación invertida. Agora recorta a cinta lonxitudinalmente,
qué ocorre? e se o volvemos facer?

32. AS SETE PONTES DE
KÖNIGSBERG
Un cidadán de Königsberg (Prusia) propúxose dar un paseo
cruzando cada un das sete pontes que existen sobre o río Pregel
unha soa vez. Os dous brazos do río rodean a unha illa chamada
Kneiphof. Como debe cruzar as pontes para realizar o paseo?
 Analiza a solución que da Euler ao problema

33. TEOREMA DAS CATRO CORES
Teorema das catro cores: “Nun plano
ou nunha esfera non se necesitan
máis de catro cores para colorear un
mapa de maneira que dous rexións
veciñas, é dicir, que compartan unha
fronteira e non unicamente un
punto, non queden coloreadas da
mesma cor“.
 Tenta colorear o mapa de españa
utilizando só catro cores

34. C
O
N
T
I
D
O
S
A
C
T
V
I
D
A
D
E
S
RECURSOS

35. C
O
N
T
I
D
O
S
A
C
T
V
I
D
A
D
E
S
RECURSOS
El nudo trébol

36. ENLAZADOS
 Para dous compañeiros: cada
un colle unha corda de 3
metros de lonxitude. Faille un
nó en cada un dos extremos
da corda deixando oco para
meter as mans. Un deles
mete as mans polo oco e o
outro enlázase como amosa a
imaxe. Hai que soltarse do
compañeiro sen quitar a corda
polas mans. ¿Qué nocións
matemáticas poñemos en
xogo para chegar a solución? ver video

37. C
O
N
T
I
D
O
S
A
C
T
V
I
D
A
D
E
S
RECURSOS
Xeometría fractal
 Un fractal é un obxecto semixeométrico
cuxa estrutura básica, fragmentada ou
irregular, repítese a diferentes escalas.
 Benoît Mandelbrot acuñou o término en
1975.
 Figura autosemellante.
 Moitas estruturas naturales son de tipo
fractal.
 Podemos encontrar características fractais en
distintos sistemas e órganos anatómicos: a
árbore vascular, os alveolos pulmonares, as
redes neuronais, etc.
 Música Fractal
Conxunto de Mandelbrot

38. Triángulo de Sierpinski Copo de nieve de Koch

41. Sistemas de funciones iteradas.
Esponja de Menger
 La construcción de la esponja de Menger se define de forma
recursiva:
 Comenzamos con un cubo (primera imagen).
 Dividimos cada cara del cubo en 9 cuadrados. Esto subdivide
el cubo en 27 cubos más pequeños, como le sucede al cubo de
Rubik.
 Eliminamos los cubos centrales de cada cara y el cubo central ,
dejando sólamente 20 cubos (segunda imagen).
 Repetimos los pasos 1, 2 y 3 para cada uno de los cubos
menores resultantes.
 La esponja de Menger es el límite de este proceso tras un
número infinito de iteraciones.

42. FIN da Presentación