1. 量子情報勉強会|15>
4.5.3 普遍的演算の離散集合～
発表者 宇津木健

2. 4.5.3 普遍的演算の離散集合
任意の量子計算を行うには？
• 任意のユニタリー演算→連続
• ユニタリーゲート→離散
➡複数のユニタリーゲートで任意の
ユニタリー演算を行う（近似する）
近似誤差：
ユニタリー演算UとユニタリーゲートVの差の2乗ノルム
状態空間すべての量子状態|𝜓>に関する最大値
結果を得る確率：
近似する前と後での誤差は、2E(U,V)以下
ブロッホ球
𝐸 𝑈, 𝑉 = 𝑚𝑎𝑥 (U−V)|𝜓>
𝑃 𝑈 − 𝑃𝑉 ≤ 2𝐸(𝑈, 𝑉)

3. 4.5.3 普遍的演算の離散集合
複数のユニタリー演算の近似誤差
→たかだか線形に増加（ゲートの増加に伴って爆発的には増加しない）
m個のゲートを含む量子回路の誤差Δ= 𝑃 𝑈 − 𝑃𝑉 は？
誤差をΔに抑えたければ、一つのゲートに対してΔ /2mの
精度を要求すればよい
※コラム4.1で証明
𝐸 𝑈1 𝑈2 𝑈3. . , 𝑉1 𝑉2 𝑉3. . ≤ Σ𝑗 𝐸 𝑈𝑗, 𝑉𝑗
Δ= 𝑃 𝑈 − 𝑃𝑉 ≤ 2m𝐸 𝑈, 𝑉
→ Δ/2m≤ 𝐸 𝑈, 𝑉

4. 4.5.3 普遍的演算の離散集合
任意のユニタリー演算を複数のゲートで近似
標準集合
①Hadamard [H]
②π/8 [T]（or Toffoli）
③制御NOT [C-NOT]
④位相 [S]
Step1 単一qビット
ユニタリー演算を近似
Step2任意の
ユニタリー演算を近似
耐故障性
Step1 Step2

5. 4.5.3 普遍的演算の離散集合
Step 1 ①Hと②Tで任意の単一qビットユニタリ―演算を近似
→複数使えば、n=（cos(π/8), sin(π/8) , cos(π/8))
を中心に任意の角度αの回転が可能
→𝑅 𝑛 α をHではさめば、m=（cos(π/8), -sin(π/8) , cos(π/8))
を中心に任意の角度αの回転が可能
→2軸で任意の角度回転できれば、
任意の単一qビットユニタリ―演算(演習4.11)
𝑇 = 𝑅 𝑧 𝜋/4
𝐻𝑇𝐻 = 𝑅 𝑥 𝜋/4
(𝑇𝐻𝑇𝐻) 𝑘
= (𝑅 𝑧 𝜋/4 𝑅 𝑥 𝜋/4 ) 𝑘
= 𝑅 𝑛 α

6. 4.5.3 普遍的演算の離散集合
Step2 ①Hと②Tと③CNOTで任意のユニタリ―演算を近似
・（図4.8→図4.6）をH,T,CNOTで構成可能
・4.5.1で任意のユニタリー演算が複数の2準位演算の積で可
能
・4.5.2で単一ビット演算（HとT構成可能）とCNOTで、任意の2
準位演算可能
※近似の効率
Log(m/ε)の多項式個のゲートで近似可能

7. 演習問題