SlideShare a Scribd company logo

Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)

â€ĸ
â€ĸ
Itmona
Itmona

Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)

Education
1 of 80
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 1 āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ¨ā§‡ āĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ•ā§āĻ¸ āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž āĻĻā§€āĻĒā§ āĻ¸āĻŋāĻ•āĻžāĻŋ āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡ āĻœāĻžāĻ¨ā§ŸāĻĻ
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 2 āĻŽā§āĻŦāĻœāĻ¨āĻŋāĻž āĻŸā§ āĻ‡ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻœ ā§Ļā§§ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž āĻĻā§€āĻĒā§ āĻ¸āĻŋāĻ•āĻžāĻŋ || āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡ āĻœāĻžāĻ¨ā§ŸāĻĻ Š āĻ¨ā§‡āĻ–āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻœ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŸāĻŋ : āĻ†āĻŦāĻĻā§āĻ˛ā§āĻ˛āĻžāĻš āĻ†ā§‡ āĻŽāĻžāĻšāĻŽā§āĻĻ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻ¨āĻŋāĻž āĻŸā§ āĻ‡ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ : ā§¨ā§Ļā§§ā§Ģ āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻ•āĻ• : āĻŽā§āĻŦāĻœāĻ¨āĻŋāĻž āĻŸā§ āĻ‡ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§¯ā§Ģ, āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ†āĻ‡ āĻ¨āĻ¸āĻ¨ā§āĻŸā§āĻ°āĻžā§‡ āĻĒā§āĻ˛āĻžāĻœāĻž, (āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŸ - ā§­), āĻ—ā§āĻ°ā§€ā§‡ āĻ¨āĻŋāĻžāĻŋ, ā§‡āĻžāĻŽāĻŽāĻ¨āĻ—āĻŸ, āĻĸāĻžāĻ•āĻž – ā§§ā§¨ā§§ā§Ģ ā§Ļā§§ā§¯ā§§ā§­ā§Šā§Šā§Žā§Ģā§¯ā§Ļ, ā§Ļā§§ā§Ŧā§­ā§­ā§§ā§¨ā§Šā§Ēā§§ā§¯ editor@zero2inf.com, zero2inf.com āĻĒā§āĻ°āĻšā§āĻ›āĻĻ : āĻ•āĻžāĻŽāĻ°ā§ā§‡ ā§‡āĻžāĻšāĻžāĻŋ āĻŽā§‚ā§‡āĻ¯āĻƒ ā§Ģā§Ļ āĻŸāĻžāĻ•āĻžāĨ¤ BOSTUR GOVIRE [Combinatorics: Amazing World of Mathematics] by Dipu Sarkar & Rafe Zayed. Published in March 2015 by Zero to Infinity. 95, BTI Central Plaza, (7th Floor), Green Road, Farmgate, Dhaka – 1215, editor@zero2inf.com, zero2inf.com Price: Tk. 50.00 Only.
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 3 āĻ‰ ā§Ž āĻ¸ āĻ—āĻŽ āĻŋ. āĻ¨āĻŽāĻžāĻšāĻžāĻŽā§āĻŽāĻĻ āĻ•āĻžā§ŸāĻ¨āĻ•āĻžāĻŦāĻžāĻĻ, āĻŽā§āĻšāĻŽā§āĻŽāĻĻ āĻœāĻžā§‡āĻŋ āĻ‡āĻ•āĻŦāĻžā§‡, āĻŽā§āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŋ āĻšāĻžāĻ¸āĻžā§‡ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ¸ā§āĻŦāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ•āĻžāĻŋāĻ¨āĻŋ āĻ¸ā§āĻŦā§‡ āĻ¨āĻĻāĻ¨āĻ– āĻĒā§āĻ¨āĻŋāĻž āĻŦāĻžāĻžāĻ‚ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻ•
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 4 āĻŽā§āĻ–āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ āĻ—āĻŖāĻ¨āĻž āĻĨā§‡āĻ•ā§‡āĻ‡ āĻļā§āĻ°ā§ āĻ—āĻŖāĻŖāĻ•ā§‡āĻ°āĨ¤ āĻŖā§‡āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻŦā§āĻŖāĻŋāĻŽāĻžāĻ¨ āĻŽāĻžāĻ¨ā§āĻˇ ā§‡āĻžāĻŖāĻŋ āĻĨāĻ°āĻ•ā§‡ āĻĨāĻ°āĻ•ā§‡ āĻŖā§‡āĻŋāĻ‚āĻŦāĻž āĻ†āĻā§‡ ā§‡āĻ•āĻˇ āĻĻāĻžāĻ— āĻŖāĻĻāĻ•ā§‡ āĻĨā§‡ āĻĨāĻ—āĻžāĻ¨āĻžāĻ—ā§āĻŖāĻ¨ āĻļā§āĻ°ā§ ā§‡āĻ•āĻ°āĻŖāĻŋāĻ˛ āĻĨā§‡ā§‡āĻžāĻ•āĻ¨āĻ‡ āĻĨā§‡āĻ•āĻŽ ā§‡āĻžāĻ•ā§‡āĻŖāĻ¨āĨ¤ āĻā§‡āĻ¨ ā§‡ā§‡āĻ¨ āĻ†āĻŽāĻ°āĻž āĻ—ā§āĻŖāĻ•ā§‡ āĻšāĻžāĻ‡ āĻŖāĻŦāĻ•ā§‡ āĻŦāĻžāĻŖāĻŋāĻ•ā§‡ āĻā§‡ā§‡āĻžāĻ•ā§‡ ā§‡ā§‡āĻœāĻ¨ āĻĨā§‡āĻ•ā§‡ āĻĒāĻžāĻ•āĻ°, āĻ†āĻŽāĻ°āĻž āĻŸāĻžāĻ¨āĻž ā§‡āĻŦāĻ—ā§āĻ•āĻ˛āĻž āĻĨāĻšā§‡āĻžāĻ° āĻ—ā§āĻŖāĻ•ā§‡ ā§‡āĻžāĻŖā§‡ āĻ¨āĻžāĨ¤ ā§‡āĻŖāĻĻ āĻĨāĻĻāĻŖā§‡ ā§¨ā§Ļ āĻŸāĻž āĻĨāĻŸāĻŖāĻŦāĻ˛ āĻ†āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻŖā§‡ āĻĨāĻŸāĻŖāĻŦāĻ•āĻ˛ ā§Ŧ āĻœāĻ¨ āĻĨā§‡āĻ•ā§‡ āĻĒāĻžāĻ•āĻ° āĻŽāĻžā§‡āĻžāĻ° āĻŖāĻŋā§‡āĻ•āĻ° ā§‡ā§€āĻŋāĻžāĻ•āĻŦ āĻĨā§‡āĻ¨ 'āĻ—ā§āĻŖ’ ā§‡āĻ•āĻ° ā§§ā§¨ā§Ļ āĻœāĻ¨ āĻŦāĻ•āĻ˛ āĻĨā§‡āĻŖāĻ˛ āĻ†āĻŽāĻ°āĻžāĨ¤ ā§‡ā§āĻ•āĻ—āĻ° āĻĒāĻ° ā§‡ā§āĻ— āĻŖāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻžāĻļā§€āĻ˛ āĻŽāĻžāĻ¨ā§āĻ•āĻˇāĻ°āĻž āĻŦā§āĻŖāĻŋāĻĻā§€āĻĒā§āĻ¤ āĻ—āĻŖāĻ¨āĻžāĻ° āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻ°āĻŸāĻžāĻ•ā§‡ āĻ‰āĻ¨ā§āĻ¨ā§‡ ā§‡āĻ•āĻ°āĻ•āĻŋāĻ¨ āĻ…āĻ•āĻ¨ā§‡, ā§‡āĻžāĻ° āĻ§āĻžāĻ°āĻž āĻ…āĻŦāĻ¯āĻžāĻšā§‡ āĻā§‡āĻ¨āĻ“āĨ¤ āĻ—ā§āĻŖāĻ•ā§‡ āĻŖāĻ—āĻ•ā§‡ āĻ…āĻĻā§āĻ­ā§ā§‡ ā§‡āĻŦ ā§‡āĻŋāĻ‚ā§‡āĻ¯āĻžāĻ° ā§‡āĻžāĻ•ā§‡ āĻĒāĻŖāĻ°āĻšā§‡ āĻšāĻ•ā§‡āĻ•āĻŋ āĻ†āĻŽāĻžāĻ•āĻĻāĻ°āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻ°āĻž āĻĨāĻœāĻ•āĻ¨āĻŖāĻŋ, āĻā§‡āĻŸāĻž āĻŽāĻžāĻ¨ā§āĻˇāĻ•ā§‡ ā§§ā§Š āĻŸāĻž āĻ…āĻ•ā§āĻˇāĻ° āĻ§āĻŖāĻ°āĻ•ā§‡ āĻŖāĻĻāĻ•ā§‡ ā§‡āĻŖāĻĻ āĻŦāĻ˛āĻž āĻšā§‡ āĻāĻ•āĻĻāĻ°āĻ•ā§‡ ā§‡ā§‡ āĻ°ā§‡āĻŽāĻŋāĻžāĻ•āĻŦ ā§‡āĻžāĻœāĻžāĻ•āĻ¨āĻž ā§‡āĻžā§‡ ā§‡āĻžāĻŖāĻœāĻ•ā§‡ āĻĨāĻ˛ā§‡, āĻĒā§āĻ°āĻŖā§‡āĻŸāĻž āĻŖāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‡ ā§‡āĻŖāĻĻ ā§Š āĻĨā§‡āĻ•ā§‡āĻ¨ā§āĻĄ ā§‡āĻ•āĻ°āĻ“ ā§‡āĻŽā§‡ āĻ˛āĻžāĻ•āĻ— ā§‡āĻžāĻšāĻ•āĻ˛ ā§‡āĻŦāĻ—ā§āĻ•āĻ˛āĻž āĻŖāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‡ ā§‡āĻžāĻ° ā§‡āĻŽā§‡ āĻ˛āĻžāĻ—āĻ•āĻŦ ā§Ģā§¯ā§¨ āĻŦāĻŋāĻ•āĻ°āĻ°āĻ“ āĻĨāĻŦāĻŖāĻļāĨ¤ āĻŽāĻžāĻ¤ā§āĻ° ā§§ā§Š āĻŸāĻž āĻ…āĻ•ā§āĻˇāĻ°! āĻ†āĻŖā§‡āĻŋāĻŖāĻŽāĻŖāĻĄā§‡ āĻŖāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻž ā§‡āĻ•āĻ° āĻ—ā§āĻ•āĻ¨ āĻĨā§‡āĻ•āĻ˛āĻŖāĻŋāĻ•āĻ˛āĻ¨ āĻĒ ā§ƒāĻŖā§‡āĻŦā§€āĻ•ā§‡ ā§‡ā§‡āĻ—ā§āĻ•āĻ˛āĻž āĻŦāĻžāĻ˛ā§ā§‡āĻŖāĻž ā§‡āĻžā§‡āĻ•ā§‡ āĻĒāĻžāĻ•āĻ°āĨ¤ āĻāĻ‡ āĻĨā§‡ āĻĨāĻ—āĻžāĻ¨āĻžāĻ—ā§āĻŖāĻ¨āĻ° ā§‡āĻŦ āĻĻāĻžāĻ°ā§āĻŖ āĻŖāĻŦāĻˇā§‡ āĻāĻ—ā§āĻ•āĻ˛āĻž āĻŖāĻ¨āĻ•ā§‡ āĻ—āĻŖāĻŖāĻ•ā§‡āĻ° āĻā§‡āĻŸāĻž ā§‡āĻŽā§ƒāĻŋ āĻļāĻžā§‡āĻž āĻ†āĻ•āĻŋ- ā§‡āĻžāĻ•ā§‡ āĻŦāĻ•āĻ˛ ā§‡āĻŖāĻŋāĻ•āĻ¨āĻŸāĻŖāĻ°āĻ•ā§āĻ¸āĨ¤ āĻĨā§‡āĻšāĻŋāĻžāĻœāĻ¨ ā§‡āĻ°ā§āĻŖ āĻĨāĻ˛ā§‡ā§‡ āĻĻā§€āĻĒā§ ā§‡āĻ°ā§‡āĻžāĻ° āĻ†āĻ° āĻ°āĻžāĻŖā§‡ āĻœāĻžāĻ•ā§‡āĻĻ āĻŖāĻŽāĻ•āĻ˛ āĻ—āĻŖāĻŖāĻ•ā§‡āĻ° āĻāĻ‡ āĻšāĻŽā§Žā§‡āĻžāĻ° āĻŖāĻŦāĻˇā§‡āĻŖāĻŸ āĻ†āĻŽāĻžāĻ•āĻĻāĻ° āĻĨāĻĻāĻ•āĻļāĻ° āĻŽāĻžāĻ¨ā§āĻ•āĻˇāĻ° ā§‡āĻžāĻ•āĻŋ ā§‡ā§āĻ•āĻ˛ āĻ§āĻ°āĻžāĻ° āĻĨā§‡ āĻĒā§āĻ°ā§‡āĻžā§‡ āĻŖāĻ¨āĻ•ā§‡āĻ•āĻŋ āĻĨā§‡āĻŸāĻž ā§‡ā§āĻŦāĻ‡ āĻ¸ā§āĻ¨ā§āĻĻāĻ° āĻ‰āĻ•āĻĻāĻ¯āĻžāĻ—āĨ¤ āĻŖāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžā§‡ ā§‡āĻŽāĻžāĻ•āĻŦāĻļ āĻ†āĻ° āĻĨāĻ—āĻžāĻ¨āĻžāĻ—ā§āĻŖāĻ¨āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻžā§‡āĻŖāĻŽā§‡ āĻ§āĻžāĻ°āĻŖāĻž āĻĨā§‡āĻ•ā§‡ āĻļā§āĻ°ā§ āĻšāĻ•ā§‡āĻ•āĻŋ, āĻāĻ°āĻĒāĻ° āĻĨāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‡āĻ°āĻž āĻāĻŖāĻ—āĻ•ā§‡ āĻĨāĻ—āĻ•āĻŋāĻ¨ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ•āĻ¨āĻžāĻŖāĻŽā§‡āĻžāĻ˛ āĻŖā§‡āĻ“āĻ•āĻ°āĻ•āĻŽāĻ° āĻŖāĻĻāĻ•ā§‡āĨ¤ āĻāĻ°āĻĒāĻ•āĻ°āĻ° āĻšāĻ¯āĻžāĻĒā§āĻŸāĻžāĻ° āĻĻā§āĻ•āĻŸāĻž ā§‡āĻŖāĻŋāĻ•āĻ¨āĻŸāĻŖāĻ°āĻ•ā§āĻ¸ āĻāĻ° āĻļā§āĻ§ā§ āĻ¨ā§‡, āĻŖāĻŦāĻļā§āĻŋ āĻ—āĻŖāĻŖāĻ•ā§‡āĻ°āĻ‡ ā§‡ā§āĻŦ āĻœāĻ°ā§āĻ°ā§€ āĻŖāĻŦāĻˇā§‡- ā§‡ā§€āĻŋāĻžāĻ•āĻŦ āĻ—āĻžāĻŖāĻŖāĻŖā§‡ā§‡ āĻŖāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻžāĻ•ā§‡ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŖ ā§‡āĻ°āĻž ā§‡āĻžāĻ•āĻŦ, ā§‡āĻžāĻ° āĻĻā§āĻ•āĻŸāĻž āĻĒā§āĻ°āĻ§āĻžāĻ¨ āĻ‰āĻĒāĻžā§‡ āĻŖāĻ¨āĻ•ā§‡: āĻ†āĻ•āĻ°āĻžāĻš āĻŖāĻŦāĻŖāĻ§ āĻ†āĻ° proof by contradiction. ā§‡āĻŦā§ā§‡āĻ° āĻĨā§‡āĻžāĻ•āĻĒāĻ° āĻ¨ā§€āĻŖā§‡, āĻŖāĻ°ā§‡āĻžāĻ°āĻļāĻ¨, āĻĨā§‡āĻŸ āĻŖā§‡āĻ“āĻŖāĻ° āĻāĻ—ā§āĻ•āĻ˛āĻžāĻ“ āĻāĻ•ā§‡āĻ•āĻŋ āĻ§āĻžāĻ•āĻĒ āĻ§āĻžāĻ•āĻĒāĨ¤ āĻ…āĻŦāĻ§āĻžāĻŖāĻ°ā§‡āĻŋāĻžāĻ•āĻŦāĻ‡ āĻāĻ•ā§‡āĻ•āĻŋ āĻŖā§‡āĻ•āĻŦāĻžāĻ¨āĻžāĻŖāĻš ā§‡āĻŋāĻ‚ā§‡āĻ¯āĻž, āĻ¸ā§āĻŸāĻžāĻŖāĻ˛āĻŋāĻŋāĻ‚ ā§‡āĻŋāĻ‚ā§‡āĻ¯āĻžāĻ° āĻĻāĻ˛āĨ¤ ā§‡ā§€āĻŋāĻžāĻ•āĻŦ āĻŦāĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻ° ā§‡āĻ°āĻž ā§‡āĻžāĻ•āĻŦ ā§‡āĻŖāĻŋāĻ•āĻ¨āĻŸāĻŖāĻ°āĻ•āĻ•ā§āĻ¸āĻ° āĻœā§āĻžāĻžāĻ¨? āĻŖā§‡āĻŋā§ āĻ¸ā§āĻ¨ā§āĻĻāĻ° ā§‡āĻŽā§‡āĻ¯āĻžāĻ° ā§‡āĻŽāĻžāĻ§āĻžāĻ¨ āĻĨāĻĻā§‡āĻžāĻ•āĻ¨āĻž āĻšāĻ•ā§‡āĻ•āĻŋāĨ¤ āĻ†āĻ° āĻĨāĻļāĻˇ āĻšāĻ•ā§‡āĻ•āĻŋ āĻŋāĻŖāĻŦāĻˇāĻ¯āĻ•ā§‡āĻ° āĻ†āĻšā§āĻŦāĻžāĻ•āĻ¨ – ā§‡āĻŽā§‡āĻ¯āĻž āĻ†āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻĨāĻ°āĻ•ā§‡āĨ¤ āĻŦāĻ‡āĻŖāĻŸ āĻ…āĻ•āĻ¨ā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§āĻ•āĻˇāĻ° ā§‡āĻžāĻ•āĻŋ āĻĨāĻĒ āĻāĻ•āĻŋ ā§‡āĻžā§‡, āĻĨāĻ˛ā§‡ā§‡āĻ•āĻĻāĻ° āĻĒāĻŖāĻ°āĻļā§āĻ°āĻŽ ā§‡āĻžā§‡āĻŋā§‡ āĻĨāĻšāĻžā§‡- āĻāĻ‡ āĻļā§āĻŋ ā§‡āĻžāĻŽāĻ¨āĻž āĻ°āĻ‡āĻ˛āĨ¤ āĻšāĻŽā§‡ āĻšāĻžā§‡āĻžāĻ¨ ā§Ļā§Ž āĻœāĻžāĻ¨ā§ā§ŸāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ, ā§¨ā§Ļā§§ā§Ģ
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 5 āĻ¨ā§‡āĻ–āĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ•āĻĨāĻž āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ¨āĻ•āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻāĻŋ āĻ¸āĻ•ā§‡ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻ¸ā§‚āĻ¤ā§āĻ° āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŸāĻž āĻ­āĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦā§āĻāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ•āĻ¨āĻ•āĻ‡ āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻļā§āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ āĻ…āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŋā§ŸāĻžāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻœāĻžā§‡ā§€ā§Ÿ āĻĒāĻ¯āĻŽāĻžāĻ¨ā§ŸāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻĨāĻž āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ…āĻ¨ā§āĻ•ā§€ā§‡ā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦāĻž? āĻŦāĻž āĻāĻ‡ āĻ§āĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸ā§‡āĻ­ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšā§Ÿ? āĻŦāĻžāĻžāĻ‚ā§‡āĻž āĻ­āĻžāĻˇāĻžā§Ÿ āĻāĻ‡ āĻ§āĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŦāĻ‡āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ•āĻžāĻĨāĻžā§Ÿ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŦāĻž? ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯āĻ‡ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻāĻ‡ āĻŦāĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨ā§‡āĻ–āĻžāĨ¤ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ ā§¨ā§ĢāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻ¸ā§‡āĻ­ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻŋāĻžā§œāĻžāĻ“ ā§­ā§ĢāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ…āĻ¨ā§āĻ•ā§€ā§‡āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¨āĻŋāĻ¨āĻ– āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ‰āĻ¤ā§āĻ¤āĻ¨āĻŋ, āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ¨āĻ¯āĻžāĻœāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ‡ āĻŦāĻ‡āĻ¨ā§ŸāĻŋ āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻĒāĻŦāĻŽ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻžāĻŋ āĻ†āĻ•āĻž āĻŋāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ–āĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ āĻāĻŸāĻž āĻ†āĻŽāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻŦāĻ‡ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ­ā§ā§‡-āĻ¤ā§āĻ°ā§āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĨāĻžāĻ•āĻž āĻ¸ā§āĻŦāĻžāĻ­āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ•āĨ¤ ā§‡āĻžāĻŋ āĻŦāĻ¯āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĻ“ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĒāĻŋāĻžāĻŽāĻ•āĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĻžāĨ¤ āĻ†āĻŋ āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻŦāĻ‡āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ•āĻžā§‡ āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻĒāĻ• āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ­āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻšā§Ÿ āĻ¨āĻ¸āĻŸāĻžāĻ“ āĻŦāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĻžāĨ¤ āĻ¸āĻŦāĻšāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡ āĻŦā§œ āĻ•āĻĨāĻž āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ‡ āĻŦāĻ‡āĻ¨ā§ŸāĻŋ āĻĒāĻžāĻ āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨āĻ¸āĻ¨āĻŦ āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ¸ā§āĻ•ā§ā§‡ āĻ•āĻ¨ā§‡āĻ¨āĻœāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ•ā§āĻˇāĻžāĻĨāĻŽā§€āĻ¨āĻĻāĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻŦāĻŽāĻ¤ā§āĻ° ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ•āĻĨāĻž āĻŦāĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻŋ āĻ•āĻŋāĻž āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻĒāĻžāĻ āĻ•āĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽāĻ¨āĻ§āĻ¯ āĻ¯āĻžāĻŋāĻž āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻļā§āĻ°āĻ¨ā§‡ā§Ÿ āĻ—ā§āĻ°ā§āĻœā§‡ āĻ†āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ•ā§āĻˇāĻ• ā§‡āĻžāĻŋāĻž āĻāĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•ā§āĻˇāĻŽāĻžāĻŋ āĻĻā§ƒāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨āĻŦā§‡āĨ¤ āĻ†āĻŋ āĻ†āĻĒā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ āĻ…āĻ¨ā§āĻ¨āĻŋāĻžāĻ§ āĻ…āĻ¨ā§āĻ•ā§€ā§‡ā§‡ā§€āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ“āĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡, āĻāĻ¨ā§‡ āĻ“āĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻžāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻŦāĻžā§œāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ āĻŦāĻ‡ āĻ¨ā§‡āĻ–āĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĻā§āĻœā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§āĻ¨āĻˇāĻŋ ā§‡āĻžāĻŽ ā§‡āĻž āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ ā§‡ā§Ÿ āĻāĻ•āĻœā§‡ āĻŽāĻžāĻšāĻŽā§āĻĻ āĻ­āĻžāĻ‡ (āĻ†āĻŦāĻĻā§āĻ˛ā§āĻ˛āĻžāĻš āĻ†ā§‡ āĻŽāĻžāĻšāĻŽā§āĻĻ) āĻ†āĻŋ āĻāĻ•āĻœā§‡ āĻšāĻŽāĻ• āĻ­āĻžāĻ‡ (āĻšāĻŽāĻ• āĻšāĻžāĻ¸āĻžā§‡)āĨ¤ ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ¸āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻ…āĻ¸āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨ā§‡āĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨ā§‡āĻ¸āĻŦā§āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻŋāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻœāĻžā§‡āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻšāĻ¨ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž āĻ•ā§€āĻŋāĻ•āĻŽ āĻĒāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŦā§‡āĻŽā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦāĻž, āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ­āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻšā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻāĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ• āĻ§āĻ¨ā§āĻ¯āĻŦāĻžāĻĻāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ¨āĻ• āĻ•āĻ–āĻ¨ā§‡āĻž āĻ­ā§Ÿ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž āĻāĻ‡ āĻĒā§āĻ°ā§‡āĻ¯āĻžāĻ•āĻžā§Ÿ āĻāĻ‡ āĻŦāĻ‡āĻŸāĻž āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž, āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ ā§‡āĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŸā§āĻ“ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšā§Ÿ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻāĻ‡ āĻŦāĻ‡ āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž āĻ¸āĻžāĻĨāĻŽāĻ•āĨ¤ āĻ¸āĻŦāĻžāĻŋ ā§‡āĻžāĻ°ā§āĻ¸ā§āĻŽ āĻ¨āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨āĻ­āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ­ āĻ•ā§‚āĻ¨ā§āĻ¯ āĻ†āĻŋ āĻāĻ•āĻ‡ āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ¸āĻ¨āĻ•āĻ¨ā§āĻŸā§āĻŋ āĻ¨āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨āĻ­āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ­ āĻ¨ā§‡āĻ¨āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ­ āĻ¨āĻšāĻžāĻ•āĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻĒā§ āĻ¸āĻŋāĻ•āĻžāĻŋ dipusarkar124@gmail.com
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 6 āĻ¨ā§‡āĻ–āĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŽāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ­ā§āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ¯ āĻ•āĻžāĻœāĻŸāĻž āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ•āĻŦāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻĨāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• ā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•ā§€ āĻ•ā§€ āĻĻāĻ¨ā§‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻžāĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻļā§āĻŦāĻ•āĻžāĻ¨āĻĒāĻŋ āĻ¸āĻŽā§Ÿ āĻ•ā§ŸāĻŸāĻž āĻŽāĻ¯āĻžāĻš āĻšāĻ¨āĻŦ, āĻœāĻ¨ā§āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻĒāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻŋāĻž āĻ–āĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ•āĻĨāĻž āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻ•āĻŽ āĻĻāĻ¨ā§‡ āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ–āĻžāĻ‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ, āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•ā§āĻ˛āĻžāĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻŦāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻ¯āĻžāĻŋ āĻĒā§œāĻž āĻ§āĻŋāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž āĻāĻ¸āĻŦ āĻ†āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•! āĻŽāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ­ā§āĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž ā§‡āĻžā§‡āĻž āĻ¸āĻŽā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŸāĻž āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŸā§ āĻ­āĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻœāĻžā§‡āĻž āĻ–āĻžāĻŋāĻžāĻĒ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻŦāĻž āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ–ā§āĻŦ āĻāĻ•āĻŸāĻž āĻŦā§āĻāĻ¨ā§‡ āĻšāĻžāĻ‡ ā§‡āĻž, āĻ¸āĻ¯āĻžāĻŋ āĻĻā§āĻ‡ āĻāĻ•āĻŸāĻž āĻ…āĻžāĻ‚āĻ• āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻā§Ÿ ā§‡āĻžāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻĒā§āĻ°āĻžāĻŋ āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻ…āĻŦāĻ¸ā§āĻĨāĻž! āĻ…āĻĨāĻš āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ“ ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸ā§āĻ¨ā§āĻĻāĻŋ āĻāĻ•āĻŸāĻž āĻœāĻ—ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻāĻŋ! āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ§āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ¨āĻ¸ āĻ§āĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦ! āĻŦāĻ‡āĻŸāĻžāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻ§āĻžā§‡ āĻ‰āĻ¨ā§‡āĻ•āĻ¯ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ—ā§āĻ°ā§āĻ—āĻŽā§āĻ­ā§€āĻŋ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ• āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ–āĻ¨ā§Ÿ āĻ­ā§Ÿ āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻ¨ā§‡āĻž ā§‡ā§Ÿ, āĻŦāĻŋāĻžāĻ‚ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšā§Ÿ, āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻŋ āĻŽāĻœāĻž āĻ–ā§ā§āĻāĻ¨āĻœ āĻ¨āĻĒāĻ¨ā§‡ āĻšā§Ÿ ā§‡āĻž āĻ¨āĻĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯ āĻˇā§œāĻ¯āĻ¨ā§āĻ¤ā§āĻ° āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ¨āĻ—āĻžā§‡āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻ“ āĻĸā§āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋ, āĻ¨āĻ—āĻžā§‡āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻŋāĻžā§œāĻž āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ†āĻŋ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ• āĻœāĻ¨āĻŽ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž? āĻāĻ‡ āĻŦāĻ‡āĻŸāĻž āĻĒāĻ¨ā§œ āĻ•ā§āĻˇā§āĻ¨āĻĻ āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻĻāĻŋāĻž āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ•āĻ¨āĻ• āĻ†āĻŋ āĻ­ā§Ÿ ā§‡āĻž āĻĒāĻžā§Ÿ, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ āĻ¨āĻŋāĻžāĻŸā§āĻŸ āĻ¨āĻšāĻŋāĻž āĻ¸āĻžāĻĨāĻŽāĻ• āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻƒ āĻ†āĻŦā§ āĻœāĻžāĻ¨ā§ŸāĻĻ rafe.zayed@gmail.com
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 7 āĻ¸ā§‚ āĻŽā§āĻŦāĻš āĻĒ āĻ¤ā§āĻ° --------------------- āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§§ āĻāĻ•āĻŸā§āĻ–āĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻļā§āĻ°ā§ ā§¯ ā§§.ā§§ āĻāĻ•āĻŸā§āĻ–āĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻļā§āĻ°ā§ ā§§.ā§¨ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻļā§āĻ°ā§ ā§§.ā§Š āĻšāĻ•ā§āĻ°āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ ā§§.ā§Ē āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§¨ āĻĒāĻ¯āĻžāĻ¸āĻ¨āĻ•āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ¤ā§āĻ°āĻ­ā§āĻœ āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŽā§ŸāĻžā§‡ ā§¨ā§Š āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§Š āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ§ (āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻŽā§āĻŦā§œ āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻ–āĻž) ā§¨ā§­ ā§Š.ā§§ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ§ (āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻŽā§āĻŦā§œ āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻ–āĻž) ā§Š.ā§¨ āĻ¸ā§āĻĒāĻžāĻŋāĻŽāĻ¯āĻžā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§Ē āĻāĻ—ā§œāĻžāĻāĻžā§āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ (Contradiction) ā§Šā§Ŧ ā§Ē.ā§§ āĻāĻ—ā§œāĻžāĻāĻžā§āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ (Contradiction) āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§Ģ āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻŽā§āĻŦāĻœāĻ“ā§‡ āĻ¨āĻšāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻŽ (āĻ•āĻŦā§ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ ā§‡āĻžā§‡āĻžā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦā§‡) ā§Šā§¯ ā§Ģ.ā§§ āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻŽā§āĻŦāĻœāĻ“ā§‡ āĻ¨āĻšāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻŽ (āĻ•āĻŦā§ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ ā§‡āĻžā§‡āĻžā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦā§‡) ā§Ģ.ā§¨ āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻŽā§āĻŦāĻœāĻ“ā§‡ āĻ¨āĻšāĻžā§‡, āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŦāĻžāĻŋ ā§Ģ.ā§Š āĻ—ā§œāĻŽāĻžā§‡ ā§‡āĻ¤ā§āĻ¤ā§āĻŦ āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§Ŧ Recurrent problems ā§Ēā§Š ā§Ŧ.ā§§ Recurrent problems ā§Ŧ.ā§¨ āĻŸāĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻ…āĻŦ āĻšā§āĻ¯āĻžā§‡ā§Ÿ ā§Ŧ.ā§Š āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻœā§āĻœāĻž āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž ā§Ŧ.ā§Ē āĻ¨āĻœāĻžāĻ¨āĻ¸ā§‡āĻžāĻ¸ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž ā§Ŧ.ā§Ģ āĻ¨āĻœā§‡āĻžāĻ¨āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻžāĻ‚ ā§‡āĻžāĻžāĻ‚āĻ•ā§‡āĻƒ āĻ¸ā§‡āĻ­ āĻ•āĻŋāĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ! āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§­ āĻ¨āĻĻāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¨ā§‡āĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻž (inclusion exclusion) ā§Ģā§¨ ā§­.ā§§ āĻ¨āĻĻāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¨ā§‡āĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻž (inclusion exclusion) āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§Ž āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ†āĻœāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦāĻŦ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž ā§Ģā§Ģ ā§Ž.ā§§ Stirling number ā§Ž.ā§¨ Eulerian number ā§Ž.ā§Š āĻšāĻžāĻŋāĻ¨āĻŽāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ• ā§‡āĻžāĻŋāĻžāĻŋ ā§Ž.ā§Ē āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦāĻžā§‡āĻŽā§āĻŦāĻš ā§‡āĻŋāĻŋ ā§Ž.ā§Ģ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ­āĻ¨ā§āĻ¨ āĻ†āĻœāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦāĻŦ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻĨ Recurrent āĻ¸āĻŋāĻ•āĻŽ āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§¯ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ†āĻ§āĻŸā§ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž ā§Ŧā§Ļ āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§§ā§Ļ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ ā§­ā§Ē
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 8
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 9 āĻāĻ•āĻŸā§āĻ–āĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻļā§āĻ°ā§ āĻŽāĻ¨ā§‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ…ā§‡āĻ¨ā§āĻ¤ āĻœāĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻĸāĻžāĻ•āĻž āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻ¨āĻĒā§āĻ˛ā§‡ āĻŋāĻžā§œāĻž āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻ•ā§€? āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ¯āĻ–ā§‡ āĻ•āĻžāĻœāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻœāĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻ­āĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŋ, ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ…āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦ āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§āĻ‡ āĻ˜āĻŸāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ¯āĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻœāĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻ­āĻžāĻ‡ āĻ†āĻ¨āĻŋ, āĻ¨āĻ¸āĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻˇāĻŽāĻž āĻ†āĻĒā§ ā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡? āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ†āĻĒā§ āĻŦāĻ¨āĻ¸ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻ¨āĻŋ (āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻžāĻ‚ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡!)āĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ­āĻžāĻ‡ā§ŸāĻž āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ• āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡āĻž, āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻ¨āĻŽ āĻ†āĻĒā§āĻŋ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻĨ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦ, āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻĸāĻžāĻ•āĻž āĻšāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻ¨āĻŋ āĻ¯āĻžāĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ, āĻ¨ā§‡ā§ŒāĻ•āĻž (!), āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸āĻž (!!) āĻ†āĻŋ āĻ¸āĻžāĻ‡āĻ¨āĻ•ā§‡ (!!!) (āĻ§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ āĻ†āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•)āĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻŋ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻžā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ, āĻšāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ (!) āĻ†āĻŋ āĻ¨āĻšāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ•āĻĒā§āĻŸāĻžāĻŋ (āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ!)āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻ¨ā§‡āĻ¸ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻœāĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻŋ āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ? āĻāĻžāĻ¨āĻŽā§‡āĻž ā§‡āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻĻāĻ¨āĻ– āĻ¨ā§‡ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻĸāĻžāĻ•āĻž āĻ¨ā§‡ā§ŒāĻ•āĻž āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻŋ āĻšāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸āĻž āĻ¨āĻšāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ•āĻĒā§āĻŸāĻžāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ‡āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻ¨āĻ–ā§ŸāĻžā§‡ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ–, āĻœāĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ, (1) āĻ¨ā§‡ā§ŒāĻ•āĻž --------------------------īƒ  āĻšāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ (2) āĻ¨ā§‡ā§ŒāĻ•āĻž --------------------------īƒ  āĻ¨āĻšāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ•āĻĒā§āĻŸāĻžāĻŋ (3) āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸āĻž ---------------------------īƒ  āĻšāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ (4) āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸āĻž --------------------------īƒ  āĻ¨āĻšāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ•āĻĒā§āĻŸāĻžāĻŋ (5) āĻ¸āĻžāĻ‡āĻ¨āĻ•ā§‡ -----------------------īƒ  āĻšāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ (6) āĻ¸āĻžāĻ‡āĻ¨āĻ•ā§‡ -----------------------īƒ  āĻ¨āĻšāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ•āĻĒā§āĻŸāĻžāĻŋ āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž āĻœāĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ 6 āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻŋ āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻžā§Ÿ āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŦā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž, āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻŋ āĻ¯āĻžāĻŦāĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ 4āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻž āĻ¯āĻžāĻŦāĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻž āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨ā§‡āĻž?
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 10 āĻ–ā§āĻŦ āĻ¸āĻšāĻœāĨ¤ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ–, āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻ¨āĻŋāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŋāĻžāĻ¸ā§āĻ¤āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¯āĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ 2āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ 3āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŋāĻžāĻ¸ā§āĻ¤āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻšāĻ¨āĻŦ 3 × 2 = 6 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ 4 āĻ†āĻŋ 5 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ āĻ‰āĻ¤ā§āĻ¤āĻŋ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻ¨āĻŦ! 20 āĻŽā§āĻŦāĻŸ! ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž! āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ–ā§ŸāĻžā§‡ āĻ•āĻ¨āĻŋāĻŋ? āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ­āĻŽāĻŋāĻ•ā§€ā§‡ āĻ˜āĻŸā§‡āĻžāĻŋ āĻ•āĻĨāĻž āĻŦā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ, āĻšāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻž āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ˜āĻŸā§‡āĻžāĻ“ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ¨āĻ¸āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻ¸āĻŦ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻŽā§āĻŦāĻ­āĻ¨ā§āĻ¨āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽ? āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻˇāĻŽāĻž āĻ†āĻĒā§āĻ¨āĻ• āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§œ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ āĻ…ā§‡āĻ¨ā§āĻ¤ āĻ­āĻžāĻ‡ā§ŸāĻž āĻĸāĻžāĻ•āĻž āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻž ā§‡āĻĻā§€āĻĒāĻ¨āĻĨ āĻĻā§āĻ‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ†āĻŋ āĻ†āĻ•āĻžāĻ•āĻĒāĻ¨āĻĨ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ¸ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻž āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ? āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ—ā§āĻŋ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ ā§‡āĻĻā§€āĻĒāĻ¨āĻĨ āĻ¯āĻžāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻŋ āĻ†āĻ•āĻžāĻ•āĻĒāĻ¨āĻĨāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ­āĻŽāĻŋāĻ•ā§€ā§‡ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ†āĻŋ āĻāĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ—ā§āĻ¨āĻŋāĻŋ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ–āĻžāĻ¨āĻŸāĻŽā§āĻŦā§‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ 2 + 3 = 5 . āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻĨ āĻāĻŸāĻžāĻŋ ā§‡ā§‡āĻžā§Ž āĻ•ā§€ āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻž āĻ¯āĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻĒāĻĨāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻŋ āĻ¯āĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ­āĻŽāĻŋāĻ•ā§€ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡āĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻāĻŦāĻžāĻ¨āĻŋāĻŋāĻŸāĻžā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ āĻŋāĻ•āĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ¨ā§‡āĻ‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ–ā§āĻŦ āĻ—ā§āĻ°ā§āĻ¤ā§āĻŦāĻĒā§‚āĻŋāĻŽ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ–ā§ŸāĻžā§‡ āĻŋāĻžāĻ–āĻ¨āĻŦ, (1) āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ­āĻŽāĻŋāĻ•ā§€ā§‡ āĻ˜āĻŸā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ—ā§āĻŋ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ (2) āĻ¸ā§āĻŦāĻžāĻ§ā§€ā§‡ āĻ˜āĻŸā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ— āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻļā§āĻ°ā§ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž (āĻ¨āĻŽāĻ•āĻžāĻĒ āĻŸāĻžāĻ‡āĻĒ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ ā§‡āĻž)āĨ¤ āĻ¸āĻšāĻœ āĻ­āĻžāĻˇāĻžā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻ¨āĻ• āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻ¨āĻ¸āĻŸāĻžāĻ‡ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĨ¤ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻĻāĻ• āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻ¨āĻ• āĻāĻ• ā§‡āĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œ āĻ•āĻŋāĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽāĻ¨āĻ§āĻ¯ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻžāĻ‚āĻ¸ā§āĻ¨āĻŸ, āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻ¨āĻŽ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ¨ā§‡ āĻšāĻžā§Ÿ, āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻ­āĻžāĻ¨ā§‡āĻž, āĻ¨āĻ¯āĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ¸āĻ–āĻžāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻŦāĻ¨āĻ¸ āĻĒā§œāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ•āĻžā§‡ āĻāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ•ā§ƒāĻ™ā§āĻ–ā§‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĨ¤ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻŽāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ‡āĻšāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŋ āĻ†āĻŋ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻž āĻŦāĻĻā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻ• āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻāĻ‡ āĻĻāĻ• āĻœā§‡āĻ¨āĻ• ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻāĻ• ā§‡āĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œ āĻ•āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ•ā§€ āĻ‰āĻ¤ā§āĻ¤āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦ? āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻˇā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻāĻ•āĻĻāĻŽāĻ‡ āĻ¸āĻšāĻœāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡āĻž āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŋ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 10āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻ 10 āĻœāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ•āĻžāĻ‰āĻ¨āĻ• ā§‡āĻž āĻ•āĻžāĻ‰āĻ¨āĻ• āĻ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻžā§Ÿ āĻ˜āĻžā§œ āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻŦāĻ¸āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ, ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ āĻāĻ•āĻœā§‡āĻ¨āĻ• āĻŦāĻ¸āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ā§€ā§Ÿ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻ•āĻžāĻ‰āĻ¨āĻ• āĻĻāĻžā§āĻā§œ āĻ•āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ?
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 11 āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 9 āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§ŸāĨ¤ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻœā§‡ āĻŦāĻ¨āĻ¸ āĻ¨āĻ—āĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• 9 āĻ¨āĻŦāĻšāĻžāĻŋāĻžāĻŋ āĻ•āĻžāĻ‰āĻ¨āĻ• ā§‡āĻž āĻ•āĻžāĻ‰āĻ¨āĻ• āĻŦāĻ¸āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŦāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĻāĻžā§āĻā§œ āĻ•āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻ¯āĻžāĻŋāĻž āĻŦā§āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽāĻžā§‡ ā§‡āĻžāĻŋāĻž āĻŦā§āĻ¨āĻ āĻ¨āĻ—āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻļā§āĻšā§ŸāĻ‡āĨ¤ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ā§€ā§Ÿ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ• ā§‡āĻž āĻ¨āĻ• āĻŦāĻ¸āĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ• āĻŦāĻ¸āĻ¨āĻŋ ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ­āĻŽāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŦā§ā§‡ āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻļā§āĻšā§ŸāĻ‡ āĻ“ āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ•āĻžāĻŦā§ā§‡ āĻŦāĻž āĻŦāĻžāĻŦā§ā§‡ āĻŦāĻž āĻ…āĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻŦāĻ¸āĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ­āĻŽāĻŋāĻ•ā§€ā§‡ āĻ˜āĻŸā§‡āĻžāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻšā§āĻ¯āĻžā§āĻ, āĻ—ā§āĻŋāĨ¤ āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž 10 × 9 āĻŦāĻž 90 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻž āĻ•āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ, āĻ¨āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž 10āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• 2āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻŦāĻž āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ•āĻŋāĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ 10 × 9 āĻŦāĻž 90? āĻ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŸāĻžāĻ¨āĻ• āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻ– 10 p2 = 10 × 9 = 90. āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ p āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻŦā§āĻāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ›āĨ¤ āĻāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§āĻāĻžāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻšā§āĻ› āĻ†āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻšāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§āĻāĻžāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻšā§āĻ›āĨ¤ āĻ¯āĻžāĻ•, āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻŦā§‡āĻž āĻšā§Ÿ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻšā§āĻ¯āĻžā§āĻ, 10 × 9 × 8 = 720 āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻšāĻ¨āĻŦ? 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§ŸāĨ¤ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨āĻ• āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž 10! āĻ“ āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ ! āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨āĻ• āĻŦā§‡āĻž āĻšā§Ÿ ā§‡āĻ¯āĻžāĻ•āĻ¨āĻŸāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋā§ŸāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨āĨ¤ (āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ¨āĻ• āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¸ā§āĻŽā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨ āĻ¨āĻ­āĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻšāĻžāĻ– āĻŦā§œ āĻŦā§œ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡ 10āĨ¤ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¸ā§āĻŽā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨ ā§‡āĻž) ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž 5 āĻœā§‡ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ¯ā§‡? āĻšā§āĻ¯āĻžā§āĻ, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻŋ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŦā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž 5 āĻœā§‡ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻœā§‡āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ? ā§‡āĻ–ā§‡ āĻ‰āĻ¤ā§āĻ¤āĻŋ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž, 5 × 4 × 3 = 60 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ“, āĻāĻŸāĻžāĻ¨āĻ•āĻ“ ā§‡āĻ¯āĻžāĻ•āĻ¨āĻŸāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋā§ŸāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ– āĻ¨ā§‡ā§‡āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ•āĻŽā§‡ āĻšā§Ÿ? āĻ¨āĻĻāĻ–, 5 × 4 × 3 = 5×4×3×2×1 2×1 = 5! 2! . āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸ā§āĻ¨ā§āĻĻāĻŋ ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ¨āĻŦāĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŋ, ā§‡āĻžāĻ‡ 5 āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻāĻ• āĻāĻ• āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋāĨ¤ 5! āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŋ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž ā§‡āĻžāĻ—āĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋ āĻ†āĻŋ ā§‡āĻžāĻŋ āĻ•āĻžāĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§āĻ¤ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¸āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻš 2! āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ nāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻšāĻ¨ā§‡ pāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡āĻž, ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž n āĻšāĻ¨ā§‡ āĻāĻ• āĻāĻ• āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ rāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ, āĻ†āĻŋ n! āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ (n - r)āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž ā§‡āĻžāĻ¨āĻ—āĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻš r! āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡āĻžāĻŽāĨ¤ āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž āĻ•ā§€ āĻĻāĻžā§œāĻžā§‡ -
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 12 n pr = 𝑛! (𝑛−𝑟)! ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ—āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž? āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, ā§‡āĻŋā§ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻšāĻŦ ā§‡āĻžāĻŋ āĻ¸ā§āĻ¯āĻŸāĻ¨āĻ•āĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻĒāĻžāĻ¸āĻ“ā§ŸāĻžāĻŋāĻŽ āĻ­ā§āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ—āĻ¨āĻŋā§‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻŋ āĻļā§āĻ§ā§ āĻŽāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻĒāĻžāĻ¸āĻ“ā§ŸāĻžāĻŋāĻŽāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ¯ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻ¨āĻŋ ā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž 3, 5, 1, 2. āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž ā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻ¸āĻ¨āĻŦāĻŽāĻžāĻšā§āĻš āĻ•ā§‡āĻŦāĻžāĻŋ āĻ¨āĻšāĻŋāĻž āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ ā§‡āĻžā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ–ā§ā§‡āĻ¨ā§‡? āĻ–ā§āĻŦ āĻ¸āĻšāĻœāĨ¤ āĻšāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋāĻ¨āĻ• āĻšāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ 4! āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽāĻ¨ā§‡ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻ•ā§āĻŸāĻ•ā§āĻŸ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻŋāĻžāĻŋāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻĻā§āĻ‡āĻŦāĻžāĻŋāĻ“ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ, āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ 3351, 2233, 2223āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¯āĻž āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽ ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻĒā§āĻ°āĻ¨ā§‡āĻ¯āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻāĻ•āĻŦāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§ŸāĨ¤ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻ•āĻŦāĻžāĻŋ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ? āĻŦā§āĻ¨āĻāĻž āĻŽā§āĻŦā§‡? āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ• āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻ• āĻŦā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž, āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĨ¤ āĻ–ā§āĻŦ āĻ¨āĻ¸āĻžāĻœāĻž, ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻžāĨ¤ 100 āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• 999 āĻŽāĻžāĻ¤ā§āĻ° 900āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻ¸āĻž āĻ¯āĻžāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻœāĻŸ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽāĻ¨āĻ§āĻ¯ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻ—āĻ ā§‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 10 p3 = 120. āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ• āĻ•āĻŽāĨ¤ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻž āĻ•āĻŽ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡āĻž 012, 013 āĻāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻĻā§āĻ‡ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž, āĻāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻ“ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¸āĻžāĻŦ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¸āĻžāĻ¨āĻŦ āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ 0 āĻ¨āĻŋāĻ¨āĻ– āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻ—āĻ ā§‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¸āĻžāĻŦ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ,, āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ 0 āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ˜āĻŋāĻ¨āĻ• āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• 9āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻœāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ 9 p2 = 36 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻĒā§‚āĻŋāĻŋ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¸āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž 120 - 36 = 84 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ¨āĻĻāĻ–ā§‡āĻžāĻŽ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž 900 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻĻā§‚āĻŋ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¸āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻ• 111, 112, 221 āĻ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ ā§‡āĻž, āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¸āĻŦāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻāĻ•āĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŋ, āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¸āĻžāĻ¨āĻŦāĻ‡ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻžāĻ‚āĻŦāĻž āĻ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ¸ā§āĻĨāĻžā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻĒā§‚āĻŋāĻŋ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 9 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ (āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ 0 āĻŦāĻ¸āĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž)āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ, āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ā§€ā§Ÿ āĻ¸ā§āĻĨāĻžā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ? 9 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ? ā§‡āĻž, āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ā§€ā§Ÿ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ āĻĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŋ āĻ¨āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŸāĻžāĻ‡ āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡ā§ƒā§‡ā§€ā§ŸāĻŸāĻž? āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ“ 10 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ! ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ? 9 × 10 × 10 = 900 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŽā§‡āĻ¨ā§‡āĻž?
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 13 āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĻāĻžāĻšāĻŋāĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ§āĻŋ, āĻ†āĻŦā§āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§ŸāĻŋ āĻ†āĻžāĻ‚āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒāĻŋāĻžāĻŋ āĻ–ā§āĻŦ āĻ•āĻ–! ā§‡āĻžāĻŋ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ†āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§ŸāĻŋ āĻ†āĻžāĻ‚āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻŋ āĻāĻ• āĻšāĻžāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†ā§‡ā§āĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻĒāĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ? āĻ¨āĻĻāĻ–, āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ†āĻžāĻ‚āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻ•āĻžā§‡ āĻ¨āĻ•āĻžā§‡ āĻ†ā§‡ā§āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ? āĻ¸ā§āĻŦāĻ­āĻžāĻŦā§‡āĻ‡ āĻ†āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†ā§‡ā§āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ¨āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨ā§‡āĨ¤ āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ†āĻžāĻ‚āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ā§€ā§Ÿ āĻ†āĻžāĻ‚āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻĒāĻžā§‡āĻžāĨ¤ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§Ÿ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ? āĻāĻŸāĻžāĻ“ āĻ†āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§ŸāĨ¤ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ†āĻžāĻ‚āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻŦāĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻš āĻāĻ¨āĻ• āĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯āĻ“ āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§ŸāĨ¤ ā§‡ā§ƒā§‡ā§€ā§Ÿ? āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ“ āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§ŸāĨ¤ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻĻā§āĻ‡ āĻ†ā§‡ā§āĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¸āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻžāĻ‚āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻš āĻŦāĻ¸āĻžāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†ā§‡ā§āĻ¨ā§‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻ•ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ? 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 58 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽāĻ¨āĻ§āĻ¯ āĻ¯āĻžāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦā§āĻ¨āĻ āĻ¨ā§‡āĻ¨ā§‡āĻŋ, ā§‡āĻžāĻŋāĻž āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸāĻžāĻŽā§āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡ā§‡ā§ā§‡ āĻĒā§āĻ°āĻ¨āĻļā§āĻ¨āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¤ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻ§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ, āĻ¸āĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻāĻ• ā§‡ā§Ÿ, āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ¸āĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻŽāĻ¨āĻ§āĻ¯ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻ• āĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ āĻšāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻ†āĻ¨āĻŋ - a, a, b, c. āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ a, āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ b āĻ†āĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ c. āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĻž? āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž ā§‡āĻžā§œāĻžā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦā§œ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ¨āĻ• āĻŦāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¸āĻ¨āĻŦ 4! = 24 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ•ā§€ ā§‡āĻžāĻ‡? āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ a āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ¨āĻ–ā§ŸāĻžā§‡ āĻ•āĻŋ, āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻāĻ•āĻ‡ āĻŋāĻ•āĻŽ āĻ¨āĻĒāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻ¨āĻŽāĻ‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋāĻ¨āĻ• y āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ āĻ†āĻŋ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ a āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ 2! āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§‡āĻ¨āĻŦāĻ‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§‚ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻĒāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻŦāĨ¤ āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž, y × 2! = 24 āĻŦāĻž, y = 24 2! = 12 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻŸāĻžāĻ¨āĻ• āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‚āĻ¤ā§āĻ° āĻ†āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ– āĻ¨ā§‡ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ x āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻĨāĻžāĻ¨āĻ• āĻ¯āĻžāĻŋ āĻŽāĻ¨āĻ§āĻ¯ a āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻ• āĻāĻ• āĻœāĻžā§‡ā§€ā§Ÿ, b āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻ• āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ• āĻœāĻžā§‡ā§€ā§Ÿ,... āĻšā§Ÿ, ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽāĻžāĻ¨āĻ đ‘Ĩ! 𝑎! 𝑏!â€Ļ āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĒā§āĻ°ā§Ÿ āĻ¨āĻĻāĻ• āĻŦāĻžāĻžāĻ‚ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻ¨āĻ•āĻŋ āĻŦāĻŋāĻŽāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ?
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 14 āĻ¨āĻĻāĻ– Bangladesh āĻ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽāĨ¤ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽāĻ¨āĻ§āĻ¯ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻāĻ•āĻ‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ, 10! 2! . āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ—āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻ¸āĻŽāĻžāĻ§āĻžā§‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻ• āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž 1, 2, 3, 5, 0 āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ•āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻžāĻŋ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ…āĻĨāĻŽāĻĒā§‚āĻŋāĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨āĻœāĻžā§œ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻŦāĻžā§‡āĻžāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĻž? āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡, āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‚āĻ¨ā§āĻ¯ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻžāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ“, āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨āĻœāĻžā§œ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž, ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ¨āĻ•āĻ¨āĻˇ 3 āĻŦāĻž 5 āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻ¨āĻŽ āĻ§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ, āĻ¨āĻ•āĻ¨āĻˇ 3 āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻļā§āĻ°ā§āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ˜āĻ¨āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻšāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ• āĻŦāĻ¸āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ 4 p3 āĻŦāĻž 24 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ 0 āĻ†āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻ¨āĻˇ 3 āĻ¨āĻŋāĻ¨āĻ– āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ˜āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ 3 p2 āĻŦāĻž 6 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻĒā§‚āĻŋāĻŋ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ 24 – 6 =18āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻ¨āĻ•āĻ¨āĻˇ 5 āĻ¨āĻŋāĻ¨āĻ–āĻ“ āĻāĻ•āĻ‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ, 18 × 2 = 36 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ§āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻ• 4āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡āĻžāĻŽ 5, 1, 2, 3. āĻāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻ¯ āĻšāĻžāĻŋ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ•āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ—ā§‡ā§‡ āĻ•ā§‡? āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ–, 1 āĻ¨āĻ•āĻ¨āĻˇ 1 āĻ¨āĻŋāĻ¨āĻ– āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ˜āĻŋāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻĒā§‚āĻŋāĻŋ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 3! = 6 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ 1 āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ ā§‡āĻžāĻŋāĻžāĻŋ āĻ˜āĻ¨āĻŋ āĻŋāĻžāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ•ā§ŸāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻāĻ–āĻ¨ā§‡āĻž āĻŋā§ŸāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻāĻ–ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ†āĻŋ āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ 1 āĻ†āĻ¨āĻŋ? ā§‡āĻž, āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ 10 āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻ—āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ†āĻŽāĻžāĻŋ āĻŽāĻ¨ā§‡ āĻšā§Ÿ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻŦā§āĻāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻāĻŋāĻĒāĻŋ āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ 1 āĻ¨āĻ• āĻāĻ•āĻ˜āĻŋ āĻ¸āĻžāĻŽāĻ¨ā§‡ āĻŋāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ–, āĻāĻŦāĻžāĻŋāĻ“ 6 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ†āĻŋ 1 āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ 100. ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻŦāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻāĻ• āĻāĻŋ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ—ā§‡ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ? 6 × (1 + 10 + 100 + 1000) āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻŦāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ 2 āĻāĻŋ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ—ā§‡ā§‡ āĻ•ā§‡? 6 × 2 × (1 + 10 + 100 + 1000) āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻŦāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŋ āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ—ā§‡ā§‡ 6 × (1 + 2 + 3 + 5) × (1 + 10 + 100 + 1000) āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ†āĻŦā§ā§‡ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻšāĻ¨āĻŦāĻŋ a āĻ†āĻŋ b āĻ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ• āĻĒāĻŋāĻ¨ā§āĻĻāĨ¤ āĻāĻ• āĻĒā§āĻ°āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ¯āĻžāĻŽā§āĻŦāĻ—ā§‡āĻžā§Ÿ ā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻ‡āĻžāĻ‚āĻ¨āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻœ āĻŋāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 15 āĻ•āĻŦā§āĻĻ āĻŦāĻžā§‡āĻžāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ¨āĻ¸ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻ•, āĻĒā§āĻ°āĻ¨ā§‡āĻ¯āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻ¨āĻŦā§āĻĻ a āĻ†āĻŋ b āĻŦāĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž, āĻ¨āĻ¸ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻŦā§āĻĻ āĻ•āĻŽ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋ? āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ†āĻŦā§ā§‡ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻšāĻŦ āĻ¸āĻŦāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡āĻž ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻŦā§āĻĻ āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¨āĻ¯ā§‡? āĻšā§āĻ¯āĻžā§āĻ, 26 p5 āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž a b āĻ¨āĻ• āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 5 p2 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ¸ a b āĻ¸āĻŦāĻ¸āĻŽā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻšāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻšāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ›, 24 p3 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ 24 p3 × 5 p2 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻŦā§āĻĻ āĻ•āĻŽ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋ? āĻāĻŦāĻžāĻŋ, āĻāĻ•āĻŸā§ āĻŦāĻžāĻ¸ā§āĻ¤āĻŦ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻ†āĻ¸āĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻ§āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻ•ā§āĻ˛āĻžāĻ¨āĻ¸ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻŦāĻž āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻšāĻ“ ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻļā§āĻšā§ŸāĻ‡ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻšāĻžāĻ‡āĻ¨āĻŦ! āĻ†āĻŋ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§ŸāĻŋ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ•āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻ•ā§āĻ˛āĻžāĻ¨āĻ¸ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŦāĻ¨ā§‡ 3āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻŋ 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§ŸāĻ—ā§ā§‡āĻž āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻšāĻžā§Ÿ, āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ…āĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§ŸāĻŋ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• ā§‡āĻž (āĻŽā§āĻŦāĻšāĻžāĻ‚āĻ¸āĻž āĻ†āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻ•!)āĨ¤ āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž āĻĒāĻžāĻ•āĻžāĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻšāĻžā§Ÿ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦ? āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻ¨āĻŽ āĻāĻ• āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡āĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡, ā§‡āĻžāĻ‡ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ 5! āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ• āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡āĻ¨āĻĻāĻŋ ā§‡āĻžā§āĻāĻ¨āĻ• ā§‡āĻžā§āĻāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻšāĻžāĻ‚āĻ¸ā§āĻ¨āĻŸ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĸā§āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻāĻ‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋāĻž āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• āĻŦāĻ¸āĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž! āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž, āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡āĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻž āĻ†āĻ¨āĻŋ? āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•, ā§‡ā§€ā§‡ āĻŦāĻ•ā§āĻ¸āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŋ ā§‡ā§€āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§āĻāĻžā§Ÿ, ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻž āĻ†āĻ¨āĻŋ? āĻšā§āĻ¯āĻžā§āĻ, 6āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻāĻ–ā§‡, āĻ āĻŋā§Ÿ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻžā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻ• āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡, 6 p3 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ, 5! × 6p3 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ, āĻāĻ•āĻŸā§ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¸āĻžāĻŽā§āĻŦāĻœāĻŋ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻžā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻŋ āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻ¸! Alphabet āĻ āĻ•āĻŦā§āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨āĻ• āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ¯ā§‡ āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻĨāĻžāĻ¨āĻ•? āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ? A, a, e āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻāĻ• āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻāĻŋāĻž āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ āĻāĻ•āĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻ¸ā§āĻ¤āĻžā§Ÿ āĻ­āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž, āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻ¨āĻĒā§‡āĻžāĻŽ? āĻŦāĻ¸ā§āĻ¤āĻž, l, p, h, b, t āĻŦāĻž 6āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? 6! āĻŦāĻž 720 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 16 āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¸ā§āĻ¤āĻžāĻŋ āĻŦāĻŋāĻŽāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŋ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŦāĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻž āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻž āĻŦāĻĻā§‡āĻž āĻŦāĻĻāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ āĻ•āĻžāĻœāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? 3! 2! āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦāĻž 3 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ a ā§‡āĻžāĻ‡ 2! āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻŋāĻž āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ, 3 × 720= 2160 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨, āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ āĻāĻ•āĻ¨āĻ¤ā§āĻ° ā§‡āĻž āĻ¨āĻŋāĻ¨āĻ– āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻž āĻ•āĻŋ, āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡ā§‡ā§ā§‡ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ alphabet āĻ•āĻŦā§āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ•ā§āĻ°āĻŽ āĻĒāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŦā§‡āĻŽā§‡ ā§‡āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻŦā§āĻāĻ¨ā§‡ ā§‡āĻž? āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž, āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽ āĻ¨āĻ•āĻžā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ? a. āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ a. āĻ†āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻ¨āĻˇāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ e. āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ¸āĻŽā§Ÿ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ āĻ•ā§āĻ°āĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ• āĻŋāĻžāĻ–āĻ¨āĻŦāĻž, āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž e āĻ¨āĻ• āĻ†āĻ¨āĻ— āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ–āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĻž ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž, āĻ¨āĻ•āĻŦā§‡ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻĒāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŦā§‡āĻŽā§‡ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ - Alphabet Alphebat Alphabet Alphebat Elphabat Elphabat āĻ 6āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻ•āĻŦā§‡ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻĒāĻžāĻ‡āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻž, āĻ¸āĻŦāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽāĻ¨āĻ• āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽ āĻ§āĻŋāĨ¤ āĻ§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ, āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻŦāĻžāĻŋ a, a, e ā§‡āĻž āĻŦāĻŋāĻžāĻ‚ a, a, a. āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžā§Ÿ - Alphabat Alphabat Alphabat Alphabat Alphabat Alphabat āĻāĻŦāĻžāĻŋāĻ“ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻāĻ•āĻ‡ ā§‡ā§‡āĻžā§‡ā§‡ āĻ¨āĻĒā§‡āĻžāĻŽ? ā§‡āĻž, 6āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻžā§Ÿ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž, āĻāĻ•āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻŦāĻžāĻŋāĻŦāĻžāĻŋ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ•ā§ŸāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŋ ā§‡āĻžāĻŋ ā§‡āĻ¯āĻžāĻ•āĻ¨āĻŸāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋā§ŸāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ›, 8! 3! . āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡ā§‡ā§ā§‡ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŦā§‡āĻž āĻšā§Ÿ, āĻ alphabet āĻ•āĻŦā§āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽ āĻ†āĻŋ āĻŦāĻ¯āĻžāĻžā§āĻœā§‡āĻŦāĻ¨āĻŋāĻŽāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻĒāĻŽā§āĻŦāĻ•ā§āĻˇāĻ• āĻ…āĻŦāĻ¸ā§āĻĨāĻžā§‡ āĻĒāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŦā§‡āĻŽā§‡ ā§‡āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ, ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦ?
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 17 ā§‡āĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻ— āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ†āĻ¨āĻĒāĻŽā§āĻŦāĻ•ā§āĻˇāĻ• āĻ…āĻŦāĻ¸ā§āĻĨāĻžā§‡ āĻĒāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŦā§‡āĻŽā§‡ ā§‡āĻž āĻ•āĻŋāĻž āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€? āĻ¨āĻĻāĻ–, a āĻ†āĻ¨āĻŋ 1 ā§‡āĻžāĻŋāĻžāĻŋ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡, āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ a 5 ā§‡āĻžāĻ‚ āĻ āĻ†āĻŋ e 7 ā§‡āĻžāĻ‚ āĻāĨ¤ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ¸āĻŽā§Ÿ āĻāĻŋāĻž āĻ āĻ¸ā§āĻĨāĻžā§‡ āĻŦāĻžāĻ¨āĻĻ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¨āĻ•āĻžāĻĨāĻžāĻ“ āĻŦāĻ¸āĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻŦāĻ¯āĻžāĻžā§āĻœā§‡āĻŦāĻŋāĻŽāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻ“ ā§‡āĻžāĻ‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ? 3āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽ 3! āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ 5! āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ, 3! × 5! āĻšāĻ•ā§āĻ°āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĻƒ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž 5 āĻœā§‡ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻ—āĻžā§‡āĻ¨āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¨āĻ¸ āĻ†āĻŋāĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ­āĻžāĻ¨ā§‡āĻž ā§‡āĻžāĻ—āĻ¨ā§‡āĻž ā§‡āĻž, ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻž āĻŦāĻĻā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡āĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ ā§‡āĻž, āĻāĻ•āĻŸā§ āĻĒāĻŋ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻŽāĻžāĻŋāĻžāĻŽāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻž āĻŦāĻĻā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡āĨ¤ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž, āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•ā§‡āĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻĻā§‡āĻž-āĻŦāĻĻāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻŦā§‡āĻ¨āĻŋāĻž āĻ–ā§āĻŦ āĻ¨āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ 5 āĻœā§‡ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ , ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋāĻ¨āĻ• 5! āĻŦāĻž 120 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ! āĻ¸āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¯āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• ā§‡āĻžāĻ‡? āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž 5 āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ›āĻž, a, b, c, d, e . āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ–āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ¨āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ–, āĻāĻŦāĻžāĻŋ ā§‡āĻžāĻ– āĻŸāĻžāĻ•āĻž āĻĻāĻžāĻ¨āĻŽāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨āĨ¤ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨āĻ• āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ¨āĻ•āĻ‡ āĻŽāĻžāĻĨāĻž āĻšā§ā§‡āĻ•āĻžāĻ¨āĻŦ! āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ, āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦāĻž āĻ¨āĻ•āĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§ŸāĨ¤ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ• āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ–ā§āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻĒā§œāĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ āĻ¨āĻ•āĻŠ e āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ edcba āĻŦāĻž eabcd. āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ•āĻ‰ a āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŦā§‡, āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĻ¨ā§‡āĻž, aedcbāĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ˜ā§āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§ŸāĻ“ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻŦ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻāĻ•āĻ‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž, āĻāĻ–ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ†āĻŋ 5! āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ• āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ•āĻ¨āĻŽ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ, ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¸āĻžāĻŦāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ§āĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ›, A, b, c, d, e. āĻāĻ–ā§‡ āĻ¨āĻĻāĻ–, āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ b āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻ¨āĻ¸āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ b āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ– āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ–āĻ¨āĻŦāĻž āĻ†āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻ¨āĻˇ a āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ–āĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻšāĻ•ā§āĻ°āĻžāĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ āĻ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻžā§‡āĻžāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ†āĻŋ āĻ¸āĻŦ āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻāĻ•āĻ‡ āĻŽāĻžā§‡ āĻ†āĻ¸āĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? a b c d e
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 18 āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ•āĻŽā§‡ āĻšā§Ÿ? āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻœā§‡āĻ¨āĻ• āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻŽāĻŋ āĻ¨āĻšā§ŸāĻžāĻ¨āĻŋ āĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§Ÿ āĻŋāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ–, āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¨ā§‡āĻžāĻ•āĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ“ā§‡āĻŸ āĻĒāĻžā§‡āĻŸ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ‡āĨ¤ āĻ¨āĻ¸āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ†āĻ¨āĻ— a āĻāĻŋ āĻŦāĻžāĻŽ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• b āĻ†āĻŋ āĻŋāĻžā§‡āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• c āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ“ā§‡āĻŸ āĻĒāĻžā§‡āĻ¨āĻŸāĻŋ ā§‡āĻ¨ā§‡ āĻ§āĻŋ āĻŋāĻžā§‡āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• b āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• c āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ ā§‡āĻ–ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŦāĻž ā§‡āĻž? ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž? āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ? a āĻŦāĻžāĻ¨āĻĻ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻšāĻžāĻŋ āĻœāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž (5-1)! āĻŦāĻž 4! ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¯ā§‡āĻœā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§āĻˇ ā§‡āĻžāĻŋ āĻ¨āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻāĻ• āĻ•āĻŽ āĻāĻŋ ā§‡āĻ¯āĻžāĻ•āĻ¨āĻŸāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋā§ŸāĻžā§‡-āĻ‡ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻŋāĻŽā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŋāĻžāĻŸā§āĻŸ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻžāĨ¤ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻ­āĻ¨ā§āĻ¨ āĻŽā§āĻŦāĻ­āĻ¨ā§āĻ¨ āĻŽā§āĻŋāĻž āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽāĻžā§‡āĻž āĻ¤ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦ? āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡, āĻ¸āĻŦāĻžāĻ‡ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ•ā§‡ 9! āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻ¸, āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻŦā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻŽāĻžā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻ‰āĻšā§ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ§āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ§āĻŋ, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻ¸āĻžāĻŽāĻ¨ā§‡ āĻāĻ•āĻœā§‡ āĻĻāĻžā§āĻāĻŽā§āĻŦā§œāĻ¨ā§Ÿ āĻŽāĻžā§‡āĻžāĻŸāĻžāĻ¨āĻ• āĻāĻŋāĻ•āĻŽ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨āĻŋ (ā§§āĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¤ā§āĻ°), āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻ‡ āĻŽāĻžā§‡āĻž āĻāĻ•āĻœā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻŋā§‡ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€āĻŋāĻ•āĻŽ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨āĻŦ? (ā§¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¤ā§āĻ°) āĻāĻ•āĻĻāĻŽ āĻ‰ā§‡āĻŸāĻž āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĻ‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻ‡āĨ¤ āĻāĻŋāĻ•āĻŽ āĻ¯ā§‡āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻŦāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻĻā§āĻ‡ āĻ­āĻžāĻ¨āĻ— āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ āĻāĻ•āĻ­āĻžāĻ— āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻ¸āĻžāĻŽāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻ­āĻžāĻ— āĻ¨āĻĒāĻŋā§‡ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ•āĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻāĻ•āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡, 9! ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ†āĻ¸ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻāĻŋ āĻ…āĻ¨āĻ§āĻŽāĻ•āĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ ā§‡ā§ā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĻž, āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋāĻŸāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽ ā§‡āĻž? āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋāĻŸāĻžā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻĻā§āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ¨āĻ•āĻŠ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ•āĻŦā§‡ āĻ¨āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ‰āĻĒāĻŋ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĨ¤ a c e d b a b e d c a j i h gf e d c b b c d e fg h i j a
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 19 āĻŽā§āĻŦā§‡āĻš āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§, āĻŽāĻžā§‡āĻžāĻŋ āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻŽāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻ¨āĻŋ āĻĻā§āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§ŸāĻ‡ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻĻā§āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ­āĻžāĻ— āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻā§‡āĻ•ā§āĻˇāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻŦāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§āĻ•ā§āĻˇāĻŋ āĻ†āĻ¨ā§‡āĻžāĻšā§‡āĻž āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽāĨ¤ āĻ¨āĻ• āĻ†āĻ¨āĻ— āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¸āĻ¨āĻŦ, āĻ¨āĻ• āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ• āĻŦāĻžāĻ¨āĻŽ āĻ†āĻ¸āĻ¨āĻŦ āĻāĻ¸āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻ¸āĻž āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ…āĻ¨ā§āĻ¯āĻŋāĻ•āĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻž āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ§āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻŽāĻžāĻ¨āĻ  ā§‡ā§ āĻŸāĻŦā§‡ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻ¨āĻŦ, āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻŽā§āĻŦāĻ—āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡ 33āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻ– āĻ¨āĻ—āĻžāĻŽā§œāĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻĻāĻžā§āĻāĻŽā§āĻŦā§œāĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ¸āĻŦāĻžāĻ‡ ā§‡ā§āĻŸāĻŦā§‡ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻ¨ā§‡ āĻšāĻžā§Ÿ, āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ¯āĻžāĻ•, āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻā§‡ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻ¨ā§‡, āĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻā§‡ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻ¨āĻŦ, āĻ†āĻŋ āĻāĻŋāĻĒāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ• āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦ āĻ•āĻžāĻŋ āĻ¨āĻœā§‡āĻžāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻ¨āĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŦāĻž āĻ•āĻŽāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ•āĻŠ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŦāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽāĻ¯āĻžāĻš āĻšāĻ¨āĻŦ, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦ? āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ†āĻ¨āĻ— āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨āĻ– āĻāĻ¨āĻ¸āĻŋ, ā§‡āĻžāĻ‡ āĻšā§āĻŸ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ•ā§‡, āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻā§‡ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻā§‡ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĻž? 3p 2 = 6 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻˇā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ•? āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ¨āĻ­āĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻĻā§‡āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ ā§‡āĻžāĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡āĻžāĻŽ a, b, c. ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻž āĻšāĻ¨āĻŦ? a b b c c a. āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻŽā§āĻŦāĻ—āĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŋā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡āĻž āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ•āĻ¨āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŋ ā§‡āĻžāĻŋāĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ“ āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŋ, b a c b a c āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻŋ āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ• āĻ•āĻĨāĻžāĻ‡, ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻ•! āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ a āĻ†āĻŋ b āĻāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻĨ āĻŽāĻ¯āĻžāĻš āĻšāĻ“ā§ŸāĻž āĻ†āĻŋ b āĻ†āĻŋ a āĻāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻĨ āĻŽāĻ¯āĻžāĻš āĻšāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻ‡ āĻ•āĻĨāĻžāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§€ āĻ¨āĻŦāĻžāĻāĻžāĻŋ āĻ•āĻĨāĻžāĨ¤ ‘āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ•â€™ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻž, āĻ¨āĻ• āĻ†āĻ¨āĻ— āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻāĻ•āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻšāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ¸ā§‚āĻ¤ā§āĻ° āĻĻāĻžā§āĻā§œ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ¨āĻ•āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻĻāĻžā§āĻā§œ ā§‡āĻž āĻ•āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡! āĻ†āĻ¨āĻ¸āĻž, āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĨ¤ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ nāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• rāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĻž? āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž n cr āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĻž (āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨āĨ¤ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§ŸāĻ‡ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ•āĻ¨āĻ• āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻ• āĻ•āĻ¨āĻŋāĨ¤)
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 20 āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ‡, āĻŦāĻ¨ā§‡āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ r āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ†āĻ¨āĻŋ, ā§‡āĻžāĻ‡ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ r! āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ•ā§‡āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻĒā§‡āĻžāĻŽ? n cr × r! āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž, āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž n āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻšāĻ¨ā§‡ r āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽ, ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻāĻ•āĻ‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ˜āĻŸāĻ¨ā§‡āĻž ā§‡āĻž? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ n cr × r! = n pr So, n cr × r! = 𝑛! (𝑛−𝑟)! Or, n cr = 𝑛! 𝑟!đ‘Ĩ(𝑛−𝑟)! āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡, āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸ā§āĻ¨ā§āĻĻāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‚āĻ¤ā§āĻ° āĻĻāĻžā§āĻā§œ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨ā§‡ā§‡ā§‡āĻžāĻŽ! āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŋāĻžāĻŸā§āĻŸ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻžāĨ¤ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻĻāĻ• āĻœā§‡ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻ†āĻ¨āĻŋ, āĻ†āĻŋ ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĻāĻžāĻ“ā§ŸāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻšāĻžāĻ“āĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ¸āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻāĻŽā§‡ ā§‡āĻž, āĻšā§ŸāĻ¨ā§‡āĻž āĻ•āĻžāĻ‰āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡, āĻ•āĻžāĻ‰āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ ā§‡āĻž, āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻšā§ŸāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨āĻ•āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡āĨ¤ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ? āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ• āĻĻāĻ• āĻœā§‡ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻŋ ā§‡āĻžāĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡āĻžāĻŽ, 1, 2, 3, ...10 āĻāĻŦāĻžāĻŋ ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻĻāĻžāĻ“ā§ŸāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĻž? āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ• ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ 1, 2, 4, 5, 6, 9 ā§‡āĻžāĻŋāĻžāĻŋāĻ¨āĻ•āĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ§āĻŋ ā§‡āĻž āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻž, āĻāĻ–ā§‡ ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ 1, 4, 2 āĻ¨āĻ•āĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ§āĻŋ, āĻ¨āĻ­āĻ¨āĻŦ āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦ? āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻžāĻŋ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ• ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ 1 ā§‡āĻžāĻŋāĻžāĻŋāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦ āĻŦāĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž, āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦ? āĻĻā§āĻ‡ āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ, āĻšā§Ÿ ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ ā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻĻāĻžāĻ“ā§ŸāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦ, ā§‡ā§‡ā§āĻŦāĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ 1 ā§‡āĻžāĻŋāĻžāĻŋ āĻāĻŋ āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦāĨ¤ 2 āĻāĻŋ āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ°? āĻāĻ•āĻ‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĨ¤ āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ 10 āĻœā§‡ āĻāĻŋ āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻāĻ•āĻ‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž, āĻ āĻ˜āĻŸā§‡āĻžāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸ā§āĻŦāĻžāĻ§ā§€ā§‡? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡, āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻĨ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻŋāĻ•āĻŽ āĻ¨ā§‡āĻ‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ? āĻ¸āĻŦāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ—ā§āĻŋ! āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ 2 × 2 × 2 × 2 × â€Ļ × 2 = 210 . āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ“ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ“, āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻāĻŽā§āĻŦā§œāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋ, 1 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ, āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻž āĻŦāĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻž ā§‡āĻž, 2 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžāĻ“ āĻāĻ•āĻ‡āĨ¤ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋ āĻŽāĻ¨ā§‡āĻž āĻŋāĻ• āĻāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻž āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ 1 2 3 4........................
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 21 āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻžā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻžā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻžā§‡āĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ–ā§ŸāĻžā§‡ āĻ•āĻŋ, āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻšāĻŋ ā§‡āĻžāĻ‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨āĻŋāĻž? āĻ¸āĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻž ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻž ā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻ—āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦ? āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻ¨āĻ• āĻĻāĻžāĻ“ā§ŸāĻžā§‡ ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻ•ā§€ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦ! ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¯āĻž āĻ—ā§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ ā§‡āĻž āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻžāĻĻ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻšāĻ¨āĻŦ, 210 -1 āĻŸāĻžāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻĒāĻ¨ā§œ āĻāĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ¸āĻ¨āĻŸāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻ¸āĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž 2n , āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž? āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒāĻŋāĻĒāĻŋ ā§‡ā§āĻŸāĻŦā§‡ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻž āĻšāĻ¨āĻŦ, āĻ¨āĻŋāĻœāĻžāĻ˛ā§āĻŸ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ? āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡ā§āĻŸāĻŦā§‡ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻžāĻŋ āĻ¨āĻŋāĻœāĻžāĻ˛ā§āĻŸ āĻ•ā§€ āĻ•ā§€ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ? āĻœā§Ÿ-āĻĒāĻŋāĻžāĻœā§Ÿ āĻŦāĻž āĻĄā§āĻ°, āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻāĻ•āĻ‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻŋāĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋāĻ“! ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ, 3 × 3 × 3 = 27. āĻāĻŋāĻ•āĻŽ āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ• āĻ‰āĻĻāĻžāĻšāĻŋāĻŋ āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ, āĻ†āĻŋ āĻ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻ• ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ‡āĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻ­āĻ¨ā§āĻ¨ āĻŦāĻ¯āĻĒāĻžāĻŋ āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ–āĨ¤ āĻ§āĻŋ, ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ 10āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡ā§āĻŸāĻŦā§‡, 9āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŸāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻŦā§‡ āĻ†āĻŋ 6āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻœāĻžāĻŋā§āĻŋāĻž āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻ•āĻĨāĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž, ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻ¨āĻŦāĻžā§‡āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ? āĻ¸āĻšāĻœ, 10āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡ā§ āĻŸāĻŦā§‡ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ 11āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻ¨āĻĻā§ŸāĻžāĻŋāĨ¤ (āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦāĻž ā§‡āĻž :D) āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ 10 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻŦāĻžāĻ‚ 7 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ 10 × 11 × 7 -1 (āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ?) āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻĨāĻž āĻŦāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ•, 250000 āĻāĻŋ āĻ‰ā§ŽāĻĒāĻžāĻĻāĻ• āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻ•ā§‡? āĻ­ā§Ÿ āĻ¨āĻĒāĻ¨ā§‡? āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ“ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ“ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĨ¤ 250000 = 52 × 104 = 56 × 24 āĻ‰ā§ŽāĻĒāĻžāĻĻāĻ• āĻŦāĻžā§‡āĻžāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ āĻ—ā§āĻŋā§‡āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ•āĻ‡ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒāĻžā§āĻāĻš āĻ†āĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻā§āĻ‡ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ, āĻšā§āĻ¯āĻžā§āĻ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰ā§ŽāĻĒāĻžāĻĻāĻ• āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› 5 × 5 × 2 = 50. āĻ•āĻĨāĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ? āĻ¨āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĨ¤ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ 6āĻŽā§āĻŦāĻŸ 5 āĻ†āĻŋ āĻšāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻā§āĻ‡ āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻžāĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĻž 7 × 5 āĻŦāĻž 35 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻŽā§ŒāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ• āĻ‰ā§ŽāĻĒāĻžāĻĻāĻ• āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ āĻ¨āĻ•ā§‡? āĻ†āĻŋ āĻāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§ŸāĻžāĻ— āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽ ā§‡āĻž āĻ¨āĻ•ā§‡? āĻ¨āĻšāĻŋāĻž āĻ•āĻŋ, āĻ¨āĻĒāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ‰āĻ¤ā§āĻ¤āĻŋāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻāĻŋāĻ•āĻŽ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡āĻž, 56 × 24 × 3 × 5āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¨āĻ¯ā§‡? āĻāĻŸāĻžāĻ“ āĻ¸āĻšāĻœ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ 7 × 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻšā§āĻ›, āĻ†āĻŋ āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ• āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋ āĻŽāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻšā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŦ āĻ…āĻĨāĻŦāĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŦ ā§‡āĻž, āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ, 5 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžāĻ¨ā§‡āĻ“ āĻāĻ•āĻ‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ, 7 × 5 × 2 × 2. āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻž āĻāĻŋāĻ•āĻŽ āĻŋāĻžā§œāĻž āĻŋāĻžā§œāĻž āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡āĻž ā§‡āĻ–ā§‡?
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 22 āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ­āĻžāĻ—āĻžāĻ­āĻžāĻŽā§āĻŦāĻ—āĻŋ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ¨āĻ• āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĨ¤ āĻ§āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§‡āĻŽ āĻ†āĻŋ 3āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ–āĻžā§‡āĻž āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻ‡ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻ†āĻ¸āĻ¨āĻŋ, ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻāĻŽā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ¯ā§‡ āĻāĻ• āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ• āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻĒāĻžā§Ÿ, āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ āĻ­āĻžāĻ—āĻžāĻ­āĻžāĻŽā§āĻŦāĻ— āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦ? āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ? 8āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻ 8āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻšāĻ¨ā§‡ 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 8 c5 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻžāĻŋ āĻĻāĻŋāĻ•āĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŋ? āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻĒā§‡āĻž-āĻ†āĻĒāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžā§Ÿ, ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? āĻāĻ–ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ§āĻžāĻŋāĻŋ āĻ¸ā§‚āĻ¤ā§āĻ° āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ– āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĨ¤ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ (m + n) āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻ• āĻŦāĻ¸ā§āĻ¤ā§ āĻĨāĻžāĻ¨āĻ• āĻ†āĻŋ ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ m and n āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻ•āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻĻā§āĻ‡ āĻĻāĻ¨ā§‡ āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšā§Ÿ, ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ­āĻžāĻ— āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻšāĻ¨āĻŦ m+n cm . āĻāĻŸāĻžāĻ¨āĻ• āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ (𝑚 + 𝑛)! 𝑚! 𝑛! . āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ•āĻžāĻŋāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡ā§‡āĨ¤ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻ–ā§āĻŦ āĻĻāĻŋāĻ•āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻœā§€āĻŦāĻ¨ā§‡āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻ–ā§āĻŦ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻ ā§‡ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĻž ā§‡āĻžāĨ¤ āĻĻā§āĻ‡ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻšāĻœ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ¨āĻĻāĻ¨āĻ– āĻ¨ā§‡ā§‡āĻŦ āĻļā§āĻ§ā§āĨ¤ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ• āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻ• āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ 20 āĻ­ā§āĻœ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž, āĻāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋāĻŽāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻ•ā§‡? 20 āĻ­ā§āĻœ āĻŦāĻžā§‡āĻžāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻĻā§ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ— āĻ•āĻŋāĻž ā§‡āĻžāĻ¨āĻ—, āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 20āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡, āĻ¨āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻĻā§ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ— āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŋāĻ–āĻž āĻ¨āĻĒāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ 20āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻĻā§ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ 20 c2 āĻŦāĻž 190āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŋāĻ–āĻž āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦāĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ 20āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻ āĻ­ā§āĻœ āĻāĻŋ 20 āĻŦāĻžāĻšā§, āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻāĻŋ āĻ•āĻŋāĻŽāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ•āĻŋāĻŽ 190 - 20 = 170āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻ¨āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻŽā§‚ā§‡ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ†āĻŋ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ•ā§€ ā§‡āĻž āĻ¨āĻŦāĻžāĻāĻžāĻ¨ā§‡āĨ¤ āĻ†āĻŋ ā§‡āĻžā§āĻāĻ¨āĻ• ā§‡āĻžā§āĻāĻ¨āĻ• āĻĻā§āĻ‡ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŸā§āĻ•āĻŸāĻžāĻ• āĻ‰āĻĻāĻžāĻšāĻŋāĻŋāĨ¤ āĻ†āĻ•āĻž āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻšāĻ¨ā§‡āĻ“ āĻŦā§āĻ¨āĻāĻŋ, āĻāĻŋ āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŸā§ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻ ā§‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ-āĻ¸āĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨ā§‡āĻžāĻšā§‡āĻž āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦāĻž, āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž? āĻ†āĻĒāĻžā§‡ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ—āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻ•āĻˇ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ• – 4āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŋ 3āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻā§‡ āĻŦāĻžā§‡āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ, āĻ¯āĻžāĻ¨ā§‡ āĻ•āĻŽāĻĒāĻ¨āĻ•ā§āĻˇ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŋ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻĨāĻžāĻ¨āĻ• āĻ†āĻŋ āĻĻā§‡āĻŸāĻžāĻŋ āĻ¸āĻĻāĻ¸āĻ¯ āĻšā§Ÿ 4 āĻœā§‡? āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻšāĻŋ āĻ¨āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻ¨ā§‡āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻˇā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨āĻ• āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§Ÿ 1 1 3 2 2 2 3 3 1 1 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻšāĻ¨āĻŦ, 4 c1 × 3 c3 = 4 2 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ 4 c2 × 3 c2 =18, 3 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ 4 c3 × 3 c1 =12 ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻĻā§‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦ 4 + 12 + 18 = 34 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 23 āĻĒāĻ¯āĻžāĻ¸āĻ¨āĻ•āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ¤ā§āĻ°āĻ­ā§āĻœ āĻāĻŦāĻžāĻ‚ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŽā§ŸāĻžā§‡ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ•āĻĨāĻž āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ—āĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŽā§ŸāĻžāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ•āĻĨāĻž āĻ‰āĻ¨āĻ  āĻ†āĻ¨āĻ¸āĨ¤ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŽā§ŸāĻžā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻĻā§āĻ‡ āĻĒāĻĻ āĻ¯ā§āĻŋ āĻŋāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ•, āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ ax , by āĻāĻŋāĻ•āĻŽāĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻŋāĻžāĻŸ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ (x + y) 2 āĻāĻŋ āĻ¸ā§‚āĻ¤ā§āĻ° āĻ—ā§œ āĻ—ā§œ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡āĻžāĻŽāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻŦā§œ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻĨāĻžāĻ¨āĻ•, ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻŦ? āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ• āĻŦā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž, (x + y)100 āĻāĻŸāĻžāĻ¨āĻ• āĻ­āĻžāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ–āĻ¨ā§‡? āĻāĻ• āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ, āĻāĻ¨āĻ• āĻāĻ•āĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŦāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŦāĻ¨āĻ¸ āĻŦāĻ¨āĻ¸ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻŋāĻžāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ­ā§€āĻˇāĻŋ āĻāĻžāĻ¨āĻŽā§‡āĻžāĻŋ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĨ¤ āĻāĻŋ āĻ¨āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¸āĻšāĻœ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§ŸāĻ“ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ, āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ§āĻžāĻŋāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§ŸāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŸāĻžāĻ¨āĻ• āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĻ“ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ–āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ, (x + y) × (x + y) × (x + y) × â€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļ āĻāĻ–ā§‡ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻž, āĻ āĻ—ā§āĻŋā§‡āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻĒāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽāĻžāĻ¤ā§āĻ°āĻž āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 100 āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ (āĻ¨āĻ•ā§‡?) āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¸āĻŦāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ‰ā§ŽāĻĒāĻžāĻĻāĻ• āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ¨āĻ•āĻŦā§‡ x āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ—ā§āĻŋā§‡ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ xn . āĻāĻŦāĻžāĻŋ, āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰ā§ŽāĻĒāĻžāĻĻāĻ• āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• x āĻ¨ā§‡āĻ‡, āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• (100 - 1) = 99 āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• y āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻāĻ–ā§‡, 100 āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰ā§ŽāĻĒāĻžāĻĻāĻ• āĻšāĻ¨ā§‡ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ x āĻ¨ā§‡āĻŦāĻžāĻŋ āĻ‰ā§ŽāĻĒāĻžāĻĻāĻ• āĻ¨āĻ• 100 c1 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ—ā§āĻŋā§‡ā§‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ¨āĻŦ, 100 c1y100-1 x āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦāĻž? āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻĻā§āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻ¨ā§‡ x āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦāĻž āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• 98āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻ¨ā§‡ y āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ—ā§āĻŋā§‡ā§‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ¨āĻŦ, 100 c2y100-2 x2 . āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ—āĻžāĻ¨ā§‡ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻĒāĻžāĻ¨āĻŦāĻž, ( x + y)100 = x100 + n c1 x99 y + n c2 x98 y2 +â€Ļâ€Ļâ€Ļ.. + y100 (āĻ˜ā§āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ–ā§‡āĻžāĻŽ āĻ†āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•!) āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ 100 āĻāĻŋ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻžā§Ÿ n āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡āĻž ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ•ā§€ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžā§‡? ( x + y)n = xn + n c1 xn-1 y + n c2 xn-2 y2 +â€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļ+ yn āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻā§‡āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ¨āĻ•āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨ āĻ¨āĻ•āĻŦā§‡ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ• āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻŦāĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻŋ āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽ, āĻāĻ–ā§‡ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸ā§āĻ¨ā§āĻĻāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻŋāĻ•āĻŽ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž! āĻ āĻ•āĻžāĻŋāĻ¨āĻŋ āĻ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻŦā§‡āĻž āĻšā§Ÿ binomial coefficient āĻ†āĻŋ āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĻ“ āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž āĻšā§Ÿ, n cr = ( r n )
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 24 āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻĒāĻ¯āĻžāĻ¸āĻ¨āĻ•āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ¤ā§āĻ°āĻ­ā§āĻœ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ†ā§‡āĻžāĻĒ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŽā§ŸāĻžā§‡ āĻ¨āĻ•āĻž āĻāĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§ŸāĻ¨ā§āĻŸā§āĻŸāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻāĻŽā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻ–, (0 0) (1 0) (1 1) (2 0) (2 1) (2 2) (3 0) (3 1) (3 2) (3 3) āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ–āĻ¨ā§‡ āĻĨāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ•āĻŽā§‡ āĻšā§Ÿ? āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽāĻ¨ā§‡ āĻšā§Ÿ āĻ§āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻŋ ā§‡āĻž, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻāĻŸāĻžāĻ¨āĻ• āĻ¨āĻ­āĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•, 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 āĻŽā§āĻŦāĻ¤ā§āĻ°āĻ­ā§āĻœāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻžā§‡āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ–ā§āĻŦ āĻ¸āĻšāĻœ, āĻ¨āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒāĻ¨āĻĻāĻŋ ā§‡āĻžā§āĻāĻ¨āĻ•āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻš āĻ¨āĻ¯ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻ¨āĻŋ, āĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻ¨āĻŋāĻŋ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ—ā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻ¸āĻžāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻšāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§€ āĻ•āĻžāĻ¨āĻœ ā§‡āĻžāĻ¨āĻ—? āĻ†āĻŽāĻŋāĻž ( x + y) āĻāĻŋ āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻŦāĻžā§œāĻžāĻ¨ā§‡ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡ āĻāĻŋ āĻĒāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ¨āĻ¯ āĻ¸āĻšāĻ—āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡ āĻĨāĻžāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ– āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĨ¤ (x + y)0 = 1 (x + y)1 = 1 1 (x +y)2 = 1 2 1 (x + y)3 = 1 3 3 1 āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŽā§‡ā§‡? āĻ āĻŽā§āĻŦāĻ¤ā§āĻ°āĻ­ā§āĻœ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ‡āĻ¨āĻšā§āĻ› āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋāĻ¨āĻ• āĻ­āĻžā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, (x + y)6 āĻ¨āĻ• āĻ­āĻžā§‡āĻ¨ā§‡ āĻŦā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ•āĻžāĻœ āĻšāĻ¨āĻŦ, x āĻāĻŋ āĻ¸āĻ¨āĻŦāĻŽāĻžāĻšā§āĻš āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻ†āĻŋ y āĻāĻŋ āĻ¸āĻŦāĻŽāĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻ¨ āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻŋāĻžāĨ¤ āĻāĻŋāĻĒāĻŋ x āĻāĻŋ āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻāĻ• āĻāĻ• āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ•āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻŋ y āĻāĻŋ āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻāĻ• āĻāĻ• āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŦāĻžā§œāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ¸āĻŦ āĻ¨āĻ•āĻ¨āĻˇ āĻĒāĻ¯āĻžāĻ¸āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ¤ā§āĻ°āĻ­ā§āĻœ āĻšāĻ¨ā§‡ (6 +1) āĻŦāĻž 7 ā§‡āĻžāĻŋāĻžāĻŋ āĻ¸āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŋ āĻĒāĻĻā§āĻ—āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ• āĻāĻ• āĻĒāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĒāĻŋ āĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻā§ŸāĻžāĨ¤ āĻ†āĻ¨āĻ¸āĻž, āĻĒāĻ¯āĻžāĻ¸āĻ¨āĻ•āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ¤ā§āĻ°āĻ­ā§āĻœāĻŸāĻž āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ– āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡,
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 25 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ āĻĒāĻĻāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ• āĻ¸āĻšāĻ—āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŋ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• āĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻĒāĻžā§‡āĻžāĨ¤ x6 + 6x5 y + 15x 4 y2 + 20x3 y3 + 15x2 y4 + 6xy5 + y6 . āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻĒāĻ¯āĻžāĻ¸āĻ¨āĻ•leāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ¤ā§āĻ°āĻ­ā§āĻœ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŦāĻžāĻāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻšā§āĻ› ā§‡āĻž āĻ¨āĻ¯, (n r) + (n r+1) = (n+1 r+1) āĻ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻŦ āĻ¸āĻŽā§Ÿ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ āĻšāĻ¨āĻŦ, āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ¸āĻŸāĻž āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻšāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§œ āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡āĻžāĻŽāĨ¤ āĻ†āĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻšā§āĻ›āĻž, n āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ āĻ¯āĻ–ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨āĻœāĻžā§œ āĻšā§Ÿ ā§‡āĻ–ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻœāĻžā§œ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻ• āĻ¨āĻ•āĻž- āĻāĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§ŸāĻ¨ā§āĻŸā§āĻŸ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻšā§āĻ› āĻ†āĻŋ āĻāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ…āĻ¨āĻ§āĻŽāĻ• āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ…āĻ¨āĻ§āĻŽāĻ• āĻ¸āĻŽāĻžā§‡āĨ¤ āĻ†āĻŋ āĻ¨āĻœāĻžā§œ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨āĻ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒāĻĻ āĻ†āĻ¨āĻ¸ āĻ†āĻŋ ā§‡āĻžāĻŋ āĻĻā§āĻ‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ•āĻŋāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻŽāĻžā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻĨāĻžāĻ¨āĻ•āĨ¤ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ–ā§āĻŦ āĻ—ā§āĻ°ā§āĻ¤ā§āĻŦāĻĒā§‚āĻŋāĻŽ āĻ§āĻŽāĻŽ, āĻ¨āĻ–ā§ŸāĻžā§‡ āĻŋāĻžāĻ–āĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŽā§ŸāĻžā§‡ āĻ¨āĻ•āĻžāĻāĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§ŸāĻ¨ā§āĻŸā§āĻŸ āĻāĻŋ āĻ¸ā§āĻ¤ā§āĻ° āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡āĻžāĻŽ ā§‡āĻž, āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ¨āĻšāĻŋāĻž āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ“, āĻ āĻĒā§āĻ°āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨āĻšā§āĻ¨āĻŋ āĻ•āĻĨāĻž āĻŦā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ•, ⌈⌉⌊⌋ āĻ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨āĻšā§āĻ¨āĻŋ ā§‡āĻžāĻŽ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻĨāĻžāĻ•ā§āĻ°āĻ¨āĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻŽā§āĻŦā§‡āĻžāĻ‚ āĻāĻŦāĻžāĻ‚ āĻ¨āĻ˛āĻžāĻŋāĨ¤
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 26 āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻŽā§āĻŦā§‡āĻžāĻ‚ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŋ āĻĒāĻŋāĻŦā§‡āĻŽā§€ āĻĒā§‚āĻŋāĻŽ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž, āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ‡ āĻĒā§‚āĻŋāĻŽ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻšāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻŽā§āĻŦā§‡āĻžāĻ‚ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ‡āĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡, ⌈4.234⌉ = 5 āĻāĻŦāĻžāĻ‚ ⌈4 ⌉ = 4 ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§€? āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ˛āĻžāĻŋ, āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŋ āĻ¨āĻ˛āĻžāĻŋ āĻ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋ āĻĒā§‚āĻŋāĻŽ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž, āĻ†āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœ āĻĒā§‚āĻŋāĻŽ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ‡āĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡, ⌊4,123 ⌋ = 4. āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŽā§ŸāĻžā§‡ āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ• āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ°āĻ‡ āĻ–ā§āĻŦ āĻ•āĻžāĻ¨āĻœāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸, āĻāĻ•āĻŸā§ āĻĒāĻ¨āĻŋāĻ‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻŋ āĻŦāĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 27 āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ§ (āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻŽā§āĻŦā§œ āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻ–āĻž) āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ—āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ§āĻžā§‡ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž? āĻ—āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ–, āĻ¸ā§‚āĻ¤ā§āĻ° āĻŦāĻ¸āĻžāĻ‡, āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻž āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻŦāĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ¨āĻ•āĻˇ! (āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻ•ā§‡āĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨āĻŦāĻžā§Ÿ, āĻ‰āĻĻāĻžāĻ¸ āĻ¨āĻšāĻžāĻ¨āĻ– āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨āĻŋ ā§‡āĻžāĻ•āĻžā§Ÿ, ā§‡āĻžāĻŋāĻĒāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻ¸ā§āĻ¤ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ–āĻžā§‡āĻž āĻœāĻŽāĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻ¸!) āĻ¯āĻžāĻ‡ āĻ¨āĻšāĻžāĻ•, āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻ…āĻžāĻ‚āĻ• āĻ•āĻŋāĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻ—āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻŋāĻœāĻžāĻ˛ā§āĻŸ āĻ•ā§€ āĻšāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ…āĻ¨ā§āĻŽāĻžā§‡ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋ? āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ­āĻžāĻŦāĻŋ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻžāĻ‚āĻ• āĻ•āĻ¨āĻŋāĻ‡ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ ā§‡āĻž, āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ ā§‡āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ! āĻ¸āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¯ āĻŽā§āĻŦāĻ• ā§‡āĻžāĻ‡? āĻ†āĻ¨āĻ¸āĻž, āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ 1 āĻšāĻ¨ā§‡ āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ 30000 āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨āĻœāĻžā§œ āĻĒāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ—ā§‡ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž? āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ“ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ“, āĻāĻ•āĻŦāĻžāĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ— āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ¨āĻ–ā§ŸāĻžā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦ, āĻ–ā§āĻŦ āĻ­āĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ - 1 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¨āĻĻāĻ–āĻŋ? āĻ¨āĻ¯ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒāĻĻ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻšā§āĻ› ā§‡āĻžāĻŋ āĻŦāĻ—āĻŽ āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ—ā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸāĻžāĻ¨āĻŽāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻ¤ā§āĻ¤āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻ…āĻ¨ā§āĻŽāĻžā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ? āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽāĻžāĻ¤ā§āĻ° āĻšāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒāĻĻ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ•āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§ŸāĻ“ āĻ¨āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻļā§āĻšā§Ÿā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻ•? ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡ā§‡ā§ā§‡ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻĒā§œā§‡āĻžāĻŽāĨ¤ āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ ā§‡āĻž, āĻ–ā§āĻŦ āĻ¸āĻšāĻ¨āĻœ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž ā§‡āĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻ— āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ• āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•ā§€ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ? 1 + 3 + 5 + 7 + â€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļ.. + 2n - 1 = n2 āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ• āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ, n āĻāĻŋ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽāĻžā§‡ m āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ¨āĻšā§āĻ›, 1 + 3 + 5 + 7 + â€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļ + 2m - 1 = m2 āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž, m + 1 āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯āĻ“ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻāĻžāĻ¨āĻŽā§‡āĻž ā§‡āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ– āĻ†āĻ¨āĻ¸āĻžāĨ¤
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 28 āĻāĻ• āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻ¸āĻŽā§€āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻ‰āĻ­ā§Ÿ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• 2m + 1 āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ— āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ‡āĨ¤ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ n āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ m + 1 āĻšāĻ¨ā§‡ 2n - 1 āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ āĻšā§Ÿ 2m + 1. 1 + 3 + 5 + 7 +â€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļ.. + 2m + 1 = m2 + 2m + 1 = (m + 1)2 āĻ¯āĻžāĻ• āĻŦāĻžāĻŦāĻž, m + 1 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžāĻ¨ā§‡āĻ“ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ– āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻ—āĻ¨ā§‡āĻž! āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ–āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ m āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ ā§‡āĻž āĻ¨āĻ¯ āĻāĻ‡ āĻŽāĻžā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§‡āĨ¤ m = 5 āĻ§āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžā§Ÿ? 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 , ā§‡āĻž, āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšā§Ÿ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻŽā§āĻŦāĻŋ! āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, 5 āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž, 6 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡, āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻ¨āĻ—āĻ‡ āĻ¨āĻĻāĻ¨āĻ–āĻŽā§āĻŦāĻŋ m + 1 āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯āĻ“ āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ! 6 āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸ā§‡āĻ¯, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• 7 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŦāĻŽā§āĻŦā§‡ ā§‡āĻž m āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ āĻāĻ–ā§‡ 6 āĻ§āĻŋāĻŦ, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž 7 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžāĻ¨ā§‡āĻ“ āĻ–āĻžāĻŸāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻļā§āĻšā§ŸāĻ‡ āĻŦā§āĻ¨āĻ āĻ¨ā§‡āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻāĻ–ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻšāĻžāĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŋ! āĻāĻ‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻ• āĻāĻ• āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ m āĻāĻŋ āĻ¸āĻŦ āĻŽāĻžā§‡ āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ! ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ•ā§€ āĻ¨āĻĒā§‡āĻžāĻŽ? 5 āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¸āĻ•ā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ§āĻžāĻŋāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¨āĻŋāĻžāĻŸā§āĻŸ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻžāĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻšāĻžāĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻāĻ• āĻšāĻ¨ā§‡ āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻ¯ā§‡ āĻ§āĻžāĻŋāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšā§ŸāĨ¤ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ ā§‡āĻžāĨ¤ m āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ 1 āĻšāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸ā§‡āĻ¯? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•! āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ‡ āĻ¨āĻ—ā§‡, ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? āĻāĻ‡ āĻĒā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ ā§‡āĻžāĻŽ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻ—āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ• āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš āĻĒā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻŦāĻž induction. āĻļā§āĻ¨ā§‡ āĻ…āĻŦāĻžāĻ• āĻšāĻ¨āĻŦ āĻŦā§œ āĻŦā§œ āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻĻāĻŋāĻžāĻ“ āĻāĻ‡ āĻĒā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻŋāĻšāĻžāĻ¨āĻŽāĻ•āĻžāĻ‡ āĻŦāĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻ¸āĻšāĻ¨āĻœ āĻ…āĻ¨ā§āĻŽāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻāĻžā§āĻā§œ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨ā§‡ā§‡ā§‡āĻžāĻŽāĨ¤ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻšā§ŸāĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ–āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻļā§āĻŦāĻžāĻ¸ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻŋ ā§‡āĻž āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻ‡ āĻĒā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻā§‡ āĻ•āĻžāĻ¨āĻœ ā§‡āĻžāĻ¨āĻ—āĨ¤ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ• ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡āĨ¤ 1! < 21 2! < 22 3! < 23 4! > 24 5! >25 āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻĒāĻžāĻšā§āĻ›, āĻ¯āĻ–ā§‡ 3 āĻāĻŋ āĻ¨āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§œ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻšā§āĻ›, ā§‡āĻ–ā§‡ āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ āĻŦā§œ āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻšā§āĻ›, āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸āĻŦāĻ¸āĻŽā§ŸāĻ‡ āĻ–āĻžāĻŸāĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ, n! >2n āĻ¯āĻ–ā§‡ n āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ 3 āĻāĻŋ āĻ¨āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§œ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋ āĻŽāĻ¨ā§‡āĻž āĻ§āĻŽā§āĻŦāĻŋ n āĻāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽāĻžā§‡ m āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻˇā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡, m! >2m āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ, m + 1 āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯āĻ“ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻ• āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻ‰āĻ­ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻ• m+1 āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ‡āĨ¤
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 29 ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡, (m + 1)! > 2m x (m + 1) āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž, 2m+1 āĻ†āĻŋ 2m (m + 1) āĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻžā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦā§œ? āĻ¨āĻĻāĻ–, 2m+1 = 2m .2 2m (m + 1) > 2m .2 ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž, (m + 1)! > 2m+1 āĻšāĻ¨āĻŦ, ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? āĻāĻŦāĻžāĻŋ, āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ• āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž m āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻļā§āĻ°ā§ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻĒāĻžāĻšā§āĻ›, 4 āĻšāĻ¨ā§‡ āĻļā§āĻ°ā§ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯āĻ“ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ, ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŸā§ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¯āĻžāĻ• – āĻ§āĻŋ, ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻžāĻ—āĻ¨āĻœāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻŋ āĻ‡āĻ¨āĻšā§āĻ›āĻŽāĻ¨ā§‡āĻž āĻ•āĻ¨ā§ŸāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡āĻžāĻ‡ā§‡ āĻŸāĻžā§‡āĻ¨ā§‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ•āĻ¨ā§ŸāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻā§‡āĻžāĻ•āĻž āĻĒāĻžāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡ā§‡, āĻāĻ‡ āĻā§‡āĻžāĻ•āĻžāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ• āĻāĻŽā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŋāĻžāĻ‚ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ, āĻ¨āĻ¯ā§‡ āĻĒāĻžāĻ•āĻžāĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻā§‡āĻžāĻ•āĻžāĻŋ āĻŋāĻžāĻ‚ āĻāĻ•āĻ‡ ā§‡āĻž āĻšā§ŸāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻŦā§āĻāĻ¨āĻŋāĻž ā§‡āĻž? āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŦāĻŸāĻž āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ– – āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡, āĻĒāĻžāĻ•āĻžāĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻāĻ•āĻ‡ āĻŋāĻžāĻ‚ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻšā§āĻ›? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ ā§‡āĻž! āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŸāĻž āĻ¸āĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§āĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ āĻ¨āĻ¯ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦā§āĻāĻ¨āĻŦāĻž? āĻāĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨āĻ• P(n) āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻ• āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡āĻžāĻ‡ā§‡ āĻŸāĻžā§‡āĻ¨ā§‡ p(1), āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŸāĻžā§‡āĻ¨ā§‡ p(2) āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻ¨āĻŦ p(1) āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸ā§‡āĻ¯? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ p(n) āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻ†āĻŋ p(n) āĻāĻŋ āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŦāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻŽāĻ¨āĻŸāĻžāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ p(n + 1) āĻ¸ā§‡āĻ¯ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ¨āĻ•āĻ˛ā§āĻ˛āĻž ā§‡āĻ¨ā§‡! āĻāĻ–ā§‡ p(n + 1) āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻž ā§‡āĻžāĻ—āĻ¨āĻŦ? āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡āĻžāĻ‡ā§‡ āĻŸāĻžā§‡āĻž ā§‡āĻžāĻ—āĻ¨āĻŦ, ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž?
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 30 āĻ†āĻ¨āĻ¸āĻž āĻ¨āĻŸāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ• – āĻ¨āĻ•āĻžāĻĨāĻžāĻ“ āĻāĻ• āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻžā§Ÿ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻ†āĻ¨āĻŋ ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡? ā§‡ā§‡ā§ā§‡ ā§‡āĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻšāĻŋ āĻŋāĻžāĻ‚āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ• āĻ†āĻ¨āĻŋ, āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ ā§‡āĻžāĻ‡ā§‡āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻžāĨ¤ (āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻšāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻ•āĻŋāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ• āĻ†āĻ¨āĻŋ?) āĻāĻ• āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻ¨āĻŋāĻž, āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻŋāĻžāĻ‚āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ¨āĻ•āĻŦā§‡ āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻĻāĻžāĻ“āĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•, āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž? ā§‡āĻžāĻŋ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ n āĻāĻŋ āĻ¸āĻ•ā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯āĻ‡ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ!
āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 31 āĻ¸ā§āĻĒāĻžāĻŋāĻŽāĻ¯āĻžā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻā§‡āĻ•ā§āĻˇāĻŋ āĻ¨āĻ¯ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨ā§‡āĻžāĻšā§‡āĻž āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽ, ā§‡āĻž āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ• āĻ¸āĻŽā§Ÿ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ•āĻŋāĻ•āĻŋ āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž? āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ• āĻ¸āĻŽā§Ÿ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ p(n+1) āĻ¨āĻ¯ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻŽāĻžāĻĨāĻžāĻŋ āĻ˜āĻžāĻŽ āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻ¨ā§‡ āĻšā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻ–ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻžā§‡ā§€ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš āĻŦāĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻŋ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻāĻŸāĻžāĻ‡ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› strong induction (āĻ¸ā§āĻĒāĻžāĻŋāĻŽāĻ¯āĻžā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš)! āĻšā§‡ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻŦāĻžāĻŋāĻ“ p(n+1) āĻ¨āĻ¯ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦāĻž, āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ…āĻ¨ā§āĻ¯ āĻ•āĻžā§ŸāĻĻāĻžā§ŸāĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻ¨āĻ— āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŋ ā§‡āĻž āĻ¨āĻ¯ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ p(1) āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ•āĻ¨ā§ŸāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦāĻž āĻāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻāĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻĒāĻŋāĻ‡ āĻŦā§āĻāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ p(a), p(a+1), p(a+2), â€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļ, p(b) āĻ¸āĻŦ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ‡ āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ¨ā§‡āĻž āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ p(n+1) āĻ“ āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋ āĻŽāĻ¨ā§‡āĻž ā§‡āĻž āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ…āĻ¨ā§āĻ¯āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ§āĻŋāĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤ āĻ§āĻŋāĻ¨āĻŦāĻž, p(i) āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ i āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› b āĻšāĻ¨ā§‡ n āĻāĻŋ āĻŽāĻ§āĻ¯āĻŦā§‡āĻŽā§€ āĻ¨āĻ•āĻžā§‡ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻļā§āĻ§ā§ āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋ āĻŽāĻ¨ā§‡āĻž āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻ¨āĻŦāĻž p(n+1) āĻ“ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽāĻžā§‡! āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ n āĻāĻŋ āĻ¸āĻ•ā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻ‡ āĻŦāĻŋāĻŦāĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ (āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĻž āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻ¨āĻ— āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ¨āĻ¯, p(n) āĻāĻŦāĻžāĻ‚ p(n+1) āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻ•ā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ)āĨ¤ āĻ¯āĻž āĻ¨āĻšāĻžāĻ•, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ•āĻĨāĻžāĻŋ āĻ†āĻ—āĻž āĻŽāĻžāĻĨāĻž āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§āĻ‡ ā§‡āĻž āĻ¨āĻŦāĻžāĻ¨āĻāĻž āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻ¨ā§‡āĻ‡āĨ¤ āĻ¨āĻĻāĻŋā§€ ā§‡āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĻāĻžāĻšāĻŋāĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ¨āĻ– āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĨ¤ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ¯, 1 āĻāĻŋ āĻ¨āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§œ āĻ¨āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻ•āĻŽāĻĒāĻ¨āĻ•ā§āĻˇ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒā§āĻ°āĻžāĻ‡āĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ­āĻžāĻœāĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĻ‡āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ, āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž n āĻĒā§āĻ°āĻžāĻ‡āĻŽ āĻŋāĻžāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ­āĻžāĻœāĻ¯ āĻāĻ‡ āĻ•āĻĨāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› p(n)āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ, n āĻāĻŋ āĻ¸āĻ•ā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ p(n) āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻ–āĻžā§‡āĻž āĻ•ā§‡āĻŽ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻŦāĻ¨āĻ¸ āĻĒāĻ¨ā§œāĻŋāĨ¤ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻ¨āĻŽ p(2) āĻ¨āĻĻāĻ–āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻāĻŋāĻĒāĻŋ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦ P(n) āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻ†āĻŋ ā§‡āĻžāĻŋāĻĒāĻŋ p(n+1) āĻ¨āĻ¯ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ¨āĻšāĻŋāĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ– āĻ¨ā§‡āĻž āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻ•ā§‡āĻž! āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻŋ āĻŽāĻ¨āĻ§āĻ¯ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĨ¤
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)
Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)

Recommended

Jokes In Bengali 2020 - āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻŽāĻœāĻžāĻ° āĻœā§‹āĻ•āĻ¸
Jokes In Bengali 2020 - āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻŽāĻœāĻžāĻ° āĻœā§‹āĻ•āĻ¸Jokes In Bengali 2020 - āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻŽāĻœāĻžāĻ° āĻœā§‹āĻ•āĻ¸
Jokes In Bengali 2020 - āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻŽāĻœāĻžāĻ° āĻœā§‹āĻ•āĻ¸Prosanta Mondal
 
Who Am I? (In Manipuri)
Who Am I? (In Manipuri)Who Am I? (In Manipuri)
Who Am I? (In Manipuri)Dada Bhagwan
 
Programming book sample
Programming book sampleProgramming book sample
Programming book sampleshazzad71
 
Bangla quotes of humayun ahmed
Bangla quotes of humayun ahmedBangla quotes of humayun ahmed
Bangla quotes of humayun ahmedeBook.com.bd (āĻĒā§āĻ°āĻ¯āĻŧā§‹āĻœāĻ¨ā§€āĻ¯āĻŧ āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻŦāĻ‡)
 
Paglamama by rashedul islam e book version
Paglamama by rashedul islam e book versionPaglamama by rashedul islam e book version
Paglamama by rashedul islam e book versiontanbirebooks
 
Avoid Clashes (In Manipuri)
Avoid Clashes (In Manipuri)Avoid Clashes (In Manipuri)
Avoid Clashes (In Manipuri)Dada Bhagwan
 
My book Translation from English to Bengali language for Dr
My book Translation from English to Bengali language for DrMy book Translation from English to Bengali language for Dr
My book Translation from English to Bengali language for DrAnanda Majumdar
 
Sculptures in bangladesh by tanbircox
Sculptures in bangladesh by tanbircoxSculptures in bangladesh by tanbircox
Sculptures in bangladesh by tanbircoxeBook.com.bd (āĻĒā§āĻ°āĻ¯āĻŧā§‹āĻœāĻ¨ā§€āĻ¯āĻŧ āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻŦāĻ‡)
 

Recommended

Jokes In Bengali 2020 - āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻŽāĻœāĻžāĻ° āĻœā§‹āĻ•āĻ¸
Jokes In Bengali 2020 - āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻŽāĻœāĻžāĻ° āĻœā§‹āĻ•āĻ¸Jokes In Bengali 2020 - āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻŽāĻœāĻžāĻ° āĻœā§‹āĻ•āĻ¸
Jokes In Bengali 2020 - āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻŽāĻœāĻžāĻ° āĻœā§‹āĻ•āĻ¸Prosanta Mondal
 
Who Am I? (In Manipuri)
Who Am I? (In Manipuri)Who Am I? (In Manipuri)
Who Am I? (In Manipuri)Dada Bhagwan
 
Programming book sample
Programming book sampleProgramming book sample
Programming book sampleshazzad71
 
Bangla quotes of humayun ahmed
Bangla quotes of humayun ahmedBangla quotes of humayun ahmed
Bangla quotes of humayun ahmedeBook.com.bd (āĻĒā§āĻ°āĻ¯āĻŧā§‹āĻœāĻ¨ā§€āĻ¯āĻŧ āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻŦāĻ‡)
 
Paglamama by rashedul islam e book version
Paglamama by rashedul islam e book versionPaglamama by rashedul islam e book version
Paglamama by rashedul islam e book versiontanbirebooks
 
Avoid Clashes (In Manipuri)
Avoid Clashes (In Manipuri)Avoid Clashes (In Manipuri)
Avoid Clashes (In Manipuri)Dada Bhagwan
 
My book Translation from English to Bengali language for Dr
My book Translation from English to Bengali language for DrMy book Translation from English to Bengali language for Dr
My book Translation from English to Bengali language for DrAnanda Majumdar
 
Sculptures in bangladesh by tanbircox
Sculptures in bangladesh by tanbircoxSculptures in bangladesh by tanbircox
Sculptures in bangladesh by tanbircoxeBook.com.bd (āĻĒā§āĻ°āĻ¯āĻŧā§‹āĻœāĻ¨ā§€āĻ¯āĻŧ āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻŦāĻ‡)
 
Publication
PublicationPublication
PublicationSdgs Seventeendreams
 
Duschintahin notun jibon dale carnegie final
Duschintahin notun jibon dale carnegie finalDuschintahin notun jibon dale carnegie final
Duschintahin notun jibon dale carnegie finaleBook.com.bd (āĻĒā§āĻ°āĻ¯āĻŧā§‹āĻœāĻ¨ā§€āĻ¯āĻŧ āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻŦāĻ‡)
 
āĻšāĻŋāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‹āĻ āĻžāĻ° ā§Šā§Ÿ āĻ¸āĻ‚āĻ–ā§āĻ¯āĻž āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻļāĻ¨āĻž
āĻšāĻŋāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‹āĻ āĻžāĻ° ā§Šā§Ÿ āĻ¸āĻ‚āĻ–ā§āĻ¯āĻž āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻļāĻ¨āĻžāĻšāĻŋāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‹āĻ āĻžāĻ° ā§Šā§Ÿ āĻ¸āĻ‚āĻ–ā§āĻ¯āĻž āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻļāĻ¨āĻž
āĻšāĻŋāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‹āĻ āĻžāĻ° ā§Šā§Ÿ āĻ¸āĻ‚āĻ–ā§āĻ¯āĻž āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻļāĻ¨āĻžMd Khaza Main Uddin
 
āĻŽāĻžāĻ¨āĻ¨ā§€ā§Ÿ āĻĒā§āĻ°āĻ§āĻžāĻŖāĻŽāĻ¨ā§āĻ¤ā§āĻ°ā§€, āĻ†āĻĒāĻ¨āĻžāĻ•ā§‡ āĻŦāĻ˛āĻ›āĻŋ
āĻŽāĻžāĻ¨āĻ¨ā§€ā§Ÿ āĻĒā§āĻ°āĻ§āĻžāĻŖāĻŽāĻ¨ā§āĻ¤ā§āĻ°ā§€, āĻ†āĻĒāĻ¨āĻžāĻ•ā§‡ āĻŦāĻ˛āĻ›āĻŋāĻŽāĻžāĻ¨āĻ¨ā§€ā§Ÿ āĻĒā§āĻ°āĻ§āĻžāĻŖāĻŽāĻ¨ā§āĻ¤ā§āĻ°ā§€, āĻ†āĻĒāĻ¨āĻžāĻ•ā§‡ āĻŦāĻ˛āĻ›āĻŋ
āĻŽāĻžāĻ¨āĻ¨ā§€ā§Ÿ āĻĒā§āĻ°āĻ§āĻžāĻŖāĻŽāĻ¨ā§āĻ¤ā§āĻ°ā§€, āĻ†āĻĒāĻ¨āĻžāĻ•ā§‡ āĻŦāĻ˛āĻ›āĻŋAdwitKantiRouth
 
700 best bengali jokes vol 2
700 best bengali jokes vol 2700 best bengali jokes vol 2
700 best bengali jokes vol 2eBook.com.bd (āĻĒā§āĻ°āĻ¯āĻŧā§‹āĻœāĻ¨ā§€āĻ¯āĻŧ āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻŦāĻ‡)
 
Tahsan bangla-song-lyrics
Tahsan bangla-song-lyricsTahsan bangla-song-lyrics
Tahsan bangla-song-lyricsfoyezcse
 
Simple & Effective Science For Self Realization (In Manipuri)
Simple & Effective Science For Self Realization (In Manipuri)Simple & Effective Science For Self Realization (In Manipuri)
Simple & Effective Science For Self Realization (In Manipuri)Dada Bhagwan
 
Easy bangla banan technique
Easy bangla banan techniqueEasy bangla banan technique
Easy bangla banan techniqueeBook.com.bd (āĻĒā§āĻ°āĻ¯āĻŧā§‹āĻœāĻ¨ā§€āĻ¯āĻŧ āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻŦāĻ‡)
 
Gopal bhar er 170 hasir galpo
Gopal bhar er 170 hasir galpoGopal bhar er 170 hasir galpo
Gopal bhar er 170 hasir galpoeBook.com.bd (āĻĒā§āĻ°āĻ¯āĻŧā§‹āĻœāĻ¨ā§€āĻ¯āĻŧ āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻŦāĻ‡)
 
3000 pieces of life changing advice in bangla
3000 pieces of life changing advice in bangla3000 pieces of life changing advice in bangla
3000 pieces of life changing advice in banglaeBook.com.bd (āĻĒā§āĻ°āĻ¯āĻŧā§‹āĻœāĻ¨ā§€āĻ¯āĻŧ āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻŦāĻ‡)
 
Don Sumdany - Positive, Motivational and Life Hack Quotes
Don Sumdany - Positive, Motivational and Life Hack QuotesDon Sumdany - Positive, Motivational and Life Hack Quotes
Don Sumdany - Positive, Motivational and Life Hack QuotesDon Sumdany
 
Who is the Doer ? (In Bengali)
Who is the Doer ? (In Bengali)Who is the Doer ? (In Bengali)
Who is the Doer ? (In Bengali)Dada Bhagwan
 
တပငယတိုငယကႀကိá€ŗး
တပငယတိုငယကႀကိá€ŗးတပငယတိုငယကႀကိá€ŗး
တပငယတိုငယကႀကိá€ŗးbabycandy007
 
" āĻ˜āĻ°ā§‡ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ°ā§‡ " āĻ‰āĻĒāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ - āĻ°āĻŦā§€āĻ¨ā§āĻĻā§āĻ°āĻ¨āĻžāĻĨ āĻ āĻžāĻ•ā§āĻ°
" āĻ˜āĻ°ā§‡ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ°ā§‡ " āĻ‰āĻĒāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ - āĻ°āĻŦā§€āĻ¨ā§āĻĻā§āĻ°āĻ¨āĻžāĻĨ āĻ āĻžāĻ•ā§āĻ° " āĻ˜āĻ°ā§‡ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ°ā§‡ " āĻ‰āĻĒāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ - āĻ°āĻŦā§€āĻ¨ā§āĻĻā§āĻ°āĻ¨āĻžāĻĨ āĻ āĻžāĻ•ā§āĻ°
" āĻ˜āĻ°ā§‡ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ°ā§‡ " āĻ‰āĻĒāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ - āĻ°āĻŦā§€āĻ¨ā§āĻĻā§āĻ°āĻ¨āĻžāĻĨ āĻ āĻžāĻ•ā§āĻ° āĻŦāĻžāĻ‚āĻ˛āĻž āĻ‡-āĻŦā§āĻ•,āĻŽāĻŋāĻ āĻžāĻĒā§āĻ•ā§āĻ°,āĻ¨āĻŦāĻžāĻŦāĻ—āĻžā§āĻœ,āĻĻāĻŋāĻ¨āĻžāĻœāĻĒā§āĻ°āĨ¤ āĻŽā§‹āĻŦāĻžāĻ‡āĻ˛-ā§Ļā§§ā§­ā§Šā§­ā§Šā§­ā§Šā§­ā§Ēā§­
 
Autobiograpy Of Gnani Purush A.M.Patel (In Bengali)
Autobiograpy Of Gnani Purush A.M.Patel (In Bengali)Autobiograpy Of Gnani Purush A.M.Patel (In Bengali)
Autobiograpy Of Gnani Purush A.M.Patel (In Bengali)Dada Bhagwan
 
Review of āĻ‰āĻĻā§āĻ¯ā§‹āĻ•ā§āĻ¤āĻžāĻ° āĻ… āĻ†, āĻ• āĻ–
Review of āĻ‰āĻĻā§āĻ¯ā§‹āĻ•ā§āĻ¤āĻžāĻ° āĻ… āĻ†, āĻ• āĻ–Review of āĻ‰āĻĻā§āĻ¯ā§‹āĻ•ā§āĻ¤āĻžāĻ° āĻ… āĻ†, āĻ• āĻ–
Review of āĻ‰āĻĻā§āĻ¯ā§‹āĻ•ā§āĻ¤āĻžāĻ° āĻ… āĻ†, āĻ• āĻ–Shahin's Help Line
 
āĻĒāĻŖā§āĻ¯ āĻŦāĻžāĻœāĻžāĻ°āĻœāĻžāĻ¤āĻ•āĻ°āĻ¨
āĻĒāĻŖā§āĻ¯ āĻŦāĻžāĻœāĻžāĻ°āĻœāĻžāĻ¤āĻ•āĻ°āĻ¨āĻĒāĻŖā§āĻ¯ āĻŦāĻžāĻœāĻžāĻ°āĻœāĻžāĻ¤āĻ•āĻ°āĻ¨
āĻĒāĻŖā§āĻ¯ āĻŦāĻžāĻœāĻžāĻ°āĻœāĻžāĻ¤āĻ•āĻ°āĻ¨Shahin's Help Line
 
” āĻŽāĻž āĻ“ āĻŽāĻžāĻ¤ā§ƒāĻ­āĻžāĻˇāĻž “
” āĻŽāĻž āĻ“ āĻŽāĻžāĻ¤ā§ƒāĻ­āĻžāĻˇāĻž “” āĻŽāĻž āĻ“ āĻŽāĻžāĻ¤ā§ƒāĻ­āĻžāĻˇāĻž “
” āĻŽāĻž āĻ“ āĻŽāĻžāĻ¤ā§ƒāĻ­āĻžāĻˇāĻž “SN Chakraborty
 
āĻ¸āĻ¤ā§āĻ¯āĻœāĻŋā§Ž āĻ°āĻžāĻ¯āĻŧ āĻ—ā§‹ā§Ÿā§‡āĻ¨ā§āĻĻāĻž āĻ—āĻ˛ā§āĻĒ āĻœāĻžāĻšāĻžāĻ™ā§āĻ—ā§€āĻ°ā§‡āĻ° āĻ¸ā§āĻŦāĻ°ā§āĻŖāĻŽā§āĻĻā§āĻ°āĻž
āĻ¸āĻ¤ā§āĻ¯āĻœāĻŋā§Ž āĻ°āĻžāĻ¯āĻŧ āĻ—ā§‹ā§Ÿā§‡āĻ¨ā§āĻĻāĻž āĻ—āĻ˛ā§āĻĒ āĻœāĻžāĻšāĻžāĻ™ā§āĻ—ā§€āĻ°ā§‡āĻ° āĻ¸ā§āĻŦāĻ°ā§āĻŖāĻŽā§āĻĻā§āĻ°āĻžāĻ¸āĻ¤ā§āĻ¯āĻœāĻŋā§Ž āĻ°āĻžāĻ¯āĻŧ āĻ—ā§‹ā§Ÿā§‡āĻ¨ā§āĻĻāĻž āĻ—āĻ˛ā§āĻĒ āĻœāĻžāĻšāĻžāĻ™ā§āĻ—ā§€āĻ°ā§‡āĻ° āĻ¸ā§āĻŦāĻ°ā§āĻŖāĻŽā§āĻĻā§āĻ°āĻž
āĻ¸āĻ¤ā§āĻ¯āĻœāĻŋā§Ž āĻ°āĻžāĻ¯āĻŧ āĻ—ā§‹ā§Ÿā§‡āĻ¨ā§āĻĻāĻž āĻ—āĻ˛ā§āĻĒ āĻœāĻžāĻšāĻžāĻ™ā§āĻ—ā§€āĻ°ā§‡āĻ° āĻ¸ā§āĻŦāĻ°ā§āĻŖāĻŽā§āĻĻā§āĻ°āĻžSOHELRANA775647
 
Quiz -15-03-2023.pdf
Quiz -15-03-2023.pdfQuiz -15-03-2023.pdf
Quiz -15-03-2023.pdfSanjib Ghosh
 
āĻ¸ā§‡ āĻ•āĻŋ āĻ†āĻŽāĻžāĻ•ā§‡ āĻ­āĻžāĻ˛ā§‹āĻŦāĻžāĻ¸ā§‡â€™ āĻŦā§āĻā§‡ āĻ¨āĻŋāĻ¨ ā§­āĻŸāĻŋ āĻ˛āĻ•ā§āĻˇāĻŖā§‡
āĻ¸ā§‡ āĻ•āĻŋ āĻ†āĻŽāĻžāĻ•ā§‡ āĻ­āĻžāĻ˛ā§‹āĻŦāĻžāĻ¸ā§‡â€™ āĻŦā§āĻā§‡ āĻ¨āĻŋāĻ¨ ā§­āĻŸāĻŋ āĻ˛āĻ•ā§āĻˇāĻŖā§‡āĻ¸ā§‡ āĻ•āĻŋ āĻ†āĻŽāĻžāĻ•ā§‡ āĻ­āĻžāĻ˛ā§‹āĻŦāĻžāĻ¸ā§‡â€™ āĻŦā§āĻā§‡ āĻ¨āĻŋāĻ¨ ā§­āĻŸāĻŋ āĻ˛āĻ•ā§āĻˇāĻŖā§‡
āĻ¸ā§‡ āĻ•āĻŋ āĻ†āĻŽāĻžāĻ•ā§‡ āĻ­āĻžāĻ˛ā§‹āĻŦāĻžāĻ¸ā§‡â€™ āĻŦā§āĻā§‡ āĻ¨āĻŋāĻ¨ ā§­āĻŸāĻŋ āĻ˛āĻ•ā§āĻˇāĻŖā§‡Beauty World
 
Valo hobe february leaflet
Valo hobe february leafletValo hobe february leaflet
Valo hobe february leafletRajshahi University Of Engineering & Technology
 

More Related Content

What's hot

āĻšāĻŋāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‹āĻ āĻžāĻ° ā§Šā§Ÿ āĻ¸āĻ‚āĻ–ā§āĻ¯āĻž āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻļāĻ¨āĻž
āĻšāĻŋāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‹āĻ āĻžāĻ° ā§Šā§Ÿ āĻ¸āĻ‚āĻ–ā§āĻ¯āĻž āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻļāĻ¨āĻžāĻšāĻŋāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‹āĻ āĻžāĻ° ā§Šā§Ÿ āĻ¸āĻ‚āĻ–ā§āĻ¯āĻž āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻļāĻ¨āĻž
āĻšāĻŋāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‹āĻ āĻžāĻ° ā§Šā§Ÿ āĻ¸āĻ‚āĻ–ā§āĻ¯āĻž āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻļāĻ¨āĻžMd Khaza Main Uddin
 
āĻŽāĻžāĻ¨āĻ¨ā§€ā§Ÿ āĻĒā§āĻ°āĻ§āĻžāĻŖāĻŽāĻ¨ā§āĻ¤ā§āĻ°ā§€, āĻ†āĻĒāĻ¨āĻžāĻ•ā§‡ āĻŦāĻ˛āĻ›āĻŋ
āĻŽāĻžāĻ¨āĻ¨ā§€ā§Ÿ āĻĒā§āĻ°āĻ§āĻžāĻŖāĻŽāĻ¨ā§āĻ¤ā§āĻ°ā§€, āĻ†āĻĒāĻ¨āĻžāĻ•ā§‡ āĻŦāĻ˛āĻ›āĻŋāĻŽāĻžāĻ¨āĻ¨ā§€ā§Ÿ āĻĒā§āĻ°āĻ§āĻžāĻŖāĻŽāĻ¨ā§āĻ¤ā§āĻ°ā§€, āĻ†āĻĒāĻ¨āĻžāĻ•ā§‡ āĻŦāĻ˛āĻ›āĻŋ
āĻŽāĻžāĻ¨āĻ¨ā§€ā§Ÿ āĻĒā§āĻ°āĻ§āĻžāĻŖāĻŽāĻ¨ā§āĻ¤ā§āĻ°ā§€, āĻ†āĻĒāĻ¨āĻžāĻ•ā§‡ āĻŦāĻ˛āĻ›āĻŋAdwitKantiRouth
 
Tahsan bangla-song-lyrics
Tahsan bangla-song-lyricsTahsan bangla-song-lyrics
Tahsan bangla-song-lyricsfoyezcse
 
Simple & Effective Science For Self Realization (In Manipuri)
Simple & Effective Science For Self Realization (In Manipuri)Simple & Effective Science For Self Realization (In Manipuri)
Simple & Effective Science For Self Realization (In Manipuri)Dada Bhagwan
 
Don Sumdany - Positive, Motivational and Life Hack Quotes
Don Sumdany - Positive, Motivational and Life Hack QuotesDon Sumdany - Positive, Motivational and Life Hack Quotes
Don Sumdany - Positive, Motivational and Life Hack QuotesDon Sumdany
 
Who is the Doer ? (In Bengali)
Who is the Doer ? (In Bengali)Who is the Doer ? (In Bengali)
Who is the Doer ? (In Bengali)Dada Bhagwan
 
တပငယတိုငယကႀကိá€ŗး
တပငယတိုငယကႀကိá€ŗးတပငယတိုငယကႀကိá€ŗး
တပငယတိုငယကႀကိá€ŗးbabycandy007
 
Autobiograpy Of Gnani Purush A.M.Patel (In Bengali)
Autobiograpy Of Gnani Purush A.M.Patel (In Bengali)Autobiograpy Of Gnani Purush A.M.Patel (In Bengali)
Autobiograpy Of Gnani Purush A.M.Patel (In Bengali)Dada Bhagwan
 
Review of āĻ‰āĻĻā§āĻ¯ā§‹āĻ•ā§āĻ¤āĻžāĻ° āĻ… āĻ†, āĻ• āĻ–
Review of āĻ‰āĻĻā§āĻ¯ā§‹āĻ•ā§āĻ¤āĻžāĻ° āĻ… āĻ†, āĻ• āĻ–Review of āĻ‰āĻĻā§āĻ¯ā§‹āĻ•ā§āĻ¤āĻžāĻ° āĻ… āĻ†, āĻ• āĻ–
Review of āĻ‰āĻĻā§āĻ¯ā§‹āĻ•ā§āĻ¤āĻžāĻ° āĻ… āĻ†, āĻ• āĻ–Shahin's Help Line
 
āĻĒāĻŖā§āĻ¯ āĻŦāĻžāĻœāĻžāĻ°āĻœāĻžāĻ¤āĻ•āĻ°āĻ¨
āĻĒāĻŖā§āĻ¯ āĻŦāĻžāĻœāĻžāĻ°āĻœāĻžāĻ¤āĻ•āĻ°āĻ¨āĻĒāĻŖā§āĻ¯ āĻŦāĻžāĻœāĻžāĻ°āĻœāĻžāĻ¤āĻ•āĻ°āĻ¨
āĻĒāĻŖā§āĻ¯ āĻŦāĻžāĻœāĻžāĻ°āĻœāĻžāĻ¤āĻ•āĻ°āĻ¨Shahin's Help Line
 
” āĻŽāĻž āĻ“ āĻŽāĻžāĻ¤ā§ƒāĻ­āĻžāĻˇāĻž “
” āĻŽāĻž āĻ“ āĻŽāĻžāĻ¤ā§ƒāĻ­āĻžāĻˇāĻž “” āĻŽāĻž āĻ“ āĻŽāĻžāĻ¤ā§ƒāĻ­āĻžāĻˇāĻž “
” āĻŽāĻž āĻ“ āĻŽāĻžāĻ¤ā§ƒāĻ­āĻžāĻˇāĻž “SN Chakraborty
 
āĻ¸āĻ¤ā§āĻ¯āĻœāĻŋā§Ž āĻ°āĻžāĻ¯āĻŧ āĻ—ā§‹ā§Ÿā§‡āĻ¨ā§āĻĻāĻž āĻ—āĻ˛ā§āĻĒ āĻœāĻžāĻšāĻžāĻ™ā§āĻ—ā§€āĻ°ā§‡āĻ° āĻ¸ā§āĻŦāĻ°ā§āĻŖāĻŽā§āĻĻā§āĻ°āĻž
āĻ¸āĻ¤ā§āĻ¯āĻœāĻŋā§Ž āĻ°āĻžāĻ¯āĻŧ āĻ—ā§‹ā§Ÿā§‡āĻ¨ā§āĻĻāĻž āĻ—āĻ˛ā§āĻĒ āĻœāĻžāĻšāĻžāĻ™ā§āĻ—ā§€āĻ°ā§‡āĻ° āĻ¸ā§āĻŦāĻ°ā§āĻŖāĻŽā§āĻĻā§āĻ°āĻžāĻ¸āĻ¤ā§āĻ¯āĻœāĻŋā§Ž āĻ°āĻžāĻ¯āĻŧ āĻ—ā§‹ā§Ÿā§‡āĻ¨ā§āĻĻāĻž āĻ—āĻ˛ā§āĻĒ āĻœāĻžāĻšāĻžāĻ™ā§āĻ—ā§€āĻ°ā§‡āĻ° āĻ¸ā§āĻŦāĻ°ā§āĻŖāĻŽā§āĻĻā§āĻ°āĻž
āĻ¸āĻ¤ā§āĻ¯āĻœāĻŋā§Ž āĻ°āĻžāĻ¯āĻŧ āĻ—ā§‹ā§Ÿā§‡āĻ¨ā§āĻĻāĻž āĻ—āĻ˛ā§āĻĒ āĻœāĻžāĻšāĻžāĻ™ā§āĻ—ā§€āĻ°ā§‡āĻ° āĻ¸ā§āĻŦāĻ°ā§āĻŖāĻŽā§āĻĻā§āĻ°āĻžSOHELRANA775647
 

What's hot (19)

Publication
PublicationPublication
Publication
 
Duschintahin notun jibon dale carnegie final
Duschintahin notun jibon dale carnegie finalDuschintahin notun jibon dale carnegie final
Duschintahin notun jibon dale carnegie final
 
āĻšāĻŋāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‹āĻ āĻžāĻ° ā§Šā§Ÿ āĻ¸āĻ‚āĻ–ā§āĻ¯āĻž āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻļāĻ¨āĻž
āĻšāĻŋāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‹āĻ āĻžāĻ° ā§Šā§Ÿ āĻ¸āĻ‚āĻ–ā§āĻ¯āĻž āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻļāĻ¨āĻžāĻšāĻŋāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‹āĻ āĻžāĻ° ā§Šā§Ÿ āĻ¸āĻ‚āĻ–ā§āĻ¯āĻž āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻļāĻ¨āĻž
āĻšāĻŋāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‹āĻ āĻžāĻ° ā§Šā§Ÿ āĻ¸āĻ‚āĻ–ā§āĻ¯āĻž āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻļāĻ¨āĻž
 
āĻŽāĻžāĻ¨āĻ¨ā§€ā§Ÿ āĻĒā§āĻ°āĻ§āĻžāĻŖāĻŽāĻ¨ā§āĻ¤ā§āĻ°ā§€, āĻ†āĻĒāĻ¨āĻžāĻ•ā§‡ āĻŦāĻ˛āĻ›āĻŋ
āĻŽāĻžāĻ¨āĻ¨ā§€ā§Ÿ āĻĒā§āĻ°āĻ§āĻžāĻŖāĻŽāĻ¨ā§āĻ¤ā§āĻ°ā§€, āĻ†āĻĒāĻ¨āĻžāĻ•ā§‡ āĻŦāĻ˛āĻ›āĻŋāĻŽāĻžāĻ¨āĻ¨ā§€ā§Ÿ āĻĒā§āĻ°āĻ§āĻžāĻŖāĻŽāĻ¨ā§āĻ¤ā§āĻ°ā§€, āĻ†āĻĒāĻ¨āĻžāĻ•ā§‡ āĻŦāĻ˛āĻ›āĻŋ
āĻŽāĻžāĻ¨āĻ¨ā§€ā§Ÿ āĻĒā§āĻ°āĻ§āĻžāĻŖāĻŽāĻ¨ā§āĻ¤ā§āĻ°ā§€, āĻ†āĻĒāĻ¨āĻžāĻ•ā§‡ āĻŦāĻ˛āĻ›āĻŋ
 
700 best bengali jokes vol 2
700 best bengali jokes vol 2700 best bengali jokes vol 2
700 best bengali jokes vol 2
 
Tahsan bangla-song-lyrics
Tahsan bangla-song-lyricsTahsan bangla-song-lyrics
Tahsan bangla-song-lyrics
 
Simple & Effective Science For Self Realization (In Manipuri)
Simple & Effective Science For Self Realization (In Manipuri)Simple & Effective Science For Self Realization (In Manipuri)
Simple & Effective Science For Self Realization (In Manipuri)
 
Easy bangla banan technique
Easy bangla banan techniqueEasy bangla banan technique
Easy bangla banan technique
 
Gopal bhar er 170 hasir galpo
Gopal bhar er 170 hasir galpoGopal bhar er 170 hasir galpo
Gopal bhar er 170 hasir galpo
 
3000 pieces of life changing advice in bangla
3000 pieces of life changing advice in bangla3000 pieces of life changing advice in bangla
3000 pieces of life changing advice in bangla
 
Don Sumdany - Positive, Motivational and Life Hack Quotes
Don Sumdany - Positive, Motivational and Life Hack QuotesDon Sumdany - Positive, Motivational and Life Hack Quotes
Don Sumdany - Positive, Motivational and Life Hack Quotes
 
Who is the Doer ? (In Bengali)
Who is the Doer ? (In Bengali)Who is the Doer ? (In Bengali)
Who is the Doer ? (In Bengali)
 
တပငယတိုငယကႀကိá€ŗး
တပငယတိုငယကႀကိá€ŗးတပငယတိုငယကႀကိá€ŗး
တပငယတိုငယကႀကိá€ŗး
 
" āĻ˜āĻ°ā§‡ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ°ā§‡ " āĻ‰āĻĒāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ - āĻ°āĻŦā§€āĻ¨ā§āĻĻā§āĻ°āĻ¨āĻžāĻĨ āĻ āĻžāĻ•ā§āĻ°
" āĻ˜āĻ°ā§‡ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ°ā§‡ " āĻ‰āĻĒāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ - āĻ°āĻŦā§€āĻ¨ā§āĻĻā§āĻ°āĻ¨āĻžāĻĨ āĻ āĻžāĻ•ā§āĻ° " āĻ˜āĻ°ā§‡ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ°ā§‡ " āĻ‰āĻĒāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ - āĻ°āĻŦā§€āĻ¨ā§āĻĻā§āĻ°āĻ¨āĻžāĻĨ āĻ āĻžāĻ•ā§āĻ°
" āĻ˜āĻ°ā§‡ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ°ā§‡ " āĻ‰āĻĒāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ - āĻ°āĻŦā§€āĻ¨ā§āĻĻā§āĻ°āĻ¨āĻžāĻĨ āĻ āĻžāĻ•ā§āĻ°
 
Autobiograpy Of Gnani Purush A.M.Patel (In Bengali)
Autobiograpy Of Gnani Purush A.M.Patel (In Bengali)Autobiograpy Of Gnani Purush A.M.Patel (In Bengali)
Autobiograpy Of Gnani Purush A.M.Patel (In Bengali)
 
Review of āĻ‰āĻĻā§āĻ¯ā§‹āĻ•ā§āĻ¤āĻžāĻ° āĻ… āĻ†, āĻ• āĻ–
Review of āĻ‰āĻĻā§āĻ¯ā§‹āĻ•ā§āĻ¤āĻžāĻ° āĻ… āĻ†, āĻ• āĻ–Review of āĻ‰āĻĻā§āĻ¯ā§‹āĻ•ā§āĻ¤āĻžāĻ° āĻ… āĻ†, āĻ• āĻ–
Review of āĻ‰āĻĻā§āĻ¯ā§‹āĻ•ā§āĻ¤āĻžāĻ° āĻ… āĻ†, āĻ• āĻ–
 
āĻĒāĻŖā§āĻ¯ āĻŦāĻžāĻœāĻžāĻ°āĻœāĻžāĻ¤āĻ•āĻ°āĻ¨
āĻĒāĻŖā§āĻ¯ āĻŦāĻžāĻœāĻžāĻ°āĻœāĻžāĻ¤āĻ•āĻ°āĻ¨āĻĒāĻŖā§āĻ¯ āĻŦāĻžāĻœāĻžāĻ°āĻœāĻžāĻ¤āĻ•āĻ°āĻ¨
āĻĒāĻŖā§āĻ¯ āĻŦāĻžāĻœāĻžāĻ°āĻœāĻžāĻ¤āĻ•āĻ°āĻ¨
 
” āĻŽāĻž āĻ“ āĻŽāĻžāĻ¤ā§ƒāĻ­āĻžāĻˇāĻž “
” āĻŽāĻž āĻ“ āĻŽāĻžāĻ¤ā§ƒāĻ­āĻžāĻˇāĻž “” āĻŽāĻž āĻ“ āĻŽāĻžāĻ¤ā§ƒāĻ­āĻžāĻˇāĻž “
” āĻŽāĻž āĻ“ āĻŽāĻžāĻ¤ā§ƒāĻ­āĻžāĻˇāĻž “
 
āĻ¸āĻ¤ā§āĻ¯āĻœāĻŋā§Ž āĻ°āĻžāĻ¯āĻŧ āĻ—ā§‹ā§Ÿā§‡āĻ¨ā§āĻĻāĻž āĻ—āĻ˛ā§āĻĒ āĻœāĻžāĻšāĻžāĻ™ā§āĻ—ā§€āĻ°ā§‡āĻ° āĻ¸ā§āĻŦāĻ°ā§āĻŖāĻŽā§āĻĻā§āĻ°āĻž
āĻ¸āĻ¤ā§āĻ¯āĻœāĻŋā§Ž āĻ°āĻžāĻ¯āĻŧ āĻ—ā§‹ā§Ÿā§‡āĻ¨ā§āĻĻāĻž āĻ—āĻ˛ā§āĻĒ āĻœāĻžāĻšāĻžāĻ™ā§āĻ—ā§€āĻ°ā§‡āĻ° āĻ¸ā§āĻŦāĻ°ā§āĻŖāĻŽā§āĻĻā§āĻ°āĻžāĻ¸āĻ¤ā§āĻ¯āĻœāĻŋā§Ž āĻ°āĻžāĻ¯āĻŧ āĻ—ā§‹ā§Ÿā§‡āĻ¨ā§āĻĻāĻž āĻ—āĻ˛ā§āĻĒ āĻœāĻžāĻšāĻžāĻ™ā§āĻ—ā§€āĻ°ā§‡āĻ° āĻ¸ā§āĻŦāĻ°ā§āĻŖāĻŽā§āĻĻā§āĻ°āĻž
āĻ¸āĻ¤ā§āĻ¯āĻœāĻŋā§Ž āĻ°āĻžāĻ¯āĻŧ āĻ—ā§‹ā§Ÿā§‡āĻ¨ā§āĻĻāĻž āĻ—āĻ˛ā§āĻĒ āĻœāĻžāĻšāĻžāĻ™ā§āĻ—ā§€āĻ°ā§‡āĻ° āĻ¸ā§āĻŦāĻ°ā§āĻŖāĻŽā§āĻĻā§āĻ°āĻž
 

Similar to Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)

Quiz -15-03-2023.pdf
Quiz -15-03-2023.pdfQuiz -15-03-2023.pdf
Quiz -15-03-2023.pdfSanjib Ghosh
 
āĻ¸ā§‡ āĻ•āĻŋ āĻ†āĻŽāĻžāĻ•ā§‡ āĻ­āĻžāĻ˛ā§‹āĻŦāĻžāĻ¸ā§‡â€™ āĻŦā§āĻā§‡ āĻ¨āĻŋāĻ¨ ā§­āĻŸāĻŋ āĻ˛āĻ•ā§āĻˇāĻŖā§‡
āĻ¸ā§‡ āĻ•āĻŋ āĻ†āĻŽāĻžāĻ•ā§‡ āĻ­āĻžāĻ˛ā§‹āĻŦāĻžāĻ¸ā§‡â€™ āĻŦā§āĻā§‡ āĻ¨āĻŋāĻ¨ ā§­āĻŸāĻŋ āĻ˛āĻ•ā§āĻˇāĻŖā§‡āĻ¸ā§‡ āĻ•āĻŋ āĻ†āĻŽāĻžāĻ•ā§‡ āĻ­āĻžāĻ˛ā§‹āĻŦāĻžāĻ¸ā§‡â€™ āĻŦā§āĻā§‡ āĻ¨āĻŋāĻ¨ ā§­āĻŸāĻŋ āĻ˛āĻ•ā§āĻˇāĻŖā§‡
āĻ¸ā§‡ āĻ•āĻŋ āĻ†āĻŽāĻžāĻ•ā§‡ āĻ­āĻžāĻ˛ā§‹āĻŦāĻžāĻ¸ā§‡â€™ āĻŦā§āĻā§‡ āĻ¨āĻŋāĻ¨ ā§­āĻŸāĻŋ āĻ˛āĻ•ā§āĻˇāĻŖā§‡Beauty World
 
āĻ¯ā§āĻ—ā§‡āĻ° āĻšāĻžāĻšāĻŋāĻĻāĻžāĻ° āĻĒā§āĻ°ā§Ÿā§‹āĻœāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻ‚āĻŦāĻžāĻĻ āĻ•āĻžāĻ āĻžāĻŽā§‹āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻ•ā§ƒāĻ¤āĻŋ
āĻ¯ā§āĻ—ā§‡āĻ° āĻšāĻžāĻšāĻŋāĻĻāĻžāĻ° āĻĒā§āĻ°ā§Ÿā§‹āĻœāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻ‚āĻŦāĻžāĻĻ āĻ•āĻžāĻ āĻžāĻŽā§‹āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻ•ā§ƒāĻ¤āĻŋ āĻ¯ā§āĻ—ā§‡āĻ° āĻšāĻžāĻšāĻŋāĻĻāĻžāĻ° āĻĒā§āĻ°ā§Ÿā§‹āĻœāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻ‚āĻŦāĻžāĻĻ āĻ•āĻžāĻ āĻžāĻŽā§‹āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻ•ā§ƒāĻ¤āĻŋ
āĻ¯ā§āĻ—ā§‡āĻ° āĻšāĻžāĻšāĻŋāĻĻāĻžāĻ° āĻĒā§āĻ°ā§Ÿā§‹āĻœāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻ‚āĻŦāĻžāĻĻ āĻ•āĻžāĻ āĻžāĻŽā§‹āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻ•ā§ƒāĻ¤āĻŋ MD. GOLAM KIBRIA
 
mot-15
mot-15mot-15
mot-15Mainu4
 
mot-69
mot-69mot-69
mot-69Mainu4
 
Student hacks online_edition
Student hacks online_editionStudent hacks online_edition
Student hacks online_editionItmona
 
mot-16
mot-16mot-16
mot-16Mainu4
 
Photograph [ www.onlinebcs.com ]
Photograph [ www.onlinebcs.com ]Photograph [ www.onlinebcs.com ]
Photograph [ www.onlinebcs.com ]Itmona
 
Generation Gap(In Bengali)
Generation Gap(In Bengali)Generation Gap(In Bengali)
Generation Gap(In Bengali)Dada Bhagwan
 
The Principle of Karma (In Bengali)
The Principle of Karma (In Bengali)The Principle of Karma (In Bengali)
The Principle of Karma (In Bengali)Dada Bhagwan
 
mot-63
mot-63mot-63
mot-63Mainu4
 
Harmony In Marriage (In Bengali)
Harmony In Marriage (In Bengali)Harmony In Marriage (In Bengali)
Harmony In Marriage (In Bengali)Dada Bhagwan
 
Eight bangla class_2
Eight bangla class_2Eight bangla class_2
Eight bangla class_2Cambriannews
 
Pratikraman (In Manipuri)
Pratikraman (In Manipuri)Pratikraman (In Manipuri)
Pratikraman (In Manipuri)Dada Bhagwan
 
10 Computer Skills You Have To Achieve
10 Computer Skills You Have To Achieve10 Computer Skills You Have To Achieve
10 Computer Skills You Have To AchieveSyed Tanvir Anjum
 
Bangla short Story 2
Bangla short Story 2Bangla short Story 2
Bangla short Story 2Fancim dot com
 
āĻ†āĻŽāĻžāĻ° āĻœā§‹āĻ•āĻ¸ āĻŦāĻ‡āĨ¤ āĻšāĻžāĻ¸ā§āĻ¨ āĻ†āĻ° āĻšāĻžāĻ¸āĻžāĻ¨...............āĨ¤āĨ¤
āĻ†āĻŽāĻžāĻ° āĻœā§‹āĻ•āĻ¸ āĻŦāĻ‡āĨ¤ āĻšāĻžāĻ¸ā§āĻ¨ āĻ†āĻ° āĻšāĻžāĻ¸āĻžāĻ¨...............āĨ¤āĨ¤āĻ†āĻŽāĻžāĻ° āĻœā§‹āĻ•āĻ¸ āĻŦāĻ‡āĨ¤ āĻšāĻžāĻ¸ā§āĻ¨ āĻ†āĻ° āĻšāĻžāĻ¸āĻžāĻ¨...............āĨ¤āĨ¤
āĻ†āĻŽāĻžāĻ° āĻœā§‹āĻ•āĻ¸ āĻŦāĻ‡āĨ¤ āĻšāĻžāĻ¸ā§āĻ¨ āĻ†āĻ° āĻšāĻžāĻ¸āĻžāĻ¨...............āĨ¤āĨ¤Noor Islam
 

Similar to Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com) (20)

Quiz -15-03-2023.pdf
Quiz -15-03-2023.pdfQuiz -15-03-2023.pdf
Quiz -15-03-2023.pdf
 
āĻ¸ā§‡ āĻ•āĻŋ āĻ†āĻŽāĻžāĻ•ā§‡ āĻ­āĻžāĻ˛ā§‹āĻŦāĻžāĻ¸ā§‡â€™ āĻŦā§āĻā§‡ āĻ¨āĻŋāĻ¨ ā§­āĻŸāĻŋ āĻ˛āĻ•ā§āĻˇāĻŖā§‡
āĻ¸ā§‡ āĻ•āĻŋ āĻ†āĻŽāĻžāĻ•ā§‡ āĻ­āĻžāĻ˛ā§‹āĻŦāĻžāĻ¸ā§‡â€™ āĻŦā§āĻā§‡ āĻ¨āĻŋāĻ¨ ā§­āĻŸāĻŋ āĻ˛āĻ•ā§āĻˇāĻŖā§‡āĻ¸ā§‡ āĻ•āĻŋ āĻ†āĻŽāĻžāĻ•ā§‡ āĻ­āĻžāĻ˛ā§‹āĻŦāĻžāĻ¸ā§‡â€™ āĻŦā§āĻā§‡ āĻ¨āĻŋāĻ¨ ā§­āĻŸāĻŋ āĻ˛āĻ•ā§āĻˇāĻŖā§‡
āĻ¸ā§‡ āĻ•āĻŋ āĻ†āĻŽāĻžāĻ•ā§‡ āĻ­āĻžāĻ˛ā§‹āĻŦāĻžāĻ¸ā§‡â€™ āĻŦā§āĻā§‡ āĻ¨āĻŋāĻ¨ ā§­āĻŸāĻŋ āĻ˛āĻ•ā§āĻˇāĻŖā§‡
 
Valo hobe february leaflet
Valo hobe february leafletValo hobe february leaflet
Valo hobe february leaflet
 
āĻ¯ā§āĻ—ā§‡āĻ° āĻšāĻžāĻšāĻŋāĻĻāĻžāĻ° āĻĒā§āĻ°ā§Ÿā§‹āĻœāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻ‚āĻŦāĻžāĻĻ āĻ•āĻžāĻ āĻžāĻŽā§‹āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻ•ā§ƒāĻ¤āĻŋ
āĻ¯ā§āĻ—ā§‡āĻ° āĻšāĻžāĻšāĻŋāĻĻāĻžāĻ° āĻĒā§āĻ°ā§Ÿā§‹āĻœāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻ‚āĻŦāĻžāĻĻ āĻ•āĻžāĻ āĻžāĻŽā§‹āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻ•ā§ƒāĻ¤āĻŋ āĻ¯ā§āĻ—ā§‡āĻ° āĻšāĻžāĻšāĻŋāĻĻāĻžāĻ° āĻĒā§āĻ°ā§Ÿā§‹āĻœāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻ‚āĻŦāĻžāĻĻ āĻ•āĻžāĻ āĻžāĻŽā§‹āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻ•ā§ƒāĻ¤āĻŋ
āĻ¯ā§āĻ—ā§‡āĻ° āĻšāĻžāĻšāĻŋāĻĻāĻžāĻ° āĻĒā§āĻ°ā§Ÿā§‹āĻœāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻ‚āĻŦāĻžāĻĻ āĻ•āĻžāĻ āĻžāĻŽā§‹āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻ•ā§ƒāĻ¤āĻŋ
 
mot-15
mot-15mot-15
mot-15
 
mot-69
mot-69mot-69
mot-69
 
Student hacks online_edition
Student hacks online_editionStudent hacks online_edition
Student hacks online_edition
 
mot-16
mot-16mot-16
mot-16
 
Photograph [ www.onlinebcs.com ]
Photograph [ www.onlinebcs.com ]Photograph [ www.onlinebcs.com ]
Photograph [ www.onlinebcs.com ]
 
Generation Gap(In Bengali)
Generation Gap(In Bengali)Generation Gap(In Bengali)
Generation Gap(In Bengali)
 
The Principle of Karma (In Bengali)
The Principle of Karma (In Bengali)The Principle of Karma (In Bengali)
The Principle of Karma (In Bengali)
 
bangla Story 1
bangla Story 1bangla Story 1
bangla Story 1
 
mot-63
mot-63mot-63
mot-63
 
Harmony In Marriage (In Bengali)
Harmony In Marriage (In Bengali)Harmony In Marriage (In Bengali)
Harmony In Marriage (In Bengali)
 
Eight bangla class_2
Eight bangla class_2Eight bangla class_2
Eight bangla class_2
 
Pratikraman (In Manipuri)
Pratikraman (In Manipuri)Pratikraman (In Manipuri)
Pratikraman (In Manipuri)
 
10 Computer Skills You Have To Achieve
10 Computer Skills You Have To Achieve10 Computer Skills You Have To Achieve
10 Computer Skills You Have To Achieve
 
Bangla short Story 2
Bangla short Story 2Bangla short Story 2
Bangla short Story 2
 
Dharapat - Second Seven
Dharapat - Second SevenDharapat - Second Seven
Dharapat - Second Seven
 
āĻ†āĻŽāĻžāĻ° āĻœā§‹āĻ•āĻ¸ āĻŦāĻ‡āĨ¤ āĻšāĻžāĻ¸ā§āĻ¨ āĻ†āĻ° āĻšāĻžāĻ¸āĻžāĻ¨...............āĨ¤āĨ¤
āĻ†āĻŽāĻžāĻ° āĻœā§‹āĻ•āĻ¸ āĻŦāĻ‡āĨ¤ āĻšāĻžāĻ¸ā§āĻ¨ āĻ†āĻ° āĻšāĻžāĻ¸āĻžāĻ¨...............āĨ¤āĨ¤āĻ†āĻŽāĻžāĻ° āĻœā§‹āĻ•āĻ¸ āĻŦāĻ‡āĨ¤ āĻšāĻžāĻ¸ā§āĻ¨ āĻ†āĻ° āĻšāĻžāĻ¸āĻžāĻ¨...............āĨ¤āĨ¤
āĻ†āĻŽāĻžāĻ° āĻœā§‹āĻ•āĻ¸ āĻŦāĻ‡āĨ¤ āĻšāĻžāĻ¸ā§āĻ¨ āĻ†āĻ° āĻšāĻžāĻ¸āĻžāĻ¨...............āĨ¤āĨ¤
 

More from Itmona

Road transport (brta) motor vehicle inspector examination question paper 2017...
Road transport (brta) motor vehicle inspector examination question paper 2017...Road transport (brta) motor vehicle inspector examination question paper 2017...
Road transport (brta) motor vehicle inspector examination question paper 2017...Itmona
 
Post office job question 2016 [www.onlinebcs.com]
Post office job question 2016 [www.onlinebcs.com]Post office job question 2016 [www.onlinebcs.com]
Post office job question 2016 [www.onlinebcs.com]Itmona
 
41st bcs written question mathematical reasoning
41st bcs written question mathematical reasoning41st bcs written question mathematical reasoning
41st bcs written question mathematical reasoningItmona
 
41st bcs written exam subject mental skills
41st bcs written exam subject mental skills41st bcs written exam subject mental skills
41st bcs written exam subject mental skillsItmona
 
41st bcs written math question 2021
41st bcs written math question 202141st bcs written math question 2021
41st bcs written math question 2021Itmona
 
41st bcs written exam question solution mental skills
41st bcs written exam question solution mental skills41st bcs written exam question solution mental skills
41st bcs written exam question solution mental skillsItmona
 
41st bcs written test mathematical reasoning solution 2021
41st bcs written test mathematical reasoning solution 202141st bcs written test mathematical reasoning solution 2021
41st bcs written test mathematical reasoning solution 2021Itmona
 
41st bcs written bengali question
41st bcs written bengali question41st bcs written bengali question
41st bcs written bengali questionItmona
 
4 december kgdcl question solution 2021
4 december kgdcl question solution 20214 december kgdcl question solution 2021
4 december kgdcl question solution 2021Itmona
 
Bangladesh gas field job question solution 2021
Bangladesh gas field job question solution 2021Bangladesh gas field job question solution 2021
Bangladesh gas field job question solution 2021Itmona
 
Ministry of defense junior teacher of dhaka cantonment 2021
Ministry of defense junior teacher of dhaka cantonment 2021Ministry of defense junior teacher of dhaka cantonment 2021
Ministry of defense junior teacher of dhaka cantonment 2021Itmona
 
Dshe accounting assistant exam questions solution 2013
Dshe accounting assistant exam questions solution 2013Dshe accounting assistant exam questions solution 2013
Dshe accounting assistant exam questions solution 2013Itmona
 
Dshe office assistant exam questions solution 2021
Dshe office assistant exam questions solution 2021Dshe office assistant exam questions solution 2021
Dshe office assistant exam questions solution 2021Itmona
 
Road transport (brta) motor vehicle inspector examination question paper 2017
Road transport (brta) motor vehicle inspector examination question paper 2017Road transport (brta) motor vehicle inspector examination question paper 2017
Road transport (brta) motor vehicle inspector examination question paper 2017Itmona
 
National security intelligence agency (nsi) field officer 2018[www.onlinebcs....
National security intelligence agency (nsi) field officer 2018[www.onlinebcs....National security intelligence agency (nsi) field officer 2018[www.onlinebcs....
National security intelligence agency (nsi) field officer 2018[www.onlinebcs....Itmona
 
Food department's assistant sub food inspector question ‍solution 2021
Food department's assistant sub food inspector question ‍solution 2021Food department's assistant sub food inspector question ‍solution 2021
Food department's assistant sub food inspector question ‍solution 2021Itmona
 
Titas gas transmission and distribution company limited assistant manager 2018
Titas gas transmission and distribution company limited assistant manager 2018Titas gas transmission and distribution company limited assistant manager 2018
Titas gas transmission and distribution company limited assistant manager 2018Itmona
 
Assistant manager, gas transmission company limited
Assistant manager, gas transmission company limitedAssistant manager, gas transmission company limited
Assistant manager, gas transmission company limitedItmona
 
Dbbl probationary-officer-software-job-exam-question
Dbbl probationary-officer-software-job-exam-questionDbbl probationary-officer-software-job-exam-question
Dbbl probationary-officer-software-job-exam-questionItmona
 
Education and research institute upazila [www.onlinebcs.com]
Education and research institute upazila [www.onlinebcs.com]Education and research institute upazila [www.onlinebcs.com]
Education and research institute upazila [www.onlinebcs.com]Itmona
 

More from Itmona (20)

Road transport (brta) motor vehicle inspector examination question paper 2017...
Road transport (brta) motor vehicle inspector examination question paper 2017...Road transport (brta) motor vehicle inspector examination question paper 2017...
Road transport (brta) motor vehicle inspector examination question paper 2017...
 
Post office job question 2016 [www.onlinebcs.com]
Post office job question 2016 [www.onlinebcs.com]Post office job question 2016 [www.onlinebcs.com]
Post office job question 2016 [www.onlinebcs.com]
 
41st bcs written question mathematical reasoning
41st bcs written question mathematical reasoning41st bcs written question mathematical reasoning
41st bcs written question mathematical reasoning
 
41st bcs written exam subject mental skills
41st bcs written exam subject mental skills41st bcs written exam subject mental skills
41st bcs written exam subject mental skills
 
41st bcs written math question 2021
41st bcs written math question 202141st bcs written math question 2021
41st bcs written math question 2021
 
41st bcs written exam question solution mental skills
41st bcs written exam question solution mental skills41st bcs written exam question solution mental skills
41st bcs written exam question solution mental skills
 
41st bcs written test mathematical reasoning solution 2021
41st bcs written test mathematical reasoning solution 202141st bcs written test mathematical reasoning solution 2021
41st bcs written test mathematical reasoning solution 2021
 
41st bcs written bengali question
41st bcs written bengali question41st bcs written bengali question
41st bcs written bengali question
 
4 december kgdcl question solution 2021
4 december kgdcl question solution 20214 december kgdcl question solution 2021
4 december kgdcl question solution 2021
 
Bangladesh gas field job question solution 2021
Bangladesh gas field job question solution 2021Bangladesh gas field job question solution 2021
Bangladesh gas field job question solution 2021
 
Ministry of defense junior teacher of dhaka cantonment 2021
Ministry of defense junior teacher of dhaka cantonment 2021Ministry of defense junior teacher of dhaka cantonment 2021
Ministry of defense junior teacher of dhaka cantonment 2021
 
Dshe accounting assistant exam questions solution 2013
Dshe accounting assistant exam questions solution 2013Dshe accounting assistant exam questions solution 2013
Dshe accounting assistant exam questions solution 2013
 
Dshe office assistant exam questions solution 2021
Dshe office assistant exam questions solution 2021Dshe office assistant exam questions solution 2021
Dshe office assistant exam questions solution 2021
 
Road transport (brta) motor vehicle inspector examination question paper 2017
Road transport (brta) motor vehicle inspector examination question paper 2017Road transport (brta) motor vehicle inspector examination question paper 2017
Road transport (brta) motor vehicle inspector examination question paper 2017
 
National security intelligence agency (nsi) field officer 2018[www.onlinebcs....
National security intelligence agency (nsi) field officer 2018[www.onlinebcs....National security intelligence agency (nsi) field officer 2018[www.onlinebcs....
National security intelligence agency (nsi) field officer 2018[www.onlinebcs....
 
Food department's assistant sub food inspector question ‍solution 2021
Food department's assistant sub food inspector question ‍solution 2021Food department's assistant sub food inspector question ‍solution 2021
Food department's assistant sub food inspector question ‍solution 2021
 
Titas gas transmission and distribution company limited assistant manager 2018
Titas gas transmission and distribution company limited assistant manager 2018Titas gas transmission and distribution company limited assistant manager 2018
Titas gas transmission and distribution company limited assistant manager 2018
 
Assistant manager, gas transmission company limited
Assistant manager, gas transmission company limitedAssistant manager, gas transmission company limited
Assistant manager, gas transmission company limited
 
Dbbl probationary-officer-software-job-exam-question
Dbbl probationary-officer-software-job-exam-questionDbbl probationary-officer-software-job-exam-question
Dbbl probationary-officer-software-job-exam-question
 
Education and research institute upazila [www.onlinebcs.com]
Education and research institute upazila [www.onlinebcs.com]Education and research institute upazila [www.onlinebcs.com]
Education and research institute upazila [www.onlinebcs.com]
 

Combinotrix math-fun-world(www.onlinebcs.com)

  • 1. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 1 āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ¨ā§‡ āĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ•ā§āĻ¸ āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž āĻĻā§€āĻĒā§ āĻ¸āĻŋāĻ•āĻžāĻŋ āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡ āĻœāĻžāĻ¨ā§ŸāĻĻ
  • 2. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 2 āĻŽā§āĻŦāĻœāĻ¨āĻŋāĻž āĻŸā§ āĻ‡ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻœ ā§Ļā§§ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž āĻĻā§€āĻĒā§ āĻ¸āĻŋāĻ•āĻžāĻŋ || āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡ āĻœāĻžāĻ¨ā§ŸāĻĻ Š āĻ¨ā§‡āĻ–āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻœ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŸāĻŋ : āĻ†āĻŦāĻĻā§āĻ˛ā§āĻ˛āĻžāĻš āĻ†ā§‡ āĻŽāĻžāĻšāĻŽā§āĻĻ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻ¨āĻŋāĻž āĻŸā§ āĻ‡ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ : ā§¨ā§Ļā§§ā§Ģ āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻ•āĻ• : āĻŽā§āĻŦāĻœāĻ¨āĻŋāĻž āĻŸā§ āĻ‡ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§¯ā§Ģ, āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ†āĻ‡ āĻ¨āĻ¸āĻ¨ā§āĻŸā§āĻ°āĻžā§‡ āĻĒā§āĻ˛āĻžāĻœāĻž, (āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŸ - ā§­), āĻ—ā§āĻ°ā§€ā§‡ āĻ¨āĻŋāĻžāĻŋ, ā§‡āĻžāĻŽāĻŽāĻ¨āĻ—āĻŸ, āĻĸāĻžāĻ•āĻž – ā§§ā§¨ā§§ā§Ģ ā§Ļā§§ā§¯ā§§ā§­ā§Šā§Šā§Žā§Ģā§¯ā§Ļ, ā§Ļā§§ā§Ŧā§­ā§­ā§§ā§¨ā§Šā§Ēā§§ā§¯ editor@zero2inf.com, zero2inf.com āĻĒā§āĻ°āĻšā§āĻ›āĻĻ : āĻ•āĻžāĻŽāĻ°ā§ā§‡ ā§‡āĻžāĻšāĻžāĻŋ āĻŽā§‚ā§‡āĻ¯āĻƒ ā§Ģā§Ļ āĻŸāĻžāĻ•āĻžāĨ¤ BOSTUR GOVIRE [Combinatorics: Amazing World of Mathematics] by Dipu Sarkar & Rafe Zayed. Published in March 2015 by Zero to Infinity. 95, BTI Central Plaza, (7th Floor), Green Road, Farmgate, Dhaka – 1215, editor@zero2inf.com, zero2inf.com Price: Tk. 50.00 Only.
  • 3. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 3 āĻ‰ ā§Ž āĻ¸ āĻ—āĻŽ āĻŋ. āĻ¨āĻŽāĻžāĻšāĻžāĻŽā§āĻŽāĻĻ āĻ•āĻžā§ŸāĻ¨āĻ•āĻžāĻŦāĻžāĻĻ, āĻŽā§āĻšāĻŽā§āĻŽāĻĻ āĻœāĻžā§‡āĻŋ āĻ‡āĻ•āĻŦāĻžā§‡, āĻŽā§āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŋ āĻšāĻžāĻ¸āĻžā§‡ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ¸ā§āĻŦāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ•āĻžāĻŋāĻ¨āĻŋ āĻ¸ā§āĻŦā§‡ āĻ¨āĻĻāĻ¨āĻ– āĻĒā§āĻ¨āĻŋāĻž āĻŦāĻžāĻžāĻ‚ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻ•
  • 4. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 4 āĻŽā§āĻ–āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ āĻ—āĻŖāĻ¨āĻž āĻĨā§‡āĻ•ā§‡āĻ‡ āĻļā§āĻ°ā§ āĻ—āĻŖāĻŖāĻ•ā§‡āĻ°āĨ¤ āĻŖā§‡āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻŦā§āĻŖāĻŋāĻŽāĻžāĻ¨ āĻŽāĻžāĻ¨ā§āĻˇ ā§‡āĻžāĻŖāĻŋ āĻĨāĻ°āĻ•ā§‡ āĻĨāĻ°āĻ•ā§‡ āĻŖā§‡āĻŋāĻ‚āĻŦāĻž āĻ†āĻā§‡ ā§‡āĻ•āĻˇ āĻĻāĻžāĻ— āĻŖāĻĻāĻ•ā§‡ āĻĨā§‡ āĻĨāĻ—āĻžāĻ¨āĻžāĻ—ā§āĻŖāĻ¨ āĻļā§āĻ°ā§ ā§‡āĻ•āĻ°āĻŖāĻŋāĻ˛ āĻĨā§‡ā§‡āĻžāĻ•āĻ¨āĻ‡ āĻĨā§‡āĻ•āĻŽ ā§‡āĻžāĻ•ā§‡āĻŖāĻ¨āĨ¤ āĻā§‡āĻ¨ ā§‡ā§‡āĻ¨ āĻ†āĻŽāĻ°āĻž āĻ—ā§āĻŖāĻ•ā§‡ āĻšāĻžāĻ‡ āĻŖāĻŦāĻ•ā§‡ āĻŦāĻžāĻŖāĻŋāĻ•ā§‡ āĻā§‡ā§‡āĻžāĻ•ā§‡ ā§‡ā§‡āĻœāĻ¨ āĻĨā§‡āĻ•ā§‡ āĻĒāĻžāĻ•āĻ°, āĻ†āĻŽāĻ°āĻž āĻŸāĻžāĻ¨āĻž ā§‡āĻŦāĻ—ā§āĻ•āĻ˛āĻž āĻĨāĻšā§‡āĻžāĻ° āĻ—ā§āĻŖāĻ•ā§‡ ā§‡āĻžāĻŖā§‡ āĻ¨āĻžāĨ¤ ā§‡āĻŖāĻĻ āĻĨāĻĻāĻŖā§‡ ā§¨ā§Ļ āĻŸāĻž āĻĨāĻŸāĻŖāĻŦāĻ˛ āĻ†āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻŖā§‡ āĻĨāĻŸāĻŖāĻŦāĻ•āĻ˛ ā§Ŧ āĻœāĻ¨ āĻĨā§‡āĻ•ā§‡ āĻĒāĻžāĻ•āĻ° āĻŽāĻžā§‡āĻžāĻ° āĻŖāĻŋā§‡āĻ•āĻ° ā§‡ā§€āĻŋāĻžāĻ•āĻŦ āĻĨā§‡āĻ¨ 'āĻ—ā§āĻŖ’ ā§‡āĻ•āĻ° ā§§ā§¨ā§Ļ āĻœāĻ¨ āĻŦāĻ•āĻ˛ āĻĨā§‡āĻŖāĻ˛ āĻ†āĻŽāĻ°āĻžāĨ¤ ā§‡ā§āĻ•āĻ—āĻ° āĻĒāĻ° ā§‡ā§āĻ— āĻŖāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻžāĻļā§€āĻ˛ āĻŽāĻžāĻ¨ā§āĻ•āĻˇāĻ°āĻž āĻŦā§āĻŖāĻŋāĻĻā§€āĻĒā§āĻ¤ āĻ—āĻŖāĻ¨āĻžāĻ° āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻ°āĻŸāĻžāĻ•ā§‡ āĻ‰āĻ¨ā§āĻ¨ā§‡ ā§‡āĻ•āĻ°āĻ•āĻŋāĻ¨ āĻ…āĻ•āĻ¨ā§‡, ā§‡āĻžāĻ° āĻ§āĻžāĻ°āĻž āĻ…āĻŦāĻ¯āĻžāĻšā§‡ āĻā§‡āĻ¨āĻ“āĨ¤ āĻ—ā§āĻŖāĻ•ā§‡ āĻŖāĻ—āĻ•ā§‡ āĻ…āĻĻā§āĻ­ā§ā§‡ ā§‡āĻŦ ā§‡āĻŋāĻ‚ā§‡āĻ¯āĻžāĻ° ā§‡āĻžāĻ•ā§‡ āĻĒāĻŖāĻ°āĻšā§‡ āĻšāĻ•ā§‡āĻ•āĻŋ āĻ†āĻŽāĻžāĻ•āĻĻāĻ°āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻ°āĻž āĻĨāĻœāĻ•āĻ¨āĻŖāĻŋ, āĻā§‡āĻŸāĻž āĻŽāĻžāĻ¨ā§āĻˇāĻ•ā§‡ ā§§ā§Š āĻŸāĻž āĻ…āĻ•ā§āĻˇāĻ° āĻ§āĻŖāĻ°āĻ•ā§‡ āĻŖāĻĻāĻ•ā§‡ ā§‡āĻŖāĻĻ āĻŦāĻ˛āĻž āĻšā§‡ āĻāĻ•āĻĻāĻ°āĻ•ā§‡ ā§‡ā§‡ āĻ°ā§‡āĻŽāĻŋāĻžāĻ•āĻŦ ā§‡āĻžāĻœāĻžāĻ•āĻ¨āĻž ā§‡āĻžā§‡ ā§‡āĻžāĻŖāĻœāĻ•ā§‡ āĻĨāĻ˛ā§‡, āĻĒā§āĻ°āĻŖā§‡āĻŸāĻž āĻŖāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‡ ā§‡āĻŖāĻĻ ā§Š āĻĨā§‡āĻ•ā§‡āĻ¨ā§āĻĄ ā§‡āĻ•āĻ°āĻ“ ā§‡āĻŽā§‡ āĻ˛āĻžāĻ•āĻ— ā§‡āĻžāĻšāĻ•āĻ˛ ā§‡āĻŦāĻ—ā§āĻ•āĻ˛āĻž āĻŖāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‡ ā§‡āĻžāĻ° ā§‡āĻŽā§‡ āĻ˛āĻžāĻ—āĻ•āĻŦ ā§Ģā§¯ā§¨ āĻŦāĻŋāĻ•āĻ°āĻ°āĻ“ āĻĨāĻŦāĻŖāĻļāĨ¤ āĻŽāĻžāĻ¤ā§āĻ° ā§§ā§Š āĻŸāĻž āĻ…āĻ•ā§āĻˇāĻ°! āĻ†āĻŖā§‡āĻŋāĻŖāĻŽāĻŖāĻĄā§‡ āĻŖāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻž ā§‡āĻ•āĻ° āĻ—ā§āĻ•āĻ¨ āĻĨā§‡āĻ•āĻ˛āĻŖāĻŋāĻ•āĻ˛āĻ¨ āĻĒ ā§ƒāĻŖā§‡āĻŦā§€āĻ•ā§‡ ā§‡ā§‡āĻ—ā§āĻ•āĻ˛āĻž āĻŦāĻžāĻ˛ā§ā§‡āĻŖāĻž ā§‡āĻžā§‡āĻ•ā§‡ āĻĒāĻžāĻ•āĻ°āĨ¤ āĻāĻ‡ āĻĨā§‡ āĻĨāĻ—āĻžāĻ¨āĻžāĻ—ā§āĻŖāĻ¨āĻ° ā§‡āĻŦ āĻĻāĻžāĻ°ā§āĻŖ āĻŖāĻŦāĻˇā§‡ āĻāĻ—ā§āĻ•āĻ˛āĻž āĻŖāĻ¨āĻ•ā§‡ āĻ—āĻŖāĻŖāĻ•ā§‡āĻ° āĻā§‡āĻŸāĻž ā§‡āĻŽā§ƒāĻŋ āĻļāĻžā§‡āĻž āĻ†āĻ•āĻŋ- ā§‡āĻžāĻ•ā§‡ āĻŦāĻ•āĻ˛ ā§‡āĻŖāĻŋāĻ•āĻ¨āĻŸāĻŖāĻ°āĻ•ā§āĻ¸āĨ¤ āĻĨā§‡āĻšāĻŋāĻžāĻœāĻ¨ ā§‡āĻ°ā§āĻŖ āĻĨāĻ˛ā§‡ā§‡ āĻĻā§€āĻĒā§ ā§‡āĻ°ā§‡āĻžāĻ° āĻ†āĻ° āĻ°āĻžāĻŖā§‡ āĻœāĻžāĻ•ā§‡āĻĻ āĻŖāĻŽāĻ•āĻ˛ āĻ—āĻŖāĻŖāĻ•ā§‡āĻ° āĻāĻ‡ āĻšāĻŽā§Žā§‡āĻžāĻ° āĻŖāĻŦāĻˇā§‡āĻŖāĻŸ āĻ†āĻŽāĻžāĻ•āĻĻāĻ° āĻĨāĻĻāĻ•āĻļāĻ° āĻŽāĻžāĻ¨ā§āĻ•āĻˇāĻ° ā§‡āĻžāĻ•āĻŋ ā§‡ā§āĻ•āĻ˛ āĻ§āĻ°āĻžāĻ° āĻĨā§‡ āĻĒā§āĻ°ā§‡āĻžā§‡ āĻŖāĻ¨āĻ•ā§‡āĻ•āĻŋ āĻĨā§‡āĻŸāĻž ā§‡ā§āĻŦāĻ‡ āĻ¸ā§āĻ¨ā§āĻĻāĻ° āĻ‰āĻ•āĻĻāĻ¯āĻžāĻ—āĨ¤ āĻŖāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžā§‡ ā§‡āĻŽāĻžāĻ•āĻŦāĻļ āĻ†āĻ° āĻĨāĻ—āĻžāĻ¨āĻžāĻ—ā§āĻŖāĻ¨āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻžā§‡āĻŖāĻŽā§‡ āĻ§āĻžāĻ°āĻŖāĻž āĻĨā§‡āĻ•ā§‡ āĻļā§āĻ°ā§ āĻšāĻ•ā§‡āĻ•āĻŋ, āĻāĻ°āĻĒāĻ° āĻĨāĻ˛ā§‡āĻ•ā§‡āĻ°āĻž āĻāĻŖāĻ—āĻ•ā§‡ āĻĨāĻ—āĻ•āĻŋāĻ¨ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ•āĻ¨āĻžāĻŖāĻŽā§‡āĻžāĻ˛ āĻŖā§‡āĻ“āĻ•āĻ°āĻ•āĻŽāĻ° āĻŖāĻĻāĻ•ā§‡āĨ¤ āĻāĻ°āĻĒāĻ•āĻ°āĻ° āĻšāĻ¯āĻžāĻĒā§āĻŸāĻžāĻ° āĻĻā§āĻ•āĻŸāĻž ā§‡āĻŖāĻŋāĻ•āĻ¨āĻŸāĻŖāĻ°āĻ•ā§āĻ¸ āĻāĻ° āĻļā§āĻ§ā§ āĻ¨ā§‡, āĻŖāĻŦāĻļā§āĻŋ āĻ—āĻŖāĻŖāĻ•ā§‡āĻ°āĻ‡ ā§‡ā§āĻŦ āĻœāĻ°ā§āĻ°ā§€ āĻŖāĻŦāĻˇā§‡- ā§‡ā§€āĻŋāĻžāĻ•āĻŦ āĻ—āĻžāĻŖāĻŖāĻŖā§‡ā§‡ āĻŖāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻžāĻ•ā§‡ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŖ ā§‡āĻ°āĻž ā§‡āĻžāĻ•āĻŦ, ā§‡āĻžāĻ° āĻĻā§āĻ•āĻŸāĻž āĻĒā§āĻ°āĻ§āĻžāĻ¨ āĻ‰āĻĒāĻžā§‡ āĻŖāĻ¨āĻ•ā§‡: āĻ†āĻ•āĻ°āĻžāĻš āĻŖāĻŦāĻŖāĻ§ āĻ†āĻ° proof by contradiction. ā§‡āĻŦā§ā§‡āĻ° āĻĨā§‡āĻžāĻ•āĻĒāĻ° āĻ¨ā§€āĻŖā§‡, āĻŖāĻ°ā§‡āĻžāĻ°āĻļāĻ¨, āĻĨā§‡āĻŸ āĻŖā§‡āĻ“āĻŖāĻ° āĻāĻ—ā§āĻ•āĻ˛āĻžāĻ“ āĻāĻ•ā§‡āĻ•āĻŋ āĻ§āĻžāĻ•āĻĒ āĻ§āĻžāĻ•āĻĒāĨ¤ āĻ…āĻŦāĻ§āĻžāĻŖāĻ°ā§‡āĻŋāĻžāĻ•āĻŦāĻ‡ āĻāĻ•ā§‡āĻ•āĻŋ āĻŖā§‡āĻ•āĻŦāĻžāĻ¨āĻžāĻŖāĻš ā§‡āĻŋāĻ‚ā§‡āĻ¯āĻž, āĻ¸ā§āĻŸāĻžāĻŖāĻ˛āĻŋāĻŋāĻ‚ ā§‡āĻŋāĻ‚ā§‡āĻ¯āĻžāĻ° āĻĻāĻ˛āĨ¤ ā§‡ā§€āĻŋāĻžāĻ•āĻŦ āĻŦāĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻ° ā§‡āĻ°āĻž ā§‡āĻžāĻ•āĻŦ ā§‡āĻŖāĻŋāĻ•āĻ¨āĻŸāĻŖāĻ°āĻ•āĻ•ā§āĻ¸āĻ° āĻœā§āĻžāĻžāĻ¨? āĻŖā§‡āĻŋā§ āĻ¸ā§āĻ¨ā§āĻĻāĻ° ā§‡āĻŽā§‡āĻ¯āĻžāĻ° ā§‡āĻŽāĻžāĻ§āĻžāĻ¨ āĻĨāĻĻā§‡āĻžāĻ•āĻ¨āĻž āĻšāĻ•ā§‡āĻ•āĻŋāĨ¤ āĻ†āĻ° āĻĨāĻļāĻˇ āĻšāĻ•ā§‡āĻ•āĻŋ āĻŋāĻŖāĻŦāĻˇāĻ¯āĻ•ā§‡āĻ° āĻ†āĻšā§āĻŦāĻžāĻ•āĻ¨ – ā§‡āĻŽā§‡āĻ¯āĻž āĻ†āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻĨāĻ°āĻ•ā§‡āĨ¤ āĻŦāĻ‡āĻŖāĻŸ āĻ…āĻ•āĻ¨ā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§āĻ•āĻˇāĻ° ā§‡āĻžāĻ•āĻŋ āĻĨāĻĒ āĻāĻ•āĻŋ ā§‡āĻžā§‡, āĻĨāĻ˛ā§‡ā§‡āĻ•āĻĻāĻ° āĻĒāĻŖāĻ°āĻļā§āĻ°āĻŽ ā§‡āĻžā§‡āĻŋā§‡ āĻĨāĻšāĻžā§‡- āĻāĻ‡ āĻļā§āĻŋ ā§‡āĻžāĻŽāĻ¨āĻž āĻ°āĻ‡āĻ˛āĨ¤ āĻšāĻŽā§‡ āĻšāĻžā§‡āĻžāĻ¨ ā§Ļā§Ž āĻœāĻžāĻ¨ā§ā§ŸāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ, ā§¨ā§Ļā§§ā§Ģ
  • 5. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 5 āĻ¨ā§‡āĻ–āĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ•āĻĨāĻž āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ¨āĻ•āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻāĻŋ āĻ¸āĻ•ā§‡ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻ¸ā§‚āĻ¤ā§āĻ° āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŸāĻž āĻ­āĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦā§āĻāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ•āĻ¨āĻ•āĻ‡ āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻļā§āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ āĻ…āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŋā§ŸāĻžāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻœāĻžā§‡ā§€ā§Ÿ āĻĒāĻ¯āĻŽāĻžāĻ¨ā§ŸāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻĨāĻž āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ…āĻ¨ā§āĻ•ā§€ā§‡ā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦāĻž? āĻŦāĻž āĻāĻ‡ āĻ§āĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸ā§‡āĻ­ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšā§Ÿ? āĻŦāĻžāĻžāĻ‚ā§‡āĻž āĻ­āĻžāĻˇāĻžā§Ÿ āĻāĻ‡ āĻ§āĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŦāĻ‡āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ•āĻžāĻĨāĻžā§Ÿ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŦāĻž? ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯āĻ‡ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻāĻ‡ āĻŦāĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨ā§‡āĻ–āĻžāĨ¤ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ ā§¨ā§ĢāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻ¸ā§‡āĻ­ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻŋāĻžā§œāĻžāĻ“ ā§­ā§ĢāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ…āĻ¨ā§āĻ•ā§€ā§‡āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¨āĻŋāĻ¨āĻ– āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ‰āĻ¤ā§āĻ¤āĻ¨āĻŋ, āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ¨āĻ¯āĻžāĻœāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ‡ āĻŦāĻ‡āĻ¨ā§ŸāĻŋ āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻĒāĻŦāĻŽ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻžāĻŋ āĻ†āĻ•āĻž āĻŋāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ–āĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ āĻāĻŸāĻž āĻ†āĻŽāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻŦāĻ‡ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ­ā§ā§‡-āĻ¤ā§āĻ°ā§āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĨāĻžāĻ•āĻž āĻ¸ā§āĻŦāĻžāĻ­āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ•āĨ¤ ā§‡āĻžāĻŋ āĻŦāĻ¯āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĻ“ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĒāĻŋāĻžāĻŽāĻ•āĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĻžāĨ¤ āĻ†āĻŋ āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻŦāĻ‡āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ•āĻžā§‡ āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻĒāĻ• āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ­āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻšā§Ÿ āĻ¨āĻ¸āĻŸāĻžāĻ“ āĻŦāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĻžāĨ¤ āĻ¸āĻŦāĻšāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡ āĻŦā§œ āĻ•āĻĨāĻž āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ‡ āĻŦāĻ‡āĻ¨ā§ŸāĻŋ āĻĒāĻžāĻ āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨āĻ¸āĻ¨āĻŦ āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ¸ā§āĻ•ā§ā§‡ āĻ•āĻ¨ā§‡āĻ¨āĻœāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ•ā§āĻˇāĻžāĻĨāĻŽā§€āĻ¨āĻĻāĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻŦāĻŽāĻ¤ā§āĻ° ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ•āĻĨāĻž āĻŦāĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻŋ āĻ•āĻŋāĻž āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻĒāĻžāĻ āĻ•āĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽāĻ¨āĻ§āĻ¯ āĻ¯āĻžāĻŋāĻž āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻļā§āĻ°āĻ¨ā§‡ā§Ÿ āĻ—ā§āĻ°ā§āĻœā§‡ āĻ†āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ•ā§āĻˇāĻ• ā§‡āĻžāĻŋāĻž āĻāĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•ā§āĻˇāĻŽāĻžāĻŋ āĻĻā§ƒāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨āĻŦā§‡āĨ¤ āĻ†āĻŋ āĻ†āĻĒā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ āĻ…āĻ¨ā§āĻ¨āĻŋāĻžāĻ§ āĻ…āĻ¨ā§āĻ•ā§€ā§‡ā§‡ā§€āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ“āĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡, āĻāĻ¨ā§‡ āĻ“āĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻžāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻŦāĻžā§œāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ āĻŦāĻ‡ āĻ¨ā§‡āĻ–āĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĻā§āĻœā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§āĻ¨āĻˇāĻŋ ā§‡āĻžāĻŽ ā§‡āĻž āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ ā§‡ā§Ÿ āĻāĻ•āĻœā§‡ āĻŽāĻžāĻšāĻŽā§āĻĻ āĻ­āĻžāĻ‡ (āĻ†āĻŦāĻĻā§āĻ˛ā§āĻ˛āĻžāĻš āĻ†ā§‡ āĻŽāĻžāĻšāĻŽā§āĻĻ) āĻ†āĻŋ āĻāĻ•āĻœā§‡ āĻšāĻŽāĻ• āĻ­āĻžāĻ‡ (āĻšāĻŽāĻ• āĻšāĻžāĻ¸āĻžā§‡)āĨ¤ ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ¸āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻ…āĻ¸āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨ā§‡āĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨ā§‡āĻ¸āĻŦā§āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻŋāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻœāĻžā§‡āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻšāĻ¨ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž āĻ•ā§€āĻŋāĻ•āĻŽ āĻĒāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŦā§‡āĻŽā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦāĻž, āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ­āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻšā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻāĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ• āĻ§āĻ¨ā§āĻ¯āĻŦāĻžāĻĻāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ¨āĻ• āĻ•āĻ–āĻ¨ā§‡āĻž āĻ­ā§Ÿ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž āĻāĻ‡ āĻĒā§āĻ°ā§‡āĻ¯āĻžāĻ•āĻžā§Ÿ āĻāĻ‡ āĻŦāĻ‡āĻŸāĻž āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž, āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ ā§‡āĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŸā§āĻ“ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšā§Ÿ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻāĻ‡ āĻŦāĻ‡ āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž āĻ¸āĻžāĻĨāĻŽāĻ•āĨ¤ āĻ¸āĻŦāĻžāĻŋ ā§‡āĻžāĻ°ā§āĻ¸ā§āĻŽ āĻ¨āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨āĻ­āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ­ āĻ•ā§‚āĻ¨ā§āĻ¯ āĻ†āĻŋ āĻāĻ•āĻ‡ āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ¸āĻ¨āĻ•āĻ¨ā§āĻŸā§āĻŋ āĻ¨āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨āĻ­āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ­ āĻ¨ā§‡āĻ¨āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ­ āĻ¨āĻšāĻžāĻ•āĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻĒā§ āĻ¸āĻŋāĻ•āĻžāĻŋ dipusarkar124@gmail.com
  • 6. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 6 āĻ¨ā§‡āĻ–āĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŽāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ­ā§āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ¯ āĻ•āĻžāĻœāĻŸāĻž āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ•āĻŦāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻĨāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• ā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•ā§€ āĻ•ā§€ āĻĻāĻ¨ā§‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻžāĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻļā§āĻŦāĻ•āĻžāĻ¨āĻĒāĻŋ āĻ¸āĻŽā§Ÿ āĻ•ā§ŸāĻŸāĻž āĻŽāĻ¯āĻžāĻš āĻšāĻ¨āĻŦ, āĻœāĻ¨ā§āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻĒāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻŋāĻž āĻ–āĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ•āĻĨāĻž āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻ•āĻŽ āĻĻāĻ¨ā§‡ āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ–āĻžāĻ‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ, āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•ā§āĻ˛āĻžāĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻŦāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻ¯āĻžāĻŋ āĻĒā§œāĻž āĻ§āĻŋāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž āĻāĻ¸āĻŦ āĻ†āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•! āĻŽāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ­ā§āĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž ā§‡āĻžā§‡āĻž āĻ¸āĻŽā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŸāĻž āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŸā§ āĻ­āĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻœāĻžā§‡āĻž āĻ–āĻžāĻŋāĻžāĻĒ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻŦāĻž āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ–ā§āĻŦ āĻāĻ•āĻŸāĻž āĻŦā§āĻāĻ¨ā§‡ āĻšāĻžāĻ‡ ā§‡āĻž, āĻ¸āĻ¯āĻžāĻŋ āĻĻā§āĻ‡ āĻāĻ•āĻŸāĻž āĻ…āĻžāĻ‚āĻ• āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻā§Ÿ ā§‡āĻžāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻĒā§āĻ°āĻžāĻŋ āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻ…āĻŦāĻ¸ā§āĻĨāĻž! āĻ…āĻĨāĻš āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ“ ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸ā§āĻ¨ā§āĻĻāĻŋ āĻāĻ•āĻŸāĻž āĻœāĻ—ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻāĻŋ! āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ§āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ¨āĻ¸ āĻ§āĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦ! āĻŦāĻ‡āĻŸāĻžāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻ§āĻžā§‡ āĻ‰āĻ¨ā§‡āĻ•āĻ¯ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ—ā§āĻ°ā§āĻ—āĻŽā§āĻ­ā§€āĻŋ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ• āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ–āĻ¨ā§Ÿ āĻ­ā§Ÿ āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻ¨ā§‡āĻž ā§‡ā§Ÿ, āĻŦāĻŋāĻžāĻ‚ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšā§Ÿ, āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻŋ āĻŽāĻœāĻž āĻ–ā§ā§āĻāĻ¨āĻœ āĻ¨āĻĒāĻ¨ā§‡ āĻšā§Ÿ ā§‡āĻž āĻ¨āĻĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯ āĻˇā§œāĻ¯āĻ¨ā§āĻ¤ā§āĻ° āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ¨āĻ—āĻžā§‡āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻ“ āĻĸā§āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋ, āĻ¨āĻ—āĻžā§‡āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻŋāĻžā§œāĻž āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ†āĻŋ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ• āĻœāĻ¨āĻŽ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž? āĻāĻ‡ āĻŦāĻ‡āĻŸāĻž āĻĒāĻ¨ā§œ āĻ•ā§āĻˇā§āĻ¨āĻĻ āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻĻāĻŋāĻž āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ•āĻ¨āĻ• āĻ†āĻŋ āĻ­ā§Ÿ ā§‡āĻž āĻĒāĻžā§Ÿ, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ āĻ¨āĻŋāĻžāĻŸā§āĻŸ āĻ¨āĻšāĻŋāĻž āĻ¸āĻžāĻĨāĻŽāĻ• āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻƒ āĻ†āĻŦā§ āĻœāĻžāĻ¨ā§ŸāĻĻ rafe.zayed@gmail.com
  • 7. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 7 āĻ¸ā§‚ āĻŽā§āĻŦāĻš āĻĒ āĻ¤ā§āĻ° --------------------- āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§§ āĻāĻ•āĻŸā§āĻ–āĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻļā§āĻ°ā§ ā§¯ ā§§.ā§§ āĻāĻ•āĻŸā§āĻ–āĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻļā§āĻ°ā§ ā§§.ā§¨ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻļā§āĻ°ā§ ā§§.ā§Š āĻšāĻ•ā§āĻ°āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ ā§§.ā§Ē āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§¨ āĻĒāĻ¯āĻžāĻ¸āĻ¨āĻ•āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ¤ā§āĻ°āĻ­ā§āĻœ āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŽā§ŸāĻžā§‡ ā§¨ā§Š āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§Š āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ§ (āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻŽā§āĻŦā§œ āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻ–āĻž) ā§¨ā§­ ā§Š.ā§§ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ§ (āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻŽā§āĻŦā§œ āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻ–āĻž) ā§Š.ā§¨ āĻ¸ā§āĻĒāĻžāĻŋāĻŽāĻ¯āĻžā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§Ē āĻāĻ—ā§œāĻžāĻāĻžā§āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ (Contradiction) ā§Šā§Ŧ ā§Ē.ā§§ āĻāĻ—ā§œāĻžāĻāĻžā§āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ (Contradiction) āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§Ģ āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻŽā§āĻŦāĻœāĻ“ā§‡ āĻ¨āĻšāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻŽ (āĻ•āĻŦā§ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ ā§‡āĻžā§‡āĻžā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦā§‡) ā§Šā§¯ ā§Ģ.ā§§ āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻŽā§āĻŦāĻœāĻ“ā§‡ āĻ¨āĻšāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻŽ (āĻ•āĻŦā§ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ ā§‡āĻžā§‡āĻžā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦā§‡) ā§Ģ.ā§¨ āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻŽā§āĻŦāĻœāĻ“ā§‡ āĻ¨āĻšāĻžā§‡, āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŦāĻžāĻŋ ā§Ģ.ā§Š āĻ—ā§œāĻŽāĻžā§‡ ā§‡āĻ¤ā§āĻ¤ā§āĻŦ āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§Ŧ Recurrent problems ā§Ēā§Š ā§Ŧ.ā§§ Recurrent problems ā§Ŧ.ā§¨ āĻŸāĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻ…āĻŦ āĻšā§āĻ¯āĻžā§‡ā§Ÿ ā§Ŧ.ā§Š āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻœā§āĻœāĻž āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž ā§Ŧ.ā§Ē āĻ¨āĻœāĻžāĻ¨āĻ¸ā§‡āĻžāĻ¸ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž ā§Ŧ.ā§Ģ āĻ¨āĻœā§‡āĻžāĻ¨āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻžāĻ‚ ā§‡āĻžāĻžāĻ‚āĻ•ā§‡āĻƒ āĻ¸ā§‡āĻ­ āĻ•āĻŋāĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ! āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§­ āĻ¨āĻĻāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¨ā§‡āĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻž (inclusion exclusion) ā§Ģā§¨ ā§­.ā§§ āĻ¨āĻĻāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¨ā§‡āĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻž (inclusion exclusion) āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§Ž āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ†āĻœāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦāĻŦ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž ā§Ģā§Ģ ā§Ž.ā§§ Stirling number ā§Ž.ā§¨ Eulerian number ā§Ž.ā§Š āĻšāĻžāĻŋāĻ¨āĻŽāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ• ā§‡āĻžāĻŋāĻžāĻŋ ā§Ž.ā§Ē āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦāĻžā§‡āĻŽā§āĻŦāĻš ā§‡āĻŋāĻŋ ā§Ž.ā§Ģ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ­āĻ¨ā§āĻ¨ āĻ†āĻœāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦāĻŦ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻĨ Recurrent āĻ¸āĻŋāĻ•āĻŽ āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§¯ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ†āĻ§āĻŸā§ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž ā§Ŧā§Ļ āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§§ā§Ļ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ ā§­ā§Ē
  • 9. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 9 āĻāĻ•āĻŸā§āĻ–āĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻļā§āĻ°ā§ āĻŽāĻ¨ā§‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ…ā§‡āĻ¨ā§āĻ¤ āĻœāĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻĸāĻžāĻ•āĻž āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻ¨āĻĒā§āĻ˛ā§‡ āĻŋāĻžā§œāĻž āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻ•ā§€? āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ¯āĻ–ā§‡ āĻ•āĻžāĻœāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻœāĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻ­āĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŋ, ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ…āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦ āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§āĻ‡ āĻ˜āĻŸāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ¯āĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻœāĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻ­āĻžāĻ‡ āĻ†āĻ¨āĻŋ, āĻ¨āĻ¸āĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻˇāĻŽāĻž āĻ†āĻĒā§ ā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡? āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ†āĻĒā§ āĻŦāĻ¨āĻ¸ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻ¨āĻŋ (āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻžāĻ‚ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡!)āĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ­āĻžāĻ‡ā§ŸāĻž āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ• āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡āĻž, āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻ¨āĻŽ āĻ†āĻĒā§āĻŋ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻĨ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦ, āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻĸāĻžāĻ•āĻž āĻšāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻ¨āĻŋ āĻ¯āĻžāĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ, āĻ¨ā§‡ā§ŒāĻ•āĻž (!), āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸āĻž (!!) āĻ†āĻŋ āĻ¸āĻžāĻ‡āĻ¨āĻ•ā§‡ (!!!) (āĻ§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ āĻ†āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•)āĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻŋ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻžā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ, āĻšāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ (!) āĻ†āĻŋ āĻ¨āĻšāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ•āĻĒā§āĻŸāĻžāĻŋ (āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ!)āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻ¨ā§‡āĻ¸ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻœāĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻŋ āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ? āĻāĻžāĻ¨āĻŽā§‡āĻž ā§‡āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻĻāĻ¨āĻ– āĻ¨ā§‡ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻĸāĻžāĻ•āĻž āĻ¨ā§‡ā§ŒāĻ•āĻž āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻŋ āĻšāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸āĻž āĻ¨āĻšāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ•āĻĒā§āĻŸāĻžāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ‡āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻ¨āĻ–ā§ŸāĻžā§‡ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ–, āĻœāĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ, (1) āĻ¨ā§‡ā§ŒāĻ•āĻž --------------------------īƒ  āĻšāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ (2) āĻ¨ā§‡ā§ŒāĻ•āĻž --------------------------īƒ  āĻ¨āĻšāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ•āĻĒā§āĻŸāĻžāĻŋ (3) āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸āĻž ---------------------------īƒ  āĻšāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ (4) āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸āĻž --------------------------īƒ  āĻ¨āĻšāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ•āĻĒā§āĻŸāĻžāĻŋ (5) āĻ¸āĻžāĻ‡āĻ¨āĻ•ā§‡ -----------------------īƒ  āĻšāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ (6) āĻ¸āĻžāĻ‡āĻ¨āĻ•ā§‡ -----------------------īƒ  āĻ¨āĻšāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ•āĻĒā§āĻŸāĻžāĻŋ āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž āĻœāĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ 6 āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻŋ āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻžā§Ÿ āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŦā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž, āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻŋ āĻ¯āĻžāĻŦāĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ 4āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻž āĻ¯āĻžāĻŦāĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻž āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨ā§‡āĻž?
  • 10. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 10 āĻ–ā§āĻŦ āĻ¸āĻšāĻœāĨ¤ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ–, āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻ¨āĻŋāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŋāĻžāĻ¸ā§āĻ¤āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¯āĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ 2āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ 3āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŋāĻžāĻ¸ā§āĻ¤āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻšāĻ¨āĻŦ 3 × 2 = 6 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ 4 āĻ†āĻŋ 5 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ āĻ‰āĻ¤ā§āĻ¤āĻŋ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻ¨āĻŦ! 20 āĻŽā§āĻŦāĻŸ! ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž! āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ–ā§ŸāĻžā§‡ āĻ•āĻ¨āĻŋāĻŋ? āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ­āĻŽāĻŋāĻ•ā§€ā§‡ āĻ˜āĻŸā§‡āĻžāĻŋ āĻ•āĻĨāĻž āĻŦā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ, āĻšāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻž āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ˜āĻŸā§‡āĻžāĻ“ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ¨āĻ¸āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻ¸āĻŦ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻŽā§āĻŦāĻ­āĻ¨ā§āĻ¨āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽ? āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻˇāĻŽāĻž āĻ†āĻĒā§āĻ¨āĻ• āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§œ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ āĻ…ā§‡āĻ¨ā§āĻ¤ āĻ­āĻžāĻ‡ā§ŸāĻž āĻĸāĻžāĻ•āĻž āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻž ā§‡āĻĻā§€āĻĒāĻ¨āĻĨ āĻĻā§āĻ‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ†āĻŋ āĻ†āĻ•āĻžāĻ•āĻĒāĻ¨āĻĨ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ¸ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻž āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ? āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ—ā§āĻŋ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ ā§‡āĻĻā§€āĻĒāĻ¨āĻĨ āĻ¯āĻžāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻŋ āĻ†āĻ•āĻžāĻ•āĻĒāĻ¨āĻĨāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ­āĻŽāĻŋāĻ•ā§€ā§‡ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ†āĻŋ āĻāĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ—ā§āĻ¨āĻŋāĻŋ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ–āĻžāĻ¨āĻŸāĻŽā§āĻŦā§‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ 2 + 3 = 5 . āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻĨ āĻāĻŸāĻžāĻŋ ā§‡ā§‡āĻžā§Ž āĻ•ā§€ āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŽāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻž āĻ¯āĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻĒāĻĨāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§‡āĻžāĻĒā§āĻŋ āĻ¯āĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ­āĻŽāĻŋāĻ•ā§€ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡āĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻāĻŦāĻžāĻ¨āĻŋāĻŋāĻŸāĻžā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ āĻŋāĻ•āĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ¨ā§‡āĻ‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ–ā§āĻŦ āĻ—ā§āĻ°ā§āĻ¤ā§āĻŦāĻĒā§‚āĻŋāĻŽ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ–ā§ŸāĻžā§‡ āĻŋāĻžāĻ–āĻ¨āĻŦ, (1) āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ­āĻŽāĻŋāĻ•ā§€ā§‡ āĻ˜āĻŸā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ—ā§āĻŋ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ (2) āĻ¸ā§āĻŦāĻžāĻ§ā§€ā§‡ āĻ˜āĻŸā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ— āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻļā§āĻ°ā§ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž (āĻ¨āĻŽāĻ•āĻžāĻĒ āĻŸāĻžāĻ‡āĻĒ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ ā§‡āĻž)āĨ¤ āĻ¸āĻšāĻœ āĻ­āĻžāĻˇāĻžā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻ¨āĻ• āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻ¨āĻ¸āĻŸāĻžāĻ‡ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĨ¤ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻĻāĻ• āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻ¨āĻ• āĻāĻ• ā§‡āĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œ āĻ•āĻŋāĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽāĻ¨āĻ§āĻ¯ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻžāĻ‚āĻ¸ā§āĻ¨āĻŸ, āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻ¨āĻŽ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ¨ā§‡ āĻšāĻžā§Ÿ, āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻ­āĻžāĻ¨ā§‡āĻž, āĻ¨āĻ¯āĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ¸āĻ–āĻžāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻŦāĻ¨āĻ¸ āĻĒā§œāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ•āĻžā§‡ āĻāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ•ā§ƒāĻ™ā§āĻ–ā§‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĨ¤ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻŽāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ‡āĻšāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŋ āĻ†āĻŋ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻž āĻŦāĻĻā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻ• āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻāĻ‡ āĻĻāĻ• āĻœā§‡āĻ¨āĻ• ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻāĻ• ā§‡āĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œ āĻ•āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ•ā§€ āĻ‰āĻ¤ā§āĻ¤āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦ? āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻˇā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻāĻ•āĻĻāĻŽāĻ‡ āĻ¸āĻšāĻœāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡āĻž āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŋ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 10āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻ 10 āĻœāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ•āĻžāĻ‰āĻ¨āĻ• ā§‡āĻž āĻ•āĻžāĻ‰āĻ¨āĻ• āĻ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻžā§Ÿ āĻ˜āĻžā§œ āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻŦāĻ¸āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ, ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ āĻāĻ•āĻœā§‡āĻ¨āĻ• āĻŦāĻ¸āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ā§€ā§Ÿ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻ•āĻžāĻ‰āĻ¨āĻ• āĻĻāĻžā§āĻā§œ āĻ•āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ?
  • 11. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 11 āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 9 āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§ŸāĨ¤ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻœā§‡ āĻŦāĻ¨āĻ¸ āĻ¨āĻ—āĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• 9 āĻ¨āĻŦāĻšāĻžāĻŋāĻžāĻŋ āĻ•āĻžāĻ‰āĻ¨āĻ• ā§‡āĻž āĻ•āĻžāĻ‰āĻ¨āĻ• āĻŦāĻ¸āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŦāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĻāĻžā§āĻā§œ āĻ•āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻ¯āĻžāĻŋāĻž āĻŦā§āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽāĻžā§‡ ā§‡āĻžāĻŋāĻž āĻŦā§āĻ¨āĻ āĻ¨āĻ—āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻļā§āĻšā§ŸāĻ‡āĨ¤ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ā§€ā§Ÿ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ• ā§‡āĻž āĻ¨āĻ• āĻŦāĻ¸āĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ• āĻŦāĻ¸āĻ¨āĻŋ ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ­āĻŽāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŦā§ā§‡ āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻļā§āĻšā§ŸāĻ‡ āĻ“ āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ•āĻžāĻŦā§ā§‡ āĻŦāĻž āĻŦāĻžāĻŦā§ā§‡ āĻŦāĻž āĻ…āĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻŦāĻ¸āĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ­āĻŽāĻŋāĻ•ā§€ā§‡ āĻ˜āĻŸā§‡āĻžāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻšā§āĻ¯āĻžā§āĻ, āĻ—ā§āĻŋāĨ¤ āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž 10 × 9 āĻŦāĻž 90 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻž āĻ•āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ, āĻ¨āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž 10āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• 2āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻŦāĻž āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ•āĻŋāĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ 10 × 9 āĻŦāĻž 90? āĻ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŸāĻžāĻ¨āĻ• āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻ– 10 p2 = 10 × 9 = 90. āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ p āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻŦā§āĻāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ›āĨ¤ āĻāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§āĻāĻžāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻšā§āĻ› āĻ†āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻšāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§āĻāĻžāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻšā§āĻ›āĨ¤ āĻ¯āĻžāĻ•, āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻŦā§‡āĻž āĻšā§Ÿ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻšā§āĻ¯āĻžā§āĻ, 10 × 9 × 8 = 720 āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻšāĻ¨āĻŦ? 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§ŸāĨ¤ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨āĻ• āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž 10! āĻ“ āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ ! āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨āĻ• āĻŦā§‡āĻž āĻšā§Ÿ ā§‡āĻ¯āĻžāĻ•āĻ¨āĻŸāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋā§ŸāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨āĨ¤ (āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ¨āĻ• āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¸ā§āĻŽā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨ āĻ¨āĻ­āĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻšāĻžāĻ– āĻŦā§œ āĻŦā§œ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡ 10āĨ¤ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¸ā§āĻŽā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨ ā§‡āĻž) ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž 5 āĻœā§‡ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ¯ā§‡? āĻšā§āĻ¯āĻžā§āĻ, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻŋ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŦā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž 5 āĻœā§‡ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻœā§‡āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ? ā§‡āĻ–ā§‡ āĻ‰āĻ¤ā§āĻ¤āĻŋ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž, 5 × 4 × 3 = 60 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ“, āĻāĻŸāĻžāĻ¨āĻ•āĻ“ ā§‡āĻ¯āĻžāĻ•āĻ¨āĻŸāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋā§ŸāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ– āĻ¨ā§‡ā§‡āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ•āĻŽā§‡ āĻšā§Ÿ? āĻ¨āĻĻāĻ–, 5 × 4 × 3 = 5×4×3×2×1 2×1 = 5! 2! . āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸ā§āĻ¨ā§āĻĻāĻŋ ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ¨āĻŦāĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŋ, ā§‡āĻžāĻ‡ 5 āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻāĻ• āĻāĻ• āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋāĨ¤ 5! āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŋ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž ā§‡āĻžāĻ—āĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋ āĻ†āĻŋ ā§‡āĻžāĻŋ āĻ•āĻžāĻŽā§āĻŦāĻ¸ā§āĻ¤ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¸āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻš 2! āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ nāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻšāĻ¨ā§‡ pāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡āĻž, ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž n āĻšāĻ¨ā§‡ āĻāĻ• āĻāĻ• āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ rāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ, āĻ†āĻŋ n! āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ (n - r)āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž ā§‡āĻžāĻ¨āĻ—āĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻš r! āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡āĻžāĻŽāĨ¤ āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž āĻ•ā§€ āĻĻāĻžā§œāĻžā§‡ -
  • 12. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 12 n pr = 𝑛! (𝑛−𝑟)! ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ—āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž? āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, ā§‡āĻŋā§ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻšāĻŦ ā§‡āĻžāĻŋ āĻ¸ā§āĻ¯āĻŸāĻ¨āĻ•āĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻĒāĻžāĻ¸āĻ“ā§ŸāĻžāĻŋāĻŽ āĻ­ā§āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ—āĻ¨āĻŋā§‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻŋ āĻļā§āĻ§ā§ āĻŽāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻĒāĻžāĻ¸āĻ“ā§ŸāĻžāĻŋāĻŽāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ¯ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻ¨āĻŋ ā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž 3, 5, 1, 2. āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž ā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻ¸āĻ¨āĻŦāĻŽāĻžāĻšā§āĻš āĻ•ā§‡āĻŦāĻžāĻŋ āĻ¨āĻšāĻŋāĻž āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ ā§‡āĻžā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ–ā§ā§‡āĻ¨ā§‡? āĻ–ā§āĻŦ āĻ¸āĻšāĻœāĨ¤ āĻšāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋāĻ¨āĻ• āĻšāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ 4! āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽāĻ¨ā§‡ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻ•ā§āĻŸāĻ•ā§āĻŸ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻŋāĻžāĻŋāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻĻā§āĻ‡āĻŦāĻžāĻŋāĻ“ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ, āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ 3351, 2233, 2223āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¯āĻž āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽ ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻĒā§āĻ°āĻ¨ā§‡āĻ¯āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻāĻ•āĻŦāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§ŸāĨ¤ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻ•āĻŦāĻžāĻŋ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ? āĻŦā§āĻ¨āĻāĻž āĻŽā§āĻŦā§‡? āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ• āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻ• āĻŦā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž, āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĨ¤ āĻ–ā§āĻŦ āĻ¨āĻ¸āĻžāĻœāĻž, ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻžāĨ¤ 100 āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• 999 āĻŽāĻžāĻ¤ā§āĻ° 900āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻ¸āĻž āĻ¯āĻžāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻœāĻŸ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽāĻ¨āĻ§āĻ¯ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻ—āĻ ā§‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 10 p3 = 120. āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ• āĻ•āĻŽāĨ¤ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻž āĻ•āĻŽ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡āĻž 012, 013 āĻāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻĻā§āĻ‡ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž, āĻāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻ“ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¸āĻžāĻŦ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¸āĻžāĻ¨āĻŦ āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ 0 āĻ¨āĻŋāĻ¨āĻ– āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻ—āĻ ā§‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¸āĻžāĻŦ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ,, āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ 0 āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ˜āĻŋāĻ¨āĻ• āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• 9āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻœāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ 9 p2 = 36 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻĒā§‚āĻŋāĻŋ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¸āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž 120 - 36 = 84 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ¨āĻĻāĻ–ā§‡āĻžāĻŽ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž 900 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻĻā§‚āĻŋ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¸āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻ• 111, 112, 221 āĻ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ ā§‡āĻž, āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¸āĻŦāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻāĻ•āĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŋ, āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¸āĻžāĻ¨āĻŦāĻ‡ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻžāĻ‚āĻŦāĻž āĻ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ¸ā§āĻĨāĻžā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻĒā§‚āĻŋāĻŋ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 9 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ (āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ 0 āĻŦāĻ¸āĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž)āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ, āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ā§€ā§Ÿ āĻ¸ā§āĻĨāĻžā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ? 9 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ? ā§‡āĻž, āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ā§€ā§Ÿ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ āĻĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŋ āĻ¨āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŸāĻžāĻ‡ āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡ā§ƒā§‡ā§€ā§ŸāĻŸāĻž? āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ“ 10 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ! ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ? 9 × 10 × 10 = 900 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŽā§‡āĻ¨ā§‡āĻž?
  • 13. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 13 āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĻāĻžāĻšāĻŋāĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ§āĻŋ, āĻ†āĻŦā§āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§ŸāĻŋ āĻ†āĻžāĻ‚āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒāĻŋāĻžāĻŋ āĻ–ā§āĻŦ āĻ•āĻ–! ā§‡āĻžāĻŋ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ†āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§ŸāĻŋ āĻ†āĻžāĻ‚āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻŋ āĻāĻ• āĻšāĻžāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†ā§‡ā§āĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻĒāĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ? āĻ¨āĻĻāĻ–, āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ†āĻžāĻ‚āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻ•āĻžā§‡ āĻ¨āĻ•āĻžā§‡ āĻ†ā§‡ā§āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ? āĻ¸ā§āĻŦāĻ­āĻžāĻŦā§‡āĻ‡ āĻ†āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†ā§‡ā§āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ¨āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨ā§‡āĨ¤ āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ†āĻžāĻ‚āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡ā§€ā§Ÿ āĻ†āĻžāĻ‚āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻĒāĻžā§‡āĻžāĨ¤ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§Ÿ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ? āĻāĻŸāĻžāĻ“ āĻ†āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§ŸāĨ¤ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ†āĻžāĻ‚āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻŦāĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻš āĻāĻ¨āĻ• āĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯āĻ“ āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§ŸāĨ¤ ā§‡ā§ƒā§‡ā§€ā§Ÿ? āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ“ āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§ŸāĨ¤ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻĻā§āĻ‡ āĻ†ā§‡ā§āĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¸āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻžāĻ‚āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻš āĻŦāĻ¸āĻžāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†ā§‡ā§āĻ¨ā§‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻ•ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ? 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 58 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽāĻ¨āĻ§āĻ¯ āĻ¯āĻžāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦā§āĻ¨āĻ āĻ¨ā§‡āĻ¨ā§‡āĻŋ, ā§‡āĻžāĻŋāĻž āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸāĻžāĻŽā§āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡ā§‡ā§ā§‡ āĻĒā§āĻ°āĻ¨āĻļā§āĻ¨āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¤ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻ§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ, āĻ¸āĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻāĻ• ā§‡ā§Ÿ, āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ¸āĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻŽāĻ¨āĻ§āĻ¯ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻ• āĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ āĻšāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻ†āĻ¨āĻŋ - a, a, b, c. āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ a, āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ b āĻ†āĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ c. āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĻž? āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž ā§‡āĻžā§œāĻžā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦā§œ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ¨āĻ• āĻŦāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¸āĻ¨āĻŦ 4! = 24 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ•ā§€ ā§‡āĻžāĻ‡? āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ a āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ¨āĻ–ā§ŸāĻžā§‡ āĻ•āĻŋ, āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻāĻ•āĻ‡ āĻŋāĻ•āĻŽ āĻ¨āĻĒāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻ¨āĻŽāĻ‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋāĻ¨āĻ• y āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ āĻ†āĻŋ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ a āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ 2! āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ ā§‡āĻ¨āĻŦāĻ‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§‚ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻĒāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻŦāĨ¤ āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž, y × 2! = 24 āĻŦāĻž, y = 24 2! = 12 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻŸāĻžāĻ¨āĻ• āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‚āĻ¤ā§āĻ° āĻ†āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ– āĻ¨ā§‡ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ x āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻĨāĻžāĻ¨āĻ• āĻ¯āĻžāĻŋ āĻŽāĻ¨āĻ§āĻ¯ a āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻ• āĻāĻ• āĻœāĻžā§‡ā§€ā§Ÿ, b āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻ• āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ• āĻœāĻžā§‡ā§€ā§Ÿ,... āĻšā§Ÿ, ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽāĻžāĻ¨āĻ đ‘Ĩ! 𝑎! 𝑏!â€Ļ āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĒā§āĻ°ā§Ÿ āĻ¨āĻĻāĻ• āĻŦāĻžāĻžāĻ‚ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻ¨āĻ•āĻŋ āĻŦāĻŋāĻŽāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ?
  • 14. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 14 āĻ¨āĻĻāĻ– Bangladesh āĻ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽāĨ¤ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽāĻ¨āĻ§āĻ¯ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻāĻ•āĻ‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ, 10! 2! . āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ—āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻ¸āĻŽāĻžāĻ§āĻžā§‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻ• āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž 1, 2, 3, 5, 0 āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ•āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻžāĻŋ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ…āĻĨāĻŽāĻĒā§‚āĻŋāĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨āĻœāĻžā§œ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻŦāĻžā§‡āĻžāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĻž? āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡, āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‚āĻ¨ā§āĻ¯ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻžāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ“, āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨āĻœāĻžā§œ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž, ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ¨āĻ•āĻ¨āĻˇ 3 āĻŦāĻž 5 āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻ¨āĻŽ āĻ§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ, āĻ¨āĻ•āĻ¨āĻˇ 3 āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻļā§āĻ°ā§āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ˜āĻ¨āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻšāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ• āĻŦāĻ¸āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ 4 p3 āĻŦāĻž 24 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ 0 āĻ†āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻ¨āĻˇ 3 āĻ¨āĻŋāĻ¨āĻ– āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ˜āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ 3 p2 āĻŦāĻž 6 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻĒā§‚āĻŋāĻŋ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ 24 – 6 =18āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻ¨āĻ•āĻ¨āĻˇ 5 āĻ¨āĻŋāĻ¨āĻ–āĻ“ āĻāĻ•āĻ‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ, 18 × 2 = 36 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ§āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻ• 4āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡āĻžāĻŽ 5, 1, 2, 3. āĻāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻ¯ āĻšāĻžāĻŋ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ•āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ—ā§‡ā§‡ āĻ•ā§‡? āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ–, 1 āĻ¨āĻ•āĻ¨āĻˇ 1 āĻ¨āĻŋāĻ¨āĻ– āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ˜āĻŋāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ•ā§‡ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻĒā§‚āĻŋāĻŋ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 3! = 6 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ 1 āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ ā§‡āĻžāĻŋāĻžāĻŋ āĻ˜āĻ¨āĻŋ āĻŋāĻžāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ•ā§ŸāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻāĻ–āĻ¨ā§‡āĻž āĻŋā§ŸāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻāĻ–ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ†āĻŋ āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ 1 āĻ†āĻ¨āĻŋ? ā§‡āĻž, āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ 10 āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻ—āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ†āĻŽāĻžāĻŋ āĻŽāĻ¨ā§‡ āĻšā§Ÿ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻŦā§āĻāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻāĻŋāĻĒāĻŋ āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ 1 āĻ¨āĻ• āĻāĻ•āĻ˜āĻŋ āĻ¸āĻžāĻŽāĻ¨ā§‡ āĻŋāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ–, āĻāĻŦāĻžāĻŋāĻ“ 6 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ†āĻŋ 1 āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ 100. ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻŦāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻāĻ• āĻāĻŋ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ—ā§‡ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ? 6 × (1 + 10 + 100 + 1000) āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻŦāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ 2 āĻāĻŋ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ—ā§‡ā§‡ āĻ•ā§‡? 6 × 2 × (1 + 10 + 100 + 1000) āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻŦāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŋ āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ—ā§‡ā§‡ 6 × (1 + 2 + 3 + 5) × (1 + 10 + 100 + 1000) āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ†āĻŦā§ā§‡ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻšāĻ¨āĻŦāĻŋ a āĻ†āĻŋ b āĻ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ• āĻĒāĻŋāĻ¨ā§āĻĻāĨ¤ āĻāĻ• āĻĒā§āĻ°āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ¯āĻžāĻŽā§āĻŦāĻ—ā§‡āĻžā§Ÿ ā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻ‡āĻžāĻ‚āĻ¨āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻœ āĻŋāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ
  • 15. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 15 āĻ•āĻŦā§āĻĻ āĻŦāĻžā§‡āĻžāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ¨āĻ¸ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻ•, āĻĒā§āĻ°āĻ¨ā§‡āĻ¯āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻ¨āĻŦā§āĻĻ a āĻ†āĻŋ b āĻŦāĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž, āĻ¨āĻ¸ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻŦā§āĻĻ āĻ•āĻŽ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋ? āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ†āĻŦā§ā§‡ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻšāĻŦ āĻ¸āĻŦāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡āĻž ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻŦā§āĻĻ āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¨āĻ¯ā§‡? āĻšā§āĻ¯āĻžā§āĻ, 26 p5 āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž a b āĻ¨āĻ• āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 5 p2 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ¸ a b āĻ¸āĻŦāĻ¸āĻŽā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻšāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻšāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ›, 24 p3 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ 24 p3 × 5 p2 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻŦā§āĻĻ āĻ•āĻŽ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋ? āĻāĻŦāĻžāĻŋ, āĻāĻ•āĻŸā§ āĻŦāĻžāĻ¸ā§āĻ¤āĻŦ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻ†āĻ¸āĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻ§āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻ•ā§āĻ˛āĻžāĻ¨āĻ¸ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻŦāĻž āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻšāĻ“ ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻļā§āĻšā§ŸāĻ‡ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻšāĻžāĻ‡āĻ¨āĻŦ! āĻ†āĻŋ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§ŸāĻŋ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ•āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻ•ā§āĻ˛āĻžāĻ¨āĻ¸ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŦāĻ¨ā§‡ 3āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻŋ 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§ŸāĻ—ā§ā§‡āĻž āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻšāĻžā§Ÿ, āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ…āĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§ŸāĻŋ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• ā§‡āĻž (āĻŽā§āĻŦāĻšāĻžāĻ‚āĻ¸āĻž āĻ†āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻ•!)āĨ¤ āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž āĻĒāĻžāĻ•āĻžāĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻšāĻžā§Ÿ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦ? āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻ¨āĻŽ āĻāĻ• āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡āĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡, ā§‡āĻžāĻ‡ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ 5! āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ• āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡āĻ¨āĻĻāĻŋ ā§‡āĻžā§āĻāĻ¨āĻ• ā§‡āĻžā§āĻāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻšāĻžāĻ‚āĻ¸ā§āĻ¨āĻŸ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĸā§āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻāĻ‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋāĻž āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• āĻŦāĻ¸āĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž! āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž, āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡āĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻž āĻ†āĻ¨āĻŋ? āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•, ā§‡ā§€ā§‡ āĻŦāĻ•ā§āĻ¸āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŋ ā§‡ā§€āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§āĻāĻžā§Ÿ, ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻž āĻ†āĻ¨āĻŋ? āĻšā§āĻ¯āĻžā§āĻ, 6āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻāĻ–ā§‡, āĻ āĻŋā§Ÿ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻžā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻ• āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡, 6 p3 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ, 5! × 6p3 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ, āĻāĻ•āĻŸā§ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¸āĻžāĻŽā§āĻŦāĻœāĻŋ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻžā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻŋ āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻ¸! Alphabet āĻ āĻ•āĻŦā§āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨āĻ• āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ¯ā§‡ āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻĨāĻžāĻ¨āĻ•? āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ? A, a, e āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻāĻ• āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻāĻŋāĻž āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ āĻāĻ•āĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻ¸ā§āĻ¤āĻžā§Ÿ āĻ­āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž, āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ āĻ¨āĻĒā§‡āĻžāĻŽ? āĻŦāĻ¸ā§āĻ¤āĻž, l, p, h, b, t āĻŦāĻž 6āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? 6! āĻŦāĻž 720 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤
  • 16. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 16 āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¸ā§āĻ¤āĻžāĻŋ āĻŦāĻŋāĻŽāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŋ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŦāĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻž āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻž āĻŦāĻĻā§‡āĻž āĻŦāĻĻāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ āĻ•āĻžāĻœāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? 3! 2! āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦāĻž 3 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ a ā§‡āĻžāĻ‡ 2! āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻŋāĻž āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ, 3 × 720= 2160 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨, āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ āĻāĻ•āĻ¨āĻ¤ā§āĻ° ā§‡āĻž āĻ¨āĻŋāĻ¨āĻ– āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻž āĻ•āĻŋ, āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡ā§‡ā§ā§‡ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ alphabet āĻ•āĻŦā§āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ•ā§āĻ°āĻŽ āĻĒāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŦā§‡āĻŽā§‡ ā§‡āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻŦā§āĻāĻ¨ā§‡ ā§‡āĻž? āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž, āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽ āĻ¨āĻ•āĻžā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ? a. āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ a. āĻ†āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻ¨āĻˇāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ e. āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ¸āĻŽā§Ÿ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ āĻ•ā§āĻ°āĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ• āĻŋāĻžāĻ–āĻ¨āĻŦāĻž, āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž e āĻ¨āĻ• āĻ†āĻ¨āĻ— āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ–āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĻž ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž, āĻ¨āĻ•āĻŦā§‡ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻĒāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŦā§‡āĻŽā§‡ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ - Alphabet Alphebat Alphabet Alphebat Elphabat Elphabat āĻ 6āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻ•āĻŦā§‡ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻĒāĻžāĻ‡āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻž, āĻ¸āĻŦāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽāĻ¨āĻ• āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽ āĻ§āĻŋāĨ¤ āĻ§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ, āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻŦāĻžāĻŋ a, a, e ā§‡āĻž āĻŦāĻŋāĻžāĻ‚ a, a, a. āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžā§Ÿ - Alphabat Alphabat Alphabat Alphabat Alphabat Alphabat āĻāĻŦāĻžāĻŋāĻ“ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻāĻ•āĻ‡ ā§‡ā§‡āĻžā§‡ā§‡ āĻ¨āĻĒā§‡āĻžāĻŽ? ā§‡āĻž, 6āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻžā§Ÿ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž, āĻāĻ•āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻŦāĻžāĻŋāĻŦāĻžāĻŋ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ•ā§ŸāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŋ ā§‡āĻžāĻŋ ā§‡āĻ¯āĻžāĻ•āĻ¨āĻŸāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋā§ŸāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ›, 8! 3! . āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡ā§‡ā§ā§‡ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŦā§‡āĻž āĻšā§Ÿ, āĻ alphabet āĻ•āĻŦā§āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽ āĻ†āĻŋ āĻŦāĻ¯āĻžāĻžā§āĻœā§‡āĻŦāĻ¨āĻŋāĻŽāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻĒāĻŽā§āĻŦāĻ•ā§āĻˇāĻ• āĻ…āĻŦāĻ¸ā§āĻĨāĻžā§‡ āĻĒāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŦā§‡āĻŽā§‡ ā§‡āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ, ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦ?
  • 17. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 17 ā§‡āĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻ— āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ†āĻ¨āĻĒāĻŽā§āĻŦāĻ•ā§āĻˇāĻ• āĻ…āĻŦāĻ¸ā§āĻĨāĻžā§‡ āĻĒāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŦā§‡āĻŽā§‡ ā§‡āĻž āĻ•āĻŋāĻž āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€? āĻ¨āĻĻāĻ–, a āĻ†āĻ¨āĻŋ 1 ā§‡āĻžāĻŋāĻžāĻŋ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡, āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ a 5 ā§‡āĻžāĻ‚ āĻ āĻ†āĻŋ e 7 ā§‡āĻžāĻ‚ āĻāĨ¤ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ¸āĻŽā§Ÿ āĻāĻŋāĻž āĻ āĻ¸ā§āĻĨāĻžā§‡ āĻŦāĻžāĻ¨āĻĻ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¨āĻ•āĻžāĻĨāĻžāĻ“ āĻŦāĻ¸āĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻŦāĻ¯āĻžāĻžā§āĻœā§‡āĻŦāĻŋāĻŽāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻ“ ā§‡āĻžāĻ‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ? 3āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻŦāĻŋāĻŦāĻŋāĻŽ 3! āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻŋāĻŽ 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§‡ 5! āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ, 3! × 5! āĻšāĻ•ā§āĻ°āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĻƒ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž 5 āĻœā§‡ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻ—āĻžā§‡āĻ¨āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¨āĻ¸ āĻ†āĻŋāĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ­āĻžāĻ¨ā§‡āĻž ā§‡āĻžāĻ—āĻ¨ā§‡āĻž ā§‡āĻž, ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻž āĻŦāĻĻā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡āĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ ā§‡āĻž, āĻāĻ•āĻŸā§ āĻĒāĻŋ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻŽāĻžāĻŋāĻžāĻŽāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻž āĻŦāĻĻā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡āĨ¤ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž, āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•ā§‡āĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻĻā§‡āĻž-āĻŦāĻĻāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻŦā§‡āĻ¨āĻŋāĻž āĻ–ā§āĻŦ āĻ¨āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ 5 āĻœā§‡ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ , ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋāĻ¨āĻ• 5! āĻŦāĻž 120 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ! āĻ¸āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¯āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• ā§‡āĻžāĻ‡? āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž 5 āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ›āĻž, a, b, c, d, e . āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ–āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ¨āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ–, āĻāĻŦāĻžāĻŋ ā§‡āĻžāĻ– āĻŸāĻžāĻ•āĻž āĻĻāĻžāĻ¨āĻŽāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨āĨ¤ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨āĻ• āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ¨āĻ•āĻ‡ āĻŽāĻžāĻĨāĻž āĻšā§ā§‡āĻ•āĻžāĻ¨āĻŦ! āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ, āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦāĻž āĻ¨āĻ•āĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§ŸāĨ¤ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ• āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ–ā§āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻĒā§œāĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ āĻ¨āĻ•āĻŠ e āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ edcba āĻŦāĻž eabcd. āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ•āĻ‰ a āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŦā§‡, āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĻ¨ā§‡āĻž, aedcbāĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ˜ā§āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§ŸāĻ“ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻŦ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻāĻ•āĻ‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž, āĻāĻ–ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ†āĻŋ 5! āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ• āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ•āĻ¨āĻŽ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ, ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¸āĻžāĻŦāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ§āĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ›, A, b, c, d, e. āĻāĻ–ā§‡ āĻ¨āĻĻāĻ–, āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ b āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻ¨āĻ¸āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ b āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ– āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ–āĻ¨āĻŦāĻž āĻ†āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻ¨āĻˇ a āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ–āĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻšāĻ•ā§āĻ°āĻžāĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ āĻ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻžā§‡āĻžāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ†āĻŋ āĻ¸āĻŦ āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻāĻ•āĻ‡ āĻŽāĻžā§‡ āĻ†āĻ¸āĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? a b c d e
  • 18. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 18 āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ•āĻŽā§‡ āĻšā§Ÿ? āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻœā§‡āĻ¨āĻ• āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻŽāĻŋ āĻ¨āĻšā§ŸāĻžāĻ¨āĻŋ āĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§Ÿ āĻŋāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ–, āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¨ā§‡āĻžāĻ•āĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ“ā§‡āĻŸ āĻĒāĻžā§‡āĻŸ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ‡āĨ¤ āĻ¨āĻ¸āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ†āĻ¨āĻ— a āĻāĻŋ āĻŦāĻžāĻŽ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• b āĻ†āĻŋ āĻŋāĻžā§‡āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• c āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ“ā§‡āĻŸ āĻĒāĻžā§‡āĻ¨āĻŸāĻŋ ā§‡āĻ¨ā§‡ āĻ§āĻŋ āĻŋāĻžā§‡āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• b āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• c āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ ā§‡āĻ–ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŦāĻž ā§‡āĻž? ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž? āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ? a āĻŦāĻžāĻ¨āĻĻ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻšāĻžāĻŋ āĻœāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž (5-1)! āĻŦāĻž 4! ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¯ā§‡āĻœā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§āĻˇ ā§‡āĻžāĻŋ āĻ¨āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻāĻ• āĻ•āĻŽ āĻāĻŋ ā§‡āĻ¯āĻžāĻ•āĻ¨āĻŸāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋā§ŸāĻžā§‡-āĻ‡ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻŋāĻŽā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŋāĻžāĻŸā§āĻŸ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻžāĨ¤ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻ­āĻ¨ā§āĻ¨ āĻŽā§āĻŦāĻ­āĻ¨ā§āĻ¨ āĻŽā§āĻŋāĻž āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽāĻžā§‡āĻž āĻ¤ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦ? āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡, āĻ¸āĻŦāĻžāĻ‡ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ•ā§‡ 9! āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻ¸, āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻŦā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻŽāĻžā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻ‰āĻšā§ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ§āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ§āĻŋ, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻ¸āĻžāĻŽāĻ¨ā§‡ āĻāĻ•āĻœā§‡ āĻĻāĻžā§āĻāĻŽā§āĻŦā§œāĻ¨ā§Ÿ āĻŽāĻžā§‡āĻžāĻŸāĻžāĻ¨āĻ• āĻāĻŋāĻ•āĻŽ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨āĻŋ (ā§§āĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¤ā§āĻ°), āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻ‡ āĻŽāĻžā§‡āĻž āĻāĻ•āĻœā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻŋā§‡ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€āĻŋāĻ•āĻŽ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨āĻŦ? (ā§¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¤ā§āĻ°) āĻāĻ•āĻĻāĻŽ āĻ‰ā§‡āĻŸāĻž āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĻ‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻ‡āĨ¤ āĻāĻŋāĻ•āĻŽ āĻ¯ā§‡āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻŦāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻĻā§āĻ‡ āĻ­āĻžāĻ¨āĻ— āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ āĻāĻ•āĻ­āĻžāĻ— āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻ¸āĻžāĻŽāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻ­āĻžāĻ— āĻ¨āĻĒāĻŋā§‡ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ•āĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻāĻ•āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸āĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡, 9! ā§‡āĻžāĻ‡ āĻ†āĻ¸ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻāĻŋ āĻ…āĻ¨āĻ§āĻŽāĻ•āĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ ā§‡ā§ā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĻž, āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋāĻŸāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽ ā§‡āĻž? āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋāĻŸāĻžā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻĻā§āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ¨āĻ•āĻŠ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ•āĻŦā§‡ āĻ¨āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ‰āĻĒāĻŋ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĨ¤ a c e d b a b e d c a j i h gf e d c b b c d e fg h i j a
  • 19. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 19 āĻŽā§āĻŦā§‡āĻš āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§, āĻŽāĻžā§‡āĻžāĻŋ āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻŽāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻ¨āĻŋ āĻĻā§āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§ŸāĻ‡ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻ‡ āĻĻā§āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ­āĻžāĻ— āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻā§‡āĻ•ā§āĻˇāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻŦāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§āĻ•ā§āĻˇāĻŋ āĻ†āĻ¨ā§‡āĻžāĻšā§‡āĻž āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽāĨ¤ āĻ¨āĻ• āĻ†āĻ¨āĻ— āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĒāĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¸āĻ¨āĻŦ, āĻ¨āĻ• āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ• āĻŦāĻžāĻ¨āĻŽ āĻ†āĻ¸āĻ¨āĻŦ āĻāĻ¸āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻ¸āĻž āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ…āĻ¨ā§āĻ¯āĻŋāĻ•āĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻž āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ§āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻŽāĻžāĻ¨āĻ  ā§‡ā§ āĻŸāĻŦā§‡ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻ¨āĻŦ, āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻŽā§āĻŦāĻ—āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡ 33āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻ– āĻ¨āĻ—āĻžāĻŽā§œāĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻĻāĻžā§āĻāĻŽā§āĻŦā§œāĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ¸āĻŦāĻžāĻ‡ ā§‡ā§āĻŸāĻŦā§‡ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻ¨ā§‡ āĻšāĻžā§Ÿ, āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ¯āĻžāĻ•, āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻā§‡ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻ¨ā§‡, āĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻā§‡ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻ¨āĻŦ, āĻ†āĻŋ āĻāĻŋāĻĒāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ• āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦ āĻ•āĻžāĻŋ āĻ¨āĻœā§‡āĻžāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻ¨āĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŦāĻž āĻ•āĻŽāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ•āĻŠ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŦāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽāĻ¯āĻžāĻš āĻšāĻ¨āĻŦ, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦ? āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ†āĻ¨āĻ— āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨āĻ– āĻāĻ¨āĻ¸āĻŋ, ā§‡āĻžāĻ‡ āĻšā§āĻŸ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ•ā§‡, āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻā§‡ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻā§‡ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĻž? 3p 2 = 6 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻˇā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ•? āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ¨āĻ­āĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻĻā§‡āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ ā§‡āĻžāĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡āĻžāĻŽ a, b, c. ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻž āĻšāĻ¨āĻŦ? a b b c c a. āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻŽā§āĻŦāĻ—āĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŋā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡āĻž āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ•āĻ¨āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŋ ā§‡āĻžāĻŋāĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ“ āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŋ, b a c b a c āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻŋ āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ• āĻ•āĻĨāĻžāĻ‡, ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻ•! āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ a āĻ†āĻŋ b āĻāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻĨ āĻŽāĻ¯āĻžāĻš āĻšāĻ“ā§ŸāĻž āĻ†āĻŋ b āĻ†āĻŋ a āĻāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻĨ āĻŽāĻ¯āĻžāĻš āĻšāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻ‡ āĻ•āĻĨāĻžāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§€ āĻ¨āĻŦāĻžāĻāĻžāĻŋ āĻ•āĻĨāĻžāĨ¤ ‘āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ•â€™ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻž, āĻ¨āĻ• āĻ†āĻ¨āĻ— āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻāĻ•āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻšāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ¸ā§‚āĻ¤ā§āĻ° āĻĻāĻžā§āĻā§œ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ¨āĻ•āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻĻāĻžā§āĻā§œ ā§‡āĻž āĻ•āĻŋāĻžāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡! āĻ†āĻ¨āĻ¸āĻž, āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĨ¤ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ nāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• rāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĻž? āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž n cr āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĻž (āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨āĨ¤ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§ŸāĻ‡ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ•āĻ¨āĻ• āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻ• āĻ•āĻ¨āĻŋāĨ¤)
  • 20. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 20 āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ‡, āĻŦāĻ¨ā§‡āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻšā§‡ā§ r āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ†āĻ¨āĻŋ, ā§‡āĻžāĻ‡ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ r! āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ•ā§‡āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻĒā§‡āĻžāĻŽ? n cr × r! āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž, āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž n āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻšāĻ¨ā§‡ r āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽ, ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻāĻ•āĻ‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ˜āĻŸāĻ¨ā§‡āĻž ā§‡āĻž? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ n cr × r! = n pr So, n cr × r! = 𝑛! (𝑛−𝑟)! Or, n cr = 𝑛! 𝑟!đ‘Ĩ(𝑛−𝑟)! āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡, āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸ā§āĻ¨ā§āĻĻāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‚āĻ¤ā§āĻ° āĻĻāĻžā§āĻā§œ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨ā§‡ā§‡ā§‡āĻžāĻŽ! āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŋāĻžāĻŸā§āĻŸ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻžāĨ¤ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻĻāĻ• āĻœā§‡ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻ†āĻ¨āĻŋ, āĻ†āĻŋ ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĻāĻžāĻ“ā§ŸāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻšāĻžāĻ“āĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ¸āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻāĻŽā§‡ ā§‡āĻž, āĻšā§ŸāĻ¨ā§‡āĻž āĻ•āĻžāĻ‰āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡, āĻ•āĻžāĻ‰āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ ā§‡āĻž, āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻšā§ŸāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨āĻ•āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡āĨ¤ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ? āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ• āĻĻāĻ• āĻœā§‡ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻŋ ā§‡āĻžāĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡āĻžāĻŽ, 1, 2, 3, ...10 āĻāĻŦāĻžāĻŋ ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻĻāĻžāĻ“ā§ŸāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĻž? āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ• ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ 1, 2, 4, 5, 6, 9 ā§‡āĻžāĻŋāĻžāĻŋāĻ¨āĻ•āĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ§āĻŋ ā§‡āĻž āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻž, āĻāĻ–ā§‡ ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ 1, 4, 2 āĻ¨āĻ•āĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ§āĻŋ, āĻ¨āĻ­āĻ¨āĻŦ āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦ? āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻžāĻŋ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ• ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ 1 ā§‡āĻžāĻŋāĻžāĻŋāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦ āĻŦāĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž, āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦ? āĻĻā§āĻ‡ āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ, āĻšā§Ÿ ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ ā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻĻāĻžāĻ“ā§ŸāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦ, ā§‡ā§‡ā§āĻŦāĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ 1 ā§‡āĻžāĻŋāĻžāĻŋ āĻāĻŋ āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦāĨ¤ 2 āĻāĻŋ āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ°? āĻāĻ•āĻ‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĨ¤ āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ 10 āĻœā§‡ āĻāĻŋ āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ° āĻāĻ•āĻ‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž, āĻ āĻ˜āĻŸā§‡āĻžāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸ā§āĻŦāĻžāĻ§ā§€ā§‡? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡, āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ¨āĻĨ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻŋāĻ•āĻŽ āĻ¨ā§‡āĻ‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ? āĻ¸āĻŦāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ—ā§āĻŋ! āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ 2 × 2 × 2 × 2 × â€Ļ × 2 = 210 . āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ“ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ“, āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻāĻŽā§āĻŦā§œāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋ, 1 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ, āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻž āĻŦāĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻž ā§‡āĻž, 2 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžāĻ“ āĻāĻ•āĻ‡āĨ¤ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋ āĻŽāĻ¨ā§‡āĻž āĻŋāĻ• āĻāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻž āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ 1 2 3 4........................
  • 21. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 21 āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻžā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻžā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻžā§‡āĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻ¨āĻ–ā§ŸāĻžā§‡ āĻ•āĻŋ, āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻšāĻŋ ā§‡āĻžāĻ‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨āĻŋāĻž? āĻ¸āĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻž ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦāĻž ā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻ—āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦ? āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻ¨āĻ• āĻĻāĻžāĻ“ā§ŸāĻžā§‡ ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻ•ā§€ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦ! ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¯āĻž āĻ—ā§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ ā§‡āĻž āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻžāĻĻ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻšāĻ¨āĻŦ, 210 -1 āĻŸāĻžāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻĒāĻ¨ā§œ āĻāĻ¨āĻ¸āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ¸āĻ¨āĻŸāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻ¸āĻŸ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž 2n , āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž? āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒāĻŋāĻĒāĻŋ ā§‡ā§āĻŸāĻŦā§‡ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻž āĻšāĻ¨āĻŦ, āĻ¨āĻŋāĻœāĻžāĻ˛ā§āĻŸ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ? āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡ā§āĻŸāĻŦā§‡ āĻ¨āĻ–ā§‡āĻžāĻŋ āĻ¨āĻŋāĻœāĻžāĻ˛ā§āĻŸ āĻ•ā§€ āĻ•ā§€ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ? āĻœā§Ÿ-āĻĒāĻŋāĻžāĻœā§Ÿ āĻŦāĻž āĻĄā§āĻ°, āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻāĻ•āĻ‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻŋāĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋāĻ“! ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ, 3 × 3 × 3 = 27. āĻāĻŋāĻ•āĻŽ āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ• āĻ‰āĻĻāĻžāĻšāĻŋāĻŋ āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ, āĻ†āĻŋ āĻ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻ• ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ‡āĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻ­āĻ¨ā§āĻ¨ āĻŦāĻ¯āĻĒāĻžāĻŋ āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ–āĨ¤ āĻ§āĻŋ, ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ 10āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡ā§āĻŸāĻŦā§‡, 9āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŸāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻŦā§‡ āĻ†āĻŋ 6āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻœāĻžāĻŋā§āĻŋāĻž āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻ•āĻĨāĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž, ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻ¨āĻŦāĻžā§‡āĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ? āĻ¸āĻšāĻœ, 10āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡ā§ āĻŸāĻŦā§‡ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ 11āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻ¨āĻĻā§ŸāĻžāĻŋāĨ¤ (āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦāĻž ā§‡āĻž :D) āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ 10 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻŦāĻžāĻ‚ 7 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ 10 × 11 × 7 -1 (āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ?) āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻĨāĻž āĻŦāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ•, 250000 āĻāĻŋ āĻ‰ā§ŽāĻĒāĻžāĻĻāĻ• āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻ•ā§‡? āĻ­ā§Ÿ āĻ¨āĻĒāĻ¨ā§‡? āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ“ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ“ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĨ¤ 250000 = 52 × 104 = 56 × 24 āĻ‰ā§ŽāĻĒāĻžāĻĻāĻ• āĻŦāĻžā§‡āĻžāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ āĻ—ā§āĻŋā§‡āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ•āĻ‡ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒāĻžā§āĻāĻš āĻ†āĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻā§āĻ‡ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ, āĻšā§āĻ¯āĻžā§āĻ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰ā§ŽāĻĒāĻžāĻĻāĻ• āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› 5 × 5 × 2 = 50. āĻ•āĻĨāĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ? āĻ¨āĻ¸āĻžāĻœāĻžāĨ¤ āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ 6āĻŽā§āĻŦāĻŸ 5 āĻ†āĻŋ āĻšāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻā§āĻ‡ āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŦāĻžāĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĻž 7 × 5 āĻŦāĻž 35 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻŽā§ŒāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ• āĻ‰ā§ŽāĻĒāĻžāĻĻāĻ• āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ āĻ¨āĻ•ā§‡? āĻ†āĻŋ āĻāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§ŸāĻžāĻ— āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽ ā§‡āĻž āĻ¨āĻ•ā§‡? āĻ¨āĻšāĻŋāĻž āĻ•āĻŋ, āĻ¨āĻĒāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ‰āĻ¤ā§āĻ¤āĻŋāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻāĻŋāĻ•āĻŽ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡āĻž, 56 × 24 × 3 × 5āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¨āĻ¯ā§‡? āĻāĻŸāĻžāĻ“ āĻ¸āĻšāĻœ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ 7 × 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻšā§āĻ›, āĻ†āĻŋ āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ• āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋ āĻŽāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻšā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŦ āĻ…āĻĨāĻŦāĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŦ ā§‡āĻž, āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ, 5 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžāĻ¨ā§‡āĻ“ āĻāĻ•āĻ‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻžā§Ÿ, 7 × 5 × 2 × 2. āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻž āĻāĻŋāĻ•āĻŽ āĻŋāĻžā§œāĻž āĻŋāĻžā§œāĻž āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡āĻž ā§‡āĻ–ā§‡?
  • 22. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 22 āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ­āĻžāĻ—āĻžāĻ­āĻžāĻŽā§āĻŦāĻ—āĻŋ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ¨āĻ• āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĨ¤ āĻ§āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻžāĻ¨āĻŋ 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§‡āĻŽ āĻ†āĻŋ 3āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ–āĻžā§‡āĻž āĻ†āĻ¨āĻŋāĨ¤ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻ‡ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻ†āĻ¸āĻ¨āĻŋ, ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻāĻŽā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ¯ā§‡ āĻāĻ• āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ• āĻŦāĻ¨ā§āĻ§ā§ āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻĒāĻžā§Ÿ, āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ āĻ­āĻžāĻ—āĻžāĻ­āĻžāĻŽā§āĻŦāĻ— āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦ? āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ†āĻ¨āĻŋ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ? 8āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻ 8āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻšāĻ¨ā§‡ 5āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ•ā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 8 c5 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻžāĻŋ āĻĻāĻŋāĻ•āĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻŋ? āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻĒāĻžā§āĻāĻšāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻĒā§‡āĻž-āĻ†āĻĒāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžā§Ÿ, ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? āĻāĻ–ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻžāĻ§āĻžāĻŋāĻŋ āĻ¸ā§‚āĻ¤ā§āĻ° āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ– āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĨ¤ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ (m + n) āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻ• āĻŦāĻ¸ā§āĻ¤ā§ āĻĨāĻžāĻ¨āĻ• āĻ†āĻŋ ā§‡āĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ m and n āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻ•āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻĻā§āĻ‡ āĻĻāĻ¨ā§‡ āĻ­āĻžāĻ— āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšā§Ÿ, ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ­āĻžāĻ— āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻšāĻ¨āĻŦ m+n cm . āĻāĻŸāĻžāĻ¨āĻ• āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ (𝑚 + 𝑛)! 𝑚! 𝑛! . āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ•āĻžāĻŋāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡ā§‡āĨ¤ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻ–ā§āĻŦ āĻĻāĻŋāĻ•āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻœā§€āĻŦāĻ¨ā§‡āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻ–ā§āĻŦ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻ ā§‡ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĻž ā§‡āĻžāĨ¤ āĻĻā§āĻ‡ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻšāĻœ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ¨āĻĻāĻ¨āĻ– āĻ¨ā§‡ā§‡āĻŦ āĻļā§āĻ§ā§āĨ¤ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ• āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻ• āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ 20 āĻ­ā§āĻœ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž, āĻāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋāĻŽāĻŋ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻ•ā§‡? 20 āĻ­ā§āĻœ āĻŦāĻžā§‡āĻžāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻĻā§ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ— āĻ•āĻŋāĻž ā§‡āĻžāĻ¨āĻ—, āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 20āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡, āĻ¨āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻĻā§ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ— āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŋāĻ–āĻž āĻ¨āĻĒāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ 20āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻĻā§ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ 20 c2 āĻŦāĻž 190āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŋāĻ–āĻž āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦāĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ 20āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻ āĻ­ā§āĻœ āĻāĻŋ 20 āĻŦāĻžāĻšā§, āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻāĻŋ āĻ•āĻŋāĻŽāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻ•āĻŋāĻŽ 190 - 20 = 170āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ…āĻ§āĻ¯āĻžā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻ¨āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻŽā§‚ā§‡ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§āĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ†āĻŋ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ•ā§€ ā§‡āĻž āĻ¨āĻŦāĻžāĻāĻžāĻ¨ā§‡āĨ¤ āĻ†āĻŋ ā§‡āĻžā§āĻāĻ¨āĻ• ā§‡āĻžā§āĻāĻ¨āĻ• āĻĻā§āĻ‡ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŸā§āĻ•āĻŸāĻžāĻ• āĻ‰āĻĻāĻžāĻšāĻŋāĻŋāĨ¤ āĻ†āĻ•āĻž āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻšāĻ¨ā§‡āĻ“ āĻŦā§āĻ¨āĻāĻŋ, āĻāĻŋ āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŸā§ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻ ā§‡ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ-āĻ¸āĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨ā§‡āĻžāĻšā§‡āĻž āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦāĻž, āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž? āĻ†āĻĒāĻžā§‡ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ—āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻ•āĻˇ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ• – 4āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŋ 3āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻā§‡ āĻŦāĻžā§‡āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ, āĻ¯āĻžāĻ¨ā§‡ āĻ•āĻŽāĻĒāĻ¨āĻ•ā§āĻˇ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŋ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§Ÿ āĻĨāĻžāĻ¨āĻ• āĻ†āĻŋ āĻĻā§‡āĻŸāĻžāĻŋ āĻ¸āĻĻāĻ¸āĻ¯ āĻšā§Ÿ 4 āĻœā§‡? āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻšāĻŋ āĻ¨āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻ¨ā§‡āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻˇā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨āĻ• āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻ¨ā§Ÿ 1 1 3 2 2 2 3 3 1 1 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ• āĻšāĻ¨āĻŦ, 4 c1 × 3 c3 = 4 2 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ 4 c2 × 3 c2 =18, 3 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ 4 c3 × 3 c1 =12 ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸ āĻĻā§‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦ 4 + 12 + 18 = 34 āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤
  • 23. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 23 āĻĒāĻ¯āĻžāĻ¸āĻ¨āĻ•āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ¤ā§āĻ°āĻ­ā§āĻœ āĻāĻŦāĻžāĻ‚ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŽā§ŸāĻžā§‡ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ•āĻĨāĻž āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ—āĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŽā§ŸāĻžāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻ•āĻĨāĻž āĻ‰āĻ¨āĻ  āĻ†āĻ¨āĻ¸āĨ¤ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŽā§ŸāĻžā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻĻā§āĻ‡ āĻĒāĻĻ āĻ¯ā§āĻŋ āĻŋāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ•, āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ ax , by āĻāĻŋāĻ•āĻŽāĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻŋāĻžāĻŸ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ (x + y) 2 āĻāĻŋ āĻ¸ā§‚āĻ¤ā§āĻ° āĻ—ā§œ āĻ—ā§œ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡āĻžāĻŽāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻŦā§œ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻĨāĻžāĻ¨āĻ•, ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻŦ? āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ• āĻŦā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž, (x + y)100 āĻāĻŸāĻžāĻ¨āĻ• āĻ­āĻžāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ–āĻ¨ā§‡? āĻāĻ• āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¨āĻ¯āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ, āĻāĻ¨āĻ• āĻāĻ•āĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŦāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŦāĻ¨āĻ¸ āĻŦāĻ¨āĻ¸ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻŋāĻžāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ­ā§€āĻˇāĻŋ āĻāĻžāĻ¨āĻŽā§‡āĻžāĻŋ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĨ¤ āĻāĻŋ āĻ¨āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¸āĻšāĻœ āĻ‰āĻĒāĻžāĻ¨ā§ŸāĻ“ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ, āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ§āĻžāĻŋāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§ŸāĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŸāĻžāĻ¨āĻ• āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĻ“ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ–āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ, (x + y) × (x + y) × (x + y) × â€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļ āĻāĻ–ā§‡ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻž, āĻ āĻ—ā§āĻŋā§‡āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻĒāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽāĻžāĻ¤ā§āĻ°āĻž āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ 100 āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ (āĻ¨āĻ•ā§‡?) āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¸āĻŦāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ‰ā§ŽāĻĒāĻžāĻĻāĻ• āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ¨āĻ•āĻŦā§‡ x āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ—ā§āĻŋā§‡ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ xn . āĻāĻŦāĻžāĻŋ, āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰ā§ŽāĻĒāĻžāĻĻāĻ• āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• x āĻ¨ā§‡āĻ‡, āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• (100 - 1) = 99 āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• y āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻāĻ–ā§‡, 100 āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰ā§ŽāĻĒāĻžāĻĻāĻ• āĻšāĻ¨ā§‡ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ x āĻ¨ā§‡āĻŦāĻžāĻŋ āĻ‰ā§ŽāĻĒāĻžāĻĻāĻ• āĻ¨āĻ• 100 c1 āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦāĻžāĻŋāĻžāĻ‡ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ—ā§āĻŋā§‡ā§‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ¨āĻŦ, 100 c1y100-1 x āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦāĻž? āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻĻā§āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻ¨ā§‡ x āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦāĻž āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• 98āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻ¨ā§‡ y āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ—ā§āĻŋā§‡ā§‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ¨āĻŦ, 100 c2y100-2 x2 . āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ—āĻžāĻ¨ā§‡ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻĒāĻžāĻ¨āĻŦāĻž, ( x + y)100 = x100 + n c1 x99 y + n c2 x98 y2 +â€Ļâ€Ļâ€Ļ.. + y100 (āĻ˜ā§āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ–ā§‡āĻžāĻŽ āĻ†āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•!) āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ 100 āĻāĻŋ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻžā§Ÿ n āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡āĻž ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ•ā§€ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžā§‡? ( x + y)n = xn + n c1 xn-1 y + n c2 xn-2 y2 +â€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļ+ yn āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻā§‡āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ¨āĻ•āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨ āĻ¨āĻ•āĻŦā§‡ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ¨āĻŦāĻ¨āĻ•āĻŋ āĻ…āĻžāĻ‚āĻ• āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻŦāĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻŋ āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽ, āĻāĻ–ā§‡ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸ā§āĻ¨ā§āĻĻāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻŋāĻ•āĻŽ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž! āĻ āĻ•āĻžāĻŋāĻ¨āĻŋ āĻ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻšā§āĻ¨āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻŦā§‡āĻž āĻšā§Ÿ binomial coefficient āĻ†āĻŋ āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĻ“ āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž āĻšā§Ÿ, n cr = ( r n )
  • 24. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 24 āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻĒāĻ¯āĻžāĻ¸āĻ¨āĻ•āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ¤ā§āĻ°āĻ­ā§āĻœ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻ†ā§‡āĻžāĻĒ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŽā§ŸāĻžā§‡ āĻ¨āĻ•āĻž āĻāĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§ŸāĻ¨ā§āĻŸā§āĻŸāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻ¨āĻ• āĻāĻŽā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻ–, (0 0) (1 0) (1 1) (2 0) (2 1) (2 2) (3 0) (3 1) (3 2) (3 3) āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ–āĻ¨ā§‡ āĻĨāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ•āĻŽā§‡ āĻšā§Ÿ? āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽāĻ¨ā§‡ āĻšā§Ÿ āĻ§āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻŋ ā§‡āĻž, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻāĻŸāĻžāĻ¨āĻ• āĻ¨āĻ­āĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•, 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 āĻŽā§āĻŦāĻ¤ā§āĻ°āĻ­ā§āĻœāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻžā§‡āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ–ā§āĻŦ āĻ¸āĻšāĻœ, āĻ¨āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒāĻ¨āĻĻāĻŋ ā§‡āĻžā§āĻāĻ¨āĻ•āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻš āĻ¨āĻ¯ āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻ¨āĻŋ, āĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻ¨āĻŋāĻŋ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ—ā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦāĻ¸āĻžāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻšāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻĒā§āĻ°āĻļā§āĻ¨ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§€ āĻ•āĻžāĻ¨āĻœ ā§‡āĻžāĻ¨āĻ—? āĻ†āĻŽāĻŋāĻž ( x + y) āĻāĻŋ āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻŦāĻžā§œāĻžāĻ¨ā§‡ āĻĨāĻžāĻ•āĻ¨ā§‡ āĻāĻŋ āĻĒāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ¨āĻ¯ āĻ¸āĻšāĻ—āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡ āĻĨāĻžāĻ¨āĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ– āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĨ¤ (x + y)0 = 1 (x + y)1 = 1 1 (x +y)2 = 1 2 1 (x + y)3 = 1 3 3 1 āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻŽā§‡ā§‡? āĻ āĻŽā§āĻŦāĻ¤ā§āĻ°āĻ­ā§āĻœ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ‡āĻ¨āĻšā§āĻ› āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻ¯āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋāĻ¨āĻ• āĻ­āĻžā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ āĻ§āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, (x + y)6 āĻ¨āĻ• āĻ­āĻžā§‡āĻ¨ā§‡ āĻŦā§‡āĻž āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ•āĻžāĻœ āĻšāĻ¨āĻŦ, x āĻāĻŋ āĻ¸āĻ¨āĻŦāĻŽāĻžāĻšā§āĻš āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻ†āĻŋ y āĻāĻŋ āĻ¸āĻŦāĻŽāĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻ¨ āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻ¨ā§‡āĻ–āĻž āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻŋāĻžāĨ¤ āĻāĻŋāĻĒāĻŋ x āĻāĻŋ āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻāĻ• āĻāĻ• āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ•āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ†āĻŋ y āĻāĻŋ āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻžāĻŋ āĻāĻ• āĻāĻ• āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŦāĻžā§œāĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ¸āĻŦ āĻ¨āĻ•āĻ¨āĻˇ āĻĒāĻ¯āĻžāĻ¸āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ¤ā§āĻ°āĻ­ā§āĻœ āĻšāĻ¨ā§‡ (6 +1) āĻŦāĻž 7 ā§‡āĻžāĻŋāĻžāĻŋ āĻ¸āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŋ āĻĒāĻĻā§āĻ—āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ• āĻāĻ• āĻĒāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĒāĻŋ āĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻā§ŸāĻžāĨ¤ āĻ†āĻ¨āĻ¸āĻž, āĻĒāĻ¯āĻžāĻ¸āĻ¨āĻ•āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ¤ā§āĻ°āĻ­ā§āĻœāĻŸāĻž āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ– āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡,
  • 25. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 25 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ āĻĒāĻĻāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ• āĻ¸āĻšāĻ—āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŋ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• āĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻĒāĻžā§‡āĻžāĨ¤ x6 + 6x5 y + 15x 4 y2 + 20x3 y3 + 15x2 y4 + 6xy5 + y6 . āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻĒāĻ¯āĻžāĻ¸āĻ¨āĻ•leāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ¤ā§āĻ°āĻ­ā§āĻœ āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻŦāĻžāĻāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻšā§āĻ› ā§‡āĻž āĻ¨āĻ¯, (n r) + (n r+1) = (n+1 r+1) āĻ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸āĻŦ āĻ¸āĻŽā§Ÿ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ āĻšāĻ¨āĻŦ, āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ¸āĻŸāĻž āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻšāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻŋāĻ¨ā§œ āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡āĻžāĻŽāĨ¤ āĻ†āĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻšā§āĻ›āĻž, n āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ āĻ¯āĻ–ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨āĻœāĻžā§œ āĻšā§Ÿ ā§‡āĻ–ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻœāĻžā§œ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻ• āĻ¨āĻ•āĻž- āĻāĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§ŸāĻ¨ā§āĻŸā§āĻŸ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻšā§āĻ› āĻ†āĻŋ āĻāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻ…āĻ¨āĻ§āĻŽāĻ• āĻ†āĻŋ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ…āĻ¨āĻ§āĻŽāĻ• āĻ¸āĻŽāĻžā§‡āĨ¤ āĻ†āĻŋ āĻ¨āĻœāĻžā§œ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨āĻ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒāĻĻ āĻ†āĻ¨āĻ¸ āĻ†āĻŋ ā§‡āĻžāĻŋ āĻĻā§āĻ‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ•āĻŋāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻŽāĻžā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻĨāĻžāĻ¨āĻ•āĨ¤ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ–ā§āĻŦ āĻ—ā§āĻ°ā§āĻ¤ā§āĻŦāĻĒā§‚āĻŋāĻŽ āĻ§āĻŽāĻŽ, āĻ¨āĻ–ā§ŸāĻžā§‡ āĻŋāĻžāĻ–āĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŽā§ŸāĻžā§‡ āĻ¨āĻ•āĻžāĻāĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§ŸāĻ¨ā§āĻŸā§āĻŸ āĻāĻŋ āĻ¸ā§āĻ¤ā§āĻ° āĻ¨āĻĻā§ŸāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻā§‡āĻžāĻŽ ā§‡āĻž, āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ¨āĻšāĻŋāĻž āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ“, āĻ āĻĒā§āĻ°āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨āĻšā§āĻ¨āĻŋ āĻ•āĻĨāĻž āĻŦā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ•, ⌈⌉⌊⌋ āĻ āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨āĻšā§āĻ¨āĻŋ ā§‡āĻžāĻŽ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¯āĻĨāĻžāĻ•ā§āĻ°āĻ¨āĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻŽā§āĻŦā§‡āĻžāĻ‚ āĻāĻŦāĻžāĻ‚ āĻ¨āĻ˛āĻžāĻŋāĨ¤
  • 26. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 26 āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻŽā§āĻŦā§‡āĻžāĻ‚ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŋ āĻĒāĻŋāĻŦā§‡āĻŽā§€ āĻĒā§‚āĻŋāĻŽ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž, āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ‡ āĻĒā§‚āĻŋāĻŽ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻšāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻŽā§āĻŦā§‡āĻžāĻ‚ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ‡āĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡, ⌈4.234⌉ = 5 āĻāĻŦāĻžāĻ‚ ⌈4 ⌉ = 4 ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§€? āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻ˛āĻžāĻŋ, āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŋ āĻ¨āĻ˛āĻžāĻŋ āĻ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋ āĻĒā§‚āĻŋāĻŽ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž, āĻ†āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœ āĻĒā§‚āĻŋāĻŽ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ‡āĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡, ⌊4,123 ⌋ = 4. āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŽā§ŸāĻžā§‡ āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ• āĻ¨āĻ•ā§āĻˇāĻ¨āĻ¤ā§āĻ°āĻ‡ āĻ–ā§āĻŦ āĻ•āĻžāĻ¨āĻœāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸, āĻāĻ•āĻŸā§ āĻĒāĻ¨āĻŋāĻ‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻŋ āĻŦāĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤
  • 27. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 27 āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻŽā§āĻŦāĻ§ (āĻŽā§āĻŦāĻ¸āĻŽā§āĻŦā§œ āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻ–āĻž) āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ—āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸āĻŽāĻžāĻ§āĻžā§‡ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž? āĻ—āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ• āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ–, āĻ¸ā§‚āĻ¤ā§āĻ° āĻŦāĻ¸āĻžāĻ‡, āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨ā§āĻ¤āĻž āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻŦāĻ¯āĻžāĻ¸ āĻ¨āĻ•āĻˇ! (āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻ•ā§‡āĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻšāĻ¨āĻŦāĻžā§Ÿ, āĻ‰āĻĻāĻžāĻ¸ āĻ¨āĻšāĻžāĻ¨āĻ– āĻŦāĻžāĻ‡āĻ¨āĻŋ ā§‡āĻžāĻ•āĻžā§Ÿ, ā§‡āĻžāĻŋāĻĒāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻ¸ā§āĻ¤ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ–āĻžā§‡āĻž āĻœāĻŽāĻž āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻ¨āĻ¸!) āĻ¯āĻžāĻ‡ āĻ¨āĻšāĻžāĻ•, āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻ…āĻžāĻ‚āĻ• āĻ•āĻŋāĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻ—āĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻŋāĻœāĻžāĻ˛ā§āĻŸ āĻ•ā§€ āĻšāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ…āĻ¨ā§āĻŽāĻžā§‡ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋ? āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ­āĻžāĻŦāĻŋ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻžāĻ‚āĻ• āĻ•āĻ¨āĻŋāĻ‡ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ ā§‡āĻž, āĻ†āĻŦāĻžāĻŋ ā§‡āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ! āĻ¸āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¯ āĻŽā§āĻŦāĻ• ā§‡āĻžāĻ‡? āĻ†āĻ¨āĻ¸āĻž, āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ•āĨ¤ 1 āĻšāĻ¨ā§‡ āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ 30000 āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ¨āĻœāĻžā§œ āĻĒāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ—ā§‡ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž? āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ“ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ“, āĻāĻ•āĻŦāĻžāĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ— āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĨ¤ āĻ¨āĻ–ā§ŸāĻžā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦ, āĻ–ā§āĻŦ āĻ­āĻžāĻ¨ā§‡āĻžāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ - 1 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¨āĻĻāĻ–āĻŋ? āĻ¨āĻ¯ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒāĻĻ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻšā§āĻ› ā§‡āĻžāĻŋ āĻŦāĻ—āĻŽ āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ—ā§‡ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻŽāĻžāĻŸāĻžāĻ¨āĻŽāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻ¤ā§āĻ¤āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻ…āĻ¨ā§āĻŽāĻžā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ? āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽāĻžāĻ¤ā§āĻ° āĻšāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒāĻĻ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ•āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§ŸāĻ“ āĻ¨āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻļā§āĻšā§Ÿā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻ•? ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡ā§‡ā§ā§‡ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻĒā§œā§‡āĻžāĻŽāĨ¤ āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ ā§‡āĻž, āĻ–ā§āĻŦ āĻ¸āĻšāĻ¨āĻœ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨āĻĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ? āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž ā§‡āĻžāĻŋ āĻ†āĻ¨āĻ— āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ• āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ•ā§€ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ? 1 + 3 + 5 + 7 + â€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļ.. + 2n - 1 = n2 āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ• āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ•, āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ, n āĻāĻŋ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽāĻžā§‡ m āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžāĻ¨āĻšā§āĻ›, 1 + 3 + 5 + 7 + â€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļ + 2m - 1 = m2 āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž, m + 1 āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯āĻ“ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻāĻžāĻ¨āĻŽā§‡āĻž ā§‡āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ– āĻ†āĻ¨āĻ¸āĻžāĨ¤
  • 28. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 28 āĻāĻ• āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻ¸āĻŽā§€āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻ‰āĻ­ā§Ÿ āĻĒāĻžāĻ¨āĻ• 2m + 1 āĻ¨āĻ¯āĻžāĻ— āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ‡āĨ¤ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ n āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ m + 1 āĻšāĻ¨ā§‡ 2n - 1 āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ āĻšā§Ÿ 2m + 1. 1 + 3 + 5 + 7 +â€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļ.. + 2m + 1 = m2 + 2m + 1 = (m + 1)2 āĻ¯āĻžāĻ• āĻŦāĻžāĻŦāĻž, m + 1 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžāĻ¨ā§‡āĻ“ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ– āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨āĻ—āĻ¨ā§‡āĻž! āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸ āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ–āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ m āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ ā§‡āĻž āĻ¨āĻ¯ āĻāĻ‡ āĻŽāĻžā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§‡āĨ¤ m = 5 āĻ§āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€ āĻĻāĻžā§āĻā§œāĻžā§Ÿ? 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 , ā§‡āĻž, āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšā§Ÿ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻŽā§āĻŦāĻŋ! āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž, 5 āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž, 6 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡, āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻ¨āĻ—āĻ‡ āĻ¨āĻĻāĻ¨āĻ–āĻŽā§āĻŦāĻŋ m + 1 āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯āĻ“ āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ! 6 āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸ā§‡āĻ¯, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• 7 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻŦāĻŽā§āĻŦā§‡ ā§‡āĻž m āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ āĻāĻ–ā§‡ 6 āĻ§āĻŋāĻŦ, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž 7 āĻāĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžāĻ¨ā§‡āĻ“ āĻ–āĻžāĻŸāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻļā§āĻšā§ŸāĻ‡ āĻŦā§āĻ¨āĻ āĻ¨ā§‡āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻāĻ–ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻšāĻžāĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŋ! āĻāĻ‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻ• āĻāĻ• āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ m āĻāĻŋ āĻ¸āĻŦ āĻŽāĻžā§‡ āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ! ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ•ā§€ āĻ¨āĻĒā§‡āĻžāĻŽ? 5 āĻ¨āĻĨāĻ¨āĻ• āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¸āĻ•ā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ§āĻžāĻŋāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¨āĻŋāĻžāĻŸā§āĻŸ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻžāĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻšāĻžāĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻāĻ• āĻšāĻ¨ā§‡ āĻļā§āĻ°ā§ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻ¯ā§‡ āĻ§āĻžāĻŋāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšā§ŸāĨ¤ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋ ā§‡āĻžāĨ¤ m āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ 1 āĻšāĻ¨ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸ā§‡āĻ¯? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡, ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ•! āĻšāĻ¨ā§ŸāĻ‡ āĻ¨āĻ—ā§‡, ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? āĻāĻ‡ āĻĒā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸāĻŋ ā§‡āĻžāĻŽ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› āĻ—āĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ• āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš āĻĒā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻŦāĻž induction. āĻļā§āĻ¨ā§‡ āĻ…āĻŦāĻžāĻ• āĻšāĻ¨āĻŦ āĻŦā§œ āĻŦā§œ āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻĻāĻŋāĻžāĻ“ āĻāĻ‡ āĻĒā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻŋāĻšāĻžāĻ¨āĻŽāĻ•āĻžāĻ‡ āĻŦāĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋāĨ¤ ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻœāĻ‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡ āĻ•ā§‡ āĻ¸āĻšāĻ¨āĻœ āĻ…āĻ¨ā§āĻŽāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĻāĻžā§āĻā§œ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨ā§‡ā§‡ā§‡āĻžāĻŽāĨ¤ āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻšā§ŸāĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ–āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻļā§āĻŦāĻžāĻ¸ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻŋ ā§‡āĻž āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻ‡ āĻĒā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻā§‡ āĻ•āĻžāĻ¨āĻœ ā§‡āĻžāĻ¨āĻ—āĨ¤ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ• ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡āĨ¤ 1! < 21 2! < 22 3! < 23 4! > 24 5! >25 āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻĒāĻžāĻšā§āĻ›, āĻ¯āĻ–ā§‡ 3 āĻāĻŋ āĻ¨āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§œ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻšā§āĻ›, ā§‡āĻ–ā§‡ āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ āĻŦā§œ āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻšā§āĻ›, āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸āĻŦāĻ¸āĻŽā§ŸāĻ‡ āĻ–āĻžāĻŸāĻ¨āĻŦ? āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ, n! >2n āĻ¯āĻ–ā§‡ n āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ 3 āĻāĻŋ āĻ¨āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§œ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋ āĻŽāĻ¨ā§‡āĻž āĻ§āĻŽā§āĻŦāĻŋ n āĻāĻŋ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽāĻžā§‡ m āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻˇā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡, m! >2m āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ, m + 1 āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯āĻ“ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻāĻ• āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻ‰āĻ­ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻ• m+1 āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻ—ā§āĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ‡āĨ¤
  • 29. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 29 ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡, (m + 1)! > 2m x (m + 1) āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻŦā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž, 2m+1 āĻ†āĻŋ 2m (m + 1) āĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ­ā§‡āĻŋ āĻ¨āĻ•āĻžā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŦā§œ? āĻ¨āĻĻāĻ–, 2m+1 = 2m .2 2m (m + 1) > 2m .2 ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž, (m + 1)! > 2m+1 āĻšāĻ¨āĻŦ, ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? āĻāĻŦāĻžāĻŋ, āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ• āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž m āĻāĻŋ āĻŽāĻžā§‡ āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻļā§āĻ°ā§ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻĒāĻžāĻšā§āĻ›, 4 āĻšāĻ¨ā§‡ āĻļā§āĻ°ā§ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡āĻž āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻžāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯āĻ“ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ, ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŸā§ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻžā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ“ā§ŸāĻž āĻ¯āĻžāĻ• – āĻ§āĻŋ, ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻžāĻ—āĻ¨āĻœāĻŋ āĻ‰āĻĒāĻŋ āĻ‡āĻ¨āĻšā§āĻ›āĻŽāĻ¨ā§‡āĻž āĻ•āĻ¨ā§ŸāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡āĻžāĻ‡ā§‡ āĻŸāĻžā§‡āĻ¨ā§‡āĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡ ā§‡ā§āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻ•āĻ¨ā§ŸāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻā§‡āĻžāĻ•āĻž āĻĒāĻžāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž? āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡ā§‡, āĻāĻ‡ āĻā§‡āĻžāĻ•āĻžāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻ• āĻāĻŽā§‡āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŋāĻžāĻ‚ āĻ•āĻŋāĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ, āĻ¨āĻ¯ā§‡ āĻĒāĻžāĻ•āĻžāĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻā§‡āĻžāĻ•āĻžāĻŋ āĻŋāĻžāĻ‚ āĻāĻ•āĻ‡ ā§‡āĻž āĻšā§ŸāĨ¤ āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻŦā§āĻāĻ¨āĻŋāĻž ā§‡āĻž? āĻšāĻ¨ā§‡āĻž āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŦāĻŸāĻž āĻ¨āĻĻāĻŽā§āĻŦāĻ– – āĻ¨āĻĻāĻ–āĻ¨ā§‡, āĻĒāĻžāĻ•āĻžāĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻ• āĻāĻ•āĻ‡ āĻŋāĻžāĻ‚ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ¨āĻšā§āĻ›? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡ ā§‡āĻž! āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŸāĻž āĻ¸āĻŦ āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§āĻŋ āĻ¨āĻŦā§‡āĻžā§Ÿ āĻ¨āĻ¯ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•ā§€āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻŦā§āĻāĻ¨āĻŦāĻž? āĻāĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻŦāĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ¨āĻ• P(n) āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻĒā§āĻ°āĻ•āĻžāĻ• āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋ, āĻ…āĻĨāĻŽāĻžā§Ž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡āĻžāĻ‡ā§‡ āĻŸāĻžā§‡āĻ¨ā§‡ p(1), āĻĻā§āĻ‡āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŸāĻžā§‡āĻ¨ā§‡ p(2) āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻ¨āĻŦ p(1) āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻ¸ā§‡āĻ¯? āĻ…āĻŦāĻ•āĻ¯āĻ‡āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ p(n) āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻ†āĻŋ p(n) āĻāĻŋ āĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŦāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻŽāĻ¨āĻŸāĻžāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŋ p(n + 1) āĻ¸ā§‡āĻ¯ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ¨āĻ•āĻ˛ā§āĻ˛āĻž ā§‡āĻ¨ā§‡! āĻāĻ–ā§‡ p(n + 1) āĻāĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ•ā§€ āĻ•āĻŋāĻž ā§‡āĻžāĻ—āĻ¨āĻŦ? āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ ā§‡āĻžāĻ‡ā§‡ āĻŸāĻžā§‡āĻž ā§‡āĻžāĻ—āĻ¨āĻŦ, ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡āĻž?
  • 30. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 30 āĻ†āĻ¨āĻ¸āĻž āĻ¨āĻŸāĻ¨ā§‡ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻž āĻ¯āĻžāĻ• – āĻ¨āĻ•āĻžāĻĨāĻžāĻ“ āĻāĻ• āĻœāĻžā§ŸāĻ—āĻžā§Ÿ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻ†āĻ¨āĻŋ ā§‡āĻžāĻ‡ ā§‡? ā§‡ā§‡ā§ā§‡ ā§‡āĻžāĻ‡āĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻšāĻŋ āĻŋāĻžāĻ‚āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ• āĻ†āĻ¨āĻŋ, āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ ā§‡āĻžāĻ‡ā§‡āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻžāĨ¤ (āĻ†āĻšā§āĻ›āĻž āĻŦāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¨ā§‡āĻž āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨āĻšāĻŋ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨āĻ•āĻŋāĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻŽā§āĻŦāĻ āĻ• āĻ†āĻ¨āĻŋ?) āĻāĻ• āĻ•āĻžāĻœ āĻ•āĻ¨āĻŋāĻž, āĻ‰āĻĒāĻ¨āĻŋāĻŋ āĻŋāĻžāĻ‚āĻ—ā§āĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ¨āĻ•āĻŦā§‡ āĻŦāĻĻāĻ¨ā§‡ āĻĻāĻžāĻ“āĨ¤ āĻŽā§āĻŦāĻ•, āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨ā§‡āĻž? ā§‡āĻžāĻŋ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡ n āĻāĻŋ āĻ¸āĻ•ā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯āĻ‡ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ!
  • 31. āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŸāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•ā§āĻ¸ : āĻ—āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻŽāĻœāĻžāĻŋ āĻĻā§āĻŽā§āĻŦā§‡ā§ŸāĻž - 31 āĻ¸ā§āĻĒāĻžāĻŋāĻŽāĻ¯āĻžā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻā§‡āĻ•ā§āĻˇāĻŋ āĻ¨āĻ¯ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻ†āĻ¨ā§‡āĻžāĻšā§‡āĻž āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽ, ā§‡āĻž āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ• āĻ¸āĻŽā§Ÿ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ•āĻŋāĻ•āĻŋ āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžā§ŸāĨ¤ āĻ•āĻžāĻŋāĻŋāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽā§āĻŦāĻ• āĻœāĻžāĻ¨ā§‡āĻž? āĻ…āĻ¨ā§‡āĻ• āĻ¸āĻŽā§Ÿ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžā§Ÿ p(n+1) āĻ¨āĻ¯ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦ ā§‡āĻž āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻŽāĻžāĻĨāĻžāĻŋ āĻ˜āĻžāĻŽ āĻĒāĻžāĻ¨ā§Ÿ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻ¨ā§‡ āĻšā§ŸāĨ¤ ā§‡āĻ–ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ•āĻžā§‡ā§€ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš āĻŦāĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻŋ āĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŋāĨ¤ āĻāĻŸāĻžāĻ‡ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› strong induction (āĻ¸ā§āĻĒāĻžāĻŋāĻŽāĻ¯āĻžā§‡ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻžāĻš)! āĻšā§‡ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻž āĻ¯āĻžāĻ• āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ†āĻ¸āĻ¨ā§‡ āĻ•ā§€āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻŦāĻžāĻŋāĻ“ p(n+1) āĻ¨āĻ¯ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨āĻŦāĻž, āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ…āĻ¨ā§āĻ¯ āĻ•āĻžā§ŸāĻĻāĻžā§ŸāĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻ¨āĻ— āĻļā§āĻ°ā§āĻ¨ā§‡ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŋ ā§‡āĻž āĻ¨āĻ¯ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻŽā§‡ p(1) āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ•āĻ¨ā§ŸāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻŽāĻžā§‡ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦāĻž āĻāĻ—ā§āĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻāĻ‡ āĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¸āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ•āĻŋā§‡āĻžāĻŽ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻĒāĻŋāĻ‡ āĻŦā§āĻāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ§āĻŋā§‡āĻžāĻŽ p(a), p(a+1), p(a+2), â€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļâ€Ļ, p(b) āĻ¸āĻŦ āĻ•ā§ŸāĻŽā§āĻŦāĻŸāĻ‡ āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻāĻ–ā§‡ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻ¨ā§‡āĻž āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ p(n+1) āĻ“ āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ ā§‡āĻ¨āĻŦ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋ āĻŽāĻ¨ā§‡āĻž ā§‡āĻž āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ…āĻ¨ā§āĻ¯āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ§āĻŋāĻ¨āĻŦāĻžāĨ¤ āĻ§āĻŋāĻ¨āĻŦāĻž, p(i) āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻ¨āĻ¯āĻ–āĻžāĻ¨ā§‡ i āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› b āĻšāĻ¨ā§‡ n āĻāĻŋ āĻŽāĻ§āĻ¯āĻŦā§‡āĻŽā§€ āĻ¨āĻ•āĻžā§‡ āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻžāĨ¤ āĻāĻŦāĻžāĻŋ āĻļā§āĻ§ā§ āĻ†āĻ¨āĻ—āĻŋ āĻŽāĻ¨ā§‡āĻž āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡ā§‡āĻ¨āĻŦāĻž p(n+1) āĻ“ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻŦāĻžāĻŽā§āĻŦāĻœāĻŽāĻžā§‡! āĻāĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ n āĻāĻŋ āĻ¸āĻ•ā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻ¯āĻžāĻ¨āĻŦ āĻāĻ‡ āĻŦāĻŋāĻŦāĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ (āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ? āĻāĻ•āĻŸā§ āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦāĻž āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ†āĻ¨āĻ— āĻ¨āĻ•ā§‡ āĻŦāĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦāĻŋ āĻ¨āĻ¯, p(n) āĻāĻŦāĻžāĻ‚ p(n+1) āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨ā§‡ āĻ¸āĻ•ā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĨ¤ ā§‡āĻžāĻšāĻ¨ā§‡āĻ‡ āĻ¨āĻŦāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻĒāĻžāĻŋāĻ¨āĻŦ)āĨ¤ āĻ¯āĻž āĻ¨āĻšāĻžāĻ•, āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ¯āĻŽā§āĻŦāĻĻ āĻ•āĻĨāĻžāĻŋ āĻ†āĻ—āĻž āĻŽāĻžāĻĨāĻž āĻŽā§āĻŦāĻ•āĻŋā§āĻ‡ ā§‡āĻž āĻ¨āĻŦāĻžāĻ¨āĻāĻž āĻ¸āĻŽāĻ¸āĻ¯āĻž āĻ¨ā§‡āĻ‡āĨ¤ āĻ¨āĻĻāĻŋā§€ ā§‡āĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ‰āĻĻāĻžāĻšāĻŋāĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ¨āĻ– āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĨ¤ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ āĻ¨āĻ¯, 1 āĻāĻŋ āĻ¨āĻšāĻ¨ā§Ÿ āĻŦā§œ āĻ¨āĻ¯ āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž āĻ•āĻŽāĻĒāĻ¨āĻ•ā§āĻˇ āĻāĻ•āĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻĒā§āĻ°āĻžāĻ‡āĻŽ āĻŽā§āĻŦāĻĻāĻ¨ā§Ÿ āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ­āĻžāĻœāĻ¯ āĻšāĻ¨āĻŦāĻ‡āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻ§āĻ¨āĻŋ āĻŽā§āĻŦā§‡ā§‡āĻžāĻŽ, āĻ¨āĻ•āĻžāĻ¨ā§‡āĻž āĻ¸āĻžāĻ‚āĻ–āĻ¯āĻž n āĻĒā§āĻ°āĻžāĻ‡āĻŽ āĻŋāĻžāĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻŦāĻ­āĻžāĻœāĻ¯ āĻāĻ‡ āĻ•āĻĨāĻžāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻšāĻ¨āĻšā§āĻ› p(n)āĨ¤ āĻ†āĻŽāĻžāĻ¨āĻĻāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻšāĻ¨āĻŦ, n āĻāĻŋ āĻ¸āĻ•ā§‡ āĻŽāĻžāĻ¨ā§‡āĻŋ āĻœāĻ¨ā§āĻ¯ p(n) āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻ†āĻŽā§āĻŦāĻŽ āĻœāĻžāĻŽā§āĻŦā§‡ āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻ¨āĻ•āĻ‰ āĻ–āĻžā§‡āĻž āĻ•ā§‡āĻŽ āĻŽā§āĻŦā§‡āĻ¨ā§Ÿ āĻŦāĻ¨āĻ¸ āĻĒāĻ¨ā§œāĻŋāĨ¤ āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻ¨āĻŽ p(2) āĻ¨āĻĻāĻ–āĻžāĻ¨āĻŦ āĻ¸ā§‡āĻ¯āĨ¤ āĻāĻŋāĻĒāĻŋ āĻŦā§‡āĻ¨āĻŦ P(n) āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻ†āĻŋ ā§‡āĻžāĻŋāĻĒāĻŋ p(n+1) āĻ¨āĻ¯ āĻ¸ā§‡āĻ¯ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŸ āĻ¨āĻĻāĻ–āĻžāĻ¨āĻŦāĨ¤ āĻ¨āĻšāĻŋāĻž āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨āĻĻāĻ– āĻ¨ā§‡āĻž āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋāĻž āĻŽā§āĻŦāĻ•ā§‡āĻž! āĻ¨ā§‡āĻžāĻŽāĻŋāĻž āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ•āĻŋāĻ¨ā§‡ āĻ†āĻŽāĻŋāĻž āĻāĻŋ āĻŽāĻ¨āĻ§āĻ¯ āĻ†āĻ¨āĻŋāĻ•āĻ­āĻžāĻ¨āĻŦ āĻĒā§āĻ°āĻŽāĻžāĻŋ āĻ•āĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§‡āĻŽā§āĻŦā§‡āĨ¤