1. КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. А. Н. Туполева
Инженерно – экономический институт
Кафедра Динамики процессов и управления
Математические основы
управления экономическими
процессами
Е. А. Коробкова, Г. С. Смирнова
2. Введение
Среди инструментов, которые использует
руководство организаций в своей работе, в
настоящее время особое место занимают
информационные технологии. Это происходит
потому, что финансовой службе необходимо
получать точные данные, быстро обрабатывать
большой объем информации, применять сложные
алгоритмы расчета.
4. Темы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Время и деньги.
Простые проценты и процентная ставка.
Вычисление наращения и будущих стоимостей
инвестиций по простым процентным ставкам.
Вычисление будущих стоимостей инвестиций
при переменной процентной ставке.
Дисконтирование.
Учетная ставка.
Зависимость между процентной и учетной
ставками.
Учет векселей.
Определение уровня процентной ставки
(доходность) и продолжительности ссуды.
5. 1. Время и деньги.
принцип
неравноценности
денег,
относящихся к разным моментам
времени (time-value money)
6. 2. Простые проценты и процентная ставка.
P=iI - наращение.
Величина
S=I+P1=I(1+i) наращенная сумма
Годовая процентная
ставка
i=(S-I)/I.
Сумма
P
I
I
0
n
S
Время
7. 3. Вычисление наращения и будущих
стоимостей инвестиций по простым
процентным ставкам.
Sn=I+Pn =I(1+in)
наращенная
сумма по простым
процентам за n лет
Сумма
Sn=I(1+in)
S1=I(1+i)
I
0
1
Рис.2.2
n
Время
8. 4. Вычисление будущих стоимостей инвестиций при переменной процентной ставке.
InNiN
Сумма
In2i2
Sn
p= N
Рис.2.3
∑
In1i1 p=1
S1
I
0
S2
ipnp)
ipnp),
n1
n2
Наращенная сумма
Sn =I+ Ii1n1+ Ii2n2+…+ IiNnN=I(1+
nN
p= N
∑
p =1
iрnр)
Время
10. 6. Учетная ставка.
Простая годовая учетная ставка r=D/S=(S–I)/S.
Разность D = S –I называется дисконтом.
Начальная стоимость I через учетную ставку на
единицу периода
I=S(1–r).
Наращенная сумма
S=I/(1–r).
11. 6. Учетная ставка.
При дисконтировании по простой учетной
ставке за период n дисконтированная сумма:
In=S(1–nr),
Наращенная сумма
S=In/(1-nr).
12. 7. Зависимость между процентной и учетной ставками.
Зависимость между процентной и учетной ставками
строится из условия финансовой эквивалентности
операций, проводимых этими ставками.
При использовании процентной ставки i получили
равенство
S=I(1+i),
а при применении учетной ставки r – равенство
S=I/(1– r).
13. 7. Зависимость между процентной и учетной ставками.
Получаем зависимости:
для простой годовой процентной ставки:
i=r/(1–r n),
для простой годовой учетной ставки:
r=i/(1+i n).
14. 8. Учет векселей.
При учете векселей в банке применяется
учетная ставка r=D/S=(S–I)/S, которая часто
называется банковским, или коммерческим,
учетом (bank discount).
Будущая стоимость вычисляется по формуле
S=I/(1–r).
сумма, получаемая при учете обязательств в
момент времени n1=n0-n01:
S1= I(1+in0)(1–r n01).
15. 9. Определение уровня процентной ставки
(доходность) и продолжительности ссуды.
процентная
ставка i :
i=(S–I)/nI.
срок продолжительности ссуды:
n=(S–I)/iI.
число
дней:
t=(S–
I)T/iI.
16. Вопросы к теме 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Объясните понятие простых процентов.
Объясните понятие наращения.
Объясните понятие будущей стоимости.
Объясните понятие дисконтирования.
Объясните понятие учетной ставки.
Как вычислить наращения и будущих
стоимостей по простым процентам?
Дисконтирование по простой ставке процентов.
Учетная ставка.
Зависимость между учетной и процентной
ставками.
Что такое вексель?
18. Темы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Сложные проценты. Наращение по сложным
процентам.
Реинвестирование с переменной процентной ставкой.
Наращение первоначальной суммы в N раз.
Номинальная и эффективная ставки процентов.
Дисконтирование по сложным процентным ставкам.
Учет по сложной годовой ставке.
Дисконтирование m раз в году.
Эффективная учетная ставка.
Наращение по сложной учетной ставке.
19. 1. Сложные проценты. Наращение по
сложным процентам
Сумма
S2
S1
I
0
1
2
Время
наращенная сумма Sn=I(1+i)n
20. 2. Реинвестирование переменной
процентной ставкой.
При
реинвестировании
наращение
снова
инвестируется, вкладывается в дело. Первоначальная
сумма (база) при этом не остается постоянной.
Присоединение начисленных процентов к базовой
сумме называется капитализацией процентов, или
начислением прибыли, т.е. проценты приносят
прибыль. Обычно начисление процентов, или
капитализация, производится в конце периода,
например, в конце года
21. 3. Наращение первоначальной суммы в N раз.
Пусть I - первоначальная сумма.
Требуется найти, какой срок необходим для наращения
ее в N раз, т.е. получить равенство S=IN.
В случае наращения по простым процентам с
процентной ставкой i :
S=I(1+in)=IN,
где n - количество необходимых лет для наращения.
22. 3. Наращение первоначальной суммы в N раз.
Следовательно:
n=(N–1)/i.
В случае сложных процентов
S=I(1+i)n=IN,
тогда необходимое количество лет для наращения
n=lnN/ln(1+i).
23. 4. Номинальная и эффективная ставки процентов.
Если M – общее количество начислений, то
наращенная сумма по номинальной ставке
S=I(1+i/m)M.
Эффективной ставкой процентов (effective rate)
обозначим через ie. Тогда величину S представим в виде
S=I(1+ie)n.
ie=(1+i/m)m–1.
Эффективной ставкой сравнивают
различные варианты вложений при заданном
числе лет n.
24. 5. Дисконтирование по сложным
процентным ставкам.
По сложным процентам в конце n-го года
наращенная сумма равняется
S=I(1+i)n.
Отсюда следует, что по заданной S начальная
стоимость I определяется по формуле:
I=S/(1+i)n=Svn,
25. 6. Учет по сложной годовой ставке.
Годовая учетная ставка определяется по формуле
r=(S-I)/S.
Тогда дисконтирование осуществляется равенством
I=S(1-r).
При n-кратном дисконтировании по сложной учетной
ставке получим
I=S(1-r)n.
В этом случае дисконт равняется
D=S–I= S[1– (1–r)n].
26. 7. Дисконтирование m раз в году.
Пусть r - годовая учетная ставка.
Дисконтирование осуществляется по сложной учетной
ставке m раз в году в течение n лет.
Общее число периодов N=nm.
Дисконтирование производится каждый раз по
учетной ставке r/m, но m раз в году.
В результате дисконтирования для современной
суммы за N период получим
I=S(1–r/m)N.
Конечная сумма
S=I/(1–r/m)N,
27. 8. Эффективная учетная ставка.
Под эффективной учетной ставкой re понимают
годовую учетную ставку, эквивалентную номинальной
при заданном значении числа дисконтирования в году,
равном m.
удовлетворяется условие
I=S(1–r/m)nm=S(1–re)n,
эффективная учетная ставка:
re=(1–r/m)m–1.
28. 9. Наращение по сложной учетной ставке.
Начисление процентов с помощью учетной ставки
называется наращением по сложным антисипативным
процентам.
При этом получим формулы:
S=I/(1–r/m)mn;
S=I/(1–re)n
для вычисления наращенной суммы при начислении m
раз в году и по эквивалентной учетной ставке
соответственно
29. Вопросы к главе 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Объясните понятие сложных процентов.
Объясните смысл переменной процентной
ставки.
В чем смысл эффективной процентной ставки?
Что означает: реинвестирование с переменной
процентной ставкой?
В чем отличие эффективной учетной ставки от
номинальной учетной ставки?
Что такое антисипативные проценты?
31. Темы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Непрерывный процент наращения в случае
постоянной силы роста.
Дисконтирование при непрерывной процентной
ставке.
Непрерывный процент наращения в случае
дискретной силы роста.
Непрерывный процент наращения в случае
непрерывного изменения силы роста.
Формулы для вычисления процентных ставок.
Индекс цен при инфляции денег.
Учет инфляции при наращении суммы.
Способы компенсации влияния инфляции.
Увеличение суммы наращения в N раз при инфляции
32. 1. Непрерывный процент наращения в
случае постоянной силы роста.
S1=Ied.
m
0
1 год
S=I{lim(1+d/m)m}n=Iedn.
n=ln(S/I)/d.
33. 2. Дисконтирование при непрерывной
процентной ставке.
При непрерывной процентной ставке современная
величина платежа равна
I=Se-nd.
Здесь d называется силой дисконта, которая по
величине и знаку совпадает с силой роста.
Для малых значений nd получим выражение
I = S (1–nd),
совпадающее с выражением для дисконтированной
суммы при дисконтировании учетной ставкой.
34. 3. Непрерывный процент наращения в
случае дискретной силы роста.
Sn=Iende .
Сила роста d
d2
d3
d1
0
n1
n2
n3
Время n
35. 4. Непрерывный процент наращения в
случае непрерывного изменения
силы роста.
для наращенной суммы :
t
( )
∫δ ξ dξ
eo
S=I
Для современной величины платежа
t
− ∫ δ (ξ )dξ
I e o
=S
36. 6. Индекс цен при инфляции денег.
Пусть C – цена товара, T – количество товара.
Стоимость товара
S=CT.
При инфляции через некоторое время (например, через
год) цена этого товара стала равной C′.
За то же количество товара T надо заплатить
S′=C′T.
коэффициентом инфляции, или индексом цен
J=S′/S=C′T/CT=C′/C
37. 7. Учет инфляции при наращении суммы.
При постоянных значениях i и h за период n
реальная покупательная способность
Sn=I(1+i)n/(1+h)n.
38. 8. Способы компенсации влияния
инфляции.
Первый способ.
Индексирование процентов
Второй способ.
Индексирование суммы первоначального платежа
39. 9. Увеличение суммы наращения в N раз
при инфляции
Для увеличения начальной суммы в N раз, с учетом
инфляции, необходимо выполнение равенства
Sn=I(1+i)n/(1+h)n=IN.
Тогда годовая процентная ставка должна равняться:
i=N1/n(1+h) – 1
При этом реальная годовая ставка будет:
r=(i–h)/(1+h)=(N1/n(1+h) – h – 1)/(1+h).
Срок:
n=(lnN)/ln(1+i)/(1+h)
40. Вопросы к главе 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Что такое сила роста?
В чем заключается непрерывный процент наращения?
Объясните смысл непрерывного изменения силы роста.
Объясните смысл постоянной силы роста.
Объясните смысл дискретной силы роста.
Дайте определение инфляции.
Способы компенсации влияния инфляции
Индекс цен при инфляции денег.
Что такое «потребительская корзина»?
42. Темы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Эквивалентность различных ставок.
Средние процентные ставки.
Изменение условий контракта.
Консолидирование платежей на основе простой проц
Консолидирование платежей на основе простой учетн
учет
Консолидирование платежей на основе сложной учет
Определение срока консолидирования платежа при з
43. 1. Эквивалентность различных ставок.
1. Простая процентная ставка i и простая учетная
ставка r :
i=r/(1-nr); r=i/(1+ni)
2. В случае сложных процентных ставок и простой
учетной ставки
i=1/(1–nr)1/n–1, r=(1–1/(1+i)n)/n.
3. Для простой ставки процентов и постоянной силы
роста
i=(edn–1)/n и d={ln(1+ni)}/n .
44. 4. В случае простой и сложной процентных ставок
i={(1+j)n–1}/n и j=(1+i)1/n–1.
5. В случае простой ставки и сложной ставки с
начислением m раз в году,
i={(1+j/m)mn–1}/n и j={(1+ni)1/nm–1}/m.
45. 2. Средние процентные ставки.
Средняя простая процентная ставка
i0=(n1i1+n2i2+…+nkik)/n.
Средняя учетная ставка
r0=(n1r1+n2r2+…+nkrk)/n
Средняя сложная процентной ставки
i0={(1+i1)n1 (1+i2)n2…(1+ik)nk}1/n–1,
46. 3. Изменение условий контракта.
На практике приходится заменять одно финансовое
обязательство другим (например, удлинять срок платежа
или объединять несколько обязательств в одно).
Объединение обязательств в одно называется
консолидацией.
Метод решения подобных задач заключается в
построении уравнения эквивалентности (equation of value),
в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к
какому-нибудь одному моменту времени (focal date),
приравнена сумме платежей по новому обязательству,
приведенных к той же дате.
47. 4.
Консолидирование платежей на основе простой п
Рассмотрим случай, когда n1, n2,…, nm < n0.
Все платежи надо консолидировать в заданный срок
n0. Требуется найти значение эквивалентной суммы S0,
консолидированной к сроку n0. Поскольку n1, n2,…, nm
< n0, то суммы S1, S2,…,Sm наращиваются на сроки (n0–
nj)
соответственно.
Консолидированная
сумма
вычисляется по формуле:
m
S0= ƩSj{1+(n0–nj)i},
j=1
где i-годовая процентная ставка.
48. Рассмотрим случай, когда n1, n2,…, nm > n0, при котором
суммы Sj дисконтируются к сроку n0.
Для
консолидированной суммы S0 получим формулу:
m
S0= ƩSj/{1+(n0–nj)i},
j=1
где i-годовая процентная ставка.
Сумма
S
S0
0
n0
S1
n1
S2
n2
Sm
nm
Время n
49. Консолидированный срок n0 может быть между
сроками n1, n2,…, nm. Например, если n1, n2,…, nM<n0 и
nm+1,
nm+2,…,
nM>n0,
Sj
(j=1,
2,…,
M)
Консолидированная сумма при консолидации по
простой процентной ставке вычисляется по формуле:
m
M
j=1
j=m+1
S0= ƩSj{1+(n0–nj)i}+ Ʃ Sj/{1+(nj–n0)i}
по сложной процентной ставке, то
m
M
j=1
j=m+1
S0= ƩSj(1+i) (n0–nj) + Ʃ Sj/(1+i) (nj–n0)
50. 5.
Консолидирование платежей на основе простой у
Пусть r годовая учетная ставка. Сроки n1, n2,…, nm
платежей S1, S1,…, Sm удовлетворяют неравенству n1, n2,
…, nm<n0. Тогда сумма консолидированного платежа
равняется
m
S0=Ʃ Sj/{1-(n0–nj)r}
j=1
51. В случае n1, n2,…, nm>n0 для определения суммы
консолидированного платежа получим выражение
m
S0=Ʃ Sj{1– (n0–nj)r}
j=1
Если n1, n2,…, nm<n0 и nm+1, nm+2,…, nM>n0,
Sj (j=1, 2,…, M), то консолидированная сумма
вычисляется по формуле
m
M
S0= Ʃj=1 j/{1– (n0–nj)r} +Ʃj=m+1{1– (nj–n0)r}
S
Sj
52. 6.
Консолидирование платежей на основе
Пусть n1, n2,…, nM - сроки платежей S1, S2,…, SM
удовлетворяют неравенству
n1, n2,…, nm<n0<nm+1<…<nM.
При этом часть сумм S1, S2,…, Sm следует наращивать, а
часть Sm+1, Sm+2,…, SM дисконтировать. Тогда сумма
консолидированного платежа определяется формулой
m
S0= ƩSj(1+i)
j=1
(n0–nj)
M
+ Ʃ Sj/(1+i) (nj–n0)
j=m+1
53. 7.
Определение срока консолидирования пл
1. При простой процентной ставке
m
n0={(S0/ Ʃ Sj/(1+nji)) – 1)}/i
j=1
2. При простой учетной ставке.
m
Ʃ Sj(1-njr)
1
j=1
n0= r
1S0
3. При сложной процентной ставке:
(
m
n0=ln[S0/ Ʃ Sj/(1+i)nj]/ln(1+i)
j=1
4. При сложной учетной ставке:
m
n0=ln[S0/ Ʃ Sj(1–r)nj ]/ln(1–r)
j=1
)
54. Вопросы к главе 4
1. Эквивалентность различных ставок.
2. Средние процентные ставки.
3. Изменение условий контракта.
4. Консолидирование платежей на основе простой
процентной ставки с заданным сроком.
5. Консолидирование платежей на основе простой
учетной ставки с заданным сроком.
6. Консолидирование платежей на основе сложной
учетной ставки.
7. Определение срока консолидирования платежа
при заданной сумме
56. Темы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Оценка инвестиционных проектов.
Определение срока окупаемости инвестиций.
Потоки платежей и рент.
Наращение суммы обычной (годовой) ренты.
Годовая рента при начислении процентов m
раз в году.
Рента р-срочная с начислением один раз в году.
Рента с непрерывным начислением процентов
57. Оценка инвестиционных проектов.
1.
1. Оценка инвестиционных проектов по чистому
приведенному эффекту.
n
De=D–I=Ʃ Pk/(1+r)k–I
k=1
0
1
2
3
n
Время
Если De>0, то проект прибыльный, может быть
принят.
Если De=0, проект не прибыльный и не убыточный.
Если De<0, проект убыточный
58. 2. Оценка инвестиционных проектов по индексу
рентабельности инвестиций.
Вычисляется величина
dR=D/I,
при dR>1 проект прибыльный, может быть принят,
при dR=1 проект не прибыльный и не убыточный.
при dR<1 проект убыточный.
59. 2.Определение срока окупаемости инвестиций
Окупаемость
начальной
инвестиции
I
наступает, когда суммарный доход P сравняется с
начальной инвестицией I. Поскольку периоды
целочисленные, то следует проверить условие P ≥ I.
Это условие проверяется для последовательных
значений n=1, 2,… и т.д.
60. 3. Потоки платежей и рент.
Финансовая рента описывается следующими
параметрами:
Член ренты характеризуется величиной каждого
отдельного платежа (R);
Период ренты – временной интервал между двумя
платежами (месяц, год);
Срок ренты – время, измеренное от начала финансовой
ренты до конца последнего ее периода (n);
Процентная ставка – ставка, используемая при
наращении или дисконтировании платежей, из которых
состоит рента (i);
61. 4.Наращение суммы обычной (годовой) ренты.
Наращенная сумма всей ренты S за n лет равняется
их сумме:
S=R+R(1+i)+R(1+i)2+…+R(1+i)n-1
Эта сумма представляет собой геометрическую
прогрессию со знаменателем q=1+i:
S=R(1+q+q2+…+qn-1)
Используя
формулу
для
суммы
членов
геометрической прогрессии, получим выражение:
( 1 + i)n − 1
S=R
i
62. 5.Годовая рента при начислении процентов
m раз в год.
Cуммарная наращенная сумма ренты равняется
S=R(1+i/m)m(n-1)+R(1+i/m)m(n-2)+…+R(1+i/m)m+R,
т.е получена сумма возрастающей
прогрессии со знаменателем q=(1+i/m)m:
S=R(1+q+q2+…+qn-1).
геометрической
Используя формулу
прогрессии, получим
геометрической
для
суммы
i mn
(1 + ) − 1
m
S=R
i m
(1 + ) − 1
m
63. 6. Рента р-срочная
с начислением один раз в год.
Наращенная сумма первого взноса к концу срока равна
(R/p)*(1+i)(n-1/p)
Наращенная сумма ренты равняется:
S=R/p+R/p(1+i)1/p+R/p(1+i)2/p+...+R/p(1+i)+
+R/p(1+i)1+1/p+…+R/p(1+i)(n-1/p).
Ряд представляет собой геометрическую прогрессию с
общим членом q=(1+i)1/p. Используя формулу для
суммы геометрической прогрессии, получим формулу
pn
Rq
− 1 R ( 1 + i)n − 1
S=
=
P q −1
P ( 1 + i)1/p − 1
64. 7.Рента с непрерывным начислением процент
Для обычной ренты, когда взнос вносится один раз в
конце года, начисление процентов производится
непрерывно, наращенная сумма запишется в виде:
S=R+Reδ+Re2δ…+Reδ(n-1).
Используя формулу для суммы геометрической
прогрессии, получим
S=R
(e δn − 1 )
(eδ − 1 )
Аналогично для р-срочной ренты найдем формулу для
определения наращенной суммы:
S=R
(e δn − 1 )
δ/p
p(e
− 1)
65. Вопросы к главе 5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Что такое чистый приведенный эффект?
Что такое рентабельность?
Оценка инвестиционных проектов по чистому приведенному
эффекту.
Оценка инвестиционных проектов по индексу рентабельности
инвестиций.
Определение срока окупаемости инвестиций.
Объясните смысл ренты.
Объясните понятие аннуитета.
В чем отличие периода ренты от срока ренты?
Объясните смысл современной величины ренты.
Объясните смысл наращенной суммы ренты.
Наращение суммы обычной (годовой) ренты.
Годовая рента при начислении процентов m раз в году.
Рента р-срочная с начислением один раз в году.
Рента с непрерывным начислением процентов
68. 1.
Планирование погашения долгосрочн
Возврат
больших
сумм
денег
можно
реализовывать путем планирования погашения долга.
Накопление денег требует дополнительных расходов,
связанных с процентами. В зависимости от вариантов
погашения образуются различные периодические
расходы, которые обычно называют обслуживание
долга. Разовую сумму обслуживания долга называют
срочной уплатой.
69. 2. Формирование фонда для погашения дол
Вариант 1. Пусть D – беспроцентная ссуда на N лет.
Это самый выгодный случай. Можно каждый год
возвращать, например сумму R=D/N и за N лет
расплатиться. Но в коммерции такой путь нереален.
70. 2. Формирование фонда для погашения дол
Вариант 2. Пусть D – долг на N лет и g – ставка
процентов по условиям займа. Тогда к концу срока уплаты
накопится сумма равная D(1+g)N, которую надо вернуть.
Проблема в том, как накопить такую сумму. Обычно
ежегодное наращение равное, Dg оплачивают каждый год.
Тогда долг не меняется и к концу срока N надо вернуть
сумму, равную D.
71. 3. Погашение долга в рассрочку.
Долг может погашаться распределенными во
времени платежами следующим образом. Пусть
заем в размере D погашается в течение N лет. Долг к
концу первого года становится равным D(1+g), т.е.
получает наращение Dg. Если выплатить эту сумму,
то долг остается равным D. Эту сумму D разделим
на N частей.
72. Вопросы к главе 6
1.
2.
3.
4.
5.
Планирование погашения долгосрочной
задолженности.
Объясните смысл понятия срочной уплаты.
В чем заключается стоимость обслуживания
долга?
Формирование фонда для погашения долга.
Погашение долга в рассрочку.
74. Темы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Введение.
Понятие графа.
Теоретико - множественное определение графа.
Определение графа через понятие отображения.
Отношения между дугами и вершинами графа.
Матрицы инциденций и смежности.
Понятие подграфа и частичного графа.
Понятия пути или маршрута, контура и петли.
Неориентированные графы.
Связные и несвязные графы.
Понятие дерева
76. 3. Теоретико - множественное определение
графа.
Пусть задано множество некоторых точек −
Х={х1 ,х2,, х3,… хn}
и множество пар − U={(х1,х2), (х3,х4), …},
где (х1,х2), (х3,х4), … представляют пары или вектора.
Множество точек Х называется вершинами, а
множество пар U – дугами, соединяющими некоторые
вершины.
Тогда пара G=(X,U) называется графом.
Пример 1. Пусть
Х={a,b,c,d,e}, U={(a,a), (b,c), (b,d), (d,b), (c,c) ,(d,e)};
Тогда G=(X,U) – граф
77. 4. Определение графа через понятие
отображения.
y1
x1
y2
X x2
x3
y3
y4
Y
Множество образов элемента x обозначим Yx или
Г(x). Отображение Г обозначается Г: X→Y. Если для
всякого x ∈ X имеется единственный образ Г(x), то
отображение называется однозначным, в противном
случае – многозначным.
78. Пусть Y ≡ X,
т.е. множество Y совпадает множеством X.
Рассмотрим отображение
Г: X→ X,
т.е. отображение множества X самого на себя.
Множество образов элемента x определяется как
Г(x)={y X: (x, y) Г}.
Тогда пара G=(X, Г) является графом
79. 5. Отношения между дугами и
вершинами графа.
Две вершины x и y называются смежными, если они
различны и существует дуга (x,y), соединяющая их
X
Y
Дуга u называется инцидентной вершине x ,
если эта дуга входит или выходит из этой вершины
u
X
X
u
Если две дуги имеют общую вершину, то они являются
смежными
u1
u2
X
80. 6. Матрицы инциденций и смежности.
Пусть xi (i=1,2,…n) – вершины
некоторого графа.
Введем элементы:
1, если есть дуга, идущая из
xi в xj
rij=
0, если такой дуги нет
и матрицу
R=[rij],
которая называется матрицей
81. Введем элементы по формуле
sij=
+1, если дуга uj выходит из вершины xi,
-1, если дуга uj входит в вершину xi,
0, в противном случае,
где i- номер вершины, j- номер дуги.
Матрица
S=[sij]
называется матрицей инцидентности.
82. 7. Понятие подграфа и частичного графа.
Пусть задан граф G=(X,Г) с множеством вершин X={1…
6} и дуг Г={(1,2), (2,3), (3,6), (4,5), (2,5)}.
Выделим множество вершин X1={2,3,5} и
соответствующих дуг A={(2,3), (2,5)}.
Тогда граф Ga=(X1,А) является подграфом графа G=(X,Г).
Графическое представление графа G и подграфа Ga
1
4
2
3
5
Подграф Gа
6
83. 8. Понятия пути или маршрута,
контура и петли.
пример простого пути μ(А,А1,А2,А3,В)
u1
A1
А
u3
A3
u2
A2
u4
B
85. 10. Связные и несвязные графы.
Связанный граф
Несвязанный граф
86. 11. Понятие дерева
Деревом называется конечный граф,
то есть имеющий конечное число вершин и дуг
(связанный, неориентированный), не имеющий
циклов
87. Вопросы к главе 7
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Понятие графа
Теоретико - множественное определение графа
Определение графа через понятие отображения
Отношения между дугами и вершинами графа
Матрицы инцидентности и смежности
Понятие подграфа и частичного графа
Понятия пути или маршрута, контура и петли
Неориентированные графы
Связные и несвязные графы
Понятие дерева
90. 1 . Задача о минимизации сети
Задача о минимизации сети состоит в
нахождении ребер, соединяющих все узлы в сети и
имеющих
минимальную
суммарную
длину.
Очевидно, что решение задачи не должно содержать
циклов. На ребрах, соединяющих узлы 1, 2, 3 указаны
их длины
1
18
6
3
2
4
91. 2. Задача о кратчайшем пути
Пусть имеется некоторый неориентированный граф
G=(Y,U),где Y-число вершин, а U-дуг.
Каждой дуге сопоставляется вещественное число,
называемое длиной дуги.
Введем следующие обозначения
l(u)-длина дуги u
xi,yj-смежные вершины графов
lij=l(xiyj)
xi
yj
Две вершины могут быть соединены несколькими
способами. Требуется найти кратчайший путь.
93. 2. Нахождение кратчайшего пути в графе без циклов
Для нахождения кратчайшего пути в графе с
целочисленными длинами ребер они разбиваются на
единичные отрезки, после чего используется тот же
самый алгоритм.
В случае нецелочисленной длины ребер их можно
заменить приближенными целочисленными или же
воспользоваться принципом оптимальности Белмана,
который утверждает что последний участок оптимальной
траектории является оптимальным.
94. 3. Нахождение кратчайшего пути в графе с
целочисленными длинами ребер.
Пусть имеется некоторый граф G=(Y,U),где Y-число
вершин, а U-дуг. Вершина 1 представляет начальную
точку (исходный пункт), а вершина N– конечную точку
(пункт назначения). Граф не имеет циклов.
lij=l(xiyj) – длина дуги
uij – кратчайшее расстояние между вершинами 1 и j, u1=0.
Процедура завершается когда получено uN .
uj = min {ui+lij}
I
uj - кратчайшее расстояние до предыдущей вершины i
плюс расстояние между текущей вершиной j и
95. 3. Задача о максимальном потоке в
транспортной сети
Постановка задачи.
Найти максимальный поток в транспортной сети Т
с=2
с=3
с=1
с=2
с=4
с=2
с=3
с=1
96. Вопросы к главе 8
1. Кратчайшие пути
2. Задача о минимизации пути
3. Задача о кратчайшем пути
4. Метод нахождения кратчайшего пути в графе с
ребрами единичной длины:
5. Нахождение кратчайшего пути в графе с
целочисленными длинами ребер.
6. Нахождение кратчайшего пути в графе без циклов.
7. Постановка задачи о максимальном потоке в
транспортной сети
8. Понятие транспортной сети и потока
9. Каким условиям удовлетворяет поток в транспортной
сети?
10.Что такое пропускная способность разреза?
