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退化拡散項をもつ放物・放物型Keller--Segel系の解の有限時刻爆発について
- 1. 2017年 12月 25日 (月) 横田 智巳 (東京理科大学) 第43回 発展方程式研究会 場所: 日本女子大学目白キャンパス 退化拡散項をもつ 放物・放物型Keller—Segel 系の 解の有限時刻爆発について 石田 祥子 (千葉大学) 柱 貴裕 (東京理科大学 M2)
- 3. Keller—Segel 系 𝒖 𝒕 = ∆𝒖 − 𝛁 ∙ 𝒖𝛁𝒗 , 𝒗 𝒕 = ∆𝒗 − 𝒗 + 𝒖 , 𝒙 ∈ 𝛀 , 𝒕 > 𝟎 , 𝒙 ∈ 𝛀 , 𝒕 > 𝟎 . ቐ 𝒖 ∶ 生物の密度 𝒗 ∶ 化学物質の濃度はじめに 化学物質 𝒗 に反応して集中する性質 走化性という性質をもった生物 𝒖 の動きを記述した方程式 1970年にKellerとSegelにより提唱された. 時間が経つと, 生物の分布はどのようになるか？ 3/13
- 4. Keller—Segel 系 𝒖 𝒕 = ∆𝒖 − 𝛁 ∙ 𝒖𝛁𝒗 , 𝒗 𝒕 = ∆𝒗 − 𝒗 + 𝒖 , 𝒙 ∈ 𝛀 , 𝒕 > 𝟎 , 𝒙 ∈ 𝛀 , 𝒕 > 𝟎 . ቐ 𝒖 ∶ 生物の密度 𝒗 ∶ 化学物質の濃度はじめに 𝚫𝒖 発展 非線形拡散: 𝛁 ⋅ 𝑫 𝒖, 𝒗 𝛁𝒖 退化型拡散: 𝚫𝒖 𝒎 発展 生物などの拡散を表す. etc. 3/13
- 5. Keller—Segel 系 𝒖 𝒕 = ∆𝒖 − 𝛁 ∙ 𝒖𝛁𝒗 , 𝒗 𝒕 = ∆𝒗 − 𝒗 + 𝒖 , 𝒙 ∈ 𝛀 , 𝒕 > 𝟎 , 𝒙 ∈ 𝛀 , 𝒕 > 𝟎 . ቐ 𝒖 ∶ 生物の密度 𝒗 ∶ 化学物質の濃度はじめに 𝚫𝒖 発展 非線形拡散: 𝛁 ⋅ 𝑫 𝒖, 𝒗 𝛁𝒖 退化型拡散: 𝚫𝒖 𝒎 発展 −𝛁 ⋅ 𝒖𝛁𝒗 生物などの集中を表す. 生物などの拡散を表す. etc. 3/13
- 6. Keller—Segel 系 𝒖 𝒕 = ∆𝒖 − 𝛁 ∙ 𝒖𝛁𝒗 , 𝒗 𝒕 = ∆𝒗 − 𝒗 + 𝒖 , 𝒙 ∈ 𝛀 , 𝒕 > 𝟎 , 𝒙 ∈ 𝛀 , 𝒕 > 𝟎 . ቐ 𝒖 ∶ 生物の密度 𝒗 ∶ 化学物質の濃度 v.s. ● Herrero—Velazquez (1997), Horstmann—Wang (2001), Winkler (2013) 𝐬𝐮𝐩 𝒙∈ഥ𝛀 |𝒖 𝒙, 𝒕 | → ∞ 𝒕 → ∃𝑻 𝟎 ∃ 𝒖 𝟎, 𝒗 𝟎 : 初期値 s.t. ● Nagai—Senba—Yoshida (1997), Nagai—Ogawa (2011), Winkler (2010), Cao (2015) ∃ 𝒖 𝟎, 𝒗 𝟎 : 初期値 ∃𝑪 > 𝟎 s.t. 𝐬𝐮𝐩 𝒙∈ഥ𝛀 ( 𝒖 𝒙, 𝒕 + |𝒗(𝒙, 𝒕)|) ≤ 𝑪 ∀𝒕 ∈ 𝟎, ∞ はじめに 集中 拡散 解の爆発 解の有界性 3/13
- 7. はじめに 爆発 (blow-up) って・・・？ この問題の解は, 𝒖 𝒕 = 𝒖 𝟎 𝟏 − 𝒑 − 𝟏 𝒖 𝟎 𝒑−𝟏 𝒕 Τ𝟏 (𝒑−𝟏) . 𝒖 は 𝒕 𝟏 𝒑 − 𝟏 𝒖 𝟎 𝒑−𝟏 のとき 解の爆発 ൗ𝟏 𝒑 − 𝟏 𝒖 𝟎 𝒑−𝟏 𝒖 𝟎 𝒖 𝒕 → ∞. 𝒕 4/13 例 𝒖′ 𝒕 = 𝒖 𝒕 𝒑, 𝒖 𝟎 = 𝒖 𝟎 > 𝟎 (𝒑 > 𝟏).
- 8. はじめに 爆発 (blow-up) って・・・？ この問題の解は, 𝒖 は 𝒕 𝟏 𝒑 − 𝟏 𝒖 𝟎 𝒑−𝟏 のとき 解の爆発 ൗ𝟏 𝒑 − 𝟏 𝒖 𝟎 𝒑−𝟏 𝒖 𝟎 𝒖 𝒕 → ∞. 𝒑 > 𝟏 ならば 有限時刻で爆発する！ 𝒕 4/13 例 𝒖′ 𝒕 = 𝒖 𝒕 𝒑, 𝒖 𝟎 = 𝒖 𝟎 > 𝟎 (𝒑 > 𝟏).
- 9. 問題紹介 𝒖 𝒕 = ∆𝒖 𝒎 − 𝛁 ∙ 𝒖 𝒒−𝟏 𝛁𝒗 , 𝒗 𝒕 = ∆𝒗 − 𝒗 + 𝒖 , (𝛁𝒖 𝒎 − 𝒖 𝒒−𝟏 𝛁𝒗) ∙ 𝝂 = 𝛁𝒗 ∙ 𝝂 = 𝟎 , 𝒖 𝒙, 𝟎 = 𝒖 𝟎(𝒙) , 𝒗 𝒙, 𝟎 = 𝒗 𝟎(𝒙) , 𝒙 ∈ 𝑩 , 𝒕 > 𝟎 , 𝒙 ∈ 𝑩 , 𝒕 > 𝟎 , 𝒙 ∈ 𝝏𝑩 , 𝒕 > 𝟎 , 𝒙 ∈ 𝑩 . (KS) 次の退化型Keller—Segel系の初期値境界値問題について考える: (1) 𝒖 𝟎 ∈ 𝑳∞ 𝑩 , 𝛁𝒖 𝟎 𝒎 ∈ 𝑳 𝟐 𝑩 , 𝑮 𝒖 𝟎 ≔ (2) 𝒗 𝟎 ∈ 𝑾 𝟏,∞ 𝑩 . 𝒎 ≥ 𝟏, 𝒒 ≥ 𝟐 , 𝝂 は 𝝏𝑩の外向き単位法線ベクトル, 𝒖 𝟎 , 𝒗 𝟎 は次を満たす既知の非負関数: 𝒖, 𝒗 : 実数値の未知関数, න 𝒔 𝟎 𝒖 𝟎 න 𝒔 𝟎 𝝈 𝒎𝝉 𝒎−𝒒 𝒅𝝉 𝒅𝝈 ∈ 𝑳 𝟏 𝑩 , 𝒔 𝟎 > 𝟏 𝑩 ⊂ ℝ 𝑵 𝑵 ≥ 𝟐, 𝑹 > 𝟎 : 中心が原点,半径 𝑹 の開球, 5/13
- 10. 𝒖 𝒎 𝟐 𝒕 定義1 (エネルギー解) 𝑩 × 𝟎, 𝑻 で定義された非負値関数の組 𝒖, 𝒗 で次を満たすものを (KS)の 𝟎, 𝑻 上のエネルギー解という: 𝒗 ∈ 𝑳∞ 𝟎, 𝑻; 𝑾 𝟏,∞ 𝑩 , 𝒗 𝒕 ∈ 𝑳 𝟐 𝟎, 𝑻; 𝑳 𝟐 𝑩 . ∀𝝋 ∈ 𝑳 𝟏 𝟎, 𝑻; 𝑯 𝟏 𝑩 ∩ 𝑾 𝟏,𝟏 𝟎, 𝑻; 𝑳 𝟐 𝑩 with supp𝝋 𝒙 ⊂ 𝟎, 𝑻 ; න 𝟎 𝑻 න 𝑩 (𝛁𝒖 𝒎 ⋅ 𝛁 𝝋 − 𝒖 𝒒−𝟏 𝛁𝒖 ⋅ 𝛁𝝋 − 𝒖𝝋 𝒕) 𝒅𝒙𝒅𝒕 = න 𝑩 𝒖 𝟎 𝒙 𝝋 𝒙, 𝟎 𝒅𝒙 , න 𝟎 𝑻 න 𝑩 (𝛁𝒗 ⋅ 𝛁 𝝋 + 𝒗𝝋 − 𝒖𝝋 − 𝒗𝝋 𝒕) 𝒅𝒙𝒅𝒕 = න 𝑩 𝒗 𝟎 𝒙 𝝋 𝒙, 𝟎 𝒅𝒙 . ∃𝑲 > 𝟎 s.t. 𝟐𝒆−𝟐𝒕 𝒎 + 𝟏 𝟐 න 𝟎 𝒕 න 𝑩 𝝏 𝝏𝒔 𝒖 𝒎+𝟏 𝟐 𝟐 𝒅𝒙𝒅𝒔 + 𝟏 𝟐𝒎 න 𝑩 𝛁𝒖 𝒎 𝒕 𝟐 𝒅𝒙 ≤ 𝒄 𝟏, a.a. 𝒕 ∈ 𝟎, 𝑻 . for all 𝒕 < 𝑻. ただし 𝒄 𝟏 は 𝒖 𝟎 𝑳 𝟐, 𝛁𝒖 𝟎 𝒎 𝑳 𝟐, 𝒗 𝟎 𝑾 𝟏,∞, 𝒖 𝑳∞ 𝟎,𝑻;𝑳∞ 𝑩 , 𝒎, 𝒒, 𝑵, 𝑩 に依存する定数. 𝒖 ∈ 𝑳∞ 𝟎, 𝑻; 𝑳∞ 𝑩 , 𝛁𝒖 𝒎 ∈ 𝑳∞ 𝟎, 𝑻; 𝑳 𝟐 𝑩 , 𝒖 𝒎+𝟏 𝟐 ∈ 𝑳 𝟐 𝟎, 𝒕; 𝑳 𝟐 𝑩 , 6/13
- 11. 先行研究 (KS) : 𝒖 𝒕 = 𝚫(𝒖 + 𝜺) 𝒎−𝛁 ⋅ 𝒖 + 𝜺 𝒒−𝟐 𝒖𝛁𝒗 (𝜺 > 𝟎)𝜺 時間大域的古典解が存在し, 一様に有界.𝒎 > 𝒒 − 𝟐 𝑵 Tao—Winkler (2012), Ishida—Seki—Yokota (2014) Cieslak—Stinner (2012, 2014) 有限時刻爆発解を与える初期値が存在する.𝒎 < 𝒒 − 𝟐 𝑵 ´ Ishida—Yokota (2013) (KS) : 𝒖 𝒕 = 𝚫𝒖 𝒎 − 𝛁 ⋅ 𝒖 𝒒−𝟏 𝛁𝒗𝒖 𝒖𝒎 𝒒−𝟏 𝒎 : 拡散の強さ 𝒒 : 集中の強さ 時間大域的弱解が存在する.𝒎 > 𝒒 − 𝟐 𝑵 Ishida—Yokota (2012), Ishida—Seki—Yokota (2014) Ishida—Yokota (2013) 非有界なエネルギー解を与える初期値が存在する.𝒎 < 𝒒 − 𝟐 𝑵 7/13
- 12. 7/13 先行研究 本研究の目的 (KS) : 𝒖 𝒕 = 𝚫𝒖 𝒎 − 𝛁 ⋅ 𝒖 𝒒−𝟏 𝛁𝒗𝒖 𝒖𝒎 𝒒−𝟏 𝒎 : 拡散の強さ 𝒒 : 集中の強さ Ishida—Yokota (2013) 非有界なエネルギー解を与える初期値が存在する.𝒎 < 𝒒 − 𝟐 𝑵 Cieslak—Stinner (2012, 2014) 𝒎 < 𝒒 − 𝟐 𝑵 (KS) : 𝒖 𝒕 = 𝚫(𝒖 + 𝜺) 𝒎 −𝛁 ⋅ 𝒖 + 𝜺 𝒒−𝟐 𝒖𝛁𝒗 (𝜺 > 𝟎)𝜺 ´ 有限時刻爆発解を与える初期値が存在する. 有限時刻で爆発する(KS)のエネルギー解を与える 初期値を構成する. 研究結果にギャップがある！ 有限時刻または無限時刻で爆発
- 13. 𝑵 ≥ 𝟐, 𝒎 ≥ 𝟏, 𝒒 ≥ 𝟐 とし, 𝒎, 𝒒, 𝑵 は を満たすものとする.また, 𝑴, > 𝟎 とする. 次を満たす定数 𝑻 ≔ 𝑻 𝑴, , 𝒌 ≔ 𝒌(𝑴) > 𝟎 が存在する: を満たす任意の初期値に対するすべてのエネルギー解 𝒖, 𝒗 は 𝑻 𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝑻 < ∞ で, 𝐥𝐢𝐦 𝐬𝐮𝐩 𝒕→𝑻 𝒎𝒂𝒙 𝒖(⋅, 𝒕) 𝑳∞(𝑩) = ∞. 𝒎 < 𝒒 − 𝟐 𝑵 ※ ただし 𝑭 𝒖 𝟎, 𝒗 𝟎 ≔ 𝟏 𝟐 𝒗 𝟎 𝑯 𝟏 𝑩 𝟐 + න 𝑩 𝑮 𝒖 𝟎 − න 𝑩 𝒖 𝟎 𝒗 𝟎 球対称かつ (1) 𝒖 𝟎 ∈ 𝑳∞ 𝑩 , 𝛁𝒖 𝟎 𝒎 ∈ 𝑳 𝟐 𝑩 , 𝑮 𝒖 𝟎 ≔ (2) 𝒗 𝟎 ∈ 𝑾 𝟏,∞ 𝑩 , න 𝒔 𝟎 𝒖 𝟎 න 𝒔 𝟎 𝝈 𝒎𝝉 𝒎−𝒒 𝒅𝝉 𝒅𝝈 ∈ 𝑳 𝟏 𝑩 , 𝒔 𝟎 > 𝟏 : 初期エネルギー 主定理 [H.—Ishida—Yokota (submitted)] l l න 𝑩 𝒖 𝟎 = 𝑴 , 𝑭 𝒖 𝟎, 𝒗 𝟎 ≤ −𝒌 𝟏 + 𝟐𝒗 𝟎 𝑯 𝟏(𝑩) ≤ ,l l 8/13
- 14. 𝑻 𝒎𝒂𝒙 ≔ 𝐬𝐮𝐩 𝑻 > 𝟎 (KS)の 𝟎, 𝑻 上のエネルギー解 𝒖, 𝒗 が存在するቄ ቄ 定義2 (解の最大存在時刻) 𝑵 ≥ 𝟐, 𝒎 ≥ 𝟏, 𝒒 ≥ 𝟐 とし, 𝒎, 𝒒, 𝑵 は を満たすものとする.また, 𝑴, > 𝟎 とする. 次を満たす定数 𝑻 ≔ 𝑻 𝑴, , 𝒌 ≔ 𝒌(𝑴) > 𝟎 が存在する: を満たす任意の初期値に対するすべてのエネルギー解 𝒖, 𝒗 は 𝑻 𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝑻 < ∞ で, 𝐥𝐢𝐦 𝐬𝐮𝐩 𝒕→𝑻 𝒎𝒂𝒙 𝒖(⋅, 𝒕) 𝑳∞(𝑩) = ∞. 𝒎 < 𝒒 − 𝟐 𝑵 球対称かつ (1) 𝒖 𝟎 ∈ 𝑳∞ 𝑩 , 𝛁𝒖 𝟎 𝒎 ∈ 𝑳 𝟐 𝑩 , 𝑮 𝒖 𝟎 ≔ (2) 𝒗 𝟎 ∈ 𝑾 𝟏,∞ 𝑩 , න 𝒔 𝟎 𝒖 𝟎 න 𝒔 𝟎 𝝈 𝒎𝝉 𝒎−𝒒 𝒅𝝉 𝒅𝝈 ∈ 𝑳 𝟏 𝑩 , 𝒔 𝟎 > 𝟏 主定理 [H.—Ishida—Yokota (submitted)] l l න 𝑩 𝒖 𝟎 = 𝑴 , 𝑭 𝒖 𝟎, 𝒗 𝟎 ≤ −𝒌 𝟏 + 𝟐𝒗 𝟎 𝑯 𝟏(𝑩) ≤ ,l l 8/13
- 15. (KS)の消散率 𝑫: 𝑭 𝒖, 𝒗 ≔ 𝟏 𝟐 න 𝑩 𝛁𝒗 𝟐 + 𝟏 𝟐 න 𝑩 𝒗 𝟐 + න 𝑩 𝑮(𝒖) − න 𝑩 𝒖𝒗 (KS)のLyapunov関数 𝑭 : 𝑮 𝒖 ≔ 𝐥𝐢𝐦 𝜹→𝟎 න 𝒔 𝟎 𝒖 න 𝒔 𝟎 𝝈 𝒎𝝉 𝒎−𝟏 𝝉 𝒒−𝟏 + 𝜹 𝒅𝝉𝒅𝝈 とし 証明の流れ 𝑫 𝒖, 𝒗 ≔ න 𝑩 𝒗 𝒕 𝟐 + 𝐥𝐢𝐦 𝜹→𝟎 න 𝑩 𝛁𝒖 𝒎 − 𝒖 𝒒−𝟏 𝛁𝒗 𝒖 Τ𝒒−𝟏 𝟐 + 𝜹 𝟐 最終目標 Lyapunov関数に関する不等式 𝑭 𝒖 𝒕 , 𝒗 𝒕 ≥ −𝑪 𝑫 𝒖 𝒕 , 𝒗 𝒕 + 𝟏 𝜽 , ∃𝜽 ∈ 𝟎, 𝟏 ∃𝑪 > 𝟎 s.t. 𝒕 ∈ 𝟎, 𝑻 11/19/13
- 16. 𝑭 𝒖, 𝒗 ≔ 𝟏 𝟐 න 𝑩 𝛁𝒗 𝟐 + 𝟏 𝟐 න 𝑩 𝒗 𝟐 + න 𝑩 𝑮(𝒖) − න 𝑩 𝒖𝒗 𝑮 𝒖 ≔ 𝐥𝐢𝐦 𝜹→𝟎 න 𝒔 𝟎 𝒖 න 𝒔 𝟎 𝝈 𝒎𝝉 𝒎−𝟏 𝝉 𝒒−𝟏 + 𝜹 𝒅𝝉𝒅𝝈 とし 証明の流れ ≥ 𝟎 ≥ 𝟎 ≥ 𝟎 ≤ 𝟎 (KS)のLyapunov関数 𝑭 : 最終目標 Lyapunov関数に関する不等式 𝑭 𝒖 𝒕 , 𝒗 𝒕 ≥ −𝑪 𝑫 𝒖 𝒕 , 𝒗 𝒕 + 𝟏 𝜽 , ∃𝜽 ∈ 𝟎, 𝟏 ∃𝑪 > 𝟎 s.t. 𝒕 ∈ 𝟎, 𝑻 න 𝑩 𝒖𝒗 を用いて評価するを 𝑫 𝒖, 𝒗 9/13
- 17. 証明の流れ 最終目標 Lyapunov関数に関する不等式 𝑭 𝒖 𝒕 , 𝒗 𝒕 ≥ −𝑪 𝑫 𝒖 𝒕 , 𝒗 𝒕 + 𝟏 𝜽 , ∃𝜽 ∈ 𝟎, 𝟏 ∃𝑪 > 𝟎 s.t. 𝒕 ∈ 𝟎, 𝑻 𝑩 𝒓 𝟎 𝑹 を න 𝑩 𝒖𝒗 を න 𝑩 𝛁𝒗 𝟐 で評価Step 1 Step 2 න 𝑩 𝛁𝒗 𝟐 න 𝑩 𝒓 𝟎 𝛁𝒗 𝟐 Step 3 න 𝑩 𝛁𝒗 𝟐 න 𝑩 𝑩 𝒓 𝟎 𝛁𝒗 𝟐 を Step 4 න 𝑩 𝒖𝒗 を 𝑫 𝒖, 𝒗 で評価 𝑫 𝒖, 𝒗 で評価 𝑫 𝒖, 𝒗 で評価の評価その1 : の評価その2 : 9/13
- 18. න 𝑩 𝒓 𝟎 𝛁𝒗 𝟐 ≤ −𝑪 𝟏 න 𝟎 𝒓 𝟎 𝒓 𝑵 𝒖𝒗 𝒓 + 𝜺 න 𝑩 𝒓 𝟎 𝛁𝒗 𝟐 + 𝑪 𝟐 𝒓 𝟎 𝒇 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝑪 𝟑 𝒗 𝑳 𝟐 𝟐 目標の右辺に登場 証明の概略 න 𝑩 𝒓 𝟎 𝛁𝒗 𝟐 ≤ 𝝁 + 𝑪 𝒓 𝟎 𝒇 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝒓 𝟎 𝒈 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝒗 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝟏න 𝑩 𝑮(𝒖) Key Lemma 𝒓 𝟎 ⋅ 𝑫 𝒖, 𝒗 左辺に吸収 10/13 ∃𝝁 ∈ [𝟎, 𝟐) ∃𝑪 > 𝟎 s.t. ( 𝒖 > 𝟎 )𝒇 ≔ −𝒓 𝟏−𝑵 𝒓 𝑵−𝟏 𝒗 𝒓 𝒓 + 𝒗 − 𝒖 , 𝒈 ≔ 𝒖 𝒎 𝒓 − 𝒖 𝒒−𝟏 𝒗 𝒓 𝒖( Τ𝒒−𝟏) 𝟐
- 19. 証明の概略 𝒈 の定義 先行研究[ ]と同様の方法Cieslak—Stinner (2012)´ 𝒖𝒗 𝒓 = 𝒎𝒖 𝒎 𝒖 𝒓 𝒖 𝒒−𝟏 − 𝒖𝒈 𝒖 Τ(𝒒−𝟏) 𝟐 − න 𝟎 𝒓 𝟎 𝒓 𝑵 𝒖𝒗 𝒓 = − න 𝟎 𝒓 𝟎 𝒓 𝑵 𝒎𝒖 𝒎 𝒖 𝒒−𝟏 𝒖 𝒓 + න 𝟎 𝒓 𝟎 𝒓 𝑵 𝒖𝒈 𝒖 Τ𝒒−𝟏 𝟐 𝒒 が大きいと 𝒖 の負ベキになる 𝒖 = 𝟎 のとき発散してしまう!! 左辺に吸収Key Point!! න 𝑩 𝒓 𝟎 𝛁𝒗 𝟐 ≤ 𝝁 + 𝑪 𝒓 𝟎 𝒇 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝒓 𝟎 𝒈 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝒗 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝟏න 𝑩 𝑮(𝒖) Key Lemma 𝒓 𝟎 ⋅ 𝑫 𝒖, 𝒗 10/13 ∃𝝁 ∈ [𝟎, 𝟐) ∃𝑪 > 𝟎 s.t. න 𝑩 𝒓 𝟎 𝛁𝒗 𝟐 ≤ −𝑪 𝟏 න 𝟎 𝒓 𝟎 𝒓 𝑵 𝒖𝒗 𝒓 + 𝜺 න 𝑩 𝒓 𝟎 𝛁𝒗 𝟐 + 𝑪 𝟐 𝒓 𝟎 𝒇 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝑪 𝟑 𝒗 𝑳 𝟐 𝟐 目標の右辺に登場 ( 𝒖 > 𝟎 )𝒇 ≔ −𝒓 𝟏−𝑵 𝒓 𝑵−𝟏 𝒗 𝒓 𝒓 + 𝒗 − 𝒖 , 𝒈 ≔ 𝒖 𝒎 𝒓 − 𝒖 𝒒−𝟏 𝒗 𝒓 𝒖( Τ𝒒−𝟏) 𝟐
- 20. − න 𝟎 𝒓 𝟎 𝒓 𝑵 𝒖𝒗 𝒓 = − න 𝟎 𝒓 𝟎 𝒓 𝑵 𝒎𝒖 𝒎 𝒖 𝒒−𝟏 𝒖 𝒓 + න 𝟎 𝒓 𝟎 𝒓 𝑵 𝒖𝒈 𝒖 Τ𝒒−𝟏 𝟐 証明の概略 𝒈 の定義 先行研究[ ]と同様の方法Cieslak—Stinner (2012)´ 𝒖𝒗 𝒓 = 𝒎𝒖 𝒎 𝒖 𝒓 𝒖 𝒒−𝟏 − 𝒖𝒈 𝒖 Τ(𝒒−𝟏) 𝟐 𝒒 が大きいと 𝒖 の負ベキになる 𝒖 = 𝟎 のとき発散してしまう!! 左辺に吸収Key Point!! න 𝑩 𝒓 𝟎 𝛁𝒗 𝟐 ≤ 𝝁 + 𝑪 𝒓 𝟎 𝒇 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝒓 𝟎 𝒈 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝒗 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝟏න 𝑩 𝑮(𝒖) Key Lemma 𝒓 𝟎 ⋅ 𝑫 𝒖, 𝒗 10/13 ∃𝝁 ∈ [𝟎, 𝟐) ∃𝑪 > 𝟎 s.t. න 𝑩 𝒓 𝟎 𝛁𝒗 𝟐 ≤ −𝑪 𝟏 න 𝟎 𝒓 𝟎 𝒓 𝑵 𝒖𝒗 𝒓 + 𝜺 න 𝑩 𝒓 𝟎 𝛁𝒗 𝟐 + 𝑪 𝟐 𝒓 𝟎 𝒇 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝑪 𝟑 𝒗 𝑳 𝟐 𝟐 目標の右辺に登場 ( 𝒖 > 𝟎 )𝒇 ≔ −𝒓 𝟏−𝑵 𝒓 𝑵−𝟏 𝒗 𝒓 𝒓 + 𝒗 − 𝒖 , 𝒈 ≔ 𝒖 𝒎 𝒓 − 𝒖 𝒒−𝟏 𝒗 𝒓 𝒖( Τ𝒒−𝟏) 𝟐
- 21. − න 𝟎 𝒓 𝟎 𝒓 𝑵 𝒖𝒗 𝒓 = − න 𝒖≥𝒔 𝟎 𝒓 𝑵 𝒖𝒗 𝒓 − න {𝒖≤𝒔 𝟎} 𝒓 𝑵 𝒖𝒗 𝒓 証明の概略 𝒖 の大きさで区間を分ける!! 𝒖 の上からの有界性により 左辺に吸収できる!! 左辺に吸収Key Point!! Key Lemma を示せる！ 先行研究と同様の 議論が適用できる!! න 𝑩 𝒓 𝟎 𝛁𝒗 𝟐 ≤ 𝝁 + 𝑪 𝒓 𝟎 𝒇 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝒓 𝟎 𝒈 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝒗 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝟏න 𝑩 𝑮(𝒖) Key Lemma 𝒓 𝟎 ⋅ 𝑫 𝒖, 𝒗 10/13 𝒎 < 𝒒 − 𝟐 𝑵 ∃𝝁 ∈ [𝟎, 𝟐) ∃𝑪 > 𝟎 s.t. න 𝑩 𝒓 𝟎 𝛁𝒗 𝟐 ≤ −𝑪 𝟏 න 𝟎 𝒓 𝟎 𝒓 𝑵 𝒖𝒗 𝒓 + 𝜺 න 𝑩 𝒓 𝟎 𝛁𝒗 𝟐 + 𝑪 𝟐 𝒓 𝟎 𝒇 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝑪 𝟑 𝒗 𝑳 𝟐 𝟐 目標の右辺に登場 ( 𝒖 > 𝟎 )𝒇 ≔ −𝒓 𝟏−𝑵 𝒓 𝑵−𝟏 𝒗 𝒓 𝒓 + 𝒗 − 𝒖 , 𝒈 ≔ 𝒖 𝒎 𝒓 − 𝒖 𝒒−𝟏 𝒗 𝒓 𝒖( Τ𝒒−𝟏) 𝟐
- 22. න 𝟎 𝒕 𝑫 𝒖 𝒔 , 𝒗 𝒔 𝒅𝒔 + 𝑭 𝒖 𝒕 , 𝒗 𝒕 = 𝑭 𝒖 𝟎, 𝒗 𝟎 , 𝒕 ∈ 𝟎, 𝑻 Proposition (Lyapunov関数の関係式) 𝒅 𝒅𝒕 𝚽 𝒕 ≥ 𝜹 𝟎 𝚽 𝒕 𝚽 𝒕 ≔ න 𝟎 𝒕 − 𝑭 𝒖 𝒔 , 𝒗 𝒔 𝟏 𝜽 𝒅𝒔 − 𝑭 𝒖 𝟎, 𝒗 𝟎 主定理の証明 𝟏 𝜽 > 𝟏 より, 有限時刻で爆発する！ 𝚽 𝒕 → ∞ as 𝒕 → ∃𝑻 𝟎 ∴ → ∞ as 𝒕 → 𝑻 𝟎. 最終目標 Lyapunov関数に関する不等式 𝑭 𝒖 𝒕 , 𝒗 𝒕 ≥ −𝑪 𝑫 𝒖 𝒕 , 𝒗 𝒕 + 𝟏 𝜽 , ∃𝜽 ∈ 𝟎, 𝟏 ∃𝑪 > 𝟎 s.t. 𝒕 ∈ 𝟎, 𝑻 𝒖(⋅, 𝒕) 𝑳∞(𝑩) 12/13 𝟏 𝜽
- 23. まとめ 𝒖 𝒕 = ∆𝒖 𝒎 − 𝛁 ∙ 𝒖 𝒒−𝟏 𝛁𝒗 , 𝒗 𝒕 = ∆𝒗 − 𝒗 + 𝒖 , 𝒙 ∈ 𝑩 , 𝒕 > 𝟎 , 𝒙 ∈ 𝑩 , 𝒕 > 𝟎 , (KS) ቐ 本研究の結果 有限時刻で爆発する(KS)のエネルギー解を与える 初期値の条件を得た. 非退化型の問題(KS) に対する結果と同様の条件の下で𝜺 以下の問題(KS)を, Neumann境界条件及び初期条件の下で考えた: 13/13
- 25. 𝒖 𝒕 = 𝛁 ⋅ 𝝓 𝒖 𝛁𝒖 − 𝝍 𝒖 𝛁𝒗 , 𝒗 𝒕 = 𝚫𝒗 − 𝒗 + 𝒖 , 𝒙 ∈ 𝛀, 𝒕 > 𝟎, 𝒙 ∈ 𝛀, 𝒕 > 𝟎. に対するcritical-condition [Winkler (2009)] (E) (E) ∃𝒔 𝟎 > 𝟏 ∃𝜺 ∈ 𝟎, 𝟏 ∃𝑲, 𝒌 > 𝟎 s.t. න 𝒔 𝟎 𝒔 𝝈𝝓 𝝈 𝝍 𝝈 𝒅𝝈 ≤ 𝑲 𝒔 𝐥𝐨𝐠 𝒔 , 𝑵 − 𝟐 − 𝜺 𝑵 න 𝒔 𝟎 𝒔 න 𝒔 𝟎 𝝈 𝝓 𝝉 𝝍 𝝉 𝒅𝝉𝒅𝝈 + 𝑲𝒔, න 𝒔 𝟎 𝒔 න 𝒔 𝟎 𝝈 𝝓 𝝉 𝝍 𝝉 𝒅𝝉𝒅𝝈 ≤ 𝒌𝒔 𝐥𝐨𝐠 𝒔 𝜽 𝒌𝒔 𝟐−𝜶 if 𝑵 = 𝟐, if 𝑵 ≥ 𝟑, if 𝑵 = 𝟐, if 𝑵 ≥ 𝟑, with some 𝜽 ∈ 𝟎, 𝟏 , with some 𝜶 > 𝟐 𝑵 , 補足スライド(一般のKeller—Segel 系について) for all 𝒔 ≥ 𝒔 𝟎. ቐ 非有界な(E)の解を与える 初期値 𝒖 𝟎, 𝒗 𝟎 ∈ 𝑪∞ 𝛀 𝟐 が存在
- 26. 時間大域的弱解が存在する. 本研究で得られたこと 有限時刻で爆発する弱解を与える 初期値が存在する. 𝒒 < 𝒎 + 𝟐 𝑵 𝒒 > 𝒎 + 𝟐 𝑵 𝒖 𝒕 = 𝚫𝒖 𝒎 − 𝛁 ⋅ (𝒖 𝒒−𝟏 𝛁𝒗) , 𝒗 𝒕 = 𝚫𝒗 − 𝒗 + 𝒖 , 𝒙 ∈ 𝛀, 𝒕 > 𝟎, 𝒙 ∈ 𝛀, 𝒕 > 𝟎. (KS) 補足スライド(先行研究の詳細) 𝟐 = 𝒎 + 𝟐 𝑵 , 𝒖 𝟎 𝑳 𝟏 < ∃𝑴 𝒄 𝟐 = 𝒎 + 𝟐 𝑵 , 𝒖 𝟎 𝑳 𝟏 > ∃𝑴 𝒄 Blanchet—Laurençot (2013) (𝛀 = ℝ 𝑵 の場合) (𝛀 = ℝ 𝑵 の場合) Laurençot—Mizoguchi (2017) 時間大域的弱解が存在する. 有限時刻で爆発する 弱解を与える初期値が存在する. 𝒒 = 𝟐 , ቐ 𝒒 = 𝟐 , 𝑵 = 𝟑 or 𝟒, Ishida—Yokota (2012) (𝛀 = ℝ 𝑵 の場合) 𝒒 ≥ 𝒎 + 𝟐 𝑵 , 𝒖 𝟎, ∆𝒗 𝟎 : enough small 時間大域的弱解が存在する. Ishida—Yokota (2012), Ishida—Seki—Yokota (2014)