1. Скачано с http://antigtu.ru
Задача Кузнецов Интегралы 1-16
u
Условие задачи
U.r
Вычислить неопределенный интеграл:
Решение
T
Обозначим:
tiG
an
Воспользуемся формулой интегрирования по частям . Получаем:
ос
Задача Кузнецов Интегралы 2-16
Условие задачи
ан
Вычислить определенный интеграл:
ач
Решение
Ск
Обозначим:

2. u
Воспользуемся формулой интегрирования по частям . Получаем:
T U.r
Обозначим:
tiG
an
Воспользуемся формулой интегрирования по частям . Получаем:
ос
ан
ач
Ск
Задача Кузнецов Интегралы 3-16

3. Условие задачи
Вычислить неопределенный интеграл:
u
U.r
Решение
T
tiG
Задача Кузнецов Интегралы 4-16
Условие задачи
Вычислить определенный интеграл: an
Решение
ос
ан
Задача Кузнецов Интегралы 5-16
Условие задачи
ач
Вычислить неопределенный интеграл:
Ск
Решение
Под интегралом неправильная дробь. Выделим целую часть:

4. u
U.r
Получаем:
T
tiG
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:
an
ос
Тогда получаем:
ан
Задача Кузнецов Интегралы 6-16
Условие задачи
ач
Вычислить неопределенный интеграл:
Ск
Решение

5. Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных
коэффициентов:
u
T U.r
tiG
an
ос
ан
Тогда:
ач
Задача Кузнецов Интегралы 7-16
Ск
Условие задачи
Найти неопределенный интеграл:

6. u
Решение
U.r
Разложим правильную рациональную дробь на элементарные дроби методом неопределенных
коэффициентов:
T
tiG
an
Вычтем из третьего уравнения первое:
ос
ан
ач
Ск

7. u
Тогда:
U.r
T
tiG
an
Задача Кузнецов Интегралы 8-16
Условие задачи
Вычислить определенный интеграл:
ос
Решение
ан
Воспользуемся универсальной подстановкой:
Откуда:
ач
Ск
Подставим:

8. u
U.r
T
Задача Кузнецов Интегралы 9-16
tiG
Условие задачи
Вычислить определенный интеграл:
an
Решение
Воспользуемся подстановкой:
ос
Откуда:
ан
ач
Подставим:
Ск

9. u
U.r
T
tiG
Задача Кузнецов Интегралы 10-16
Условие задачи an
Вычислить определенный интеграл:
Решение
ос
ан
ач
Ск

10. u
U.r
T
tiG
Задача Кузнецов Интегралы 11-16
Условие задачи
Вычислить определенный интеграл:
an
ос
ан
ач
Ск

11. Решение
u
U.r
T
tiG
an
ос
Задача Кузнецов Интегралы 12-16
Условие задачи
Вычислить определенный интеграл:
ан
Решение
ач
Замена:
Ск

12. Получаем:
u
T U.r
Задача Кузнецов Интегралы 13-16
tiG
Условие задачи
Найти неопределенный интеграл:
an
Решение
Представим интеграл в виде дифференциального бинома:
ос
Произведем замену переменной:
ан
Перейдем к новой переменной интегрирования:
ач
Ск
Упростим и возьмем получившийся интеграл:

13. Вернемся к исходной переменной интегрирования:
u
Ответ:
U.r
Задача Кузнецов Интегралы 14-16
T
Условие задачи
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
tiG
Решение an
ос
ан
Искомая площадь равна:
ач
Сделаем тригонометрическую замену переменной:
откуда
Ск
При
и при
Тогда получим

14. u
T U.r
tiG
an
Задача Кузнецов Интегралы 15-16
ос
Условие задачи
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.
ан
ач
Ск

15. u
T U.r
tiG
Найдем точки пересечения:
an
Так как функции периодичны (с периодом ), то берем любой
отрезок длиной . Возьмем . Тогда:
ос
или
на отрезке
ан
Из рисунка видно, что область симметрична относительно оси и ее площадь можно посчитать
по формуле:
ач
Ск

16. u
T U.r
tiG
Задача Кузнецов Интегралы 16-16
an
Условие задачи
Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.
ос
Решение
ан
ач
Задача Кузнецов Интегралы 17-16
Ск
Условие задачи
Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

17. u
Решение
Длина дуги кривой, заданной уравнением , определяется формулой
U.r
Найдем производную данной функции:
T
tiG
Тогда по вышеприведенной формуле получаем:
an
ос
ан
ач
Задача Кузнецов Интегралы 18-16
Условие задачи
Ск
Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

18. u
Решение
Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяется формулой
U.r
Найдем производные по для заданной кривой:
T
tiG
Тогда по приведенной выше формуле имеем:
an
ос
Задача Кузнецов Интегралы 19-16
Условие задачи
ан
Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.
ач
Решение
Длина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулой
Ск
Для кривой, заданной уравнением , найдем:

19. Получаем:
u
T U.r
tiG
an
ос
ан
Задача Кузнецов Интегралы 20-16
Условие задачи
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.
ач
Решение
Ск
Основание рассматриваемой области - полуэллипс, в котором
при
при

20. То есть, принадлежит промежутку ,а -
u
Рассмотрим поверхность
U.r
Теперь рассмотрим площадь основания и найдем объем данного тела:
T
Ответ:
tiG
an
Задача Кузнецов Интегралы 21-16
Условие задачи
Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. Ось
вращения .
ос
Решение
Поскольку является осью вращения, то обьём находится по формуле:
ан
Найдём пределы интегрирования:
ач
Найдём объём тела, как разность обьёмов двух тел вращения:
Ск

21. u
U.r
Ответ:
T
Задача Кузнецов Интегралы 22-16
tiG
Условие задачи
Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли на
высоту км. Масса спутника равна т, радиус Земли км. Ускорение свободного
падения у поверхности Земли положить равным 10 м/с2.
an
т, км.
Решение
По определению элементарная работа , где
ос
Н*м*м / (кг*кг)
сила притяжения на высоте
сила притяжения на поверхности Земли
ан
ач
Дж
Ск