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金管楽器の音の高さ・音量と体の使い方の関係について
- 2. 1 金管楽器の音の高さ・音量がどのように決まるのかを検討し、 適切な体の使い方を知るための材料とする。 高音を出すには、息のスピードを上げるのが一番の近道。 そのためには、横隔膜を意識し、アパチュアを小さくする。 また、息のエネルギーを最低限にすることも重要。 ただし、高音では音量が小さくなる傾向がある。 音量を大きくするには、 息のスピードを上げた上で、息のエネルギーを増やし、 唇を閉じるエネルギーを最低限にするのが重要。 エネルギーを正確にコントロールできるようになれば、安定する。 目的と結論 目的 結論
- 19. 18 唇を閉じるエネルギーが大きすぎると 音が出ない 息が唇に負けてしまう 唇を閉じるエネルギーと音の高さ・音量 マト 息の エネルギー 唇を閉じる エネルギー 息の スピード 肺 横隔膜 唇
- 27. 26 以下、数式の詳細
- 29. 28 肺の任意の断面と唇の隙間において、 ベルヌーイの定理より 𝑃0+ 1 2 𝜌𝑣0 2 = 𝑃1 + 1 2 𝜌𝑣1 2 = 𝑃𝑡 ⋯ (1) 連続の式より 𝑣0 𝑆0 = 𝑣1 𝑆1 = 𝑉 ⋯ (2) 計算ー息の速度と圧力の関係
- 30. 29 1 , (2)より、唇の隙間における空気の圧力は 𝑃1 = 𝑃𝑡 − 1 2 𝜌𝑉2 𝑆1 2 ⋯ 3 よって、唇を開こうとする圧力は 𝑃 = 𝑃1 − 𝑃𝑐 = (𝑃𝑡 − 𝑃𝑐) − 1 2 𝜌𝑉2 𝑆1 2 = 𝑎 − 𝑏 ⋯ (4) ここで、以降の計算のために、変数𝑎, 𝑏を設定した 𝑎 = 𝑃𝑡 − 𝑃𝑐 ⋯ (5) 𝑏 = 1 2 𝜌𝑉2 𝑆1 2 ⋯ (6) 計算ー唇を開こうとする圧力
- 31. 30 唇の間隔の時間変化𝑥(𝑡)を考える 発音が始まってからの時刻を𝑡とする 常に𝑥(𝑡) ≥ 0であるとする 時刻𝑡 = 0で唇は閉じている、つまり𝑥 0 = 0とする 唇が振動することから、 𝑥(𝑡)は周期的に変化するはず 計算ー唇の動き 時刻𝑡 唇の間隔𝑥(𝑡) 𝑂
- 32. 31 𝑥 𝑡 = 0のとき この瞬間、唇は閉じており、空気の流れはない よって、空気の圧力は全圧𝑃𝑡に等しい 唇を開こうとする圧力は、(5)より 𝑃′ = 𝑃𝑡 − 𝑃𝑐 = 𝑎 ⋯ (7) 簡単のため、 唇には瞬間的に𝑃′に比例する初速度が発生すると近似する。 すなわち正の比例定数𝑘1を用いて 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑡 = 𝑘1 𝑃′ = 𝑘1 𝑎 ⋯ (8) 𝑥 𝑡 ≥ 0で𝑥 𝑡 が振動するために、以下の条件が必要である 𝑎 > 0 ⋯ (9) 計算ー唇が閉じている瞬間
- 33. 32 𝑥 𝑡 > 0のとき この瞬間、唇は開いており、空気の流れがある 唇の運動方程式を考えることで、(4)より 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 𝑡 = 𝑘2 𝑃 = 𝑘2(𝑎 − 𝑏) ⋯ (10) ただし𝑘2は、唇の質量や面積などを含む正の定数である 唇の隙間の断面積𝑆1は𝑥 𝑡 によって変化するはずだが、 計算を簡単にするために、𝑆1は定数であると近似する 5 , (6)より、(10)の右辺は全て𝑥 𝑡 によらない定数と なるので、 (10)の解は𝑡についての二次関数となる 𝑥 𝑡 = 1 2 𝑘2 𝑎 − 𝑏 𝑡2 + 𝐶1 𝑡 + 𝐶2 ⋯ (11) 計算ー唇が開いている瞬間1
- 34. 33 𝑥 𝑡 > 0のとき（続き） 𝑥 𝑡 が無限大に発散しないために、以下の条件が必要である 𝑎 − 𝑏 < 0 ⋯ (12) (11)に関して、 (8)から 初期条件𝑥 0 = 0, 𝑑𝑥 𝑑𝑡 0 = 𝑘1 𝑎を満たす解を求めると 𝑥 𝑡 = − 1 2 𝑘2 𝑏 − 𝑎 𝑡 − 𝑘1 𝑎 𝑘2 𝑏 − 𝑎 2 + 𝑘1 𝑎 2 2𝑘2 𝑏 − 𝑎 ⋯ (13) 𝑥(𝑡)は右のグラフのようになり、 最大値は 𝑘1 𝑎 2 2𝑘2 𝑏−𝑎 であること、 𝑡 = 2𝑘1 𝑎 𝑘2 𝑏−𝑎 で𝑥 𝑡 = 0となる ことが分かる 計算ー唇が開いている瞬間2 時刻𝑡 唇の間隔𝑥(𝑡) 𝑂 𝑘1 𝑎 2 2𝑘2 𝑏 − 𝑎 𝑘1 𝑎 𝑘2 𝑏 − 𝑎 2𝑘1 𝑎 𝑘2 𝑏 − 𝑎
- 35. 34 以上の計算から、唇の間隔の時間変化は 以下のようになると考えられる 振幅は 𝑎2 𝑏−𝑎 に比例する⋯ (14) 周期は 𝑎 𝑏−𝑎 に比例する⋯ (15) 計算ー唇の動き 時刻𝑡 唇の間隔𝑥(𝑡) 𝑂 𝑘1 𝑎 2 2𝑘2 𝑏 − 𝑎 𝑘1 𝑎 𝑘2 𝑏 − 𝑎 2𝑘1 𝑎 𝑘2 𝑏 − 𝑎 3𝑘1 𝑎 𝑘2 𝑏 − 𝑎 5𝑘1 𝑎 𝑘2 𝑏 − 𝑎 4𝑘1 𝑎 𝑘2 𝑏 − 𝑎 6𝑘1 𝑎 𝑘2 𝑏 − 𝑎 ⋯
- 36. 35 唇の間隔の時間変化から、金管楽器の音の高さ・音量を 導く 音の高さは、唇の振動数、すなわち周期の逆数に比例する と考えられる 音量は、唇の振動の大きさ、すなわち振幅に比例する と考えられる これらと 9 , 12 , 14 , (15)から、以下の結果が導かれる 計算ー金管楽器の音量・音の高さ 音が出る条件： 0 < 𝑎 < 𝑏 音の高さは 𝑏−𝑎 𝑎 に比例する 音量は 𝑎2 𝑏−𝑎 に比例する
- 37. 36 解釈しやすくするために、以下の変数を定義する 𝑟 = 𝑏 𝑎 ⋯ (16) 5 , (16)を使って前ページの結果を書き直すと、 以下のようになる 計算ー計算結果の整理 音が出る条件：𝑃𝑐 < 𝑃𝑡 < 𝑃𝑐 + 𝑏 音の高さは𝑟 − 1に比例する 音量は 𝑎 𝑟−1 に比例する
- 38. 37 各変数の解釈 𝑃𝑡：息のエネルギー 呼吸筋が肺を押す圧力 𝑃𝑐：唇を閉じるエネルギー 口輪筋が唇を閉じる圧力 前半の説明中の、マトの高さに対応 𝑎：振動のエネルギー （息のエネルギー）－（唇を閉じるエネルギー） 前半の説明中の、マトの下側の大きさに対応 𝑏：息のスピード （横隔膜が送る息の量）÷（アパチュアの大きさ） 前半の説明中の、マトの大きさに対応 𝑟：エネルギーとスピードのバランス （息のスピード）÷（振動のエネルギー） 前半の説明中の、マトの上下の割合に対応 音が出る条件： 𝑃𝑐 < 𝑃𝑡 < 𝑃𝑐 + 𝑏 前半の説明中の、マトの高さと大きさに対応 計算ー計算結果の整理