Πτυχιακή - Main Body - Anastasios Kamoutsas Petros Mostratos Dimitrios Tzatsis

«ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ BEM
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ
ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ TAGUCHI»
Α.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ
ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΦΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΛΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ
Ιούνιος 2015
ΣΠΟΥΔΑΣΤΕΣ:
ΜΟΣΤΡΑΤΟΣ ΠΕΤΡΟΣ
ΤΖΑΤΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ
ΚΑΜΟΥΤΣΑΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ
ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ:
ΔΡ.-ΜΗΧ. ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ
ΣΑΓΙΑΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ
ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΜΟΣΤΡΑΤΟΣ ΠΕΤΡΟΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΖΑΤΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ
Σελίδα
1
Ευχαριστίες
Οι συντάκτες εκφράζουν την απεριόριστη εκτίμηση τους προς τους
επιβλέποντες καθηγητές Δρ.-Μηχ. Κωνσταντίνο Στεργίου και υποψήφιο Δρ. Βασίλειο
Σαγιά, για τη συνεχή υποστήριξη τους και μετάδοση κινήτρου καθ’ όλη τη διάρκεια
αυτού του έργου.
Ειδικές ευχαριστίες στον κ. Βασίλειο Σαγιά για την συνεισφορά του στην
εισαγωγή των συντακτών στη BEM, στη μεθοδολογία Taguchi καθώς και στις
μαθηματικές εφαρμογές που απαιτήθηκαν.

Σελίδα
2
Πίνακας περιεχομένων
Περίληψη.................................................................................................................................7
Κεφάλαιο 1ο
: Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων .......................................................................8
1.1 Εισαγωγή στη Μέθοδο Συνοριακών Στοιχείων ..............................................................8
1.1.1 Γιατί χρησιμοποιούμε τη BEM έναντι της FEM........................................................9
1.1.2 Πλεονεκτήματα της BEM .......................................................................................10
1.1.3 Μειονεκτήματα BEM.............................................................................................10
1.2 Ιστορική Αναδρομή στη BEM .......................................................................................11
1.3 Adaptive Mesh και Error Indicators..............................................................................14
1.4 Lagrange στοιχεία για δισδιάστατα προβλήματα ........................................................17
Μεθοδολογία Taguchi.......................................................................................19
2.1 Εισαγωγή στην μεθοδολογία Taguchi ..........................................................................19
2.2 Ορθογωνικές κατανομές ..............................................................................................20
2.3 Επιλέγοντας μια μεθοδολογία Taguchi ........................................................................21
2.4 Φράσεις που Εκθειάζουν τη Μέθοδο Taguchi..............................................................22
Κεφάλαιο 3ο: Μεθοδολογία & Εφαρμογή.............................................................................23
3.1 Εισαγωγή......................................................................................................................23
3.2 Νεα Προσαρμοστική Στρατηγική Βασισμένη στη Μεθοδολογία Taguchi.....................24
3.2.1 Αρχικές Συνθήκες του Πειράματος ........................................................................25
3.2.2 Ο Πίνακας Taguchi Και Η Ορθογωνική Κατατομή..................................................26
3.2.3 Η Γεωμετρική Προσέγγιση Κάθε CAD Στοιχείου Σύμφωνα Με Την Ορθογωνική
Κατατομή Και Τις Αρχές Της Προσαρμοστικής Στρατηγικής...........................................27
3.2.4 Στρατηγική Υπολογισμού.......................................................................................35
3.2.5 Πρακτική Εφαρμογή..............................................................................................36
3.3 Ο σχεδιασμός των πειραμάτων (Taguchi) στο Minitab ................................................37
3.4 Οι Πίνακες που Προκύπτουν για κάθε CAD Στοιχείο....................................................38
3.4.1 Response Table – Πρώτο CAD στοιχείο..................................................................39
3.4.2 Response Table – Δεύτερο CAD στοιχείο...............................................................40
3.4.3 Response Table – Τρίτο CAD στοιχείο....................................................................41
3.4.4 Response Table – Τέταρτο CAD στοιχείο................................................................42
3.4.5 Response Table – Πέμπτο CAD στοιχείο ................................................................43
3.4.6 Response Table – Έκτο CAD στοιχείο .....................................................................44
3.4.7 Response Table – Έβδομο CAD στοιχείο ................................................................45
3.4.8 Response Table – Όγδοο CAD στοιχείο..................................................................46

Σελίδα
3
3.4.9 Response Table – Ένατο CAD στοιχείο...................................................................47
3.4.10 Response Table – Δέκατο CAD στοιχείο...............................................................48
3.4.11 Response Table – Ενδέκατο CAD στοιχείο............................................................49
3.4.12 Response Table – Δωδέκατο CAD στοιχείο..........................................................50
3.4.13 Response Table – Δέκατο Τρίτο CAD στοιχείο......................................................51
3.4.14 Response Table – Δέκατο Τέταρτο CAD στοιχείο.................................................52
3.4.15 Response Table – Δέκατο Πέμπτο CAD στοιχείο..................................................53
3.4.16 Response Table – Δέκατο Έκτο CAD στοιχείο.......................................................54
3.5 Το Τελικό Πλέγμα Σύμφωνα με τις Ενδείξεις των Πινάκων Signal to Noise..................56
3.6 Σύγκριση των Αποτελεσμάτων Στρεπτικής Καταπόνησης του Τελικού Πλέγματος με τις
Αναλυτικές Λύσεις .............................................................................................................57
: Παρατηρήσεις και σχόλια................................................................................60
4.1 Δυσκολίες που Δημιουργήθηκαν κατά την Υλοποίηση................................................60
4.2 Συμπεράσματα.............................................................................................................62
4.3 Προτάσεις για μελλοντική εξέλιξη................................................................................63
Βιβλιογραφία.........................................................................................................................64

Σελίδα
4
Κατάλογος Σχημάτων
Σχήμα 1.1 Σύγκριση των στρατηγικών μοντελοποίησης..........................................................9
Σχήμα 1.2 Πίνακες Συντελεστών για FEM και ΒΕΜ ................................................................11
Σχήμα 1.3 Θέση κομβικού σημείου και σχετικές αποστάσεις για σταθερό διακριτοποιημένο
στοιχείο..................................................................................................................................14
Σχήμα 1.4 Πρωτότυπα και βελτιωμένα πλέγματα χρήση προσαρμοστικών στρατηγικών....16
Σχήμα 2.1 Η παραδοσιακή άποψη της ποιότητας σε σύγκριση με την άποψη του Taguchi ..19
Σχήμα 3.1 Αρχικό 2D Σχήμα ...................................................................................................25
Σχήμα 3.2 Αρχικό πλέγμα με αριθμημένα τα CAD elements .................................................38
Σχήμα 3.3 Τελικό Πλέγμα (416 Κόμβοι, 238 Στοιχεία)............................................................56

Σελίδα
5
Κατάλογος Πινάκων
Πίνακας 1.1 Μονοδιάστατα στοιχεία Lagrange .....................................................................17
Πίνακας 2.1 Ορθογώνιος Πίνακας Taguchi L9........................................................................20
Πίνακας 2.2 Signal to Noise Ratio...........................................................................................21
Πίνακας 3.1 Πίνακας Taguchi.................................................................................................26
Πίνακας 3.2 Η Ορθογωνική Κατατομή L9...............................................................................27

Σελίδα
6
Κατάλογος Διαγραμμάτων
Διάγραμμα 3.1 Αποτελέσματα Στρεπτικής Τάσης για το Τελικό Πλέγμα...............................59

Σελίδα
7
Περίληψη
Τα τελευταία χρόνια εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων μηχανικής είναι η
Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων (Μ.Σ.Σ. ή BEM). H BEM είναι μια αριθμητική μέθοδος
για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων που μετατρέπει τις διαφορικές
εξισώσεις και τις συνοριακές συνθήκες σε ολοκληρωματικές εξισώσεις.
Χρησιμοποιείται σαν μέθοδος ανάλυσης της συμπεριφοράς των μηχανικών
συστημάτων και των μηχανικών κατασκευών που υποβάλλονται σε εξωτερική φόρτιση.
Η ΒΕΜ έχει κάποια προβλήματα που σχετίζονται με το ποσοστό ακρίβειας που
προσφέρει. Στόχος της παρούσης πτυχιακής εργασίας είναι η ανάπτυξη μιας νέας
μεθοδολογίας, βασισμένη στις υπάρχουσες μεθόδους, ώστε ν’ αυξηθεί η ακρίβεια του
πλέγματος μιας εξεταζόμενης διατομής με την χρήση των λειτουργιών του adaptive
meshing. Πρόκειται ουσιαστικά για μια καινοτόμα μεθοδολογία που θα αντικαταστήσει
τις επαναληπτικές διαδικασίες που χρειάζεται το adaptive meshing με την χρήση
λιγότερων επαναλήψεων, όπως αυτές ορίζονται από τη μεθοδολογία Taguchi.
Χρησιμοποιείται η μεθοδολογία Taguchi ως εργαλείο ποιότητας (quality tool) με
ορισμένους παράγοντες (factors) ώστε να εξαχθεί το βέλτιστο πλέγμα για την
εξεταζόμενη διατομή. Τα factors υποδεικνύουν την χρησιμοποίηση εννέα (9)
διαφορετικών πλεγμάτων, σε κάθε ένα από τα οποία πραγματοποιούνται 16 τεστ, όσες
και οι πλευρές της δεδομένης διατομής.
Εφαρμόζοντας την μεθοδολογία Taguchi στα εννέα καινούργια πλέγματα
ελαχιστοποιούνται οι τιμές του error indicator που προκύπτουν από την πειραματική
διαδικασία της BEM. Τ’ αποτελέσματα των πλεγμάτων εισάγονται στο υπολογιστικό
πρόγραμμα MiniTab ώστε να βρεθεί η βέλτιστη λύση ως προς την εύρεση της
στρεπτικής τάσης από τα εξεταζόμενα πλέγματα της διατομής.

Σελίδα
8
Κεφάλαιο 1ο: Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων
1.1Εισαγωγή στη Μέθοδο Συνοριακών Στοιχείων
Η Boundary Element Method (BEM) είναι μια αριθμητική μέθοδος για την επίλυση
μερικών διαφορικών εξισώσεων που συναντώνται στα μαθηματικά, τη φυσική και τη
μηχανική. Παραδείγματα που περιλαμβάνουν αυτή τη μέθοδο είναι η εξίσωση Laplace,
η εξίσωση Helmholtz, η εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης, οι εξισώσεις της δυναμικής και
τυρβώδης ροή, οι εξισώσεις της ηλεκτροστατικής και του ηλεκτρομαγνητισμού καθώς
επίσης και οι εξισώσεις ελαστοδυναμικής.
Μετατρέπει τις διαφορικές εξισώσεις και τις συνοριακές συνθήκες σε
ολοκληρωματικές εξισώσεις, οι οποίες μετατρέπονται ώστε να εμπεριέχουν
επιφανειακά ολοκληρώματα. Επειδή παραμένουν μόνο επιφανειακά ολοκληρώματα,
χρησιμοποιούνται επιφανειακά στοιχεία για την εκτέλεση των απαιτούμενων
ολοκληρώσεων.
Η Μέθοδος των Συνοριακών Στοιχείων (BEM) αποτελεί μια τεχνική για την ανάλυση
της συμπεριφοράς των μηχανικών συστημάτων και ιδιαίτερα των μηχανικών
κατασκευών που υποβάλλονται σε εξωτερική φόρτιση. Ο όρος φόρτιση
χρησιμοποιείται μετη γενική του έννοια, αναφερόμενος σε μια εξωτερική πηγή η οποία
παράγει μια μη μηδενική συνάρτηση πεδίου που περιγράφει την απόκριση του
συστήματος (πεδίο θερμοκρασίας, πεδίο μετατόπισης, πεδίο τάσεων, κλπ.) και μπορεί
να είναι θερμότητα, οι δυνάμεις του σώματος, ή ακόμη και μη-ομοιογενής οριακές
συνθήκες, π.χ. διευθέτηση στήριξης.
Η μελέτη της συμπεριφοράς των κατασκευών επιτυγχάνεται σήμερα με τη χρήση
ηλεκτρονικών υπολογιστικών συστημάτων. Ο λόγος είναι προφανής, το χαμηλό κόστος
της αριθμητικής μεθόδου έναντι των ακριβών πειραματικών προσομοιώσεων. Η
αριθμητική προσομοίωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μελετήσει μια ευρεία
ποικιλία φορτίσεων και γεωμετριών μιας δομής και για να προσδιοριστεί η βέλτιστη
λύση σχεδιασμού, πριν προχωρήσει στην κατασκευή του.
Η μέθοδος που χρησιμοποιείται για την αριθμητική ανάλυση των δομών κατά τη
διάρκεια των τελευταίων 30 ετών είναι η Finite Element Method (FEM). Με την Μέθοδο
των Πεπερασμένων Στοιχείων ρεαλιστικά προβλήματα της μηχανικής βρίσκουν την
επίλυση τους, με ανάλυση δομικών στοιχείων αυθαίρετης γεωμετρίας, αυθαίρετης
φόρτισης, ποικίλων συστατικών σχέσεων, με γραμμική ή μη γραμμική συμπεριφορά,
σε δύο ή τρεις διαστάσεις. Δικαιολογημένα, η FEM έχει αποτιμηθεί κατά τα τελευταία
30 χρόνια ως ένα σύγχρονο υπολογιστικό εργαλείο.

Σελίδα
9
1.1.1 Γιατί χρησιμοποιούμε τη BEM έναντι της FEM
Η μοντελοποίηση με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων μπορεί να είναι
αναποτελεσματική και επίπονη για ορισμένες κατηγορίες προβλημάτων. Η FEM παρά
τη γενικότητα της εφαρμογής της σε προβλήματα της μηχανικής, μειονεκτεί έναντι της
BEM σε:
1. Διακριτότητα, η διακριτοποίηση με τη FEM πάνω σε ολόκληρο τον τομέα που
καταλαμβάνεται από το σώμα. Ως εκ τούτου, η παραγωγή και ο έλεγχος των
πεπερασμένων στοιχείων εμφανίζουν δυσκολία και είναι επίπονη και
χρονοβόρα διαδικασία, ειδικά όταν η γεωμετρία των σωμάτων δεν είναι απλή,
όπως για παράδειγμα, όταν υπάρχουν οπές, εγκοπές ή γωνίες οπού απαιτείται
υψηλή πυκνότητα πλεγματοποίησης σε αυτές τις κρίσιμες περιοχές.
2. Τροποποίηση, η τροποποίηση του διακριτοποιημένου μοντέλου για να
βελτιωθεί η ακρίβεια της λύσης μπορεί να είναι δύσκολη και απαιτεί πολλή
προσπάθεια και χρόνο, ενώ η BEM ως μέθοδος συνοριακών στοιχείων μειώνει
τον βαθμό της εξίσωσης κατά ένα στοιχείο καθώς μελετάει τις 2 διαστάσεις απο
τις τρείς διαστάσεις, συνεπώς είναι πιο εύκολη η διαδικασία υπολογισμών..
3. Για τα προβλήματα που περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις της τέταρτης
ή ανώτερης τάξης οι απαιτήσεις συμμόρφωσης απαιτούν μια τόσο κουραστική
δουλειά που μπορεί να γίνει η FEM ανέφικτη.
4. Μολονότι η FEM υπολογίζει με ακρίβεια τη συνάρτηση του πεδίου, η οποία
είναι ο άγνωστος του προβλήματος, είναι αναποτελεσματική για τον
προσδιορισμό των παραγώγων του. Η ακρίβεια μειώνεται σημαντικά σε
περιοχές μεγάλων κλίσεων. (Κατσικαδέλης, 2002)
Σχήμα 1.1 Σύγκριση των στρατηγικών μοντελοποίησης

Σελίδα
10
1.1.2 Πλεονεκτήματα της BEM
H BEM διαθέτει πολλά πλεονεκτήματα, τα σημαντικότερα από τα οποία είναι:
1. Η Διακριτοποίηση γίνεται μόνο πάνω από το όριο του σώματος, καθιστώντας
την αριθμητική μοντελοποίηση με τη ΒΕΜ εύκολη [βλέπε Σχήμα 1.1(β)]
μειώνοντας τον αριθμό των αγνώστων κατά μία τάξη. Έτσι, μια αναδιαμόρφωση
ώστε να αντικατοπτρίζει τις αλλαγές του σχεδιασμού γίνεται απλή.
2. Είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική στον υπολογισμό των παραγώγων της
επιφανειακής εξίσωσης (π.χ. ροές, πιέσεις, τάσεις, ροπές). Μπορεί εύκολα να
χειριστεί συμπυκνωμένες δυνάμεις και ροπές, είτε στο εσωτερικό του τομέα
είτε στο όριο.
3. Η BEM επιτρέπει την αξιολόγηση της επίλυσης και των παραγώγων της σε
οποιοδήποτε σημείο του προβλήματος και σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή.
Αυτό είναι εφικτό, διότι χρησιμοποιεί αναπόσπαστη αναπαράσταση της
επίλυσης ως μια συνεχή μαθηματική έκφραση, η οποία μπορεί να
διαφοροποιηθεί και να χρησιμοποιηθεί ως μαθηματικός τύπος. Αυτό είναι
αδύνατο με τη FEM, δεδομένου ότι η επίλυση λαμβάνεται μόνο στα κομβικά
σημεία.
4. Η μέθοδος είναι κατάλληλη για την επίλυση προβλημάτων σε τομείς με
γεωμετρικές ιδιαιτερότητες , όπως ρωγμές. (Κατσικαδέλης, 2002)
1.1.3 Μειονεκτήματα BEM
Στο παρόν στάδιο της ανάπτυξης της, η BEM παρουσιάζει τα ακόλουθα κύρια
μειονεκτήματα:
1. Η εφαρμογή της ΒΕΜ απαιτεί την λεγόμενη Fundamental Solution. Η μέθοδος
δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για προβλήματα των οποίων η Fundamental
Solution είτε είναι άγνωστη είτε δεν μπορεί να προσδιοριστεί. Όπως είναι, για
παράδειγμα, τα προβλήματα που περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις με
μεταβλητό παράγοντα. Η μέθοδος είναι προφανές ότι δεν ισχύει για μη
γραμμικά προβλήματα για τα οποία δεν ισχύει η αρχή της υπέρθεσης. Στην
περίπτωση αυτή, ένα μοντέλο ΒΕΜ παράγει επιφανειακά ολοκληρώματα που
μπορούν να υπολογιστούν με την διακριτοποίηση της επιφάνειας, αλλά αυτό,
φυσικά χαλάει τον καθαρό οριακό χαρακτήρα της μεθόδου.
2. Η αλγοριθμική εφαρμογή της ΒΕΜ οδηγεί σε συστήματα γραμμικών
αλγεβρικών εξισώσεων των οποίων οι μήτρες συντελεστών είναι πυκνές και μη
συμμετρικές. Σε ένα μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων, ωστόσο, οι αντίστοιχες
μήτρες είναι κλιμακωτές και συμμετρικές. Αυτό το μειονέκτημα της BEM

Σελίδα
11
αντισταθμίζεται από τις πολύ μικρότερες διαστάσεις των πινάκων της.
(Κατσικαδέλης, 2002)
Κατά τη διάρκεια των τελευταίων ετών, έχει διεξαχθεί έντονη έρευνα σε μια
προσπάθεια να ξεπεραστούν το προαναφερθέντα μειονεκτήματα. Η γενική μορφή των
πινάκων συντελεστών για ένα μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων BEM φαίνεται
γραφικά στο Σχήμα 1.2
1.2Ιστορική Αναδρομή στη BEM
Μέχρι τις αρχές της δεκαετίας του ογδόντα, η BEM ήταν γνωστή ως Boundary
Integral Equation Method (BIEM). Η πατρότητα της Μεθόδου Συνοριακών Στοιχείων
(ΒΕΜ) θα μπορούσε να αποδοθεί στον Fredholm . Στις αρχές του εικοστού αιώνα, ήταν
ο πρώτος που χρησιμοποίησε το singular boundary ενιαίων εξισώσεων για να βρει τις
άγνωστες boundary quantities για τα προβλήματα της δυναμικής θεωρίας. Στην
πραγματικότητα, η μέθοδος εισήχθη ως ένα μαθηματικό εργαλείο ώστε να
καθοριστούν οι απαραίτητες οριακές συνθήκες για ένα πρόβλημα μαθηματικής φύσης,
και όχι ως μέθοδος επίλυσης του προβλήματος. Στην προαναφερθείσα μέθοδο, οι
άγνωστες συνοριακές ποσότητες έχουν άμεση φυσική ή γεωμετρική σημασία και για
το λόγο αυτό αναφέρονται ως άμεσες ΒΕΜ. Εκτός από αυτήν τη μέθοδο, είχαν
αναπτυχθεί και άλλες φόρμουλες ΒΕΜ, στις οποίες οι άγνωστες συνοριακές ποσότητες
δεν έχουν άμεση φυσική ή γεωμετρική σημασία, με συνέπεια να τους δίνεται η
ονομασία “έμμεση BEM”. Οι Sherman, Mikhlin και Muskhelishvili χρησιμοποίησαν
πολύπλοκες συναρτήσεις για την ανάπτυξη της Boundary Integral Equation Method
προκειμένου να επιλυθούν τα προβλήματα ελαστικότητας του επιπέδου.
Σχήμα 1.2 Πίνακες Συντελεστών για FEM και ΒΕΜ

Σελίδα
12
Οι κλειστές μορφές λύσεων ολοκληρωματικών εξισώσεων ήταν ενιαίες μόνο για
ορισμένα πεδία ορισμού με πολύ απλά γεωμετρικά όρια. Δυστυχώς, το έργο του
Fredholm προηγήθηκε των υπολογιστών, οι οποίοι θα μπορούσαν να κάνουν πράξη τις
ιδέες του. Για το λόγο αυτό, η Boundary Integral Equation είχε παραμεληθεί μέχρι το
τέλος της δεκαετίας του ‘50. Στη συνέχεια, με την έλευση των ηλεκτρονικών
υπολογιστών, η μέθοδος ήρθε ξανά στο προσκήνιο για την επίλυση προβλημάτων
μηχανικής. Αριθμητικές μέθοδοι αναπτύχθηκαν για την επίλυση των Boundary Integral
Equations και για δύσκολα φυσικά προβλήματα με πολύπλοκη συνοριακή γεωμετρία,
τα οποία δεν θα μπορούσαν να αντιμετωπισθούν με άλλες μεθόδους, λύθηκαν για
πρώτη φορά από την BIEM. Τα πρώτα έργα που έθεσαν τα θεμέλια της BEM ως
υπολογιστική τεχνική, εμφανίστηκαν στις αρχές της δεκαετίας του εξήντα.
ΟιJaswon και Symm χρησιμοποίησαν τις εξισώσεις του Fredholm για να λύσουν
κάποια δισδιάστατα προβλήματα της δυναμικής θεωρίας (potential theory). Τα
πλεονεκτήματα της BEM, τα οποία απαριθμούνται παρακάτω, προσέλκυσαν ερευνητές
και τους παρακίνησαν να αναπτύξουν περαιτέρω την μέθοδο. Οι Rizzo και Cruse
εφάρμοσαν την μέθοδο σε δισδιάστατα και τρισδιάστατα προβλήματα ελαστικότητας,
αντίστοιχα. Οι Rizzo και Shippy επέκτειναν την μέθοδο για ανισοτροπική ελαστικότητα
(anisotropic elasticity), ενώ οι Cruse και Rizzo έλυσαν το ελαστοδυναμικό πρόβλημα. Οι
Ignaczak και Nowacki, εξέφρασαν τις Integral Equations της θερμοελαστικότητας και ο
Mendelson μελέτησε τα προβλήματα ελαστοπλαστικής στρέψης .
Όλα τα προαναφερθέντα προβλήματα διέπονται από δευτέρας τάξεως μερικών
διαφορικών εξισώσεων. Ήδη στα τέλη της δεκαετίας του ογδόντα, θα μπορούσε να βρει
κανείς πολυάριθμες δημοσιευμένες βιβλιογραφίες, όπου η ΒΕΜ εφαρμόστηκε σε ένα
ευρύ φάσμα μηχανικών προβλημάτων. Μεταξύ αυτών είναι τα στατικά και τα
δυναμικά, γραμμικά ή μη – γραμμικά προβλήματα της ελαστικότητας, των πλακών και
περιβλημάτων, τα προβλήματα της ελαστοδυναμικής, κυματικής και σεισμικής
μηχανικής, γεωμηχανικής και θεμελιακής μηχανικής, δυναμικής των ρευστών,
μηχανικής θραύσης, ηλεκτρικής ενέργειας και του ηλεκτρομαγνητισμού, θερμικής
αγωγιμότητας, ακουστικής, αεροδυναμικής κ.λπ.. (Κατσικαδέλης, 2002)
Περίπου από το 1980-1990, οι μέθοδοι Galerkin για την διακριτοποίηση των
boundary integral equations αποκτούν μεγαλύτερη σημασία για πρακτικά προβλήματα.
Από μια άποψη η μέθοδος Galerkin είναι ανώτερη από άλλες εναλλακτικές λύσεις
καθώς η σταθερότητα, η συνέπεια και η σύγκλιση της μεθόδου μπορεί να αποδειχθεί
για μια πολύ γενική κατηγορία των συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων. Η
προσέγγιση βασίζεται σε μια μεταβολική διατύπωση των boundary integral equations
σε αντίθεση με την κατά σημείο, κλασική προσέγγιση.
Η σημαντική ανακάλυψη της μεθόδου Galerkin για πρακτικά, τρισδιάστατα
προβλήματα επιτεύχθηκε μέσω της ανάπτυξης των αριθμητικών μεθόδων για την

Σελίδα
13
προσέγγιση των ολοκληρωμάτων, προκειμένου να προσδιοριστεί η μήτρα του
συστήματος και μέσω της ανάπτυξης γρήγορων αλγορίθμων, για να αντικαταστήσει
τους non-local (Boundary Integral) operators.
Η μέθοδος Galerkin είναι η προφανής προσέγγιση για προβλήματα τα οποία
είναι συμμετρικά σε σχέση με την ανταλλαγή πηγών και σημείων πεδίου.
Σήμερα η BEM έχει ωριμάσει και έχει γίνει μια ισχυρή μέθοδος για την ανάλυση
των προβλημάτων της μηχανικής και μια εναλλακτική μέθοδος του τομέα. Η μέθοδος
έχει καθιερωθεί από το όνομα ΒΕΜ (Boundary Element Method), η οποία αποδίδεται
στην προσέγγιση που χρησιμοποιείται για την επίλυση των Boundary Integral
Equations. (Sauter & Schwab, 2011)
Το σύστημα των αλγεβρικών εξισώσεων της Μεθόδου των Συνοριακών
Στοιχείων (BEM) έχει φυσικά σύνορα που διαμερίζονται σε τμήματα. Κάθε φυσικό
τμήμα αντιπροσωπεύεται από ένα αντίστοιχο numerical partition j. Η ένωση των
στοιχείων είναι αυτό που ονομάζουμε numerical boundary. Χρησιμοποιούμε
ευθύγραμμα στοιχεία στα οποία τα άκρα του κάθε τμήματος συνδέονται με μια ευθεία
γραμμή μήκους που ονομάζεται στοιχείο και έχει συγκεκριμένο μέγεθος. Ένα πλέγμα
που έχει το ίδιο μέγεθος στοιχείων για όλα τα στοιχεία ονομάζεται ενιαίο πλέγμα. Τα
στοιχεία αριθμούνται σύμφωνα με το πρότυπο σύμβασης της BEM: αύξουσα σειρά με
την αριστερόστροφη λογική, κάθε ένα από τα στοιχεία θεωρείται μια συνάρτηση.Αυτές
οι συναρτήσεις υποτίθεται ότι διαφέρουν ως πολυώνυμα τα οποία ονομάζονται
συναρτήσεις μορφής. Ανάλογα με τη σειρά του shape functions σε κάθε στοιχείο, ο
τύπος των στοιχείων που χρησιμοποιείται είναι σταθερή, γραμμική ή ακόμη
υψηλότερης τάξεως.
Στα constant elements, χρησιμοποιούνται συναρτήσεις σταθερού σχήματος,
δηλαδή, οι συναρτήσεις του κάθε στοιχείου θεωρούνται σταθερές. Ένα στοιχείο
αντιπροσωπεύεται από μόνο έναν κόμβο που τοποθετείται στο μέσον του στοιχείου.
Οι κόμβοι αυτοί χρησιμοποιούνται επίσης ως collocation points, δηλαδή, τα σημεία
όπου εφαρμόζεται η ολοκληρωτική εξίσωση.
Στα γραμμικά στοιχεία οι γραμμικές συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται,
δηλαδή, οι συναρτήσεις κάθε στοιχείου θεωρείται ότι μεταβάλλονται γραμμικά. Στις
άλλες περιπτώσεις, μπορεί να χρησιμοποιηθεί τετραγωνική ή ακόμη και υψηλότερης
τάξεως συνάρτηση.

Σελίδα
14
Νέες εξελίξεις στην BEM αποβλέπουν στην αντιμετώπιση τυχόν μειονεκτημάτων
της μεθόδου. Ασχολούνται με πολύπλοκα χρόνο-εξαρτημένα προβλήματα, γραμμικά
προβλήματα για τα οποία η θεμελιώδης λύση δεν είναι γνωστή, καθώς επίσης και μη-
γραμμικά προβλήματα. Για όλα αυτά τα είδη των προβλημάτων η resulting integral
solution περιλαμβάνει ολοκληρωματικά πεδία ορισμού (domain integrals), τα οποία
περιπλέκουν την εφαρμογή της μεθόδου. Οι πιο πολλά υποσχόμενες τεχνικές που
επιτυχώς ξεπέρασαν τις περισσότερες από τις δυσκολίες και ταυτόχρονα διατήρησαν
τον αμιγώς boundary character της BΕΜ, είναι η Dual Reciprocity Method (DRM), η
οποία έχει, ωστόσο, κάποιους περιορισμούς, και η Analog Equation Method (AEM). Η
τελευταία είναι γενική και απαλλαγμένη από τους περιορισμούς της DRM.
(Κατσικαδέλης, 2002)
1.3 Adaptive Mesh και Error Indicators
Το προσαρμοσμένο πλέγμα (adaptive meshing) ορίζεται σαν τις διαδικασίες που
βελτιώνουν με έναν αυτόματο τρόπο το πλέγμα ενός προβλήματος, μέχρι η λύση του
προβλήματος να είναι κάτω από ένα προκαθορισμένο σφάλμα, το οποίο ορίζεται βάσει
της απαιτούμενης ακρίβειας. Αυτή τη στιγμή είναι η καλύτερη μέθοδος ώστε να
περιοριστεί το διακριτό σφάλμα. Ο βασικός στόχος των τεχνικών του adaptive meshing
είναι να περιοριστούν τα σφάλματα σε μια λύση που παρέχεται από την BEM. Το κύριο
κομμάτι μιας τεχνικής του adaptive meshing είναι η adaptive strategy που καθορίζει το
πότε, το που και το πώς θα βελτιωθεί και θα τελειοποιηθεί ένα αρχικό πλέγμα.
Σχήμα 1.3 Θέση κομβικού σημείου και σχετικές αποστάσεις για σταθερό διακριτοποιημένο στοιχείο

Σελίδα
15
Error indicator ονομάζεται η διαδικασία που ποσοτικοποιεί την ακρίβεια του
αποτελέσματος στα τοπικά σφάλματα στοιχείο προς στοιχείο, ουσιαστικά οδηγεί την
adaptive procedure επισημαίνοντας τα στοιχεία που στερούνται σε ακρίβεια. Είναι
πολύ σημαντικό να είναι σωστή η σύνθεσή του καθώς ακόμα και ένα μικρό λάθος σε
αυτή θα έχει καταστροφικές συνέπειες στην ακρίβεια του αποτελέσματος. Για να
ποσοτικοποιηθεί το σφάλμα σε μια λύση χρησιμοποιείται η έννοια των νορμών
σφαλμάτων (error norms). Κομβικό σημείο στον error indicator, που χρησιμοποιείται
στην BEM, είναι οι νόρμες, που ποσοτικοποιούν το σφάλμα βασιζόμενες στις εξισώσεις
των boundary elements. Σε αυτό το σημείο πρέπει να επισημανθεί ότι το error indicator
δεν πρόκειται για σφάλμα αλλά είναι ουσιαστικά η απόκλιση μεταξύ δυο
αποτελεσμάτων που προέρχονται από δυο διαφορετικά πλέγματα για το ίδιο στοιχείο
μιας διατομής.
Όταν καθοριστούν, μέσω του error indicator, ποια στοιχεία πρέπει να βελτιωθούν,
η adaptive strategy επικεντρώνεται σ’αυτά για να ελαχιστοποιήσει τις επαναλήψεις και
τον χρόνο υπολογισμού που χρειάζεται για να βρεθεί η ακριβής λύση. Τρεις είναι οι
βασικές μέθοδοι που βελτιώνουν ένα στοιχείο :
 r-method: Αυτή η μέθοδος δημιουργεί το πλέγμα αναδιανέμοντας τα
υπάρχοντα συνοριακά στοιχεία. Όπου το error indicator είναι υψηλό, τα
συνοριακά στοιχεία μειώνουν το μέγεθός τους και όπου είναι μικρό, το μέγεθος
των οριακών στοιχείων αυξάνεται.
 h-method: Αυτή η μέθοδος ονομάζεται μέθοδος διύλισης καθώς χωρίζει τα
στοιχεία του προφίλ που πρέπει να βελτιωθεί σε μικρότερα, με την προσθήκη
νέων κόμβων στο προφίλ. Όπου το error indicator είναι υψηλό, η μέθοδος
προσθέτει νέα στοιχεία, προκειμένου να βελτιωθεί η ακρίβεια.
 p-method: Αυτή η μέθοδος ονομάζεται μέθοδος εμπλουτισμού καθώς αυξάνει
τη σειρά της πολυωνυμικής προσέγγισης για τα στοιχεία που παρουσιάζουν ένα
μεγάλο σφάλμα.
Οι τρεις αυτές μέθοδοι έχουν κάποια μειονεκτήματα τα οποία τα ξεπέρασαν οι
ερευνητές δημιουργώντας υβριδικά μοντέλα με αυτές τις τρεις μεθόδους. Έτσι
προέκυψαν δυο νέες μέθοδοι, η hp method και η hr method. Η hp method είναι ένας
συνδυασμός διύλισης και εμπλουτισμού των στοιχείων. Επειδή αυτή η μέθοδος δεν
είναι σε θέση να προσδιορίσει τα κρίσιμα στοιχεία, διαιρεί τα κρίσιμα στοιχεία και
αυξάνει τη διάταξη της πολυωνυμικής προσέγγισης στα μη κρίσιμα στοιχεία. Η hr
method είναι στην ουσία μια άλλη προσέγγιση της h method, με τη διαφορά ότι η
ανακατανομή των στοιχείων δεν βελτιώνει το αλγεβρικό ποσοστό σύγκλισης, όπως η
βασική h method. (Miranda-Valenzuela & Karim Heinz, 2002)

Σελίδα
16
Σχήμα 1.4 Πρωτότυπα και βελτιωμένα πλέγματα χρήση προσαρμοστικών στρατηγικών

Σελίδα
17
1.4 Lagrange στοιχεία για δισδιάστατα προβλήματα
Όπως αναφέρεται στη παράγραφο 1.1.2 ένα από τα κύρια πλεονεκτήματα της BEM
είναι ότι ένα μοντέλο δύο διαστάσεων (2-D) χρειάζεται μόνο να πλεγματοποιηθεί
χρησιμοποιώντας μονοδιάστατα (1-D) στοιχεία στο περίγραμμα (όριο) του μοντέλου,
έτσι τα πεδία των μεταβλητών και η γεωμετρία σε δισδιάστατα προβλήματα
προσεγγίζονται με μονοδιάστατες συναρτήσεις παρεμβολής. (Miranda-Valenzuela &
Karim Heinz, 2002)
Η σειρά των πολυωνύμων Lagrange, τα οποία χρησιμοποιούνται για να
περιγράψουμε το όριο της διατομής, χωρίζεται σε τρεις κύριες κατηγορίες ανάλογα, με
τον βαθμό και τη γεωμετρία τους , όπως φαίνεται στο Πίνακα 1.1 παρακάτω:
Βαθμός
Πολυωνύμου
Γεωμετρία
Γραμμή Τόξο Καμπύλη
1ου Βαθμού
Στοιχείο 11 Στοιχείο 21 Στοιχείο 31
2ου Βαθμού
3ου Βαθμού
Πίνακας 1.1 Μονοδιάστατα στοιχεία Lagrange

Σελίδα
18
Η γενική διατύπωση η οποία καθορίζει την εξίσωση του σχήματος
χρησιμοποιώντας πολυώνυμα Lagrange:
Φk(n) ∏
n − n(i)
n(k) − n(i)
NN
i=1,i≠k
(1.1)
Όπου ΝΝ ο αριθμός των κόμβων σε κάθε στοιχείο.
Για τα Στοιχεία 1ου Βαθμού Lagrange:
Φ1(n) =
(1 − n)
2
Φ2(n) =
(n + 1)
2
(1.2)
Θέση σημείων: n1 = −1, n2 = 1
Φ1(n) =
(n2 − n)
2
Φ2(n) = (1 + n) ∙ (1 − n)
Φ3(n) =
(n + n2)
2
(1.3)
Θέση σημείων: n1 = −1, n2 = 0, n3 = 1
Φ1(n) =
(1 − 3n) ∙ (n − 1) ∙ (1 + 3n)
16
Φ2(n) =
9 ∙ (1 − 3n) ∙ (1 + n) ∙ (1 − n)
16
Φ3(n) =
9 ∙ (1 + 3n) ∙ (1 + n) ∙ (1 − n)
16
Φ4(n) =
(3n − 1) ∙ (1 + n) ∙ (1 + 3n)
16
(1.4)
Θέση σημείων: n1 = −1, n2 = −
1
3
, n3 = −
1
3
, n4 = 1

Σελίδα
19
Κεφάλαιο 2ο Μεθοδολογία Taguchi
2.1 Εισαγωγή στην μεθοδολογία Taguchi
Ο Dr Genichi Taguchi θεωρείται ο κυριότερος υποστηρικτής του robust
parameter design, μιας τεχνικής που εστιάζει στην ελαχιστοποίηση του σφάλματος
στον σχεδιασμό του προϊόντος. Όταν χρησιμοποιείται σωστά η μεθοδολογία του
Taguchi τότε παρέχεται μια αποτελεσματική μέθοδος για την παραγωγή του προϊόντος
με τη βέλτιστη διαχείριση πάνω από μια ποικιλία συνθηκών.
Στο robust parameter design, ο πρωταρχικός στόχος είναι να βρεθούν οι
παράγοντες που θα ελαχιστοποιήσουν τις αποκλίσεις από τον στόχο καθώς
αναπτύχθηκε για τη βελτίωση της ποιότητας των βιομηχανικών προϊόντων. Αφού
διαπιστωθούν ποιοι παράγοντες επηρεάζουν, τότε γίνεται προσπάθεια για εύρεση των
κατάλληλων ρυθμίσεων-κλίμακες για να ελεγχθούν οι παράγοντες που είτε θα
μειώσουν την διακύμανση, είτε θα γίνουν τα προϊόντα λιγότερο ευαίσθητα στις
μεταβολές είτε και τα δύο. Η διαδικασία αυτή σχεδιάστηκε με στόχο να υπάρξει πιο
συνεπής απόδοση. (Peace, 1992)
Σχήμα 2.1 Η παραδοσιακή άποψη της ποιότητας σε σύγκριση με την άποψη του Taguchi

Σελίδα
20
2.2Ορθογωνικές κατανομές
Για το robust parameter design στην μέθοδο Taguchi χρησιμοποιούνται οι
ορθογωνικές κατανομές (ορθογώνιοι πίνακες), οι οποίες αναλύουν πολλούς
παράγοντες με λίγα τρεξίματα. Η μεθοδολογία του Taguchi είναι μια στατιστική
μέθοδος στην οποία ανάλογα με τον τύπο του ορθογώνιου πίνακα που θα επιλεχθεί θα
βγει το ίδιο αποτέλεσμα με πολύ λιγότερα πειράματα. Για παράδειγμα, σε έναν πίνακα
L9 (3**4) θα τρέξουν 9 πειράματα και θα εξαχθούν τα ίδια αποτελέσματα με το εάν
έτρεχαν 34 = 81 πειράματα.
Το πείραμα πραγματοποιείται εκτελώντας το πλήρες σύνολο των παραγόντων
με κάθε συνδυασμό, όπως ορίζεται σε κάθε σειρά του πίνακα. Παρατίθεται ένα
παράδειγμα ορθογωνικής κατανομής για την ανάλυση του σχεδιασμού του Taguchi.
L9 (3**4)
Αριθμός
Πειράματος
Παράγοντας
A
B
C
D
1. 1 1 1 1
2. 1 2 2 2
3. 1 3 3 3
4. 2 1 2 3
5. 2 2 3 1
6. 2 3 1 2
7. 3 1 3 2
8. 3 2 1 3
9. 3 3 2 1
Πίνακας 2.1 Ορθογώνιος Πίνακας Taguchi L9
Κάθε στήλη στον ορθογώνιο πίνακα αντιπροσωπεύει ένα ειδικό παράγοντα με
δύο ή περισσότερα επίπεδα. Κάθε σειρά αντιπροσωπεύει το κάθε πείραμα που
περιέχει το επίπεδο των παραγόντων. Οι τιμές των κελιών δείχνουν τις ρυθμίσεις του
παράγοντα για το πείραμα. Από προεπιλογή, οι πίνακες του Minitab χρησιμοποιούν
τους ακέραιους αριθμούς 1,2,3 κ.ο.κ για να εκπροσωπούν τα επίπεδα του παράγοντα.
Ο ανωτέρω πίνακας εμφανίζει τον πίνακα L9 (3**4) για τον σχεδιασμό του
Taguchi. L9 σημαίνει 9 πειράματα και το (3**4) σημαίνει 4 παράγοντες με 3 επίπεδα ο

Σελίδα
21
καθένας. Με έναν πλήρες παραγοντικό σχεδιασμό θα είχαμε να κάνουμε 81
πειράματα. Ο L9 (3**4) πίνακας απαιτεί μόνο 9 πειράματα. Στο παραπάνω
παράδειγμα, φαίνεται ότι τα επίπεδα 1, 2 και 3 εμφανίζονται 3 φορές σε κάθε στήλη.
(Anon., 2005)
Μετά την ολοκλήρωση των πειραμάτων για την εξαγωγή των αποτελεσμάτων
με τη μέθοδο Taguchi, λαμβάνεται προς εξέταση το Signal to Noise Ratio. Το Signal to
Noise Ratio λαμβάνει υπόψη τόσο τη μέση τιμή όσο και τη μεταβλητότητα,
προκειμένου να προσδιοριστούν τα επίπεδα που αντιμετωπίζουν καλύτερα το θόρυβο.
Έτσι, ο τελικός στόχος του DOE (Design of Experiments) είναι να καθοριστούν τα
επίπεδα των παραγόντων ελέγχου που θα παράγουν την επιθυμητή απόκριση, η οποία
μπορεί να είναι:
Στόχος S/N Ratio τύπος
Smaller the Better (ελαχιστοποίηση)
𝑠
𝑁
= −10 log (∑ 𝑦𝑖
2
𝑖
)
Nominal is Best
𝑠
𝑁
= 10 log (
𝑌̅2
𝑠2
)
Larger the Better (μεγιστοποίηση)
𝑠
𝑁
= −10 log (
1
𝑛
∑
1
𝑦𝑖
2
𝑖
)
Πίνακας 2.2 Signal to Noise Ratio
2.3Επιλέγοντας μια μεθοδολογία Taguchi
Πριν την χρήση του Minitab, θα πρέπει να καθοριστεί ποια μεθοδολογία Taguchi είναι
η κατάλληλη για το πείραμα. Ένας σχεδιασμός Taguchi, γνωστός κι ως ορθογώνιος
πίνακας, είναι ένας πίνακας που εξασφαλίζει μια ισορροπημένη σύγκριση των
επιπέδων του κάθε παράγοντα. Σε μια ανάλυση του σχεδιασμού, κάθε παράγοντας
μπορεί να αξιολογείται ανεξάρτητα από όλους τους άλλους παράγοντες.
Όταν επιλέξετε έναν πίνακα θα πρέπει :
 Να προσδιοριστεί ο αριθμός των παραγόντων που θα χρησιμοποιηθούν για τα
πειράματα
 Να προσδιοριστεί ο αριθμός των επιπέδων για κάθε παράγοντα
 Να καθοριστεί ο αριθμός των πειραμάτων που θα εκτελέσουμε
 Να προσδιοριστούν περαιτέρω επιπτώσεις όπως το κόστος, ο χρόνος και η
facility availability στην επιλογή του πειράματος

Σελίδα
22
2.4Φράσεις που Εκθειάζουν τη Μέθοδο Taguchi
‘‘It is a very well thought out and organized handbook, which provides practical and
effective methodologies to enable you to become the best in this competitive world for
product quality.’’
Sang Kwon Kim - Chief Technical Officer
Hyundai Motor Company & Kia Motors Corporation
‘‘Dr. Taguchi has been an inspiration and has changed the paradigm for quality with his
concept of loss function. Robust Engineering is at the heart of our innovation process
and we are proud to be associated with this work.’’
Donald L. Runkle - Vice Chairman and CTO
Delphi Corporation
‘‘The elegantly simple Taguchi theory is demonstrated through many successful case
studies in this excellent book.’’
Don Dees - Vice President, Manufacturing
DaimlerChrysler
‘‘The value of Dr. Genichi Taguchi’s thinking and his contributions to improving the
productivity of the engineering profession cannot be overstated. This handbook
captures the essence of his enormous contribution to the betterment of mankind.’’
John J. King - Engineering Methods Manager, Ford Design Institute
Ford Motor Company
‘‘Digitization, color, and multifunction are the absolute trend in imaging function today.
It is becoming more and more difficult for product development to catch up with market
demand. In this environment, at Fuji Xerox, Taguchi’s Quality Engineering described in
this handbook is regardedas anabsolutely necessary tool to develop technology to meet
this ever-changing market demand.’’
Kiyoshi Saitoh - Corporate Vice President, Technology & Development
Fuji Xerox Co., Ltd.
‘‘I was in a shock when I have encountered Taguchi Methods 30 years ago. This book will
provide a trump card to achieve improved ‘Product Cost’ and ‘Product Quality’ with less
‘R&D Cost’ simultaneously.’’
Takeshi Inoo – Executive Director Isuzu Motor Co. , Director East Japan Railroad Co

Σελίδα
23
3 Κεφάλαιο 3ο: Μεθοδολογία & Εφαρμογή
3.1 Εισαγωγή
Πρακτικά, όπως έχει ήδη αναφερθεί, ο στόχος της παρούσης πτυχιακής
εργασίας είναι να εφαρμοστεί η μεθοδολογία Taguchi ως μια καινοτόμα εκτέλεση της
BEM. Το τελικό αποτέλεσμα θα είναι πολύ ενδιαφέρον επειδή η μέθοδος Taguchi έχει
εφαρμοστεί με επιτυχία στις διαδικασίες παραγωγής του βιομηχανικού τομέα και ο
σκοπός της πτυχιακής εργασίας είναι να εξεταστεί εάν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως
quality tool για την βελτίωση μιας αριθμητικής μεθόδου, η οποία είναι εντελώς
διαφορετική σε σύγκριση με το robust manufacturing.
Τα βήματα για το σχεδιασμό των πειραμάτων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Taguchi
είναι τα ακόλουθα πέντε :
1. Καθορισμός του στόχου της μεθόδου : Ορίζοντας τον στόχο της μεθόδου,
πρακτικά ορίζουμε μία τιμή-στόχο για το μέτρο της απόδοσης της διαδικασίας.
Προφανώς, ο στόχος της μεθοδολογίας που παρουσιάζεται στην παρούσα
πτυχιακή είναι η ελαχιστοποίηση του local error indicator που υπολογίζεται από
διάφορα πλέγματα του ίδιου αρχικού μοντέλου CAD.
2. Προσδιορισμός των σχεδιαστικών παραμέτρων που επηρεάζουν τη
διαδικασία : Σε αυτό βήμα ορίζονται οι παράγοντες που συνοδεύονται με τα
επίπεδα που θα έχει ο καθένας.
3. Δημιουργία των κατάλληλων ορθογώνιων πινάκων : Μετά από ένα
brainstorming και μια λεπτομερή μελέτη των διαθέσιμων δυνατοτήτων για
προσαρμογή των παραγόντων και των επιπέδων τους διαλέγουμε τον
κατάλληλο πίνακα.
4. Διεξαγωγή των πειραμάτων : Το εργαλείο μέτρησης της μεθοδολογίας είναι το
local error indicator. Επειδή η διαδικασία είναι smaller the better (όσο
μικρότερο, τόσο καλύτερο), η τεχνική Taguchi θα επικεντρωθεί στις
χαμηλότερες τιμές του local error indicator. Έτσι, ο κατάλληλος συνδυασμός των
παραμέτρων κι επιπέδων τους στα πειράματα θα είναι η μικρότερη τιμή της
αναλογίας S/N. Οι τιμές που έχουν υπολογιστεί θα χρησιμοποιηθούν
προκειμένου να δημιουργηθεί το response graph και το S/N Ratio graph.
5. Ανάλυση δεδομένων : Στο τελικό στάδιο θα δημιουργηθεί το τελικό πλέγμα
ακριβώς όπως μας υποδεικνύει η μέθοδος Taguchi, για να μετρηθεί το τελικό
local accuracy για κάθε στοιχείο και το τελικό global accuracy ολόκληρου του
πλέγματος. Έτσι το τελικό αποτέλεσμα θα πρέπει να συγκριθεί με άλλα
θεωρητικά αποτελέσματα προκειμένου να διευκρινιστεί αν το νέο πλέγμα που
δημιουργήθηκε από την μεθοδολογία Taguchi είναι σωστό ή θα πρέπει να
τροποποιηθεί αναλόγως με νέους παράγοντες, νέα επίπεδα κτλ.

Σελίδα
24
3.2 Νεα Προσαρμοστική Στρατηγική Βασισμένη στη Μεθοδολογία Taguchi
Ο τελικός στόχος είναι να εξεταστεί εάν η μέθοδος Taguchi είναι σε θέση να
δώσει αξιόπιστα αποτελέσματα όταν υλοποιείται με την BEM. Ο στόχος της εφαρμογής
είναι να κρατήσει το δείκτη απόκλισης (local error indicator) όσο το δυνατόν
χαμηλότερα. Ως εκ τούτου, η διαδικασία Taguchi θα ακολουθήσει την λογική «όσο
μικρότερο, τόσο καλύτερο». Έτσι η μέθοδος θα εφαρμοστεί σε γραμμικά και καμπύλα
συνοριακά στοιχεία πρώτου, δευτέρου και τρίτου βαθμού (βλέπε Σχήμα 1.4).
Επιπλέον, να σημειωθεί ότι η πρακτική εφαρμογή της μεθοδολογίας θα
πραγματοποιηθεί μέσω γλώσσας προγραμματισμού Visual Basic for Applications στο
προγραμματιστικό περιβάλλον (API) 3D CAD συστήματος (Autodesk Inventor 2015)
καθώς και σε προγραμματιστικό περιβάλλον υπολογιστικών φύλλων (Excel 2016),
διατηρώντας ανοιχτό τον δημιουργηθέντα κώδικα για δοκιμή αλλά και για μελλοντική
εξέλιξη και περαιτέρω ερεύνα της μεθοδολογίας Taguchi στην BEM.

Σελίδα
25
3.2.1 Αρχικές Συνθήκες του Πειράματος
Η αρχική γεωμετρία (2D σχέδιο-CAD), που θα χρησιμοποιηθεί για την
υλοποίηση της μεθοδολογίας είναι σχήματος Ι, που καταρτίζεται από δεκαέξι
διαφορετικά στοιχεία CAD (βλέπε σχήμα 3.1), αυτό το σχήμα θα πρέπει να
χρησιμοποιηθεί ως το βασικό σχήμα για τα πειράματα που θα καθορισθούν από την
ορθογωνική κατατομή Taguchi.
Σχήμα 3.1 Αρχικό 2D Σχήμα
Φορτία Mt = 900.000 Nmm Mbx = -560.000 Nmm Mby = 250.000 Nmm
Σύμφωνα με τους τύπους του Roark για πίεση και την ένταση (Young, et al.,
2011) ορίζουμε την αρχική κατάσταση του ανωτέρω σχήματος, ως εξής:
Ιt = 1186259.5641 mm4
Ροπές Αδρανείας: Ιxx = 7842164.084 mm4 Iyy = 1580989.688 mm4 Ixy = 0

Σελίδα
26
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι όλες αυτές οι τιμές χρησιμοποιούνται ως έχουν.
Δεν υπολογίζονται αυτόματα μέσω του κώδικα που δημιουργήθηκε για αυτή την
πτυχιακή, αλλά και με τον αναλυτικό τρόπο, προκειμένου οι πηγές σφάλματος να
ελαχιστοποιούνται όσο το δυνατόν περισσότερο, γιατί το εστιακό σημείο αυτής της
πτυχιακής είναι η δημιουργία μιας νέας προσαρμοστικής στρατηγικής και ως εκ τούτου
τα εκ των προτέρων σφάλματα αγνοούνται.
3.2.2 Ο Πίνακας Taguchi Και Η Ορθογωνική Κατατομή
Μετά από ένα brainstorming και μια λεπτομερή μελέτη των διαθέσιμων
προσαρμοστικών στρατηγικών (adaptive strategies) από τη βιβλιογραφία οι
παράγοντες και τα επίπεδά τους για τη μέθοδο Taguchi έχουν ως εξής:
Αριθμός
Παράγοντα
Παράγοντας Επίπεδο 1 Επίπεδο 2 Επίπεδο 3
1 Βαθμός Εξίσωσης 1 2 3
2
Αρχικό Μήκος του
Κάθε Στοιχείου
100% 50% 25%
3
Τύπος Κάθε Νέο
Τοπικού Πλέγματος
Χονδροειδές Κανονικό Λεπτό
4
Προσανατολισμός
του Νέου
Στοιχείου
Συγκέντρωση
στα αριστερά
Ισοκατανομή
Συγκέντρωση
στα δεξιά
Πίνακας 3.1 Πίνακας Taguchi

Σελίδα
27
Έτσι, το σχέδιο Taguchi Ορθογωνικής κατατομής L9, που θα καθορίσει τα
πειράματα και ως αποτέλεσμα τη διαδικασία και τις επαναλήψεις (κριτήριο διακοπής)
της νέας προσαρμοστικής στρατηγικής, είναι ο ακόλουθος:
Αριθμός
Πειράματος
Βαθμός
Εξίσωσης
Αρχικό
Μήκος του
Κάθε
Στοιχείου
Τύπος Κάθε Νέο
Τοπικού
Πλέγματος
του Νέου
Στοιχείου
1 1 100% Χονδροειδές
Συγκέντρωση στα
αριστερά
2 1 50% Κανονικό Ισοκατανομή
3 1 25% Λεπτό
δεξιά
4 2 100% Κανονικό
δεξιά
5 2 50% Λεπτό
αριστερά
6 2 25% Χονδροειδές Ισοκατανομή
7 3 100% Λεπτό Ισοκατανομή
8 3 50% Χονδροειδές
δεξιά
9 3 25% Κανονικό
αριστερα
Πίνακας 3.2 Η Ορθογωνική Κατατομή L9
3.2.3 Η Γεωμετρική Προσέγγιση Κάθε CAD Στοιχείου Σύμφωνα Με Την Ορθογωνική
Κατατομή Και Τις Αρχές Της Προσαρμοστικής Στρατηγικής
Για το επόμενο βήμα της μεθοδολογίας είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η
γεωμετρική και η μαθηματική προσέγγιση του κάθε στοιχείου ανάλογα με την ένδειξη
της L9 ορθογωνικής κατατομής, πάντα με σεβασμό στις θεμελιώδεις αρχές που διέπουν
την προσαρμοστική τεχνική (adaptive meshisng technique). Στα ακόλουθα σχήματα
παραθέτεται η γεωμετρική και η μαθηματική προσέγγιση του κάθε στοιχείου (για κάθε
ένα πείραμα).
όπου 𝐮̂ είναι η λύση von Mises που λαμβάνονται από τη standard ανάλυση της
BEM πριν εφαρμοστεί η νέα προσαρμοστική στρατηγική.
και 𝒖̃ είναι η λύση von Mises που υπολογίζεται μετά την εφαρμογή τις νέας
προσαρμοστικής στρατηγικής σε κάθε στοιχείο σύμφωνα με τις συνθήκες της L9
ορθογωνικής κατατομής (π.χ. νέα στοιχεία, νέοι κόμβοι, προσανατολισμός, το βαθμό
της εξίσωσης).

Σελίδα
28
Τα σχέδια 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7 και 3.8 αντιπροσωπεύουν τη γεωμετρική
προσέγγιση των στοιχείων για τα τρία πρώτα πειράματα της ορθογωνικής κατατομής
L9:
Σχέδιο 3.1: Το αρχικό γραμμικό Lagrange Στοιχείο για τα τρία πρώτα πειράματα
Σχέδιο 3.2: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Πρώτο
πείραμα
Σχέδιο 3.3: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Δεύτερο
πείραμα
Σχέδιο 3.4: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Τρίτο πείραμα
Σχέδιο 3.5: Το αρχικό τοξοειδές Lagrange Στοιχείο για τα τρία πρώτα πειράματα

Σελίδα
29
Σχέδιο 3.6: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Πρώτο
πείραμα
Σχέδιο 3.7: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Δεύτερο
πείραμα
Σχέδιο 3.8: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Τρίτο πείραμα

Σελίδα
30
Τα σχέδια 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.13, 3.14, 3.15 και 3.16 αντιπροσωπεύουν τη
γεωμετρική προσέγγιση των στοιχείων για το 4ο, 5ο, 6ο πείραμα της ορθογωνικής
κατατομής L9:
Σχέδιο 3.9: Το αρχικό γραμμικό Lagrange Στοιχείο για το 4ο, 5ο, 6ο πείραμα
Σχέδιο 3.10: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Τέταρτο
πείραμα
Σχέδιο 3.11: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Πέμπτο
πείραμα
Σχέδιο 3.12: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Έκτο πείραμα
Σχέδιο 3.13: Το αρχικό τοξοειδές Lagrange Στοιχείο για το 4ο, 5ο, 6ο πείραμα

Σελίδα
31
Σχέδιο 3.14: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Τέταρτο
πείραμα
Σχέδιο 3.15: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Πέμπτο
πείραμα

Σελίδα
32
Σχέδιο 3.16: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Έκτο πείραμα
Τα σχέδια 3.17, 3.18, 3.19, 3.20, 3.21, 3.22, 3.23 και 3.24 αντιπροσωπεύουν τη
γεωμετρική προσέγγιση των στοιχείων για το 7ο, 8ο, 9ο πείραμα της ορθογωνικής
κατατομής L9:
Σχέδιο 3.17: Το αρχικό γραμμικό Lagrange Στοιχείο για το 7ο, 8ο, 9ο πείραμα
Σχέδιο 3.18: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Έβδομο
πείραμα
Σχέδιο 3.19: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Όγδοο
πείραμα
Σχέδιο 3.20: Το γραμμικό Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση – Ένατο
πείραμα

Σελίδα
33
Σχέδιο 3.21: Το αρχικό τοξοειδές Lagrange Στοιχείο για το 7ο, 8ο, 9ο πείραμα
Σχέδιο 3.22: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Έβδομο
πείραμα

Σελίδα
34
Σχέδιο 3.23: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση - Όγδοο
πείραμα
Σχέδιο 3.24: Το τοξοειδές Lagrange Στοιχείο μετά από τοπική ανάλυση – Ένατο
πείραμα

Σελίδα
35
3.2.4 Στρατηγική Υπολογισμού
1. Ορίζεται η αρχική γεωμετρία και οι οριακές συνθήκες.
2. Εκτελείται η τυπική ανάλυση ΒΕΜ του αρχικού πλέγματος.
3. Υπολογίζεται η τάση στρέψης Τt(i) στα κομβικά σημεία του αρχικού πλέγματος
μέσω της ΒΕΜ.
4. Υπολογίζεται η τάση λοξής κάμψης σb και τα αριθμητικά αποτελέσματα της
ισοδύναμης τάσης Von Mises σvm , για κάθε στοιχείο του αρχικού πλέγματος.
𝜎𝑏 =
(Μy ∙ Ix − Μx ∙ Ixy) ∙ x − (Μx ∙ Iy − Μy ∙ Ixy) ∙ y
Ix ∙ Iy ∙ Ixy
2
σvm = √σb
2
+ 3Tt(i)
2
5. Εκτελείται μια τυπική ανάλυση ΒΕΜ του τελικού πλέγματος για κάθε στοιχείο
(i), σε μια local approach στοιχείο προς στοιχείο σύμφωνα με την L9 ορθογωνική
κατατομή (orthogonal array indications).
6. Υπολογίζεται μέσω της ΒΕΜ η στρεπτική τάση Τt(i) στα κομβικά σημεία του
τελικού πλέγματος.
7. Υπολογίζεται η τάση λοξής κάμψης σb και η αριθμητική λύση της Von Mises σvm,
για κάθε στοιχείο του τελικού πλέγματος :
σb =
(Μy ∙ Ix − Μx ∙ Ixy) ∙ x − (Μx ∙ Iy − Μy ∙ Ixy) ∙ y
Ix ∙ Iy ∙ Ixy
2
σvm = √σb
2
+ 3Tt(i)
2
8. Επαναλαμβάνονται τα βήματα 5 έως 7, μέχρι ν’ αναλυθούν όλα τα στοιχεία του
νέου πλέγματος σύμφωνα με την διάταξη L9, σε element by element localized
approach.
9. Τώρα όλα τα απαραίτητα 𝒖𝒊̂ και οι 𝒖𝒊̃ λύσεις έχουν υπολογιστεί, όπου 𝐮̂ είναι η
λύση Von Mises που λαμβάνονται από την βασική ανάλυση της ΒΕΜ πριν
εφαρμοστεί η νέα προσαρμοσμένη στρατηγική και 𝒖̃ είναι η υπολογισμένη
λύση Von Mises μετά τη νέα προσαρμοσμένη στρατηγική που εφαρμόστηκε σε
κάθε στοιχείο.
10. Υπολογίζονται τα local error norms για κάθε στοιχείο (i) του αρχικού και του
τελικού πλέγματος σύμφωνα με κάθε πείραμα της ορθογωνικής κατατομής.
11. Η υπολογιστική στρατηγική συνεχίζεται μέχρι να υπολογιστούν οι τιμές των
local norms.
12. Τα αποτελέσματα εισάγονται στην εξωτερική κατατομή του σχεδίου L9 του
Taguchi.
13. Στη συνέχεια τα αρχικό πλέγμα αντικαθίσταται από το πλέγμα που πήραμε από
τα S/N ratios indicators σε μια λογική οπού το μικρότερο αποτέλεσμα είναι το

Σελίδα
36
προτιμότερο στοχεύοντας στις local error norms values με μια ειδική
προσέγγιση (CAD–στοιχείο με CAD-στοιχείο).
14. Τελικώς προκύπτει το βέλτιστο πλέγμα, όπως αυτό προέκυψε από την μέθοδο
Taguchi.
3.2.5 Πρακτική Εφαρμογή
Η εφαρμογή της προσαρμοστικής στρατηγικής (adaptive strategy) που
παρουσιάζεται στη παρούσα πτυχιακή έγινε μέσω του API ενός σύγχρονου συστήματος
CAD χρησιμοποιώντας το προγραμματιστικό περιβάλλον του (API-Application
Programming Interface). Με αυτό τον τρόπο η περαιτέρω δοκιμή σε άλλες γεωμετρίες
ή επιπλέον οποιεσδήποτε πιθανές βελτιώσεις της προσαρμοστικής διαδικασίας είναι
πιθανές. Όλα τα αναγκαία αποτελέσματα εξάγονται αυτόματα μέσω του API του
λογισμικού σε αρχεία δεδομένων προκειμένου να επεξεργαστούν ξεχωριστά.
Τέλος πρέπει να σημειωθεί ότι οι πίνακες που προκύπτουν από τη μεθοδολογία
Taguchi δεν υπολογίζονται αυτόματα μέσω του κώδικα, αυτό το κομμάτι της
υπολογιστικής στρατηγικής γίνεται χειροκίνητα από τις πληροφορίες που εξάγονται
από τα αρχεία δεδομένων με την βοήθεια εξειδικευμένου λογισμικού με
ενσωματωμένα εργαλεία Taguchi DOE.

Σελίδα
37
3.3 Ο σχεδιασμός των πειραμάτων (Taguchi) στο Minitab
Σημαντικό εργαλείο για την μεθοδολογία αυτή είναι το Minitab που βοηθά
παρέχοντας τόσο στατικά όσο και δυναμικά αποτελέσματα στα πειράματα.
 Η απόκριση σε ένα στατικό πείραμα είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα του
ενδιαφέροντος ότι έχει ένα σταθερό επίπεδο.
 Η απόκριση σε ένα δυναμικό πείραμα είναι η χαρακτηριστική ποιότητα του
λειτουργεί σε ένα εύρος τιμών και ο στόχος είναι η βελτίωση της σχέσης μεταξύ
των στοιχείων εισόδου και την ανταπόκριση τους στην έξοδο.
Ο στόχος του πειραματισμού είναι να βρεθεί ο βέλτιστος συνδυασμός των
συντελεστών ελέγχου που επιτυγχάνουν την ιδανική τελική κατάσταση του προϊόντος.
Το Minitab υπολογίζει την απόκριση στους πίνακες, αποτελέσματα γραμμικών
μοντέλων και δημιουργεί κάποια σχέδια που μας δείχνουν πόσο επιδρά ο κάθε
παράγοντας.
Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα και τα σχέδια καθορίζονται ποιοι παράγοντες
και ποιες αλληλεπιδράσεις είναι σημαντικές κι έπειτα αξιολογούνται πώς αυτές
επηρεάζουν.
Στις παραμέτρους μπορούν να επιλεγούν τα στοιχεία για τον έλεγχο και τα επίπεδα
τους και μετά να καθοριστεί η κατάλληλη μορφή του πίνακα για αυτούς τους
παράγοντες.
Η εκτέλεση ενός πειράματος (Taguchi) αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:
1. Ανοίγοντας το Minitab, θα πρέπει να συμπληρωθεί όλος ο προ-πειραματικός
σχεδιασμός. Για παράδειγμα, θα πρέπει να επιλεγούν οι παράγοντες ελέγχου
καθώς και τα επίπεδα τους.
2. Έπειτα γίνεται επιλογή του Create Taguchi Design για να δημιουργηθεί ένας
πίνακας Taguchi (orthogonal array).
3. Αφού δημιουργηθεί ο πίνακας, επιλέγεται το Modify Design για την
μετονομασία των παραγόντων, την αλλαγή των επιπέδων του παράγοντα.
4. Έπειτα, πηγαίνοντας στο Display Design αλλάζουν οι μονάδες στο οποίο το
Minitab θα εκφράζει τους παράγοντες στο φύλλο εργασίας.
5. Εκτελείται το πείραμα για να συλλεχτούν τα αποτελέσματα. Στη συνέχεια,
μπαίνουν τα δεδομένα στο φύλλο εργασίας του Minitab.
6. Χρησιμοποιώντας το Analyze Taguchi Design γίνεται η ανάλυση των
πειραματικών δεδομένων.
7. Παρατηρούμε το Predict Results για την πρόβλεψη S/N αναλογιών και τα
χαρακτηριστικά απόκρισης για επιλεγμένες νέες ρυθμίσεις του παράγοντα.

Σελίδα
38
3.4 Οι Πίνακες που Προκύπτουν για κάθε CAD Στοιχείο
Σχήμα 3.2 Αρχικό πλέγμα με αριθμημένα τα CAD elements
Στην επόμενη ενότητα παραθέτονται οι αναλυτικοί πίνακες που προκύπτουν
από τις ορθογωνικές κατατομές L9. Οι Signal-to-Noise πίνακες που προκύπτουν από τη
μέθοδο είναι ουσιαστικά το κατευθυντήριο εργαλείο για τη προσαρμοστική βελτίωση
και τη δημιουργία του τελικού βελτιστοποιημένου πλέγματος.
Το τελικό πλέγμα δημιουργείται ακριβώς όπως υποδεικνύουν οι ενδείξεις των
πινάκων Signal-to-Noise και στη συνέχεια αναλύονται, προκειμένου να εξεταστεί η
ακρίβεια τους.

Σελίδα
39
3.4.1 Response Table – Πρώτο CAD στοιχείο
Επίπεδο Βαθμός
εξίσωσης
Αρχικό μήκος
κάθε στοιχείου
Τύπος νέου
τοπικού
πλέγματος
των νέων στοιχείων
%
1 -33,22 -34,68 -34,77 -34,78
2 -33,17 -30,35 -30,29 -30,33
3 -34,33 -34,7 -34,67 -34,62
Delta 2,11 4,35 4,48 4,45
Rank 4 3 1 2

Σελίδα
40
3.4.2 Response Table – Δεύτερο CAD στοιχείο
Επίπεδο Βαθμός
εξίσωσης
Τύπος νέου
τοπικού
πλέγματος
%
1 -34,92 -34,58 -35,07 -34,88
2 -32,89 -32,69 -32,50 -32,84
3 -34,26 -34,80 -34,50 -34,35
Delta 2,03 2,11 2,57 2,03
Rank 4 2 1 3

Σελίδα
41
3.4.3 Response Table – Τρίτο CAD στοιχείο
Επίπεδο
Βαθμός
εξίσωσης
Τύπος νέου
τοπικού
πλέγματος
%
1 -28,15 -30,95 -29,47 -29,35
2 -26,52 -31,42 -33,04 -31,56
3 -36,17 -28,47 -28,33 -29,94
Delta 9,66 2,96 4,71 2,21
Rank 1 3 2 4

Σελίδα
42
3.4.4 Response Table – Τέταρτο CAD στοιχείο
Επίπεδο
Βαθμός
εξίσωσης
Τύπος νέου
τοπικού
πλέγματος
%
1 -31,64 -36,78 -36,69 -36,74
2 -38,74 -31,35 -31,46 -31,28
3 -34,24 -36,49 -36,48 -36,60
Delta 7,10 5,43 5,23 5,46
Rank 1 3 4 2

Σελίδα
43
3.4.5 Response Table – Πέμπτο CAD στοιχείο
Επίπεδο
Βαθμός
εξίσωσης
Τύπος νέου
τοπικού
πλέγματος
%
1 -28,59 -35,84 -35,24 -35,53
2 -35,68 -27,69 -27,91 -27,43
3 -34,49 -35,23 -35,61 -35,80
Delta 7,08 8,15 7,71 8,38
Rank 4 2 3 1

Σελίδα
44
3.4.6 Response Table – Έκτο CAD στοιχείο
Επίπεδο
Βαθμός
εξίσωσης
Τύπος νέου
τοπικού
πλέγματος
%
1 -31,36 -36,75 -36,50 -36,44
2 -38,52 -31,58 -31,56 -31,71
3 -34,94 -36,50 -36,77 -36,69
Delta 7,16 5,18 5,22 4,98
Rank 1 3 2 4

Σελίδα
45
3.4.7 Response Table – Έβδομο CAD στοιχείο
Επίπεδο
Βαθμός
εξίσωσης
Τύπος νέου
τοπικού
πλέγματος
%
1 -35,90 -34,85 -35,47 -35,44
2 -36,90 -33,20 -32,65 -33,18
3 -30,63 -35,38 -35,32 -34,81
Delta 6,26 2,18 2,82 2,26
Rank 1 4 2 3

Σελίδα
46
3.4.8 Response Table – Όγδοο CAD στοιχείο
Επίπεδο
Βαθμός
εξίσωσης
Τύπος νέου
τοπικού
πλέγματος
%
1 -34,03 -35,44 -34,87 -34,79
2 -32,73 -31,91 -31,70 -32,88
3 -35,24 -34,64 -35,43 -34,33
Delta 2,51 3,53 3,72 1,91
Rank 3 2 1 4

Σελίδα
47
3.4.9 Response Table – Ένατο CAD στοιχείο
Επίπεδο
Βαθμός
εξίσωσης
Τύπος νέου
τοπικού
πλέγματος
%
1 -32,32 -34,71 -34,78 -34,81
2 -33,20 -30,41 -30,35 -30,38
3 -34,36 -34,75 -34,74 -34,68
Delta 2,04 4,33 4,43 4,43
Rank 4 3 2 1

Σελίδα
48
3.4.10 Response Table – Δέκατο CAD στοιχείο
Επίπεδο
Βαθμός
εξίσωσης
Τύπος νέου
τοπικού
πλέγματος
%
1 -34,92 -34,58 -34,94 -34,87
2 -32,76 -32,70 -32,51 -32,72
3 -34,26 -34,67 -34,50 -34,35
Delta 2,16 1,97 2,43 2,15
Rank 2 4 1 3

Πτυχιακή - Main Body - Anastasios Kamoutsas Petros Mostratos Dimitrios Tzatsis

Πτυχιακή - Main Body - Anastasios Kamoutsas Petros Mostratos Dimitrios Tzatsis

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Πτυχιακή - Main Body - Anastasios Kamoutsas Petros Mostratos Dimitrios Tzatsis

Similar to Πτυχιακή - Main Body - Anastasios Kamoutsas Petros Mostratos Dimitrios Tzatsis (12)

Πτυχιακή - Main Body - Anastasios Kamoutsas Petros Mostratos Dimitrios Tzatsis