1. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Математическая логика
11 февраля 2013 г.
Математическая логика

2. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Три основные логические операции
Название Обозначение Альт. Соответствие Знач.
Конъюнкция & ∧ умножение и
Дизъюнкция ∨ сложение или
Отрицание ¬ отрицание не
Полезно запомнить соответствия — это помогает
определить порядок выполнения операций: отрицание,
конъюнкция, дизъюнкция.
Математическая логика

3. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
&
Математическая логика

4. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
¬
Математическая логика

5. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
∨
Математическая логика

6. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
A ∨ ¬B&C
Какой порядок выполнения?
Математическая логика

7. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
¬A&¬B ∨ C &(¬D ∨ E )
Какой порядок выполнения?
Математическая логика

8. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Таблицы истинности
Математическая логика

9. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Таблица истинности для конъюнкции
Рассмотрим, чему может быть равно высказывание A & B:
A B A&B
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л Л
Математическая логика

10. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Таблица истинности для дизъюнкции
Рассмотрим, чему может быть равно высказывание A ∨ B:
A B A∨B
И И И
И Л И
Л И И
Л Л Л
Математическая логика

11. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Таблица истинности для отрицания
Рассмотрим, чему может быть равно высказывание ¬A:
A ¬A
И Л
Л И
Математическая логика

12. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Правила для запоминания / понимания
Конъюнкция требует, чтобы оба условия были истинны: и
то, и другое.
Дизъюнкции достаточно, чтобы одно из условий
выполнялось: или первое, или второе (или оба вместе).
Отрицание меняет значение на противоположное.
Математическая логика

13. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Пример построения таблицы истинности
Построим таблицу истинности для высказывания
A & B ∨ ¬C .
Построение заключается в переборе всех возможных
вариантов.
A B C Итог
И И И
И И Л
И Л И
Л И И
И Л Л
Л И Л
Л Л И
Л Л Л
Математическая логика

14. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Пример построения таблицы истинности
Посчитаем первую строку, подставив значения A, B, C:
A&B ∨ ¬C = И&И∨¬И = И&И∨Л = И ∨ Л = И
A B C Итог
И И И И
И И Л
И Л И
Л И И
И Л Л
Л И Л
Л Л И
Л Л Л
Математическая логика

15. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Пример построения таблицы истинности
Аналогично рассчитываем для каждой оставшейся строки.
A B C Итог
И И И И
И И Л И
И Л И Л
Л И И Л
И Л Л И
Л И Л И
Л Л И Л
Л Л Л И
Математическая логика

16. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Задачи
Построить таблицу истинности для следующих
высказываний:
1 A ¬ B ∨ ¬¬A
2 ¬(A&¬B)&C
3 A ¬A
4 A ∨ ¬A
Математическая логика

17. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Законы логики
Математическая логика

18. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Основные законы логики
Как и в математике, в логике есть свои законы.
Во многом, они похожи на математические.
Название Закон
Переместительный A&B = B&A
A∨B = B∨A
Сочетательный A&(B&C) = A&(B&C)
A∨(B∨C) = A∨(B∨C)
Распределительный A&(B∨C) = (A&B)∨(A&C)
A∨(B&C) = (A∨B)&(A∨C)
Правила де Моргана ¬(A&B) = ¬A∨¬B
¬(A∨B) = ¬A&¬B
Математическая логика

19. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
В логике можно доказывать законы
Но как?
Математическая логика

20. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Доказательство правила де Моргана
В логике два высказывания называются равными, если
совпадают их таблицы истинности.
Для доказательства одного из правил де Моргана
построим таблицы истинности для левых и правых частей
равенства.
Если таблицы совпадут, значит, формула верна:
A B ¬(A&B) A B ¬A∨¬B
И И Л И И Л
И Л И И Л И
Л И И Л И И
Л Л И Л Л И
Математическая логика

21. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Задачи
Докажите переместительный закон для конъюнкции.
Докажите распределительный закон конъюнкции
относительно дизъюнкции (первый).
Математическая логика

22. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Остальные законы
Название Закон
Двойного отрицания ¬¬A = A
Противоречия A&¬A = Л
A∨¬A = И
Повторения A&A = A
A∨A = A
Просто закон A&И = A
A∨И = И
Просто закон 2 A&Л = Л
A∨Л = A
Математическая логика

23. Основные операции Таблицы истинности Законы логики
Задачи
Пример с раскрытием скобок:
A&¬(B∨C) = A&(¬B&¬C) = A&¬B&¬C
Раскрыть скобки у следующих выражений:
1 ¬(A&¬B)&C
2 ¬(¬(¬¬A&¬B)&C )
Математическая логика