Ujjojhhjvvvbb

1. TS. Cao Tấn Bình
Bài giảng
Lý thuyết xác
suất và thống
kê toán

2. Chương 2: Biến ngẫu nhiên
và quy luật phân phối xác suất
NỘI DUNG
2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN
2.2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
2.3 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

4. 2.1 Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên
Định nghĩa
 Một biến số được gọi là biến ngẫu nhiên nếu trong kết quả của phép thử nó sẽ
nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác
động của các nhân tố ngẫu nhiên.
 Ký hiệu: X, Y, Z, T, ...

5. Các ví dụ
 Ví dụ 2.1.1 Gieo một con xúc xắc.
Gọi X là số chấm xuất hiện, X là biến
ngẫu nhiên với
 Ví dụ 2.1.2 Giả sử có một xạ thủ bắn
không hạn chế số lần vào một mục
tiêu đến khi trúng mục tiêu thì dừng.
Gọi Y là số lần xạ thủ bắn trượt, Y là
biến ngẫu nhiên với
 Ví dụ 2.1.3 Chọn ngẫu nhiên một
người và đo chiều cao. Gọi Z là chiều
cao của người này, Z là một biến ngẫu
nhiên với giá trị có thể nhận được của
Z là một đoạn trong trục số thực.
( )  
 = 1,2,3,4,5,6
X
( )  
 = 0,1,2,3,...
Y

6. Phân loại
biến ngẫu
nhiên
Biến ngẫu
nhiên rời rạc
Biến ngẫu
nhiên liên
tục
Ví dụ 2.1.4 Các biến ngãu nhiên X và Y trong các Ví dụ 2.1.1 và Ví dụ
2.1.2 là rời rạc, và biến ngẫu nhiên Z trong Ví dụ 2.1.3 là liên tục.

8. 2.2 Quy luật phân phối XS của BNN
Định nghĩa
Quy luật phân phối xác suất của biến
ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa các giá
trị có thể có của nó và các xác suất
tương ứng với các giá trị đó.

10. Bảng phân phối xác suất
 Chỉ sử dụng để mô tả quy luật phân
phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời
rạc.
X x1 x2 ... xi ... xn ...
P p1 p2 ... pi ... pn ...

  


 =



1
0 1,
1
i
i
i
p i
p

11.  Ví dụ 2.2.1 Trong phép thử gieo một con xúc xắc, ta có bảng phân xác
suất của biến ngẫu nhiên X “ số chấm xuất hiện” là
X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

12.  Ví dụ 2.2.2 Giả sử xác suất đế xạ thủ bắn trúng mục tiêu là 0,8. Xạ thủ
phát từng viên đạn để bắn cho đến khi trúng mục tiêu. Khi đó quy luật
phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y “số viên đạn được phát” là
Y 1 2 ... k ...
P 0,8 0,2.0,8 ... (0,2)k-1.0,8 ...
1
1
1
(0.2) 0.8 1
(0.2) 0.8 0
k
k
k
−

−
 =


 



14. Hàm phân bố xác suất (xem bài giảng)

15. Hàm mật độ xác suất
 Định nghĩa:
F(x): hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X.
= '
( ): ( )
f x F x

16.  Các tính chất:
 
( ) 0,
f x x
  = 
( ) ( )
b
a
P a X b f x dx
+
−
=
 ( ) 1
f x dx
−
= 
( ) ( )
x
F x f x dx

17.  Chú ý: Điều kiện đủ để hàm số f(x) là hàm mật độ xác suất của một biến
ngẫu nhiên liên tục nào đó là
+
−
 



=



( ) 0,
( ) 1
f x x
f x dx

18.  Ví dụ 2.3.6 Tuổi thọ của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên liên tục X
với hàm mật độ
a. Tìm tham số m.
b. Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì tuổi thọ của nó kéo dài ít
nhất là 600 giờ.



= 
 

2
, 400
( )
0 , 400
m
x
f x x
x

19. 2.3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng toán
 Định nghĩa:
 

+
−
  =


= 





1 2
1
, ( ) , ,..., ,...
( ):
( ) ,
i i n
i
x p neáu X laø bnn rôøi raïc vôùi X x x x
E X
xf x dx neáu X laø bnn lieân tuïc

20. Các tính chất:
Nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì
( )
E C C
= ( ) ( )
E CX CE X
=
( ) ( ) ( )
E X Y E X E Y
+ = + ( ) ( ) ( )
E aX bY aE X bE Y
+ = +
1 1
( )
n n
i i
i i
E X E X
= =
 
=
 
 
 
( ) ( ) ( )
E XY E X E Y
=

21.  Ví dụ 2.3.2 Một dự án xây dựng được
một viện thiết kế V soạn thảo cho hai bên
A và B xét duyệt độc lập. Xác suất để A
và B chấp nhận dự án khi xét duyệt là 0,7
và 0,8. Nếu chấp nhận dự án thì A phải
trả cho V 4 triệu đồng, ngược lại thì phải
trả 1 triệu đồng. Với B, nếu chấp nhận dự
án thì phải trả cho V 10 triệu đồng, ngược
lại thì phải trả 3 triệu đồng. Cho biết cho
phí cho thiết kế là 10 triệu đồng và thuế
10% doanh thu. Hỏi viện V có nên nhận
thiết kế theo thỏa thuận như trên hay
không?

22. Phương sai
 
 
 

+
−
 −


= − = 
 −




i i
i
x E X p
Var X E X E X
x E X f x dx
2
1
2
2
( )
( ): ( )
( ) ( )

23.  Các tính chất:
( ) 0
Var C =
( ) ( )
Var C X Var X
+ =
= 2
( ) ( )
Var CX C Var X
( ) ( ) ( )
Var X Y Var X Var Y
 = +
1 1
( )
n n
i i
i i
Var X Var X
= =
 
=
 
 
 

24. Độ lệch chuẩn
( ) ar(X)
X V
 =

25. Trung vị

26. Mốt

27. Hệ số biến thiên
( )
( ) .100
( )
X
CV X
E X

=

28. Hệ số tương quan
( ) ( ) ( )
( , )
( ) ( )
E XY E X E Y
r X Y
Var X Var Y
−
=

29. Giá trị tới hạn
( )
P X x 
 =