1. Vectores
Un ve ct o r f ijo e s u n s e gme nto ori e nta do qu e va d e l p u n t o A
(or i ge n ) a l p un t o B ( e x tre mo ).
Elementos de un vector
Di r e c c i ón de un ve c tor
L a di rec c i ón del ve c tor e s la di re c c i ón de l a re c ta qu e con t ie ne a l
ve ct o r o d e cu a lquie r re c ta para le l a a e lla .
S e nti do de un ve c tor
E l s e nti do de l ve c tor e s e l qu e va de sd e e l ori ge n A a l e x tre mo B .
Módul o de un ve c tor
E l módul o de l ve c tor e s la l ongi tud
de l s e gme nto AB , se re p re se n ta po r .
E l módul o d e u n ve c tor e s u n núm e r o
sie m p re pos i ti vo o c e ro.
Módul o de un ve c tor a pa rti r de s us
c ompone nte s
1

2. Módul o a pa rti r de l as c oorde na das de l os puntos
Coordenadas de un vector
S i la s co o rde na d as d e lo s p un t o s e xt re m o s, A y B , so n:
L a s c oorde na da s de l ve c tor so n la s c oorde na da s de l e x tr e mo
m e nos l as c oordena da s del ori ge n .
2

3. Clases de vectores
V e c tores e qui pole nte s
Do s ve ct o re s so n e qui pol e nte s cua n do t ie ne n igu a l módul o, di re c c ión y
s e nti do .
V e c tores l i bre s
E l co n jun t o d e t od o s lo s ve c tore s e qui pol e nte s e n t re sí se lla ma ve c tor
l i br e . E s d e cir los ve c tore s l i bre s t ie n en e l m ismo módul o , di re cc i ón y
s e nti do .
V e c tores fi jos
Un ve c tor fi jo e s u n rep re se nt a nt e d e l ve c tor l i br e .
E s d e cir, lo s ve ct o re s f ijo s t ie ne n e l m ismo módul o ,
di re c ci ón , se nti do y ori ge n .
3

4. V e c tores opue s tos
L o s ve c tore s opue s tos t ie ne n e l m ismo
módul o , di re cc i ón , y d ist in t o se nti do .
V e c tores uni ta ri os
L o s ve c tore s unta ri o t ien e n d e módul o , la
uni da d .
P a ra ob t en e r un v e c tor uni ta ri o , d e la mis m a
di re c ci ón y s e ntido qu e e l ve c tor da d o se di vi de
é st e p o r su módul o .
V e c tor de pos i c i ón
E l ve c tor qu e un e e l ori ge n d e co o rd en a da s O con u n punto P se
lla m a ve c tor de pos i c i ón d e l pu n to P .
4

5. V e c tores ortogona l e s
Do s ve c tore s so n ortogona l e s o
pe r pe ndi c ula re s si su produc to e s ca l a r es
c e ro .
V e c tores ortonorma l e s
Do s ve c tore s so n ortonorma l e s si:
1 . S on pe rp en d icu la re s e nt re sí
2 . Lo s do s ve c tore s son uni ta ri os .
Operaciones con vectores
S um a de ve c tore s
P a ra sum a r d o s vect o re s lib re s y se e sco ge n com o
re p re se nt a n te s dos ve ct o re s t a le s qu e e l e xt re m o f in a l
d e un o co in cid a con e l e xt re mo o rigen d e l o t ro ve ct o r.
Re gl a de l pa ra l e l ogramo : Se t om a n com o
re p re se nt a n te s do s ve ct o re s co n el o rige n en
co m ún , se t ra za n re ct a s p a ra le la s a lo s ve ct o re s
o b t en ié nd o se u n p a ra le lo gra mo cu ya d ia go n a l co in cid e co n la sum a de lo s
ve ct o re s.
5

6. P a ra sum a r d os ve ct o re s se su ma n su s re sp e ct iva s
co m po ne n te s.
Re s ta de ve c tores
P a ra re sta r do s ve ct o re s lib re s y se su m a co n e l
o p ue st o d e .
L a s co mp o ne n te s d e l ve ct o r re st a s e o b t ie nen
re st a n do la s co mpo n en t e s d e lo s ve ct o re s.
P r oduc to de un núme ro por un ve c tor
E l p ro du ct o d e u n n ú me ro k p o r u n ve ct o r e s o t ro
ve ct o r:
De i gua l di re cc i ón qu e e l ve ct o r .
De l m i s mo s e nti do qu e el ve ct o r si k es
pos i ti vo .
De s e nti do c ontrari o d e l ve ct o r s i k e s ne ga ti vo .
De módul o
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7. L a s com p on e nt e s d e l ve ct o r re su lt an t e se ob t ie ne n mu lt ip lica n do p o r K la s
co m po ne n te s de l ve ct o r.
Combinación lineal de vectores
Da d o s dos ve c tore s : y , y dos núme ros : a y b, e l ve c tor se
𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 d ice qu e e s u na combi na c i ón l i ne a l d e 𝑢 𝑦 𝑣
Un a c ombi na c i ón l i ne a l d e do s o má s ve ct o re s e s e l ve c tor qu e se
o b t ien e a l s uma r e so s ve c tore s mul ti pl i c a dos p o r sen d o s e s ca l are s .
Cu a lqu ie r ve c tor se p u ed e p on e r co m o
c ombi na c i ón li nea l d e o t ro s d o s qu e
t e n ga n dis ti nta dire c c i ón .
E st a comb in a ción lin e a l e s ú n ica.
E je mp lo s:
Da d o s lo s ve ct o re s , h a lla r e l ve c tor c ombi na c i ón
l i ne a l
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8. E l ve ct o r , ¿se p ue d e e xp re sa r co mo c ombi nac i ón l i nea l
de lo s ve ct o re s ?
V e c tores l i nea l mente de pe ndi e ntes e i nde pe ndie nte s
V e c tor es l i nea l mente de pe ndi e ntes
V a rio s ve c tore s l i bre s d e l p la no se d ice que son l i ne al me nte
de pe ndi e nte s si h a y u n a c ombi nac i ón l i ne a l de e llo s qu e e s igu a l a l
ve c tor c e ro , co n t o d o s lo s c oe fi ci e nte s 𝒂 𝒊 d e la c ombi na c i ón l i ne al
d ist in t o s d e ce ro . .
P r opi e da des
1 . S i va rio s ve c to re s so n li ne a l mente de pe ndi e nte s , e n t on ce s a l
m e no s uno d e e llos se p u e de e xp re sa r co m o c ombi nac i ón l i ne a l d e lo s
d e má s.
8

9. T am b ié n se cum ple e l re cip ro co : si u n ve c tor e s c ombi na c i ón
l i ne a l de o t ro s, e n t on ce s t od o s lo s ve c tore s so n l i nea l me nte
de pe ndi e nte s .
2 . Do s ve ct o re s de l p la no so n l i neal me nte de pe ndie nte s si, y só lo
si, so n par a le l os .
3 . Do s ve c tore s l ibre s de l p lan o = (u 1 , u 2 ) y = ( v 1 , v 2 ) so n
l i ne a l me nte de pendi e nte s si su s com p on en t e s so n p ro p o rcio na le s.
V e c tor es l i nea l mente i nde pe ndi e nte s
V a rio s ve ct o re s lib re s son l i ne a l mente i nde pe ndi e nte s si n in gu n o
d e e llo s p ue d e se r e scrit o con un a combi na c i ón l i ne a l d e lo s re st an t e s.
a 1 = a 2 = ··· = a n = 0
Los ve c tore s l i ne a l me nte i ndepe ndi e nte s t iene n di s ti nta
di r e c ci ón y su s compone nte s n o so n proporc i ona l es .
E je m pl o
De t e rrm in a r si son lin e a lme n te d epe n d ien t e s o in d epe n d ien t e s lo s
ve ct o re s. :
= (3 , 1 ) y = (2 , 3 )
so n lin e a lm en t e in d e pe n d ie n te s
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10. Ba s e
Dos ve c tore s y co n
di s ti nta di re cc i ón f o rm a n
u n a ba s e, po rqu e cu a lqu ie r
ve c tor d e l p la n o se p u e d e
p o ne r co m o c ombi na c i ón
l i ne a l d e e llo s .
L a s c oor de na das de un ve c tor re sp e ct o d e u n a ba se so n lo s co ef icien te s
qu e p e rm ite n e xp re sa r e l ve ct o r co mo co mb in a ció n lin ea l d e lo s ve ct o re s de
la b a se :
E je m pl os
E je m pl o
Q u é p a re s d e lo s sigu ie n t e s ve c tore s f o rma n u n a ba se :
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11. Ba s e ortogona l
Los dos ve c tore s de l a ba s e
s on pe rpe ndi c ul are s e ntre s í.
Ba s e ortonorma l
Los dos ve c tore s de la bas e s on
pe rpe ndi c ula re s e ntre s í , y a de má s ti e ne n
módul o 1 .
E st a ba se f o rma da p o r lo s ve ct o re s y se de n om ina ba se c a nónic a .
E s la b a se qu e se u t iliza h a b it u a lm e nt e , de m od o qu e si n o se a d vi e rt e
n a da se su p on e que se e st á t ra b a ja nd o en e sa ba se .
E je r c i c i os
Q u é p a re s d e lo s sigu ie n t e s ve c tore s f o rma n u n a ba se :
11

12. S e a n lo s ve ct o re s lib re s = (2 , 1 ), = (1 , 4 ) y = (5 , 6 ). Det e rm ina r:
1 . S i f o rm an un a ba se y .
A l se r lin e a lm en t e in d e pe n d ie n te s con st it u ye n un a b a se.
2 . E xp re sa r co m o co m b in a ción lin e a l d e lo s ve ct o re s de la ba se
3 . Ca lcu la r la s co ord e n ad a s d e C re sp e ct o a la b a se .
L a s coo rd en a da s de re sp e ct o a la b ase so n: (2 , 1 )
Un ve ct o r t ie n e de co o rd en ad a s (3 , 5 ) e n la b a se can ó n ica. ¿Q u é
co o rd en a da s te n d rá ref e rido a la b a se 𝑢= (1 , 2 ), 𝑣= (2 , 1 )?
(3 , 5 ) = a (1 , 2 ) + b (2 , 1 )
3 = a + 2b a = 3 - 2 b a = 7 / 3
5 = 2a + b 5 = 2 (3 - 2b) + b b = 1/3 L a s co o rd ena d a s de l ve ct o r
en la b a se B so n (7 /3 , 1/ 3 ) .
12

13. S i s te ma de re fe renc i a
E n e l p la no , u n sist e m a de
re f e re n cia es tá c ons ti tui do por un
punto O de l pl a no y u na ba s e ( ,
).
E l punto O d e l s ist e m a de
re f e re n cia se llama ori ge n .
O rtogona l
Los ve c tore s bas e s on pe rpe ndi c ul a re s y
t ie n en di s ti nto módul o .
O rtonorma l
Los ve c tore s de l a ba s e s on perpe ndi c ul a re s ,
i gua l e s y uni ta ri os , e s d e cir, de m ód u lo 1 .
S e re p re se n ta n p or la s le t ra s .
L a s re ct a s O X, O Y se lla m a n e je s d e co o rd e na da s o e je s co o rd en a do s
ca rt e sia no s.
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14. Producto escalar
E l pr oduc to e s ca l a r de dos ve c tore s e s un núme ro re a l que
re su lt a a l mul ti plic a r el produc to de s us módul os por e l c ose no del
á ngul o que forman .
E je m pl o
E x pr e si ón a nal í tic a de l produc to es c a la r
E je m pl o
E x pr e si ón a nal í tic a de l módul o de un ve c tor
E je m pl o
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15. Án gul o f orma do por dos ve c tore s
E s e l m e no r de lo s á n gu lo s qu e de t e rm in a n e nt re s í. Ut ili za n d o la
e xp re si ó n a na l ít ica d e l p ro du ct o e sca la r t e ne mo s:
E je m pl o
Condi c i ón a na l í tic a de l a ortogonal i da d de dos ve c tore s
Do s ve ct o re s no nu lo s son pe rp en d icu la re s si su p rodu ct o e sca la r e s
ce ro
E je m pl o
I nte r pre ta c i ón geomé tri c a de l produc to e s ca l a r
E l pr oduc to de dos ve c tore s no nul os e s i gua l a l módul o de uno
de e l l os por la pro ye c c i ón de l otro s obre él .
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16. E je m pl o
Ha lla r la p ro ye cció n d e l ve ct o r = (2 , 1 ) so b re e l ve ct o r = (−3 , 4 ).
P r opi e da des de l produc to e s c al a r
1 Conm uta ti va
2 As oc i a ti va
3 Di s tr i buti va
4
E l pr oduc to e s c al a r de un ve c tor no n ul o por s í mi s mo s i e m pre
e s pos i ti vo.
16