Turunan digunakan untuk menentukan kemiringan garis singgung dan laju perubahan suatu fungsi. Turunan dapat dihitung untuk fungsi-fungsi seperti polinomial, trigonometri, eksponensial, dan logaritma. Aturan rantai turunan dan teorema ekstrima digunakan untuk menemukan titik ekstrima suatu fungsi.

1. 1
TUGAS KALKULUS
UntukmemenuhitugasakhirmatakuliahPersamaan Diferensial
“RESUME MATERI KALKULUS DAN PENYELESAIAN
SOAL – SOAL”
Oleh :
Esir Runggang
Kata Pengantar

2. 2
Assalamu’alaikumwr.wb
Pujisyukur Alhamdulillah sayapanjatkankehadirat Allah SWT,
karenaataslimpahanrahmatdanhidayah-Nyasayadapatmenyelesaikantugasinisesuaiwaktu
yang telahditentukan. ShalawatsertasalamtetaptercurahpadajunjungankitaNabi Muhammad
Saw, besertasahabatdanparapengikutnya.
Dalamkesempatanini, sayamengucapkanbanyakterimakasihatasbimbingan
yang telahdiberikanolehBapakHendartodalamsatu semester ini di
matakuliahKalkulusDiferensial.Semogaapa yang telahBapakberikandansampaikan,
menjadisebuahsenjata yang siaptempurbagisayadalammenghadapitantanganberikutnya,
sertadapatbermanfaatuntuksekarangdanseterusnya. Amin.
Wassalamu’alaikumwr.wb
Malang, Juni 2010
AyuDwiAsnantia

3. 3
DAFTAR ISI
COVER ...................................................................................................................1
KATA PENGANTAR ...............................................................................................2
DAFTAR ISI ............................................................................................................3
FUNGSI ................................................................................................................. 4
 DefinisiFungsi........................................................................................... 4
 KombinasiFungsi.......................................................................................5
 PetadanPrapeta ....................................................................................... 6
 FungsiKomposisi.......................................................................................7
LIMIT .................................................................................................................... 8
 DefinisidanSifat – sifat Limit ................................................................... 8
 Sifat – sifat Limit FungsiTrigonometri.....................................................11
 Limit Sepihak........................................................................................... 13
 Limit di TitikTakHingga ...........................................................................14
 Limit TakHingga ...................................................................................... 15
 Kekontinuan di SatuTitik ........................................................................16
TURUNAN ........................................................................................................... 17
 DefinisiTurunan....................................................................................... 17
 Sifat – sifatTurunan.................................................................................19
 TurunanFungsiTrigonometri ................................................................. 20
 AturanRantaiTurunan............................................................................. 21
 TurunanFungsiimplisit ............................................................................ 21
 AplikasiTurunan...................................................................................... 24
 TerapanMasalahOptimasi...................................................................... 26
 Teorema de L’Hopital ............................................................................ 28
 FungsiTransenden.................................................................................. 28

4. 4
 FungsiLogaritma .................................................................................... 29
FUNGSI
 DefinisiFungsi :Aturanpemasanganelemen – elemen di himpunan A yang disebut
domain harustepat 1 elemen di himpunan B ( ko-domain).
 Himpunansemuaelemen di B yang mempunyaipasangan di AdisebutRange.
 Aturanditulis f danpemasanganditunjukkandengan “  “, sehingga
 Daerah Definisi(daerahasal/wilayah/domain) darisuatufungsif(x), dinotasikan
adalahhimpunansemuabilangan real yang
menyebabkanaturanfungsiberlaku/terdefinisi. Syarat : tidak melibatkan pembagian
dengan 0 dan tidak ada akar bilangan negative. Domain (x).
 Jikatidakdinyatakansecarajelas, maka domain suatufungsiadalahhimpunanbilangan
real.
 Notasifungsi: y = f(x) dengan: x elemenA, f(x) aturanpemadanannya, dany
adalahelemenB yang merupakanpasangandarix.
 Daerah Nilai(daerahhasil/jelajah/range) darisuatufungsif(x), dinotasikan ={ y| y =
f(x), x ∈ } (berisisemuapasangandarix). Range (y).
EXERCISE 1.3
Find the domain and range of each function !
1.
Kita masukkan x= – 1,
x=0,
x=1,
sehingga, x merupakanbilangan real
Karenahasildari adalah bilangan bulat positif, meskipun kita masukkan
x= – 1, maka :

5. 5
2.
Kita cobamasukkan z= – 1,
z=0,
z=1,
karenasyarat tidak boleh akar negative, dan jika kita memasukkan z= – 3
makahasilnyaakanakar negative. Sehingga:
-2 2
Hasilfungsiiniadalahbilanganbulatpositif, sehingga :
0 2
 KombinasiFungsi
1.
2.
3.
4.
5.
6. Domain darikombinasifungsiberupairisankedua domain yaitu
Exercise 1.5
Find the domains of !
1.

6. 6
 PEtadanPrapeta
A B
Padafungsi di atas,kitadapatmengetahuibahwaA={1,2,3,4,5,6} dan B={a,b,c,d,e,f}.
sehingga yang merupakan Prapeta dari B.
dinamakan Peta dari A
 Petadari A oleh f adalah
 Prapetadari B oleh f adalah
1.
2.
3.
4.
5.
6.
.a
.b
.c
.d
.e
.f

7. 7
 FungsiKomposisi
Perhatikanduabuahfungsi dan .
Dibentukfungsibaru .
Fungsidemikiandisebutsebagaifungsikomposisidarif dang.
 Menentukan Domain dan Rangeadalah
Soal
1. !
Exercise 1.5
6.
a.
b.
c.
Jawab :
a.
b.
c.

8. 8
L I m I t
 DefinisiLimit:Misalkanf(x) terdefinisipadaI = (a, b), kecualimungkin di c ∈I. Limit
darif(x) untukx mendekatic disebutL, dinotasikanlimx→cf(x) = L artinyauntuksetiap_
>0, dapatdicariδ >0 sehingga|x − c| < δ =⇒ |f(x) − L| < .
 Sifat – sifat Limit : Misalkan f dan g duabuahfungsidan k
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

9. 9
Exercise 2.1
Find The Limits by Substitution !!
21.
22.
Olehkarenaitu, kitamemakaipenyelesaiandenganuraianaljabar,
karenaterdapatbentukaljabarkuadrat di sana .sehingga,
25.
26.
Exercise 2.2
Find The Limits !!
1.
2.
3. = = =1
13. = =
18.

10. 10
Karenabentuknyaberakar, penyelesaian yang
kitalakukanadalahdenganmenggunakanperkaliandengansekawan.Maka :
. =
= = =
24. kita bisa menyelesaikannya dengan
menggunakan penyelesaian bentuk aljabar, yakni :
=
52.
55.if
Jawab :1=
1=
1=
=2(1)

11. 11
Exercise 2.3
Find the Limit!!
31.
15. bentuk tak tentu. Sehingga kita menggunakan penyelesaian
dengan sekawan.
=
= =
= =
 Sifat – sifat Limit FungsiTrigonometri
1.
2.
3.
Soal – soal :
Hitung Limit – Limit Berikutini !
22. = =1 sebagaimana sifat Limit Fungsi Trigonometri

12. 12
23. = = = =
26. = 2 = 2 = 2
= 2.1.1 = 2
27. = = = . 1.1 =
28. = =
= 3.1.1 = 3
29. =
= + = (1.1)+ 1 = 2
34. = = =
35. = =
=
=

13. 13
 Limit Sepihak
Definisi limit kanan : Misalkan f(x) terdefinisipada I = (a, b), kecualimungkin di
c ∈ I. Limit dari f(x) untuk x mendekati c darikanandisebut L,
dinotasikanlimx→c+ f(x) = L artinyauntuksetiap > 0, dapat dicari δ> 0
sehingga x − c <δ =⇒ |f(x) − L| <
Sifat – sifat:
1.
2.
3.
Soal
Hitung limit – limit berikutini !
a.
b.
Karenaberbentukpecahan, syaratpenyebutadalah ≠ 0.Sehingga x≠0.
Misal
Untuk x<0, =– 1
Karena limit kiridan limit kanannyatidaksama, mengakibatkanlimitnyatidakada.

14. 14
 Limit di titikTakHingga
Bagianinimengamatiperilakufungsi f(x) bila x tanpa batas.
Soal – soal !!
50.
51.
53.
54.
57.

15. 15
 AsimptotDAtar
Materiinimerupakanmateripengayaan.
 Limit TakHingga
BAgianinimengamatiperilakufungsi f(x) dimananilai f(x) membesar /
mengeciltanpabatas.
Soal!!
Hitung Limit- limit berikutini !
2.
4.
7.
17.a.
b.

16. 16
 Kekontinuan di SatuTitik
Soal!
Periksakekontinuan f di titik x=8.
Jawab :
Jadi, f(x) tidakkontinu di x=2

17. 17
TURUNAN
 Kemiringangarissinggung di titik P = (c,f(c)) didefinisikansebagai :
Soal :
Tentukanpersamaangarissinggungkurva
Jawab :
Persamaangarissinggung di x=2 adalah y – 16= 16 (x – 2)
y=16x – 16
 Definisi :misal y=f(x) fungsipadadimanaDfdan x Df
Turunan f di titik x ditulis f’(x) adalah :
Asalkannilailimitnyaada.Jikanilaiturunan f di x=c ada, makadiketahui f diferensiabel di
titik c. jika f diferensiabelpadasemuatitikdalam domain D, makaf

18. 18
diferensiabeladalahpada D. jika f diferensiabelpada R, maka f
dikatakandiferensiabeldimana – mana.
 Notasi Leibniz:
Soal !
1.
Tunjukkanbahwa .
JAwab :

19. 19
2. Tentukanturunandarifungsiberikut !
)
 Sifat – SifatTurunan:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Soal
Tentukanturunandarifungsi – fungsiberikut !
1.
2.
3.
4.
Jawab :
Sehingga ,

20. 20
5.
Jawab :
Kita misalkan (x+1)=u dan x2
=v. Sehingga :
6.
7.
8.
9.
 TurunanFungsiTrigonometri:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Soal !

21. 21
Tentukanturunandarifungsi – fungsiberikut.
1.
2.
3.
Jawab :
4. dengan cara yang sama seperti no.3, maka didapat
 AturanRantaiTurunan:
Jika f adalahfungsidari u, sedangkan u adalahfungsi di x, maka
Soal :
Tentukanturunandarifungsiberikut !
1.
Jawab :
2.
 TurunanFungsiImplisit
Berbentuk f(x,y)=0
y=2x+1 (eksplisit), y-2x-1=0 (implicit)
Soal
1. !
Jawab :

22. 22
2. Tentukanpersamaangarissinggunglingkaran x2
+y2
=16 dititik (3,4).
Jawab : P (3,4)
Dikali 4 sehingga
 Turunankeduadanturunantingkattinggi:
Jika y=f(x) fungsi yang diferensiabeldenganfungsiturunan f’(x), makaturunandari f’(x)
ditulis f’’(x) disebutturunankeduadari f. secarasamaturunanke – n dari f(x) ditulisfn
(x)
didefenisikansebagai :
Soal !
TentukanTurunanpertamadankeduadarifungsiberikut !
1.

23. 23
2.
3.
4.
5.
 TurunansebagaiLajuPerubahan
Jika f fungsidari x, makanilaidari
diintrepasikan sebagai nilai dari perubahan f oleh perubahan x
sejauh h. Nilai perubahan sesaat terhadap titik x di x0adalahturunan f terhadap x di
x0yaitu
 Jarak, Kecepatan, danPercepatan
Andaikansuatuobjekbergeraksepanjanggarislurus, posisiobjekbergantungpadawaktu t
sehingga s=f(t).
Kecepatangerakobjekpadawaktu t ditulis:

24. 24
 AplikasiTurunan
Nilaiekstrimsuatufungsi :
Definisiadalah f fungsidengan domain Df
 f mempunyainilai minimum mutlak di
 f mempunyainilaimaksimummutlakpada
minimummutlakdanmaksimummutlakdisebutekstrimmutlak.
Teorema :
Teorema:Jika f mempunyai min ataumaks local di titik c D dan f’ ada, maka
f’ (c) =0
caramencarinilaiekstrimpadafungsikontinupada interval tertutupberhingga:
1. hitungsemuanilaipadatitikujungdantitikkritis
2. tentukannilaiterbesardan yang terkecil
Contoh :
Tentukan nilai ekstrim fungsi g!
Jawab :
a. titik – titikujungadalah t= – 1 dan t=2
t= – 1 ; g(– 1)=– 5
t= 2 ; g(2)= 4
b. titikkritis

25. 25
 Definisi :
1. Fungsi f dikatakanfungsinaikpada interval I jika f(x1) < f(x2) untuk x1<x2 ; x1 x2 I
2. Fungsi f dikatakanfungsiturunpada interval I jika f(x1)>f(x2) untuk x1>x2 ; x1x2 I
3. f naikatau f turundisebutfungsimonoton
teorema :Andaikan f kontinu pa [a,b] dandiferensiabelpada (a,b) maka
1. Jika f’(x)>0, x (a,b), maka f naik pada (a,b)
2. Jika f’(x)<0, x (a,b), maka f turun pada (a,b)
Contoh :
Gunakanujiturunanpertamauntukmenentukan interval dimana f naikatauturun.
Jawab :

26. 26
Ujitanda interval
+ – +
– 3 3
Jadi, f naikpada interval
fturunpada interval (– 3, 3)
 TeoremaUjiTurunanKedua : misal y=f(x) fungsi yang diferensiabeltingkat 2
pada interval I,
1. Jika f’(c)=0 dan f’’(c)<0, maka f mempunyaimaksimum local di x=c
2. Jika f’(c) =0 dan f’’(c)>0, maka f mempunyai minimum local di x=c
3. Jika f’(c)=0 dan f’’(c)=0, maka f mempunyaititikbelok di x=c
 TerapanMasalahOptimasi ( Applied Optimization Problems)
Menentukannilai x
Menentukanfungsioptimasi
Kendala / batasan / domain fungsi
Pengujiandilakukanpadatitikkritis :
a. Titik – titikujung interval
b. Titikdimanafungsioptimasi = 0
Soal !
Carilahukurankotak yang volumenyamaksimum.Berapakah volume kotakini ?
24 cm
9 cm
x
x
24 – 2x
9 – 2x

27. 27
 Fungsioptimasi :
 Kendala / batasan / Domain Fungsi
Sehingga domain fungsinya
 Pengujiandilakukanpadatitikkritis :
a. Titik – titikujung interval
x=0 ; V(x)=0
x=6 ; V(x)=0
b. Titikdimana V’(x)=0
syarat interval yaitu . Sehingga, nilai x yang kita ambil hanyalah
x=2 karena masuk dalam selang interval tadi.
x=2 ; V(2)= 200
jadi, Volume maksimumkotak 200 cm3
denganpanjang=20 cm, lebar= 5cm
dantinggi 2 cm

28. 28
 Teorema De L’Hopital : Andaikan f(a)=g(a)=0
f’(a),g(a) adadan g’(a)≠0
Maka :
Soal !
Tentukanharga Limit – Limit berikut !
1.
(bentuknya , oleh karena itu kita turunkan hingga bentuknya tidak mencapai )
2.
3. ( karena bentuknya , kita harus menurunkan hingga tidak )
4.
5.
( sama seperti yang di atas )
 FungsiTransenden
 FungsiPangkat
Teorema :bilangan Euler yaitu y=ex
Secaraumum: jika y=eu
, maka = eu
Masih 0/0

29. 29
Contoh :
1.
Jawab :Misal u=12x+5, maka =12
2.
 FungsiLogaritma
Definisi:ab
=c jikadanhanyajikaa
log c=b
Jika a=e=bilanganeuler, maka
e
logx=Lnx (Ln = Logaritma natural / napier)
 Sifat – SifatLogaritma :
1. a
log (bc)=a
log b + a
log c
2. a
logbc
= c a
log b
3. a
log b =
4. aa log x
=x
 Teorema: Misal y= Ln x, maka y’=
Secaraumum :jika y= Ln x, maka
Contoh :

30. 30
Jawab :
Misal ,