Transf2 d

ÑOÀ HOÏA MAÙY TÍNH

Caùc pheùp bieán ñoåi
trong ñoà hoïa hai chieàu

Daãn nhaäp
• Baûn chaát cuûa pheùp bieán ñoåi hình hoïc laø thay ñoåi caùc
moâ taû veà toïa ñoä cuûa ñoái töôïng, töø ñoù laøm ñoái töôïng
thay ñoåi veà höôùng, kích thöôùc, hình daïng.

• Coù hai quan ñieåm veà pheùp bieán ñoåi hình hoïc, ñoù laø:
♦ Bieán ñoåi ñoái töôïng : thay ñoåi toïa ñoä cuûa caùc ñieåm moâ taû
ñoái töôïng theo moät qui taéc naøo ñoù.

♦ Bieán ñoåi heä toïa ñoä : taïo ra moät heä toïa ñoä môùi vaø taát caû
caùc ñieåm moâ taû ñoái töôïng seõ ñöôïc chuyeån veà heä toïa ñoä
môùi.

• Caùc pheùp bieán ñoåi hình hoïc cô sôû : tònh tieán, quay,
bieán ñoåi tæ leä.

Caùc pheùp bieán ñoåi hình hoïc cô sôû
• Moät pheùp bieán ñoåi ñieåm laø moät aùnh xaï T :
T : R2 → R2
P(x, y) a Q(x' , y')

• Hay T laø haøm soá T(x, y) theo hai bieán (x, y) :

 x' = f (x, y)

 y' = g (x, y)

Döông Anh Ñöùc, Leâ Ñình Duy Caùc pheùp bieán ñoåi trong ñoà hoïa 2 chieàu 1/16


• Pheùp bieán ñoåi affine laø pheùp bieán ñoåi vôùi f (x, y) vaø
g (x, y) laø caùc haøm tuyeán tính. Pheùp bieán ñoåi naøy coù
daïng :

 x' = ax + cy + e
 , a, b, c, d, e, f ∈ R, ad − bc ≠ 0
 y' = bx + dy + f

• Ta chæ khaûo saùt caùc pheùp bieán ñoåi affine, neân seõ
duøng cuïm töø “pheùp bieán ñoåi” thay cho “pheùp bieán ñoåi
affine”

Pheùp tònh tieán
• Pheùp tònh tieán duøng ñeå dòch chuyeån ñoái töôïng töø vò
trí naøy sang vò trí khaùc.

y y

Q

try
(2,3) (4,3)
P trx
(6,1) (8,1)
x x
(a) (b)

• Neáu goïi trx vaø try laàn löôït laø ñoä dôøi theo truïc hoaønh
vaø truïc tung thì toïa ñoä cuûa ñieåm môùi Q(x' , y') sau khi
tònh tieán ñieåm P (x, y) seõ laø :

 x' = x + trx
 ,
 y' = y + try
(tr , tr ) ñöôïc goïi laø vector tònh tieán hay vector ñoä dôøi.
x y



Pheùp bieán ñoåi tæ leä
• Pheùp bieán ñoåi tæ leä laøm thay ñoåi kích thöôùc ñoái
töôïng. Ñeå co hay giaõn toïa ñoä cuûa moät ñieåm P(x, y)
theo truïc hoaønh vaø truïc tung laàn löôït laø s x vaø s y , ta
nhaân s x vaø s y laàn löôït cho caùc toïa ñoä cuûa P.

 x' = s x .x
 , s x vaø s y ñöôïc goïi laø caùc heä soá tæ leä.
 y' = s y . y

• Khi caùc giaù trò s x , s y nhoû hôn 1, pheùp bieán ñoåi seõ
thu nhoû ñoái töôïng, ngöôïc laïi khi caùc giaù trò naøy lôùn
hôn 1, pheùp bieán ñoåi seõ phoùng lôùn ñoái töôïng.

• Khi s x , s y baèng nhau, ta goïi ñoù laø pheùp ñoàng daïng
(uniform scaling), pheùp ñoàng daïng laø pheùp bieán ñoåi
baûo toaøn tính caân xöùng cuûa ñoái töôïng.

y

(2,3) (4,3)

(5,1.5) (10,1.5)

x

• Taâm tæ leä laø ñieåm khoâng bò thay ñoåi qua pheùp bieán
ñoåi tæ leä.

• Nhaän xeùt raèng khi pheùp bieán ñoåi tæ leä thu nhoû ñoái
töôïng, ñoái töôïng seõ ñöôïc dôøi veà gaàn goác toïa ñoä hôn,
töông töï khi phoùng lôùn ñoái töôïng, ñoái töôïng seõ ñöôïc
dòch chuyeån xa goác toïa ñoä hôn.



Pheùp quay
• Pheùp quay laøm thay ñoåi höôùng cuûa ñoái töôïng.

• Moät pheùp quay ñoøi hoûi phaûi coù taâm quay, goùc quay.
Goùc quay döông thöôøng ñöôïc quy öôùc laø chieàu ngöôïc
chieàu kim ñoàng hoà. Ta coù coâng thöùc bieán ñoåi cuûa
pheùp quay ñieåm P (x, y) quanh goác toïa ñoä moät goùc α :

 x' = cos α .x − sin α . y

 y' = sin α .x + cos α . y

y

x



Heä toïa ñoä thuaàn nhaát
• Toïa ñoä thuaàn nhaát cuûa moät ñieåm treân maët phaúng
ñöôïc bieåu dieãn baèng boä ba soá tæ leä (x h , y h , h) khoâng
ñoàng thôøi baèng 0 vaø lieân heä vôùi caùc toïa ñoä (x, y) cuûa
ñieåm ñoù bôûi coâng thöùc :
xh yh
x= , y=
h h

• Neáu moät ñieåm coù toïa ñoä thuaàn nhaát laø (x, y, z) thì noù
cuõng coù toïa ñoä thuaàn nhaát laø (h.x, h. y, h.z) trong ñoù h
laø soá thöïc khaùc 0 baát kì.

• Moãi ñieåm P (x, y) seõ ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng toïa ñoä
thuaàn nhaát laø (x, y,1) .



Bieåu dieãn ma traän cuûa caùc pheùp bieán ñoåi
• Pheùp tònh tieán
 1 0 0
 
( x' y' 1) = (x y 1). 0 1 0
 
 trx try 1

 1 0 0
 
( ) vôùi M T (trx , try ) =  0 1 0
hay Q = P.M T trx , try  
 trx try 1

• Pheùp bieán ñoåi tæ leä
 sx 0 0
 
(x' y' 1) = (x y 1). 0 sy 0
0 0 1
 

 sx 0 0
 
M S (s x , s y ) =  0
hay Q = P.M S (s x , s y ) vôùi
sy 0
0 0 1
 

• Pheùp quay quanh goác toïa ñoä

 cos α sin α 0
 
(x' y' 1) = (x y 1). − sin α cos α 0
 0 0 1
 

 
M R (α ) =  − sin α cos α 0
hay Q = P.M R (α ) vôùi  0
 0 1




Keát hôïp caùc pheùp bieán ñoåi
• Quaù trình aùp duïng caùc pheùp bieán ñoåi lieân tieáp ñeå taïo
neân moät pheùp bieán ñoåi toång theå ñöôïc goïi laø söï keát
hôïp caùc pheùp bieán ñoåi (composing transformation)

Keát hôïp caùc pheùp tònh tieán
• Neáu ta thöïc hieän pheùp tònh tieán leân P (x, y) ñöôïc P’ ,
roài laïi thöïc hieän tieáp moät pheùp tònh tieán khaùc leân P’,
ta ñöôïc ñieåm Q( x' , y') . Nhö vaäy, Q laø aûnh cuûa pheùp
bieán ñoåi keát hôïp hai pheùp tònh tieán lieân tieáp
M T1 (trx1 , try1 ) vaø M T 2 (trx 2 , try2 ) coù toïa ñoä :

Q = {P.M T1 (trx1 , try1 )} M T 2 (trx 2 , try 2 ) = P.{M T1 (trx1 , try1 ).M T 2 (trx 2 , try2 )}
.

• Ta coù :

 1 0 0  1 0 0
  
M T1 (trx1 , try1 ).M T 2 (trx 2 , try2 ) =  0 1 0 . 0 1 0
  
 trx1 try1 1   trx 2 try2 1

 1 0 0
 
= 0 1 0
 
 trx1 + trx 2 try1 + try2 1

hay : M T1 (trx1 , try1 ).M T 2 (trx 2 , try 2 ) = M T (trx1 + trx 2 , try1 + try 2 )

• Vaäy keát hôïp hai pheùp tònh tieán laø moät pheùp tònh
tieán. Töø ñoù ta coù keát hôïp cuûa nhieàu pheùp tònh tieán
cuõng laø moät pheùp tònh tieán.



Keát hôïp caùc pheùp bieán ñoåi tæ leä
• Töông töï nhö pheùp tònh tieán, ta coù toïa ñoä ñieåm
Q(x' , y') laø ñieåm coù ñöôïc sau khi keát hôïp hai pheùp tæ
leä M S1 (s x1 , s y1 ) vaø M S 2 (s x 2 , s y 2 ) laø :

Q = {P.M S1 (s x1 , s y1 )} M S 2 (s x 2 , s y 2 ) = P.{M S1 (s x1 , s y1 ).M S 2 (s x 2 , s y 2 )}
.

• Ta coù :

 s x1 0 0  s x2 0 0
  
M S1 (s x1 , s y1 ).M S2 (s x 2 , s y2 ) =  0 s y1 0 . 0 s y2 0
 0 0 1  0 0 1
  

 s x1 .s x 2 0 0
 
= 0 s y1 .s y 2 0
 0 0 1
 

hay : M S1 (s x1 , s y1 ).M S2 (s x 2 , s y2 ) = M S (s x1 .s x 2 , s y1 .s y2 )

• Vaäy keát hôïp hai pheùp tæ leä laø moät pheùp tæ leä. Deã
daøng môû roäng cho keát quaû : keát hôïp cuûa nhieàu pheùp
tæ leä cuõng laø moät pheùp tæ leä.



Keát hôïp caùc pheùp quay
• Töông töï, ta coù toïa ñoä ñieåm Q(x' , y') laø ñieåm phaùt
sinh sau khi keát hôïp hai pheùp quay quanh goác toïa ñoä
M R1 (α 1 ) vaø M R 2 (α 2 ) laø :

Q = {P.M R1 (α 1 )}.M R2 (α 2 ) = P.{M R1 (α 1 ).M R2 (α 2 )}

• Ta coù :

 cos α 1 sin α 1 0   cos α 2 sin α 2 0
  
M R1 (α 1 ).M R 2 (α 2 ) =  − sin α 1 cos α 1 0 . − sin α 2 cos α 2 0
 0 0 1  0 0 1
  

 cos(α 1 + α 2 ) sin(α 1 + α 2 ) 0 
 
=  − sin(α 1 + α 2 ) cos(α 1 + α 2 ) 0 
 0 0 1
 

hay : M R1 (α 1 ).M R 2 (α 2 ) = M R (α 1 + α 2 )

• Vaäy keát hôïp hai pheùp quay quanh goác toïa ñoä laø moät
pheùp quay quanh goác toïa ñoä. Töø ñoù deã daøng suy ra
keát hôïp cuûa nhieàu pheùp quay quanh goác toïa ñoä cuõng
laø moät pheùp quay quanh goác toïa ñoä.



Pheùp quay coù taâm quay laø ñieåm baát kì
• Giaû söû taâm quay coù toïa ñoä I (x R , y R ) , ta coù theå xem
pheùp quay quanh taâm I moät goùc α ñöôïc keát hôïp töø
caùc pheùp bieán ñoåi cô sôû sau :
♦ Tònh tieán theo vector tònh tieán (− x R ,− y R ) ñeå dòch chuyeån
taâm quay veà goác toïa ñoä (ñöa veà tröôøng hôïp quay quanh
goác toïa ñoä).

♦ Quay quanh goác toïa ñoä moät goùc α .

♦ Tònh tieán theo vector tònh tieán (x R , y R ) ñeå ñöa taâm quay
veà laïi vò trí ban ñaàu.

y y y y

I(xR,yR) I(xR,yR)
α
x x x x
(a) (b) (c) (d)

• Ta coù ma traän cuûa pheùp bieán ñoåi :
M R (x R , y R , α ) = M T (− x R ,− y R ).M R (α ).M T (x R , y R )

 1 0 0   cos α sin α 0  1 0 0
   
= 0 1 0 . − sin α cos α 0 . 0 1 0
− x − yR 1  0 0 1  xR yR 1
 R   

 
= − sin α cos α 0
 (1 − cos α )x + sin α . y − sin α .x R + (1 − cos α ) y R 1
 R R 



Moät soá tính chaát cuûa pheùp bieán ñoåi affine
• Baûo toaøn ñöôøng thaúng : aûnh cuûa ñöôøng thaúng qua
pheùp bieán ñoåi affine laø ñöôøng thaúng.
♦ Ñeå bieán ñoåi moät ñoaïn thaúng qua hai ñieåm A vaø B, chæ
caàn thöïc hieän pheùp bieán ñoåi cho A vaø B.

♦ Ñeå bieán ñoåi moät ña giaùc, chæ caàn thöïc hieän pheùp bieán ñoåi
ñoái vôùi caùc ñænh cuûa ña giaùc.

• Baûo toaøn tính song song : aûnh cuûa hai ñöôøng thaúng
song song laø song song.
♦ AÛnh cuûa caùc hình vuoâng, hình chöõ nhaät, hình thoi, hình
bình haønh sau pheùp bieán ñoåi laø hình bình haønh.

• Baûo toaøn tính tæ leä veà khoaûng caùch : Neáu ñieåm C chia
ñoaïn AB theo tæ soá t thì aûnh cuûa C cuõng seõ chia aûnh
cuûa ñoaïn AB theo tæ soá t.
♦ Trong hình vuoâng, caùc ñöôøng cheùo caét nhau taïi trung
ñieåm cuûa moãi ñöôøng neân caùc ñöôøng cheùo cuûa baát kì hình
bình haønh naøo cuõng caét nhau taïi trung ñieåm cuûa moãi
ñöôøng.

♦ Trong tam giaùc ñeàu, giao ñieåm cuûa ba ñöôøng trung tuyeán
chia moãi ñöôøng theo tæ soá 1:2. Do aûnh cuûa tam giaùc ñeàu
qua pheùp bieán ñoåi affine laø moät tam giaùc neân giao ñieåm
cuûa caùc ñöôøng trung tuyeán trong moät tam giaùc cuõng seõ
chia chuùng theo tæ leä 1:2.



Pheùp ñoái xöùng
• Pheùp ñoái xöùng truïc coù theå xem laø pheùp quay quanh
truïc ñoái xöùng moät goùc 1800.

 1 0 0
 
M Rfx =  0 − 1 0
• Truïc ñoái xöùng laø truïc hoaønh :  0 0 1
 

 − 1 0 0
 
M Rfy =  0 1 0
• Truïc ñoái xöùng laø truïc tung :  0 0 1
 

Pheùp bieán daïng
• Pheùp bieán daïng laø pheùp bieán ñoåi laøm thay ñoåi, meùo
moù hình daïng cuûa caùc ñoái töôïng.

• Bieán daïng theo phöông truïc x seõ laøm thay ñoåi hoaønh
 1 0 0
 
ñoä coøn tung ñoä vaãn giöõ nguyeân : M Shx =  shxy
 0
1 0
 0 1


• Bieán daïng theo phöông truïc y seõ laøm thay ñoåi tung
 1 sh yx 0
 
ñoä coøn hoaønh ñoä vaãn giöõ nguyeân : M Shy = 0
0
1 0
 0 1


y

(1,3) (3,3) (10,3) (12,3)

(1,1) (3,1) (4,1) (6,1)
x



Pheùp bieán ñoåi ngöôïc
• Pheùp bieán ñoåi ngöôïc duøng ñeå undo moät pheùp bieán ñoåi
ñaõ thöïc hieän.

• Q laø aûnh cuûa P qua pheùp bieán ñoåi T coù ma traän bieán
ñoåi M laø : Q = PM , neân pheùp bieán ñoåi ngöôïc T-1 seõ
coù ma traän bieán ñoåi laø M-1 vôùi M-1 laø ma traän nghòch
ñaûo cuûa ma traän M.

• Vôùi giaû thieát ban ñaàu veà ma traän M laø ad − bc ≠ 0 ,
ta coù coâng thöùc tính ma traän nghòch ñaûo M-1 cuûa
 a b 0  d −b 0
  1  
M =  c d 0 M −1 =  −c a 0
 e f 1 laø : ad − bc 
   cf − de be − af 1


• Ma traän cuûa caùc pheùp bieán ñoåi ngöôïc cuûa caùc pheùp
bieán ñoåi cô sôû tònh tieán, tæ leä, quay :

 1 0 0
 
M T1 (trx , try ) =  0
−
1 0  = M T (− trx ,− try )
 
 − trx − try 1

 1 
 0 0
 sy 0 0  sx 
1    1   1 1 
M S1 (s x , s y ) =
−
0 sx 0 = 0 0 = M S  , 
sx s y  sy  sx s y 
0 0 1

   
 0 0 1
 
 

 cos α − sin α 0
 
M R1 (α ) =  sin α
−
cos α 0  = M R (− α )
 0 0 1
 



Phaân raõ pheùp bieán ñoåi
• Moät pheùp bieán daïng theo phöông truïc x coù theå ñöôïc
phaân raõ thaønh tích cuûa moät pheùp bieán ñoåi tæ leä vaø
moät pheùp bieán daïng ñôn vò, vaø vôùi moät pheùp bieán ñoåi
tæ leä khaùc theo coâng thöùc sau :
 1 
 0 0
 1

0 0
  shxy  1 0 0  shxy
 
0 0

 shxy 1 0 = 0 1 0  1 1 0  0 1 0
 0  
 0 1
  0 0 1  0 0 1  0
  0 1

 
 

• Pheùp bieán daïng ñôn vò coøn coù theå ñöôïc phaân raõ tieáp :

 1 0 0   cos α − sin α 0  φ 0 0  cos β sin β 0
     
 1 1 0  =  sin α cos α 0  0 1 0  − sin β cos β 0
 0 0 1  0  φ 
   0 1  0 0 1  0
 0 1
 

α = tan −1 (φ ) = 58.28 0

trong ñoù β = tan −1  1  = 31.72 0
  
φ 
  

• Töø ñoù, moät pheùp bieán ñoåi baát kì coù theå ñöôïc phaân raõ
thaønh caùc pheùp bieán ñoåi cô sôû sau :
 a b 
 0
 a b 0  1 0 0  Q 0 0  Q Q  1 0 0 
   ac + bd 
ad − bc

 b a  
 c d 0 =  1 0  0 0  − 0  0 1 0 
 e f 1   Q2  Q  Q Q
  
   0 0 1  0
 0 1  0
 0 1  e f 1 
 
 

2 2 2
trong ñoù Q = a + b

• Suy ra : Baát kì pheùp bieán ñoåi naøo cuõng ñöôïc keát hôïp
töø caùc pheùp tònh tieán, tæ leä vaø quay.



Pheùp bieán ñoåi giöõa caùc heä toïa ñoä
• Ñeå thuaän tieän cho vieäc moâ taû ñoái töôïng, thoâng
thöôøng ñoái töôïng seõ ñöôïc moâ taû trong caùc heä toïa ñoä
cuïc boä gaén vôùi chuùng. Tuy nhieân ñeå coù theå hieån thò
toaøn boä moät aûnh bao goàm nhieàu ñoái töôïng thaønh
phaàn, caùc moâ taû naøy phaûi ñöôïc chuyeån veà moät heä toïa
ñoä chung duy nhaát.

• Vieäc chuyeån ñoåi naøy thöôøng ñöôïc chia laøm hai loaïi :
chuyeån töø caùc heä toïa ñoä khoâng phaûi laø heä toïa ñoä
Descartes nhö heä toïa ñoä cöïc, heä toïa ñoä caàu, heä toïa ñoä
elliptic, … sang heä toïa ñoä Descartes, vaø chuyeån ñoåi
giöõa hai heä toïa ñoä Descartes. Trong phaàn naøy chuùng
ta seõ khaûo saùt pheùp bieán ñoåi giöõa hai heä toïa ñoä
Descartes vôùi nhau.



• Giaû söû ta coù heä toïa ñoä (I) coù goác toïa ñoä O vaø caùc
vector ñôn vò laàn löôït laø i, j . Heä toïa ñoä (II) laø aûnh
cuûa heä toïa ñoä (I) qua pheùp bieán ñoåi T(M), coù goác toïa
ñoä laø O’ vaø caùc vector ñôn vò laàn löôït laø u, v .

• Luùc naøy moät ñieåm P (x, y) baát kì trong heä toïa ñoä (I)
seõ ñöôïc bieán ñoåi thaønh ñieåm Q(a, b) trong heä toïa ñoä
(II). Vaán ñeà ñaët ra ôû ñaây laø moái lieân heä giöõa a, b vôùi
x, y, M nhö theá naøo.

−1
• Ngöôøi ta chöùng minh ñöôïc raèng Q = PM

P

v
u
O'

j
O i


Transf2 d

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

Transf2 d