1. ADAPTACIÓ CURRICULAR INDIVIDUALITZADA (TEMA 7: PROPORCIONALITAT)
DESTINATARIS
Alumnat nouvingut de llengües romàniques que ha estat menys de dos anys a l'Estat Espanyol que tingui un nivell de competència matemàtica
de 2n d'ESO, i amb nivell de competència lingüística d'un nivell de A.1. assolit.
TEMPORALITZACIÓ OBJECTIUS CONTINGUTS METODOLOGIA AVALUACIÓ
Tres setmanes •Identificar una proporció i Es realitzarà una •Determinar la raó de dos
distingir els seus adaptaci. curricular , nombres en problemes
components. •Raó de proporcionalitat. consistent situats en l'àmbit de la vida
•Esbrinar si dos raons Proporció. fonamentalment en quotidiana.
(quatre hores per setmana) formen una proporció. l’omissió d’alguns •Calcular els diferents
•Emprar la raó de 1.Propietats de les proporcions elements d'una proporció i
proporcionalitat en la continguts i en la situar-los en una taula.
resolució de problemes. •Proporcionalitat directa utilització d’una •Calcular el valor d'una
•Calcular el terme metodologia magnitud desconeguda a
desconegut d'una proporció. 1.Mètode de reducció a la unitat personalitzada al màxim. partir de les propietats de les
•Distingir la proporcionalitat 2.Regla de tres directa proporcions.
directa de la inversa. Per facilitar la dita •Resoldre problemes de
•Identificar parelles de •Proporcionalitat inversa metodologia s’ha proporcionalitat tenint en
magnituds directament d’elaborar un material compte les propietats de les
proporcionals, conèixer el 1.Mètode de reducció a la unitat espec.fic en què primen proporcions.
seu comportament i resoldre 2.Regla de tres inversa les activitats •Calcular quarts i mitjans
problemes de proporcionals.
proporcionalitat directa. •Proporcionalitat composta relacionades amb els •Distingir i calcular
•Distingir parelles de •Percentatges aspectes b.sics del fraccions de proporcionalitat
magnituds inversament curr.culum. inversa.
proporcionals, conèixer el 1.Definició de percentatge o tant •Aplicar la regla de tres
seu comportament i resoldre per cent La metodologia utilitzada (directa o inversa) en la
problemes de en les adaptacions resolució de diferents
2. proporcionalitat inversa. 2.Problemes de percentatges problemes de la vida
•Operar utilitzant els curriculars de l’ﾁ rea de quotidiana.
mètodes de reducció a la •Augments percentuals Matem.tiques en el •Completar taules que
unitat i la regla de tres. •Disminucions percentuals primer cicle de segueixen la mateixa raó de
•Comprendre el concepte de proporcionalitat.
percentatge. •Repartiments proporcionals l’ESO es basa •Calcular percentatges d'una
•Identificar cada un dels fonamentalment en quantitat donada.
elements d'un percentatge. aquests tres punts: •Resoldre problemes reals
•Aplicar la regla de tres on apareguin percentatges.
simple. a) Reducció d’alguns •Resoldre problemes de
•Calcular percentatges de continguts curriculars. proporcionalitat composta.
nombres daus i resoldre •Calcular augments i
problemes amb b) Explicació te.rica disminucions percentuals,
percentatges. seguida d’algunes tant en quantitats ja donades
•Identificar l'ús dels activitats pr.pies dels com en problemes
percentatges en importants conceptes desenrotllats. relacionats amb l'àmbit
àmbits de la vida quotidiana. quotidià.
•Utilitzar la proporcionalitat c) Gran quantitat
composta en la resolució de d’activitats variades: •Valora l'ús dels
problemes. completar, comprovar, percentatges en problemes
jocs, etc. aritmètics en l'àmbit de la
•Resoldre problemes de
vida quotidiana:
repartiments proporcionals. Tot això fa que l’alumne repartiments proporcionals,
estiga més motivat, mescles i mòbils.
tingui una actitud m.s
favorable cap a les
Matem.tiques i,
sobretot, vaja aprenent
per si sol per mitjà de la
realització d’activitats
propostes i dirigides.
glossari de termes
5. ACTIVITATS D'INICIACIÓ I CONEIXEMENTS PREVIS
Primer hem de recordar uns conceptes:
1.- El que són les fraccions equivalents:
Dues fraccions són equivalents (valen el mateix) si representen el mateix nombre decimal.
1 2
Per exemple: val el mateix que , perquè si en cada cas facem la divisió del numerador pel seu denominador ens donarà el mateix resultat: 0,5.
2 4
a c
Per a què dues fraccions siguin equivalents ( = ) es necessari que es compleixi la següent condició: a · d = b · c
b d
1 2
Per exemple: = → 1·4=2·2→ 4=4
2 4
2.- El que és la raó:
La raó és el quocient indicat (és la divisió) entre dos nombres.
6. 4
Per exemple, imagina un jugador de bàsquet que de cada sis tirs lliures encerta quatre. La seva raó seria .
6
3.- El que és la proporció:
La proporció és la igualtat entre dues raons.
Per exemple: en Javi encerta quatre de cada sis tirs lliures i en Mohamed encerta sis de cada nou. Quin dels dos és el millor?
4 6 4 6
La raó d’en Javi és i la raó d’en Mohamed és . Si facem les divisions, ens surt que tots dos donen 0,666.... Per tant, i són iguals. En Javi i
6 9 6 9
en Mohamed són igual de bons al bàsquet.
4.- El que és la constant de proporcionalitat:
La constant de proporcionalitat és el quocient (resultat de la divisió) de qualsevol de les raons que intervenen en una proporció. Ja l’hem vist a l’apartat
3:
4 6
= = 0,666...
6 9
Exercici:
A en Javi i en Mohamed els agrada jugar a bàsquet. En Javi encerta 1 de cada 3 tirs lliures i en Mohamed n’encerta 2 de cada 6. Quin dels dos és
millor? Opera així:
1r: escriu la raó d’en Javi i d’en Mohamed.
2n: aquestes raons són equivalents? Demostra-ho.
7. 3r: si les raons són equivalents (són iguals), es pot dir que hi ha proporció entre ells?
_________________________________________________________________________________
Idò, ja podem començar amb el tema 7......
ACTIVITATS DE DESENVOLUPAMENT
1.- RELACIONS ENTRE ELS TERMES D’UNA PROPORCIÓ
a c
Ja hem vist el que són les fraccions equivalents. Per a què dues fraccions siguin equivalents ( = ) es necessari que es compleixi la següent condició:
b d
a·d=b·c Això pot ser molt útil quan no coneixem el que val la a, la b, la c o la d.
x 2
Per exemple: = ; no sabem què val la x, però després de veure el tema 6 (Equacions i sistemes d’equacions) sabem que això és una equació i, a
2 4
més a més, la sabem resoldre:
x 2 2⋅2 4
= → x= → x= → x=1
2 4 4 4
Exercicis:
8. x 4
1.- Troba el que val la x: =
5 10
1 8
2.- Troba el que val la x: =
5 x
2 x
3.- Troba el que val la x: =
4 10
2.- MAGNITUDS DIRECTAMENT PROPORCIONALS I MAGNITUDS INVERSAMENT PROPORCIONALS
Imagina els següents casos:
1.- Un nin beu 1 litre de llet cada dia. Quants litres de llet beurà a la setmana?
9. És evident que quants més dies passin, més llet haurà begut el nin. En aquest cas el resultat es pot fer de cap; després d’una setmana el nin haurà begut
7 litres de llet.
En aquest cas, podem dir que les magnituds són directament proporcionals perquè a més dies, més llet (i, igualment, a menys dies, menys llet).
2.- Un pintor triga 6 dies en pintar una casa. Quants dies trigaran 2 pintors?
És evident que quants més pintors hi hagi per a fer la mateix feina, menys dies trigaran en acabar-la.
En aquest cas el resultat es pot fer de cap; si un pintor tarda 6 dies, dos pintors tardaran la meitat, és a dir, 3 dies.
En aquest cas, podem dir que les magnituds són inversament proporcionals perquè a més pintors, menys dies (i, igualment, a menys pintors, més
dies).
Resumint:
- En les magnituds directament proporcionals si s’augmenta o es disminueix una magnitud, l’altra magnitud augmenta o disminueix en la mateixa
proporció.
- En les magnituds inversament proporcionals si s’augmenta o es disminueix una magnitud, l’altra magnitud disminueix o augmenta en la mateixa
proporció.
Exercici:
Digues si les següents magnituds són directament proporcionals o inversament proporcionals:
-El nombre de dónuts que un client d’un bar es menja i els euros que paga.
-El nombre de pintors contractats i el temps que tardaran en pintar una casa.
-La velocitat d’un atleta i el temps que tardarà en acabar un recorregut.
10. 3.- LA REGLA DE TRES DIRECTA I LA REGLA DE TRES INVERSA
La regla de tres directa:
La regla de tres directa és un procediment per a resoldre problemes amb magnituds directament proporcionals.
Per exemple: si de dilluns a divendres, en Joan es menja un dónut cada dia, quants s’haurà menjat al cap d’una setmana.?
Es resol així:
1r pas: hem de veure si es tracte de magnituds directament o inversament proporcionals. Veiem que és tracta de magnituds directament proporcionals
perquè a més dies, més dónuts.
2n pas: hem de plantejar la regla de tres.
Si en un dia es menja un dónut 1 dia → 1 dónut
En 5 dies es menjarà x dónuts 5 dies → x dónuts
3r pas: hem de plantejar la proporció i resoldre la regla de tres.
1dia 1dónut
Com que són magnituds directament proporcionals s’estableix la proporció següent: = → 1 dia · x dónuts = 5 dies · 1
5dies xdónuts
5dies ⋅ 1dónut
dónut → x dónuts = = 5 dónuts
1dia
Amb la qual cosa, en 5 dies s’haurà menjat 5 dónuts.
11. La regla de tres inversa:
La regla de tres inversa és un procediment per a resoldre problemes amb magnituds inversament proporcionals.
Per exemple: si un pintor triga 6 dies en pintar un bloc de pisos, quants dies trigaran 2 pintors?
Es resol així:
1r pas: hem de veure si es tracte de magnituds directament o inversament proporcionals. Veiem que és tracta de magnituds inversament proporcionals
perquè a més pintors, menys dies.
2n pas: hem de plantejar la regla de tres.
Si un pintor triga 6 dies 1 pintor → 6 dies
2 pintors trigaran x dies 2 pintors → x dies
3r pas: hem de plantejar la proporció i resoldre la regla de tres.
Com que són magnituds inversament proporcionals s’estableix la proporció següent: 1 pintor · 6 dies = 2 pintors · x dies → x dies =
6dies ⋅ 1 pitor
= 3 dies
2 pitors
Amb la qual cosa, 2 pintors trigaran 3 dies.
Exercicis:
1.- Si un nen beu 2 litres de llet al dia, quants litres beurà a la setmana?
12. 2.- Si el preu de 5 fotocòpies és 0,75€, quin és el preu de 500 fotocòpies?
3.- A 100km/h, un cotxe triga 2 hores en fer un trajecte. A quina velocitat aniria el cotxe si fa el trajecte en 3 hores?
4.- Tres aixetes iguals tarden 15 hores en omplir un dipòsit d’aigua. Quant de temps trigarien a omplir el mateix dipòsit dues aixetes?
13. 4.- PERCENTATGES (%)
Segur que et sonen els percentatges. Per exemple, a qualsevol diari es podria llegir “el partit polític de l’oposició ha obtingut el 42% (percent) dels vots,
mentre que el partit governant només ha obtingut el 39%....”. Aquí, un tant per cent és una raó de denominador 100. Per exemple, el 39% es pot
39
representar com .
100
Les regles de tres també ens serveixen per a calcular percentatges. Veiem un exemple:
Si a un centre comercial s’aplica una rebaixa del 25% als articles de papereria i un quadern val 12€ abans del descompte, quin és el preu del quadern
amb la rebaixa?
1r pas: això el podem plantejar com a una regla de tres directa:
Si el 100% del preu són 12€ 100% → 12€
El 75% del preu serà x 75% → x €
2n pas: hem de plantejar la proporció i resoldre la regla de tres.
14. 100% 12euros 12euros ⋅ 75%
= → x€= =9€
75% xeuros 100%
Amb la qual cosa, amb una rebaixa del 25%, només pagarem 9 €.
Exercicis:
1.- Si només tres de cada cinc alumnes de la teva classe aprovaran matemàtiques, quin serà el percentatge d’aprovats?
2.- Si el preu d’una bicicleta és 300€ i té un descompte del 10%, quant pagarem finalment?
ACTIVITATS DE SÍNTESI
15. http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/2esomatematicas_cat/2quincena4/index2_4.htm
ACTIVITATS D'AVALUACIÓ
Exercici 1. A en Javi i en Mohamed els agrada jugar a bàsquet. En Javi encerta 4 de cada 6 tirs lliures i en Mohamed n’encerta 6 de cada 9. Quin dels
dos és millor? Opera així:
1r: escriu la raó d’en Javi i d’en Mohamed.
2n: aquestes raons són equivalents? Demostra-ho.
3r: si les raons són equivalents (són iguals), es pot dir que hi ha proporció entre ells?
(3 punts)
Exercici 2. Digues si les següents magnituds són directament proporcionals o inversament proporcionals:
-El nombre de donuts que un client d’un bar es menja i els euros que paga.
-El nombre de pintors contractats i el temps que tardaran en pintar una casa.
-La velocitat d’un atleta i el temps que tardarà en acabar un recorregut.
-La distància que recor un cotxe (a velocitat constant) i el consum de benzina.
-Les hores extres que fa un treballador i els sous que guanyarà a final de mes.
16. (1 punt)
Exercici 3. Si un nen beu 2 litres de llet al dia, quants litres beurà a la setmana?
(1 punt)
Exercici 4. Si el preu de 5 fotocòpies és 0,75€, quin és el preu de 500 fotocòpies?
(1 punt)
Exercici 5. A 100km/h, un cotxe triga 2 hores en fer un trajecte. A quina velocitat aniria el cotxe si fa el trajecte en 3 hores?
(1 punt)
Exercici 6. Tres aixetes iguals tarden 15 hores en omplir un dipòsit d’aigua. Quant de temps trigarien a omplir el mateix dipòsit dues aixetes?
17. (1 punt)
Exercici 7. Si només tres de cada cinc alumnes de la teva classe aprovaran aquest examen de matemàtiques, quin serà el percentatge d’aprovats?
(1 punt)
Exercici 8. Si el preu d’una bicicleta és 300€ i té un decompte del 10%, quant pagarem finalment?
(1 punt)
NOTA: No es pot utilitzar calculadora. La duració de l’examen és de 55 minuts.
