3. Dualitas dan Analisis Postoptimal
Hubungan primal-dual
• Dual adalah permasalahan PL yang diturunkan secara matematik dari
primal PL tertentu.
• Setiap permasalahan primal selalu mempunyai pasangan dual dan
sebaliknya.
• Solusi optimal pada dual secara otomatis akan menghasilkan solusi
optimal pada primal dan sebaliknya.
• Penyelesaian bentuk dual sama halnya dengan bentuk primal yaitu
juga dilakukan dari bentuk standar.
3
Teknik Riset Operasi 13.12.11
4. • Bentuk standar PL secara umum adalah :
Maksimumkan atau minimumkan
Z = ∑cjxj
terhadap
∑aijxj = bi
xj ≥ 0
variabel xj termasuk variabel keputusan, slack, surplus dan artificial
4
Teknik Riset Operasi 13.12.11
6. Tabel di atas menunjukkan bahwa dual didapatkan secara simetris dari
primal sesuai dengan aturan berikut :
• Untuk setiap pembatas primal ada variabel dual
• Untuk setiap variabel primal ada pembatas dual
• Koefisien pembatas variabel primal membentuk koefisien pembatas
dual; koefisien fungsi tujuan variabel yang sama dari primal menjadi
nilai kanan pembatas dual
Aturan di atas menunjukkan bahwa permasalahan dual akan mempunyai
sejumlah m variabel (y1, y2,..., ym) dan sejumlah n pembatas ( sesuai
dengan x1, x2, …, xn).
6
Teknik Riset Operasi 13.12.11
7. • Elemen lain dari permasalahan dual ditentukan dengan cara seperti
yang ditunjukkan tabel di bawah.
7
Teknik Riset Operasi 13.12.11
8. Contoh 1
Diberikan bentuk primal di bawah, tentukanlah bentuk dual
yang sesuai.
Minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2
Kendala: x1 + x2 = 90
0.001x1 + 0.002x2 ≤ 0.9
0.09x1 + 0.6x2 ≥ 27
0.02x1 + 0.06x2 ≤ 4.5
x1, x2 ≥ 0
8
Teknik Riset Operasi 13.12.11
9. Penyelesaian contoh 1
• Bentuk umum di atas diubah terlebih dahulu menjadi bentuk baku /
standar, yaitu :
9
Teknik Riset Operasi 13.12.11
10. • Bentuk dualnya terdiri dari 4 variabel dan 2 pembatas, yaitu :
10
Teknik Riset Operasi 13.12.11
11. Contoh 2
• Diberikan bentuk primal di bawah, tentukanlah bentuk dual yang sesuai .
11
Teknik Riset Operasi 13.12.11
13. Solusi dual optimal
• Solusi optimal dual dapat diperoleh secara langsung dari tabel primal
optimal. Bentuk matriks primal adalah :
13
Teknik Riset Operasi 13.12.11
14. • Misal B adalah basis primal optimal dan CB adalah koefisien fungsi
tujuan variabel basis tersebut, maka :
Y = CB B-1
adalah solusi dual optimal.
Solusi optimal fungsi tujuan adalah :
w = Yb = CB B-1 b
Solusi optimal fungsi tujuan primal adalah ;
z = CB XB = CB B-1 b
Permasalahan primal mencari solusi optimal, sedangkan permasalahan
dual mencari solusi layak.
14
Teknik Riset Operasi 13.12.11
