http://tailieu.vncty.com/index.php

1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐỖ DIỆP ANH
PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – 2009

2. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐỖ DIỆP ANH
PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS VŨ VINH QUANG
THÁI NGUYÊN - 2009

3. Môc lôc
Më ®Çu 2
Ch­¬ng 1. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n 6
1.1. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¸c kh«ng gian hµm . . . . . . . . . 6
1.2. Lý thuyÕt vÒ ph­¬ng tr×nh elliptic . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Ph­¬ng ph¸p lÆp vµ c¸c s¬ ®å lÆp c¬ b¶n . . . . . . . . . . . 21
Ch­¬ng 2. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i ph­¬ng tr×nh elliptic cÊp 2 28
2.1. Giíi thiÖu vÒ ph­¬ng ph¸p chia miÒn . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn Saito-Fujita . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn Dang Quang A-Vu Vinh Quang . . . 39
2.4. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n biªn hçn hîp m¹nh . . . 47
Ch­¬ng 3. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa 55
3.1. Giíi thiÖu vÒ ph­¬ng tr×nh song ®iÒu hßa . . . . . . . . . . . 55
3.2. Ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa b»ng ph­¬ng ph¸p
ph©n r· vÒ d·y hai bµi to¸n elliptic . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu
kiÖn biªn Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu
kiÖn biªn hçn hîp m¹nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
KÕt luËn 81
Tµi liÖu tham kh¶o 83
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

4. Më ®Çu
Trªn thùc tÕ, nhiÒu bµi to¸n trong khoa häc kü thuËt th«ng qua m« h×nh
hãa to¸n häc ®­îc ®­a ®Õn viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n biªn ®èi víi ph­¬ng tr×nh
®¹o hµm riªng. Trong ®ã rÊt Ýt bµi to¸n lµ c¸c tr­êng hîp ®¬n gi¶n (miÒn
h×nh häc lµ miÒn ®¬n gi¶n, hÖ sè cña ph­¬ng tr×nh lµ hÖ sè h»ng, ...) cã thÓ
t×m ®­îc nghiÖm t­êng minh b»ng ph­¬ng ph¸p gi¶i tÝch. Cßn ®¹i ®a sè c¸c
tr­êng hîp kh¸c th× nghiÖm t­êng minh kh«ng cã hoÆc rÊt phøc t¹p. H¬n
n÷a, mét sè bµi to¸n trong thùc tÕ chØ yªu cÇu t×m nghiÖm cña bµi to¸n t¹i
mét sè ®iÓm rêi r¹c nµo ®ã. Khi ®ã, chóng ta buéc ph¶i sö dông c¸c ph­¬ng
ph¸p gi¶i gÇn ®óng, chñ yÕu lµ ph­¬ng ph¸p sè nh­ ph­¬ng ph¸p sai ph©n,
ph­¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n. C¸c ph­¬ng ph¸p nµy rêi r¹c hãa bµi to¸n vµ
hÇu hÕt ®Òu ®­a vÒ viÖc gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh cì lín, dÉn
®Õn nhu cÇu ph¸t triÓn c¸c ph­¬ng ph¸p h÷u hiÖu ®Ó gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh
l­íi. Tuy nhiªn, khi miÒn h×nh häc lµ miÒn phøc t¹p, d÷ liÖu hoÆc c¸c hÖ sè
cña ph­¬ng tr×nh lµ gi¸n ®o¹n th× viÖc ¸p dông mét ph­¬ng ph¸p nµo ®ã cho
c¶ miÒn sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n. V× vËy trong nhiÒu n¨m qua, ng­êi ta ®·
vµ ®ang ph¸t triÓn c¸c ph­¬ng ph¸p víi môc ®Ých chÝnh lµ ®­a c¸c bµi to¸n
biªn trong miÒn h×nh häc phøc t¹p vÒ mét d·y c¸c bµi to¸n biªn trong miÒn
h×nh häc ®¬n gi¶n ®Ó cã thÓ sö dông c¸c thuËt to¸n h÷u hiÖu ®· ®­îc ph¸t
triÓn cho c¸c miÒn ®¬n gi¶n nµy. C¸c ph­¬ng ph¸p trªn cã tªn gäi lµ c¸c
ph­¬ng ph¸p chia miÒn (Domain Decomposition Methods). T­ t­ëng chÝnh
cña c¸c ph­¬ng ph¸p chia miÒn lµ t×m c¸ch x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ biªn trªn c¸c
®­êng biªn ph©n chia th«ng qua mét ph­¬ng ph¸p lÆp ®Ó chuyÓn viÖc gi¶i
bµi to¸n trong miÒn phøc t¹p vÒ viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n trong c¸c miÒn ®¬n
gi¶n tõ ®ã thu ®­îc nghiÖm cña bµi to¸n gèc.
Trong nhiÒu n¨m qua, lý thuyÕt vÒ ph­¬ng ph¸p chia miÒn ®· vµ vÉn ®ang
®­îc liªn tôc ph¸t triÓn. C¸c bµi to¸n th­êng ®­îc xÐt ®Õn lµ c¸c bµi to¸n
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

5. biªn elliptic tuyÕn tÝnh d¹ng Lu = f, x ∈ Ω, trong ®ã L lµ to¸n tö elliptic, Ω
lµ miÒn d chiÒu (d = 2, 3) víi biªn Lipschitz ∂Ω, f lµ hµm thuéc kh«ng gian
L2
(Ω). Gi¶ sö miÒn Ω ®­îc chia thµnh hai miÒn con kh«ng giao nhau Ω1, Ω2.
Ta kÝ hiÖu Γ = Ω1 ∩Ω2, gi¶ sö Γ lµ biªn Lipschitz (d−1) chiÒu. XuÊt ph¸t tõ
c«ng thøc ®a miÒn vµ ph­¬ng tr×nh Steklov-Poincare, c¸c ph­¬ng ph¸p chia
miÒn ®­îc ph¸t triÓn tõ c¸c s¬ ®å lÆp c¬ b¶n sau:
1. S¬ ®å Dirichlet-Neumann: XuÊt ph¸t tõ λ lµ gi¸ trÞ hµm ch­a biÕt trªn
biªn ph©n chia, tiÕn hµnh gi¶i lÇn l­ît hai bµi to¸n trong hai miÒn: Bµi to¸n
Dirichlet trong miÒn Ω1 vµ bµi to¸n Neumann trong miÒn Ω2. Tõ ®ã, ng­êi
ta x©y dùng s¬ ®å lÆp ®Ó hiÖu chØnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn ph©n chia. Ph­¬ng
ph¸p nµy ®· ®­îc xÐt ®Õn bëi c¸c t¸c gi¶ Bjorstad vµ Windlund (1986),
Bramble, ... (1986), Funaro, ... (1988), Marini vµ Quarteroni (1988, 1989).
2. S¬ ®å Neumann-Neumann: XuÊt ph¸t tõ λ lµ gi¸ trÞ hµm ch­a biÕt trªn
biªn ph©n chia, tiÕn hµnh gi¶i lÇn l­ît hai bµi to¸n trong hai miÒn: Bµi to¸n
Dirichlet trong miÒn Ω1 vµ bµi to¸n Dirichlet trong miÒn Ω2. ViÖc x©y dùng
s¬ ®å lÆp ®Ó hiÖu chØnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn ph©n chia ph¶i dùa vµo kÕt
qu¶ cña hai bµi to¸n d¹ng Neumann trong hai miÒn. Ph­¬ng ph¸p nµy ®­îc
nghiªn cøu bëi c¸c t¸c gi¶ Agoshkov, Lebedev (1985), Bourgat, ... (1989).
3. S¬ ®å Robin: XuÊt ph¸t tõ u
(0)
2 trong miÒn Ω2, tiÕn hµnh gi¶i lÇn l­ît
hai bµi to¸n Robin trong hai miÒn Ω1, Ω2. ViÖc hiÖu chØnh gi¸ trÞ hµm trªn
biªn ph©n chia ®­îc thùc hiÖn th«ng qua s¬ ®å lÆp khi gi¶i lÇn l­ît hai bµi
to¸n ®ã. Ph­¬ng ph¸p nµy ®­îc nghiªn cøu bëi t¸c gi¶ Agoshkov (1988),
Lion (1990).
Ta thÊy r»ng, c¬ së cña c¸c ph­¬ng ph¸p trªn ®Òu xuÊt ph¸t tõ viÖc x¸c
®Þnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn ph©n chia, tõ ®ã x©y dùng c¸c s¬ ®å lÆp d¹ng hai líp
®èi víi c¸c ph­¬ng tr×nh to¸n tö. ViÖc nghiªn cøu tÝnh héi tô cña c¸c s¬ ®å
lÆp sö dông kÕt qu¶ cña c¸c kh«ng gian Sobolev vµ to¸n tö Steklov-Poincare.
Ph­¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp cao mµ tiªu biÓu lµ ph­¬ng tr×nh song
®iÒu hßa lµ líp ph­¬ng tr×nh vÉn cßn ®ang thu hót sù quan t©m rÊt lín cña
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

6. rÊt nhiÒu nhµ c¬ häc, kü s­ vµ c¸c nhµ to¸n häc. Trong vßng ba thËp niªn
qua nhiÒu ph­¬ng ph¸p míi, h÷u hiÖu gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn ®· ®­îc nghiªn
cøu vµ ph¸t triÓn. Cïng víi sù ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña m¸y tÝnh ®iÖn tö , c¸c
ph­¬ng ph¸p sè ®· trë thµnh c«ng cô ®¾c lùc ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n kü
thuËt tuy nhiªn vÉn cã kh«ng Ýt t¸c gi¶ ®· sö dông ph­¬ng ph¸p gÇn ®óng
gi¶i tÝch nh­ ph­¬ng ph¸p b×nh ph­¬ng cùc tiÓu, ph­¬ng ph¸p nghiÖm c¬
b¶n ®Ó gi¶i líp ph­¬ng tr×nh song ®iÒu hßa. ViÖc nghiªn cøu thuËt to¸n chia
miÒn gi¶i ph­¬ng tr×nh song ®iÒu hßa lµ mét lÜnh vùc cÇn nghiªn cøu.
Néi dung chÝnh cña luËn v¨n tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ vÒ lý thuyÕt vµ thùc
nghiÖm tÝnh to¸n ®èi víi ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n biªn cho
ph­¬ng tr×nh elliptic cÊp hai vµ bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu kiÖn biªn
Dirichlet hoÆc ®iÒu kiÖn biªn hçn hîp m¹nh víi t­ t­ëng hiÖu chØnh gi¸ trÞ
hµm hoÆc ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia. Néi dung luËn v¨n gåm cã ba ch­¬ng:
Ch­¬ng 1: Tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¸c kh«ng gian Sobolev,
ph­¬ng tr×nh elliptic, lý thuyÕt vÒ ph­¬ng ph¸p lÆp gi¶i ph­¬ng tr×nh to¸n
tö. ®©y lµ nh÷ng kiÕn thøc quan träng lµm nÒn t¶ng cho c¸c kÕt qu¶ sÏ tr×nh
bµy trong c¸c ch­¬ng tiÕp theo cña luËn v¨n.
Ch­¬ng 2: Tr×nh bµy ba ph­¬ng ph¸p chia miÒn: Ph­¬ng ph¸p Saito-
Fujita, ph­¬ng ph¸p Dang Quang A-Vu Vinh Quang vµ ph­¬ng ph¸p chia
miÒn gi¶i bµi to¸n biªn hçn hîp m¹nh trªn c¬ së cña ph­¬ng ph¸p chia miÒn
tæng qu¸t. Trong ®ã ph­¬ng ph¸p Saito-Fujita xuÊt ph¸t tõ t­ t­ëng hiÖu
chØnh hµm trªn biªn ph©n chia th«ng qua ph­¬ng ph¸p lÆp trªn c¬ së s¬ ®å
lÆp Dirichlet-Neumann, cßn ph­¬ng ph¸p Dang Quang A-Vu Vinh Quang
xuÊt ph¸t tõ viÖc hiÖu chØnh gi¸ trÞ ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia b»ng c¸ch
tiÕn hµnh gi¶i lÇn l­ît hai bµi to¸n trong hai miÒn: Bµi to¸n Neumann trong
miÒn Ω1 vµ bµi to¸n Dirichlet trong miÒn Ω2.
Ch­¬ng 3: Giíi thiÖu tæng quan vÒ ph­¬ng tr×nh song ®iÒu hßa vµ tr×nh
bµy c¸c kÕt qu¶ cña ph­¬ng ph¸p chia miÒn ®èi víi bµi to¸n song ®iÒu hßa,
trªn c¬ së ph©n r· bµi to¸n song ®iÒu hßa vÒ d·y hai bµi to¸n elliptic cïng
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

7. c¸c kÕt qu¶ vÒ ph­¬ng ph¸p chia miÒn cho bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai, luËn
v¨n ®· tr×nh bµy ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu
kiÖn biªn Dirichlet, ®­a ra mét sè kÕt qu¶ thùc nghiÖm tÝnh to¸n ®Ó kiÓm
tra sù héi tô cña hai ph­¬ng ph¸p SF vµ ph­¬ng ph¸p AQH, c¶i tiÕn c¸c s¬
®å chia miÒn vµ so s¸nh tèc ®é héi tô cña c¸c ph­¬ng ph¸p, ®ång thêi còng
tr×nh bµy ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu kiÖn
biªn hçn hîp m¹nh.
C¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm tÝnh to¸n trong luËn v¨n ®· sö dông th­ viÖn
ch­¬ng tr×nh TK2004 trªn c¬ së thuËt to¸n thu gän khèi l­îng tÝnh to¸n cña
Samarskij A. - Nikolaev E. ®­îc lËp tr×nh trong m«i tr­êng Matlab trªn m¸y
tÝnh PC.
MÆc dï ®· rÊt cè g¾ng song luËn v¨n kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt.
Em rÊt mong nhËn ®­îc sù chØ b¶o ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c thÇy c« gi¸o vµ
b¹n bÌ ®ång nghiÖp cho b¶n luËn v¨n hoµn chØnh h¬n.
Th¸i Nguyªn, ngµy 18 th¸ng 09 n¨m 2009.
Häc viªn
§ç DiÖp Anh
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

8. Ch­¬ng 1
C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n
Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i tr×nh bµy nh÷ng kÕt qu¶ lý thuyÕt quan träng
vÒ c¸c kh«ng gian Sobolev, ph­¬ng tr×nh elliptic víi kh¸i niÖm nghiÖm yÕu
vµ ®Þnh lý tån t¹i duy nhÊt nghiÖm, c¸c bÊt ®¼ng thøc Poincare, lý thuyÕt vÒ
ph­¬ng ph¸p lÆp gi¶i ph­¬ng tr×nh to¸n tö... Nh÷ng kiÕn thøc c¬ së vµ kÕt
qu¶ ®­îc tham kh¶o tõ c¸c tµi liÖu [ 4, 5, 6, 7, 11, 17].
1.1. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¸c kh«ng gian hµm
1.1.1. Kh«ng gian Ck
(¯Ω)
Gi¶ sö Ω lµ mét miÒn bÞ chÆn trong kh«ng gian Euclid n chiÒu Rn
vµ ¯Ω
lµ bao ®ãng cña Ω. Ta ký hiÖu Ck
(¯Ω)(k = 0, 1, 2, ...) lµ tËp c¸c hµm cã ®¹o
hµm ®Õn cÊp k kÓ c¶ k trong Ω, liªn tôc trong ¯Ω. Ta ®­a vµo Ck
(¯Ω) chuÈn
u Ck(¯Ω) =
|α|=k
max
x∈¯Ω
|Dα
u(x)|, (1.1)
trong ®ã α = (α1, . . . , αn) ®­îc gäi lµ ®a chØ sè lµ vect¬ víi c¸c täa ®é
nguyªn kh«ng ©m, |α| = α1 + · · · + αn,
Dα
u =
∂α1+···+αn
u
∂x1
α1...∂xn
αn
Sù héi tô theo chuÈn nµy lµ sù héi tô ®Òu trong ¯Ω cña c¸c hµm vµ tÊt c¶
®¹o hµm cña chóng ®Õn cÊp k kÓ c¶ k. Râ rµng tËp Ck
(¯Ω) víi chuÈn (1.1)
lµ mét kh«ng gian Banach.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

9. 1.1.2. Kh«ng gian LP (Ω)
Gi¶ sö Ω lµ mét miÒn trong Rn
vµ p lµ mét sè thùc d­¬ng. Ta ký hiÖu
LP (Ω) lµ líp c¸c hµm ®o ®­îc f x¸c ®Þnh trªn Ω sao cho
Ω
|f(x)|p
dx < ∞ (1.2)
Trong LP (Ω) ta ®ång nhÊt c¸c hµm b»ng nhau hÇu kh¾p trªn Ω. Nh­ vËy
c¸c phÇn tö cña LP (Ω) lµ c¸c líp t­¬ng ®­¬ng c¸c hµm ®o ®­îc tháa m·n
(1.2) vµ hai hµm t­¬ng ®­¬ng nÕu chóng b»ng nhau hÇu kh¾p trªn Ω. V×
|f(x) + g(x)|p
(|f(x)| + |g(x)|)p
2p
(|f(x)|p
+ |g(x)|p
)
nªn râ rµng LP (Ω) lµ mét kh«ng gian vÐc t¬.
Ta ®­a vµo LP (Ω) phiÕm hµm ||.||p ®­îc x¸c ®Þnh bëi
||u||p =



Ω
|u(x)|p
dx



1/p
(1.3)
§Þnh lÝ 1.1 (BÊt ®¼ng thøc Hoder). NÕu 1 < p < ∞ vµ u ∈ LP (Ω), v ∈
LP (Ω) th× uv ∈ LP (Ω) vµ
Ω
|u(x)v(x)|dx ||u||p||v||p,
(1.4)
trong ®ã p,
= p/(p − 1), tøc lµ
1
p
+
1
p,
= 1, p,
®­îc gäi lµ sè mò liªn hîp
®èi víi p.
§Þnh lÝ 1.2 (BÊt ®¼ng thøc Minkowski). NÕu 1 < p < ∞ th×
||f + g||p ||f||p + ||g||p (1.5)
§Þnh lÝ 1.3 Kh«ng gian LP (Ω) víi 1 p ∞ lµ mét kh«ng gian Banach.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

10. 1.1.3. Kh«ng gian W1,p
(Ω)
§Þnh nghÜa 1.1 Cho Ω lµ miÒn trong Rn
. Hµm u(x) ®­îc gäi lµ kh¶ tÝch ®Þa
ph­¬ng trong Ω nÕu u(x) lµ mét hµm cho trong Ω vµ víi mçi x0 ∈ Ω ®Òu
tån t¹i mét l©n cËn ω cña x0 ®Ó u(x) kh¶ tÝch trong ω.
§Þnh nghÜa 1.2 Cho Ω lµ miÒn trong Rn
. Gi¶ sö u(x), v(x) lµ hai hµm kh¶
tÝch ®Þa ph­¬ng trong Ω sao cho ta cã hÖ thøc
Ω
u
∂k
ϕ
∂x1
k1...∂xn
kn
dx = (−1)k
Ω
vϕdx
®èi víi mäi ϕ(x) ∈ Ck
0 (Ω), k = k1 + ... + kn, ki ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n). Khi
®ã, v(x) ®­îc gäi lµ ®¹o hµm suy réng cÊp k cña u(x).
KÝ hiÖu
v(x) =
∂k
u
∂x1
k1...∂xn
kn
.
§Þnh nghÜa 1.3 Gi¶ sö p lµ mét sè thùc, 1 ≤ p < ∞, Ω lµ miÒn trong Rn
.
Kh«ng gian Sobolev W1,p
(Ω) ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau:
W1,p
(Ω) = u | u ∈ Lp
(Ω),
∂u
∂xi
∈ Lp
(Ω), i = 1, 2, ..., n ,
trong ®ã c¸c ®¹o hµm trªn lµ c¸c ®¹o hµm suy réng.
Víi p = 2, ta kÝ hiÖu W1,2
(Ω) = H1
(Ω), nghÜa lµ
H1
(Ω) = u | u ∈ L2
(Ω),
∂u
∂xi
∈ L2
(Ω), i = 1, 2, ..., n .
Bæ ®Ò 1.1
i) Kh«ng gian W1,p
(Ω) lµ kh«ng gian Banach víi chuÈn
u W1,p(Ω) = u Lp(Ω) +
n
i=1
∂u
∂xi Lp(Ω)
.
ii) Kh«ng gian H1
(Ω) lµ kh«ng gian Hilbert víi tÝch v« h­íng
(u, v)H1(Ω) = (u, v)L2(Ω) +
n
i=1
∂u
∂xi
,
∂v
∂xi L2(Ω)
, ∀u, v ∈ H1
(Ω).
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

11. 1.1.4. Kh¸i niÖm biªn liªn tôc Lipschitz. §Þnh lý nhóng
§Þnh nghÜa 1.4 MiÒn Ω ®­îc gäi lµ cã biªn liªn tôc Lipschitz nÕu nã giíi
néi vµ tån t¹i c¸c h»ng sè d­¬ng α, β vµ mét sè h÷u h¹n m c¸c hÖ täa ®é
®Þa ph­¬ng x
(r)
1 , x
(r)
2 , ..., x
(r)
n vµ m hµm ar(x
(r)
1 , x
(r)
2 , ..., x
(r)
n−1), r = 1, 2, ..., m
liªn tôc trong c¸c khèi (n − 1) chiÒu K(r)
|x
(r)
i | < α, i = 1, 2, ..., n − 1
sao cho
i) Mçi ®iÓm x cña biªn ∂Ω cã thÓ biÓu diÔn trong Ýt nhÊt mét hÖ täa ®é d¹ng
x = (x
(r)
1 , x
(r)
2 , ..., x
(r)
n−1, ar(x
(r)
1 , x
(r)
2 , ..., x
(r)
n−1)).
ii) C¸c ®iÓm x = (x
(r)
1 , x
(r)
2 , ..., x
(r)
n−1, x
(r)
n ) tháa m·n
|x
(r)
i | < α, i = 1, 2, ..., n − 1
vµ
ar(x
(r)
1 , x
(r)
2 , ..., x
(r)
n−1) < x(r)
n < ar(x
(r)
1 , x
(r)
2 , ..., x
(r)
n−1) + β
hoÆc
ar(x
(r)
1 , x
(r)
2 , ..., x
(r)
n−1) − β < x(r)
n < ar(x
(r)
1 , x
(r)
2 , ..., x
(r)
n−1)
n»m trong hoÆc n»m ngoµi Ω.
iii) Mçi hµm ar(x
(r)
1 , x
(r)
2 , ..., x
(r)
n−1), r = 1, 2, ..., m tháa m·n ®iÒu kiÖn Lips-
chitz trªn khèi K(r)
, tøc lµ víi mäi (x
(r)
1 , x
(r)
2 , ..., x
(r)
n−1), (y
(r)
1 , y
(r)
2 , ..., y
(r)
n−1) ∈
K(r)
, tån t¹i h»ng sè d­¬ng L sao cho
|ar(x
(r)
1 , x
(r)
2 , ..., x
(r)
n−1) − ar(y
(r)
1 , y
(r)
2 , ..., y
(r)
n−1)| ≤
≤ L[(x
(r)
1 − y
(r)
1 )2
+ ... + (x
(r)
n−1 − y
(r)
n−1)2
]1/2
.
§Þnh lÝ 1.4 Gi¶ sö biªn ∂Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Khi ®ã:
i) NÕu 1 ≤ p < n th× W1,p
(Ω) ⊂ Lq
(Ω) lµ:
- Nhóng compact ®èi víi q ∈ [1, p∗
), trong ®ã
1
p∗
=
1
p
−
1
n
.
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

12. - Nhóng liªn tôc víi q = p∗
.
ii) NÕu p = n th× W1,n
(Ω) ⊂ Lq
(Ω) lµ nhóng compact nÕu q ∈ [1, +∞).
iii) NÕu p > n th× W1,p
(Ω) ⊂ C0
(Ω) lµ nhóng compact.
1.1.5. Kh¸i niÖm vÕt cña hµm
§Þnh nghÜa 1.5 Kh«ng gian Sobolev W1,p
0 (Ω) ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ c¸c bao
®ãng cña kh«ng gian c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n cã gi¸ compact trong Ω t­¬ng
øng víi chuÈn cña W1,p
(Ω).
Kh«ng gian H1
0 (Ω) ®­îc ®Þnh nghÜa bëi
H1
0 (Ω) = W1,2
0 (Ω).
§Þnh lÝ 1.5 Gi¶ sö biªn ∂Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Khi ®ã:
i) NÕu 1 ≤ p < n th× W1,p
0 (Ω) ⊂ Lq
(Ω) lµ:
- Nhóng compact ®èi víi q ∈ [1, p∗
), trong ®ã
1
p∗
=
1
p
−
1
n
.
- Nhóng liªn tôc víi q = p∗
.
ii) NÕu p = n th× W1,n
0 (Ω) ⊂ Lq
(Ω) lµ nhóng compact nÕu q ∈ [1, +∞).
iii) NÕu p > n th× W1,p
0 (Ω) ⊂ C0
(Ω) lµ nhóng compact.
§Þnh lÝ 1.6 (®Þnh lý vÕt)
Gi¶ sö Ω lµ tËp më trong Rn
víi biªn ∂Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Khi ®ã,
tån t¹i duy nhÊt mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc
γ : H1
(Ω) −→ L2
(∂Ω)
sao cho víi bÊt kú u ∈ H1
(Ω) ∩ C0
(Ω) ta cã γ(u) = u|∂Ω. Hµm γ(u) ®­îc
gäi lµ vÕt cña u trªn ∂Ω.
§Þnh nghÜa 1.6 Gi¶ sö biªn ∂Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Kh«ng gian H1/2
(∂Ω)
®­îc gäi lµ miÒn gi¸ trÞ cña ¸nh x¹ vÕt γ, tøc lµ
H1/2
(∂Ω) = γ(H1
(Ω)).
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

13. §Þnh lÝ 1.7
i) H1/2
(∂Ω) lµ kh«ng gian Hilbert víi chuÈn
u 2
H1/2(∂Ω) =
∂Ω
|u(x)|2
dSx +
∂Ω ∂Ω
|u(x) − u(y)|2
|x − y|n+1
dSxdSy.
ii) Tån t¹i mét h»ng sè Cγ(Ω) sao cho:
γ(u) H1/2(∂Ω) ≤ Cγ(Ω) u H1(Ω), ∀u ∈ H1
(Ω).
Khi ®ã, Cγ(Ω) ®­îc gäi lµ h»ng sè vÕt.
Bæ ®Ò 1.2 Gi¶ sö biªn ∂Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Kh«ng gian H1/2
(∂Ω) cã
c¸c tÝnh chÊt sau:
i) TËp {u|∂Ω, u ∈ C∞
(Rn
)} trï mËt trong H1/2
(∂Ω).
ii) Nhóng H1/2
(∂Ω) ⊂ L2
(∂Ω) lµ compact.
iii) Tån t¹i ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc
g ∈ H1/2
(∂Ω) −→ ug ∈ H1
(Ω)
víi γ(ug) = g vµ tån t¹i h»ng sè C1(Ω) chØ phô thuéc miÒn Ω sao cho
ug H1(Ω) ≤ C1(Ω) g H1/2(∂Ω), ∀g ∈ H1/2
(∂Ω).
Bæ ®Ò 1.3 Gi¶ sö biªn ∂Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Khi ®ã
H1
0 (Ω) = {u | u ∈ H1
(Ω), γ(u) = 0}.
§Þnh lÝ 1.8 (BÊt ®¼ng thøc Poincare)
Tån t¹i h»ng sè CΩ sao cho:
u L2(Ω) ≤ CΩ u L2(Ω), ∀u ∈ H1
0 (Ω).
Chøng minh
Gi¶ sö I lµ mét kho¶ng trong Rn
chøa Ω, u ∈ H1
0 (Ω). Ta kÝ hiÖu u lµ më
réng bëi 0 cña u vµo I. Ta cã u ∈ H1
0 (I) vµ
u L2(Ω) = u L2(I); u L2(Ω) = u L2(I). (1.6)
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

14. ®Ó chøng minh ®Þnh lý ®óng víi Ω lµ kho¶ng bÊt kú trong Rn
, kh«ng mÊt
tÝnh tæng qu¸t ta chøng minh ®Þnh lý ®óng víi Ω = (0, a)n
.
Víi ∀u ∈ C∞
0 (Ω) ta cã
u(x) = u(x , xn) =
xn
0
∂u
∂xn
(x , t)dt.
Ta l¹i cã
|u(x)|2
=
xn
0
∂u
∂xn
(x , t).1dt
2
≤
≤xn
xn
0
∂u
∂xn
(x , t)
2
dt ≤
≤a
a
0
∂u
∂xn
(x , t)
2
dt.
LÊy tÝch ph©n hai vÕ bÊt ®¼ng thøc trªn Ω ta ®­îc:
Ω
u2
dx ≤ a2
Ω
∂u
∂xn
2
dx ≤ a2
Ω
| u|2
dx,
tøc lµ
u L2(Ω) ≤ a u L2(Ω), ∀u ∈ C∞
0 (Ω).
Do ®ã bÊt ®¼ng thøc trªn ®óng víi ∀u ∈ H1
0 (Ω).
NÕu Ω lµ mét tËp më giíi néi bÊt kú, lu«n tån t¹i kho¶ng I víi c¸c c¹nh
phô thuéc vµo ®­êng kÝnh cña Ω tháa m·n Ω ⊂ I.
Theo trªn, ®Þnh lý ®óng víi kho¶ng I, kÕt hîp víi (1.6) ta suy ra ®Þnh lý
®óng víi Ω.
NhËn xÐt 1.1 BÊt ®¼ng thøc Poincare cã ý nghÜa r»ng: u = u L2(Ω) lµ
mét chuÈn trªn H1
0 (Ω), t­¬ng ®­¬ng víi chuÈn cña H1
(Ω) ®­îc x¸c ®Þnh bëi
u 2
H1(Ω) = u 2
L2(Ω) + u 2
L2(Ω).
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

15. §Þnh lÝ 1.9 (BÊt ®¼ng thøc Poincare më réng)
Gi¶ sö biªn ∂Ω liªn tôc Lipschitz, ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2, trong ®ã Γ1, Γ2 lµ c¸c
tËp ®ãng, rêi nhau, Γ1 cã ®é ®o d­¬ng. Khi ®ã, tån t¹i h»ng sè CΩ sao cho
u L2(Ω) ≤ CΩ u L2(Ω)
∀u ∈ H1
(Ω), γ(u) = 0 trªn Γ1.
1.1.6. Kh«ng gian Sobolev víi chØ sè ©m H−1
(Ω) vµ H−1/2
(∂Ω)
§Þnh nghÜa 1.7 KÝ hiÖu H−1
(Ω) lµ kh«ng gian Banach ®­îc ®Þnh nghÜa bëi
H−1
(Ω) = (H1
0 (Ω)) ,
tøc lµ kh«ng gian ®èi ngÉu cña H1
0 (Ω). ChuÈn cña phÇn tö F ∈ H−1
(Ω)
®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau
F H−1(Ω) = sup
H1
0 (Ω){0}
F, u H−1(Ω),H1
0 (Ω)
u H1
0 (Ω)
,
trong ®ã
F, u H−1(Ω),H1
0 (Ω) =
Ω
Fudx.
Bæ ®Ò 1.4 Cho F ∈ H−1
(Ω). Khi ®ã tån t¹i n + 1 hµm f0, f1, ..., fn trong
L2
(Ω) sao cho
F = f0 +
n
i=1
∂fi
∂xi
. (1.7)
H¬n n÷a
F 2
H−1(Ω)= inf
n
i=1
fi
2
L2(Ω),
trong ®ã infimum lÊy trªn tÊt c¶ c¸c vect¬ (f0, f1, ..., fn) trong [L2
(Ω)]n+1
tháa m·n ®iÒu kiÖn (1.7).
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

16. §Þnh nghÜa 1.8 Gi¶ sö biªn ∂Ω lµ liªn tôc Lipschitz. KÝ hiÖu H−1/2
(∂Ω) lµ
kh«ng gian Banach ®­îc ®Þnh nghÜa bëi
H−1/2
(∂Ω) = (H1/2
(∂Ω)) ,
tøc lµ kh«ng gian ®èi ngÉu cña kh«ng gian H1/2
(∂Ω). ChuÈn cña phÇn tö
F ∈ H−1/2
(∂Ω) ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau
F H−1/2(∂Ω) = sup
H1/2(∂Ω){0}
F, u H−1/2(∂Ω),H1/2(∂Ω)
u H1/2(∂Ω)
,
trong ®ã
F, u H−1/2(∂Ω),H1/2(∂Ω) =
∂Ω
FudS.
Bæ ®Ò 1.5 Gi¶ sö biªn ∂Ω lµ liªn tôc Lipschitz. Kh«ng gian H−1/2
(∂Ω) cã
c¸c tÝnh chÊt sau:
i) Nhóng L2
(∂Ω) ⊂ H−1/2
(∂Ω) lµ compact.
ii) Tån t¹i ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc
v ∈ H(Ω, div) −→ v.n ∈ H−1/2
(∂Ω),
víi kh«ng gian H(Ω, div) = v | v ∈ L2
(Ω), divv ∈ L2
(Ω) .
H¬n n÷a, nÕu v ∈ H(Ω, div) vµ w ∈ H1
(Ω) th×:
−
Ω
(divv)wdx =
Ω
v wdx + v.n, w H−1/2(∂Ω),H1/2(∂Ω)
1.2. Lý thuyÕt vÒ ph­¬ng tr×nh elliptic
1.2.1. Kh¸i niÖm nghiÖm yÕu cña ph­¬ng tr×nh
XÐt ph­¬ng tr×nh
− u = f. (1.8)
Gi¶ sö u ∈ C2
(Ω), f ∈ C(Ω) vµ ph­¬ng tr×nh (1.8) tháa m·n trong miÒn
Ω. Khi ®ã, u(x) ®­îc gäi lµ nghiÖm cæ ®iÓn cña ph­¬ng tr×nh (1.8).
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

17. LÊy hµm ϕ bÊt kú thuéc D(Ω) = C∞
0 (Ω) nh©n víi hai vÕ cña (1.8) råi
lÊy tÝch ph©n ta ®­îc
−
Ω
uϕdx =
Ω
fϕdx. (1.9)
¸p dông c«ng thøc Green vµo (1.9) vµ kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ϕ|∂Ω = 0 ta
cã
Ω
n
i=1
∂ϕ
∂xi
∂u
∂xi
dx =
Ω
fϕdx, (1.10)
hay
Ω
u ϕdx =
Ω
fϕdx.
Nh­ vËy, nÕu u lµ nghiÖm cæ ®iÓn cña ph­¬ng tr×nh (1.8) th× cã (1.10).
Nh­ng nÕu f∈C(Ω) th× ph­¬ng tr×nh (1.8) kh«ng cã nghiÖm cæ ®iÓn. VËy,
ta cÇn më réng kh¸i niÖm nghiÖm khi f ∈ L2
(Ω).
§Þnh nghÜa 1.9 Gi¶ sö u ∈ H1
(Ω), f ∈ L2
(Ω), u ®­îc gäi lµ nghiÖm yÕu
cña ph­¬ng tr×nh (1.8) nÕu (1.10) ®­îc tháa m·n.
MÖnh ®Ò 1.1 NÕu u lµ nghiÖm yÕu cña ph­¬ng tr×nh (1.8) vµ u ∈ C2
(Ω), f ∈
C(Ω) th× u lµ nghiÖm cæ ®iÓn, tøc lµ − u = f.
Chøng minh
Gi¶ sö u lµ nghiÖm yÕu cña ph­¬ng tr×nh (1.8), tøc lµ u ∈ H1
(Ω) vµ ta cã
(1.10) víi mäi hµm ϕ ∈ D(Ω), kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn u ∈ C2
(Ω) ta suy ra
Ω
( u + f)ϕdx = 0, ∀u ∈ D(Ω).
V× D(Ω) trï mËt trong L2
(Ω), u + f trùc giao víi mäi ϕ ∈ D(Ω) nªn
u + f = 0 trong L2
(Ω). Nh­ng v× u liªn tôc nªn u + f ≡ 0 trong
C(Ω). VËy u lµ nghiÖm cæ ®iÓn cña ph­¬ng tr×nh (1.8).
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

18. 1.2.2. Ph¸t biÓu c¸c bµi to¸n biªn
• Bµi to¸n Dirichlet
XÐt bµi to¸n



− u = f, x ∈ Ω,
u = ϕ, x ∈ ∂Ω,
(1.11)
trong ®ã f ∈ L2
(Ω).
Hµm u ∈ H1
(Ω) ®­îc gäi lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.11) nÕu
u − w ∈ H1
0 (Ω), (1.12)
trong ®ã w lµ hµm thuéc H1
(Ω), cã vÕt b»ng ϕ vµ
Ω
u vdx =
Ω
fvdx, ∀v ∈ H1
0 (Ω). (1.13)
NhËn xÐt 1.2 - NghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.11) lµ nghiÖm yÕu cña ph­¬ng
tr×nh − u = f v× ta ®· ®Þnh nghÜa nghiÖm yÕu cña ph­¬ng tr×nh nµy lµ hµm
u ∈ H1
(Ω) tháa m·n (1.13) víi mäi v ∈ C∞
0 (Ω) ⊂ H1
0 (Ω).
- NÕu u lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.11) vµ u, f, ϕ ®ñ tr¬n th× u lµ
nghiÖm theo nghÜa cæ ®iÓn.
• Bµi to¸n Neumann
XÐt bµi to¸n



− u = f, x ∈ Ω,
∂u
∂ν
= h, x ∈ ∂Ω,
(1.14)
trong ®ã h ∈ C(∂Ω), f ∈ C(Ω), u ∈ C2
(Ω) lµ nghiÖm cæ ®iÓn.
Nh©n hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh − u = f víi v ∈ H1
(Ω) råi lÊy tÝch ph©n
ta ®­îc
−
Ω
v udx =
Ω
vfdx. (1.15)
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

19. ¸p dông c«ng thøc Green vµo (1.15) ta cã
−
∂Ω
v
∂u
∂ν
dS +
Ω
u vdx =
Ω
vfdx,
kÕt hîp víi (1.14) ta suy ra
Ω
u vdx =
Ω
fvdx +
∂Ω
hvdS, ∀v ∈ H1
(Ω). (1.16)
§Þnh nghÜa 1.10 NÕu h ∈ L2
(∂Ω), f ∈ L2
(Ω) th× nghiÖm yÕu cña bµi to¸n
Neumann (1.14) lµ hµm u ∈ H1
(Ω) tháa m·n (1.16).
NhËn xÐt 1.3 Ta míi chØ xÐt nh÷ng tr­êng hîp trªn biªn ∂Ω chØ cho mét
lo¹i ®iÒu kiÖn biªn. Trªn thùc tÕ cã thÓ gÆp c¸c bµi to¸n biªn hçn hîp
H×nh 1.1



− u = f, x ∈ Ω,
u = ϕ, x ∈ Γ1,
∂u
∂ν
= h, x ∈ Γ2.
Trong tr­êng hîp nµy, ta ®­a vµo kh«ng gian
V = {v ∈ H1
(Ω), v|Γ1
= 0}.
Gi¶ sö w ∈ H1
(Ω) : w|Γ1
= ϕ. Khi ®ã, nghiÖm yÕu cña ph­¬ng tr×nh
− u = f víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn trªn lµ hµm u ∈ H1
(Ω) sao cho u−w ∈ V
vµ
Ω
u vdx =
Ω
vfdx +
∂Ω
vhdS, ∀v ∈ V.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

20. 1.2.3. Sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm yÕu
§Þnh lÝ 1.10 (Lax-Milgram)
Gi¶ sö H lµ kh«ng gian Hilbert víi tÝch v« h­íng (v, u). B(v, u) lµ d¹ng
song tuyÕn tÝnh ®èi xøng, liªn tôc, x¸c ®Þnh d­¬ng trªn H, tøc lµ tån t¹i
k > 0 sao cho
|B(v, u)| ≤ k v u , ∀u, v ∈ H
vµ tån t¹i α > 0 sao cho
B(v, v) ≥ α v 2
, ∀v ∈ H.
Khi ®ã, mçi phiÕm hµm tuyÕn tÝnh F giíi néi trªn H cã thÓ biÓu diÔn trong
d¹ng
F(v) = B(v, z), ∀v ∈ H,
trong ®ã z ∈ H lµ duy nhÊt ®­îc x¸c ®Þnh bëi F vµ
z ≤
1
α
F .
(Nãi c¸ch kh¸c lµ víi mäi v ∈ H, bµi to¸n biÕn ph©n B(v, z) = F(v) cã
duy nhÊt nghiÖm z ∈ H tháa m·n z ≤
1
α
F ).
• Bµi to¸n Dirichlet thuÇn nhÊt
XÐt bµi to¸n



− u = f, x ∈ Ω,
u = 0, x ∈ ∂Ω,
(1.17)
trong ®ã f ∈ L2
(Ω). Bµi to¸n (1.16) cã nghiÖm yÕu lµ hµm u ∈ H1
0 (Ω) tháa
m·n
B(u, v) = F(v), ∀v ∈ H1
0 (Ω), (1.18)
trong ®ã
B(u, v) =
Ω
u vdx, F(v) =
Ω
fvdx.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

21. KiÓm tra c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý Lax-Milgram: Ta thÊy, B(u, v) lµ d¹ng
song tuyÕn tÝnh ®èi xøng, liªn tôc. Tõ bÊt ®¼ng thøc Fridrich
C
Ω
| v|2
dx ≥
Ω
|v|2
dx
suy ra
(1 + C)
Ω
| v|2
dx ≥ v 2
H1(Ω).
Do ®ã
B(v, v) =
Ω
| v|2
dx ≥
1
1 + C
v 2
H1(Ω).
Nh­ vËy B(u, v) lµ d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng, liªn tôc, x¸c ®Þnh
d­¬ng trªn H.
Theo ®Þnh lý Lax-Milgram, bµi to¸n (1.18) cã nghiÖm duy nhÊt u ∈
H1
0 (Ω) tháa m·n
u H1(Ω) ≤ (1 + C) F .
V× v L2(Ω) ≤ v H1
0 (Ω) nªn
F = sup
v=0
|F(v)|
v H1
0 (Ω)
≤ sup
v=0
f L2(Ω) v L2(Ω)
v H1
0 (Ω)
≤ f L2(Ω).
Do ®ã
u H1(Ω) ≤ (1 + C) f L2(Ω).
• Bµi to¸n Dirichlet kh«ng thuÇn nhÊt
XÐt bµi to¸n



− u = f, x ∈ Ω,
u = ϕ, x ∈ ∂Ω,
(1.19)
trong ®ã ϕ ∈ H1/2
(∂Ω), f ∈ L2
(Ω).
V× ϕ ∈ H1/2
(∂Ω) nªn tån t¹i w ∈ H1
(Ω) sao cho w|∂Ω = ϕ.
Khi ®ã, nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.19) lµ hµm u ∈ H1
(Ω) tháa m·n ®iÒu
kiÖn u − w ∈ H1
0 (Ω) vµ
B(u, v) = (f, v)L2(Ω), ∀v ∈ H1
0 (Ω),
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

22. trong ®ã
B(u, v) =
Ω
u vdx.
Theo ®Þnh lý Lax-Milgram, tån t¹i duy nhÊt z ∈ H1
0 (Ω) sao cho
B(z, v) = (f, v)L2(Ω) − B(w, v). (1.20)
Khi ®ã, hµm u = w + z lµ nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.19). ThËt vËy, ta
cã u − w ∈ H1
0 (Ω) vµ
B(u, v) =B(w + z, v) = B(w, v) + B(z, v) =
=B(w, v) + (f, v)L2(Ω) − B(w, v) = (f, v)L2(Ω),
tøc lµ tån t¹i duy nhÊt nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1.19).
Ta ®i ®¸nh gi¸ nghiÖm: Theo ®Þnh lý Lax-Milgram, tõ (1.20) ta cã
z H1
0 (Ω) ≤
1
α
sup
v=0
|(f, v)L2(Ω)|
v H1
0 (Ω)
+ sup
v=0
B(w, v)
v H1
0 (Ω)
.
Ta thÊy
|(f, v)L2(Ω)|
v H1
0 (Ω)
≤ f L2(Ω),
B(w, v)
v H1
0 (Ω)
≤ k
w H1
0 (Ω) v H1
0 (Ω)
v H1
0 (Ω)
= k w H1
0 (Ω).
Tõ ®ã suy ra
z H1
0 (Ω) ≤
1
α
f L2(Ω) + k w H1
0 (Ω) .
Do ®ã
u H1
0 (Ω) ≤ z H1
0 (Ω) + w H1
0 (Ω) ≤
≤
1
α
f L2(Ω) + 1 +
k
α
w H1
0 (Ω).
Do ¸nh x¹ vÕt liªn tôc nªn tån t¹i h»ng sè C sao cho
w H1
0 (Ω) ≤ C ϕ H1/2(∂Ω).
KÕt hîp c¸c ®iÒu trªn ta suy ra
u H1
0 (Ω) ≤ C1 f L2(Ω) + C2 ϕ H1/2(∂Ω).
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

23. 1.3. Ph­¬ng ph¸p lÆp vµ c¸c s¬ ®å lÆp c¬ b¶n
1.3.1. Kh«ng gian n¨ng l­îng
Gi¶ sö H lµ kh«ng gian Hilbert thùc víi tÝch v« h­íng (, ) vµ chuÈn . .
A lµ to¸n tö ®èi xøng, x¸c ®Þnh d­¬ng trong H, tøc lµ miÒn x¸c ®Þnh D(A)
trï mËt trong H,
(Au, v) = (u, Av), ∀u, v ∈ D(A)
vµ tån t¹i h»ng sè d­¬ng γ sao cho
(Au, u) ≥ γ u 2
, ∀u ∈ D(A).
Trong miÒn x¸c ®Þnh D(A), xÐt phiÕm hµm song tuyÕn tÝnh (Au, v) mµ
ta kÝ hiÖu lµ (Au, v) = [u, v].
Ta thÊy, phiÕm hµm [u, v] trong D(A) tháa m·n mäi tiªn ®Ò cña tÝch v«
h­íng trong kh«ng gian Hilbert trõu t­îng nãi chung. ThËt vËy, ta cã
[u, v] = (Au, v) = (u, Av) = (Av, u) = [v, u],
[λ1u1 + λ2u2, v] =(A(λ1u1 + λ2u2), v) =
=λ1(Au1, v) + λ2(Au2, v) =
=λ1[u1, v] + λ2[u2, v],
[u, u] = (Au, u) ≥ 0, [u, u] = (Au, u) = 0 khi vµ chØ khi u = 0.
Do ®ã, ®¹i l­îng [u, u] tháa m·n c¸c tÝnh chÊt cña mét chuÈn. Ta kÝ
hiÖu chuÈn ®ã lµ |.| .
|u| 2
= [u, u] = (Au, u). (1.21)
B©y giê ta x©y dùng mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn hA nh­ sau:
+ C¸c phÇn tö cña hA trïng víi c¸c phÇn tö cña D(A) vµ c¸c phÐp to¸n céng
hai phÇn tö, nh©n mét sè víi mét phÇn tö trong hA ®­îc ®Þnh nghÜa trïng víi
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

24. c¸c phÐp to¸n trong H.
+ ChuÈn cña c¸c phÇn tö trong hA ®­îc ®Þnh nghÜa bëi (1.21).
Kh«ng gian hA ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ vËy cã thÓ lµ mét kh«ng gian kh«ng
®ñ. Trong tr­êng hîp nµy, ta lµm ®ñ kh«ng gian hA b»ng ph­¬ng ph¸p bæ
sung kh«ng gian Metric ®Ó ®­îc kh«ng gian ®ñ HA. Kh«ng gian HA nµy
®­îc gäi lµ kh«ng gian n¨ng l­îng cña to¸n tö A.
Nh­ vËy, HA gåm nh÷ng phÇn tö cò thuéc D(A) vµ nh÷ng phÇn tö thu
®­îc sau phÐp bæ sung. ChuÈn cña u ∈ HA ®­îc x¸c ®Þnh bëi
u 2
A = lim
n→∞
|un| 2
,
trong ®ã {un} lµ d·y c¬ b¶n (theo metric |.| trong hA) c¸c phÇn tö thuéc
D(A) x¸c ®Þnh u.
TÝch v« h­íng cña hai phÇn tö u, v ∈ HA ®­îc x¸c ®Þnh bëi
[u, v]A = lim
n→∞
[un, vn],
trong ®ã {un}, {vn} lµ d·y c¬ b¶n c¸c phÇn tö thuéc D(A) x¸c ®Þnh u, v.
Kh«ng gian HA víi tÝch v« h­íng trªn lµ kh«ng gian Hilbert.
Ta th­êng nãi gän lµ: Kh«ng gian n¨ng l­îng HA lµ kh«ng gian Hilbert
thu ®­îc b»ng c¸ch bæ sung tËp D(A) cho thµnh kh«ng gian ®ñ theo tÝch v«
h­íng (Au, v).
1.3.2. Ph­¬ng ph¸p lÆp gi¶i ph­¬ng tr×nh to¸n tö
• L­îc ®å lÆp hai líp
XÐt bµi to¸n
Au = f, (1.22)
trong ®ã A : H −→ H lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian Hilbert thùc
N chiÒu H víi tÝch v« h­íng (, ) vµ chuÈn y = (y, y).
Gi¶ sö A lµ to¸n tö ®èi xøng, x¸c ®Þnh d­¬ng, f ∈ H lµ vect¬ tïy ý.
Trong mçi ph­¬ng ph¸p lÆp, xuÊt ph¸t tõ y0 bÊt kú thuéc H, ng­êi ta ®­a ra
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

25. c¸ch x¸c ®Þnh nghiÖm xÊp xØ y1, y2, ..., yk, ... cña ph­¬ng tr×nh (1.22). C¸c
xÊp xØ nh­ vËy ®­îc biÕt nh­ lµ c¸c gi¸ trÞ lÆp víi chØ sè lÆp k = 1, 2, ... B¶n
chÊt cña nh÷ng ph­¬ng ph¸p nµy lµ gi¸ trÞ yk+1 cã thÓ ®­îc tÝnh th«ng qua
c¸c gi¸ trÞ lÆp tr­íc: yk, yk−1, ....
Ph­¬ng ph¸p lÆp ®­îc gäi lµ ph­¬ng ph¸p lÆp mét b­íc hoÆc hai b­íc
nÕu xÊp xØ yk+1 cã thÓ tÝnh ®­îc th«ng qua mét hoÆc hai gi¸ trÞ lÆp tr­íc ®ã.
D¹ng chÝnh t¾c cña l­îc ®å lÆp hai líp lµ
Bk
yk+1 − yk
θk+1
+ Ayk = f, k = 0, 1, 2, ... (1.23)
trong ®ã θk+1 lµ c¸c tham sè lÆp.
Gi¶ thiÕt Bk lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh tõ H vµo H, tån t¹i to¸n tö ng­îc B−1
k .
Do ®ã tõ (1.23) ta cã
yk+1 = yk − θk+1B−1
k (Ayk − f) (1.24)
hoÆc d¹ng t­¬ng tù
yk+1 = yk − θk+1B−1
k rk = yk − θk+1wk,
trong ®ã rk = Ayk −f lµ ®é kh«ng khíp vµ wk = B−1
k rk lµ phÇn hiÖu chØnh.
Víi yk ®· biÕt, gi¸ trÞ cña yk+1 cã thÓ tÝnh ®­îc tõ (1.24). BiÕt y0 ta x¸c
®Þnh ®­îc y1, y2, ... TÊt nhiªn, nã chØ cã nghÜa khi phÐp lÆp héi tô, tøc lµ
yk − u −→ 0, k −→ ∞.
Th«ng th­êng, nghiÖm ®­îc t×m víi ®é chÝnh x¸c ε (liªn quan ®Õn ®é
chÝnh x¸c
yk − u
y0 − u
), cã nghÜa lµ sù tÝnh to¸n ®­îc dõng khi
yk − u ≤ ε y0 − u . (1.25)
V× u ch­a biÕt nªn ta thay ®iÒu kiÖn (1.25) b»ng bÊt ®¼ng thøc cho ®é
kh«ng khíp
Ayk − f ≤ ε Ay0 − f . (1.26)
23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

26. Ta chÊp nhËn ®iÒu kiÖn dõng
yk − u D ≤ ε y0 − u D, (1.27)
trong ®ã D lµ to¸n tö ®èi xøng, x¸c ®Þnh d­¬ng. Víi D = A2
, tõ (1.27) ta
suy ra ®­îc (1.26).
B©y giê chóng ta xÐt ph­¬ng tr×nh liªn quan ®Õn phÇn d­
zk = yk − u.
Tõ Au = f ta cã
Bk
zk+1 − zk
θk+1
+ Azk = 0, k = 0, 1, 2, ... (1.28)
trong ®ã z0 ∈ H ®­îc biÕt.
Tõ (1.28) ta thÊy
zk+1 = Sk+1zk, Sk+1 = E − θk+1B−1
k A,
trong ®ã Sk+1 lµ to¸n tö chuyÓn tiÕp tõ líp thø k tíi líp thø k + 1. Víi
k = n − 1 ta cã
zn = Tnz0, Tn = SnSn−1...S2S1.
Ta cã ®¸nh gi¸
zn D = Tnz0 D ≤ Tn D z0 D,
hay
zn D ≤ qn z0 D, qn = Tn D.
Tõ ®ã ta suy ra ®iÒu kiÖn dõng lµ qn ≤ ε. Tõ ®©y dÉn ®Õn vÊn ®Ò vÒ sù
héi tô cña phÐp lÆp theo ­íc l­îng chuÈn cña to¸n tö Tn.
L­îc ®å (1.23) cho ta xÊp xØ chÝnh x¸c nghiÖm u cña ph­¬ng tr×nh Au = f
víi bÊt kú to¸n tö Bk vµ c¸ch chän tham sè θk+1. Nh­ng qn phô thuéc vµo
c¶ {Bk} vµ {θk+1}. VÊn ®Ò ë ®©y lµ nªn chän {Bk} vµ {θk+1} nh­ thÕ nµo
®Ó cùc tiÓu chuÈn Tn D = qn.
24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

27. + NÕu Bk = E th× l­îc ®å lÆp (1.23) ®­îc gäi lµ l­îc ®å lÆp hiÓn
yk+1 − yk
θk+1
+ Ayk = f, k = 0, 1, 2, ... (1.29)
Trong tr­êng hîp θk = θ lµ h»ng sè, l­îc ®å (1.29) cßn ®­îc gäi lµ l­îc
®å lÆp ®¬n gi¶n.
+ NÕu Bk = E th× l­îc ®å lÆp (1.23) ®­îc gäi lµ l­îc ®å Èn.
• L­îc ®å dõng, ®Þnh lý c¬ b¶n vÒ sù héi tô cña phÐp lÆp
L­îc ®å lÆp (1.23) víi to¸n tö Bk = B, tham sè θk+1 = θ kh«ng ®æi
(k = 0, 1, 2, ...) cßn ®­îc gäi lµ l­îc ®å lÆp dõng.
B
yk+1 − yk
θ
+ Ayk = f, k = 0, 1, 2, ... (1.30)
Trong tr­êng hîp nµy, ph­¬ng tr×nh (1.28) liªn hÖ víi sai sè xÊp xØ zk =
yk − u cã d¹ng
B
zk+1 − zk
θ
+ Azk = 0, z0 = y0 − u, k = 0, 1, 2, ... (1.31)
To¸n tö B nãi chung lµ kh«ng ®èi xøng, cã to¸n tö ng­îc B−1
.
§Þnh lÝ 1.11 NÕu A lµ to¸n tö ®èi xøng, x¸c ®Þnh d­¬ng th×
B >
1
2
θA hay (Bx, x) >
1
2
θ(Ax, x), ∀x ∈ H (1.32)
lµ ®iÒu kiÖn ®ñ cho sù héi tô cña l­îc ®å lÆp (1.30) trong kh«ng gian HA víi
tèc ®é héi tô cÊp sè nh©n
zk+1 A ≤ ρ zk A, k = 0, 1, 2, ..., ρ < 1, (1.33)
trong ®ã
ρ = 1 −
2θδ∗δ
B 2
1/2
, δ = min
k
λk(A), δ∗ = min
k
λk(B0 −
1
2
θA),
B0 =
B + B∗
2
lµ phÇn ®èi xøng cña to¸n tö B.
25
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

28. Chøng minh
Tõ (1.31) ta cã: zk+1 = Szk víi S = E − θB−1
A. Do ®ã
zk+1
2
A =(Azk+1, zk+1) =
=(ASzk, Szk) =
=(A(E − θB−1
A)zk, (E − θB−1
A)zk) =
= zk
2
A − θ[(AB−1
Azk, zk) + (B−1
Azk, Azk)]+
+θ2
(AB−1
Azk, B−1
Azk).
ThÕ Azk = −Bvk víi vk = −B−1
Azk, kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn A lµ to¸n tö
®èi xøng ta ®­îc
zk+1
2
A = zk
2
A − 2θ((B −
1
2
θA)vk, vk). (1.34)
Do gi¶ thiÕt (1.32) cña ®Þnh lý ta suy ra to¸n tö P = B −
1
2
θA lµ to¸n tö
d­¬ng. Chóng ta thiÕt lËp tÝnh x¸c ®Þnh d­¬ng cña nã trong H
B −
1
2
θA ≥ δ∗E, δ∗ > 0,
trong ®ã δ∗ lµ gi¸ trÞ riªng nhá nhÊt cña to¸n tö P0 = B0 −
1
2
θA. Do ®ã
2θ((B −
1
2
θA)vk, vk) ≥ 2θδ∗ vk
2
. (1.35)
MÆt kh¸c
zk
2
A =(Azk, zk) =
=(Bvk, A−1
Bvk) ≤
≤ A−1
Bvk
2
≤
≤ A−1
B 2
vk
2
≤
≤
B 2
vk
2
δ
suy ra
vk
2
≥
δ
B 2
zk
2
A. (1.36)
26
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

29. KÕt hîp (1.34), (1.35), (1.36) ta ®­îc
zk+1
2
A = Szk
2
A ≤ ρ2
zk
2
A
víi ρ2
= 1 −
2θδ∗δ
B 2
< 1. Tõ ®ã ta suy ra (1.33).
Cßn bÊt ®¼ng thøc zn A ≤ ρn
z0 A kh¼ng ®Þnh sù héi tô cña phÐp lÆp
do ρn
−→ 0, n → ∞.
NhËn xÐt 1.4 Víi Bk = B cè ®Þnh, ®Þnh lý ®· ®­a ra qui t¾c lùa chän gi¸ trÞ
θ ®Ó l­îc ®å lÆp héi tô. Trong tr­êng hîp B = E, ®iÒu kiÖn héi tô sÏ ®­îc
®¶m b¶o nÕu tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ riªng tháa m·n
λk(E −
1
2
θA) = 1 −
1
2
θλk(A) > 0,
hay
1 −
1
2
θ A > 0.
Nh­ vËy, l­îc ®å lÆp héi tô víi mçi θ <
2
A
.
KÕt luËn:
Néi dung ch­¬ng 1 ®· giíi thiÖu mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ c¸c kh«ng
gian Sobolev, ph­¬ng tr×nh elliptic víi kh¸i niÖm nghiÖm yÕu vµ ®Þnh lý tån
t¹i duy nhÊt nghiÖm Lax-Milgram, c¸c bÊt ®¼ng thøc Poincare, lý thuyÕt vÒ
ph­¬ng ph¸p lÆp gi¶i ph­¬ng tr×nh to¸n tö. Nh÷ng kiÕn thøc quan träng nµy
lµm nÒn t¶ng cho c¸c kÕt qu¶ sÏ tr×nh bµy trong c¸c ch­¬ng tiÕp theo cña
luËn v¨n.
27
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

30. Ch­¬ng 2
Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i ph­¬ng tr×nh
elliptic cÊp 2
2.1. Giíi thiÖu vÒ ph­¬ng ph¸p chia miÒn
Trong phÇn nµy, chóng t«i ®­a ra c¬ së to¸n häc cña ph­¬ng ph¸p chia
miÒn bao gåm giíi thiÖu kh¸i niÖm vÒ c¸c ®iÒu kiÖn chuyÓn giao qua biªn
chung, c¸c c«ng thøc biÕn ph©n, c¸c s¬ ®å lÆp ë møc vi ph©n vµ øng dông
cña to¸n tö Steklov-Poincare ®èi víi ph­¬ng ph¸p chia miÒn. C¸c kiÕn thøc
®­îc tham kh¶o tõ c¸c tµi liÖu [7, 17, 19].
XÐt bµi to¸n



− u = f, x ∈ Ω,
u = ϕ, x ∈ ∂Ω,
(2.1)
trong ®ã Ω lµ miÒn d chiÒu (d = 2, 3) víi biªn ∂Ω liªn tôc Lipschitz, f lµ
hµm thuéc kh«ng gian L2
(Ω), ϕ lµ hµm thuéc kh«ng gian H1/2
(∂Ω).
Gi¶ sö miÒn Ω ®­îc chia thµnh hai miÒn con kh«ng giao nhau Ω1, Ω2. Ta
kÝ hiÖu: Γ = Ω1 ∩ Ω2, Γ1 = ∂Ω1 Γ, Γ2 = ∂Ω2 Γ. Ta còng gi¶ sö Γ lµ
biªn liªn tôc Lipschitz (d − 1) chiÒu.
H×nh 2.1
28
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

31. KÝ hiÖu ui lµ gi¸ trÞ cña nghiÖm u cña bµi to¸n (2.1) trong miÒn Ωi, ni
lµ
h­íng ph¸p tuyÕn ngoµi trªn ∂Ωi ∩ Γ (i = 1, 2).
Khi ®ã, bµi to¸n (2.1) cã thÓ viÕt l¹i d­íi d¹ng ®a miÒn nh­ sau:



− u1 = f, x ∈ Ω1,
u1 = ϕ, x ∈ Γ1,
u1 = u2, x ∈ Γ,
∂u2
∂n2
= −
∂u1
∂n1
, x ∈ Γ,
u2 = ϕ, x ∈ Γ2,
− u2 = f, x ∈ Ω2.
(2.2)
C¸c ph­¬ng tr×nh ba vµ bèn trong (2.2) lµ c¸c ®iÒu kiÖn chuyÓn tiÕp trªn
biªn ph©n chia. VÒ mÆt ý nghÜa vËt lý, chóng muèn m« t¶ ®iÒu kiÖn liªn tôc
cña hµm vµ ®¹o hµm khi biÕn thiªn qua biªn chung Γ gi÷a hai miÒn con Ω1
vµ Ω2.
Nh­ vËy, viÖc gi¶i bµi to¸n trong miÒn Ω ®­îc ®­a vÒ viÖc gi¶i bµi to¸n
trong hai miÒn con. NghiÖm cña hai bµi to¸n trong hai miÒn con ph¶i ®¶m
b¶o ®iÒu kiÖn chuyÓn tiÕp qua biªn ph©n chia. ®iÓm mÊu chèt lµ ph¶i x¸c
®Þnh ®­îc ®iÒu kiÖn trªn biªn ph©n chia gi÷a hai miÒn con.
KÝ hiÖu g lµ gi¸ trÞ ch­a biÕt cña u trªn Γ. Víi i = 1, 2, ta xÐt hai bµi to¸n
biªn Dirichlet



− wi = f, x ∈ Ωi,
wi = ϕ, x ∈ Γi,
wi = g, x ∈ Γ.
(2.3)
Ta cã thÓ biÓu diÔn wi = u0
i + u∗
i , trong ®ã u0
i vµ u∗
i lµ nghiÖm cña c¸c
29
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

32. bµi to¸n Dirichlet sau:



− u0
i = 0, x ∈ Ωi,
u0
i = 0, x ∈ Γi = ∂Ωi Γ,
u0
i = g, x ∈ Γ,
(2.4)



− u∗
i = f, x ∈ Ωi,
u∗
i = ϕ, x ∈ Γi = ∂Ωi Γ,
u∗
i = 0, x ∈ Γ.
(2.5)
Víi mçi i = 1, 2, u0
i x¸c ®Þnh ë (2.4) ®­îc gäi lµ më réng ®iÒu hßa cña g
vµo Ωi vµ ®­îc kÝ hiÖu lµ Hig. Ta kÝ hiÖu Gif thay cho u∗
i .
So s¸nh (2.2) vµ (2.3) ta thÊy: wi = ui (i = 1, 2) khi vµ chØ khi
∂w1
∂n1
=
∂w2
∂n1
, x ∈ Γ.
Ph­¬ng tr×nh trªn t­¬ng ®­¬ng víi
∂H1g
∂n1
+
∂G1f
∂n1
=
∂G2f
∂n1
+
∂H2g
∂n1
, x ∈ Γ,
hay
∂H1g
∂n1
+
∂H2g
∂n2
= −
∂G1f
∂n1
−
∂G2f
∂n2
, x ∈ Γ.
Nh­ vËy, gi¸ trÞ g trªn biªn chung ph¶i tháa m·n ph­¬ng tr×nh
Sg = χ, x ∈ Γ, (2.6)
trong ®ã χ =
∂G2f
∂n1
−
∂G1f
∂n1
= − 2
i=1
∂Gif
∂ni
, S lµ to¸n tö ®­îc ®Þnh nghÜa
bëi
Sη =
∂H1η
∂n1
−
∂H2η
∂n1
=
2
i=1
∂Hiη
∂ni
.
To¸n tö S cã thÓ t¸ch thµnh S = S1 + S2, trong ®ã Si (i = 1, 2) lµ c¸c
to¸n tö Steklov-Poincare t­¬ng øng víi miÒn Ωi (i = 1, 2) ®­îc ®Þnh nghÜa
nh­ sau:
30
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

33. §Þnh nghÜa 2.1 To¸n tö Si ®­îc gäi lµ to¸n tö Steklov-Poincare t­¬ng øng
víi miÒn Ωi (i = 1, 2) nÕu
Siξ =
∂Hiξ
∂ni
,
trong ®ã Hiξ lµ më réng ®iÒu hßa cña ξ vµo Ωi,
ξ ∈ H
1/2
00 (Γ) = {v|Γ : v ∈ H1
0 (Ω)}.
Ph­¬ng tr×nh (2.6) ®­îc gäi lµ ph­¬ng tr×nh Steklov-Poincare. Ta còng sö
dông c¸c to¸n tö S−1
i (i = 1, 2) vµ gäi lµ c¸c to¸n tö Poincare-Steklov.
XuÊt ph¸t tõ c«ng thøc ®a miÒn, ph­¬ng tr×nh Steklov-Poincare, to¸n tö
Steklov-Poincare, ... mét sè nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi ®· ®Ò xuÊt c¸c ph­¬ng
ph¸p lÆp c¬ së ®Ó xÐt mét d·y c¸c bµi to¸n trong c¸c miÒn con Ω1, Ω2 víi
c¸c ®iÒu kiÖn biªn Dirichlet hoÆc Neumann t­¬ng øng. C¸c ph­¬ng ph¸p ®ã
®­îc thùc hiÖn bëi mét trong c¸c s¬ ®å lÆp sau ®©y:
* C¸c s¬ ®å lÆp c¬ b¶n:
1. S¬ ®å Dirichlet-Neumann:
Cho tr­íc λ(0)
, víi mçi k ≥ 0, gi¶i liªn tiÕp hai bµi to¸n



− u
(k+1)
1 = f, x ∈ Ω1,
u
(k+1)
1 = 0, x ∈ ∂Ω1 ∩ ∂Ω,
u
(k+1)
1 = λ(k)
, x ∈ Γ.



− u
(k+1)
2 = f, x ∈ Ω2,
u
(k+1)
2 = 0, x ∈ ∂Ω2 ∩ ∂Ω,
∂u
(k+1)
2
∂n
=
∂u
(k+1)
1
∂n
, x ∈ Γ.
TÝnh l¹i gi¸ trÞ λ(k+1)
theo c«ng thøc:
λ(k+1)
= θu
(k+1)
2 |Γ + (1 − θ)λ(k)
trong ®ã θ lµ tham sè cÇn lùa chän ®Ó d·y lÆp héi tô.
31
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

34. 2. S¬ ®å Neumann-Neumann:
XuÊt ph¸t tõ λ(0)
, víi mçi k ≥ 0, gi¶i c¸c bµi to¸n:



− u
(k+1)
i = f, x ∈ Ωi,
u
(k+1)
i = 0, x ∈ ∂Ωi ∩ ∂Ω,
u
(k+1)
i = λ(k)
, x ∈ Γ.



− ψ
(k+1)
i = 0, x ∈ Ωi,
ψ
(k+1)
i = 0, x ∈ ∂Ωi ∩ ∂Ω,
∂ψ
(k+1)
i
∂n
=
∂u
(k+1)
1
∂n
−
∂u
(k+1)
2
∂n
, x ∈ Γ.
HiÖu chØnh:
λ(k+1)
= λ(k)
− θ(σ1ψ
(k+1)
1 |Γ − σ2ψ
(k+1)
2 |Γ)
trong ®ã θ > 0 lµ tham sè lÆp, σ1 vµ σ2 lµ hai hÖ sè ­íc l­îng trung b×nh
d­¬ng.
3. S¬ ®å Robin:
Trong tr­êng hîp nµy xuÊt ph¸t tõ u
(0)
2 víi mçi k ≥ 0, gi¶i c¸c bµi to¸n:



− u
(k+1)
1 = f, x ∈ Ω1,
u
(k+1)
1 = 0, x ∈ ∂Ω1 ∩ ∂Ω,
∂u
(k+1)
1
∂n
+ γ1u
(k+1)
1 =
∂u
(k)
2
∂n
+ γ1u
(k)
2 , x ∈ Γ.



− u
(k+1)
2 = f, x ∈ Ω2,
u
(k+1)
2 = 0, x ∈ ∂Ω2 ∩ ∂Ω,
∂u
(k+1)
2
∂n
− γ2u
(k+1)
2 =
∂u
(k+1)
1
∂n
− γ2u
(k+1)
1 , x ∈ Γ.
trong ®ã γ1, γ2 lµ c¸c tham sè gia tèc kh«ng ©m tháa m·n γ1 + γ2 > 0.
XuÊt ph¸t tõ c¬ së cña ph­¬ng ph¸p chia miÒn cïng c¸c s¬ ®å lÆp c¬ b¶n,
nhiÒu t¸c gi¶ trªn thÕ giíi ®· ®Ò xuÊt hµng lo¹t ph­¬ng ph¸p lÆp gi¶i bµi to¸n
32
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

35. biªn elliptic. PhÇn tiÕp theo cña luËn v¨n tr×nh bµy hai ph­¬ng ph¸p kh¸c
nhau tiÕp cËn ®Õn viÖc gi¶i bµi to¸n biªn cho ph­¬ng tr×nh elliptic víi ®iÒu
kiÖn biªn Dirichlet cña 2 nhãm t¸c gi¶ NhËt B¶n vµ ViÖt Nam trong nh÷ng
n¨m gÇn ®©y.
2.2. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn Saito-Fujita
Víi t­ t­ëng hiÖu chØnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn ph©n chia, n¨m 2001, hai
nhµ to¸n häc NhËt B¶n lµ Norikazu Saito vµ Hiroshi Fujita dùa trªn c¬ së s¬
®å lÆp Dirichlet-Neumann ®· ®Ò xuÊt mét ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi
to¸n biªn elliptic víi ®iÒu kiÖn biªn Dirichlet. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n ®­îc
tham kh¶o tõ c¸c tµi liÖu [20, 21].
Cho Ω lµ miÒn trong R2
víi biªn Lipschitz ∂Ω. XÐt bµi to¸n (2.1)



− u = f, x ∈ Ω,
u = ϕ, x ∈ ∂Ω,
trong ®ã f ∈ L2
(Ω), ϕ ∈ H1/2
(∂Ω). C¸ch chia miÒn Ω vµ c¸c kÝ hiÖu ®·
tr×nh bµy ë phÇn ®Çu ch­¬ng.
KÝ hiÖu {u
(k)
1 }, {u
(k)
2 } lµ c¸c d·y hµm héi tô ®Õn u1, u2 mét c¸ch t­¬ng
øng.
T­ t­ëng cña ph­¬ng ph¸p Saito-Fujita lµ t×m ra xÊp xØ g = u|Γ nhËn ®­îc
bëi s¬ ®å lÆp sau:
1. Cho tr­íc g(0)
x¸c ®Þnh trªn Γ.
2. Víi g(k)
x¸c ®Þnh trªn Γ (k ≥ 0), tiÕn hµnh gi¶i hai bµi to¸n



− u
(k)
1 = f, x ∈ Ω1,
u
(k)
1 = ϕ, x ∈ Γ1,
u
(k)
1 = g(k)
, x ∈ Γ,
(2.7)
33
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

36. 


− u
(k)
2 = f, x ∈ Ω2,
u
(k)
2 = ϕ, x ∈ Γ2,
∂u
(k)
2
∂n2
= −
∂u
(k)
1
∂n1
, x ∈ Γ.
(2.8)
3. HiÖu chØnh gi¸ trÞ cña g(k)
theo c«ng thøc:
g(k+1)
= (1 − θ)g(k)
+ θu
(k)
2 , x ∈ Γ, (2.9)
trong ®ã θ lµ tham sè cÇn lùa chän ®Ó d·y lÆp héi tô, 0 < θ < 1.
Ta thÊy r»ng, ®iÒu kiÖn liªn tôc cña ®¹o hµm qua biªn ph©n chia Γ ®· tháa
m·n, cßn ®iÒu kiÖn liªn tôc cña hµm qua biªn ph©n chia Γ phô thuéc vµo sù
héi tô cña d·y lÆp (2.9).
Tõ c¸ch x¸c ®Þnh Hig vµ Gif (i = 1, 2) ë (2.4), (2.5) ta cã



−( u
(k)
2 − G2f) = 0, x ∈ Ω2,
u
(k)
2 − G2f = 0, x ∈ Γ2,
∂(u
(k)
2 − G2f)
∂n2
= −
∂u
(k)
1
∂n1
+
∂G2f
∂n1
, x ∈ Γ.
V× u
(k)
1 = H1g(k)
+ G1f nªn suy ra
u
(k)
2 |Γ =(u
(k)
2 − G2f)|Γ =
=S−1
2
∂H2[(u
(k)
2 − G2f)|Γ]
∂n2
=
=S−1
2
u
(k)
2 − G2f
∂n2
=
=S−1
2 −
∂u
(k)
1
∂n1
+
∂G2f
∂n1
=
=S−1
2 −
∂H1g(k)
∂n1
−
∂G1f
∂n1
+
∂G2f
∂n2
=
=S−1
2 (−S1g(k)
+ χ), x ∈ Γ.
34
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

37. KÕt hîp ®iÒu nµy víi (2.9) ta suy ra
g(k+1)
= (1 − θ)g(k)
+ θS−1
2 (−S1g(k)
+ χ). (2.10)
®Æt ξ(k)
= g(k)
− u|Γ råi thay vµo (2.10) ta ®­îc
ξ(k+1)
+ g = (1 − θ)(ξ(k)
+ g) + θS−1
2 [−S1(ξ(k)
+ g) + χ].
Tõ ®ã suy ra
ξ(k+1)
=[(1 − θ)ξ(k)
− θS−1
2 S1ξ(k)
]
−θ(g + S−1
2 S1g − S−1
2 χ), x ∈ Γ.
(2.11)
Theo ph­¬ng tr×nh Steklov-Poincare (2.6) ta cã
S−1
2 χ = S−1
2 Sg = S−1
2 S1g + g,
thay vµo (2.11) ta suy ra ®­îc
ξ(k+1)
= (1 − θ)ξ(k)
− θS−1
2 S1ξ(k)
.
VËy
ξ(k+1)
= Aθξ(k)
, (2.12)
trong ®ã Aθ = (1 − θ)E − θS−1
2 S1.
(2.12) chÝnh lµ s¬ ®å lÆp ®èi víi sai sè. Ta cã
ξ(k+1)
− ξ(k)
θ
+ (E + S−1
2 S1)ξ(k)
= 0.
®¼ng thøc trªn cã d¹ng (1.31) víi to¸n tö B ≡ E, to¸n tö A = E+S−1
2 S1.
Ta ph¶i ®i t×m θ ®Ó s¬ ®å lÆp (2.12) héi tô.
®Æt H = S−1
2 S1. Nh­ ta ®· biÕt, c¸c to¸n tö Steklov-Poincare Si (i = 1, 2)
®­îc x¸c ®Þnh bëi
Siξ =
∂Hiξ
∂ni
, ξ ∈ Λ = H
1/2
00 (Γ) = {v|Γ : v ∈ H1
0 (Ω)}.
35
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

38. Ta cã
Siξ, η =
Γ
∂Hiξ
∂ni
ηdΓ =
=
Ωi
Hiξ Hiηdx =
=( Hiξ, Hiη)L2(Ω), ∀ξ, η ∈ Λ.
Tõ ®©y ta suy ra Siξ lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc: Siξ : Λ → R víi
mäi ξ ∈ Λ.
Do ®ã, Si (i = 1, 2) lµ to¸n tö t¸c ®éng gi÷a kh«ng gian c¸c hµm Λ =
H
1/2
00 (Γ) vµ kh«ng gian ®èi ngÉu cña nã Λ = H
−1/2
00 (Γ).
Nh­ vËy, Si lµ to¸n tö ®èi xøng vµ còng lµ to¸n tö x¸c ®Þnh d­¬ng bëi v×
víi mäi ξ ∈ Λ, ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Poincare ta cã
Hiξ 2
H1(Ωi) = Hiξ 2
L2(Ωi) + Hiξ 2
L2(Ωi) ≤
≤c2
Hiξ 2
L2(Ωi) + Hiξ 2
L2(Ωi) =
=(1 + c2
) Hiξ 2
L2(Ωi) =
=(1 + c2
)( Hiξ, Hiξ)L2(Ωi) =
=(1 + c2
) Siξ, ξ .
Nh­ vËy tån t¹i h»ng sè C1i sao cho
Siξ, ξ ≥ C2
1i Hiξ 2
H1(Ωi).
Theo ®Þnh lý 1.7-ii ta cã
C2
1i Hiξ 2
H1(Ωi) ≥ C2
2i ξ 2
H1/2(Γ).
Tõ ®©y ta suy ra
Siξ, ξ ≥ C2
1i Hiξ 2
H1(Ωi) ≥ C2
2i ξ 2
H1/2(Γ). (2.13)
H¬n n÷a, ¸p dông bæ ®Ò 1.2-iii trong tr­êng hîp g = ξ, ug = Hiξ ta cã
Siξ, ξ 1/2
≤ Hiξ H1(Ωi) ≤ C3i ξ H1/2(Γ). (2.14)
36
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

39. Tõ (2.13), (2.14) ta nhËn ®­îc
C2i ξ H1/2(Γ) ≤ Siξ, ξ 1/2
≤ C3i ξ H1/2(Γ).
Nh­ vËy, Siξ, η (i = 1, 2) ®­îc ®Þnh nghÜa lµ mét tÝch v« h­íng cña
ξ, η ∈ Λ . KÝ hiÖu tÝch v« h­íng nµy lµ (, )Si
(i = 1, 2) vµ chuÈn sinh bëi tÝch
v« h­íng nµy t­¬ng ®­¬ng víi chuÈn th«ng th­êng cña H1/2
(Γ). KÝ hiÖu
chuÈn nµy lµ . Si
(i = 1, 2). Ta cã
(ξ, η)S2
= S2ξ, η , ξ S2
= S2ξ, ξ 1/2
.
Trong tÝch v« h­íng nµy
(Hξ, η)S2
= S2Hξ, η = S2(S−1
2 S1)ξ, η = S1ξ, η .
V× S1 lµ to¸n tö ®èi xøng nªn H = S−1
2 S1 lµ to¸n tö ®èi xøng. Do ®ã,
A = E + S−1
2 S1 = E + H lµ to¸n tö ®èi xøng.
§Þnh nghÜa 2.2 Cho m ≥ 1, l ≥ 1. (Ω, Γ) ®­îc gäi lµ tháa m·n ®iÒu kiÖn
(Fm) nÕu
S1ξ, ξ) ≤ m S2ξ, ξ , ∀ξ ∈ Λ.
MÆt kh¸c, (Ω, Γ) ®­îc gäi lµ tháa m·n ®iÒu kiÖn (Fl
) nÕu
S2ξ, ξ) ≤ l S1ξ, ξ , ∀ξ ∈ Λ.
Bæ ®Ò 2.1 NÕu (Ω, Γ) tháa m·n c¶ hai ®iÒu kiÖn (Fm) vµ (Fl
) th×
1
l
ξ 2
S2
≤ (Hξ, ξ)S2
≤ m ξ 2
S2
, ∀ξ ∈ Λ.
ThËt vËy, nÕu (Ω, Γ) tháa m·n c¶ hai ®iÒu kiÖn (Fm) vµ (Fl
) th× tån t¹i
m ≥ 1, l ≥ 1 sao cho
S1ξ, ξ ≤ m S2ξ, ξ ≤ ml S1ξ, ξ , ∀ξ ∈ Λ
suy ra
S2(S−1
2 S1)ξ, ξ ≤ m S2ξ, ξ ≤ ml S2(S−1
2 S1)ξ, ξ , ∀ξ ∈ Λ
37
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

40. suy ra
(Hξ, ξ)S2
≤ m ξ 2
S2
≤ ml(Hξ, ξ)S2
, ∀ξ ∈ Λ.
Do ®ã
1
l
ξ 2
S2
≤ (Hξ, ξ)S2
≤ m ξ 2
S2
, ∀ξ ∈ Λ.
VÝ dô 2.1 (Ω, Γ) tháa m·n ®iÒu kiÖn (Fm) vµ (Fl
):
Cho Γ lµ mét ®o¹n th¼ng trªn trôc y, m ≥ 1, l ≥ 1,
Tm : (x, y) −→
x
m
, y ,
Tl : (x, y) −→
x
l
, y ,
TmΩ2 lµ ¶nh cña miÒn Ω2 qua Tm,
(TmΩ2) lµ ¶nh cña TmΩ2 qua phÐp ®èi xøng qua trôc y,
TlΩ1 lµ ¶nh cña miÒn Ω1 qua Tl,
(TlΩ1) lµ ¶nh cña TlΩ1 qua phÐp ®èi xøng qua trôc y.
NÕu (TmΩ2) ⊆ Ω1, (TlΩ1) ⊆ Ω2 th× khi ®ã (Ω, T) tháa m·n ®iÒu kiÖn
(Fm) vµ (Fl
).
Nh­ vËy, gi¶ sö r»ng phÐp chia miÒn Ω thµnh hai miÒn con Ω1 vµ Ω2 cã
tån t¹i c¸c h»ng sè m, l ≥ 1 sao cho c¸c ®iÒu kiÖn (Fm) vµ (Fl
) ®­îc tháa
m·n. Khi ®ã, theo bæ ®Ò trªn ta cã
1
l
≤ H ≤ m
suy ra
1 +
1
l
≤ E + H ≤ 1 + m.
Nh­ vËy
1 +
1
l
≤ A = E + H ≤ 1 + m.
Khi ®ã, theo lý thuyÕt tæng qu¸t s¬ ®å lÆp hai líp ë ch­¬ng 1 ta suy ra
víi
0 < θ <
2
1 + m
38
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

41. th× s¬ ®å lÆp (2.12) héi tô. Gi¸ trÞ tèi ­u cña tham sè ®­îc x¸c ®Þnh bëi
θopt =
2
1 +
1
l
+ 1 + m
=
2
2 +
1
l
+ m
.
Víi gi¸ trÞ nµy cña θ ta thu ®­îc ­íc l­îng
ξ(k+1)
2 ≤ ρk+1
ξ(0)
2,
trong ®ã
ρ =
1 + m − 1 +
1
l
1 + m + 1 +
1
l
=
m −
1
l
m +
1
l
+ 2
.
Nh­ vËy, trong ph­¬ng ph¸p Saito-Fujita tr×nh bµy ë trªn, mçi lÇn lÆp cÇn
gi¶i quyÕt mét bµi to¸n Dirichlet (2.7) trong Ω1, sau ®ã gi¶i mét bµi to¸n
Neumann (2.8) trong Ω2. Dùa trªn c¸c tµi liÖu tham kh¶o [1, 13], trong phÇn
tiÕp theo chóng t«i sÏ tr×nh bµy mét ph­¬ng ph¸p chia miÒn víi t­ t­ëng
kh¸c ph­¬ng ph¸p Saito-Fujita.
2.3. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn Dang Quang A-Vu Vinh Quang
XuÊt ph¸t tõ t­ t­ëng hiÖu chØnh gi¸ trÞ ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia, n¨m
2004, hai nhµ to¸n häc ViÖt Nam lµ §Æng Quang ¸ vµ Vò Vinh Quang ®·
®Ò xuÊt mét ph­¬ng ph¸p chia miÒn míi. Néi dung chÝnh cña ph­¬ng ph¸p
nh­ sau:
Cho Ω lµ miÒn trong R2
víi biªn Lipschitz ∂Ω. XÐt bµi to¸n (2.1)



− u = f, x ∈ Ω,
u = ϕ, x ∈ ∂Ω,
trong ®ã f ∈ L2
(Ω), ϕ ∈ H1/2
(∂Ω). C¸ch chia miÒn Ω vµ c¸c kÝ hiÖu ®·
tr×nh bµy ë phÇn ®Çu ch­¬ng.
KÝ hiÖu g =
∂u1
∂n1
|
Γ
, {u
(k)
1 }, {u
(k)
2 } lµ c¸c d·y hµm héi tô ®Õn u1, u2 mét
c¸ch t­¬ng øng.
39
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

42. T­ t­ëng cña ph­¬ng ph¸p DQuangA-VVQuang lµ t×m ra xÊp xØ cña g
nhËn ®­îc bëi s¬ ®å lÆp sau:
1. Cho g(0)
∈ L2
(Γ).
2. Víi g(k)
x¸c ®Þnh trªn Γ (k ≥ 0) tiÕn hµnh gi¶i hai bµi to¸n



− u
(k)
1 = f, x ∈ Ω1,
u
(k)
1 = ϕ, x ∈ Γ1,
∂u
(k)
1
∂n1
= g(k)
, x ∈ Γ,
(2.15)



− u
(k)
2 = f, x ∈ Ω2,
u
(k)
2 = ϕ, x ∈ Γ2,
u
(k)
2 = u
(k)
1 , x ∈ Γ.
(2.16)
3. HiÖu chØnh gi¸ trÞ cña g(k)
theo c«ng thøc:
g(k+1)
= (1 − θ)g(k)
− θ
∂u
(k)
2
∂n2
, x ∈ Γ, (2.17)
trong ®ã θ lµ tham sè lÆp cÇn lùa chän ®Ó d·y lÆp héi tô (0 < θ < 1).
Ta thÊy r»ng, ®iÒu kiÖn liªn tôc cña hµm qua biªn ph©n chia Γ ®­îc tháa
m·n, cßn ®iÒu kiÖn liªn tôc cña ®¹o hµm qua biªn ph©n chia Γ phô thuéc vµo
sù héi tô cña d·y lÆp (2.17).
Ta ®i nghiªn cøu sù héi tô cña ph­¬ng ph¸p: (2.17) ®­îc viÕt l¹i d­íi
d¹ng
g(k+1)
− g(k)
θ
+ g(k)
+
∂u
(k)
2
∂n2
= 0, k = 0, 1, 2, ..., x ∈ Γ. (2.18)
KÝ hiÖu



e
(k)
i = u
(k)
i − ui (i = 1, 2),
ξ(k)
= g(k)
− g.
(2.19)
40
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

43. Khi ®ã, tõ (2.15)-(2.19) ta cã



− e
(k)
1 = 0, x ∈ Ω1,
e
(k)
1 = 0, x ∈ Γ1,
∂e
(k)
1
∂n1
= ξ(k)
, x ∈ Γ,
(2.20)



− e
(k)
2 = 0, x ∈ Ω2,
e
(k)
2 = 0, x ∈ Γ2,
e
(k)
2 = e
(k)
1 , x ∈ Γ,
(2.21)
ξ(k+1)
− ξ(k)
θ
+ ξ(k)
+
∂e
(k)
2
∂n2
= 0, k = 0, 1, 2, ... (2.22)
Ta xÐt c¸c to¸n tö Steklov-Poincare S1, S2:
Siξ =
∂Hiξ
∂ni
, x ∈ Γ (i = 1, 2).
Ta ®· biÕt Hiξ lµ nghiÖm cña bµi to¸n



− vi = 0, x ∈ Ωi,
vi = 0, x ∈ Γi,
vi = ξ, x ∈ Γ.
VËy to¸n tö nghÞch ®¶o Poincare-Steklov S−1
i ®­îc ®Þnh nghÜa bëi
S−1
i ξ = wi|Γ (i = 1, 2),
trong ®ã wi lµ nghiÖm cña bµi to¸n



− wi = 0, x ∈ Ωi,
wi = 0, x ∈ Γi,
∂wi
∂ni
= ξ, x ∈ Γ.
Tõ (2.20), (2.21) ta suy ra
e
(k)
1 |Γ = S−1
1 ξ(k)
,
∂e
(k)
2
∂n2
= S2 e
(k)
1 |Γ .
41
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

44. Nh­ vËy, (2.22) ®­îc viÕt l¹i d­íi d¹ng
ξ(k+1)
− ξ(k)
θ
+ (E + S2S−1
1 )ξ(k)
= 0, k = 0, 1, 2, ...
T¸c ®éng S−1
1 lªn c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh trªn ta thu ®­îc
e
(k+1)
1 |Γ − e
(k)
1 |Γ
θ
+ (E + S−1
1 S2)e
(k)
1 |Γ = 0, k = 0, 1, 2, ...
Ph­¬ng tr×nh nµy cã d¹ng (1.31) víi to¸n tö B ≡ E, A = E + S−1
1 S2. Do
®ã
e
(k+1)
1 |Γ = (E − θA)e
(k)
1 |Γ. (2.23)
(2.23) chÝnh lµ s¬ ®å lÆp ®èi víi sai sè. Ta cÇn t×m tham sè θ ®Ó s¬ ®å lÆp
nµy héi tô.
Nh­ ë phÇn tr­íc ®· tr×nh bµy, c¸c to¸n tö Steklov-Poincare Si (i = 1, 2)
lµ ®èi xøng, x¸c ®Þnh d­¬ng, t¸c ®éng gi÷a kh«ng gian c¸c hµm Λ = H
1/2
00 (Γ)
vµ kh«ng gian ®èi ngÉu Λ = H
−1/2
00 (Γ), Siξ, η ®­îc ®Þnh nghÜa lµ mét tÝch
v« h­íng cña ξ, η ∈ Λ vµ chuÈn ®­îc sinh bëi tÝch v« h­íng nµy t­¬ng
®­¬ng víi chuÈn th«ng th­êng cña H1/2
(Γ). Ta ®· kÝ hiÖu tÝch v« h­íng vµ
chuÈn t­¬ng øng nµy lµ (, )Si
vµ . Si
(i = 1, 2). VËy ta cã
(ξ, η)S1
= S1ξ, η , ξ S1
= S1ξ, ξ 1/2
.
Trong tÝch v« h­íng nµy
(Aξ, η)S1
= S1(E + S−1
1 S2)ξ, η = S1ξ, η + S2ξ, η .
Do S1, S2 lµ c¸c to¸n tö ®èi xøng nªn to¸n tö A = E + S−1
1 S2 còng lµ
to¸n tö ®èi xøng. H¬n n÷a, gi¶ sö phÐp chia miÒn Ω thµnh c¸c miÒn con
Ω1, Ω2 cã tån t¹i c¸c h»ng sè 0 < m ≤ M sao cho
m ≤
S2ξ, ξ
S1ξ, ξ
≤ M, ∀ξ ∈ Λ. (2.24)
Khi ®ã ta cã
m ξ 2
S1
≤ S1S−1
1 S2ξ, ξ ≤ M ξ 2
S1
, ∀ξ ∈ Λ
42
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

45. suy ra
(1 + m) ξ 2
S1
≤ S1(E + S−1
1 S2)ξ, ξ ≤ (1 + M) ξ 2
S1
, ∀ξ ∈ Λ.
Do ®ã
(1 + m) ξ 2
S1
≤ (Aξ, ξ)S1
≤ (1 + M) ξ 2
S1
, ∀ξ ∈ Λ,
tøc lµ
(1 + m)E ≤ A ≤ (1 + M)E.
Nh­ vËy, theo lý thuyÕt tæng qu¸t cña s¬ ®å lÆp hai líp ë ch­¬ng 1 ta suy
ra r»ng nÕu
0 < θ <
2
1 + M
(2.25)
th× s¬ ®å lÆp (2.23) héi tô vµ gi¸ trÞ tèi ­u cña θ lµ
θopt =
2
1 + M + 1 + m
=
2
2 + m + M
. (2.26)
Víi gi¸ trÞ nµy cña θ ta thu ®­îc ­íc l­îng
e
(k)
1 |Γ S1
≤ ρk
e
(0)
1 |Γ S1
, (2.27)
trong ®ã
ρ =
1 + M − (1 + m)
1 + M + 1 + m
=
M − m
2 + m + M
. (2.28)
Trªn Γ : e
(k)
1 = e
(k)
2 . KÕt hîp ®iÒu nµy víi (2.14) ta suy ra
e
(k)
i H1(Ωi) ≤ C1 e
(k)
1 |Γ H1/2(Γ). (2.29)
ChuÈn . S1
vµ chuÈn trªn H1/2
(Γ) lµ t­¬ng ®­¬ng, kÕt hîp víi (2.27) vµ
(2.29) ta suy ra
e
(k)
i H1(Ωi) ≤ Cρk
e
(0)
1 |Γ H1/2(Γ). (2.30)
ë ®©y c¸c h»ng sè d­¬ng C1i, C2i, C3i, C1, C chØ phô thuéc vµo Ωi vµ Γ.
Ta ph¸t biÓu kÕt qu¶ thu ®­îc ë trªn vÒ sù héi tô cña ph­¬ng ph¸p bëi
®Þnh lý sau ®©y:
43
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

46. §Þnh lÝ 2.1 Víi gi¶ thiÕt (2.24) vÒ c¸c miÒn con Ω1, Ω2 ph­¬ng ph¸p lÆp
(2.15)-(2.17) héi tô nÕu tham sè lÆp θ tháa m·n ®iÒu kiÖn (2.25). H¬n n÷a,
víi gi¸ trÞ tèi ­u θopt ®­îc cho bëi (2.26) ta cã ­íc l­îng (2.30) cho c¸c sai
sè e
(k)
i = u
(k)
i − u trong ®ã ρ ®­îc tÝnh bëi (2.28).
VÝ dô 2.2 XÐt tr­êng hîp khi Ω lµ h×nh ch÷ nhËt [0, 1]×[0, b] ®­îc chia thµnh
hai miÒn con b»ng ®o¹n th¼ng: Γ = {x1 = a, 0 ≤ x2 ≤ b}, 0 < a < 1.
H×nh 2.2
Trong tr­êng hîp nµy, nghiÖm cña bµi to¸n



− vi = 0, x ∈ Ωi,
vi = 0, x ∈ Γi,
vi = ξ, x ∈ Γ (i = 1, 2)
cã thÓ t×m d­íi d¹ng
v1(x1, x2) =
∞
n=1
ξn
sh(λna)
sh(λnx1)en(x2),
v2(x1, x2) =
∞
n=1
ξn
sh(λn(1 − a))
sh(λn(1 − x1))en(x2),
trong ®ã
λn =
nπ
b
, en(x2) =
2
b
sin(λnx2),
44
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

47. ξn = (ξ, en)L2(Ω) =
b
0
ξ(x2)en(x2)dx2.
Do ®ã ta cã
S1ξ =
∂v1
∂x1 x1=a
=
∞
n=1
λncoth(λna)ξnen(x2),
S2ξ =
−∂v2
∂x1 x1=a
=
∞
n=1
λncoth(λn(1 − a))ξnen(x2).
V× Siξ ∈ L2
(Γ)(i = 1, 2) nªn ta suy ra
S1ξ, ξ = (S1ξ, ξ)L2(Γ) =
b
0
∞
n=1
λncoth(λna)ξnen(x2)ξ(x2)dx2 =
=
∞
n=1
λncoth(λna)ξ2
n,
S2ξ, ξ = (S2ξ, ξ)L2(Γ) =
b
0
∞
n=1
λncoth(λn(1 − a))ξnen(x2)ξ(x2)dx2 =
=
∞
n=1
λncoth(λn(1 − a))ξ2
n.
Ta cã ®¸nh gi¸
m S1ξ, ξ ≤ S2ξ, ξ ≤ M S1ξ, ξ ,
trong ®ã
m = inf
n≥1
coth(λn(1 − a))
coth(λna)
= inf
n≥1
th
nπa
b
th
nπ(1 − a)
b
,
M = sup
n≥1
coth(λn(1 − a))
coth(λna)
= sup
n≥1
th
nπa
b
th
nπ(1 − a)
b
.
Râ rµng nÕu a =
1
2
th× S1ξ, ξ = S2ξ, ξ . Do ®ã, m = M = 1.
45
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

48. XÐt víi 0 < a < 1 bÊt kú. V× hµm Q(x) =
th(c1x)
th(c2x)
lµ hµm t¨ng khi
0 < c1 < c2, lµ hµm gi¶m khi 0 < c2 < c1 nªn víi 0 < a ≤
1
2
ta cã
m =
th
πa
b
th
π(1 − a)
b
, M = 1.
Cßn víi
1
2
< a < 1 ta cã
M =
th
πa
b
th
π(1 − a)
b
, m = 1.
Do ®ã, víi mçi 0 < a < 1 bÊt kú, gi¸ trÞ tèi ­u cña tham sè θ lµ
θopt =
2
3 +
th
πa
b
th
π(1 − a)
b
.
Víi
1
2
< a < 1, gi¸ trÞ tèi ­u cña ρ lµ
ρopt =
th
πa
b
th
π(1 − a)
b
− 1
3 +
th
πa
b
th
π(1 − a)
b
=
th
πa
b
− th
π(1 − a)
b
3th
π(1 − a)
b
+ th
πa
b
.
Víi 0 < a ≤
1
2
ta cã
ρopt =
1 −
th
πa
b
th
π(1 − a)
b
3 +
th
πa
b
th
π(1 − a)
b
=
th
π(1 − a)
b
− th
πa
b
3th
π(1 − a)
b
+ th
πa
b
.
46
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

49. 2.4. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n biªn hçn hîp
m¹nh
Trªn c¬ së cña c¸c kÕt qu¶ ®èi víi ph­¬ng ph¸p chia miÒn ®· ®Ò xuÊt gi¶i
bµi to¸n biªn Dirichlet, trong phÇn nµy chóng t«i sÏ tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶
nghiªn cøu ®èi víi viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai khi ®iÒu kiÖn
biªn lµ hçn hîp m¹nh trong miÒn h×nh häc phøc t¹p b»ng ph­¬ng ph¸p chia
miÒn cña c¸c t¸c gi¶ §Æng Quang ¸ - Vò Vinh Quang. C¸c kiÕn thøc ®­îc
tham kh¶o tõ c¸c tµi liÖu [2, 7, 8].
XÐt bµi to¸n:



− u(x) = f(x), x ∈ Ω,
u(x) = g(x), x ∈ ∂Ω.
trong ®ã Ω ∈ R2
, lµ to¸n tö ®iÒu kiÖn biªn, f(x) vµ g(x) lµ c¸c hµm sè cho
tr­íc.
Ta xÐt tr­êng hîp tæng qu¸t khi ®iÒu kiÖn biªn u(x) = g(x) lµ ®iÒu kiÖn
biªn d¹ng hçn hîp m¹nh tøc lµ trªn mét phÇn biªn gåm c¶ 2 lo¹i ®iÒu kiÖn
biªn Dirichlet ( lµ to¸n tö hµm) vµ Neumann ( lµ to¸n tö ®¹o hµm h­íng),
®©y lµ bµi to¸n ®· ®­îc nhiÒu t¸c gi¶ trªn thÕ giíi quan t©m.
H×nh 2.3
47
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

50. 2.4.1. C¬ së ph­¬ng ph¸p.
Gi¶ sö Ω cho bëi h×nh 2.3, xÐt bµi to¸n



− u = f, x ∈ Ω,
u = ϕ, x ∈ ∂Ω Γn,
∂u
∂ν
= ψ, x ∈ Γn
(2.31)
Chia Ω thµnh 2 miÒn Ω1, Ω2 víi biªn tr¬n Γ, Ω = Ω1 ∪ Ω2, Ω1 ∩ Ω2 = ∅.
Ký hiÖu Γ1 = ∂Ω1 {Γd ∪ Γ}, Γ2 = ∂Ω2 {Γn ∪ Γ}, ký hiÖu ui lµ nghiÖm
trong miÒn Ωi (i = 1, 2). T­ t­ëng cña ph­¬ng ph¸p lµ t×m ra c¸c xÊp xØ cña
g =
∂u1
∂ν1
|Γ ®Ó chuyÓn bµi to¸n ®ang xÐt vÒ hai bµi to¸n trong 2 miÒn.
X©y dùng thuËt to¸n chia miÒn nh­ sau:
B­íc 1. Khëi ®éng
g(0)
∈ L2
(Γ), g(0)
= 0, x ∈ Γ.
B­íc 2. Víi g(k)
trªn Γ(k = 0, 1, 2, ...) tiÕn hµnh gi¶i 2 bµi to¸n



− u
(k)
1 = f, x ∈ Ω1,
u
(k)
1 = ϕ, x ∈ Γ1 ∪ Γd,
∂u
(k)
1
∂ν1
= g(k)
, x ∈ Γ.
(2.32)



− u
(k)
2 = f, x ∈ Ω2,
u
(k)
2 = ϕ, x ∈ Γ2,
u
(k)
2 = u
(k)
1 , x ∈ Γ,
∂u
(k)
2
∂ν2
= ψ, x ∈ Γn.
(2.33)
B­íc 3. HiÖu chØnh gi¸ trÞ g(k+1)
g(k+1)
= (1 − θ)gk
− θ
∂u
(k)
2
∂ν2
, x ∈ Γ, (2.34)
trong ®ã θ lµ tham sè lÆp cÇn lùa chän.
48
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

51. 2.4.2. Sù héi tô cña ph­¬ng ph¸p
S¬ ®å (2.34) ®­îc viÕt l¹i d­íi d¹ng
g(k+1)
− g(k)
θ
+ g(k)
+
∂u
(k)
2
∂ν2
= 0, (k = 0, 1, 2, ...).
Ký hiÖu



e
(k)
i = u
(k)
i − ui, (i = 1, 2),
ξ(k)
= g(k)
− g.
Khi ®ã e
(k)
i vµ ξ(k)
tháa m·n



− e
(k)
1 = 0, x ∈ Ω1,
e
(k)
1 = 0, x ∈ Γ1 ∪ Γd,
∂e
(k)
1
∂ν1
= ξ(k)
, x ∈ Γ,



− e
(k)
2 = 0, x ∈ Ω2,
e
(k)
2 = 0, x ∈ Γ2,
e
(k)
2 = e
(k)
1 , x ∈ Γ,
∂e
(k)
2
∂ν2
= 0, x ∈ Γn.
ξ(k+1)
− ξ(k)
θ
+ ξ(k)
+
∂e
(k)
2
∂ν2
= 0, x ∈ Γ, (k = 0, 1, 2, ...). (2.35)
§Þnh nghÜa c¸c to¸n tö Steklov-Poincare S1, S2
S1ξ =
∂v1
∂ν1
, x ∈ Γ trong ®ã v1 lµ nghiÖm cña bµi to¸n



− v1 = 0, x ∈ Ω1,
v1 = 0, x ∈ Γ1 ∪ Γd,
v1 = ξ, x ∈ Γ.
49
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

52. S2ξ =
∂v2
∂ν2
, x ∈ Γ trong ®ã v2 lµ nghiÖm cña bµi to¸n



− v2 = 0, x ∈ Ω2,
v2 = 0, x ∈ Γ2,
v2 = ξ, x ∈ Γ,
∂v2
∂ν2
= 0, x ∈ Γn.
To¸n tö nghÞch ®¶o S−1
1 ®­îc ®Þnh nghÜa bëi
S−1
1 ξ = w1|Γ
trong ®ã w1 lµ nghiÖm cña bµi to¸n



− w1 = 0, x ∈ Ω1,
w1 = 0, x ∈ Γ1,
∂w1
∂ν1
= ξ, x ∈ Γ.
Khi ®ã
S−1
1 ξ(k)
= e
(k)
1 |Γ,
S2e
(k)
1 =
∂e
(k)
2
∂ν2
|
Γ
.
Sö dông c¸c to¸n tö S1, S2 ®· ®Þnh nghÜa, ta viÕt l¹i (2.35) d­íi d¹ng
ξ(k+1)
− ξ(k)
θ
+ (I + S2S−1
1 )ξ(k)
= 0, (k = 0, 1, ...).
T¸c ®éng S−1
1 lªn c¶ 2 vÕ cña ph­¬ng tr×nh trªn, ta thu ®­îc
e
(k+1)
1 |Γ − e
(k)
1 |Γ
θ
+ (I + S−1
1 S2)e
(k)
1 |Γ = 0, (k = 0, 1, ...).
§Æt B = I + S−1
1 S2, khi ®ã ta nhËn ®­îc
e
(k+1)
1 |Γ = (I − θB)e
(k)
1 |Γ. (2.36)
50
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

53. §©y chÝnh lµ s¬ ®å lÆp cho sai sè. Nghiªn cøu tÝnh chÊt cña to¸n tö B, xÐt
c¸c kh«ng gian Λ = H
1/2
00 (Γ) = {v|Γ : v ∈ H1
0 (Ω)} vµ kh«ng gian ®èi ngÉu
Λ = H
−1/2
00 (Γ). Khi ®ã ®Þnh nghÜa t­¬ng ®­¬ng cña to¸n tö S1 lµ
S1ξ, η Λ ,Λ =( H1ξ, H1η)L2(Ω1), ∀ξ, η ∈ Λ.
trong ®ã H1ξ lµ th¸c triÓn ®iÒu hßa cña ξ lªn Ω1.
Trong (2.2.) ®· chøng minh r»ng S1 lµ to¸n tö ®èi xøng, x¸c ®Þnh d­¬ng vµ
C21 ξ H1/2(Γ) ≤ S1ξ, ξ 1/2
≤ C31 ξ H1/2(Γ). (2.37)
Do ®ã S1ξ, η Λ ,Λ ®­îc ®Þnh nghÜa lµ 1 tÝch v« h­íng cña ξ, η ∈ Λ vµ chuÈn
®­îc sinh bëi tÝch v« h­íng nµy t­¬ng ®­¬ng víi chuÈn th«ng th­êng cña
H1/2
(Γ). Ký hiÖu tÝch v« h­íng nµy vµ d¹ng chuÈn t­¬ng ®­¬ng bëi (., .)s1
vµ . s1
t­¬ng øng.
Tõ ®Þnh nghÜa cña S2 : S2ξ =
∂v
∂ν2
trong ®ã v lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh



− v = 0, x ∈ Ω2,
v = 0, x ∈ Γ2,
v = ξ, x ∈ Γ,
∂v
∂ν2
= 0, x ∈ Γn.
Gi¶ sö η ∈ H
1/2
00 (Γ), ký hiÖu w = H2η lµ th¸c triÓn ®iÒu hßa cña η lªn Ω2
tøc lµ w lµ nghiÖm cña bµi to¸n



− w = 0, x ∈ Ω2,
w = 0, x ∈ Γ2,
w = η, x ∈ Γ,
∂w
∂ν2
= 0, x ∈ Γn.
51
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

54. Ký hiÖu v = H2ξ lµ th¸c triÓn ®iÒu hßa cña ξ lªn Ω2. Khi ®ã
0 = −
Ω2
∆vwdx =
∂Ω2
−
∂v
∂ν2
wds +
Ω2
v wdx =
= −
Γ
S2ξηds +
Ω2
H2ξ. H2ηdx.
Tõ ®ã
Γ
S2ξηds =
Ω2
H2ξ. H2ηdx. (2.38)
Theo bÊt ®¼ng thøc Poincare-Fridrichs ta cã
< S2ξ, ξ >Λ ,Λ = ( H2ξ, H2ξ)L2(Ω2) ≥ C2
22 H2ξ 2
H1(Ω2).
Nh­ vËy tõ ®Þnh nghÜa suy ra
(ξ, η)S1
= < S1ξ, η >Λ ,Λv ξ S1
= < S1ξ, ξ >
1/2
Λ ,Λ.
Trong tÝch n¨ng l­îng cña S1 ta cã
(Bξ, η)S1
= S1(I + S−1
1 S2)ξ, η Λ ,Λ = S1ξ, η Λ ,Λ + S2ξ, η Λ ,Λ. (2.39)
Do S1, S2 lµ c¸c to¸n tö ®èi xøng nªn to¸n tö B còng lµ to¸n tö ®èi xøng.
Gi¶ sö r»ng ®èi víi phÐp chia miÒn Ω thµnh c¸c miÒn con Ω1, Ω2 cã tån t¹i
c¸c h»ng sè 0 < m ≤ M sao cho
m ≤
S2ξ, ξ Λ ,Λ
S1ξ, ξ Λ ,Λ
≤ M, ∀ξ ∈ Λ. (2.40)
Khi ®ã ta cã
(1 + m) ξ 2
S1
≤ (Bξ, ξ)S1
≤ (1 + M) ξ 2
S1
,
tøc lµ
(1 + m)I ≤ B ≤ (1 + M)I, (2.41)
52
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

55. trong kh«ng gian S1.
Tõ lý thuyÕt tæng qu¸t cña s¬ ®å lÆp 2 líp suy ra r»ng nÕu
0 < θ <
2
1 + M
, (2.42)
th× I − θB < 1 vµ gi¸ trÞ tèi ­u cña θ lµ
θopt =
2
2 + m + M
. (2.43)
Víi gi¸ trÞ nµy cña θ, ta thu ®­îc ­íc l­îng
e
(k)
1 |Γ S1
≤ ρk
e
(0)
1 |Γ S1
víi
ρ =
M − m
2 + m + M
. (2.44)
Khi ®ã
e
(k)
i H1(Ωi) ≤ C1 e
(k)
1 |Γ H1/2(Γ),
vµ
e
(k)
i H1(Ωi) ≤ Cρk
e
(k)
1 |Γ H1/2(Γ)
(2.45)
ë ®©y c¸c h»ng sè d­¬ng C21, C31, C22, C1, C chØ phô thuéc vµo Ωi vµ Γ.
KÕt qu¶ nghiªn cøu sù héi tô cña ph­¬ng ph¸p ®­îc ph¸t biÓu bëi ®Þnh lý
sau ®©y:
§Þnh lÝ 2.2 Víi gi¶ thiÕt (2.40) ph­¬ng ph¸p lÆp (2.32)-(2.34) héi tô nÕu
tham sè lÆp θ tháa m·n ®iÒu kiÖn (2.42) víi gi¸ trÞ tèi ­u ®­îc cho bëi
(2.43) vµ ­íc l­îng cho c¸c sai sè ®­îc x¸c ®Þnh bëi (2.45).
KÕt luËn
Trªn c¬ së cña ph­¬ng ph¸p chia miÒn tæng qu¸t, néi dung ch­¬ng 2 cña
luËn v¨n ®· tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ lý thuyÕt vÒ 3 ph­¬ng ph¸p chia miÒn:
Ph­¬ng ph¸p chia miÒn Saito-Fujita, ph­¬ng ph¸p chia miÒn Dang Quang
53
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

56. A-Vu Vinh Quang vµ ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n biªn hçn hîp
m¹nh, ®­a ra c¸c s¬ ®å tæng qu¸t, chøng minh sù héi tô cña 3 ph­¬ng ph¸p
vµ chØ ra sù lùa chän tham sè tèi ­u trong tr­êng hîp ®Æc biÖt, c¸c kÕt qu¶
nµy lµ c¬ së ®Ó chóng ta nghiªn cøu ph­¬ng ph¸p chia miÒn ®èi víi bµi to¸n
song ®iÒu hßa ®­îc tr×nh bµy trong ch­¬ng tiÕp theo cña luËn v¨n.
54
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

57. Ch­¬ng 3
Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song
®iÒu hßa
3.1. Giíi thiÖu vÒ ph­¬ng tr×nh song ®iÒu hßa
Ph­¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp cao mµ tiªu biÓu lµ ph­¬ng tr×nh song
®iÒu hßa lµ líp ph­¬ng tr×nh m« t¶ nhiÒu bµi to¸n trong khoa häc, kü thuËt.
Ph­¬ng tr×nh nµy ®· vµ ®ang thu hót sù quan t©m lín cña rÊt nhiÒu nhµ c¬
häc, c¸c kü s­ vµ c¸c nhµ to¸n häc. Trong vßng ba thËp niªn qua, cã rÊt
nhiÒu ph­¬ng ph¸p míi h÷u hiÖu gi¶i ph­¬ng tr×nh song ®iÒu hßa ®· ®­îc
nghiªn cøu vµ ph¸t triÓn nh­: ph­¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n, ph­¬ng ph¸p sai
ph©n, ph­¬ng ph¸p ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n biªn vµ phÇn tö biªn. C¸c ph­¬ng
ph¸p nµy ®Òu t×m c¸ch ®­a bµi to¸n vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh cì
lín, dÉn ®Õn nhu cÇu ph¸t triÓn c¸c ph­¬ng ph¸p h÷u hiÖu ®Ó gi¶i c¸c hÖ
ph­¬ng tr×nh l­íi. Ngoµi ra, viÖc t×m nghiÖm xÊp xØ trong mét sè d¹ng bµi
to¸n ®Æc biÖt cã thÓ x¸c ®Þnh th«ng qua c¸c hµm mÉu d­íi d¹ng täa ®é cùc
(xem [14, 18]) hoÆc sö dông ph­¬ng ph¸p chia miÒn b»ng c¸ch x©y dùng
d·y lÆp x¸c ®Þnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn chung theo s¬ ®å Dirichlet-Neumann
(xem [15]). XuÊt ph¸t tõ t­ t­ëng ph©n r· bµi to¸n song ®iÒu hßa vÒ hai bµi
to¸n elliptic cÊp hai cña t¸c gi¶ §Æng Quang ¸ cïng víi c¸c kÕt qu¶ ®¹t ®­îc
khi nghiªn cøu ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n biªn cho ph­¬ng tr×nh
elliptic cÊp hai, phÇn tiÕp theo cña luËn v¨n sÏ tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ nghiªn
cøu vÒ ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu kiÖn biªn
Dirichlet hoÆc ®iÒu kiÖn biªn hçn hîp m¹nh dùa trªn t­ t­ëng x¸c ®Þnh gi¸
trÞ xÊp xØ cña hµm vµ ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia. Ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t
55
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

58. ®­îc xÐt cã d¹ng:



∆2
u − c∆u + du = f, c ≥ 0, x ∈ Ω,
0u = g0, x ∈ ∂Ω,
1(∆u) = g1, x ∈ ∂Ω,
(3.1)
trong ®ã Ω ∈ Rm
, ∂Ω lµ biªn Lipschitz, f ∈ L2
(Ω), 0, 1 lµ mét sè d¹ng
to¸n tö ®iÒu kiÖn biªn ®¶m b¶o ®iÒu kiÖn ®Ó bµi to¸n cã nghiÖm duy nhÊt,
g0, g1 lµ c¸c hµm sè cho tr­íc. Ph­¬ng tr×nh (3.1) ®­îc gäi lµ ph­¬ng tr×nh
song ®iÒu hßa tæng qu¸t. Tïy thuéc vµo c¸c hÖ sè c, d, xÐt hai d¹ng bµi to¸n
c¬ b¶n:
Bµi to¸n biªn thø nhÊt



∆2
u − c∆u = f, c ≥ 0, x ∈ Ω,
0u = g0, x ∈ ∂Ω,
1(∆u) = g1, x ∈ ∂Ω,
(3.2)
Bµi to¸n biªn thø hai



∆2
u − c∆u + du = f, c ≥ 0, d = 0, x ∈ Ω,
0u = g0, x ∈ ∂Ω,
1(∆u) = g1, x ∈ ∂Ω,
(3.3)
3.2. Ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa b»ng ph­¬ng
ph¸p ph©n r· vÒ d·y hai bµi to¸n elliptic
XuÊt ph¸t tõ t­ t­ëng ®­a bµi to¸n song ®iÒu hßa vÒ 2 bµi to¸n elliptic
cÊp hai, t¸c gi¶ §Æng Quang ¸ ®Ò xuÊt ph­¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n (3.2)
vµ (3.3) nh­ sau:
56
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

59. 3.2.1. Bµi to¸n biªn thø nhÊt
§Æt v = ∆u khi ®ã bµi to¸n (3.2) t­¬ng ®­¬ng víi hai bµi to¸n



∆v − cv = f, x ∈ Ω,
1v = g1, x ∈ ∂Ω.
(3.4)



∆u = v, x ∈ Ω,
0u = g0, x ∈ ∂Ω.
(3.5)
3.2.2. Bµi to¸n biªn thø hai
§Æt ϕ = −du, v = ∆u. Khi ®ã bµi to¸n (3.3) t­¬ng øng víi



∆v − cv = f + ϕ, x ∈ Ω,
1v = g1, x ∈ ∂Ω.
(3.6)



∆u = v, x ∈ Ω,
0u = g0, x ∈ ∂Ω.
(3.7)
XuÊt ph¸t tõ ϕ(0)
= 0, ∀k = 1, 2, ... thùc hiÖn s¬ ®å lÆp



∆v(k)
− cv(k)
= f + ϕ(k)
, x ∈ Ω,
1v(k)
= g1, x ∈ ∂Ω.
(3.8)



∆u(k)
= v(k)
, x ∈ Ω,
0u(k)
= g0, x ∈ ∂Ω.
(3.9)
HiÖu chØnh
ϕ(k+1)
= ϕ(k)
− θ(ϕ(k)
+ du(k)
). (3.10)
S¬ ®å lÆp (3.10) lµ s¬ ®å lÆp hai líp. TÝnh ®óng ®¾n cña s¬ ®å lÆp ®· ®­îc
kh¼ng ®Þnh b»ng thùc nghiÖm tÝnh to¸n trªn m¸y tÝnh ®iÖn tö (xem [7]).
Nh­ vËy xuÊt ph¸t tõ viÖc ph©n r· bµi to¸n song ®iÒu hßa vÒ 2 bµi to¸n
elliptic, viÖc t×m nghiÖm cña bµi to¸n song ®iÒu hßa cã thÓ th«ng qua c¸c kÕt
qu¶ gi¶i c¸c bµi to¸n elliptic ®· biÕt.
57
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

60. 3.3. Ph­¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi
®iÒu kiÖn biªn Dirichlet
XÐt bµi to¸n tæng qu¸t



∆2
u − c∆u + du = f, c ≥ 0, x ∈ Ω,
l0u = g0, x ∈ ∂Ω,
l1u = g1, x ∈ ∂Ω
(3.11)
trong ®ã Ω ∈ Rm
, l0 lµ to¸n tö ®iÒu kiÖn biªn ®èi víi u, l1 lµ to¸n tö ®iÒu
kiÖn biªn ®èi víi ∆u ®¶m b¶o bµi to¸n cã nghiÖm duy nhÊt.
Sö dông ph­¬ng ph¸p chia miÒn Ω = Ω1 ∪ Ω2, Ω1 ∩ Ω2 = φ b»ng biªn
chung Γ = ∂Ω1 ∩ ∂Ω2. Ký hiÖu Γ1 = ∂Ω1Γ, ui = u|Ωi
, ∆ui = ∆u|Ωi
, (i =
1, 2). NghiÖm u1, u2 cña hai bµi to¸n trong hai miÒn cÇn ph¶i tháa m·n c¸c
®iÒu kiÖn chuyÓn dÞch qua biªn Γ



u1 = u2, x ∈ Γ,
∂u1
∂ν1
= −
∂u2
∂ν2
, x ∈ Γ,
∆u1 = ∆u2, x ∈ Γ,
∂∆u1
∂ν1
= −
∂∆u2
∂ν2
, x ∈ Γ.
(3.12)
NÕu x¸c ®Þnh ®­îc c¸c gi¸ trÞ cña hµm hoÆc ®¹o hµm trªn biªn th× viÖc
gi¶i bµi to¸n (3.11) ®­îc ®­a vÒ gi¶i bµi to¸n trong hai miÒn. Trªn c¬ së
c¸c kÕt qu¶ vÒ ph­¬ng ph¸p chia miÒn cña c¸c t¸c gi¶ Saito-Fujita vµ Dang
Quang A-Vu Vinh Quang. XuÊt ph¸t tõ môc ®Ých x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ xÊp
xØ cña hµm hoÆc ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia, chóng t«i ®Ò xuÊt mét sè s¬
®å lÆp gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu kiÖn biªn Dirichlet nh­ sau. C¸c
kiÕn thøc ®­îc tham kh¶o trong c¸c tµi liÖu [3, 8, 10, 16].
58
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

61. 3.3.1. Bµi to¸n biªn thø nhÊt
• S¬ ®å hiÖu chØnh hµm SF
Cho Ω ∈ Rn
víi biªn ∂Ω lµ liªn tôc Lipschitz. XÐt bµi to¸n song ®iÒu hßa
thø nhÊt:



∆2
u − c∆u = f, x ∈ Ω,
u = g0, x ∈ ∂Ω,
∆u = g1, x ∈ ∂Ω.
(3.13)
trong ®ã f ∈ L2
(Ω), g0, g1 lµ c¸c hµm sè cho tr­íc.
XuÊt ph¸t tõ t­ t­ëng x¸c ®Þnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn ph©n chia cña c¸c
t¸c gi¶ Norikazu Saito - Hiroshi Fujita, chóng ta x©y dùng thuËt to¸n gi¶i bµi
to¸n (3.13) nh­ sau:
§Æt Φ =
∆u
u Γ
=
η
ξ
, xuÊt ph¸t tõ Φ(0)
=
η(0)
ξ(0)
=
0
0
tiÕn hµnh
gi¶i c¸c bµi to¸n sau ®©y:
B­íc 1: Gi¶i c¸c bµi to¸n trong miÒn Ω1



∆v
(k)
1 − cv
(k)
1 = f, x ∈ Ω1,
v
(k)
1 = g1, x ∈ ∂Ω1Γ,
v
(k)
1 = η(k)
, x ∈ Γ,
(3.14)



∆u
(k)
1 = v
(k)
1 , x ∈ Ω1,
u
(k)
1 = g0, x ∈ ∂Ω1Γ,
u
(k)
1 = ξ(k)
, x ∈ Γ,
(3.15)
B­íc 2: Gi¶i bµi to¸n trong miÒn Ω2



∆v
(k)
2 − cv
(k)
2 = f, x ∈ Ω2,
v
(k)
2 = g1, x ∈ ∂Ω2Γ,
∂v
(k)
2
∂ν2
= −
∂v
(k)
1
∂ν1
, x ∈ Γ.
(3.16)
59
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

62. 


∆u
(k)
2 = v
(k)
2 , x ∈ Ω2,
u
(k)
2 = g0, x ∈ ∂Ω2Γ,
∂u
(k)
2
∂ν2
= −
∂u
(k)
1
∂ν1
, x ∈ Γ.
(3.17)
B­íc 3: HiÖu chØnh
Φ(k+1)
= (1 − θ)Φ(k)
+ θ
v
(k)
2
u
(k)
2
(3.18)
trong ®ã θ lµ tham sè cÇn lùa chän ®Ó d·y lÆp héi tô, 0 < θ < 1.
DÔ thÊy r»ng ®iÒu kiÖn liªn tôc cña ®¹o hµm qua biªn ph©n chia ®· ®­îc
tháa m·n trong s¬ ®å chia miÒn cßn ®iÒu kiÖn liªn tôc cña hµm qua biªn
ph©n chia phô thuéc vµo sù héi tô cña d·y lÆp (3.18).
S¬ ®å lÆp (3.18) chÝnh lµ s¬ ®å lÆp hai líp cã d¹ng tæng qu¸t
Φ(k+1)
− Φ(k)
θ
+ B1Φ(k)
= F1. (3.19)
B»ng c¸ch xÐt tÝnh chÊt cña to¸n tö B1 trong c¸c kh«ng gian hµm thÝch
hîp víi lý thuyÕt to¸n tö, cã thÓ chøng minh ®­îc s¬ ®å lÆp héi tô.
• S¬ ®å hiÖu chØnh ®¹o hµm AQH
XÐt bµi to¸n



∆2
u − c∆u = f, c ≥ 0, x ∈ Ω,
u = g0, x ∈ ∂Ω,
∆u = g1, x ∈ ∂Ω
(3.20)
ViÖc gi¶i bµi to¸n ®­îc thùc hiÖn bëi thuËt to¸n
B­íc 1: XuÊt ph¸t tõ ξ(0)
= 0, ∀k = 0, 1, ... thùc hiÖn gi¶i c¸c bµi to¸n
1.1 X¸c ®Þnh v
(k)
1



∆v
(k)
1 − cv
(k)
1 = f, x ∈ Ω1,
v
(k)
1 = g1, x ∈ Γ1,
∂v
(k)
1
∂ν1
= ξ(k)
, x ∈ Γ.
(3.21)
60
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

63. 1.2 X¸c ®Þnh v
(k)
2



∆v
(k)
2 − cv
(k)
2 = f, x ∈ Ω2,
v
(k)
2 = g1, x ∈ Γ2,
v
(k)
2 = ξ(k)
, x ∈ Γ.
(3.22)
1.3 HiÖu chØnh gi¸ trÞ ®¹o hµm trªn biªn chung
ξ(k+1)
= θ1ξ(k)
− (1 − θ1)
∂v
(k)
2
∂ν2
|
Γ
. (3.23)
B­íc 2: XuÊt ph¸t tõ η(0)
= 0, ∀l = 0, 1, ... thùc hiÖn gi¶i c¸c bµi to¸n
2.1 X¸c ®Þnh u
(l)
1



∆u
(l)
1 = v1, x ∈ Ω1,
u
(l)
1 = g0, x ∈ Γ1,
∂u
(l)
1
∂ν1
= η(l)
, x ∈ Γ.
(3.24)
2.2 X¸c ®Þnh u
(l)
2



∆u
(l)
2 = v2, x ∈ Ω2,
u
(l)
2 = g0, x ∈ Γ2,
u
(l)
2 = u
(l)
1 , x ∈ Γ.
(3.25)
2.3 HiÖu chØnh gi¸ trÞ ®¹o hµm trªn biªn chung
η(l+1)
= θ2η(l+1)
− (1 − θ2)
∂u
(l)
2
∂ν2
|
Γ
. (3.26)
trong ®ã θ1, θ2 lµ c¸c gi¸ trÞ tham sè lÆp cÇn lùa chän.
∗ Sù héi tô
XÐt s¬ ®å lÆp (3.21)-(3.23) vµ (3.24)-(3.26), ®©y chÝnh lµ hai s¬ ®å lÆp
®éc lËp ®· ®Ò xuÊt gi¶i bµi to¸n biªn elliptic víi ®iÒu kiÖn biªn Dirichlet b»ng
ph­¬ng ph¸p chia miÒn, sù héi tô ®· ®­îc kh¼ng ®Þnh trong [3] .
61
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

64. ∗ KÕt qu¶ thùc nghiÖm
KÕt qu¶ thùc nghiÖm tÝnh to¸n cña ph­¬ng ph¸p ®­îc ®­a ra trong tr­êng
hîp miÒn Ω lµ h×nh ch÷ nhËt ®­îc chia ®«i thµnh hai h×nh vu«ng cã kÝch
th­íc a = b = 1.
B¶ng 3.1: M × N = 64 × 64, θ1 = θ2 = 0.5
Hµm nghiÖm ®óng err t (gi©y)
x4
1 + x4
2 1.10−4
13.9
sinx1sinx2 2.10−6
3.2
(1 − x1)2
ex2
+ (1 − x2)2
ex1
3.10−5
3.2
sinx1ex2
+ sinx2ex1
1.10−5
1.64
∗ S¬ ®å c¶i tiÕn
§Æt Φ =
∂
∂ν1
∆u
u Γ
=
η
ξ
, xuÊt ph¸t tõ Φ(0)
=
η(0)
ξ(0)
=
0
0
, ∀k =
0, 1, 2, ... tiÕn hµnh gi¶i c¸c bµi to¸n
B­íc 1: Gi¶i c¸c bµi to¸n trong miÒn Ω1



∆v
(k)
1 − cv
(k)
1 = f, x ∈ Ω1,
v
(k)
1 = g1, x ∈ Γ1,
∂v
(k)
1
∂ν1
= ξ(k)
, x ∈ Γ.
(3.27)



∆u
(k)
1 = v
(k)
1 , x ∈ Ω1,
u
(k)
1 = g0, x ∈ Γ1,
∂u
(k)
1
∂ν1
= ξ(k)
, x ∈ Γ.
(3.28)
B­íc 2: Gi¶i c¸c bµi to¸n trong miÒn Ω2



∆v
(k)
2 − cv
(k)
2 = f, x ∈ Ω2,
v
(k)
2 = g1, x ∈ Γ2,
v
(k)
2 = v
(k)
1 , x ∈ Γ.
(3.29)
62
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

65. 


∆u
(k)
2 = v
(k)
2 , x ∈ Ω2,
u
(k)
2 = g0, x ∈ Γ2,
u
(k)
2 = u
(k)
1 , x ∈ Γ.
(3.30)
B­íc 3: HiÖu chØnh
Φ(k+1)
= θΦ(k)
− (1 − θ)
∂
∂ν2
υ
(k)
2
u
(k)
2
, x ∈ Γ. (3.31)
hay



η(k+1)
= θη(k)
− (1 − θ)
∂υ
(k)
2
∂ν2
, x ∈ Γ,
ξ(k+1)
= θξ(k)
− (1 − θ)
∂u
(k)
2
∂ν2
, x ∈ Γ.
(3.32)
∗ KÕt qu¶ so s¸nh gi÷a s¬ ®å cò vµ s¬ ®å c¶i tiÕn
B¶ng 3.2: Hµm nghiÖm ®óng u∗
(x1, x2) = sinx1sinx2
S¬ ®å cò S¬ ®å c¶i tiÕn
Tham sè lÆp θ
Sai sè t gi©y Sai sè t gi©y
0.1 2.10−4
28 1.10−4
24
0.2 8.10−5
14.6 8.10−5
11
0.3 6.10−5
8.7 7.10−5
7
0.4 6.10−5
5.5 3.10−5
4
0.5 3.10−6
2 2.10−6
1.7
0.6 6.10−5
5.5 3.10−5
4.8
0.7 6.10−5
8.8 7.10−5
7
0.8 9.10−5
14 8.10−5
11.7
0.9 2.10−4
28 1.10−4
24
63
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

66. B¶ng 3.3: Hµm nghiÖm ®óng u∗
(x1, x2) = (1 − x1)2
sinx2+(1 − x2)2
sinx1
S¬ ®å cò S¬ ®å c¶i tiÕn
Tham sè lÆp θ
Sai sè t gi©y Sai sè t gi©y
0.1 0.002 28.5 3.10−4
24.5
0.2 6.10−5
18.4 8.10−5
13.5
0.3 3.10−5
11.4 7.10−5
8.0
0.4 5.10−5
7.2 9.10−5
4.8
0.5 2.10−6
1.9 2.10−6
1.7
0.6 2.10−5
7.0 9.10−5
4.8
0.7 9.10−5
10.4 7.10−5
8.0
0.8 6.10−5
18.5 8.10−5
13.5
0.9 0.002 28.1 3.10−4
24.5
B¶ng 3.4: Hµm nghiÖm ®óng u∗
(x1, x2) = ex1
sinx2 + ex2
sinx1
S¬ ®å cò S¬ ®å c¶i tiÕn
Tham sè lÆp θ
Sai sè t gi©y Sai sè t gi©y
0.1 0.002 30.6 0.001 23
0.2 6.10−5
18 7.10−5
11
0.3 3.10−5
12.3 7.10−5
8.5
0.4 5.10−5
9.9 4.10−5
5.4
0.5 2.10−6
2.2 1.10−5
1.7
0.6 2.10−5
9.9 5.10−5
5.4
0.7 9.10−5
11.2 7.10−5
8.0
0.8 6.10−5
18 7.10−5
12
0.9 0.002 30.7 0.001 24.5
64
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

67. • So s¸nh hai ph­¬ng ph¸p SF vµ AQH b»ng kÕt qu¶ thùc nghiÖm
C¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm ®­îc thùc hiÖn víi c¸c hµm nghiÖm ®óng u∗
(x1, x2)
(trong c¸c tÝnh to¸n thùc nghiÖm chóng t«i lu«n chän b­íc l­íi h =
1
64
, err =
10−4
) nh­ sau:
B¶ng 3.5: u∗
(x1, x2) = sin x1ex2
+ sin x2ex1
Ph­¬ng ph¸p SF Ph­¬ng ph¸p AQH
Tham sè θ
Sè lÇn lÆp n Sai sè ε Sè lÇn lÆp n Sai sè ε
0.1 40 5.10−4
40 1.10−4
0.2 21 9.10−5
18 7.10−5
0.3 12 7.10−5
10 7.10−5
0.4 12 7.10−5
6 4.10−5
0.5 16 6.10−5
1 1.10−5
0.6 22 6.10−5
6 4.10−5
0.7 31 7.10−5
10 7.10−5
0.8 40 6.10−4
18 7.10−5
0.9 40 0.067 40 1.10−4
B¶ng 3.6: u∗
(x1, x2) = x4
1 + x4
2
Ph­¬ng ph¸p SF Ph­¬ng ph¸p AQH
Tham sè θ
Sè lÇn lÆp n Sai sè ε Sè lÇn lÆp n Sai sè ε
0.1 40 2.10−4
38 9.10−5
0.2 21 1.10−4
18 8.10−5
0.3 11 2.10−4
18 8.10−5
0.4 11 1.10−4
6 9.10−5
0.5 14 1.10−4
1 1.10−4
0.6 19 1.10−4
6 9.10−5
0.7 26 2.10−4
10 8.10−5
0.8 40 3.10−4
17 8.10−5
0.9 40 0.029 38 9.10−5
65
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

68. B¶ng 3.7: u∗
(x1, x2) = sin x1 sin x2
Ph­¬ng ph¸p SF Ph­¬ng ph¸p AQH
Tham sè θ
Sè lÇn lÆp n Sai sè ε Sè lÇn lÆp n Sai sè ε
0.1 40 8.10−5
32 8.10−5
0.2 18 6.10−5
14 8.10−5
0.3 10 6.10−5
8 7.10−5
0.4 10 7.10−5
5 3.10−5
0.5 13 8.10−5
1 2.10−6
0.6 18 7.10−5
5 3.10−5
0.7 25 9.10−5
8 7.10−5
0.8 40 9.10−5
14 8.10−5
0.9 40 0.01 32 8.10−5
C¸c s¬ ®å chia miÒn trªn còng héi tô trong tr­êng hîp kh«ng biÕt tr­íc
nghiÖm ®óng, khi ®ã ®iÒu kiÖn dõng lÆp ®­îc sö dông lµ sai sè lín nhÊt gi÷a
nghiÖm xÊp xØ cña hai b­íc lÆp liªn tiÕp nhá h¬n sai sè cho tr­íc. KÕt qu¶
thùc nghiÖm sau ®©y ®­îc tÝnh to¸n víi c¸c hµm vÕ ph¶i vµ ®iÒu kiÖn biªn
cho tïy ý nh­ sau:
f(x1, x2) = ex1+x2
sin(x1 + x2 + 4),
g0(x1, x2) = sin(x1)ex2
+ sin(x2)ex1
, g1(x1, x2) = log(x1 + x2)
B¶ng 3.8:
Ph­¬ng ph¸p SF Ph­¬ng ph¸p AQH
Tham sè θ
Sè lÇn lÆp n Sai sè ε Sè lÇn lÆp n Sai sè ε
0.3 33 9.10−5
39 9.10−5
0.4 23 9.10−5
23 7.10−5
0.5 33 9.10−5
3 9.10−5
0.6 38 9.10−5
22 9.10−5
0.7 54 9.10−5
38 6.10−5
66
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

69. NhËn xÐt
- Hai s¬ ®å chia miÒn SF vµ AQH do chóng t«i ®Ò xuÊt gi¶i bµi to¸n song
®iÒu hßa thø nhÊt xuÊt ph¸t tõ hai t­ t­ëng kh¸c nhau, mét ph­¬ng ph¸p xuÊt
ph¸t tõ t­ t­ëng hiÖu chØnh gi¸ trÞ hµm trªn biªn ph©n chia, mét ph­¬ng ph¸p
xuÊt ph¸t tõ t­ t­ëng hiÖu chØnh gi¸ trÞ ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia ®Òu víi
môc ®Ých gi¶i gÇn ®óng c¸c bµi to¸n song ®iÒu hßa thø nhÊt trªn c¬ së ph©n
r· bµi to¸n song ®iÒu hßa vÒ hai bµi to¸n elliptic cÊp hai vµ sö dông kÕt qu¶
cña c¸c s¬ ®å chia miÒn ®èi víi hai cÆp bµi to¸n cÊp hai.
- ViÖc chøng minh tÝnh ®óng ®¾n cña c¶ hai ph­¬ng ph¸p trªn c¬ së lý
thuyÕt to¸n tö lµ ch­a thùc hiÖn ®­îc tuy nhiªn qua c¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm
trªn c¸c hµm mÉu còng cã thÓ thÊy r»ng c¸c s¬ ®å ®Ò xuÊt lµ héi tô.
- C¸c s¬ ®å chia miÒn trªn hoµn toµn cã thÓ më réng cho c¸c bµi to¸n
song ®iÒu hßa thø hai còng nh­ bµi to¸n song ®iÒu hßa víi ®iÒu kiÖn biªn
hçn hîp m¹nh. C¸c kÕt qu¶ trªn còng cã thÓ më réng khi miÒn h×nh häc lµ
miÒn phøc t¹p.
- ViÖc so s¸nh tèc ®é héi tô cña hai ph­¬ng ph¸p trªn quan ®iÓm lý thuyÕt
lµ mét bµi to¸n khã. Tuy nhiªn, qua c¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm trªn ta cã thÓ
kh¼ng ®Þnh ph­¬ng ph¸p AQH cã tèc ®é héi tô nhanh h¬n ph­¬ng ph¸p SF.
- Qua thùc nghiÖm còng thÊy r»ng gi¸ trÞ tham sè tèi ­u cña c¸c s¬ ®å
chia miÒn ®Òu trong kho¶ng (0.4-0.5). Trong tr­êng hîp miÒn h×nh häc phøc
t¹p ®­îc chia thµnh nhiÒu miÒn con bëi nhiÒu biªn ph©n chia th× viÖc lùa
chän c¸c tham sè lÆp θ trªn c¸c biªn ph©n chia ®Ó ®¶m b¶o tèc ®é héi tô lµ
tèi ­u lµ mét vÊn ®Ò cÇn nghiªn cøu ®èi víi c¶ hai ph­¬ng ph¸p nµy.
67
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

70. 3.3.2. Bµi to¸n biªn thø hai
∗ S¬ ®å ®Ò xuÊt
XÐt bµi to¸n



∆2
u − c∆u + du = f, c ≥ 0, x ∈ Ω,
u = g0, x ∈ ∂Ω,
∆u = g1, x ∈ ∂Ω.
(3.33)
§Æt ξ =
∂v1
∂ν1
|
Γ
, η =
∂u1
∂ν1
|
Γ
, ϕi = −dui, (i = 1, 2). Khi ®ã nÕu x¸c ®Þnh
®­îc c¸c gi¸ trÞ ξ, η trªn biªn ph©n chia vµ c¸c gi¸ trÞ ϕ1, ϕ2 trong hai miÒn
th× viÖc gi¶i bµi to¸n (3.33) sÏ ®­îc ®­a vÒ viÖc gi¶i hai bµi to¸n trong hai
miÒn.
ViÖc gi¶i bµi to¸n ®­îc thùc hiÖn bëi thuËt to¸n sau ®©y:
B­íc 1: XuÊt ph¸t tõ ϕ
(0)
1 = ϕ
(0)
2 = 0, ∀k = 0, 1, ... thùc hiÖn gi¶i c¸c bµi
to¸n
B­íc 1.1: XuÊt ph¸t tõ ξ(0)
= 0, ∀l = 0, 1, ... thùc hiÖn gi¶i c¸c bµi to¸n
1.1.1 X¸c ®Þnh v
(l)
1



∆v
(l)
1 − cv
(l)
1 = f + ϕ
(k)
1 , x ∈ Ω1,
v
(l)
1 = g1, x ∈ Γ1,
∂v
(l)
1
∂ν1
= ξ(l)
, x ∈ Γ.
(3.34)
1.1.2 X¸c ®Þnh v
(l)
2



∆v
(l)
2 − cv
(l)
2 = f + ϕ
(k)
2 , x ∈ Ω2,
v
(l)
2 = g1, x ∈ Γ2,
v
(l)
2 = v
(l)
1 , x ∈ Γ.
(3.35)
1.1.3 HiÖu chØnh gi¸ trÞ ®¹o hµm trªn biªn chung
ξ(l+1)
= θ1ξ(l)
− (1 − θ1)
∂v
(l)
2
∂ν2
|
Γ
. (3.36)
68
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

71. Ký hiÖu v
(l)
1 , v
(l)
2 lµ nghiÖm sau b­íc lÆp 1.1
B­íc 1.2: XuÊt ph¸t tõ η(0)
= 0, ∀m = 0, 1, ... thùc hiÖn gi¶i c¸c bµi to¸n
1.2.1 X¸c ®Þnh u
(m)
1



∆u
(m)
1 = v
(k)
1 , x ∈ Ω1,
u
(m)
1 = g0, x ∈ Γ1,
∂u
(m)
1
∂ν1
= η(m)
, x ∈ Γ.
(3.37)
1.2.2 X¸c ®Þnh u
(m)
2



∆u
(m)
2 = v
(k)
2 , x ∈ Ω2,
u
(m)
2 = g0, x ∈ Γ2,
u
(m)
2 = u
(m)
1 , x ∈ Γ.
(3.38)
1.2.3 HiÖu chØnh gi¸ trÞ ®¹o hµm trªn biªn chung
η(l+1)
= θ2η(l+1)
− (1 − θ2)
∂u
(l)
2
∂ν2
|
Γ
. (3.39)
Ký hiÖu u
(k)
1 , u
(k)
2 lµ nghiÖm sau b­íc lÆp 1.2
B­íc 2: HiÖu chØnh gi¸ trÞ ϕ
(k)
i



ϕ
(k+1)
1 = ϕ
(k)
1 − τ1(ϕ
(k)
1 + du
(k)
1 ), x ∈ Ω1,
ϕ
(k+1)
2 = ϕ
(k)
2 − τ2(ϕ
(k)
2 + du
(k)
2 ), x ∈ Ω2.
(3.40)
∗ Sù héi tô
XÐt s¬ ®å lÆp (3.34)-(3.36) vµ (3.37)-(3.39), víi mçi k th× ®©y chÝnh lµ
hai s¬ ®å lÆp ®éc lËp ®· ®Ò xuÊt gi¶i bµi to¸n biªn elliptic víi ®iÒu kiÖn biªn
Dirichlet trªn t­ t­ëng hiÖu chØnh gi¸ trÞ ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia, sù héi
tô cña c¸c s¬ ®å lÆp ®· ®­îc kh¼ng ®Þnh trong [3].
C¸c s¬ ®å lÆp (3.40) ®­îc viÕt l¹i d­íi d¹ng
ϕ
(k+1)
i − ϕ
(k)
i
τi
+ (ϕ
(k)
i + du
(k)
i ), x ∈ Ωi. (3.41)
69
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

72. Trong [12] ®· chøng minh c¸c s¬ ®å lÆp héi tô víi tham sè 0 < τi < 2.
KÕt qu¶ lý thuyÕt ®­îc kiÓm tra b»ng thùc nghiÖm tÝnh to¸n trong tr­êng
hîp khi miÒn Ω lµ h×nh ch÷ nhËt ®­îc chia ®«i thµnh hai h×nh vu«ng cã kÝch
th­íc a = b = 1.
∗ KÕt qu¶ thùc nghiÖm
B¶ng 3.9: M × N = 64 × 64, θ1 = θ2 = 0.5
Hµm nghiÖm ®óng err t (gi©y)
x4
1 + x4
2 1.10−4
13.9
sinx1sinx2 2.10−6
3.2
(1 − x1)2
ex2
+ (1 − x2)2
ex1
3.10−5
3.2
sinx1ex2
+ sinx2ex1
1.10−5
1.64
∗ S¬ ®å c¶i tiÕn
§Æt Φ =
∂
∂ν1
∆u
u Γ
=
η
ξ
, ϕi = −dui(i = 1, 2),
xuÊt ph¸t tõ Φ(0)
=
η(0)
ξ(0)
=
0
0
, ϕ
(0)
1 = ϕ
(0)
2 = 0, ∀k = 0, 1, 2, ... tiÕn
hµnh gi¶i c¸c bµi to¸n
B­íc 1: Gi¶i c¸c bµi to¸n trong miÒn Ω1



∆v
(k)
1 − cv
(k)
1 = f + ϕ
(k)
1 , x ∈ Ω1,
v
(k)
1 = g1, x ∈ Γ1,
∂v
(k)
1
∂ν1
= η(k)
, x ∈ Γ.
(3.42)



∆u
(k)
1 = v
(k)
1 , x ∈ Ω1,
u
(k)
1 = g0, x ∈ Γ1,
∂u
(k)
1
∂ν1
= ξ(k)
, x ∈ Γ.
(3.43)
70
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

73. B­íc 2: Gi¶i c¸c bµi to¸n trong miÒn Ω2



∆v
(k)
2 − cv
(k)
2 = f + ϕ
(k)
2 , x ∈ Ω2,
v
(k)
2 = g1, x ∈ Γ2,
v
(k)
2 = v
(k)
1 , x ∈ Γ.
(3.44)



∆u
(k)
2 = v
(k)
2 , x ∈ Ω2,
u
(k)
2 = g0, x ∈ Γ2,
u
(k)
2 = u
(k)
1 , x ∈ Γ.
(3.45)
B­íc 3: HiÖu chØnh
Φ(k+1)
= θΦ(k)
− (1 − θ)
∂
∂ν2
υ
(k)
2
u
(k)
2
, x ∈ Γ,
ϕ
(k+1)
1 = ϕ
(k)
1 − τ1(ϕ
(k)
1 + du
(k)
1 ), x ∈ Ω1,
ϕ
(k+1)
2 = ϕ
(k)
2 − τ2(ϕ
(k)
2 + du
(k)
2 ), x ∈ Ω2.
(3.46)
hay



η(k+1)
= θη(k)
− (1 − θ)
∂υ
(k)
2
∂ν2
, x ∈ Γ,
ξ(k+1)
= θξ(k)
− (1 − θ)
∂u
(k)
2
∂ν2
, x ∈ Γ,
ϕ
(k+1)
1 = ϕ
(k)
1 − τ1(ϕ
(k)
1 + du
(k)
1 ), x ∈ Ω1,
ϕ
(k+1)
2 = ϕ
(k)
2 − τ2(ϕ
(k)
2 + du
(k)
2 ), x ∈ Ω2.
(3.47)
71
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

74. ∗ KÕt qu¶ so s¸nh
B¶ng 3.10: Hµm nghiÖm ®óng u∗
(x1, x2) = sinx1sinx2
S¬ ®å cò S¬ ®å c¶i tiÕn
Tham sè lÆp θ
Sai sè t gi©y Sai sè t gi©y
0.1 9.10−6
64 1.10−4
27
0.2 2.10−5
32 6.10−5
13.9
0.3 1.10−5
20 9.10−5
7.9
0.4 1.10−5
13 5.10−5
5.3
0.5 1.10−5
7.8 1.10−6
3.6
0.6 1.10−5
12.9 2.10−5
5.3
0.7 2.10−5
18.2 6.10−5
8.0
0.8 4.10−5
25.6 7.10−5
13.1
0.9 9.10−5
45 1.10−4
27
B¶ng 3.11: Hµm nghiÖm ®óng u∗
(x1, x2) = (1 − x1)2
sinx2+(1 − x2)2
sinx1
S¬ ®å cò S¬ ®å c¶i tiÕn
Tham sè lÆp θ
Sai sè t gi©y Sai sè t gi©y
0.1 3.10−5
69 4.10−4
27.5
0.2 4.10−5
33.4 6.10−5
15.9
0.3 4.10−5
20.6 9.10−5
8.9
0.4 4.10−5
14 2.10−5
6.4
0.5 4.10−5
8.0 1.10−6
3.6
0.6 4.10−5
13.7 7.10−5
5.4
0.7 4.10−5
19.0 7.10−5
8.9
0.8 6.10−5
27.0 8.10−5
15.0
0.9 8.10−5
52 3.10−4
27
72
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

75. B¶ng 3.12: Hµm nghiÖm ®óng u∗
(x1, x2) = ex1
sinx2 + ex2
sinx1
S¬ ®å cò S¬ ®å c¶i tiÕn
Tham sè lÆp θ
Sai sè t gi©y Sai sè t gi©y
0.1 8.10−5
108 1.10−5
53
0.2 7.10−5
58 1.10−5
22
0.3 7.10−5
35 9.10−5
11
0.4 8.10−5
21 7.10−5
6
0.5 9.10−5
9.5 1.10−4
3.6
0.6 8.10−5
21 7.10−5
6
0.7 6.10−5
36 8.10−5
12
0.8 7.10−5
60 2.10−5
21
0.9 8.10−5
109 8.10−4
50
NhËn xÐt
- So s¸nh s¬ ®å lÆp (3.21)-(3.26) víi s¬ ®å c¶i tiÕn (3.27)-(3.31) chóng
ta thÊy viÖc thùc hiÖn tÝnh to¸n lµ hoµn toµn kh¸c nhau: trong s¬ ®å (3.21)-
(3.26) ph¶i tiÕn hµnh gi¶i xong bµi to¸n víi v b»ng thuËt to¸n chia miÒn sau
®ã míi gi¶i bµi to¸n x¸c ®Þnh u b»ng thuËt to¸n chia miÒn trong khi ®ã ®èi
víi s¬ ®å c¶i tiÕn th× thuËt to¸n chia miÒn ®­îc thùc hiÖn ®ång thêi víi u vµ
v trªn mçi b­íc lÆp.
- T­¬ng tù khi so s¸nh s¬ ®å lÆp (3.34)-(3.40) víi s¬ ®å c¶i tiÕn (3.42)-
(3.46) ta còng thÊy viÖc gi¶i bµi to¸n b»ng thuËt to¸n chia miÒn lµ ®­îc thùc
hiÖn ®ång thêi ®èi víi ϕ, u vµ v trªn cïng mét b­íc lÆp trong khi s¬ ®å
(3.34)-(3.40) ph¶i thùc hiÖn lÇn l­ît víi 3 vßng lÆp.
- Trong qu¸ tr×nh tÝnh to¸n, theo chóng t«i nÕu thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh
to¸n ®ång thêi sÏ huy ®éng ®­îc d÷ liÖu trong c¸c lÇn lÆp tr­íc cho c¸c lÇn
lÆp sau, ®iÒu ®ã ch¾c ch¾n sÏ t¨ng tèc ®é héi tô cña c¸c s¬ ®å lÆp.
- ViÖc chøng minh c¸c s¬ ®å lÆp c¶i tiÕn (3.27)-(3.31) vµ (3.42)-(3.46)
héi tô vÒ ph­¬ng diÖn lý thuyÕt theo chóng t«i lµ mét bµi to¸n khã, tuy nhiªn
73
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn