المصفوفوات و فوائدها والقدرة على استخدامها في حلول الحياة اليومية

‫اﻟﺜﺎﻣﻨﺔ‬ ‫اﻟﻤﺤﺎﺿﺮة‬
‫اﻟﻤﺼﻔﻮﻓﺎت‬
1
‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت‬
–
‫ﻋﻠﯾﻬﺎ‬ ‫اﻟﻌﻣﻠﯾﺎت‬‫و‬ ‫أﺷﻛﺎﻟﻬﺎ‬
1
‫ـ‬
:‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﺗﻌرﯾف‬
‫ـطر‬‫ﺳ‬‫أ‬ ‫ـﻛل‬‫ﺷ‬ ‫ـﻰ‬‫ﻠ‬‫ﻋ‬ ‫ﺑﻊ‬‫ر‬‫ﻣ‬ ‫أو‬ ‫ﻣﺳﺗطﯾل‬ ‫ﺟدول‬ ‫ﺿﻣن‬ ‫ﻣﺗوﺿﻌﺔ‬ ‫اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ‬ ‫اﻷﻋداد‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻣﻧﺗﻬﯾﺔ‬ ‫ﻣﺟﻣوﻋﺔ‬ ‫ﻫﻲ‬
:‫ﻫو‬ ‫ﻟﻠﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫اﻟﻌﺎم‬ ‫ﻓﺎﻟﺷﻛل‬ .‫أﻋﻣدة‬‫و‬





















mn
mj
m
m
in
ij
i
i
n
j
n
j
n
m
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
....
..........
.
...
...
.....
..........
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
)
,
(
‫و‬
‫ﻋن‬ ‫ﻧﻘول‬
‫اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
)
,
(
. n
m
A
‫ﻣن‬ ‫ﺑﺄﻧﻬﺎ‬
‫ا‬
‫ﺗﺑﺔ‬‫ر‬‫ﻟﻣ‬
n
m *
.
-
2
-
:‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت‬ ‫أﺷﻛﺎل‬
‫ـن‬‫ـ‬‫ﻛ‬‫ﯾﻣ‬
‫اﻟ‬
‫ـز‬‫ـ‬‫ﯾ‬‫ﺗﻣﯾ‬
‫ـﯾن‬‫ـ‬‫ﺑ‬
‫ـﻔوﻓﺎت‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻟﻠﻣ‬ ‫ـﻛﺎل‬‫ـ‬‫ﺷ‬‫أ‬ ‫ـدة‬‫ـ‬‫ﻋ‬
‫ـب‬‫ـ‬‫ﺳ‬‫ﺑﺣ‬
‫و‬ ‫ـدة‬‫ـ‬‫ﻣ‬‫اﻷﻋ‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫ﻋ‬‫و‬ ‫ـطر‬‫ـ‬‫ﺳ‬‫اﻷ‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫ﻋ‬
‫ـب‬‫ـ‬‫ﺳ‬‫ﺑﺣ‬
‫ـر‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻋﻧﺎ‬
‫اﻟ‬
‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
‫و‬ .
:‫ﻫﻲ‬ ‫اﻷﺷﻛﺎل‬ ‫ﻫذﻩ‬
‫اﻟﻣﺳﺗطﯾﻠﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
-
:‫اﻟﻣرﺑﻌﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
:‫ﻫو‬ ‫ﯾﻌﺔ‬‫ر‬‫اﻟﻣ‬ ‫ﻟﻠﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫اﻟﻌﺎم‬ ‫اﻟﺷﻛل‬





















nn
nj
n
n
in
ij
i
i
n
j
n
j
n
n
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
S
...
...
..
..........
..........
..........
...
...
..
..........
..........
..........
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
)
,
(
1
.
‫اﻟﻣ‬
:(‫)اﻟﻣﻌدوﻣـﺔ‬ ‫اﻟﺻـﻔرﯾﺔ‬ ‫ﺻﻔوﻓﺔ‬
‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ﺻ‬‫ﻣ‬ ‫ـﻲ‬‫ﻫ‬
‫ـﺔ‬‫ﻓ‬‫ﻛﺎ‬
‫ـﻔﺎر‬‫ﺻ‬‫أ‬ ‫ﻫﺎ‬
‫ـر‬‫ﺻ‬‫ﻋﻧﺎ‬
.
‫ـﺎ‬‫ﻬ‬‫ﻟ‬ ‫ـﺎم‬‫ﻌ‬‫اﻟ‬ ‫ـﻛل‬‫ﺷ‬‫ﻓﺎﻟ‬ ‫إذن‬
:‫ﻫو‬

2













0
...
0
0
0
.
..........
..........
0
...
0
0
0
0
...
0
0
0
)
,
( n
m
O
2
.
‫اﻟ‬
‫اﻟﺳطر‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬‫و‬ ‫اﻟﻌﻣود‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
1
:
:‫اﻟﺳطر‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
‫ـل‬‫ـ‬‫ﻌ‬‫ﻧﺟ‬ ‫ـﺎ‬‫ـ‬‫ﻣ‬‫ﺣﯾﻧ‬
m=1
‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫ـﻲ‬‫ـ‬‫ﻓ‬
)
,
( n
m
A
‫ـﺎر‬‫ـ‬‫ﺑ‬‫اﻋﺗ‬ ‫ـﯾﻣﻛن‬‫ـ‬‫ﻓ‬
‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬
)
,
( n
m
A
‫ـ‬‫ـ‬‫ﺳ‬ ‫ـﻌﺎع‬‫ـ‬‫ﺷ‬
‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫)ﻣ‬ ‫طر‬
(‫اﻟﺳطر‬
:‫اﻟﺗﺎﻟﻲ‬ ‫اﻟﺷﻛل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ،
 
n
j
n a
a
a
a
A ...
...
2
1
)
,
1
( 
‫اﻟﻌﻣود‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
:
‫ـل‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻌ‬‫ﻧﺟ‬ ‫ـﺎ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻣ‬‫ﺣﯾﻧ‬
n=1
‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫ـﻲ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻓ‬
)
,
( n
m
A
‫ـﺎر‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺑ‬‫اﻋﺗ‬ ‫ـﯾﻣﻛن‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻓ‬
‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬
)
,
( n
m
A
‫ـود‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻣ‬‫ﻋ‬ ‫ـﻌﺎع‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺷ‬
)
‫اﻟﻌﻣود‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
:‫اﻟﺗﺎﻟﻲ‬ ‫اﻟﻧﺣو‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ (





















m
i
m
a
a
a
a
A
...
...
2
1
)
1
,
(
3
.
‫اﻷﺣﺎدﯾ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
:(‫اﺣدة‬‫و‬‫)اﻟ‬ ‫ﺔ‬
‫ﺷﻛﻠ‬
‫ﻬﺎ‬
‫اﻟﻌﺎم‬
‫ﯾﻠﻲ‬ ‫ﻛﻣﺎ‬
:













1
...
0
0
0
.
..........
..........
0
...
0
1
0
0
...
0
0
1
)
,
( n
n
I
‫ﻟﻬﺎ‬ ‫ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ‬ ‫أﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﺗﺑﺗﻬﺎ‬‫ر‬‫ﻣ‬ ‫ﻛﺎﻧت‬ ‫ﻣﻬﻣﺎ‬ ‫ﺑﻌﺔ‬‫ر‬‫ﻣ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻟﻛل‬ ‫ﻫﻧﺎك‬ ‫ـ‬

3
4
.
:‫اﻟﻘطرﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
‫ﺗﺑﺔ‬‫ر‬‫اﻟﻣ‬ ‫ﻣن‬ ‫ﯾﺔ‬‫ر‬‫اﻟﻘط‬ ‫ﻟﻠﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫اﻟﻌﺎم‬ ‫اﻟﺷﻛل‬
n
:‫ﻫو‬

















nn
n
n
d
d
d
d
D
...
0
0
0
.
..........
..........
0
...
0
0
0
...
0
0
0
...
0
0
33
22
11
)
,
(
:‫ﻫو‬ ‫اﻟﻌددﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻟﻬذﻩ‬ ‫اﻟﻌﺎم‬ ‫اﻟﺷﻛل‬

















b
b
b
b
B n
n
...
0
0
0
.
..........
..........
0
...
0
0
0
...
0
0
0
...
0
0
)
,
(
7
:‫اﻟﻌﻠﯾﺎ‬ ‫اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ .
:‫ﻫو‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻟﻬذﻩ‬ ‫اﻟﻌﺎم‬ ‫اﻟﺷﻛل‬

















nn
n
n
n
n
n
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
T
...
0
0
0
....
....
....
....
....
...
0
0
...
0
...
3
33
2
23
22
1
13
12
11
)
,
(
8
:‫اﻟدﻧﯾﺎ‬ ‫اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ .
:‫ﻫو‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻟﻬذﻩ‬ ‫اﻟﻌﺎم‬ ‫اﻟﺷﻛل‬

















nn
n
n
n
n
n
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
T
...
0
...
0
...
0
0
...
0
0
3
2
1
33
32
31
22
21
11
)
,
(

9
:‫اﻟﻣﺎرﻛوﻓﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ .

4
‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻫﻲ‬
1
–
‫ﺑﻌﺔ‬‫ر‬‫ﻣ‬
2
-
‫أ‬ ‫ﻣوﺟب‬ ‫ﻓﯾﻬﺎ‬ ‫ﻋﻧﺻر‬ ‫ﻛل‬
،‫ﻣﻌدوم‬ ‫و‬
3
-
‫ـر‬‫ﺻ‬‫ﻋﻧﺎ‬ ‫ـﻊ‬‫ﻣ‬‫ﺟ‬ ‫ﺣﺎﺻل‬ ‫أن‬ ‫ﻛﻣﺎ‬
‫ﺑﺎﻟرﻣز‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻟﻬذﻩ‬ ‫ﻧﺎ‬‫ز‬‫رﻣ‬ ‫ﻓﺈذا‬ .‫اﺣد‬‫و‬‫اﻟ‬ ‫ﯾﺳﺎوي‬ ‫أﻋﻣدﺗﻬﺎ‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻋﻣود‬ ‫أي‬
M = (mij)
:‫ﻓﺈن‬
, 



n
i
ij
m
j
1
1
: , 0
:
, 
 ij
m
j
i
‫ﻣﺛﺎل‬
)
1
(
:













0
0
1
.
0
1
0
1
.
0
5
.
0
0
1
6
.
0
3
.
0
0
0
3
.
0
1
.
0
0
)
4
,
4
(
M
10
.
‫اﻟﻣﺗﻧﺎظ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
:(‫)اﻟﻣﺗﻣﺎﺛﻠﺔ‬ ‫ة‬
‫ر‬
‫أن‬ ‫أي‬ .‫ﻣﺗﺳﺎوﯾﺎن‬ ‫ﻓﯾﻬﺎ‬ ‫ﺋﯾﺳﻲ‬‫ر‬‫اﻟ‬ ‫ﻟﻠﻘطر‬ ‫ﺑﺎﻟﻧﺳﺑﺔ‬ ‫ﻣﺗﻘﺎﺑﻠﯾن‬ ‫ﯾن‬‫ر‬‫ﻋﻧﺻ‬ ‫ﻛل‬ ‫ﺑﻌﺔ‬‫ر‬‫ﻣ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻫﻲ‬
xij = xji
‫ﺗﻛن‬ ‫ﻣﻬﻣﺎ‬
i,j
(i,j = 1, 2, …, n)
.
‫ﻣﺛﺎل‬
)
2
(
:
:‫ة‬
‫ر‬‫ﻣﺗﻧﺎظ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻣﻧﻬﻣﺎ‬ ‫ﻛل‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺗﺎن‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺗﺎن‬















5
3
1
4
3
4
0
2
1
0
3
1
4
2
1
2
)
4
,
4
(
S ,





















0
0
4
6
4
0
4
2
5
0
4
2
2
7
3
6
5
7
0
1
4
0
3
1
1
)
5
,
5
(
S
:‫ﻣﻼﺣظﺔ‬
.‫ة‬
‫ر‬‫ﻣﺗﻧﺎظ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫اﺣدﯾﺔ‬‫و‬‫اﻟ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬‫و‬ ‫ﯾﺔ‬‫ر‬‫اﻟﻘط‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻛل‬ ‫اﻋﺗﺑﺎر‬ ‫ﯾﻣﻛن‬
11
:(‫)اﻟﻣﺗﻘﺎﺑﻠﺔ‬ ‫اﻟﺗﻧﺎظر‬ ‫ﻣﺗﻌﺎﻛﺳﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ .
‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﻘ‬‫اﻟﻣطﻠ‬ ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﻣ‬‫ﺑﺎﻟﻘﯾ‬ ‫ـﺎوﯾﺎن‬‫ـ‬‫ﺳ‬‫ﻣﺗ‬ ‫ـﺎ‬‫ـ‬‫ﻬ‬‫ﻓﯾ‬ ‫ـﻲ‬‫ـ‬‫ﺳ‬‫ﺋﯾ‬‫ر‬‫اﻟ‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫ط‬‫ﻟﻠﻘ‬ ‫ـﺑﺔ‬‫ـ‬‫ﺳ‬‫ﺑﺎﻟﻧ‬ ‫ـﺎﺑﻠﯾن‬‫ـ‬‫ﻘ‬‫ﻣﺗ‬ ‫ﯾن‬‫ر‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻋﻧ‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫ﻛ‬ ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﻌ‬‫ﺑ‬‫ر‬‫ﻣ‬ ‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻣ‬ ‫ـﻲ‬‫ـ‬‫ﻫ‬
‫أن‬ ‫أي‬ .‫ة‬
‫ر‬‫ﺑﺎﻹﺷﺎ‬ ‫وﻣﺧﺗﻠﻔﺎن‬
xij = - xji
‫ﺗﻛن‬ ‫ﻣﻬﻣﺎ‬
i,j
(i,j = 1, 2, …, n)
.
‫ﻣﺛﺎل‬
)
3
(
:
:‫اﻟﺗﻧﺎظر‬ ‫ﻣﺗﻌﺎﻛﺳﺔ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻣﻧﻬﻣﺎ‬ ‫ﻛل‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺗﺎن‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺗﺎن‬

5














0
3
2
3
0
1
2
1
0
)
3
,
3
(
A ,



















0
7
9
5
7
0
4
1
9
4
0
2
5
1
2
0
)
4
,
4
(
A
12
:‫اﻟﻣﺗﺳﺎوﯾﺗﺎن‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺗﺎن‬ .
‫ـﻔوﻓﺗﯾن‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻋ‬ ‫ـول‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻘ‬‫ﻧ‬
)
,
(
)
,
( , n
m
n
m X
Y
‫إ‬
‫إذا‬ ‫ـﺎوﯾﺗﺎن‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺳ‬‫ﻣﺗ‬ ‫ـﺎ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻣ‬‫ﻧﻬ‬
‫ـﺎ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻣ‬‫ﻟﻬ‬ ‫ـﺎن‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻛ‬
‫ـدد‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻋ‬ ‫ـس‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻔ‬‫ﻧ‬ ‫)أي‬ ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺑ‬‫ﺗ‬‫ر‬‫اﻟﻣ‬ ‫ـس‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻔ‬‫ﻧ‬
‫ـﻲ‬‫ﻓ‬ ‫ـﻪ‬‫ﻟ‬ ‫ـل‬‫ﺑ‬‫اﻟﻣﻘﺎ‬ ‫ـر‬‫ﺻ‬‫اﻟﻌﻧ‬ ً‫ﺎ‬‫ـﺎوﯾ‬‫ﺳ‬‫ﻣ‬ ‫اﻷوﻟﻰ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻋﻧﺻر‬ ‫ﻛل‬ ‫وﻛﺎن‬ (‫اﻷﻋﻣدة‬ ‫ﻋدد‬ ‫وﻧﻔس‬ ‫اﻷﺳطر‬
.‫اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
‫إ‬
:‫ذن‬
ij
ij
n
m
ij
n
m
ij
n
m
n
m y
x
Y
y
X
x
Y
X 




 :
, )
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
:‫ﺣﯾث‬
m
i ,.....
2
,
1

‫و‬
n
j ,.....
2
,
1

.
3
:‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻌﻣﻠﯾﺎت‬ ‫ـ‬
‫اﻟﺟﻣ‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺎت‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺑﺎﻟﻌﻣﻠﯾﺎت‬ ‫ﻧﻘﺻد‬
.‫اﻟﺗدوﯾر‬ ،‫اﻟﺿرب‬ ،‫ح‬
‫اﻟطر‬ ،‫ﻊ‬
:‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت‬ ‫ﺟﻣﻊ‬
‫ـﻔوﻓﺗﯾن‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻣ‬ ‫ع‬
‫ـو‬‫ـ‬‫ﻣ‬‫ﻣﺟ‬ ‫ـﻰ‬‫ـ‬‫ﻠ‬‫ﻋ‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫وﻧﺣ‬ .‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﺑ‬‫ﺗ‬‫ر‬‫اﻟﻣ‬ ‫ـس‬‫ـ‬‫ﻔ‬‫ﻧ‬ ‫ـﺎ‬‫ـ‬‫ﻣ‬‫ﻟﻬ‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫ﻛ‬‫ﯾ‬ ‫أن‬ ‫ـﻔوﻓﺗﯾن‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻣ‬ ‫ـﻊ‬‫ـ‬‫ﻣ‬‫ﺟ‬ ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﯾ‬‫ﻋﻣﻠ‬ ‫ـﻲ‬‫ـ‬‫ﻓ‬ ‫ـﺗرط‬‫ـ‬‫ﺷ‬‫ﯾ‬
‫ـدﯾﻧﺎ‬‫ﻟ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ .‫اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﯾﻘﺎﺑﻠﻪ‬ ‫اﻟذي‬ ‫اﻟﻌﻧﺻر‬ ‫ﻣﻊ‬ ‫اﻷوﻟﻰ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻋﻧﺻر‬ ‫ﻛل‬ ‫ﺑﺟﻣﻊ‬
‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺗﺎن‬
)
,
( n
m
X
)
,
( n
m
X
:





















mn
mj
m
m
in
ij
i
i
n
j
n
j
n
m
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
)
,
(


,





















mn
mj
m
m
in
ij
i
i
n
j
n
j
n
m
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
Y
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
)
,
(


‫اﻟﻠﺗﺎن‬
‫ﻟﻬ‬
‫ﻣ‬
‫ﺎ‬
‫ـﺈ‬‫ﻓ‬ ‫ـﺔ‬‫ﺑ‬‫ﺗ‬‫ر‬‫اﻟﻣ‬ ‫ـس‬‫ﻔ‬‫ﻧ‬
‫ـﻔوﻓﺗﯾن‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫ـﻊ‬‫ﻣ‬‫ﺟ‬ ‫ـل‬‫ﺻ‬‫ﺣﺎ‬ ‫ن‬
)
,
(
)
,
( n
m
n
m Y
X 
‫وﻟ‬ ،
‫ـ‬‫ـ‬‫ﺑ‬ ‫ـﻪ‬‫ﻟ‬ ‫ـز‬‫ﻣ‬‫ﻧر‬
)
,
( n
m
Z
،
‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻣ‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻋﻧ‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻛ‬ ‫ـﻊ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻣ‬‫ﻧﺟ‬ ‫ـﺄن‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺑ‬ ‫ـﻪ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﯾ‬‫ﻋﻠ‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻧﺣ‬
)
,
( n
m
X
‫ـﻲ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻓ‬ ‫ـﻪ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻠ‬‫ﯾﻘﺎﺑ‬ ‫ـذي‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻟ‬‫ا‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻌﻧ‬ ‫ـﻊ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻣ‬
‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
)
,
( n
m
Y
‫ﻓﻧﺟد‬
:

6
)
,
(
)
,
(
)
,
( n
m
n
m
n
m Z
Y
X 






































mn
mn
mj
mj
m
m
m
m
in
in
ij
ij
i
i
i
i
n
n
j
j
n
n
j
j
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
...
...
..........
...
..........
...
..........
........
...
...
........
...
.........
...
.........
........
...
...
...
...
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
22
22
21
21
1
1
1
1
12
12
11
11
:‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬ ‫اص‬‫و‬‫ﺑﺎﻟﺧ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت‬ ‫ﺟﻣﻊ‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺔ‬ ‫وﺗﺗﻣﺗﻊ‬
1
‫ﺗﺑدﯾﻠﯾﺔ‬ ‫اﻟﺟﻣﻊ‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺔ‬ ‫ـ‬
-
‫ﺗﺟﻣﯾﻌﯾﺔ‬ ‫اﻟﺟﻣﻊ‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺔ‬
-
‫ـﺎدي‬‫ﯾ‬‫ﺣ‬ ‫ـر‬‫ﺻ‬‫ﻋﻧ‬ ‫ـﺎ‬‫ﻬ‬‫ﻟ‬ ‫ـﻔوﻓﺎت‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫ﺟﻣﻊ‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺔ‬
-
‫ـﻲ‬‫ﻓ‬
‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت‬ ‫ﺟﻣﻊ‬
‫ﻧ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻟﻛل‬
‫ظﯾر‬
:‫ﺣﻘﯾﻘﻲ‬ ‫ﺑﻌدد‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﺿرب‬
‫ـ‬‫ـ‬‫ﻟ‬ ‫ـﺗﻛن‬‫ـ‬‫ﻟ‬
‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫دﯾﻧﺎ‬
)
.
( n
m
X
‫ـﻲ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻘ‬‫اﻟﺣﻘﯾ‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫ﻌ‬‫اﻟ‬‫و‬
R


.
‫إ‬
‫ـرب‬‫ـ‬‫ﺿ‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﺣﺎ‬ ‫ن‬
‫ـذﻩ‬‫ـ‬‫ﻫ‬
‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬
‫ﺑ‬
‫ﺎﻟ‬
‫ـدد‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻌ‬
‫اﻟ‬
‫ـﻲ‬‫ـ‬‫ﻘ‬‫ﺣﻘﯾ‬
R


‫و‬
‫ﻟ‬
‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺑ‬ ‫ـﻪ‬‫ـ‬‫ﻟ‬ ‫ـز‬‫ـ‬‫ﻣ‬‫ﻧر‬
)
.
( n
m
X

‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻋﻧﺎ‬ ‫ـﻲ‬‫ـ‬‫ﻫ‬ ‫ﻫﺎ‬
‫ـر‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻋﻧﺎ‬ ‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻣ‬ ‫ـو‬‫ـ‬‫ﻫ‬
)
.
( n
m
X
‫ﻣﻧﻬﺎ‬ ‫ﻛل‬ ‫ﺿرب‬ ‫ﺑﻌد‬ ‫ﻧﻔﺳﻬﺎ‬
‫اﻟﺣﻘﯾﻘﻲ‬ ‫ﺑﺎﻟﻌدد‬
α
‫أن‬ ‫أي‬ .
:























mn
mj
m
m
in
ij
i
i
n
j
n
j
n
m
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
)
,
(




=




















mn
mj
m
m
in
ij
i
i
n
j
n
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
...
.
...
.
.
....
...
....
...
....
....
.
...
.
...
.
.
....
...
....
...
....
....
.
...
.
...
.
.
.
...
.
...
.
.
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11

















7
:‫ﺧﺎﺻﺔ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ‬
‫إ‬
‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﺟداء‬ ‫ﻧﺎﺗﺞ‬ ‫ن‬
)
,
( n
m
X
‫ﺑﺎﻟ‬
‫ﻌدد‬
1



‫ـر‬‫ﯾ‬‫اﻟﻧظ‬ ‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ﺻ‬‫ﻣ‬ ‫ـو‬‫ﻫ‬
)
,
( n
m
X
)
‫ـر‬‫ﯾ‬‫ﻧظ‬
‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬
)
,
( n
m
X
(
‫ﻟﻬذا‬ .
‫ﯾﻣﻛن‬
:‫ﻧﻛﺗب‬ ‫أن‬
)
,
(
)
,
( n
m
n
m X
X 

:‫أو‬
)
,
(
)
,
(
)
,
( n
m
n
m
n
m O
X
X 

:‫اﻵﺗﯾﺔ‬ ‫اص‬‫و‬‫ﺑﺎﻟﺧ‬ ‫ﺑﻌدد‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﺿرب‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺔ‬ ‫وﺗﺗﻣﺗﻊ‬
‫إذا‬
‫ﻛﺎﻧت‬
X(m,n), Y(m,n)
‫ﺗﺑﺔ‬‫ر‬‫اﻟﻣ‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻣﻧﻬﻣﺎ‬ ‫ﻛل‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺗﯾن‬
m*n
‫وﻛﺎن‬

,
‫ﻋددﯾن‬
‫ﺣﻘﯾﻘﯾ‬
‫ﯾن‬
:‫ﻓﺈن‬
 . ( . X(m,n)) = ( . ) X(m,n)
( + ) X(m,n) =  X(m,n) +  X(m,n)
 (X(m,n) + Y(m,n)) =  X(m,n) +  Y(m,n)
1 . X(m,n) = X(m,n)
0 . X(m,n) = O(m,n)
‫ﺣﯾث‬
O(m,n)
‫و‬ ،‫ﯾﺔ‬‫ر‬‫ﺻﻔ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
0
.‫ﻋددي‬ ‫ﺻﻔر‬
:‫ﺑﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﺿرب‬
‫ـدد‬‫ﻋ‬ ‫ﯾﻛون‬ ‫أن‬ ‫ﻫو‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺗﯾن‬ ‫ﺿرب‬ ‫ﻹﻣﻛﺎﻧﯾﺔ‬ ‫ي‬
‫اﻟﺿرور‬ ‫اﻟﺷرط‬ ‫إن‬
‫ـدة‬‫ﻣ‬‫أﻋ‬
‫ـر‬‫ﺳ‬‫)اﻟﯾ‬ ‫ـﻰ‬‫ﻟ‬‫اﻷو‬ ‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬
‫ى‬
(‫ـرب‬‫ـ‬‫ﺿ‬‫اﻟ‬ ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﯾ‬‫ﻋﻣﻠ‬ ‫ـﻲ‬‫ـ‬‫ﻓ‬
‫ًﺎ‬
‫ﯾ‬‫ـﺎو‬‫ـ‬‫ﺳ‬‫ﻣ‬
‫ـدد‬‫ـ‬‫ﻋ‬
‫ـطر‬‫ـ‬‫ﺳ‬‫أ‬
‫ـدﻟﯾﻼن‬‫ـ‬‫ﻟ‬‫ا‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫ﻛ‬‫ﯾ‬ ‫أن‬ ‫أي‬ ،(‫ـرب‬‫ـ‬‫ﺿ‬‫اﻟ‬ ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﯾ‬‫ﻋﻣﻠ‬ ‫ـﻲ‬‫ـ‬‫ﻓ‬ ‫ـﻰ‬‫ـ‬‫ﻧ‬‫)اﻟﯾﻣ‬ ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﯾ‬‫اﻟﺛﺎﻧ‬
‫ـﺈذا‬‫ﻓ‬ .‫ـدﯾن‬‫ﻋ‬‫اﻟﻣﺗﺑﺎ‬ ‫ـدﻟﯾﻠﯾن‬‫ﻟ‬‫ا‬ ‫ـﺎ‬‫ﻣ‬‫ﻫ‬ ‫ـرب‬‫ﺿ‬‫اﻟ‬ ‫ـﺔ‬‫ﯾ‬‫ﻋﻣﻠ‬ ‫ـﺎﺗﺞ‬‫ﻧ‬ ‫ـﺔ‬‫ﺑ‬‫ﺗ‬‫ر‬‫ﻣ‬ ‫وﺗﻛون‬ .‫ﻣﺗﺳﺎوﯾﯾن‬ ‫ﺗﺑﺗﯾﻬﻣﺎ‬‫ر‬‫ﻣ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ان‬
‫ر‬‫اﻟﻣﺗﺟﺎو‬
‫ـﻔوﻓﺗﯾن‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫أن‬ ‫ـﻧﺎ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺿ‬‫ﻓر‬
)
,
( n
m
X
‫و‬
)
,
( p
n
Y
‫ـﺎ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺗ‬‫ﻛﺎﻧ‬
‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻠ‬‫ﻋ‬
‫ـﻔوﻓﺗﯾن‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫أن‬ ‫ـﻧﺎ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺿ‬‫ﻓر‬ :‫ـﺎﻟﻲ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺗ‬‫اﻟ‬ ‫ـو‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺣ‬‫اﻟﻧ‬ ‫ﻰ‬
)
,
( n
m
X
‫و‬
)
,
( p
n
Y
‫ﻛﺎﻧﺗﺎ‬
:‫اﻟﺗﺎﻟﻲ‬ ‫اﻟﻧﺣو‬ ‫ﻋﻠﻰ‬





















mn
mj
m
m
in
ij
i
i
n
j
n
j
n
m
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
)
,
(


,

8





















np
nk
n
n
jp
jk
j
j
p
k
p
k
p
n
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
Y
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
)
,
(


‫ـﺈن‬‫ـ‬‫ﻓ‬
‫ـﻔوﻓﺗﯾن‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫ـﺎﺗﯾن‬‫ـ‬‫ﻫ‬ ‫ـرب‬‫ـ‬‫ﺿ‬ ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﯾ‬‫ﻋﻣﻠ‬
)
,
( p
n
Y
.
)
,
( n
m
X
‫ـدﻟﯾﻠﯾن‬‫ـ‬‫ﻟ‬‫ا‬ ‫ﻷن‬ ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﻧ‬‫ﻣﻣﻛ‬
‫ـﺎوﯾﺎن‬‫ـ‬‫ﺳ‬‫ﻣﺗ‬ ‫ﯾن‬‫ر‬‫ـﺎو‬‫ـ‬‫ﺟ‬‫اﻟﻣﺗ‬
.
‫ﺑﺎﻟرﻣز‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺗﯾن‬ ‫ﻫﺎﺗﯾن‬ ‫ﺿرب‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺔ‬ ‫ﻟﻧﺎﺗﺞ‬ ‫ﻧﺎ‬‫ز‬‫رﻣ‬ ‫ذا‬ٕ‫ا‬‫و‬
)
,
( p
m
Z
:
)
,
( p
m
Z
=
)
,
( p
n
Y
.
)
,
( n
m
X
‫ﻓﺳﺗﻛون‬
)
,
( p
m
Z
‫ﻓﯾﻬﺎ‬
m
‫و‬ ً‫ا‬
‫ر‬‫ﺳط‬
p
ً‫ا‬‫ﻋﻣود‬
.
‫و‬
ً‫ﺎ‬‫ﯾﺎﺿﯾ‬‫ر‬ ‫ﺳﺑق‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫ﻛﺗﺎﺑﺔ‬ ‫ﻧﺳﺗطﯾﻊ‬






























































np
nk
n
n
ip
ik
i
i
p
k
p
k
np
nk
n
n
jp
jk
j
j
p
k
p
k
mn
mj
m
m
in
ij
i
i
n
j
n
j
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11







9













































n
j
jp
mj
np
mn
jp
mj
p
m
p
m
mp
n
j
jk
j
i
nk
in
jk
ij
k
i
k
i
ik
n
j
j
j
n
n
j
j
n
j
j
j
n
u
j
lj
n
j
j
j
n
n
j
lj
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
z
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
z
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
z
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
z
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
z
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
21
22
11
21
21
1
2
1
2
1
2
22
12
12
11
12
1
1
1
1
1
1
21
.
12
11
11
11
...
...
....
..........
..........
..........
.
...
...
.
...
..........
..........
..........
.
...
...
.
..
..........
..........
..........
...
...
.
.
.
.
...
...
.
‫ـدى‬‫ـ‬‫ﺣ‬‫إ‬ ‫ـﺎ‬‫ـ‬‫ﻬ‬‫ﻓﯾ‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫ﻛ‬‫ﺗ‬ ‫ـﻲ‬‫ـ‬‫ﺗ‬‫اﻟ‬ ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﺧﺎ‬ ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﻟ‬‫اﻟﺣﺎ‬ ‫ـﻲ‬‫ـ‬‫ﻓ‬ ‫ـرب‬‫ـ‬‫ﺿ‬‫اﻟ‬ ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﯾ‬‫ﻋﻣﻠ‬ ‫اء‬
‫ر‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺟ‬‫إ‬ ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﯾ‬‫ﻛﯾﻔ‬ ‫ﻻ‬
‫و‬ ‫ـرب‬‫ـ‬‫ﺿ‬‫اﻟ‬ ‫ـرط‬‫ـ‬‫ﺷ‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫ﯾ‬‫ﯾﺗﻐ‬ ‫ﻻ‬
.‫ًا‬
‫د‬‫ﻋﻣو‬ ‫ًﺎ‬
‫ﻋ‬‫ﺷﻌﺎ‬ ‫أو‬ ‫ًا‬
‫ﺳطر‬ ‫ًﺎ‬
‫ﻋ‬‫ﺷﻌﺎ‬ ‫ﻛﻼﻫﻣﺎ‬ ‫أو‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺗﯾن‬
:‫ﻋددي‬ ‫ﺗطﺑﯾق‬
‫اﻟﺷﻌﺎع‬ ‫ﺿرب‬ ‫ﻧﺎﺗﺞ‬ ‫أوﺟد‬
)
1
,
4
(
X
‫ﺑﺎﻟﺷﻌﺎع‬
)
4
,
1
(
Y
‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬
:
 
1
1
0
1
,
3
0
2
1
)
4
,
1
(
)
1
,
4
( 














 Y
X
‫ﻣن‬ ‫ﻣؤﻟﻔﺔ‬ ‫ﺑﻌﺔ‬‫ر‬‫ﻣ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫وﻧﺎﺗﺟﻬﺎ‬ ‫ﻣﻣﻛﻧﺔ‬ ‫اﻟﺿرب‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺔ‬ ‫أن‬ ‫ﻧﻼﺣظ‬
4
‫و‬ ‫أﺳطر‬
4
:‫أﻋﻣدة‬
 






















































1
3
)
2
(
3
0
3
)
1
(
3
1
0
)
2
(
0
0
0
)
1
(
0
1
2
)
2
(
2
0
2
)
1
(
2
1
1
)
2
(
1
0
1
)
1
(
1
1
2
0
1
3
0
2
1
)
4
,
1
(
)
1
,
4
( Y
X

10





















3
6
0
3
0
0
0
0
2
4
0
2
1
2
0
1
‫ﻧﺿرب‬ ‫أن‬ ‫أردﻧﺎ‬ ‫إذا‬
‫اﻟﺷﻌﺎع‬
)
4
,
1
(
Y
)
1
,
4
(
X
:‫ًا‬
‫د‬‫ﻋد‬ ‫اﻟﺿرب‬ ‫ﻧﺎﺗﺞ‬ ‫ﻓﺳﯾﻛون‬
 
2
3
1
0
)
2
(
2
0
1
)
1
(
3
0
2
1
.
1
2
0
1
. )
1
,
4
(
)
4
,
1
(


























X
Y
:‫آﺧر‬ ‫ﻋددي‬ ‫ﺗطﺑﯾق‬
‫اﻟﺷﻌﺎع‬ ‫ﺿرب‬ ‫ﻧﺎﺗﺞ‬ ‫أوﺟد‬
)
1
,
3
(
X
)
7
,
1
(
Y
:












1
3
2
)
1
,
3
(
X ,  
5
1
4
3
2
0
1
)
7
,
1
( 


Y
‫ﻣ‬ ‫اﻟﺿرب‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺔ‬ ‫أن‬ ً‫ﻻ‬
‫أو‬ ‫ﻧﻼﺣظ‬
‫أﺳطر‬ ‫ﺛﻼﺛﺔ‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻣؤﻟﻔﺔ‬ ‫ﻣﺳﺗطﯾﻠﺔ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻫو‬ ‫اﻟﻌﻣﻠﯾﺔ‬ ‫ﻫذﻩ‬ ‫وﻧﺎﺗﺞ‬ ‫ﻣﻛﻧﺔ‬
:‫أن‬ ‫أي‬ ،‫أﻋﻣدة‬ ‫وﺳﺑﻌﺔ‬
 
5
1
4
3
2
0
1
1
3
2
. )
7
,
1
(
)
1
,
3
( 














Y
X



















5
1
4
3
2
0
1
15
3
12
9
6
0
3
10
2
8
6
4
0
2
:‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬ ‫اص‬‫و‬‫ﺑﺎﻟﺧ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت‬ ‫ﺿرب‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺔ‬ ‫ﺗﺗﻣﺗﻊ‬
‫ﻋﺎﻣﺔ‬ ‫ة‬
‫ﺑﺻور‬ ‫ﺗﺑدﯾﻠﯾﺔ‬ ‫ﻟﯾﺳت‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت‬ ‫ﺿرب‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺔ‬ ‫إن‬
.

11
-
‫أن‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ﻣ‬ ‫ﻏم‬
‫ـﺎﻟر‬‫ـ‬‫ﺑ‬
‫ـرب‬‫ـ‬‫ﺿ‬ ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﯾ‬‫ﻋﻣﻠ‬
‫ـﻔوﻓﺗﯾن‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻣ‬ ‫ـﺎدف‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻧ‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫ﻗ‬ ‫ـﺎ‬‫ـ‬‫ﻧ‬‫أﻧ‬ ‫إﻻ‬ ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﻣ‬‫ﻋﺎ‬ ‫ة‬
‫ر‬‫ـو‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﺑ‬ ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﯾ‬‫ﺗﺑدﯾﻠ‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫ﯾ‬‫ﻏ‬ ‫ـﻔوﻓﺗﯾن‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬
:‫أن‬ ‫ﻓرﺿﻧﺎ‬ ‫ﻓﺈذا‬ .ً‫ﻼ‬‫ﻣﺛ‬ ‫ﯾﺗﯾن‬‫ر‬‫اﻟﻘط‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺗﯾن‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻛﻣﺎ‬ ،‫ﺗﺑدﯾﻠﻲ‬ ‫ﺟداؤﻫﻣﺎ‬













nn
n
n
a
a
a
A
...
0
0
0
...
0
0
...
0
22
11
)
,
(

,













nn
n
n
b
b
b
B
...
0
0
0
...
0
0
...
0
22
11
)
,
(

:‫ﻓﺳﯾﻛون‬
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
( n
n
n
n
n
n
n
n A
B
B
A 


‫ﺑﻌﺔ‬‫ر‬‫ﻣ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺗﯾن‬ ‫إﺣدى‬ ‫ﻛﺎﻧت‬ ‫إذا‬ ‫ﻛذﻟك‬
.‫ﺗﺑدﯾﻠﯾﺔ‬ ‫ﺗﻛون‬ ‫اﻟﺿرب‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺔ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫اﺣدﯾﺔ‬‫و‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ى‬
‫اﻷﺧر‬‫و‬
:‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺗﯾن‬ ‫ﺑﻌﺗﯾن‬‫ر‬‫اﻟﻣ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺗﯾن‬ ‫ﻟﻧﺄﺧذ‬








5
4
3
2
)
2
,
2
(
X ,







1
0
0
1
)
2
,
2
(
I
:‫ﻷن‬ ‫ﺗﺑدﯾﻠﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺗﯾن‬ ‫ﻫﺎﺗﯾن‬ ‫ﺿرب‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺔ‬ ‫إن‬ .‫اﺣدﯾﺔ‬‫و‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫إﺣداﻫﻣﺎ‬ ‫اﻟﻠﺗﯾن‬












































5
4
3
2
1
0
0
1
5
4
3
2
,
5
4
3
2
5
4
3
2
1
0
0
1
‫اﻟﻣﺻﻔو‬ ‫ﺿرب‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺔ‬
:‫ﺗﺟﻣﯾﻌﯾﺔ‬ ‫ﻓﺎت‬
‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت‬ ‫ﻟدﯾﻧﺎ‬ ‫أﻧﻪ‬ ‫ﻓرﺿﻧﺎ‬ ‫إذا‬ ‫أي‬
)
,
(
)
,
(
)
.
( ,
, n
m
p
n
q
p X
Y
Z
‫ﻓ‬
‫ﯾﻛون‬
:
    )
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
( q
p
p
n
n
m
q
p
p
n
n
m
q
p
p
n
n
m Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X 







‫ﺗوزﯾﻌﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت‬ ‫ﺿرب‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺔ‬
:
‫أن‬ ‫ـرض‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻔ‬‫ﻟﻧ‬
)
,
(
)
,
( , n
m
n
m X
Y
,
)
,
( m
l
Z
,
)
,
( p
n
V
‫ـﻔوﻓﺎت‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻣ‬ ‫ـﻊ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺑ‬‫ر‬‫أ‬
‫ـذ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺋ‬‫ﻋﻧد‬
‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﺧﺎ‬ ‫ـذﻩ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻫ‬ ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺑ‬‫ﻛﺗﺎ‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻛ‬‫ﯾﻣ‬
‫ﺑﺎﻟطر‬
:‫اﻵﺗﯾﺗﯾن‬ ‫ﯾﻘﺗﯾن‬
  )
,
(
)
.
(
)
,
(
)
.
(
)
.
(
)
.
(
)
.
( .
.
. n
m
m
l
n
m
m
l
n
m
n
m
m
l Y
Z
X
Z
Y
X
Z 



12
  )
(
)
,
(
)
.
(
)
,
(
)
.
(
)
,
(
)
,
( .
.
. np
n
m
p
n
n
m
p
n
n
m
n
m V
Y
V
X
V
Y
X 


‫اﻟﺻﻔرﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻫو‬ (‫اﻟﯾﺳﺎر‬ ‫ﻣن‬ ‫أم‬ ‫اﻟﯾﻣﯾن‬ ‫ﻣن‬ ‫اء‬‫و‬‫)ﺳ‬ ‫اﻟﺻﻔرﯾﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫أﯾﺔ‬ ‫ﺟداء‬
:
:‫أن‬ ‫أي‬
)
.
(
)
,
(
)
,
(
)
.
(
)
,
(
)
,
(
.
.
p
m
p
n
n
m
p
m
p
n
n
m
O
O
A
O
A
O


‫أ‬ ‫دون‬ ‫ﯾﺔ‬‫ر‬‫ـﻔ‬‫ﺻ‬‫اﻟ‬ ‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫ًﺎ‬
‫ﯾ‬‫ـﺎو‬‫ﺳ‬‫ﻣ‬ ‫ـﻬﻣﺎ‬‫ﺿ‬‫ﺑﺑﻌ‬ ‫ـﻔوﻓﺗﯾن‬‫ﺻ‬‫ﻣ‬ ‫ـرب‬‫ﺿ‬ ‫ـﺔ‬‫ﯾ‬‫ﻋﻣﻠ‬ ‫ـﺎﺗﺞ‬‫ﻧ‬ ‫ﯾﻛون‬ ‫ﻗد‬
‫ـن‬‫ﻣ‬ ‫أي‬ ‫ـون‬‫ﻛ‬‫ﯾ‬ ‫ن‬
،‫ـﻔوﻓﺎت‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫ـﻲ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻓ‬ ‫ـب‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻌ‬‫ﺗﻠ‬ ‫ﻻ‬ ‫ﯾﺔ‬‫ر‬‫ـﻔ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟ‬ ‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫أن‬ ‫أي‬ .‫ﯾﺔ‬‫ر‬‫ـﻔ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬ ‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻣ‬ ‫ـﺗﯾن‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺿ‬‫اﻟﻣﻔرو‬ ‫ـﻔوﻓﺗﯾن‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬
.‫اﻟﺣﺳﺎﺑﯾﺔ‬ ‫اﻷﻋداد‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺻﻔر‬ ‫ﯾﻠﻌﺑﻪ‬ ‫اﻟذي‬ ‫ﻧﻔﺳﻪ‬ ‫اﻟدور‬
:‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺗﺎن‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺗﺎن‬ ‫ﻟدﯾﻧﺎ‬ ‫ﻟﺗﻛن‬







1
1
0
3
0
1
)
3
,
2
(
X ,













5
1
5
1
15
3
)
2
,
3
(
Y
‫ﻫ‬ ‫ﺑﻬﻣﺎ‬‫ر‬‫ﺿ‬ ‫ﺣﺎﺻل‬
:‫و‬



























0
0
0
0
5
1
5
1
15
3
1
1
0
3
0
1
. )
2
,
3
(
)
3
,
2
( Y
X
‫اﻷﺻـﻠﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻـﻔوﻓﺔ‬ ‫ﯾﺳـﺎوي‬ (‫اﻟﯾﺳـﺎر‬ ‫أم‬ ‫اﻟﯾﻣﯾن‬ ‫ﻣن‬ ‫اء‬‫و‬‫)ﺳ‬ ‫اﻷﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫أﯾﺔ‬ ‫ﺟداء‬
‫ﻧﻔﺳﻬﺎ‬
:‫أن‬ ‫أي‬ :
)
.
(
)
,
(
)
,
(
)
.
(
)
,
(
)
,
(
.
.
n
m
n
n
n
m
n
m
n
m
m
m
A
I
A
A
A
I


‫ﺿرب‬
‫ﺑ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
‫ﺑﻌـد‬ ‫اﻷﺻـﻠﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻـﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻫـﻲ‬ ‫ﺟدﯾـدة‬ ‫ﻣﺻـﻔوﻓﺔ‬ ‫ﯾﻌطﯾﻧـﺎ‬ ‫اﻟﯾﺳـﺎر‬ ‫ﻣـن‬ ‫ﻗطرﯾﺔ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
‫ـ‬‫ـ‬‫ﺑﺎﻟﻌﻧﺻ‬ ‫ﻫﺎ‬
‫أﺳـطر‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ﻣ‬ ‫ﺳـطر‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫ﻛ‬ ‫ﺿـرب‬
‫اﻟ‬ ‫ي‬
‫اﻟﻘطـر‬ ‫ر‬
‫ـل‬‫ـ‬‫ﻣﻘﺎﺑ‬
‫ـرب‬‫ـ‬‫ﺿ‬ ‫ﻓـﺈن‬ ‫ـذﻟك‬‫ـ‬‫ﻛ‬ .‫اﻟﻘطرﯾـﺔ‬ ‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫اﻟﻣﺻ‬ ‫ﻓـﻲ‬
‫ﺑﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
‫ﻛل‬ ‫ﺿرب‬ ‫ﺑﻌد‬ ‫اﻷﺻﻠﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫ﺟدﯾدة‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﯾﻌطﯾﻧﺎ‬ ‫اﻟﯾﻣﯾن‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻗطرﯾﺔ‬
‫اﻟ‬ ‫ي‬
‫اﻟﻘطر‬ ‫ﺑﺎﻟﻌﻧﺻر‬ ‫أﻋﻣدﺗﻬﺎ‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻋﻣود‬
‫ﻣﻘﺎﺑل‬
.‫اﻟﻘطرﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬

13
:‫ﯾﻠﻲ‬ ‫ﻛﻣﺎ‬ ‫ﯾﺔ‬‫ر‬‫ﻗط‬ ‫إﺣداﻫﻣﺎ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺗﺎن‬ ‫ﻟدﯾﻧﺎ‬ ‫ﻟﺗﻛن‬











2
0
0
0
5
0
0
0
1
)
3
,
3
(
X ,













5
1
5
1
15
3
)
2
,
3
(
Y
:‫ﻫو‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺗﯾن‬ ‫ﻫﺎﺗﯾن‬ ‫ﺿرب‬ ‫ﺣﺎﺻل‬ ‫إن‬







































10
2
25
5
5
1
3
5
1
5
1
15
3
2
0
0
0
5
0
0
0
1
. )
2
,
3
(
)
3
,
3
( Y
X
‫اء‬
‫ر‬‫ــــ‬‫ـ‬‫إﺟ‬ ‫ــــن‬‫ـ‬‫ﯾﻣﻛ‬ ‫ﻻ‬ ‫ــــﻔوﻓﺎت‬‫ـ‬‫اﻟﻣﺻ‬ ‫ــــرب‬‫ـ‬‫ﺿ‬ ‫ــــﻲ‬‫ـ‬‫ﻓ‬
‫ــــﺎر‬‫ـ‬‫اﻻﺧﺗﺻ‬ ‫ــــﺔ‬‫ـ‬‫ﻋﻣﻠﯾ‬
:‫ـﻔوﻓﺎت‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫ـدﯾﻧﺎ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻟ‬ ‫ـﺎن‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻛ‬ ‫ـﺈذا‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻓ‬ :
)
,
(
)
,
(
)
.
( ,
, n
m
p
n
p
n X
Y
Z
‫اﻵ‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫أن‬ ‫ﻓرﺿﻧﺎ‬ ‫ذا‬ٕ‫ا‬‫و‬
‫ﺗ‬
‫ﯾﺔ‬
‫ﻣ‬
‫ﺣﻘﻘ‬
‫ﺔ‬
:
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
( .
. p
n
n
m
p
n
n
m Z
X
Y
X 
‫اﻵ‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﺗﺗﺣﻘق‬ ‫أن‬ ‫ة‬
‫ر‬‫ﺑﺎﻟﺿرو‬ ‫ﯾﻌﻧﻲ‬ ‫ﻻ‬ ‫ﻓﻬذا‬
‫ﺗ‬
:‫ﯾﺔ‬
)
,
(
)
,
( p
n
p
n Z
Y 
:‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت‬ (‫ﺗدوﯾر‬ ‫)أو‬ ‫ﻣﻧﻘول‬
‫ـطر‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺳ‬‫أ‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﯾ‬‫ﺑﺗﺣو‬ ‫ـﺎ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻬ‬‫ﻋﻠﯾ‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻧﺣ‬ ‫ـدة‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﯾ‬‫ﺟد‬ ‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻣ‬ ‫ـو‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻫ‬ (‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫ـدور‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻣ‬ ‫)أو‬ ‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫ـول‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ﻘ‬‫ﻣﻧ‬ ‫إن‬
.‫اﻟﻌﻧﺎﺻر‬ ‫اﺿﻊ‬‫و‬‫ﻣ‬ ‫ﺗﯾب‬‫ر‬‫ﺑﺗ‬ ‫اﻻﺣﺗﻔﺎظ‬ ‫ﻣﻊ‬ ،‫أﺳطر‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫أﻋﻣدة‬‫و‬ ‫أﻋﻣدة‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
‫ـ‬‫ـ‬‫ﻓ‬
‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫اﻟﻣ‬ ‫ـدﯾﻧﺎ‬‫ـ‬‫ﻟ‬ ‫أن‬ ‫ـﻧﺎ‬‫ـ‬‫ﺿ‬‫ﻓر‬ ‫ﺈذا‬
)
,
( n
m
X
‫ـﺎ‬‫ـ‬‫ﻬ‬‫ﻟ‬ ‫ـﻲ‬‫ـ‬‫ﺗ‬‫اﻟ‬
m
‫و‬ ً‫ا‬
‫ر‬‫ـط‬‫ـ‬‫ﺳ‬
n
ً‫ا‬‫ـود‬‫ـ‬‫ﻣ‬‫ﻋ‬
‫ـﺈن‬‫ـ‬‫ﻓ‬
(‫ﻫﺎ‬
‫ـدور‬‫ـ‬‫ﻣ‬ ‫)أو‬ ‫ـﺎ‬‫ـ‬‫ﻬ‬‫ﻣﻧﻘوﻟ‬
‫ﻟﻪ‬ ‫وﻟﻧرﻣز‬
‫ﺑ‬
‫ﺎﻟرﻣز‬
)
,
(
'
n
m
X
‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﺳﯾﻛون‬
‫ﻟﻬﺎ‬
n
‫و‬ ً‫ا‬
‫ر‬‫ﺳط‬
m
‫ﻋﻣود‬
ً‫ا‬
‫ﯾﻠﻲ‬ ‫ﻛﻣﺎ‬
:





















mn
mj
m
m
in
ij
i
i
n
j
n
j
n
m
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
)
,
(


,

14



















mn
in
n
n
mj
ij
j
j
m
i
m
i
n
m
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
12
1
1
21
11
'
)
,
(


‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻟدﯾﻧﺎ‬ ‫ﻟﺗﻛن‬
)
3
,
4
(
X














3
2
0
10
1
3
5
6
0
2
0
1
)
3
,
4
(
X
:‫ﻫو‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻫذﻩ‬ ‫ﻣﻧﻘول‬ ‫إن‬












3
10
5
2
2
1
6
0
0
3
0
1
'
)
4
.
3
(
X
:‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬ ‫اص‬‫و‬‫ﺑﺎﻟﺧ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت‬ ‫ﺗدوﯾر‬ ‫ﻋﻣﻠﯾﺔ‬ ‫وﺗﺗﻣﺗﻊ‬
:‫ﻣدورﯾﻬﻣﺎ‬ ‫ع‬
‫ﻣﺟﻣو‬ ‫ﯾﺳﺎوي‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺗﯾن‬ ‫ع‬
‫ﻣﺟﻣو‬ ‫ﻣدور‬
)
,
(
'
)
.
(
'
'
)
,
(
)
,
( ]
[ n
m
n
m
n
m
n
m Y
X
Y
X 


‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﺑﻣدور‬ ً‫ﺎ‬‫ﻣﺿروﺑ‬ ‫اﻟﺣﻘﯾﻘﻲ‬ ‫اﻟﻌدد‬ ‫ﯾﺳﺎوي‬ ‫ﺣﻘﯾﻘﻲ‬ ‫ﺑﻌدد‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﺟداء‬ ‫ﻣدور‬
:
)
,
(
'
)
,
( .
)'
.
( n
m
n
m X
a
X
a 
.
‫ﺗﺑدﯾل‬ ‫ﺑﻌد‬ ‫ﻣدورﯾﻬﻣﺎ‬ ‫ﺟداء‬ ‫ﯾﺳﺎوي‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺗﯾن‬ ‫ﺟداء‬ ‫ﻣدور‬
‫ﻣﻛﺎﻧﻲ‬
‫ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺗﯾن‬
‫وﺗﺑدﯾل‬ ‫اﻟﺟداء‬
‫ﻛل‬ ‫ادﻟﺔ‬
:‫ﻣﻧﻬﻣﺎ‬
)
,
(
'
)
,
(
'
'
)
,
(
)
,
( ]
[ n
m
p
n
p
n
n
m X
Y
Y
X 


:‫أن‬ ‫أي‬ ،‫اﻷﺻﻠﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻫو‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻣدور‬ ‫ﻣدور‬
)
,
(
)
,
(
'
)'
( n
m
n
m X
X 

15
) ‫ﻣﻼﺣظﺔ‬
1
:(
‫ﻛﺎﻧت‬ ‫إذا‬
‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
)
,
( n
n
S
‫ة‬
‫ر‬‫ﻣﺗﻧﺎظ‬
‫ﻓﺈ‬
‫ﻫﺎ‬
‫ﻣدور‬ ‫ﺗﺳﺎوي‬ ‫ﻧﻬﺎ‬
:
)
,
(
'
)
,
( n
n
n
n S
S 
‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻛﺎﻧت‬ ‫ذا‬ٕ‫ا‬‫و‬
)
,
( n
n
A
‫اﻟ‬ ‫ﻣﺗﻌﺎﻛﺳﺔ‬
‫ﻓﺈﻧ‬ ‫ﺗﻧﺎظر‬
‫ـ‬‫ﺑ‬ ‫ًﺎ‬
‫ﺑ‬‫ﻣﺿرو‬ ‫ﻫﺎ‬
‫ﻣدور‬ ‫ﺗﺳﺎوي‬ ‫ﻬﺎ‬
-1
:
)
,
(
'
)
,
( n
n
n
n A
A 

) ‫ﻣﻼﺣظﺔ‬
2
:(
‫ﻛل‬ ‫ﻣﻘﺎﺑل‬
‫ﺑﻌﺔ‬‫ر‬‫ﻣ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
)
,
( n
n
M
‫إﯾﺟﺎد‬ ‫ﯾﻣﻛن‬
‫ة‬
‫ر‬‫ﻣﺗﻧﺎظ‬ ‫اﻷوﻟﻰ‬ ،‫ﻣﺻﻔوﻓﺗﯾن‬
)
,
( n
n
S
‫اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‬‫و‬
ِ‫اﻟﺗﻧﺎظر‬ ‫ﻣﺗﻌﺎﻛﺳﺔ‬
)
,
( n
n
A
.
‫اﻟﻘﺎﻋدة‬ ‫ﻫذﻩ‬ ‫ﺻﺣﺔ‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻟﻠﺗﺣﻘق‬
‫اﻟ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻛﺗﺎﺑﺔ‬ ‫اﺳﺗطﻌﻧﺎ‬ ‫أﻧﻧﺎ‬ ‫ﻟﻧﻔرض‬
‫ﺑﻌﺔ‬‫ر‬‫ﻣ‬
‫اﻟﻣﻔروﺿﺔ‬
)
,
( n
n
M
‫اﻟ‬ ‫ع‬
‫ﻣﺟﻣو‬ ‫ة‬
‫ر‬‫ﺻو‬ ‫ﻋﻠﻰ‬
‫ﻣﺻﻔوﻓﺗﯾن‬
‫اﻟ‬
‫ة‬
)
,
( n
n
S
ِ‫اﻟﺗﻧﺎظر‬ ‫وﻣﺗﻌﺎﻛﺳﺔ‬
)
,
( n
n
A
:
)
I
(
)
,
(
)
,
(
)
,
( n
n
n
n
n
n A
S
M 

‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺗﯾن‬ ‫ﻫﺎﺗﯾن‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻛل‬ ‫إﯾﺟﺎد‬ ‫وﻟﻧﺣﺎول‬
)
,
( n
n
S
‫و‬
)
,
( n
n
A
.
‫طرف‬ ‫ﻛل‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺎت‬ ‫ﻣدور‬ ‫ﻟﻧﺄﺧذ‬
:‫ﻓﻧﺟد‬ ‫اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﻣن‬
)
,
(
'
)
,
(
'
)
,
(
'
n
n
n
n
n
n A
S
M 

‫و‬
‫أن‬ ‫ﺑﻣﺎ‬
)
,
( n
n
S
‫ة‬
‫ر‬‫ﻣﺗﻧﺎظ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
‫و‬
)
,
( n
n
A
‫ﻓ‬ ‫اﻟﺗﻧﺎظر‬ ‫ﻣﺗﻌﺎﻛﺳﺔ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
‫ﺳﯾﻛون‬
:
)
,
(
)
,
(
'
n
n
n
n S
S 
, )
,
(
)
,
(
'
n
n
n
n A
A 

‫ﺳﯾﻛون‬ ‫ﻟﻬذا‬
:
)
II
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
'
n
n
n
n
n
n A
S
M 

-
‫إذا‬
‫ﺟﻣﻌ‬
‫ﻧﺎ‬
) ‫اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن‬
I
)‫و‬ (
II
:‫ﻧﺟد‬ ‫ﻟطرف‬ ً‫ﺎ‬‫ﻓ‬‫ر‬‫ط‬ (
)
,
(
)
,
(
'
)
,
( 2 n
n
n
n
n
n S
M
M 

‫وﻣﻧﻪ‬
‫ة‬
‫ر‬‫اﻟﻣﺗﻧﺎظ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻓﺈن‬
)
,
( n
n
S
‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻋﻠﯾﻬﺎ‬ ‫ﻧﺣﺻل‬ ‫اﻟﺗﻲ‬
)
,
( n
n
M
‫ﺳﺗﻛون‬
:

16
]
[
2
1
)
,
(
'
)
,
(
)
,
( n
n
n
n
n
n M
M
S 

-
‫طرﺣﻧﺎ‬ ‫ذا‬ٕ‫ا‬‫و‬
) ‫اﻟﻣﻌﺎدﻟﺗﯾن‬
I
‫و‬ (
)
II
ً‫ﺎ‬‫ﻓ‬‫ر‬‫ط‬ (
‫ﻣن‬
:‫ﻧﺟد‬ ‫طرف‬
)
,
(
)
,
(
'
)
,
( 2 n
n
n
n
n
n A
M
M 

‫ﻓﺎﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
ِ
‫اﻟﺗﻧﺎظر‬ ‫ﻣﺗﻌﺎﻛﺳﺔ‬
)
,
( n
n
A
‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻋﻠﯾﻬﺎ‬ ‫ﻧﺣﺻل‬ ‫اﻟﺗﻲ‬
)
,
( n
n
M
‫ﺳﺗﻛون‬
:
]
[
2
1
)
,
(
'
)
,
(
)
,
( n
n
n
n
n
n M
M
A 

‫ﻟﻧوﺟد‬
‫اﻟ‬
‫ﻣﺻﻔوﻓﺗﯾن‬
‫اﻟ‬ ،
‫وﻣﺗﻌﺎﻛ‬ ‫ة‬
ِ‫اﻟﺗﻧﺎظر‬ ‫ﺳﺔ‬
‫ﻣن‬
‫اﻵﺗﯾ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬
‫ﺔ‬
:















1
2
0
1
3
0
2
1
1
0
4
3
1
2
1
0
)
4
,
4
(
M
‫ة‬
‫ر‬‫اﻟﻣﺗﻧﺎظ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬ ‫إن‬
)
4
,
4
(
S
:‫ﻫﻲ‬
 
































1
3
1
1
2
0
0
2
0
2
4
1
1
1
3
0
2
1
1
2
0
1
3
0
2
1
1
0
4
3
1
2
1
0
2
1
2
1
)
4
,
4
(
)
4
,
4
(
)
4
,
4
(
t
M
M
S























1
2
5
2
1
1
2
5
0
1
2
3
2
1
1
4
2
1
2
3
2
0
‫اﻟﺗﻧﺎظر‬ ‫ﻣﺗﻌﺎﻛﺳﺔ‬ ‫اﻟﻣﺻﻔوﻓﺔ‬‫و‬
)
4
,
4
(
A
:‫ﻫﻲ‬

17
































1
3
1
1
2
0
0
2
0
2
4
1
1
1
3
0
2
1
1
2
0
1
3
0
2
1
1
0
4
3
1
2
1
0
2
1
]
[
2
1
)
4
,
4
(
)
4
,
4
(
)
4
,
4
(
t
M
M
A


























0
2
1
2
1
0
2
1
0
1
2
1
2
1
1
0
1
0
2
1
1
0
‫ﻧﺗ‬
:‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﯾﺟ‬
) ‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﻗ‬‫اﻟﻌﻼ‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ﻣ‬
I
‫أن‬ ‫ـﺗﻧﺗﺞ‬‫ـ‬‫ﺳ‬‫ﻧ‬ (
‫ـل‬‫ـ‬‫ﻛ‬
‫ـﺔ‬‫ـ‬‫ﻌ‬‫ﺑ‬‫ر‬‫ﻣ‬ ‫ـﻔوﻓﺔ‬‫ـ‬‫ﺻ‬‫ﻣ‬
)
,
( n
n
M
‫ع‬
‫ـو‬‫ـ‬‫ﻣ‬‫ﻣﺟ‬ ‫ة‬
‫ر‬‫ـو‬‫ـ‬‫ﺻ‬ ‫ـﻲ‬‫ـ‬‫ﻓ‬ ‫ـﺎ‬‫ـ‬‫ﻬ‬‫ﻛﺗﺎﺑﺗ‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ﻛ‬‫ﯾﻣ‬
‫اﻷوﻟﻰ‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺗﯾن‬
‫و‬ ‫ة‬
‫اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‬
‫اﻟﺗﻧﺎظر‬ ‫ﻣﺗﻌﺎﻛﺳﺔ‬
.
‫اﻟﻘﺎدم‬ ‫اﻻﺣﺪ‬ ‫اﻟﻘﺎدﻣﺔ‬ ‫اﻟﻤﺤﺎﺿﺮة‬
‫اﻟﻘﺎدم‬ ‫واﻟﺜﻼﺛﺎء‬
/
‫ﻓﻲ‬
‫اﻟﺴﺎدﺳﺔ‬ ‫ﺗﻤﺎم‬
/

المصفوفوات و فوائدها والقدرة على استخدامها في حلول الحياة اليومية

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

المصفوفوات و فوائدها والقدرة على استخدامها في حلول الحياة اليومية