1. Dääd too lekc S.Ba¶rbaatar
Xawtgaïn analitik geometriïn x¶lbar bodloguud
1. Xäräw A(x1, y1) B(x2, y2) xoër cägiïn xoorondox zaï
D = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
2. A, B cägiïg xolboson xärqmiïg AM : MB = λ xar´caand xuwaax M(x; y) cägiïn koordinat n´:
x =
x1 + λ · x2
1 + λ
; y =
y1 + λ · y2
1 + λ
Tuxaïn toxioldold λ = 1 buµu AW xärqmiïg tallan xuwaax M(x; y) cägiïn koordinat n´:
x =
x1 + λ · x2
2
; y =
y1 + λ · y2
2
3. A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) oroïtoï gurwaljny talbaï
S =
1
2
|(x2 − x1) · (y3 − y1) − (x3 − x1) · (y2 − y1)|
4. Täg² öncögt (x; y) koordinat n´ (ρ; ϕ) tuïlyn koordinattaï
x = ρ · cos ϕ, y = ρ · sin ϕ ρ = x2 + y2, ϕ = arctan
y
x
tom³ëogoor xolbogdono.
5. Xawtgaï däärx ²ugam n´ täg² öncögt koordinatyn sistemd f(x; y) = 0 täg²itgäläär, tuïlyn
koordinatyn sistemd Φ(ρ, ϕ) = 0 täg²itgäläär dürslägdäxääs gadna x = ϕ(t), y = ψ(t) xälbäriïn
parametrt täg²itgäläär ögögdöj bolno.
6. XOY -koordinatyn sistemiïg O (a, b) cäg däär parallel´ zööx xuwirgalt
x = x + a
y = y + b
(1)
Koordinatuudyn tänxlägüüdiïg ärgüüläx xuwirgalt
x = x cos α − y sin α
y = y + b
(2)
buµu
x = x cos α + y sin α
y = x sin α + y cos α
(3)
Xawtgaï däärx ²uluun
1. Erönxiï täg²itgäl n´: Ax + By + C = 0
2. Öncgiïn koäfficienttäï täg²itgäl n´: y = kx + b
3. Xärqim däx täg²itgäl n´:
x
a
+
y
b
= 1
4. Normal´ täg²itgäl n´: x cos α + y sin α − p = 0
5. Ögögdsön M(x; y) cägiïg ögögdsön qigläld daïrq garax ²uluuny täg²itgäl n´:
y − y1 = k(x − x1)
1

2. Dääd too lekc S.Ba¶rbaatar
6. Ögögdsön M1(x1; y1), M2(x2; y2) gäsän xoër cägiïg daïrq garsan ²uluuny täg²itgäl n´:
x − x1
x2 − x1
=
y − y1
y2 − y1
7. y = k1x + b1 y = k2x + b2 xoër ²uluuny xoorondox öncgiïg:
tgα =
k1 − k2
1 + k1k2
8. Xoër ²uluuny parallel´ baïx nöxcöl n´: k1 = k2
9. Xoër ²uluuny perpendikul¶r baïx nöxcöl n´: k1k2 = −1
10. Ögögdsön A(x0; y0) cägiïg daïruulan tögsgölgüï olon ²uluun tataj bolox bögööd tädgääriïg
²uluunuudyn bagc gänä. Bagcyn täg²itgäl n´: A1x + B1y + C1 + λ(A2x + B2y + C) = 0 baïna.
11. Ögögdsön M(x0; y0) cägääs x cos α + y sin α − p = 0 ²uluun xüräx zaïg:
d = |x0 cos α + y0 sin α − p|
Xäräw ²uluun Ax + By + C = 0 erönxiï täg²itgäläär ögögdsön bol zaïg
d =
Ax0 + By0 + C
√
A2 + B2
tom³ëogoor olno.
10. Xoër ²uluuny ogtlolcson cägiïg täg²itgäliïg sistemqlän bodoj bolno.
Ji²ää 1: ABC-iïn A(4; 0) oroï, BE öndriïn BD mediany täg²itgälüüd:
BE : 2x − 3y + 15 = 0 BD : 2x + 3y − 3 = 0 gäj ögsön bol gurwaljny taluudyn täg²itgäliïg
zoxio.
Bodolt: B oroïn koordinatyg BE ba BD ²uluunuudyn ogtlolcloor olno.
B :
2x − 3y + 15 = 0
2x + 3y − 3 = 0
⇒
x = −3
y = 3
(4)
AC talyn täg²itgäliïg zoxioë. AC ⊥ BE uqir AC-iïn öncgiïn koäfficientiïg ol³ë.
kBE =
3
2
kAC =
−1
kBE
= −
3
2
öncgiïn koäfficient ba näg cäg n´ ögögdsönöör AC talyn täg²itgäliïg
y − yA = kAC(x − xA)
tom³ëogoor olno.
y = −
3
2
(x − 4) ⇔ 2y + 3x − 12 = 0
cägiïn koordinatyg BD median ba AC taluudyn ogtlolcloor olno.
D :
2x + 3y − 3 = 0
2x + 2y − 12 = 0
⇒
x = 6
y = −3
(5)
2

3. Dääd too lekc S.Ba¶rbaatar
D n´ AC xärqmiïg tallan xuwaagq cäg uqir C oroïg C(8; −6) gäj olno. Odoo gurwaljny büx oroïn
koordinat mädägdsän uqir xoër cägiïg daïrsan ²uluuny täg²itgäliïg
x − x1
x2 − x1
=
y − y1
y2 − y1
tom³ëogoor olno.
AN :
x + 3
4 + 3
=
y − 3
0 − 3
⇒ 3x + 7y − 12 = 0
BC :
y − 3
−6 − 3
=
x + 3
8 + 3
⇒ 9x + 11 − 6 = 0
Ji²ää 2: Parallelogrammyn gurwan oroï A(−2; 2), B(2; 4), C(6; 1) gäj ögögdsön bol döröw däx
oroï bolox D cägiïn koordinat, taluudyn täg²itgäl ba talbaïg n´ ol.
Bodolt: Diagonaliïn ogtlolclyn cägiïg E gäwäl tär n´ AC xärqmiïg tallan xuwaax uqir
E(2; 1.5) bolno. B ba E cägüüdiïn koordinatyg mädsänäär D oroïn koordinatyg olj bolno. Ööröör
xälbäl D(2; −1) bolno.
AB :
y − 2
−1 − 2
=
x + 2
2 + 2
BC :
y − 1
4 − 1
=
x − 6
2 − 6
AD :
y − 2
−1 − 2
=
x + 2
2 + 2
CD :
y − 1
4 − 1
=
x − 6
2 − 6
buµu
AB : 2y − x − 6 = 0 AD : 4y + 3x − 2 = 0 BC : 4y + 3x − 22 = 0 CD : 2y − x + 4 = 0
Odoo talbaïg n´ oloxyn tuld BC xärqmiïn urtyg ol³ë.
BC = (6 − 2)2 + (1 − 4)2 = 5;
A cägääs BC ²uluun xürtläx zaïgaar h öndriïg olno.
h =
|4 · 2 + 3(−2) − 22|
√
16 + 9
=
|8 − 6 − 22|
5
= 4
Ändääs SABCD = h · BC = 20
Ji²ää 3: OY tänxlägiïg (0; 7) cägäär ogtlon garax OZ-täï 45◦
öncög üüsgäx ²uluuny täg²it-
gäliïg zoxio.
Bodolt : y = kx + b-d k = tg45◦
= 1 tul y = x + 7 bolno.
Ji²ää 4: Xäräw ²uluun n´ A(2; −4), B(5; 5) cägüüdiïg daïrq gardag bol tüüniï öncgiïn koäf-
ficient k ba OY -täï ogtlolcson cägiïn koordinat b-g ol.
Bodolt : y = kx+b ²uluun däär A, B cägüüd or²ix uqir tus büriïn koordinat n´ täg²itgäliïg
xangana. Ööröör xälbäl:
−4 = 2k + b
5 = 5k + b
Änä xoër täg²itgälääs k = 3, b = −10 bolno.
3

4. Dääd too lekc S.Ba¶rbaatar
Ji²ää 5: Xäräw ²uluun n´ A(2; 1), B(−5; 2) cägüüdiïg daïrsan bol ²uluuny täg²itgäliïg
zoxio.
Bodolt : x1 = 2; x2 = −5; y1 = 1; y2 = 2-iïg
x − x1
x2 − x1
=
y − y1
y2 − y1
-d orluulbal
x − 2
−5 − 2
=
y − 1
2 − 1
buµu
x + 6y − 7 = 0
bolno.
Ji²ää 6: y = −x + 5, y = 1
2
x + 4 ²uluunuudyn xoorondox öncgiïg ol.
Bodolt : k1 = −1, k2 = 1
2
tul tgϕ = 3 ⇒ ϕ = arctg3 bolno.
Ji²ää 7: 2x + 4y + 5 = 0, x + 2y − 3 = 0 ²uluunuudyn xoorondox öncgiïg ol.
Bodolt : A1 = 2, B1 = 4 A2 = 1, B2 = 2 tul
tgϕ =
A1B2 − B1A2
A1A2 − B1B2
tom³ëond orluulbal
tgϕ =
−6
10
= −
3
5
⇒ ϕ = arctg −
3
5
bolno.
Ji²ää 8: 3x − 4y + 10 = 0 täg²itgäliïg ägäl dürsäd ²iljüül.
Bodolt :
µ =
1
±
√
9 + 16
=
1
±5
; C > 0 ⇒ µ = −
1
5
−
3
5
x +
4
5
y − 2 = 0
Ji²ää 9: Koordinatyn äxääs x + 2y −
√
5 = 0 ²uluun xürtläx zaïg ol.
Bodolt:
µ =
1
√
5
;
x + 2y −
√
5
√
5
= 0; d = |δ| =
−
√
5
√
5
= 1;
4