大学入試問題で「整数問題」が出題されます。 これらはほぼすべて「数論」を元に問題が作られていますので、 「数論」の知識を深めておくと、役立つかもしれません。 今回は、＜完全数＞についてご紹介します。 http://courslide.org/

1. ds

2. 大学入試で
出題されることの多い
「整数問題」

3. 「数論」
を元に出題されている

4. 今回は
に関して
「完全数」
ご紹介します。

5. 完全数とは？

6. 完全数とは？
自分自身以外の約数の和が
自分自身に等しくなる数

7. 完全数とは？
例を挙げましょう。
「６」
の約数は
（1,2,3,6）
の4つですね。
自分自身以外の約数
（1,2,3）
を
すべて足してみると、
「1+2+3=6」「６」
で
になります。
このような数が
「完全数」
です。
ここで言うと、６」「完全数」
「
が
「６」
の次の完全数は
「28」

8. 完全数とは？
完全数は、
「メルセンヌ素数」
と関係が深く、
n
Mn( =2 -1) が素数ならば、
2
n-1
Mn は完全数だと、
ユークリッドが証明しています。

9. 大学入試で
実際に出題された問題を
見てみましょう。

10. 2以上の自然数nに対し、
n以外のnの正の約数をS(n)とする。
例えば、
S(4)=1+2=3, S(5)=1,
S(6)=1+2+3=6である。
次の問いに答えよ。
(1)S(28)およびS(120)を求めよ。
m-1
m
とする。
(2)n=2 (2 -1) (m=2,3,4,…）
m
(ⅰ)2 -1 が素数のときのS(n)を求めよ。
m
S(n) > n
(ⅱ)2 -1 が素数でないとき、
である。
これを証明せよ。
（2000 佐賀大学）

11. 完全数に関する問題だと
わかりましたか？
かつ、
ユークリッドが
証明したことを証明しろ、
という問題でもあります。

12. 完全数を知っていれば、
(2)の(ⅰ)は、
S(n)=n
になることがわかりますが、
そんなわけにもいかないので、
解いていきましょう。

13. （１）
の解答
（１）
は素直に解きましょう。
完全数！
S(28)=1+2+4+7+14=28
S(120)=1+2+3+4+5+6+8+10
+12+15+20+24+30+40
+60=240

14. （2）ⅰ）
（ の解答
S(n)を求めるためには、
m-1
m
n(=2 (2 -1))の約数を挙げないといけません。
m-1
m
nは、 と2 -1の積なので、
2
まずはそれぞれの約数を考えましょう。
m
◆2 -1の約数について
m
「2 -1は素数」
という条件が与えられているため、
m
m
（1,2 -1）
の2つだけです。
2 -1の約数は
◆2
2
m-1
の約数について
m-1
2
3
4
m-2
の約数は、1,2,2 ,2 ,2 ,…,2
（
,2
m-1
）
ですね。

15. （2）ⅰ）
（ の解答
よって、
m-1
m
n(=2 (2 -1))のn以外の約数は、
2
3
4
m-2
m-1
1,2,2 ,2 ,2 ,…,2 ,2
m
m
2
m
3
m
4
m
m-2
m
m-1
m
2 -1,2(2 -1),2 (2 -1),2 (2 -1),2 (2 -1),…,2 (2 -1),2 (2 -1)
2
注意
m-1
m
(2 -1)はnなので、
S(n)を求めるときには使いません。
S(n)を求めるために、
2
m-1
m
(2 -1)を含めない和を計算します。

16. （2）ⅰ）
（ の解答
まず、
2
3
4
m-2
m-1
1,2,2 ,2 ,2 ,…,2 ,2
までの和を等比数列の和公式を使って求めます。
初項1,公比2の等比数列なので、
1-2
2 -1
m
=
= 2 -1
1-2
1
m
m
…①

17. （2）ⅰ）
（ の解答
次に、
m
m
2
m
3
m
4
m
m-2
m
2 -1,2(2 -1),2 (2 -1),2 (2 -1),2 (2 -1),…,2 (2 -1)
の和を求めましょう。
m
m
2
m
3
m
4
m
m-2
2 -1+2(2 -1)+2 (2 -1)+2 (2 -1)+2 (2 -1)+…+2
m
2
3
4
m-2
=(2 -1)(1+2+2 +2 +2 +…+2 )
さきほど、
2
m
m-1
=(2 -1)(2
-1)
m-1
までの和を求めましたよね？
…②
m
(2 -1)

18. （2）ⅰ）
（ の解答
①と②を加えると、
S(n)になります。
m
m
m-1
2 -1+(2 -1)(2 -1)
m
m-1
=2 -1(1+(2 -1))
m-1
m
=2 (2 -1)
m-1
S(n)= 2
m
(2 -1) = n
が求められました。

19. （2）ⅱ）
（ の解答
（ⅰ）
のとき、
m-1
m
n(=2 (2 -1))のn以外の約数は、
2
3
4
m-2
m-1
1,2,2 ,2 ,2 ,…,2 ,2
m
m
2
m
3
m
4
m
m-2
m
m-1
m
2 -1,2(2 -1),2 (2 -1),2 (2 -1),2 (2 -1),…,2 (2 -1),2 (2 -1)
でした。
（ⅱ）
では、
これらの数以外にも約数が存在することになるので、
S(n) ＞ n となりますね。

20. 「数論」
に関する知識を
深めておくと、
整数問題が出題されたとき
役立つかもしれませんよ。