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ハートの方程式と折り紙
- 1. ハートの方程式と折り紙 三谷 純 𝑥2 + 9 4 𝑦2 + 𝑧2 − 1 3 − 𝑥2 𝑧3 − 9 80 𝑦2 𝑧3 = 0 𝑥2 + 𝑦2 − 1 3 − 𝑥2 𝑦3 = 0 ロマンティック数学ナイト 2020/5/30
- 2. 自己紹介 • 筑波大学 システム情報系 教授 • 研究分野：形状モデリング、折り紙 @jmitani
- 4. ハートの方程式
- 5. 数学を愛する会さんはTwitterを使っています 「【ハートのグラフ選手権表彰】 数学クラスタたちが全力でハートのグラフを考えた件 https://t.co/0fzI9Ons1x」 / Twitter https://twitter.com/mathlava/status/1261136754108743681 CHARTMAN さん（@CHARTMANq） の作品
- 7. パラメトリック関数表現
- 8. ハートの方程式
- 9. Heart Curve -- from Wolfram MathWorld https://mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html
- 10. 美しすぎるハートの数式 - プログラムモグモグ https://itchyny.hatenablog.com/entry/20130214/1360847516 Eugen Beutel, “Algebraische Kurven”, 1909 陰関数表現
- 11. 「かたち」と数式 • パラメトリック関数表現 • 陰関数表現 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 例 𝑥2 + 𝑦2 − 1 = 0 1 𝑃 𝑡 = (𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 ) 𝑥 𝑡 = cos 𝑡 𝑦 𝑡 = sin 𝑡 (0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋) 例
- 12. 𝑥2 + 𝑦2 − 1 3 − 𝑥2 𝑦3 = 0 この形は？ 微分して極値、変曲点を求める？ 一方の値を固定して他方を求める？
- 13. 陰関数表現された曲線の可視化のイメージ 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 𝑧 = 𝐹 𝑥, 𝑦 𝑧 = 0 2変数方程式 z軸を導入。3次元の空間曲面化 xy平面（z=0）との交線を求める （一般的には数値計算で）
- 14. 𝑥2 + 𝑦2 − 1 3 − 𝑥2 𝑦3 = 0 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 − 1 3 − 𝑥2 𝑦3 𝑧 = 0
- 15. 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 − 1 3 − 𝑥2 𝑦3
- 17. CHARTMAN さん（@CHARTMANq） の作品 パラメトリック曲線 極座標表現 𝑃 𝑡 = (𝑟 𝑡 cos 𝑡 , 𝑟 𝑡 sin t ) (0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋) 𝑧 = 𝑟 𝜃 𝑒 𝑖𝜃
- 18. 折り紙
- 21. 3次元
- 22. 「かたち」と数式（3次元版） • パラメトリック関数表現 • 陰関数表現 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 例 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 1 = 0 𝑃 𝑢, 𝑣 = (𝑥 𝑢, 𝑣 , 𝑦 𝑢, 𝑣 , 𝑧 𝑢, 𝑣 ) 𝑥 𝑢, 𝑣 = cos 𝑢 cos(𝑣) (0 ≤ 𝑢, 𝑣 ≤ 2𝜋) 例 𝑦 𝑢, 𝑣 = sin 𝑢 cos(𝑣) 𝑧 𝑢, 𝑣 = sin 𝑣可視化：レイトレーシング法、マーチングキューブ法
- 23. 余談
- 24. 𝑘=0 7 exp −0.7 𝑥 − 6.75 cos 𝑘𝜋 4 2 + 𝑦 − 6.75 sin 𝑘𝜋 4 2 + 1.2𝑧2 − 0.001 = 0 陰関数表現 CHARTMAN さん によるポン・デ・リング表現 （2017）
- 25. 3次元のハート Heart Surface -- from Wolfram MathWorld https://mathworld.wolfram.com/HeartSurface.html 𝑥2 + 9 4 𝑦2 + 𝑧2 − 1 3 − 𝑥2 𝑧3 − 9 80 𝑦2 𝑧3 = 0
- 27. 𝑥2 + 9 4 𝑦2 + 𝑧2 − 1 3 − 𝑥2 𝑧3 − 9 80 𝑦2 𝑧3 = 0
- 28. まとめ • ハートの数式表現はたくさんある （平面図形、立体図形） • 数式による形の表現には大きく 「パラメトリック関数表現」「陰関数表現」があ る。 • コンピュータを使えるようになって、曲線・曲面 の可視化が容易になった。 • 楽しい時代！
- 29. おしまい @jmitani