・なぜ感度特異度だけでは検査後確率はわからないのか ・陽性尤度比とは何か ・陽性尤度比はどのようにして使えばよいか など解説しています。

1. 2020/2/25 Likelihood
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感度・特異度・陽性的中率・尤度⽐とベイズの定理
Feb/25/2020
ハーバード公衆衛⽣⼤学院 ⽊下喬弘
1) 陽性的中率を求めるためには感度・特異度だけでなく有病率が必要
まず最初に感度・特異度についておさらいします。
感度（Sensitivity）の定義は「疾患が陽性の⼈の中で検査陽性の確率」
特異度（Specificity）の定義は「疾患が陰性の⼈の中で検査陰性の確率」なので、
となります。
: Sensitivity
: Specificity
: Test positive
: Test negative
: Disease positive
: Disease negative
注︓ という書き⽅は⾒慣れないかも知れませんが、難しくはありません。
であることがわかっている⼈の である確率（条件付確率）という⾵に考えてください。
Se = P (T + |D+)
Sp = P (T − |D−)
Se
Sp
T +
T −
D +
D −
P (A|B)
B A
さて、「検査が陽性だった時に疾患が陽性である確率」を求めることをゴールとします。
すなわち、
が知りたい値です。
この値を陽性的中率と呼びます。
これは感度・特異度だけでは定まりません。
陽性的中率を求めるためには、有病率
を設定することが必要です。
これを今から証明していきます。
P (D + |T +)
P (D+) = p
いきなりですが、ベイズの定理より
となります。
P (D + |T +) =
P (T + |D+) ⋅ P (D+)
P (T +)

2. 2020/2/25 Likelihood
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これは、
・左辺は「検査が陽性の⼈の中で疾患が陽性の⼈の割合」
・右辺の分⺟は「検査が陽性の⼈」
・右辺の分⼦がややわかりにくいですが、「検査が陽性かつ疾患が陽性な⼈の割合」を
疾患が陽性の⼈の中で検査が陽性な⼈の割合︓ 疾患が陽性の割合︓
と計算していると思って頂ければよいです。
P (T + |D+) × P (D+)
検査が陽性な⼈の割合、すなわち は、「疾患が陽性の⼈の中で検査が陽性の⼈の割合」と「疾患が
陰性の⼈の中で検査が陽性の⼈の割合」の和になります。
すなわち、
です。
前者が「疾患陽性かつ検査陽性の確率」後者が「疾患陰性かつ検査陽性の確率」です。
この式が成り⽴つのは、 という事象と という事象が互いに排反(mutually exclusive)だからです。
P (T +)
P (T +) = P (T + |D+) ⋅ P (D+) + P (T + |D−) ⋅ P (D−)
D+ D−
すなわち、
です。
ここで、
なので、
となります。
P (D + |T +) =
P (T + |D+) ⋅ P (D+)
P (T + |D+) ⋅ P (D+) + P (T + |D−) ⋅ P (D−)
Se = P (T + |D+)
Sp = P (T − |D−)
P (D+) = p
P (D + |T +) =
Se ⋅ p
Se ⋅ p + (1 − Sp) ⋅ (1 − p)
すなわち、「検査が陽性だったときに、疾患が陽性である確率」を求めるには、
1.感度︓
2.特異度︓
3.有病率︓
が必要なことがわかります。
Se
Sp
p
2) 陽性尤度⽐とは

3. 2020/2/25 Likelihood
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まず、陽性尤度⽐を定義します。
陽性尤度⽐の定義は、
です。
陽性的中率と⽐べると、 と の順番が逆になっていることに注意してください。
と がこの順番で来る限り、上記のように感度と特異度のみから計算可能です。
LR+ =
P (T + |D+)
P (T + |D−)
=
Se
1 − Sp
T D
T D
3) 陽性尤度⽐の使い道
さて、先程のベイズの定理から
かつ
となります。
よって、
P (T + |D+) =
P (D + |T +) ⋅ P (T +)
P (D+)
P (T + |D−) =
P (D − |T +) ⋅ P (T +)
P (D−)
LR+ =
P (D + |T +) ⋅ P (T +)
P (D+)
P (D − |T +) ⋅ P (T +)
P (D−)
=
P (D + |T +) ⋅ P (D−)
P (D − |T +) ⋅ P (D+)
すなわち、
となります。
注︓Bayes' formula II (Odds-Likelihood-Ratio Form)と呼ばれる公式になります。
= ⋅ LR+
P (D + |T +)
P (D − |T +)
P (D+)
P (D−)

4. 2020/2/25 Likelihood
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ここで、
が検査前オッズ
が検査後オッズと呼ばれるものです。
注︓ と定義しました。
はるか昔公衆衛⽣学の授業で、疾患が陽性の確率が のとき、オッズというのは と定義されると習っ
たことを思い出してください。
=
P (D+)
P (D−)
p
1 − p
=
P (D + |T +)
P (D − |T +)
p
′
1 − p
′
P (D + |T +) = p
′
p
p
1 − p
式を整理すると、
となります。
= ⋅
p
′
1 − p
′
p
1 − p
Se
1 − Sp
この式からわかることは、
有病率、感度、特異度がわかれば、検査を⾏った後に疾患が陽性である確率がわか
る︕︕︕
ということです。
具体的に⾒て⾏きましょう。
検査を⾏う前に疾患の確率を60%と⾒積もったとします。
感度が85%, 特異度が92%とすると、
となります。
これを解くと、
となります。
すなわち、
検査を⾏う前に疾患の確率は60%だろうと⾒積もっていたなら、検査が陽性になっ
たときに疾患が陽性の確率は94%
と⾔えます。
このように、全ての検査前確率（医師が主観的に検査を⾏う前に疾患が陽性なのはこのぐらいだろうと決め
る確率）に対して検査後確率を求めることができるわけです。
p
′
1 − p
′
= ⋅
0.6
1 − 0.6
0.85
1 − 0.92
p
′
1 − p
′
⇔ p
′
= 15.9375
≒ 0.94

5. 2020/2/25 Likelihood
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ここまで理解すると、検査のプロになれます。
実臨床に活かすためには、検査が陽性であったときの検査後確率と検査が陰性であったときの検査後確率が
どのようにDecision makingを変えるかということを考えるのが⾮常に重要にです。
fin