1. Вариационное исчисление
И. Бернулли в 1696 г поставил задачу о брахистохроне.
В вертикальной плоскости даны две точки A и B.
Определить путь AMB, спускаясь по которому под
действием собственной тяжести тело M, начав двигаться из
точки A, дойдет до точки B за кратчайшее время.
Вводя в плоскости систему координат так, чтобы ось t была
горизонтальна, а ось x вертикальна, получим задачу:
t1
t0
√
1+˙x2(t)
√
x(t)
dt → min; x(t0) = x0, x(t1) = x1.
˙x(t) — производная по t. Задачу решили сам И. Бернулли,
а также Я. Бернулли, Лейбниц, Лопиталь и Ньютон.
Решение Лейбница было основано на аппроксимации кривых
ломаными. Развитая затем в работах Эйлера, эта идея
заложила основы прямых методов в ВИ.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

2. Вариационное исчисление
И. Бернулли в 1696 г поставил задачу о брахистохроне.
В вертикальной плоскости даны две точки A и B.
Определить путь AMB, спускаясь по которому под
действием собственной тяжести тело M, начав двигаться из
точки A, дойдет до точки B за кратчайшее время.
Вводя в плоскости систему координат так, чтобы ось t была
горизонтальна, а ось x вертикальна, получим задачу:
t1
t0
√
1+˙x2(t)
√
x(t)
dt → min; x(t0) = x0, x(t1) = x1.
˙x(t) — производная по t. Задачу решили сам И. Бернулли,
а также Я. Бернулли, Лейбниц, Лопиталь и Ньютон.
Решение Лейбница было основано на аппроксимации кривых
ломаными. Развитая затем в работах Эйлера, эта идея
заложила основы прямых методов в ВИ.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

3. Вариационное исчисление
И. Бернулли в 1696 г поставил задачу о брахистохроне.
В вертикальной плоскости даны две точки A и B.
Определить путь AMB, спускаясь по которому под
действием собственной тяжести тело M, начав двигаться из
точки A, дойдет до точки B за кратчайшее время.
Вводя в плоскости систему координат так, чтобы ось t была
горизонтальна, а ось x вертикальна, получим задачу:
t1
t0
√
1+˙x2(t)
√
x(t)
dt → min; x(t0) = x0, x(t1) = x1.
˙x(t) — производная по t. Задачу решили сам И. Бернулли,
а также Я. Бернулли, Лейбниц, Лопиталь и Ньютон.
Решение Лейбница было основано на аппроксимации кривых
ломаными. Развитая затем в работах Эйлера, эта идея
заложила основы прямых методов в ВИ.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

4. Вариационное исчисление
И. Бернулли в 1696 г поставил задачу о брахистохроне.
В вертикальной плоскости даны две точки A и B.
Определить путь AMB, спускаясь по которому под
действием собственной тяжести тело M, начав двигаться из
точки A, дойдет до точки B за кратчайшее время.
Вводя в плоскости систему координат так, чтобы ось t была
горизонтальна, а ось x вертикальна, получим задачу:
t1
t0
√
1+˙x2(t)
√
x(t)
dt → min; x(t0) = x0, x(t1) = x1.
˙x(t) — производная по t. Задачу решили сам И. Бернулли,
а также Я. Бернулли, Лейбниц, Лопиталь и Ньютон.
Решение Лейбница было основано на аппроксимации кривых
ломаными. Развитая затем в работах Эйлера, эта идея
заложила основы прямых методов в ВИ.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

5. Вариационное исчисление
И. Бернулли в 1696 г поставил задачу о брахистохроне.
В вертикальной плоскости даны две точки A и B.
Определить путь AMB, спускаясь по которому под
действием собственной тяжести тело M, начав двигаться из
точки A, дойдет до точки B за кратчайшее время.
Вводя в плоскости систему координат так, чтобы ось t была
горизонтальна, а ось x вертикальна, получим задачу:
t1
t0
√
1+˙x2(t)
√
x(t)
dt → min; x(t0) = x0, x(t1) = x1.
˙x(t) — производная по t. Задачу решили сам И. Бернулли,
а также Я. Бернулли, Лейбниц, Лопиталь и Ньютон.
Решение Лейбница было основано на аппроксимации кривых
ломаными. Развитая затем в работах Эйлера, эта идея
заложила основы прямых методов в ВИ.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

6. Вариационное исчисление
И. Бернулли в 1696 г поставил задачу о брахистохроне.
В вертикальной плоскости даны две точки A и B.
Определить путь AMB, спускаясь по которому под
действием собственной тяжести тело M, начав двигаться из
точки A, дойдет до точки B за кратчайшее время.
Вводя в плоскости систему координат так, чтобы ось t была
горизонтальна, а ось x вертикальна, получим задачу:
t1
t0
√
1+˙x2(t)
√
x(t)
dt → min; x(t0) = x0, x(t1) = x1.
˙x(t) — производная по t. Задачу решили сам И. Бернулли,
а также Я. Бернулли, Лейбниц, Лопиталь и Ньютон.
Решение Лейбница было основано на аппроксимации кривых
ломаными. Развитая затем в работах Эйлера, эта идея
заложила основы прямых методов в ВИ.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

7. Вариационное исчисление
И. Бернулли в 1696 г поставил задачу о брахистохроне.
В вертикальной плоскости даны две точки A и B.
Определить путь AMB, спускаясь по которому под
действием собственной тяжести тело M, начав двигаться из
точки A, дойдет до точки B за кратчайшее время.
Вводя в плоскости систему координат так, чтобы ось t была
горизонтальна, а ось x вертикальна, получим задачу:
t1
t0
√
1+˙x2(t)
√
x(t)
dt → min; x(t0) = x0, x(t1) = x1.
˙x(t) — производная по t. Задачу решили сам И. Бернулли,
а также Я. Бернулли, Лейбниц, Лопиталь и Ньютон.
Решение Лейбница было основано на аппроксимации кривых
ломаными. Развитая затем в работах Эйлера, эта идея
заложила основы прямых методов в ВИ.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

8. Вариационное исчисление
И. Бернулли в 1696 г поставил задачу о брахистохроне.
В вертикальной плоскости даны две точки A и B.
Определить путь AMB, спускаясь по которому под
действием собственной тяжести тело M, начав двигаться из
точки A, дойдет до точки B за кратчайшее время.
Вводя в плоскости систему координат так, чтобы ось t была
горизонтальна, а ось x вертикальна, получим задачу:
t1
t0
√
1+˙x2(t)
√
x(t)
dt → min; x(t0) = x0, x(t1) = x1.
˙x(t) — производная по t. Задачу решили сам И. Бернулли,
а также Я. Бернулли, Лейбниц, Лопиталь и Ньютон.
Решение Лейбница было основано на аппроксимации кривых
ломаными. Развитая затем в работах Эйлера, эта идея
заложила основы прямых методов в ВИ.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

9. Вариационное исчисление
И. Бернулли в 1696 г поставил задачу о брахистохроне.
В вертикальной плоскости даны две точки A и B.
Определить путь AMB, спускаясь по которому под
действием собственной тяжести тело M, начав двигаться из
точки A, дойдет до точки B за кратчайшее время.
Вводя в плоскости систему координат так, чтобы ось t была
горизонтальна, а ось x вертикальна, получим задачу:
t1
t0
√
1+˙x2(t)
√
x(t)
dt → min; x(t0) = x0, x(t1) = x1.
˙x(t) — производная по t. Задачу решили сам И. Бернулли,
а также Я. Бернулли, Лейбниц, Лопиталь и Ньютон.
Решение Лейбница было основано на аппроксимации кривых
ломаными. Развитая затем в работах Эйлера, эта идея
заложила основы прямых методов в ВИ.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

10. Вариационное исчисление
И. Бернулли в 1696 г поставил задачу о брахистохроне.
В вертикальной плоскости даны две точки A и B.
Определить путь AMB, спускаясь по которому под
действием собственной тяжести тело M, начав двигаться из
точки A, дойдет до точки B за кратчайшее время.
Вводя в плоскости систему координат так, чтобы ось t была
горизонтальна, а ось x вертикальна, получим задачу:
t1
t0
√
1+˙x2(t)
√
x(t)
dt → min; x(t0) = x0, x(t1) = x1.
˙x(t) — производная по t. Задачу решили сам И. Бернулли,
а также Я. Бернулли, Лейбниц, Лопиталь и Ньютон.
Решение Лейбница было основано на аппроксимации кривых
ломаными. Развитая затем в работах Эйлера, эта идея
заложила основы прямых методов в ВИ.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

11. Вариационное исчисление
И. Бернулли в 1696 г поставил задачу о брахистохроне.
В вертикальной плоскости даны две точки A и B.
Определить путь AMB, спускаясь по которому под
действием собственной тяжести тело M, начав двигаться из
точки A, дойдет до точки B за кратчайшее время.
Вводя в плоскости систему координат так, чтобы ось t была
горизонтальна, а ось x вертикальна, получим задачу:
t1
t0
√
1+˙x2(t)
√
x(t)
dt → min; x(t0) = x0, x(t1) = x1.
˙x(t) — производная по t. Задачу решили сам И. Бернулли,
а также Я. Бернулли, Лейбниц, Лопиталь и Ньютон.
Решение Лейбница было основано на аппроксимации кривых
ломаными. Развитая затем в работах Эйлера, эта идея
заложила основы прямых методов в ВИ.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

12. Вариационное исчисление
И. Бернулли в 1696 г поставил задачу о брахистохроне.
В вертикальной плоскости даны две точки A и B.
Определить путь AMB, спускаясь по которому под
действием собственной тяжести тело M, начав двигаться из
точки A, дойдет до точки B за кратчайшее время.
Вводя в плоскости систему координат так, чтобы ось t была
горизонтальна, а ось x вертикальна, получим задачу:
t1
t0
√
1+˙x2(t)
√
x(t)
dt → min; x(t0) = x0, x(t1) = x1.
˙x(t) — производная по t. Задачу решили сам И. Бернулли,
а также Я. Бернулли, Лейбниц, Лопиталь и Ньютон.
Решение Лейбница было основано на аппроксимации кривых
ломаными. Развитая затем в работах Эйлера, эта идея
заложила основы прямых методов в ВИ.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

13. §1. Простейшая задача вариационного исчисления
1.1 Постановка задачи
J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
x(·) ∈ C1([t0, t1], R), L = L(t, x, ˙x) — интегрант.
[t0, t1] — фиксированный, конечный отрезок, t0 < t1.
Условия на концах (краевые условия).
Допустимые функции, D(P).
Определение
Допустимая функция ˆx доставляет слабый локальный
минимум в задаче (P) (ˆx ∈ wlocmin P), если ∃ δ > 0 :
J(x(·)) ≥ J(ˆx(·)) ∀ x(·) ∈ D(P) : x(·) − ˆx(·) C1([t0, t1]) < δ.
Напомним: y C([t0, t1]) := max{|y(t)| | t ∈ [t0, t1]},
y C1([t0, t1]) := max{ y C([t0, t1]), ˙y C([t0, t1])}.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

14. §1. Простейшая задача вариационного исчисления
1.1 Постановка задачи
J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
x(·) ∈ C1([t0, t1], R), L = L(t, x, ˙x) — интегрант.
[t0, t1] — фиксированный, конечный отрезок, t0 < t1.
Условия на концах (краевые условия).
Допустимые функции, D(P).
Определение
Допустимая функция ˆx доставляет слабый локальный
минимум в задаче (P) (ˆx ∈ wlocmin P), если ∃ δ > 0 :
J(x(·)) ≥ J(ˆx(·)) ∀ x(·) ∈ D(P) : x(·) − ˆx(·) C1([t0, t1]) < δ.
Напомним: y C([t0, t1]) := max{|y(t)| | t ∈ [t0, t1]},
y C1([t0, t1]) := max{ y C([t0, t1]), ˙y C([t0, t1])}.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

15. §1. Простейшая задача вариационного исчисления
1.1 Постановка задачи
J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
x(·) ∈ C1([t0, t1], R), L = L(t, x, ˙x) — интегрант.
[t0, t1] — фиксированный, конечный отрезок, t0 < t1.
Условия на концах (краевые условия).
Допустимые функции, D(P).
Определение
Допустимая функция ˆx доставляет слабый локальный
минимум в задаче (P) (ˆx ∈ wlocmin P), если ∃ δ > 0 :
J(x(·)) ≥ J(ˆx(·)) ∀ x(·) ∈ D(P) : x(·) − ˆx(·) C1([t0, t1]) < δ.
Напомним: y C([t0, t1]) := max{|y(t)| | t ∈ [t0, t1]},
y C1([t0, t1]) := max{ y C([t0, t1]), ˙y C([t0, t1])}.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

16. §1. Простейшая задача вариационного исчисления
1.1 Постановка задачи
J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
x(·) ∈ C1([t0, t1], R), L = L(t, x, ˙x) — интегрант.
[t0, t1] — фиксированный, конечный отрезок, t0 < t1.
Условия на концах (краевые условия).
Допустимые функции, D(P).
Определение
Допустимая функция ˆx доставляет слабый локальный
минимум в задаче (P) (ˆx ∈ wlocmin P), если ∃ δ > 0 :
J(x(·)) ≥ J(ˆx(·)) ∀ x(·) ∈ D(P) : x(·) − ˆx(·) C1([t0, t1]) < δ.
Напомним: y C([t0, t1]) := max{|y(t)| | t ∈ [t0, t1]},
y C1([t0, t1]) := max{ y C([t0, t1]), ˙y C([t0, t1])}.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

17. §1. Простейшая задача вариационного исчисления
1.1 Постановка задачи
J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
x(·) ∈ C1([t0, t1], R), L = L(t, x, ˙x) — интегрант.
[t0, t1] — фиксированный, конечный отрезок, t0 < t1.
Условия на концах (краевые условия).
Допустимые функции, D(P).
Определение
Допустимая функция ˆx доставляет слабый локальный
минимум в задаче (P) (ˆx ∈ wlocmin P), если ∃ δ > 0 :
J(x(·)) ≥ J(ˆx(·)) ∀ x(·) ∈ D(P) : x(·) − ˆx(·) C1([t0, t1]) < δ.
Напомним: y C([t0, t1]) := max{|y(t)| | t ∈ [t0, t1]},
y C1([t0, t1]) := max{ y C([t0, t1]), ˙y C([t0, t1])}.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

18. §1. Простейшая задача вариационного исчисления
1.1 Постановка задачи
J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
x(·) ∈ C1([t0, t1], R), L = L(t, x, ˙x) — интегрант.
[t0, t1] — фиксированный, конечный отрезок, t0 < t1.
Условия на концах (краевые условия).
Допустимые функции, D(P).
Определение
Допустимая функция ˆx доставляет слабый локальный
минимум в задаче (P) (ˆx ∈ wlocmin P), если ∃ δ > 0 :
J(x(·)) ≥ J(ˆx(·)) ∀ x(·) ∈ D(P) : x(·) − ˆx(·) C1([t0, t1]) < δ.
Напомним: y C([t0, t1]) := max{|y(t)| | t ∈ [t0, t1]},
y C1([t0, t1]) := max{ y C([t0, t1]), ˙y C([t0, t1])}.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

19. §1. Простейшая задача вариационного исчисления
1.1 Постановка задачи
J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
x(·) ∈ C1([t0, t1], R), L = L(t, x, ˙x) — интегрант.
[t0, t1] — фиксированный, конечный отрезок, t0 < t1.
Условия на концах (краевые условия).
Допустимые функции, D(P).
Определение
Допустимая функция ˆx доставляет слабый локальный
минимум в задаче (P) (ˆx ∈ wlocmin P), если ∃ δ > 0 :
J(x(·)) ≥ J(ˆx(·)) ∀ x(·) ∈ D(P) : x(·) − ˆx(·) C1([t0, t1]) < δ.
Напомним: y C([t0, t1]) := max{|y(t)| | t ∈ [t0, t1]},
y C1([t0, t1]) := max{ y C([t0, t1]), ˙y C([t0, t1])}.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

20. §1. Простейшая задача вариационного исчисления
1.1 Постановка задачи
J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
x(·) ∈ C1([t0, t1], R), L = L(t, x, ˙x) — интегрант.
[t0, t1] — фиксированный, конечный отрезок, t0 < t1.
Условия на концах (краевые условия).
Допустимые функции, D(P).
Определение
Допустимая функция ˆx доставляет слабый локальный
минимум в задаче (P) (ˆx ∈ wlocmin P), если ∃ δ > 0 :
J(x(·)) ≥ J(ˆx(·)) ∀ x(·) ∈ D(P) : x(·) − ˆx(·) C1([t0, t1]) < δ.
Напомним: y C([t0, t1]) := max{|y(t)| | t ∈ [t0, t1]},
y C1([t0, t1]) := max{ y C([t0, t1]), ˙y C([t0, t1])}.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

21. §1. Простейшая задача вариационного исчисления
1.1 Постановка задачи
J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
x(·) ∈ C1([t0, t1], R), L = L(t, x, ˙x) — интегрант.
[t0, t1] — фиксированный, конечный отрезок, t0 < t1.
Условия на концах (краевые условия).
Допустимые функции, D(P).
Определение
Допустимая функция ˆx доставляет слабый локальный
минимум в задаче (P) (ˆx ∈ wlocmin P), если ∃ δ > 0 :
J(x(·)) ≥ J(ˆx(·)) ∀ x(·) ∈ D(P) : x(·) − ˆx(·) C1([t0, t1]) < δ.
Напомним: y C([t0, t1]) := max{|y(t)| | t ∈ [t0, t1]},
y C1([t0, t1]) := max{ y C([t0, t1]), ˙y C([t0, t1])}.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

22. §1. Простейшая задача вариационного исчисления
1.1 Постановка задачи
J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
x(·) ∈ C1([t0, t1], R), L = L(t, x, ˙x) — интегрант.
[t0, t1] — фиксированный, конечный отрезок, t0 < t1.
Условия на концах (краевые условия).
Допустимые функции, D(P).
Определение
Допустимая функция ˆx доставляет слабый локальный
минимум в задаче (P) (ˆx ∈ wlocmin P), если ∃ δ > 0 :
J(x(·)) ≥ J(ˆx(·)) ∀ x(·) ∈ D(P) : x(·) − ˆx(·) C1([t0, t1]) < δ.
Напомним: y C([t0, t1]) := max{|y(t)| | t ∈ [t0, t1]},
y C1([t0, t1]) := max{ y C([t0, t1]), ˙y C([t0, t1])}.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

23. §1. Простейшая задача вариационного исчисления
1.1 Постановка задачи
J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
x(·) ∈ C1([t0, t1], R), L = L(t, x, ˙x) — интегрант.
[t0, t1] — фиксированный, конечный отрезок, t0 < t1.
Условия на концах (краевые условия).
Допустимые функции, D(P).
Определение
Допустимая функция ˆx доставляет слабый локальный
минимум в задаче (P) (ˆx ∈ wlocmin P), если ∃ δ > 0 :
J(x(·)) ≥ J(ˆx(·)) ∀ x(·) ∈ D(P) : x(·) − ˆx(·) C1([t0, t1]) < δ.
Напомним: y C([t0, t1]) := max{|y(t)| | t ∈ [t0, t1]},
y C1([t0, t1]) := max{ y C([t0, t1]), ˙y C([t0, t1])}.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

24. §1. Простейшая задача вариационного исчисления
1.1 Постановка задачи
J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
x(·) ∈ C1([t0, t1], R), L = L(t, x, ˙x) — интегрант.
[t0, t1] — фиксированный, конечный отрезок, t0 < t1.
Условия на концах (краевые условия).
Допустимые функции, D(P).
Определение
Допустимая функция ˆx доставляет слабый локальный
минимум в задаче (P) (ˆx ∈ wlocmin P), если ∃ δ > 0 :
J(x(·)) ≥ J(ˆx(·)) ∀ x(·) ∈ D(P) : x(·) − ˆx(·) C1([t0, t1]) < δ.
Напомним: y C([t0, t1]) := max{|y(t)| | t ∈ [t0, t1]},
y C1([t0, t1]) := max{ y C([t0, t1]), ˙y C([t0, t1])}.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

25. §1. Простейшая задача вариационного исчисления
1.1 Постановка задачи
J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
x(·) ∈ C1([t0, t1], R), L = L(t, x, ˙x) — интегрант.
[t0, t1] — фиксированный, конечный отрезок, t0 < t1.
Условия на концах (краевые условия).
Допустимые функции, D(P).
Определение
Допустимая функция ˆx доставляет слабый локальный
минимум в задаче (P) (ˆx ∈ wlocmin P), если ∃ δ > 0 :
J(x(·)) ≥ J(ˆx(·)) ∀ x(·) ∈ D(P) : x(·) − ˆx(·) C1([t0, t1]) < δ.
Напомним: y C([t0, t1]) := max{|y(t)| | t ∈ [t0, t1]},
y C1([t0, t1]) := max{ y C([t0, t1]), ˙y C([t0, t1])}.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

26. §1. Простейшая задача вариационного исчисления
1.1 Постановка задачи
J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
x(·) ∈ C1([t0, t1], R), L = L(t, x, ˙x) — интегрант.
[t0, t1] — фиксированный, конечный отрезок, t0 < t1.
Условия на концах (краевые условия).
Допустимые функции, D(P).
Определение
Допустимая функция ˆx доставляет слабый локальный
минимум в задаче (P) (ˆx ∈ wlocmin P), если ∃ δ > 0 :
J(x(·)) ≥ J(ˆx(·)) ∀ x(·) ∈ D(P) : x(·) − ˆx(·) C1([t0, t1]) < δ.
Напомним: y C([t0, t1]) := max{|y(t)| | t ∈ [t0, t1]},
y C1([t0, t1]) := max{ y C([t0, t1]), ˙y C([t0, t1])}.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

27. §1. Простейшая задача вариационного исчисления
1.1 Постановка задачи
J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
x(·) ∈ C1([t0, t1], R), L = L(t, x, ˙x) — интегрант.
[t0, t1] — фиксированный, конечный отрезок, t0 < t1.
Условия на концах (краевые условия).
Допустимые функции, D(P).
Определение
Допустимая функция ˆx доставляет слабый локальный
минимум в задаче (P) (ˆx ∈ wlocmin P), если ∃ δ > 0 :
J(x(·)) ≥ J(ˆx(·)) ∀ x(·) ∈ D(P) : x(·) − ˆx(·) C1([t0, t1]) < δ.
Напомним: y C([t0, t1]) := max{|y(t)| | t ∈ [t0, t1]},
y C1([t0, t1]) := max{ y C([t0, t1]), ˙y C([t0, t1])}.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

28. 1.2 Вывод уравнения Эйлера с помощью основной
леммы вариационного исчисления
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(R3), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒ ˆx
удовлетворяет уравнению Эйлера
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь ˆL˙x (t):= d
d ˙x
L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
, ˆLx (t):= d
dx L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
.
1744 г., Эйлер, аппроксимируя кривые ломаными.
1759 г., Лагранж, варьируя кривую, подозреваемую на
экстремум, назвал уравнение Эйлера.
Экстремали E(P). Допустимые экстремали DE(P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

29. 1.2 Вывод уравнения Эйлера с помощью основной
леммы вариационного исчисления
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(R3), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒ ˆx
удовлетворяет уравнению Эйлера
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь ˆL˙x (t):= d
d ˙x
L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
, ˆLx (t):= d
dx L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
.
1744 г., Эйлер, аппроксимируя кривые ломаными.
1759 г., Лагранж, варьируя кривую, подозреваемую на
экстремум, назвал уравнение Эйлера.
Экстремали E(P). Допустимые экстремали DE(P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

30. 1.2 Вывод уравнения Эйлера с помощью основной
леммы вариационного исчисления
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(R3), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒ ˆx
удовлетворяет уравнению Эйлера
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь ˆL˙x (t):= d
d ˙x
L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
, ˆLx (t):= d
dx L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
.
1744 г., Эйлер, аппроксимируя кривые ломаными.
1759 г., Лагранж, варьируя кривую, подозреваемую на
экстремум, назвал уравнение Эйлера.
Экстремали E(P). Допустимые экстремали DE(P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

31. 1.2 Вывод уравнения Эйлера с помощью основной
леммы вариационного исчисления
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(R3), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒ ˆx
удовлетворяет уравнению Эйлера
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь ˆL˙x (t):= d
d ˙x
L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
, ˆLx (t):= d
dx L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
.
1744 г., Эйлер, аппроксимируя кривые ломаными.
1759 г., Лагранж, варьируя кривую, подозреваемую на
экстремум, назвал уравнение Эйлера.
Экстремали E(P). Допустимые экстремали DE(P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

32. 1.2 Вывод уравнения Эйлера с помощью основной
леммы вариационного исчисления
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(R3), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒ ˆx
удовлетворяет уравнению Эйлера
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь ˆL˙x (t):= d
d ˙x
L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
, ˆLx (t):= d
dx L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
.
1744 г., Эйлер, аппроксимируя кривые ломаными.
1759 г., Лагранж, варьируя кривую, подозреваемую на
экстремум, назвал уравнение Эйлера.
Экстремали E(P). Допустимые экстремали DE(P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

33. 1.2 Вывод уравнения Эйлера с помощью основной
леммы вариационного исчисления
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(R3), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒ ˆx
удовлетворяет уравнению Эйлера
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь ˆL˙x (t):= d
d ˙x
L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
, ˆLx (t):= d
dx L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
.
1744 г., Эйлер, аппроксимируя кривые ломаными.
1759 г., Лагранж, варьируя кривую, подозреваемую на
экстремум, назвал уравнение Эйлера.
Экстремали E(P). Допустимые экстремали DE(P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

34. 1.2 Вывод уравнения Эйлера с помощью основной
леммы вариационного исчисления
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(R3), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒ ˆx
удовлетворяет уравнению Эйлера
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь ˆL˙x (t):= d
d ˙x
L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
, ˆLx (t):= d
dx L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
.
1744 г., Эйлер, аппроксимируя кривые ломаными.
1759 г., Лагранж, варьируя кривую, подозреваемую на
экстремум, назвал уравнение Эйлера.
Экстремали E(P). Допустимые экстремали DE(P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

35. 1.2 Вывод уравнения Эйлера с помощью основной
леммы вариационного исчисления
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(R3), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒ ˆx
удовлетворяет уравнению Эйлера
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь ˆL˙x (t):= d
d ˙x
L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
, ˆLx (t):= d
dx L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
.
1744 г., Эйлер, аппроксимируя кривые ломаными.
1759 г., Лагранж, варьируя кривую, подозреваемую на
экстремум, назвал уравнение Эйлера.
Экстремали E(P). Допустимые экстремали DE(P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

36. 1.2 Вывод уравнения Эйлера с помощью основной
леммы вариационного исчисления
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(R3), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒ ˆx
удовлетворяет уравнению Эйлера
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь ˆL˙x (t):= d
d ˙x
L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
, ˆLx (t):= d
dx L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
.
1744 г., Эйлер, аппроксимируя кривые ломаными.
1759 г., Лагранж, варьируя кривую, подозреваемую на
экстремум, назвал уравнение Эйлера.
Экстремали E(P). Допустимые экстремали DE(P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

37. 1.2 Вывод уравнения Эйлера с помощью основной
леммы вариационного исчисления
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(R3), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒ ˆx
удовлетворяет уравнению Эйлера
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь ˆL˙x (t):= d
d ˙x
L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
, ˆLx (t):= d
dx L(t, x, ˙x) x=ˆx(t)
˙x=˙ˆx(t)
.
1744 г., Эйлер, аппроксимируя кривые ломаными.
1759 г., Лагранж, варьируя кривую, подозреваемую на
экстремум, назвал уравнение Эйлера.
Экстремали E(P). Допустимые экстремали DE(P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

38. J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
¡ Возьмем h∈C1
0([t0, t1]):= h ∈ C1([t0, t1]) | h(t0)=h(t1)=0 .
Положим ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t)+λh(t), ˙ˆx(t)+λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
t1
t0
ˆL˙x
˙h dt =
t1
t0
ˆL˙x dh
ˆL˙x ∈C1
= ˆL˙x (t)h(t)
t1
t0
−
t1
t0
h dˆL˙x = −
t1
t0
d
dt
ˆL˙x h dt.
Тогда (1) перепишется в виде
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

39. J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
¡ Возьмем h∈C1
0([t0, t1]):= h ∈ C1([t0, t1]) | h(t0)=h(t1)=0 .
Положим ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t)+λh(t), ˙ˆx(t)+λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
t1
t0
ˆL˙x
˙h dt =
t1
t0
ˆL˙x dh
ˆL˙x ∈C1
= ˆL˙x (t)h(t)
t1
t0
−
t1
t0
h dˆL˙x = −
t1
t0
d
dt
ˆL˙x h dt.
Тогда (1) перепишется в виде
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

40. J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
¡ Возьмем h∈C1
0([t0, t1]):= h ∈ C1([t0, t1]) | h(t0)=h(t1)=0 .
Положим ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t)+λh(t), ˙ˆx(t)+λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
t1
t0
ˆL˙x
˙h dt =
t1
t0
ˆL˙x dh
ˆL˙x ∈C1
= ˆL˙x (t)h(t)
t1
t0
−
t1
t0
h dˆL˙x = −
t1
t0
d
dt
ˆL˙x h dt.
Тогда (1) перепишется в виде
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

41. J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
¡ Возьмем h∈C1
0([t0, t1]):= h ∈ C1([t0, t1]) | h(t0)=h(t1)=0 .
Положим ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t)+λh(t), ˙ˆx(t)+λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
t1
t0
ˆL˙x
˙h dt =
t1
t0
ˆL˙x dh
ˆL˙x ∈C1
= ˆL˙x (t)h(t)
t1
t0
−
t1
t0
h dˆL˙x = −
t1
t0
d
dt
ˆL˙x h dt.
Тогда (1) перепишется в виде
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

42. J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
¡ Возьмем h∈C1
0([t0, t1]):= h ∈ C1([t0, t1]) | h(t0)=h(t1)=0 .
Положим ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t)+λh(t), ˙ˆx(t)+λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
t1
t0
ˆL˙x
˙h dt =
t1
t0
ˆL˙x dh
ˆL˙x ∈C1
= ˆL˙x (t)h(t)
t1
t0
−
t1
t0
h dˆL˙x = −
t1
t0
d
dt
ˆL˙x h dt.
Тогда (1) перепишется в виде
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

43. J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
¡ Возьмем h∈C1
0([t0, t1]):= h ∈ C1([t0, t1]) | h(t0)=h(t1)=0 .
Положим ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t)+λh(t), ˙ˆx(t)+λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
t1
t0
ˆL˙x
˙h dt =
t1
t0
ˆL˙x dh
ˆL˙x ∈C1
= ˆL˙x (t)h(t)
t1
t0
−
t1
t0
h dˆL˙x = −
t1
t0
d
dt
ˆL˙x h dt.
Тогда (1) перепишется в виде
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

44. J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
¡ Возьмем h∈C1
0([t0, t1]):= h ∈ C1([t0, t1]) | h(t0)=h(t1)=0 .
Положим ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t)+λh(t), ˙ˆx(t)+λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
t1
t0
ˆL˙x
˙h dt =
t1
t0
ˆL˙x dh
ˆL˙x ∈C1
= ˆL˙x (t)h(t)
t1
t0
−
t1
t0
h dˆL˙x = −
t1
t0
d
dt
ˆL˙x h dt.
Тогда (1) перепишется в виде
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

45. J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
¡ Возьмем h∈C1
0([t0, t1]):= h ∈ C1([t0, t1]) | h(t0)=h(t1)=0 .
Положим ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t)+λh(t), ˙ˆx(t)+λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
t1
t0
ˆL˙x
˙h dt =
t1
t0
ˆL˙x dh
ˆL˙x ∈C1
= ˆL˙x (t)h(t)
t1
t0
−
t1
t0
h dˆL˙x = −
t1
t0
d
dt
ˆL˙x h dt.
Тогда (1) перепишется в виде
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

46. J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
¡ Возьмем h∈C1
0([t0, t1]):= h ∈ C1([t0, t1]) | h(t0)=h(t1)=0 .
Положим ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t)+λh(t), ˙ˆx(t)+λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
t1
t0
ˆL˙x
˙h dt =
t1
t0
ˆL˙x dh
ˆL˙x ∈C1
= ˆL˙x (t)h(t)
t1
t0
−
t1
t0
h dˆL˙x = −
t1
t0
d
dt
ˆL˙x h dt.
Тогда (1) перепишется в виде
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

47. J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
¡ Возьмем h∈C1
0([t0, t1]):= h ∈ C1([t0, t1]) | h(t0)=h(t1)=0 .
Положим ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t)+λh(t), ˙ˆx(t)+λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
t1
t0
ˆL˙x
˙h dt =
t1
t0
ˆL˙x dh
ˆL˙x ∈C1
= ˆL˙x (t)h(t)
t1
t0
−
t1
t0
h dˆL˙x = −
t1
t0
d
dt
ˆL˙x h dt.
Тогда (1) перепишется в виде
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

48. J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
¡ Возьмем h∈C1
0([t0, t1]):= h ∈ C1([t0, t1]) | h(t0)=h(t1)=0 .
Положим ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t)+λh(t), ˙ˆx(t)+λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
t1
t0
ˆL˙x
˙h dt =
t1
t0
ˆL˙x dh
ˆL˙x ∈C1
= ˆL˙x (t)h(t)
t1
t0
−
t1
t0
h dˆL˙x = −
t1
t0
d
dt
ˆL˙x h dt.
Тогда (1) перепишется в виде
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

49. J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
¡ Возьмем h∈C1
0([t0, t1]):= h ∈ C1([t0, t1]) | h(t0)=h(t1)=0 .
Положим ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t)+λh(t), ˙ˆx(t)+λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
t1
t0
ˆL˙x
˙h dt =
t1
t0
ˆL˙x dh
ˆL˙x ∈C1
= ˆL˙x (t)h(t)
t1
t0
−
t1
t0
h dˆL˙x = −
t1
t0
d
dt
ˆL˙x h dt.
Тогда (1) перепишется в виде
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

50. J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
¡ Возьмем h∈C1
0([t0, t1]):= h ∈ C1([t0, t1]) | h(t0)=h(t1)=0 .
Положим ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t)+λh(t), ˙ˆx(t)+λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
t1
t0
ˆL˙x
˙h dt =
t1
t0
ˆL˙x dh
ˆL˙x ∈C1
= ˆL˙x (t)h(t)
t1
t0
−
t1
t0
h dˆL˙x = −
t1
t0
d
dt
ˆL˙x h dt.
Тогда (1) перепишется в виде
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

51. J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
¡ Возьмем h∈C1
0([t0, t1]):= h ∈ C1([t0, t1]) | h(t0)=h(t1)=0 .
Положим ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t)+λh(t), ˙ˆx(t)+λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
t1
t0
ˆL˙x
˙h dt =
t1
t0
ˆL˙x dh
ˆL˙x ∈C1
= ˆL˙x (t)h(t)
t1
t0
−
t1
t0
h dˆL˙x = −
t1
t0
d
dt
ˆL˙x h dt.
Тогда (1) перепишется в виде
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

52. J(x(·)) =
t1
t0
L t, x(t), ˙x(t) dt → extr; x(t0) = x0, x(t1) = x1. (P)
¡ Возьмем h∈C1
0([t0, t1]):= h ∈ C1([t0, t1]) | h(t0)=h(t1)=0 .
Положим ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t)+λh(t), ˙ˆx(t)+λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
t1
t0
ˆL˙x
˙h dt =
t1
t0
ˆL˙x dh
ˆL˙x ∈C1
= ˆL˙x (t)h(t)
t1
t0
−
t1
t0
h dˆL˙x = −
t1
t0
d
dt
ˆL˙x h dt.
Тогда (1) перепишется в виде
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

53. 1.2 Вывод уравнения Эйлера с помощью основной
леммы вариационного исчисления
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Лемма (Лагранжа)
a(·) ∈ C([t0, t1] и
t1
t0
a(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) ⇒ a(t) ≡ 0.
По лемме Лагранжа из (2) вытекает уравнение Эйлера. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

54. 1.2 Вывод уравнения Эйлера с помощью основной
леммы вариационного исчисления
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Лемма (Лагранжа)
a(·) ∈ C([t0, t1] и
t1
t0
a(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) ⇒ a(t) ≡ 0.
По лемме Лагранжа из (2) вытекает уравнение Эйлера. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

55. 1.2 Вывод уравнения Эйлера с помощью основной
леммы вариационного исчисления
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
t1
t0
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (2)
Лемма (Лагранжа)
a(·) ∈ C([t0, t1] и
t1
t0
a(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) ⇒ a(t) ≡ 0.
По лемме Лагранжа из (2) вытекает уравнение Эйлера. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

56. Лемма (Лагранжа)
a(·) ∈ C([t0, t1] и
t1
t0
a(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) ⇒ a(t) ≡ 0.
¡¡ Предположим a(τ) = 0 в некоторой точке τ ∈ (t0, t1).
Для определенности, пусть a(τ) > 0.
Тогда в силу непрерывности a(t) > 0 и в некоторой
окрестности точки τ, например, отрезке [τ0, τ1] ⊂ [t0, t1].
Пусть h ∈ C1
0([t0, t1]) — положительная в этой окрестности
функция и равная нулю вне ее, типа “шапочки”, например,
h(t) =
(t − τ0)2(t − τ1)2, t ∈ [τ0, τ1],
0, t ∈ [τ0, τ1].
Тогда h ∈ C1
0([t0, t1]) и
t1
t0
a(t)h(t) dt > 0, что противоречит
условию леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

57. Лемма (Лагранжа)
a(·) ∈ C([t0, t1] и
t1
t0
a(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) ⇒ a(t) ≡ 0.
¡¡ Предположим a(τ) = 0 в некоторой точке τ ∈ (t0, t1).
Для определенности, пусть a(τ) > 0.
Тогда в силу непрерывности a(t) > 0 и в некоторой
окрестности точки τ, например, отрезке [τ0, τ1] ⊂ [t0, t1].
Пусть h ∈ C1
0([t0, t1]) — положительная в этой окрестности
функция и равная нулю вне ее, типа “шапочки”, например,
h(t) =
(t − τ0)2(t − τ1)2, t ∈ [τ0, τ1],
0, t ∈ [τ0, τ1].
Тогда h ∈ C1
0([t0, t1]) и
t1
t0
a(t)h(t) dt > 0, что противоречит
условию леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

58. Лемма (Лагранжа)
a(·) ∈ C([t0, t1] и
t1
t0
a(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) ⇒ a(t) ≡ 0.
¡¡ Предположим a(τ) = 0 в некоторой точке τ ∈ (t0, t1).
Для определенности, пусть a(τ) > 0.
Тогда в силу непрерывности a(t) > 0 и в некоторой
окрестности точки τ, например, отрезке [τ0, τ1] ⊂ [t0, t1].
Пусть h ∈ C1
0([t0, t1]) — положительная в этой окрестности
функция и равная нулю вне ее, типа “шапочки”, например,
h(t) =
(t − τ0)2(t − τ1)2, t ∈ [τ0, τ1],
0, t ∈ [τ0, τ1].
Тогда h ∈ C1
0([t0, t1]) и
t1
t0
a(t)h(t) dt > 0, что противоречит
условию леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

59. Лемма (Лагранжа)
a(·) ∈ C([t0, t1] и
t1
t0
a(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) ⇒ a(t) ≡ 0.
¡¡ Предположим a(τ) = 0 в некоторой точке τ ∈ (t0, t1).
Для определенности, пусть a(τ) > 0.
Тогда в силу непрерывности a(t) > 0 и в некоторой
окрестности точки τ, например, отрезке [τ0, τ1] ⊂ [t0, t1].
Пусть h ∈ C1
0([t0, t1]) — положительная в этой окрестности
функция и равная нулю вне ее, типа “шапочки”, например,
h(t) =
(t − τ0)2(t − τ1)2, t ∈ [τ0, τ1],
0, t ∈ [τ0, τ1].
Тогда h ∈ C1
0([t0, t1]) и
t1
t0
a(t)h(t) dt > 0, что противоречит
условию леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

60. Лемма (Лагранжа)
a(·) ∈ C([t0, t1] и
t1
t0
a(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) ⇒ a(t) ≡ 0.
¡¡ Предположим a(τ) = 0 в некоторой точке τ ∈ (t0, t1).
Для определенности, пусть a(τ) > 0.
Тогда в силу непрерывности a(t) > 0 и в некоторой
окрестности точки τ, например, отрезке [τ0, τ1] ⊂ [t0, t1].
Пусть h ∈ C1
0([t0, t1]) — положительная в этой окрестности
функция и равная нулю вне ее, типа “шапочки”, например,
h(t) =
(t − τ0)2(t − τ1)2, t ∈ [τ0, τ1],
0, t ∈ [τ0, τ1].
Тогда h ∈ C1
0([t0, t1]) и
t1
t0
a(t)h(t) dt > 0, что противоречит
условию леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

61. Лемма (Лагранжа)
a(·) ∈ C([t0, t1] и
t1
t0
a(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) ⇒ a(t) ≡ 0.
¡¡ Предположим a(τ) = 0 в некоторой точке τ ∈ (t0, t1).
Для определенности, пусть a(τ) > 0.
Тогда в силу непрерывности a(t) > 0 и в некоторой
окрестности точки τ, например, отрезке [τ0, τ1] ⊂ [t0, t1].
Пусть h ∈ C1
0([t0, t1]) — положительная в этой окрестности
функция и равная нулю вне ее, типа “шапочки”, например,
h(t) =
(t − τ0)2(t − τ1)2, t ∈ [τ0, τ1],
0, t ∈ [τ0, τ1].
Тогда h ∈ C1
0([t0, t1]) и
t1
t0
a(t)h(t) dt > 0, что противоречит
условию леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

62. Лемма (Лагранжа)
a(·) ∈ C([t0, t1] и
t1
t0
a(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) ⇒ a(t) ≡ 0.
¡¡ Предположим a(τ) = 0 в некоторой точке τ ∈ (t0, t1).
Для определенности, пусть a(τ) > 0.
Тогда в силу непрерывности a(t) > 0 и в некоторой
окрестности точки τ, например, отрезке [τ0, τ1] ⊂ [t0, t1].
Пусть h ∈ C1
0([t0, t1]) — положительная в этой окрестности
функция и равная нулю вне ее, типа “шапочки”, например,
h(t) =
(t − τ0)2(t − τ1)2, t ∈ [τ0, τ1],
0, t ∈ [τ0, τ1].
Тогда h ∈ C1
0([t0, t1]) и
t1
t0
a(t)h(t) dt > 0, что противоречит
условию леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

63. Лемма (Лагранжа)
a(·) ∈ C([t0, t1] и
t1
t0
a(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) ⇒ a(t) ≡ 0.
¡¡ Предположим a(τ) = 0 в некоторой точке τ ∈ (t0, t1).
Для определенности, пусть a(τ) > 0.
Тогда в силу непрерывности a(t) > 0 и в некоторой
окрестности точки τ, например, отрезке [τ0, τ1] ⊂ [t0, t1].
Пусть h ∈ C1
0([t0, t1]) — положительная в этой окрестности
функция и равная нулю вне ее, типа “шапочки”, например,
h(t) =
(t − τ0)2(t − τ1)2, t ∈ [τ0, τ1],
0, t ∈ [τ0, τ1].
Тогда h ∈ C1
0([t0, t1]) и
t1
t0
a(t)h(t) dt > 0, что противоречит
условию леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

64. Лемма (Лагранжа)
a(·) ∈ C([t0, t1] и
t1
t0
a(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) ⇒ a(t) ≡ 0.
¡¡ Предположим a(τ) = 0 в некоторой точке τ ∈ (t0, t1).
Для определенности, пусть a(τ) > 0.
Тогда в силу непрерывности a(t) > 0 и в некоторой
окрестности точки τ, например, отрезке [τ0, τ1] ⊂ [t0, t1].
Пусть h ∈ C1
0([t0, t1]) — положительная в этой окрестности
функция и равная нулю вне ее, типа “шапочки”, например,
h(t) =
(t − τ0)2(t − τ1)2, t ∈ [τ0, τ1],
0, t ∈ [τ0, τ1].
Тогда h ∈ C1
0([t0, t1]) и
t1
t0
a(t)h(t) dt > 0, что противоречит
условию леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

65. Лемма (Лагранжа)
a(·) ∈ C([t0, t1] и
t1
t0
a(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) ⇒ a(t) ≡ 0.
¡¡ Предположим a(τ) = 0 в некоторой точке τ ∈ (t0, t1).
Для определенности, пусть a(τ) > 0.
Тогда в силу непрерывности a(t) > 0 и в некоторой
окрестности точки τ, например, отрезке [τ0, τ1] ⊂ [t0, t1].
Пусть h ∈ C1
0([t0, t1]) — положительная в этой окрестности
функция и равная нулю вне ее, типа “шапочки”, например,
h(t) =
(t − τ0)2(t − τ1)2, t ∈ [τ0, τ1],
0, t ∈ [τ0, τ1].
Тогда h ∈ C1
0([t0, t1]) и
t1
t0
a(t)h(t) dt > 0, что противоречит
условию леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

66. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)) ⇒ ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) и
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь Γˆx ˙ˆx
:= {(t, ˆx(t), ˙ˆx(t)) ∈ R3 | t ∈ [t0, t1]}.
¡ Возьмем h ∈ C1
0([t0, t1]). Положим
ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t) + λh(t), ˙ˆx(t) + λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

67. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)) ⇒ ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) и
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь Γˆx ˙ˆx
:= {(t, ˆx(t), ˙ˆx(t)) ∈ R3 | t ∈ [t0, t1]}.
¡ Возьмем h ∈ C1
0([t0, t1]). Положим
ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t) + λh(t), ˙ˆx(t) + λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

68. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)) ⇒ ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) и
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь Γˆx ˙ˆx
:= {(t, ˆx(t), ˙ˆx(t)) ∈ R3 | t ∈ [t0, t1]}.
¡ Возьмем h ∈ C1
0([t0, t1]). Положим
ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t) + λh(t), ˙ˆx(t) + λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

69. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)) ⇒ ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) и
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь Γˆx ˙ˆx
:= {(t, ˆx(t), ˙ˆx(t)) ∈ R3 | t ∈ [t0, t1]}.
¡ Возьмем h ∈ C1
0([t0, t1]). Положим
ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t) + λh(t), ˙ˆx(t) + λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

70. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)) ⇒ ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) и
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь Γˆx ˙ˆx
:= {(t, ˆx(t), ˙ˆx(t)) ∈ R3 | t ∈ [t0, t1]}.
¡ Возьмем h ∈ C1
0([t0, t1]). Положим
ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t) + λh(t), ˙ˆx(t) + λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

71. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)) ⇒ ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) и
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь Γˆx ˙ˆx
:= {(t, ˆx(t), ˙ˆx(t)) ∈ R3 | t ∈ [t0, t1]}.
¡ Возьмем h ∈ C1
0([t0, t1]). Положим
ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t) + λh(t), ˙ˆx(t) + λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

72. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)) ⇒ ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) и
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь Γˆx ˙ˆx
:= {(t, ˆx(t), ˙ˆx(t)) ∈ R3 | t ∈ [t0, t1]}.
¡ Возьмем h ∈ C1
0([t0, t1]). Положим
ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t) + λh(t), ˙ˆx(t) + λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

73. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)) ⇒ ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) и
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь Γˆx ˙ˆx
:= {(t, ˆx(t), ˙ˆx(t)) ∈ R3 | t ∈ [t0, t1]}.
¡ Возьмем h ∈ C1
0([t0, t1]). Положим
ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t) + λh(t), ˙ˆx(t) + λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

74. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)) ⇒ ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) и
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь Γˆx ˙ˆx
:= {(t, ˆx(t), ˙ˆx(t)) ∈ R3 | t ∈ [t0, t1]}.
¡ Возьмем h ∈ C1
0([t0, t1]). Положим
ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t) + λh(t), ˙ˆx(t) + λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

75. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)) ⇒ ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) и
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь Γˆx ˙ˆx
:= {(t, ˆx(t), ˙ˆx(t)) ∈ R3 | t ∈ [t0, t1]}.
¡ Возьмем h ∈ C1
0([t0, t1]). Положим
ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t) + λh(t), ˙ˆx(t) + λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

76. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)) ⇒ ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) и
−
d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
Здесь Γˆx ˙ˆx
:= {(t, ˆx(t), ˙ˆx(t)) ∈ R3 | t ∈ [t0, t1]}.
¡ Возьмем h ∈ C1
0([t0, t1]). Положим
ϕ(λ):= J(ˆx + λh) =
t1
t0
L(t, ˆx(t) + λh(t), ˙ˆx(t) + λ˙h(t))dt.
ˆx ∈ locextr P ⇒ λ = 0 ∈ locextr ϕ
по т. Ферма
⇒ ϕ (0) = 0 ⇔
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]). (1)
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

77. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) (1)
Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a0 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈
C1
0([t0, t1]) ⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и
− d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
По л. Дюбуа-Реймона из (1) вытекает уравнение Эйлера. £Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

78. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) (1)
Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a0 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈
C1
0([t0, t1]) ⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и
− d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
По л. Дюбуа-Реймона из (1) вытекает уравнение Эйлера. £Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

79. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) (1)
Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a0 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈
C1
0([t0, t1]) ⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и
− d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
По л. Дюбуа-Реймона из (1) вытекает уравнение Эйлера. £Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

80. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) (1)
Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a0 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈
C1
0([t0, t1]) ⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и
− d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
По л. Дюбуа-Реймона из (1) вытекает уравнение Эйлера. £Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

81. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) (1)
Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a0 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈
C1
0([t0, t1]) ⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и
− d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
По л. Дюбуа-Реймона из (1) вытекает уравнение Эйлера. £Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

82. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) (1)
Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a0 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈
C1
0([t0, t1]) ⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и
− d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
По л. Дюбуа-Реймона из (1) вытекает уравнение Эйлера. £Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

83. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) (1)
Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a0 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈
C1
0([t0, t1]) ⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и
− d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
По л. Дюбуа-Реймона из (1) вытекает уравнение Эйлера. £Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

84. 1.3 Вывод уравнения Эйлера
с помощью леммы Дюбуа-Реймона
Теорема
ˆx ∈ wlocextr P, L, Lx , L˙x ∈ C(O(Γˆx ˙ˆx
)), ˆL˙x ∈ C1([t0, t1]) ⇒
− d
dt
ˆL˙x (t) + ˆLx (t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
t1
t0
ˆL˙x (t)˙h(t) + ˆLx (t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1]) (1)
Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a0 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈
C1
0([t0, t1]) ⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и
− d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
По л. Дюбуа-Реймона из (1) вытекает уравнение Эйлера. £Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

85. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

86. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

87. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

88. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

89. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

90. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

91. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

92. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

93. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

94. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

95. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

96. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

97. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

98. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

99. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

100. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

101. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

102. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

103. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

104. Лемма (Дюбуа-Реймона)
a0, a1 ∈C([t0, t1]),
t1
t0
a1(t)˙h(t)+a0(t)h(t) dt = 0 ∀ h ∈ C1
0([t0, t1])
⇒ a1 ∈ C1([t0, t1]) и − d
dt a1(t) + a0(t) = 0 ∀ t ∈ [t0, t1].
¡¡ Возьмем p : ˙p(t) = a0(t),
t1
t0
p(t)dt =
t1
t0
a1(t)dt ⇒ p ∈ C1.
⇒
t1
t0
(a1
˙h + a0h)dt =
t1
t0
(a1
˙h + ˙ph)dt =
t1
t0
a1
˙h dt +
t1
t0
h dp =
=
t1
t0
a1
˙h dt + hp
t1
t0
−
t1
t0
p ˙h dt =
t1
t0
(a1 − p)˙h dt = 0 ∀ h ∈ C1
0. (2)
Положим ˜h(t):=
t
t0
a1(τ) − p(τ) dτ ⇒
˙˜h = a1 − p, ˜h ∈ C1,
˜h(t0)=0, ˜h(t1) =
t1
t0
a1(τ) − p(τ) dτ
в силу выбора p
= 0 ⇒ ˜h ∈ C1
0
(2)
⇒
t1
t0
(a1 − p)2 dt = 0 ⇒ a1(t) ≡ p(t) ⇒ утв. Леммы. ££
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

105. 1.4 Векторный случай
Пусть x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) — n-мерная вектор-функция,
интегрант L = L(t, x1, . . . , xn, ˙x1, . . . , ˙xn).
Рассмотрим задачу в C1([t0, t1], R) × ... × C1([t0, t1], R):
t1
t0
L(t,x1, ..., xn, ˙x1, ..., ˙xn)dt → extr; xj(tk )=xjk , i =1, ..., n, k =0, 1.
Необходимые условия экстремума
−
d
dt
ˆL˙xj
(t) + ˆLxj
(t) = 0, j = 1, . . . , n,
Док-во редуцируется к одномерному случаю. Фиксируем у
x(·) = ((x1(·), . . . , xn(·)) все компоненты кроме xj(·). Тогда
J = J(xj(·)) = J((ˆx1(·), . . . , ˆxj−1(·), xj(·), ˆxj+1(·), . . . , ˆxn(·)).
А для одномерного случая уравнение Эйлера по xj(·)
доказано. Полнота набора условий для нахождения
допустимой экстремали.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

106. 1.4 Векторный случай
Пусть x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) — n-мерная вектор-функция,
интегрант L = L(t, x1, . . . , xn, ˙x1, . . . , ˙xn).
Рассмотрим задачу в C1([t0, t1], R) × ... × C1([t0, t1], R):
t1
t0
L(t,x1, ..., xn, ˙x1, ..., ˙xn)dt → extr; xj(tk )=xjk , i =1, ..., n, k =0, 1.
Необходимые условия экстремума
−
d
dt
ˆL˙xj
(t) + ˆLxj
(t) = 0, j = 1, . . . , n,
Док-во редуцируется к одномерному случаю. Фиксируем у
x(·) = ((x1(·), . . . , xn(·)) все компоненты кроме xj(·). Тогда
J = J(xj(·)) = J((ˆx1(·), . . . , ˆxj−1(·), xj(·), ˆxj+1(·), . . . , ˆxn(·)).
А для одномерного случая уравнение Эйлера по xj(·)
доказано. Полнота набора условий для нахождения
допустимой экстремали.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление