1. Mатематика 1, Факултет за информатика
II Реални броеви
1. Дефиниција на реалните броеви
За множеството R од елементи кои ги имаат својствата I-VI ќе велиме дека е
множество од реални броеви.
I Својство на подредување
Во R може да се дефинира релација , при што за произволни реални броеви a и b,
точно е само едно од следниве три тврдења: а<b или a=b или a>b. За таа релација
важи и својството на транзитивност: a<b, b<c  a<c.
(a<b означува аб и аб, додека a>b пишуваме наместо b<a)
II Својствa на операцијата собирање
(a,b)a+b
II1 (а,bR) a+b=b+a
II2 (0R)(аR) a+0=a
II3 (а,b,cR) (a+b)+c=a+(b+c)
II4 (аR)(-aR) a+(-a)=0
II5 (а,b,cR) a<b  a+c<b+c
Последици: 10 0 е еднозначно определен;
20 спротивниот број -а на секој реален број а е еднозначно определен;
30 -(-а) = а
40 а<b  -a>-b
50 а<b,c<d  a+c<b+d
60 -(a+b) = -a-b
70 a<b,cd  a-c<b-d
III Својствa на операцијата множење
(a,b)a·b
III1 (а,bR) a·b=b·a
III2 (а,b,cR) (a·b)·c=a·(b·c)
III3 (1R, 10)(аR) a·1=a
III4 (аR,а0)(a-1R) a·a-1=1
III5 (а,b,cR) a<b,c>0  ac<bc
a<b,c<0  ac>bc
0
Последици: 8 1 е еднозначно определен;
90 инверзниот број а-1 на секој реален број а е еднозначно определен;
100 1>0
IV Врска меѓу собирањето и множењето
Доц. д-р Лидија Горачинова - Илиева

2. Mатематика 1, Факултет за информатика
(а,b,cR) (a+b)·c=a·c+b·c
Последици: 110 a·(b-c) = ab-ac
120 a·0 = 0
130 a·(-b) = -ab
V Својство на Архимед
(аR)(nZ) n>a
Последица: 140 (а,bR,а0)(nZ) na>b
VI Својство на непрекинатост
[a,b]={x | axb} – отсечка (затворен интервал /сегмент)
За системот од бројни отсечки [a1,b1], [a2,b2], ... , [an,bn], ... велиме дека е систем од
вложени отсечки, ако a1a2 …an…и b1b2 …bn… .
За секој систем од вложени отсечки, постои барем еден број кој што припаѓа
на сите отсечки од тој систем.
Нека {[an,bn] | nN} е систем од вложени отсечки. Велиме дека должината на
отсечките од овој систем тежи кон нула, ако за секој >0, постои индекс (природен број)
n, таков што за сите индекси n> n важи bn-an<.
Теорема: За секој систем од вложени отсечки чија должина тежи кон нула, постои
единствен број кој припаѓа на сите отсечки од дадениот систем.
2. Реална права
Реалните броеви геометриски ги претставуваме со точките од една права, која ќе ја
нарекуваме бројна оска. На неа се избираат две точки кои се прогласуваат за 0 и 1, при
што позитивните броеви се претставени со точките од десната страна на нулата, а
негативните со точките од левата страна на нулата.
0 1 R
3. Ограничени множества
Доц. д-р Лидија Горачинова - Илиева

3. Mатематика 1, Факултет за информатика
За подмножеството А од R ќе велиме дека е ограничено од горе (десно) ако
постои реален број М, така што аМ, за секој аА. Бројот М се нарекува мајоранта
(горна граница) за А, а за множеството А се вели уште дека е мајорирано множество.
За подмножеството А од R ќе велиме дека е ограничено од долу (лево) ако постои
реален број m, така што аm, за секој аА. Бројот m се нарекува миноранта (долна
граница) за А, а за множеството А се вели уште дека е минорирано множество.
Множество А е ограничено, ако е мајорирано и минорирано, т.е. ако
(M,mR)(аA) mаМ.
За мајорантата М на А велиме дека е супремум за А, означуваме M=supA, ако
(>0)(aA) a>M-.
За минорантата m на А велиме дека е инфимум за А, означуваме m=infA, ако
(>0)(aA) a<m+.
Ако супремумот на дадено множество припаѓа на тоа множество, M=supAA,
тогаш тој се нарекува максимум за тоа множество, M=maxA.
Ако инфимумот на дадено множество припаѓа на тоа множество, m=infAA, тогаш
тој се нарекува минимум за тоа множество, m=minA.
Теорема: Секое непразно ограничено множество од горе има супремум.
Теорема: Секое непразно ограничено множество од долу има инфимум.
Теорема: Нека А е ограничено множество од горе. Тогаш M=supA ако и само ако
М е најмала мајоранта за А.
Теорема: Нека А е ограничено множество од долу. Тогаш m=infA ако и само ако m
е најголема миноранта за А.
Нека A,BR, cR. Дефинираме множества
cA={cx | xA}
A+B={x+y | xA, yB}
AB={xy | xA, yB}
Теорема: Нека А и В се мајорирани подмножества од R. Тогаш
(i) sup(A+B)=supA+supB
(ii) A,BR+  sup(AB)=supA·supB
(iii) c>0  sup(cA)=c·supA
(аналогно може да се формулира соодветната теорема за минорирано множество)
4. Апсолутна вредност и растојание
Под апсолутна вредност на реален број се подразбира самиот тој број доколку е
позитивен или еднаков на нула и спротивниот на него доколку е негативен. Значи,
Доц. д-р Лидија Горачинова - Илиева

4. Mатематика 1, Факултет за информатика
 a:a  0
| a | 
 a : a  0
Теорема: Нека x,yR се произволни. Тогаш
(i) |x|0 и |x|=0  x=0;
(ii) |-x| = |x|;
(iii) Ако а0 тогаш |x|a  -a<x<a;
(iv) |x+y|  |x|+|y|;
(v) |x-y|  ||x|-|y||;
(vi) |x·y|=|x|·|y|;
Под растојание меѓу реалните броеви а и b, означуваме d(a,b), го подразбираме
реалниот број |a-b|. Растојанието ги има следниве својства:
(1) d(a,b)0, d(a,b)=0  a=b
(2) d(a,b) = d(b,a) - симетрија
(3) d(a,c)  d(a,b)+d(b,c) – неравенство на триаголник
5. Интервали, околини, отворени и затворени множества
Множество РR е интервал, ако x,yP, x<a<y aP. Нека a,bR и a<b.
(a,b)={x | a<x<b} – отворен интервал
[a,b]={x | axb} – затворен интервал
(a,b]={x | a<xb} – полуотворен интервал
[a,b)={x | ax<b} – полуотворен интервал
Нека x0 е даден реален број и >0. Под -околина на x0 го подразбираме
интервалот (x0-, x0+)={x | |x-x0|<}.
Под околина на дадена точка x0 ќе го подразбираме секое множество кое ја
содржи точката x0 заедно со некоја нејзина -околина.
Теорема: (i) Секоја точка е содржана во секоја своја околина;
(ii) Секое множество кое содржи околина, исто така е околина;
(iii) Пресекот на две околини е околина за дадената точка;
(iv) Нека V е околина за а. Тогаш постои околина W на а, така што V e околина на
секоја точка од W;
(v) Ако a и b се различни точки, тогаш постојат околини U на а и V на b, така што
UV=.
Доц. д-р Лидија Горачинова - Илиева

5. Mатематика 1, Факултет за информатика
Нека ЕR е произволно множество. За точката аЕ велиме дека е внатрешна
точка на множеството Е, ако Е содржи -околина на точката а. За множеството Е ќе
велиме дека е отворено, ако сите негови точки се внатрешни.
Теорема:(i)  и R се отворени множества;
(ii) Пресек на конечно многу отворени множества е отворено множество;
(iii) Унија на прозволно многу отворени множества е отворено множество.
Множество ЕR е затворено, ако RE е отворено множество.
Теорема:(i)  и R се затворени множества;
(ii) Унија на конечно многу затворени множества е затворено множество;
(iii) Пресек на прозволно многу затворени множества е затворено мн-во.
Надворешна точка за множеството Е е секоја точка која е внатрешна за RE.
Множеството од точки кои не се ни внатрешни ни надворешни за Е се нарекува
раб на множеството Е.
За точката а велиме дека е точка на натрупување за множеството Е ако секоја
околина на а содржи точки од Е различни од а.
За точката аЕ која не е точка на натрупување за Е велиме дека е изолирана
точка на множеството Е.
Атхеренција (затворач) на множеството Е, означуваме Ē, е унија на Е и
множеството од сите негови точки на натрупување.
Теорема (Карактеризација на затворените множества): Множество Е е затворено
ако и само ако ги содржи сите свои точки на натрупување, т.е. Ē=Е.
За фамилијата О од отворени множества велиме дека е отворена покривка за
множеството Е, ако секоја точка од Е припаѓа на барем еден од членовите на О. Ќе
велиме дека од отворената покривка може да се извлече конечна потпокривка, ако Е е
подмножество на унијата на конечно многу множества од О.
Теорема (Борел-Лебег): Секој затворен интервал има Борел-Лебегова особина.
Борел-Лебегова особина: ја имаат множествата за кои важи дека од произволна
нивна отворена покривка може да се извлече конечна потпокривка.
Теорема: Множество е затворено и ограничено ако и само ако ја има Борел-
Лебеговата особина.
Теорема: Ако ограниченото множество Е нема точки на натрупување, тогаш Е е
конечно множество.
Последица (Болцано-Ваерштрас): Секое ограничено и бесконечно множество на
бројната права има барем една точка на натрупување.
6. Математичка индукција
Принцип на математичка индукција: Тврдењето P(n) кое зависи од природниот
број n е вистинито за секој природен број n, ако:
Доц. д-р Лидија Горачинова - Илиева

6. Mатематика 1, Факултет за информатика
(1) P(1) е вистинит исказ
(2) Од вистинитоста на исказот P(n) следува вистинитоста на исказот P(n+1).
Доц. д-р Лидија Горачинова - Илиева