Quy hoach nguyen tuyen tinh

1. Đ tài Tóm lư c Bài toán qui ho ch nguyên M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Conti-Traverso Qui ho ch nguyên tuy n tính M ts ng d ng khác c a cơ s Gr¨bner o Lê Th H ng H nh Nguy n Tr n Phúc Th nh Ph m Đình Duy Phương ĐH Khoa h c T Nhiên - ĐH Qu c gia thành ph HCM Qui ho ch nguyên tuy n tính

2. Đ tài Tóm lư c Bài toán qui ho ch nguyên M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Conti-Traverso Tóm lư c Đ tài này s trình bày ng d ng cơ s Gr¨bner đ gi i bài toán o qui ho ch nguyên. N i dung bao g m: Gi i thi u Bài toán Qui ho ch tuy n tính và Qui ho ch nguyên tuy n tính. Ki n th c cơ b n đ x y d ng cơ s Gr¨bner cho bài toán Qui o ho ch nguyên tuy n tính. Thu t toán Conti - Traverso. Cài đ t thu t toán Conti - Traverso, áp d ng gi i ví d minh h a. Qui ho ch nguyên tuy n tính

7. Đ tài Bài toán qui ho ch tuy n tính t ng quát Tóm lư c Bài toán chuy n hàng Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán qui ho ch nguyên tuy n tính t ng quát M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Đưa bài toán chuy n hàng v d ng chu n Conti-Traverso Bài toán chuy n hàng d ng chu n Bài toán qui ho ch tuy n tính t ng quát Cho A ∈ M(d , n, R) là ma tr n th c d dòng, n c t, c ∈ Rn và b ∈ Rd . Bài toán quy ho ch tuy n tính t ng quát n bi n và d ràng bu c có th phát bi u như sau : LPA,c (b) : minimize{c.u|Au = b, u ≥ 0, u ∈ Rn }. Trong đó : c. u = c1 x1 + · · · + cn xn là tích vô hư ng c a hai vectơ. u ≥ 0 hi u theo nghĩa x1 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0. M i vectơ u ∈ Rn th a mãn Au = b, b ≥ 0 đư c g i là phương án (l i gi i) ch p nh n đư c. N u phương án ch p nh n đư c u0 mà t i đó c. u đ t giá tr bé nh t, thì nó đư c g i chung là phương án(l i gi i) t i ưu. Qui ho ch nguyên tuy n tính

11. Đ tài Bài toán qui ho ch tuy n tính t ng quát Tóm lư c Bài toán chuy n hàng Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán qui ho ch nguyên tuy n tính t ng quát M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Đưa bài toán chuy n hàng v d ng chu n Conti-Traverso Bài toán chuy n hàng d ng chu n Bài toán qui ho ch tuy n tính t ng quát(tt) Tích c.u0 đư c g i là giá tr t i ưu c a bài toán qui ho ch LPA,c (b) T p các phương án ch p nh n đư c Pb = {u ∈ Rn |Au = b, u ≥ 0} ⊂ Rn LPA,c (b) đư c g i là bài toán có phương án ch p nh n đư c n u Pb = ∅ Qui ho ch nguyên tuy n tính

14. Đ tài Bài toán qui ho ch tuy n tính t ng quát Tóm lư c Bài toán chuy n hàng Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán qui ho ch nguyên tuy n tính t ng quát M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Đưa bài toán chuy n hàng v d ng chu n Conti-Traverso Bài toán chuy n hàng d ng chu n Bài toán chuy n hàng Xét bài toán th c t sau: M t công ty t i v n chuy n A nh n yêu c u v n chuy n hàng t 2 khách hàng x1 , x2 đ n cùng 1 đ a đi m. M i ki n hàng c a khách hàng x1 n ng 400kg và có th tích là 2m3 . M i ki n hàng c a x2 n ng 500kg và có th tích là 3m3 . M i xe t i c a công ty A có th v n chuy n t i đa 3700kg hàng v i th tích t i đa là 20m3 . Hàng hóa c a x2 thì d h ng, nên h s n sàng tr phí v n chuy n cao hơn: 15$ cho m i ki n hàng so v i 11$ c a x1 . Ngư i qu n lý c a cty v n chuy n A s g p 1 bài toán: tính toán s lư ng ki n hàng t 2 khách hàng trên trong m i chuy n xe t i đ sao cho có th sinh l i t i đa. Qui ho ch nguyên tuy n tính

15. Đ tài Bài toán qui ho ch tuy n tính t ng quát Tóm lư c Bài toán chuy n hàng Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán qui ho ch nguyên tuy n tính t ng quát M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Đưa bài toán chuy n hàng v d ng chu n Conti-Traverso Bài toán chuy n hàng d ng chu n Bài toán chuy n hàng Xét bài toán th c t sau: M t công ty t i v n chuy n A nh n yêu c u v n chuy n hàng t 2 khách hàng x1 , x2 đ n cùng 1 đ a đi m. M i ki n hàng c a khách hàng x1 n ng 400kg và có th tích là 2m3 . M i ki n hàng c a x2 n ng 500kg và có th tích là 3m3 . M i xe t i c a công ty A có th v n chuy n t i đa 3700kg hàng v i th tích t i đa là 20m3 . Hàng hóa c a x2 thì d h ng, nên h s n sàng tr phí v n chuy n cao hơn: 15$ cho m i ki n hàng so v i 11$ c a x1 . Ngư i qu n lý c a cty v n chuy n A s g p 1 bài toán: tính toán s lư ng ki n hàng t 2 khách hàng trên trong m i chuy n xe t i đ sao cho có th sinh l i t i đa. Qui ho ch nguyên tuy n tính

16. Đ tài Bài toán qui ho ch tuy n tính t ng quát Tóm lư c Bài toán chuy n hàng Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán qui ho ch nguyên tuy n tính t ng quát M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Đưa bài toán chuy n hàng v d ng chu n Conti-Traverso Bài toán chuy n hàng d ng chu n Bài toán chuy n hàng(tt) T bài toán chuy n hàng trên, ta xây d ng: Hàm m c tiêu: maximize {11.x1 + 15.x2 } hay - minimize {−11.x1 − 15.x2 }, v i các ràng bu c: 4.x1 + 5.x2 ≤ 37, (ràng bu c v tr ng lư ng) 2.x1 + 3.x2 ≤ 20, (ràng bu c v th tích) x1 , x2 ∈ Z≥0 đây ta nh n m nh đ n ràng bu c x1 , x2 nguyên, hình thành nên bài toán qui ho ch nguyên. Qui ho ch nguyên tuy n tính

24. Đ tài Bài toán qui ho ch tuy n tính t ng quát Tóm lư c Bài toán chuy n hàng Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán qui ho ch nguyên tuy n tính t ng quát M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Đưa bài toán chuy n hàng v d ng chu n Conti-Traverso Bài toán chuy n hàng d ng chu n Bài toán qui ho ch nguyên tuy n tính t ng quát đư c phát bi u như sau : IPA,c (b) : minimize{c.u|Au = b, u ∈ Nn }. Trong đó : A ∈ M(d , n, Z), c ∈ Zn và b ∈ Zd . Đ đơn gi n ta gi thi t {u ∈ Rn |Au = 0, u ≥ 0} = {0}. T p các phương án ch p nh n đư c c a bài toán IPA,c (b) là t p h u h n đi m {u ∈ Nn |Au = b}. Đ t PI = convex hull{u ∈ Nn |Au = b} b T tính ch t tuy n tính c a hàm giá thành c. u suy ra bài toán IPA,c (b) tương đương v i bài toán qui ho ch tuy n tính minimize{c.u|u ∈ PI } b Qui ho ch nguyên tuy n tính

29. Đ tài Bài toán qui ho ch tuy n tính t ng quát Tóm lư c Bài toán chuy n hàng Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán qui ho ch nguyên tuy n tính t ng quát M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Đưa bài toán chuy n hàng v d ng chu n Conti-Traverso Bài toán chuy n hàng d ng chu n Rõ ràng bài toán qui ho ch nguyên IPA,c (b) có phương án ch p nh n đư c khi và ch khi b ∈ pos Z (A) = {Au|u ∈ Nn ⊆}Zd Tích vô hư ng c. u là m t hàm tr ng s . Nó đư c xác đ nh theo tr ng ≤c trên các t p đơn th c M c a vành đa th c K [x]. Tích t đi n theo tr ng này và m t th t t nào đó đư c kí hi u là c . Như v y xu c xu ⇐⇒ c. u < c. u’ ho c c. u = c. u’ và x u x u . Qui ho ch nguyên tuy n tính

32. Đ tài Bài toán qui ho ch tuy n tính t ng quát Tóm lư c Bài toán chuy n hàng Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán qui ho ch nguyên tuy n tính t ng quát M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Đưa bài toán chuy n hàng v d ng chu n Conti-Traverso Bài toán chuy n hàng d ng chu n Xét bài toán qui ho ch nguyên sau đây : IPA, c (b) : Tìm u ∈ Nn sao cho x u bé nh t đ i v i c và Au = b Rõ ràng bài toán qui ho ch nguyên IPA, c (b) có phương án t i ưu khi và ch khi bài toán IPA,c (b) có phương án t i ưu. Hơn n a n u phương án IPA, c (b) t i ưu thì phương án đó là duy nh t và là phương án t i ưu c a bài toán IPA,c (b). =⇒ Ta s tìm cách gi i bài toán IPA, c (b) Qui ho ch nguyên tuy n tính

35. Đ tài Bài toán qui ho ch tuy n tính t ng quát Tóm lư c Bài toán chuy n hàng Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán qui ho ch nguyên tuy n tính t ng quát M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Đưa bài toán chuy n hàng v d ng chu n Conti-Traverso Bài toán chuy n hàng d ng chu n Quay tr l i bài toán chuy n hàng trên, xét: minimize {−11.x1 − 15.x2 }, 4.x1 + 5.x2 ≤ 37, 2.x1 + 3.x2 ≤ 20, x1 , x2 ∈ Z≥0 Trư c tiên, nh n xét bài toán chưa d ng chu n Au = b. Do đó, ta s đưa bài toán v d ng chu n Au = b, b ng cách s d ng thêm 2 bi n x3 , x4 ∈ Z≥0 T 4.x1 + 5.x2 ≤ 37 =⇒ 4.x1 + 5.x2 + x3 = 37 T 2.x1 + 3.x2 ≤ 20 =⇒ 2.x1 + 3.x2 + x4 = 20 Qui ho ch nguyên tuy n tính

43. Đ tài Bài toán qui ho ch tuy n tính t ng quát Tóm lư c Bài toán chuy n hàng Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán qui ho ch nguyên tuy n tính t ng quát M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Đưa bài toán chuy n hàng v d ng chu n Conti-Traverso Bài toán chuy n hàng d ng chu n Sau khi th c hi n đưa 2 bi n x3 , x4 vào ràng bu c, ta đã đưa bài toán v d ng chu n Au = b minimize {−11.x1 − 15.x2 }, 4.x1 + 5.x2 + x3 = 37, 2.x1 + 3.x2 + x4 = 20, x1 , x2 , x3 , x4 ∈ Z≥0 Trong đó: 4 5 1 0 A= 2 3 0 1 c = (−11, −15, 0, 0) b = (37, 20) Qui ho ch nguyên tuy n tính

48. Đ tài Tóm lư c Bài toán qui ho ch nguyên M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Conti-Traverso −1 −1 Kí hi u K [t± ] = K [t1 , t1 , . . . , td , td ] là vành đa th c Laurent. Toàn c u c a n a nhóm π := πA : Nn −→ posZ (A) , u −→ Au xác đ nh đ ng c u vành sau đây : π := πA : K [x] −→ K [t± ], xj −→ taj , ˆ ˆ trong đó aj , j = 1, . . . , n là c t th j c a ma tr n A. H ch c a π : ˆ IA = Ker (ˆ ) ⊂ K [x] π đư c g i là idean xuy n c a A. Qui ho ch nguyên tuy n tính

49. Đ tài Tóm lư c Bài toán qui ho ch nguyên M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Conti-Traverso Cho u ∈ Z. Giá c a u là t p h p Supp(u) = {i| ≤ i ≤ n, ui = 0 } M i vectơ u ∈ Zn có th vi t duy nh t thành hi u u = u + − u − , trong đó u + , u − ∈ Nn và có giá không giao nhau. Đ t Ker (π) = {u ∈ Zn |π(u) = 0} + − Rõ ràng n u u ∈ Ker (π) thì nh th c x u − x u ∈ IA Qui ho ch nguyên tuy n tính

50. Đ tài Tóm lư c Bài toán qui ho ch nguyên M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Conti-Traverso B Đ 23.1 Idean xuy n IA xét như không gian vectơ trên K sinh b i t p các nh th c { xu − xu |u, u ∈ Nn sao cho π(u) = π(u ) } Nói riêng, + − IA = (xu − xu |u ∈ Ker (π)) và IA có cơ s g m các nh th c . Qui ho ch nguyên tuy n tính

51. Đ tài Tóm lư c Bài toán qui ho ch nguyên M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Conti-Traverso B đ 23.2 : Gi s ma tr n A th a đi u ki n sau : {u ∈ Rn |Au = 0, u ≥ 0} = {0}. Khi đó luôn có th gi thi t các ph n t c a A không âm và m i c t ch a ít nh t m t ph n t khác 0. Bài toán v n chuy n d ng chu n đ c p trên, ta có: 4 5 1 0 A= 2 3 0 1 th a đi u ki n B đ 23.2 Qui ho ch nguyên tuy n tính

55. Đ tài Tóm lư c Bài toán qui ho ch nguyên M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Conti-Traverso B đ 23.3 : V i c u trúc phân b c trên K [x] cho b i deg (xj ) = dj , n u π(u) = π(v ), thì deg (x u ) = deg (x v ). IA là idean thu n nh t. Qui ho ch nguyên tuy n tính

56. Đ tài Tóm lư c Bài toán qui ho ch nguyên M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Conti-Traverso M nh đ 23.4 : Xét c u trúc phân b c trên K [x] cho b i deg (xj ) = dj , t n t i c’ v i các ph n t dương sao cho : (i) N u m và m’ là 2 đơn th c cùng b c thì m c m khi và ch khi m c m . Do đó, n u f là đa th c thu n nh t, thì in c (f) = in c (f) (ii) v i m i iđêan thu n nh t I c a vành K [x] đ u có : in c (I) = in c (I). Qui ho ch nguyên tuy n tính

57. Đ tài Tóm lư c Bài toán qui ho ch nguyên M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Conti-Traverso B đ 23.5 : Xét c u trúc phân b c trên K [x] cho b i deg (xj ) = dj . Đ i v i th t c , các đi u kh ng đ nh sau đây đúng (i) Cho f , f1 , . . . , fs là các đa th c thu n nh t và deg (f) = d . Khi đó t n t i các đa th c thu n nh t q1 , . . . , qs , r sao cho f = q1 f1 + . . . + qs fs + r th a mãn các đi u ki n c a Đ nh lí chia đa th c 10.1 cũng như tính S(f,g) (áp d ng đ i v i c ), k t qu s không thay đ i n u thay c b ng th t t c . Nói riêng, Th t toán 10.1 và Thu t toán Buchberger 11.1 áp d ng đ i v i c cũng luông d ng. Qui ho ch nguyên tuy n tính

58. Đ tài Tóm lư c Bài toán qui ho ch nguyên M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Conti-Traverso H qu : H qu 23.6 : T n t i cơ s Gr¨bner Gc c a IA đ i v i th t o c bao g m m t s h u h n nh th c d ng x u+ − x u− | u ∈ Ker (π). H qu 23.7 : Cho m là đơn thúc trong K [x]. Khi đó PHANDU(m; Gc ) đ i v i th t c cũng là đơn th c. Qui ho ch nguyên tuy n tính

59. M nh đ Conti-Traverso Đ tài Đ nh lí Conti-Traverso Tóm lư c Thu t toán Conti-Traverso Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán v n chuy n M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Ví d Conti-Traverso Xây d ng th t t M nh đ (Conti-Traverso) Cho A là ma tr n d dòng n c t th a B đ 23.2, c ∈ Zn và b ∈ posZ (A). Gc là m t cơ s Gr¨bner c a IA đ i v i th t o c ch bao g m các nh th c và u là m t phương án ch p nh n đư c. G i x u0 = PHANDU(x u ; Gc ) là đa th c dư c a x u khi chia cho Gc . Khi đó u0 là phương án t i ưu c a bài toán qui ho ch IPA, c (b). Nh n xét: Vi c tìm đư c phương án ch p nh n u trong m nh đ trên là m t bài toán không t m thư ng. Qui ho ch nguyên tuy n tính

64. M nh đ Conti-Traverso Đ tài Đ nh lí Conti-Traverso Tóm lư c Thu t toán Conti-Traverso Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán v n chuy n M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Ví d Conti-Traverso Xây d ng th t t Đ nh lí (Conti-Traverso) Cho A là ma tr n d dòng n c t v i các ph n t không âm và không có c t nào toàn 0. Cho c ∈ Zn và b ∈ posZ (A). Xét Iđêan J = (x1 − ta1 , ..., xn − tan ) ⊂ K [t1 , ..., td , x1 , ..., xn ]. Ch n th t t kh đ i v i t p bi n t1 , ..., td sao cho {t1 , ..., td } {x1 , ..., xn } , và khi h n ch trên K [x] thì nó trùng v i th t t c xác đ nh trong M nh đ 23.4. Gi s G là m t cơ s Gr¨bner c a J đ i v i th t t nào đó và ch bao g m các o nh th c. Bi u di n ph n dư c a đa th c tb trong phép chia cho các đa th c thu c G dư i d ng PHANDU(tb ; G ) = tγ x u0 . (i) N u γ = 0 thì u0 là phương án t i ưu c a bài toán IPA,c (b). (ii) N u γ = 0 thì IPA,c (b) không có phương án ch p nh n đư c. Qui ho ch nguyên tuy n tính

67. M nh đ Conti-Traverso Đ tài Đ nh lí Conti-Traverso Tóm lư c Thu t toán Conti-Traverso Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán v n chuy n M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Ví d Conti-Traverso Xây d ng th t t Thu t toán Conti-Traverso Xét xem bài toán IPA,c (b) có phương án không; N u có cho m t phương án t i ưu LGTU(IPA,c (b)) := KL Input: a1 , ..., an ; b :các vector c t trong Nd Output: KL FOR 1 ≤ j ≤ n DO fj := xj − taj G := CSGR(f1 , ..., fn ) t γ xu := PHANDU(tb ; G ) IF (γ = 0) THEN KL := u ELSE KL := "vô nghi m" Qui ho ch nguyên tuy n tính

68. M nh đ Conti-Traverso Đ tài Đ nh lí Conti-Traverso Tóm lư c Thu t toán Conti-Traverso Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán v n chuy n M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Ví d Conti-Traverso Xây d ng th t t Xét l i bài toán v n chuy n: minimize {−11.x1 − 15.x2 }, v i đi u ki n  4.x1 + 5.x2 + x3 = 37,  2.x + 3.x2 + x4 = 20,  1 x1 , x2 , x3 , x4 ∈ Z≥0  Trong đó: 4 5 1 0 A= , d = 2, n = 3 2 3 0 1 c = (−11, −15, 0, 0) a1 = (4, 2), a2 = (5, 3), a3 = (1, 0), a4 = (0, 1), b = (37, 20) Qui ho ch nguyên tuy n tính

73. M nh đ Conti-Traverso Đ tài Đ nh lí Conti-Traverso Tóm lư c Thu t toán Conti-Traverso Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán v n chuy n M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Ví d Conti-Traverso Xây d ng th t t Ti p theo, xác đ nh các fi t các vector c t ai : f1 = x1 − t a1 = x1 − t1 .t2 4 2 f2 = x2 − t a2 = x2 − t1 .t2 5 3 f3 = x3 − t a3 = x3 − t1 f4 = x4 − t a4 = x4 − t2 T vector b, xác đ nh t b t b = t1 .t2 37 20 Qui ho ch nguyên tuy n tính

80. M nh đ Conti-Traverso Đ tài Đ nh lí Conti-Traverso Tóm lư c Thu t toán Conti-Traverso Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán v n chuy n M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Ví d Conti-Traverso Xây d ng th t t Bư c ti p theo, tìm cơ s Gr¨ner G t {f1 , f2 , f3 , f4 } o Sau khi xác đ nh đư c G, tìm ph n dư: PHANDU(t b , G ) K t qu tính toán cho đa th c dư: q = x1 .x2 x3 = t 0 .x u , v i u = (4, 4, 1, 0) 4 4 D a trên đa th c dư, ta xác đ nh đư c γ = 0. V y phương án t i ưu c a bài toán v n chuy n là (4,4,1,0). Áp d ng phương án t i ưu v a tìm đư c cho hàm m c tiêu, ta đư c giá tr t i ưu. Qui ho ch nguyên tuy n tính

86. M nh đ Conti-Traverso Đ tài Đ nh lí Conti-Traverso Tóm lư c Thu t toán Conti-Traverso Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán v n chuy n M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Ví d Conti-Traverso Xây d ng th t t Ví d Gi i bài toán qui ho ch nguyên minimize x1 + 5x2 + 5x3 + x4 , v i đi u ki n  x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 25,    x + x + x = 34, 2 3 4 x3 + 2x4 + x5 = 18,    x , x , x , x , x ≥ 0. 1 2 3 4 5 Qui ho ch nguyên tuy n tính

90. M nh đ Conti-Traverso Đ tài Đ nh lí Conti-Traverso Tóm lư c Thu t toán Conti-Traverso Bài toán qui ho ch nguyên Bài toán v n chuy n M t s ki n th c c n đ gi i bài toán Ví d Conti-Traverso Xây d ng th t t Ví d T đi u ki n bài toán, ta xác đ nh đư c   1 1 1 1 1 A3x5 = 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 trong đó, các vector c t: a1 = (1, 0, 0) , a2 = (1, 1, 0), a3 = (1, 2, 3), a4 = (1, 1, 2), a5 = (1, 0, 1), b = (25, 34, 18) là input c a thu t toán Conti - Traverso. Ti p theo, ta xác đ nh các fi t các vector c t ai : f1 = x1 − t a1 = x1 − t1 , f2 = x2 − t a2 = x2 − t1 t2 , f3 = x3 − t1 t2 t3 , 2 2, f = x − t t . f 4 = x4 − t1 t2 t3 5 5 1 3 Và t vector c t b, xác đ nh: t b = t1 t2 t3 25 34 18 Qui ho ch nguyên tuy n tính

Quy hoach nguyen tuyen tinh

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

Quy hoach nguyen tuyen tinh