Подавление шума в цифровых изображениях.ppt

КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ
ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ
Лекция 07 (Б)
Линейная фильтрация и
цифровые преобразования
сигналов.
Фильтрация и цифровые
преобразования двумерных
изображений.

Содержание лекции
1. Шумы и искажения на изображениях. Фильтрация
изображений (удаление шума).
2. Скользящее среднее и линейная фильтрация
сигналов.
3. Преобразование Фурье и гармонический анализ.
4. Низкочастотная и высокочастотная фильтрация.
Теорема о свертке.
5. Другие ортогональные преобразования.
6. Быстрое преобразование Фурье.
7. Вейвлет-преобразования.
8. Линейная фильтрация изображений в
пространственной, частотной и пространственно-
частотной области.
9. Преобразование Радона и другие интегральные
преобразования изображений.

Задача фильтрации изображений
Фильтрация изображений в широком смысле – любые
процедуры обработки изображений, при которых на вход
процедуры подается (одно) растровое изображение, и на
выходе также формируется растровое изображение. Такие
процедуры (один растровый вход, один растровый выход)
называют фильтрами.
Фильтрация в узком смысле – помеховая фильтрация или
фильтрация изображений от «шума».
Идеальное
изображение
Зашумленное
Восстановленное
зашумление фильтрация
Идеальный фильтр в точности восстанавливает исходное изображение.
Проблема в том, что все фильтры неидеальны.

Зашумление изображения. Модели шумов
Шум замещения. Каждый пиксель изображения, имевший
значение I, либо с вероятностью p(I) это значение сохранит,
либо будет случайным образом замещен с вероятностью q(I,J)
значением яркости J из того же диапазона [0..IMAX–1].
Для описания шума замещения задается таблица
переходных вероятностей размера (IMAX)2. В случае 8-
битного изображения таблица содержит 256256 переходных
вероятностей.
Модель шума «соль и перец» (Salt-and-Pepper) на бинарном
изображении предполагает замещение 1 на 0 с вероятностью
p и замещение 0 на 1 c вероятностью q. Таблица переходных
вероятностей имеет вид:
Im[x,y]Im’[x,y] Im’[x,y]=1 Im’[x,y]=0
Im[x,y]=1 (1–p) p
Im[x,y]=0 q (1–q)

p и замещение 0 на 1 c вероятностью q.
Исходное изображение Слабо зашумленное изображение

p и замещение 0 на 1 c вероятностью q.
Средне зашумленное изображение Сильно зашумленное изображение

Аддитивный шум. Такая модель предполагает, что зашумленное
изображение порождается по следующему закону:
Im’[x,y] = Im[x,y] + R(x,y),
где Im’[x,y] – пиксель зашумленного изображения, Im[x,y] –
пиксель исходного изображения, а R(x,y) – случайная
аддитивная шумовая компонента.
Гауссовский аддитивный шум описывается следующим
выражением:
Im’[x,y] = Im[x,y] + N(0,),
где N(a,) – нормальное распределение, a – математическое
ожидание нормально распределенного сигнала,  – средний
квадрат отклонения (СКО) нормально распределенной
величины. Именно такая модель зашумления чаще всего
рассматривается в задачах фильтрации полутоновых
изображений.

Гауссовский аддитивный шум :
Im’[x,y] = Im[x,y] + N(0,),
Исходное изображение Слабо зашумленное изображение

Гауссовский аддитивный шум :
Im’[x,y] = Im[x,y] + N(0,),
Средне зашумленное изображение Сильно зашумленное изображение

Оконная фильтрация изображений в
пространственной области
Для решения задачи фильтрации от шума необходимо
использовать ту или иную процедуру статистического
оценивания по статистической выборке, включающей несколько
отсчетов, характеризующих оцениваемую величину.
Основная идея помеховой фильтрации изображений заключается в
том, что для оценки исходного значения каждого пикселя
изображения используется не только значение самого данного
пикселя, но и значения еще нескольких близких к нему пикселей,
попадающих в так называемое «окно» или апертуру фильтра. При
этом «близость» пикселей к оцениваемому понимается в
буквальном геометрическом смысле.
Прямоугольные окна (апертуры) фильтрации определяются
условием «все пиксели данного окна отстоят от тестируемого
центрального пикселя на более чем на WinX/2 по горизонатали и
WinY/2 по вертикали», где WinX и WinY – горизонтальный и
вертикальный размер окна фильтрации соответственно.

Окно фильтрации последовательно движется по входному
изображению (например, сверху вниз по строкам, слева
направо в каждой строке), при этом в каждом положении окна
происходит анализ всех пикселей, принадлежащих в данный
момент окну, и на основе такого анализа центральному
пикселю окна на выходном изображении присваивается то
или иное финальное значение. Сформированное таким
образом выходное изображение также называется
результатом фильтрации.
Процедуры оконной фильтрации могут различаться:
типом собираемых в окне локальных статистик;
способом принятия решения на основе собранных статистик.
размером и формой окна (апертуры);

Входное изображение Выходное изображение

Чем сильнее присутствующий на изображении шум (чем
противоречивее и «лживее» в среднем свидетельства точек
об их яркости), тем большее количество пикселей приходится
опрашивать, чтобы добиться необходимой степени
уверенности в ответе. То есть апертуры большего размера
обладают большей способностью к подавлению шумовой
компоненты, для чего в принципе и создается помеховый
фильтр.
В то же время, на границах однородных областей оконные
фильтры с большими окнами с большой вероятностью будут
ошибаться, что визуально приведет к эффектам сглаживания
(размытия, потери контраста) или искажения формы
контуров.

Фильтрация бинарных изображений
Назовем проколотой окрестность, в которой базовый пиксель не
учитывается:
Логическая фильтрация помех
(–1, –1) (0, –1) (1, –1)
(–1, 0) (0, 0) (1, 0)
(–1, –1) (0, –1) (1, –1)
При логической фильтрации помех решение принимается после опроса
проколотой окрестности для каждого пикселя yij следующим образом:
ij
Ω






случаях
остальных
в
,
0
равны
в
пикселы
все
если
,
0
1
равны
в
пикселы
все
если
,
1
ij
ij
ij
ij
x
Ω
Ω
y
Такая фильтрация не искажает контура, хорошо справляется с редкими
одиночными (изолированными) пикселями-артефактами, но при более
интенсивных шумах практически бесполезна.

Бинарная медианная фильтрация
Пусть в апертуре содержится нечетное число n элементов.
После опроса апертуры получаем {x1, …xn} –
последовательность из n штук нулей и единиц.
Упорядочиваем элементы последовательности {x1, …xn} ставя
сначала нули, а потом единицы и в качестве значения выхода
yij выбираем «средний по номеру» элемент упорядоченной
последовательности {x1, …xn}, то есть значение стоящее
на месте в упорядоченном списке значений входных
пикселей.
Такое правило принятия решения соответствует максимуму
апостериорной вероятности в том случае, если
p = q > 0,5.






единиц
чем
нулей
больше
апертуре
в
если
,
0
нулей
чем
единиц
больше
апертуре
в
если
,
1
ij
ij
ij
Ω
Ω
y
ij
Ω
 
 
2
1

n

Свойства оконной медианы:
С увеличением размера окна растет способность медианного фильтра
подавлять шумовые точки.
Медианный фильтр не искажает линейные контура объектов,
превышающие размер апертуры.
Медианный фильтр удаляет мелкоразмерные объекты площадью менее
половины апертуры.
Медианный фильтр искажает (срезает) углы фигур.

Правило принятия решения для рангового или
процентильного фильтра:
Где , .
Процентильные фильтры обозначаются
Медианный фильтр – частный случай процентильного
при .










;
1
:
апертуре
в
нулей
число
если
,
0
;
:
апертуре
в
единиц
число
если
,
1
0
1
k
n
k
Ω
k
k
Ω
y
ij
ij
ij
const
k  n
k 

0
 n
n
k
 n
n
k
 
 
2
1

 n
k

Бинарная ранговая фильтрация
Фильтрацию с более «высокими» рангами, чем медиана
следует применять в том случае, если вероятность перехода
10 существенно больше вероятности перехода 01.
С более «низкими» рангами следует работать в том случае,
если вероятность перехода 01 существенно больше
вероятности перехода 10.
Предельным случаем «асимметричного» шума является
униполярный шум c параметрами (p=0, q>0) или (p>0, q=0). В
этих случаях оптимальная ранговая фильтрация принимает
вид максимального или минимального фильтра
соответственно.

Расширение-сжатие (минимакс/максимин,
простая морфология)
Расширение – максимальный фильтр с квадратной апертурой
размера 33 пикселя.
Сжатие – минимальный фильтр с той же апертурой 33.
Параметром, определяющим свойства фильтрации, является
количество циклов сжатия и расширения.
Расширение-сжатие может применяться:
для удаления униполярного шума типа «соль» или «перец
для удаления/выделения мелкоразмерных объектов
заданной полярности («темных» или «светлых»)
для удаления сложных неслучайных искажений формы
фигур типа «дырок», «впадин» и «выступов».

Изображение с «дефектами» типа «дырок» и «выступов»

На первом этапе выполняется операция расширения светлого фона (т.е.
сжатия темного объекта) с таким числом циклов, которое полностью
удаляет («съедает») внешние «выступы» формы. Однако внешний размер
объекта при этом уменьшается, а внутренние дефекты, напротив,
увеличиваются в размерах, в связи с чем после этого необходимо
выполнить сжатие фона (т.е. расширение объекта) с тем же числом
циклов. В результате выполнения обоих этапов операции расширения-
сжатия внешние размеры и форма объекта оказываются полностью
восстановлены, но внутренние дефекты формы сохраняются.
Расширение после сжатия
(удаление внешних «выступов»
формы)
Исходное Сжатие

Для удаления внутренних дефектов формы («дырок») используется обратный
порядок операций: сжатие-расширение. На первом этапе этой процедуры
выполняется операция сжатия фона (т.е. расширения объекта) необходимым
числом циклов, которое удаляет («заращивает») внутренние «дыры» и «каналы».
Однако внешний размер объекта при этом увеличивается, внешние дефекты,
также увеличиваются в размерах, в связи с чем после этого необходимо выполнить
расширение фона (сжатие объекта) с тем же числом циклов. В результате
выполнения всей операции сжатия-расширения в целом размеры и внутренняя
целостность объекта оказываются восстановлены, но внешние дефекты формы
сохраняются.
Сжатие после расширения
(удаление внутренних
«дырок» формы)
Исходное Расширение

Для того чтобы устранить и внешние и внутренние дефекты формы
необходимо сначала применить к исходному изображению расширение-
сжатие, а затем к результату этой операции – сжатие-расширение с тем же
числом циклов.
Результат
расширения-
сжатия
Результат сжатия-
расширения после
расширения-сжатия (полное
восстановление формы)
Операции расширения-сжатия представляют собой простейший
эвристический вариант операций математической морфологии Серра.
Исходное

Фильтрация полутоновых изображений
Нелинейная ранговая фильтрация является
непосредственным обобщением бинарной ранговой
фильтрации и опирается на понятие порядковой статистики.
Вокруг каждого элемента изображения выбирается
окрестность, входящие в нее элементы изображения
упорядочиваются по возрастанию яркости.
Ранговый фильтр порядка
r (1 < r < N, где N – число отсчетов в окрестности)
выбирает из полученного ряда элемент с номером r и
присваивает его значение исходному элементу изображения.
Когда число N нечетное и r = [N / 2] + 1, то фильтр называется
медианным.
Ранговая оконная фильтрация. Полутоновая медиана

Напоминание: Оценивание по медиане
Медиана (50-й процентиль, квантиль 0,5) — возможное значение признака,
которое делит ранжированную совокупность (вариационный ряд выборки) на
две равные части: 50 % «нижних» единиц ряда данных будут иметь значение
признака не больше, чем медиана, а «верхние» 50 % — значения признака не
меньше, чем медиана.
Медиана так же, как математическое ожидание, может быть использована для
центрирования распределения. Однако, медиана более робастна .
Измерения:
1 2 3 4 3 2 4 51 43 1 2 3 7
Вариационный ряд:
1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 43 51
Медиана: 3

Свойства полутоновой медианы:
Медианный фильтр является робастным в том смысле, что его эффективность
не зависит от свойств плотности распределения шума.
С увеличением размера окна растет способность медианного фильтра подавлять
шум.
Медианный фильтр не искажает линейные контура объектов,
превышающих размер апертуры.
Медианный фильтр на апертуре (2M + 1)  (2M + 1) эффективно подавляет
локальные области с линейным размером менее M.

шум.
Медианный фильтр не искажает линейные контура объектов, превышающих
размер апертуры.

шум.
Медианный фильтр не искажает линейные контура объектов, превышающие
размер апертуры.

Минимаксная полутоновая фильтрация
(расширение-сжатие)
Применение минимального и максимального фильтра во
многом аналогично действию операций сжатия и расширения.
Поэтому с целью сохранения формы полезного сигнала
целесообразна последовательная схема минимаксной
фильтрации, состоящая из двух проходов по изображению и
обработки сначала минимальным (максимальным), а затем
максимальным (минимальным) рангом локальной статистики.
Оптимальная последовательность, в которой следует
выбирать минимальную (максимальную) процедуру,
определяется характеристиками входного изображения: если
неискаженное изображение состоит из ярких объектов на
темном фоне, то правильная последовательность min-max.
Обратная процедура справедлива для негативного
изображения.

Среднее в окне
Простейшим видом линейной оконной фильтрации в
пространственной области является среднее в окне.
Результатом такой фильтрации является значение
математического ожидания, вычисленное по всем пикселям
окна.
Фильтр «среднее» 33 обладает меньшей способностью к
подавлению шумовой компоненты по сравнению с медианным
фильтром 33.
С увеличением размера окна растет способность скользящего
среднего подавлять шумовую компоненту. Однако при этом
нарастает и эффект кажущейся «расфокусировки»
изображения за счет размытия краев видимых объектов.
Подобного эффекта размытия, присущего линейным
фильтрам, не наблюдается в случае нелинейной ранговой
фильтрации.

«Быстрые» алгоритмы оконной фильтрации
Ключевая идея ускорения вычислений при пространственной фильтрации
изображений заключается в использовании метода скользящего окна Хуанга. Суть
этого метода заключается в хранении предвычисленных статистик по столбцам
окна с последующим рекуррентным вычитанием статистик «уходящих столбцов» и
добавлением в общую статистику статистик «приходящих» столбцов по ходу
движения скользящего окна вдоль строки изображения.
gl
xl
yl
sum(i)
Уходяший ст. Входящий ст.
Замещение значений элемента массива сумм
Алгоритм вычисления скользящего среднего с опорой на два столбца

«Быстрые» алгоритмы оконной фильтрации
1. В крайнем левом положении окна в строке собрать гистограмму
элементов окна и вычислить значение медины.
2. Сместить окно на один пиксел вправо.
3. Обновить гистограмму: декрементировать значения ячеек,
соответствующие «уходящему» столбцу окна, инкрементировать
значения ячеек, соответствующие «приходящему» столбцу окна.
4. Обновить значение медианы, двигаясь по гистограмме из
предыдущего положения до тех пор, пока сумма элементов
справа не окажется больше или равна сумме элементов слева.
Вычисление ранговых статистик (например, медианы) в
скользящем окне:
При этом выигрыш во времени вычислений получается не
только за счет исключения многократного опроса элементов
окна, но и за счет исключения этапа сортировки значений
яркости в окне (так как гистограмма и представляет собой уже
упорядоченный массив значений яркости).

Выделение объектов методом нормализации фона
Метод нормализации фона используется для обнаружения малоразмерных
объектов на полутоновых изображениях в присутствии интенсивных шумов.

Выделение объектов методом нормализации фона
Исходное изображение Результат нормализации
фона с параметрами
med(3,3,31,31)
Результат нормализации
фона с параметрами
med(31,31,3,3).

Линейная фильтрация изображений в
Линейная оконная фильтрация изображений в
пространственной области заключается в вычислении
линейной комбинации значений яркости пикселей в окне
фильтрации с коэффициентами матрицы весов фильтра,
называемой также маской или ядром линейного фильтра:
Im[x,y] = i  j Im[x+i,y+j]Mask[i,j],
i = –hWinX ... hWinX,
j = –hWinY … hWinY,
где hWinX = [WinX/2], hWinY = [WinY/2] – полуширина и
полувысота окна фильтрации соответственно.
Результат применения данной операции ко всем пикселям
изображения Im(x,y) называется сверткой изображения Im с
маской Mask.

Линейная фильтрация изображений в
В случае маски размера 33:
Im[x,y] = i  j Im[x+i,y+j]Mask[i,j],
i = –1 ... 1, j = –1 … 1.
При этом маска фильтра представляется матрицей вида:
Mask[–1,–1] Mask[0,–1] Mask[1,–1]
Mask[–1,0] Mask[0,0] Mask[1,0]
Mask[–1,1] Mask[0,1] Mask[1,1],
а фрагмент изображения с центральным пикселем Im(x,y)
имеет вид:
Im[x–1,y–1] Im[x,y–1] Im[x+1,y–1]
Im[x–1,y] Im[x,y] Im[x+1,y]
Im[x–1,y+1] Im[x,y+1] Im[x+1,y+1].

Среднее в окне
Простейшим видом линейной оконной фильтрации в
пространственной области является среднее в окне.
Результатом такой фильтрации является значение
математического ожидания, вычисленное по всем пикселям
окна. Математически это эквивалентно свертке с маской, все
элементы которой равны 1/n, где n – число элементов маски.
Например, маска среднего в окне размера 33 имеет вид:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
1


Гауссовская фильтрация
Повысить устойчивость результатов фильтрации на краях областей
можно, если придать более близким точкам окрестности большее
влияние на окончательный результат, чем дальним:
1
2
1
2
4
2
1
2
1
16
1

Такая маска называется Гауссовой, соответственно и
использующий ее линейный фильтр также называется гауссовым.
Можно определить гауссовы маски любого размера, используя
дискретные приближения двумерного гауссова распределения.
Внимание! Сглаживающие или фильтрующие маски линейных
фильтров должны иметь сумму всех элементов равную 1. Данное
условие нормировки гарантирует адекватный отклик фильтра на
постоянный сигнал (изображение Im[x,y] = const).

Гауссовская фильтрация
Зашумленное
изобр
ажение
Результат
гауссовой
линейной
фильтрации
gauss 33
Результат
гауссовой
линейной
фильтрации
gauss 55

Преобразование Фурье.
Линейная фильтрация в частотной области
Линейная фильтрация сигналов и изображений может
осуществляться как в пространственной, так и в частотной
области.
При этом считается, что «низким» пространственным
частотам соответствует основное содержание изображения –
фон и крупноразмерные объекты, а «высоким»
пространственным частотам – мелкоразмерные объекты,
мелкие детали крупных форм и шумовая компонента.
Традиционно для перехода в область пространственных
частот используются методы, основанные на преобразовании
Фурье.
В последние годы все большее применение находят также
методы, основанные на вейвлет-преобразовании (wavelet-
transform).

Идея структурного разложения данных
Исходные данные Описания (разложения)
<5,6,8>
<1,0,1,0,0>
<2,0,0,1,0,…>
<a4, a3, a2, a1, a0>
Аддитивное
разложение
Разложение
по линейно
независимому
базису
568=5102+6101+810
40=125+123
28=22  71
f(x)
a4 x4+a3 x3+a2 x2+a1 x+a0
Мультиплика-
тивное
разложение
Позиционные системы счисления
Разложение на простые множители
Аппроксимация полиномами

Идея структурного разложения данных


M  


 = 
Исходные данные Описания (разложения)
модельное
множество
Разложение: :   
Реконструкция: :   
Аппроксимация (проекция) (E)=((E)): 

Напоминание: Линейные пространства
Векторы и "Векторы"
Вектор
Векторное пространство
Два вектора u, v и вектор их суммы
Определение: "Вектор" это такой математический
объект, для которого определены операции
сложения векторов и умножения вектора на число.
Примечание: Как и "чисел", "векторов" в математике
множество. Например, функции также образуют
векторное пространство.

Идея ортогонального разложения
Разложение вектора в трехмерном пространстве с ортогональным базисом

Скалярное произведение — операция над двумя векторами, результатом
которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и
характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними.
Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на
проекцию другого вектора y на данный вектор x.
Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по
каждому сомножителю.
Обычно используется одно из следующих обозначений:
или (обозначение Дирака, часто применяемое
в квантовой механике для векторов состояния):
.
Обычно предполагается что скалярное
произведение положительно определено, то есть
для всех .
A • B = |A| |B| cos(θ)

Примеры ортогональных функций:

Ортогональные функции: синус и косинус на периоде

Ортогональные функции: синусоиды с кратными периодами
x
f(x)
0 
-

Преобразование Фурье
Преобразование Фурье представляет функцию или набор
данных в виде комбинации тригонометрических функций
синус и косинус, что позволяет выявить периодические
компоненты в данных и оценить их вклад в структуру
исходных данных или форму функции.
Традиционно различаются три основные формы
преобразования Фурье:
интегральное преобразование Фурье,
ряды Фурье
дискретное преобразование Фурье.

Гармонический анализ
Суммы двух гармоник

Прямоугольный
сигнал как сумма
нечетных
гармоник.

Разложение прямоугольного импульса в ряд Фурье
на сумму гармонических колебаний (гармоник)
возрастающей частоты.Чем больше гармоник
учитывается в разложении, тем точнее их сумма
воспроизводит форму импульса.
Сумма первых 20
гармоник ряда Фурье
прямоугольного. импульса

Разложение прямоугольного импульса и его спектр

Формирование спектра сигнала при амплитудной модуляции

Характерный спектр музыкального сигнала состоит из последовательности
(по оси частот) узких "колоколов" .
Частоты, соответствующие максимумам (вершинам) "колоколов" примерно
кратны основному тону или "фундаментальной" частоте музыкального
звукового сигнала, под которой понимается частота, соответствующая
человеческому ощущению высоты звука.

Интегральное преобразование Фурье переводит
вещественную функцию в пару вещественных функций или
одну комплексную функцию в другую.
          




 d
x
B
d
x
A
x
F 2
sin
2
cos
0
0






где A(ω) и В(ω) называются интегральными косинус и синус
преобразованиями:
     dx
x
x
F
A 
 2
cos
2 



      dx
x
x
F
B 
 2
sin
2 





Ряд Фурье представляет периодическую функцию F(x),
заданную на интервале [a,b], в виде бесконечного ряда по
синусам и косинусам. То есть периодической функции F(x)
ставится в соответствие бесконечная последовательность
коэффициентов Фурье:
  






















1
1
0 2
sin
2
cos
2 n
n
n
n
a
b
n
x
B
a
b
n
x
A
A
x
F


, где
  dx
a
b
x
n
x
F
a
b
A
b
a
n 







 

2
cos
2
  dx
a
b
x
n
x
F
a
b
B
b
a
n 







 

2
sin
2

Дискретное преобразование Фурье переводит конечную
последовательность вещественных чисел в конечную последовательность
коэффициентов Фурье.
Пусть последовательность вещественных чисел. Эту
последовательность можно представить в виде комбинации конечных
сумм вида:
  1
0 

 N
i
i
x

 
















2
/
1
2
/
1
0
2
sin
2
cos
N
n
n
N
n
n
i
N
i
n
b
N
i
n
a
a
x






1
0
0
1 N
i
i
x
N
a  i
N
i
i
N x
N
a 1
1 1
0
2
/ 
 












1
0
2
cos
2 N
i
i
k
N
k
i
x
N
a











1
0
2
sin
2 N
i
i
k
N
k
i
x
N
b

2
/
N
k
i 


Преобразование Фурье. Частота Найквиста
Наибольший интерес для систем цифровой обработки сигналов
представляет дискретное преобразование Фурье.
Входные данные для дискретного преобразования представляют
собой равномерную выборку с шагом Δ, при этом величина T=NΔ
называется длиной записи или основным периодом. Основная
частота равна 1/T. Таким образом, в дискретном преобразовании
Фурье производится разложение входных данных по частотам,
которые являются целым кратным основной частоты.
Максимальная частота, определяемая размерностью входных
данных, равна 1/2Δ и называется частотой Найквиста. Учет
частоты Найквиста имеет важное значение при использовании
дискретного преобразования. Если входные данные имеют
периодические составляющие с частотами, превышающими
частоту Найквиста, то при вычислении дискретного преобразования
Фурье произойдет подмена высокочастотных данных более низкой
частотой, что может привести к ошибкам при интерпретации
результатов дискретного преобразования.

Важным инструментом анализа данных является также
энергетический спектр. Мощность сигнала на частоте ω
определяется следующим образом:
эту величину часто называют энергией сигнала на частоте ω.
Согласно теореме Парсеваля общая энергия входного сигнала
равна сумме энергий по всем частотам.
     
 
2
2
2
1


 B
A
P 

 

 




2
/
0
1
0
2
N
i
i
N
i
i P
x
E 
График зависимости мощности от частоты называется
энергетическим спектром или спектром мощности. Энергетический
спектр позволяет выявлять скрытые периодичности входных
данных и оценивать вклад определенных частотных компонент в
структуру исходных данных

Быстрое преобразование Фурье
Простейший способ вычисления дискретного преобразования
Фурье (ДПФ) – прямое суммирование за N операций на каждый
коэффициент. Всего коэффициентов N, так что общая сложность
.
Однако существуют способы вычисления ДПФ называемые
быстрым преобразованием Фурье (БПФ), имеющее сложность
. БПФ применяется только к последовательностям,
имеющим длину (число элементов) кратную степени 2.
Принцип вычисления БПФ заключается в разбиении входной
последовательности на две последовательности половинной
длины. Первая последовательность заполняется данными с
четными номерами, а вторая – с нечетными. Это дает возможность
вычисления коэффициентов ДПФ длины N через два
преобразования размерностью N/2. Полный алгоритм БПФ
заключается в рекурсивном выполнении выше описанной
процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до конца.
 
2
N
O
 
 
N
N
O log

Свертка с использованием
преобразования Фурье
Свертка функций s(t) и r(t) определяется, как
В дискретном случае:
Здесь – N и P определяют диапазон, за пределами которого
r(t) = 0.


 d
t
r
s
s
r
r
s )
(
)
(
*
* 

 








P
N
k
k
k
j
j r
s
s
r )
*
(

Свертка с использованием
преобразования Фурье
Теорема о свертке: произведение образов функций в
частотной области эквивалентно свертке этих функций во
временной области.
Для вычисления сверки необходимо:
преобразовать исходные данные в частотную область, то
есть вычислить их преобразование Фурье
перемножить результаты преобразования
выполнить обратное преобразование Фурье, восстановив
исходное представление.
При больших размерах окон свертки за счет использования
БПФ свертка в частотной области осуществляется
значительно быстрее, чем в пространственной.

Двумерное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье для двумерного массива
чисел размера (MN) определяется следующим образом:
а обратное преобразование:





















 N
w
n
M
u
m
j
N
n
M
m
mn
uw e
x
NM
G

2
1
1
1
1
1




















 N
w
n
M
u
m
j
N
u
M
w
uw
mn e
G
x

2
1
1
1
1

В случае обработки изображений компоненты двумерного
преобразования Фурье называют пространственными
частотами.
Важным свойством двумерного преобразования Фурье является
возможность его вычисления с использованием процедуры
одномерного БПФ.
Здесь выражение в квадратных скобках есть одномерное
преобразование строки матрицы данных, которое может быть
выполнено с одномерным БПФ. Таким образом, для получения
двумерного преобразования Фурье нужно сначала вычислить
одномерные преобразования строк, записать результаты в
исходную матрицу и вычислить одномерные преобразования для
столбцов полученной матрицы.
N
nu
j
N
n
M
m
M
w
m
j
mn
uw e
e
x
M
N
G

 2
1
1
1
0
2
1
1






  









Полутоновое изображение и его Фурье-образ

Фильтрация изображений в частотной
области
Линейные алгоритмы фильтрации выполняют преобразование
вида:
f'(x,y) = f(–x,–y)K(,)dd,
где K(,) – ядро линейного преобразования.
Алгоритмы фильтрации в частотной области основываются на
теореме о свертке.
В двумерном случае преобразование свертки выглядит
следующим образом:
где Н – Фурье образ маски фильтра, а F – Фурье образ
исходного изображения.
 
     
v
u
H
v
u
F
y
x
h
y
x
f ,
,
)
,
(
*
, 


области
Идеальный фильтр низких частот H(u,v) имеет вид:
H(u,v) = 1, если D(u,v) < Do
H(u,v) = 0, если D(u,v)  Do, где
− расстояние от центра частотной плоскости.
 
2
2
2
2
, 















N
v
M
u
v
u
D
После свертки с этим фильтром на результирующем
изображении появляются паразитные искажения в виде
полутоновых ложных границ.

области
Идеальный высокочастотный фильтр получается путем
инверсии идеального низкочастотного фильтра:
h(u,v) = 1–H(u,v).
Здесь происходит полное подавление низкочастотных
компонент при сохранении высокочастотных. Однако как и в
случае идеального низкочастотного фильтра, его применение
чревато появлением существенных искажений.

области
Низкочастотный гауссовский фильтр имеет вид:
Чем уже профиль фильтра в частотной области
(чем больше σ), тем он шире в пространственной.
Высокочастотный гауссовский фильтр имеет вид:
   2
2
2 x
Ae
x
h 


 

  2
2
2
u
Ae
u
H


     2
2
2
2
2
2 x
B
x
A
B
A
Be
Ae
x
h 




 



 
2
2
2
2
2
2 B
A
u
u
Be
Ae
u
H 






области
В двумерном случае низкочастотный фильтр гаусса:
Высокочастотный гауссовский фильтр имеет вид:
 
 
2
0
2
2
,
, D
v
u
D
e
v
u
H


 
 
2
0
2
2
,
1
, D
v
u
D
e
v
u
H




области
Частотная фильтрация изображения может иметь смысл как
сглаживания (низкочастотная фильтрация), так и
выделения контуров и мелкоразмерных объектов
(высокочастотная фильтрация).
НЧ фильтрация ВЧ фильтрация

области
По мере нарастания «мощности» фильтрации в низкочастотной
составляющей изображения все сильнее проявляется эффект «кажущейся
расфокусировки» или размытия изображения. В то же время, в
высокочастотную составляющую, где в начале наблюдаются лишь контура
объектов, постепенно переходит большая часть информационного
содержания изображения.
НЧ фильтрация ВЧ фильтрация

области
При достаточной мощности низкочастотного фильтра
аддитивные помехи подавляются, однако платой за это
является сильное размытие контуров и «расфокусировка»
всего изображения.
Высокочастотная составляющая зашумленного изображения
перестает быть информативной, так как помимо контурной и
объектовой информации там теперь также полностью
присутствует и шумовая компонента.

Оптимальная фильтрация изображений в
частотной области
Когда известны статистическая модель шумового процесса или/и
оптическая передаточная функция канала передачи изображения, в
качестве восстанавливающего фильтра используется обобщенный
управляемый (параметрами  и ) фильтр:
где P(w1,w2) – передаточная функция системы, Q(w1,w2) –
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром
фона.
Выбор параметров  =  = 1 приводит к винеровской фильтрации,
что позволяет получить изображение, близкое к исходному в
смысле минимума СКО при условии, что спектры плотности
мощности изображения и шумовой компоненты априорно
известны.
F w w
P w w
P w w
P w w Q w w
( , ) [
( , )
] [
| ( , )|
| ( , )| | ( , )|
]
1 2
1 2
1 2
2
1 2
2
1 2
2
1
 


области
Для улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной
(винеровской) фильтрации вводят адаптацию, основанную на
оценке локальных статистик: математического ожидания M[(P)] и
дисперсии (P). Этот алгоритм эффективно фильтрует засоренные
однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона
импульсная характеристика фильтра сужается ввиду резкого
изменения локальных статистик и эти неоднородности (контура,
пятна) передаются практически без расфокусировки, свойственной
неадаптивным методам линейной фильтрации.
Однако при резком ухудшении соотношения сигнал/шум, при
возможных вариантах площадного зашумления и наличии
высокоамплитудного импульсного шума линейные методы могут
оказаться недостаточными. В этой ситуации значительно более
мощными оказываются нелинейные методы.

Другие ортогональные разложения
Любая произвольная интегрируемая функция может быть
представлена в виде линейной комбинации ортогональных
функций
где φ – базисная функция, а ci – весовые коэффициенты:
   
x
c
x
f
i
i
i

 
   dx
x
x
f
C n
t
t
n
n 



2
1
2
1
, где
 dt
t
t
t
n
n 

2
1
2
2

 есть квадрат нормы или энергия
базисной функции φ(t).

Другие ортогональные разложения
Такое представление называется обобщенным рядом Фурье.
Обобщенный ряд Фурье при заданной системе базисных
функций и конечном числе слагаемых N обеспечивает
наилучший синтез по критерию минимума
среднеквадратической ошибки.
Так как базисные функции в разложении фиксированы, то вся
информация о функции f(x) содержится в весовых
коэффициентах.
   
x
c
x
f
i
i
i

 

Кратномасштабный анализ.
Вейвлет-преобразование
Вейвлет-анализ в отличие от Фурье-анализа опирается на
специальные «малые волны» (вейвлеты), ограниченные во
времени (в случае изображений – в пространстве). Это
позволяет в вейвлет-представлении сразу иметь и частотную
и пространственную информацию. Вейвлет-анализ
предназначен, прежде всего, для одновременного анализа
изображения в нескольких масштабах, который получил
название кратномасштабного анализа.

Пирамида изображений
Пирамида изображений представляет собой последовательность N
изображений, причем каждое последующее изображение
получается из предыдущего путем прореживания в два раза:
Уровень N
Уровень N-
1
(xN,yN)
(xN-1,yN-1) = (2xN, 2yN)

Вейвлет-преобразование это математический инструмент
для иерархической декомпозиции функций. С помощью
вейвлетов функции представляются как композиция грубой
низкочастотной аппроксимации и уточняющих компонент
(деталей), представляющих отсутствующие в аппроксимации
элементы графика функции. Вне зависимости от вида
функции (изображение, кривая, поверхность) вейвлет
представляет функцию как иерархию уровней отображения с
различной точностью детализации. В процедурах
предобработки изображений, вейвлет преобразование
используется для уменьшения уровня шумов, анализа
текстур, выделения контуров объектов и сжатия изображений.

Вейвлет-преобразование сигнала – это его представление в виде
обобщенного ряда Фурье
по системе базисных функций, локализованных как в
пространственной, так и в частотной областях. Примером такой
базисной функции может служить вейвлет Хаара, который
определяется выражением
   
x
c
x
f
i
i
i

 













.
1
,
0
,
0
,
1
2
1
,
1
,
2
1
0
,
1
)
(
t
t
при
t
при
t
при
t


Система базисных функций Хаара в дискретном пространстве
задается двумя параметрами: сдвига и частоты (масштаба):
где a – масштаб базисной функции; b – сдвиг.
В дискретном случае параметр масштаба a = 2m, где m –
любое целое положительное число, параметр сдвига b = k2m.
Таким образом, все множество базисных функций можно
записать как
  




 

a
b
t
a
t
ab 

1
   
k
n
t m
m
mk 
 
2
2
1



Вид базисных функций Хаара для различных масштабов:
В результате разложения исходный сигнал точно описывается
коэффициентами вейвлет-преобразования Хаара.
Для вейвлет преобразования, также как и для ДПФ, существует
алгоритм быстрого преобразования.

Двумерное вейвлет преобразование строится по тому же
принципу, что и двумерное преобразование Фурье:
сначала вычисляются одномерные преобразования строк
по полученной матрице коэффициентов вычисляются
вейвлет преобразования столбцов.
Двумерное вейвлет-преобразование
Исходное изображение

Четыре компоненты вейвлет-образа. Размер каждой компоненты в
два раза меньше соответствующего линейного размера исходного
изображения.

Возможности вейвлет преобразований по локализации
частотно-пространственных особенностей исходного сигнала
используются для алгоритмов подавления шумов и сжатия.
При этом производится подавление малых коэффициентов
разложения, что позволяет восстанавливать сигналы с
высокой степенью подобия к исходному сигналу, однако при
этом уменьшается влияние слабых шумовых сигналов и
снижается объем информации необходимый для
представления сигнала. На основе вейвлет преобразования
разработан стандарт сжатия изображений JPEG2000.

Преобразование Радона
Двумерное преобразование Радона
В данном случае R(s,α) есть интеграл
от f(x,y) вдоль прямой AA'
Пусть f(x,y) функция двух
действительных переменных,
определённая на всей плоскости
и достаточно быстро убывающая
на бесконечности. Тогда
преобразованием Радона
функции f(x,y) называется
функция
Преобразование Радона имеет
простой геометрический смысл
— это интеграл от функции f(x,y)
вдоль прямой, перпендикулярной
вектору
и проходящей на расстоянии s от
начала координат.

Проекция изображения на одно направление

Применение прямого и обратного преобразования Радона в томографии
tomographic image

Подавление шума в цифровых изображениях.ppt

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Подавление шума в цифровых изображениях.ppt

Similar to Подавление шума в цифровых изображениях.ppt (10)

More from ssuser413a98

More from ssuser413a98 (6)

Подавление шума в цифровых изображениях.ppt

Editor's Notes