Prezentacja dotycząca złotej liczby fi

1. PODPATRUJĄC
PRZYRODĘ
Złota liczba wśród
nas

2. a b
a + b
a + b
a
a
b
Złota proporcja – co to jest?
Podział odcinka na dwie części tak, aby
stosunek dłuższej części odcinka do krótszej,
był taki sam, jak stosunek całego odcinka do
dłuższej części. Liczba wyrażająca stosunek
złotego podziału to złota liczba - oznaczana
grecką literą φ (fi)

3. Konstrukcja złotego odcinka

4. Złoty prostokąt
b
a
b a - b
Prostokąt, którego boki
pozostają w złotym stosunku.
Charakteryzuje się tym, że po
dorysowaniu doń kwadratu o
boku równym dłuższemu
bokowi prostokąta otrzymuje
się nowy, większy złoty
prostokąt. Odpowiednio w
drugą stronę, odcinając od
złotego prostokąta kwadrat o
boku równym krótszemu
bokowi prostokąta otrzymuje
się prostokąt, którego boki
nadal pozostają w złotym
stosunku.

5. Złoty trójkąt
36º
36º
36º
A
C
B
D
Złoty trójkąt to trójkąt
równoramienny, w którym
stosunek boku do podstawy
jest równy liczbie FI. Obydwa
kąty przy podstawie tego
trójkąta mają po 72 stopnie,a
kąt pomiędzy ramionami 36
stopni. Trójkąt ten ma
podobną właściwość jak złoty
prostokąt: można go dzielić na
kolejne mniejsze trójkąty, które
też będą złotymi trójkątami

6. Pięciokąt foremny
Czy ta figura może mieć coś
wspólnego ze złotą liczbą?
Przekątna pięciokąta
foremnego pozostaje w złotej
proporcji z jego bokiem. A
gdyby bliżej przyjrzeć się
przekątnym tej figury?

7. Przekątne pięciokąta
foremnego tworzą
pentagram. Dlatego, że
wszystkie ramiona
pentagramu przecinają się
według "złotego cięcia" jest
on figurą symbolizującą
doskonałą harmonię, co
wielu osobom może wydać
się teraz dziwne. Większość
z nas ma nieco inne
skojarzenia związane z
pentagramem.
Pentagram

8. Ciąg Fibonacciego
Ciąg został podany w 1202 roku przez Leonarda z Pizy jako
rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików:
Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, jeśli
- każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca,
- para staje się płodną po miesiącu,
- króliki nie zdychają?
Ciąg liczb naturalnych określono rekurencyjnie w sposób
następujący:
Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1,
każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.

9. F0 0
F1 1
F2 1
F3 2
F4 3
F5 5
F6 8
F7 13
F8 21
F9 34
F10 55
F11 89
F12 144
F13 233
F14 377
F15 610
F16 984
F17 1597
Ciąg Fibonacciego
a złota liczba
Iloraz sąsiadujących ze sobą
wyrazów ciągu Fibonacciego to
tzw. złota liczba, np.
5:3=1,(6)
13:8=1,625
89:55=1,6(18)
2584:1597=1.6180338134...
Im większe wyrazy ciągu
Fibonacciego, tym coraz
dokładniejsze przybliżenia złotej
liczby.

10. Złote liczby w
przyrodzie

11. Gdyby przyjrzeć się z bliska łuskom szyszki, ananasa, ziarnom na
tarczy słonecznika, kwiatom kalafiora lub stokrotki – można
zauważyć, że układają się spiralnie, a ich przyrost również podlega
regułom słynnego ciągu – wystarczy policzyć liczbę prawo- i
lewoskrętnych spiral.
Ilość prawoskrętnych i lewoskrętnych spiral słonecznika odpowiada
liczbom ciągu Fibonacciego

13. Na jednej gałązce między każdymi
dwiema parami listków, trzecia
para leży w miejscu złotego cięcia.
Niektóre drzewa(np. dąb)
rozrastają się według modelu
Fibonacciego. Gałąź przez pierwszy
rok tylko wzrasta, dopiero w każdy
kolejnych rok wypuszcza jedną,
młodą gałąź.

14. Czy liczba fi występuje
architekturze?
• Złota proporcja występuje często
między wymiarami starożytnych
budowli, np. Partenon można
zawrzeć w prostokącie
wyrażającym się złotą liczbą.
• Jeżeli weźmiemy przekrój Wielkiej Piramidy, to
otrzymamy trójkąt prostokątny, nazywany Trójkątem
Egipskim. Stosunek przeciwprostokątnej do podstawy
wynosi 1,61804.

15. Człowiek wirtuwiański
Rysunek przedstawia figurę
nagiego mężczyzny w dwóch
nałożonych na siebie pozycjach,
wpisaną w okrąg i kwadrat.
Rysunek jest przykładem
charakterystycznego dla renesansu
zainteresowania człowiekiem. Jest
to dzieło, przedstawiające
proporcje ludzkiego ciała.

16. Czy jesteś złoty?
Spróbujcie zmierzyć odległość
od czubka głowy do podłogi.
Potem podzielcie ją przez
odległość od pępka do
podłogi. Co wam wyszło?
Czyżby złota liczba?
Zmierzcie odległość między
ramieniem a czubkiem palców,
a potem podzielcie przez
odległość między łokciem a
czubkiem palców. Znowu fi.
Od biodra do podłogi
podzielone przez odległość od
kolana do podłogi. Jeszcze
raz fi.

17. Każdy z nas, jest
żywym hołdem
złożonym boskiej
proporcji.