![概要
• 文献[68]の内容を中心に多層ネットワークに
おけるパーコレーションを議論している
[68] S. V. Buldyrev, R. Parshani, G. Paul, H. E.
Stanley, and S. Havlin. Catastrophic cascade of
failures in interdependent networks. Nature,
464(7291):1025–1028, 2010.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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Percoration cascades
- 1. Multi-Layer Networks 4.6.2 Percolation Cascades 風間 一洋 和歌山大学
- 2. 概要 • 文献[68]の内容を中心に多層ネットワークに おけるパーコレーションを議論している [68] S. V. Buldyrev, R. Parshani, G. Paul, H. E. Stanley, and S. Havlin. Catastrophic cascade of failures in interdependent networks. Nature, 464(7291):1025–1028, 2010.
- 3. 多層ネットワークの パーコレーション過程 • 層内エッジと層間エッジは意味的に同一とす る • ノード間パスは2種類のエッジを含むことがで きる(Buldyrev et al.の定義) 1. 接続関係エッジ(connectivity edges) • 層内エッジ群におけるパーコレーション過程 • 単層ネットワークの場合と同一 2. 依存関係エッジ(dependency edges) • 層間エッジ群におけるパーコレーション過程 • ノード間の依存関係を表す
- 4. 多層ネットワークを使った パーコレーション過程の例 • Buldyrev et al.の2層ネットワークにおけるカスケード 故障の分析を説明(Fig. 7) – Fig. 3の多重ネットワークに似た相互依存ネット ワークを考える – 層内次数分布は任意 – 各層のノード間に層間隣接性が存在 – 確率1 − 𝑝 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 𝑝 ∈ 0,1 でランダムにノード を削除
- 5. Figure.3 Zachary Karate Club Club (ZKCC) Network
- 7. 多層ネットワークを使った パーコレーション過程(2) • 攻撃されたノードを削 除 • 二つの層から，その層 内エッジを削除 ⇒上位層の連結成分が 複数の孤立集合に分解 – 𝑎11, 𝑎12, 𝑎13
- 8. 多層ネットワークを使った パーコレーション過程(3) • 下位層を更新 • 上位層で異なる連結成 分に属するようになっ た，下位層で隣接する ノード間の層内エッジを 削除 ⇒下位層の連結成分が 複数の孤立集合に分解 – 𝑏21, 𝑏22, 𝑏23, 𝑏24
- 9. 多層ネットワークを使った パーコレーション過程(4) • 上位層を更新 • 下位層で異なる連結成 分に属するようになっ た，上位層で隣接する ノード間の層内エッジを 削除 ⇒より多くの孤立集合に 分解 – 𝑎11, 𝑎12, 𝑎13⇒ 𝑎31, 𝑎32, 𝑎33, 𝑎34
- 10. 多層ネットワークを使った パーコレーション過程 • 2層間を交互に繰り返して進行 • 二つのネットワークが定常状態に達するまで， より小さな連結成分に少しづつ分割 • 定常状態 – ある層の連結成分に含まれるノードが，他層の対 応する連結成分に含まれるノードにしか依存関 係がない
- 11. パーコレーション過程における ネットワークのロバスト性 • 不均一な層内次数分布を持つ相互依存ネッ トワークは，均一なものほどロバストではない – 単層ネットワークにおけるランダム故障とは反対 • 2層の相互依存性により，単層ネットワークの パーコレーションよりも緩やかに遷移する
- 12. 相互依存ネットワークにおける パーコレーションの相転移(1) • 図(a)～(d)で示した過程 • 層内ネットワークA, B層 – 平均次数3のERグラフ • A層のある割合のノードが， B層のどのノードにも依存し ない（孤立ノード） • B層は孤立ノードなし – 𝑞 𝐵 = 1 • x軸:A層から削除されるノードの 割合 – 1 − 𝑝 • y軸: 𝐴層の孤立ノードの割合 – 1 − 𝑞 𝐴
- 13. 相互依存ネットワークにおける パーコレーションの相転移(2) • 依存エッジの割合にク リティカルポイントが存 在する – 小さければ2次相転移 • 孤立ノードが多い – 大きければ1次相転移 • 孤立ノードが少ない
- 14. コンフィギュレーションモデルの 場合の相転移の研究 [372] D. Zhou, J. Gao, H. E. Stanley, and S. Havlin. Percolation of partially interdependent scale-free networks. Phys. Rev. E, 87:052812, 2013. • ERグラフではなくコンフィギュレーションモデルで ネットワークを作成 – 次数分布がベキ分布 • ハイブリッドな相転移を示す – パーコレーションパラメタ𝑝のクリティカルポイント • 相互GCCサイズが非ゼロの極小値に不連続にジャンプ – A層からノードを削除する割合を増大: 𝑝 → 0 • 相互GCCサイズが連続的に変化
- 15. 層内エッジと層間エッジの 配置に関する研究 • 層間エッジを一様ランダムに配置しない場合 [69,259] – 相互依存ネットワークはランダム故障によりロバ ストになる – パーコレーションの相転移 • 一次相転移から二次相転移に変化
- 16. その他の研究 • 層内ネットワークの選択に空間制約を考慮す る研究[203] • ノードの組が相互接続した連結成分 (mutually-connected component)にない場合 の研究[35,311] • ノードが接続関係エッジと/または依存関係 エッジで互いに隣接している場合の研究[258] • 相互接続した連結成分の概念を変更した場 合の研究(ソースノードの導入)[230]