Numerical Methods Runge Kutta

1. METHODS
NUMERICAL
PERSAMAAN DIFERENSIAL:
METODE RUNGE-KUTTA
DOSEN PENGAMPU: DRH. MINTARSIH, M.PD.
UNIVERSITAS BINANIAGA
INDONESIA
TEKNIK INFORMATIKA
SEMESTER 5 – PERTEMUAN 13
2025

2. Muhammad Faiz Fathurrahman
Firman Sulaiman
Ismaya Raswanti
Desi Kurniasih
12523032
12523043
12523028
12523017
ANGGOTA KELOMPOK 2
SEMESTER 5 – PERTEMUAN 13
2025
UNIVERSITAS BINANIAGA
INDONESIA
TEKNIK INFORMATIKA

3. TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari materi Persamaan Diferensial: Metode Runge-Kutta, mahasiswa
diharapkan:
1. Memahami konsep dasar dan prinsip kerja metode Runge-Kutta sebagai metode
numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa (PDB) yang sulit dipecahkan
secara analitik.
2. Mampu mengaplikasikan metode Runge-Kutta orde 2 (RK2) dan orde 4 (RK4) untuk
memperoleh solusi aproksimasi PDB dengan akurasi tinggi.
3. Menjelaskan kelebihan metode Runge-Kutta dibandingkan metode numerik lain, seperti
metode Euler, khususnya dalam hal keakuratan dan stabilitas.
4. Mengimplementasikan algoritma metode Runge-Kutta dalam perhitungan numerik
menggunakan langkah diskrit dan evaluasi fungsi di titik antara (intermediate points).
5. Menganalisis hasil dan galat (error) solusi numerik yang diperoleh melalui metode
Runge-Kutta dan memahami cara meningkatkan presisi metode tersebut.

4. INDIKATOR PEMBELAJARAN
Setelah mengikuti pembelajaran ini, mahasiswa dapat:
1. Menjelaskan konsep dasar dan tujuan penggunaan metode Runge-Kutta
dalam penyelesaian persamaan diferensial biasa.
2. Mengidentifikasi dan merinci langkah-langkah algoritma metode Runge-
Kutta orde 2 dan orde 4 secara benar.
3. Menghitung solusi aproksimasi persamaan diferensial menggunakan
metode Runge-Kutta dengan bantuan kalkulator atau perangkat lunak.
4. Membandingkan hasil solusi numerik metode Runge-Kutta dengan metode
numerik lain seperti metode Euler dan menyimpulkan perbedaan akurasi.
5. Mengevaluasi galat atau kesalahan solusi numerik dan menyarankan cara
untuk meminimalkan galat tersebut dalam penerapan metode Runge-Kutta.

5. KONSEP DASAR METODE RUNGE–KUTTA
 Metode Runge–Kutta (RK) merupakan metode
numerik eksplisit yang digunakan untuk
menyelesaikan Persamaan Diferensial Biasa (PDB)
tanpa perlu melakukan turunan berulang seperti
pada metode Taylor.
 Metode RK2 menggunakan dua evaluasi kemiringan
(dua titik antara), sementara RK4 menggunakan
empat evaluasi kemiringan sehingga memberikan
tingkat akurasi yang jauh lebih tinggi.
 Ide utama RK adalah melakukan estimasi kemiringan
(slope) pada beberapa titik antara 𝑥𝑖 dan 𝑥𝑖+1,
kemudian menggabungkan slope tersebut untuk
mendapatkan aproksimasi yang lebih akurat.

6. TEORI DASAR RUNGE–KUTTA
(RK2 & RK4)
Metode Runge–Kutta adalah teknik numerik yang digunakan untuk
menyelesaikan persamaan diferensial biasa (ODE):
Metode Runge-kutta memperbaiki metode Euler dengan cara:
• Mengambil beberapa titik uji (slope) di dalam interval [Xn, Xn+1].
• Lalu membuat rata-rata slope supaya perkiraan nilai Y menjadi
lebih akurat.

7. RUNGE–KUTTA ORDE 2 (RK2)
Metode ini memakai 2 slope, yaitu:
• slope awal (sama seperti metode Euler)
• slope prediksi (berdasarkan estimasi titik tengah
atau titik akhir)
Ada beberapa variasi RK2, namun yang paling umum
adalah sebagai berikut.

8. RK2 – METODE HEUN (IMPROVED
EULER) & METODE MIDPOINT
RK2 – Metode Heun
(Improved Euler)
Menggunakan rata-rata
antara slope awal dan
slope prediksi.
RK2 – Metode Midpoint
Metode ini menekankan
prediksi pada titik
tengah interval.

9. RUNGE–KUTTA ORDE 4 (RK4)
Metode Runge–Kutta (RK) orde 4:
metode yang paling populer karena
memberikan akurasi yang tinggi dalam
menyelesaikan persamaan diferensial
numerik.
Menggunakan 4 kemiringan (slope):
k₁ : kemiringan di awal interval
k₂ : kemiringan di titik tengah pertama
k₃ : kemiringan di titik tengah kedua
k₄ : kemiringan di akhir interval

10. INTERPRETASI GEOMETRIS
Metode Runge–Kutta pada dasarnya memperkirakan solusi
dengan memperbaiki “lintasan” kemiringan pada interval kecil.
Pada grafik penjelasannya, tampak bahwa:
• kemiringan awal dihitung dari titik (Xi, Yi);
• beberapa titik antara (intermediate points) dipakai untuk
memperkirakan bentuk kurva yang lebih mendekati aslinya;
• hasil akhirnya adalah Yi + 1, yang lebih dekat ke solusi analitik.

11. PERBANDINGAN RUMUS RUNGE-KUTTA

12. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Gunakan metode RK2 (titik tengah) dengan h = 0.2 untuk
menghitung y(0.2) dari:
y' = x − y, y(0) = 1
Penyelesaian:
k₁ = 0.2 (0 − 1) = −0.2
k₂ = 0.2 (0.1 − (1 − 0.1)) = −0.16
y(0.2) = 1 + (−0.16) = 0.84
Hasil akhir: y(0.2) ≈ 0.84
CONTOH SOAL 1 – RK2 METODE MIDPOINT

13. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
2. Gunakan metode RK2 Heun dengan h = 0.1 untuk
menghitung y(0.1) dari:
y' = y + 2x, y(0) = 2
Penyelesaian:
k₁ = 0.1 (2 + 2·0) = 0.2
k₂ = 0.1 (2.2 + 2·0.1) = 0.24
y(0.1) = 2 + 1/2 (0.2 + 0.24) = 2.22
Hasil akhir: y(0.1) = 2.22
CONTOH SOAL 2 – RK2 METODE HEUN (IMPROVED EULER)

14. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
3. Hitung y(0.2) menggunakan metode
Runge–Kutta orde 4 jika:
y' = x·y
y(0) = 1
h = 0.1
Langkah Penyelesaian:
Kita hitung y(0.1) terlebih dahulu, lalu y(0.2).
1) Menghitung y(0.1):
k₁ = 0.1 (0 · 1) = 0
k₂ = 0.1 (0.05 · (1 + 0/2)) = 0.005
k₃ = 0.1 (0.05 · (1 + 0.005/2)) = 0.0050125
k₄ = 0.1 (0.1 · (1 + 0.0050125)) = 0.010050125
y(0.1) = 1 + 1/6 (0 + 2(0.005) + 2(0.0050125)
+ 0.010050125)
y(0.1) ≈ 1.00501252
CONTOH SOAL 3 – RK2 METODE RUNGE-KUTTA ORDE 4
2) Menghitung y(0.2):
Perhitungan diulang dengan nilai awal
baru:
x = 0.1, y = 1.00501252
Hasil akhirnya setelah perhitungan
k₁, k₂, k₃, k₄ :
y(0.2) ≈ 1.020201
Hasil Akhir:
y(0.2) ≈ 1.020201

15. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
4. Hitung y(0.1) menggunakan metode
Runge–Kutta orde 4 jika:
y' = 2y + 3
y(0) = 0
h = 0.1
Langkah Penyelesaian:
k₁ = 0.1 (2(0) + 3) = 0.3
k₂ = 0.1 (2(0 + 0.3/2) + 3) = 0.33
k₃ = 0.1 (2(0 + 0.33/2) + 3) = 0.333
k₄ = 0.1 (2(0 + 0.333) + 3) = 0.3666
y(0.1) = 0 + 1/6 (0.3 + 2(0.33) + 2(0.333) + 0.3666)
y(0.1) ≈ 0.3331
Hasil Akhir:
y(0.1) ≈ 0.3331
CONTOH SOAL 4&5 – RK2 METODE RUNGE-KUTTA ORDE 4
5. Hitung y(0.1) menggunakan metode
Runge–Kutta orde 4 jika:
y' = e^x − y
y(0) = 1
h = 0.1
Langkah Penyelesaian:
k₁ = 0.1 (e^0 − 1) = 0.1 (1 − 1) = 0
k₂ = 0.1 (e^(0.05) − (1 + 0/2)) = 0.1 (1.05127 − 1)
= 0.005127
k₃ = 0.1 (e^(0.05) − (1 + 0.005127/2)) = 0.004871
k₄ = 0.1 (e^(0.1) − (1 + 0.004871)) = 0.0100299
y(0.1) = 1 + 1/6 (0 + 2(0.005127) + 2(0.004871)
+ 0.0100299)
y(0.1) ≈ 1.0050048
Hasil Akhir:
y(0.1) ≈ 1.0050048

16. APLIKASI METODE RUNGE–KUTTA
DALAM BIDANG TEKNIK INFORMATIKA
1. Pemodelan sistem pada Control Engineering (IoT & Embedded Systems): digunakan
untuk perhitungan prediktif dan analisis respons sistem.
2. Simulasi sistem dinamis (Machine Learning & Optimization): digunakan untuk
menyelesaikan persamaan diferensial biasa (ODE).
3. Grafika dan animasi komputer: digunakan untuk menghitung pergerakan objek
berbasis model fisika.
4. Sistem kendali (Control Systems): digunakan untuk penyelesaian model sistem
dalam bentuk state-space.
5. Simulasi penyebaran virus atau informasi pada graf (graph/network models):
digunakan untuk pemodelan sistem waktu kontinu.

17. LATIHAN SOAL
1. Gunakan metode Runge-Kutta orde 2 (RK2) dengan h = 0.1 untuk menghitung y(0.1)
jika: y' = x + y, y(0) = 1
2. Gunakan metode Runge-Kutta orde 2 (RK2) dengan h = 0.2 untuk menghitung y(0.2)
jika: y' = y - x², y(0) = 2
3. Hitung pendekatan y(0.3) menggunakan RK4:
y' = 2x − y, y(0) = 1, h = 0.1
4. Gunakan RK4 untuk satu langkah menghitung y(1.1):
y' = x + y², y(1) = 1, h = 0.1
5. Dengan langkah h=0.2, tentukan y(0.4):
y' = 3y − x, y(0) = 1

18. KESIMPULAN
 Metode Runge–Kutta (RK2 dan RK4) merupakan metode numerik yang penting
dalam komputasi ilmiah.
 Digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial secara akurat dan efisien.
 Mendukung simulasi dan pemodelan sistem dinamis dalam bidang Teknik
Informatika.
 Berperan dalam optimasi dan analisis berbagai sistem komputasi dan rekayasa.
 Relevan untuk pengembangan aplikasi yang membutuhkan perhitungan numerik
presisi tinggi.

19. REFERENSI
[1] J. C. Butcher, Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, 2nd ed.,
Chichester, U.K.: John Wiley & Sons, 2008.
[2] E. Hairer, S. P. Nørsett, and G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations I:
Nonstiff Problems, 2nd ed., Berlin, Germany: Springer-Verlag, 1993.
[3] R. L. Burden and J. D. Faires, Numerical Analysis, 9th ed., Boston, MA, USA:
Brooks/Cole–Cengage Learning, 2011.
[4] S. C. Chapra and R. P. Canale, Numerical Methods for Engineers, 7th ed., New
York, NY, USA: McGraw-Hill Education, 2015.
[5] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery, Numerical
Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd ed., Cambridge, U.K.: Cambridge
Univ. Press, 2007.
TEKNIK INFORMATIKA
UNIVERSITAS BINANIAGA
INDONESIA

20. TERIMA
KASIH
TEKNIK INFORMATIKA
UNIVERSITAS BINANIAGA
INDONESIA