Recommended
More Related Content
Featured
Featured (20)
MlaPP 7章 「線形回帰」 8章 「ロジスティック回帰」
- 1. Ch7. Liner Regression Ch8. Logistic Regression MLaPP輪講 2015/08/25
- 3. 線形回帰? ロジスティック回帰? 線形回帰 • 変数の相関関係が線形 • 例：最小二乗法 ロジスティック回帰 • ある値を境に出力が変化 線形回帰 Figure.7.2(a) ロジスティック回帰 Figure 1.19(b)
- 4. 目次:Ch7 1. Introduction 2. Model specification 3. Maximum likelihood estimation (least squares) 4. Robust liner regression 5. Ridge regression 6. Bayesian liner regression
- 5. 7.1 Introduction • 線形回帰は統計学や(教師あり)機械学習 の”馬車馬”!! – 単純なのにうまく説明できる • カーネルや基底関数を拡張すると、非線 形なモデルも扱うことができる • Gaussian outputをベルヌーイやマルチ ヌーイ分布に書き直すことができ、分類 問題を扱える
- 6. 7.2 Model specification • 線形回帰は次式のようなモデル(1.4.5) Chapter 1 に チラッとでてた！
- 7. 7.2 Model specification • 線形回帰は次式のようなモデル(1.4.5節) • xの代わりに非線形関数のφ(x)を使うことも!! – 基底関数の拡張と呼ばれている • 線形パラメータwを含むので、これはまだ線形回帰 その話はまた後で。。。 ここで (7.1) (7.2) (7.3)
- 8. 7.2 Model specification (7.2) (7.3) • dを増加させることで複雑な関数を作れる – Figure 1.18は(7.3)式のdを変化させている Figure. 1.18
- 9. 7.2 Model specification • 多入力でも回帰できる – 重回帰モデル • Figure7.1は2入力の例
- 10. • 最大尤度推定(MLE)＝最小二乗法 • 超有名手法、線形回帰といえば最小二乗！ • 定義式： • 訓練データは一様分布(iid)を仮定すると、 対数尤度を次式の様にかける • そうすると最大対数尤度を負の対数尤度最 小化問題(NLL)として解くことができる 7.3 最大尤度推定(最小二乗法)
- 11. 7.3 最大尤度推定(最小二乗法) • NLLは時々便利！ – 最小化問題を解く最適化プログラムが多い • 対数尤度の式にガウス分布を仮定する
- 12. 7.3 最大尤度推定(最小二乗法) • RSS：残差二乗和、SSE(Sum of Squared Error) • SSE/N：平均二乗誤差、MSE(Mean Squared Error) • l2の残差の二乗として書くこともできる – wのMLEはRSSの最小化->最小二乗法
- 13. 7.3 最大尤度推定(最小二乗法) • (a) – 赤丸：訓練データ – 青バツ：推定値 – 青線：推定誤差 • (b)線形回帰のNLL平面
- 15. 回帰直線を予測
- 19. 7.4 ロバスト線形回帰 • 一般的な回帰モデルにはガウス分布を用いる – 誤差が直接影響するため回帰直線から離れた点 は影響力大->外れ値に弱い • 外れ値に強いモデルを使って見る – 裾の重い(heavy tail)分布を用いる Table 7.1
- 20. 7.4 ロバスト線形回帰 • 例：ラプラス分布 – 尤度： Figure 2.7を改変
- 21. 7.4 ロバスト線形回帰
- 22. 7.5 リッジ回帰 • 最尤推定はoverfittingしやすい – ガウス事前分布のMAP推定で解決を試みる – ガウス尤度はロバスト尤度より扱いやすい • Overfittingしやすいのは次数を増やせば 誤差を小さくすることができるから – 7.2 節参照 – リッジ回帰は「モデルの次数が増えるとペナ ルティを課そう」という考え
- 23. 7.5.1Basic idea • 事前分布： • MAP推定問題 最尤推定の項 罰則項 次式の最小化と等価 Wは次式で与えられる
- 24. 7.6 ベイズ線形回帰 • リッジ回帰は点推定だった – wやσ2の完全な事後分布を知りたい時もあるよね – 最初に分散は既知だと仮定して計算 • 次式に着目 – ガウス尤度モデルを仮定 • ロバスト尤度モデルを扱うこともできるが、難しい
- 25. Ch7 まとめ • 最小二乗法:残差二乗和を最小化 • ロバスト線形回帰:外れ値に対応 • リッジ回帰 • ベイズ線形回帰 最尤推定の項 罰則項
- 26. 最小二乗法 ロバスト 線形回帰 リッジ回帰 ベイズ線形回帰 目的 最大尤度の推定 外れ値に対応 過剰適合の改善 パラメータの事 後分布を求める 手法 残差二乗和を 最小化 裾の広いモデル で回帰 MAP推定を使う ベイズ推定 (名前の通り)
- 27. 目次:Ch8 1. Introduction 2. Model specification 3. Model fitting 4. Bayesian logistic regression 5. Online learning and stochastic optimization 6. Generative vs discriminative classifiers
- 28. 8.1 Introduction • 識別モデルについてのアプローチ • 生成モデルと比較して直接的に直接的に p(y|x)をモデル化 – 識別的アプローチと呼ばれる
- 29. 8.2 Model specification • ロジスティック回帰は次式のバイナリ分 類モデルに対応
- 31. 8.4 Bayesian logistic regression
- 32. 8.5 Online learning and stochastic optimization
- 33. 8.6 Generative vs discriminative classifiers
- 34. Ch8 まとめ
- 35. Ch7,Ch8まとめ • 線形回帰 – 訓練データは一様分布を仮定 – 負の対数尤度の最小化問題を解く！ 残差2乗和を最小化 – ロバスト線形回帰、リッジ回帰、ベイズ線形 回帰 • ロジスティック回帰 – 識別問題を取り上げた – シグモイド関数を利用 – MLE、最急勾配法、(準)ニュートン法、多ク ラス、ベイズ
Editor's Notes
- MLaPP 1.2.2 Regression参照
- MLaPP 1.4.5Liner regression および1.4.6 Logistic regression参照
- Model Specification : モデル定式化 参照URL：http://www.slideshare.net/ryuhmd/mlapp-chapter-1
- 正規分布のパラメータxを非線形関数ファイxにして扱うこともできる。 Basic functionの拡張ということで知られているが、wが線形なので線形回帰。
- 入力変数Xの次元を増加させると複雑なモデルに対応できる
- 入力変数は多入力でも回帰できる。 左図は2変数1次式、右図は2変数2次式。W_0は1変数での切片と同じ役割。
- 上限の無い最大化問題は解きにくく、対数の最小化問題は解が得られる！->-log(x) =1/log(x)だから、0以下にならない！
- \ell (\boldsymbol{\theta}) &=& \sum ^{N}_{i=1} \log \left[ \left( \frac{1}{2\pi \sigma ^2} \right) ^{\frac{1}{2}} \exp \left( -\frac{1}{2\sigma ^2} (y_i - \bold{w}^{\rm T} \bold{x}_i ) ^2 \right) \right] \\ &=& \sum ^{N}_{i=1} \left[ \left( -\frac{1}{2\sigma ^2} (y_i - \bold{w}^{\rm T} \bold{x}_i ) ^2 \right) - \frac{1}{2} \log \left( 2\pi \sigma ^2 \right) \right] \\ &=& \frac{-1}{2\sigma ^2} RSS(\bold{w}) - \frac{N}{2} \log (2 \pi \sigma ^2)\\ RSS(\bold{w}) &\triangleq& \sum ^{N}_{i=1}(y_i - \bold{w}^{\rm T} \bold{x}_i)^2
- RSS(\bold {w}) = || \epsilon || ^2_2 = \sum ^{N}_{i=1} \epsilon ^2 _{i} \\ {\rm wehre} \hspace{0.5em}\epsilon _i = (y_i - \bold{w}^{\rm T} \bold{x}_i)
- 幾何学的解法、凸関数については割愛 NLL(\bold{w} ) = \frac{1}{2} (\bold{y – X w}) ^{T} (\bold{y – X w) = \frac{1}{2} \bold{w}^{T} (\bold{X ^{T} X})\bold{w} - \bold{w}^{T} (\bold{X^{T}y}) NLL(\bold{w} ) = \frac{1}{2} (\bold{y - X w})^{T} (\bold{y - X w}) = \frac{1}{2} \bold{w}^{T} (\bold{X}^{T} \bold{X}})\bold{w} - \bold{w}^{T} (\bold{X}^{T}\bold{y}) {\rm where} \hspace{0.5em} \bold{X}^{T} \bold{X} = \sum ^{N}_{i=1} x_i x_i^{T} = \sum ^{N}_{i=1} \begin{bmatrix}x^2_{i,1} & \cdots &x_{i,1}x_{i,D} \\& \ddots & \\ x_{i,D}x_{i,1} & \cdots &x^2_{i,D} \end{bmatrix} \bold{g}(\bold{w}) = [\bold{X}^{T}\bold{Xw}-\bold{X}^{T}\bold{y}] = \sum ^{N}_{i=1} \bold{x}_i (\bold{w}^{T} \bold{x}_i - y_i) \widehat{\bold{w}}_{\rm OLS} =(\bold{X}^{T} \bold{X})^{-1}\bold{X}^{T}\bold{y}
- 参照：http://www.yukms.com/biostat/haga/download/archive/likelihood/Likelihood.pdf
- ラプラス分布とかt分布とか
- λがモデル複雑性を左右し、スムージングの役割を果たす。 p(w) = \prod_j \mathcal{N} (w_j | 0,\tau ^2) \newcommand{\argmax}{\mathop{\rm arg~max}\limits} \argmax_{\bold w} \sum ^{N}_{i=1} \log \mathcal{N}(y_i | w_0 + \bold{w}^{T}\bold{x}_i ,\sigma ^2) + \sum ^{D}_{j=1} \log \mathcal{N}(w_j | 0,\tau ^2) J(\bold{w}) = \frac{1}{N} \sum ^{N}_{i=1}(y_i -(w_0 + \bold{w}^{T} \bold{x}_i))^2 + \lamda || \bold{w} ||^2_{2} {\rm where} \lambda \triangleq \sigma^2/\tau^2 \hspace{0.5em}{\rm and}\hspace{0.3em} ||\bold{w}||^2_2 = \sum _{j}w^2_j = \bold{w}^T \bold{w}
- 入力に集中した場合、各jで=0なので、出力の平均値は、正または負である可能性が等しい。 そこで私たちは、フォームp（μ）のμに不適切な事前分布を置いてみる、その上で、次式を取得するためにそれを統合します p(\bold{y}|\bold{X},\bold{w},\mu,\sigma^2) &=& \mathcal{N}(\bold{y}|\mu+\bold{Xw},\sigma^2 \bold{I}_N)\\ &\propto& \exp \left(-\frac{1}{2\sigma^2}(\bold{y}-\mu\bold{1}_{N})^{T}(\bold{y}-\mu\bold{1}_{N} -\bold{Xw})\right)
- 最小二乗法の目的は最大尤度を推定すること->残差二乗和を最小化することで解決