1. 遞迴關係－切割平面

2. 平面上的1條直線最多可把平面分割成2個區域。
平面上的2條直線最多可把平面分割成4個區域。
平面上的3條直線最多可把平面分割成7個區域。
平面上的10條直線最多可把平面分割成幾個區域？
平面上的4條直線最多可把平面分割成11個區域。

3. 平面上的n條直線最多可把平面分割成 an 個區域，
則an之表示式為何？
問題1
平面上的n條直線最多可把平面分割成幾個區域呢？

4. n 條直線最多可把平面分割成 多少
區域？

5. n 條直線最多可把平面分割成 多少
區域？
毎增加一條線，請觀察
1. 增加多少區域?
2. 與其他線段有幾個交點?
3. 該線段被分割成幾部份?
它們之間的關係為何?
每增一條線，最多
4. 該線段被分割成幾部份?
5. 與其他線段有幾個交點?
6. 增加多少區域?
線段個數 0 1 2 3 n
區域數 1
線段數 0
交點數 0

6. n 條直線最多可把平面分割成 多少
區域？
毎增加一條線，請觀察
1. 增加多少區域?
2. 與其他線段有幾個交點?
3. 該線段被分割成幾部份?
它們之間的關係為何?
每增一條線，最多
4. 該線段被分割成幾部份?
5. 與其他線段有幾個交點?
6. 增加多少區域?
線段個數 0 1 2 3
區域數 1
線段數 0
交點數 0

7. n 條直線最多可把平面分割成 多少
區域？
毎增加一條線，請觀察
1. 增加多少區域?
2. 與其他線段有幾個交點?
3. 該線段被分割成幾部份?
它們之間的關係為何?
每增一條線，最多
4. 該線段被分割成幾部份?
5. 與其他線段有幾個交點?
6. 增加多少區域?
線段個數 1 1 2 3 n
區域數 1
線段數 0
交點數 0

8. n 條直線最多可把平面分割成 多少
區域？
毎增加一條線，請觀察
1. 增加多少區域?
2. 與其他線段有幾個交點?
3. 該線段被分割成幾部份?
它們之間的關係為何?
每增一條線，最多
4. 該線段被分割成幾部份?
5. 與其他線段有幾個交點?
6. 增加多少區域?
線段個數 1 1 2 3 n
區域數 1
線段數 0
交點數 0

9. n 條直線最多可把平面分割成 多少
區域？
毎增加一條線，請觀察
1. 增加多少區域?
2. 與其他線段有幾個交點?
3. 該線段被分割成幾部份?
它們之間的關係為何?
每增一條線，最多
4. 該線段被分割成幾部份?
5. 與其他線段有幾個交點?
6. 增加多少區域?
線段個數 0 1 2 3 n
區域數 1
線段數 0
交點數 0

10. n 條直線最多可把平面分割成 多少
區域？
毎增加一條線，請觀察
1. 增加多少區域?
2. 與其他線段有幾個交點?
3. 該線段被分割成幾部份?
它們之間的關係為何?
每增一條線，最多
4. 該線段被分割成幾部份?
5. 與其他線段有幾個交點?
6. 增加多少區域?
線段個數 0 1 2 3 n
區域數 1
線段數 0
交點數 0

11. 平面上的n條直線最多可把平面分割成 an 個區域，
則an之表示式為何？
問題1
第 n 條直線
最多可以與前面 n－1 條直線相交於的 n－1 個交點。
使區域數增加 n 個，因此
平面上的 n－1 條直線最多可把平面分割成 an－1 個區域，
若直線兩兩相交，且三條直線沒有共點，則
遞迴關係式an ＝ an－1＋ n 其中a1＝2
n條直線 1 2 3 4 5 6
最多的區域數an 2 4 7 11 16 22
列表計算，仔細觀察、歸納：
最多的區域數an a1 a1＋2 a2＋3 a3＋4 a4＋5 a5＋6

12. 某些與自然數有關的問題某些與自然數有關的問題某些與自然數有關的問題某些與自然數有關的問題，，，，往往隱含固定的規律往往隱含固定的規律往往隱含固定的規律往往隱含固定的規律，，，，
處理這一類的問題通常分成三個步驟處理這一類的問題通常分成三個步驟處理這一類的問題通常分成三個步驟處理這一類的問題通常分成三個步驟：：：：
1. 依據題設條件構造一個數列依據題設條件構造一個數列依據題設條件構造一個數列依據題設條件構造一個數列〈〈〈〈 an 〉〉〉〉
2. 建立相鄰項間的遞迴關係建立相鄰項間的遞迴關係建立相鄰項間的遞迴關係建立相鄰項間的遞迴關係(亦稱為遞迴方程式亦稱為遞迴方程式亦稱為遞迴方程式亦稱為遞迴方程式)
3. 解遞迴方程式解遞迴方程式解遞迴方程式解遞迴方程式，，，，求出一般項求出一般項求出一般項求出一般項an (用用用用n表示表示表示表示)
平面上的n條直線最多可把平面分割成 an 個區域，
則an之表示式為何？
問題1
遞迴關係式an ＝ an－1＋ n 其中a1＝2
平面上的平面上的平面上的平面上的10條直線最多可把平面分割成幾個區域條直線最多可把平面分割成幾個區域條直線最多可把平面分割成幾個區域條直線最多可把平面分割成幾個區域？？？？
a10 ＝＝＝＝ a9＋＋＋＋10
＝＝＝＝ a8＋＋＋＋ 9＋＋＋＋10
＝＝＝＝ a7＋＋＋＋ 8＋＋＋＋ 9＋＋＋＋10
＝＝＝＝ a6＋＋＋＋ 7＋＋＋＋ 8＋＋＋＋ 9＋＋＋＋10
＝＝＝＝ a5＋＋＋＋ 6＋＋＋＋ 7＋＋＋＋ 8＋＋＋＋ 9＋＋＋＋10
＝＝＝＝ a4＋＋＋＋ 5＋＋＋＋ 6＋＋＋＋ 7＋＋＋＋ 8＋＋＋＋ 9＋＋＋＋10
＝＝＝＝ a3＋＋＋＋ 4＋＋＋＋ 5＋＋＋＋ 6＋＋＋＋ 7＋＋＋＋ 8＋＋＋＋ 9＋＋＋＋10
＝＝＝＝ a2＋＋＋＋ 3＋＋＋＋ 4＋＋＋＋ 5＋＋＋＋ 6＋＋＋＋ 7＋＋＋＋ 8＋＋＋＋ 9＋＋＋＋10
＝＝＝＝ 2＋＋＋＋2＋＋＋＋3＋＋＋＋ 4＋＋＋＋ 5＋＋＋＋ 6＋＋＋＋ 7＋＋＋＋8＋＋＋＋ 9＋＋＋＋10 ＝＝＝＝56
一般項一般項一般項一般項an＝＝＝＝(n2＋＋＋＋n＋＋＋＋2)/2
一般項一般項一般項一般項a10＝＝＝＝(102＋＋＋＋10＋＋＋＋2)/2

13. 切披薩