Microsoft power point 遞迴關係-雪花曲線 [相容模式]
- 2. 次
數
段
數
每段
長度
全長
0 1 1 1
1 4 (1/3) 4 1 × (1/3) 1
2 42 (1/3) 2
4 2 × (1/3) 2
3 43 (1/3) 3
4 3 × (1/3) 3
4 44 (1/3) 4
4 4 × (1/3) 4
5 45 (1/3) 5
4 5 × (1/3) 5
n 4n (1/3) n
4 n × (1/3) n
von Koch Curve
第 0 迴
- 3. 次
數
段
數
每段
長度
全長
0 1 1 1
1 4 (1/3) 4 1 × (1/3) 1
2 42 (1/3) 2
4 2 × (1/3) 2
3 43 (1/3) 3
4 3 × (1/3) 3
4 44 (1/3) 4
4 4 × (1/3) 4
5 45 (1/3) 5
4 5 × (1/3) 5
n 4n (1/3) n
4 n × (1/3) n
von Koch Curve
第 1 迴
- 4. 次
數
段
數
每段
長度
全長
0 1 1 1
1 4 (1/3) 4 1 × (1/3) 1
2 42 (1/3) 2
4 2 × (1/3) 2
3 43 (1/3) 3
4 3 × (1/3) 3
4 44 (1/3) 4
4 4 × (1/3) 4
5 45 (1/3) 5
4 5 × (1/3) 5
n 4n (1/3) n
4 n × (1/3) n
von Koch Curve
第 2 迴
- 5. 次
數
段
數
每段
長度
全長
0 1 1 1
1 4 (1/3) 4 1 × (1/3) 1
2 42 (1/3) 2
4 2 × (1/3) 2
3 43 (1/3) 3
4 3 × (1/3) 3
4 44 (1/3) 4
4 4 × (1/3) 4
5 45 (1/3) 5
4 5 × (1/3) 5
n 4n (1/3) n
4 n × (1/3) n
von Koch Curve
第 3 迴
- 6. 次
數
段
數
每段
長度
全長
0 1 1 1
1 4 (1/3) 4 1 × (1/3) 1
2 42 (1/3) 2
4 2 × (1/3) 2
3 43 (1/3) 3
4 3 × (1/3) 3
4 44 (1/3) 4
4 4 × (1/3) 4
5 45 (1/3) 5
4 5 × (1/3) 5
n 4n (1/3) n
4 n × (1/3) n
von Koch Curve
第 4 迴
- 7. 次
數
段
數
每段
長度
全長
0 1 1 1
1 4 (1/3) 4 1 × (1/3) 1
2 42 (1/3) 2
4 2 × (1/3) 2
3 43 (1/3) 3
4 3 × (1/3) 3
4 44 (1/3) 4
4 4 × (1/3) 4
5 45 (1/3) 5
4 5 × (1/3) 5
n 4n (1/3) n
4 n × (1/3) n
von Koch Curve
第 5 迴
- 8. Snow Flake
次
數
段
數
增加
面數
每面
面積
增加
面積
0 3 1 1 ∆ ∆
1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ 3 ×××× 40 ×××× (1/9) 1 ∆
2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ 3 ×××× 41 ×××× (1/9) 2 ∆
3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ 3 ×××× 42 ×××× (1/9) 3 ∆
4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ 3 ×××× 43 ×××× (1/9) 4 ∆
5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ 3 ×××× 44 ×××× (1/9) 5 ∆
n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-
1 (1/9) n ∆ 3 ×××× 4(n-1) ∆ ×××× (1/9) n ∆
第 0 迴
- 9. Snow Flake
次
數
段
數
增加
面數
每面
面積
增加
面積
0 3 1 1 ∆ ∆
1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ 3 ×××× 40 ×××× (1/9) 1 ∆
2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ 3 ×××× 41 ×××× (1/9) 2 ∆
3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ 3 ×××× 42 ×××× (1/9) 3 ∆
4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ 3 ×××× 43 ×××× (1/9) 4 ∆
5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ 3 ×××× 44 ×××× (1/9) 5 ∆
n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ 3 ×××× 4(n-1) ∆ ×××× (1/9) n ∆
第 1 迴
- 10. Snow Flake
次
數
段
數
增加
面數
每面
面積
增加
面積
0 3 1 1 ∆ ∆
1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ 3 ×××× 40 ×××× (1/9) 1 ∆
2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ 3 ×××× 41 ×××× (1/9) 2 ∆
3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ 3 ×××× 42 ×××× (1/9) 3 ∆
4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ 3 ×××× 43 ×××× (1/9) 4 ∆
5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ 3 ×××× 44 ×××× (1/9) 5 ∆
n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ 3 ×××× 4(n-1) ∆ ×××× (1/9) n ∆
第 2 迴
- 11. Snow Flake
次
數
段
數
增加
面數
每面
面積
增加
面積
0 3 1 1 ∆ ∆
1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ 3 ×××× 40 ×××× (1/9) 1 ∆
2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ 3 ×××× 41 ×××× (1/9) 2 ∆
3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ 3 ×××× 42 ×××× (1/9) 3 ∆
4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ 3 ×××× 43 ×××× (1/9) 4 ∆
5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ 3 ×××× 44 ×××× (1/9) 5 ∆
n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ 3 ×××× 4(n-1) ∆ ×××× (1/9) n ∆
第 3 迴
- 12. Snow Flake
次
數
段
數
增加
面數
每面
面積
增加
面積
0 3 1 1 ∆ ∆
1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ 3 ×××× 40 ×××× (1/9) 1 ∆
2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ 3 ×××× 41 ×××× (1/9) 2 ∆
3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ 3 ×××× 42 ×××× (1/9) 3 ∆
4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ 3 ×××× 43 ×××× (1/9) 4 ∆
5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ 3 ×××× 44 ×××× (1/9) 5 ∆
n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ 3 ×××× 4(n-1) ∆ ×××× (1/9) n ∆
第 4 迴
- 17. Snow Flake
次
數
段
數
增加
面數
每面
面積
增加
面積
0 3 1 1 ∆ ∆
1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ (1/9) 1 ∆ ×××× 3 ×××× 40 ∆
2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ (1/9) 2 ∆ ×××× 3 ×××× 41 ∆
3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ (1/9) 3 ∆ ×××× 3 ×××× 42 ∆
4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ (1/9) 4 ∆ ×××× 3 ×××× 43 ∆
5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ (1/9) 5 ∆ ×××× 3 ×××× 44 ∆
n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ (1/9) n ∆ ×××× 3 ×××× 4(n-1) ∆
第 0 迴
- 18. Snow Flake
次
數
段
數
增加
面數
每面
面積
增加
面積
0 3 1 1 ∆ ∆
1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ (1/9) 1 ∆ ×××× 3 ×××× 40 ∆
2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ (1/9) 2 ∆ ×××× 3 ×××× 41 ∆
3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ (1/9) 3 ∆ ×××× 3 ×××× 42 ∆
4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ (1/9) 4 ∆ ×××× 3 ×××× 43 ∆
5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ (1/9) 5 ∆ ×××× 3 ×××× 44 ∆
n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ (1/9) n ∆ ×××× 3 ×××× 4(n-1) ∆
第 1 迴
- 19. Snow Flake
次
數
段
數
增加
面數
每面
面積
增加
面積
0 3 1 1 ∆ ∆
1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ (1/9) 1 ∆ ×××× 3 ×××× 40 ∆
2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ (1/9) 2 ∆ ×××× 3 ×××× 41 ∆
3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ (1/9) 3 ∆ ×××× 3 ×××× 42 ∆
4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ (1/9) 4 ∆ ×××× 3 ×××× 43 ∆
5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ (1/9) 5 ∆ ×××× 3 ×××× 44 ∆
n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ (1/9) n ∆ ×××× 3 ×××× 4(n-1) ∆
第 2 迴
- 20. Snow Flake
次
數
段
數
增加
面數
每面
面積
增加
面積
0 3 1 1 ∆ ∆
1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ (1/9) 1 ∆ ×××× 3 ×××× 40 ∆
2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ (1/9) 2 ∆ ×××× 3 ×××× 41 ∆
3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ (1/9) 3 ∆ ×××× 3 ×××× 42 ∆
4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ (1/9) 4 ∆ ×××× 3 ×××× 43 ∆
5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ (1/9) 5 ∆ ×××× 3 ×××× 44 ∆
n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ (1/9) n ∆ ×××× 3 ×××× 4(n-1) ∆
第 3 迴
- 21. Snow Flake
次
數
段
數
增加
面數
每面
面積
增加
面積
0 3 1 1 ∆ ∆
1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ (1/9) 1 ∆ ×××× 3 ×××× 40 ∆
2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ (1/9) 2 ∆ ×××× 3 ×××× 41 ∆
3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ (1/9) 3 ∆ ×××× 3 ×××× 42 ∆
4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ (1/9) 4 ∆ ×××× 3 ×××× 43 ∆
5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ (1/9) 5 ∆ ×××× 3 ×××× 44 ∆
n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ (1/9) n ∆ ×××× 3 ×××× 4(n-1) ∆
第 4 迴
- 22. Snow Flake
次
數
段
數
增加
面數
每面
面積
增加
面積
0 3 1 1 ∆ ∆
1 3 ×××× 4 3 (1/9) ∆ (1/9) 1 ∆ ×××× 3 ×××× 40 ∆
2 3 ×××× 42 3 ×××× 4 (1/9) 2 ∆ (1/9) 2 ∆ ×××× 3 ×××× 41 ∆
3 3 ×××× 43 3 ×××× 42 (1/9) 3 ∆ (1/9) 3 ∆ ×××× 3 ×××× 42 ∆
4 3 ×××× 44 3 ×××× 43 (1/9) 4 ∆ (1/9) 4 ∆ ×××× 3 ×××× 43 ∆
5 3 ×××× 45 3 ×××× 44 (1/9) 5 ∆ (1/9) 5 ∆ ×××× 3 ×××× 44 ∆
n 3 ×××× 4n 3 ×××× 4 n-1 (1/9) n ∆ (1/9) n ∆ ×××× 3 ×××× 4(n-1) ∆
第 4 迴
- 27. 問題
設第n次碎形的周長為an，則
a2 ＝4＝ 3×(4/3)
a3 ＝16/3＝ 3×(4/3)2
a4 ＝64/9＝ 3×(4/3)3
a5 ＝256/27＝ 3×(4/3)4
an之遞迴關係式
a1 ＝3
民國84年大學聯考
將邊長為1的等邊三角形之三邊分別三等分，
取中間段為一邊向外側做正三角形，
並且將中間這一段擦去，其次將剩下的每一邊再三等分，
取中間段為一邊向外做正三角形，
再將中間這段擦去。仿此程序繼續做下去，得一系列的碎形。
求(1)第6次之碎形的周長。(2)第n次碎形的周長。
a6 ＝1024/81＝ 3×(4/3)5
第n+1個碎形的周長 =
第n個碎形的周長去掉每一邊的中間段，再增加中間段的 2倍。
an = an －1−(1/3)an －1+(2/3)an －1=(4/3)an －1
an之一般式
an = 3×(4/3)n －1
a1 ＝3
