Microsoft power point 08 遞迴關係41. 三角形數之第 n 項 an 之表示式為何?
Type 0 1st 2nd 3rd 4th 5th nth
三角形數
Value 1 3 6 10 15 21 an
42. 問題
an = an-1 + (n+1)a2 =6 = 3+3
a3 =10 =6+4
a4 =15 =10+5
a5 =21 =15+6
an之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式
,其中a0 =1
三角形數之第三角形數之第三角形數之第三角形數之第 n 項項項項 an 之表示式為何之表示式為何之表示式為何之表示式為何????
Type 0 1st 2nd 3rd 4th 5th nth
三角形數
Value 1 3 6 10 15 21 an
a0 =1
a1 =3 = 1+2
43. 問題
a1 =1+2 =(1+2)×2/2
an = 1+2 +3 +4 +5 +6+0+ (1+n) = (2+n)×(1+n) /2
a2 = 1+2 +3 = (1+3)×3/2
a3 = 1+2 +3 +4 = (1+4)×4/2
a4 = 1+2 +3 +4 +5 = (1+5)×5/2
a5 = 1+2 +3 +4 +5 +6 = (1+6)×6/2
an之一般式之一般式之一般式之一般式
三角形數之第三角形數之第三角形數之第三角形數之第 n 項項項項 an 之表示式為何之表示式為何之表示式為何之表示式為何????
Type 0 1st 2nd 3rd 4th 5th nth
三角形數
Value 1 3 6 10 15 21 an
a0 =1=(1+1)×1/2
44. 三角形數之第 n 項 an 之表示式為何?
Type 1st 2nd 3rd 4th 5th 6th
三角形數
Value 1 3 6 10 15 21
問題
an之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式 an之一般式之一般式之一般式之一般式
an = an-1 + (n+1)
,其中a0 =1
an = 1+2 +3 +4 +5 +6+0+ (1+n)
= (2+n)×(1+n) /2
52. 問題
用單位長的不銹鋼條焊接如下圖系列的四面體鐵架,圖中的
小圈圈「。」表示焊接點,圖 E_1有兩層共 4 個焊接點,
圖 E_2 有三層共 10 個焊接點,圖 E_3 有四層共 20 個焊接點。
試問依此規律,推算圖 E_5有六層共多少個焊接點?
91年指考數學乙年指考數學乙年指考數學乙年指考數學乙
設設設設n層的不鏽鋼條有層的不鏽鋼條有層的不鏽鋼條有層的不鏽鋼條有En個焊接點個焊接點個焊接點個焊接點,,,,則則則則
E2 ====10==== 4++++6
En ====En----1++++(1+2+3+…+(n+1))
E3 ====20 ====10++++10
E4 ==== 35 ====20++++15
E5 ==== 56 ====35++++21 En之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式,,,,其中其中其中其中E1 ====4
E1 ====4
53. 四面體數之第 n 項 En 之表示式為何?
Type 0 1st 2nd 3rd 4th nth
四面體
數
Value
1 4 10 20 35 En
問題
En =En-1+(1+2+3+…+(n+1))
,其中E0=1
En之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式
55. Type 0 1st 2nd 3rd 4th nth
四面
體數
Value 1 4 10 20 35 En
En =En-1+(1+2+3+…+(n+1))
,其中E0=1
En之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式
Type 1st 2nd 3rd 4th 5th
三角
形數
Value 1 3 6 10 15
an之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式之遞迴關係式 an之一般式之一般式之一般式之一般式
an = an-1 + (n+1)
,其中a0 =1
an = 1+2 +3 +0+ (n + 1)
= (2+n)×(1+n) /2
三角形數三角形數三角形數三角形數an四面體數四面體數四面體數四面體數En
En =En-1+an
,其中E0=1, a0 =1
an = an-1 + (n+1)
56. 1
1 1
21 1
31 3 1
61 4 4 1
105 10 5 11
156 20 15 61 1
217 35 35 211 7 1
288 56 70 561 28 8 1
369 84 126 1261 84 36 9 1
4510 120 210 2521 210 120 45 10 1
巴斯卡三角形
三角形數三角形數三角形數三角形數
四面體數四面體數四面體數四面體數
1
3
6
10
15
21
28
36
45
1
4
10
20
35
56
84
120
57. 遞迴關係式 an= r an-1+f (n)
事實上,
若我們構造出的遞迴關係式形式如下
則我們可以利用Σ(求級數和)的方法,
求出一般式 an
61. α= 1: an = an – 1 + f(n)
degf(n) = 0 → 等差數列
degf(n) = 1 → 與等差級數有關,如三角數
degf(n) = 2 → 例如四面體數(需用到Σk2)
α≠1: an = αan – 1 + f(n)
f(n) = 0 → 等比數列
degf(n) = 0 → 與等比級數有關,如河內塔,
degf(n) = 1, 2 → 較難計算
an=αan-1+f (n) 形式
62. 1. 假設此式可改成an – kan – 1 = t (an – 1 – kan – 2 )
則(an – kan – 1) = t (an – 1 – kan – 2 )
則bn = an – kan – 1為一公比 t 的等比數列
此時t + k = –β, t k = γ
2. 使用生成函數或特徵方程式的方式解一般式
an=βan-1+γan-2形式