Downloaded 96 times
![Chương I. Các y u t cơ s c a ñ h a
reg.bh:=0;
reg.cx:=Col;
reg.dx:=Row;
Intr($10,reg);
End;
• N u mu n truy xu t tr c ti p vào vùng ñ m màn hình: Gi s m t ñi m (x,y)
ñư c v trên màn hình v i ñ phân gi i 320x200x256 (mode 13h), ñi m ñó s ñư c
ñ nh v trong vùng ñ m b t ñ u t ñ a ch segment A000h và ñ a ch offset ñư c tính
theo công th c: Offset = y*320 + x.
Ta có th vi t th t c như sau:
Procedure PutPixel(x,y:Word; Color:Byte);
Var Offset:Word;
Begin
Offset:=(y shl 8) + (y shl 6) + x;
Mem[$A000:Offset]:=Color;
End;
1.3.2. Các bi u di n t a ñ
H u h t các chương trình ñ h a ñ u dùng h t a ñ Decartes (Hình 1.1).
Ta bi n ñ i:
O MaxX
Y Y
O X X
MaxY
T a ñ th gi i th c T a ñ thi t b màn hình.
Hình 1.1
1.3.3. ðo n th ng
Trong các h th ng ñ h a, các ño n th ng ñư c bi u th b i vi c “tô” ño n th ng
b t ñ u t ñi m ñ u mút này kéo dài cho ñ n khi g p ñi m ñ u mút kia.
1.4. CÁC THU T TOÁN V ðO N TH NG
7](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-12-2048.jpg)
![Chương I. Các y u t cơ s c a ñ h a
(xi + 1,yi) ho c (xi +1,yi +1) (Xem hình 1.2)
Xét kho ng cách gi a 2 ñi m ch n v i ñi m n m trên ñư ng th c. N u kho ng
cách nào bé hơn thì ta l y ñi m ñó.
ð t:
d1 = y - yi = m.(xi +1) + b - yi
d2 = (yi +1) - y = yi + 1 - m.(xi + 1) - b
Suy ra:
d1 - d2 = 2m.(xi + 1) - 2yi + 2b - 1
∆y
= 2. .(xi + 1) - 2yi + 2b - 1
∆x
⇔ ∆x(d1 - d2) = 2∆y.xi - 2∆x.yi + 2∆y + ∆x.(2b - 1)
ð t pi = ∆x(d1 - d2) và C = 2∆y + ∆x.(2b - 1)
thì pi = 2∆y.xi - 2∆x.yi + C (4)
pi+1 = 2∆y.xi+1 - 2∆x.yi+1 + C
Suy ra:
pi+1 - pi = 2∆y(xi+1 - xi) - 2∆x(yi - yi+1)
= 2∆y - 2∆x(yi+1 - yi) (5)
( vì xi+1 - xi = 1 )
* Nh n xét:
. N u pi < 0: Ch n yi+1 = yi T (5) ⇒ pi+1 = pi + 2∆y. (d1<d2)
. N u pi ≥ 0: Ch n yi+1 = yi + 1 T (5) ⇒ pi+1 = pi + 2∆y - 2∆x. (d1>d2)
V i ñi m mút ñ u tiên, theo (4) ta có:
p1 = 2∆y.x1 - 2∆x.y1 + 2∆y + ∆x[2.(y1 - m.x1) - 1] = 2∆y - ∆x
T ñó, ta có th tóm t t thu t toán v ñư ng th ng theo Bresenham cho trư ng h p h
s góc 0<m<1 như sau:
• Bư c 1: Nh p các ñi m ñ u mút. ði m ñ u mút bên trái ch a t a ñ (x1,y1), ñi m
ñ u mút bên ph i ch a t a ñ (x2,y2).
• Bư c 2: ði m ñư c ch n ñ v ñ u tiên là (x1,y1).
• Bư c 3: Tính ∆x = |x2 - x1| , ∆y = |y2 - y1| và P1 = 2∆y - ∆x
N u pi < 0 thì ñi m k ti p là (xi + 1,yi)
Ngư c l i: ñi m k ti p là (xi + 1,yi + 1)
10](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-15-2048.jpg)
![Chương I. Các y u t cơ s c a ñ h a
M t khác:
1
pi = F(xi + 1,yi - )
2
1
pi+1 = F(xi+1 + 1,yi+1 - )
2
nên
1 1
pi+1 - pi = F(xi+1 + 1,yi+1 - ) - F(xi + 1,yi - )
2 2
1 2 1
= [(xi+1+1)2 + (yi+1 - ) - R2] - [(xi+1)2 + (yi - )2 - R2]
2 2
1 2 1
= [(xi+2)2 + (yi+1 - ) - R2] - [(xi+1)2 + (yi - )2 - R2]
2 2
= 2xi + 3 + (yi+12 - yi2) - (yi+1 - yi)
Suy ra:
pi+1 = pi + 2xi + 3 + (yi+12 - yi2) - (yi+1 - yi) (*)
*Nh n xét:
. N u pi < 0: Ch n ñi m S : yi+1 = yi T (*) ⇒ pi+1 = pi + 2xi + 3
. N u pi ≥ 0: Ch n ñi m P: yi+1 = yi - 1 T (*) ⇒ pi+1 = pi + 2(xi - yi) + 5
V i ñi m ñ u tiên (0,R), ta có:
1 1 1 5
p1 = F(x1 + 1,y1 - ) = F(1,R - ) = 1 + (R - )2 - R2 = - R
2 2 2 4
1.6. THU T TOÁN V ELLIPSE
ð ñơn gi n, ta ch n Ellipse có tâm g ct a
ñ . Phương trình c a nó có d ng:
x2 y2
+ 2 =1
a2 b
b2 2
Ta có th vi t l i: y2 = - 2
.x + b2 (*)
a
*Ý tư ng: Gi ng như thu t toán v ñư ng tròn. Hình
1.7
Ch có s khác bi t ñây là ta ph i v 2 nhánh: M t nhánh t trên xu ng và m t
nhánh t dư i lên và 2 nhánh này s g p nhau t i ñi m mà ñó h s góc c a ti p
tuy n v i Ellipse = -1 (Hình 1.7).
Phương trình ti p tuy n v i Ellipse t i ñi m (x0,y0) ∈ (E) :
16](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-21-2048.jpg)
![Chương I. Các y u t cơ s c a ñ h a
x y
x0 . 2
+ y0. 2 = 1
a b
x 0 .b 2
Suy ra, h s góc c a ti p tuy n t i ñi m ñó là: - .
y0 a 2
1.6.1. Thu t toán Bresenham
ñây, ta ch xét nhánh v t trên xu ng.
Gi s ñi m (xi,yi) ñã ñư c v . ði m ti p theo c n ch n s là (xi+1,yi) ho c
(xi+1,yi-1)
b2
Thay (xi +1) vào (*): y2 = - 2
.(xi +1)2 + b2
a
ð t:
b2
d1= yi2 - y2 = yi2 + 2
.(xi +1)2 -b2
a
b2
d2= y2 - (yi -1)2 = - 2
.(xi +1)2 + b2 - (yi -1)2
a
b2
⇒ pi = d1 - d2 = 2.[ 2 .(xi +1)2 - b2] + 2.(yi2 + yi) -1
a
b2
pi+1 = 2.[ 2
.(xi+1 +1)2 - b2] + 2.(yi+12 + yi+1) -1
a
Suy ra:
b2
pi+1 - pi = 2. 2
.[(xi+1 +1)2 - (xi +1)2] + 2.( yi+12 - yi2 + yi+1 - yi) (**)
a
*Nh n xét:
• pi < 0: Ch n yi+1 = yi
b2
(**) ⇒ pi+1 = pi + 2. .(2x + 3)
a2
• pi ≥ 0: Ch n yi+1 = yi -1
b2
(**) ⇒ pi+1 = pi + 2. .(2x + 3) - 4yi
a2
V i ñi m ñ u tiên (0,b), ta có:
b2
p1 = 2 - 2b + 1
a2
T ñó, ta có th t c v Ellipse như sau:
17](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-22-2048.jpg)
![Chương I. Các y u t cơ s c a ñ h a
End;
1.7. PHƯƠNG PHÁP V ð TH HÀM S
1.7.1. Bài toán: V ñ th c a hàm s y = f(x) trên ño n [Min,Max].
*Ý tư ng: Cho x ch y t ñ u ñ n cu i ñ l y các t a ñ (x,f(x)) sau ñó làm tròn
thành s nguyên r i n i các ñi m ñó l i v i nhau.
1.7.2. Gi i thu t:
• Bư c 1: Xác ñ nh ño n c n v [Min,Max].
• Bư c 2: - ð t g c t a ñ lên màn hình (x0,y0).
- Chia t l v trên màn hình theo h s k.
- Ch n bư c tăng dx c a m i ñi m trên ño n c n v .
• Bư c 3: Ch n ñi m ñ u c n v : x = Min, tính f(x)
ð i qua t a ñ màn hình và làm tròn:
x1:=x0 + Round(x.k);
y1:=y0 - Round(y.k);
Di chuy n ñ n (x1,y1): MOVETO(x1,y1);
• Bư c 4:
Tăng x lên v i s gia dx: x:=x + dx;
ð i qua t a ñ màn hình và làm tròn:
x2:=x0 + Round(x.k);
y2:=y0 - Round(y.k);
V ñ n (x2,y2): LINETO(x2,y2);
• Bư c 5: L p l i bư c 4 cho ñ n khi x > Max thì d ng.
Ví d : V ñ th hàm s f(x) = Sin(x)
Uses crt,Graph;
Var dau,cuoi:real;
Gd,Gm:Integer;
Function F(x:real):real;
Begin
F:=Sin(x);
End;
Procedure VeHinhSin(ChukyDau,ChuKyCuoi:real);
21](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-26-2048.jpg)
![Chương II. Tô màu
• N u c 2 ñ u kia cùng m t phía c a ∆P thì ta tính ∆P c t c 2 c nh.
• Ngư c l i : ∆P c t 1 c nh.
+ Ngư c l i:
• N u x>Max(xi,xi+1) ho c x<Min(xi,xi+1) thì ∆P không c t Ci
• Ngư c l i:
-N u y<= Min(yi, yi+1) thì ∆P c t Ci
-Ngư c l i :
Xét t a ñ giao ñi m (x0, y0) c a ∆P v i Ci
N u y >= y0 thì ∆P không c t Ci. Ngư c l i ∆P c t Ci.
Thu t toán này có th ñư c cài ñ t b ng ño n chương trình như sau:
Type ToaDo=record
x,y:integer;
End;
Mang=array[0..30] of ToaDo;
Function SOGIAODIEM(a:Mang; n:Byte):Integer;
var dem,i,j,s:Integer;
Begin
dem:=0;
for i:=1 to n do { Tim so giao diem }
begin
if i=n then j:=1 else j:=i+1;
if i=1 then s:=n else s:=i-1;
if x=a[i].x then
begin
if y<a[i].y then
if (x<=Min(a[s].x ,a[j].x))OR
(x>=Max(a[s].x,a[j].x)) then dem:=dem+2
else dem:=dem+1;
end
else
if (x>Min(a[i].x,a[j].x)) and
(x<Max(a[j].x,a[i].x)) then
if y<=Min(a[i].y,a[j].y) then dem:=dem+1
else if y <= (x-a[j].x)*(a[i].y-a[j].y)/
(a[i].x-a[j].x)+a[j].y then dem:=dem+1;
end;
SOGIAODIEM:=dem;
End;
29](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-33-2048.jpg)
![Chương II. Tô màu
2.2.3. Thu t toán tô màu theo dòng quét (Scanline)
ð t x0 = Min(xi), i∈ [1,n].
y
Bư c 1: K Dy//0y ñi qua x0 (hình 2.5).
Dy
Bư c 2: Xác ñ nh các giao ñi m Mi-
(x,y) c a Dy v i các c nh Ci.
N u có c nh Ci = PiPi+1 song song và
trùng v i Dy thì xem như Dy c t Ci t i
2 ñi m Pi và Pi+1.
Bư c 3: S p x p l i các ñi m Mi theo x0 xi
th t tăng d n ñ i v i yi (ñi m ñ u x
Hình 2.5
tiên có th t là 1).
Bư c 4: Nh ng ñi m n m trên Dy gi a giao ñi m l và giao ñi m ch n liên ti p là
nh ng ñi m n m trong ña giác và nh ng ñi m này s ñư c tô.
Bư c 5: Tăng x0 lên m t Pixel. N u x0 ≤ Max(xi) thì quay l i bư c 1.
2.2.4. Thu t toán tô màu theo v t d u loang
L y P(x,y) ∈ S, tô màu P. X
Xét các ñi m lân c n c a P (Hình 2.6). X O X
O
N u các ñi m lân c n ñó v n còn thu c S và chưa X
ñư c tô màu thì tô màu các ñi m lân c n ñó...
Thu t toán trên có th ñư c minh h a b ng th t c
Hình 2.6
ñ qui:
Procedure TOLOANG(x,y:Integer; Color:Word);
Begin
If (P(x,y)∈S)and(P(x,y)chưa tô) Then
Begin
PutPixel(x,y,Color);
TOLOANG(x+1,y,Color);
TOLOANG(x-1,y,Color);
30](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-34-2048.jpg)
![CHƯƠNG III
XÉN HÌNH
3.1. ð T V N ð
Cho m t mi n D ⊂ Rn và F là m t hình trong Rn (F ⊂ Rn). Ta g i F ∩ D là hình có
ñư c t F b ng cách xén vào trong D và ký hi u là ClipD(F).
Bài toán ñ t ra là xác ñ nh ClipD(F).
3.2. XÉN ðO N TH NG VÀO VÙNG HÌNH CH NH T C A R2
3.2.1. C nh c a hình ch nh t song song v i các tr c t a ñ
Lúc này:
X min ≤ x ≤ X max
D = ( x, y ) ∈ R 2 |
Y min ≤ y ≤ Y max
và F là ño n th ng n i 2 ñi m (x1,y1), (x2,y2) nên phương trình c a F là:
x = x1 + ( x 2 − x1). t
t ∈ [0,1]
y = y1 + ( y 2 − y1). t
Do ñó, F có th ñư c vi t dư i d ng:
F = {(x,y) ∈ R2 | x = x1 + (x2 -x1).t; y = y1 + (y2 -y1).t; 0 ≤ t ≤ 1}
Khi ñó, giao ñi m c a F và D chính là
A
nghi m c a h b t phương trình (theo t): y P
yMax
Xmin ≤ x1+ (x2 - x1). t ≤ Xmax
Q
Ymin ≤ y1+ (y2 - y1). t ≤ Ymax yMin
0≤ t ≤1
B
G i N là t p nghi m c a h phương trình xMin xMax X
trên.
Hình 3.1
N u N = ∅ thì ClipD(F) = ∅
N u N ≠ ∅ thì N = [t1, t2] (t1 ≤ t2)
G i P, Q là 2 giao ñi m xác ñ nh b i:](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-36-2048.jpg)
![Chương III. Xén hình
♦ N u Aright = 1: thay A b i ñi m n m trên ño n AB c t c nh ph i (n i dài) c a
hình ch nh t.
♦ N u ABelow = 1: thay A b i ñi m n m trên ño n AB và c t c nh dư i (n i
dài) c a hình ch nh t.
♦ N u AAbove = 1: thay A b i ñi m n m trên ño n AB và c t c nh trên (n i
dài) c a hình ch nh t.
Chú ý: Quá trình này ñư c l p l i: Sau m i l n l p, ta ph i tính l i mã c a A.
N u c n, ph i ñ i vai trò c a A và B ñ ñ m b o A luôn luôn n m bên ngoài hình ch
nh t. Quá trình s d ng khi x y ra m t trong 2 trư ng h p: i/ ho c ii/
3.2.1.2. Thu t toán chia nh phân
• Ý tư ng c a thu t toán này tương t như thu t toán tìm nghi m b ng phương pháp
chia nh phân.
• M nh ñ : Cho M: trung ñi m c a ño n AB, Mã(A) ≠ 0000, Mã(B) ≠ 0000, Mã(M)
≠ 0000 thì ta có:
[Mã(A) AND Mã(M)] ≠ 0000
ho c [Mã(M) AND Mã(B)] ≠ 0000.
Ý nghĩa hình h c c a m nh ñ : N u c ba ñi m A, B, M ñ u ngoài hình ch
nh t thì có ít nh t m t ño n hoàn toàn n m ngoài hình ch nh t.
• Ta phát th o thu t toán như sau:
i/ N u Mã(A) = 0000 và Mã(B) = 0000 thì ClipD(F) = AB
ii/ N u Mã(A) AND Mã(B) ≠ 0000 thì ClipD(F) = ∅
iii/ N u Mã(A) = 0000 và Mã(B) ≠ 0000 thì:
P:=A; Q:=B;
Trong khi |xP -xQ| + |yP - yQ| ≥ 2 thì:
♦ L y trung ñi m M c a PQ;
♦ N u Mã(M) ≠ 0000 thì Q:= M.
34](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-38-2048.jpg)
![Chương III. Xén hình
Ngư c l i: P:= M.
⇒ ClipD(F) = AP
iv/ N u Mã(A) ≠ 0000 và Mã(B) = 0000 thì: ð i vai trò c a A, B và áp d ng ii/
v/ N u Mã(A) ≠ 0000 ≠ Mã(B) và [Mã(A) AND Mã(B)]= 0000 thì:
P:=A; Q:=B;
L y M: trung ñi m PQ;
Trong khi Mã(M) ≠ 0000 và |xP - xQ| + |yP - yQ| ≥ 2 thì:
♦ N u Mã(M) AND Mã(Q) ≠ 0000 thì Q:=M. Ngư c l i P:=M.
♦ L y M: trung ñi m PQ.
N u Mã(M) ≠ 0000 thì ClipD(F) = ∅ . Ngư c l i, áp d ng ii/ ta có:
ClipD(MA) = MA1
ClipD(MB) = MB1
Suy ra: ClipD(F) = A1B1
3.2.1.3. Thu t toán Liang - Barsky
ð t ∆x = x2 - x1 ∆y = y2 - y1
p1 = - ∆x q1 = x1 - xMin
p2 = ∆x q2 = xMax - x1
p3 = - ∆y q3 = y1 - yMin
p4 = ∆y q4 = yMax - y1
thì h b t phương trình giao ñi m c a F và D có th vi t l i:
Pk .t ≤ Q k , k = 1..4
0 ≤ t ≤1
Xét các trư ng h p sau:
i/ ∃k: Pk = 0 và Qk < 0: ( ðư ng th ng song song v i các biên và n m ngoài vùng
hình ch nh t )
35](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-39-2048.jpg)
![Chương V. Bi u di n các ñ i tư ng ba chi u
Sodinh: 0..MaxDinh;
Dinh: array [1..MaxDinh] of ToaDo3D;
Socanh : 0..Maxcanh;
Canh :array[1..Maxcanh, 1..2] of 1..MaxDinh;
end;
Khi ñó, ta dùng m t bi n ñ mô t căn nhà :
Var House : WireFrame;
v i bi n house trên, ta có th gán giá tr như Danh sách các c nh
sau:
C nh ð nh ñ u ð nh cu i
With House Do 1 1 2
Begin 2 2 3
sodinh:=10; 3 3 4
socanh:=17; 4 4 5
dinh[1].x:=0; 5 5 1
dinh[1].y:=0; 6 6 7
dinh[1].z:=0; 7 7 8
... 8 8 9
canh[1, 1]:=1; {S ñ nh th nh t c a 9 9 10
c nh s 1} 10 10 6
canh[1, 2]:=2; {S ñ nh th hai c a 11 1 6
c nh s 1} 12 2 7
... 13 3 8
end; 14 4 9
5.2. V MÔ HÌNH WIREFRAME V I CÁC 15 5 10
PHÉP CHI U 16 2 5
17 1 3
ð v m t ñ i tư ng WireFrame, ta v t ng
c nh trong danh sách các c nh c a mô hình. V n ñ là làm th nào ñ v 1 ñư ng
th ng trong không gian 3 chi u vào m t ph ng?
ð làm ñi u này, ta ph i b b t ñi 1 chi u trong mô hình bi u di n, t c là ta ph i
dùng phép chi u t 3D → 2D .
64](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-68-2048.jpg)
![Chương V. Bi u di n các ñ i tư ng ba chi u
z=Rz.sin(v)
Trong ñó: 0≤ u ≤ 2π -π/2 ≤ v ≤ π/2
• M t Hypeboloid: (hình 5.2.b)
x=u
y=v
z=u2 - v2
Trong ñó u,v ∈[-1,1]
• Hình xuy n: (hình 5.2.c)
x=(R + a.cos(v)).cos(u)
y=(R + a.cos(v)).sin(u)
z= a.sin(v)
Trong ñó: 0≤ u ≤ 2π -π/2 ≤ v ≤ π/2
• Hình tr tròn (Cylinder)
x = R.cos(u)
y = R.sin(u)
z=h
• Hình nón (Cone)
p(u,v) = (1-v).P0 + v.P1(u)
trong ñó:
P0: ñ nh nón
x = R. cos( )
u
P1(u): ñư ng tròn u,v ∈ [0,1]
y = R. sin(u)
• Ch o Parabol (Paraboloid)
x = a.v.cos(u)
y = b.v.sin(u) u∈[-π,π], v ≥ 0
z = v2
Phương pháp chính ñây cũng là v các ñư ng vi n theo u và v.
66](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-70-2048.jpg)
![Chương V. Bi u di n các ñ i tư ng ba chi u
ð v m t ñư ng vi n u t i giá tr u’ khi v ch y t VMin ñ n VMax ta làm như
sau:
• T o m t t p h p các giá tr v[i] ∈ [VMin ,VMax], xác ñ nh v trí P[i] =
(X(u’,v[i]), Y(u’,v[i]), Z(u’,v[i])).
• Chi u t ng ñi m P[i] lên m t ph ng.
• V các ñư ng g p khúc d a trên các ñi m 2D P’[i].
Sau ñây là th t c v h ñư ng cong theo u:
Procedure HoDuongCongU;
Var P: ToaDo3D;
u,v,du,dv:Real;
Begin
u:=UMin; du:=0.05; dv:=0.05;
While u<=UMax do
Begin
v:=Vmin;
P.x:=fx(u,v);
P.y:=fy(u,v);
P.z:=fz(u,v);
DiDen(P); { ði ñ n ñi m xu t phát ban ñ u }
While v<=VMax do
Begin
v:=v+dv;
P.x:=fx(u,v);
P.y:=fy(u,v);
P.z:=fz(u,v);
VeDen(P); { V ñ n ñi m m i }
End;
u:=u + du;
End;
End;
Tương t , ta có th v h ñư ng cong theo v.
67](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-71-2048.jpg)
![Chương VI. Thi t k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline
ð xây d ng ñư ng cong p(t), ta d a trên m t dãy các ñi m cho trư c r i t o ra giá
tr p(t) ng v i m i giá tr t nào ñó. Vi c thay ñ i các ñi m này s làm thay ñ i d ng
c a ñư ng cong. Phương pháp này t o ra ñư ng cong d a trên m t dãy các bư c n i
suy tuy n tính hay n i suy kho ng gi a (In-Betweening).
Ví d : V i 3 ñi m P0 , P1 , P2 ta có th xây d ng m t Parabol n i suy t 3 ñi m này
b ng cách ch n m t giá tr t ∈ [0, 1] nào ñó r i chia ño n P0P1 theo t l t, ta ñư c
ñi m P01 trên P0P1 . Tương t , ta chia ti p P1P2 cũng theo t l t, ta ñư c P11 . N i P01
và P11 , l i l y ñi m trên P01P11 chia theo t l t, ta ñư c P02.
V i cách làm này, ta s l y nh ng giá tr t khác ∈ [0, 1] thì s ñư c t p ñi m P02.
ðó chính là ñư ng cong p(t).
Ta bi u di n b ng phương trình:
P01(t) = (1-t).P0 + t.P1 (1)
P11(t) = (1-t).P1 + t.P2 (2)
P02(t) = (1-t).P01 + t.P11 (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta ñư c:
P(t) = P02(t) = (1-t)2.P0 + 2t.(1-t).P1 + t2.P2
ðây là m t ñư ng cong b c 2 theo t nên nó là m t Parabol.
T ng quát hóa ta có thu t toán Casteljau cho (L+1) ñi m:
Gi s ta có t p ñi m: P0, P1, P2, ..., PL
V i m i giá tr t cho trư c, ta t o ra ñi m Pir(t) th h th r, t th h th (r - 1)
trư c ñó, ta có:
Pir(t) = (1-t).Pir-1(t) + t.Pi+1r-1(t) (3’)
r = 0,1,...,L và i = 0,...,L-r
Th h cu i cùng P0L (t) ñư c g i là ñư ng cong Bezier c a các ñi m P0,P1 ,P2,...,PL
Các ñi m Pi , i=0,1,...,L ñư c g i là các ñi m ki m soát hay các ñi m Bezier.
ða giác t o b i các ñi m ki m soát này g i là ña giác ki m soát hay ña giác Bezier.
6.1.2. D ng Bernstein c a các ñư ng cong Bezier
ðư ng cong Bezier d a trên (L+1) ñi m ki m soát P0 ,P1 , ...,PL ñư c cho b i công
th c:
L
P(t) = ∑ Pk.BkL(t)
k=0
70](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-74-2048.jpg)
![Chương VI. Thi t k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline
• BezL là ma tr n bi u di n m ng BL(t) trong ñó m i hàng i c a ma tr n ng v i
các h s tương ng (a0 ,a1 ,...,aL) c a ña th c BiL(t) và t i v trí (i,j) trong ma tr n BezL
có giá tr BezL(i,j) = (-1)j-i.Cni.Cij
Ví d : Ma tr n Bez3 cho các ñư ng Bezier b c 3
1 0 0 0
−3 3 0 0
Bez =
3
3 −6 3 0
−1 3 −3 1
6.1.4. T o và v các ñư ng Bezier
ð t o ra m t ñư ng cong Bezier t m t dãy các ñi m ki m soát ta s áp d ng
phương pháp l y m u hàm p(t) các giá tr cách ñ u nhau c a tham s t, ví d có th
l y ti = i/N, i=0,1,...,N. Khi ñó ta s ñư c các ñi m P(ti) t công th c Bezier.
N i các ñi m này b ng các ño n th ng ta s ñư c ñư ng cong Bezier g n ñúng. ð
tính P(ti) ta có th áp d ng ma tr n c a P(t) trên trong ñó ch có thành ph n PowL(ti)
là thay ñ i, còn tích BezL.PT v i P = (P0 ,P1 , ...,PL ) là không thay ñ i.
Sau ñây là th t c minh h a vi c v ñư ng cong Bezier trong m t ph ng:
Type Mang = array[0..50] of PointType;
function tich(x,y:word):real;
var s:real;i:word;
begin
if y<=1 then tich:=1
else begin
s:=1;
for i:=x to y do s:=s*i;
tich:=s;
end;
end;
function CLK(l,k:word):real;
begin
CLk:=tich(k+1,l)/tich(1,l-k);
end;
function Xmu(x:real;mu:word):real;
72](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-76-2048.jpg)
![Chương VI. Thi t k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline
var i:word;s:real;
begin
if mu=0 then s:=1
else begin
s:=1;
for i:=1 to mu do s:=s*x;
end;
Xmu:=s;
end;
function BKL(t:real;l,k:word):real;
begin
BKL:=CLK(l,k)*xmu(1-t,l-k)*xmu(t,k);
end;
procedure Pt(t:real;L:word;A:Mang;var diem:PointType);
var k:word;s,x,y:real;
begin
x:=0; y:=0;
for k:=0 to L do
begin
s:=BKL(t,l,k);
x:=x+A[k].x*s;
y:=y+A[k].y*s;
end;
diem.x:=round(x);
diem.y:=round(y);
end;
procedure Vebezier(A:Mang;L:integer);
var i,SoDiem:word; Diem:PointType;
dx,x:real;
begin
sodiem:=100;
dx:=1/sodiem;
73](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-77-2048.jpg)
![Chương VI. Thi t k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline
L
P’(t) = P(t).N + tr = ∑ Pk.BkL(t).N + tr
k=0
Trong ñó:
N: ma tr n bi n ñ i.
tr: vector t nh ti n.
L
Xét ñư ng cong ∑ (Pk.N + tr).BkL(t) (*)
k=0
ñư c t o ra b ng cách bi n ñ i Affine các vector Pk. Ta s ch ng minh ñư ng cong
này chính là P’(t).
L L
Khai tri n (*) ta có: ∑ Pk.N.BkL(t) + ∑ tr.BkL(t)
k=0 k=0
L L
= ∑ Pk.N.BkL(t) + tr. ∑ BkL(t) (**)
k=0 k=0
L
Nhưng theo ña th c Bernstein thì ∑ BkL(t) = (1-t+t)L = 1 nên s h ng th hai c a
k=0
(**) s là tr.
Vì v y, P’(t) n m trên ñư ng cong Bezier t o ra b i các ñi m ki m soát Pk.
iii/ Tính ch t c a bao l i: ñư ng cong Bezier P(t) không bao gi ñi ra ngoài bao l i
c a nó.
ñây, bao l i c a các ñi m ki m soát là t p ñ nh nh nh t ch a t t c các ñi m
ki m soát ñó.
Ch ng minh:
Bao l i c a các ñi m ki m soát cũng chính là t p h p các t h p l i c a các
ñi m ki m soát.
Ta bi u di n t h p tuy n tính c a các ñi m Pk:
L
P(t) = ∑ ak.Pk , ak ≥ 0
k=0
L
Do P(t) là t h p l i c a các ñi m ki m soát ∀t ∈ [0,1] và ∑ BkL(t) = 1
k=0
Nên ñư ng cong Bezier s n m trong bao l i c a các ñi m ki m soát.
iv/ ð chính xác tuy n tính:
ðư ng cong Bezier có th tr thành m t ñư ng th ng khi t t c các ñi m ki m
soát n m trên m t ñư ng th ng vì khi ñó bao l i c a chúng là m t ñư ng th ng
75](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-79-2048.jpg)
![Chương VI. Thi t k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline
nên ñư ng Bezier b k p vào bên trong bao l i nên nó cũng tr thành ñư ng
th ng.
v/ B t kỳ m t ñư ng th ng hay m t ph ng nào cũng luôn luôn c t ñư ng cong
Bezier ít l n hơn so v i c t ña giác ki m soát.
vi/ ð o hàm c a các ñư ng Bezier:
L−1
Ta có: (P(t))’ = L. ∑ ∆Pk.BkL-1(t) , ∆Pk = Pk+1 - Pk
k =0
Do ñó, ñ o hàm c a ñư ng cong Bezier là m t ñư ng cong Bezier khác ñư c
t o ra t các vector ki m soát ∆Pk ( Ta ch c n l y các ñi m ki m soát g c theo
t ng c p ñ t o ra các ñi m ki m soát cho (P(t))’.
6.1.6. ðánh giá các ñư ng cong Bezier
B ng các ñi m ki m soát, ta có th t o ra các d ng ñư ng cong khác nhau b ng
cách hi u ch nh các ñi m ki m soát cho t i khi t o ra ñư c m t d ng ñư ng cong
mong mu n. Công vi c này l p ñi l p l i cho ñ n khi toàn b ñư ng cong th a yêu
c u.
Tuy nhiên, khi ta thay ñ i b t kỳ m t ñi m ki m soát nào thì toàn b ñư ng cong b
thay ñ i theo. Nhưng trong th c t , ta thư ng mong mu n ch thay ñ i m t ít v d ng
ñư ng cong g n khu v c ñang hi u ch nh các ñi m ki m soát.
Tính c c b y u c a ñư ng cong Bezier ñư c bi u hi n qua các ña th c BkL(t) ñ u
khác 0 trên toàn kho ng [0,1]. M t khác ñư ng cong p(t) l i là m t t h p tuy n tính
c a các ñi m ki m soát ñư c gia tr ng b i các hàm BkL(t) nên ta k t lu n r ng m i
ñi m ki m soát có nh hư ng ñ n ñư ng cong t t c các giá tr t ∈ [0,1]. Do ñó, hi u
ch nh b t kỳ m t ñi m ki m soát nào cũng s nh hư ng ñ n d ng c a toàn th ñư ng
cong.
ð gi i quy t bài toán này, ta s d ng m t t p h p các hàm tr n khác nhau. Các
hàm tr n này có giá mang (support: kho ng mà trên ñó hàm l y giá tr khác 0) ch là
m t ph n c a kho ng [0,1]. Ngoài giá mang này chúng có giá tr là 0.
Thư ng ta ch n các hàm tr n là các ña th c trên các giá mang ñó, các giá mang này
k nhau. Như v y, các hàm tr n chính là m t t p các ña th c ñư c ñ nh nghĩa trên
nh ng kho ng k nhau ñư c n i l i v i nhau ñ t o nên m t ñư ng cong liên t c. Các
76](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-80-2048.jpg)
![Chương VI. Thi t k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline
ñư ng cong k t qu ñư c g i là ña th c riêng ph n hay t ng ph n (piecewise
polynomial).
Ví d : ta ñ nh nghĩa hàm g(t) g m 3 ña th c a(t), b(t), c(t) như sau:
1 2
a(t) = 2 t coï mang[0,1]
giaï
3 3
g(t) = b(t) = - (t - )2 coï mang[1,2]
giaï
4 2
1
c(t) = (3 - t)2
coï mang[2,3]
giaï
2
Giá mang c a g(t) là [0,3]
Các giá tr c a t ng v i các ch n i c a các ño n g i là nút (knut), ch ng h n
t=0,1,2,3 là b n nút c a g(t). Hơn n a, t i các ch n i c a ñư ng cong g(t) là trơn,
không b g p khúc. Do ñó, ta g i ñó là hàm Spline.
V y, m t hàm Spline c p m là ña th c riêng ph n c p m có ñ o hàm c p m -1
liên t c m i nút.
D a trên tính ch t c a hàm Spline, ta có th dùng nó như các hàm tr n ñ t o ra
ñư ng cong p(t) d a trên các ñi m ki m soát P0,...,PL. Khi ñó:
L
P(t) = ∑ Pk.gk(t)
k=0
T ng quát hóa, ta xây d ng m t hàm p(t) v i L+1 ñi m ki m soát như sau:
V i m i ñi m ki m soát Pk , ta có m t hàm tr n tương ng Rk(t) và t p các nút g i
là vector nút T=(t0,t1,...,tn) v i ti ∈ R, ti ≤ ti+1 . Khi ñó:
L
P(t) = ∑ Pk.Rk(t)
k=0
6.2. ðƯ NG CONG SPLINE VÀ B-SPLINE
6.2.1. ð nh nghĩa
L
Theo trên ta có: P(t) = ∑ Pk.Rk(t) (*)
k=0
trong ñó Pk v i k=1..L là các ñi m ki m soát.
Rk(t) là các hàm tr n liên t c trong m i ño n con [ti , ti+1]và liên t c trên
m i nút. M i Rk(t) là m t ña th c riêng ph n.
Do ñó ñư ng cong p(t) là t ng c a các ña th c này, l y trên các ñi m ki m soát.
77](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-81-2048.jpg)
![Chương VI. Thi t k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline
Các hàm B-Spline c p m t o thành m t cơ s cho b t kỳ Spline nào có cùng
c p ñư c ñ nh nghĩa trên cùng các nút. Các Spline có th ñư c bi u di n như
m t t h p tuy n tính c a các B-Spline.
ii/ Hàm tr n B-Spline Nk,m(t) b t ñ u tk và k t thúc tk+m . Giá mang c a nó là
[tk,tk+m]. Giá mang c a h các hàm Nk,m(t) v i k=0,...L là kho ng [t0,tm+L].
iii/ M t ñư ng cong B-Spline ñóng d a trên L+1 ñi m ki m soát có th ñư c t o ra
b ng cách dùng phương trình ñư ng B-Spline tu n hoàn sau:
L
P(t) = ∑ Pk.N0,m((t-k) mod (L+1))
k=0
V i gi thi t các nút cách ñ u nhau trong ñ nh nghĩa c a hàm N0,m(...).
iv/ N u dùng vector chu n thì ñư ng cong B-Spline s n i suy các ñi m ki m soát
ñ u tiên và cu i cùng. Các hư ng kh i ñ u và k t thúc c a ñư ng cong ñó s
n m d c theo các c nh ñ u tiên và cu i cùng c a ña giác ki m soát.
v/ M i hàm B-Spline Nk,m(t) là không âm ∀t, và t ng các h hàm này b ng 1:
L
∑ Nk,m(t) = 1 ∀t ∈ [t0 , tm+L ]
k=0
vi/ Các ñư ng cong d a trên các B-Spline là b t bi n Affin. Do ñó, ñ bi n ñ i
m t ñư ng cong B-Spline, ch c n bi n ñ i các ñi m ki m soát, sau ñó kh i t o
l i ñư ng cong t các ñi m ki m soát ñã ñư c bi n ñ i này.
vii/ M t ñư ng cong B-Spline s n m trong bao l i c a các ñi m ki m soát
M nh hơn: b t kỳ t nào, ch có m hàm B-Spline là khác 0. Vì v y, m i t ñư ng
cong ph i n m trong bao l i c a h u h t m ñi m ki m soát kích ho t k nhau.
(Các ñi m ki m soát kích ho t là các ñi m mà t i ñó hàm B-Spline khác 0)
viii/ð chính xác tuy n tính c a ñư ng cong B-Spline: N u m ñi m ki m soát k
nhau là tuy n tính cùng nhau thì bao l i c a chúng là m t ñư ng th ng. Do ñó
ñư ng cong cũng s tr thành ñư ng th ng.
ix/ Tính ch t gi m ñ bi n thiên: S giao ñi m gi a ñư ng cong B-Spline v i b t
kỳ m t m t ph ng nào (n u có) luôn luôn nh hơn s giao ñi m (n u có) gi a
ña giác ki m soát c a nó v i m t ph ng ñó.
6.2.3. Thi t k các m t Bezier và B-Spline
79](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-83-2048.jpg)
![Chương VI. Thi t k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline
M
Vì v y: Pk(u) = ∑ Pi,k.BiM(u)
i =0
K t h p pk(u) này vào phương trình (*) ta ñư c:
M L
P(u,v) = ∑ ∑ Pi,k.BiM(u).BkL(v) (**)
i =0 k=0
Ta g i ñây là d ng tích Tensor cho băng Bezier.
Cũng gi ng như các ña giác ki m soát trong 2D, m t kh i ña di n ki m soát là m t
m ng g m có (M+1).(L+1) ñ nh.
Tóm l i, ñ t o ra m t băng ta ch c n ch ra các v trí c a các ñ nh này r i sau ñó áp
d ng phương trình (**) ñ v các ñư ng vi n hay ñ nh nghĩa d ng m t cong.
6.2.5. Dán các băng Bezier v i nhau
M c ñích là ñ t o ra các d ng m t ph c t p g m nhi u băng Bezier k t l i v i nhau
m t cách trơn tru các biên chung.
Khi n i 2 băng Bezier l i v i nhau, m i băng có m t kh i ña di n ki m soát riêng
và ñ u ñư c t o ra t phương trình (*) v i u, v bi n thiên trong kho ng [0,1]. V n ñ
là làm sao cho 2 băng có th dán vào nhau m t cách trơn tru.
• Hai băng s g p nhau t t c các ñi m d c theo biên chung n u các kh i ña di n
ki m soát c a chúng kh p nhau biên. Như v y, ta ch c n ch n các ña giác ki m soát
biên ñ cho 2 băng ñ ng nh t nhau biên. Có th th y ñư c ñi u này khi thay u=0 vào
trong phương trình (*) trên.
• M t ñi u ki n ñ n a là m i c p c nh c a kh i ña di n mà nó g p nhau biên
ph i tuy n tính cùng nhau.
6.2.6. Các băng B-Spline
Các hàm B-Spline có th ñư c s d ng trong d ng tích Tensor thay cho các ña th c
Bernstein ñ ñ t ñư c tính ki m soát cao hơn khi thi t k m t cong. ði u ñó có nghĩa
ta s thay phương trình (**) thành:
M L
P(u,v) = ∑ ∑ Pi,k.Ni,m(u).Nk,m(v)
i =0 k=0
Kh i ña di n ki m soát g m có (L+1).(M+1) ñi m ki m soát; u,v bi n thiên t 0 t i
giá tr nút l n nh t trong các vector nút tương ng c a chúng.
81](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-85-2048.jpg)
![Chương VII. Kh ñư ng và m t khu t
For k:=0 to Obj.SoMat-1 do
if Tich_vo_huong(v,Obj.Mat[K].PhapVT)>= 0 then
{M t kh ki n}
begin
setlength(Poly,Obj.Mat[K].Sodinh);{Thi t l p ñ dài c a
m ng Poly b ng s ñ nh c a ña giác}
For i:=0 to Obj.Mat[K].Sodinh -1 do
{ðưa to ñ các ñ nh c a ña giác vào Poly}
begin
P:=Obj.Mat[K].list[i];
Poly[i].X:=round(Obj.dinh[P].x*zoom)+cx;
Poly[i].Y:=-round(Obj.dinh[P].y*zoom)+cy;
end;
{Thi t l p màu cho bút tô trư c khi tô}
canvas.Brush.Color:=rgb(Obj.Mat[K].Color.R,
Obj.Mat[K].Color.G,Obj.Mat[K].Color.G);
Canvas.Polygon(poly); {Tô ña giác v i màu ñã ñư c thi t l p}
end;
setlength(poly,0);
end;
Rõ ràng, thu t toán r t ñơn gi n và ñ ph c t p tính toán không cao. Song khi s
d ng ph i luôn ñ m b o r ng ñ i tư ng có ñ t tính là “ñ c và l i”, n u ñ i tư ng
không tho mãn ñi u ki n ñó thì chúng ta ph i áp d ng m t tho t toán khác hay có
nh ng s a ñ i c n thi t ñ tránh s th hi n sai l c.
7.2.3. Gi i thu t vùng ñ m ñ sâu (Z-Buffer)
B ng cách tính giá tr ñ sâu (là giá tr Z trong h to ñ quan sát) c a m i ñi m
trong t t c các m t ña giác, t i m i ñi m trên m t ph ng chi u có th có nh c a nhi u
ñi m trên nhi u m t ña giác khác nhau, song hình v ch ñư c th hi n hình nh c a
ñi m có ñ sâu th p nh t ( t c là ñi m g n nh t). V i cách th c hi n này gi i thu t
có th kh ñư c t t c các trư ng h p mà các gi i thu t khác m c ph i.
90](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-94-2048.jpg)
![Chương VII. Kh ñư ng và m t khu t
N u g i yscan là giá tr tung ñ c a dòng quét th thì:
z(xi) = z(Pi’)+z(Pj’)*[(yscan – y(Pi’))/(y(Pj’)-y(Pi’))] (2.3.2)
{trong ñó y(P) là thành ph n to ñ y c a ñi m P}
Rõ ràng qua công th c trên ta th y, n u xi là trung ñi m c a Pi’Pj’ thì
z(xi) = z(Pi’)+z(Pj’)*1/2
Cài ñ t minh ho cho gi i thu t “vùng ñ m ñ sâu”
T nh ng phân tính trên chúng ta có th ti n hành khai báo các c u trúc d li u c n
thi t và cài ñ t cho thu t toán.
• Khai báo các c u trúc d li u c n thi t:
Sau ñây là các khai báo c n thi t ñ cho phép lưu tr m t ñ i tư ng 3D theo mô
hình các m t ña giác, cùng các khai báo c n thi t ñ ti n hành kh m t khu t
theo thu t toán z-Buffer theo ngôn ng Pascal trong môi trư ng c a trình biên
d ch Delphi
{B t ñ u ph n khai báo ph c v cho gi i thu t Z-buffer}
Type Z_BufferType=Array of Array of cardinal; {Ki u b ñ m Z,
ñây là m t m ng ñ ng 2 chi u mà m i ph n t có ki u cardinal, ñi u ñó có nghĩa là
vùng ñ m ñ sâu s cho phép ta phân bi t ñư c 4294967296 (232) m c sâu khác nhau}
NutPoly_Z=record {C u trúc c a m t ñ nh c a ña giác chi u G’ }
x,y:Integer; {To ñ c a nh trên m t ph ng chi u}
z:real; {Thành ph n ñ sâu ñi kèm (là ñ sâu c a t o nh)}
end;
Polygon_Z =array of NutPoly_Z; {ða giác chi u là m t m ng
ñ ng. Như m t ña giác 2 chi u, song m i m t ñ nh
có ch a thêm thành ph n ñ sâu c a ñ nh}
CanhCat_Z=record {C u trúc c a các c nh ña giác ñư c xây d ng
nh m ph c v cho quá trình tính giao ñi m}
y1,y2:Integer; {Tung ñ b t ñ u và k t thúc c a m t c nh
(y1<=y2)}
93](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-97-2048.jpg)
![Chương VII. Kh ñư ng và m t khu t
giác sang ño n 0..4294967294. Bi t r ng ñ sâu Zmin ng v i 0 và Zmax ng
v i 4294967294. (ñ sâu 4294967295 làm giá tr m c ñ nh cho các ñi m n n
+ Z_Buffer: là ma tr n ch a ñ sâu các ñi m nh c a các ñ i tư ng ñã th
hi n trên Canvas (xem như là m t ph ng chi u). N u ta chưa v ñ i tư ng nào
trư c ñó thì Z_Buffer ñư c kh i ñ ng là 4294967295
Canvas: T m v i v . Chúng ta s th c hi n v hình nh c a ñ i tư ng lên
Canvas.
Width,Height: Là chi u r ng và cao c a Canvas
+ Zoom: t l th hi n ñ i tư ng lên Canvas sau khi th c hi n phép chi u,
ta có th hi u nôm na là t l thu phóng.}
Var i,k,P,cx,cy:integer;
Poly:Polygon_Z;
CuongDoSang:Real;
Color:Tcolor;
Begin
cx:=Width div 2;cy:=Height div 2;
For k:=0 to Obj.SoMat-1 do {Duy t qua t t c các m t ña giác}
begin
setlength(Poly,Obj.Mat[K].Sodinh);
{Thi t l p s ph n t c a Poly b ng s ñ nh c a m t mà nó s p ch a}
For i:=0 to Obj.Mat[K].Sodinh -1 do
{Duy t qua t t c các ñ nh c a m t và thi t l p giá tr cho m i ñ nh
c a Poly}
begin
P:=Obj.Mat[K].list[i]; {ð nh th i trong ña giác K s
là ñ nh th P trong danh sách ñ nh c a Obj}
{Dùng phép chi u tr c giao ñ chi u ñi m Obj.dinh[P] xu ng m t
ph ng OXY ta ñư c t a ñ nh là (Obj.dinh[P].y,Obj.dinh[P].x),
r i sau ñó phóng theo t l là Zoom và t nh ti n theo vector (cx,cy)
nh m giúp ñưa hình nh ra vùng gi a Canvas}
Poly[i].X:=round(Obj.dinh[P].x*zoom)+cx;
95](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-99-2048.jpg)
![Chương VII. Kh ñư ng và m t khu t
Poly[i].Y:=-round(Obj.dinh[P].y*zoom)+cy;
Poly[i].Z:=((Obj.dinh[P].z-ZMin)/(ZMax-Zmin)
*4294967294); //MaxCardinal=4294967295
{Giá tr ñ sâu c a ñ nh Poly[i] là giá tr Obj.dinh[P].z song ñư c
ánh x vào ño n 0..4294967294}
end;
Color:=RGB(Obj.Mat[K].Color.R,Obj.Mat[K].Color.G,
Obj.Mat[K].Color.B);
FillPolygon3D(Poly,Color,Z_Buffer,CanVas);
end;
setlength(poly,0);
end;
Procedure FillPolygon3D(Poly:Polygon_Z;Color:TColor;
Z_Buffer:Z_BufferType;Canvas:TCanvas);
{Th t c tô màu m t ña giác theo thu t toán Z_Buffer}
var L,H,ND,NG,i,j,Y,MaxY,MinY:integer;
D:DanhSachCanhCat_Z;
G:DanhsachGiaoDiem_Z;
Z_BufferW,Z_BufferH:Integer;
{L,H:Gi i h n ch s c a m ng Poly
D:Danh sách các c nh ñư c t o ra t Poly, ch a nh ng thông tin c n thi t ñ
tính giao ñi m và ñ sâu c a giao ñi m m t cách nhanh chóng
ND: S ph n t c a m ng D
G: Ch a danh sách các giao ñi m có ñư c sau m i l n dòng quét thay ñ i
NG:s ph n t c a m ng G}
Procedure TaoDanhSachCanhCat;
{Th t c này t o ra danh sách D, là danh sách các c nh c a ña giác t thông
tin ñ u vào Poly}
Var i,d1,d2,Dem,Dy,Cuoi:integer;
begin
96](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-100-2048.jpg)
![Chương VII. Kh ñư ng và m t khu t
{Xác ñ nh s c nh c a ña giác}
If (Poly[L].x<>Poly[H].x)or
(Poly[L].y<>Poly[H].y) then
begin
ND:=H-L+1;
setlength(D,ND);
Cuoi:=H;
end
else
begin
ND:=H-L;
setlength(D,ND);
Cuoi:=H-1;
end;
Dem:=0;
{T o ra các c nh}
For i:=L to Cuoi do
begin
If i<H then j:=i+1 else j:=L;
{Xác ñ nh ñi m ñ u và ñi m cu i c a c nh, ñi m ñ u là ñi m có giá tr y nh }
If Poly[i].y<=Poly[j].y then
begin d1:=i;d2:=j end
else
begin d1:=j;d2:=i end;
D[dem].y1:=Poly[d1].y;D[dem].y2:=Poly[d2].y;
{Lưu tr tung ñ xu t phát và k t thúc}
D[dem].xGiao:=Poly[d1].x;
{Tung ñ xu t phát. Kh i ñ u thì (D[dem].y1,D[dem].xGiao) chính là to ñ
c a ñi m ñ u c a c nh}
D[dem].zGiao:=Poly[d1].z;
{ð sâu c a giao ñi m t i ñi m ñi m ñ u c a c nh}
Dy:=(Poly[d2].y-Poly[d1].y);
97](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-101-2048.jpg)
![Chương VII. Kh ñư ng và m t khu t
{ð chênh l ch tung ñ c a ñi m ñ u và ñi m cu i}
If Dy<>0 then
begin
D[dem].xStep:=(Poly[d2].x-Poly[d1].x)/Dy;
D[dem].zStep:=(Poly[d2].z-Poly[d1].z)/Dy;
{T ñ chênh l ch Dy ta suy ra gia tr ng c a x và ñ sâu z khi giá tr y tăng 1
ñơn v . N u khi dòng quét ñi qua ñi m ñ u thì to ñ giao ñi m là
(D[dem].y1,D[dem].xGiao) v i ñ sâu là D[dem].zGiao, n u sau ñó dòng quét
tăng 1 ñơn v thì rõ ràng to ñ giao ñi m s là
(D[dem].y1+1,D[dem].xGiao+D[dem].xStep) và ñ sâu s là
(D[dem].zGiao+D[dem].zStep)}
end
else
begin
D[dem].xStep:=0;
D[dem].zStep:=0;
end;
Dem:=Dem+1;
end;
end;
Procedure TaoDanhSachGiaoDiem;
{T o danh sách các giao ñi m v i ñư ng quét có tung ñ y hi n th i}
Var i:integer;
Begin
Setlength(G,ND);
NG:=0;
{Duy t qua t t c các c nh}
for i:=0 to ND-1 do
begin
If (D[i].y1<=y)and(y<=D[i].y2) then
{Có giao ñi m v i ñư ng quét y}
Begin
98](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-102-2048.jpg)
![Chương VII. Kh ñư ng và m t khu t
{Lưu l i to ñ giao ñi m và ñ sâu}
G[NG].x:=round(D[i].xGiao);
G[NG].y:=y;
G[NG].z:=D[i].zGiao;
G[NG].ChiSoCanh:=i;
{Ch s c nh ñã t o ra giao ñi m. Nh m ph c v cho quá trình l c
b các giao ñi m không c n thi t}
{Lưu l i Tung ñ và ñ sâu c a giao ñi m v i ñư ng quét ti p theo
(y+1) vào chính D[i].xGiao và D[i].zGiao}
D[i].xGiao:=D[i].xGiao+D[i].xStep;
D[i].zGiao:=D[i].zGiao+D[i].zStep;
NG:=NG+1;
end;
end;
end;
Procedure SapXepVaLoc;
{S p x p l i các giao ñi m và l c b các giao ñi m th a}
Var i,j,C1,C2:integer;
Tg:GiaoDiem_Z;
Begin
{S p x p l i các giao ñi m}
for i:=0 to NG-2 do
For j:=i+1 to NG-1 do
If G[i].x>G[j].x then
begin
Tg:=G[i];G[i]:=G[j];G[j]:=Tg;
end;
i:=0;
{Kh nh ng Giao ñi m th a}
While i<(NG-2) do
begin
If G[i].x=G[i+1].x then {2 giao ñi m trùng nhau}
99](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-103-2048.jpg)
![Chương VII. Kh ñư ng và m t khu t
begin
C1:=G[i].ChiSoCanh;
C2:=G[i+1].ChiSoCanh;
{C1 và C2 là hai c nh ñã t o nên 2 giao ñi m trùng nhau ñang xét}
If (D[C1].y1<>D[C2].y1)and(D[C1].y2<>D[C2].y2))
or(D[C1].y1=D[C1].y2)or(D[C2].y1=D[C2].y2) then
{Xoá b t m t giao ñi m n u như: 2 c nh t o nên 2 giao ñi m này
n m v hai phía c a ñư ng quét ho c có m t c nh là n m ngang}
begin
For j:=i to NG-2 do G[j]:=G[j+1];
NG:=NG-1;
end;
end;
i:=i+1;
end;
end;
Procedure ToMauCacDoan;
{Th c hi n tô màu các ño n th ng là ph n giao c a ñư ng quét v i ña giác.
ðó là các ño n x1x2, x3x4,…}
Var i,x,K:integer;Dz:real;
Z:Cardinal;
begin
i:=0;
While i<NG-1 do
begin
K:=G[i+1].x - G[i].x;
If k<>0 then Dz:=(G[i+1].z-G[i].z)/K
else Dz:=0;
For x:=G[i].x to G[i+1].x do
{V i m i ño n ta th c hi n tính ñ sâu c a t ng ñi m r i so sánh v i
giá tr có trong Z_Buffer}
begin
100](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-104-2048.jpg)
![Chương VII. Kh ñư ng và m t khu t
If (0<=x)and(x<=Z_BufferW)and(0<=y)
and(y<=Z_BufferH) then
begin
z:=round(G[i].z);
If Z_Buffer[x,G[i].y]>Z then
{So sánh ñ sâu c a ñi m tính ñư c v i ñ sâu ñã có }
{N u ñ sâu c a ñi m tính ñư c nh hơn ñ sâu ñã có trong
Z_Buffer thì rõ ràng là ñi m tính ñư c g n hơn ñi m ñã v
trư c ñó trong vùng ñ m Z và Canvas}
Begin
Canvas.Pixels[x,G[i].y]:=Color;
{V ñi m lên Canvas}
Z_Buffer[x,G[i].y]:=Z; {C p nh t ñ sâu c a
ñi m v a v vào vùng ñ m Z}
end;
end;
G[i].z:=G[i].z+Dz; {Gán giá tr ñ sâu c a ñi m ti p
theo vào trong G[i].z}
end;
i:=i+2;
end;
end;
{Th t c chính}
Begin
L:=low(Poly);
H:=High(Poly);
{Xác ñ nh gi i h n trên và gi i h n dư i c a Poly}
Z_BufferW:=high(Z_Buffer); {Xác ñ nh các chi u c a ma tr n Z_Buffer}
Z_BufferH:=high(Z_Buffer[0]);
{Z_BufferW+1:Chi u r ng (t 0..Z_BufferW)
Z_BufferH+1:Chi u cao (t 0..Z_BufferH)}
101](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-105-2048.jpg)
![Chương VII. Kh ñư ng và m t khu t
{ Tìm giá tr y l n nh t và nh nh t c a ña giác Poly ñ t ñó cho dòng quét th c hi n
quét t trên min ñ n max}
MaxY:=Poly[L].y;
MinY:=MaxY;
For i:=L+1 to H do
if MaxY<Poly[i].y then MaxY:=Poly[i].y
else If MinY>Poly[i].y then MinY:=Poly[i].y;
TaoDanhSachCanhCat; {T o danh sách các c nh c a ña giác Poly v i các tham
s thi t l p nh m giúp cho vi c tính toán giao ñi m ñư c d dàng}
For y:=MinY to MaxY do {Cho dòng quét ch y t MinY ñ n MaxY }
begin
TaoDanhSachGiaoDiem; {Tìm danh sách các giao ñi m c a ñư ng quét y
v i các c nh c a Poly}
SapXepVaLoc; {S p x p l i các giao ñi m và l c b các giao ñi m th a}
ToMauCacDoan; {D a vào các giao ñi m ñ xác ñ nh ra các ño n n m
trong ña giác, t ñó tô màu t ng ñi m trên ño n ñó d a
vào ñ sâu so sánh v i giá tr ñ sâu tương ng trên Z_Buffer}
end;
Setlength(D,0); {Gi i phóng m ng D}
Setlength(G,0); {Gi i phóng m ng G}
end;
102](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-106-2048.jpg)
![Chương VIII. T o bóng v t th 3D
x toàn ph n. ð cho ti n trong vi c tính toán ta t m ñ i hư ng c a tia t i th c s , v y
bây gi hư ng c a tia t i ñư c xem là hư ng ngư c l i c a tia sáng t i.
N u g i θ là góc gi a tia t i v i vector pháp tuy n c a b m t thì Cos(θ) ph thu c
vào tia t i a và vector pháp tuy n c a m t n theo công th c:
a.n
Cos (θ ) = (8.1)
a.n
Trong công th c trên Cos(θ) b ng tích vô hư ng c a a và n chia cho tích ñ l n c a
chúng. N u ta ñã chu n hoá ñ l n c a các vector a và n v 1 t trư c thì ta có th
tính giá tr trên m t cách nhanh chóng như sau:
Cos(θ) = tích vô hư ng c a a và n = a.x*n.x+a.y*n.y+a.z*n.z
Vì Cos(θ) có giá tr t +1 ñ n -1 nên ta có th suy ra công th c tính cư ng ñ c a
ánh sáng ph n x là:
Cư ng ñ ánh sáng ph n x = Cư ng ñ c a ánh sáng ñ nh hư ng * [(Cos(θ)+1)/2] (8.2)
Trong ñó [(Cos(θ)+1)/2] có giá tr trong kho ng t 0 ñ n 1. V y qua công th c (8.1) và
(8.2) chúng ta có th tính ñư c cư ng ñ c a ánh sáng ph n x trên b m t khi bi t
ñư c cư ng ñ c a ánh sáng ñ nh hư ng cũng như các vector pháp tuy n c a m t và
tia t i.
Cài ñ t thu t toán
Dư i ñây là ph n trình bày các th t c ph c v cho vi c v ñ i tư ng 3D ñ c l i,
theo thu t toán ch n l c m t sau có tính ñ n v n ñ chi u sáng c a ngu n sáng xung
quanh và ngu n sáng ñ nh hư ng.
Function Cuong_Do_Anh_Sang_Dinh_Huong(v,n:Vector3D):real;
{Th t c tính cư ng ñ ánh sáng ph n x trên b m t c a ña giác khi bi t ñư c tia t i
v và vector pháp tuy n n}
var s,t:real;
begin
s:=sqrt(v.x*v.x+v.y*v.y+v.z*v.z)*sqrt(n.x*n.x+n.y*n.y+n.z*n.z);
{Gán S b ng tích c a |v|*|n|}
106](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-110-2048.jpg)
![Chương VIII. T o bóng v t th 3D
nh n ñư c t ng cư ng ñ sáng là 1 t các ngu n sáng khác nhau cung c p thì m t s
cho màu th c c a nó. N u t ng cư ng ñ sáng mà nó thu ñư c t các ngu n sáng nh
hơn 1 m t s hơi t i ñi.
+ VectorChieuSang: ðây là vector bi u di n tia t i (chú ý nó có hư ng ngư c v i
hư ng c a ánh sáng chi u t i như ñã nói trong ph n lý thuy t}
Var i,k,P,cx,cy:integer;
Poly:array of TPoint;
CuongDoSang:Real;
R,G,B:byte;
Begin
cx:=Width div 2;cy:=Height div 2;
For k:=0 to Obj.SoMat-1 do
if Tich_vo_huong(v,Obj.Mat[K].PhapVT)>= 0 then
begin
{Thi t l p ña giác là hình chi u c a m t xu ng m t ph ng OXY (có t nh ti n và ñ i
hư ng tr c Y)}
setlength(Poly,Obj.Mat[K].Sodinh);
For i:=0 to Obj.Mat[K].Sodinh -1 do
begin
P:=Obj.Mat[K].list[i];
Poly[i].X:=round(Obj.dinh[P].x*zoom)+cx;
Poly[i].Y:=-round(Obj.dinh[P].y*zoom)+cy;
{To ñ c a ñ nh sau khi chi u là (Obj.dinh[P].x,Obj.dinh[P].y), song
ñư c bi n ñ i t l v i h s là zoom r i ñ i hư ng tr c Y và t nh ti n theo
vector (cx,cy)}
end;
{Tính cư ng ñ sáng mà m t nh n ñư c: b ng t ng cư ng ñ sáng do ngu n
sáng xung quanh (ánh sáng n n) và ngu n sáng ñ nh hư ng cung c p}
CuongDoSang:=AnhSangNen + AnhSangDinhHuong *
Cuong_Do_Anh_Sang_Dinh_Huong(VectorChieuSang,Obj.Mat[K].PhapVT);
108](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-112-2048.jpg)
![Chương VIII. T o bóng v t th 3D
{ ñây cư ng ñ sáng mà m t nh n ñư c do ngu n sáng ñ nh hư ng cung c p
ph thu c không ch vào cư ng ñ sáng mà ngu n phát ra, mà còn ph thu c
vào hư ng ñón ánh sáng c a m t và ñư c bi u di n b i bi u th c:
AnhSangDinhHuon*Cuong_Do_Anh_Sang_Dinh_Huong(VectorChieuSang,Ob
j.Mat[K].PhapVT)}
R:=round(Obj.Mat[K].Color.R*CuongDoSang);
G:=round(Obj.Mat[K].Color.G*CuongDoSang);
B:=round(Obj.Mat[K].Color.B*CuongDoSang);
{Thi t l p màu s c cho m t b ng cách: l y cư ng ñ màu s c m t ñ nh c a m t
Obj.Mat[K].Color, nhân v i cư ng ñ sáng mà nó nh n ñư c trong th c t tính
toán ñư c CuongDoSang. T ñó ta th y, n u m t nh n ñư c ñ y ñ ánh sáng
(cư ng ñ sáng =1) thì m t s có màu m t ñ nh c a nó (xác ñ nh khi thi t k
ñ i tư ng), ngư c l i thì m t s có màu s c t i hơn. N u m t không ñư c chi u
sáng t các ngu n sáng (cư ng ñ sáng =0) thì m t s có màu ñen}
canvas.Brush.Color :=rgb(R,G,B);
Canvas.Pen.Color:=canvas.Brush.Color;
Canvas.Polygon(poly);
{v ña giác v i màu s c ñã ñư c xác ñ nh trư c b i bút tô (Brush.Color) và bút
v (Pen.Color)}
end;
setlength(poly,0);
end;
8.4. NGU N SÁNG ðI M
Ngu n sáng ñ nh hư ng là tương ñương v i ngu n sáng ñi m ñ t vô t n. Nhưng
khi ngu n sáng ñi m ñư c mang ñ n g n ñ i tư ng thì các tia sáng t nó phát ra không
còn song song n a mà ñư c to ra theo m i hư ng theo d ng hình c u. Vì th , các tia
sáng s rơi xu ng các ñi m trên b m t dư i các góc khác nhau. Gi s vector pháp
tuy n c a m t là n=(xn, yn, zn), ñi m ñang xét có to ñ là (x0, y0, z0) và ngu n sáng
ñi m có t a ñ là (plx, ply, plz) thì ánh sáng s r i ñ n ñi m ñang sét theo vector (x0-
plx, y0-ply, z0-plz), hay tia t i:
a = (plx - x0, ply - y0,plz - z0).
109](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-113-2048.jpg)
![Chương VIII. T o bóng v t th 3D
A:array of integer;
end;
CMLD:array of integer; {S m t có liên k t v i ñ nh th i}
begin
cx:=Width div 2;cy:=Height div 2;
Setlength(DinhLinkMat,Obj.Sodinh);
Setlength(CMLD,Obj.Sodinh);
For i:=0 to obj.Sodinh-1 do CMLD[i]:=0;
{Xác ñ nh m i ñ nh có bao nhiêu m t liên k t ñ n}
For i:=0 to obj.SoMat -1 do
For j:=0 to obj.mat[i].Sodinh-1 do
begin
K:=obj.mat[i].List[j];
CMLD[k]:=CMLD[k]+1; {S m t liên k t ñ n ñ nh th k ñư c tăng lên
khi có m t m t có liên k t ñ n nó }
end;
{Thi t l p danh sách các măt liên k t ñ n t ng ñ nh c a ñ i tư ng}
For i:=0 to obj.Sodinh-1 do
begin
setlength(DinhLinkMat[i].A,CMLD[i]);{S m t liên k t v i ñ nh i
là CMLD[i]}
DinhLinkMat[i].SoMat:=0;
end;
{Quá trình xác ñ nh rõ nh ng m t nào liên k t v i ñ nh i}
For i:=0 to obj.SoMat -1 do
For j:=0 to obj.mat[i].Sodinh-1 do
begin
K:=obj.mat[i].List[j];
Dem:=DinhLinkMat[K].SoMat;
DinhLinkMat[K].A[Dem]:=i;
DinhLinkMat[K].SoMat:=DinhLinkMat[K].SoMat+1;
end;
114](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-118-2048.jpg)
![Chương VIII. T o bóng v t th 3D
Setlength(CMLD,0);
For k:=0 to Obj.SoMat-1 do
if Tich_vo_huong(v,Obj.Mat[K].PhapVT)>= 0 then
begin
setlength(Poly,Obj.Mat[K].Sodinh);
For i:=0 to Obj.Mat[K].Sodinh -1 do
begin
{thi t l p các thu c tính c a ñ nh th i c a Poly (ña giác chi u) }
P:=Obj.Mat[K].list[i];
Poly[i].X:=round(Obj.dinh[P].x*zoom)+cx;
Poly[i].Y:=-round(Obj.dinh[P].y*zoom)+cy;
{Tính Vector pháp tuy n t i ñ nh Poly b ng cách tính t ng c a các
vector pháp tuy n c a các m t có liên k t v i ñ nh ñó}
Poly[i].N.x :=0;Poly[i].N.y :=0;Poly[i].N.z :=0;
For j:=0 to DinhLinkMat[P].SoMat-1 do
begin
Q:=DinhLinkMat[P].A[j];//Mat ke voi dinh P
Poly[i].N.x:=Poly[i].N.x+obj.Mat[Q].PhapVT.x;
Poly[i].N.y:=Poly[i].N.y+obj.Mat[Q].PhapVT.y;
Poly[i].N.z:=Poly[i].N.z+obj.Mat[Q].PhapVT.z;
end;
end;
FillPolygonGourand(poly,VectorChieuSang,AnhSangNen,
AnhSangDinhHuong,CanVas,Obj.Mat[K].Color);
{Tô ña giác Poly theo thu t toán tô ña giác theo dòng quét, song có n i suy vector
pháp tuy n cho m i ñi m, và tính cư ng ñ sáng c a m i ñi m trong ña giác d a vào
vector pháp tuy n t i ñi m ñó.}
end;
setlength(poly,0);
For i:=0 to obj.Sodinh-1 do
setlength(DinhLinkMat[i].A,0);
Setlength(DinhLinkMat,0);
115](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-119-2048.jpg)
![Chương VIII. T o bóng v t th 3D
end;
Procedure FillPolygonGourand(Poly:PolygonGourand;
Vector_Chieu_Sang:Vector3D;
Anh_Sang_Nen,Anh_Sang_Chieu:real;
Canvas:TCanvas;Color:RGBColor);
{Tô ña giác Poly theo thu t toán tô ña giác theo dòng quét, song có n i suy vector
pháp tuy n cho m i ñi m, và tính cư ng ñ sáng c a m i ñi m trong ña giác d a vào
vector pháp tuy n t i ñi m ñó.
Th t c này tương t như th t c tô ña giác theo thu t toán Z-Buffer song thay vì n i
suy ñ sâu z c a m i ñi m, thì th t c này s n i suy pháp vector c a m i ñi m, r i
d a vào pháp vector c a ñi m ñó mà tính ra cư ng ñ sáng mà nó có ñư c do ngu n
sáng ñ nh hư ng cung c p.}
var L,H,ND,NG,i,j,Y,MaxY,MinY:integer;
{L,H:Gioi han chi so cua mang Poly
ND: So phan tu cua mang D:DanhSachCanhCat
NG:So phan tu cua mang G:DanhsachGiaoDiem}
D:DanhSachCanhCat;
G:DanhsachGiaoDiem;
Procedure TaoDanhSachCanhCat;
Var i,d1,d2,Dem,Kc,Cuoi:integer;
begin
If (Poly[L].x<>Poly[H].x)or(Poly[L].y<>Poly[H].y) then
begin
ND:=H-L+1;
setlength(D,ND);
Cuoi:=H;
end
else
begin
ND:=H-L;
setlength(D,ND);
Cuoi:=H-1;
116](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-120-2048.jpg)
![Chương VIII. T o bóng v t th 3D
end;
Dem:=0;
For i:=L to Cuoi do
begin
If i<H then j:=i+1 else j:=L;
If Poly[i].y<=Poly[j].y then
begin d1:=i;d2:=j end
else
begin d1:=j;d2:=i end;
D[dem].y1:=Poly[d1].y;D[dem].y2:=Poly[d2].y;
D[dem].xGiao:=Poly[d1].x;
D[dem].NGiao:=Poly[d1].N;
Kc:=(Poly[d2].y-Poly[d1].y);
If Kc<>0 then
begin
D[dem].XStep:=(Poly[d2].x-Poly[d1].x)/Kc;
D[dem].NStep.x:=(Poly[d2].N.x-Poly[d1].N.x)/Kc;
D[dem].NStep.y:=(Poly[d2].N.y-Poly[d1].N.y)/Kc;
D[dem].NStep.z:=(Poly[d2].N.z-Poly[d1].N.z)/Kc;
end
else
begin
D[dem].XStep:=0;
D[dem].NStep.x:=0;
D[dem].NStep.y:=0;
D[dem].NStep.z:=0;
end;
Dem:=Dem+1;
end;
end;
Procedure TaoDanhSachGiaoDiem;
Var i,Dy:integer;
117](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-121-2048.jpg)
![Chương VIII. T o bóng v t th 3D
begin
Setlength(G,ND);
NG:=0;
for i:=0 to ND -1 do
begin
If (D[i].y1<=y)and(y<=D[i].y2) then
begin
Dy:=y-D[i].y1;
G[NG].x:=round(D[i].xGiao+D[i].XStep*Dy);
G[NG].y:=y;
G[NG].NGiao.x:=D[i].NGiao.x+D[i].NStep.x*Dy;
G[NG].NGiao.y:=D[i].NGiao.y+D[i].NStep.y*Dy;
G[NG].NGiao.z:=D[i].NGiao.z+D[i].NStep.z*Dy;
G[NG].ChiSoCanh:=i;
NG:=NG+1;
end;
end;
end;
Procedure SapXepVaLoc;
Var i,j,C1,C2:integer;
Tg:GiaoDiem;
begin
for i:=0 to NG-2 do
For j:=i+1 to NG-1 do
If G[i].x>G[j].x then
begin
Tg:=G[i];G[i]:=G[j];G[j]:=Tg;
end;
i:=0;
{Khu nhung Giao Diem thua}
While i<(NG-2) do
begin
118](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-122-2048.jpg)
![Chương VIII. T o bóng v t th 3D
If G[i].x=G[i+1].x then //Trung nhau
begin
C1:=G[i].ChiSoCanh;
C2:=G[i+1].ChiSoCanh;
If ((D[C1].y1<>D[C2].y1)and(D[C1].y2<>D[C2].y2))
or (D[C1].y1=D[C1].y2)or(D[C2].y1=D[C2].y2) then
//Xoa bo bot 1 giao diem
begin
For j:=i to NG-2 do G[j]:=G[j+1];
NG:=NG-1;
end;
end;
i:=i+1;
end;
end;
Procedure ToMauCacDoan;
Var i,x,K:integer;CuongDoSang,Dx,Dy,Dz:real;
Re,Gr,Bl,Cd:byte;
begin
If Red then Re:=1 else Re:=0;
If Green then Gr:=1 else Gr:=0;
If Blue then Bl:=1 else Bl:=0;
i:=0;
While i<NG-1 do
begin
K:=G[i+1].x - G[i].x;
If k<>0 then
begin
Dx:=(G[i+1].NGiao.x-G[i].NGiao.x)/K;
Dy:=(G[i+1].NGiao.y-G[i].NGiao.y)/K;
Dz:=(G[i+1].NGiao.z-G[i].NGiao.z)/K;
end
119](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-123-2048.jpg)
![Chương VIII. T o bóng v t th 3D
else
begin
Dx:=0;Dy:=0;Dz:=0;
end;
For x:=G[i].x to G[i+1].x do
begin
CuongDoSang:=Anh_Sang_Nen + Anh_Sang_Chieu*
Cuong_Do_Anh_Sang_Dinh_Huong(Vector_Chieu_Sang,
G[i].NGiao);
{Cư ng ñ sáng t i m i ñi m ñư c tính b ng t ng c a cư ng ñ ánh sáng
n n c ng v i cư ng ñ có ñư c t ngu n sáng ñ nh hư ng, song ñ tính
ñư c cư ng ñ sáng có ñư c t ngu n ñ ng hư ng cung c p thì chúng ta
d a vào tia t i (Vector_Chieu_Sang) và pháp vector c a ñi m
G[i].Ngiao.}
Cd:=round(255*CuongDoSang);
Canvas.Pixels[x,G[i].y]:=rgb(Cd*Re,Cd*Gr,Cd*Bl);
{N i suy pháp vector c a ñi m ti p theo và gán vào G[i].NGiao}
G[i].NGiao.x:=G[i].NGiao.x+dx;
G[i].NGiao.y:=G[i].NGiao.y+dy;
G[i].NGiao.z:=G[i].NGiao.z+dz;
end;
i:=i+2;
end;
end;
Begin
L:=low(Poly); H:=High(Poly);
MaxY:=Poly[L].y;MinY:=MaxY;
For i:=L+1 to H do
if MaxY<Poly[i].y then MaxY:=Poly[i].y
else If MinY>Poly[i].y then MinY:=Poly[i].y;
TaoDanhSachCanhCat;
For y:=MinY to MaxY do
120](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-124-2048.jpg)
![PH L C
M TS CHƯƠNG TRÌNH MINH H A
I. CÁC THU T TOÁN TÔ MÀU
1. Thu t toán tô màu theo lo t
Type Toado=record
x,y:integer;
end;
mang=array[1..20] of Toado;
var minx,miny,maxx,maxy,n,mau1,mau2:integer;
a:mang;
Procedure NhapDuLieu(var a:Mang; var n:Byte);
var i:Byte;
Begin
write('nhap vao so dinh : ');readln(n);
for i:=1 to n do
begin
write('x',i,' = ');readln(a[i].x);
write('y',i,' = ');readln(a[i].y);
end;
write('mau vien da giac: '); readln(mau1);
write('mau to da giac: '); readln(mau2);
End;
Procedure vedagiac(P:mang;sodinh:byte);
var i,j:byte;
Begin
setcolor(mau1);
for i:=1 to sodinh do
begin
if i=n then j:=1 else j:=i+1;
line(P[i].x,P[i].y,P[j].x,p[j].y);
end;
End;
Function min(c,d:integer):integer;
begin
if c<d then min:=c else min:=d
end;
Function max(g,h:integer):integer;
begin
if g<h then max:=h else max:=g
end;
Procedure Tomau(P:mang; n:Byte);](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-126-2048.jpg)
![Ph l c. M t s chương trình minh h a
var j,i,k,m,truoc,sau,tg:integer;
r:real;
z:array[1..15] of integer;
Begin
for i:=minx+1 to maxx-1 do
begin
m:=0;
for j:=1 to n do
begin
truoc:=j+1;
if j=n then truoc:=1;
sau:=j-1;
if j=1 then sau:=n;
if i=P[j].x then
begin
if (i>min(P[sau].x,P[truoc].x))and
(i<max(P[sau].x,P[truoc].x)) then
begin
inc(m);
z[m]:=P[j].y;
end
else
begin
inc(m);
z[m]:=P[j].y;
inc(m);
z[m]:=P[j].y;
end;
end;
if (i>min(P[j].x,P[truoc].x))and
(i<max(P[truoc].x,P[j].x)) then
begin
inc(m);
r:=(P[truoc].y-P[j].y)/(P[truoc].x-P[j].x);
z[m]:=P[j].y+trunc(r*(i-P[j].x));
end;
end;
for j:=1 to m-1 do
for k:=j+1 to m do
if z[j]>z[k] then
begin
tg:=z[j];z[j]:=z[k];z[k]:=tg;
end;
setcolor(mau2);
For k:=1 to m-1 do
if k mod 2<>0 then line(i,z[k],i,z[k+1]);
end;
123](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-127-2048.jpg)
![Ph l c. M t s chương trình minh h a
End;
Procedure ThietLapDoHoa;
var Gd,Gm:Integer;
Begin
Gd:=0;
InitGraph(Gd,Gm,’C:BPBGI’);
End;
Begin
CLRSCR;
NhapDuLieu(a,n);
minx:=a[1].x;
maxx:=minx;
miny:=a[1].y;
maxy:=miny;
for i:=1 to n do
begin
if minx>a[i].x then minx:=a[i].x;
if miny>a[i].y then miny:=a[i].y;
if maxx<a[i].x then maxx:=a[i].x;
if maxy<a[i].x then maxy:=a[i].y;
end;
ThietLapDoHoa;
vedagiac(a,n);
Tomau(a,n);
readln;
closegraph;
end.
2. Thu t toán tô loang (ð qui)
uses crt, graph;
Type ToaDo=record
x,y:integer;
End;
Mang=array[0..30] of ToaDo;
Var a:Mang;
x,y,n,Gd,Gm:Integer;
procedure NhapDaGiac(Var n:integer);
var i:integer;
begin
clrscr;
write('Nhap vao so dinh cua mot da giac n= ');
readln(n);
for i:=1 to n do
begin
writeln('Toa do dinh thu',i,'la:');
write('a[',i,'].x=');
readln(a[i].x);
124](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-128-2048.jpg)
![Ph l c. M t s chương trình minh h a
write('a[',i,'].y=');
readln(a[i].y);
end;
Write('Nhap x= '); Readln(x);
Write('Nhap y= '); Readln(y);
end;
Procedure VeDaGiac(n,color:integer);
var i,j:byte;
begin
SetColor(Color);
for i:=1 to n do
begin
if i=n then j:=1 else j:=i+1;
line(a[i].x,a[i].y,a[j].x,a[j].y);
end;
end;
Function Max(a,b:integer):integer;
Begin
if a<b then Max:=b else Max:=a;
End;
Function Min(a,b:integer):integer;
Begin
if a<b then Min:=a else Min:=b;
End;
Function KiemTra(x,y:Integer;a:Mang):Boolean;
var dem,i,j,s:Integer;
Begin
dem:=0;
for i:=1 to n do { Tim so giao diem }
begin
if i=n then j:=1 else j:=i+1;
if i=1 then s:=n else s:=i-1;
if x=a[i].x then
begin
if y<a[i].y then
if (x<=Min(a[s].x ,a[j].x)) OR
(x>=Max(a[s].x,a[j].x)) then dem:=dem+2
else dem:=dem+1;
end
else
if (x>Min(a[i].x,a[j].x))and(x<Max(a[j].x,a[i].x))
then
if y<=Min(a[i].y,a[j].y) then dem:=dem+1
else if y <= (x-a[j].x)*(a[i].y-a[j].y)/(a[i].x-
a[j].x)+a[j].y then dem:=dem+1;
end;
if dem mod 2=1 then KiemTra:=True else KiemTra:=False;
125](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-129-2048.jpg)
![Ph l c. M t s chương trình minh h a
End;
Procedure ToLoang(x,y:Integer;color:Byte);
Begin
if KiemTra(x,y,a) and (GetPixel(x,y)<>color) then
Begin
PutPixel(x,y,color);
ToLoang(x+1,y,color);
ToLoang(x-1,y,color);
ToLoang(x,y+1,color);
ToLoang(x,y-1,color);
End;
End;
BEGIN
Nhapdagiac(n);
Gd:=Detect;
InitGraph(Gd,Gm,'D:TPBGI');
Vedagiac(n,4);
Toloang(x,y,14);
readln;
closegraph;
END.
3. Thu t toán tô loang (Kh ñ qui)
Uses crt, graph;
Type ToaDo=record
x,y:integer;
End;
DANHSACH=^DS;
DS=Record
Data:ToaDo;
Next:DANHSACH;
End;
Mang=array[0..30] of ToaDo;
Var Stack:DanhSach;
a:Mang;
x,y,n,Gd,Gm:Integer;
Procedure KhoiTaoStack;
Begin
Stack:=Nil;
End;
Procedure PUSHStack(a:ToaDo;Var Stack:DanhSach);
{ Nhap vao dau danh sach }
Var p:DanhSach;
Begin
new(p);
p^.Data:=a; p^.next:=nil;
p^.next:=Stack;
126](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-130-2048.jpg)
![Ph l c. M t s chương trình minh h a
Stack:=p;
End;
Procedure POPStack(Var Stack:DanhSach;var x,y:Integer);
{ Lay ra o dau danh sach }
Var p:DanhSach;
Begin
If Stack<>nil then
Begin
p:=Stack;
Stack:=Stack^.next;
x:=p^.Data.x;
y:=p^.Data.y;
Dispose(p);
End;
End;
procedure NhapDaGiac(Var n:integer;var a:Mang);
var i:integer;
begin
clrscr;
write('Nhap vao so dinh cua mot da giac n= ');
readln(n);
for i:=1 to n do
begin
writeln('Toa do dinh thu',i,'la:');
write('a[',i,'].x=');
readln(a[i].x);
write('a[',i,'].y=');
readln(a[i].y);
end;
Write('Nhap x= '); Readln(x);
Write('Nhap y= '); Readln(y);
end;
Procedure VeDaGiac(n,color:integer);
var i,j:byte;
begin
SetColor(Color);
for i:=1 to n do
begin
if i=n then j:=1 else j:=i+1;
line(a[i].x,a[i].y,a[j].x,a[j].y);
end;
end;
Function Max(a,b:integer):integer;
Begin
if a<b then Max:=b else Max:=a;
End;
127](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-131-2048.jpg)
![Ph l c. M t s chương trình minh h a
Function Min(a,b:integer):integer;
Begin
if a<b then Min:=a else Min:=b;
End;
Function KiemTra(x,y:Integer;a:Mang):Boolean;
var dem,i,j,s:Integer;
Begin
dem:=0;
for i:=1 to n do { Tim so giao diem }
begin
if i=n then j:=1 else j:=i+1;
if i=1 then s:=n else s:=i-1;
if x=a[i].x then
begin
if y<a[i].y then
if (x<=Min(a[s].x ,a[j].x))OR
(x>=Max(a[s].x,a[j].x)) then dem:=dem+2
else dem:=dem+1;
end
else
if (x>Min(a[i].x,a[j].x)) and
(x<Max(a[j].x,a[i].x)) then
if y<=Min(a[i].y,a[j].y) then dem:=dem+1
else if y <= (x-a[j].x)*(a[i].y-a[j].y)/
(a[i].x-a[j].x)+a[j].y then dem:=dem+1;
end;
KiemTra:=dem mod 2=1;
End;
Procedure ToLoang(x,y:Integer;color:Byte);
Var B,C:ToaDo;
Begin
if KiemTra(x,y,a) and (GetPixel(x,y)<>color) then
Begin
PutPixel(x,y,color);
B.x:=x+1; B.y:=y;
PUSHStack(B,Stack);
B.x:=x-1; B.y:=y;
PUSHStack(B,Stack);
B.x:=x; B.y:=y+1;
PUSHStack(B,Stack);
B.x:=x; B.y:=y-1;
PUSHStack(B,Stack);
End;
While Stack<>nil do
Begin
POPStack(Stack,B.x,B.y);
if KiemTra(B.x,B.y,a) and
128](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-132-2048.jpg)
![Ph l c. M t s chương trình minh h a
END.
2. V các ñ i tư ng WireFrame
uses crt,Graph,DoHoa3D;
Const MaxDinh=50;
MaxCanh=100;
Type WireFrame=Record
SoDinh:0..MaxDinh;
Dinh:Array[1..MaxDinh] of ToaDo3D;
SoCanh:0..MaxCanh;
Canh:Array[1..MaxCanh,1..2] of 1..MaxDinh;
End;
Var a:WireFrame;
Procedure KhoiTaoBien;
Begin
Rho:=5; Theta:=20;
Phi:=20; De:=3;
End;
Procedure DocFile(FileName:String; Var WF:WireFrame);
var f:Text;
x,i:Integer;
Begin
assign(f,FileName);
Reset(f);
With WF do
Begin
read(f,x); SoDinh:=x;
read(f,x); SoCanh:=x;
For i:=1 to SoDinh do {Doc so dinh}
Begin
read(f,x); Dinh[i].x:=x;
read(f,x); Dinh[i].y:=x;
read(f,x); Dinh[i].z:=x;
End;
For i:=1 to SoCanh do {Doc so Canh}
Begin
read(f,x); Canh[i,1]:=x;
read(f,x); Canh[i,2]:=x;
End;
End;
Close(f);
End;
Procedure VeWireFrame(WF:WireFrame);
Var i:Byte;
d1,d2:ToaDo3D;
Begin
138](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-142-2048.jpg)
![Ph l c. M t s chương trình minh h a
With WF do
Begin
for i:=1 to SoCanh do
Begin
d1:=Dinh[Canh[i,1]];
d2:=Dinh[Canh[i,2]];
DiDen(d1);
VeDen(d2);
End;
End;
End;
Begin
DocFile('bacdien.txt',a);
Projection:=SongSong{PhoiCanh};
ThietLapDoHoa;
KhoiTaoBien;
repeat
KhoiTaoPhepChieu;
VeWireFrame(a);
DieuKhienQuay;
until ch=#27;
CloseGraph;
End.
3. Kh m t khu t theo gi i thu t BackFace
Uses crt,graph,DoHoa3D;
Const MaxSoDinh=50;
MaxSoMat =30;
MaxDinh =10;
Type TapDinh=Array[1..MaxSoDinh] of ToaDo3D;
TapMat=Array[1..MaxSoMat,0..MaxDinh] of Integer;
FaceModel=Record
SoDinh:Integer;
Dinh:TapDinh;
SoMat:Integer;
Mat:TapMat;
End;
Var Hinh:FaceModel;
O:ToaDo3D;
Procedure KhoiTao;
Begin
Projection:=Phoicanh;
Rho:=1500; Theta:=20;
Phi:=15; DE:=3000;
End;
Procedure VectorNhin(Dinh1,Dinh2,Dinh3:Integer;
Var v:toaDo3D);
139](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-143-2048.jpg)
![Ph l c. M t s chương trình minh h a
Begin
With hinh do
Begin
v.x:=O.x - Dinh[Dinh1].x;
v.y:=O.y - Dinh[Dinh1].y;
v.z:=O.z - Dinh[Dinh1].z;
end;
End;
Procedure VectorChuan(Dinh1,Dinh2,Dinh3:Integer; Var
N:ToaDo3D);
Var P,Q:ToaDo3D;
Begin
With hinh do
Begin
P.x:=Dinh[Dinh2].x - Dinh[Dinh1].x;
P.y:=Dinh[Dinh2].y - Dinh[Dinh1].y;
P.z:=Dinh[Dinh2].z - Dinh[Dinh1].z;
Q.x:=Dinh[Dinh3].x - Dinh[Dinh1].x;
Q.y:=Dinh[Dinh3].y - Dinh[Dinh1].y;
Q.z:=Dinh[Dinh3].z - Dinh[Dinh1].z;
N.x:=P.y*Q.z - Q.y*P.z;
N.y:=P.z*Q.x - Q.z*P.x;
N.z:=P.x*Q.y - Q.x*P.y;
End;
End;
Function TichVoHuong(v,n:ToaDo3D):Real;
Begin
TichVoHuong:=v.x*N.x + v.y*N.y + v.z*N.z;
End;
Procedure ToaDoQuanSat;
Begin
KhoiTaoPhepChieu;
O.x:= Rho*Aux7;
O.y:= Rho*Aux8;
O.z:= Rho*Aux2;
End;
Procedure DocFile(FileName:String; Var WF:FaceModel);
var f:Text;
x,i,j:Integer;
Begin
assign(f,FileName);
Reset(f);
With WF do
Begin
read(f,x); SoDinh:=x;
read(f,x); SoMat:=x;
For i:=1 to SoDinh do {Doc so dinh}
140](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-144-2048.jpg)
![Ph l c. M t s chương trình minh h a
Begin
read(f,x); Dinh[i].x:=x;
read(f,x); Dinh[i].y:=x;
read(f,x); Dinh[i].z:=x;
End;
For i:=1 to SoMat do {Doc so Mat}
Begin
read(f,x); read(f,x); Mat[i,0]:=x;
For j:=1 to Mat[i,0] do
Begin
read(f,x); Mat[i,j]:=x;
End;
End;
End;
Close(f);
End;
Procedure VeMat(f:Integer);
Var SoCanh,i,j:Integer;
P,P0:ToaDo3D;
Begin
With hinh do
Begin
SoCanh:=Mat[f,0];
For i:=1 to SoCanh do
Begin
j:=Mat[f,i];
P.x:=Dinh[j].x; P.y:=Dinh[j].y; P.z:=Dinh[j].z;
If i=1 Then
Begin
DiDen(P);
P0.x:=P.x; P0.y:=P.y; P0.z:=P.z;
End
Else VeDen(P);
End;
VeDen(P0);
End;
End;
Procedure VeVatThe(Hinh:FaceModel);
Var f,Dinh1,Dinh2,Dinh3:Integer;
v,n:ToaDo3D;
Begin
With hinh do
Begin
For f:=1 to SoMat do
Begin
Dinh1:=Mat[f,1]; Dinh2:=Mat[f,2]; Dinh3:=Mat[f,3];
VectorNhin(Dinh1,Dinh2,Dinh3,v);
141](https://image.slidesharecdn.com/lythuyetdohoa-120903221224-phpapp01/75/Ly-thuyetdohoa-145-2048.jpg)
Uploaded byNguyễn Tài Hải
Ly thuyetdohoa
Tài liệu trình bày lý thuyết và thuật toán liên quan đến đồ họa máy tính, bao gồm các yếu tố cơ bản, màn hình, thuật toán tô màu, cắt hình, và biến đổi trong không gian 2D và 3D. Nội dung được chia thành 8 chương, cung cấp kiến thức từ các khái niệm cơ bản đến những ứng dụng phức tạp như mô hình 3D và ánh sáng. Giáo trình nhằm giúp sinh viên có khả năng xây dựng và phát triển các ứng dụng đồ họa, đồng thời có bài tập thực hành để củng cố kiến thức.
![Giáo trình đào tạo visual basic 6.0 fpt software solution[bookbooming.com]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/giotrnhotovisualbasic6-0-fptsoftwaresolutionbookbooming-com-120923053659-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![Giáo trình tin học đại cương đỗ thị mơ[bookbooming.com]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/giotrnhtinhcicng-thmbookbooming-com-120922004338-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![Giao trinh-phan-cung-dien-tu[bookbooming.com]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/giao-trinh-phan-cung-dien-tubookbooming-com-120922003836-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Ly thuyetdohoa
- 2. M CL C Chương1: CÁC Y U T CƠ S C A ð H A 1.1. T ng quan v ñ h a máy tính ............................................................................... 1 1.1.1. Gi i thi u v ñ h a máy tính ................................................................................ 1 1.1.2. Các k thu t ñ h a ................................................................................................ 1 1.1.2.1. K thu t ñ h a ñi m........................................................................................ 1 1.1.2.2. K thu t ñ h a vector...................................................................................... 2 1.1.3. ng d ng c a ñ h a máy tính............................................................................... 2 1.1.4. Các lĩnh v c c a ñ h a máy tính .......................................................................... 3 1.1.5. T ng quan v m t h ñ h a .................................................................................. 4 1.2. Màn hình ñ h a ...................................................................................................... 6 1.3. Các khái ni m........................................................................................................... 6 1.3.1. ði m..................................................................................................................... 6 1.3.2. Các bi u di n t a ñ ............................................................................................ 8 1.3.3. ðo n th ng........................................................................................................... 8 1.4. Các thu t toán v ño n th ng................................................................................. 8 1.4.1. Bài toán ................................................................................................................ 8 1.4.2. Thu t toán DDA................................................................................................... 9 1.4.3. Thu t toán Bresenham ....................................................................................... 10 1.4.4. Thu t toán MidPoint .......................................................................................... 12 1.5. Thu t toán v ñư ng tròn ..................................................................................... 14 1.5.1. Thu t toán Bresenham ....................................................................................... 14 1.5.2. Thu t toán MidPoint .......................................................................................... 16 1.6. Thu t toán v Ellipse............................................................................................. 17 1.6.1. Thu t toán Bresenham ....................................................................................... 17 1.6.2. Thu t toán MidPoint .......................................................................................... 20 1.7. Phương pháp v ñ th hàm s ............................................................................. 21 Bài t p ............................................................................................................................ 23 Chương 2: TÔ MÀU 2.1. Gi i thi u các h màu............................................................................................ 25 2.2. Các thu t toán tô màu .......................................................................................... 28 2.2.1. Bài toán .............................................................................................................. 28 2.2.2. Thu t toán xác ñ nh P ∈ S ................................................................................. 28 2.2.3. Thu t toán tô màu theo dòng quét ..................................................................... 30 2.2.4. Thu t toán tô màu theo v t d u loang................................................................ 30 Bài t p ............................................................................................................................ 31 Chương 3: XÉN HÌNH 3.1. ð t v n ñ ............................................................................................................... 32
- 3. 3.2. Xén ñon th ng vào vùng hình ch nh t............................................................. 32 3.2.1. C nh c a hình ch nh t song song v i các tr c t a ñ ..................................... 32 3.2.1.1. Thu t toán Cohen – Sutherland ...................................................................... 33 3.2.1.2. Thu t toán chia nh phân................................................................................. 34 3.2.1.3. Thu t toán Liang – Barsky ............................................................................. 35 3.2.2. Khi c nh c a hình ch nh t t o v i tr c hoành m t góc α................................ 36 3.3. Xén ño n th ng vào hình tròn .............................................................................. 37 3.4. Xén ñư ng tròn vào hình ch nh t...................................................................... 38 3.5. Xén ña giác vào hình ch nh t ............................................................................. 39 Bài t p ............................................................................................................................ 40 Chương 4: CÁC PHÉP BI N ð I 4.1. Các phép bi n ñ i trong m t ph ng..................................................................... 41 4.1.1. Cơ s toán h c ................................................................................................... 41 4.1.2. Ví d minh h a .................................................................................................. 43 4.2. Các phép bi n ñ i trong không gian .................................................................... 45 4.2.1. Các h tr c t a ñ .............................................................................................. 45 4.2.2. Các công th c bi n ñ i ...................................................................................... 46 4.2.3. Ma tr n ngh ch ñ o ............................................................................................ 48 4.3. Các phép chi u c a v t th trong không gian lên m t ph ng ........................... 48 4.3.1. Phép chi u ph i c nh ......................................................................................... 48 4.3.2. Phép chi u song song......................................................................................... 50 4.4. Công th c c a các phép chi u lên màn hình....................................................... 50 4.5. Ph l c .................................................................................................................... 56 4.6. Ví d minh h a....................................................................................................... 59 Bài t p ............................................................................................................................ 61 Chương 5: BI U DI N CÁC ð I TƯ NG BA CHI U 5.1. Mô hình WireFrame.............................................................................................. 63 5.2. V mô hình WireFrame v i các phép chi u........................................................ 64 5.3. V các m t toán h c............................................................................................... 65 Bài t p ............................................................................................................................ 68 Chương 6: THI T K ðƯ NG VÀ M T CONG BEZIER VÀ B-SPLINE 6.1. ðư ng cong Bezier và m t Bezier ........................................................................ 69 6.1.1. Thu t toán Casteljau .......................................................................................... 70 6.1.2. D ng Bernstein c a ñư ng cong Bezier ............................................................ 70 6.1.3. D ng bi u di n ma tr n c a ñư ng Bezier ........................................................ 71 6.1.4. T o và v ñư ng cong Bezier ............................................................................ 72 6.1.5. Các tính ch t c a ñư ng Bezier ......................................................................... 74 6.1.6. ðánh giá các ñư ng cong Bezier ....................................................................... 76 6.2. ðư ng cong Spline và B-Spline ............................................................................ 77 6.2.1. ð nh nghĩa.......................................................................................................... 77
- 4. 6.2.2. Các tínhch t h u ích trong vi c thi t k các ñư ng cong B-Spline ................. 78 6.2.3. Thi t k các m t Bezier và B-Spline ................................................................. 79 6.2.4. Các băng Bezier ................................................................................................. 80 6.2.5. Dán các băng Bezier v i nhau ........................................................................... 81 6.2.6. Các băng B-Spline ............................................................................................. 81 Chương 7: KH ðƯ NG VÀ M T KHU T 7.1. Các khái ni m......................................................................................................... 83 7.2. Các phương pháp kh m t khu t ........................................................................ 85 7.2.1. Gi i thu t s p x p theo chi u sâu ...................................................................... 85 7.2.2. Gi i thu t BackFace........................................................................................... 88 7.2.3. Gi i thu t vùng ñ m ñ sâu ............................................................................... 90 Bài t p .......................................................................................................................... 103 Chương 8: T O BÓNG V T TH 3D 8.1. Khái ni m ............................................................................................................. 104 8.2. Ngu n sáng xung quanh...................................................................................... 104 8.3. Ngu n sáng ñ nh hư ng ...................................................................................... 105 8.4. Ngu n sáng ñi m.................................................................................................. 109 8.5. Mô hình bóng Gouraud....................................................................................... 110 Bài t p .......................................................................................................................... 121 Ph l c: M T S CHƯƠNG TRÌNH MINH H A I. Các thu t toán tô màu ............................................................................................ 122 II. Các thu t toán xén hình ........................................................................................ 129 III. V các ñ i tư ng 3D............................................................................................. 136 Tài li u tham kh o...................................................................................................... 143
- 5. L IM ð U ð h a là m t trong nh ng lĩnh v c phát tri n r t nhanh c a ngành Công ngh thông tin. Nó ñư c ng d ng r ng rãi trong nhi u lĩnh v c khoa h c và công ngh . Ch ng h n như y h c, ki n trúc, gi i trí... ð h a máy tính ñã giúp chúng ta thay ñ i cách c m nh n và s d ng máy tính, nó ñã tr thành nh ng công c tr c quan quan tr ng không th thi u trong ñ i s ng h ng ngày. Vì v y môn “ð h a” ñã tr thành m t trong nh ng môn h c chính trong các chuyên ngành Công ngh thông tin các trư ng ñ i h c. Cu n sách “Giáo trình lý thuy t ñ h a” ñư c biên so n theo sát n i dung chương trình ñào t o c nhân Công ngh thông tin. N i dung c a giáo trình này cung c p m t s ki n th c cơ b n v lý thuy t và thu t toán xây d ng các công c ñ h a 2D và 3D. T ñó giúp sinh viên có th ñ c l p xây d ng nh ng thư vi n ñ h a cho riêng mình và phát tri n các ph n m m ng d ng ñ h a cao hơn. Giáo trình ñư c chia làm 8 chương và ph n ph l c, sau m i chương ñ u có ph n bài t p ñ ki m tra ki n th c và rèn luy n kh năng l p trình cho b n ñ c. ð thu n ti n cho vi c trình bày thu t toán m t cách d hi u, các gi i thu t trong giáo trình ñư c vi t trên ngôn ng “t a Pascal” và các mã ngu n ñư c cài ñ t trên Turbo Pascal 7.0. Nh m giúp b n ñ c b t lúng túng trong quá trình cài ñ t các gi i thu t, ph n ph l c li t kê m t s mã ngu n cài ñ t các thu t toán trong các chương. Tuy nhiên, b n ñ c nên t cài ñ t các thu t toán ph n lý thuy t, n u c m th y khó khăn l m m i nên tham kh o ph n ph l c này. Chương 1, 2 và 3 trình bày v các y u t cơ s c a ñ h a như: màn hình ñ h a, ñi m, ño n th ng, ñư ng tròn, các h màu và các thu t toán tô màu, xén hình ... Chương 4 trang b các ki n th c toán h c v các phép bi n ñ i trong không gian 2D và 3D. Chương 5, 6 và 7 gi i thi u các mô hình ñ h a 3D, các gi i thu t kh m t khu t và t o bóng cho v t th ... Chương 8 trình bày v phương pháp thi t k các ñư ng cong Bezier và B-Spline. M c dù ñã r t c g ng trong quá trình biên so n nhưng ch c ch n giáo trình này v n không th tránh kh i nh ng thi u sót. Chúng tôi r t mong nh n ñư c nh ng ý ki n ñóng góp c a b n ñ c cũng như các b n ñ ng nghi p trong lĩnh v c ð h a ñ giáo trình ngày càng ñư c hoàn thi n hơn trong l n tái b n sau. ð a ch liên l c: Khoa Công ngh Thông tin, trư ng ð i h c Khoa h c Hu . ði n tho i: 054.826767. Email: paphuong@hueuni.edu.vn nhtai@hueuni.edu.vn Hu , tháng 08 năn 2003 Các tác gi
- 6. Updatesofts.com Ebooks Team CHƯƠNG I CÁC Y U T CƠ S C Að H A 1.1. T NG QUAN V ð H A MÁY TÍNH ð h a máy tính là m t lãnh v c phát tri n nhanh nh t trong Tin h c. Nó ñư c áp d ng r ng rãi trong nhi u lãnh v c khác nhau thu c v khoa h c, k ngh , y khoa, ki n trúc và gi i trí. Thu t ng ñ h a máy tính (Computer Graphics) ñư c ñ xu t b i nhà khoa h c ngư i M tên là William Fetter vào năm 1960 khi ông ñang nghiên c u xây d ng mô hình bu ng lái máy bay cho hãng Boeing. Các chương trình ñ h a ng d ng cho phép chúng ta làm vi c v i máy tính m t cách tho i mái, t nhiên. 1.1.1 Gi i thi u v ñ h a máy tính ð h a máy tính là m t ngành khoa h c Tin h c chuyên nghiên c u v các phương pháp và k thu t ñ có th mô t và thao tác trên các ñ i tư ng c a th gi i th c b ng máy tính. V b n ch t: ñó là m t quá trình xây d ng và phát tri n các công c trên c hai lĩnh v c ph n c ng và ph n m m h tr cho các l p trình viên thi t k các chương trình có kh năng ñ h a cao. V i vi c mô t d li u thông qua các hình nh và màu s c ña d ng c a nó, các chương trình ñ h a thư ng thu hút ngư i s d ng b i tính thân thi n, d dùng,... kích thích kh năng sáng t o và nâng cao năng su t làm vi c. 1.1.2. CÁC K THU T ð H A D a vào các phương pháp x lý d li u trong h th ng, ta phân ra làm hai k thu t ñ h a: 1.1.2.1. K thu t ñ h a ñi m
- 7. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a Nguyên lý c a k thu t này như sau: các hình nh ñư c hi n th thông qua t ng pixel (t ng m u r i r c). V i k thu t này, chúng ta có th t o ra, xóa ho c thay ñ i thu c tính c a t ng pixel c a các ñ i tư ng. Các hình nh ñư c hi n th như m t lư i ñi m r i r c (grid), t ng ñi m ñ u có v trí xác ñ nh ñư c hi n th v i m t giá tr nguyên bi u th màu s c ho c d sáng c a ñi m ñó. T p h p t t c các pixel c a grid t o nên hình nh c a ñ i tư ng mà ta mu n bi u di n. 1.1.2.2. K thu t ñ h a vector Nguyên lý c a k thu t này là xây d ng mô hình hình h c (geometrical model) cho hình nh ñ i tư ng, xác ñ nh các thu c tính c a mô hình hình h c, sau ñó d a trên mô hình này ñ th c hi n quá trình tô trát (rendering) ñ hi n th t ng ñi m c a mô hình, hình nh c a ñ i tư ng. k thu t này, chúng ta ch lưu tr mô hình toán h c c a các thành ph n trong mô hình hình h c cùng v i các thu c tính tương ng mà không c n lưu l i toàn b t t c các pixel c a hình nh ñ i tư ng. 1.1.3. ng d ng c a ñ h a máy tính hi n nay Ngày nay, ñ h a máy tính ñư c s d ng r ng rãi trong nhi u lĩnh v c khác nhau như: Công nghi p, thương m i, qu n lý, giáo d c, gi i trí,... Sau ñây là m t s ng d ng tiêu bi u: 1.1.3.1. T o giao di n (User Interfaces): như các chương trình ng d ng WINDOWS, WINWORD, EXCEL ... ñang ñư c ña s ngư i s d ng ưa chu ng nh tính thân thi n, d s d ng. 1.1.3.2. T o ra các bi u ñ dùng trong thương m i, khoa h c và k thu t: Các bi u ñ ñư c t o ra r t ña d ng, phong phú bao g m c hai chi u l n ba chi u góp ph n thúc ñ y xu hư ng phát tri n các mô hình d li u h tr ñ c l c cho vi c phân tích thông tin và tr giúp ra quy t ñ nh. 1.1.3.3. T ñ ng hóa văn phòng và ch b n ñi n t : dùng nh ng ng d ng c a ñ h a ñ in n các tài li u v i nhi u lo i d li u khác nhau như: văn b n, bi u ñ , ñ th và nhi u lo i hình nh khác ... 1.1.3.4. Thi t k v i s tr giúp c a máy tính (Computer aided design): M t trong nh ng l i ích l n nh t c a máy tính là tr giúp con ngư i trong vi c thi t k . Các ng 2
- 8. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a d ng ñ h a cho phép chúng ta thi t k các thi t b cơ khí, ñi n, ñi n t , ô tô, máy bay, ... như ph n m m AUTOCAD ... 1.1.3.5. Lĩnh v c gi i trí, ngh thu t: cho phép các h a sĩ t o ra các hình nh ngay trên màn hình c a máy tính. Ngư i h a sĩ có th t pha màu, tr n màu, th c hi n m t s thao tác: c t, dán, t y, xóa, phóng to, thu nh ... như các ph n m m PAINTBRUSH, CORELDRAW,... 1.1.3.6. Lĩnh v c b n ñ : xây d ng và in n các b n ñ ñ a lý. M t trong nh ng ng d ng hi n nay c a ñ h a là h th ng thông tin ñ a lý (GIS - Geographical Information System). 1.1.4. Các lĩnh v c c a ñ h a máy tính 1.1.4.1. Các h CAD/CAM (CAD – Computer Aided Design, CAM – Computer Aided Manufacture) Các h này xây d ng t p h p các công c ñ h a tr giúp cho vi c thi t k các chi ti t và các h th ng khác nhau: các thi t b cơ khí, ñi n t ... Ch ng h n như ph n m m Auto Cad c a h ng AutoDesk... 1.1.4.2. X lý nh (Image Processing) ðây là lĩnh v c x lý các d li u nh trong cu c s ng. Sau quá trình x lý nh, d li u ñ u ra là nh c a ñ i tư ng. Trong quá trình x lý nh, chúng ta s s d ng r t nhi u các k thu t ph c t p: khôi ph c nh, xác ñ nh biên... Ví d : ph n m m PhotoShop, Corel Draw, ... 1.1.4.3. Khoa h c nh n d ng (Pattern Recognition) Nh n d ng là m t lĩnh v c trong k thu t x lý nh. T nh ng m u nh có s n, ta phân lo i theo c u trúc ho c theo các phương pháp xác ñ nh nào ñó và b ng các thu t toán ch n l c ñ có th phân tích hay t ng h p nh ñã cho thành m t t p h p các nh g c, các nh g c này ñư c lưu trong m t thư vi n và căn c vào thư vi n này ñ nh n d ng các nh khác. Ví d : Ph n m m nh n d ng ch vi t (VnDOCR) c a vi n Công ngh Thông tin Hà N i, nh n d ng vân tay, nh n d ng m t ngư i trong khoa h c hình s ... 1.1.4.4. ð h a minh h a (Presentation Graphics) 3
- 9. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a ðây là lĩnh v c ñ h a bao g m các công c tr giúp cho vi c hi n th các s li u th ng kê m t cách tr c quan thông qua các m u ñ th ho c bi u ñ có s n. Ch ng h n như các bi u ñ (Chart) trong các ph n m m Word, Excel... 1.1.4.5. Ho t hình và ngh thu t Lĩnh v c ñ h a này bao g m các công c giúp cho các h a sĩ, các nhà thi t k phim nh chuyên nghi p th c hi n các công vi c c a mình thông qua các k x o v tranh, ho t hình ho c các k x o ñi n nh khác... Ví d : Ph n m m x lý các k x o ho t hình như: 3D Animation, 3D Studio Max..., ph n m m x lý các k x o ñi n nh: Adobe Primiere, Cool 3D,... 1.1.5. T ng quan v m t h ñ h a (Graphics System) 1.1.5.1. H th ng ñ h a Ph n m m ñ h a: Là t p h p các câu l nh ñ h a c a h th ng. Các câu l nh l p trình dùng cho các thao tác ñ h a không ñư c các ngôn ng l p trình thông d ng như PASCAL, C, ... h tr . Thông thư ng, nó ch cung c p như là m t t p công c thêm vào trong ngôn ng . T p các công c này dùng ñ t o ra các thành ph n cơ s c a m t hình nh ñ h a như: ði m, ño n th ng, ñư ng tròn, màu s c,... Qua ñó, các nhà l p trình ph i t o ra các chương trình ñ h a có kh năng ng d ng cao hơn. Ph n c ng ñ h a: Là các thi t b ñi n t : CPU, Card, màn hình, chu t, phím... giúp cho vi c th c hi n và phát tri n các ph n m m ñ h a. 1.1.5.2. Các thành ph n c a m t h th ng ñ h a T p h p các công c này ñư c phân lo i d a trên nh ng công vi c trong t ng hoàn c nh c th : xu t, nh p, bi n ñ i nh, ... bao g m: • T p công c t o ra nh g c (output primitives): cung c p các công c cơ b n nh t cho vi c xây d ng các hình nh. Các nh g c bao g m các chu i ký t , các th c th hình h c như ñi m, ñư ng th ng, ña giác, ñư ng tròn,... • T p các công c thay ñ i thu c tính (attributes): dùng ñ thay ñ i thu c tính c a các nh g c. Các thu c tính c a nh g c bao g m màu s c (color), ki u ñư ng th ng (line style), ki u văn b n (text style), m u tô vùng (area filling pattern),... 4
- 10. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a • T p các công c thay ñ i h quan sát (viewing transformation): M t khi mà các nh g c và các thu c tính c a nó ñư c xác ñ nh trong h t a ñ th c, ta c n ph i chi u ph n quan sát c a nh sang m t thi t b xu t c th . Các công c này cho phép ñ nh nghĩa các vùng quan sát trên h t a ñ th c ñ hi n th hình nh ñó. • T p các công c ph c v cho các thao tác nh p d li u (input operations): Các ng d ng ñ h a có th s d ng nhi u lo i thi t b nh p khác nhau như bút v , b ng, chu t, ... Chính vì v y, c n xây d ng thêm các công c này ñ ñi u khi n và x lý các d li u nh p sao cho có hi u qu . M t yêu c u v ph n c ng không th thi u ñ t ra cho các ph n m m ñ h a là: tính d mang chuy n (portability), có nghĩa là chương trình có th chuy n ñ i m t cách d dàng gi a các ki u ph n c ng khác nhau. N u không có s chu n hóa, các chương trình thi t k thư ng không th chuy n ñ i ñ n các h th ng ph n c ng khác mà không vi t l i g n như toàn b chương trình. Sau nh ng n l c c a các t ch c chu n hóa qu c t , m t chu n cho vi c phát tri n các ph n m m ñ h a ñã ra ñ i: ñó là GKS (Graphics Kernel System - H ñ h a cơ s ). H th ng này ban ñ u ñư c thi t k như là m t t p các công c ñ h a hai chi u, sau ñó ñư c phát tri n ñ m r ng trong ñ h a ba chi u. Ngoài ra, còn có m t s chu n ñ h a ph bi n như: • CGI (Computer Graphics Interface System): h chu n cho các phương pháp giao ti p v i các thi t b ngo i vi. • OPENGL: thư vi n ñ h a c a h ng Silicon Graphics. • DIRECTX: thư vi n ñ h a c a h ng Microsoft. 1.2. MÀN HÌNH ð H A M i máy tính ñ u có m t CARD dùng ñ qu n lý màn hình, g i là Video Adapter hay Graphics Adapter. Có nhi u lo i adapter như: CGA, MCGA, EGA, VGA, Hercules... Các adapter có th làm vi c hai ch ñ : văn b n (Text Mode) và ñ h a (Graphics Mode). Có nhi u cách ñ kh i t o các mode ñ h a. Ta có th s d ng hàm $00 ng t $10 c a BIOS v i các Mode sau: 5
- 11. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a • Mode $12: ch ñ phân gi i 640x480x16 • Mode $13: ch ñ phân gi i 320x200x256 Ta có th vi t m t th t c ñ kh i t o ch ñ ñ h a như sau: Procedure InitGraph(Mode:Word); var Reg:Registers; Begin reg.ah := 0; reg.al := mode; intr($10,reg); End; Các b n có th tham kh o thêm các tài li u v l p trình h th ng. 1.3. CÁC KHÁI NI M 1.3.1. ði m (Pixel) Trong các h th ng ñ h a, m t ñi m ñư c bi u th b i các t a ñ b ng s . Ví du: Trong m t ph ng, m t ñi m là m t c p (x,y) Trong không gian ba chi u, m t ñi m là b ba (x,y,z) Trên màn hình c a máy tính, m t ñi m là m t v trí trong vùng nh màn hình dùng ñ lưu tr các thông tin v ñ sáng c a ñi m tương ng trên màn hình. S ñi m v trên màn hình ñư c g i là ñ phân gi i c a màn hình (320x200, 480x640, 1024x1024,...) Cách hi n th thông tin lên màn hình ñ h a: Vùng ñ m màn hình hay còn g i là b nh hi n th ñư c b t ñ u t ñ a ch A000h:$0000h. Vì v y, ñ hi n th thông tin ra màn hình thì ta ch c n ñưa thông tin vào vùng ñ m màn hình b t ñ u t ñ a ch trên là ñư c. Có nhi u cách ñ v m t ñi m ra màn hình: có th dùng các ph c v c a BIOS ho c cũng có th truy xu t tr c ti p vào vùng nh màn hình. • N u dùng ph c v c a BIOS, ta dùng hàm $0C ng t $10: Procedure PutPixel(Col,Row:Word; Color:Byte); Var reg:Registers; Begin reg.ah:=$0C; reg.al:=Color; 6
- 12. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a reg.bh:=0; reg.cx:=Col; reg.dx:=Row; Intr($10,reg); End; • N u mu n truy xu t tr c ti p vào vùng ñ m màn hình: Gi s m t ñi m (x,y) ñư c v trên màn hình v i ñ phân gi i 320x200x256 (mode 13h), ñi m ñó s ñư c ñ nh v trong vùng ñ m b t ñ u t ñ a ch segment A000h và ñ a ch offset ñư c tính theo công th c: Offset = y*320 + x. Ta có th vi t th t c như sau: Procedure PutPixel(x,y:Word; Color:Byte); Var Offset:Word; Begin Offset:=(y shl 8) + (y shl 6) + x; Mem[$A000:Offset]:=Color; End; 1.3.2. Các bi u di n t a ñ H u h t các chương trình ñ h a ñ u dùng h t a ñ Decartes (Hình 1.1). Ta bi n ñ i: O MaxX Y Y O X X MaxY T a ñ th gi i th c T a ñ thi t b màn hình. Hình 1.1 1.3.3. ðo n th ng Trong các h th ng ñ h a, các ño n th ng ñư c bi u th b i vi c “tô” ño n th ng b t ñ u t ñi m ñ u mút này kéo dài cho ñ n khi g p ñi m ñ u mút kia. 1.4. CÁC THU T TOÁN V ðO N TH NG 7
- 13. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a 1.4.1. Bài toán: V ño n th ng ñi qua 2 ñi m A(x1,y1) và B(x2,y2) * Trư ng h p x1=x2 ho c y1=y2: r t ñơn gi n. * Trư ng h p ñư ng th ng có h s góc m: Ý tư ng: Vì các Pixel ñư c v các v trí nguyên nên ñư ng th ng ñư c v gi ng như hình b c thang (do làm tròn). V n ñ ñ t ra là ch n các t a ñ nguyên g n v i ñư ng th ng nh t. 1.4.2. Thu t toán DDA (Digital differential analyzer) Xét ñư ng th ng có h s góc 0<m≤1(gi s ñi m ñ u A n m bên trái và ñi m cu i B n m bên ph i). N u ta ch n ∆x=1và tính giá tr y k ti p như sau: yk+1 = yk + ∆y = yk + m.∆x = yk + m V i h s góc m>1: ta hoán ñ i vai trò c a x,y cho nhau. N u ch n ∆y=1 thì: xk+1 = xk + 1/m Tương t , n u ñi m B n m bên trái và A n m bên ph i thì: yk+1 = yk - m (0<m≤1, ∆x= -1) xk+1 = xk - 1/m (m>1, ∆y= -1) Tóm l i: Ta có thu t toán v ñư ng th ng DDA như sau: Nh p A(x1,y1) B(x2,y2) Tính ∆x = x2 - x1 ∆y = y2 - y1 Step = Max(|∆x| , |∆y|) Kh i t o các giá tr : IncX = ∆x/Step; IncY = ∆y/Step; {bư c tăng khi v } x = x1; y = y1; {Ch n ñi m v ñ u tiên} V ñi m (x,y); Cho i ch y t 1 ñ n Step: x = x + IncX; y = y + IncY; V ñi m (Round(x),Round(y)) T ñó ta có th t c v ño n th ng theo thu t toán DDA như sau: Procedure DDALine(x1,y1,x2,y2:Integer); var dx,dy,step,i:integer; 8
- 14. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a xInc,yInc,x,y:real; Begin dx:=x2-x1; dy:=y2-y1; If abs(dx)>abs(dy) Then step:=abs(dx) else step:=abs(dy); xInc:=dx/step; yInc:=dy/step; x:=x1; y:=y1; Putpixel(round(x),round(y),15); for i:=1 to step do Begin x:=x+xInc; y:=y+yInc; Putpixel(round(x),round(y),15); End; End; 1.4.3. Thu t toán Bresenham Phương trình ñư ng th ng có th phát bi u dư i d ng: y = m.x + b (1) yi+ Phương trình ñư ng th ng qua 2 ñi m: 1 x − x1 y − y1 y = (*) x 2 − x1 y 2 − y1 yi ð t ∆x = x2 - x1 ∆y = y2 - y1 xi xi+1 ∆y ∆y (*) ⇔ y = x. + y1 - x1. Hình 1.2 ∆x ∆x ∆y Suy ra m = nên ∆y = m. ∆x (2) ∆x b = y1 - m.x1 (3) Ta ch xét trư ng h p h s góc 0<m<1. Gi s ñi m (xi,yi) ñã ñư c v . Ta ph i ch n ñi m k ti p là: 9
- 15. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a (xi + 1,yi) ho c (xi +1,yi +1) (Xem hình 1.2) Xét kho ng cách gi a 2 ñi m ch n v i ñi m n m trên ñư ng th c. N u kho ng cách nào bé hơn thì ta l y ñi m ñó. ð t: d1 = y - yi = m.(xi +1) + b - yi d2 = (yi +1) - y = yi + 1 - m.(xi + 1) - b Suy ra: d1 - d2 = 2m.(xi + 1) - 2yi + 2b - 1 ∆y = 2. .(xi + 1) - 2yi + 2b - 1 ∆x ⇔ ∆x(d1 - d2) = 2∆y.xi - 2∆x.yi + 2∆y + ∆x.(2b - 1) ð t pi = ∆x(d1 - d2) và C = 2∆y + ∆x.(2b - 1) thì pi = 2∆y.xi - 2∆x.yi + C (4) pi+1 = 2∆y.xi+1 - 2∆x.yi+1 + C Suy ra: pi+1 - pi = 2∆y(xi+1 - xi) - 2∆x(yi - yi+1) = 2∆y - 2∆x(yi+1 - yi) (5) ( vì xi+1 - xi = 1 ) * Nh n xét: . N u pi < 0: Ch n yi+1 = yi T (5) ⇒ pi+1 = pi + 2∆y. (d1<d2) . N u pi ≥ 0: Ch n yi+1 = yi + 1 T (5) ⇒ pi+1 = pi + 2∆y - 2∆x. (d1>d2) V i ñi m mút ñ u tiên, theo (4) ta có: p1 = 2∆y.x1 - 2∆x.y1 + 2∆y + ∆x[2.(y1 - m.x1) - 1] = 2∆y - ∆x T ñó, ta có th tóm t t thu t toán v ñư ng th ng theo Bresenham cho trư ng h p h s góc 0<m<1 như sau: • Bư c 1: Nh p các ñi m ñ u mút. ði m ñ u mút bên trái ch a t a ñ (x1,y1), ñi m ñ u mút bên ph i ch a t a ñ (x2,y2). • Bư c 2: ði m ñư c ch n ñ v ñ u tiên là (x1,y1). • Bư c 3: Tính ∆x = |x2 - x1| , ∆y = |y2 - y1| và P1 = 2∆y - ∆x N u pi < 0 thì ñi m k ti p là (xi + 1,yi) Ngư c l i: ñi m k ti p là (xi + 1,yi + 1) 10
- 16. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a • Bư c 4: Ti p t c tăng x lên 1 Pixel. v trí xi +1, ta tính: pi+1 = pi + 2∆y n u pi < 0 pi+1 = pi + 2.( ∆y - ∆x) n u pi ≥ 0 N u pi+1 < 0 thì ta ch n to ñ y k ti p là yi+1 Ngư c l i thì ta ch n yi+1 +1 • Bư c 5: L p l i bư c 4 cho ñ n khi x = x2. Sau ñây là th t c cài ñ t thu t toán: Procedure LINE(x1,y1,x2,y2:integer); { 0<m<1} var dx,dy,x,y,p,c1,c2,xMax:integer; Begin dx:=abs(x1-x2); dy:=abs(y1-y2); c1:=2*dy; c2:=2*(dy-dx); p:=2*dy-dx; if x1>x2 then begin x:=x2; y:=y2; xMax:=x1; end else begin x:=x1;y:=y1;xMax:=x2; end; putpixel(x,y,red); while x<xMax do begin x:=x+1; if p<0 then p:=p+c1 else begin y:=y+1; p:=p+c2; end; 11
- 17. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a putpixel(x,y,red); end; end; 1.4.4. Thu t toán MidPoint Ta ch xét trư ng h p h s góc 0<m<1. Thu t toán này ñưa ra cách ch n ñi m S(xi+1,yi) hay P(xi+1,yi+1) b ng cách so sánh ñi m th c Q(xi+1,y) v i ñi m M (trung ñi m c a S và P). N u ñi m Q n m dư i ñi m M thì ch n ñi m S Ngư c l i, ch n ñi m P. (Xem hình 1.3) Ta có d ng t ng quát c a phương trình ñư ng th ng: Ax + By + C = 0 v i A = y2 – y1 , B = –(x2 – x1) , C = x2.y1 – x1.y2 ð t F(x,y) = Ax + By + C, ta có nh n xét: < 0 n u (x,y) n m phía trên ñư ng th ng F(x,y) = 0 n u (x,y) thu c v ñư ng th ng > 0 n u (x,y) n m phía dư i ñư ng th ng Lúc này, vi c ch n các ñi m S hay P ñư c ñưa v vi c xét d u c a: 1 pi = F(M) = F(xi + 1,yi + ) 2 N u pi < 0 ⇒ M n m trên ño n th ng ⇒ Q n m dư i M ⇒ Ch n S P N u pi ≥ 0 ⇒ M n m dư i ño n yi+ 1 Q th ng ⇒ Q n m trên M ⇒ Ch n P M M t khác: yi S 1 pi = F(xi + 1,yi + ) 2 1 xi pi+1 = F(xi+1 + 1,yi+1 + ) xi+1 2 Hình 1.3 nên 1 1 pi+1 - pi = F(xi+1 + 1,yi+1 + ) - F(xi + 1,yi + ) 2 2 12
- 18. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a 1 1 = A(xi+1+1) + B(yi+1 + ) + C - A(xi+1) - B(yi + ) - C 2 2 = A(xi+1 - xi) + B(yi+1 - yi) = A + B(yi+1 - yi) (vì xi+1 - xi =1) Suy ra: pi+1 = pi + A + B(yi+1 - yi) (*) *Nh n xét: . N u pi < 0: Ch n ñi m S: yi+1 = yi T (*) suy ra pi+1 = pi + A . N u pi ≥ 0: Ch n ñi m P: yi+1 = yi + 1 T (*) suy ra pi+1 = pi + A + B V i ñi m mút ñ u tiên, ta có: 1 1 p1 = F(x1 + 1,y1 + ) = A(x1+1) + B(y1 + ) + C 2 2 B B = Ax1 + Bx1 + C + A + =A+ (vì Ax1 + Bx1 + C = 0) 2 2 Thu t toán MidPoint cho k t qu tương t như thu t toán Bresenham. 1.5. THU T TOÁN V ðƯ NG TRÒN Xét ñư ng tròn (C) tâm O(xc,yc) bán kính R. (- (y,x Phương trình t ng quát c a ñư ng tròn có d ng: y,x) ) (x - xc)2 + (y - yc)2 = R2 (*) (- (x,y x,y) ) ⇔ y = yc ± R2 − ( x − xC ) 2 (1) (-x,- (x,- ð ñơn gi n thu t toán, ñ u tiên ta xét ñư ng y) y) (-y,- ( tròn có tâm g c t a ñ (xc=0 và yc=0). x) y,- * Ý tư ng: Hình Do tính ñ i x ng c a ñư ng tròn nên n u ñi m 1.4 (x,y)∈(C) thì các ñi m (y,x), (-y,x), (-x,y), (-x,-y), (-y,-x), (y,-x), (x,-y) cũng ∈ (C) (Hình 1.4) Vì v y, ta ch c n v m t ph n tám cung tròn r i l y ñ i x ng qua g c O và 2 tr c to ñ thì ta có ñư c toàn b ñư ng tròn. 1.5.1. Thu t toán Bresenham Gi s (xi,yi) ñã v ñư c. C n ch n ñi m k ti p là (xi +1,yi) ho c (xi +1,yi -1) (Hình 1.5) T phương trình: x2 + y2 = R2 ta tính ñư c giá tr y th c ng v i xi +1 là: 13
- 19. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a y2 = R2 - (xi +1)2 ð t: d1 = yi2 - y2 = yi2 - R2 + (xi + 1)2 d2 = y2 - (yi - 1)2 = R2 - (xi + 1)2 - (yi - 1)2 yi y Suy ra: yi- pi = d1 - d2 = 2.(xi + 1)2 + yi2 + (yi - 1)2 - 2R2 (2) 1 ⇒ pi+1 = 2.(xi+1 + 1)2 + y2i+1 + (yi+1 - 1)2 - 2R2 (3) T (2) và (3) ta có: xi xi+1 pi+1 - pi = 4xi + 6 + 2.(y2i+1 - yi2) - 2.(yi+1 - yi) Hình 1.5 ⇒ pi+1 = pi + 4xi + 6 + 2.(y2i+1 - yi2) - 2.(yi+1 - yi) (4) * Nh n xét: N u pi < 0: ch n yi+1 = yi (4) ⇒ pi+1 = pi + 4xi + 6 N u pi ≥ 0: ch n yi+1 = yi - 1 (4) ⇒ pi+1 = pi + 4.(xi - yi) + 10 Ta ch n ñi m ñ u tiên c n v (0,R), theo (2) ta có: p1 = 3 - 2R Tóm l i: Ta có thu t toán v ñư ng tròn: • Bư c 1: Ch n ñi m ñ u c n v (x1,y1) = (0,R) • Bư c 2: Tính P ñ u tiên: p1 = 3 - 2R N u p < 0: ch n ñi m k ti p là (xi +1,yi). Ngư c l i ch n ñi m (xi + 1,yi - 1) • Bư c 3: x:=x + 1, tính l i p: N u pi < 0: pi+1 = pi + 4xi + 6. Ngư c l i: pi+1 = pi + 4.(xi - yi) + 10 Khi ñó: N u pi+1 < 0: ch n ñi m k ti p là (xi +1,yi+1). Ngư c l i ch n ñi m (xi+1,yi+1-1) • Bư c 4: L p l i bư c 3 cho ñ n khi x = y. Sau ñây là th t c ñ cài ñ t thu t toán: Procedure Circle(x0,y0,r:Integer); Var p,x,y:Integer; Procedure VeDiem; Begin PutPixel( x0 + x , y0 + y , color); PutPixel( x0 - x , y0 + y , color); PutPixel( x0 + x , y0 - y , color); PutPixel( x0 - x , y0 - y , color); 14
- 20. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a PutPixel( x0 + y , y0 + x , color); PutPixel( x0 - y , y0 + x , color); PutPixel( x0 + y , y0 - x , color); PutPixel( x0 - y , y0 - x , color); End; Begin x:=0; y:=r; p:=3 - 2*r; While x<=y do Begin VeDiem; If p<0 then p:=p + 4*x + 6 Else Begin p:=p + 4*(x-y) + 10; y:=y-1; End; x:=x+1; End; End; 1.5.2. Thu t toán MidPoint T phương trình ñư ng tròn: x2 + y2 = R2 S 2 2 2 yi ð t F(x,y) = x + y - R ,ta có: M < 0 n u (x,y) trong ñư ng tròn Q yi- P F(x,y) = 0 n u (x,y) trên ñư ng tròn 1 > 0 n u (x,y) ngoàiñư ng tròn Lúc này, vi c ch n các ñi m S(xi+1,yi) hay xi xi+1 P(xi+1,yi-1) ñư c ñưa v vi c xét d u c a: Hình 1.6 1 pi = F(M) = F(xi + 1,yi - ) (Hình 1.6) 2 N u pi < 0 ⇒ M n m trong ñư ng tròn ⇒ Q g n S hơn ⇒ Ch n S N u pi ≥ 0 ⇒ M n m ngoài ñư ng tròn ⇒ Q g n P hơn ⇒ Ch n P 15
- 21. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a M t khác: 1 pi = F(xi + 1,yi - ) 2 1 pi+1 = F(xi+1 + 1,yi+1 - ) 2 nên 1 1 pi+1 - pi = F(xi+1 + 1,yi+1 - ) - F(xi + 1,yi - ) 2 2 1 2 1 = [(xi+1+1)2 + (yi+1 - ) - R2] - [(xi+1)2 + (yi - )2 - R2] 2 2 1 2 1 = [(xi+2)2 + (yi+1 - ) - R2] - [(xi+1)2 + (yi - )2 - R2] 2 2 = 2xi + 3 + (yi+12 - yi2) - (yi+1 - yi) Suy ra: pi+1 = pi + 2xi + 3 + (yi+12 - yi2) - (yi+1 - yi) (*) *Nh n xét: . N u pi < 0: Ch n ñi m S : yi+1 = yi T (*) ⇒ pi+1 = pi + 2xi + 3 . N u pi ≥ 0: Ch n ñi m P: yi+1 = yi - 1 T (*) ⇒ pi+1 = pi + 2(xi - yi) + 5 V i ñi m ñ u tiên (0,R), ta có: 1 1 1 5 p1 = F(x1 + 1,y1 - ) = F(1,R - ) = 1 + (R - )2 - R2 = - R 2 2 2 4 1.6. THU T TOÁN V ELLIPSE ð ñơn gi n, ta ch n Ellipse có tâm g ct a ñ . Phương trình c a nó có d ng: x2 y2 + 2 =1 a2 b b2 2 Ta có th vi t l i: y2 = - 2 .x + b2 (*) a *Ý tư ng: Gi ng như thu t toán v ñư ng tròn. Hình 1.7 Ch có s khác bi t ñây là ta ph i v 2 nhánh: M t nhánh t trên xu ng và m t nhánh t dư i lên và 2 nhánh này s g p nhau t i ñi m mà ñó h s góc c a ti p tuy n v i Ellipse = -1 (Hình 1.7). Phương trình ti p tuy n v i Ellipse t i ñi m (x0,y0) ∈ (E) : 16
- 22. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a x y x0 . 2 + y0. 2 = 1 a b x 0 .b 2 Suy ra, h s góc c a ti p tuy n t i ñi m ñó là: - . y0 a 2 1.6.1. Thu t toán Bresenham ñây, ta ch xét nhánh v t trên xu ng. Gi s ñi m (xi,yi) ñã ñư c v . ði m ti p theo c n ch n s là (xi+1,yi) ho c (xi+1,yi-1) b2 Thay (xi +1) vào (*): y2 = - 2 .(xi +1)2 + b2 a ð t: b2 d1= yi2 - y2 = yi2 + 2 .(xi +1)2 -b2 a b2 d2= y2 - (yi -1)2 = - 2 .(xi +1)2 + b2 - (yi -1)2 a b2 ⇒ pi = d1 - d2 = 2.[ 2 .(xi +1)2 - b2] + 2.(yi2 + yi) -1 a b2 pi+1 = 2.[ 2 .(xi+1 +1)2 - b2] + 2.(yi+12 + yi+1) -1 a Suy ra: b2 pi+1 - pi = 2. 2 .[(xi+1 +1)2 - (xi +1)2] + 2.( yi+12 - yi2 + yi+1 - yi) (**) a *Nh n xét: • pi < 0: Ch n yi+1 = yi b2 (**) ⇒ pi+1 = pi + 2. .(2x + 3) a2 • pi ≥ 0: Ch n yi+1 = yi -1 b2 (**) ⇒ pi+1 = pi + 2. .(2x + 3) - 4yi a2 V i ñi m ñ u tiên (0,b), ta có: b2 p1 = 2 - 2b + 1 a2 T ñó, ta có th t c v Ellipse như sau: 17
- 23. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a Procedure Ellipse(xc,yc,a,b:Integer;Color:Byte); Var p,a2,b2:real; x,y:integer; (*-------------------*) Procedure VeDiem; Begin PutPixel(xc+x,yc+y,Color); PutPixel(xc-x,yc+y,Color); PutPixel(xc-x,yc-y,Color); PutPixel(xc+x,yc-y,Color); End; (*-------------------*) Begin a2:=a*a; b2:=b*b; {Nhanh 1} x:=0; y:=b; p:=2*b2/a2 - 2*b + 1; While (b2/a2)*(x/y)<1 do Begin VeDiem; If p<0 then p:=p + 2*(b2/a2)*(2*x+3) else Begin p:=p - 4*y + 2*(b2/a2)*(2*x+3); y:=y-1; End; x:=x+1; End; {Nhanh 2} y:=0; x:=a; p:=2*(a2/b2) - 2*a + 1; While (a2/b2)*(y/x)<=1 do 18
- 24. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a Begin VeDiem; If p<0 then p:=p + 2*(a2/b2)*(2*y+3) else Begin p:=p - 4*x + 2*(a2/b2)*(2*y+3); x:=x-1; End; y:=y+1; End; End; 1.6.2. Thu t toán MidPoint G i ý: x2 y2 Phương trình Ellipse: + 2 =1 a2 b Nhánh 1: 1 2 p1 = b2 - a 2 b + .a 4 If pi < 0 Then pi+1 = pi + b2 + 2b2xi+1 else pi+1 = pi + b2 + 2b2xi+1 - 2a2yi+1 Nhánh 2: 1 2 p1 = b2(xi + ) + a2(yi - 1)2 - a2b2 2 If pi > 0 Then pi+1 = pi + a2 - 2a2yi+1 else pi+1 = pi + a2 + 2b2xi+1 - 2a2yi+1 Procedure MidEllipse(xc,yc,a,b:Integer;Color:Byte); Var p,a2,b2:real; x,y:Integer; (*-------------------*) Procedure VeDiem; Begin PutPixel(xc+x,yc+y,Color); PutPixel(xc-x,yc+y,Color); PutPixel(xc-x,yc-y,Color); 19
- 25. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a PutPixel(xc+x,yc-y,Color); End; (*-------------------*) Begin a2:=a*a; b2:=b*b; {Nhanh 1} x:=0; y:=b; Vediem; p:=b2 - a2*b + 0.25*a2; While (b2/a2)*(x/y)<1 do Begin x:=x+1; If p<0 Then p:=p + b2 + 2*b2*x else begin y:=y-1; p:=p + b2 + 2*b2*x - 2*a2*y; end; Vediem; End; {Nhanh 2} p:=b2*(x+0.5)*(x+0.5) + a2*(y-1)*(y-1)- a2*b2 ; While y>0 do Begin y:=y-1; If p>0 Then p:=p + a2 - 2*a2*y else begin x:=x+1; p:=p + a2 + 2*b2*x - 2*a2*y; end; Vediem; End; 20
- 26. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a End; 1.7. PHƯƠNG PHÁP V ð TH HÀM S 1.7.1. Bài toán: V ñ th c a hàm s y = f(x) trên ño n [Min,Max]. *Ý tư ng: Cho x ch y t ñ u ñ n cu i ñ l y các t a ñ (x,f(x)) sau ñó làm tròn thành s nguyên r i n i các ñi m ñó l i v i nhau. 1.7.2. Gi i thu t: • Bư c 1: Xác ñ nh ño n c n v [Min,Max]. • Bư c 2: - ð t g c t a ñ lên màn hình (x0,y0). - Chia t l v trên màn hình theo h s k. - Ch n bư c tăng dx c a m i ñi m trên ño n c n v . • Bư c 3: Ch n ñi m ñ u c n v : x = Min, tính f(x) ð i qua t a ñ màn hình và làm tròn: x1:=x0 + Round(x.k); y1:=y0 - Round(y.k); Di chuy n ñ n (x1,y1): MOVETO(x1,y1); • Bư c 4: Tăng x lên v i s gia dx: x:=x + dx; ð i qua t a ñ màn hình và làm tròn: x2:=x0 + Round(x.k); y2:=y0 - Round(y.k); V ñ n (x2,y2): LINETO(x2,y2); • Bư c 5: L p l i bư c 4 cho ñ n khi x > Max thì d ng. Ví d : V ñ th hàm s f(x) = Sin(x) Uses crt,Graph; Var dau,cuoi:real; Gd,Gm:Integer; Function F(x:real):real; Begin F:=Sin(x); End; Procedure VeHinhSin(ChukyDau,ChuKyCuoi:real); 21
- 27. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a var x1,y1,x2,y2:integer; a,x,k:real; x0,y0:word; Begin x0:=GetMaxX div 2; y0:=GetMaxY div 2; K:=GetMaxX/30; a:=Pi/180; x:=ChuKyDau; x1:=x0 + Round(x*k); y1:=y0 - Round(F(x)*k); Moveto(x1,y1); While x<ChuKyCuoi do Begin x:=x+a; x2:=x0 + Round(x*k); y2:=y0 - Round(F(x)*k); LineTo(x2,y2); End; End; BEGIN Gd:=0; InitGraph(Gd,Gm,’C:BPBGI’); Dau:=-4*Pi; cuoi:=4*Pi; VeHinhSin(Dau,cuoi); repeat until KeyPressed; CloseGraph; END. BÀI T P 1. Cho hai ñi m A(20,10) và B(25,13). Hãy tính các giá tr Pi, xi, yi m i bư c khi v ño n th ng AB theo thu t toán Bresenham/MidPoint và k t q a ñi n vào b ng sau: i 1 2 3 4 5 6 22
- 28. Chương I. Cácy u t cơ s c a ñ h a Pi ? ? ? ? ? ? xi ? ? ? ? ? ? yi ? ? ? ? ? ? 2. Cài ñ t th t c v ño n th ng theo thu t toán Bresenham và MidPoint cho các trư ng h p h s góc m>1, m<-1, -1<m<0. 3. Vi t th t c LineTo(x,y:Integer); ñ v ño n th ng t v trí hi n th i ñ n ñi m có t a ñ (x,y). 4. Vi t th t c LineRel(dx,dy:Integer); ñ v ño n th ng t v trí hi n th i ñ n ñi m m i cách ñi m hi n th i m t kho ng theo tr c x là dx và theo tr c y là dy. 5. Cài ñ t th t c v ñư ng tròn theo thu t toán MidPoint. 6. Vi t th t c Arc(x0,y0,g1,g2:Integer; R:Word); ñ v cung tròn có tâm (x0,y0) bán kính R v i góc b t ñ u là g1 và góc k t thúc là g2. 7. Vi t th t c Sector(x0,y0,g1,g2:Integer; Rx,Ry:Word); ñ v cung Ellipse có tâm (x0,y0) bán kính theo tr c X là Rx, bán kính theo tr c Y là Ry v i góc b t ñ u là g1 và góc k t thúc là g2. 8. Vi t th t c DrawPoly(P:Array; n:Byte; xc,yc,R:Word); ñ v m t ña giác ñ u có n ñ nh lưu trong m ng P n i ti p trong ñư ng tròn tâm (xc,yc) bán kính R. 9. Vi t th t c Circle3P(A,B,C:ToaDo2D); ñ v ñư ng tròn ñi qua 3 ñi m A,B,C. 10. Vi t th t c Arc3P(A,B,C:ToaDo2D); ñ v cung tròn ñi qua 3 ñi m A,B,C. 11. V ñ th các hàm s sau: y = ax2 + bx + c, y = ax3 + bx2 + cx + d, y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ax + b ax 2 + bx + c y= , y= . cx + d dx + e 12. V các ñư ng cong sau: x2 y2 x2 y2 2 y = 2px + 2 =1 - 2 = ±1 a2 b a2 b Bài t p l n: Vi t chương trình kh o sát và v ñ th các hàm s sơ c p bài t p s 11. 23
- 29. CHƯƠNG 2 TÔ MÀU 2.1. GI I THI U V CÁC H MÀU Giác quan c a con ngư i c m nh n ñư c các v t th xung quanh thông qua các tia sáng màu t t hơn r t nhi u so v i 2 màu tr ng ñen. Vì v y, vi c xây d ng nên các chu n màu là m t trong nh ng lý thuy t cơ b n c a lý thuy t ñ h a. Vi c nghiên c u v màu s c ngoài các y u t v m t v t lý như bư c sóng, cư ng ñ , còn có 3 y u t khác liên quan ñ n c m nh n sinh lý c a m t ngư i dư i tác ñ ng c a chùm sáng màu ñi ñ n t v t th là: Hue (s c màu), Saturation (ñ b o hòa), Lightness (ñ sáng). M t trong nh ng h màu ñư c s d ng r ng rãi ñ u tiên do A.H.Munsell ñưa ra vào năm 1976, bao g m 3 y u t : Hue, Lightness và Saturation. Ba mô hình màu ñư c s d ng và phát tri n nhi u trong các ph n c ng là: RGB - dùng v i các màn hình CRT (Cathode ray bube), YIQ – dùng trong các h th ng ti vi màu băng t n r ng và CMY - s d ng trong m t s thi t b in màu. Ngoài ra, còn có nhi u h màu khác như: HSV, HSL, YIQ, HVC, ... 2.1.1.H RGB (Red, Green, Blue) M t c a chúng ta c m nh n ba màu rõ nh t là Red (ñ ), Green (l c), Blue (xanh). Vì v y, ngư i ta ñã xây d ng mô hình màu RGB (Red,Green, Blue) là t p t t c các màu ñư c xác ñ nh thông qua ba màu v a nêu. Chu n này ñ u tiên ñư c xây d ng cho các h vô tuy n truy n hình và trong các máy vi tính. T t nhiên, không ph i là t t c các màu ñ u có th bi u di n qua ba màu nói trên nhưng h u h t các màu ñ u có th chuy n v ñư c. H này ñư c xem như m t kh i ba chi u v i màu Red là tr c X, màu Green là tr c Y và màu Blue là tr c Z. M i màu trong h này ñư c xác ñ nh theo ba thành ph n RGB (Hình 2.1).
- 30. Chương II. Tômàu Z Blue Cyan Magenta White Y Black Green Red Yellow X Hình 2.1. H màu RGB Ví d : Màu Red là (1, 0, 0) Màu Blue là (0, 0, 1) Red + Green = Yellow Red + Green + Blue = White 2.1.2. H CMY (Cyan, Magenta, Yellow) H này cũng ñư c xem như m t kh i ba chi u như h RGB. Nhưng h CMY trái ngư c v i h RGB, ch ng h n: White có thành ph n (0, 0, 0) Cyan có thành ph n (1, 0, 0) Green có thành ph n (1, 0, 1) ... Sau ñây là công th c chuy n ñ i t h RGB → CMY : C 1 R M = 1 − G Y 1 B 2.1.3. H YIQ H màu này ñư c ng d ng trong truy n hình màu băng t n r ng t i M , do ñó nó có m i quan h ch t ch v i màn hình raster. YIQ là s thay ñ i c 26
- 31. Chương II. Tômàu Y 0.299 0.587 0.114 R I = 0.596 − 0.275 − 0.321 * G Q 0.212 − 0.523 0.311 B Ma tr n ngh ch ñ o c a ma tr n bi n ñ i RGB thành h YIQ ñư c s d ng cho phép bi n ñ i t h YIQ thành RGB. 2.1.4. H HSV (Hue, Saturation, Value) Mô hình màu này còn ñư c g i là h HSB v i B là Brightness (ñ sáng) d a trên cơ s n n t ng tr c giác v tông màu, s c ñ và s c thái m thu t (Hình 2.2). Hue có giá tr t 00 → 3600 S, V có giá tr t 0 →1 V Green Yellow 1.0 Cyan White Red Blue White H S 0.0 Black Hình 2.2. H màu HSV Ví d : Red ñư c bi u di n (00, 1, 1) Green ñư c bi u di n (1200,1,1) 2.1.5. H HSL (Hue, Saturation, Lightness) H này ñư c xác ñ nh b i t p h p hình chóp sáu c nh ñôi c a không gian hình tr (hình 2.3). 1.0 L White Green Yellow Cyan 0.5 Red Blue White H S 0.0 Black Hình 2.3. H màu HSL 27
- 32. Chương II. Tômàu 2.2. CÁC THU T TOÁN TÔ MÀU 2.2.1. Bài toán P2 Cho ña giác S xác ñ nh b i n ñ nh : P1, P2, ..., Pn. Hãy tô màu mi n S. W P1 P3 * Phương pháp t ng quát : S - Tìm hình ch nh t W nh nh t ch a S P5 (hình 2.4). - Duy t qua t t c các ñi m P(x, y) ∈ W. P4 N u P ∈ S thì tô màu ñi m P. Hình 2.4 2.2.2. Thu t toán xác ñ nh P ∈ S 2.2.2.1. S là ña giác l i - L y P ∈ W, n i P v i các ñ nh c a S thì ta ñư c n tam giác : Si= PPiPi+1, v i Pn+1=P1. n -N u ∑ dt(S ) i =1 i = dt(S) thì P ∈ S. Ta có công th c tính di n tích c a S: 1 n S= | ∑xi yi+1 −xi+1yi) | ( 2 i=1 2.2.2.2. Trư ng h p t ng quát (Thu t toán Jordan) L y P(x, y) ∈ W, k n a ñư ng th ng ∆P xu t phát t P và không ñi qua các ñ nh c a ña giác S. G i S(P) là s giao ñi m c a ∆P v i các biên c a S. N u S(P) l thì P ∈ S. * V n ñ còn l i là tìm S(P): Bư c 1: K n a ñư ng th ng ∆P // 0y và hư ng v phía y>0. Bư c 2: V i m i c nh Ci= PiPi+1 c a S: + N u x=xi thì xét 2 c nh có 1 ñ u là Pi: N u y<yi thì 28
- 33. Chương II. Tômàu • N u c 2 ñ u kia cùng m t phía c a ∆P thì ta tính ∆P c t c 2 c nh. • Ngư c l i : ∆P c t 1 c nh. + Ngư c l i: • N u x>Max(xi,xi+1) ho c x<Min(xi,xi+1) thì ∆P không c t Ci • Ngư c l i: -N u y<= Min(yi, yi+1) thì ∆P c t Ci -Ngư c l i : Xét t a ñ giao ñi m (x0, y0) c a ∆P v i Ci N u y >= y0 thì ∆P không c t Ci. Ngư c l i ∆P c t Ci. Thu t toán này có th ñư c cài ñ t b ng ño n chương trình như sau: Type ToaDo=record x,y:integer; End; Mang=array[0..30] of ToaDo; Function SOGIAODIEM(a:Mang; n:Byte):Integer; var dem,i,j,s:Integer; Begin dem:=0; for i:=1 to n do { Tim so giao diem } begin if i=n then j:=1 else j:=i+1; if i=1 then s:=n else s:=i-1; if x=a[i].x then begin if y<a[i].y then if (x<=Min(a[s].x ,a[j].x))OR (x>=Max(a[s].x,a[j].x)) then dem:=dem+2 else dem:=dem+1; end else if (x>Min(a[i].x,a[j].x)) and (x<Max(a[j].x,a[i].x)) then if y<=Min(a[i].y,a[j].y) then dem:=dem+1 else if y <= (x-a[j].x)*(a[i].y-a[j].y)/ (a[i].x-a[j].x)+a[j].y then dem:=dem+1; end; SOGIAODIEM:=dem; End; 29
- 34. Chương II. Tômàu 2.2.3. Thu t toán tô màu theo dòng quét (Scanline) ð t x0 = Min(xi), i∈ [1,n]. y Bư c 1: K Dy//0y ñi qua x0 (hình 2.5). Dy Bư c 2: Xác ñ nh các giao ñi m Mi- (x,y) c a Dy v i các c nh Ci. N u có c nh Ci = PiPi+1 song song và trùng v i Dy thì xem như Dy c t Ci t i 2 ñi m Pi và Pi+1. Bư c 3: S p x p l i các ñi m Mi theo x0 xi th t tăng d n ñ i v i yi (ñi m ñ u x Hình 2.5 tiên có th t là 1). Bư c 4: Nh ng ñi m n m trên Dy gi a giao ñi m l và giao ñi m ch n liên ti p là nh ng ñi m n m trong ña giác và nh ng ñi m này s ñư c tô. Bư c 5: Tăng x0 lên m t Pixel. N u x0 ≤ Max(xi) thì quay l i bư c 1. 2.2.4. Thu t toán tô màu theo v t d u loang L y P(x,y) ∈ S, tô màu P. X Xét các ñi m lân c n c a P (Hình 2.6). X O X O N u các ñi m lân c n ñó v n còn thu c S và chưa X ñư c tô màu thì tô màu các ñi m lân c n ñó... Thu t toán trên có th ñư c minh h a b ng th t c Hình 2.6 ñ qui: Procedure TOLOANG(x,y:Integer; Color:Word); Begin If (P(x,y)∈S)and(P(x,y)chưa tô) Then Begin PutPixel(x,y,Color); TOLOANG(x+1,y,Color); TOLOANG(x-1,y,Color); 30
- 35. Chương II. Tômàu TOLOANG(x,y+1,Color); TOLOANG(x,y-1,Color); End; End; BÀI T P 1. Vi t hàm DienTich(P:Array; n:Byte); ñ tính di n tích c a ña giác l i có n ñ nh lưu trong m ng P. 2. Vi t hàm KiemTra(x,y:Integer; P:Array; n:Byte):Boolean; ñ ki m tra ñi m (x,y) n m trong hay ngoài ña giác có n ñ nh ñư c lưu trong m ng P theo hai cách: - Dùng công th c tính di n tích ña giác (ñ i v i ña giác l i). - Dùng thu t toán Jordan (ñ i v i ña giác b t kỳ). 2. Vi t chương trình cài ñ t thu t toán tô màu m t ña giác theo thu t toán Scanline. 3. Vi t chương trình cài ñ t thu t toán tô màu m t ña giác theo v t d u loang theo hai phương án: a. ð qui. b. Kh ñ qui. 4. Vi t th t c FillRec(x1,y1,x2,y2:Integer; color:Byte); ñ tô màu hình ch nh t xác ñ nh b i 2 ñ nh (x1,y1) và (x2,y2). 5. Vi t th t c FillEllipse(x,y,Rx,Ry:Integer; color:Byte); ñ tô màu Ellipse có tâm (x,y) và bán kính theo hai tr c là Rx và Ry. 6. Vi t th t c FillSector(x,y,Rx,Ry,g1,g2:Integer; color:Byte); ñ tô màu hình qu t Ellipse có tâm (x,y), bán kính theo hai tr c là Rx và Ry, góc b t ñ u là g1 và góc k t thúc là g2. 7. Vi t th t c Donut(x,y,Rmin,Rmax:Integer; color:Byte); ñ tô màu hình vành khăn có tâm (x,y) và bán kính hai ñư ng tròn tương ng là Rmin và Rmax. Bài t p l n: Xây d ng m t thư vi n ñ h a MYGRAPH tương t như thư vi n GRAPH.TPU c a Turbo Pascal. 31
- 36. CHƯƠNG III XÉN HÌNH 3.1. ð T V N ð Cho m t mi n D ⊂ Rn và F là m t hình trong Rn (F ⊂ Rn). Ta g i F ∩ D là hình có ñư c t F b ng cách xén vào trong D và ký hi u là ClipD(F). Bài toán ñ t ra là xác ñ nh ClipD(F). 3.2. XÉN ðO N TH NG VÀO VÙNG HÌNH CH NH T C A R2 3.2.1. C nh c a hình ch nh t song song v i các tr c t a ñ Lúc này: X min ≤ x ≤ X max D = ( x, y ) ∈ R 2 | Y min ≤ y ≤ Y max và F là ño n th ng n i 2 ñi m (x1,y1), (x2,y2) nên phương trình c a F là: x = x1 + ( x 2 − x1). t t ∈ [0,1] y = y1 + ( y 2 − y1). t Do ñó, F có th ñư c vi t dư i d ng: F = {(x,y) ∈ R2 | x = x1 + (x2 -x1).t; y = y1 + (y2 -y1).t; 0 ≤ t ≤ 1} Khi ñó, giao ñi m c a F và D chính là A nghi m c a h b t phương trình (theo t): y P yMax Xmin ≤ x1+ (x2 - x1). t ≤ Xmax Q Ymin ≤ y1+ (y2 - y1). t ≤ Ymax yMin 0≤ t ≤1 B G i N là t p nghi m c a h phương trình xMin xMax X trên. Hình 3.1 N u N = ∅ thì ClipD(F) = ∅ N u N ≠ ∅ thì N = [t1, t2] (t1 ≤ t2) G i P, Q là 2 giao ñi m xác ñ nh b i:
- 37. Chương III. Xénhình Px = x1 + ( x 2 − x1). t 1 Qx = x1 + ( x 2 − x1). t 2 Py = y1 + ( y 2 − y1). t 1 Qy = y1 + ( y 2 − y1). t 2 thì: ClipD(F) = PQ (Hình 3.1) 3.2.1.1. Thu t toán Cohen - Sutherland • Chia m t ph ng ra làm 9 vùng, m i vùng ñánh m t mã nh phân 4 bit (hình 3.2). Bit 1: Qui ñ nh vùng n m bên trái c a s 100 100 101 1 0 0 Bit 2: Qui ñ nh vùng n m bên ph i c a s 000 000 001 Bit 3: Qui ñ nh vùng n m bên dư i c a s 1 0 0 Bit 4: Qui ñ nh vùng n m bên trên c a s 010 010 011 1 0 0 • Xét ñi m P ∈ R2 : Hình 3.2 1 nãúuPx < X min Pleft = 0 Ngæåüclaûi 1 nãúuP > X max x PRight = 0 Ngæåüc laûi 1 nãúuPy < Y min PBelow = 0 Ngæåüclaûi 1 nãúuPy > Y max PAbove = 0 Ngæåüclaûi • Xét ño n th ng AB, ta có các trư ng h p sau: i/ N u Mã(A) = Mã(B) = 0000 thì AB ∈ D ⇒ ClipD(F) = AB ii/ N u Mã(A) AND Mã(B) ≠ 0000 thì ño n AB n m hoàn toàn bên ngoài hình ch nh t ⇒ ClipD(F) = ∅ Chú ý: Phép toán AND là phép toán Logic gi a các bit. iii/ N u (Mã(A) AND Mã(B) = 0000) và (Mã(A) ≠ 0000 ho c Mã(B) ≠ 0000) thì: Gi s Mã(A) ≠ 0000 ⇔ A n m ngoài hình ch nh t. ♦ N u Aleft = 1 : thay A b i ñi m n m trên ño n AB và c t c nh trái (n i dài) c a hình ch nh t. 33
- 38. Chương III. Xénhình ♦ N u Aright = 1: thay A b i ñi m n m trên ño n AB c t c nh ph i (n i dài) c a hình ch nh t. ♦ N u ABelow = 1: thay A b i ñi m n m trên ño n AB và c t c nh dư i (n i dài) c a hình ch nh t. ♦ N u AAbove = 1: thay A b i ñi m n m trên ño n AB và c t c nh trên (n i dài) c a hình ch nh t. Chú ý: Quá trình này ñư c l p l i: Sau m i l n l p, ta ph i tính l i mã c a A. N u c n, ph i ñ i vai trò c a A và B ñ ñ m b o A luôn luôn n m bên ngoài hình ch nh t. Quá trình s d ng khi x y ra m t trong 2 trư ng h p: i/ ho c ii/ 3.2.1.2. Thu t toán chia nh phân • Ý tư ng c a thu t toán này tương t như thu t toán tìm nghi m b ng phương pháp chia nh phân. • M nh ñ : Cho M: trung ñi m c a ño n AB, Mã(A) ≠ 0000, Mã(B) ≠ 0000, Mã(M) ≠ 0000 thì ta có: [Mã(A) AND Mã(M)] ≠ 0000 ho c [Mã(M) AND Mã(B)] ≠ 0000. Ý nghĩa hình h c c a m nh ñ : N u c ba ñi m A, B, M ñ u ngoài hình ch nh t thì có ít nh t m t ño n hoàn toàn n m ngoài hình ch nh t. • Ta phát th o thu t toán như sau: i/ N u Mã(A) = 0000 và Mã(B) = 0000 thì ClipD(F) = AB ii/ N u Mã(A) AND Mã(B) ≠ 0000 thì ClipD(F) = ∅ iii/ N u Mã(A) = 0000 và Mã(B) ≠ 0000 thì: P:=A; Q:=B; Trong khi |xP -xQ| + |yP - yQ| ≥ 2 thì: ♦ L y trung ñi m M c a PQ; ♦ N u Mã(M) ≠ 0000 thì Q:= M. 34
- 39. Chương III. Xénhình Ngư c l i: P:= M. ⇒ ClipD(F) = AP iv/ N u Mã(A) ≠ 0000 và Mã(B) = 0000 thì: ð i vai trò c a A, B và áp d ng ii/ v/ N u Mã(A) ≠ 0000 ≠ Mã(B) và [Mã(A) AND Mã(B)]= 0000 thì: P:=A; Q:=B; L y M: trung ñi m PQ; Trong khi Mã(M) ≠ 0000 và |xP - xQ| + |yP - yQ| ≥ 2 thì: ♦ N u Mã(M) AND Mã(Q) ≠ 0000 thì Q:=M. Ngư c l i P:=M. ♦ L y M: trung ñi m PQ. N u Mã(M) ≠ 0000 thì ClipD(F) = ∅ . Ngư c l i, áp d ng ii/ ta có: ClipD(MA) = MA1 ClipD(MB) = MB1 Suy ra: ClipD(F) = A1B1 3.2.1.3. Thu t toán Liang - Barsky ð t ∆x = x2 - x1 ∆y = y2 - y1 p1 = - ∆x q1 = x1 - xMin p2 = ∆x q2 = xMax - x1 p3 = - ∆y q3 = y1 - yMin p4 = ∆y q4 = yMax - y1 thì h b t phương trình giao ñi m c a F và D có th vi t l i: Pk .t ≤ Q k , k = 1..4 0 ≤ t ≤1 Xét các trư ng h p sau: i/ ∃k: Pk = 0 và Qk < 0: ( ðư ng th ng song song v i các biên và n m ngoài vùng hình ch nh t ) 35
- 40. Chương III. Xénhình ⇒ ClipD(F) = ∅ ii/ ∀k ∈ {1,2,3,4}: Pk ≠ 0 ho c Qk ≥ 0: ð t K1 = {k | Pk > 0 } K2 = {k | Pk < 0 } Qk u1 = Max({ | k ∈ K2} ∪ {0}) Pk Qk u2 = Min({ | k ∈ K1} ∪ {1}) Pk N u u1 > u2 thì ClipD(F) = ∅ Ngư c l i: G i P, Q là 2 ñi m th a Px = x1 + ∆x.u1 Qx = x1 + ∆x.u2 và Py = y1 + ∆y.u1 Qy = y1 + ∆y.u2 thì ClipD(F) = PQ 3.2.2. Khi c nh c a vùng hình ch nh t t o v i tr c hoành m t góc α∈(0,Π/2) Π Ta dùng phép quay tr c t a ñ ñ ñưa bài toán v trư ng h p các c nh c a hình ch nh t song song v i các tr c t a ñ (hình 3.3). y G i R là ma tr n quay c a phép ñ i tr c, ta có: X min X min = R. Y min Y min α X max X max = R. Y max Y max O x cos(α ) sin(α ) v i R= Hình 3.3 − sin(α ) cos(α ) 36
- 41. Chương III. Xénhình 3.3. XÉN ðO N TH NG VÀO HÌNH TRÒN Gi s ta có ñư ng tròn tâm O(xc,yc) bán kính R và ño n th ng c n xén là AB v i A(x1,y1), B(x2,y2) (Hình 3.4). A * Thu t toán: B • Tính d(O,AB) • Xét các trư ng h p: i/ N u d > R thì ClipD(F) = ∅ Hình 3.4 ii/ N u d = R thì ClipD(F) = A0 v i A0 là chân ñư ng vuông góc h t O xu ng AB. iii/ N u d < R thì xét các trư ng h p sau: ♦ (OA < R) AND (OB < R) thì ClipD(F) = AB ♦ N u m t ñi m n m trong và ñi m kia n m ngoài hình tròn, ch ng h n OA<R và OB>R thì ClipD(F) = AI v i I là giao ñi m duy nh t gi a AB và ñư ng tròn. ♦ (OA > R) AND (OB > R) thì ClipD(F) = IJ v i I, J là hai giao ñi m c a AB v i ñư ng tròn. Sau ñây là phương pháp tìm giao ñi m gi a ño n th ng và ñư ng tròn: ◊ Phương trình ñư ng tròn: (x - xc)2 + (y - yc)2 = R2 (1) x = x1 + ( x 2 − x1).λ ◊ Phương trình ño n AB: y = y1 + ( y 2 − y1).λ (2) 0 ≤ λ ≤1 − a ± a 2 − bc ◊ Thay (2) vào (1) ta suy ra: λ = b Trong ñó: a = ∆x.(x1 - xc) + ∆y.(y1 - yc) b = (∆x)2 + (∆y)2 c = (x1 - xc)2 + (y1 - yc)2 - R2 37
- 42. Chương III. Xénhình ∆x = x2 - x1 ∆y = y2 - y1 ◊ D a vào ñi u ki n 0 ≤ λ ≤ 1 ñ ch n giao ñi m. 3.4. XÉN ðƯ NG TRÒN VÀO HÌNH CH NH T CÓ CÁC C NH SONG SONG V I TR C T A ð Lúc này: D = {(x,y)| xMin ≤ x ≤ xMax ; yMin ≤ y ≤ yMax } F = { (x,y)| (x - xC)2 + (y - yC)2 = R2} Hình *Trư c h t, ta ki m tra các trư ng h p ñ c bi t sau: 3.5 i/ N u xMin ≤ xC -R; xC +R ≤ xMax; yMin ≤ yC -R; yC +R ≤ yMax; thì ClipD(F) = F (Hình 3.5) ii/ N u xC +R < xMin ho c xC -R > xMax ho c yC +R < yMin ho c yC - R > yMax Hình 3.6 thì ClipD(F) = ∅ (Hình 3.6) *Xét trư ng h p còn l i: Tìm các giao ñi m c a F và D. S p x p các giao ñi m ñó theo chi u ngư c kim ñ ng h . • Các cung tròn ñư c t o b i 2 giao ñi m liên ti p s hoàn toàn n m trong D ho c hoàn toàn n m bên ngoài D. • ð xác ñ nh các cung này n m trong hay ngoài D, ta ch c n l y trung ñi m M c a cung ñó. N u M ∈ D thì cung ñó n m trong D, ngư c l i thì nó n m ngoài D. 38
- 43. Chương III. Xénhình 3.5. XÉN ðA GIÁC VÀO HÌNH CH NH T Hình 3.7. Xén ña giác vào hình ch nh t Thu t toán SutherLand - Hodgman i/ N u t t c các ñ nh c a ña giác ñ u n m trong hình ch nh t thì hình c n xén chính là ña giác và bài toán coi như ñã ñư c gi i quy t. Ai+ Ai Ai Ai+ Ai+ Ai+ Ai+ Ai Ai Ai Hình 3.8. Các trư ng h p c n xét ii/ Trư ng h p ngư c l i: - Xu t phát t m t ñ nh n m ngoài hình ch nh t, ta ch y theo d c biên c a ña giác. V i m i c nh c a ña giác, ta có các trư ng h p sau: N u c hai ñ nh ñ u n m ngoài hình ch nh t thì: N u Ma(Ai) and Ma(Ai+1) ≠ 0000 thì không lưu ñ nh Ngư c l i thì lưu hai giao ñi m. Ai ngoài, Ai+1 trong: lưu giao ñi m P và Ai+1. C hai ñ nh ñ u n m trong hình ch nh t: lưu Ai và Ai+1. Ai trong, Ai+1 ngoài: lưu Ai và giao ñi m P. 39
- 44. Chương III. Xénhình - Sau khi duy t qua t t c các c nh c a ña giác thì ta có ñư c m t dãy các ñ nh m i phát sinh: B1, B2, ..., Bn N u trong dãy các ñ nh m i này có hai ñ nh liên ti p không n m trên cùng m t c nh c a hình ch nh t , gi s hai ñ nh ñó là Bi và Bi+1 thì ta ñi d c các c nh c a hình ch nh t t Bi ñ n Bi+1 ñ tìm t t c các ñ nh c a hình ch nh t n m trong ña giác r i b sung chúng vào gi a Bi và Bj. T p ñ nh m i tìm ñư c chính là ña giác xén ñư c. - N u t p ñ nh m i này là r ng: N u có m t ñ nh c a hình ch nh t n m trong ña giác thì hình xén ñư c chính là toàn b hình ch nh t. Ngư c l i, hình xén ñư c là r ng. BÀI T P 1. Vi t hàm MA(P:ToaDo):Byte; ñ ñánh mã cho ñi m P. 2. Cài ñ t thu t toán xén m t ño n th ng vào m t hình ch nh t theo các thu t toán: Liang-Barsky, Cohen-Sutherland, chia nh phân. 3. Cài ñ t thu t toán xén m t ño n th ng vào m t hình tròn. 4.Cài ñ t thu t toán xén m t ña giác vào m t vùng hình ch nh t. 40
- 45. CHƯƠNG IV CÁC PHÉP BI N ð I 4.1. CÁC PHÉP BI N ð I TRONG M T PH NG 4.1.1. Cơ s toán h c Phép bi n ñ i Affine 2D s bi n ñi m P(x,y) thành ñi m Q(x’,y’) theo h phương trình sau: x’ = Ax + Cy + trx y’ = Bx + Dy + try Dư i d ng ma tr n, h này có d ng: A B (x’ y’) = (x y). + (trx try) C D Hay vi t g n hơn: X’ = X.M + tr v i X’=(x’,y’); X=(x,y); tr=(trx,try) - vector t nh ti n; A B M= - ma tr n bi n ñ i. C D 4.1.1.1. Phép ñ ng d ng Ma tr n c a phép ñ ng d ng là: A 0 x ' = Ax M= ⇔ 0 D y ' = Dy Cho phép ta phóng to hay thu nh hình theo m t hay hai chi u. 4.1.1.2. Phép ñ i x ng ðây là trư ng h p ñ c bi t c a phép ñ ng d ng v i A và D ñ i nhau. −1 0 ñ i x ng qua Oy 0 1
- 46. Chương IV. Cácphép bi n ñ i 1 0 ñ i x ng qua Ox 0 −1 −1 0 ñ i x ng qua g c t a ñ 0 −1 4.1.1.3. Phép quay Cos (α ) Sin(α ) Ma tr n t ng quát c a phép quay là R= − Sin(α ) Cos (α ) Chú ý: • Tâm c a phép quay ñư c xét ñây là g c t a ñ . • ð nh th c c a ma tr n phép quay luôn luôn b ng 1. 4.1.1.4. Phép t nh ti n Bi n ñ i (x,y) thành (x’,y’) theo công th c sau x’ = x + M y’ = y + N ð thu n ti n bi u di n dư i d ng ma tr n, ta có th bi u di n các t a ñ dư i d ng t a ñ thu n nh t (Homogen): 1 0 0 (x y 1). 0 1 0 = (x + M y+N 1) M N 1 4.1.1.5. Phép bi n d ng Ma tr n t ng quát là: M = 1 g h 1 Trong ñó: g = 0: bi n d ng theo tr c x. h = 0: bi n d ng theo tr c y. 4.1.1.6. H p c a các phép bi n ñ i Có ma tr n bi n ñ i là tích c a các ma tr n c a các phép bi n ñ i. .42
- 47. Chương IV. Cácphép bi n ñ i Ví d : Phép quay quanh m t ñi m b t kỳ trong m t ph ng có th th c hi n b i tích c a các phép bi n ñ i sau: ° Phép t nh ti n tâm quay ñ n g c t a ñ . ° Phép quay v i góc ñã cho. ° Phép t nh ti n k t qu v tâm quay ban ñ u. Như v y, ma tr n c a phép quay quanh m t ñi m b t kỳ ñư c th c hi n b i tích c a ba phép bi n ñ i sau: 1 0 0 Cos(α ) Sin (α ) 0 1 0 0 0 1 0 . − Sin (α ) Cos(α ) 0 . 0 1 0 −M −N 1 0 0 1 M N 1 4.2. Ví d minh h a Vi t chương trình mô ph ng phép quay m t tam giác quanh g c t a ñ . Uses crt,Graph; Type ToaDo=Record x,y:real; End; var k,Alpha,goc:real; P,PP,PPP,P1,P2,P3:ToaDo; x0,y0:word; ch:char; Procedure VeTruc; Begin Line(GetMaxX div 2,0,GetMaxX div 2,GetMaxY); Line(0,GetMaxY div 2,GetMaxX,GetMaxY div 2); End; Procedure VeHinh(P1,P2,P3:ToaDo); Begin Line(x0+Round(P1.x*k),y0-Round(P1.y*k), x0+Round(P2.x*k),y0- Round(P2.y*k)); Line(x0+Round(P2.x*k),y0-Round(P2.y*k), .43
- 48. Chương IV. Cácphép bi n ñ i x0+Round(P3.x*k),y0- Round(P3.y*k)); Line(x0+Round(P3.x*k),y0-Round(P3.y*k), x0+Round(P1.x*k),y0- Round(P1.y*k)); End; Procedure QuayDiem(P:ToaDo;Alpha:real; var PMoi:ToaDo); Begin PMoi.x:=P.x*cos(Alpha)-P.y*sin(Alpha); PMoi.y:=P.x*sin(Alpha)+P.y*cos(Alpha); End; Procedure QuayHinh(P1,P2,P3:ToaDo;Alpha:real; var P1Moi,P2Moi,P3Moi:ToaDo); Begin QuayDiem(P1,Alpha,P1Moi); QuayDiem(P2,Alpha,P2Moi); QuayDiem(P3,Alpha,P3Moi); End; BEGIN ThietLapDoHoa; x0:=GetMaxX div 2; y0:=GetMaxY div 2; k:=GetMaxX/50; Vetruc; P.x:=5; P.y:=3; PP.x:=2; PP.y:=6; PPP.x:=6; PPP.y:=-4; P1.x:=5; P1.y:=3; P2.x:=2; P2.y:=6; P3.x:=6; P3.y:=-4; Alpha:=0; goc:=Pi/180; SetWriteMode(XORPut); VeHinh(P,PP,PPP); Repeat ch:=readkey; if ord(ch)=0 then ch:=readkey; case Upcase(ch) of #75: Begin .44
- 49. Chương IV. Cácphép bi n ñ i VeHinh(P1,P2,P3); Alpha:=Alpha-goc; QuayHinh(P,PP,PPP,Alpha,P1,P2,P3); VeHinh(P1,P2,P3); End; #77: Begin VeHinh(P1,P2,P3); Alpha:=Alpha+goc; QuayHinh(P,PP,PPP,Alpha,P1,P2,P3); VeHinh(P1,P2,P3); End; End; Until ch=#27; CloseGraph; END. 4.2. CÁC PHÉP BI N ð I TRONG KHÔNG GIAN 4.2.1. Các h tr c t a ñ ð ñ nh v m t ñi m trong không gian, ta có th ch n nhi u h tr c t a ñ : Z Z Y Y O X H tr c ti p H gián ti p Hình 4.1 • H t a ñ tr c ti p : n u tay ph i c m tr c Z sao cho ngón cái hư ng theo chi u dương c a tr c Z thì b n ngón còn l i s quay t tr c X sang tr c Y (Qui t c bàn tay ph i). .45
- 50. Chương IV. Cácphép bi n ñ i • H t a ñ gián ti p : ngư c l i (Qui t c bàn tay trái). Thông thư ng, ta luôn luôn ñ nh v m t ñi m trong không gian qua h tr c ti p. Trong h t a ñ tr c ti p, ta chia ra làm 2 lo i sau: Z Z P(x,y,z) P(R,θ,φ) R Y φ Y O O θ X X H t a ñ Descarter H c u Hình 4.2 Ta có công th c chuy n ñ i t a ñ t h này sang h khác: θ Φ x = R.Cos(θ).Cos(Φ) θ Φ y = R.Sin(θ).Cos(Φ) Φ z = R.Sin(Φ) R 2 = x2 + y 2 + z 2 ð thu n ti n cho vi c tính toán, t t c các ñi m trong không gian ñ u ñư c mô t dư i d ng ma tr n 1x4, t c là (x,y,z,1). Vì v y, t t c các phép bi n ñ i trong không gian ñ u ñư c bi u di n b i các ma tr n vuông 4x4 (Ma tr n Homogen). 4.2.2. Các công th c bi n ñ i Phép bi n ñ i Affine 3D có d ng: X’=X.M + tr v i X’=(x’,y’,z’); X=(x,y,z); M - ma tr n bi n ñ i; tr=(trx,try,trz) - vector t nh ti n 4.2.2.1. Phép thay ñ i t l A 0 0 0 x ' = A. x 0 B 0 0 M= ⇔ y ' = B. y 0 0 C 0 z ' = C. z 0 0 0 1 .46
- 51. Chương IV. Cácphép bi n ñ i 4.2.2.2. Phép ñ i x ng 1 0 0 0 0 1 0 0 Mz = ñ i x ng qua m t (XY) 0 0 −1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 −1 0 0 My= ñ i x ng qua m t (XZ) 0 0 1 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 1 0 0 Mx = ñ i x ng qua m t (YZ) 0 0 1 0 0 0 0 1 4.2.2.3. Phép t nh ti n 1 0 0 0 x ' = x + M 0 1 0 0 M= ⇔ y' = y + N 0 0 1 0 z' = z + P M N P 1 4.2.2.4. Phép quay Ta nh n th y r ng, n u phép quay quay quanh m t tr c nào ñó thì t a ñ c a v t th t i tr c ñó s không thay ñ i. Do ñó, ta có ma tr n c a các phép quay như sau: Cos (θ ) Sin(θ ) 0 0 − Sin(θ ) Cos (θ ) 0 0 RZ = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 Cos (θ ) Sin(θ ) 0 RX = 0 − Sin(θ ) Cos (θ ) 0 0 1 0 0 .47
- 52. Chương IV. Cácphép bi n ñ i Cos (θ ) 0 Sin(θ )0 0 1 0 0 RY = − Sin(θ ) 0 Cos (θ ) 0 1 0 0 0 Chú ý: Tích c a 2 ma tr n nói chung không giao hoán nên k t qu c a 2 phép quay liên ti p tùy thu c vào th t th c hi n tích s . Ví d : RX.RY ≠ RY.RX 4.2.3. Ma tr n ngh ch ñ o ð nh nghĩa: Hai ma tr n ñư c g i là ngh ch ñ o c a nhau n u tích s c a chúng là ma tr n ñơn v . Ma tr n ngh ch ñ o c a ma tr n M ký hi u là M-1 Ví d : 1 2 3 6 −2 −3 1 0 0 1 3 3 . −1 1 0 = 0 1 0 1 2 4 −1 0 1 0 0 1 Ngư i ta ch ng minh ñư c r ng: T t c các ma tr n c a các phép bi n ñ i ñã nêu trên ñ u có ma tr n ngh ch ñ o. • Ma tr n ngh ch ñ o c a phép t nh ti n có ñư c b ng cách thay M, N, P b ng - M, -N, -P. • Ma tr n ngh ch ñ o c a phép thay ñ i t l có ñư c b ng cách thay A, B, C b ng 1/A, 1/B, 1/C. • Ma tr n ngh ch ñ o c a phép quay có ñư c b ng cách thay góc θ b ng -θ . θ 4.3. CÁC PHÉP CHI U C A V T TH TRONG KHÔNG GIAN LÊN M T PH NG 4.3.1. Phép chi u ph i c nh (Perspective) Phép chi u này cho hình nh gi ng như khi nhìn v t th . ð tìm hình chi u P’(y’,z’) c a P(x,y,z), ta n i P v i m t (tâm chi u). Giao ñi m c a ñư ng này v i m t quan sát chính là P’ (hình 4.3). Gi s P n m phía trư c m t, t c là P.x < E. .48
- 53. Chương IV. Cácphép bi n ñ i Z P(x,y,z) z' P' y' (E,0,0) Maét X Y Maët phaún g chieáu Hình 4.3 Phương trình c a tia ñi qua m t và P là: r(t) = (E,0,0).(1-t) + (x,y,z).t (*) Giao ñi m v i m t ph ng quan sát có thành ph n x’ = 0. 1 Do thành ph n x’ c a tia r là E.(1-t) + x.t = 0 nên t = . Thay t vào (*) ta 1− x / E tính ñư c: y z y’ = va z’ = 1− x / E 1− x / E NH N XÉT i/ Phép chi u ph i c nh không gi nguyên hình d ng c a v t th . ii/ Ch có nh ng ñư ng th ng song song v i m t ph ng chi u thì m i song song v i nhau. iii/ Phép chi u ph i c nh ñư c qui ñ nh b i 5 bi n: • Hư ng c a m t ph ng chi u so v i v t th . • ð cao c a tâm chi u so v i v t th . • Kho ng cách t tâm chi u ñ n v t th (R). • Kho ng cách t m t ph ng chi u ñ n tâm chi u (D). • ð d ch chuy n ngang c a tâm chi u so v i v t th . Chú ý: V i t a ñ c u, ta ch c n 4 tham s : R, Φ, θ, D. .49
- 54. Chương IV. Cácphép bi n ñ i 4.3.2. Phép chi u song song (Parallel) Phép chi u này có tâm chi u vô c c và y’=y, z’=z.(Hình 4.4) Tính song song ñư c b o toàn. A A' Taâm chieáu (∝) B' B Maët phaúng chieáu Hình 4.4 4.4. CÔNG TH C C A CÁC PHÉP CHI U LÊN MÀN HÌNH Khi quan sát m t v t th trong không gian dư i m t góc ñ nào ñó, ta có 2 kh năng ch n l a: • ði m nhìn (màn hình) ñ ng yên và v t th di ñ ng. • V t th ñ ng yên và ñi m nhìn s ñư c b trí thích h p. Ta thư ng ch n gi i pháp th hai vì nó sát v i th c t hơn. Y0 X0 Z Z0 O' YE XE φ Y O θ X Maøn hình Hình 4.5 Khi quan sát m t v t th b t kỳ trong không gian, ta ph i tuân th các nguyên t c sau (hình 4.5): • V t th ph i ñư c chi u lên m t h tr c ti p (O,X,Y,Z). .50
- 55. Chương IV. Cácphép bi n ñ i • Con m t ph i n m g c c a m t h gián ti p th hai (O’,X0,Y0,Z0) • Màn hình là m t ph ng vuông góc v i ñư ng th ng OO’. • Tr c Z0 c a h quan sát ch ñ n g c O. N u dùng h t a ñ c u ñ ñ nh v m t c a ngư i quan sát thì ta d dàng thay ñ i góc ng m b ng cách thay ñ i góc θ và Φ. Bây gi , ta kh o sát phép bi n ñ i mà v t th (X,Y,Z) ph i ch u ñ cho nó trùng v i h quan sát (X0,Y0,Z0) ñ cu i cùng t o ra h t a ñ màn hình (Xe,Ye). Bư c 1: T nh ti n g c O thành O’ (hình 4.6). Z1 Z Y1 O' φ Y O θ X1 X Hình 4.6 Ma tr n c a phép t nh ti n (L y ngh ch ñ o): 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 A= = 0 0 1 0 0 0 1 0 −M −N − P 1 − R. Cos(θ ). Cos(φ ) − R. Sin (θ ). Cos(φ ) − R. Sin (φ ) 1 và h (X,Y,Z) bi n ñ i thành h (X1,Y1,Z1). Bư c 2: Quay h (X1,Y1,Z1) m t góc -θ‘ (θ‘=900 - θ) quanh tr c Z1 theo chi u kim θ θ ñ ng h . Phép quay này làm cho tr c âm c a Y1 c t tr c Z (hình 4.7). Ta g i Rz là ma tr n t ng quát c a phép quay quanh tr c Z. Vì ñây là phép quay h tr c nên ph i dùng ma tr n ngh ch ñ o R-1z. .51
- 56. Chương IV. Cácphép bi n ñ i Cos( a ) Sin ( a ) 0 0 Cos( a ) − Sin ( a ) 0 0 − Sin ( a ) Cos( a ) 0 0 Sin ( a ) Cos( a ) 0 0 Rz = -1 R z= 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 θ ta thay góc a = -θ‘ . Theo các phép toán lư ng giác: θ Sin(-θ') = -Sin(θ') = -Sin(900 - θ) = -Cos(θ) θ θ θ θ θ θ Cos(-θ') = Cos(θ') = Cos(900-θ) = Sin(θ) Z Z2 O' Y2 φ Y O θ' θ X2 X Hình 4.7 Nên ma tr n c a phép quay tìm ñư c s có d ng: Sin (θ ) Cos(θ ) 0 0 − Cos(θ ) Sin (θ ) 0 0 B= và h (X1,Y1,Z1) bi n ñ i thành h (X2,Y2,Z2). 0 0 1 0 0 0 0 1 Bư c 3: Quay h (X2,Y2,Z2) m t góc 900 + Φ quanh tr c X2. Phép bi n ñ i này s làm cho tr c Z2 hư ng ñ n g c O (hình 4.8). Ta có: 1 0 0 0 0 Cos (a ) Sin(a ) 0 Rx = 0 − Sin(a ) Cos (a ) 0 0 1 0 0 .52
- 57. Chương IV. Cácphép bi n ñ i Z Y3 O' Z3 φ Y X3 O θ' θ X Hình 4.8 1 0 0 0 0 Cos( a ) − Sin ( a ) 0 R-1x = 0 Sin ( a ) Cos( a ) 0 0 0 0 1 Thay góc a = 900 + Φ , ta có: Cos(900 + Φ) = -Sin(Φ) và Sin(900 + Φ) = Cos(Φ) Φ Φ nên ma tr n tìm ñư c s có d ng: 1 0 0 0 0 − Sin (φ ) − Cos(φ ) 0 C= 0 Cos(φ ) − Sin (φ ) 0 0 0 0 1 Lúc này, h (X2,Y2,Z2) bi n ñ i thành h (X3,Y2,Z3). Bư c 4: Bi n ñ i h tr c ti p (X3,Y3,Z3) thành h gián ti p (hình 4.9). Trong bư c này, ta ph i ñ i hư ng tr c X3 b ng cách ñ i d u các ph n t c a c t X. Ta nh n ñư c ma tr n: −1 0 0 0 0 1 0 0 D= 0 0 1 0 0 0 0 1 và h (X3,Y3,Z3) bi n ñ i thành h (X0,Y0,Z0). .53
- 58. Chương IV. Cácphép bi n ñ i Z Y0 X0 Z0 O' φ Y O θ' θ X Hình 4.9 TÓM L I Các ñi m trong không gian s nh n trong h quan sát m t t a ñ có d ng: (x0 ,y0 ,z0 ,1) = (x y z 1).A.B.C.D G i T = A.B.C.D, ta tính ñư c: − sin(θ ) − Cos(θ ). Sin (φ ) − Cos(θ ). Cos(φ ) 0 Cos(θ ) − Sin (θ ). Sin (φ ) − Sin (θ ). Cos(φ ) 0 T= 0 Cos(φ ) − Sin (φ ) 0 0 0 R 1 Cu i cùng ta có: (x0 ,y0 ,z0 ,1) = (x y z 1).T hay: θ θ x0 = -x.Sin(θ) + y.Cos(θ) θ Φ θ Φ Φ y0 = -x.Cos(θ).Sin(Φ) - y.Sin(θ).Sin(Φ) + z.Cos(Φ) θ Φ θ Φ Φ z0 = -x.Cos(θ).Cos(Φ) - y.Sin(θ).Cos(Φ) - z.Sin(Φ) + R * Bây gi ta chi u nh c a h quan sát lên màn hình. 1. Phép chi u ph i c nh Cho ñi m P(x,y,z) và hình chi u P’(x0,y0,z0) c a nó trên m t ph ng. G i D là kho ng cánh t m t ph ng ñ n m t (g c t a ñ ). (Hình 4.10) .54
- 59. Chương IV. Cácphép bi n ñ i Y0 P(x0,y0,z0) P'(xE,yE,zE) Z0 O X0 Maøn hình Y0 P(x0,y0,z0) yE O D Maøn hình Z0 O xE P(x0,y0,z0) X0 Hình 4.10 Xét các tam giác ñ ng d ng, ta có: xE/D = x0/z0 và yE/D = y0/z0 ⇒ xE = D.x0/z0 và yE = D.y0/z0 Chú ý: z0 bao hàm vi c phóng to hay thu nh v t th . 2. Phép chi u song song T a ñ quan sát (x0,y0,z0) và t a ñ màn hình th a mãn công th c: xE = x0 và yE = y0 .55
- 60. Chương IV. Cácphép bi n ñ i Phoùng to Thu nhoû Maét Vaät theå Maøn hình Maøn hình Hình 4.11 K T LU N Có 4 giá tr nh hư ng ñ n phép chi u v t th 3D là: các góc θ , Φ , kho ng cách R t O ñ n O’ và kho ng cách D t O’ ñ n m t ph ng quan sát. C th : • Tăng gi m θ s quay v t th trong m t ph ng (XY). • Tăng gi m Φ s quay v t th lên xu ng. • Tăng gi m R ñ quan sát v t t xa hay g n. • Tăng gi m D ñ phóng to hay thu nh nh. 4.5. PH L C T o UNIT DOHOA3D (DOHOA3D.PAS). UNIT DOHOA3D; INTERFACE USES graph,crt; { Cac hang de quay hinh } Const IncAng = 5; {Tang goc} Type ToaDo3D=Record x,y,z:real; End; ToaDo2D=Record x,y:integer; End; .56
- 61. Chương IV. Cácphép bi n ñ i PhepChieu = (PhoiCanh,SongSong); VAR R,d,theta,phi : real; aux1,aux2,aux3,aux4 : real; aux5,aux6,aux7,aux8 : real; projection : PhepChieu; xproj,yproj : real; Obs,O : ToaDo3D; PE,PC : ToaDo2D; { cac bien dung quay hinh } ch : char; PROCEDURE ThietLapDoHoa; PROCEDURE KhoiTaoPhepChieu; PROCEDURE Chieu(P :ToaDo3D); PROCEDURE VeDen(P :ToaDo3D); PROCEDURE DiDen(P :ToaDo3D); PROCEDURE TrucToaDo; PROCEDURE DieuKhienQuay; {dung de quay hinh} IMPLEMENTATION Procedure ThietLapDoHoa; var gd,gm:integer; Begin Gd:=0; InitGraph(gd,gm,'C:BPBGI'); End; PROCEDURE KhoiTaoPhepChieu; VAR th,ph :real; BEGIN th := pi*theta/180; ph := pi*phi/180; aux1 := sin(th); aux2 := sin(ph); aux3 := cos(th); .57
- 62. Chương IV. Cácphép bi n ñ i aux4 := cos(ph); aux5 := aux3*aux2; aux6 := aux1*aux2; aux7 := aux3*aux4; aux8 := aux1*aux4; PC.x := getmaxx div 2; PC.y := getmaxy div 2; END; PROCEDURE Chieu(P :ToaDo3D); BEGIN Obs.x := -P.x*aux1 + P.y*aux3 ; Obs.y := -P.x*aux5 - P.y*aux6 + P.z*aux4 ; IF projection = PhoiCanh THEN BEGIN obs.z:=-P.x*aux7 -P.y*aux8 -P.z*aux2 + R; Xproj := d*obs.x/obs.z; Yproj := d*obs.y/obs.z; END ELSE BEGIN Xproj := d*obs.x; Yproj := d*obs.y; END; END; PROCEDURE VeDen(P :ToaDo3D); BEGIN Chieu(P); PE.x := PC.x + round(xproj); PE.y := PC.y - round(yproj); lineto (PE.x,PE.y); END; PROCEDURE Diden(P :ToaDo3D); BEGIN .58
- 63. Chương IV. Cácphép bi n ñ i Chieu(P); PE.x := PC.x + round(xproj); PE.y := PC.y - round(yproj); moveto (PE.x,PE.y); END; PROCEDURE TrucToaDo; { Ve 3 truc } var OO,XX,YY,ZZ:ToaDo3D; Begin OO.x:=0; OO.y:=0; OO.z:=0; XX.x:=3; XX.y:=0; XX.z:=0; YY.x:=0; YY.y:=3; YY.z:=0; ZZ.x:=0; ZZ.y:=0; ZZ.z:=3; DiDen(OO); VeDen(XX); DiDen(OO); VeDen(YY); DiDen(OO); VeDen(ZZ); END; PROCEDURE DieuKhienQuay; {Dieu khien Quay/Zoom hinh} BEGIN ch := readkey; IF ch = #0 THEN ch := readkey; cleardevice; CASE UpCase(ch) OF #72 : phi := phi + incang; #80 : phi := phi - incang; #75 : theta := theta + incang; #77 : theta := theta - incang; END; {of case ch} END; {of Procedure} END. {Of UNIT} 4.6. VÍ D MINH H A Vi t chương trình mô t phép quay c a m t hình l p phương quanh các tr c (hình 4.12). .59
- 64. Chương IV. Cácphép bi n ñ i Z P6 P7 P5 P8 Y P1 P2 P4 P3 X Hình 4.12 Uses crt,graph,Dohoa3D; var P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8:ToaDo3D; Procedure KhoiTaoBien; Begin D:=70; R:=5; Theta:=40; Phi:=20; P1.x:=0; P1.y:=0; P1.z:=0; P2.x:=0; P2.y:=1; P2.z:=0; P3.x:=1; P3.y:=1; P3.z:=0; P4.x:=1; P4.y:=0; P4.z:=0; P5.x:=1; P5.y:=0; P5.z:=1; P6.x:=0; P6.y:=0; P6.z:=1; P7.x:=0; P7.y:=1; P7.z:=1; P8.x:=1; P8.y:=1; P8.z:=1; End; Procedure VeLapPhuong; begin Diden(P1); VeDen(P2); VeDen(P3); VeDen(P4); VeDen(P1); VeDen(P6); Veden(P7); VeDen(P8); VeDen(P5); VeDen(P6); DiDen(P3); VeDen(P8); .60
- 65. Chương IV. Cácphép bi n ñ i DiDen(P2); VeDen(P7); DiDen(P4); VeDen(P5); end; Procedure MinhHoa; BEGIN KhoiTaoBien; KhoiTaoPhepChieu; TrucToaDo; VeLapPhuong; Repeat DieuKhienQuay; KhoiTaoPhepChieu; ClearDevice; TrucToado; VeLapPhuong; until ch=#27; END; BEGIN { Chuong Trinh Chinh } Projection:=SongSong{Phoicanh}; ThietLapDoHoa; MinhHoa; CloseGraph; END. BÀI T P 1. Cho 3 tam giác sau: ABC v i A(1,1) B(3,1) C(1,4) EFG v i E(4,1) F(6,1) G(4,4) MNP v i M(10,1) N(10,3) P(7,1) a. Tìm ma tr n bi n ñ i tam giác ABC thành tam giác EFG. b. Tìm ma tr n bi n ñ i tam giác ABC thành tam giác MNP. 2. Cài ñ t thu t toán xén m t ño n th ng vào m t hình ch nh t có c nh không song song v i tr c t a ñ . .61
- 66. Chương IV. Cácphép bi n ñ i 3. Vi t chương trình v m t Ellipse có các tr c không song song v i h tr c t a ñ . 4. D a vào bài t p 2, hãy mô ph ng quá trình quay c a m t Ellipse xung quanh tâm c a nó. 5. Vi t chương trình mô ph ng quá trình quay, ñ i x ng, t nh ti n, phóng to, thu nh , bi n d ng c a m t hình b t kỳ trong m t ph ng. 6. Mô ph ng chuy n ñ ng c a trái ñ t xung quanh m t tr i ñ ng th i mô t chuy n ñ ng c a m t trăng xung quanh trái ñ t. M r ng trong không gian 3 chi u. 7. Vi t chương trình v ñ ng h ñang ho t ñ ng. 8. Vi t chương trình v các kh i ña di n ñ u trong không gian. M r ng: ñi u khi n phóng to, thu nh , quay các kh i ña di n quanh các tr c... .62
- 67. CHƯƠNG V BI U DI N CÁC ð I TƯ NG BA CHI U 5.1. MÔ HÌNH WIREFRAME Mô hình WireFrame th hi n hình dáng c a ñ i tư ng 3D b ng 2 danh sách : • Danh sách các ñ nh : lưu t a ñ c a các ñ nh. • Danh sách các c nh : lưu các c p ñi m ñ u và cu i c a t ng c nh. Các d nh và các c nh ñư c ñánh s th t cho thích h p. Ví d : Bi u di n 1 căn nhà thô sơ (hình 5.1) Danh sách các ñ nh Z Vector x y z P4 1 0 0 0 2 0 1 0 P9 P5 P3 3 0 1 1 4 0 0.5 1.5 P10 5 0 0 1 P8 6 1 0 0 Y P1 7 1 1 0 P2 8 1 1 1 P6 9 1 0.5 1.5 P7 10 1 0 1 X Có nhi u cách ñ lưu gi mô hình Hình 5.1 WireFrame. ñây, chúng ta dùng c u trúc record d a trên 2 m ng: Const MaxDinh = 50; { S ñ nh t i ña} MaxCanh = 100; {S c nh t i ña} Type ToaDo3D = record x, y, z:real; end; WireFrame = Record
- 68. Chương V. Biu di n các ñ i tư ng ba chi u Sodinh: 0..MaxDinh; Dinh: array [1..MaxDinh] of ToaDo3D; Socanh : 0..Maxcanh; Canh :array[1..Maxcanh, 1..2] of 1..MaxDinh; end; Khi ñó, ta dùng m t bi n ñ mô t căn nhà : Var House : WireFrame; v i bi n house trên, ta có th gán giá tr như Danh sách các c nh sau: C nh ð nh ñ u ð nh cu i With House Do 1 1 2 Begin 2 2 3 sodinh:=10; 3 3 4 socanh:=17; 4 4 5 dinh[1].x:=0; 5 5 1 dinh[1].y:=0; 6 6 7 dinh[1].z:=0; 7 7 8 ... 8 8 9 canh[1, 1]:=1; {S ñ nh th nh t c a 9 9 10 c nh s 1} 10 10 6 canh[1, 2]:=2; {S ñ nh th hai c a 11 1 6 c nh s 1} 12 2 7 ... 13 3 8 end; 14 4 9 5.2. V MÔ HÌNH WIREFRAME V I CÁC 15 5 10 PHÉP CHI U 16 2 5 17 1 3 ð v m t ñ i tư ng WireFrame, ta v t ng c nh trong danh sách các c nh c a mô hình. V n ñ là làm th nào ñ v 1 ñư ng th ng trong không gian 3 chi u vào m t ph ng? ð làm ñi u này, ta ph i b b t ñi 1 chi u trong mô hình bi u di n, t c là ta ph i dùng phép chi u t 3D → 2D . 64
- 69. Chương V. Biu di n các ñ i tư ng ba chi u K thu t chung ñ v m t ñư ng th ng 3D là: Chi u 2 ñi m ñ u mút thành các ñi m 2D. V ñư ng th ng ñi qua 2 ñi m v a ñư c chi u. Sau ñây là th t c xác ñ nh hình chi u c a m t ñi m qua phép chi u ph i c nh: Procedure Chieu(P3D:ToaDo3D; E:Real; Var P2D:ToaDo2D); Var t:Real; Begin If (P3D.x >=E) OR (E=0) Then Writeln(‘ði m n m sau m t ho c m t n m trên m t ph ng nhìn’); Esle Begin t := 1/(1 - P3D.x/E); P2D.y := t*P3D.y; P2D.z := t*P3D.z; End; End; 5.3. V CÁC M T TOÁN H C Ta s v các m t cong d a trên phương trình tham s c a các m t ñó. Ví d : (a) (b) (c) Hình 5.2 • M t Ellipsoid: (hình 5.2.a) x=Rx.cos(u).cos(v) y=Ry.sin(u).cos(v) 65
- 70. Chương V. Biu di n các ñ i tư ng ba chi u z=Rz.sin(v) Trong ñó: 0≤ u ≤ 2π -π/2 ≤ v ≤ π/2 • M t Hypeboloid: (hình 5.2.b) x=u y=v z=u2 - v2 Trong ñó u,v ∈[-1,1] • Hình xuy n: (hình 5.2.c) x=(R + a.cos(v)).cos(u) y=(R + a.cos(v)).sin(u) z= a.sin(v) Trong ñó: 0≤ u ≤ 2π -π/2 ≤ v ≤ π/2 • Hình tr tròn (Cylinder) x = R.cos(u) y = R.sin(u) z=h • Hình nón (Cone) p(u,v) = (1-v).P0 + v.P1(u) trong ñó: P0: ñ nh nón x = R. cos( ) u P1(u): ñư ng tròn u,v ∈ [0,1] y = R. sin(u) • Ch o Parabol (Paraboloid) x = a.v.cos(u) y = b.v.sin(u) u∈[-π,π], v ≥ 0 z = v2 Phương pháp chính ñây cũng là v các ñư ng vi n theo u và v. 66
- 71. Chương V. Biu di n các ñ i tư ng ba chi u ð v m t ñư ng vi n u t i giá tr u’ khi v ch y t VMin ñ n VMax ta làm như sau: • T o m t t p h p các giá tr v[i] ∈ [VMin ,VMax], xác ñ nh v trí P[i] = (X(u’,v[i]), Y(u’,v[i]), Z(u’,v[i])). • Chi u t ng ñi m P[i] lên m t ph ng. • V các ñư ng g p khúc d a trên các ñi m 2D P’[i]. Sau ñây là th t c v h ñư ng cong theo u: Procedure HoDuongCongU; Var P: ToaDo3D; u,v,du,dv:Real; Begin u:=UMin; du:=0.05; dv:=0.05; While u<=UMax do Begin v:=Vmin; P.x:=fx(u,v); P.y:=fy(u,v); P.z:=fz(u,v); DiDen(P); { ði ñ n ñi m xu t phát ban ñ u } While v<=VMax do Begin v:=v+dv; P.x:=fx(u,v); P.y:=fy(u,v); P.z:=fz(u,v); VeDen(P); { V ñ n ñi m m i } End; u:=u + du; End; End; Tương t , ta có th v h ñư ng cong theo v. 67
- 72. Chương V. Biu di n các ñ i tư ng ba chi u TÓM L I: Mu n v m t m t cong, ta th c hi n các bư c sau • Nh p các h s c a phương trình m t: a, b, c, d, Umin, Umax, Vmin, Vmax. • Tính các hàm 2 bi n: X(u,v), Y(u,v), Z(u,v). • Kh i t o phép chi u: Song song/Ph i c nh. • V h ñư ng cong u. V h ñư ng cong v. BÀI T P 1. Hãy xây d ng m t c u trúc d li u ñ lưu tr mô hình WireFrame. 2. T o file text ñ lưu các ñ nh và c nh c a m t v t th trong không gian 3D theo mô hình WireFrame v i c u trúc như sau: Dòng ñ u tiên ch a hai s nguyên m, n dùng ñ lưu s ñ nh và s c nh c a mô hình. m dòng ti p theo, m i dòng lưu t a ñ x, y, z c a t ng ñ nh trong mô hình. n dòng ti p theo, m i dòng lưu hai s nguyên là ñ nh ñ u và ñ nh cu i c a t ng c nh trong mô hình. 3. Vi t th t c ñ ñ c các giá tr trong file text lưu vào mô hình WireFrame. 4. Vi t th t c ñ v v t th t mô hình WireFrame. 5. Vi t chương trình bi u di n các kh i ña di n sau: T di n ñ u, Kh i l p phương, Bát di n ñ u, Th p nh di n ñ u, Nh th p di n ñ u. 6. Vi t chương trình ñ mô ph ng các m t toán h c: yên ng a, m t c u, hình xuy n... 68
- 73. CHƯƠNG VI THI T K ðƯ NG VÀ M T CONG BEZIER VÀ B-SPLINE Khác v i nh ng phương pháp bi u di n m t và ñư ng b i các công th c toán h c tư ng minh, ñây ta s bàn ñ n các công c cho phép ch ra các d ng ñư ng và m t khác nhau d a trên các d li u. ði u này có nghĩa là v i m t ñư ng cong cho trư c mà ta chưa xác ñ nh ñư c công th c toán h c c a nó thì làm th nào ñ có th n m b t ñư c d ng c a ñư ng cong ñó m t cách tương ñ i chính xác qua vi c s d ng m t t p nh các ñi m P0 , P1 ,... cùng v i m t phương pháp n i suy nào ñó t t p ñi m này ñ t o ra ñư ng cong mong mu n v i m t ñ chính xác cho phép. Có nhi u cách ñ n m b t ñư c ñư ng cong cho trư c, ch ng h n: • L y m t m u ñư ng cong ch ng vài ch c ñi m cách nhau tương ñ i ng n r i tìm m t hàm toán h c và ch nh hàm này sao cho nó ñi qua các ñi m này và kh p v i ñư ng cong ban ñ u. Khi ñó, ta có ñư c công th c c a ñư ng và dùng nó ñ v l i ñư ng cong. • Cách khác là dùng m t t p các ñi m ki m soát và dùng m t thu t toán ñ xây d ng nên m t ñư ng cong c a riêng nó d a trên các ñi m này. Có th ñư ng cong ban ñ u và ñư ng cong t o ra không kh p nhau l m, khi ñó ta có th di chuy n m t vài ñi m ki m soát và lúc này thu t toán l i phát sinh m t ñư ng cong m i d a trên t p ñi m ki m soát m i. Ti n trình này l p l i cho ñ n khi ñư ng cong t o ra kh p v i ñư ng cong ban ñ u. ñây, ta s ti p c n v n ñ theo phương pháp th hai, dùng ñ n các ñư ng cong Bezier và B-Spline ñ t o các ñư ng và m t. Gi s m t ñi m trong không gian ñư c bi u di n dư i d ng vector tham s p(t). V i các ñư ng cong 2D, p(t) = (x(t), y(t)) và các ñư ng 3D, p(t) = (x(t), y(t), z(t)). 6.1. ðƯ NG CONG BEZIER VÀ M T BEZIER 6.1.1. Thu t toán Casteljau
- 74. Chương VI. Thit k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline ð xây d ng ñư ng cong p(t), ta d a trên m t dãy các ñi m cho trư c r i t o ra giá tr p(t) ng v i m i giá tr t nào ñó. Vi c thay ñ i các ñi m này s làm thay ñ i d ng c a ñư ng cong. Phương pháp này t o ra ñư ng cong d a trên m t dãy các bư c n i suy tuy n tính hay n i suy kho ng gi a (In-Betweening). Ví d : V i 3 ñi m P0 , P1 , P2 ta có th xây d ng m t Parabol n i suy t 3 ñi m này b ng cách ch n m t giá tr t ∈ [0, 1] nào ñó r i chia ño n P0P1 theo t l t, ta ñư c ñi m P01 trên P0P1 . Tương t , ta chia ti p P1P2 cũng theo t l t, ta ñư c P11 . N i P01 và P11 , l i l y ñi m trên P01P11 chia theo t l t, ta ñư c P02. V i cách làm này, ta s l y nh ng giá tr t khác ∈ [0, 1] thì s ñư c t p ñi m P02. ðó chính là ñư ng cong p(t). Ta bi u di n b ng phương trình: P01(t) = (1-t).P0 + t.P1 (1) P11(t) = (1-t).P1 + t.P2 (2) P02(t) = (1-t).P01 + t.P11 (3) Thay (1), (2) vào (3) ta ñư c: P(t) = P02(t) = (1-t)2.P0 + 2t.(1-t).P1 + t2.P2 ðây là m t ñư ng cong b c 2 theo t nên nó là m t Parabol. T ng quát hóa ta có thu t toán Casteljau cho (L+1) ñi m: Gi s ta có t p ñi m: P0, P1, P2, ..., PL V i m i giá tr t cho trư c, ta t o ra ñi m Pir(t) th h th r, t th h th (r - 1) trư c ñó, ta có: Pir(t) = (1-t).Pir-1(t) + t.Pi+1r-1(t) (3’) r = 0,1,...,L và i = 0,...,L-r Th h cu i cùng P0L (t) ñư c g i là ñư ng cong Bezier c a các ñi m P0,P1 ,P2,...,PL Các ñi m Pi , i=0,1,...,L ñư c g i là các ñi m ki m soát hay các ñi m Bezier. ða giác t o b i các ñi m ki m soát này g i là ña giác ki m soát hay ña giác Bezier. 6.1.2. D ng Bernstein c a các ñư ng cong Bezier ðư ng cong Bezier d a trên (L+1) ñi m ki m soát P0 ,P1 , ...,PL ñư c cho b i công th c: L P(t) = ∑ Pk.BkL(t) k=0 70
- 75. Chương VI. Thit k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline Trong ñó, P(t) là m t ñi m trong m t ph ng ho c trong không gian. BkL(t) ñư c g i là ña th c Bernstein, ñư c cho b i công th c: L! BkL(t) = (1-t)L-k.tk v iL≥k k !( L − k )! M i ña th c Bernstein có b c là L. Thông thư ng ta còn g i các BkL(t) là các hàm tr n (blending function). Tương t , ñ i v i m t Bezier ta có phương trình sau: M L P(u,v) = ∑ ∑ Pi,k.BiM(u).BkL(v) i =0 i =0 Trong trư ng h p này, kh i ña di n ki m soát s có (M+1).(L+1) ñ nh. P1 P 01 P 11 P 02 P1 P2 ðư ng cong Bezier b c 2 ðư ng cong Bezier b c 3 Hình 6.1 6.1.3. D ng bi u di n ma tr n c a ñư ng Bezier ð thích h p cho vi c x lý trên máy tính, ta bi u di n hai m ng BL(t) và P như sau: BL(t) = (B0L(t), B1L(t), ..., BLL(t)) P = (P0 ,P1 , ...,PL ) Do ñó: P(t) = BL(t).P (tích vô hư ng) hay P(t) = BL(t).PT (PT là d ng chuy n v c a P) Dư i d ng ña th c, có th bi u di n BkL(t) như sau: BkL(t) = a0 + a1.t + a2.t2 + ... + aL.tL = (t0,t1,...,tL).(a0 ,a1 ,...,aL) Do ñó P(t) có th bi u di n l i như sau: P(t) = PowL(t).BezL.PT V i: • PowL(t) = (t0,t1,...,tL) 71
- 76. Chương VI. Thit k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline • BezL là ma tr n bi u di n m ng BL(t) trong ñó m i hàng i c a ma tr n ng v i các h s tương ng (a0 ,a1 ,...,aL) c a ña th c BiL(t) và t i v trí (i,j) trong ma tr n BezL có giá tr BezL(i,j) = (-1)j-i.Cni.Cij Ví d : Ma tr n Bez3 cho các ñư ng Bezier b c 3 1 0 0 0 −3 3 0 0 Bez = 3 3 −6 3 0 −1 3 −3 1 6.1.4. T o và v các ñư ng Bezier ð t o ra m t ñư ng cong Bezier t m t dãy các ñi m ki m soát ta s áp d ng phương pháp l y m u hàm p(t) các giá tr cách ñ u nhau c a tham s t, ví d có th l y ti = i/N, i=0,1,...,N. Khi ñó ta s ñư c các ñi m P(ti) t công th c Bezier. N i các ñi m này b ng các ño n th ng ta s ñư c ñư ng cong Bezier g n ñúng. ð tính P(ti) ta có th áp d ng ma tr n c a P(t) trên trong ñó ch có thành ph n PowL(ti) là thay ñ i, còn tích BezL.PT v i P = (P0 ,P1 , ...,PL ) là không thay ñ i. Sau ñây là th t c minh h a vi c v ñư ng cong Bezier trong m t ph ng: Type Mang = array[0..50] of PointType; function tich(x,y:word):real; var s:real;i:word; begin if y<=1 then tich:=1 else begin s:=1; for i:=x to y do s:=s*i; tich:=s; end; end; function CLK(l,k:word):real; begin CLk:=tich(k+1,l)/tich(1,l-k); end; function Xmu(x:real;mu:word):real; 72
- 77. Chương VI. Thit k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline var i:word;s:real; begin if mu=0 then s:=1 else begin s:=1; for i:=1 to mu do s:=s*x; end; Xmu:=s; end; function BKL(t:real;l,k:word):real; begin BKL:=CLK(l,k)*xmu(1-t,l-k)*xmu(t,k); end; procedure Pt(t:real;L:word;A:Mang;var diem:PointType); var k:word;s,x,y:real; begin x:=0; y:=0; for k:=0 to L do begin s:=BKL(t,l,k); x:=x+A[k].x*s; y:=y+A[k].y*s; end; diem.x:=round(x); diem.y:=round(y); end; procedure Vebezier(A:Mang;L:integer); var i,SoDiem:word; Diem:PointType; dx,x:real; begin sodiem:=100; dx:=1/sodiem; 73
- 78. Chương VI. Thit k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline x:=0; if L>0 then begin for i:=1 to sodiem+1 do begin Pt(x,L,A,Diem); if i=1 then moveto(round(diem.x),round(diem.y)) else lineto(round(diem.x),round(diem.y)); x:=x+dx; end; end end; 6.1.5. Các tính ch t c a ñư ng cong Bezier i/ N i suy ñư c các ñi m ñ u và cu i. Ch ng minh: L Ta có: P(t) = ∑ Pk.BkL(t) k=0 L Do ñó P(0) = ∑ Pk.BkL(0) k=0 L! trong ñó: BkL(0) = (1-0)L-k.0k ∀k ≠ 0 và k ≠ L k !( L − k )! L! = .0 = 0 k !( L − k )! Vì v y, P(0) = P0.B0L(0) + PL.BLL(0) = P0 + 0 = P0 Lý lu n tương t cho P(1). Ta có P(1) = PL. ii/ Tính b t bi n Affine: Khi bi n ñ i m t ñư ng cong Bezier, ta không c n bi n ñ i m i ñi m trên ñư ng cong m t cách riêng r mà ch c n bi n ñ i các ñi m ki m soát c a ñư ng cong ñó r i s d ng công th c Bernstein ñ tái t o l i ñư ng cong Bezier ñã ñư c bi n ñ i. Ch ng minh: Gi s ñi m P(t) bi n ñ i Affine thành P’(t) 74
- 79. Chương VI. Thit k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline L P’(t) = P(t).N + tr = ∑ Pk.BkL(t).N + tr k=0 Trong ñó: N: ma tr n bi n ñ i. tr: vector t nh ti n. L Xét ñư ng cong ∑ (Pk.N + tr).BkL(t) (*) k=0 ñư c t o ra b ng cách bi n ñ i Affine các vector Pk. Ta s ch ng minh ñư ng cong này chính là P’(t). L L Khai tri n (*) ta có: ∑ Pk.N.BkL(t) + ∑ tr.BkL(t) k=0 k=0 L L = ∑ Pk.N.BkL(t) + tr. ∑ BkL(t) (**) k=0 k=0 L Nhưng theo ña th c Bernstein thì ∑ BkL(t) = (1-t+t)L = 1 nên s h ng th hai c a k=0 (**) s là tr. Vì v y, P’(t) n m trên ñư ng cong Bezier t o ra b i các ñi m ki m soát Pk. iii/ Tính ch t c a bao l i: ñư ng cong Bezier P(t) không bao gi ñi ra ngoài bao l i c a nó. ñây, bao l i c a các ñi m ki m soát là t p ñ nh nh nh t ch a t t c các ñi m ki m soát ñó. Ch ng minh: Bao l i c a các ñi m ki m soát cũng chính là t p h p các t h p l i c a các ñi m ki m soát. Ta bi u di n t h p tuy n tính c a các ñi m Pk: L P(t) = ∑ ak.Pk , ak ≥ 0 k=0 L Do P(t) là t h p l i c a các ñi m ki m soát ∀t ∈ [0,1] và ∑ BkL(t) = 1 k=0 Nên ñư ng cong Bezier s n m trong bao l i c a các ñi m ki m soát. iv/ ð chính xác tuy n tính: ðư ng cong Bezier có th tr thành m t ñư ng th ng khi t t c các ñi m ki m soát n m trên m t ñư ng th ng vì khi ñó bao l i c a chúng là m t ñư ng th ng 75
- 80. Chương VI. Thit k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline nên ñư ng Bezier b k p vào bên trong bao l i nên nó cũng tr thành ñư ng th ng. v/ B t kỳ m t ñư ng th ng hay m t ph ng nào cũng luôn luôn c t ñư ng cong Bezier ít l n hơn so v i c t ña giác ki m soát. vi/ ð o hàm c a các ñư ng Bezier: L−1 Ta có: (P(t))’ = L. ∑ ∆Pk.BkL-1(t) , ∆Pk = Pk+1 - Pk k =0 Do ñó, ñ o hàm c a ñư ng cong Bezier là m t ñư ng cong Bezier khác ñư c t o ra t các vector ki m soát ∆Pk ( Ta ch c n l y các ñi m ki m soát g c theo t ng c p ñ t o ra các ñi m ki m soát cho (P(t))’. 6.1.6. ðánh giá các ñư ng cong Bezier B ng các ñi m ki m soát, ta có th t o ra các d ng ñư ng cong khác nhau b ng cách hi u ch nh các ñi m ki m soát cho t i khi t o ra ñư c m t d ng ñư ng cong mong mu n. Công vi c này l p ñi l p l i cho ñ n khi toàn b ñư ng cong th a yêu c u. Tuy nhiên, khi ta thay ñ i b t kỳ m t ñi m ki m soát nào thì toàn b ñư ng cong b thay ñ i theo. Nhưng trong th c t , ta thư ng mong mu n ch thay ñ i m t ít v d ng ñư ng cong g n khu v c ñang hi u ch nh các ñi m ki m soát. Tính c c b y u c a ñư ng cong Bezier ñư c bi u hi n qua các ña th c BkL(t) ñ u khác 0 trên toàn kho ng [0,1]. M t khác ñư ng cong p(t) l i là m t t h p tuy n tính c a các ñi m ki m soát ñư c gia tr ng b i các hàm BkL(t) nên ta k t lu n r ng m i ñi m ki m soát có nh hư ng ñ n ñư ng cong t t c các giá tr t ∈ [0,1]. Do ñó, hi u ch nh b t kỳ m t ñi m ki m soát nào cũng s nh hư ng ñ n d ng c a toàn th ñư ng cong. ð gi i quy t bài toán này, ta s d ng m t t p h p các hàm tr n khác nhau. Các hàm tr n này có giá mang (support: kho ng mà trên ñó hàm l y giá tr khác 0) ch là m t ph n c a kho ng [0,1]. Ngoài giá mang này chúng có giá tr là 0. Thư ng ta ch n các hàm tr n là các ña th c trên các giá mang ñó, các giá mang này k nhau. Như v y, các hàm tr n chính là m t t p các ña th c ñư c ñ nh nghĩa trên nh ng kho ng k nhau ñư c n i l i v i nhau ñ t o nên m t ñư ng cong liên t c. Các 76
- 81. Chương VI. Thit k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline ñư ng cong k t qu ñư c g i là ña th c riêng ph n hay t ng ph n (piecewise polynomial). Ví d : ta ñ nh nghĩa hàm g(t) g m 3 ña th c a(t), b(t), c(t) như sau: 1 2 a(t) = 2 t coï mang[0,1] giaï 3 3 g(t) = b(t) = - (t - )2 coï mang[1,2] giaï 4 2 1 c(t) = (3 - t)2 coï mang[2,3] giaï 2 Giá mang c a g(t) là [0,3] Các giá tr c a t ng v i các ch n i c a các ño n g i là nút (knut), ch ng h n t=0,1,2,3 là b n nút c a g(t). Hơn n a, t i các ch n i c a ñư ng cong g(t) là trơn, không b g p khúc. Do ñó, ta g i ñó là hàm Spline. V y, m t hàm Spline c p m là ña th c riêng ph n c p m có ñ o hàm c p m -1 liên t c m i nút. D a trên tính ch t c a hàm Spline, ta có th dùng nó như các hàm tr n ñ t o ra ñư ng cong p(t) d a trên các ñi m ki m soát P0,...,PL. Khi ñó: L P(t) = ∑ Pk.gk(t) k=0 T ng quát hóa, ta xây d ng m t hàm p(t) v i L+1 ñi m ki m soát như sau: V i m i ñi m ki m soát Pk , ta có m t hàm tr n tương ng Rk(t) và t p các nút g i là vector nút T=(t0,t1,...,tn) v i ti ∈ R, ti ≤ ti+1 . Khi ñó: L P(t) = ∑ Pk.Rk(t) k=0 6.2. ðƯ NG CONG SPLINE VÀ B-SPLINE 6.2.1. ð nh nghĩa L Theo trên ta có: P(t) = ∑ Pk.Rk(t) (*) k=0 trong ñó Pk v i k=1..L là các ñi m ki m soát. Rk(t) là các hàm tr n liên t c trong m i ño n con [ti , ti+1]và liên t c trên m i nút. M i Rk(t) là m t ña th c riêng ph n. Do ñó ñư ng cong p(t) là t ng c a các ña th c này, l y trên các ñi m ki m soát. 77
- 82. Chương VI. Thit k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline Các ño n ñư ng cong riêng ph n này g p nhau các ñi m nút và t o cho ñư ng cong tr nên liên t c. Ta g i nh ng ñư ng cong như v y là SPLINE. Cho trư c m t vector nút thì có th có nhi u h hàm tr n ñư c dùng ñ t o ra m t ñư ng cong Spline có th ñ nh nghĩa trên vector nút ñó. M t h các hàm như v y ñư c g i là cơ s cho các Spline. Trong s các h hàm này, có m t cơ s c th mà các hàm tr n c a nó có giá mang nh nh t và nh v y nó ñem l i kh năng ki m soát c c b l n nh t. ðó là các B- Spline, v i B vi t t t c a ch Basic (cơ s ). ð i v i các hàm B-Spline, m i ña th c riêng ph n t o ra nó có m t c p m nào ñó. Do ñó, thay vì dùng ký hi u Rk(t) cho các hàm riêng ph n này ta s ký hi u các hàm tr n này là Nk,m(t). L Do ñó các ñư ng cong B-Spline có th bi u di n l i: P(t) = ∑ Pk.Nk,m(t) k=0 TÓM L I ð xây d ng các ñư ng cong B-Spline ta c n có: • M t vector nút T=(t0, t1, t2, ...,tk+m-1). • (L+1) ñi m ki m soát. • C p m c a các hàm B-Spline và công th c cơ b n cho hàm B-Spline Nk,m(t) là: t − tk tk + m − t Nk,m(t) = .Nk,m-1(t) + .Nk+1,m-1(t) v i k=0..L t k + m − 1 − tk tk + m − tk + 1 1 tk π t ≤ tk + 1 ðây là m t công th c ñ quy v i Nk,L(t) = 0 ngæåüc laûi (Hàm h ng b ng 1 trên ño n (tk , tk+1) ð i v i các m t B-Spline, ta có công th c bi u di n tương t : M L P(u,v) = ∑ ∑ Pi,k.Ni,m(u).Nk,m(v) i =0 k=0 Nh n xét: Các ñư ng Bezier là các ñư ng B-Spline. 6.2.2. Các tính ch t h u ích trong vi c thi t k các ñư ng cong B-Spline i/ Các ñư ng B-Spline c p m là các ña th c riêng ph n c p m. Chúng là các Spline do chúng có m-2 c p ñ o hàm liên t c m i ñi m trong giá mang c a chúng. 78
- 83. Chương VI. Thit k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline Các hàm B-Spline c p m t o thành m t cơ s cho b t kỳ Spline nào có cùng c p ñư c ñ nh nghĩa trên cùng các nút. Các Spline có th ñư c bi u di n như m t t h p tuy n tính c a các B-Spline. ii/ Hàm tr n B-Spline Nk,m(t) b t ñ u tk và k t thúc tk+m . Giá mang c a nó là [tk,tk+m]. Giá mang c a h các hàm Nk,m(t) v i k=0,...L là kho ng [t0,tm+L]. iii/ M t ñư ng cong B-Spline ñóng d a trên L+1 ñi m ki m soát có th ñư c t o ra b ng cách dùng phương trình ñư ng B-Spline tu n hoàn sau: L P(t) = ∑ Pk.N0,m((t-k) mod (L+1)) k=0 V i gi thi t các nút cách ñ u nhau trong ñ nh nghĩa c a hàm N0,m(...). iv/ N u dùng vector chu n thì ñư ng cong B-Spline s n i suy các ñi m ki m soát ñ u tiên và cu i cùng. Các hư ng kh i ñ u và k t thúc c a ñư ng cong ñó s n m d c theo các c nh ñ u tiên và cu i cùng c a ña giác ki m soát. v/ M i hàm B-Spline Nk,m(t) là không âm ∀t, và t ng các h hàm này b ng 1: L ∑ Nk,m(t) = 1 ∀t ∈ [t0 , tm+L ] k=0 vi/ Các ñư ng cong d a trên các B-Spline là b t bi n Affin. Do ñó, ñ bi n ñ i m t ñư ng cong B-Spline, ch c n bi n ñ i các ñi m ki m soát, sau ñó kh i t o l i ñư ng cong t các ñi m ki m soát ñã ñư c bi n ñ i này. vii/ M t ñư ng cong B-Spline s n m trong bao l i c a các ñi m ki m soát M nh hơn: b t kỳ t nào, ch có m hàm B-Spline là khác 0. Vì v y, m i t ñư ng cong ph i n m trong bao l i c a h u h t m ñi m ki m soát kích ho t k nhau. (Các ñi m ki m soát kích ho t là các ñi m mà t i ñó hàm B-Spline khác 0) viii/ð chính xác tuy n tính c a ñư ng cong B-Spline: N u m ñi m ki m soát k nhau là tuy n tính cùng nhau thì bao l i c a chúng là m t ñư ng th ng. Do ñó ñư ng cong cũng s tr thành ñư ng th ng. ix/ Tính ch t gi m ñ bi n thiên: S giao ñi m gi a ñư ng cong B-Spline v i b t kỳ m t m t ph ng nào (n u có) luôn luôn nh hơn s giao ñi m (n u có) gi a ña giác ki m soát c a nó v i m t ph ng ñó. 6.2.3. Thi t k các m t Bezier và B-Spline 79
- 84. Chương VI. Thit k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline Ta có th dùng các hàm tr n Bezier và B-Spline ñ mô t và v các m t cong. ð i v i các m t cong, ta bi u di n chúng dư i d ng tham s qua m t hàm vector v i 2 tham s là u, v. D ng t ng quát c a m t m t cong là: p(u,v) = (X(u,v),Y(u,v),Z(u,v)) ⇔ p(u,v) = X(u,v).i + Y(u,v).j + Z(u,v).k Khi u, v bi n thiên trên m t kho ng nào ñó thì các hàm X(u,v), Y(u,v) và Z(u,v) thay ñ i giá tr , do ñó làm cho v trí c a p(u,v) thay ñ i trong không gian 3 chi u. Chúng ta s không bi u di n các m t qua các hàm toán h c tư ng minh mà s bi u di n chúng qua các ñi m ki m soát. Ví d : p(u,v) = (1-v).((1-u).P00 + u.P10) + v.((1-u).P01 + u.P11) dùng 4 ñi m ki m soát 4 góc là Pij v i các hàm tr n là tuy n tính theo u, v. 6.2.4. Các băng Bezier ðư ng cong Bezier trong không gian 3 chi u có th ñư c vi t dư i d ng là m t hàm c a tham s v v i L+1 ñi m ki m soát tùy thu c vào tham s u theo m t ki u nào L ñó: Ch ng h n P(u,v) = ∑ Pk(u).BkL(v) (*) k=0 Nghĩa là m i ñư ng vi n u là m t ñư ng cong Bezier chu n, nhưng nh ng giá tr u khác nhau thì các ñi m ki m soát cũng n m nh ng v trí khác nhau. Khi u bi n thiên thì m i ñi m ki m soát Pk(u) s ch y trên m t ñư ng cong c th . Do ñó, m t cong có th xem như là m t s d ch chuy n ñư ng Bezier trong không gian. Ta tư ng tư ng m t ña giác ki m soát chuy n ñ ng trong không gian và thay ñ i d ng khi chuy n ñ ng. m i v trí, ña giác này t o nên m t ñư ng cong Bezier và m t cong t o thành chính là cái v t còn ñ l i bên dư i c a ñư ng cong này. Ví d : Phép chi u ph i cách c a m t m t ñư c t o ra b i vi c n i suy tuy n tính gi a 2 ñư ng cong Bezier d a trên 2 ña giác ki m soát là P0 và P1. M i ñư ng cong ki m soát pk(u) ñư c n i suy tuy n tính gi a 2 ñi m ki m soát Pk0 và Pk1 khi u bi n thiên gi a 0 và 1: pk(u) = (1-u).Pk0 + u.Pk1 k=0,1,2,3 Gi s các ñư ng cong ki m soát pk(u) chính là các ñư ng cong Bezier, m i ñư ng cong này d a trên m +1 ñi m ki m soát c a chúng. 80
- 85. Chương VI. Thit k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline M Vì v y: Pk(u) = ∑ Pi,k.BiM(u) i =0 K t h p pk(u) này vào phương trình (*) ta ñư c: M L P(u,v) = ∑ ∑ Pi,k.BiM(u).BkL(v) (**) i =0 k=0 Ta g i ñây là d ng tích Tensor cho băng Bezier. Cũng gi ng như các ña giác ki m soát trong 2D, m t kh i ña di n ki m soát là m t m ng g m có (M+1).(L+1) ñ nh. Tóm l i, ñ t o ra m t băng ta ch c n ch ra các v trí c a các ñ nh này r i sau ñó áp d ng phương trình (**) ñ v các ñư ng vi n hay ñ nh nghĩa d ng m t cong. 6.2.5. Dán các băng Bezier v i nhau M c ñích là ñ t o ra các d ng m t ph c t p g m nhi u băng Bezier k t l i v i nhau m t cách trơn tru các biên chung. Khi n i 2 băng Bezier l i v i nhau, m i băng có m t kh i ña di n ki m soát riêng và ñ u ñư c t o ra t phương trình (*) v i u, v bi n thiên trong kho ng [0,1]. V n ñ là làm sao cho 2 băng có th dán vào nhau m t cách trơn tru. • Hai băng s g p nhau t t c các ñi m d c theo biên chung n u các kh i ña di n ki m soát c a chúng kh p nhau biên. Như v y, ta ch c n ch n các ña giác ki m soát biên ñ cho 2 băng ñ ng nh t nhau biên. Có th th y ñư c ñi u này khi thay u=0 vào trong phương trình (*) trên. • M t ñi u ki n ñ n a là m i c p c nh c a kh i ña di n mà nó g p nhau biên ph i tuy n tính cùng nhau. 6.2.6. Các băng B-Spline Các hàm B-Spline có th ñư c s d ng trong d ng tích Tensor thay cho các ña th c Bernstein ñ ñ t ñư c tính ki m soát cao hơn khi thi t k m t cong. ði u ñó có nghĩa ta s thay phương trình (**) thành: M L P(u,v) = ∑ ∑ Pi,k.Ni,m(u).Nk,m(v) i =0 k=0 Kh i ña di n ki m soát g m có (L+1).(M+1) ñi m ki m soát; u,v bi n thiên t 0 t i giá tr nút l n nh t trong các vector nút tương ng c a chúng. 81
- 86. Chương VI. Thit k ñư ng cong và m t cong Bezier và B-Spline ð i v i các băng B-Spline, ngư i ta v n dùng các B-Spline b c 4. Do vi c ch n s ñi m ki m soát là không gi i h n nên có th t o ra nhi u d ng m t cong r t ph c t p. T t nhiên khi thi t k , ta ph i ch n kh i ña di n nút ñ t o ra m t có d ng mong mu n. 82
- 87. CHƯƠNG VII KH ðƯ NG VÀ M T KHU T 7.1. CÁC KHÁI NI M M t v t th 3D có th bi u di n trong máy tính b ng nhi u mô hình khác nhau, song hai mô hình ph bi n nh t ñó là mô hình khung dây (WireFrame) và mô hình các m t ña giác ( Polygon mesh model) • Mô hình WireFrame: ðã trình bày chương 5, nó cho ta hình dáng c a v t th dư i d ng m t b khung • Mô hình các m t ña giác: ñây m t v t th 3D ñư c xác ñ nh thông qua các m t (thay vì các c nh như trong mô hình WireFrame), và m i m t m t l i ñư c xác ñ nh thông qua các ñi m mà các ñi m này ñư c xem như là các ñ nh c a m t ña giác, v i mô hình các m t ña giác thì chúng ta không ch t o ra ñư c hình dáng c a v t th như mô hình Wireframe mà còn th hi n ñư c các ñ c tính v màu s c và nhi u tính ch t khác c a v t th . Song ñ có th mô t v t th 3D m t cách trung th c (như trong th gi i M t1 2 th c) thì ñòi h i ngư i l p 1 trình ph i tính toán và gi l p nhi u thông tin, mà m u ch t M t5 là v n ñ kh m t khu t và 3 M t4 chi u sáng.Trong chương M t3 này chúng ta s t p trung 5 nghiên c u v n ñ kh m t khu t. 4 Ví d : Mô t v t th như trong M t2 hình 7.1. 6 - Danh sách các ñ nh: 1,2,3,4,5,6 Hình 7.1 - Danh sách các m t ñư c xác ñ nh theo b ng sau: M t ð nh
- 88. Chương VII. Khñư ng và m t khu t 1 1,2,3 2 4,5,6 3 1,3,6,4 4 3,2,5,6 5 1,2,5,4 Chúng ta có th ñưa ra nhi u c u trúc d li u khác nhau ñ lưu tr cho ña giác. Dư i ñây là phát th o m t ki u c u trúc: Type Point3D = Record {ði m 3 chi u} x,y,z:real; end; Vector3D = Record {Vector 3 chi u. M c dù nó gi ng v i x,y,z:real; Point3D song ta v n khai ñ các thu t toán end; ñư c tư ng minh} RGBColor = Record {C u trúc màu s c c a m t m t} B,G,R:Byte; end; KieuMat = Record PhapVT:Vector3D; {Pháp vector c a m t} Sodinh:cardinal; {S ñ nh c a m t} List:array of integer;{Danh sách th t các ñ nh t o nên m t. ñây ta dùng m ng ñ ng} Color:RGBColor; {màu s c c a m t} end; Obj3D = record {ð i tư ng 3 chi u} ObjName:string; {Tên c a ñ i tư ng} Sodinh:cardinal; {S ñ nh} Dinh: array of point3d; {Danh sách ñ nh. ñây ta dùng ki u m ng ñ ng} SoMat:cardinal; {S m t} Mat:array of KieuMat; {Danh sách m t} 84
- 89. Chương VII. Khñư ng và m t khu t Xworld,Yworld,Zworld,Zoom:Real; {To ñ và kích thư c th t c a v t trong h to ñ th gi i} end; Khi cài ñ t cho m t ng d ng c thì vi c s d ng m ng c ñ nh có th gây ra các tr ng i v kích thư c t i ña hay t i thi u, cũng như vi c s d ng b nh không t i ưu. Vì th ngoài cách dùng m ng c ñ nh, ta có th dùng m ng ñ ng trong m t s ngôn ng như Visual Basic, Delphi hay Visual C++,… ho c dùng c u trúc danh sách móc n i. Song song v i ñi u ñó là vi c b t ñi hay ñưa thêm các thu c tính c n thi t ñ bi u di n các ñ c tính khác c a m t hay c a ñ i tư ng. * V n ñ kh m t khu t Khi th hi n v t th 3D, m t v n ñ n y sinh là làm sao ch th hi n các m t có th nhìn th y ñư c mà không th hi n các m t khu t phía sau. Vi c m t m t b khu t hay không b khu t thì tuỳ thu c vào c u trúc các m t c a v t th và v trí c a ñi m nhìn cũng như b i c nh mà v t th ñó ñư c ñ t vào. 7.2. CÁC PHƯƠNG PHÁP KH M T KHU T 7.2.1. Gi i thu t ngư i th sơn và s p x p theo chi u sâu (Depth-Sorting) Ngư i th sơn (hay Depth-sorting) là tên c a m t thu t gi i ñơn gi n nh t trong s các thu t toán v nh th c 3 chi u. N u ñ ý ngư i th sơn làm vi c, chúng ta s th y anh ta sơn b c tranh t trong ra ngoài, v i các c nh v t t xa ñ n g n. Chúng ta có th áp d ng m t cách tương t ñ v các ña giác trong danh sách các ña giác. Song có m t v n ñ c n ph i ch n l a, ñó là m t ña giác t n t i trong không gian 3D có t i ba b n ñ nh, và nh ng ñ nh này có th có các giá tr z ( giá tr ñ sâu ) khác nhau. Chúng ta s không bi t ch n giá tr nào trong s chúng. T nh ng kinh nghi m trong th c t , ngư i ta cho r ng nên s d ng giá tr z trung bình s cho k t qu t t trong h u h t các trư ng h p. Như v y, chúng ta c n ph i s p x p các m t theo th t t xa ñ n g n, r i sau ñó v các m t t xa trư c, r i v các m t g n sau, như th thì các m t g n s không b che khu t b i các m t xa, mà ch có các m t xa m i có th b các m t g n che khu t, do các m t g n v sau nên có th ñư c v ch ng lên hình nh c a các m t xa. 85
- 90. Chương VII. Khñư ng và m t khu t Như v y, thu t gi i Depth-Sorting ñư c th c hi n m t cách d dàng khi chúng ta xác ñ nh m t giá tr ñ sâu (là giá tr z trong h to ñ quan sát) ñ i di n cho c m t. Các m t d a vào ñ sâu ñ i di n c a mình ñ so sánh r i s p x p theo m t danh sách gi m d n (theo ñ sâu ñ i di n). Bư c ti p theo là v các m t lên m t ph ng theo th t trong danh sách. Gi i thu t còn m t s vư ng m c sau (hình 7.2): Khi hai m t c t nhau thì thu t gi i này ch th hi n như chúng ch ng lên nhau. Hình nh th t Khi v b ng gi i thu t trên Hình 7.2 Khi hai m t trong cùng m t kho ng không gian v ñ sâu và hình chi u c a chúng lên m t ph ng chi u ch ng lên nhau (hay ch ng m t ph n lên nhau). Ch ng h n như: Maët A Maët B Maét nhìn Hình 7.3 T nh ng ví d trên chúng ta có th th y r ng, có nh ng trư ng h p các ña giác ñư c s p x p sai d n ñ n k t qu hi n th không ñúng. Li u chúng ta có th kh c ph c ñư c v n ñ này không? Câu tr l i dĩ nhiên là có nhưng cũng ñ ng nghĩa là chúng ta s ph i x lý thêm r t nhi u các trư ng h p và làm tăng ñ ph c t p tính toán. • Phép ki m tra ph n kéo dài Z 86
- 91. Chương VII. Khñư ng và m t khu t Phép ki m tra này nh m xác ñ nh ph n kéo dài z c a hai ña giác có g i lên nhau hay không? N u các ph n kéo dài Z là g i lên nhau r t có th các ña giác này c n ñư c hoán ñ i. Vì th phép ki m tra ti p theo ph i ñư c th c hi n. • Phép ki m tra ph n kéo dài X Phép ki m tra này tương t như phép ki m tra trư c, nhưng nó s ki m tra ph n kéo dài X c a hai ña giác có g i lên nhau hay không? N u có, thì r t có th các ña giác này c n ñư c hoán ñ i. Vì th phép ki m tra ti p theo ph i ñư c th c hi n. • Phép ki m tra ph n kéo dài Y Phép ki m tra này ki m tra ph n kéo dài Y c a hai ña giác có g i lên nhau hay không? N u có, thì r t có th các ña giác này c n ñư c hoán ñ i. Vì th phép ki m tra ti p theo ph i ñư c th c hi n. • Phép ki m tra c nh xa Gi s A và B là hai ña giác mà sau khi s p x p theo ñ sâu trung bình thì A ñ ng trư c B. Song qua 3 phép ki m tra trên mà v n không xác ñ nh ñư c li u tr t t trên là ñúng hay chưa. Lúc này chúng ph i ti n hành phép ki m tra c nh xa. Phép ki m tra c nh xa nh m xác ñ nh xem ña giác B có n m phía sau c nh xa c a ña giác A hay không? N u có thì tr t t này là ñúng, ngư c l i thì ph i qua bư c ki m tra ti p theo. ð ki m tra ña giác B có n m sau c nh xa c a ña giác A hay không, chúng ta th c hi n vi c ki m tra m i ñ nh c a ña giác B. Các ñ nh này ñ u n m v cùng m t phía c a ña giác A theo chi u tr c Z không? N u ñúng thì k t qu tr t t trên là ñúng. Ngư c l i, có th x y ra m t trong hai tình hu ng như hình (7.2) ho c hình (7.3), ñ xác ñ nh ñư c ta ph i ti p t c sang bư c ki m tra ti p theo. • Phép ki m tra c nh g n Phép ki m tra c nh g n nh m xác ñ nh xem ña giác A có n m phía sau c nh g n c a ña giác B hay không? N u có thì tr t t xác ñ nh trư c ñây không 87
- 92. Chương VII. Khñư ng và m t khu t ñúng, chúng ta c n ph i hoán ñ i l i tr t t . Ngư c l i thì rõ ràng hai ña giác ñang c t nhau (như hình 7.2) ho c chéo vào nhau (hình 7.4), lúc này chúng ta ph i ti n hành chia nh hai ña giác A và B thành 3 (ho c 4) ña giác con, ñư ng chia c t chính là ñư ng giao c t c a 2 ña giác. Sau phép chia chúng ta ti n hành s p x p l i các ña giác con. Hình 7.4 7.2.2. Gi i thu t BackFace S r t ñơn gi n n u ta dùng Vector pháp tuy n ñ kh các m t khu t c a m t ñ i tư ng 3D ñ c và l i. Ta s tính góc gi a véc tơ hư ng nhìn V và pháp vector N c a m t, n u góc này là l n hơn 90o thì m t là không nhìn th y (b khu t), ngư c l i thì m t là kh ki n. D u c a tích vô hư ng c a 2 vector là dương n u góc gi a chúng nh hơn hay b ng 90o. V y thu t toán ñ xét m t m t b khu t hay không ch ñơn gi n là: If V.N >= 0 then M t th y Else M t không th y (m t khu t); M t nhìn υ Vector hư ng nhìn Vì υ<90o nên m t quan sát ñư c Hình 7.5 88
- 93. Chương VII. Khñư ng và m t khu t Hình 7.6 Cài ñ t minh ho cho thu t toán ch n l c m t sau Function Tich_vo_huong(v,n:Vector3D):real; {Tính tích vô hư ngc a 2 vector} Begin Tich_vo_huong:=v.x*n.x+v.y*n.y+v.z*n.z; End; Procedure DrawObj_FilterRearFace(Obj:Obj3D; Canvas:TCanvas;Width,Height:integer; Zoom:real;V:Vector3D); {V ñ i tư ng theo thu t toán ch n l c m t sau. Trong ñó: + Obj: ch a ñ i tư ng 3D c n v + Canvas: V i v (hay vùng ñ m khung) + Width, Height: Kích thư c c a Canvas + Zooom: H s t l khi v ñ i tư ng (Hay h s thu phóng) + V: Vector hư ng nhìn. N u Obj ñã ñư c chuy n sang h to ñ quan sát O’UVN thì V=(0,0,-1)} Var i,k,P,cx,cy:integer; Poly:array of TPoint; begin cx:=Width div 2;cy:=Height div 2; {Duy t qua t t c các m t c a ñ i tư ng} 89
- 94. Chương VII. Khñư ng và m t khu t For k:=0 to Obj.SoMat-1 do if Tich_vo_huong(v,Obj.Mat[K].PhapVT)>= 0 then {M t kh ki n} begin setlength(Poly,Obj.Mat[K].Sodinh);{Thi t l p ñ dài c a m ng Poly b ng s ñ nh c a ña giác} For i:=0 to Obj.Mat[K].Sodinh -1 do {ðưa to ñ các ñ nh c a ña giác vào Poly} begin P:=Obj.Mat[K].list[i]; Poly[i].X:=round(Obj.dinh[P].x*zoom)+cx; Poly[i].Y:=-round(Obj.dinh[P].y*zoom)+cy; end; {Thi t l p màu cho bút tô trư c khi tô} canvas.Brush.Color:=rgb(Obj.Mat[K].Color.R, Obj.Mat[K].Color.G,Obj.Mat[K].Color.G); Canvas.Polygon(poly); {Tô ña giác v i màu ñã ñư c thi t l p} end; setlength(poly,0); end; Rõ ràng, thu t toán r t ñơn gi n và ñ ph c t p tính toán không cao. Song khi s d ng ph i luôn ñ m b o r ng ñ i tư ng có ñ t tính là “ñ c và l i”, n u ñ i tư ng không tho mãn ñi u ki n ñó thì chúng ta ph i áp d ng m t tho t toán khác hay có nh ng s a ñ i c n thi t ñ tránh s th hi n sai l c. 7.2.3. Gi i thu t vùng ñ m ñ sâu (Z-Buffer) B ng cách tính giá tr ñ sâu (là giá tr Z trong h to ñ quan sát) c a m i ñi m trong t t c các m t ña giác, t i m i ñi m trên m t ph ng chi u có th có nh c a nhi u ñi m trên nhi u m t ña giác khác nhau, song hình v ch ñư c th hi n hình nh c a ñi m có ñ sâu th p nh t ( t c là ñi m g n nh t). V i cách th c hi n này gi i thu t có th kh ñư c t t c các trư ng h p mà các gi i thu t khác m c ph i. 90
- 95. Chương VII. Khñư ng và m t khu t Gi i h n c a phương pháp này là ñòi h i nhi u b nh và th c hi n nhi u tính toán. Z-Buffer là m t b ñ m dùng ñ lưu ñ sâu cho m i pixel trên hình nh c a v t th , thông thư ng ta t ch c nó là m t ma tr n hình ch nh t. N u dùng 1 byte ñ bi u di n ñ sâu c a m t pixel, thì m t v t th có hình nh trên m t ph ng chi u là 100x100 s c n 10000 byte dùng ñ làm Depth Buffer, và khi ñó vùng ñ m ñ sâu s cho phép ta phân bi t ñư c 256 m c sâu khác nhau, ñi u này có nghĩa là n u có 257 pixel 257 ñ sâu khác nhau thì khi ñó bu t ta ph i quy 2 pixel nào ñó v cùng m t ñ sâu. N u ta dùng 4 byte ñ bi u di n ñ sâu c a m t pixel, thì khi ñó vùng ñ m ñ sâu s cho phép ta phân bi t ñư c 4294967296 (232) m c sâu khác nhau, song lúc ñó s ph i c n 40000 byte cho m t b ñ m kích thư c 100x100. Do tính ch t 2 m t này nên tuỳ vào tình hu ng và yêu c u mà ta có th tăng hay gi m s byte ñ lưu gi ñ sâu c a 1 pixel. Và thông thư ng ngư i ta dùng 4 byte ñ lưu gi ñ sâu c a m t ñi m, khi ñó thì ñ chính xác r t cao. M t câu h i có th ñ t ra là làm sao có th tính ñ sâu c a m i ñi m trong ña giác. ñây có 2 phương pháp: phương pháp tr c ti p và phương pháp gián ti p. • Phương pháp tr c ti p s tính ñ sâu c a m i ñi m d a vào phương trình m t ph ng ch a ña giác. V i phương pháp này chúng ta c n duy t qua t t các ñi m c a ña giác (t t nhiên ch h u h n ñi m), b ng cách cho các thành ph n x và y, n u c p giá tr (x,y) tho trong mi n gi i h n c a ña giác thì chúng ta s tìm thành ph n th 3 là z b ng cách thay th x và y vào phương trình m t ph ng ñ tính ra thành ph n z. V m t toán h c thì phương pháp tr c ti p rõ ràng là r t khoa h c, song khi áp d ng ta s g p ph i vư ng m c: C n ph i tính bao nhiêu ñi m ñ hình nh th hi n c a ña giác lên m t ph ng chi u ñ m n và cũng không b tình tr ng quá m n (t c là v r t nhi u ñi m ch ng ch t lên nhau không c n thi t mà l i gây ra tình tr ng ch m ch p và tăng ñ ph c t p tính toán. Cũng nên nh r ng khi th hi n m t ña giác lên m t ph ng chi u thì nh c a nó có th ñư c phóng to hay thu nh ). • Phương pháp gián ti p: Chúng ta s tính ñ sâu c a m t ñi m gián ti p thông qua ñ sâu c a các ñi m lân c n. ð th c hi n chúng ta ti n hành theo các bư c sau: 91
- 96. Chương VII. Khñư ng và m t khu t G i G là m t m t ña giác ñư c bi u di n b i t p các ñi m P1, P2, … Pn và G’ là hình chi u c a G xu ng m t ph ng chi u v i t p các ñ nh P1’,P2’,… Pn’. ð th hi n hình nh c a G lên m t ph ng chi u thì rõ ràng là chúng ta ph i ti n hành tô ña giác G’. Song như thu t toán ñã phát bi u, chúng ta c n xác ñ nh xem m i ñi m M’ b t kỳ thu c G’ là nh c a ñi m M nào trên G và d a vào ñ sâu c a M ñ so sánh v i ñ sâu ñã có trong z- buffer ñ quy t ñ nh là có v ñi m M’ hay không. N u ta gán thêm cho các ñi m nh m t thành ph n n a, ñó là giá tr ñ sâu c a ñi m t o nh (t c là ñi m ñã t o ra ñi m nh sau phép chi u) thì lúc này ta không c n thi t ph i xác ñ nh M ñ tính ñ sâu, mà ta có th tính ñư c giá tr ñ sâu này qua công th c sau: N u M’ n m trên ño n th ng P’Q’ v i t l là: P’M’/P’Q’=t và n u bi t ñư c ñ sâu c a P’ và Q’ l n lư t là z(P’) và z(Q’) thì ñ sâu mà ñi m nh M’ nh n ñư c là z(M’)=z(P’)+(z(Q’)-z(P’))t (2.3.1) Ta có th s d ng ñư c công th c trên v i t t c các phép chi u có b o toàn ñư ng th ng. T ñó ta có th xác ñ nh quy trình v ña giác G’ là nh c a G như sau: + Gán thêm cho m i ñi m ñ nh c a ña giác G’ m t thành ph n z có giá tr b ng ñ sâu c a ñi m t o nh. Có nghĩa là P’1 s ch a thêm giá tr z(P1), P’2 s ch a thêm giá tr z(P2), hay m t cách t ng quát P’i s ch a thêm giá tr z(Pi) v i i=1..n. Ti n hành tô ña giác G’ theo m t quy trình tương t như thu t toán tô ña giác theo dòng quét. Có nghĩa là cho m t dòng quét ch y ngang qua ña giác, t i m i v trí b t kỳ c a dòng quét, chúng ta ti n hành tìm t p các giao ñi m c a dòng quét v i ña giác. G i {xm} là t p các giao ñi m, m t ñi u c n chú ý là ta c n tính ñ sâu cho các giao ñi m này. Gi s xi là giao ñi m c a ñư ng quét v i c nh Pi’Pj’ th thì ta có th tính ra ñ sâu c a xi thông qua công th c (2.3.1) như sau: 92
- 97. Chương VII. Khñư ng và m t khu t N u g i yscan là giá tr tung ñ c a dòng quét th thì: z(xi) = z(Pi’)+z(Pj’)*[(yscan – y(Pi’))/(y(Pj’)-y(Pi’))] (2.3.2) {trong ñó y(P) là thành ph n to ñ y c a ñi m P} Rõ ràng qua công th c trên ta th y, n u xi là trung ñi m c a Pi’Pj’ thì z(xi) = z(Pi’)+z(Pj’)*1/2 Cài ñ t minh ho cho gi i thu t “vùng ñ m ñ sâu” T nh ng phân tính trên chúng ta có th ti n hành khai báo các c u trúc d li u c n thi t và cài ñ t cho thu t toán. • Khai báo các c u trúc d li u c n thi t: Sau ñây là các khai báo c n thi t ñ cho phép lưu tr m t ñ i tư ng 3D theo mô hình các m t ña giác, cùng các khai báo c n thi t ñ ti n hành kh m t khu t theo thu t toán z-Buffer theo ngôn ng Pascal trong môi trư ng c a trình biên d ch Delphi {B t ñ u ph n khai báo ph c v cho gi i thu t Z-buffer} Type Z_BufferType=Array of Array of cardinal; {Ki u b ñ m Z, ñây là m t m ng ñ ng 2 chi u mà m i ph n t có ki u cardinal, ñi u ñó có nghĩa là vùng ñ m ñ sâu s cho phép ta phân bi t ñư c 4294967296 (232) m c sâu khác nhau} NutPoly_Z=record {C u trúc c a m t ñ nh c a ña giác chi u G’ } x,y:Integer; {To ñ c a nh trên m t ph ng chi u} z:real; {Thành ph n ñ sâu ñi kèm (là ñ sâu c a t o nh)} end; Polygon_Z =array of NutPoly_Z; {ða giác chi u là m t m ng ñ ng. Như m t ña giác 2 chi u, song m i m t ñ nh có ch a thêm thành ph n ñ sâu c a ñ nh} CanhCat_Z=record {C u trúc c a các c nh ña giác ñư c xây d ng nh m ph c v cho quá trình tính giao ñi m} y1,y2:Integer; {Tung ñ b t ñ u và k t thúc c a m t c nh (y1<=y2)} 93
- 98. Chương VII. Khñư ng và m t khu t xGiao:real; {hoành ñ xu t phát c a c nh. Song trong quá trình tính toán nó s là tung ñ giao ñi m c a c nh v i ñư ng quét ngang} xStep:real; {Giá tr thay ñ i c a x khi y thay ñ i 1 ñơn v , nó cho bi t ñ d c c a c nh} zGiao:real; {Giá tr ñ sâu t i ñi m xu t phát c a c nh. Song trong quá trình tính toán nó s là giá tr ñ sâu c a giao ñi m v i ñư ng quét ngang} zStep:real; {Giá tr ñ sâu c a giao ñi m ti p theo so v i giá tr ñ sâu c a giao ñi m trư c ñó s chênh l ch nhau m t kho ng là zStep} end; DanhSachCanhCat_Z=array of CanhCat_Z; {Danh sách các c nh ñư c t o ra t ña giác chi u G’, danh sách này nh m ph v cho quá trình tính toán các giao ñi m v i ñư ng quét cũng như ñ sâu c a m i giao ñi m} GiaoDiem_Z=record {Lưu to ñ giao ñi m và ñ sâu tương ng v i giao ñi m ñó} x,y:Integer; {To ñ giao ñi m} z:real; {Giá tr ñ sâu} ChiSoCanh:integer; {Ch s c nh c t t o ra giao ñi m (Nh m m c ñích kh các giao ñi m th a)} end; DanhsachGiaoDiem_Z=array of GiaoDiem_Z; {K t thúc ph n khai báo ph c v cho gi i thu t Z-buffer} Procedure DrawObj(Obj:Obj3D; Zmin,ZMax:Real; Z_Buffer:Z_BufferType; Canvas:TCanvas; Width,Height:integer; Zoom:real); {ð u vào: + ð i tư ng 3D ch a trong Obj + Gi i h n ñ sâu trong không gian mà chương trình x lý là t Zmin ñ n Zmax. Ta s th c hi n ánh x các giá tr ñ sâu tính ñư c c a các ñi m trên ña 94
- 99. Chương VII. Khñư ng và m t khu t giác sang ño n 0..4294967294. Bi t r ng ñ sâu Zmin ng v i 0 và Zmax ng v i 4294967294. (ñ sâu 4294967295 làm giá tr m c ñ nh cho các ñi m n n + Z_Buffer: là ma tr n ch a ñ sâu các ñi m nh c a các ñ i tư ng ñã th hi n trên Canvas (xem như là m t ph ng chi u). N u ta chưa v ñ i tư ng nào trư c ñó thì Z_Buffer ñư c kh i ñ ng là 4294967295 Canvas: T m v i v . Chúng ta s th c hi n v hình nh c a ñ i tư ng lên Canvas. Width,Height: Là chi u r ng và cao c a Canvas + Zoom: t l th hi n ñ i tư ng lên Canvas sau khi th c hi n phép chi u, ta có th hi u nôm na là t l thu phóng.} Var i,k,P,cx,cy:integer; Poly:Polygon_Z; CuongDoSang:Real; Color:Tcolor; Begin cx:=Width div 2;cy:=Height div 2; For k:=0 to Obj.SoMat-1 do {Duy t qua t t c các m t ña giác} begin setlength(Poly,Obj.Mat[K].Sodinh); {Thi t l p s ph n t c a Poly b ng s ñ nh c a m t mà nó s p ch a} For i:=0 to Obj.Mat[K].Sodinh -1 do {Duy t qua t t c các ñ nh c a m t và thi t l p giá tr cho m i ñ nh c a Poly} begin P:=Obj.Mat[K].list[i]; {ð nh th i trong ña giác K s là ñ nh th P trong danh sách ñ nh c a Obj} {Dùng phép chi u tr c giao ñ chi u ñi m Obj.dinh[P] xu ng m t ph ng OXY ta ñư c t a ñ nh là (Obj.dinh[P].y,Obj.dinh[P].x), r i sau ñó phóng theo t l là Zoom và t nh ti n theo vector (cx,cy) nh m giúp ñưa hình nh ra vùng gi a Canvas} Poly[i].X:=round(Obj.dinh[P].x*zoom)+cx; 95
- 100. Chương VII. Khñư ng và m t khu t Poly[i].Y:=-round(Obj.dinh[P].y*zoom)+cy; Poly[i].Z:=((Obj.dinh[P].z-ZMin)/(ZMax-Zmin) *4294967294); //MaxCardinal=4294967295 {Giá tr ñ sâu c a ñ nh Poly[i] là giá tr Obj.dinh[P].z song ñư c ánh x vào ño n 0..4294967294} end; Color:=RGB(Obj.Mat[K].Color.R,Obj.Mat[K].Color.G, Obj.Mat[K].Color.B); FillPolygon3D(Poly,Color,Z_Buffer,CanVas); end; setlength(poly,0); end; Procedure FillPolygon3D(Poly:Polygon_Z;Color:TColor; Z_Buffer:Z_BufferType;Canvas:TCanvas); {Th t c tô màu m t ña giác theo thu t toán Z_Buffer} var L,H,ND,NG,i,j,Y,MaxY,MinY:integer; D:DanhSachCanhCat_Z; G:DanhsachGiaoDiem_Z; Z_BufferW,Z_BufferH:Integer; {L,H:Gi i h n ch s c a m ng Poly D:Danh sách các c nh ñư c t o ra t Poly, ch a nh ng thông tin c n thi t ñ tính giao ñi m và ñ sâu c a giao ñi m m t cách nhanh chóng ND: S ph n t c a m ng D G: Ch a danh sách các giao ñi m có ñư c sau m i l n dòng quét thay ñ i NG:s ph n t c a m ng G} Procedure TaoDanhSachCanhCat; {Th t c này t o ra danh sách D, là danh sách các c nh c a ña giác t thông tin ñ u vào Poly} Var i,d1,d2,Dem,Dy,Cuoi:integer; begin 96
- 101. Chương VII. Khñư ng và m t khu t {Xác ñ nh s c nh c a ña giác} If (Poly[L].x<>Poly[H].x)or (Poly[L].y<>Poly[H].y) then begin ND:=H-L+1; setlength(D,ND); Cuoi:=H; end else begin ND:=H-L; setlength(D,ND); Cuoi:=H-1; end; Dem:=0; {T o ra các c nh} For i:=L to Cuoi do begin If i<H then j:=i+1 else j:=L; {Xác ñ nh ñi m ñ u và ñi m cu i c a c nh, ñi m ñ u là ñi m có giá tr y nh } If Poly[i].y<=Poly[j].y then begin d1:=i;d2:=j end else begin d1:=j;d2:=i end; D[dem].y1:=Poly[d1].y;D[dem].y2:=Poly[d2].y; {Lưu tr tung ñ xu t phát và k t thúc} D[dem].xGiao:=Poly[d1].x; {Tung ñ xu t phát. Kh i ñ u thì (D[dem].y1,D[dem].xGiao) chính là to ñ c a ñi m ñ u c a c nh} D[dem].zGiao:=Poly[d1].z; {ð sâu c a giao ñi m t i ñi m ñi m ñ u c a c nh} Dy:=(Poly[d2].y-Poly[d1].y); 97
- 102. Chương VII. Khñư ng và m t khu t {ð chênh l ch tung ñ c a ñi m ñ u và ñi m cu i} If Dy<>0 then begin D[dem].xStep:=(Poly[d2].x-Poly[d1].x)/Dy; D[dem].zStep:=(Poly[d2].z-Poly[d1].z)/Dy; {T ñ chênh l ch Dy ta suy ra gia tr ng c a x và ñ sâu z khi giá tr y tăng 1 ñơn v . N u khi dòng quét ñi qua ñi m ñ u thì to ñ giao ñi m là (D[dem].y1,D[dem].xGiao) v i ñ sâu là D[dem].zGiao, n u sau ñó dòng quét tăng 1 ñơn v thì rõ ràng to ñ giao ñi m s là (D[dem].y1+1,D[dem].xGiao+D[dem].xStep) và ñ sâu s là (D[dem].zGiao+D[dem].zStep)} end else begin D[dem].xStep:=0; D[dem].zStep:=0; end; Dem:=Dem+1; end; end; Procedure TaoDanhSachGiaoDiem; {T o danh sách các giao ñi m v i ñư ng quét có tung ñ y hi n th i} Var i:integer; Begin Setlength(G,ND); NG:=0; {Duy t qua t t c các c nh} for i:=0 to ND-1 do begin If (D[i].y1<=y)and(y<=D[i].y2) then {Có giao ñi m v i ñư ng quét y} Begin 98
- 103. Chương VII. Khñư ng và m t khu t {Lưu l i to ñ giao ñi m và ñ sâu} G[NG].x:=round(D[i].xGiao); G[NG].y:=y; G[NG].z:=D[i].zGiao; G[NG].ChiSoCanh:=i; {Ch s c nh ñã t o ra giao ñi m. Nh m ph c v cho quá trình l c b các giao ñi m không c n thi t} {Lưu l i Tung ñ và ñ sâu c a giao ñi m v i ñư ng quét ti p theo (y+1) vào chính D[i].xGiao và D[i].zGiao} D[i].xGiao:=D[i].xGiao+D[i].xStep; D[i].zGiao:=D[i].zGiao+D[i].zStep; NG:=NG+1; end; end; end; Procedure SapXepVaLoc; {S p x p l i các giao ñi m và l c b các giao ñi m th a} Var i,j,C1,C2:integer; Tg:GiaoDiem_Z; Begin {S p x p l i các giao ñi m} for i:=0 to NG-2 do For j:=i+1 to NG-1 do If G[i].x>G[j].x then begin Tg:=G[i];G[i]:=G[j];G[j]:=Tg; end; i:=0; {Kh nh ng Giao ñi m th a} While i<(NG-2) do begin If G[i].x=G[i+1].x then {2 giao ñi m trùng nhau} 99
- 104. Chương VII. Khñư ng và m t khu t begin C1:=G[i].ChiSoCanh; C2:=G[i+1].ChiSoCanh; {C1 và C2 là hai c nh ñã t o nên 2 giao ñi m trùng nhau ñang xét} If (D[C1].y1<>D[C2].y1)and(D[C1].y2<>D[C2].y2)) or(D[C1].y1=D[C1].y2)or(D[C2].y1=D[C2].y2) then {Xoá b t m t giao ñi m n u như: 2 c nh t o nên 2 giao ñi m này n m v hai phía c a ñư ng quét ho c có m t c nh là n m ngang} begin For j:=i to NG-2 do G[j]:=G[j+1]; NG:=NG-1; end; end; i:=i+1; end; end; Procedure ToMauCacDoan; {Th c hi n tô màu các ño n th ng là ph n giao c a ñư ng quét v i ña giác. ðó là các ño n x1x2, x3x4,…} Var i,x,K:integer;Dz:real; Z:Cardinal; begin i:=0; While i<NG-1 do begin K:=G[i+1].x - G[i].x; If k<>0 then Dz:=(G[i+1].z-G[i].z)/K else Dz:=0; For x:=G[i].x to G[i+1].x do {V i m i ño n ta th c hi n tính ñ sâu c a t ng ñi m r i so sánh v i giá tr có trong Z_Buffer} begin 100
- 105. Chương VII. Khñư ng và m t khu t If (0<=x)and(x<=Z_BufferW)and(0<=y) and(y<=Z_BufferH) then begin z:=round(G[i].z); If Z_Buffer[x,G[i].y]>Z then {So sánh ñ sâu c a ñi m tính ñư c v i ñ sâu ñã có } {N u ñ sâu c a ñi m tính ñư c nh hơn ñ sâu ñã có trong Z_Buffer thì rõ ràng là ñi m tính ñư c g n hơn ñi m ñã v trư c ñó trong vùng ñ m Z và Canvas} Begin Canvas.Pixels[x,G[i].y]:=Color; {V ñi m lên Canvas} Z_Buffer[x,G[i].y]:=Z; {C p nh t ñ sâu c a ñi m v a v vào vùng ñ m Z} end; end; G[i].z:=G[i].z+Dz; {Gán giá tr ñ sâu c a ñi m ti p theo vào trong G[i].z} end; i:=i+2; end; end; {Th t c chính} Begin L:=low(Poly); H:=High(Poly); {Xác ñ nh gi i h n trên và gi i h n dư i c a Poly} Z_BufferW:=high(Z_Buffer); {Xác ñ nh các chi u c a ma tr n Z_Buffer} Z_BufferH:=high(Z_Buffer[0]); {Z_BufferW+1:Chi u r ng (t 0..Z_BufferW) Z_BufferH+1:Chi u cao (t 0..Z_BufferH)} 101
- 106. Chương VII. Khñư ng và m t khu t { Tìm giá tr y l n nh t và nh nh t c a ña giác Poly ñ t ñó cho dòng quét th c hi n quét t trên min ñ n max} MaxY:=Poly[L].y; MinY:=MaxY; For i:=L+1 to H do if MaxY<Poly[i].y then MaxY:=Poly[i].y else If MinY>Poly[i].y then MinY:=Poly[i].y; TaoDanhSachCanhCat; {T o danh sách các c nh c a ña giác Poly v i các tham s thi t l p nh m giúp cho vi c tính toán giao ñi m ñư c d dàng} For y:=MinY to MaxY do {Cho dòng quét ch y t MinY ñ n MaxY } begin TaoDanhSachGiaoDiem; {Tìm danh sách các giao ñi m c a ñư ng quét y v i các c nh c a Poly} SapXepVaLoc; {S p x p l i các giao ñi m và l c b các giao ñi m th a} ToMauCacDoan; {D a vào các giao ñi m ñ xác ñ nh ra các ño n n m trong ña giác, t ñó tô màu t ng ñi m trên ño n ñó d a vào ñ sâu so sánh v i giá tr ñ sâu tương ng trên Z_Buffer} end; Setlength(D,0); {Gi i phóng m ng D} Setlength(G,0); {Gi i phóng m ng G} end; 102
- 107. Chương VII. Khñư ng và m t khu t BÀI T P 1. Cài ñ t cho thu t gi i Depth-Sorting Cài ñ t chương trình cho phép bi u di n và quan sát v t th 3D theo mô hình "các m t ña giác" trong ñó s d ng thu t gi i Depth-Sorting ñ kh các m t khu t 2. Cài ñ t cho thu t gi i ch n l c m t sau Cài ñ t chương trình cho phép bi u di n và quan sát v t th 3D theo mô hình "các m t ña giác" trong ñó s d ng thu t gi i ch n l c m t sau ñ kh các m t khu t. V i ñ i tư ng là các hình l p phương, t di n, bát di n, c u,… 3. Cài ñ t cho thu t gi i vùng ñ m ñ sâu Cài ñ t chương trình cho phép bi u di n và quan sát v t th 3D theo mô hình "các m t ña giác" trong ñó s d ng thu t gi i ch n l c m t sau ñ kh các m t khu t. V i ñ i tư ng là các m t c t nhau, các hình l i lõm b t kỳ. 103
- 108. CHƯƠNG VIII T O BÓNG V T TH 3D 8.1. KHÁI NI M Khi bi u di n các ñ i tư ng 3 chi u, m t y u t không th b qua ñ tăng tính th c c a ñ i tư ng ñó là t o bóng sáng cho v t th . ð th c hi n ñư c ñi u này, chúng ta c n ph i l n lư t tìm hi u các d ng ngu n sáng có trong t nhiên, cũng như các tính ch t ñ c trưng khác nhau c a m i lo i ngu n sáng. T ñó ñưa ra các gi i pháp k thu t khác nhau nh m th hi n s tác ñ ng c a các ngu n sáng khác nhau lên ñ i tư ng. 8.2. NGU N SÁNG XUNG QUANH Ánh sáng xung quanh là m c sáng trung bình, t n t i trong m t vùng không gian. M t không gian lý tư ng là không gian mà t i ñó m i v t ñ u ñư c cung c p m t lư ng ánh sáng lên b m t là như nhau, t m i phía m i nơi. Thông thư ng ánh sáng xung quanh ñư c xác ñ nh v i m t m c c th g i là m c sáng xung quanh c a vùng không gian mà v t th ñó cư ng , sau ñó ta c ng v i cư ng ñ sáng có ñư c t các ngu n sáng khác ñ có ñư c cư ng ñ sáng cu i cùng lên m t ñi m hay m t m t c a v t th . Vector pháp tuy n c a m t Ánh sáng ph n x Ánh sáng ph n Ánh sáng t i x Ánh sáng t i Hình 8.1. S ph n x c a ánh sáng
- 109. Chương VIII. To bóng v t th 3D 8.3. NGU N SÁNG ð NH HƯ NG Ngu n sáng ñ nh hư ng gi ng như nh ng gì mà m t tr i cung c p cho chúng ta. Nó bao g m m t t p các tia sáng song song, b t k cư ng ñ c a chúng có gi ng nhau hay không. Có hai lo i k t qu c a ánh sáng ñ nh hư ng khi chúng chi u ñ n b m t là: khuy ch tán và ph n chi u. N u b m t ph n x toàn b (gi ng như m t gương) thì các tia ph n x s có hư ng ngư c v i hư ng c a góc t i (Hình 8.1). Trong trư ng h p ngư c l i, n u b m t là không ph n x toàn ph n (có ñ nhám, xù xì) thì m t ph n các tia sáng s b to ñi các hư ng khác hay b h p th , ph n còn l i thì ph n x l i, và lư ng ánh sáng ph n x l i này t l v i góc t i. ñây chúng ta s quan tâm ñ n hi n tư ng ph n x không toàn ph n vì ñây là hi n tư ng ph bi n (vì ch có nh ng ñ i tư ng ñư c c u t o t nh ng m t như m t gương m i x y ra hi n tư ng ph n x toàn ph n), và ñ ng th i tìm cách tính cư ng ñ c a ánh sáng ph n x trên b m t. Vector pháp tuy n c a m t Vector pháp tuy n c a m t Ánh sáng ph n Ánh sáng t i x Ánh sáng ph n x Ánh sáng t i (a) (b) Hình 8.2. S ph n x không toàn ph n c a ánh sáng Trong hình 8.2 th hi n s ph n x ánh sáng không toàn ph n. ð ñ m nét c a các tia ánh sáng t i th hi n cư ng ñ sáng cao, ñ m nh c a các tia ph n x th hi n cư ng ñ sáng th p. Nói chung, khi b m t là không ph n x toàn ph n thì cư ng ñ c a ánh sáng ph n x (hay t m g i là tia ph n x ) luôn bé hơn so v i cư ng ñ c a ánh sáng t i (hay g i là tia t i), và cư ng ñ c a tia ph n x còn t l v i góc gi a tia t i v i vector pháp tuy n c a b m t, n u góc này càng nh thì cư ng ñ ph n x càng cao (hình II.2 (a)), n u góc này l n thì cư ng ñ ph n x r t th p (hình II.2 (b)). ñây ta ch quan tâm ñ n thành ph n ánh sáng khuy ch tán và t m b qua hi n tư ng ph n 105
- 110. Chương VIII. To bóng v t th 3D x toàn ph n. ð cho ti n trong vi c tính toán ta t m ñ i hư ng c a tia t i th c s , v y bây gi hư ng c a tia t i ñư c xem là hư ng ngư c l i c a tia sáng t i. N u g i θ là góc gi a tia t i v i vector pháp tuy n c a b m t thì Cos(θ) ph thu c vào tia t i a và vector pháp tuy n c a m t n theo công th c: a.n Cos (θ ) = (8.1) a.n Trong công th c trên Cos(θ) b ng tích vô hư ng c a a và n chia cho tích ñ l n c a chúng. N u ta ñã chu n hoá ñ l n c a các vector a và n v 1 t trư c thì ta có th tính giá tr trên m t cách nhanh chóng như sau: Cos(θ) = tích vô hư ng c a a và n = a.x*n.x+a.y*n.y+a.z*n.z Vì Cos(θ) có giá tr t +1 ñ n -1 nên ta có th suy ra công th c tính cư ng ñ c a ánh sáng ph n x là: Cư ng ñ ánh sáng ph n x = Cư ng ñ c a ánh sáng ñ nh hư ng * [(Cos(θ)+1)/2] (8.2) Trong ñó [(Cos(θ)+1)/2] có giá tr trong kho ng t 0 ñ n 1. V y qua công th c (8.1) và (8.2) chúng ta có th tính ñư c cư ng ñ c a ánh sáng ph n x trên b m t khi bi t ñư c cư ng ñ c a ánh sáng ñ nh hư ng cũng như các vector pháp tuy n c a m t và tia t i. Cài ñ t thu t toán Dư i ñây là ph n trình bày các th t c ph c v cho vi c v ñ i tư ng 3D ñ c l i, theo thu t toán ch n l c m t sau có tính ñ n v n ñ chi u sáng c a ngu n sáng xung quanh và ngu n sáng ñ nh hư ng. Function Cuong_Do_Anh_Sang_Dinh_Huong(v,n:Vector3D):real; {Th t c tính cư ng ñ ánh sáng ph n x trên b m t c a ña giác khi bi t ñư c tia t i v và vector pháp tuy n n} var s,t:real; begin s:=sqrt(v.x*v.x+v.y*v.y+v.z*v.z)*sqrt(n.x*n.x+n.y*n.y+n.z*n.z); {Gán S b ng tích c a |v|*|n|} 106
- 111. Chương VIII. To bóng v t th 3D if s=0 then {M t trong hai vector b ng 0 do ñó t m xem cư ng ñ sáng b ng 1} begin Cuong_Do_Anh_Sang_Dinh_Huong:=1;end else Begin t:=tich_vo_huong(v,n); {Tính tích vô hư ng c a v và n} If t>0 then {N u góc gi a v và n n m trong kho ng t 0 ñ n 90 ñ thì} Cuong_Do_Anh_Sang_Dinh_Huong:=(T/s) else Cuong_Do_Anh_Sang_Dinh_Huong:=0; end; end; Procedure DrawObj_FilterRearFace(Obj:Obj3D; Canvas:TCanvas; Width,Height:integer; Zoom:real; AnhSangNen,AnhSangDinhHuong:real; VectorChieuSang:vector3D; V:Vector3D); {V ñ i tư ng 3D ñ c l i theo thu t toán ch n l c m t sau có tính ñ n v n ñ chi u sáng c a ngu n sáng xung quanh và ngu n sáng ñ nh hư ng. Trong ñó: + Obj: ch a ñ i tư ng 3D c n v + Canvas: V i v (hay vùng ñ m khung) + Width, Height: Kích thư c c a Canvas + Zooom: H s t l khi v ñ i tư ng (Hay h s thu phóng) + V: Vector hư ng nhìn. N u Obj ñã ñư c chuy n sang h to ñ quan sát O’UVN thì V=(0,0,-1) + AnhSangNen: Giá tr cư ng ñ c a ánh sáng xung quanh mà ñ i tư ng có th thu nh n ñư c + AnhSangDinhHuong: Giá tr cư ng ñ c a ánh sáng ñ nh hư ng mà ñ i tư ng có th thu nh n ñư c *Chú ý: AnhSangNen + AnhSangDinhHuong <=1. ñây ta xem t ng cư ng ñ c a các ngu n sáng t o ra gi i h n trong kho ng 0..1. T ñó chúng ta có th ñi u ch nh cư ng ñ chi u sáng c a các ngu n sáng b ng cách tăng h s cư ng ñ c a nó song v n ph i luôn luôn tho mãn t ng c a chúng nh hơn hay b ng 1. Khi m t m t 107
- 112. Chương VIII. To bóng v t th 3D nh n ñư c t ng cư ng ñ sáng là 1 t các ngu n sáng khác nhau cung c p thì m t s cho màu th c c a nó. N u t ng cư ng ñ sáng mà nó thu ñư c t các ngu n sáng nh hơn 1 m t s hơi t i ñi. + VectorChieuSang: ðây là vector bi u di n tia t i (chú ý nó có hư ng ngư c v i hư ng c a ánh sáng chi u t i như ñã nói trong ph n lý thuy t} Var i,k,P,cx,cy:integer; Poly:array of TPoint; CuongDoSang:Real; R,G,B:byte; Begin cx:=Width div 2;cy:=Height div 2; For k:=0 to Obj.SoMat-1 do if Tich_vo_huong(v,Obj.Mat[K].PhapVT)>= 0 then begin {Thi t l p ña giác là hình chi u c a m t xu ng m t ph ng OXY (có t nh ti n và ñ i hư ng tr c Y)} setlength(Poly,Obj.Mat[K].Sodinh); For i:=0 to Obj.Mat[K].Sodinh -1 do begin P:=Obj.Mat[K].list[i]; Poly[i].X:=round(Obj.dinh[P].x*zoom)+cx; Poly[i].Y:=-round(Obj.dinh[P].y*zoom)+cy; {To ñ c a ñ nh sau khi chi u là (Obj.dinh[P].x,Obj.dinh[P].y), song ñư c bi n ñ i t l v i h s là zoom r i ñ i hư ng tr c Y và t nh ti n theo vector (cx,cy)} end; {Tính cư ng ñ sáng mà m t nh n ñư c: b ng t ng cư ng ñ sáng do ngu n sáng xung quanh (ánh sáng n n) và ngu n sáng ñ nh hư ng cung c p} CuongDoSang:=AnhSangNen + AnhSangDinhHuong * Cuong_Do_Anh_Sang_Dinh_Huong(VectorChieuSang,Obj.Mat[K].PhapVT); 108
- 113. Chương VIII. To bóng v t th 3D { ñây cư ng ñ sáng mà m t nh n ñư c do ngu n sáng ñ nh hư ng cung c p ph thu c không ch vào cư ng ñ sáng mà ngu n phát ra, mà còn ph thu c vào hư ng ñón ánh sáng c a m t và ñư c bi u di n b i bi u th c: AnhSangDinhHuon*Cuong_Do_Anh_Sang_Dinh_Huong(VectorChieuSang,Ob j.Mat[K].PhapVT)} R:=round(Obj.Mat[K].Color.R*CuongDoSang); G:=round(Obj.Mat[K].Color.G*CuongDoSang); B:=round(Obj.Mat[K].Color.B*CuongDoSang); {Thi t l p màu s c cho m t b ng cách: l y cư ng ñ màu s c m t ñ nh c a m t Obj.Mat[K].Color, nhân v i cư ng ñ sáng mà nó nh n ñư c trong th c t tính toán ñư c CuongDoSang. T ñó ta th y, n u m t nh n ñư c ñ y ñ ánh sáng (cư ng ñ sáng =1) thì m t s có màu m t ñ nh c a nó (xác ñ nh khi thi t k ñ i tư ng), ngư c l i thì m t s có màu s c t i hơn. N u m t không ñư c chi u sáng t các ngu n sáng (cư ng ñ sáng =0) thì m t s có màu ñen} canvas.Brush.Color :=rgb(R,G,B); Canvas.Pen.Color:=canvas.Brush.Color; Canvas.Polygon(poly); {v ña giác v i màu s c ñã ñư c xác ñ nh trư c b i bút tô (Brush.Color) và bút v (Pen.Color)} end; setlength(poly,0); end; 8.4. NGU N SÁNG ðI M Ngu n sáng ñ nh hư ng là tương ñương v i ngu n sáng ñi m ñ t vô t n. Nhưng khi ngu n sáng ñi m ñư c mang ñ n g n ñ i tư ng thì các tia sáng t nó phát ra không còn song song n a mà ñư c to ra theo m i hư ng theo d ng hình c u. Vì th , các tia sáng s rơi xu ng các ñi m trên b m t dư i các góc khác nhau. Gi s vector pháp tuy n c a m t là n=(xn, yn, zn), ñi m ñang xét có to ñ là (x0, y0, z0) và ngu n sáng ñi m có t a ñ là (plx, ply, plz) thì ánh sáng s r i ñ n ñi m ñang sét theo vector (x0- plx, y0-ply, z0-plz), hay tia t i: a = (plx - x0, ply - y0,plz - z0). 109
- 114. Chương VIII. To bóng v t th 3D T ñó cư ng ñ sáng t i ñi m ñang xét s ph thu c vào Cos(θ) gi a n và a như ñã trình bày trong ph n ngu n sáng ñ nh hư ng. V y v i ngu n sáng ñ nh hư ng, chúng ta c n tính tia t i cho m i ñi m trên m t, t ñó k t h p v i vector pháp tuy n c a m t ñ tính ñư c cư ng ñ sáng t i ñi m ñó, n u tính toán tr c ti p thì có th m t khá nhi u th i gian do ph i tính vector a và tính Cos(θ) thông qua công th c (8.1) v i t t c các ñi m trên m t. Nên nh r ng trong tình hư ng ngu n sáng ñi m thì chúng ta bu c lòng ph i tính Cos(θ) thông qua công th c (8.1) vì vector a s thay ñ i khi m t hay ngu n sáng thay ñ i (tr khi m t tĩnh, song n u m t tĩnh và ngu n sáng c ñ nh thì suy ra chúng ta ch c n tính cư ng ñ sáng m t l n). 8.5. MÔ HÌNH BÓNG GOURAUD Mô hình bóng Gouraud là m t phương pháp v bóng, t o cho ñ i tư ng 3D có hình dáng cong có m t cái nhìn có tính th c hơn. Phương pháp này ñ t cơ s trên th c t sau: ñ i v i các ñ i tư ng 3D có b m t cong thì ngư i ta thư ng x p s b m t cong c a ñ i tư ng b ng nhi u m t ña giác ph ng, ví d như m t m t c u có th s p s b i m t t p các m t ña giác ph ng có kích thư c nh s p x p l i, khi s ña giác x p x tăng lên (có nghĩa là di n tích m t ña giác nh l i) thì tính th c c a m t c u s tăng, s cho ta c m giác m t c u trông tròn tr a hơn, m n và cong hơn. Tuy nhiên, khi s ña giác x p x m t m t cong tăng thì kh i lư ng tính toán và lưu tr cũng tăng theo t l thu n theo s m t, ñi u ñó d n ñ n t c ñ th c hi n s tr nên ch m ch p hơn. Chúng ta hãy th v i m t ví d sau: ð mô ph ng m t m t c u ngư i ta x p x nó b i 200 m t thì cho ta m t c m giác hơi g gh , nhưng v i 450 m t thì ta th y nó m n và tròn tr a hơn, song khi s m t là 16200 thì cho ta c m giác hình c u r t tròn và m n (hình 8.3). Tuy hình nh m t c u v i 16200 m t ña giác thì m n hơn so v i 200 m t, song lư ng tính toán ph i th c hi n trên m i ña giác cũng tăng lên g p 16200/200= 81 l n. Song v n ñ v n còn n y sinh m t khi ta phóng l n hay thu nh v t th . N u ta phóng l n thì rõ ràng là các ña giác cũng ñư c phóng l n theo cùng t l , d n ñ n hình nh v các m t ña giác l i hi n rõ và gây ra c m giác không ñư c trơn m n. Ngư c l i, khi ta thu nh thì n u s ña giác x p x l n thì s d n ñ n tình tr ng các ña giác quá nh , ch ng ch t lên nhau không c n thi t. 110
- 115. Chương VIII. To bóng v t th 3D 200 m t 450 m t 16200 m t Hình 8.3 ð gi i quy t v n ñ trên, chúng ta có th ti n hành theo phương pháp tô bóng Gouraud. Mô hình bóng Gouraud t o cho ñ i tư ng m t cái nhìn gi ng như là nó có nhi u m t ña giác b ng cách v m i m t không ch v i m t cư ng ñ sáng mà v v i nhi u cư ng ñ sáng khác nhau trên các vùng khác nhau, làm cho m t ph ng nom như b cong. B i th c ch t ta c m nh n ñư c ñ cong c a các m t cong do hi u ng ánh sáng khi chi u lên m t, t i các ñi m trên m t cong s có pháp vector khác nhau nên s ñón nh n và ph n x ánh sáng khác nhau, t ñó chúng ta s c m nh n ñư c các ñ sáng khác nhau trên cùng m t m t cong. Tô bóng thư ng Tô bóng theo Gouraud Hình 8.4 Thư ng thì m i m t ña giác có m t vector pháp tuy n, và như ph n trên ñã trình bày, vector pháp tuy n ñó ñư c dùng ñ tính cư ng ñ c a ánh sáng ph n x trên b m t c a ña giác t ñó suy ra cư ng ñ sáng c a m t. Tuy nhiên mô hình Gouraud l i xem m t ña giác không ch có m t vector pháp tuy n, mà m i ñ nh c a m t ña giác l i có m t vector pháp tuy n khác nhau, và t vector pháp tuy n c a các ñ nh chúng ta s n i suy ra ñư c vector pháp tuy n c a t ng ñi m trên m t ña giác, t ñó tính ñư c cư ng ñ sáng c a ñi m. Như th , các ñi m trên cùng m t m t c a ña giác s có cư ng ñ sáng khác nhau và cho ta c m giác m t ña giác không ph i là m t ph ng mà là m t cong. 111
- 116. Chương VIII. To bóng v t th 3D Vector trung bình c ng b ng trung bình c ng c a các vector pháp tuy n l n c n Hình 8.5 Th c ch t thì m i m t ña giác ch có m t vector pháp tuy n, song phương pháp Gouraud tính toán vector trung bình t i m i ñ nh c a ña giác b ng cách: l y trung bình c ng các vector pháp tuy n c a các ña giác có ch a ñ nh ñang xét. Vi c n i suy vector pháp tuy n c a t ng ñi m trên m t ña giác ñư c th c hi n tương t như vi c n i suy ñ sâu trong gi i thu t “vùng ñ m ñ sâu” ñã ñư c trình bày trong chương trư c. Cài ñ t thu t toán Dư i ñây là ph n trình bày các th t c ph c v cho vi c v ñ i tư ng 3D ñ c l i và cong, theo thu t toán ch n l c m t sau có tính ñ n v n ñ chi u sáng c a ngu n sáng xung quanh và ngu n sáng ñ nh hư ng, song m i ña giác s ñư c tô bóng theo phương pháp Gouraud. {B t ñ u ph n khai báo ph c v cho gi i thu t tô ña giác theo phương pháp Gouraud} Type NutPolyGourand=record {1 ñ nh c a ña giác chi u (là nh c a m t ña giác xu ng m t ph ng OXY} N:Vector3D; {Pháp vector t i 1 ñ nh c a ña giác} x,y:Integer; {To ñ c a ñ nh} end; 112
- 117. Chương VIII. To bóng v t th 3D PolygonGourand =array of NutPolyGourand; {m ng ñ ng dùng ñ ch a các ñ nh c a ña giác chi u} CanhCat=record {M t c nh c a ña giác ñư c t o ra nh m ph c v cho quá trình tính giao ñi m nhanh} y1,y2:Integer; xGiao:real; XStep:real; NGiao:Vector3D; {Pháp vector t i ñ nh, song nó s ñư c ch a pháp vector tai giao ñi m v i ñư ng quét} NStep:Vector3D; {ñ bi n thiên c a Pháp vector khi di chuy n d c theo c nh, m i l n y thay ñ i 1 ñơn v thì pháp vector thay ñ i m t lư ng là NStep} end; DanhSachCanhCat=array of CanhCat; GiaoDiem=record {C u trúc ch a giao ñi m c a ñư ng quét ngang v i c nh ña giác chi u } x,y:Integer; {To ñ giao ñi m} NGiao:Vector3D; {Pháp vector t i giao ñi m} ChiSoCanh:integer; {Ch s c nh ñã t o ra giao ñi m} end; DanhsachGiaoDiem=array of GiaoDiem; Procedure DrawObjGouraud_FilterRearFace(Obj:Obj3D; Canvas:TCanvas;Width,Height:integer;Zoom:real; AnhSangNen,AnhSangDinhHuong:real; VectorChieuSang:vector3D;V:Vector3D); {V ñ i tư ng 3D ñ c l i và cong} Var i,j,k,Dem,P,Q,cx,cy:integer; Poly:PolygonGourand; DinhLinkMat:array of Record {Ch a Danh sách các m t có liên k t ñ n m t ñinh} SoMat:Integer; 113
- 118. Chương VIII. To bóng v t th 3D A:array of integer; end; CMLD:array of integer; {S m t có liên k t v i ñ nh th i} begin cx:=Width div 2;cy:=Height div 2; Setlength(DinhLinkMat,Obj.Sodinh); Setlength(CMLD,Obj.Sodinh); For i:=0 to obj.Sodinh-1 do CMLD[i]:=0; {Xác ñ nh m i ñ nh có bao nhiêu m t liên k t ñ n} For i:=0 to obj.SoMat -1 do For j:=0 to obj.mat[i].Sodinh-1 do begin K:=obj.mat[i].List[j]; CMLD[k]:=CMLD[k]+1; {S m t liên k t ñ n ñ nh th k ñư c tăng lên khi có m t m t có liên k t ñ n nó } end; {Thi t l p danh sách các măt liên k t ñ n t ng ñ nh c a ñ i tư ng} For i:=0 to obj.Sodinh-1 do begin setlength(DinhLinkMat[i].A,CMLD[i]);{S m t liên k t v i ñ nh i là CMLD[i]} DinhLinkMat[i].SoMat:=0; end; {Quá trình xác ñ nh rõ nh ng m t nào liên k t v i ñ nh i} For i:=0 to obj.SoMat -1 do For j:=0 to obj.mat[i].Sodinh-1 do begin K:=obj.mat[i].List[j]; Dem:=DinhLinkMat[K].SoMat; DinhLinkMat[K].A[Dem]:=i; DinhLinkMat[K].SoMat:=DinhLinkMat[K].SoMat+1; end; 114
- 119. Chương VIII. To bóng v t th 3D Setlength(CMLD,0); For k:=0 to Obj.SoMat-1 do if Tich_vo_huong(v,Obj.Mat[K].PhapVT)>= 0 then begin setlength(Poly,Obj.Mat[K].Sodinh); For i:=0 to Obj.Mat[K].Sodinh -1 do begin {thi t l p các thu c tính c a ñ nh th i c a Poly (ña giác chi u) } P:=Obj.Mat[K].list[i]; Poly[i].X:=round(Obj.dinh[P].x*zoom)+cx; Poly[i].Y:=-round(Obj.dinh[P].y*zoom)+cy; {Tính Vector pháp tuy n t i ñ nh Poly b ng cách tính t ng c a các vector pháp tuy n c a các m t có liên k t v i ñ nh ñó} Poly[i].N.x :=0;Poly[i].N.y :=0;Poly[i].N.z :=0; For j:=0 to DinhLinkMat[P].SoMat-1 do begin Q:=DinhLinkMat[P].A[j];//Mat ke voi dinh P Poly[i].N.x:=Poly[i].N.x+obj.Mat[Q].PhapVT.x; Poly[i].N.y:=Poly[i].N.y+obj.Mat[Q].PhapVT.y; Poly[i].N.z:=Poly[i].N.z+obj.Mat[Q].PhapVT.z; end; end; FillPolygonGourand(poly,VectorChieuSang,AnhSangNen, AnhSangDinhHuong,CanVas,Obj.Mat[K].Color); {Tô ña giác Poly theo thu t toán tô ña giác theo dòng quét, song có n i suy vector pháp tuy n cho m i ñi m, và tính cư ng ñ sáng c a m i ñi m trong ña giác d a vào vector pháp tuy n t i ñi m ñó.} end; setlength(poly,0); For i:=0 to obj.Sodinh-1 do setlength(DinhLinkMat[i].A,0); Setlength(DinhLinkMat,0); 115
- 120. Chương VIII. To bóng v t th 3D end; Procedure FillPolygonGourand(Poly:PolygonGourand; Vector_Chieu_Sang:Vector3D; Anh_Sang_Nen,Anh_Sang_Chieu:real; Canvas:TCanvas;Color:RGBColor); {Tô ña giác Poly theo thu t toán tô ña giác theo dòng quét, song có n i suy vector pháp tuy n cho m i ñi m, và tính cư ng ñ sáng c a m i ñi m trong ña giác d a vào vector pháp tuy n t i ñi m ñó. Th t c này tương t như th t c tô ña giác theo thu t toán Z-Buffer song thay vì n i suy ñ sâu z c a m i ñi m, thì th t c này s n i suy pháp vector c a m i ñi m, r i d a vào pháp vector c a ñi m ñó mà tính ra cư ng ñ sáng mà nó có ñư c do ngu n sáng ñ nh hư ng cung c p.} var L,H,ND,NG,i,j,Y,MaxY,MinY:integer; {L,H:Gioi han chi so cua mang Poly ND: So phan tu cua mang D:DanhSachCanhCat NG:So phan tu cua mang G:DanhsachGiaoDiem} D:DanhSachCanhCat; G:DanhsachGiaoDiem; Procedure TaoDanhSachCanhCat; Var i,d1,d2,Dem,Kc,Cuoi:integer; begin If (Poly[L].x<>Poly[H].x)or(Poly[L].y<>Poly[H].y) then begin ND:=H-L+1; setlength(D,ND); Cuoi:=H; end else begin ND:=H-L; setlength(D,ND); Cuoi:=H-1; 116
- 121. Chương VIII. To bóng v t th 3D end; Dem:=0; For i:=L to Cuoi do begin If i<H then j:=i+1 else j:=L; If Poly[i].y<=Poly[j].y then begin d1:=i;d2:=j end else begin d1:=j;d2:=i end; D[dem].y1:=Poly[d1].y;D[dem].y2:=Poly[d2].y; D[dem].xGiao:=Poly[d1].x; D[dem].NGiao:=Poly[d1].N; Kc:=(Poly[d2].y-Poly[d1].y); If Kc<>0 then begin D[dem].XStep:=(Poly[d2].x-Poly[d1].x)/Kc; D[dem].NStep.x:=(Poly[d2].N.x-Poly[d1].N.x)/Kc; D[dem].NStep.y:=(Poly[d2].N.y-Poly[d1].N.y)/Kc; D[dem].NStep.z:=(Poly[d2].N.z-Poly[d1].N.z)/Kc; end else begin D[dem].XStep:=0; D[dem].NStep.x:=0; D[dem].NStep.y:=0; D[dem].NStep.z:=0; end; Dem:=Dem+1; end; end; Procedure TaoDanhSachGiaoDiem; Var i,Dy:integer; 117
- 122. Chương VIII. To bóng v t th 3D begin Setlength(G,ND); NG:=0; for i:=0 to ND -1 do begin If (D[i].y1<=y)and(y<=D[i].y2) then begin Dy:=y-D[i].y1; G[NG].x:=round(D[i].xGiao+D[i].XStep*Dy); G[NG].y:=y; G[NG].NGiao.x:=D[i].NGiao.x+D[i].NStep.x*Dy; G[NG].NGiao.y:=D[i].NGiao.y+D[i].NStep.y*Dy; G[NG].NGiao.z:=D[i].NGiao.z+D[i].NStep.z*Dy; G[NG].ChiSoCanh:=i; NG:=NG+1; end; end; end; Procedure SapXepVaLoc; Var i,j,C1,C2:integer; Tg:GiaoDiem; begin for i:=0 to NG-2 do For j:=i+1 to NG-1 do If G[i].x>G[j].x then begin Tg:=G[i];G[i]:=G[j];G[j]:=Tg; end; i:=0; {Khu nhung Giao Diem thua} While i<(NG-2) do begin 118
- 123. Chương VIII. To bóng v t th 3D If G[i].x=G[i+1].x then //Trung nhau begin C1:=G[i].ChiSoCanh; C2:=G[i+1].ChiSoCanh; If ((D[C1].y1<>D[C2].y1)and(D[C1].y2<>D[C2].y2)) or (D[C1].y1=D[C1].y2)or(D[C2].y1=D[C2].y2) then //Xoa bo bot 1 giao diem begin For j:=i to NG-2 do G[j]:=G[j+1]; NG:=NG-1; end; end; i:=i+1; end; end; Procedure ToMauCacDoan; Var i,x,K:integer;CuongDoSang,Dx,Dy,Dz:real; Re,Gr,Bl,Cd:byte; begin If Red then Re:=1 else Re:=0; If Green then Gr:=1 else Gr:=0; If Blue then Bl:=1 else Bl:=0; i:=0; While i<NG-1 do begin K:=G[i+1].x - G[i].x; If k<>0 then begin Dx:=(G[i+1].NGiao.x-G[i].NGiao.x)/K; Dy:=(G[i+1].NGiao.y-G[i].NGiao.y)/K; Dz:=(G[i+1].NGiao.z-G[i].NGiao.z)/K; end 119
- 124. Chương VIII. To bóng v t th 3D else begin Dx:=0;Dy:=0;Dz:=0; end; For x:=G[i].x to G[i+1].x do begin CuongDoSang:=Anh_Sang_Nen + Anh_Sang_Chieu* Cuong_Do_Anh_Sang_Dinh_Huong(Vector_Chieu_Sang, G[i].NGiao); {Cư ng ñ sáng t i m i ñi m ñư c tính b ng t ng c a cư ng ñ ánh sáng n n c ng v i cư ng ñ có ñư c t ngu n sáng ñ nh hư ng, song ñ tính ñư c cư ng ñ sáng có ñư c t ngu n ñ ng hư ng cung c p thì chúng ta d a vào tia t i (Vector_Chieu_Sang) và pháp vector c a ñi m G[i].Ngiao.} Cd:=round(255*CuongDoSang); Canvas.Pixels[x,G[i].y]:=rgb(Cd*Re,Cd*Gr,Cd*Bl); {N i suy pháp vector c a ñi m ti p theo và gán vào G[i].NGiao} G[i].NGiao.x:=G[i].NGiao.x+dx; G[i].NGiao.y:=G[i].NGiao.y+dy; G[i].NGiao.z:=G[i].NGiao.z+dz; end; i:=i+2; end; end; Begin L:=low(Poly); H:=High(Poly); MaxY:=Poly[L].y;MinY:=MaxY; For i:=L+1 to H do if MaxY<Poly[i].y then MaxY:=Poly[i].y else If MinY>Poly[i].y then MinY:=Poly[i].y; TaoDanhSachCanhCat; For y:=MinY to MaxY do 120
- 125. Chương VIII. To bóng v t th 3D begin TaoDanhSachGiaoDiem; SapXepVaLoc; ToMauCacDoan; end; Setlength(D,0); Setlength(G,0); end; BÀI T P 1. Xây d ng m t chương trình cho phép quan sát v t th 3D ñ c l i. Chương trình cho phép thay ñ i v trí quan sát, cho phép th hi n tác ñ ng c a các ngu n sáng xung quanh và ñ nh hư ng lên ñ i tư ng. Nâng cao: Cho thép thay ñ i cư ng ñ c a các ngu n sáng, cũng như thay ñ i hư ng chi u c a ngu n sáng ñ nh hư ng. 2. Hãy xây d ng chương trình v i các ch c năng như Bài 1 song s d ng phương pháp tô bóng Gouraud. 3. Hãy t ng h p các ki n th c ñã bi t ñ xây d ng m t chương trình mô ph ng th gi i th c trong ñó có nhi u ñ i tư ng khác nhau v n ñ ng. 121
- 126. PH L C M TS CHƯƠNG TRÌNH MINH H A I. CÁC THU T TOÁN TÔ MÀU 1. Thu t toán tô màu theo lo t Type Toado=record x,y:integer; end; mang=array[1..20] of Toado; var minx,miny,maxx,maxy,n,mau1,mau2:integer; a:mang; Procedure NhapDuLieu(var a:Mang; var n:Byte); var i:Byte; Begin write('nhap vao so dinh : ');readln(n); for i:=1 to n do begin write('x',i,' = ');readln(a[i].x); write('y',i,' = ');readln(a[i].y); end; write('mau vien da giac: '); readln(mau1); write('mau to da giac: '); readln(mau2); End; Procedure vedagiac(P:mang;sodinh:byte); var i,j:byte; Begin setcolor(mau1); for i:=1 to sodinh do begin if i=n then j:=1 else j:=i+1; line(P[i].x,P[i].y,P[j].x,p[j].y); end; End; Function min(c,d:integer):integer; begin if c<d then min:=c else min:=d end; Function max(g,h:integer):integer; begin if g<h then max:=h else max:=g end; Procedure Tomau(P:mang; n:Byte);
- 127. Ph l c.M t s chương trình minh h a var j,i,k,m,truoc,sau,tg:integer; r:real; z:array[1..15] of integer; Begin for i:=minx+1 to maxx-1 do begin m:=0; for j:=1 to n do begin truoc:=j+1; if j=n then truoc:=1; sau:=j-1; if j=1 then sau:=n; if i=P[j].x then begin if (i>min(P[sau].x,P[truoc].x))and (i<max(P[sau].x,P[truoc].x)) then begin inc(m); z[m]:=P[j].y; end else begin inc(m); z[m]:=P[j].y; inc(m); z[m]:=P[j].y; end; end; if (i>min(P[j].x,P[truoc].x))and (i<max(P[truoc].x,P[j].x)) then begin inc(m); r:=(P[truoc].y-P[j].y)/(P[truoc].x-P[j].x); z[m]:=P[j].y+trunc(r*(i-P[j].x)); end; end; for j:=1 to m-1 do for k:=j+1 to m do if z[j]>z[k] then begin tg:=z[j];z[j]:=z[k];z[k]:=tg; end; setcolor(mau2); For k:=1 to m-1 do if k mod 2<>0 then line(i,z[k],i,z[k+1]); end; 123
- 128. Ph l c.M t s chương trình minh h a End; Procedure ThietLapDoHoa; var Gd,Gm:Integer; Begin Gd:=0; InitGraph(Gd,Gm,’C:BPBGI’); End; Begin CLRSCR; NhapDuLieu(a,n); minx:=a[1].x; maxx:=minx; miny:=a[1].y; maxy:=miny; for i:=1 to n do begin if minx>a[i].x then minx:=a[i].x; if miny>a[i].y then miny:=a[i].y; if maxx<a[i].x then maxx:=a[i].x; if maxy<a[i].x then maxy:=a[i].y; end; ThietLapDoHoa; vedagiac(a,n); Tomau(a,n); readln; closegraph; end. 2. Thu t toán tô loang (ð qui) uses crt, graph; Type ToaDo=record x,y:integer; End; Mang=array[0..30] of ToaDo; Var a:Mang; x,y,n,Gd,Gm:Integer; procedure NhapDaGiac(Var n:integer); var i:integer; begin clrscr; write('Nhap vao so dinh cua mot da giac n= '); readln(n); for i:=1 to n do begin writeln('Toa do dinh thu',i,'la:'); write('a[',i,'].x='); readln(a[i].x); 124
- 129. Ph l c.M t s chương trình minh h a write('a[',i,'].y='); readln(a[i].y); end; Write('Nhap x= '); Readln(x); Write('Nhap y= '); Readln(y); end; Procedure VeDaGiac(n,color:integer); var i,j:byte; begin SetColor(Color); for i:=1 to n do begin if i=n then j:=1 else j:=i+1; line(a[i].x,a[i].y,a[j].x,a[j].y); end; end; Function Max(a,b:integer):integer; Begin if a<b then Max:=b else Max:=a; End; Function Min(a,b:integer):integer; Begin if a<b then Min:=a else Min:=b; End; Function KiemTra(x,y:Integer;a:Mang):Boolean; var dem,i,j,s:Integer; Begin dem:=0; for i:=1 to n do { Tim so giao diem } begin if i=n then j:=1 else j:=i+1; if i=1 then s:=n else s:=i-1; if x=a[i].x then begin if y<a[i].y then if (x<=Min(a[s].x ,a[j].x)) OR (x>=Max(a[s].x,a[j].x)) then dem:=dem+2 else dem:=dem+1; end else if (x>Min(a[i].x,a[j].x))and(x<Max(a[j].x,a[i].x)) then if y<=Min(a[i].y,a[j].y) then dem:=dem+1 else if y <= (x-a[j].x)*(a[i].y-a[j].y)/(a[i].x- a[j].x)+a[j].y then dem:=dem+1; end; if dem mod 2=1 then KiemTra:=True else KiemTra:=False; 125
- 130. Ph l c.M t s chương trình minh h a End; Procedure ToLoang(x,y:Integer;color:Byte); Begin if KiemTra(x,y,a) and (GetPixel(x,y)<>color) then Begin PutPixel(x,y,color); ToLoang(x+1,y,color); ToLoang(x-1,y,color); ToLoang(x,y+1,color); ToLoang(x,y-1,color); End; End; BEGIN Nhapdagiac(n); Gd:=Detect; InitGraph(Gd,Gm,'D:TPBGI'); Vedagiac(n,4); Toloang(x,y,14); readln; closegraph; END. 3. Thu t toán tô loang (Kh ñ qui) Uses crt, graph; Type ToaDo=record x,y:integer; End; DANHSACH=^DS; DS=Record Data:ToaDo; Next:DANHSACH; End; Mang=array[0..30] of ToaDo; Var Stack:DanhSach; a:Mang; x,y,n,Gd,Gm:Integer; Procedure KhoiTaoStack; Begin Stack:=Nil; End; Procedure PUSHStack(a:ToaDo;Var Stack:DanhSach); { Nhap vao dau danh sach } Var p:DanhSach; Begin new(p); p^.Data:=a; p^.next:=nil; p^.next:=Stack; 126
- 131. Ph l c.M t s chương trình minh h a Stack:=p; End; Procedure POPStack(Var Stack:DanhSach;var x,y:Integer); { Lay ra o dau danh sach } Var p:DanhSach; Begin If Stack<>nil then Begin p:=Stack; Stack:=Stack^.next; x:=p^.Data.x; y:=p^.Data.y; Dispose(p); End; End; procedure NhapDaGiac(Var n:integer;var a:Mang); var i:integer; begin clrscr; write('Nhap vao so dinh cua mot da giac n= '); readln(n); for i:=1 to n do begin writeln('Toa do dinh thu',i,'la:'); write('a[',i,'].x='); readln(a[i].x); write('a[',i,'].y='); readln(a[i].y); end; Write('Nhap x= '); Readln(x); Write('Nhap y= '); Readln(y); end; Procedure VeDaGiac(n,color:integer); var i,j:byte; begin SetColor(Color); for i:=1 to n do begin if i=n then j:=1 else j:=i+1; line(a[i].x,a[i].y,a[j].x,a[j].y); end; end; Function Max(a,b:integer):integer; Begin if a<b then Max:=b else Max:=a; End; 127
- 132. Ph l c.M t s chương trình minh h a Function Min(a,b:integer):integer; Begin if a<b then Min:=a else Min:=b; End; Function KiemTra(x,y:Integer;a:Mang):Boolean; var dem,i,j,s:Integer; Begin dem:=0; for i:=1 to n do { Tim so giao diem } begin if i=n then j:=1 else j:=i+1; if i=1 then s:=n else s:=i-1; if x=a[i].x then begin if y<a[i].y then if (x<=Min(a[s].x ,a[j].x))OR (x>=Max(a[s].x,a[j].x)) then dem:=dem+2 else dem:=dem+1; end else if (x>Min(a[i].x,a[j].x)) and (x<Max(a[j].x,a[i].x)) then if y<=Min(a[i].y,a[j].y) then dem:=dem+1 else if y <= (x-a[j].x)*(a[i].y-a[j].y)/ (a[i].x-a[j].x)+a[j].y then dem:=dem+1; end; KiemTra:=dem mod 2=1; End; Procedure ToLoang(x,y:Integer;color:Byte); Var B,C:ToaDo; Begin if KiemTra(x,y,a) and (GetPixel(x,y)<>color) then Begin PutPixel(x,y,color); B.x:=x+1; B.y:=y; PUSHStack(B,Stack); B.x:=x-1; B.y:=y; PUSHStack(B,Stack); B.x:=x; B.y:=y+1; PUSHStack(B,Stack); B.x:=x; B.y:=y-1; PUSHStack(B,Stack); End; While Stack<>nil do Begin POPStack(Stack,B.x,B.y); if KiemTra(B.x,B.y,a) and 128
- 133. Ph l c.M t s chương trình minh h a GetPixel(B.x,B.y)<>color) then Begin PutPixel(B.x,B.y,color); C.x:=B.x+1; C.y:=B.y; if KiemTra(C.x,C.y,a) and (GetPixel(C.x,C.y)<>color) then PUSHStack(C,Stack); C.x:=B.x-1; C.y:=B.y; if KiemTra(C.x,C.y,a) and (GetPixel(C.x,C.y)<>color) then PUSHStack(C,Stack); C.x:=B.x; C.y:=B.y+1; if KiemTra(C.x,C.y,a) and (GetPixel(C.x,C.y)<>color) then PUSHStack(C,Stack); C.x:=B.x; C.y:=B.y-1; if KiemTra(C.x,C.y,a) and (GetPixel(C.x,C.y)<>color) then PUSHStack(C,Stack); End; End; End; BEGIN KhoiTaoStack; Nhapdagiac(n,a); Gd:=Detect; InitGraph(Gd,Gm,'D:TPBGI'); Vedagiac(n,4); Toloang(x,y,14); readln; closegraph; END. II. CÁC THU T TOÁN XÉN HÌNH 1. Thu t toán Cohen Sutherland Uses crt,graph; Const LEFT=1; RIGHT=2; BELOW=4; ABOVE=8; Type ToaDo2D=record x,y:integer; end; var Tren,Duoi,A,B:ToaDo2D; gd,gm:Integer; ch:char; 129
- 134. Ph l c.M t s chương trình minh h a procedure NhapDinhHCN; begin Tren.x:=100; Tren.y:=100; Duoi.x:=450; Duoi.y:=350; randomize; a.x:=random(GetMaxx); a.y:=random(GetMaxY); b.x:=random(GetMaxx); b.y:=random(GetMaxY); end; PROCEDURE VeHCN; begin line(Tren.x,Tren.y,Duoi.x,Tren.y); line(Duoi.x,Tren.y,Duoi.x,Duoi.y); line(Duoi.x,Duoi.y,Tren.x,Duoi.y); line(Tren.x,Duoi.y,Tren.x,Tren.y); setwritemode(xorput); line(a.x,a.y,b.x,b.y); ch:=readkey; line(a.x,a.y,b.x,b.y); setwritemode(orput); end; FUNCTION MA(P:ToaDo2D):Byte; var s:Byte; BEGIN s:=0; if P.x<Tren.x then s:=s OR Left; if P.x>Duoi.x then s:=s OR Right; if P.y<Tren.y then s:=s OR Above; if P.y>Duoi.y then s:=s OR Below; Ma:=s; end; Procedure Swap(Var A,B:ToaDo2D); var t:ToaDo2D; Begin t:=a; a:=b; b:=t; End; Procedure Clipping(A,B,Tren,Duoi:ToaDo2D); Var stop,draw:Boolean; m:Real; Begin stop:=False; draw:=False; While not stop do Begin 130
- 135. Ph l c.M t s chương trình minh h a If (Ma(A)=0)and(Ma(B)=0) then Begin stop:=True; draw:=True; End else If (Ma(A) and Ma(B)<>0) then stop:=True else Begin If (Ma(A)and Ma(B)=0)and (Ma(A)<>0)or(Ma(B)<>0)) then Begin if Ma(A)=0 then Swap(A,B); {A luon nam ngoai} if A.x=B.x then Begin if Ma(A) and ABOVE<>0 then A.y:=Tren.y else A.y:=Duoi.y; if Ma(B)<>0 then Begin if Ma(B) and ABOVE<>0 then B.y:=Tren.y; if Ma(B) and BELOW<>0 then B.y:=Duoi.y; End; stop:=True; draw:=True; End else {Ax<>Bx} Begin m:=(B.y-A.y)/(B.x-A.x); If Ma(A) and LEFT<>0 then Begin A.y:=round((Tren.x - A.x)*m + A.y); A.x:=Tren.x; End else If Ma(A) and RIGHT<>0 then Begin A.y:=round((Duoi.x - A.x)*m + A.y); A.x:=Duoi.x; End else If Ma(A) and ABOVE<>0 then Begin A.x:=round((Tren.y - A.y)/m + A.x); A.y:=Tren.y; End else If Ma(A) and BELOW<>0 then Begin A.x:=round((Duoi.y - A.y)/m +A.x); A.y:=Duoi.y; 131
- 136. Ph l c.M t s chương trình minh h a End; End; End; End; End; setcolor(14); If draw then Line(A.x,A.y,B.x,B.y); setcolor(15); End; BEGIN gd:=detect; Initgraph(gd,gm,'D:TPBGI'); repeat NhapDinhHCN; VeHCN; Clipping(A,B,Tren,Duoi); until ch=#27; closegraph; END. 2. Thu t toán chia nh phân Uses crt,graph; type ToaDo2D=record x,y:integer; end; var Tren,Duoi,A,B:ToaDo2D; gd,gm:Integer; procedure NhapDinhHCN; begin Tren.x:=100; Tren.y:=100; Duoi.x:=300; Duoi.y:=200; a.x:=352; a.y:=122; b.x:=22; b.y:=23; end; PROCEDURE VeHCN; begin line(Tren.x,Tren.y,Duoi.x,Tren.y); line(Duoi.x,Tren.y,Duoi.x,Duoi.y); line(Duoi.x,Duoi.y,Tren.x,Duoi.y); line(Tren.x,Duoi.y,Tren.x,Tren.y); setwritemode(xorput); line(a.x,a.y,b.x,b.y); readln; 132
- 137. Ph l c.M t s chương trình minh h a line(a.x,a.y,b.x,b.y); end; FUNCTION MA(P:ToaDo2D):Byte; var s:Byte; BEGIN s:=0; if P.x<Tren.x then s:=s OR Left; if P.x>Duoi.x then s:=s OR Right; if P.y<Tren.y then s:=s OR Above; if P.y>Duoi.y then s:=s OR Below; Ma:=s; end; PROCEDURE XuLyATrongBNgoai(A,B:ToaDo2D); Var C,D,M:ToaDo2D; begin c:=a;d:=b; While abs(C.x-D.x)+abs(C.y-D.y)>2 do begin M.x:=round((C.x+D.x)/2); M.y:=round((C.y+D.y)/2); if ma(M)<>0 then D:=M else C:=M; end; line(A.x,A.y,C.x,C.y); end; PROCEDURE Clipping(A,B,Tren,Duoi:ToaDo2D); Var C,D,M:ToaDo2D; Begin if (ma(a)=0) and (ma(b)=0) then line(a.x,a.y,b.x,b.y); if (ma(a)=0) and (ma(b)<>0) then XulyATrongBNgoai(A,B); if (ma(a)<>0) and (ma(b)=0) then XulyATrongBNgoai(B,A); if (ma(A)<>0) and (ma(B)<>0) and ((ma(A) and ma(B))=0) then begin C:=A; D:=B; M.x:=(C.x+D.x)div 2; M.y:=(C.y+D.y)div 2; while (ma(M)<>0)and(abs(C.x-D.x)+abs(C.y-D.y)>2) do begin if (ma(C) and ma(M))<>0 then C:=M else D:=M; M.x:=(C.x+D.x)div 2; M.y:=(C.y+D.y)div 2; end; if ma(M)=0 then begin XulyATrongBNgoai(M,A); XulyATrongBNgoai(M,B); end; 133
- 138. Ph l c.M t s chương trình minh h a end; End; BEGIN NhapDinhHCN; gd:=detect; Initgraph(gd,gm,'D:TPBGI'); VeHCN; Clipping(A,B,Tren,Duoi); readln; closegraph; END. 3. Thu t toán Liang-Barsky Uses crt,graph; var PTop,PBottom,A,B:PointType; gd,gm:Integer; procedure NhapDinhHCN; var i:integer; begin writeln('Nhap toa do dinh tren trai cua HCN:'); write('x1=');readln(PTop.x); write('y1=');readln(PTop.y); writeln('Nhap toa do dinh duoi phai cua HCN:'); write('x2=');readln(PBottom.x); write('y2=');readln(PBottom.y); writeln('Nhap toa do dinh thu nhat cua duong thang:'); write('a.x=');readln(a.x); write('a.y=');readln(a.y); writeln('Nhap toa do dinh thu hai cua duong thang:'); write('b.x='); readln(b.x); write('b.y='); readln(b.y); end; PROCEDURE VeHCN; begin line(PTop.x,PTop.y,PBottom.x,PTop.y); line(PBottom.x,PTop.y,PBottom.x,PBottom.y); line(PBottom.x,PBottom.y,PTop.x,PBottom.y); line(PTop.x,PBottom.y,PTop.x,PTop.y); setwritemode(xorput); line(a.x,a.y,b.x,b.y); readln; line(a.x,a.y,b.x,b.y); end; Function Clip(p,q:real; Var u1,u2:real):Boolean; Var r:real; Begin Clip:=True; 134
- 139. Ph l c.M t s chương trình minh h a If p<0 then Begin r:=q/p; If r>u2 then Clip:=False else If r>u1 then u1:=r; End else If p>0 then Begin r:=q/p; If r<u1 then Clip:=False else If r<u2 then u2:=r; End else If q<0 then Clip:=False; End; Procedure LiangBaskyClip(p1,p2,PTop,PBottom:PointType); Var u1,u2,dx,dy:real; Begin u1:=0; u2:=1; dx:=p2.x - p1.x; If Clip(-dx,p1.x - PTop.x,u1,u2) then If Clip(dx,PBottom.x - p1.x,u1,u2) then Begin dy:=P2.y - P1.y; If Clip(-dy,p1.y - PTop.y,u1,u2) then If Clip(dy,PBottom.y - p1.y,u1,u2) then Begin If u2<1 then Begin p2.x:=p1.x + Round(u2*dx); p2.y:=p1.y + Round(u2*dy); End; If u1>0 then Begin p1.x:=p1.x + Round(u1*dx); p1.y:=p1.y + Round(u1*dy); End; Line(p1.x,p1.y,p2.x,p2.y); End; End; End; BEGIN clrscr; NhapDinhHCN; gd:=detect; Initgraph(gd,gm,'D:TPBGI'); VeHCN; LiangBaskyClip(a,b,PTop,PBottom); readln; closegraph; 135
- 140. Ph l c.M t s chương trình minh h a END. III. V CÁC ð I TƯ NG 3D 1. V m t yên ng a USES crt, graph, DOHOA3d ; {Su dung Unit DoHoa3D} VAR u,uMin, uMax,du : real; v,vMin, vMax, dv : real; a1,a2,b1,b2,c1,c2,d : integer; PROCEDURE Nhap_tham_so; BEGIN projection := Phoicanh; rho := 50; de := 2000; theta := 40; phi := 20; uMin := -1; uMax := 1 ; vMin := -1 ; vMax:= 1 ; du := 0.095; dv := 0.09; a1:= 0; a2:=0; b1:= 0; b2:=0; c1:= 0; c2:=0; d := 1; END; FUNCTION fx(u,v:real): real; BEGIN fx:=a1*cos(u) + b1*cos(v) + c1*cos(u)*cos(v) + d*u; END; FUNCTION fy(u,v:real): real; BEGIN fy:=a1*cos(u) + b1*sin(v) + c2*cos(u)*sin(v) + d*v ; END ; FUNCTION fz(u,v:real): real; BEGIN fz := a2*sin(u) +b2*sin(v) + d*u*u - d*v*v ; END ; PROCEDURE ho_duong_cong_u ; VAR P :ToaDo3D; BEGIN u := uMin; {Mat cat U ban dau} WHILE u<=uMax DO BEGIN v :=vMin; {Mat cat V ban dau} P.x :=fx(u,v); P.y :=fy(u,v); P.z :=fz(u,v); DiDen(P); {Move to point (x,y,z) ban dau} WHILE v <= vMax DO {Thay doi mat cat V} 136
- 141. Ph l c.M t s chương trình minh h a BEGIN P.x :=fx(u,v); P.y :=fy(u,v); P.z := fz(u,v); VeDen(P); {Ve den diem (x,y,z) moi} v := v+dv; {tang gia tri mat cat V} END; u:=u+du; {tang gia tri mat cat U} END; END; PROCEDURE ho_duong_cong_v ; VAR P :ToaDo3D; BEGIN v := vMin; {Mat cat V ban dau} WHILE v<=vMax DO BEGIN u :=vMin; {Mat cat U ban dau} P.x :=fx(u,v); P.y :=fy(u,v); P.z :=fz(u,v); DiDen(P); WHILE u <= uMax DO BEGIN P.x :=fx(u,v); P.y :=fy(u,v); P.z := fz(u,v); VeDen(P); u := u+du; {tang gia tri mat cat U} END; v :=v+dv; {tang gia tri mat cat V} END; {of while v} END; PROCEDURE DEMO; BEGIN nhap_tham_so; REPEAT XoaManHinh; KhoiTaoPhepChieu; ho_duong_cong_u ; ho_duong_cong_v ; DieuKhienQuay; UNTIL upcase(ch) = char(27); END; BEGIN { Main program } ThietLapDoHoa; demo; CloseGraph; 137
- 142. Ph l c.M t s chương trình minh h a END. 2. V các ñ i tư ng WireFrame uses crt,Graph,DoHoa3D; Const MaxDinh=50; MaxCanh=100; Type WireFrame=Record SoDinh:0..MaxDinh; Dinh:Array[1..MaxDinh] of ToaDo3D; SoCanh:0..MaxCanh; Canh:Array[1..MaxCanh,1..2] of 1..MaxDinh; End; Var a:WireFrame; Procedure KhoiTaoBien; Begin Rho:=5; Theta:=20; Phi:=20; De:=3; End; Procedure DocFile(FileName:String; Var WF:WireFrame); var f:Text; x,i:Integer; Begin assign(f,FileName); Reset(f); With WF do Begin read(f,x); SoDinh:=x; read(f,x); SoCanh:=x; For i:=1 to SoDinh do {Doc so dinh} Begin read(f,x); Dinh[i].x:=x; read(f,x); Dinh[i].y:=x; read(f,x); Dinh[i].z:=x; End; For i:=1 to SoCanh do {Doc so Canh} Begin read(f,x); Canh[i,1]:=x; read(f,x); Canh[i,2]:=x; End; End; Close(f); End; Procedure VeWireFrame(WF:WireFrame); Var i:Byte; d1,d2:ToaDo3D; Begin 138
- 143. Ph l c.M t s chương trình minh h a With WF do Begin for i:=1 to SoCanh do Begin d1:=Dinh[Canh[i,1]]; d2:=Dinh[Canh[i,2]]; DiDen(d1); VeDen(d2); End; End; End; Begin DocFile('bacdien.txt',a); Projection:=SongSong{PhoiCanh}; ThietLapDoHoa; KhoiTaoBien; repeat KhoiTaoPhepChieu; VeWireFrame(a); DieuKhienQuay; until ch=#27; CloseGraph; End. 3. Kh m t khu t theo gi i thu t BackFace Uses crt,graph,DoHoa3D; Const MaxSoDinh=50; MaxSoMat =30; MaxDinh =10; Type TapDinh=Array[1..MaxSoDinh] of ToaDo3D; TapMat=Array[1..MaxSoMat,0..MaxDinh] of Integer; FaceModel=Record SoDinh:Integer; Dinh:TapDinh; SoMat:Integer; Mat:TapMat; End; Var Hinh:FaceModel; O:ToaDo3D; Procedure KhoiTao; Begin Projection:=Phoicanh; Rho:=1500; Theta:=20; Phi:=15; DE:=3000; End; Procedure VectorNhin(Dinh1,Dinh2,Dinh3:Integer; Var v:toaDo3D); 139
- 144. Ph l c.M t s chương trình minh h a Begin With hinh do Begin v.x:=O.x - Dinh[Dinh1].x; v.y:=O.y - Dinh[Dinh1].y; v.z:=O.z - Dinh[Dinh1].z; end; End; Procedure VectorChuan(Dinh1,Dinh2,Dinh3:Integer; Var N:ToaDo3D); Var P,Q:ToaDo3D; Begin With hinh do Begin P.x:=Dinh[Dinh2].x - Dinh[Dinh1].x; P.y:=Dinh[Dinh2].y - Dinh[Dinh1].y; P.z:=Dinh[Dinh2].z - Dinh[Dinh1].z; Q.x:=Dinh[Dinh3].x - Dinh[Dinh1].x; Q.y:=Dinh[Dinh3].y - Dinh[Dinh1].y; Q.z:=Dinh[Dinh3].z - Dinh[Dinh1].z; N.x:=P.y*Q.z - Q.y*P.z; N.y:=P.z*Q.x - Q.z*P.x; N.z:=P.x*Q.y - Q.x*P.y; End; End; Function TichVoHuong(v,n:ToaDo3D):Real; Begin TichVoHuong:=v.x*N.x + v.y*N.y + v.z*N.z; End; Procedure ToaDoQuanSat; Begin KhoiTaoPhepChieu; O.x:= Rho*Aux7; O.y:= Rho*Aux8; O.z:= Rho*Aux2; End; Procedure DocFile(FileName:String; Var WF:FaceModel); var f:Text; x,i,j:Integer; Begin assign(f,FileName); Reset(f); With WF do Begin read(f,x); SoDinh:=x; read(f,x); SoMat:=x; For i:=1 to SoDinh do {Doc so dinh} 140
- 145. Ph l c.M t s chương trình minh h a Begin read(f,x); Dinh[i].x:=x; read(f,x); Dinh[i].y:=x; read(f,x); Dinh[i].z:=x; End; For i:=1 to SoMat do {Doc so Mat} Begin read(f,x); read(f,x); Mat[i,0]:=x; For j:=1 to Mat[i,0] do Begin read(f,x); Mat[i,j]:=x; End; End; End; Close(f); End; Procedure VeMat(f:Integer); Var SoCanh,i,j:Integer; P,P0:ToaDo3D; Begin With hinh do Begin SoCanh:=Mat[f,0]; For i:=1 to SoCanh do Begin j:=Mat[f,i]; P.x:=Dinh[j].x; P.y:=Dinh[j].y; P.z:=Dinh[j].z; If i=1 Then Begin DiDen(P); P0.x:=P.x; P0.y:=P.y; P0.z:=P.z; End Else VeDen(P); End; VeDen(P0); End; End; Procedure VeVatThe(Hinh:FaceModel); Var f,Dinh1,Dinh2,Dinh3:Integer; v,n:ToaDo3D; Begin With hinh do Begin For f:=1 to SoMat do Begin Dinh1:=Mat[f,1]; Dinh2:=Mat[f,2]; Dinh3:=Mat[f,3]; VectorNhin(Dinh1,Dinh2,Dinh3,v); 141
- 146. Ph l c.M t s chương trình minh h a VectorChuan(Dinh1,Dinh2,Dinh3,N); If TichVoHuong(v,n)>0 Then Begin SetLineStyle(SolidLN,0,NormWidth); VeMat(f); End Else Begin SetLineStyle(DottedLN,0,NormWidth); VeMat(f); End; End; End; End; PROCEDURE DieuKhien; BEGIN ToaDoQuanSat; VeVatThe(Hinh); Repeat DieuKhienQuay; ToaDoQuanSat; VeVatThe(Hinh); Until ch=#27; END; BEGIN { Chuong Trinh Chinh } DocFile('Batdien.txt',Hinh); ThietLapDoHoa; KhoiTao; DieuKhien; CloseGraph; END. 142