1. JUNIORSTAV 2011
2.2 Konstrukce kovové, dřevěné a kompozitní
1
r
t
Ecr 605.0
VPLYV ORTOGONÁLNYCH VÝSTUH NA STRATU STABILITY VALCOVEJ ŠKRUPINY PRI OSOVOM
TLAKU
IMPACT OF THE ORTHOGONAL STIFFENERS ON STABILITY OF THE CYLINDRICAL SHELL BY AXIAL
COMPRESSION
Lukáš Kowalski1
Abstract/Zusammenfassung
In recent years number of silo failures were noticed. From the experiments and researches resulted some common
characteristics – reasons of accidents. Clinker silo PC1 in company Holcim, Rohoznik was designed in early 1970ties.
During years, major cracks that denied further usability occurred. In the years 2006/7 reconstruction works were done.
Vertical and horizontal restraints were welded on construction to increase section area – resistance and stability as well.
Subject of the article is to check norm calculation (EC 1993-1-6) and compare it with solution from FEM program
ANSYS. Unstiffened construction and various types of stiffening (stiffening with horizontal rings, stiffening with
vertical beams, orthogonal stiffened construction) of the cylindrical shell were modelled in FEM program ANSYS.
Keywords/Schlüsselwörter
silo, cylindrical shell, orthogonal stiffeners, buckling load, finite element method
1.1 Úvod
Problémy stability štíhlych valcových škrupín boli spracované už v predchádzajúcom storočí. Ich masový
rozmach nastal s rozvojom aeronautiky v období po druhej svetovej vojne. Prvé teoretické bádania pracovali s teóriou
malých deformácií (deformácie sú menšie ako hrúbka škrupiny). Pre výpočet kritického napätia hladkej valcovej
škrupiny vydúvaním geometricky lineárnou metódou platí známy vzťah z ktorého vidno nepriamo úmernú lineárnu
závislosť kritického napätia na štíhlosti konštrukcie
(1)
Okrem teoretických výpočtov bolo vykonané značné množstvo experimentálnych skúšok, ktoré preukázali rozpor
medzi teoretickými hodnotami kritického napätia a realitou. V skutočnosti bolo preukázané, že vybočenie nastane náhle
pri hodnotách cca 0,1 až 0,6 násobku teoretickej hodnoty scr , v závislosti na pomere r/h a hrúbke steny škrupiny.
Zásadné spresnenie nastalo s rozvojom metódy veľkých deformácií v období po druhej svetovej vojne (Kárman).
Výsledky jeho výskumu priniesli pozmenený vzťah (1) s koeficientom k podľa pomeru r/t
(2)
r polomer škrupiny
h výška škrupiny
t hrúbka škrupony
E modul pružnosti konštr. materiálu škrupiny
Tab. 1 Hodnoty koeficientu k pre výpočet kritického napätia pri vydúvaní [2]
Pri tejto metóde môžu deformácie dosiahnuť rádu hrúbky škrupiny. Práve vplyv imperfekcií má zásadný vplyv na
kritické napätie pri strate stability vydúvaním štíhlej škrupiny.
Hoci je problematika vertikálnych a horizontálnych výstuh v literatúre už dávnejšie spracovaná v oblasti ortogonálnych
výstuh je stále biele miesto. Tento článok sa zaoberá vplyvom ortogonálnych výstuh na tvar vybočenia ako aj na
únosnosť škrupinovej konštrukcie. V tomto štádiu hľadá hodnotu bifurkačného bodu, výpočty sú spracované
geometricky lineárnou metódou.
1
Lukáš Kowalski, Ing., Slovenská technická univeryita v Bratislave, Stavebná fakulta, Katedra kovových a drevených konštrukcií, Radlinského 11,
813 68 Bratislava, lukas.kowalski@stuba.sk
r/t 250 500 750 1000 1500
k 0,18 0,14 0,12 0,10 0,09
r
t
Ekcr .

2. JUNIORSTAV 2011
2.2 Konstrukce kovové, dřevěné a kompozitní
2
1.2 Silo na slinok PC1
V článku je popísaná oceľová cylindrická škrupinová konštrukcia sila. So spolupôsobením strešnej konštrukcie nie je
uvažované z dôvodu možnosti lepšieho porovnania výpočtových postupov pre valcové škrupiny.
Predmetné silo na slinok vo firme HOLCIM, Rohožník bolo naprojektované firmou PIO KERAMOPROJEKT v
Trenčíne v roku 1973 (ČSN 73 0035). Konštrukcia slúži na skladovanie slinku v cementárni Holcim v Rohožníku.
Priemer sila je 36m, výška steny sila je 41m (50,525m po vrchol strechy). Celková kapacita sila je 60000t slinku.
Silo bolo vyrobené technológiou zvárania z plechov ocele (oceľ zodpovedajúca triede S275, fy = 275 MPa, fu = 430
MPa) s po výške premennou hrúbkou (13mm - 33mm). [8]
Obr. 1 Pohľad na pôvodnú konštrukciu sila Obr. 2 Pohľad na rekonštruované silo
V priebehu užívania sa na ňom vyskytli niektoré závažné nedostatky, ktoré znemožnili ďalšie užívanie sila. Išlo najmä
o vznik deformácií, výrazných trhlín až do výšky 6000mm a v mieste zvislej trhliny pretrhnutie dolného nosného
prstenca. Ako súhrn všetkých týchto požiadaviek bol v roku 2006 vypracovaný projekt zosilnenia konštrukcie sila
(projektant KKDK, SvF STU Bratislava). Ako výstuhy boli navrhnuté a realizované ortotropné stužujúce nosníky
privarené na stenu sila. Vo vertikálnom smere boli navrhnuté a navarené plechy s priečnym rezom variabilnom po
výške rozmerov 300mm x 30mm, 220mm x 22mm, 180mm x 18mm. V horizontálnom smere bolo vystuženie
realizované navarením zváraných nosníkov tvaru L425x12-250x25 a opásaním sila prstencami s rozmermi 250mm x
20mm. [8]. Vertikálne výstuhy okrem zvýšenia stabilitnej odolnosti zmenou statickej schémy konštrukcie aj priamo
zvyšujú prierezovú plochu steny. Horizontálne výstuhy sú inštalované najmä na udržanie oválnosti priečneho rezu.
Obr. 3 Geometria a rozmery sila PC1 Obr. 4 Schéma výpočtového modelu s približným
tvarom zaťaženia

3. JUNIORSTAV 2011
2.2 Konstrukce kovové, dřevěné a kompozitní
3
1.3 FEM model cylindrickej konštrukcie sila
Konštrukcia sila je modelovaná v cylindrickom súradnom systéme pomocou škrupinových kvadratických elementov
SHELL281 (8 uzlový škrupinový element), výstuhy sú modelované kvadratickými prútovými prvkami BEAM189 (3
uzlový líniový prvok). Plošné škrupinové prvky majú zadanú reálnu hrúbku steny od 10mm-29mm. Z dôvodu
zjednodušenia konečno prvkového modelu pre stabilitnú analýzu je modelovaná len stenová časť konštrukcie. Taktiež
nie sú na stenu sila vnášané reakcie od strešnej konštrukcie.
Oceľ je vystihnutá pružno - plastickým bilineárnym pracovným diagramom s lineárnym spevnením s primárnou vetvou
E = 210.109
Pa, sekundárnou E = 210.107
Pa. Medza klzu ocele je fy = 275MPa. Delenie na konečno prvkové elementy
je nerovnomerné so zahustením v spodnej polovici sila. Konštrukcia je na úrovni 0.000m kĺbovo podopretá, v smeroch
X, Y, Z. Horný okraj je stužený prstencovou výstuhou tvaru L. Konštrukcia je zaťažená vlastnou tiažou, hustota ocele
r=7850 kg/m3
, hodnota tiažového zrýchlenia g=10m/s2
. Pre stabilitný výpočet nebolo uvažované s užitočným
zaťažením od skladovaného slinku (horizontálny tlak na stenu, trecia trakcia). Pre konštrukcie zaťažené vnútorným
pretlakom norma EC 1993-1-6 dovoľuje neuvažovať s týmto zaťažením. Zjednodušenie je možno zaviesť, lebo
konštukcia má tendenciu vybočiť pre ňu v energeticky najvýhodnejšom tvare, t.j. smerujúc do vnútra valcovej škrupiny,
kde by užitočné zaťaženie náplňou pôsobilo proti smeru vybočenia stabilizujúco.
Obr. 5 Pohľad na FEM model hladkého sila
s koncovým prstencom
Obr. 6 Pohľad na ortogonálne vystužené silo
Článok porovnáva výsledky výpočtových postupov podľa súboru noriem EC (EC 1993-1-6) s výsledkami výpočtov
pomocou metódy konečných prvkov (ANSYS). Sú uvedené výsledky modelovania hľadania kritického zaťaženia
valcovej konštrukcie sila (d=36m, h=41m, konštr. mat. oceľ) LBA - MNA analýzou (geometricky lineárna analýza
s hľadaním bifurkačného bodu, materiálovo nelineárna analýza) bez a s uvážením ortogonálnych výstuh. Porovnáva
tvary vybočenia konštrukcie pred a po inštalovaní horizontálnych a vertikálnych výstuh. Ako výsledok analýzy sú
uvedené násobitele zaťaženia, ktorými je nutné prenásobiť pôsobiace zaťaženie, aby bolo dosiahnuté kritické napätie pri
vydúvaní. Výsledky sú uvedené pre 5 prvých tvarov vybočenia.
Násobiteľ hodnoty
zaťaženia pri
vydúvaní
Cylindrická škrupina, d = 36m, h = 41m, oceľ S275, hrúbka 10-29mm,
typ zaťaženia – osový tlak, LBA-MNA
Č. tvaru vybočenia Nevystužená so
stuž. prstencom
Vertikálne výstuhy so
stuž. prstencom
Horizontálne
výstuhy
Ortotropné výstuhy
1 93,359 164,96 85,627 158,41
2 93,376 164,99 85,645 158,52
3 93,514 167,07 85,807 158,54
4 93,517 167,08 85,120 158,86
5 93,596 170,6 85,838 158,91
Tab. 2 Násobiteľe zaťaženia pri strate stability

4. JUNIORSTAV 2011
2.2 Konstrukce kovové, dřevěné a kompozitní
4
Obr. 7 Tvar straty stability, pôdorys, hladká
konštrukcia s koncovou obručou
Obr. 9 Tvar straty stability, pôdorys, konštrukcia
vystužená vertikálnymi rebrami
Obr. 8 Tvar straty stability, pohľad, hladká konštrukcia
s koncovou obručou
Obr. 10 Tvar straty stability, pohľad, konštrukcia
vystužená vertikálnymi rebrami
Obr. 11 Tvar straty stability, pôdorys, konštrukcia
vystužená horizontálnymi rebrami
Obr. 12 Tvar straty stability, pohľad, silo vystužené
horizontálnymi prstencami
Obr. 13 Tvar straty stability, pôdorys, ortotropne
vystužená konštrukcia
Obr. 14 Tvar straty stability, pohľad, ortotropne
vystužená konštrukcia

5. JUNIORSTAV 2011
2.2 Konstrukce kovové, dřevěné a kompozitní
5
Výsledky hľadania tvarou vybočenia vydúvaním sú uvedené v tabuľke a na obrázkoch na predchádzajúcej strane.
Výsledky analýzu sú parametre, ktorými je potrebné vynásobiť zaťaženie pôsobiace na konštrukciu, aby bolo
dosiahnuté kritické napätie pri vydúvaní.
Boli riešené 3 varianty vystuženia škrupinovej konštrukcie (vystuženie horizontálnymi prstencami, vertikálne
vystužená valcová škrupina, ortotropne vystužená škrupina) ako aj nevystužená valcová škrupinová konštrukcia (hladká
škrupina s stužujúcimi rebrami na okrajoch). Dá sa skonštatovať, že pri vystužení horného okraju škrupiny stužujúcim
prstencom nenastáva na vyšetrovanej konštrukcií globálna strata stability. V prípadoch nevystuženej, vystuženej
horizontálnymi výstuhami a ortotropne vystuženej škrupiny nastáva lokálna strata stability približne v spodnej polovici
škrupinovej konštrukcie. Konštrukcia má tendenciu vybočiť v tvare funkcie sinus, s počtom vĺn pri nevystuženej
konštrukcií - 64 polvĺn, pri horizontálne vystuženej konštrukcií 64 polvĺn. Pozoruhodná situácia nastáva pri porovnaní
nevystuženej konštrukcie s konštrukciou vystuženou horizontálnymi výstuhami, kde vystužená konštrukcia je
náchylnejšia na startu stability vybočením ako nevystužená. Pri nevystuženej konštrukcií je z tvaru vybočenia zrejmá
nižšia tuhosť konštrukcie. Konštrukcia sa deformuje vo väčšej oblasti ako pri konštrukcií vystuženej horizontálnymi
prstencami. Pri vystužení horizontálnymi výstuhami je oblasť deformácie v zásade obmedzená na oblasť „no. 3“ (pozri
Obr. 3). Pri platnosti podmienky pre maximálnu vzdialenosť priečnych rebier
trl ..10 [2] (3)
ktorá je v riešenom príade prekročená, nemajú priečne výstuhy vplyv na zvýšenie kritického napätia pri vydúvaní.
Vertikálne výstuhy majú na stabilitnú únosnosť významný vplyv. Aplikovaním vertikálnych výstuh bolo dosiahnuté
zvýšenie kritického napätia pri vydúvaní o cca. 75%.
Pri porovnaní konštrukcie vystuženej vertikálnymi rebrami s konštrukciou vystuženou ortogonálne zaujme nižšie
kritické napätie pri vydúvaní ortogonálne vystuženej konštrukcie ako pri konštrukcií vystuženej len vertikálnymi
výstuhami. Pri ortogonálne vystuženej konštrukcií dosiahne tvar amplitúda vybočenia len 40% z hodnoty pri vertikálne
vystuženej konštrukcií. Vydúvanie ortogonálne vystuženej konštrukcie má lokálny charakter, stena sila vybočí v oblasti
označenej ako „no. 3“ medzi vertikálnymi rebrami. Pri ortotropne vystuženej konštrukcií vybočila v tvare 80 polvĺn. Pri
konštrukcií vystuženej vertikálnymi rebrami valcová stena nadobudla deformovaný tvar po celej výške a obvode
konštrukcie. Dá sa odhadovať, že konštrukcia má malú pokritickú rezervu, konštrukcia vybočila globálne.
Pri výpočte metódou malých deformácií boli zistené len bifurkačné body, hodnoty kedy konštrukcia stratí stabilný tvar.
Pokritické správanie sa konštrukcie nie je možné opísať použitím metódy malých deformácií. Z tvarov vybočenia –
lokálneho je zrejmé, že ortogonálne vystužená konštrukcie má značné rezervy v pokritickom správaní sa a aj po
prvotnom – lokálnom vydutí by ostala stabilná.
Pre skúmanie pokritického správania sa konštrukcie je nutné použiť geometricky nelineárny výpočet použitím metódy
veľkých deformácií.
Pre ilustráciu boli v ďaľšom riešení načrtnuté tvary vybočenia nevystuženej valcovej škrupiny bez stužujúceho prstenca
na voľnom okraji konštrukcie. Norma EC 1993-1-6 nezohľadňuje takýto typ okrajových podmienok. Z tvarov straty
stability je zrejmé globálne vybočenie steny sila v 16 polvlnách šíriacich sa od voľného konca valcovej škrupiny.
Z tvaru vybočenia je zrejmé, že vertikálne rebrá by nemali zásadný vplyv na zvýšenie kritického napätia pri výdúvaní.
Obr. 15 Tvar straty stability, pôdorys, hladká
konštrukcia bez koncovej obruče
Obr. 16 Tvar straty stability, pohľad, hladká
konštrukcia bez koncovej obruče

6. JUNIORSTAV 2011
2.2 Konstrukce kovové, dřevěné a kompozitní
6
Tab. 3 Násobiteľe zaťaženia pri strate stability
1.4 Postupy pre výpočet meridiánnych napätí pri strate stability
Problematika riešenia škrupinových konštrukcií normovými výpočtovými postupmi je rozsiahla. Definuje
výpočtové postupy pre numerické riešenie napätosti škrupinových konštrukcií. Vplyv imperfekcií je zohľadnený vo
výpočte charakteristickej pevnosti pri vydúvaní parametrom c. Imperfekcie môžu byť geometrické (odchýlky od
ovality, excentricita – odsadenie v spoji, lokálne vydutie, odchýlka rovinnosti styku), alebo materiálové (nehomogénny
materiál, vplyv vnesených napätí zváraním).
V jednoduchosti sa dá napísať vzťah pre charaketistickú pevnosť pri vydúvaní ako
(4)
kde cx je súčiniteľ vydúvania v meridiánnom smere, sa určuje ako funkcia pomernej štíhlosti lpom.x
1x ak 0.. pomxpom  



 )(1
0..
0..
pomppom
pomxpom
x


 ak ppomxpompom ..0.  
2
.xpom
x


  ak xpomppom ..  
kde





1
.ppom
xRcr
yk
xpom
f

 .
a redukčný faktor pružnej imperfekcie
b faktor rozsahu plastickej oblasti
h interakčný exponent
lpom.0 medzná pomerná štíhlosť pri úplnej pastizácií
lpom.p medzná plastická pomerná štíhlosť
Výpočet kritických napätí pri vydúvaní vychádza z lineárneho riešenia škrupín na základe vzťahu (1). Tento vzťah
je obmedzený na výpočet hladkých škrupinových konštrukcií s okrajovými podmienkami BC1, BC2 (votknutie, kĺbové
podopretie) [7].
(5)
Na vystihnutie geometrie škrupinovej konštrukcie zadáva parameter Cx závislý na pomere, ktorým zatrieďuje
konštrukciu medzi krátke, stredne dlhé a dlhé škrupiny.
(6)
Vyšetrovaná škrupina spadá do kategórie stredne dlhých škrupín (vplyv lokálneho zaťaženia odoznie v určitej
Násobiteľ hodnoty
zaťaženia pri
vydúvaní
Cylindrická škrupina, d = 36m, h = 41m, oceľ S275, hrúbka 10-29mm,
typ zaťaženia – osový tlak, LBA-MNA
Č. tvaru vybočenia Nevystužená bez stuž. prstenca
1 79,112
2 79,128
3 83,631
4 83,634
5 86,248
ykxRkx f..  
r
t
CE xxRcr .605.0
tr
L
.


7. JUNIORSTAV 2011
2.2 Konstrukce kovové, dřevěné a kompozitní
7
vzdialenosti od pôsobiska, neovplyvňuje druhý okraj konštrukcie, konštrukcia sa neposudzuje ako tuhý prút) . Pre
stredne dlhé škrupiny vplyv okrajových podmienok vstupuje do výpočtu ako parameter Cx = 1. Ako vidno zo vzťahu
(1) hodnota kritického napätia pri vydúvaní je lineárne nepriamoúmerná štíhlosti škrupinovej konštrukcie. V praxi sú
časté prípady zmeny hrúbky škrupiny. Hrúbka nami vyšetrovaného sila sa mení od 10mm do 29mm.
Z výsledkov FEM analýzu bola zistená hodnota násobiteľa zaťaženia pri vydúvaní pre hladkú škrupinu s vystuženým
okrajom prstenom x = 93,539 (pre prvý tvar straty stability). Zaťaženie v kritickom mieste konštrukcie (Obr. 3 v poli
označenom ako „no.3“) bude mať hodnotu vypočítanú podľa vzťahu
(7)
ti hrúbka steny sila v i-tom mieste
hi výška oblasti s rovnakou hrúbkou ti
g tiažové zrýchlenie
r hustota ocele
x násobiteľ zaťaženia (x = 93,539)
potom kritické napätia pri vybočení majú hodnotu podľa vzťahu
mt
N
i
i
cr
1.

Výpočet FEM ANSYS Výpočet EC 1993-1-6
Kritické napätie pri vydúvaní [kN] 128,53 130,58
Tab. 3 Kritické napätie pri vydúvaní, výpočet podľa FEM a EC
Vzťahy pre výpočet kritického napätia pri vydúvaní vystužených škrupín norma EC 1993-1-6 neuvádza. V literatúre [2]
je uvádzaný vzťah pre kritické napätie pri vydúvaní, kde as je osová vzdialenosť vertikálnych výstuh.
(8)
Zároveň musí byť splnená podmienka, vzdialenosť rebier má byť menšia ako
(9)
inak je škrupina posudzovaná ako nevystužená. Z grafu nižšie sú badateľné rozdiely výpočtových vzťahov kritického
napätia pri vydúvaní pre vystužené a nevystužené škrupiny. Kritické napätie nevystuženej škrupiny rastie lineárne
s prevrátenou hodnotou štíhlosti (graf 1, červená čiara), pri vystuženej škrupine je kvadratická závislosť na pomere
hrúbky škrupinovej konštrukcie a vzdialenosť podpier (graf 1, zelená čiarkovaná čiara). Tento vzťah nezohľadňuje
kvalitatívne parametre výstuh, ich prierezové charakteristiky, iba vzájomnú vzdialenosť. Je pozoruhodné, že v hrúbkach
plechu konštrukcie menších ako cca. 18mm vychádzajú kritické napätia nižšie ako kritické napätie hladkej škrupiny.
Pre ilustráciu je uvedená aj charakteristická pevnosť pri vydúvaní vypočítaná pomocou vzťahov uvedených vyššie.
Graf 1 Kritických napätia pri vydúvaní
2
.. ).(6,3
s
Vcrx
a
t
E
tras ..4,4
xmghtN
i
i iii .1..)..(0
 

0.01 0.015 0.02 0.025
1 10
8
2 10
8
3 10
8
4 10
8
x.cr
x.Rk
x.cr.V

8. JUNIORSTAV 2011
2.2 Konstrukce kovové, dřevěné a kompozitní
8
1.5 Záver
V článku sú ukázané rôzne metódy na výpočet kritického napätia pri vydúvaní. Boli porovnané výsledky výpočtu
pre hladkú – nevystuženú škrupinu, z ktorých je zrejmá dobrá zhoda riešenia pomocou výpočtového programu FEM
ANSYS s výpočtovými postupmi uvedenými v EC 1993-1-6. Norma EC 1993-1-6 neudáva vzťahy na výpočet
kritického napätia pri vydúvaní pre vystužené škrupinové koštrukcie. Porovnanie výsledkov FEM ANSYS
nepreukázalo zhodu s riešením podľa vzťahu (8). Preto je odporúčané používať pri návrhu vystužených konštrukcií
výpočtové programy na báze metódy konečných prvkov. Pre ďaľšie a podrobnejšie skúmanie sa ukazuje lineárne
geometrická metóda ako nedostatočná. Nezohľadňuje pokritické správanie sa škrupinovej konštrukcie, čo najmä pri
ortotropne vystuženej škrupinovej konštrukcií sa ukazuje ako zavádzajúce a konštrukcie sú pri výpočte
predimenzované.
Zoznam použitej literatúry:
[1] Křupka, V., Schneider, P., Konstrukcie aparátu, PC-DIR, 1998, 290 str., ISBN 80-214-1124-4
[2] Křupka, V., Výpočet válcových tenkostěnných kovových nádob a potrubí, SNTL, 1967, 244str., Praha
[3] Gobratov, N., Valenta, J., Statika skořepin a skořepinových konstrukcí, SNTL, 1972, 575str. Praha
[4] STN EN 1991-1-1, Eurokód 1: Zaťaženie konštrukcií. Časť 1-1: Objemové hmotnosti, vlastná tiaž a úžitkové
zaťaženia, Slovenský ústav technickej normalizácie, 2004, 44 str.
[5] EN 1993-1-1, Eurokód 3: Design of steel structures. Part 1-1: General rules and rules for buildings, European
committee for standardisation, 2005, 94 str.
[6] STN EN 1993-1-5, Eurokód 3: Navrhovanie oceľových konštrukcií. Časť 1-5: Nosné stenové prvky, 2008, 56
str.
[7] STN EN 1993-1-6, Eurokód 3: Navrhovanie oceľových konštrukcií. Časť 1-6: Pevnosť a stabilita
škrupinových konštrukcií, 2007
[8] Agócs, Z., Brodniansky, J., Ároch, R., Slivanský, M.., Expertízne posúdenie technického stavu oceľových
konštrukcií slinkových síl PC1 a PC2. Návrh opatrení na zabezpečenie prevádzkovej spoľahlivosti a
bezpečnosti objektov posudzovaných síl v závode HOLCIM, Bratislava, SvF STU, 2006
[9] Ansys release 11.0, Documentation for ANSYS, Ansys, Inc. , 2007, USA
Recenzoval
Zoltán Agócs, prof. h.c, prof. Dr. Ing., PhD., agocs@ingsteel.sk