Ejemplos de limites

1. ¡£¢¤¦¥ §©¨ !¨§$#%§(')
02143658769@769BADCE5836CGFH3PIRQGADC
SUTWVYXa`cb¦de`fXUgYhpirqts4ichBuvq©wyx
X€ `ciƒ‚„t…‡†
ˆ!‰‘
S ‰“’ S ‰•”–ˆ—‰‘ € ˜ € `ƒic‚„t…d™e
b¦fUuvXUw ˆ—‰£g¦hij‰kˆmlon
b©fph ˆ
bo€ `ƒic‚„t…‡q
hrq©wWs ˆ ‰ hrq©wut ˆv Sxw ˆ—‰ S y € `ƒic‚„t…‡†{z ”|ˆ € y fpw y q
z ”–ˆ €r}
~
€
‚ˆ ‚
ˆ ƒ ˆ(„ t
ˆ i w…S ƒ ˆ‡† t ˆ
XUgvX  }‰t4Š  }Œ‹4Š  }•
Ž—4©‘“’6”©•o–y—
X€˜`ƒic‚„t…™†
ˆ!‰‘
S ‰“’ S ‰•”|ˆ ‰‘ € }š`ciƒ‚„t…‡†
”|ˆ ‰‘ €¦›œSxw ’ S ‰•”|ˆ—‰ €@ž
S ‰…” S ‰•”–ˆ—‰‘ €r€
}Ÿ`cic‚„t…‡†
”|ˆ—‰ €¦›œSxw ’ S ‰…”|ˆ—‰‘ €@ž
ˆ—‰‘ } `ƒic‚„t…‡† S¡w ’ S ‰•”|ˆ ‰‘ €¢}“t
˜ €Œ`ƒic‚„t…£™e
b¦fUuvXUw ˆ—‰£g hij‰kˆml n
b¦fUh ˆ }¤`cic‚„t…d™e
S
hrq©w ˆ ‰ g hi2‰¥ˆml n
hrq©w g hi ‰kˆ l
}¦S ‰ `ƒic‚„t… ™e
hi ‰kˆ
hpq¦w g hi ‰kˆ l—§y¨G©t ‰ªˆm«
i }£S ‰ S § ‹¬}£S
bo€%`cic‚„t…™q
hpq¦wus ˆ—‰ hpq¦wWt ˆv Sxw ˆ!‰ S }š`ciƒ‚„t…‡q
tb©fph¢­iˆ hpq¦w „i
v Sxw ˆ!‰ S §
v ˆ w…Sxw•S
v ˆ w…Sxw•S
}¦`ciƒ‚„t…‡q tb©fph¯®t ˆ hrq©w „i
ˆ ¨
v ˆ w•Sxw…S « }“t §
S
t § tj}‰t
y €°`ƒic‚„t… ir± z ”|ˆ €¢}šSU² `ciƒ‚„t… i@³ z ”|ˆ €¯} ® ²8`ƒdGq¦´UfdwGf qµs4ichpurqjq¦`¢`ciƒ‚„t… i z ”|ˆ €µT
`ciƒ‚„t…‡q z ”|ˆ €¯}šS `cic‚„t…‡¶ z ”–ˆ €¯}£S¸·
S

2. t”Tu¹Hqtuvq©gr‚ºicwGqHq©`y»aXU`cfpg y q¬¼ y qj‚ºf y fd½”deq¬qµseiƒhpuvXºq©`¢`cic‚„t…W¾ z ”–ˆ € y fpw y q
z ”|ˆ €¢}
~
€
S ‰ v ˆ
ˆ!‰ S Š¿‹dÀ ˆ‡„ S
ˆ wÁ¼ Š ˆ(† S
Ž—4©‘“’6”©•o–y—
`ƒic‚„t…W¾ ± z ”|ˆ €Â} `ciƒ‚„t…W¾ ±
S ‰ v ˆ
ˆ!‰ S } `ciƒ‚„t…W¾ ± ” Sxw v ˆ € ” S ‰ v ˆ €
” SDw v ˆ € ”–ˆ—‰ So€
} `ciƒ‚„t…W¾ ±
S ‰ªˆ
” SDw v ˆ € ”|ˆ ‰ S¸€ } ‰ S
t
`ƒic‚„t…W¾ ³ ”–ˆ wÁ¼e€¢}šSxwÁ¼ÃT¯ÄrdGq©´pf q©`¢`ciƒ‚„t…W¾ z ”|ˆ €¤qts4iƒhpuvqjhphri ‰ S
t }£S¡wżòG`ƒdGq¦´pf
¼£} ‰ sÆpt”T
s4TuÄ6X)Ç|dGwGb©ioÈfpw z ”–ˆ €¯} Év Sxw ˆ!‰ S
ˆ wef q©hÊb©fpwuviƒw”dGXºq©w ˆ }“‹ºË
ˆ
fpgr½ÌdxÈqÍ
Ëo΢h
ˆ
fphri˜ `cq(qµs”uvq¦w y q¦gp`fXb¦fpwuricwÌd8XU‚ºq¦wuvq˜q©w ˆ } ‹Í ÏUdGhpuriƒÐ8b¦XUgÑ`fXªgpqtÒ
h
ˆ
dGq©hpuÓX4T
Ž—4©‘“’6”©•o–y— V¡fp‚ºfÔ‹ÅÆÕ y fU‚ z q¦wuvfpweb¦q¦h z wGf$q¦h2b¦fpwuviƒwÌd8XÑq¦w ˆ }Ö‹eT
× qX$SDw ˆ }…Ø n T
`ƒic‚„t…‡q Év S¡w ˆ—‰ S
ˆ } `ƒic‚Ù©…W¾
Ø ‰ S
Ø n ‰ S }š`ƒic‚Ù©…W¾
Ø ‰ S
”Ø ‰ So€ ”Ø i wÚØ)w•S¸€
} `ƒic‚Ù©…W¾
S
Ø i w‘Ø)w…S }¿S¸ÆUs
Û fpg‡`ƒfÚuvXUwuvfEq©h
ˆ
fphri˜ `cq˜qts”urq¦w y q©gr`cXEb¦fpwuviƒwÌd8XU‚ºq¦wuvq¥q¦w ˆ } ‹eŠ ˜ XUhpuvX
y q©Ð8wGiƒgr`cX)q¦w ˆ }“‹e² z ” ‹€¢}£S¸ÆUseT
eTWVYXa`cb¦de`cqÚ`cic‚„t…™Ü
ˆ wÚhpq¦w g h „i‡l
t ˆ w…S Š `ƒic‚„t…HÝ4Ü
ˆv ˆ i w•S T
Þàßmá ’PâãÌäßÃå — `ciƒ‚„t…™Ü
„tæeçcè|é¦ê ™rëeíì„i „tæþ„
}î`ciƒ‚„t…ÊÜ
Sxw çƒèïé©ê ™pëe6ì„t™w ¾„
‹ºÀñððððð
hrq¦w gh „i‡l
ˆ ððððð
À ðððð
S
ˆ ðððð
T™V¡fp‚ºfò`ciƒ‚„t…™Ü
S
ˆ }ò‹ºq©wÌurfpwGb©q¦hHq©`!`ciƒ‚„t…™Ü
hrq©w g h „iYl
ˆ }¿‹
t

3. ó q¦wôb¦fpwGhpq¦b©dGq¦wGb©ifXºq¦`r`õÈö‚ i÷uvqÊfpgriƒ´picwGXU`Ãq©h¬SoÆpt4T
`cic‚„t…HÝ4Ü
ˆv ˆ i w…S } `ƒic‚„t…WÝ4Ü
g‰ ¾„ l ˆ
gr‰ ¾„ l v ˆ i w•S }
} `ciƒ‚„t…WÝ4Ü
‰ S
ø „ e æþ„ e
} `ƒic‚„t…WÝ4Ü
‰ S
ø Sxw ¾„ e
} ‰ S
® TWV¡`cXUhri÷Ð8bXagY`fXUh y ichrb©fpwuviƒw”deiy X y q¦h¦TxÏUdGhBuvi÷Ð8bXUg‡`cXdgrq¦h
ˆ
dGq©hpuÓX4T
z ”–ˆ €D} S ‰ªˆ
S ‰ªˆ i ƒ ù ”|ˆ €¢}
~€
„ú„ ú Š ˆ(„ ‹
ˆ Š ˆ(† ‹
Ž—4©‘“’6”©•o–y— z y iƒhrb¦fUwÌuricwÌd8X£q¦w ˆ } ‰ S ó q¦w ˆ }£S
`cic‚„t…H¾
S ‰kˆ
S ‰ªˆ i }š`ƒic‚„t…W¾
S ‰kˆ
” S ‰kˆ € ” Sxw ˆ € }š`ƒic‚„t…W¾
S
Sxw ˆ }šS¸Æpt
`ciƒ‚„t…WÝ8¾
S ‰ªˆ
S ‰¥ˆ i } `ciƒ‚„t…WÝ8¾
S
Sxw ˆ ½ÌdGqjwGfºqts4ichBuvq
΢w¥b¦fpwGhpq¦b©dGq¦wGb©ifX z uvicq©wGqºq¦w ˆ }¤SºdGw8X y ichpb¦fpwuviƒwÌdGiy X y gpq
ˆ
XUgrX ˜ `ƒq û%q©w
ˆ } ‰ S¬dew8X y ichrb©fpwuviƒw”deiy X y q©hrq¦web¦ifXa`õT
`cic‚„t…‡q ± ù ”|ˆ €¢} `ƒic‚„t…‡q ± ˆ‚ˆ ‚ } `ciƒ‚„t…‡q ± ˆ
‰™ˆ } ‰ S
`ciƒ‚„t…‡q ³ ù ”–ˆ €¢} `ciƒ‚„t…‡q ³ ˆ‚ˆ ‚ } `ciƒ‚„t…‡q ³ ˆ
ˆ }£S
V¡fU‚ f$`ciƒ‚„t…‡q ù ”–ˆ €YwGf£qts4ichBuvq2q¦wuvfpweb¦q¦h ù uricq¦weq2q©w ˆ }‰‹£dew8X y ichrb©fpwuviƒw”deiy X yq©hrq©wGb¦icXU`õT
ü4TuýÊhvXUw y f `cX y q©ÐGwGicb©ioÈfpw y qj`õÈö‚ i÷uvqub¦fp‚
ˆ
`cqtuÓXUg©x
`ƒic‚„t… i gõˆ i ‰ªþpl } ‰ ®ÿ
Ž—4©‘“’6”©•o–y— `ƒic‚„t… i ”|ˆ i ‰‘þ €¢} ‰ ®jÿ¡ £¢¥¤ ‹e²£¦¨§ ¤ ‹)uÓXa`r½”deqUx
× ir‹ „ ‚ˆ—‰ t ‚ „ §© ‚”–ˆ i ‰þ € ‰•”B‰ ® € ‚ „ ¢ ²Gq©h y q¦b©icg¦x
× ir‹ „ ‚ˆ—‰ t ‚ „ §© ‚ˆ i ‰  ‚ „ ¢
s

4. ·”T × d
ˆ
fUwG´Xd½ÌdGq¬hpqjb¦dG‚
ˆ
`cq`cX
ˆ
grf
ˆ
fphpicb©ioÈfpwyx
” £¢¥¤ ‹p€ ” ¦¨§ ¤ ‹€ÑuvXU`r½ÌdGq2‹ „ ‚ˆ ‰  ‚ „ §© ‚z ”–ˆ €ywÅs ‚ „ ¢
ËHd¡Èq
ˆ
dGq y q¬b©fpwGb¦`ƒdGicgvÍ
Ž—4©‘“’6”©•o–y— Ä6X
ˆ
grf
ˆ
fphpicb©ioÈfpwÑq©½”deiƒ»aXU`cqjX£´XUgrXUwuviXUgY½ÌdGqº`ciƒ‚„t…Y¶ z ”|ˆ €¢} ‰ seT
4Tu¹Hq©‚)dGq©hpuvgpqj½”deq `ciƒ‚„t…WÝ i ” ˆ w þ €¯} ‰ ·4T
яÁ— V¡fp‚ f hpq
ˆ
iy q
ˆ
grf ˜ Xag%q¦hpurq‘`RÈö‚ºiƒurq¥q©wuvfpwGb©q¦h y q ˜ q¦‚ºfph%dGhrXUg˜`fX
y q©Ð8wGiƒb¦iÈfpw y qj`RÈö‚ºiƒurqUT
× qX ¢ ¤ ‹—q¦wurfpwGb¦q©h y q ˜ q¦‚ºfphHq©wGb¦fUwÌurgvXUgWdGw%wHÈdG‚ºq¦grf § ¤ ‹—½ÌdGq y q
ˆ
q¦w y q
y q ¢ ˆ
XUgrX£q©`rb¦d8Xa`rhrqjb¦dG‚
ˆ
`cXex
× ir‹ „ ‚ˆ wÁt ‚ „ §© ‚” ˆ w þ € ‰•”@‰ ·U€ ‚ „ ¢ T
V¡fUwGhriy q¦gpq¦‚ºfph ‚” ˆ w þ € ‰•”B‰ ·p€ ‚ } ‚ ˆ w•Sü ‚ }! ‚ˆ wÅt ‚T
ÄrdGq©´pf ˜ XUhBuÓXduvfp‚ XUg§j} S
#¢ ŠGq¦wôq©Ç|q©b©uvfex
× ir‹ „ ‚ˆ wÁt ‚ „ S
¢ © ‚” ˆ w þ € ‰…”B‰ ·p€ ‚ }$ ‚ˆ wÁt ‚ „ % S
¢' } ¢
þ Tu¹Hq©‚)dGq©hpuvgpqj½”deqº`ƒic‚„t… i ˆ
ˆ—‰ t wGfºqts4iƒhpuvqaT
я)( ýuw8XjÇ|fpgr‚ XjuvXU`8»pq0Hhriƒ‚
ˆ
`ƒq ó b©`fXUgrX2q©h218Xab¦icq©w y f)dehrf y q©`Èq©urf y f y q
gpq y deb¦b¦iÈfpw(Xa`íX ˜ hrdGg y fGT Û XUgvX£uÓXU`6qtÇ|q¦b©urf—hpd
ˆ
fUwG´XU‚ºfphʽ”deq—`ciƒ‚„t… i ˆ
ˆ—‰ t }43‡²
y fpw y q53%q¦híXU`c´¡ÈdGwjwWÈdG‚ºq¦gpfugpqXU` T“¹Hq ˜ q©grq©‚ fph6q©wGb¦fpwurgvXUgídGw8Xub©fpwuvgrX y icb©b¦iÈfpwyT
× qX z ”|ˆ €¢} ˆ
ˆ ‰ t ²G`ƒdGq¦´Uf
”–ˆ!‰ tU€ z ”–ˆ €D} ˆ76 ÄrdGq¦´pf `ƒic‚„t… i ”–ˆ!‰ tp€ z ”|ˆ €¢}£`cic‚„t… i ˆ ƒ
q©w b©fpwGhpq¦b¦deq¦wGb©ifXe²4b¦fp‚ºfjq¦hpuvXU‚ºfphxhpd
ˆ
fpwGicq©w y f2`fXqts4iƒhpuvq©wGb¦icX y q¦`{`RÈö‚ i÷uvq
ˆ
grfaÒ
ˆ
dGq¦hBuvfG²8q©wÌurfpwGb©q¦h¦x
`ƒic‚„t… i ”–ˆ%‰ tp€ § `ƒic‚„t… i z ”|ˆ €º} t4² `cdGq©´pf ‹ § 3Ö} t”²x`ƒf%½”deqôb©fpwGhBuviƒurd ó q$dGwGX
b©fpwuvgrX y icb©b¦iÈfpwyT
Û fpg™`cf)uvXUwuvfñ`ƒic‚„t… i ˆ
ˆ!‰ t wef qµseiƒhpurqUT


5. So‹4TWVYXa`cb¦de`cqd`ciƒ‚8 …‡q
”–ˆ w@9{€ i ‰kˆ i
9Þàßmá ’PâãÌäßÃå — Ärf!½ÌdGq
ˆ
griƒ‚ q©grf y q ˜ q¦‚ºfphXUb©`fXUgrXUg™q¦hH½ÌdGqd`cXº»aXUgricX ˜ `ƒq¬Xa½”dyÈö q¦h
9 ó q¦wôb¦fUwGhrq©b¦dGq©wGb¦icX y q ˜ q©‚ fph
ˆ
q¦wGhrXUg™½ÌdGq
ˆ
XUgvXd`cfUhYq©Ç|q©b©uvfUh y q©`rbrÈXU`ƒb¦dG`ƒf ˆq©h™b¦fp‚ºf£hriyÇ|dGq©gvXddGw8X£b¦fpwehpuÓXawÌurqUT
`ƒic‚8 …‡q
”|ˆ w)9{€ i ‰ªˆ i
9 }š`ciƒ‚8 …™q
t ˆ 9¬w)9 i
9 } `cic‚8 …™q
9 ” t ˆ w)9{€
9 }š`ƒic‚8 …‡q ” t ˆ w9{€x}Œt ˆ
A TmVYXCBwGXUhÊVWT
A XagD¦f—tU‹p‹Us
®