Engineering Mechanics static Course

1. ‫الرحيم‬ ‫الرحمن‬ ‫هللا‬ ‫بسم‬
‫البدري‬ ‫هللا‬ ‫عبد‬ ‫الشيخ‬ ‫جامعة‬
‫الهندسة‬ ‫كلية‬
‫رقم‬ ‫المحاضرة‬(10:)
Moment of Inertia for Areas
‫للمساحات‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬
COURSE INSTRUCTOR
Mohammed abdelgadir Hassan

2. ‫مساحة‬ ‫شكل‬ ‫واألعمدة‬ ‫العارضات‬ ‫مثل‬ ‫األنشائية‬ ‫األجزاء‬ ‫من‬ ‫عدد‬
‫شكل‬ ‫علي‬ ‫تكون‬ ‫مقطعها‬I,L,C.....‫األنابيب‬ ‫من‬ ‫يصنع‬ ‫بعضها‬
‫المصمته‬ ‫والدائرية‬ ‫المربعة‬ ‫المقاطع‬ ‫أستخدام‬ ‫من‬ ‫أكثر‬.
‫مربعة‬ ‫مقطع‬ ‫مساحة‬ ‫دائما‬ ‫النستخدم‬ ‫لماذا‬,‫مص‬ ‫ودائرية‬ ‫مستطيلة‬‫مته‬.

3. ‫المساح‬ ‫متساوية‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫مختلفة‬ ‫مقاطع‬ ‫ثالث‬ ‫خذ‬‫ات‬
‫لك‬ ‫الكتلة‬ ‫نفس‬ ‫ولها‬ ‫واحدة‬ ‫مادة‬ ‫من‬ ‫مصنوعة‬ ‫أنها‬ ‫وأفترض‬‫ل‬
‫طول‬ ‫وحدة‬
‫عمودية‬ ‫قوة‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬F‫أجهادات‬ ‫أقل‬ ‫به‬ ‫ستحدث‬ ‫الذي‬ ‫المقطع‬ ‫ماهو‬
‫ولماذا‬ ‫أنحراف‬ ‫وأقل‬ ‫داخلية‬.

4. ‫لل‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫تسمي‬ ‫خاصية‬ ‫علي‬ ‫يعتمد‬ ‫الجواب‬‫عارضة‬
‫محور‬ ‫حول‬X.
‫المقطع‬ ‫أن‬ ‫الواضح‬ ‫ومن‬A‫ذاتي‬ ‫قصور‬ ‫عزم‬ ‫أعلي‬ ‫لديه‬
‫محور‬ ‫عن‬ ً‫ا‬‫بعد‬ ‫األكثر‬ ‫مساحته‬ ‫ألن‬ ‫للمساحة‬X‫يكون‬ ‫لذلك‬
‫المقطع‬A‫أنحراف‬ ‫وأقل‬ ‫أجهاد‬ ‫أقل‬
σ≡‫األجهاد‬
M≡‫األنحناء‬ ‫عزم‬
Y≡‫أتجاه‬ ‫في‬ ‫األنحراف‬ ‫مسافة‬Y
I≡‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬
‫ق‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫زاد‬ ‫أذا‬ ‫أنه‬ ‫نالحظ‬ ‫المعادلة‬ ‫من‬‫ل‬
‫األنحراف‬ ‫وقل‬ ‫األجهاد‬.

5. ‫المساحة‬ ‫ومركز‬ ‫للمساحة‬ ‫األول‬ ‫العزم‬:
‫محور‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫األول‬ ‫العزم‬X‫و‬Y‫كاآلتي‬ ‫يعرف‬
‫بالنقطة‬ ‫يمثل‬ ‫المساحة‬ ‫مركز‬C‫و‬ ‫أحداثياتها‬ ‫عن‬ ‫يعبر‬ ‫التي‬
‫اآلتية‬ ‫بالعالقة‬ ‫تعطي‬ ‫حيث‬
AxQ ydA 
AyQ xdA 
xy
/yx Q A
/xy Q A

7. ‫يساوي‬ ‫المساحة‬ ‫بمركز‬ ‫يمر‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫األول‬ ‫العزم‬
‫صفر‬.

8. APPENDIX A
MOMENTS OF AREAS
A.1 Determination of The First Moment And Centroid
of A Composite Area
1 2 3
x A A A A
Q ydA ydA ydA ydA      
1 1 2 2 3 3xQ A y A y A y  
x i i
i
Q A y  y i i
i
Q A x 
i i
i
i
i
A x
X
A



i i
i
i
i
A y
Y
A




9. ‫للمساح‬ ‫الثاني‬ ‫العزم‬ ‫يمثل‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬‫ة‬
‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬dA‫حول‬X‫و‬Y‫يعطي‬:
‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬dA‫النقطة‬ ‫حول‬O‫حول‬ ‫أو‬
‫محور‬Z
‫كالتالي‬ ‫يعطي‬ ‫الكلية‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬

12. ‫للمساحة‬ ‫المتوازية‬ ‫المحاور‬ ‫نظرية‬:
Parallel Axis Theorem for an Area
‫ال‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫إليجاد‬ ‫تستخدم‬ ‫المتوازية‬ ‫المحاور‬ ‫نظرية‬‫ذاتي‬
‫هذه‬ ‫مركز‬ ‫خالل‬ ‫يمر‬ ‫لمحور‬ ‫موازي‬ ‫محور‬ ‫أي‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬
‫المساحة‬

13. ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫أن‬ ‫نجد‬ ‫أعاله‬ ‫الشكل‬ ‫من‬dA‫حول‬
‫محور‬(X)‫عنه‬ ‫يعبر‬
‫لل‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫يمثل‬ ‫أعاله‬ ‫للمعادلة‬ ‫األول‬ ‫التكامل‬‫مساحة‬
‫المركز‬ ‫حول‬(X́),IX́.
‫محور‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬(x)

14. ‫محور‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬(y)
‫للمساحة‬ ‫الزاوي‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬

15. ‫القص‬ ‫عزم‬ ‫تعطي‬ ‫أعاله‬ ‫الثالثة‬ ‫المعادالت‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫معادلة‬ ‫كل‬‫ور‬
‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫يساوي‬ ‫حيث‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬
‫مركز‬ ‫خالل‬ ‫يمر‬ ‫موازي‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬
‫ال‬ ‫المسافة‬ ‫مربع‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫مضروب‬ ‫المساحة‬ ً‫ا‬‫زائد‬ ‫المساحة‬‫عمودية‬
‫المحورين‬ ‫بين‬

16. ‫مثال‬(1)
‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫أوجد‬
‫حول‬ ‫أدناه‬ ‫المبين‬ ‫للمستطيل‬
(‫أ‬)‫بالمركز‬ ‫يمر‬ ‫محور‬(x́)
(‫ب‬)‫محور‬xb‫مالمس‬ ‫يمر‬
‫للسطح‬
(‫ج‬)‫محور‬ź‫علي‬ ‫عمودي‬
‫المستوى‬x́ – ý‫خالل‬ ‫ويمر‬
‫المركز‬(C)

19. ‫مثال‬(2)
‫محور‬ ‫حول‬ ‫المظللة‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫حدد‬(x)

21. ‫مثال‬(3)
‫محور‬ ‫حول‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫أوجد‬x‫في‬ ‫الدائرية‬ ‫للمساحة‬
‫أدناه‬ ‫الشكل‬

25. ‫المركبة‬ ‫للمساحات‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬:-
Moments of Inertia for Composite Areas
‫مثل‬ ‫األشكال‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫تتكون‬ ‫المركبة‬ ‫المساحات‬
‫مستطيالت‬,‫ودوائر‬ ‫مثلثات‬.‫ش‬ ‫لكل‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬‫كل‬
‫حول‬ ‫يحدد‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫أو‬ ‫معروف‬ ‫يكون‬ ‫األشكال‬ ‫هذه‬ ‫من‬
‫محور‬.‫من‬ ‫المكونة‬ ‫المركبة‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬
‫الجبري‬ ‫المجموع‬ ‫يساوي‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫األشكال‬ ‫هذه‬ ‫مجموعة‬
‫األشكال‬ ‫لكل‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫لعزم‬.

26. ‫مثال‬(4)
‫حول‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫مقطع‬ ‫لمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫أوجد‬
‫محور‬x‫و‬y‫بالمركز‬ ‫تمر‬ ‫التي‬

27. :‫الحل‬:
‫المستطيل‬A‫و‬D
‫المستطيل‬B

28. ‫المستطيل‬B
‫المقطع‬ ‫لمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬

29. ‫مثال‬(5)
‫العارضة‬ ‫مقطع‬ ‫لمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫أوجد‬T‫حول‬
‫محور‬X́‫المقطع‬ ‫بمركز‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬

30. ‫الحل‬
1
2