лекции по актуарной_математике_-_kuznecova
•Download as DOC, PDF•
3 likes•4,639 views
лекции по актуарной_математике
Recommended
Recommended
More Related Content
Similar to лекции по актуарной_математике_-_kuznecova
Similar to лекции по актуарной_математике_-_kuznecova (20)
лекции по актуарной_математике_-_kuznecova
- 1. РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК Н. Л. Кузнецова, А. В. Сапожникова АКТУАРНАЯ МАТЕМАТИКА Учебное пособие Издательство Тюменского государственного университета 2010
- 2. УДК 519.220+368 ББК 22.17 Кузнецова Н.Л., Сапожникова А.В. АКТУАРНАЯ МАТЕМАТИКА: Учебное пособие. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2010. 180с. Содержит программу курса, конспект лекций, методический материал, задачи по всем изучаемым темам, образец и решение типового варианта теста, глоссарий, список источников информации. Излагаются основные математические модели и методы, которые используются для расчетов характеристик продолжительности жизни, разовых и периодических премий, страховых надбавок для различных видов страхования жизни и пенсионных схем. Предназначено студентам специальности «Прикладная информатика в экономике». Рекомендовано к печати учебно-методической комиссией Института математики и компьютерных наук, кафедрой математического анализа и теории функций, Редакционно-издательским советом ИДО ТюмГУ. Рецензенты: Т.Г. Латфуллин, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры математического анализа и теории функций ТюмГУ В.В. Проботюк, канд. тех. наук, доцент, зав. кафедрой высшей математики ТюмГНГУ Ответственный за выпуск А.В. Трофимова, зав. отделом учебно-методического обеспечения ИДО ТюмГУ © Тюменский государственный университет, 2010 © Кузнецова Н.Л., Сапожникова А.В., 2010 2
- 3. ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………………………. МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ……………………………………… Рабочая программа дисциплины…………………………………... Содержание дисциплины…………………………………………... РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТА…………….............................................................................. Календарно-тематический план работы…………………………… Методические рекомендации по отдельным видам самостоятельной работы……………………………………………………………. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ……………………………………... ГЛАВА 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики………………………………………………………………........ 1.1. Элементы теории вероятностей……………………………….. 1.2. Элементы финансовой математики…………………………… Резюме…………………………………………………………………….. Вопросы для самопроверки……………………………………………… ГЛАВА 2. Характеристики продолжительности жизни……………….. 2.1. Время жизни как случайная величина………………………... 2.2. Остаточное время жизни………………………………………. 2.3. Округленное время жизни……………………………………... 2.4. Таблицы продолжительности жизни………………………….. 2.5. Приближения для дробных возрастов………………………... Резюме…………………………………………………………………….. Вопросы для самопроверки……………………………………………… ГЛАВА 3. Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и связанных с этими таблицами характеристик и функций………………………………………………..................... 3.1. Страхование на чистое дожитие………………………………. 3.2. Страхование рент………………………………………………. 3.3. Страхование жизни…………………………………………….. 3.4. Ренты, выплачиваемые несколько раз в год………………….. 3.5. Накопительное страхование с фиксированными взносами…. 3.6. Страховые премии……………………………………………... Резюме…………………………………………………………………….. Вопросы для самопроверки……………………………………………… ГЛАВА 4. Модели краткосрочного страхования жизни………………......................................................................................... .. 4.1. Анализ моделей краткосрочного страхования жизни……….. 4.2. Анализ индивидуальных убытков при краткосрочном страховании жизни…………………………………………………………….. 3 5 6 6 7 9 9 11 12 12 13 21 33 33 35 36 40 43 46 50 55 57 58 59 63 68 73 76 77 87 88 90 91 91
- 4. 4.3. Точный расчет характеристик суммарного ущерба…………. 4.4. Приближенный расчет вероятности разорения……………… 4.5. Принципы назначения страховых премий…………………… 4.6. Перестрахование. Сущность и разновидности договоров перестрахования…………………………………………………………....... Резюме……………………………………………………………………... Вопросы для самопроверки……………………………………………… ГЛАВА 5. Модели долгосрочного страхования жизни………………... Резюме…………………………………………………………………….. Вопросы для самопроверки……………………………………………… ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………… ПРАКТИКУМ…………………………………………………………….. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЯ……………………………………………. Тесты для самоконтроля…………………………………………………. Ключи к тестам для самоконтроля………………………………………. Вопросы к зачету…………………………………………………………. СПИСОК ИСТОЧНИКОВ ИНФОРМАЦИИ…………………………… ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Значения функции Гаусса….………………………. ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Значения функции Лапласа………………………… ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Таблица смертности………………………………… ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Таблица значений коммутационных функций……. ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Справочный материал……………………………… 4 93 94 96 10 0 10 6 10 6 10 7 11 3 11 4 11 5 11 6 14 0 14 7 15 3 15 9 16 0 16 1 16 3 16 5 16 9 17 8
- 5. ПРЕДИСЛОВИЕ Интерес к теории страхования жизни развивается в России вместе с развитием страхового рынка – важной части свободной рыночной экономики. Актуарный анализ, в частности, становится неотъемлемым аспектом деятельности серьезных страховых компаний и банков. Страхование как система защиты имущественных интересов граждан, организаций и государства является необходимым элементом современного общества. Оно обеспечивает непрерывность всех видов общественно полезной деятельности, а также поддержание уровня жизни, доходов людей при наступлении определенных событий – страховых случаев. Из данного пособия студенты могут узнать, что за обычными страховыми полисами стоит довольно сложная математическая теория, без которой невозможно обеспечить финансовую устойчивость страховых компаний и пенсионных фондов. Пособие предполагает знакомство читателя с основами математического анализа, теории вероятностей и математической статистики, а также финансовой математики. Для удобства читателя пособие содержит краткие сводки нужных для понимания отдельных тем из теории вероятностей и финансовой математики. В соответствии с логикой изучения дисциплины весь теоретический материал разбит на пять глав, по каждой главе рассмотрены примеры в соответствующем практическом разделе. Студентам предоставляется возможность в практикуме данного учебного пособия проверить и закрепить полученные знания посредством решения задач и тестов. Пособие будет полезно не только студентам, изучающим эту дисциплину, но и всем, кого интересует оценка и управления рисками в страховании. 5
- 6. МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ Рабочая программа дисциплины Пояснительная записка В результате изучения курса студент должен: • знать основные принципы страхования, базовые понятия страхования как экономической построения категории, математической классификацию модели страхования, страхования, общую этапы модель страхования, общие принципы расчета премий; • уметь вычислять страховые премии в случае страхования жизни; анализировать страховые схемы, определять вероятность разорения страховой компании; • обладать навыками разработки страховых и пенсионных продуктов, навыками решения задачи об оптимальном построении портфеля страховой компании или пенсионного фонда, умением анализировать полученные результаты и делать практические выводы. Рабочая программа дисциплины Тематический план Распределение часов Самост. всего лекции практика работа Тема курса Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики Характеристики продолжительности жизни Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и связанных с этими таблицами характеристик и функций Модели краткосрочного страхования Модели долгосрочного страхования Итого 6 12 1 1 10 23 2 1 20 34 2 2 30 24 22 115 2 1 8 1 1 6 21 20 101
- 7. Содержание дисциплины Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики Предмет и методы актуарной математики. Основы математического анализа, теории вероятностей и математической статистики, основы финансовой математики. Тема 2. Характеристики продолжительности жизни Время жизни как случайная величина. Функция выживания. Кривая смертей. Интенсивность смертности. Макрохарактеристики продолжительности жизни. Аналитические законы смертности. Остаточное время жизни. Приближения для дробных возрастов: равномерное распределение смертей, предположение Балдуччи, постоянная интенсивность смертности. Распределение остаточного времени жизни. Основные величины, связанные с остаточным временем жизни. Округленное время жизни. Распределения округленного времени жизни. Макрохарактеристики остаточного времени жизни. Частичная остаточная продолжительности жизни. Таблицы продолжительности жизни: общие, таблицы отбора риска, таблицы с отбором ограниченного действия. Тема 3. Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и связанных с этими таблицами характеристик и функций Ожидаемая текущая стоимость выплат. Прибыль от смертности. Страхование рент. Обыкновенная пожизненная рента. Приведенная пожизненная рента. Срочные ренты. Отложенные ренты. Страхование жизни. Пожизненное страхование. Страхование жизни на срок. Страхование с выплатой в момент смерти. Коммутационные функции. Ренты, выплачиваемые несколько раз в год. Непрерывные ренты. Накопительное страхование с фиксированными взносами. Страховые премии. Нетто-премии для элементарных видов страхования. Нетто-премии для пенсионных планов. Премия, нагруженная на издержки. Брутто-премия. 7
- 8. Тема 4. Модели краткосрочного страхования жизни Краткосрочное страхование жизни. Анализ индивидуальных убытков при краткосрочном страховании жизни. Расчет характеристик суммарного ущерба. Приближенный расчет вероятности разорения. Принципы назначения страховых премий. Тема 5. Модели долгосрочного страхования жизни Общая модель долгосрочного страхования жизни. Теорема о дисперсии приведенной ценности. Разовые нетто премии для основных непрерывных и дискретных видов страхования. 8
- 9. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТА Календарно-тематический план работы № тем ы 1. 2. 3. Название темы Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики Характеристики продолжительности жизни Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и связанных с этими таблицами характеристик и функций Время, отводимое Виды учебной на изучение работы дисциплины 10 Изучение 2 теоретических материалов Ответы на 1 вопросы для самопроверки Выполнение 3 практических заданий самостоятельн 4 ое тестирование всего 10 20 Изучение 6 теоретических материалов Ответы на 2 вопросы для самопроверки Выполнение 5 практических заданий самостоятельн 7 ое тестирование всего 20 30 Изучение теоретических 9 материалов Ответы на вопросы для 4 самопроверки Выполнение практических 10 заданий самостоятельн 7 ое 9 Формы контроля проверка решенны х задач тесты проверка решенны х задач тесты проверка решенны х задач тесты
- 10. тестирование 4. Модели краткосрочного страхования 21 5. Модели долгосрочного страхования 20 10 всего 30 Изучение 8 теоретических материалов Ответы на 2 вопросы для самопроверки Выполнение 6 проверка практических решенны заданий х задач самостоятельн 5 тесты ое тестирование всего 21 Изучение 8 теоретических материалов Ответы на 2 вопросы для самопроверки Выполнение 6 проверка практических решенны заданий х задач самостоятельн 4 тесты ое тестирование всего 20
- 11. Методические рекомендации по отдельным видам самостоятельной работы Указания по самостоятельному изучению теоретической части дисциплины Указания по самостоятельному изучению теоретической части дисциплины размещены перед каждой темой. Указания по выполнению практических заданий Указания по выполнению практических заданий находятся в разделе практикум. Указания к промежуточной аттестации с применением балльно-рейтинговой системы оценки знаний Промежуточная аттестация проводится после изучения каждой темы. Итоговая форма контроля – зачет. Номера заданий Название темы Изучение Решение Решение задач по задач для тестовых теме сам. заданий работы Введение. Основы теории вероятностей и финансовой 1.1 – 1.8 математики Характеристики 2.1 – 2.6 продолжительности жизни Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и 3.1 – 3.9 связанных с этими таблицами характеристик и функций Модели краткосрочного 4.1 – 4.4 страхования Модели долгосрочного 5.1 – 5.2 страхования Итого Максимальная оценка в баллах 1 – 10 1–5 10 1 – 10 6 – 24 30 1 – 10 25 – 34 30 1–3 — 15 1–2 35 – 50 15 100 баллов Аттестованным считается студент, набравший более 60 баллов. 11
- 12. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ГЛАВА 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики Указания по самостоятельному изучению темы Цели Иметь представление: о базовых понятиях теории вероятностей и финансовой математики. Знать: основные непрерывные и дискретные законы распределения; свойства числовых характеристик случайных величин; виды процентных ставок; основные виды финансовых рент. Уметь: вычислять числовые характеристики непрерывных и дискретных законов распределения; находить текущую стоимость основных финансовых рент. 12
- 13. 1.1. Элементы теории вероятностей Случайные события Элементарным исходом называют любой простейший исход опыта. Множество всех элементарных исходов называется пространством элементарных исходов: 2 ,, 1, n , . Класс A подмножеств множества называется алгеброй, если выполнены следующие аксиомы: А1. A А2. A, B A A, A A A B A, A B Класс подмножеств A называется A. -алгеброй, если аксиома А2 выполняется для счетного числа подмножеств. Произвольное подмножество A A называется событием. Событие, состоящее из всех элементарных исходов, называется достоверным событием. Событие, не содержащее ни одного элементарного исхода, называется невозможным событием. Событие А В называют произведением событий, если происходят оба события А и В . Событие А В называют суммой событий, если происходит хотя бы одно из событий А и В . События А и В называются несовместными, если их произведение является невозможным событием. События А1 , А2 , , Аn образуют полную группу, если их сумма есть достоверное событие. Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными. Тройка ( , A, P ) называется вероятностным пространством, где абстрактное множество, A – класс подмножеств P – мера, определенная на классе A, со свойствами: 13 , образующих – -алгебру,
- 14. Р1. (аксиома неотрицательности) P A Р2. (аксиома нормированности) P Р3. (расширенная несовместных P событий A, A 1, сложения) Для любых справедливо А1 , А2 ,, Аn , попарно равенство P Ai . Ai i аксиома 0, i Значение P A называют вероятностью события A . Пусть A и B – некоторые события, причем P (B ) 0 . Условной вероятностью события A при условии B (обозначается P A B ) называется вероятность события A , найденная при условии, что событие B произошло. Эта вероятность находится по формуле P A B P A B . PB Теорема умножения вероятностей: P A B P A P AB . Одним из основных практических приложений понятия условной вероятности являются формулы полной вероятности и Байеса. Пусть события образуют полную группу попарно H1 , H 2 ,..., H n n несовместных событий, т.е. Hi H j (i j) и Hi . События i 1 H1 , H 2 ,..., H n назовем гипотезами. Относительно гипотез известны априорные (доопытные) вероятности P( H1 ) 0, P ( H 2 ) 0,..., P ( H n ) 0 . Предположим, событие A может произойти только с одним из событий H1 , H 2 ,..., H n и нам известны условные вероятности P(A| H1 ), P(A| H 2 ),…, P(A| H n ). Тогда безусловная вероятность P( A) вычисляется по формуле полной вероятности: n P( H i ) P( A | H i ) . P( A) i 1 Если в результате опыта произошло событие априорные вероятности гипотез A , то прежние, P ( H1 ), P ( H 2 ),..., P( H n ) должны быть 14
- 15. заменены на новые, апостериорные (послеопытные) вероятности P( H1 | A ), P( H 2 | A ),…, P( H n | A ), которые вычисляются по формуле Байеса: P( H k ) P( A H k ) P( H k | A ) n . P( H i ) P( A H i ) i 1 Случайные величины Скалярную функцию исходов , заданную на пространстве элементарных , называют случайной величиной, если для любого x R множество элементарных исходов : x является событием. Для исследования вероятностных свойств случайной величины необходимо знать правило, позволяющее находить вероятность того, что случайная величина примет значение из подмножества ее значений. Любое такое правило называют законом распределения вероятностей. Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения. Функцией распределения случайной величины F x называют функцию x . P Функция распределения обладает свойствами: F1. Функция распределения любой случайной величины – неубывающая функция. F2. Функция распределения непрерывна слева. 0, F F3. F 4. P a 5. P b x0 Теорема. 1. F a. F b F x0 0 Функция F x0 . распределения однозначно определяет распределение случайной величины. Случайная величина называется дискретной, если она принимает не более чем счетное число значений x1 , x2 ,, xn , 15
- 16. Распределение дискретной случайной величины удобно задавать соответствием между ее возможными значениями x1 , x2 ,, xn , и вероятностями p1 , p2 ,, pn , , с которыми эти значения принимаются. Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид F x pi . i: xi x Случайная величина функция f x называется непрерывной, если существует 0 , интегрируемая на всей числовой оси f x dx 1, такая что функция распределения случайной величины представима в виде x сходящегося несобственного интеграла F x f t dt . Функция f x называется плотностью распределения вероятностей. Дискретная случайная величина параметром p 1 0 распределена по закону Бернулли с p 1 , если она принимает значение 0 с вероятностью p и значение 1 с вероятностью p . Дискретная случайная величина закону с параметрами n и p n p 1 , если она принимает значения ,0 0, 1, 2,, n с вероятностями P k Cn p k 1 p k Дискретная случайная величина параметром k . распределена по закону Пуассона с e . k! Дискретная случайная величина закону с параметром p 0 с вероятностями P n k 0 , если она принимает целые неотрицательные значения k с вероятностями P распределена по биномиальному k распределена по геометрическому p 1 , если она принимает натуральные значения 1 p k 1 p. 16
- 17. Непрерывная случайная величина имеет равномерное на a, b распределение, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид f x 0, x a, 1 , a x b, b a 0, x b. Непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами распределения a и a распределения вероятностей имеет вид f x 0 , если ее плотность R, 1 2 x a 2 2 exp Нормальное распределение с параметрами a 0 и 2 . 1 называется стандартным нормальным распределением. Непрерывная экспоненциальному случайная величина (показательному) распределена закону, распределения вероятностей имеет вид f x если 0, e ее x x плотность 0, , x по 0. Основные числовые характеристики случайных величин При решении многих задач нет необходимости находить закон распределения случайных величин, достаточно характеризовать их некоторыми неслучайными числами. Такие числа называют числовыми характеристиками. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют неслучайное число E xi pi . При этом, если множество i значений случайной величины счетное предполагается, что ряд xi p i i сходится абсолютно. В противном случае говорят, что мат. ожидание не существует. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины 17
- 18. называют неслучайное число E что x f x dx . При этом предполагается, x f x dx сходится абсолютно. Математическое ожидание является идеализированным средним значением случайной величины. Свойства математического ожидания: 1. EC C , где C 2. Ea aE , Ea 3. E1 4. Если случайные величины Для E1 2 Const . b b. aE E 2 , если E 1 и E характеристики 1 и 2 2 разброса существуют. независимы, то E 1 возможных E 1 E 2. 2 значений случайной величины относительно своего среднего значения служит дисперсия. Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения D E 2 E . Свойства дисперсии: 1. DC 0 , где C Const . 2. Da a2D , Da b 3. D Если случайные величины 1 E 2 Средним a2D . E2 . и квадратическим называется число 2 независимы, то D 1 отклонением , определяемое равенством 2 D1 случайной D 2. величины D . Величина неотрицательна и имеет ту же размерность, что и случайная величина . Числовые характеристики важнейших распределений представлены в приложении 5. 18
- 19. Предельные теоремы теории вероятностей Пусть – n последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным математическим ожиданием и дисперсией E 2 a, D n n . Обозначим через Fn x функцию n an k распределения нормированной суммы k 1 , т.е. n n an k Fn x Обозначим через k 1 P функцию x x . n распределения стандартного нормального закона, т.е. x Теорема (Центральная u2 2 du . x 1 2 e предельная теорема). Пусть n – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин E n с a, D конечным 2 n математическим ожиданием и дисперсией . Тогда n an k P k 1 x n n x . Нормальный закон имеет важное значение на практике, поскольку, как правило, всегда встречается в ситуациях, когда случайная величина определяется большим количеством независимых случайных факторов, ни один из которых при этом не оказывает решающего влияния. 19
- 20. Функция 1 2 x 0 x e u2 2 du называется функцией Лапласа. 0 Свойства функции Лапласа: 1. 2. x 0 0 x . 0 1 . 2 3. x 4. Для 0 1 . 2 x x1 , x2 : Следствием x2 из x1 0 центральной x2 0 x1 . предельной теоремы являются интегральная и локальная теоремы Муавра-Лапласа. Рассмотрим схему Бернулли, состоящую из n независимых испытаний n с вероятностью «успеха» p . Обозначим через S n k – число успехов в k 1 схеме Бернулли, при этом случайные величины k независимы и одинаково распределены по закону Бернулли с параметром характеристики предельной E k теореме p, D k pq . нормированная Тогда сумма p , их числовые согласно S n np npq центральной сходится распределению к стандартному нормальному распределению при n по . Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа). При достаточно большом n вероятность того, что число успехов в схеме Бернулли будет не менее k1 и не более k 2 , приближенно равна P k1 где x1 k1 np , x2 npq Sn k2 k2 np . npq 20 0 x2 0 x1 ,
- 21. Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа). При достаточно большом n вероятность того, что число успехов в схеме Бернулли будет k , приближенно равна P Sn где x k np , npq x 1 e 2 x2 2 1 npq k x , – плотность распределения стандартного нормального закона. Пусть вероятность успеха p является функцией от n , т.е. pn Теорема Пуассона. Пусть pn 0 , так что npn n pn . 0, n тогда при достаточно большом n вероятность того, что число успехов в схеме Бернулли будет k , приближенно равна k P Sn k e k! . 1.2. Элементы финансовой математики Эффективная процентная ставка Рассмотрим следующую простейшую ситуацию. Предположим, что в момент времени t мы даем в долг сумму C (например, кладем на свой счет в банке, вносим плату за страховку, перечисляем пенсионный взнос в пенсионный фонд и т.д.). Спустя время Δt мы можем рассчитывать на определенный доход C C i от инвестирования принадлежащего нам капитала C . Сумма C является наградой за то, что наши средства использовались другим человеком. Обычно ее измеряют в относительных единицах; величина i C /C называется эффективной процентной ставкой за рассматриваемый промежуток времени t, t t . Простые и составные проценты Предположим теперь, что сумма C может инвестироваться на два последовательных промежутка времени. Пусть i1 – эффективная процентная 21
- 22. ставка на первом промежутке, i 2 – соответственно на втором. Существуют две схемы исчисления дохода C на объединенном интервале: 1. Принцип простых процентов предполагает, что проценты начисляются только на основной капитал. Поэтому C Соответственно, итоговая процентная ставка i C / C C i1 C i2 . i1 i2 . 2. Принцип сложных процентов предполагает, что проценты начисляются не только на основной капитал, но и на уже заработанные проценты. Поэтому в конце второго интервала времени основной капитал С вырастет до величины С C C 1 i1 1 i2 . Соответственно, итоговая процентная ставка i определяется из условия 1 i 1 i2 , т.е. i 1 i1 i1 i2 i1 i2 . Принцип сложных процентов фактически означает, что инвестор может свободно распоряжаться своими средствами. Поэтому в актуарной математике принято использовать принцип сложных процентов при определении дохода от вложенных средств. Процентные ставки, используемые в большинстве расчетов в актуарной математике, определяются, исходя из консервативных оценок доходности реальных будущих инвестиций страховщика. Они намного ниже реальных процентных ставок, предлагаемых рынком для различных видов инвестиционных проектов. Их значение заключается в том, чтобы как-нибудь учесть рост денег, внесенных в качестве платы за страховое покрытие. Поэтому их называют техническими процентными ставками. На самом деле страховая компания зарабатывает гораздо большие проценты; более того, это один из самых (если не самый главный) источник дохода страховщика. Накопления Выберем некоторый промежуток времени в качестве единичного (как правило, один год) и предположим, что процентная ставка за этот промежуток равна i . Допустим, что в момент t 0 22 0 сумма C инвестируется
- 23. на t единиц времени. По принципу сложных процентов в момент времени t0 C 1 i t . Величина A t t капитал C превратится в сумму C t 1 i t называется коэффициентом накопления за время t . Интенсивность процентов Интенсивность процентов – это мгновенная относительная скорость накопления средств Ct lim t 0 t Ct Ct t Поскольку i C t Ct ln 1 i . ln C t 1, то коэффициент накопления за время t можно e записать в виде eδt . At Интенсивность процентов удобно использовать для изучения накоплений в случае изменяющихся процентных ставок. В этом случае δ δt и t Ct C t0 exp ( z )dz . t0 Номинальные процентные ставки Рассмотрим промежуток времени длиной 1 / p . Если в качестве единицы измерения принят один год, то наиболее часто встречаются случаи: p 12 (рассматриваемый промежуток времени равен одному месяцу); p (квартал); p 4 2 (полугодие). Эффективная процентная ставка i i p p за этот промежуток времени равна 1 i 1/ p 1 e /p 1. Однако в финансовой математике принято характеризовать доходность вложения средств на промежутке 1 / p не эффективной (т.е. реальной) процентной ставкой i p , а так называемой номинальной процентной ставкой i p 23 p i p .
- 24. Иногда величину i p называют номинальной процентной ставкой выплачиваемой (начисляемой) с частотой p . Приведенная ценность Предположим, что в момент t 0 в будущем мы должны будем выплатить некоторую сумму C . Чтобы к моменту t иметь в точности сумму C в настоящее время t 0 0 нужно располагать суммой P C 1 i t , так как после инвестирования на время t сумма P превратится в сумму P1 i t момент C . Величина P называется современной ценностью суммы C в t. Иногда употребляется термин современная стоимость, приведенная стоимость и т.д. Величину v 1 i 1 называют e дисконтирования (учета). С коэффициентом ее помощью формулу для приведенной стоимости можно записать в виде P Cv t . Учетная ставка Предположим, что в момент t 0 0 мы даем взаймы сумму С . Тогда в момент t 1 нам должны вернуть сумму С 1 i , которая складывается из двух частей: возврата основного капитала С и процентов на капитал С С i. Если сумму C i , которая должна быть выплачена в момент t 1, привести к моменту t0 0 , то мы получим сумму C i 1 i 1 . Поэтому если проценты на капитал могут быть выплачены заранее, в момент t 0 0 получения займа, то эти проценты, выплачиваемые вперед, составляют d i/ 1 i от суммы займа C . Величина d называется эффективной учетной ставкой за единицу времени. Учетная ставка d может быть выражена и через интенсивность процентов и коэффициент дисконтирования v : d 1 v 1 e 24 .
- 25. Предположим теперь, что сумма C 1 дается в долг на время 1 / p с заблаговременной выплатой процентов. Эффективная процентная ставка равна i p i p 1 i 1/p 1. Именно эта сумма должна быть выплачена в /p момент t 1/p в виде процентов. Если ее привести к моменту t0 превратится в сумму i p 1 i эффективной учетной ставки d 1/p p 1 1 i 1/p . Поскольку i 0 , то она d / 1 d , для за время 1 / p получим формулу d p 1 1 d 1/ p . Однако в финансовой математике принято работать не с эффективными (т.е реальными) учетными ставками за время 1/p , а с так называемыми номинальными (т.е. условными, не существующими реально) учетными ставками d Величину d p p p d p p1 1 d 1/p . называют номинальной учетной ставкой, начисляемой с частотой p . Оценивание серии платежей Детерминированные ренты Если мы хотим оценить серию выплат, которые должны быть сделаны в разные моменты времени, то все эти выплаты должны быть приведены к некоторому фиксированному моменту t0 0 , после чего эти выплаты можно складывать, сравнивать и т.д. С точки зрения приложений к страхованию и пенсионным схемам наиболее важной является задача определения современной стоимости a серии из n выплат величиной b1 , b2 , , bn соответственно, которые будут сделаны в некоторые моменты t1,t 2 , ,t n в будущем. Величина a может рассматриваться, например, как сумма, которую человек должен внести в пенсионный фонд в момент заключения договора (этот момент обычно 25
- 26. принимают за начальный) с тем, чтобы в будущем, в моменты t1,t 2 , ,t n , получать пенсию величиной b1,b2 , ,bn . Поэтому a b1vt1 bnvtn . b2vt2 Если плата за пенсии производится в виде нескольких платежей величиной с1, ,ck , сделанных в моменты τ1, ,τ k , то справедливое соотношение между взносами c i и пенсионными выплатами bi находится из принципа эквивалентности обязательств: c1v 1 ck v b1vt1 bk vt k . k Левая часть этой формулы выражает современную ценность всех взносов в пенсионный фонд или страховую компанию, а правая – современную стоимость всех пенсионных выплат. Описанная пенсионной таким схемы на образом общая практике обычно модель не детерминированной применяется. Реально используются схемы, обладающие той или иной формой регулярности как по величине взносов и выплат, так и по моментам осуществления этих платежей. Особо важным является случай серии платежей фиксированной величины, которые производятся через равные промежутки времени фиксированное число раз. Такие серии платежей обычно называют постоянными рентами или просто рентами. Детерминированные постоянные ренты Рассмотрим n последовательных единичных промежутков времени 0,1 ,, n 1, n . Под моментом t0 0 обычно будем подразумевать настоящий момент, а в качестве единичного промежутка времени будем рассматривать один год. Серия из n выплат, каждая величиной 1, сделанных в конце этих промежутков, т.е. в моменты 1, 2, ,n , называется запаздывающей рентой. Серия из n выплат, каждая величиной 1, сделанных в начале этих промежутков, т.е. в моменты 0, 1, 2, ,n 1 , называется упреждающей рентой. 26
- 27. Различие между запаздывающей рентой и упреждающей рентой условное и связано с выбором начала отсчета. Если в качестве начального момента выбрать момент t 1, то запаздывающая рента может рассматриваться как упреждающая. Приведенная стоимость упреждающей ренты в финансовой математике обозначается a n . Это – стоимость серии из n платежей величиной 1, производимых через единичные интервалы времени. Стоимость этой серии рассчитывается в момент совершения первого платежа. Приведенная стоимость запаздывающей ренты в финансовой математике обозначается an . Чтобы вычислить эти величины, нужно привести каждый из n платежей к начальному моменту времени t 0 0 , а затем сложить полученные значения: an an v v 2 v 1 vn , i n 1 v v2 vn 1 1 vn . d Величины a n и a n позволяют подсчитать величину суммы, которую нужно инвестировать в данный момент для того, чтобы получать фиксированный регулярный доход в будущем. С их помощью также можно определить величину регулярных выплат в случае, когда долг возвращается не одним платежом, а серией одинаковых платежей. Рассмотренные выше ренты начинались на первом же промежутке 0.1 (в начале его, т.е. в момент t 0 0 , для упреждающей ренты и в конце, т.е. в момент t1 1 , для запаздывающей ренты). Для приложений важны также так называемые отсроченные ренты. Чтобы их определить, рассмотрим последовательные единичные 27 промежутки времени
- 28. 0,1 , 1,2 ,, m 1, m , m, m 1 , m n 1, m n ( t0 0 – настоящий момент времени). Серия из n выплат, каждая величиной 1, сделанных в конце промежутков m, m 1 , m n 1, m n , т.е. в моменты m 1, ,m n , называется запаздывающей отсроченной рентой. Ее стоимость в настоящий момент t 0 0 обозначается a . Чтобы подсчитать эту величину, приведем m n каждый из n платежей в моменты m 1, ,m n к начальному моменту времени, а затем сложим полученные значения: m a vm n 1 vm n v m an . Серия из n выплат, каждая величиной 1, сделанных в начале промежутков m, m 1 , m n 1, m n , т.е. в моменты m, ,m n 1, называется отсроченной упреждающей рентой. Ее стоимость в настоящий момент t 0 0 обозначается a . Чтобы подсчитать эту величину, приведем m n каждый из n платежей в моменты m, ,m n 1 к начальному моменту времени, а затем сложим полученные значения: m an vm vm n 1 vm an . Часто полезно знать стоимость ренты не в начальный момент времени, а в конце последнего платежного периода. Эту стоимость можно интерпретировать как общую сумму, накопленную на банковском счете после серии регулярных взносов. Ее обозначают так же, как и соответствующую приведенную стоимость в начальный момент, но с заменой буквы a на букву s . Таким образом, s n – это приведенная стоимость запаздывающей ренты в момент tn n последнего платежа, а n s 28 – это приведенная стоимость
- 29. упреждающей ренты в момент tn n , т.е. спустя единицу времени после последнего платежа. s Формулы для накоплений s n и n можно получить непосредственно, приведя каждый из n платежей к моменту tn n и затем складывая полученные значения: sn 1 i n s n 1 n 1 i 1 i 1 i n 1 n 2 1 1 in 1 , i 1 in 1 . d 1 i Детерминированные постоянные ренты, выплачиваемые с частотой p Рассмотрим последовательных n 0,1 ,, n 1, n . Под моментом t 0 настоящий момент, а в промежутков времени 0 как обычно будем подразумевать качестве единичного промежутка будем рассматривать один год. Разобьем каждый из n единичных промежутков на p равных частей длиной 1 / p каждая. Серия из np выплат, каждая величиной 1 / p , сделанных в конце этих подпромежутков, т.е. в моменты 1/p, 2 /p, ,p/p 1; 1 1/p, 1 2 /p, ,1 p/p 2;;n 1 1/p, ,n 1 p/p n называется запаздывающей рентой, выплачиваемой с частотой p . Ее стоимость в настоящий момент времени t 0 стоимость в момент tn 0 обозначается a p n , а n последнего платежного периода называется накоплением и обозначается s p n . Серия из np выплат, каждая величиной 1 / p , сделанных в начале этих подпромежутков, т.е. в моменты 0, 1/p, p 1 /p; 1, 1 1/p, 1 2 /p, ,1 p 1 /p; ;n 1, ,n 1 29 p 1 /p ,
- 30. называется упреждающей рентой, выплачиваемой с частотой p . Ее стоимость в настоящий момент времени t 0 n стоимость в момент tn p p и s , а . n n p n последнего платежного периода называется накоплением и обозначается s Величины a 0 обозначается a p n p , так же как и величины a n и s p n , оценивают одну и ту же серию платежей, но в разные моменты времени. Поэтому они связаны соотношениями: a p n a n p s p n s n p p vn , s vn , s a p n a n p a n a p n 1 p p 1 i n, p 1 i n, n n 1 n v . p Рассмотрим в качестве единичного отрезка времени p -ю долю первоначального единичного отрезка (например, если p 12 и исходный единичный промежуток времени был один год, то новым единичным отрезком времени будет один месяц). Эффективная процентная ставка для этого нового единичного отрезка равна i p i p /p , где i p – номинальная процентная ставка для основного единичного промежутка, начисляемая с частотой p . Соответственно, новая учетная ставка равна d новое значение коэффициента дисконтирования есть v p p d p / p, а v1/ p . Теперь на упреждающую ренту, выплачиваемую с частотой p на промежутке 0, n , можно смотреть как на обычную упреждающую ренту, выплачиваемую на промежутке 0, np . Поскольку каждая выплата равна 1 / p , то имеем: p n @i a 1 a p np 30 , @i p /p
- 31. где символ @ i указывает эффективную процентную ставку на промежутке, который рассматривается в качестве единичного. Отсюда следует, что: 1 vn d p ap n @i Для a p n d p d an . верна аналогичная формула: a p n 1 vn i p i i an . p Непрерывные ренты Рассмотрим теперь упреждающую и запаздывающую ренты, которые выплачиваются с частотой p на промежутке 0, n , и предположим, что p . Тогда lim a lim a p p 1 vn , δ i n p Если p d a δ n p 1 vn n an . , то мы имеем дело с большим числом малых платежей (величиной 1 / p каждый), совершаемых через малые промежутки времени 1 / p . В пределе при p можно рассматривать поступление средств как непрерывный процесс, подобный течению жидкости. При этом в пределе различие между платежами в начале и в конце промежутков исчезнет. Непрерывный поток платежей называется непрерывно выплачиваемой рентой. Приведенная стоимость непрерывного потока платежей в момент t0 0 обозначается a n . Рассматривая поступление средств в предельном случае p как непрерывный поток жидкости, непосредственно определим величину a n как интеграл n n t an v dt 0 e 0 31 t dt 1 vn .
- 32. Можно ввести и произвольную непрерывную ренту на промежутке 0, n , которая характеризуется произвольной скоростью p t поступления средств в момент t . Для такой ренты приведенная стоимость в момент t 0 0 равна интегралу n v t p t dt . 0 Непрерывные ренты часто используются как приближения для рент, которые выплачиваются достаточно часто: a p an , a n p an . n Можно получить и более точные формулы: a p an 1 δ 2p o 1 , p a p an 1 δ 2p o 1 . p n n Сумма, накопленная к моменту t при непрерывном поступлении средств со скоростью 1, обозначается s t . Чтобы ее вычислить, нужно сумму a t привести к моменту t : st at 1 i 1 it 1 . δ t Детерминированные возрастающие ренты Рассмотрим n последовательных единичных промежутков времени 0,1 ,, n 1, n . Под моментом t 0 0 как обычно будем подразумевать настоящий момент, а в качестве единичного промежутка времени будем рассматривать один год. Серия из n выплат величиной 1, 2, ,n , сделанных в конце этих промежутков, т.е. в моменты t1 1, t2 2 ,…, tn n, называется запаздывающей возрастающей рентой. Ее приведенная стоимость в момент 32
- 33. t0 0 в финансовой математике обозначается Ia . Для подсчета этой n величины нужно все платежи привести к начальному моменту, а затем сложить: Ia Серия из промежутков v 2v n 2 3v 3 nv n v 1 n 1 vn 1 v nvn 1 . 2 n выплат величиной 1, 2, ,n , сделанных в начале 0,1 ,, n 1, n , т.е. в моменты t 0 0 , t1 1 ,…, tn 1 n 1, называется упреждающей возрастающей рентой. Ее приведенная стоимость в момент t 0 0 в финансовой математике обозначается I a : n 1 2v 3v 2 nv n Ia 1 1 n 1 vn 1 v n nv n 1 2 . Резюме Методы теории вероятностей используются во многих областях человеческой деятельности. Понятия случайных событий и случайных величин важнейшие в теории вероятностей. Случайные события обозначают заглавными латинскими буквами A, B, ... и т.д., а случайные величины , , ... и т.д. При решении задач необходимо уметь составлять законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин, а также находить их основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение). В актуарной математике особое значение имеет центральная предельная теорема, которая используется для оценки вероятности разорения страховых компаний. При актуарных расчетах широко используются методы финансовой математики, например, в долгосрочном страховании применяется теория сложных процентов, а оценивание стоимости страховых рент опирается на оценку стоимости финансовых рент. 33
- 34. Вопросы для самопроверки 1. Понятие случайного события. Действия над случайными событиями. 2. Вероятностное пространство. Аксиоматическое определение вероятности. 3. Случайные величины. Закон распределения. 4. Важнейшие биномиальное, распределения Пуассона, случайных геометрическое, величин (Бернулли, равномерное, нормальное, экспоненциальное). 5. Основные числовые характеристики случайных величин. Их свойства. 6. Центральная предельная теорема и ее следствия. 7. Простые и составные проценты. 8. Интенсивность процентов. Номинальные процентные ставки. 9. Приведенная стоимость. 10. Виды финансовых рент. Их современная стоимость. 34
- 35. ГЛАВА 2. Характеристики продолжительности жизни Указания по самостоятельному изучению темы Цели Иметь представление: о базовых понятиях актуарной математики (время жизни, функция выживания, кривая смертей, интенсивность смертности); о способах аппроксимации функции выживания для дробных возрастов (равномерное распределение, предположение Балдуччи, постоянная интенсивность смертности). Знать: свойства функции выживания; свойства интенсивности смертности; основные аналитические законы смертности; основные аналитические законы смертности. Уметь: оценивать вероятность дожить до определенного возраста; оценивать вероятность не дожить до определенного возраста; использовать таблицы продолжительности жизни для расчета основных характеристик продолжительности жизни. 35
- 36. 2.1. Время жизни как случайная величина В основе страхования жизни, как и любого другого вида страхования, лежит принцип распределения убытков одного лица, с которым произошел страховой случай, на большое число участников страхования, с которыми в рассматриваемый момент времени такой случай не произошел. Неопределенность момента смерти является основным фактором риска при страховании жизни. Относительно момента смерти отдельного человека нельзя сказать ничего определенного. Однако если участники страхования представляют собой большую однородную группу людей, и мы не интересуемся судьбой отдельных людей из этой группы, то в этом случае применим аппарат теории вероятностей как науки о массовых случайных явлениях, обладающих свойством устойчивости. Тогда продолжительность жизни можно рассматривать как случайную величину T . Функция выживания В теории вероятностей распределение случайной величины описывается функцией распределения F x В актуарной математике PT принято T x . работать не с распределения, а с дополнительной функцией распределения F x функцией 1 F x . Применительно к продолжительности жизни 1 F x – это вероятность того, что человек доживет до возраста x лет. Функция sx называется функцией выживания: s x 1 F x PT x . Функция выживания обладает следующими свойствами: 1. s x убывает (при x 0 ); 2. s 0 3. s 1; 0; 4. s x непрерывна. 36
- 37. Одним из источников данных, необходимых для проведения актуарных расчетов по страхованию жизни, являются таблицы продолжительности жизни. Эти таблицы составляются по данным о смертности населения и о его возрастном составе. В таблицах продолжительности жизни обычно считают, что существует некоторый предельный 100 120 ) и соответственно sx 0 возраст (как правило x ω . При описании при смертности аналитическими законами обычно считают, что время жизни неограниченно, однако подбирают вид и параметры законов так, чтобы вероятность жизни свыше некоторого возраста была ничтожно мала. Функция выживания имеет простой статистический смысл. Допустим, производится наблюдение за группой из l 0 новорожденных (как правило l0 100000 ) и имеется возможность фиксировать моменты их смерти. Обозначим число живых представителей этой группы в возрасте x через L x . Тогда lx EL x l0 s x . Таким образом, функция выживания доживших до возраста x из sx некоторой равна средней доле фиксированной группы новорожденных. В актуарной математике часто работают не с функцией выживания s x , а с величиной l x (зафиксировав начальный размер группы l 0 ). Кривая смертей В теории вероятностей непрерывную случайную величину удобнее описывать плотностью распределения f x . В актуарной математике график плотности продолжительности жизни f x s x (или, что практически то же, график функции l0 f x ) называют кривой смертей. Величина l0 f x имеет простой статистический смысл. Рассмотрим среднее число представителей исходной группы в l 0 новорожденных, 37
- 38. умерших в возрасте x лет. Эта величина обозначается d x и равна dx lx l x 1 . Тогда d x l0 f x . Функция выживания s x может быть восстановлена по плотности: sx , f u du x так что кривая смертей может быть использована в качестве первичной характеристики продолжительности жизни. Интенсивность смертности Величина x f x sx называется интенсивностью смертности. Для человека, дожившего до x лет, при малых t величина xt приближенно выражает вероятность смерти в интервале x, x t . Поскольку функция выживания s x может быть восстановлена по интенсивности смертности: sx μu du , exp x то интенсивность смертности может быть использована в качестве первичной характеристики продолжительности жизни. Макрохарактеристики продолжительности жизни С практической точки зрения важны следующие макрохарактеристики смертности: 1. среднее время жизни e0 ET xf x dx 0 s x dx , 0 2. дисперсия времени жизни DT ET 2 38 ET 2 ,
- 39. ET 2 где x 2 f x dx 2 xs x dx , 0 0 3. медиана времени жизни m 0 , которая определяется как корень уравнения 0,5 . sm Медиана времени жизни – это возраст, до которого доживает ровно половина представителей исходной группы новорожденных. Аналитические законы смертности Во многих случаях для упрощения расчетов, теоретического анализа и т.п. удобнее описать эмпирические функции выживания или интенсивности смертности с помощью аналитических законов аналитических является то, законов. что для Преимуществом них вероятностные характеристики продолжительности жизни можно быстро вычислять по небольшому числу параметров. А также использовать в случаях, когда доступные данные немногочисленны. Простейшее приближение было введено в 1729г. де Муавром, который предложил считать, что время жизни равномерно распределено на интервале 0, , где f x – предельный возраст. В модели де Муавра при 0 1 , F x x s x , 1 x , x x ω 1 x . Сравнение графиков этих функций с реальными графиками функции выживания s x , функции смертей f x , интенсивности смертности x показывает, что закон де Муавра является не очень хорошим приближением. Например, первая формула означает, что кривая смертей f x является горизонтальной линией, в то время как эмпирические данные указывают на пик в районе 80 лет. В модели, которую предложил в 1825г. Гомпертц, интенсивность смертности x приближается показательной функцией вида 39 x Be x , где
- 40. и 0 – некоторые параметры. Соответствующая функция B 0 выживания имеет вид sx exp Be x Bexp x B eαx 1 / а кривая смертей f x , 1/ . Мэйкхам в 1860 г. обобщил предыдущую модель, приблизив интенсивность смертности A Be αx . Постоянное функцией вида μx x слагаемое A позволяет учесть риски для жизни, связанные с несчастными случаями (которые мало зависят от возраста), в то время как слагаемое Be αx учитывает влияние возраста на смертность. В этой модели sx exp Ax B eαx 1 /α , A Be αx exp f x Ax B eαx 1 /α . Второй закон Мэйкхама, введенный в 1889 году, приближает интенсивность смертности функцией вида μx x A Hx Be αx . В этой модели sx f x exp A Hx Ax Hx 2 / 2 B eαx 1 /α , Be αx exp Ax Hx 2 / 2 B eαx 1 /α . Вейбулл в 1939 году предложил приближать интенсивность смертности x более простой степенной функцией вида μ x sx exp kxn 1 / n 1 , f x kxn . В этой модели kxn exp В модели Эрланга интенсивность смертности функцией вида x x ax a sx kxn 1 / n 1 . x приближается . В этой модели x a exp a x , a f x x exp a2 x . a 2.2. Остаточное время жизни Страховая компания имеет дело с конкретными людьми, дожившими до определенного возраста. Статистические свойства времени жизни таких 40
- 41. людей существенно отличаются от свойств времени жизни новорожденных. Если человек в возрасте x лет обратился в страховую компанию (в актуарной математике такого человека обозначают x ), то заведомо известно, что он дожил до x лет, и поэтому все случайные события, связанные с этим человеком, должны рассматриваться при условии, что T Для человека в возрасте x лет обычно x. рассматривают продолжительность жизни T , а остаточное время жизни Tx T не x. Распределение случайной величины T x – это условное распределение величины T x при условии, что T Fx t P Tx t F x t F x 1 F x x: PT x tT sx x sx t sx Px T PT lx lx t . lx Соответствующая функция выживания s x t x t x 1 Fx t определяется формулой sx t sx t , sx так что плотность случайной величины T x может быть найдена по формуле: fx t f x t , 1 F x 0 t . Интенсивность смертности, связанная с величиной T x , есть x t fx t Fx x f x t /s x s x t /s x f x t sx t x t. Это соотношение означает, что интенсивность смертности спустя время t для человека, которому сейчас x лет, равна интенсивности смертности в возрасте x t для новорожденного. Другими словами, интенсивность смертности в данном возрасте x t не зависит от уже прожитых лет. Основные величины, связанные с остаточным временем жизни Вероятность P Tx t (т.е. вероятность смерти человека возраста x в течение ближайших t лет) в актуарной математике обозначается t q x . Тогда 41
- 42. sx t qx sx t sx Дополнительная вероятность P Tx lx lx t . lx t (т.е. вероятность того, что человек в возрасте x лет проживет еще по меньшей мере t лет) в актуарной математике обозначается t p x : t px P Tx sx t sx t lx t . lx Случай t 1 играет особую практическую роль и встречается наиболее часто. Для него принято опускать передний индекс у переменных t q x и t p x . Таким образом, символ q x обозначает вероятность того, что человек в возрасте x лет умрет в течение ближайшего года, а символ p x обозначает вероятность того, что человек в возрасте x лет проживет еще по крайней мере один год. Тогда qx sx P Tx 1 sx 1 sx lx lx lx 1 , px P Tx 1 sx 1 sx lx 1 . lx С помощью вероятностей p x можно вычислить и более общие вероятности t p x : t px px px 1 px t 1. Рассмотрим теперь более общее событие, заключающееся в том, что человек возраста x проживет еще t лет, но умрет на протяжении последующих u лет, т.е. t Tx t u qx P t Tx t u . Его вероятность обозначается t u t u qx t qx sx t t u qx : sx t u . sx Случай u 1 представляет особый интерес для приложений к страхованию жизни. Как обычно соответствующий индекс принято опускать. Таким образом, t qx – это вероятность того, что человек в возрасте x лет проживет еще t лет, но умрет на протяжении следующего года. t qx sx t 42 sx t 1 . sx
- 43. Макрохарактеристики остаточного времени жизни Среднее значение остаточного времени жизни человека в возрасте x лет обозначается ETx и ex называется полной ожидаемой продолжительностью жизни: ex ETx P Tx 1 sx t dt 0 s u du . x Второй момент можно найти по формуле: 2 sx 2 E Tx ts x t dt . 0 Среднее остаточное время жизни можно выразить и через другие характеристики времени жизни. Для этого рассмотрим группу из l 0 новорожденных и обозначим через x суммарное число лет, прожитых представителями этой группы в возрасте x и более. Таким образом, если время жизни i-того представителя группы, T сумму x равен нулю. Если же T i i , меньше чем x , его вклад в x , то вклад в сумму равен T i x. Тогда E Среднее значение положительная x величины константа, lx e x . min Tx ,n , называют продолжительностью жизни и обозначают e x:n где n – частичной 1 sx некоторая средней x n s u du . x 2.3. Округленное время жизни Обычно люди ведут счет прожитых лет целыми годами, а страховые компании обычно заключают договоры страхования жизни на 1, 3, 5 и т.п. целое число лет. Поэтому естественно рассмотреть наряду с обычной продолжительностью жизни T x ее целую часть K x если, например, Tx Tx . Таким образом, 18 лет 9 месяцев = 18.75 лет, то K x 43 18 лет. Величина
- 44. K x называется округленной (урезанной) остаточной продолжительностью жизни. Следует подчеркнуть, что округление производится не до ближайшего целого, а всегда с недостатком (т.е. до ближайшего целого, меньшего, чем данное дробное число). В этом смысле английский термин curtate (―урезанная‖) точнее, чем принятый нами термин ―округленная‖. Распределение округленного времени жизни Поскольку случайная величина K x принимает только целые значения, ее стохастическая природа характеризуется (как это принято в теории вероятностей) не функцией распределения, а распределением, т.е. набором вероятностей P ( K x 0, 1, 2,… k) , k Так как событие {K x k } эквивалентно тому, что {k k 1}, верно Tx равенство: P( K x Вероятность P(k Tx k) P(k Tx k 1). k 1) в силу непрерывности случайной величины T x равна вероятности P(k Tx k 1) , которая была обозначена как k qx . Выразим распределение случайной величины K x в терминах функции выживания: P( K x k) s( x k ) s( x k 1) s ( x) lx lx k k 1 lx dx k lx и в терминах интенсивности смертности: x k P Kx k exp x k 1 u du exp x u du x Функция распределения округленного времени жизни K x достаточно просто связана с функцией распределения точного времени жизни T x . А именно, пусть t n , где 0 1 (так что n [t ] ). Тогда P Kx t P Kx n P Tx 44 n 1 P Tx t 1.
- 45. Ранее было рассмотрено остаточное время жизни T x и исходная случайная величина теории страхования – продолжительность жизни T . Однако поскольку T времени жизни K 0 T0 , то, в частности, распределение округленного [T ] может быть определено по формуле: P K0 k sk sk 1 lk lk dk l0 1 l0 или k P( K 0 k 1 k ) exp( u du) 0 Зависимость P ( K 0 u du) . exp( 0 k ) от k приближенно может быть описана с помощью f (k ) , где f (x) – плотность распределения случайной величины T . Таким образом, кривая смертей дает представление и о распределении округленного времени жизни. Среднее округленное время жизни и его дисперсия Математическое ожидание случайной величины Kx называется средней округленной продолжительностью жизни и обозначается e x : ex EK x . В соответствии с общей формулой для дискретной случайной величины ex kP( K x k ). k 1 Тогда e x в терминах функции выживания: ex 1 sx EK x sx k . k 1 Подобным же образом для второго момента E ( K x ) 2 , который необходим для расчета DK x , получим: E[ K x ]2 k 2 P( K x k 0 k) 1 (2k 1)s ( x k ) s ( x) k 1 45 2 ks( x k ) e x . s ( x) k 1
- 46. Более интересной является рекуррентная формула ex p x 1 ex 1 , откуда вытекает следующее соотношение, связывающее среднее округленное время жизни и вероятность смерти в течение ближайшего года: 1 ex 1 ex . 1 ex 1 qx Для доказательства этого соотношения прежде всего отметим, что ex EK x P( K x n) P(Tx n 1 n) . n 1 Но P (Tx n) n px px n 1 px 1 . Поэтому ex px n 1 px 1 px n 1 Сумма n px 1 n px p x (1 1 n 0 n p x 1 ). n 1 равна e x 1 . n 1 Итак, ex p x (1 e x 1 ), откуда: px ex 1 ex , 1 что равносильно доказываемому соотношению. 2.4. Таблицы продолжительности жизни Статистические данные о продолжительности жизни суммируются в таблицах продолжительности жизни, иногда их называют таблицами смертности. Простейшим видом таблиц являются таблицы, содержащие информацию о статистических свойствах времени жизни случайно выбранного человека, относительно которого известен только его возраст. Такие таблицы называют общими или упрощенными. Они позволяют получить общую приближенную картину смертности. Примером таких 46