2. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
! '() *+ $%, *(-$! . # # ' +$. ! -$ !
#$% $! $! % */$# !
(
. 0/ #
$! +*$! ) $'
*/-! -1 - -.2$.
(+- (*+$! (+#
*$+$. (! 3 1.
'/ ) (!4
.5+$ - / #/$-+$-( -1 - - . . ' - !/ .
$ ( */- $-(%.!1$# +#(++ 1(+ /
( -(
) 62 / 1+
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1+(-/#*( -1 - - !/ 1+# 1+( . - 6 - / $ / #
(8 $ # 6 ( ! 1+ 1(-+5
)
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$+! *9+) (! - / $ :1+! $ $.*
6 #$
$ / #
6 - 7) +(! +$. 2$ $ !+ #
! +*$ +'. 0/ $! $ #
$ ' +*(!
7) +(! +$. #
! +*(! 7) +(! +$.
! #! (!% ( (;!*$ *% / $ - 6
*$) #
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2$ 6
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$
!/;#( 3 *(! - 7)+(! +$.!%- (+)$ 0/ $ #$-$ 7)+( +$. . #(++!1( -$ / (
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4 ! . #( 3 *(
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$
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$
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$
$+$ -! $+/ $ / # ! /* $ .$ .*+$ = 1/- )1.$+#/$.0/
' 6 . ! +(*+$
. 7)+( +$. 0/ $!(# $. 2$.(+ ?:@ ! . -! $ 1(+ ? = @
$ ' :
#A$ / # !
6
!
);(. 1(+4
$
f : D ⊂ IR → IR
x → y= f ( x )
$); ! - 0/ ,B = ! / $
9 # :

3. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
$ 2 6
!/$.$# '+5 - / $ / #
#$ 6 ! - '+$ 1(+*$ # -
) $ 2+!$!
#/!* !% *+ (*+$!% #() ( $,/-$ 1$+$ (#$+ ) 3 #
( (+ +*(! 1+(;. $!
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$# $ 6 7)
C (, - $ ! -
!1( - (+- $-(+! , - $1.#$# ! 0/ (! 2 .*-
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6
#*/$+. !/! - ! ! :$#*$!
$ ) (
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$ 6 #$ 6 *$ .$+) (! / !
!*) $
- 3 #((+- $-(! +#*$ '/.
! $+! ; ) ! $. D
- ( $ +1+! *$#
6 - .
(!
1/ *(! = = #( !*
:% : */, .
$ - . / #
$ 6
y
x,f x
x
Figura 1.1. Gráfica de una función explícita
! #$ % '( ! ! )*
' )$ %$ ! ) $'
+$'%* %$-
,' *
'* ) % ' $'. . ) ) '( ! )! ) - %$- * '
) ' ) '( ! )! ) )* / )
.*
);$+'( .$ ., - -$ 1(+4
f: IR + → IR2
x → y t.q. y = x
1(+0/ .$ )$' - #$-$ ?:@ ( ! 7 #$ '7 !$ ., .$! )5' !
- :B !+ $ ,B ,BE

4. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
$! )5' ! - / $ / #6 ( * 1(+0/9 2 + -$-$! $ *+$29! - / $ .
,
)$*)5*#$ #( #+*$ ! %1(+ 3
)1. . !'/ * *$;. (;* -$ -
(% $ $% %
0/ +1+! *$ . ) - ( ! - *) 1+$*/+$ - / -16! - + *! !*$ *!
$! # *(
- * 1(% ! / $ / # +$.- 2$+ +$.
) 6 $;.
tiempo Temperatura
1 27
2 30
3 29
4 28
Tabla 1.1. Función definida de forma empírica
Temperatura
31
30
29
28
27
tiempo
2 3 4
Figura 1.2. Gráfica de la poligonal que une dichos puntos
$) ; . . - 1$+$ *(-(! . 7) +(! +$. 1(+4
9 $ , -$ (! !
1 − x2 si x ≤ 0
f ( x) = x si 0 x 1
x2 si x ≥ 1
! / $ / # 1/!*( 0/ $ #$-$ 7) +( +$. . A$# #(++!1( -+ / ( , !6. /
6 (
7) +( +$.

5. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
4
3 y 3 x2
2
y 1 1 x2 1
y2 x
2 1 1 2
1
2
3
Figura 1.3. Gráfica de una función definida a trozos
$ / #6 - -$ 1(+4
P ( x) = an x n + .... + a2 x 2 + a1 x + a0
! / $ - '+$-( $ / #6 +$#( $. ! / $ / #6
f ( x) = P( x) -( - P ( x) y Q( x) !( 1(. () (!
Q ( x)
$ +#*$ - #/$#6 , B # : F ; ! / 1(. () ( - '+$-(
/$ -( #BG%. +#*$ ! A(+( *$.=
$ ,B; /$ -( #B %. +#*$ ! 2+*#$.=
$ :B$
y
3
2
y b
x a
1
x
3 2 1 1 2 3
1
Figura 1.4. Gráfica de rectas horizontales y verticales

6. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
/$ -( ;BG% . +#*$! (;.#/$! 1$!$ 1(+.1/ *( =
$! G%G
y
3
# 1
# c 1
2
1
#
x
3 2 1 1 2 3
1
2
3
Figura 1.5. Gráfica de las rectas y=c x
/$ -( ;HG% . 1/ *(! - #(+* #( . 3 !+5
(! (! ! =G%; , =E;I#%G .2$. - #
(+
! . ) (% . +#*$! !( 1$+$. $! =
!) $! . #/$ -( ! (1/!*( !( 1+1 - $+!
#/.
y
12
10 b 10
c 2 8
6
4
2
c 2
x
4 2 2 4
b 1
2
Figura 1.6. Gráfica de rectas oblicuas con la misma pendiente

7. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
.2$.
(+- ; ! .) (% . +#*$! (;.#/$! ! #(+*$ .3
!) $!
y
6
c 0
4
b 2
2
c 0
x
4 2 2 4
2
4
Figura 1.7. Gráfica de rectas oblicuas, con el mismo punto de corte
( 29+* .(+ , ! 9*+ +!1#*( -.3
# ' ) #$! 4,B$ :
y
a 1 a 1
0 a 1
x
1 a 0
a 1 a 1
Figura 1.8. Gráfica de las parábolas y =a x2

8. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
( 29+* .(+ , ! 9*+ +!1#*( -.3 D 4:B$ ,
# ' ) #$!
y
3
1 a 0 0 a 1
2
a 1 a 1
1
a 1 a 1
x
4 2 2 4
1
2
3
Figura 1.9. Gráfica de las parábolas x =a y2
y
2
y a x2 y a x2
1
x
2 1 1 2
x a y2 1 x a y2
2
Figura 1.10. Gráfica de las parábolas con vértice en el origen

9. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
!1.
$$-$! -.(+ 4,B$ : F 1 6 :B$ , F 1
'
y a x2 y a x2
4 4
2 2
0 0
2 2
4 4
4 2 0 2 4 4 2 0 2 4
x a y2 x a y2
4 4
2 2
0 0
2 2
4 4
4 2 0 2 4 4 2 0 2 4
Figura 1.11. Gráfica de parábolas desplazadas del origen.
y
4
2
x
4 2 2 4
2
4
Figura 1.12. Vista conjunta de las parábolas desplazadas del origen.

10. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
$ / #
6 (* # #( :1( * 1(! 2( ! - . (+) $ y = x n
$. * $
y
n par
y x2
y x10 y x6
x
y x9 y x3
y x
n impar
Figura 1.13. Gráfica Función Potencial con exponente positivo
$ / #
6 (* # #( :1( * 1(! 2( ! - . (+) $ y =
$. * $ 1
( x - a)n
1
y
x a 10 1
n par y
x a2
y 0
n impar
1
1 y
y x a
x a9
x a
Figura 1.14. Gráfica Función Potencial con exponente negativo

11. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
$ / #6 :1( #$. y = a x ! !) 1+ 1(!*2$
1 x 1 x
3 4x 2x
2 4
2
1x
1
2 1 0 1 2
Figura 1.15. Gráfica de Funciones exponenciales:
('$+ *) #$ y = log a x
$ / #6 . ( :!* 1$+$ . 7) +(! +$. '$*2(!
(! !
4
2
a 1
y loga x
1 2 3 4
a 1
2
4
Figura 1.15. Gráfica de funciones logarítmicas

12. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
y = e f ( x)
/ #( ! :1( #$. - -$! x = 0
!
y x y x
y x2
x 0
Figura 1.16. Gráfica de algunas funciones exponenciales
/ #( ! :1( #$. ( - -$! x = 0
!
10
8
6
4
1 1
y x y x
2 y 1
10 5 5 10
Figura 1.17. Gráfica de algunas funciones exponenciales

13. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
1
0.5
3 2 5 3
2 2 2
0.5
1
Figura 1.18. Gráficas de las funciones Sin x y Cos x
4
3
2
1
0 3 2
1 2 2 2
2
3
4
Figura 1.19. Gráficas de la función tangente y de la cotangente

14. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
!1.$$) *(! !(;+ . 3 D4 #/$ -( $. 5 '/.( ! . !/)$ / $ #( !*$ *
1.0
Sin x
0.5
2 2
0.5
Sin
2
1.0
Figura 1.20. Gráfica de funciones: sen(x+a)
!1.$$) *(! !(;+ . 3 4 #/$ -( $ .$ / #6 ! . !/)$ / $ #( !*$ *
2 a cos x
1 cos x
a cos x
2 3 3 2
2 2 2 2
1
2
Figura 1.21. Gráfica de funciones y = a + cos x

15. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
)/.*1.#$)(! .$ / #6 1(+ / $ #( !*$ * $J .$ .( '*/- - ( -$ ! $)1. #$
=#/$ -( $K % .$ .( '*/- - ( -$ ! +-/# 1+( .$ +#/ #$ 1+)$ #
%
2$+$ *
2
2 Cos
1
Cosx
Cos
3 2
2
2 2 2
1
2
Figura 1.22. Gráfica de funciones a cos x
)/.*1.#$)(! . 5 '/.( 1(+ / $ #( !*$ * .$ +#/ #$ = . 1+(-( !
)/.*1.#$ 1(+ .$ #( !*$ *%1+( .$ .( '*/- - ( -$ ! .$ )!)$
1.0
Sin x
0.5 Sin 2x
2 2
Sin 3x
0.5
1.0
Figura 1.23. Gráfica de funciones sen ax

16. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
$ f :A⊂ → , g:B⊂ → -(! / # ! +$. -
( !
2$+ +$. 1/- - $! ! *! / # !4
$;. +. '/ (
- 1(+= F' : = F'= 8 () = F' ∩
-$ = B : : B
- 1(+= E' : = E'= 8 () = E' ∩
-$ = B : : B
- 1(+= ' : = '=: () = ' ∩
-$ = B : 8 B
- 1(+= I' : = I'= 8 () = I' ∩ EL:∈ *0 '= ≠GM
-$ = B : : B :
- 1(+= : = ]8 () = BL:∈ *0 =
-$ '( = B'N : '( :∈ M
$! #/$*+( 1+ +$! (1+$# ! !( . - () $-$! (1+$# ! $.
) ( $! ( ';+$
#$!
, *
. ) $! 1+(1
$! !) -$-! 0/ . !/) $ , . 1+(-/#*( -
$ 7) +(! +$.
!
=$!(# 2$%#( ) /*$* - ;/* - / $ +!1#*( - . (*+$%*# $ #() 1(! 6
$* 2$% !*+ 2$ $ #
- / # ! ( '($ - $. $! - !*$! 1+(1
( '/ -$-!81(+3 1. . #( ) /*$*
) ( $ 2$
$ / # 1/- *() $+ .) ( 2$. -+ *! 1/ *(! - !/ -()
6 !) (+ (
$! / # ! 1$+$ . 0/ 2$.
( $! (+! -+ *! ( 1/- * + . ) $ $' !
$ !) )
.$) $ ,#*
. 2$!
$ / #
6 f :D ⊂ → ! !
⇔ x1 ≠ x2 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) = ⇔ f ( x1 ) = f ( x2 ) x1 = x2
$ / #
6 =:B: % *() $ .) ( 2$. *$ *( :B# #() (
!) (+ :BE#%
1(+*$ *( !
.'( 1$+#-( 1$!$ #( .$ / #6 4

17. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
f ( x) = ( x - 3)( x - 5)
*() $ . 2$.(+ G ( !6.( 1$+$ :B ! ( *$) ;9 :BO
$ / #6 ,B = B:
: !*5 #. 0/ ! 7 . 7) +( #/,( #/;( !
$+( #(
P8! ) ;$+'( ( ! 7 . 7) +( #/,( #/$-+$-( !$ Q
#(
!*( (! -/# $ 1+'/ *$+ (! ! #( (# . $'
% -$ $ ) - . / #
$ 6
f :A⊂ →B⊂ % ! 1(! #( *+$+ / $ / #
;. 6 g:B ⊂ → A⊂ , -
-$
!(;+ . $' - , *0
$ ) ! -# g ( f ( x )) = x , ∀x ∈ A
+
$ +!1/!*$ ! #. -!1/9! - 2+ . 3 1. $ *+
$+$ (! ) (! (+!8 ' !+5 / # !
6
. / #
$ 6 ! ,#* !6. $! ! '$+$ * 0/ . $' - , ) - * ' !$ 7
2$% ( $ $ ) $ #$
f :A⊂ →B⊂ ! ,#*2$ *( #! :!* / $ / #6
g: B ⊂ IR → A ⊂ IR *0 g ( f ( x )) = x , ∀x ∈ A
. / #6 ' ! . - () $
$ $ , ! - (*$ 1(+ f -1 $
/ # 2+!$ 2+
6 #$4
f -1 ( f ( x ) = ( f -1 f )( x ) = x
$ '+5 - / $ / #
#$ 6 , . - !/ 2+!$ !(
$ ! 9*+ +!1#*( - .
) #$! $
;
!#*+ ,B:
y
y x
fx
1
f x
x
Figura 1.24. Gráfica de una función y su inversa

18. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
$ / #6 y = e x ! ,#*2$% ,$ 0/ !*5 - -$ 1$+$ #/$.
0/+
(+! 1(!*2(!% 1(+ *$ *( * 2+!$ y = ln x %
7) +( +$. , 0/ !6. *() $ 2$.
(
0/ !(. :!* 1$+$ . +$. 1(!*2(! , * #() ( ) $' #/$.
( (! ! 0/+ 7) +(
+$.
y
y x
x
y
1
x
1
y Lnx
Figura 1.25. Función Exponencial y su inversa
0 $ / #6 ,B = B:
: ( * 2+!$ 1+(1$) * -#A$
2
y x2
1 y x
2 1 1 2
1 y x
y x 2
Figura 1.26. Gráfica de la función y = x 2 y sus inversas

19. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
+!*+ ' (! . -() -
) ( $ . +$. 1(! 2(! . / #
(! ! * $ 6 y1 = x ! .
$
2+!$ - 8 1(+ (*+$ 1$+* ! +!*+ ' (! . -() - $ . +$. '$*
) ( (! ! 2(!
*( #! . / # y2 = − x ! *$) ; 2+!$ -
$ 6 9 !* #$!(%$ . 2+!$ -
$
% 0/ ( :
!* #*(% ! -# y1 = x y2 = − x !(
. ! * !*+
-( +
-
1 $! / #( ! 1+6-#$! !( 3 1. - / #( ! #/,$! 2+!$!
) (!
!( / #( ! 0/ 1/- * +) 5! - / $
(;!+2$) (! . '+5 #$ - . / #6 y = cos x % = '/+$
$ $ R !$#$) (! .
$!
!'/ *! #( #.
/!( !4
1
y cosx
0.5
2 3 3 2
2 2 2 2
0.5
1
Figura 1.27. Gráfica de la función coseno
$ ) $' - y = cos x !*5 . *+2$. NE % S0/ !+5 .-() ( - . / #6
( $
2+!$
$ / #6 ( ! ,#*2$%1(+*$ *(% ( :!* 2+!$ 1+(1$) * -#A$ .7 #(
*+2$. .0/ ( ! +1* . ) 5' ! ! NG% S% 0/ !+5 .$ )$' - .$
( $!
/ #6 y = arccos x
(-+ $ A$;+ )5! - / $ 2+!$ 1/!*( 0/ cos x = cos(- x)
? C @ (! 2 $ / ) !$3 #/$ -( ! /*.$
/ #( ! 2+!$!
$2!$ -( - 0/ ! 1(-+ $ 1+-+ !(./#( ! 0/+)(! !$;+ TU /9 2$.(+! -.
5 '/.( NE % S * 1(+ #(! ( V % .$ +!1/!*$ !+ $

20. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
(.2N N:SBB I %:S
Solve ::ifun : Inverse functions are being used by Solve , so some
solutions may not be found ; use Reduce for complete solution information . More…
x , x
3 3
) *+$! 0/ .$ '+5 #$ ! (;!+2$ #/$*+( 1(!;.! 2$.(+!
y arccos x
2
1
y cosx y cos x
1 1
2 2
1
y x
2 y arccos x
Figura 1.28. Gráfica de la función y = cos x y sus inversas

21. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
2 (;!+2$)(! .$ '/+$ Q% 2+)(! 0/ .$ / #6 y = sen x !
,#*2$ . *+2$.( [-π / 2, π / 2] % 0/ !+5 -( - :!* !/ 2+!$
2
y x
1 y arcsen x
4
0.5 y sen x
1 0.5 0.5 1
2 4 4 2
0.5
4
1
2
Figura 1.29. Gráfica de la función y=sen x y su inversa y = arcsen x
(;!+2$)(! .$ '/+$ G% .$ / #6 , B*' : ! ,#*2$ . *+2$.(
[-π / 2, π / 2] % 0/ !+5 -( - :!*$ !/ 2+!$%
y
y tg x y x
2
y arctg x
x
2 2
2
Figura 1.30. Gráfica de la función y=tg x y su inversa y = arctg x

22. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
:!* 2$+$! $) . - #/+2$!% 0/ $1$+#
$! +#/ *) * .
$!
$1.
#$#( ! -. 5. (% 0/ ( ! #(++!1( - :$#*$) * #( . '+5 #$ - / $
#/. $
/ #6 - / $ 2$+$;. 1+( 0/%;$3 #+*$! #( -#( !%! 1/- !+#( !-+$-$!
(
#() ( *$.
!
(+3 1. . #/$#6 x 2 + y 2 = 1 %0/ ! . #/$#6 - . #+#/ + #$ -
) (% $ $ $
# *+( = G, +$-( % ( ! #(++!1( -%:$#*$) * #( . '+5 #$ - / $ / #6 -
G% $
/ $ 2$+$;.
+( ! (! . *$) (! $ . +'6
) $ y 0 % $0/ ! 0/ ! #/) 1. 0/ 1$+$
#$-$ ?:@ A$, / 7 #( ?,@ *$.0/ .1$+= , ! !(.
:% /#6 - -#A$ #/$#6 ! -#+%
. #( 3 *( D = {( x, y) ∈ IR 2 t. q. y 0} . #/$#6
/ $ x 2 + y 2 = 1 - $ ?!3 #()(
/ #
6 )1.# - #$%8! -# 1$+$ #$-$ $ A$, / 7 ! 0/ !$* $# . #/$#
*$ +% #( ! $ 6
$ #/$#
6 - / $ #
+#/ + # - # *+( = ; , +$- + 2 -$-$ 1(+
$ $% (
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2 $ (+)$ )5! ' +$. - !#+ + . #/$#
; $ 6 - / $
+#/ + # !+ $ ax 2 + ay 2 + bx + cy + d = 0
# $
3
2
1
3 2 1 1 2 3
1
2
3
Figura 1.31. Familia de circunferencias concéntricas.

23. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
y
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
x
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Figura 1.32. Familia de circunferencias con el mismo radio.
$ #/$#6 - / $ .1! # *+$-$ . (+' , - !) 3 $ , ; 2 -$-$ 1(+
!
2
x y2
+ 2 =1 (! 1/ *(! - #(+* #( .(! 3
! D , !+5 =$%G , = %
G%;
a2 b
+!1#*2$) * /$ -( $B; .$ .1! ! #( 2+* / $ #+#/ + #$
y
4
a b
a b
2
a b x
4 2 2 4
2
4
Figura 1.33. Familia de elipses.

24. Cálculo Diferencial con “Mathemática”
$ A19+;(.$ * 1(+ #/$#6 y 2 − b2 x 2 = c +5 !) 9*+#$ +!1#*( - $) ;(!
3 , #(
! $! *(*$! y = ±b x .$! A19+;(.$! - #/$#6 x y = b % ! .$!
- () $ A19+;(.$! 0/.5*+$! , * 1(+$! *(*$! x = 0 e y = 0
y
4
y 2 x2 1
2 x2 y 2 1
x
4 2 2 4
xy 1 xy 1
2
4
Figura 1.34. Gráfica de algunas hipérbolas