Formula Inklusi-Eksklusi adalah Formula dimana : Memberi 1 bonus pada masing-masing siswa. Mencatat dalam kolom terpisah setiap data. Menempatkan -1 dipengumpulan ganjil dan 1 di pengumpulan genap. Jumlah setiap barisnya selain satu baris adalah nol (0) Jumlah setiap kolom menentukan hasilnya dengan cara masing-masing jumlah kolom di tambahkan. Jumlah setiap kolom menentukan hasilnya dengan cara masing-masing jumlah kolom di tambahkan.

1. Matematika Diskrit
Yayan Eryk Setiawan, S.Pd.
Bagian Ke-1

2. Dalam kelas ada 40 siswa, banyak siswa yang memiliki foto-foto
bintang rock (rock stars) favorit mereka.
18 siswa memiliki foto dari Beatles,
16 siswa memiliki foto dari Rolling Stones,
12 siswa memiliki foto dari Elvis Presley (ketika masih muda),
7 siswa memiliki kedua foto dari The Beatles dan Rolling Stones,
5 siswa memiliki kedua foto dari Beatles dan Elvis Presley,
3 siswa memiliki kedua foto dari Rolling Stones dan Elvis Presley.
2 siswa memiliki ketiga foto dari tiga kelompok.
Pertanyaan:
Berapa banyak siswa di kelas yang tidak
memiliki foto apapun dari kelompok rock?

3. Pertama, kita dapat mencoba untuk berdebat seperti ini:
Ada 40 siswa dalam kelas;
mereka yang memiliki foto Beatles = 18 orang,
mereka yang memiliki foto Rolling Stones = 16 orang,
dan mereka yang memiliki foto Elvis = 12 orang;
jadi kami mengambil 18 + 16 + 12.
Kami mendapatkan –6; (40 – 46 = –6)
(angka negatif berarti terjadi kesalahan dalam perhitungan)

4. Kami membuat kesalahan ketika jumlah mereka dikurangi
jumlah siswa yang mengumpulkan gambar dua kali dari dua
kelompok !
Sebagai contoh,
Mahasiswa yang memiliki The Beatles dan Elvis Presley
dikurangkan dengan Kolektor Beatles serta dengan kolektor
Elvis Presley.

5.  Untuk memperbaiki perhitungan kami, kita
harus menambahkan kembali jumlah para
siswa yang memiliki dua foto dari rock
stars.
 Dengan cara ini kita mendapatkan
40 - (18 + 16 + 12) + (7 + 5 + 3).

6. Kita tidak boleh membuat kesalahan yang sama lagi!
apa terjadi pada 2 siswa yang memiliki foto dari ketiga rock stars?
jadi kita harus mengurangi mereka sekali lagi! Dengan koreksi ini,
Hasil akhir kami adalah:
40 − (18 + 16 + 12) + (7 + 5 + 3) − 2 = 7. (2.2.1)
Kita tidak bisa menemukan kesalahan dalam rumus ini, melihat dari
segala arah. Tapi belajar dari pengalaman kami sebelumnya, kami
harus lebih berhati-hati: Kita harus memberikan bukti yang tepat!

7.  Misalkan seseorang mencatat data pemilik foto rock stars di
kelas dalam tabel, seperti Tabel 2.1 di bawah ini
 Setiap berkoresponden baris untuk satu siswa; kita tidak
mengurutkan semua kebawah semua 40 baris, hanya
sebuah tipical.
Name Bonus Beatles Stones Elvis BS BE SE BSE
Al
Bel
Cy
Di
Ed
.
.
1
1
1
1
1
0
-1
-1
-1
-1
0
0
-1
0
-1
0
0
0
-1
-1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-1
TABEL 2.1. Catatan dari siapa yang memiliki foto rock stars

8.  Tabel adalah sedikit konyol (tapi dengan alasan).
 Pertama, kami memberikan bonus 1 untuk setiap siswa.
 Kedua, kami mencatat dalam kolom terpisah apakah siswa adalah
mengumpulkan (katakanlah) baik Beatles dan Elvis Presley (kolom
berlabel BE), meskipun ini dibaca tidak ada hubungan dari kolom
sebelumnya.
 ketiga, kami menempatkan -1 di kolom pengumpulan gambar ganjil,
dan 1 di kolom pengumpulan genap.
Name Bonus Beatles Stones Elvis BS BE SE BSE
Al
Bel
Cy
Di
Ed
.
.
1
1
1
1
1
0
-1
-1
-1
-1
0
0
-1
0
-1
0
0
0
-1
-1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-1

9.  Kami menghitung jumlah total entri dalam tabel ini dalam
dua cara yang berbeda.
 Pertama, jumlah baris?
 Kami mendapatkan 1 untuk Al dan 0 untuk orang lain. Ini
bukan suatu kebetulan. Jika kita mempertimbangkan
seorang mahasiswa seperti Al, siapa yang tidak memiliki
gambar apapun, maka siswa ini memberikan kontribusi
untuk kolom bonus, tapi tempat lain, yang berarti bahwa
jumlah pada baris siswa ini adalah 1.
 Selanjutnya, pertimbangkan Ed, yang memiliki semua 3
gambar. Dia memiliki 1 di kolom bonus; dalam 3 kolom
berikutnya ia memiliki 3 yang -1. dan 3 kolom berikutnya
ia memiliki 1, satu untuk setiap pasangan gambar

10.  untuk memikirkan 3 lebih baik sebagai
3
2
.
 Barisnya berakhir dengan
3
3
-1, dengan
3
3
= 1,
 Tetapi dalam menulis cara ini, ide umum dapat melihat lebih
baik. Jadi jumlah baris adalah
1 -
1
1
= 0 Untuk Bel (1 gambar)
1 -
2
1
+
2
2
= 0 untuk Cy dan Di (2 gambar)
1 -
3
1
+
3
2
-
3
3
= 0 untuk Ed (3 gambar)

11.  Jika kita pindahkan istilah negatif ke sisi lain dari
persamaan ini, kita mendapatkan sebuah persamaan
dengan makna kombinatorial : Sebagai contoh,
3
0
-
3
1
+
3
2
-
3
3
= 0
Diperoleh :
3
0
+
3
2
=
3
1
+
3
3

12.  Karena jumlah baris adalah 0 untuk semua siswa yang
memiliki gambar apapun grup musik, dan itu adalah 1 untuk
mereka yang tidak memiliki gambar sama sekali, jumlah
semua 40 jumlah baris memberikan jumlah para pelajar yang
tidak memiliki gambar persis sama sekali. Di sisi lain, jumlah
kolom?
 Dalam "bonus" kolom, kami memiliki 40 kali +1;
 Di kolom "Beatles", kami memiliki 18 kali -1;
 Di kolom “Stones”, kami memiliki 16 kali -1
 Di kolom “Elvis”, kami memiliki 12 kali -1
 Di kolom “BS”, kami mendapatkan 7 kali +1
 Di kolom “BE”, kami mendapatkan 5 kali +1
 Di kolom “SE” kami mendapatkan 3 kali +1
 Di kolom “BSE” kami mendapatkan 2 kali -1

13.  Dalam "bonus" kolom, kami memiliki 40 kali +1 = 40
 Di kolom "Beatles", kami memiliki 18 kali -1 = -18
 Di kolom “Stones”, kami memiliki 16 kali -1 = -16
 Di kolom “Elvis”, kami memiliki 12 kali -1 = -12
 Di kolom “BS”, kami mendapatkan 7 kali +1 = 7
 Di kolom “BE”, kami mendapatkan 5 kali +1 = 5
 Di kolom “SE” kami mendapatkan 3 kali +1 = 3
 Di kolom “BSE” kami mendapatkan 2 kali -1 = -2
Sehingga diperoleh :
40 – 18 – 16 – 12 + 7 + 5 + 3 – 2 = 7
Hal ini sama dengan (2.2.1) di atas.

14. Formula ini disebut Formula Inklusi-Eksklusi
atau Formula saringan.
Asal usul nama pertama jelas;
kedua mengacu pada gambar yang kita mulai
dengan satu himpunan objek yang besar dan
kemudian "saringan keluar" benda-benda yang tidak
ingin kita hitung.
Kita bisa memperpanjang metode ini
jika siswa mengumpulkan 4 atau 5
gambar, atau sejumlah grup rock
bukan 3. Daripada menyatakan
sebuah Teorema umum (yang akan
panjang).

15. Kesimpulannya
Formula Inklusi-Eksklusi adalah Formula dimana :
 Memberi 1 bonus pada masing-masing siswa.
 Mencatat dalam kolom terpisah setiap data.
 Menempatkan -1 dipengumpulan ganjil dan 1 di
pengumpulan genap.
 Jumlah setiap barisnya selain satu baris adalah nol (0)
Jumlah setiap kolom menentukan
hasilnya dengan cara masing-
masing jumlah kolom di
tambahkan.

16.  Dalam sebuah kelas semua adalah anak laki-laki,
 18 suka bermain catur,
 23 suka bermain sepak bola,
 21 suka bersepeda
 17 suka mendaki.
 12 suka bersepeda dan mendaki.
 9 suka bermain catur dan sepak bola.
 7 suka bermain catur dan bersepeda,
 6 suka bermain catur dan mendaki,
 12 suka bermain sepak bola dan bersepeda,
 9 suka bermain sepak bola dan mendaki,
 12 suka bersepeda dan mendaki.
Latihan 2.3.1

17.  4 anak laki-laki yang suka catur, sepak bola, dan bersepeda,
 3 yang suka catur, sepak bola, dan hiking,
 5 yang suka catur, bersepeda, dan hiking,
 7 yang suka sepak bola, bersepeda, dan hiking.
 3 anak laki-laki yang seperti semua empat kegiatan.
Pertanyaan :
Selain itu kita tahu bahwa semua orang
suka setidaknya satu dari kegiatan ini.
Berapa banyak anak laki-laki yang ada
di kelas?