Downloaded 140 times
![8
Egin eragiketa hauek.
a) 6 + (−4 + 2) − (−3 − 1) e) 10 − (8 − 7) + (−9 − 3)
b) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) f) 1 − (2 − 3) + (−4 − 5)
c) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) g) −1 − (−1 + 2 − 5 + 4)
d) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9) h) 3 + (5 − 9) − (7 − 5 − 7)
a) 6 + (−4 + 2) − (−3 − 1) = 6 + (−2) − (−4) = 8
b) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) = 7 − (+1) + (−3) = 3
c) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) = 3 + (−1) − (−11) = 13
d) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9) = −8 + (+5) + (−16) = −19
e) 10 − (8 − 7) + (−9 − 3) = 10 − (+1) + (−12) = −3
f) 1 − (2 − 3) + (−4 − 5) = 1 − (−1) + (−9) = −7
g) −1 − (−1 + 2 − 5 + 4) = −1 − (0) = −1
h) 3 + (5 − 9) − (7 − 5 − 7) = 3 + (−4) − (−5) = 4
Kalkulatu adierazpenen balioak.
a) 8 + 7 − 6 + 5 − 11 + 2 d) 100 − 22 ⋅ 5
b) (−12) ⋅ 7 : 3 e) (−26) : 2 − 6 : 3 + 4
c) 9 − 12 : 4 f) 15 ⋅ (−9) − 7 ⋅ (−6) : 2
a) 8 + 7 − 6 + 5 − 11 + 2 = 5
b) (−12) ⋅ 7 : 3 = −28
c) 9 − 12 : 4 = 6
d) 100 − 22 ⋅ 5 = −10
e) (−26) : 2 − 6 : 3 + 4 = −13 − 2 + 4 = −11
f) 15 ⋅ (−9) − 7 ⋅ (−6) : 2 = −135 + 21 = −114
Egin eragiketak.
a) (−4) − (−6) : (+3)
b) (+5) : (−5) − (−7) ⋅ (+2)
c) (−11) − (+3) ⋅ (−4) : (−6) − (−9)
d) (−18) − [(+4) + (−6)] : (+2) + (+5)
e) (−5) − (−9) − (+4) ⋅ (−3) : (−2) : (−6)
f) (+3) − (+6) : (+2) ⋅ (−3) : [(−2) + (−1)]
a) (−4) − (−6) : (+3) = (−4) − (−2) = −2
b) (+5) : (−5) − (−7) ⋅ (+2) = −1 − (−14) = 13
c) (−11) − (+3) ⋅ (−4) : (−6) − (−9) = (−11) − (+2) − (−9) = −4
d) (−18) − [(+4) + (−6)] : (+2) + (+5) = (−18) − (−1) + (+5) = −12
e) (−5) − (−9) − (+4) ⋅ (−3) : (−2) : (−6) = (−5) − (−9) − (−1) = 5
f) (+3) − (+6) : (+2) ⋅ (−3) : [(−2) + (−1)] = (+3) − (−3) = 0
027
026
025
Berrikusketa
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 8](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-8-320.jpg)
![Kalkulatu.
a) (3 + 2) ⋅ (3 − 1 + 4) − 2 ⋅ (2 ⋅ 3)
b) [(15 − 16 + 2) ⋅ (−1) + 9] ⋅ 7
c) 2 ⋅ [−2 − 2 − (2 − 2 − 2)]
d) [2 + 3 − (6 + 5)] − [(4 ⋅ 2) ⋅ (−3 ⋅ 6) + 1]
a) (3 + 2) ⋅ (3 − 1 + 4) − 2 ⋅ (2 ⋅ 3) = 30 − 12 = 18
b) [(15 − 16 + 2) ⋅ (−1) + 9] ⋅ 7 = [(−1) + 9] ⋅ 7 = 56
c) 2 ⋅ [−2 − 2 − (2 − 2 − 2)] = 2 ⋅ (−2) = −4
d) [2 + 3 − (6 + 5)] − [(4 ⋅ 2) ⋅ (−3 ⋅ 6) + 1] = (−6) − (−143) = 137
Bete hutsuneak, berdintzak zuzenak izan daitezen.
a) (−6) ⋅ [(−1) + ] = −18 c) 3 − [ ⋅ 5] = 18
b) 8 ⋅ [4 − ] = 32 d) 1 + [3 : ] = −2
a) 4 b) 0 c) −3 d) −1
Adierazi arrazoi banaren bidez.
a) Testaren 55 galderetatik 36 asmatu ditut.
b) 68 arrautza genituen eta 12 hautsi dira.
c) Lehen txandan 94 ikaslek bazkaltzen dute, eta bigarrenean, 65ek.
d) Fruitu-denda batean, 7 kutxa tomate eta 3 kutxa piper daude.
a) b) c) d)
Ikastetxeko jangelan, 3 ogi jartzen dituzte 8 ikasleko. Gaur
124 ikaslek bazkaldu dugu eta 50 ogi jarri dituzte. Eutsi al diote
proportzioari?
eta arrazoiek proportzioa osatzen duten ala ez aztertuko dugu.
3 ⋅ 124 8 ⋅ 50
Beraz, ez diote eutsi proportzioari.
Bereizi zer arrazoik osatzen duten proportzioa.
a) b) c)
a) Proportzioa osatzen dutenak: .
b) Proportzioa osatzen dutenak: .
c) Proportzioa osatzen dutenak: .
7 5
3
10
4
,
=
10
2
50
10
=
2
1
6
3
=
7 5
3
4
6
3
2
10
4
,
, , ,
10
2
50
10
30
8
20
5
, , ,
2
1
8
2
6
3
9
5
, , ,
032
50
124
3
8
031
3
7
65
94
12
68
36
55
030
029
028
9
0ERANTZUNAK
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 9](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-9-320.jpg)
![47
2
Esan zuzena ala okerra den.
a) Berretzaile negatiboko berreketak beti dira positiboak.
b) 0 berretzaileko berreketak beti dira positiboak.
a) Okerra, berretzailea bikoitia bada soilik izango da positiboa.
b) Zuzena, 1 da beti.
Nola kalkulatuko zenuke (0,2)−3
?
Kalkulatu.
a) (8 ⋅ 4)3
d) [6 ⋅ 5]−2
b) [(−1) ⋅ (−4)]3
e) [(−3) ⋅ 5]−2
c) f)
a) 83
⋅ 43
= 512 ⋅ 64 = 32.768 d)
b) (−1)3
⋅ (−4)3
= (−1) ⋅ (−64) = 64 e)
c) f)
Ebatzi:
a) b)
a)
b) (−6)5
= 65
= 7.776
Esan desberdintza hauetatik zein den zuzena.
a) b)
a) Zuzena da: .
b) Okerra da: .[ ( )]2 1 2 164 4
⋅ − = = >
1
2
1
2
1
8
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= <
1
4
[ ( )]2 1
1
2
4
⋅ − <
1
2
1
4
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
<
009
14
3
14
3
5 5
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= =
537.824
243
3
5
10
2
⋅ −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
( )2
7
3
5
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
008
3
5
2
2
=
9
25
4
5
3
3
=
64
125
1
3 5
1
9 25
1
2252 2
( )− ⋅
=
⋅
=
1
6 5
1
36 25
1
9002 2
⋅
=
⋅
=
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
5
3
2
4
5
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
007
0 2
1
5
0 2
1
5
5 125
3
3
3
, ,= ( ) =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= =
−
−
→
006
005
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 47](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-47-320.jpg)
![48
Adierazi berreketa bakar baten bidez.
a) 54
⋅ 56
e) [22
]3
b) (−9)6
: (−9)2
f) [(−2)2
]3
c) g)
d) h)
a) 54+6
= 510
e) 22⋅3
= 26
b) (−9)6−2
= 94
f) (−2)2⋅3
= 26
c) g)
d) h)
Sinplifikatu berreketen eragiketa hauek.
a) (43
⋅ 42
)3
d) (711
: 75
)2
b) [(−5)3
: (−5)2
]2
e) (72
⋅ 94
)2
c) [(4,2)4
⋅ (4,2)3
]4
f) [(−3)5
⋅ 45
]2
a) 4(3+2)⋅3
= 415
d) 7(11−5)⋅2
= 712
b) (−5)(3−2)⋅2
= 52
e) 74
⋅ 98
c) (4,2)(4+3)⋅4
= (4,2)28
f) 310
⋅ 410
Adierazi berreketa bakar baten bidez.
a) 25
⋅ 43
b) (3−5
⋅ 93
)−2
a) 25
⋅ 43
= 25
⋅ 26
= 211
b) (3−5
⋅ 93
)−2
= (3−5
⋅ 36
)−2
= 3−2
Idatzi, idazkera zientifikoa erabiliz.
a) 493.000.000 c) 0,0004464 e) 253
b) 315.000.000.000 d) 12,00056 f) 256,256
a) 4,93 ⋅ 108
c) 4,464 ⋅ 10−4
e) 2,53 ⋅ 102
b) 3,15 ⋅ 1011
d) 1,200056 ⋅ 101
f) 2,56256 ⋅ 102
Idatzi idazkera zientifikoz emandako zenbaki hauek, zifra guzti-guztiak
jarriz.
a) 2,51 ⋅ 106
b) 9,32 ⋅ 10−8
c) 3,76 ⋅ 1012
a) 2.510.000 b) 0,0000000932 c) 3.760.000.000.000
014
013
012
011
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
−
4
3
4
3
1
3 3 0
3
5
3
5
4 2 8
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
·
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
+
4
3
4
3
3 3 6
5
6
5
6
10 6 4
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
4
3
4
3
3 3
:
3
5
4
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
4
3
4
3
3 3
5
6
5
6
10 6
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
:
010
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 48](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-48-320.jpg)
![52
Adierazi zenbakia, bai modu zehatzean, bai hamarrenetara hurbilduta.
Erabili 1 cm eta 2 cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzena.
Zer zenbakiren adierazpena da irudi hau?
OP2
= 22
+ 22
= 4 + 4 = 8 → OP =
Adierazi grafikoki modu zehatzean. Nola egin duzu?
Ardatz horizontalean 3 bateko hartu behar
dira, eta bertikalean, 2.
Hipotenusaren luzera:
Adierazi grafikoki tarte hauek.
a) [1, 4] b) (2, 5) c) (3, 6] d) [3, 7)
a)
b)
c)
d)
Zer tarteren adierazpena da hau?
(−7, −1) tartearena.
Zer zenbaki hartzen ditu (-1, 4] tarteak?
a) 0 b) 3,98 c) d) −0,3
)
Zenbaki guztiak tartekoak dira.
2
032
−7 −1
031
3 7
3 6
2 5
1 4
030
3 2 132 2
+ =
13
13
2
2 310
13029
82
210
P
028
5 2 236067= …,
5027
Zenbaki errealak
0
2,2 2,4 2,7
1 2
1
5
5
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 52](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-52-320.jpg)
![53
2
Zenbat puntu daude [1, 2] tartean? Eta [1,1; 1,2] tartean? Eta [1,11; 1,12]
tartean?
Hutsa ez den edozein tartetan infinitu puntu daude.
ARIKETAK
Idatzi biderketa hauek berreketa gisa eta kalkulatu emaitzak.
a) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2
b) (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5)
c)
a) 24
= 16
b) (−5)6
= 15.625
c)
Adierazi behekoak biderketa gisa eta kalkulatu emaitzak.
a) (−3)4
c) 56
e) (2,5)3
b) d) f) (−2,3)4
a) (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = 81
b)
c) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 15.625
d)
e) (2,5) ⋅ (2,5) ⋅ (2,5) = 15,625
f) (−2,3) ⋅ (−2,3) ⋅ (−2,3) ⋅ (−2,3) = 27,9841
Idatzi adierazpen hauek berreketa gisa, ahal bada.
a) 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 e) (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−2) ⋅ (−3)
b) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 f) (6 + 6 + 6 + 6) ⋅ 6
c) 4 ⋅ 4 ⋅ 4 + 4 g) 23 + 23 + 23 + 23
d) 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 5 h) 5 + 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5
a) 95
e) 63
b) Ezin da. f) Ezin da.
c) Ezin da. g) Ezin da.
d) Ezin da. h) Ezin da.
036
●●
10
3
10
3
100
9
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
2
1
2
1
2 ⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
1
2
1
2
1
2
⎟⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= −
1
2
1
128
10
3
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1
2
7
035
●
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
−2
5
8
125
3
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
2
5
2
5
2
5 ⎟⎟
034
●
033
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 53](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-53-320.jpg)
![57
2
Adierazi emaitzak, berreketa bakar baten bidez.
a) (33
⋅ 34
⋅ 38
) : 39
b) (−2)4
⋅ (−2)6
⋅ (−2)5
c) (−7)8
: (−7)4
⋅ (−7)2
d)
e)
f) (−5)8
: [(−5)3
: (−5)3
]
g) [69
⋅ 65
] : [64
⋅ 62
]
a) 36
b) (−2)15 e)
c) (−7)6
= 76
f) (−5)8
d)
g) 68
Ebatzi adierazpen hauek, berreketen propietateak aplikatuz.
a) 74
⋅ 34
= 2.401 ⋅ 81 = 194.481
b) (−5)5
⋅ 35
= −3.125 ⋅ 243 = −759.375
c)
d) (−8)3
: 53
= −512 : 125
e)
f)
g) (−6)18
h) (0,3)6
i) (−0,5)30
j) −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
3
6
5
4
6
7
3
4
5 5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= −:
55 5
5 5
5
5
3
6 7
2
7
⋅
⋅
= −
( )
( )
016
3
0 0256
9
2
2
, ,
−
=
64
27
512
216
4 096
729
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= −
.
050
●●
5
2
1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1
9
1
9
2 2
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
−1
9
1
9
2 3
:
11
9
1
9
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
:
5
2
5
2
5
2
4 3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
:
66
049
●●
ERANTZUNAK
a) (7 ⋅ 3)4
b) [(−5) ⋅ 3]5
c)
d) [(−8) : 5]3
e) [(0,16) : (−3)]2
f)
g) (−6)2
⋅ (−6)4
⋅ (−6)12
h) (0,3)2
⋅ (0,3)4
i) (−0,5)6
⋅ (−0,5)13
⋅ (−0,5)11
j) −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
3
6
3
6
3 2
4
6
7
3
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
:
4
3
8
6
3
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 57](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-57-320.jpg)
![59
2
Ebatzi eragiketa hauek.
a) 25
b) 2−6
⋅ 2−4
= 2−10
c) (−3)−3
d) (−3)8
: (−3)5
= (−3)3
e)
f)
g) 33
h) (−5)11
i) (−6)−15
⋅ (−6)−20
= (−6)−35
Adierazi eta zuzendu berdintza hauen akatsak.
a) 32
+ 33
+ 35
= 32+3+5
= 310
b) 32
⋅ 33
− 35
= 32+3
− 35
= 35
− 35
= 30
= 1
c) 49
: 42
⋅ 44
= 49
: 42+4
= 49
: 46
= 49−6
= 43
d) (−2)6
⋅ (−2)3
= [(−2) ⋅ (−2)]6+3
= 49
e) −32
⋅ 32
= (−3)2+2
= (−3)4
= 34
f) 2 ⋅ (−3)2
= [2 ⋅ (−3)]2
= (−6)2
= 62
g) 85
⋅ 87
= (8 + 8)5+7
= 1612
h) 31
⋅ 30
= 31⋅0
= 30
= 1
a) 32
⋅ 33
⋅ 35
= 32+3+5
= 310
b) 32
⋅ 33
− 35
= 32+3
− 35
= 35
− 35
= 0
c) 49
: 42
⋅ 44
= 49−2
⋅ 44
= 47
⋅ 44
= 47+4
= 411
d) (−2)6
⋅ (−2)3
= (−2)6+3
= (−2)9
e) −32
⋅ 32
= −32+2
= −34
f) 2 ⋅ (−3)2
g) 85
⋅ 87
= 812
h) 31
⋅ 30
= 31+0
= 31
056
●●
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟
− −
1
4
1
4
1
4
6 6
: ⎟⎟⎟⎟
=
0
1
1
3
9
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
055
●●
ERANTZUNAK
a) 24
⋅ 2−2
⋅ 23
b) (2−2
)3
⋅ 2−4
c) (−3)−5
: (−3)2
⋅ (−3)4
d) [(−3)−2
]−4
: (−3)5
e)
f)
g) 3−6
: 3−7
⋅ 32
h) (−5)8
: (−5)−2
: (−5)−1
i) [(−6)3
]−5
⋅ [(−6)−5
]4
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
−
−
1
4
1
4
6 2
:
33
1
3
1
3
1
3
2 5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
−
:
⎟⎟
−6
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 59](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-59-320.jpg)
![60
Argudiatu berdintza hauek zuzenak diren ala ez.
a) 9−1
= −9
b) (−2)−4
= 24
c) (−3)−6
= 3−6
d) (−3)−3
= (−3)−2
⋅ 3−1
e) 4−3
= (−4)−1
⋅ (−4)4
f) (2−5
)−1
= 2−6
a) Okerra: .
b) Okerra: .
c) Zuzena: .
d) Okerra: (−3)3
= (−3)2
⋅ (−3)−1
(−3)2
⋅ 3−1
.
e) Okerra: (−4)−1
⋅ (−4)4
= (−4)3
4−3
.
f) Okerra: (2−5
)−1
= 25
.
Adierazi berreketa bakar baten bidez.
a) (23
)4
b) [(−3)3
]2
c) [−64
]3
d)
e)
f) [−52
]4
a) 212
c) −612
e)
b) (−3)6
d) f) 58
Kalkulatu berreketa hauen balioak.
a) [(−3)2
]2
⋅ [(−3)3
]3
b) [(5)8
]2
: [(−5)4
]3
a) (−3)4
⋅ (−3)9
= (−3)13
= 1.594.323
b) 516
: (−5)12
= 516
: 512
= 54
= 625
059
●●
1
3
8
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
3
5
15
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
3
5
3
5
1
3
2
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
058
●
( )
( )
− =
−
= =− −
3
1
3
1
3
36
6 6
6
( )− = =− −
2 2
1
2
4 4
4
9
1
9
1−
=
057
●●
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 60](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-60-320.jpg)
![61
2
Ebatzi.
a) (−2)−4
⋅ [(−2)2
]3
e) −2−3
⋅ (−2−4
)
b) 34
⋅ [(−3)2
]−2
f) (−26
) ⋅ (−2−6
)
c) (−8)3
⋅ 2−4
g) (−3)4
⋅ (−34
)
d) (−2)−3
⋅ 2−3
h) 4−3
⋅ 2−2
a) (−2)−4
⋅ (−2)6
= (−2)2
e) 2−7
b) 34
⋅ 3−4
= 30
= 1 f) 20
= 1
c) (−2)9
⋅ 2−4
= (−2)5
g) −38
d) −2−3
⋅ 2−3
= −2−6
h) 2−6
⋅ 2−2
= 2−8
Osatu berdintza hauek.
a) [(−5)3
] : (−5)7
= (−5)5
c) [73
]5
: 7 = 1
b) [ 2
]5
⋅ 4
= (−3)14
d) 119
⋅ [112
]3
= 11
a) [(−5)3
]4
: (−5)7
= (−5)5
b) [(−3)2
]5
⋅ (−3)4
= (−3)14
c) [73
]5
: 715
= 1
d) 119
⋅ [112
]3
= 1115
Sinplifikatu berreketen biderketa hauek.
a) 54
⋅ 253
e) −123
⋅ 185
b) 84
⋅ 162
f) (−63)5
⋅ 212
c) 63
⋅ 125
g) −723
⋅ (−4)7
d) 47
⋅ 32 h) 322
⋅ (−24)3
a) 54
⋅ 56
= 510
e) −26
⋅ 33
⋅ 25
⋅ 310
= −211
⋅ 313
b) 212
⋅ 28
= 220
f) −310
⋅ 75
⋅ 32
⋅ 72
= −312
⋅ 77
c) 23
⋅ 33
⋅ 210
⋅ 35
= 213
⋅ 38
g) −36
⋅ 29
⋅ (−214
) = 36
⋅ 223
d) 214
⋅ 25
= 219
h) 210
⋅ (−2)9
⋅ 33
= (−2)19
⋅ 33
063
●●●
EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA BERREKETEN BIDERKETAK, BERREKIZUNEK BIDERKAGAI BERAK
DITUZTENEAN?
Ebatzi 162
⋅ 32−2
.
LEHENA. Biderkagai lehenetan deskonposatzen dira.
162
⋅ 32−2
= (24
)2
⋅ (25
)−2
BIGARRENA. Eragiketak egiten dira: berreketen berreketa eta berrekizun bereko
berreketen biderketa.
(24
)2
⋅ (25
)−2
= 28
⋅ 2−10
= 2(8−10)
= 2−2
062
061
●●
060
●
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 28/9/07 12:58 Página 61](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-61-320.jpg)
![62
Kalkulatu eta adierazi emaitzak berreketa bakar baten bidez.
a) (52
⋅ 252
)3
c) ((−2)12
)3
⋅ 85
e) ((3)12
)3
⋅ ((−27)5
)2
b) (92
: (−27)4
)4
d) (63
⋅ 362
)6
f) (162
: 643
)5
⋅ 44
a) (56
)3
= 518
d) (67
)6
= 642
b) (−34
: 312
)4
= 3−32
e) 336
⋅ 330
= 366
c) 236
⋅ 215
= 241
f) (44
: 49
)5
⋅ 44
= 4−25
⋅ 44
= 4−21
Egin berreketen eragiketa hauek eta sinplifikatu lortutako emaitzak ahal duzun
gehiena.
a) 4012
: ((−4)6
)−6
b) (−45)15
⋅ ((−15)3
)−6
c) (92
: 274
)−4
⋅ (6−3
⋅ 36−2
)
d)
a) 512
⋅ 236
: 2−72
= 512
⋅ 2108
b) −330
⋅ 515
⋅ 3−18
⋅ 5−18
= −312
⋅ 5−3
c) (3−8
)−4
⋅ (2−7
⋅ 3−7
) = 2−7
⋅ 3−39
d) [1−3
: (−2 ⋅ 3)]−1
= −2 ⋅ 3
Adierazi eragiketa hauen emaitzak 10 berrekizuneko berreketa gisa.
a) 0,000000001 ⋅ 1.000.000 c) 0,00000000001 : 1.000.000.000
b) 0,0000000010 ⋅ 10.000.000 d) 0,000001 : 1.000
a) 10−3
b) 10−2
c) 10−20
d) 10−9
Adierazi idazkera zientifikoan.
a) Hiru bilioi eta erdi. c) Hamar milioiren.
b) Berrehun milaren. d) Ehun mila milioi eta erdi.
a) 3,5 ⋅ 1012
b) 2 ⋅ 10−1
c) 1 ⋅ 10−5
d) 1,000005 ⋅ 1011
Idatzi, zifra guztiak jarriz, idazkera zientifikoan adierazitako zenbaki hauek.
a) 3,432 ⋅ 104
c) 3,124 ⋅ 10−7
b) 1,3232 ⋅ 10−3
d) 5,3732 ⋅ 107
a) 34.320 c) 0,0000003124
b) 0,0013232 d) 53.732.000
Eragiketak aurrez egin gabe, jakingo al zenuke esaten eragiketa hauen
emaitzak zer magnitude-ordenatakoak diren?
a) 6,3 ⋅ 102
+ 4,5 ⋅ 102
c) (2,6 ⋅ 103
) ⋅ (3,1 ⋅ 104
)
b) 7,7 ⋅ 104
− 7,2 ⋅ 104
d) (5 ⋅ 107
) : (2,5 ⋅ 106
)
a) 3 b) 3 c) 7 d) 1
069
●●
068
●
067
●
066
●
3
4
4
3
3
2
4
3
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤−
: ( )
⎦⎦
⎥
⎥
⎥
−1
065
●●●
064
●●●
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 62](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-62-320.jpg)
![69
2
Adierazi grafikoki tarte hauek.
a) [−2, 3] c) (−5, 1]
b) (−1, 0) d) [6, 9)
a) c)
b) d)
Zer tarte daude hemen adierazita?
[−5, 1) eta (−2, 4).
Adierazi zuzen errealean tarte hauek, eta seinalatu aldi berean lau tarteetakoak
diren bi zenbaki.
a) [1, 5] b) (4, 6] c) (3,5; 9) d) [0, 6)
a) c)
b) d)
Lau tarteetakoak diren zenbakiak: 5 eta 4,5.
Behatu adibideari eta adierazi tarte bakoitza, desberdintzak erabiliz.
(2, 5] honen baliokide da: 2 < x ≤ 5
a) [−1, 2] c) [0, π] e) (11, 15]
b) (1, 5) d) (6, 7) f) [0, 11)
a) −1 ≤ x ≤ 2 c) 0 ≤ x ≤ π e) 11 < x ≤ 15
b) 1 < x < 5 d) 6 < x < 7 f) 0 ≤ x < 11
Idatzi −0,8
)
zenbakia barnean duten bi tarte.
[−5, 0) eta (−0,9; −0,8)
Tarte hauetatik zein erabiliko zenuke −3 baino handiagoak eta 5 edo txikiagoak
diren zenbaki errealen multzoa adierazteko?
a) (−3, 5) b) [−3, 5) c) (−3, 5] d) [−3, 5]
c) aukera: (−3, 5].
Adierazi berreketa gisa aitona-amonak, birraitona-amonak eta herenaitona-amonak.
Aitona-amonak: 22
; birraitona-birramonak: 23
; herenaitona-amonak: 24
.
093
●●
092
●
091
●
090
●●
0 64 6
3,5 91 5
089
●
−2 4
−5 1
088
●
6 9−1 0
−5 1−2 3
087
●
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 69](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-69-320.jpg)
![82
Atera polinomio hauen biderkagai komuna.
a) b) x ⋅ (xy2
−y) + y2
⋅ (4xy −3y) c)
a)
b) y[x ⋅ (xy − 1) + y2
(4x − 3)]
c)
Kalkulatu a, ax3
y + 4x4
y2
− 6xa
y3
polinomioaren biderkagai komuna 2x2
y izateko.
Hirugarren gaiari erreparatuz, a > 2 bada, hiru gaien biderkagai komunak
x ber 3 izango luke eta hori ezinezkoa da; eta a < 2 bada, hiru gaien
biderkagai komunak x ber 2 baino zenbaki txikiago bat izango luke.
Beraz, ebazpen bakarra a = 2 da.
Garatu laburbidezko formula hauek.
a) (x + 7)2
e) (x −4)2
b) (2a + 1)2
f) (3a −b)2
c) (6 + x)2
g) (5 −x)2
d) (3a2
+ 2b)2
h) (2b2
−5b3
)2
a) x2
+ 14x + 49 e) x2
− 8x + 16
b) 4a2
+ 4a + 1 f) 9a2
− 6ab + b2
c) 36 + 12x + x2
g) 25 − 10x + x2
d) 9a4
+ 12a2
b + 4b2
h) 4b4
− 20b5
+ 25b6
Garatu.
a) (3x3
−a2
)2
b) (x2
+ x3
)2
c) (2x + x3
)2
d) (6ab2
−2y)2
a) 9x6
− 6x3
a2
+ a4
c) 4x2
+ 4x4
+ x6
b) x4
+ 2x5
+ x6
d) 36a2
b4
− 24ab2
y − 4y2
Adierazi batuketaren edo kenketaren berbidura gisa, egokiena zer den.
a) x2
+ 6x + 9 c) x2
+ 4xy + 4y2
b) 4x2
−12xy + 9y2
d) x4
+ 2x2
+ 1
a) (x + 3)2
c) (x + 2y)2
b) (2x − 3y)2
d) (x2
+ 1)2
Kalkulatu biderketa hauek.
a) (x + 7) ⋅ (x −7) b) (7x + 4y) ⋅ (7x −4y)
a) x2
− 49 b) 49x2
− 16y2
027
026
025
024
023
x
x x−
−
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2
7
1
5
x
x
2
1⋅ −( )
x x x x2 2
2
7 5
−
−
−x x2
2 2
−
022
Polinomioak
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 82](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-82-320.jpg)
![89
3
a) Batuketa: −5x + 9 Kenketa: −9x − 1
b) Batuketa: −4x2
+ 2x + 1 Kenketa: −2x2
− 2x + 1
c) Batuketa: −4x2
+ 2x + 7 Kenketa: −2x2
− 2x −5
d) Batuketa: 2x2
− 3x − 4 Kenketa: −10x3
− 11x
e) Batuketa: x2
− 3xy − y2
Kenketa: x2
− xy − y2
f) Batuketa: x2
− 4xy − y2
Kenketa: x2
− y2
g) Batuketa: x2
− x − 4 Kenketa: x2
− x − 2
h) Batuketa: x2
− 5x − Kenketa: x2
− 5x −
Polinomio hauek izanik:
P(x) = 2x5
−3x4
+ 7x3
−2x2
+ 3x −6 R(x) = 3x2
−x + 1
Q(x) = 3x4
−2x3
+ 5x2
−7x −1 S(x) = 2x + 3
kalkulatu.
a) P(x) + Q(x) + R(x) + S(x) c) [P(x) + Q(x)] −[R(x) + Q(x)]
b) P(x) −R(x) + S(x) −Q(x) d) [P(x) −Q(x)] −[R(x) −Q(x)]
a) (2x5
− 3x4
+ 7x3
− 2x2
+ 3x − 6) + (3x4
− 2x3
+ 5x2
− 7x − 1) +
+ (3x2
− x + 1) + (2x + 3) = 2x5
+ 5x3
+ 6x2
− 3x − 3
b) (2x5
− 3x4
+ 7x3
− 2x2
+ 3x − 6) − (3x2
− x + 1) + (2x + 3) −
− (3x4
− 2x3
+ 5x2
− 7x − 1) = 2x5
− 6x4
+ 9x3
− 10x2
+ 13x − 3
c) [(2x5
− 3x4
+ 7x3
− 2x2
+ 3x − 6) + (3x4
− 2x3
+ 5x2
− 7x − 1)] +
+ [(3x2
− x + 1) + (3x4
− 2x3
+ 5x2
− 7x − 1)] =
= (2x5
+ 5x3
+ 3x2
− 4x − 7) − (3x4
− 2x3
+ 8x2
− 8x) =
= −2x5
− 3x4
+ 7x3
− 5x2
+ 4x − 7
d) [(2x5
− 3x4
+ 7x3
− 2x2
+ 3x − 6) − (3x4
− 2x3
+ 5x2
− 7x − 1)] +
+ [(3x2
− x + 1) − (3x4
− 2x3
+ 5x2
− 7x − 1)] =
= [2x5
− 6x4
+ 9x3
− 7x2
+ 10x − 5] − [−3x4
+ 2x3
− 2x2
+ 6x + 2] =
= 2x5
− 3x4
+ 7x3
− 5x2
+ 4x − 7
Aurkitu Q(x) polinomioa, P(x) = x2
+ 2x − 1 polinomioari batu behar zaiona
emaitza R(x) izan dadin.
a) R(x) = x − 1 d) R(x) = −7x2
− 3x
b) R(x) = 2x2
− x − 6 e) R(x) = x3
− x
c) R(x) = 5x2
− x + 1 f) R(x) = x3
− x2
Q(x) = R(x) − P(x)
a) Q(x) = −x2
− x d) Q(x) = −8x2
− 5x + 1
b) Q(x) = x2
− 3x − 5 e) Q(x) = x3
− x2
− 3x + 1
c) Q(x) = 4x2
− 3x + 2 f) Q(x) = x3
− 2x2
− 2x + 1
054
●●
053
●
10
3
3
2
8
3
1
2
5
6
3
2
1
6
1
2
5
6
1
6
13
6
5
6
1
2
−
1
2
5
2
3
2
ERANTZUNAK
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 89](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-89-320.jpg)
![90
Polinomio hauek izanik:
P(x) = 2x6
−7x4
+ 2x3
−2x2
+ x −1
Q(x) = 3x5
−2x3
+ x2
−x −1
R(x) = x2
−x + 1
kalkulatu.
a) P(x) ⋅ Q(x) b) Q(x) ⋅ R(x) c) P(x) ⋅ R(x) d) R(x) ⋅ R(x)
a) (2x6
− 7x4
+ 2x3
− 2x2
+ x − 1) ⋅ (3x5
− 2x3
+ x2
− x − 1) =
= 6x11
− 25x9
+ 8x8
+ 6x7
− 10x6
+ 10x5
+ x4
+ 3x3
+ 1
b) (3x5
− 2x3
+ x2
− x − 1) ⋅ (x2
− x + 1) =
= 3x7
− 3x6
+ x5
+ 3x4
− 4x3
+ x2
− 1
c) (2x6
− 7x4
+ 2x3
− 2x2
+ x − 1) ⋅ (x2
− x + 1) =
= 2x8
− 2x7
− 5x6
+ 9x5
− 11x4
+ 5x3
− 4x2
+ 2x − 1
d) (x2
− x + 1) ⋅ (x2
− x + 1) = x4
− 2x3
+ 3x2
− 2x + 1
Polinomio hauek izanik:
P(x) = 2x5
−3x4
+ 7x3
−2x2
+ 3x −6 R(x) = 3x2
−x + 1
Q(x) = 3x4
−2x3
+ 5x2
−7x −1 S(x) = 2x + 3
kalkulatu.
a) [P(x) −Q(x)] ⋅ S(x) c) [P(x) + Q(x) + R(x)] ⋅ S(x)
b) [R(x) −Q(x)] ⋅ S(x) d) [P(x) + Q(x) −R(x)] ⋅ S(x)
a) [(2x5
− 3x4
+ 7x3
− 2x2
+ 3x − 6) − (3x4
− 2x3
+ 5x2
− 7x − 1)] ⋅ (2x + 3) =
= (2x5
− 6x4
+ 9x3
− 7x2
+ 10x − 5) ⋅ (2x + 3) =
= 4x6
− 6x5
+ 13x3
− x2
+ 20x − 15
b) [(3x2
− x + 1) − (3x4
− 2x3
+ 5x2
− 7x − 1)] ⋅ (2x + 3) =
= (−3x4
+ 2x3
− 2x2
+ 6x + 2) ⋅ (2x + 3) =
= −6x5
− 5x4
+ 2x3
+ 6x2
+ 22x + 6
c) [(2x5
− 3x4
+ 7x3
− 2x2
+ 3x − 6) + (3x4
− 2x3
+ 5x2
− 7x − 1) +
+ (3x2
− x + 1)] ⋅ (2x + 3) = (2x5
+ 5x3
+ 6x2
− 5x − 6) ⋅ (2x + 3) =
= 4x6
+ 6x5
+ 10x4
+ 27x3
+ 8x2
− 27x − 18
d) [(2x5
− 3x4
+ 7x3
− 2x2
+ 3x − 6) + (3x4
− 2x3
+ 5x2
− 7x − 1) −
− (3x2
− x + 1)] ⋅ (2x + 3) = (2x5
+ 5x3
− 3x − 8) ⋅ (2x + 3) =
= 4x6
+ 6x5
+ 10x4
+ 15x3
− 6x2
− 25x − 24
Egin eragiketa hauek.
a)
b)
c)
d)
5
6
3 1
1
3
5
2
4
3
5 2 5 2
x x x x x x x⋅ − + − − ⋅ − +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟( )
2
5
3 1
1
2
2
3
2 3 2 3 2
x x x x x x x⋅ − + − − ⋅ − +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟( )
5
3
2
5
7
5
2
33 2 2
x x x x x− + −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ ⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1
2
3
4
5
4
7
7
2
92 2
x x x x+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ − +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ + −
44
3x +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
057
●●
056
●●
055
●
Polinomioak
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 90](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-90-320.jpg)
![93
3
Osatu berdintza hauek.
a) (2x + 3)2
= + 12x + c) (9 + 7x) ⋅ (9 −7x) = −
b) (5 −3x)2
= 25 − + x2
d) ( + )2
= x4
+ 2x3
+ x2
a) (2x + 3)2
= (2x)2
+ 2 ⋅ 2x ⋅ 3 + 32
= 4x2
+ 12x + 9
b) (5 − 3x)2
= 52
− 2 ⋅ 5 ⋅ 3x + (3x)2
= 25 − 30x + 9x2
c) (9 + 7x) ⋅ (9 − 7x) = 92
− (7x)2
= 81 − 49x2
d) x4
+ 2x3
+ x2
= (x2
)2
+ 2 ⋅ x2
⋅ x + x2
= (x2
+ x)2
Garatu eta sinplifikatu adierazpen hauek.
a) 5x2
+ (2x2
+ 1)2
−2x4
−(x −1)2
b) (x −1)2
−(x2
+ x + 1)
c) (5x + 5)2
−(5x −5)2
d) (2x3
−3x2
)2
−(2x + 2) ⋅ (2x −2)
e) (x + 6)2
−(x −6)2
−(x −5) ⋅ (x + 5)
f) (2x + 1)2
−(2x −1)2
+ (2x + 1) ⋅ (3x + 2)
a) 5x2
+ (2x2
+ 1)2
− 2x4
− (x − 1)2
= 5x2
+ 4x4
+ 4x2
+ 1 − 2x4
− x2
+
+ 2x − 1 = 2x4
+ 8x2
+ 2x
b) (x − 1)2
− (x2
+ x + 1) = x2
− 2x + 1 − x2
− x − 1 = −3x
c) (5x + 5)2
− (5x − 5)2
= [(5x)2
+ 2 ⋅ 5x ⋅ 5 + 52
] −
− [(5x)2
− 2 ⋅ 5x ⋅ 5 + 52
] = 25x2
+ 50x + 25 − 25x2
+ 50x − 25 = 100x
d) (2x3
− 3x2
)2
− (2x + 2) ⋅ (2x − 2) = (2x3
)2
− 2 ⋅ 2x3
⋅ 3x2
+ (3x2
)2
−
− [(2x)2
− 22
] = 4x6
− 12x5
+ 9x4
− 4x2
+ 4
e) (x + 6)2
− (x − 6)2
− (x − 5) ⋅ (x + 5) =
= x2
+ 12x + 36 − x2
+ 12x − 36 − x2
+ 25 = −x2
+ 24x + 25
f) (2x + 1)2
− (2x − 1)2
+ (2x + 1) ⋅ (3x + 2) =
= (2x)2
+ 2 ⋅ 2x + 1 − ((2x)2
− 2 ⋅ 2x + 1) + 6x2
+ 4x + 3x + 2 =
= 4x2
+ 4x + 1 − 4x2
+ 4x − 1 + 6x2
+ 7x + 2 = 6x2
+ 15x + 2
063
●●
EGIN HONELA
Egin eragiketa hau.
(2x − 3)2
− (2 + x)2
LEHENA. Polinomioa garatuko dugu, laburbidezko formulen emaitzak aplikatuz.
(2x − 3)2
− (2 + x)2
= (4x2
− 12x + 9) − (4 + 4x + x2
)
BIGARRENA. Parentesiak kenduko ditugu, zeinuak kontuan hartuta.
(4x2
− 12x + 9) − (4 + 4x + x2
) = 4x2
− 12x + 9 − 4 − 4x − x2
HIRUGARRENA. Polinomioa laburtuko dugu.
4x2
− 12x + 9 − 4 − 4x − x2
= 3x2
− 16x + 5
Hortaz: (2x − 3)2
− (2 + x)2
= 3x2
− 16x + 5.
062
061
●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 93](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-93-320.jpg)
![94
Adierazi polinomio hauek batuketaren edo kenketaren berbidura gisa.
a) 9x2
+ 18x + 9 c) x2
+ 16x + 64
b) 16x2
− 16x + 4 d) 4x2
+ 4x + 1
a) 32
x2
+ 2 ⋅ 3 ⋅ 3x + 32
= (3x + 3)2
b) 42
x2
− 2 ⋅ 4 ⋅ 2x + 22
= (4x − 2)2
c) 12
x2
+ 2 ⋅ 1 ⋅ 8x + 82
= (x + 8)2
d) 22
x2
+ 2 ⋅ 2 ⋅ 1x + 12
= (2x + 1)2
Adierazi irudi bakoitzaren azalera polinomio baten bidez. Sinplifikatu adierazpena.
a) c)
b) d)
a) (x + 4)2
+ x2
= 2x2
+ 8x + 16
b)
c) (x + 5) ⋅ (x + 3) − 2(x − 1) = x2
+ 8x + 15 − 2x + 2 = x2
+ 6x + 17
d) = x2
+ 2x
Idatzi polinomioak bi biderkagairen biderketa gisa.
a) x2
−16 d) x2
−4x + 4
b) x4
−36 e) 16x2
−24xy + 9y2
c) 4x2
−25 f) 16x4
+ 24x2
+ 9
a) (x + 4) ⋅ (x − 4) d) (x − 2)2
b) (x2
+ 6) ⋅ (x2
− 6) e) (4x − 3y)2
c) (2x + 5) ⋅ (2x − 5) f) (4x2
+ 3)2
Erreparatu ebatzitako adibideari eta osatu.
[(x + 2) + 3] ⋅ [(x + 2) − 3] = (x + 2)2
− 9
a) [(3x − y) + 4] ⋅ [(3x − y) − 4]
b) [(a + b) + c] ⋅ [(a + b) − c]
a) (3x − y)2
− 16
b) (a + b)2
− c2
067
●●
066
●●
x x
x
+ +
⋅
( )4
2
( ) ( )x x
x x
− ⋅ +
= − −
3 2 5
2
1
2
15
2
2
x + 4
x
x
2x + 5
x − 3
x − 1
x + 32
x + 5
x + 4
x + 4
x
x
065
●●
064
●●
Polinomioak
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 94](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-94-320.jpg)
![97
3
a) Maila: 5.
b) Maila: 5.
c) Maila: 7 = 5 + 2.
d) Zatidura → Maila: 3 = 5 − 2.
Hondarra ⎯⎯→ Maila: 2 baino txikiagoa.
P(x) eta Q(x) 5. mailakoak badira:
a) Ezin da jakin; izan ere, gerta daiteke gairen bat anulatzean batuketa
egitean, koefizienteak aurkakoak badira.
b) Ezin da jakin; izan ere, gerta daiteke gairen bat anulatzea kenketa
egitean.
c) Maila: 10 = 5 + 5.
d) Zatidura → Maila: 0 = 5 − 5.
Hondarra ⎯⎯→ Maila: 5 baino txikiagoak.
Batuketa hauek berbidura perfektuak dira.
Emaitza hauen argitan, jakingo al zenuke zehazten zer berbiduraren berdina
den adierazpen hau?
x2
+ (x + 1)2
+ x2
(x + 1)2
Aztertu proposatutako berdintza zuzena den.
x2
+ (x + 1)2
+ x2
(x + 1)2
= [x (x +1) + 1]2
Formula frogatzeko, bigarren ataletik abiatuko gara:
[x(x + 1) + 1]2
= [x(x + 1)]2
+ 2x(x + 1) + 1 = x2
(x +1)2
+ 2x(x + 1) + 1 =
= x2
(x + 1)2
+ 2x2
+ 2x + 1 =
= x2
(x + 1)2
+ x2
+ x2
+ 2x + 1 =
= x2
+ (x + 1)2
+ x2
(x + 1)2
Egiaztatu, zenbait adibideren bidez, ondoz ondoko hiru zenbaki osoren
arteko biderketari erdiko zenbakia batzen bazaio, emaitza kubo perfektu dela
beti.
Frogatu, ondoz ondoko edozein hiru zenbaki osorako: x − 1,
x y x + 1.
Adibideak: 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 = 27 = 33
4 ⋅ 5 ⋅ 6 + 5 = 125 = 53
9 ⋅ 10 ⋅ 11 + 10 = 1.000 = 103
(x − 1) ⋅ x ⋅ (x + 1) + x = (x3
− x) + x = x3
075
●●●
12
+ 22
+ 12
· 22
= 32
22
+ 32
+ 22
· 32
= 72
…
92
+ 102
+ 92
· 102
= 912
074
●●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 97](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-97-320.jpg)
![136
Ebatzi, formula orokorra erabili gabe:
4x2
− 1 + (2x + 1)(x + 3) = 0 ekuazioa.
Horretarako, deskonposatu lehen atala biderkagaitan.
4x2
− 1 + (2x + 1)(x + 3) = 0
→ (2x + 1)(2x − 1) + (2x + 1)(x + 3) = 0 →
→ (2x + 1)[(2x − 1) + (x + 3)] = 0 → (2x + 1)(3x + 2) = 0 →
EGUNEROKOAN
Mireni egun gutxi geratzen zaizkio erditzeko.
Haren lantokian, jaioberriei oparia egiteko ohitura dute. Xabier eta Josune
lankideak arduratu dira oparia erosteko dirua biltzeaz.
Miren oso ezaguna da bere lantokian, ia denek estimatzen dute. Hori dela eta,
lankide gehienek hartu dute parte oparian.
Atzo, Xabier eta Josune merkataritza-gune handi batean egon ziren, eta
eskaintzan zegoen haur-kotxe bat erostea proposatu zuten. Horretarako,
bakoitzak 8 € jarri beharko lituzke.
Denak ados zeudenez, erostera joan ziren, baina eskaintza amaitua zen
eta 4 € falta zitzaizkien.
Azkenean, Xabierrek eta Josunek esan didate 14 lankideetatik batek ez duela
dirurik jarri Mireni oparia erosteko.
Zure ustez, egia da esaten dutena?
Parte hartu duten pertsonak: x
Hasierako prezioa: 8x
Prezio berria: 8x + 4 eta 9x − 8
8x + 4 = 9x − 8 → x = 12
Beraz, Xabierrek eta Josunek esan dutena ez da egia, 12 pertsonak jarri
baitute dirua eta ez 13k.
099
●●●
x
x
1
2
1
2
2
3
=
−
=
−
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
4x2
− 1 = (2x + 1)(2x − 1)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
098
●●●
Lehen eta bigarren mailako ekuazioak
Hara zer egin dezakegun:
bakoitzak 9 € jarri eta
sobera dauden 8 €-ekin
haurrari elastiko bat erosi.
908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 136](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-136-320.jpg)
![177
5
Bidaiari-hegazkinetan pisu jakina baimentzen da bagaje bakoitzeko; pisu hori
gaindituz gero, bidaiariak diru kopuru bat ordaindu behar izaten du, gehiegizko
kilo bakoitzagatik.
Naroari merkeago irten dakion, maleten fakturazioa egiten ari den hegazkin-
laguntzaileak burutazio bat izan du:
Zenbat da bidaiari bakoitzari baimendutako pisua? Zenbat ordaindu behar da
gainkargako kilo bakoitzeko?
Baimendutako pisua: x Prezioa kiloko: y
→ y = 6
(27 − x)y = 42 (27 − x)6 = 42 → 27 − x = 7 → x = 20
Baimendutako pisua: 20 kg. Prezioa kiloko: 6 €.
y = 6
⎯⎯⎯→
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
−54y + 2xy = −84
45y − 2xy = −30
2−9y + 2xy = −54
⋅ (−2)
⎯⎯⎯→27 42
45 2 30
2y xy
y xy
− =
− =
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
( )
[ ( ) ]
27 42
27 18 30
27 2− =
− − − =
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
− =x y
x x y
y xy
→
442
45 2 30y xy− =
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪
Elkarrekin zoaztenez,
eta zure lagunari
gainkargarako hainbat
kilo falta zaizkio,
bagajeak elkar
ditzakegu; horrela,
30 € soilik ordaindu
beharko dituzu.
ERANTZUNAK
908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 177](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-177-320.jpg)
![Kalkulatu funtzioaren eremua eta ibiltartea.
Er f = [−5, 5]
Ib f = [−5, 5]
Erreal bakoitzari hirukoitza ken 6 egokitzen dion funtzioa emanda, kalkulatu:
a) Adierazpen aljebraikoa.
b) Eremua, ibiltartea eta grafikoa.
a) y = 3x − 6
b) Er f = ;ޒ Ib f = ޒ
Zenbaki erreal bakoitzari alderantzizkoa gehi 3 egokitzen dion funtzioa emanda:
a) Idatzi adierazpen aljebraikoa.
b) Kalkulatu eremua eta ibiltartea.
c) Zer irudi du 2 zenbakiak?
(Gogoratu ezin dela zati 0 egin.)
a)
b) Er f = ޒ − {0}; Ib f = ޒ − {3}
c) f(2) =
Adierazi grafikoki zenbaki erreal bakoitzari negatiboa bada
−1 eta positiboa bada +1 egokitzen dion funtzioa.
a) Zer irudi du 2 zenbakiak? Eta −2k?
b) Marraztu grafikoa.
c) Kalkulatu eremua eta ibiltartea.
a) f(2) = 1; f(−2) = −1
b)
c) Er f = ޒ − {0}, 0 ez delako ez zenbaki positiboa ez negatiboa;
Ib f = {−1, 1}, bi balio baino ez dituelako hartzen: 1 eta –1.
021
1
2
3 3 5+ = ,
y
x
= +
1
3
020
019
018
345
11ERANTZUNAK
Y
X
y = 3x − 6
Y
X
5
3
1
−3
−5
531−2−4
3
1
−2
31−2
1
3 51−2−4−6
Y
X
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 345](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-345-320.jpg)
![Idatzi bi funtzio hauen eremua eta ibiltartea.
a) b)
a) Eremua = [−1, 8] − (1, 2) – (5, 6) = [−1, 1] + [2, 5] + [6, 8]
Ibiltartea = [0, 3] + {5}
b) Eremua = [−1, 7] − (2, 3) = [−1, 2] + [3, 7]
Ibiltartea = [0, 5]
Kalkulatu funtzio hauen eremua.
a) y = x2
+ 1 c)
b) d)
a) R c) [−1, +ϱ)
b) R − {5} d) [2, +ϱ)
x − 2y
x
=
−
5
5
x + 1
053
●●
052
051
●
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA FUNTZIO BATEN EREMUA, ADIERAZPEN ALJEBRAIKOTIK ABIATUTA?
Kalkulatu funtzioen eremua.
a) y = 2x − 3 b) c)
LEHENA. Adierazpen mota aztertu behar da.
a) y = 2x − 3 ⎯→ Adierazpen polinomikoa da.
b) → Izendatzailean x aldagaia duen adierazpena da.
c) ⎯→ x aldagaia erro koadro baten errokizunean duen adierazpena.
BIGARRENA. Eremua kalkulatu behar da, adierazpen mota aintzat hartuta.
a) Adierazpenak zenbaki erreal guztietarako daude definituta: Er f = R.
b) Zatiketa bat ez dago definituta izendatzailea 0 bada; beraz, funtzioa ez dago
definituta x = 1 puntuan: Er f = R − {1}.
c) Erroketak zenbaki positiboetarako bakarrik daude definituta; beraz, funtzioa
definituta dago 1 edo handiagoa bada x: Er f = [1, +ϱ).
y x= − 1
y
x
x
=
+
+
3 2
1
y x= −1y
x
x
=
+
+
3 2
1
353
11ERANTZUNAK
4
2 4 6 8
Y
X
4
2
2 4 6 8
Y
X
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 353](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-353-320.jpg)
![355
11
Aztertu funtzio honen gorakortasuna.
Funtzioa gorakorra da [−1, 2]
eta [5, 8] tarteetan; beherakorra
[3, 4] tartean eta konstantea (4, 5)-n.
Behatu behean ageri den funtzioaren grafikoari.
a) Zehaztu eremua eta ibiltartea.
b) Funtzio jarraitua al da?
c) Aztertu gorakortasuna eta
beherakortasuna.
d) Adierazi maximoak eta
minimoak, baldin baditu.
a) Er f = [0, 10]; Ib f = [0, 7]
b) Jarraitua da eremu osoan.
c) Gorakorra: [0, 1] ∪ [2, 4] ∪ [5, 6] ∪ [8, 10].
Beherakorra: [1, 2] ∪ [4, 5] ∪ [6, 8].
d) Maximoak ditu x = 1, x = 4 eta x = 6 puntuetan.
Minimoak ditu x = 2, x = 5 eta x = 8 puntuetan.
Osatu bi grafikoak, Y ardatzarekiko simetrikoa den funtzio bat lortzeko, kasu
bakoitzean.
a) b)
a) b)
060
●●
059
●
058
●●
ERANTZUNAK
5
4
3
2
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
X
Y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
Y
X X
Y Y
X X
Y Y
3
1
−2
31−2
3
1
−2
31−2
3
1
−2
31−2
3
1
−2
31−2
908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 355](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-355-320.jpg)
![Hona hemen 40 ikaslek Musikan lortu dituzten notak:
6 4 1 7 3 6 6 2 5 2 4 9 5 10 8 2 6 10 5 7
5 3 7 8 4 6 0 5 8 7 6 9 7 2 5 6 8 7 3 6
Kalkulatu datuen batez bestekoa eta desbideratze tipikoa, aldagaia diskretu gisa
hartuta, lehendabizi, eta ondoren, datuak tarte hauetan bilduz:
[0, 5), [5, 7), [7, 9) eta [9, 10]. Zer alde hautematen da?
Lehendabizi, datuak ordenatuko ditugu:
0 - 1 - 2 - 2 - 2 - 2 - 3 - 3 - 3 - 4 - 4 - 4 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 -
6 - 6 - 6 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 8 - 8 - 8 - 8 - 9 - 9 - 10 - 10
xෆ = = 5,5
σ2
= = 5,8
σ = = 2,4 → AK = = 0,06
Datuak tartetan bilduko ditugu:
xෆ = = = 5,8
σ2
= = 5,86
σ = = 2,42 → AK = = 0,06
Batez bestekoa eta desbideratze tipikoa aldatu egin dira.
2 42
40
,
5 86,
(2,5 − 5,8)2
⋅ 12 + ... + (9,5 − 5,8)2
⋅ 4
40
232
40
2,5 ⋅ 12 + 6 ⋅ 14 + 8 ⋅ 10 + 9,5 ⋅ 4
40
2 4
40
,
5 8,
(0 − 5,5)2
⋅ 1 + ... + (10 − 5,5)2
⋅ 2
40
1 + 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 6 + 6 ⋅ 8 + 7 ⋅ 6 + 8 ⋅ 4 + 9 ⋅ 2 + 10 ⋅ 2
40
052
●●
413
13ERANTZUNAK
Tartea
[0, 5)
[5, 7)
[7, 9)
[9, 10]
Klase-marka
2,5
6,5
8,5
9,5
fi
12
14
10
4
Musika-gela
908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 413](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-413-320.jpg)
![441
14
a) Gizona izatea.
b) Arraina jatea.
c) Gizona izan eta arraina jatea.
a) P(gizona) =
b) P(arraina) =
c) P(gizona eta arraina) =
Haurtzaindegi batean, 20 mutil eta 16 neska daude. Mutilen erdia eta nesken
hiru laurdena beltzaranak dira, eta gainerakoak, ilehoriak. Bat ausaz aukeratuta,
zenbatekoa da mutila edo beltzarana izateko probabilitatea?
Mutilak → beltzaranak = 10, ilehoriak = 10
Neskak → beltzaranak = ⋅ 16 = 12, ilehoriak = 4
P(mutila edo beltzarana) = P(mutila) + P(beltzarana) − P(mutila eta beltzarana)
P(mutila edo beltzarana) =
Hiri batean, biztanleen % 30ek A egunkaria
irakurtzen du; % 20k, B egunkaria; eta % 7k,
bi egunkariak.
a) Lagun bat ausaz aukeratuta, zenbatekoa da
bi egunkarietako bat irakurtzeko probabilitatea?
b) Eta bakar bat ere ez irakurtzeko probabilitatea?
Eta bat irakurtzekoa?
a) P(A edo B) = P(A) + P (B) − P(A eta B)
P(A edo B) = 0,3 + 0,2 − 0,07 = 0,43
b) P(ez A eta ez B) = 1 − P(A edo B)
P(ez A eta ez B) = 1 − 0,43 = 0,57
P(bat bakarrik) = 1 − [P(A eta B) + P(bat ere ez)]
P(bat bakarrik) = 1 − [0,07 + 0,57] = 1 − 0,64 = 0,36
064
●●●
20
36
22
36
10
36
32
36
0 89+ − = = ,
3
4
063
●●
12
60
1
5
0 2= = ,
24
60
2
5
0 4= = ,
28
60
7
15
0 46= = ,
ERANTZUNAK
Okela
Gizonak
Emakumeak
Guztira
Arraina Guztira
16 12 28
20 12 32
36 24 60
908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 441](https://image.slidesharecdn.com/emaitzak3-150312033708-conversion-gate01/85/Emaitzak-3-dbh-441-320.jpg)
Emaitzak 3. dbh
- 1. DBHko lehen mailarakoMatematika 3 Erantzunak Zubia / Santillanaren Hezkuntza-argitalpenetarako Sailean Joseba Santxo Uriarteren eta Enric Juan Redalen zuzendaritzapean sortu, taxutu eta gauzaturiko talde-lana da. Proiektu honetan egile-talde honek esku hartu du: Ana María Gaztelu Augusto González EDIZIOA Rafael Nevado Carlos Pérez PROIEKTU-ZUZENDARITZA Domingo Sánchez Figueroa Ainhoa Basterretxea Llona Matematika 3DBH Irakaslearentzako baliabideak ERANTZUNAK Zubia Santillana 908272 _ 0001-0003.qxd 27/9/07 17:16 Página 1
- 2. Aurkezpena 2 138 Ekuazio-sistemak5 BI EZEZAGUNEKO EKUAZIO LINEALA SISTEMAMOTAK GRAFIKO BIDEZ EBAZTEA BI EZEZAGUNEKO BI EKUAZIOREN SISTEMAK ORDEZKATZEA BERDINTZEA LABURTZEA EBAZPEN-METODOAK PROBLEMAK EBAZTEA BI EZEZAGUNEKO BI EKUAZIOREN SISTEMEN BIDEZ Bat-bateko ikasbidea Udaberriko jaialdia urtean behin ospatzen zen, maharajaren jauregian. Festa hartara gonbidatua izatea itzal handiko pertsonei mugaturiko ohorea zen. Elefantearen gainera igotzean, Brahmagupta jakintsua eta Serhane, haren laguntzaile gaztea, bat etorri ziren maharajaren eskuzabaltasuna goraipatzean, segizioa bidali baitzien, jauregira lagun ziezaieten. Laguntzaile gazteak bidearen erdia eman zuen ikasi behar zituen jakintzagaiez kexatzen: –Maisu, zergatik ikasi behar dut aljebra? Ez dauka inolako erabilgarritasunik; bost txanpon baditut bost txanpon ditut, eta ez bost ezezagun... Eta ezezaguna edozer izan ahal izatea naturaren aurkakoa da. Brahmaguptak hitza hartu zuen, eta geratzen zitzaien bidearen erdian, aljebraren baliagarritasuna azaldu zion ikasleari: –Mundu honetako gauza guztiek dute bere esanahia: elefantearen bekokiko izarra ez da izarra soilik: elefantea maharajarena dela esan nahi du. Era berean, lau zirkuluz koroatutako gurutzea ez da marrazkia soilik, hiriaren sinboloa ere bada. Matematikan, sinpleena gauzei esanahia kentzea da, zenbakiekin eragiketak egitea eta, ondoren, emaitza interpretatzea. Hitz horien ostean, maisuak eta ikasleak isilean egin zuten jauregira iristeko geratzen zitzaien kilometroa. Ekuazio baten laguntzaz, kalkulatu elefantearen gainean egin zuten distantzia. x = distantzia → 2x + x + 4 = 4x → x = 4 4 km-ko distantzia egin zuten. 1 2 1 4 1x x x++ ++ == Sailaren izenak (Jakintzaren Etxea) planteamendu jakin bati erantzuten dio: ikasleek eguneroko bizitzan moldatzeko beharrezko ezagutzak lortzea helburu duten Matematikako proiektu bat aurkezteko planteamenduari. Irakaskuntzaren derrigorrezko etapan, matematika-jakintzak, errealitatea interpretatzen eta deskribatzen ez ezik, hartan jarduten lagundu behar die ikasleei. Ildo horretan, eta kontuan izanda Matematika, maila hauetan, prozedu- razko irakasgai hutsa dela, ikaslearen liburuan egindako ariketa eta pro- blema guztiak ebatzita daude material honetan. Gure helburua ez da eba- tzitako ariketak tresna hutsa izatea, proposamen didaktikoa baizik, ikas- leei liburuan aurkezten diren kontzeptu eta prozedura guztiak beregana- tzen laguntzeko. 73 2 c) Lurretik Neptunorainoko distantzia: 4,5 ⋅ 109 − 1,496 ⋅ 108 = 4,5 ⋅ 109 − 0,1496 ⋅ 109 = 4,3504 ⋅ 109 km Abiadura: 360.000 km/h = 3,6 ⋅ 105 km/h. Lurretik Neptunora behar den denbora: (4,3504 ⋅ 109 ) : (3,6 ⋅ 105 ) = 1,2084 ⋅ 104 = 12.084 horas = 503,5 egun Joan-etorria egiteko denbora bikoitza; hau da, 1.006 egun, 2 urte eta 9 hilabete, gutxi gorabehera; beraz, joan-etorria egin daiteke. Kontuan hartu behar da suposatu dugula hasieratik gehienezko abiadura harrapatu dugula: 360.000 km/h. Mikel Londresera iritsi berri da. Bidaian abiatu baino lehen 200 libera aldatu zituen banketxean. Hau da eman zioten agiria: Euro batek 0,649900 libera balio ditu; hortaz, aldatu zituen 200 liberak 307,74 € ordaindu zituen. Mikelek 48,5 libera balio duen galtza parea erosi nahi du, eta eurotara pasa nahi du prezio hori, kostuaz jabetzeko. a) Iritzirako kalkulua zuzen egin al du? Zenbateko errorea egin du? b) Hoteleko bost gauek 467 liberako kostua badute, zenbat izango da kostu hori eurotan, Mikelen zenbatespenei jarraiki? Eta zein da benetako kostua? a) 48,5 : 0,649900 = 74,63 €; beraz, zenbatespena okerra da. Mikelek egindako errore absolutua 14,63 €-koa da, eta errore erlatiboa, 0,196 €-koa. b) Benetako kostua 718,57 €-koa da eta egindako errorea: 718,57 ⋅ 0,196 = = 140,84 €. Beraz, zenbatespena: 718,57 − 140,84 = 577,73 €. ATZERRIKO BILLETEAK ETA BIDAIA TXEKEAK DIBISATAN EROSTEA ETA TXEKEAK KONTUAN SARTZEA DIBISATAN MIKEL AGIRRE BADIOLA J. Helbidea ARGIAREN ETORBIDEA, Z/G Herria MUNGIA K.P. 28082 N.A.N/I.K. 978687623 Kontzeptua: EZKUTUKO ERAGIKETA REF. 6036786 BBAANNKKUUAAERAKUNDEA - BULEGOA - KONTUA 2038 - 5538948273647783 EUR DOKUMENTUA DIBISA ZENBATEKOA KANBIO-TASA KONTRABALIOA BILLETEAK GBP 200,0 0,649900 307,74 EUR 307,74 EUR ERAGIKETA-DATA: 2007/7/31 BALIO-DATA: 2007/7/31 GUZTIRA 307,74 EUR Komisioak eta gastuak (Doakionaren sinadura) BANK UA BANK UA (sinadura eta zigilua) BBAANNKKUUAA 106 GGG 60 € inguru balio ditu... ERANTZUNAK 72 EGUNEROKOAN Internet sarean nabigatzen genbiltzala, web orri hau aurkitu dugu. a) Zenbateko distantzia dago Merkurio eta Saturnoren artean? b) Zein da handiena Lurretik Uranorako distantzia ala Martetik Neptunorakoa? c) Bigarren web orriko espazio-ontziaz, zenbat denbora behar da Neptunora iristeko? Gai izango ginateke Neptuno eta Lurra arteko joan-etorria egiteko? a) Merkuriotik Saturnorainoko distantzia: 1,429 ⋅ 109 − 5,791 ⋅ 107 = 1,429 ⋅ 109 − 0,05791 ⋅ 109 = = 1,37109 ⋅ 109 km b) Lurretik Uranorainoko distantzia: 2,87 ⋅ 109 − 1,496 ⋅ 108 = 2,87 ⋅ 109 − 0,1496 ⋅ 109 = 2,7204 ⋅ 109 km Martetik Neptunorainokoa: 4,5 ⋅ 109 − 2,2794 ⋅ 108 = 4,5 ⋅ 109 − 0,22794 ⋅ 109 = 4,27206 ⋅ 109 km Martetik Neptunora distantzia handiagoa dago Lurretik Uranora baino. 105 GGG Zenbaki errealak Planeten sorrera Planetak duela 4.500 milioi urte inguru eratu ziren, Eguzkiarekin batera. Oro har, Eguzkian geratu ez ziren material arinak astunak baino gehiago urrundu ziren. Hasierako gas- eta hauts-hodeia kiribilka zebilen, eta zona trinkoagoak zituen, planeten hastapenak zirenak. Grabitateak eta talkek materia gehiago eraman zuten zona horietara, eta errotazio-higidurak biribildu egin zituen. Planetak Ekuatore- erradioa Distantzia Eguzkiraino (km) Ilargiak Errotazio periodoa Orbita Merkurio 2.440 km 5,791 ⋅ 107 0 58,6 egun 87,97 egun Artizarra 6.052 km 1,082 ⋅ 108 0 –243 egun 224,7 egun Lurra 6.378 km 1,496 ⋅ 108 1 23,93 ordu 365,256 egun Marte 3.397 km 2,2794 ⋅ 108 2 24,62 ordu 686,98 egun Jupiter 71.492 km 7,7833 ⋅ 108 16 9,84 ordu 11,86 urte Saturno 60.268 km 1,429 ⋅ 109 18* 10,23 ordu 29,46 urte Urano 25.559 km 2,87 ⋅ 109 15 17,9 ordu 84,01 urte Neptuno 24.746 km 4,5 ⋅ 109 8 16,11 ordu 164,8 urte *Zenbait astronomoren esanetan, Saturno planetari 23 satelite dagozkio Astronautak Espazioan bizi Esplorazioan Bakarrik al gaude? Esplorazioan ExoMars Etorkizunean Marten egingo diren esplorazioak Garraiobide berriak Espazioan zehar nabigatzea Orain arte, ia misio espazial guztiek erregai eta erregarri bidez elikatutako kohete-motorrak erabili izan dituzte. Tamalez, motor horiek ez dira oso eraginkorrak; adibidez, abiarazi zuten unean, ESAren Rosetta espazio-zundaren pisuaren erditik gora erregaia zen. Egun, ontziek garraiatzen duten erregai kantitatea murrizteko moduak ikertzenari da ESA. Abiapuntuetako bat ioizko motorra da, gasa espaziorantz ‘jaurtitzen’duen ‘pistola’ elektrikoa erabiliko duena. Ioizko kohete-motor elektrikoak bultzada-indar oso txikia duen arren, gero etaabiadura handiagoa hartzen du, harik eta, unea heltzean, espazio-ontziariabiadura handiz lekualdatzeko aukera ematen dion arte. SMART 1 zundak ioizko motorra probatu du, arrakastaz probatu ere, LurretikIlargira egindako bidaian. Erabilitako erregai kilogramo bakoitzeko, ontziarenabiadura-igoera 10 aldiz handiagoa da ioizko motorrarekin kohete-motorarruntarekin baino. Orobat, kohete-motorren ordez ‘eguzki-belak’ baliatuko dituzten espazio-ontziakerabiltzea aztertzen ari da ESA. Eguzkiaren argiak tamaina handiko bela batengainean ‘jo’ eta beste planetetaraino bultza dezake espazio-ontzia. Eguzki-haizetan hilabete askotan egindako bidaiaren ostean, mota horretako espazio-ontziak orduko 360.000 km-ko abiadura lor dezake. Espazioko estazioak EsplorazioanLaborategia Jolasa Berriak 908272 _ 0001-0003.qxd 20/9/07 15:48 Página 2
- 3. 3 Aurkibidea 0. unitatea Berrikusketa4-13 1. unitatea Zenbaki arrazionalak 14-43 2. unitatea Zenbaki errealak 44-73 3. unitatea Polinomioak 74-79 4. unitatea Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 100-137 5. unitatea Ekuazio-sistemak 138-177 6. unitatea Zenbakizko proportzionaltasuna 178-207 7. unitatea Progresioak 208-241 8. unitatea Leku geometrikoak. Irudi lauak 242-273 9. unitatea Gorputz geometrikoak 274-309 10. unitatea Higidurak eta antzekotasunak 310-337 11. unitatea Funtzioak 338-365 12. unitatea Funtzio linealak eta afinak 366-393 13. unitatea Estatistika 394-421 14. unitatea Probabilitatea 422-447 908272 _ 0001-0003.qxd 20/9/07 15:48 Página 3
- 4. 4 ZENBAKIAK Kalkulatu zenbaki bakoitzarensei multiplo. a) 5 b) 10 c) 50 d) 72 e) 100 f) 450 g) 600 h) 723 a) 10, 15, 20, 25, 30, 35 b) 20, 30, 40, 50, 60, 70 c) 100, 150, 200, 250, 300, 350 d) 144, 216, 288, 360, 432, 504 e) 200, 300, 400, 500, 600, 700 f) 900, 1.350, 1.800, 2.250, 2.700, 3.150 g) 1.200, 1.800, 2.400, 3.000, 3.600, 4.200 h) 1.446, 2.169, 2.892, 3.615, 4.338, 5.061 Kalkulatu zenbaki bakoitzaren bi zatitzaile. a) 25 b) 15 c) 150 d) 190 e) 320 f) 450 g) 600 h) 725 a) 1 eta 5 c) 3 eta 50 e) 20 eta 80 g) 6 eta 100 b) 3 eta 5 d) 10 eta 19 f) 5 eta 9 h) 5 eta 25 Idatzi dagokion hitza hutsuneetan (multiploa edo zatitzailea). a) 6ren ... da 24 c) 25en … da 125 b) 24ren … da 12 d) 17ren … da 51 a) 6ren multiploa da 24 c) 25en multiploa da 125 b) 24ren zatitzailea da 12 d) 17ren multiploa da 51 Adierazi zein zenbaki diren lehenak, eta zein, konposatuak: 79, 93, 117, 239, 313, 585, 1.001 eta 6.723. Lehenak: 79, 239, 313 Konposatuak: 93 = 3 ⋅ 31 117 = 32 ⋅ 13 585 = 32 ⋅ 5 ⋅ 13 1.001 = 7 ⋅ 11 ⋅ 13 6.723 = 34 ⋅ 83 Aurkitu 100etik 120ra arteko zenbaki lehenak. 100etik 120ra arteko zenbaki lehenak: 101, 103, 107, 109 eta 113. Bete hutsuneak. a) Zt (30) = {1, 2, 3, , , , 15, } b) Zt (100) = {1, 2, , , 10, , 25, , 100} c) Zt (97) = { , 97} d) Zt (48) = { , 2, 3, 4, 6, , , , , } a) Zt (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} b) Zt (100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} c) Zt (97) = {1, 97} d) Zt (48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} 006 005 004 003 002 001 Berrikusketa0 908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 4
- 5. 5 0 Kalkulatu zenbaki parehauen z.k.h. a) 6 eta 14 c) 5 eta 15 e) 76 eta 85 g) 160 eta 180 b) 9 eta 10 d) 42 eta 4 f) 102 eta 104 h) 281 eta 354 a) 2 c) 5 e) 1 g) 20 b) 1 d) 2 f) 2 h) 1 Kalkulatu zenbaki hauen m.k.t. a) 7 eta 14 c) 9 eta 16 e) 61 eta 49 g) 150 eta 415 b) 12 eta 7 d) 8 eta 25 f) 280 eta 416 h) 296 eta 432 a) 14 c) 144 e) 2.989 g) 12.450 b) 84 d) 200 f) 14.560 h) 15.984 Kalkulatu zenbaki multzo bakoitzaren z.k.h. eta m.k.t. a) 25, 50 eta 100 c) 40, 42 eta 48 e) 8, 10, 12 eta 14 b) 6, 7 eta 8 d) 12, 18 eta 20 f) 2, 4, 6, 8 eta 10 a) m.k.t. (25, 50, 100) = 100 z.k.h. (25, 50, 100) = 25 b) m.k.t. (6, 7, 8) = 168 z.k.h. (6, 7, 8) = 1 c) m.k.t. (40, 42, 48) = 1.680 z.k.h. (40, 42, 48) = 2 d) m.k.t. (12, 18, 20) = 180 z.k.h. (12, 18, 20) = 2 e) m.k.t. (8, 10, 12, 14) = 840 z.k.h. (8, 10, 12, 14) = 2 f) m.k.t. (2, 4, 6, 8, 10) = 120 z.k.h. (2, 4, 6, 8, 10) = 2 Bi salgai-ontzi portutik atera ziren urtarrilaren 1ean. Lehenengoa handik 26 egunera itzuli zen, eta bigarrena, 30 egunera. Etengabe joan-etorrian dabiltza biak. Zenbat egun pasatuko dira bi salgai-ontziek berriro ere portuan topo egin arte? m.k.t. (26, 30) = 390. Itsasontziek 390 egun barru egingo dute topo portuan, hau da, hurrengo urteko urtarrilaren 25ean egingo dute topo. Bi soka-biribilki ditugu, 144 eta 120 m-ko luzerakoak, hurrenez hurren. Ahalik eta neurri handieneko zenbat zati berdin egin daitezke soka-biribilkiekin? z.k.h. (144, 120) = 24. Soka zatien neurri maximoa 24 m-koa da, eta beraz, egin daitekeen zati kopurua hau da: = 6 + 5 = 11 zati. 144 24 120 24 + 011 010 009 008 007 ERANTZUNAK 908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 5
- 6. 6 Idatzi baldintza betetzenduten zenbaki oso guztiak. a) −4 baino handiagoak eta +2 baino txikiagoak. b) +3 baino txikiagoak eta −5 baino handiagoak. c) +1 baino txikiagoak eta −2 baino handiagoak. d) −5 baino handiagoak eta +6 baino txikiagoak. a) −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 b) −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 c) −2 < −1 < 0 < 1 d) −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 Adierazi zenbakizko zuzenean zenbaki hauek: −6, 0, −8, +3, −5 eta +4. Adierazi zenbakizko zuzenean markatutako puntu bakoitzari dagokion zenbaki osoa. a) b) a) A = −5, B = −3, C = 2, D = 5 b) A = −6, B = −4, C = −1, D = 3 Osatu, zenbaki osoak idatziz. a) −3 < < < +1 c) −9 < < < −6 b) +3 > > > −1 d) −15 < < < −10 Jar al daiteke zenbaki bat baino gehiago hutsune bakoitzean? a) −3 < −2 < −1 < +1 c) −9 < −8 < −7 < −6 b) +3 > +2 > +1 > −1 d) −15 < −14 < −13 < −10 Ebazpena ez da bakarra, c) atalerako izan ezik. Kalkulatu. a) ⏐+3⏐ b) ⏐−3⏐ c) ⏐−7⏐ d) ⏐−4⏐ e) ⏐+5⏐ f) ⏐−9⏐ a) ⏐+3⏐ = 3 c) ⏐−7⏐ = 7 e) ⏐+5⏐ = 5 b) ⏐−3⏐ = 3 d) ⏐−4⏐ = 4 f) ⏐−9⏐ = 9 Kalkulatu zenbaki hauen aurkakoak. a) −5 b) +8 c) −15 d) −40 e) +125 f) −134 a) aur (−5) = +5 c) aur (−15) = +15 e) aur (+125) = −125 b) aur (+8) = −8 d) aur (−40) = +40 f) aur (−134) = +134 017 016 015 0 A B C D A B C D 0 014 −8 −6 −5 +3 +40 013 012 Berrikusketa 908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 6
- 7. 7 0 Kalkulatu. a) (−11) +(+4) c) (−20) + (−12) b) (+13) + (+12) d) (+11) + (−15) a) (−11) + (+4) = −7 c) (−20) + (−12) = −32 b) (+13) + (+12) = 25 d) (+11) + (−15) = −4 Egin kenketa hauek. a) (−5) − (+5) c) (−15) − (−17) b) (+3) − (−7) d) (+8) − (+7) a) (−5) − (+5) = −10 c) (−15) − (−17) = 2 b) (+3) − (−7) = 10 d) (+8) − (+7) = 1 Kalkulatu. a) (−4) + (+5) − (−18) c) (+20) − (−5) − (+5) b) (+30) − (+7) + (−18) d) (−12) − (+3) − (−7) a) (−4) + (+5) − (−18) = 19 c) (+20) − (−5) − (+5) = 20 b) (+30) − (+7) + (−18) = 5 d) (−12) − (+3) − (−7) = −8 Bete hutsuneak, berdintzak zuzenak izan daitezen. a) (+13) + = (+12) c) (−15) − = (+9) b) + (−20) = (−12) d) − (+8) = (+7) a) −1 b) 8 c) −24 d) 15 Kalkulatu. a) (+4) ⋅ (−5) c) (−40) ⋅ (−10) b) (−40) ⋅ (+8) d) (+2) ⋅ (+15) a) (+4) ⋅ (−5) = −20 c) (−40) ⋅ (−10) = 400 b) (−40) ⋅ (+8) = −320 d) (+2) ⋅ (+15) = 30 Egin zatiketa hauek. a) (+35) : (−7) b) (−21) : (+3) c) (−18) : (−2) d) (+40) : (−10) a) (+35) : (−7) = −5 c) (−18) : (−2) = 9 b) (−21) : (+3) = −7 d) (+40) : (−10) = −4 Bete hutsuneak, berdintzak zuzenak izan daitezen. a) (+13) ⋅ = (+39) c) (−15) : = (+5) b) ⋅ (−6) = (−42) d) : (+8) = (+2) a) 3 b) 7 c) −3 d) 16 024 023 022 021 020 019 018 ERANTZUNAK 908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 7
- 8. 8 Egin eragiketa hauek. a)6 + (−4 + 2) − (−3 − 1) e) 10 − (8 − 7) + (−9 − 3) b) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) f) 1 − (2 − 3) + (−4 − 5) c) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) g) −1 − (−1 + 2 − 5 + 4) d) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9) h) 3 + (5 − 9) − (7 − 5 − 7) a) 6 + (−4 + 2) − (−3 − 1) = 6 + (−2) − (−4) = 8 b) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) = 7 − (+1) + (−3) = 3 c) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) = 3 + (−1) − (−11) = 13 d) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9) = −8 + (+5) + (−16) = −19 e) 10 − (8 − 7) + (−9 − 3) = 10 − (+1) + (−12) = −3 f) 1 − (2 − 3) + (−4 − 5) = 1 − (−1) + (−9) = −7 g) −1 − (−1 + 2 − 5 + 4) = −1 − (0) = −1 h) 3 + (5 − 9) − (7 − 5 − 7) = 3 + (−4) − (−5) = 4 Kalkulatu adierazpenen balioak. a) 8 + 7 − 6 + 5 − 11 + 2 d) 100 − 22 ⋅ 5 b) (−12) ⋅ 7 : 3 e) (−26) : 2 − 6 : 3 + 4 c) 9 − 12 : 4 f) 15 ⋅ (−9) − 7 ⋅ (−6) : 2 a) 8 + 7 − 6 + 5 − 11 + 2 = 5 b) (−12) ⋅ 7 : 3 = −28 c) 9 − 12 : 4 = 6 d) 100 − 22 ⋅ 5 = −10 e) (−26) : 2 − 6 : 3 + 4 = −13 − 2 + 4 = −11 f) 15 ⋅ (−9) − 7 ⋅ (−6) : 2 = −135 + 21 = −114 Egin eragiketak. a) (−4) − (−6) : (+3) b) (+5) : (−5) − (−7) ⋅ (+2) c) (−11) − (+3) ⋅ (−4) : (−6) − (−9) d) (−18) − [(+4) + (−6)] : (+2) + (+5) e) (−5) − (−9) − (+4) ⋅ (−3) : (−2) : (−6) f) (+3) − (+6) : (+2) ⋅ (−3) : [(−2) + (−1)] a) (−4) − (−6) : (+3) = (−4) − (−2) = −2 b) (+5) : (−5) − (−7) ⋅ (+2) = −1 − (−14) = 13 c) (−11) − (+3) ⋅ (−4) : (−6) − (−9) = (−11) − (+2) − (−9) = −4 d) (−18) − [(+4) + (−6)] : (+2) + (+5) = (−18) − (−1) + (+5) = −12 e) (−5) − (−9) − (+4) ⋅ (−3) : (−2) : (−6) = (−5) − (−9) − (−1) = 5 f) (+3) − (+6) : (+2) ⋅ (−3) : [(−2) + (−1)] = (+3) − (−3) = 0 027 026 025 Berrikusketa 908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 8
- 9. Kalkulatu. a) (3 +2) ⋅ (3 − 1 + 4) − 2 ⋅ (2 ⋅ 3) b) [(15 − 16 + 2) ⋅ (−1) + 9] ⋅ 7 c) 2 ⋅ [−2 − 2 − (2 − 2 − 2)] d) [2 + 3 − (6 + 5)] − [(4 ⋅ 2) ⋅ (−3 ⋅ 6) + 1] a) (3 + 2) ⋅ (3 − 1 + 4) − 2 ⋅ (2 ⋅ 3) = 30 − 12 = 18 b) [(15 − 16 + 2) ⋅ (−1) + 9] ⋅ 7 = [(−1) + 9] ⋅ 7 = 56 c) 2 ⋅ [−2 − 2 − (2 − 2 − 2)] = 2 ⋅ (−2) = −4 d) [2 + 3 − (6 + 5)] − [(4 ⋅ 2) ⋅ (−3 ⋅ 6) + 1] = (−6) − (−143) = 137 Bete hutsuneak, berdintzak zuzenak izan daitezen. a) (−6) ⋅ [(−1) + ] = −18 c) 3 − [ ⋅ 5] = 18 b) 8 ⋅ [4 − ] = 32 d) 1 + [3 : ] = −2 a) 4 b) 0 c) −3 d) −1 Adierazi arrazoi banaren bidez. a) Testaren 55 galderetatik 36 asmatu ditut. b) 68 arrautza genituen eta 12 hautsi dira. c) Lehen txandan 94 ikaslek bazkaltzen dute, eta bigarrenean, 65ek. d) Fruitu-denda batean, 7 kutxa tomate eta 3 kutxa piper daude. a) b) c) d) Ikastetxeko jangelan, 3 ogi jartzen dituzte 8 ikasleko. Gaur 124 ikaslek bazkaldu dugu eta 50 ogi jarri dituzte. Eutsi al diote proportzioari? eta arrazoiek proportzioa osatzen duten ala ez aztertuko dugu. 3 ⋅ 124 8 ⋅ 50 Beraz, ez diote eutsi proportzioari. Bereizi zer arrazoik osatzen duten proportzioa. a) b) c) a) Proportzioa osatzen dutenak: . b) Proportzioa osatzen dutenak: . c) Proportzioa osatzen dutenak: . 7 5 3 10 4 , = 10 2 50 10 = 2 1 6 3 = 7 5 3 4 6 3 2 10 4 , , , , 10 2 50 10 30 8 20 5 , , , 2 1 8 2 6 3 9 5 , , , 032 50 124 3 8 031 3 7 65 94 12 68 36 55 030 029 028 9 0ERANTZUNAK 908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 9
- 10. 10 «MENDIBIDE: GALDETUTAKOEN %8KSOILIK KRITIKATU DU UDALAREN LANA.» Mendibidek 7.000 biztanle baditu, zenbat biztanlek onartzen dute, gutxi gorabehera, udalaren lana? 7.000ren % 8 = 560 biztanlek kritikatzen dute udalaren lana. Beraz, 7.000 − 560 = 6.440k onartzen dute udalaren lana. Eskuinean jogurt baten konposizioa ageri da: Kalkulatu osagaien pisua, jogurta 125 g-koa bada. 125 g jogurtean osagai hauek daude: 125en % 3,5 = 4,375 g proteina 125en % 13,4 = 16,75 g karbohidrato 125en % 1,9 = 2,375 g koipe GEOMETRIA Marraztu poligono hau koadernoan, eta adierazi aldeak, erpinak eta angeluak. Marraztu diagonalak. Zenbat diagonal ditu? 5 diagonal ditu. Marraztu erregularrak ez diren oktogono, eneagono eta dekagono bana, eta haien diagonalak. 036 035 034 033 Berrikusketa NUTRIZIO-BALIOA Proteinak: % 3,5 Karbohidratoak: % 13,4 Koipeak: % 1,9 G G G G Erpina Diagonala Aldea Angelua 908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 10
- 11. 11 0 Adierazi zuzenak alaokerrak diren esaldiak. a) Poligono batek erpin gehiago izan ditzake alde baino. b) Poligono batek erpin gehiago izan ditzake angelu baino. c) Poligono batek erpin gehiago izan ditzake diagonal baino. a) Okerra. c) Zuzena; esate baterako, b) Okerra. triangeluak eta karratuak. Marraztu zirkunferentzia bat, konpasa erabiliz. Ondoren, marraztu korda bat eta dagozkion bi arkuak. Alboko zirkunferentzian, adierazi zer zuzenki diren kordak, erradioak eta diametroak. Erantzun galdera hauei. a) Izan al daiteke aldeberdina triangelu angeluzuzen bat? b) Zenbatekoak dira triangelu angeluzuzen isoszele baten angeluak? c) Triangelu angeluzuzen baten angelu zorrotz bat beste angelu zorrotza halako hiru da. Zer neurri dute angeluek? a) Ez, triangelu aldeberdinaren hiru angeluak 60°-koak direlako. b) Angelu bat 90°-koa da, eta beste biak, 45°-koak. c) Angelu bat 90°-koa da; beste bat, 22,5°-koa; eta hirugarrena, 67,5°-koa. Triangelu isoszele baten angelu desberdina 50°-koa da. Zenbatekoak dira angelu berdinak? Angelu berdinak: . 180 50 2 65 − = ° C A B 041 040 Kordak Diametroa Erradioak F F G G G G 039 G FBA arkua Korda G AB arkua B A 038 037 ERANTZUNAK 908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 11
- 12. 12 Triangelu angeluzuzen, isoszeleeta eskaleno bana marraztu, eta oinarriarekiko paraleloa den zuzen batez ebakitzen baditugu, zer poligono lortuko dugu kasu bakoitzean? Triangelu angeluzuzenaren kasuan, oinarria kateto bat bada, beste triangelu angeluzuzen bat eta trapezio angeluzuzen bat lortuko ditugu. Oinarria hipotenusa bada, triangelu angeluzuzen bat eta trapezio bat lortuko ditugu. Triangelu isoszelearen kasuan, oinarria alde desberdina bada, triangelu isoszele bat eta trapezio isoszele bat lortuko ditugu. Oinarria alde berdin bat bada, triangelu isoszele bat eta trapezio bat lortuko ditugu. Kalkulatu zenbatekoa den C$ alboko trapezio angeluzuzenean, jakinik B$ = 45°dela. A$ = 90°, D$ = 90° eta B$ = 45° → C$ = 360 − 90 − 90 − 45 = 135° FUNTZIOAK Idatzi puntu bakoitzaren koordenatuak. A(3, 2) C(0, 4) E(5, −3) A(3, 6) C(−4, 5) E(−5, 0) B(−4, 2) D(1, −3) F(−2, −2) B(6, 1) D(0, −1) F(4, −3) AB C D E F Y X A B C D E F 1 1 1 1 G Y X 044 043 042 Berrikusketa Triangelua eskalenoa bada, jatorrizkoaren antzeko triangelu eskaleno bat eta trapezio bat lortuko ditugu. 908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 12
- 13. 13 0 Puntu hauek ditugu:A(4, −1), B(3, 4), C(−3, 2) eta D(−2, -3): a) Adierazi planoan. b) Elkartu ordena alfabetikoan, eta gero, elkartu D eta A. Zer irudi lortu duzu? Erronboide bat. Egin gauza bera puntu hauekin: A(5, 0), B(3, 4), C(−3, 4), D(−5, 0) eta E(0, −4). Pentagono bat lortzen da. Adierazi grafikoki puntu hauek: A(−5, 2), B(4, 0), C(−5, −1), D(8, 2) eta E(−1, 2). a) Esan zein diren ordenatu bera duten puntuak. b) Zenbat puntuk dute abzisa bera? Zein dira? a) Ordenatu bera: A, D eta E. b) Abzisa bera: A eta C. Marraztu koordenatu-ardatzak, puntua A(2, -1) izan dadin. A Y X 2 −1 048 A E B C D Y X0 5 3 1 −1 −3 −5 047 A E BC D Y X1 1 046 A B C D Y X1 1 045 3−3 5 7 ERANTZUNAK 908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 13
- 14. 14 Zenbaki arrazionalak1 ZEHATZAK PERIODIKOAK EZ-ZEHATZAKETA EZ-PERIODIKOAK SOILAK ZATIKIAK MISTOAK ZENBAKI HAMARTARRAK ZATIKI BALIOKIDEA ERAGIKETAK ZATIKI LABURTEZINA ZENBAKI ARRAZIONALAK ZATIKETABATUKETA KENKETA BIDERKETA 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 14
- 15. Egunari: Gauari: 6 9 2 3 = 3 9 1 3 = Oroitzapenen bidezidorra Aita santuarentronuaren egoitza zabal eta huts ageri zen Silvestre II.aren aurrean. Antzina hain boteretsua izandako Erromako aita santuak galdua zuen jada bere botere politiko guztia. Haatik, haren presentzia hutsa nahikoa zen edonoren baitan errespetu ia mistikoa sorrarazteko. Zahartzarora helduta, bere iraganeko bideetan zehar paseatzea atsegin zuen. Inork ezin ziezaiokeen haraino jarraitu, eta aske sentitzen zen. Atseginez oroitzen zuen Ripolleko kataluniar monasterioan egindako egonaldia, hango liburutegi izugarrira egindako bisitaldi sarriak, eta Hegoaldetik etorritako zientzia. Oroimenera etortzen zitzaizkion zenbait pasadizok aurpegia alaitzen zioten. Adibidez, fitxetan arabiar zenbakiak idatzita zituen abako hura oroitu zuen. Berak egin zuen, eta xehetasun handiz azaldu zuen haren erabilera. Oroitu zuen, orobat, denbora zatikatzeko makina haren proiektua, fraideen kanpaiak ordeztu behar zituena: matutiak, laudeak, primak, tertziak... Liburua ireki zuen eta, ausaz, denbora neurtzeko makinaren proiektua agertu zitzaion. Honela zioten proiektu haren lehenengo lerroek: Eguna eta gaua dira eguna osatzen duten bi zatiak; ez dira berdinak, ordea. Abenduaren lehenean 3 kandela erre dira egunez; gauez, berriz, 6 kandela… Bat-batean, kandeletako kea haize-laster baten ostean bezala, denboran atzera marraztutako balizko bidea desagertu egin zitzaion, idazkariaren ahotsa entzutean; jakinarazten zion, apur bat urrunetik, hurrengo audientzia hastear zegoela. Egunaren zer zati emango zenizkioke egunari eta gauari? 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 15
- 16. 16 ARIKETAK Kalkulatu. a) 450en b)350en a) b) Aztertu zatiki hauek baliokideak diren ala ez. a) eta b) eta a) Baliokideak dira; izan ere: 7 ⋅ 6 = 42 = 2 ⋅ 21. b) Ez dira baliokideak; izan ere: 12 ⋅ 25 = 300 600 = 60 ⋅ 10. Adierazi zatiki hauek batekoaren zati gisa, grafiko baten bidez. a) b) c) d) a) b) c) d) Idatzi zenbakizko balio hauek dituzten zatikiak: a) 2 b) −2 c) 0,5 d) 1,5 a) c) b) d) Idatzi, beheko zatiki hauetako bakoitzerako, lau zatiki baliokide: bi anplifikazioz eta bi sinplifikazioz. a) b) c) ANPLIFIKAZIOZ SINPLIFIKAZIOZ a) b) c) 12 28 6 14 3 7 = = 12 28 24 56 36 84 = = 690 360 230 120 69 36 = = 690 360 1 380 720 2 070 1 080 = = . . . 120 60 60 30 40 20 = = 120 60 240 120 360 180 = = 12 28 690 360 120 60 005 3 2 1 5= , − = − 6 3 2 1 2 0 5= , 14 7 2= 004 6 3 5 5 7 4 4 10 003 10 25 12 60 21 6 7 2 002 3 7 350 150⋅ = 4 5 450 360⋅ = 3 7 4 5 001 Zenbaki arrazionalak 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 16
- 17. 17 1 Kalkulatu zatiki hauenzatiki laburtezinak. a) b) c) a) z.k.h. (18, 40) = 2 ⎯→ b) z.k.h. (60, 75) = 15 → c) z.k.h. (42, 56) = 14 → Aurkitu, izendatzailea 100 izanik, zatiki hauen baliokideak diren zatikiak: , eta . zatikia laburtezina da. Laburtezina izaten jarraituko al du zenbakitzailea eta izendatzailea 7z biderkatzen baditugu? Ez da izango laburtezina, zenbakitzaileak eta izendatzaileak 7 biderkagai komuna izango baitute. Ordenatu txikienetik handienera. a) b) a) m.k.t. (9, 3, 5, 30) = 90; b) m.k.t. (5, 4, 7, 9) = 1.260; 3 7 4 9 3 5 3 4 < < < 4 9 560 1 260 = . 3 5 756 1 260 3 4 945 1 260 3 7 540 1 260 = = = . , . , . , 1 3 11 30 2 5 4 9 < < < 4 9 40 90 1 3 30 90 2 5 36 90 11 30 33 90 = = = =, , , 3 5 3 4 3 7 4 9 , , , 4 9 1 3 2 5 11 30 , , , 009 a b 008 11 20 55 100 = 39 50 78 100 = 13 25 52 100 = 11 20 39 50 13 25 007 42 56 3 4 = 60 75 4 5 = 18 40 9 20 = 42 56 60 75 18 40 006 ERANTZUNAK 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 17
- 18. 18 Ordenatu txikitik handira:. m.k.t. (9, 3, 4, 5 ,7) = 1.260; Zenbat balio behar du a-k izan dadin? a-k 7 baino handiagoa izan behar du: a > 7. Kalkulatu. a) c) b) d) a) b) c) d) Egin biderketa hauek. a) b) a) b) Egin eragiketa hauek. a) b) a) b) − − − = − − − =5 9 4 3 14 140 28 63 28 6 28 209 28 − + − = − + − = −7 2 9 4 5 8 28 8 18 8 5 8 15 8 − − −5 9 4 3 14 − + − 7 2 9 4 5 8 014 ( )− ⋅ = − = −4 11 2 44 2 22 12 5 7 3 84 15 28 5 ⋅ = = ( )− ⋅4 11 2 12 5 7 3 ⋅ 013 4 8 3 12 3 8 3 4 3 − = − = 5 3 4 3 1 3 − = 5 7 8 40 8 7 8 47 8 + = + = 7 8 3 8 10 8 5 4 + = = 4 8 3 −5 7 8 + 5 3 4 3 − 7 8 3 8 + 012 a 5 7 5 >011 − < − < < < 3 4 2 3 5 9 6 7 8 5 8 5 2 016 1 260 6 7 1 080 1 260 = = . . , . . 5 9 700 1 260 2 3 840 1 260 3 4 945 1 260 = − = − − = − . , . , . , 5 9 2 3 3 4 8 5 6 7 , , , , − − 010 Zenbaki arrazionalak 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 18
- 19. 19 1 Osatu zatiki banarekin. a)b) a) b) Egin zatiketa hauek. a) c) b) d) a) c) b) d) Kalkulatu. a) b) a) b) Egin eragiketak. a) b) a) b) Osatu zatiki banarekin, berdintza horiek zuzenak izan daitezen. a) b) a) b) 6 5 3 5 30 15 6 3 : = = 3 5 21 20 60 105 4 7 : = = : 3 5 6 3 == 21 20 3 5 : 019 9 4 5 6 8 9 6 5 83 36 6 5 − + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − : : ⎛⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = −415 216 − ⋅ + − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − ⋅ = 7 3 3 5 5 6 7 12 7 3 51 60 357 180 9 4 5 6 8 9 6 5 − + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟: − ⋅ + − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 7 3 3 5 5 6 7 12 018 4 25 8 2 7 20 4 25 73 20 349 100 − − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − = 5 9 7 5 4 15 5 9 17 15 76 45 + − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = + = 4 25 8 2 7 20 − − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 5 9 7 5 4 15 + − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 017 ( ) :− = − = − 5 10 9 45 10 9 2 8 11 3 5 40 33 : = 4 7 2 8 7 : = 9 5 4 7 63 20 : = ( ) :−5 10 9 8 11 3 5 : 4 7 2 : 9 5 4 7 : 016 3 7 1 21 10 21 3 7 10 21 1 21 + = − = − → 1 4 1 3 1 12 1 3 1 12 1 4 − = − + − =→ = −1 21 3 7 −= 1 4 1 3 + 015 ERANTZUNAK 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 19
- 20. 20 Adierazi zati osoa,zati hamartarra, periodoa eta aurreperiodoa. a) 0,333… c) 3,37888… b) 234,4562525… d) 0,012333… a) Zati osoa: 0. c) Zati osoa: 3. Periodoa: 3. Aurreperiodoa: 37. Periodoa: 8. b) Zati osoa: 234. d) Zati osoa: 0. Aurreperiodoa: 456. Aurreperiodoa: 012. Periodoa: 25. Periodoa: 3. Sailkatu zenbaki hauek. a) 0,333… b) 34,45666… c) 125,6 a) Periodiko soila. b) Periodiko mistoa. c) Hamartar zehatza. Osatu hamarna zifra hamartar izan arte. a) 1,347347… c) 3,2666… b) 2,7474… d) 0,253737… a) 1,3473473473 c) 3,2666666666 b) 2,7474747474 d) 0,2537373737 Idatzi bi zenbaki hamartar ez-zehatz eta ez-periodiko. 2,12345678… eta 56,12112111211112… Zatiketa egin gabe, sailkatu zatiki hauek adierazpen modua kontuan hartuz: zenbaki osoa, hamartar zehatza ala periodikoa. Azaldu nola egin duzun. a) d) g) b) e) h) c) f) i) a) Periodikoa. f) Periodikoa. b) Periodikoa. g) Osoa. c) Hamartar zehatza. h) Hamartar zehatza. d) Osoa. e) Hamartar zehatza. i) Periodikoa. − − = − − 346 222 173 111 → 111 240 37 80 = → − = −84 210 2 5 → − − 346 222 17 6 9 5 −84 210 111 240 7 6 −85 17 175 25 5 3 024 023 022 021 020 Zenbaki arrazionalak 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 20
- 21. Idatzi zenbaki hauekadierazteko bina zatiki: a) Zenbaki osoa. b) Zenbaki hamartar zehatza. c) Zenbaki hamartar periodikoa. a) b) c) Zatiki batean zenbakitzailea izendatzailearen multiploa ez bada, eta izendatzaileak 2 eta 5 ez diren biderkagaiak baditu, zer zenbaki hamartar mota adierazten du? Hamartar periodiko soila adierazten du, ez delako osoa eta izendatzaileko biderkagaiak ez direlako ez 2 eta ez 5. Lortu zenbaki hamartar hauen zatiki sortzaileak. a) 3,54 f) 0,8 ) b) 9,87 g) 0,77 ) c) 0,000004 h) 5,211 ) d) 24,75 i) 37,111 ) e) −7,002 j) −2,02 ) a) f) b) g) c) h) d) i) e) j) Adierazi zatiki gisa. a) 3,9 ) b) 1,79 ) c) 15,9 ) Zeren baliokide da 9z osatutako periodoa? a) b) c) 9z osatutako periodoa ondorengo zenbaki oso handiagoaren baliokidea da. Osatu: a) b) a) b) 5 6 28 5 , =5 33 533 100 , = 5 6 5 , =5 33 533 , =029 144 9 16= 162 9 18= 36 9 4= 028 −200 99 − = −7 002 1 000 3 501 500 . . . 4 120 111 .2 475 100 99 4 . = 5 206 999 .4 1 000 000 1 250 000. . . = 7 9 987 100 8 9 354 100 177 50 = 027 026 5 3 8 35 eta 3 5 7 2 eta 4 2 20 4 eta 025 21 1ERANTZUNAK 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 21
- 22. 22 Lortu zenbaki hauenzatiki sortzaileak. a) 3,24 ) b) 11,87 ) c) 5,925 ) a) b) c) Kalkulatu, zatiki sortzaileak erabiliz. a) 2,75 + 3,8 b) 5,06 ) − 2,95 ) a) b) Arrazoitu, zatiki sortzaileak lortu gabe, zergatik diren okerrak berdintza hauek. a) c) b) d) a) Okerra da, izendatzaileak 990 izan behar duelako: 99 periodoarengatik eta 0 aurreperiodoarengatik. b) Okerra da, izendatzaileak ezin duelako zati osoa, periodoa eta aurreperiodoa elkartuta baino handiagoa izan; kasu honetan, 23. c) Okerra da, zatidura 2 baino txikiagoa delako (55 < 2 ⋅ 45) eta zenbakia 12 baino handiagoa. d) Okerra da, izendatzaileak 900en zatitzailea izan behar duelako; eta ez da. Osatu taula hau, kontuan izanik zenbaki bat lauki batean baino gehiagotan egon daitekeela. −0,224466881010… −1,897897897…− 24 0,67543 −3,0878787… −1,5 Idatzi baldintzak betetzen dituzten zk. arrazionalak adierazten dituzten 4na zatiki: a) 1 baino txik. eta −1 baino handiagoak. b) −1 baino hand. eta 0 baino txik. a) b) − − − −5 9 1 3 2 5 51 65 , , , − −7 9 2 3 2 5 48 65 , , , 034 Zenbaki arrunta Zenbaki osoa Hamartar zehatza Hamartar periodikoa Hamartar ez-zehatza eta ez-periodikoa Zenbaki arrazionala 24 24 0,67543 −1,897897897… −0,224466881010… 0,67543 −1,5 −3,0878787… −1,897897897… −3,0878787… 24 −1,5 033 0124 56 495 , =0 023 321 990 , = 12 37 55 45 , =0 243 241 999 , = 032 456 90 266 90 190 90 2− = = ,1 275 100 38 10 275 380 100 655 100 6 55+ = + = = , 031 5 866 990 .1 069 90 .292 90 030 Zenbaki arrazionalak 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 22
- 23. 23 1 Idatzi arrazionalak ezdiren eta tarte hauetan dauden launa zenbaki: a) −1etik 1era bitartean b) −1etik 0ra bitartean a) −0,01001000100001…; −0,12345678…; 0,122333444455555…; 0,135791113… b) −0,01001000100001…; −0,12345678…; −0,122333444455555…; −0,135791113… ARIKETAK Adierazi enuntziatu hauek zatiki bana erabiliz. a) Pizza bat zortzi zatitan banatu dute, eta Jonek bi jan ditu. b) 20 ikasleko ikasgela batetik, 15 ikasle txango bat egitera joan dira. c) 7 neskaz osatutako lagun talde batetik 3 ilegorriak dira. d) 5 pertsonatik batek bizkarreko arazoak ditu. a) b) c) d) Idatzi irudi bakoitzean zati koloreztatuak adierazten duen zatikia. a) c) b) d) a) b) c) d) Adierazi zatiki hauek, irudi geometrikoak erabiliz. a) b) c) d) a) c) b) d) 4 9 7 6 5 2 3 7 038 ● 3 5 2 8 1 4 = 11 8 1 3 037 ● 1 5 3 7 15 20 3 4 = 2 8 1 4 = 036 ● 035 ERANTZUNAK 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 23
- 24. 24 Koloreztatu irudi honen. Kalkulatu. a) 180ren c) 40ren e) 320ren b) 420ren d) 540ren f) 1.342ren a) 90 b) 350 c) −16 d) 240 e) 200 f) −366 041 −3 11 4 9 5 6 5 8 −2 5 1 2 040 ● 2 3 039 ● EGIN HONELA NOLA ADIERAZTEN DIRA ZATIKI INPROPIOAK ZENBAKIZKO ZUZENEAN? Adierazi zatiki hau zenbakizko zuzenean: . LEHENA. Zenbaki oso batez gehi zatiki propio batez adierazten da zatikia. → → Zatikia 5etik 6ra bitartean dago. BIGARRENA. 5etik 6ra bitartean dagoen zuzenaren zatia izendatzaileak adierazitako zatitan banatu (3) eta zenbakitzaileak adierazten duen adina zati hartzen dira (1). Zuzen zati hori zatitzeko, jatorria 5en duen zuzenerdia marrazten da, nahi den maldarekin; eta hiru zuzenki berdin marrazten dira. Azken zuzenkiaren muturra 6 adierazten duen puntuarekin lotzen da, eta beste bietatik zuzen horrekiko paraleloak diren bi zuzen marrazten dira. 5 6 5 16 3 6 5 6 16 3 5 1 3 = + 16 3 1 5 16 3 16 3 Zenbaki arrazionalak 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 24
- 25. 25 1 Adierazi zenbaki arrazionalhauek. a) b) c) d) a) c) b) d) Zer zatiki adierazten du letra bakoitzak? a) b) c) a) b) c) Adierazi zatiki pare hauek baliokideak diren ala ez. a) d) b) e) c) f) a) 3 ⋅ 7 10 ⋅ 21. Ez dira baliokideak. b) −1 ⋅ 30 7 ⋅ (−14). Ez dira baliokideak. c) 6 ⋅ 8 10 ⋅ 3. Ez dira baliokideak. d) −2 ⋅ 5 3 ⋅ (−4). Ez dira baliokideak. e) 2 ⋅ 20 = 5 ⋅ 8. Baliokideak dira. f) 20 ⋅ 450 50 ⋅ 120. Ez dira baliokideak. 20 50 120 450 eta 6 10 3 8 eta 2 5 8 20 eta − −1 7 14 30 eta − −2 3 4 5 eta 3 10 21 7 eta 044 ● 6 2 6 38 6 + =1 1 5 6 5 + =− − = − 2 2 3 8 3 C 6 7 B 1 2 A −3 −2 −1 043 ● 28 8 3 4 − − = = + 28 8 28 8 3 4 8 13 3 4 5 13 3 4 1 3 = + −7 5 −2 −1 − = − − 7 5 1 2 5 2 9 0 1 − − 28 8 −7 5 13 3 2 9 042 ● ERANTZUNAK 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 25
- 26. 26 Kalkulatu x-ren balioa,zatikiak baliokideak izan daitezen. a) b) c) d) a) x = = 15 c) x = = 8 b) x = = 6 d) x = = 3 Osatu. Jarri batera baliokideak diren zatikiak. Lortu zatiki hauetako bakoitzaren lau zatiki baliokide; bi anplifikazio bidez, eta beste bi sinplifikazio bidez. Anplifikazioa: . Anplifikazioa: . Sinplifikazioa: . Sinplifikazioa: . Anplifikazioa: . Anplifikazioa: . Sinplifikazioa: . Sinplifikazioa: . Anplifikatu zatiki hauek, kontuan hartuz zatikien izendatzaileek 300 baino handiagoak eta 400 baino txikiagoak izan behar dutela. a) b) c) d) e) f) a) c) e) b) d) f) −770 350 −30 370 162 312 120 320 900 330 100 360 −11 5 3 8 −3 37 3 11 27 52 5 18 049 ●● 504 72 252 36 126 18 = = 60 36 30 18 10 6 = = 504 72 1 008 144 1 512 216 = = . .60 36 300 180 600 360 = = 30 45 6 9 2 3 = = 8 100 4 50 2 25 = = 30 45 300 450 600 900 = = 8 100 16 200 24 300 = = 504 72 30 45 60 36 8 100 048 ● − −1 2 3 6 eta 4 2 10 5 eta − − 20 40 2 4 eta 20 40 4 2 1 2 10 5 2 4 3 6 , , , , , − − − − 047 ● 2 3 4 6 4 6 20 30 30 45 = = = = 2 3 4 6 30 30 = = = = 046 ● 14 9 42 ⋅9 4 6 ⋅ 12 6 9 ⋅10 6 4 ⋅ 14 42 9 = xx 12 6 9 = 9 6 4x = 10 4 6 = x 045 ● Zenbaki arrazionalak 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 26
- 27. 27 1 Sinplifikatu zatiki hauetakobakoitza, zatiki laburtezina lortu arte. a) d) g) b) e) h) c) f) i) a) d) g) b) e) h) c) f) i) Adierazi zatikien sinplifikazio hauen artean zein dauden gaizki eginda, eta argudiatu zergatia. a) c) b) d) a) Gaizki, zenbakitzaileko eta izendatzaileko batugaiak ezin direlako sinplifikatu. b) Ongi. c) Gaizki, zenbakitzaileko eta izendatzaileko batugaiak ezin direlako sinplifikatu. d) Ongi; hala ere, gehiago sinplifika daiteke. Idatzi eta , zatikien zatiki baliokide bana. Izendatzaile bera izan behar dute. m.k.t. (5, 6) = 30 Ordenatu handienetik txikienera. a) d) b) e) c) f) 2 5 4 7 8 35 1 2 , , , 3 8 10 24 20 48 , , − −43 60 10 40 8 10 , , − −11 8 7 8 , − − −4 6 21 6 5 12 , , 4 9 7 8 , − 053 ● → 1 5 6 30 4 6 20 30 = =eta 4 6 1 5 052 ●● 40 80 40 20 80 20 2 4 = = : : 22 14 2 11 2 7 11 7 = ⋅ ⋅ = 20 18 15 5 15 3 5 3 = + + = 22 13 11 11 11 2 11 2 = + + = 051 ●● 1 3 2 3 4 9 10 7 8 9 105 4 5 1 5= 5 4 1 2 6 18 40 60 8 18 30 21 16 18 210 8 55 11 15 12 20 40 050 ● ERANTZUNAK 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 27
- 28. 28 a) b) c) d) e) f) Idatzi pare hauenartean dagoen zatiki bana: a) c) e) b) d) f) a) d) b) e) c) f) − + −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = −5 9 6 9 2 11 18 : 7 6 8 6 2 15 12 5 4 + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = =: − + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = 1 6 1 5 2 1 60 : 9 7 11 9 2 158 126 + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ =: − + −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = −3 7 2 5 2 29 70 : 4 5 7 8 2 67 80 + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ =: − −5 9 6 9 eta − −3 7 2 5 eta 9 7 11 9 eta −1 6 1 5 eta 7 6 8 6 eta 4 5 7 8 eta 055 ●● 054 2 5 28 70 4 7 40 70 8 35 16 70 1 2 35 70 4 7 1 2 2 = = = = > >, , , → 55 8 35 > 10 40 15 60 8 10 48 60 10 40 43 60 8 10 = − = − > − > − , → − = − − = − − > − > −4 6 8 12 21 6 42 12 5 12 4 6 21 6 , → 3 8 18 48 10 24 20 48 10 24 20 48 3 8 = = = >, → − > −7 8 11 8 4 9 7 8 > − EGIN HONELA NOLA LORTZEN DA BI ZATIKIREN ARTEAN DAGOEN ZATIKI BAT? Bilatu eta idatzi bi zatiki hauen artean dagoen zatiki bat: eta . LEHENA. Bi zatikiak batu egin behar dira. BIGARRENA. Sortutako zatikia 2z zatitu behar da. zatikia eta zatikien artean dago. 7 6 4 9 29 36 29 18 2 29 36 : = 4 9 7 6 8 18 21 18 29 18 + = + = 7 6 4 9 Zenbaki arrazionalak 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 28
- 29. 29 1 Kalkulatu. a) b) c)d) a) c) b) d) Egin kenketa hauek. a) b) c) d) a) c) b) d) Kalkulatu. a) c) e) b) d) f) a) d) b) e) c) f) Egin eragiketak. a) c) e) b) d) f) a) d) b) e) c) f) − − − = −18 21 63 21 49 21 130 21 − + − = −8 20 15 20 20 20 13 20 18 24 15 24 192 24 159 24 + − = −10 12 20 12 15 12 45 12 15 4 + + = = 14 30 20 30 5 30 11 30 − − = −24 16 5 16 6 16 23 16 + − = − − − 6 7 3 7 3 7 15 2 3 1 6 − − 5 6 5 3 5 4 + + 9 12 5 8 8+ − − + − 2 5 3 4 1 3 2 5 16 3 8 + − 059 ● 189 63 3 63 9 63 14 63 191 63 − − + = 70 77 110 77 84 77 96 77 + − = 156 156 13 156 60 156 109 156 + − = 150 210 21 210 70 210 199 210 − + = 24 6 1 6 7 6 30 6 5− + = = 34 7 3 1 21 1 7 2 9 − − +4 1 6 7 6 − + 5 7 1 10 1 3 − + 1 1 12 5 13 + − 10 11 10 7 12 11 + − 25 7 11 7 2 7 + − 058 ● 154 66 33 66 6 66 115 66 − − = 15 30 2 30 13 30 − = 126 84 12 84 14 84 100 84 − − = 23 11 7 3 1 2 1 11 − − 3 2 1 7 2 12 − − 5 10 1 15 − 33 11 10 11 − 057 ● 63 7 5 7 6 7 62 7 + − = 21 6 12 6 8 6 41 6 + + = −7 2 8 4 9 5 7 6 7 + − 5 2 3 2 9 2 − − 7 2 2 8 6 + + 3 4 5 4 1 4 + + 056 ● ERANTZUNAK 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 29
- 30. 30 Egin eragiketa hauek. a)c) e) b) d) f) a) d) b) e) c) f) Osatu hutsuneak. a) c) b) d) a) c) b) d) Egin biderketa hauek. a) b) c) d) a) b) c) d) Egin eragiketa. a) c) e) b) d) f) a) d) b) e) c) f) 9 3 11 4 11 3 9 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 27 42 9 14 = 162 35 − = − 14 36 7 18 3 24 1 8 = 36 30 6 5 = 9 4 3 11 11 3 ⋅ ⋅ −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 1 4 3 6 2 9 7 4 ⋅ −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 9 7 6 5 3⋅ ⋅ 9 6 3 7 ⋅ 12 5 3 6 ⋅ 063 ●● 84 9 28 3 = 70 6 35 3 = 40 14 20 7 = 12 15 4 5 = 21 4 9 ⋅ 7 2 10 3 ⋅ 5 14 8⋅ 2 3 6 5 ⋅ 062 ● = − − = −1 4 1 6 1 5 7 60 = − = 4 5 4 6 2 15 = − − = −3 9 3 7 3 8 79 504 = − = 1 2 1 3 1 6 = 1 6 1 4 1 5 − −= 4 6 4 5 − = 3 9 3 7 3 8 += 1 2 1 3 + 061 ●● 1 521 1 287 99 1 287 1 573 1 287 3 193 1 287 . . . . . . . + + = 9 18 2 18 2 18 9 18 1 2 + − + = = 588 924 77 924 330 924 995 924 + + = 50 70 7 70 43 70 + − = 385 77 70 77 110 77 565 77 + + = −7 16 13 11 1 13 11 9 + +5 10 11 10 7 + + 5 7 1 10 + − 7 11 1 12 5 14 + + 1 2 1 9 2 18 + − + − + −5 16 2 16 060 ● Zenbaki arrazionalak 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 30
- 31. 31 1 Kalkulatu. a) c) b) d) a)c) b) d) Egin zatiketa hauek. a) c) b) d) a) c) b) d) Osatu hutsuneak. a) d) b) e) (−5) ⋅ c) f) =−2 a) b) c) d) e) f) = − = −4 5 2 2 5 : ( ) = − − = 10 3 5 2 3 : ( ) = = = 1 4 1 5 1 6 30 4 15 2 : : = = 3 9 3 7 3 8 56 27 : : = − = −4 5 4 6 6 5 : = = 1 4 1 3 3 4 : 4 5 := 3 9 3 7 3 8 ⋅ ⋅ = − 10 3 = −4 6 4 5 : = 1 6 1 4 1 5 : := 1 4 1 3 ⋅ 066 ●● − = −15 60 1 4 64 3 11 21 14 105 2 15 = 5 6 10 3 : −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟8 3 8 : 11 3 7: 7 5 21 2 : 065 ● − = −40 90 4 9 20 84 5 21 = 63 30 21 10 = 10 24 5 12 = 8 15 6 5 : −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 5 12 7 4 : 9 5 6 7 : 5 8 3 2 : 064 ● ERANTZUNAK 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 31
- 32. 32 Kalkulatu. a) d) g) b)e) h) c) f) a) e) b) f) c) g) d) h) Egin eragiketak. a) d) g) b) e) h) c) f) a) e) b) f) c) g) d) h) Adierazi zenbaki bakoitzaren zati osoa eta zati hamartarra. a) 0,75 c) 1,8989… e) 2,161820… b) 274,369 d) 127,4555… f) −7,0222… a) Zati osoa: 0. Zati hamartarra: 75. b) Zati osoa: 274. Zati hamartarra: 369. c) Zati osoa: 1. Zati hamartarra: 8989… d) Zati osoa: 127. Zati hamartarra: 4555… e) Zati osoa: 2. Zati hamartarra: 161820… f) Zati osoa: −7. Zati hamartarra: 0222… 069 ● 3 5 21 20 33 20 + = 72 15 13 15 72 13 : = 2 7 5 37 7 + = 8 5 7 30 48 7 : = 4 3 7 18 17 18 − = 4 5 17 72 17 90 ⋅ −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − 3 10 5 4 19 20 − = −7 6 21 60 49 60 − = 2 5 3 10 7 18 : − 8 5 3 5 11 30 : + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 1 2 6 5 7 5 4 3 ⋅ + : 2 5 3 4 5 4 ⋅ − 4 5 5 24 4 9 ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 2 7 3 21 35 + : 8 3 5 9 6 5 1 3 : : ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 7 6 3 20 8 15 − + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 068 ●●● 8 3 7 15 33 15 − = 7 5 1 2 5 − = 35 36 7 3 2 5 245 108 2 5 1 441 540 ⋅ + = + = .6 5 16 21 46 105 − = 9 1 4 41 15 9 41 60 499 60 − ⋅ = − = 11 20 7 3 77 60 ⋅ = 9 7 12 2 5 529 60 − + = 4 5 7 12 48 35 60 13 60 − = − = 9 1 4 7 3 2 5 − ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟2 3 5 4 7 3 4 ⋅ − : 2 3 3 4 1 5 3 7 : − ⋅9 1 4 7 3 2 5 − ⋅ + 4 5 1 4 7 3 − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ 9 1 4 7 3 2 5 − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ + 3 5 4 7 3 4 1: : − 4 5 1 4 7 3 − ⋅ 067 ●● Zenbaki arrazionalak 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 32
- 33. 33 1 Adierazi, zatiki batezeta zenbaki hamartar batez, irudi hauetako bakoitzaren zati koloreztatua. a) c) b) d) a) c) b) d) Adierazi zenbaki hauen artean zein diren periodikoak, eta zein, ez. Periodikoak direnetan, adierazi periodoa. a) 1,333… d) 6,987654… b) 2,6565… e) 0,010101… c) 3,02333… f) 1,001002003… a) Periodikoa; periodoa, 3. b) Periodikoa; periodoa, 65. c) Periodikoa; periodoa, 3. d) Ez-periodikoa. e) Periodikoa; periodoa, 01. f) Ez-periodikoa. Sailkatu beheko zenbaki hamartarrak mota hauetan: zehatzak, periodiko soilak, periodiko mistoak, eta ez-zehatzak eta ez-periodikoak. a) 1,052929… f) 13,12345666… b) 0,89555… g) −1.001,034034… c) −7,606162… h) 0,0000111… d) 120,8 i) −1,732 e) −98,99100101… j) 0,123456777… a) Periodiko mistoa. f) Periodiko mistoa. b) Periodiko mistoa. g) Periodiko soila. c) Ez-zehatza eta ez-periodikoa. h) Periodiko mistoa. d) Zehatza. i) Zehatza. e) Ez-zehatza eta ez-periodikoa. j) Periodiko mistoa. 072 ●● 071 ●● 1 6 01666= , ... 3 4 0 75= , 1 2 0 5= , 1 2 0 5= , 070 ● ERANTZUNAK 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 33
- 34. 34 Arrazoitu zer zenbakimota adierazten duen zatiki bakoitzak: osoa, hamartar zehatza ala periodikoa. a) d) g) b) e) h) c) f) i) a) Zehatza, zatiki laburtezinaren izendatzaileko biderkagai bakarra 2 delako. b) Osoa, zenbakitzailea izendatzailearen multiploa delako. c) Periodiko mistoa, zatiki laburtezinaren izendatzaileko biderkagaiak 2 eta 3 direlako. d) Zehatza, izendatzaileko biderkagai bakarrak 2 eta 5 direlako. e) Periodiko mistoa, zatiki laburtezinaren izendatzaileko biderkagaiak 5 eta 3 direlako. f) Periodiko soila, izendatzaileko biderkagaiak ez direlako 2 eta 5. g) Osoa, zenbakitzailea izendatzailearen multiploa delako. h) Zehatza, zatiki laburtezinaren izendatzaileko biderkagai bakarrak 2 eta 5 direlako. i) Periodiko mistoa, izendatzaileko biderkagaiak 2, 3 eta 5 direlako. Lortu zatiki sortzaileak. a) 5,24 c) 3,7 ) e) 5,12 ) b) 1,735 d) 5,43 ) f) 0,235 ) a) c) e) b) d) f) Adierazi zenbaki hauek zatiki gisa. a) −7 d) 9,6 ) g) 9,54 ) b) 6,05 e) 4,07 ) h) 0,315 ) c) −0,00182 f) −14,413 ) i) 0,0123 ) a) d) g) b) e) h) c) f) i) 122 9 900 61 4 950. . =− 14 399 999 . − = − 182 100 000 91 50 000. . 312 990 52 165 = 403 99 605 100 121 20 = 859 90 87 9 29 3 = −7 1 075 ● 233 990 538 99 1 735 1 000 347 200 . . = 461 90 34 9 524 100 131 25 = 074 ● 19 90 15 21 4 24 21 420 −34 30 − 44 11 22 1− 51 20 27 36 073 ● Zenbaki arrazionalak 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 34
- 35. 35 1 Adierazi zenbaki hamartarrakzatiki gisa, eta zatikiak zenbaki hamartar gisa. a) f) k) b) 7,35 g) 0,278 l) 1,0435 c) 13,7 ) h) 6,16 ) m) 1,274 ) d) 8,91 ) i) 18,57 ) n) 0,315 ) e) j) 2,265 ) ñ) 0,0123 ) a) 1,125 f) 0,81 ) k) 1,12 ) b) g) l) c) h) m) d) i) n) e) 4,8 j) ñ) Kalkulatu, zatiki sortzaileak erabiliz. a) 0,2777… + 2,333… c) 0,44… ⋅ 2,5151… b) 3,5666… −2,2727… d) 1,13888… : 0,9393… a) c) b) d) Adierazi baieztapen hauek zuzenak ala okerrak diren, eta arrazoitu erantzuna. a) Zenbaki hamartar oro adieraz daiteke zatiki gisa. b) Zenbaki oso bat zatiki gisa adieraz daiteke. c) Zenbaki hamartar periodikoek infinitu zifra hamartar dituzte komaren ostean. d) Zenbaki hamartar baten periodoa 0 bada, zenbaki zehatza da. a) Okerra, hamartar ez-zehatzak eta ez-periodikoak ezin dira adierazi zatiki gisa. b) Zuzena, zatikia zenbakia zati bat izango da. c) Zuzena periodiko soilen kasuan, baina okerra periodiko mistoen kasuan. d) Zuzena, zifra hamartarren kopuru zehatza duelako. 078 ●● 1 025 900 93 99 451 372 . : = 321 90 225 99 1 281 990 − = . 44 100 249 99 913 825 ⋅ = 25 90 21 9 235 90 47 18 + = = 077 ●● 12 990 2 165 = 2 039 900 . 284 900 71 225 = 1 839 99 613 33 . = 802 90 401 45 = 1 273 999 .555 90 37 6 = 124 9 10 435 10 000 2 087 2 000 . . . . = 278 1 000 139 500. = 735 100 147 20 = 48 10 101 90 9 11 9 8 076 ● ERANTZUNAK 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 35
- 36. 36 30 metro oihalditugu. Kalkulatu zenbat metro diren: a) oihalaren b) oihalaren c) oihalaren a) b) c) Enpresa batek aste honetan 12.300 €-ren bi bosten irabazi ditu. Kalkulatu zenbat diru irabazi duen enpresa horrek. Irabazitakoa: €. Aita batek alabari 30 € eman dizkio, eta semeari, arrebak jasotakoaren herena. Zenbat diru jaso du semeak? Semeak jasotakoa: €. Urtebetetze-egunean, amari kutxa bat bonboi oparitu diogu. Dagoeneko jan ditugu kutxaren . Kutxak 40 bonboi bazituen, zenbat bonboi geratzen dira? Kutxaren geratzen da; hau da: bonboi. 1 4 40 10⋅ = 1 4 3 4 083 ●● 082 1 3 30 10⋅ = 081 ● 2 5 12 300 4 920⋅ =. . 080 ● 5 6 30 25⋅ = m 7 30 30 7⋅ = m 3 5 30 18⋅ = m 5 6 7 30 3 5 079 ● EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA PROBLEMAK GUZTIZKOAREN ZATI BAT ZENBATEKOA DEN JAKINDA? Ikasgelan, mutilak dira. Zenbat neska daude, guztira 25 ikasle badaude? LEHENA. Ezaguna den zatia, , kenduko diogu guztizkoari, 1, zati ezezaguna kalkulatzeko. neskak dira. BIGARRENA. Zati horrek guztizkoan, 25, adierazten duen proportzioa kalkulatzen da. 15 neska25 3 5 3 5 25 3 25 5 75 5 en = ⋅ = ⋅ = = 1 2 5 5 5 2 5 3 5 − = − = 2 5 2 5 Zenbaki arrazionalak 908272_0014-0043.qxd 27/9/07 17:34 Página 36
- 37. 37 1 BHI bateko ikasleguztien hiru zortziren betaurrekodunak dira. 129 ikaslek badituzte betaurrekoak, zenbat ikasle dira guztira? ikasle dira guztira. Baserritar batek 2.275 m-ko lur-saila hesiz inguratu nahi du. Lehen egunean lanaren egin du, eta bigarrenean, . Zenbat metrotan falta zaio hesia jartzea? → -tan falta zaio. Lagun batzuek 105 km egin dituzte bizikletaz. Lehen egunean bidearen egin dute; bigarrenean, ; eta gainerakoa hirugarrenerako utzi dute. Zenbat km egin dituzte egun bakoitzean? 1. eguna→ 3. eguna → 105 − (28 + 35) = 42 km 2. eguna→ Familia batek bere diru-sarreren etxebizitzaren alokairuan erabiltzen du, telefonoan, eta garraioan eta arropan. Nola banatzen dira gastuak, hileroko diru-sarrerak 3.000 € badira? Alokairua ⎯→ € Garraioa, arropa → € Telefonoa → € Kanpamendu batean, gazteen europarrak dira; , asiarrak; eta gainerakoak, afrikarrak. Guztira 800 gazte badaude: a) Zenbat europar gazte daude? b) Asiarren erdiak neskak badira, zenbat asiar neska daude? c) Gazte horien artean zenbat dira afrikarrak? a) Europarrak→ b) Asiarrak → c) Afrikarrak → 800 − 300 − 160 = 340 1 5 800 2 160 2 80⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = =: : 3 8 800 300⋅ = 1 5 3 8 088 ●● 1 60 3 000 50⋅ =. 1 8 3 000 375⋅ =. 1 15 3 000 200⋅ =. 1 8 1 60 1 15 087 ●● 4 15 105 28⋅ = km 1 3 105 35⋅ = km 4 15 1 3 086 ●● 16 35 2 275 1 040⋅ =. . m1 3 7 2 5 1 29 35 16 35 − + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − = 2 5 3 7 085 ●● 3 8 129 129 8 3 344= = ⋅ = x x→ 084 ●● ERANTZUNAK 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 37
- 38. 38 90 m luzeden burdin haria daukagu. saldu ditugu 3 €/m-an; gainerakoaren, 4 €/m-an; eta geratzen diren metroak, 2 € m-an. Metroa 2 €-an erosi badugu, zenbateko irabazia izan dugu? , 3 €/m-tan, 180 € dira. , 4 €/m-tan, 20 € dira. 90 − 60 − 5 = 25 m, 2 €/m-tan, 50 € dira. Burdin hariak 90 ⋅ 2 = 180 € balio zuen eta 180 + 20 + 50 = 250 € kobratu dugu. Beraz, 250 − 180 = 70 € irabazi dugu. Honela banatu dute hiru lagunek kinielan irabazi dituzten 90 €-ak: lehenengoak bostena eskuratu du; bigarrenak, berriz, lehenengoak jasotakoaren herena; eta hirugarrenak, azkenik, bigarrenak jasotakoaren erdia. a) Zer zatikik adierazten du bakoitzak jaso duena? b) Zenbat diru eskuratu du lagun bakoitzak? c) Zenbat diru utzi dute funtserako? a) 1.a → 2.a → 3.a → b) 1.a → € 2.a → € 3.a → € c) 90 − (18 + 6 + 3) = 63 € utzi dute funtserako. 1 30 90 3⋅ = 1 15 90 6⋅ = 1 5 90 18⋅ = 1 2 1 15 1 30 ⋅ = 1 3 1 5 1 15 ⋅ = 1 5 091 ●● 1 6 90 60 5⋅ − =( ) m 2 3 90 60⋅ = m 1 6 2 3 090 ●● 089 Zenbaki arrazionalak EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA ZATIKI BATEN ZATI BAT? Ainhoak liburu bat irakurri behar du eskolarako. Lehen egunean laurdena iraku- rri du, eta bigarrenean, geratzen zitzaionaren erdia. Zer zatikik adierazten du bi- garren egunean irakurritakoa? LEHENA. Bila gabiltzan zatia adierazten duen zatikia kalkulatuko dugu. Lehen egunekoa: , eta bigarrenekoa: . BIGARRENA. Zatikiaren zatia kalkulatuko dugu. Bigarren egunean irakurri du: . Hortaz, bigarren egunean liburuaren irakurri ditu. 3 8 3 4 2 3 8 : = 1 1 4 3 4 − = 1 4 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 38
- 39. 39 1 Berogailu batean, lehenikuraren erdia gastatu da; eta gero, geratzen zenaren laurdena. Oraindik ere 12 litro geratzen badira, zenbatekoa da berogailuaren edukiera? Lehenik: . Gero: . Geratzen dena: . ¬-koa da berogailuaren edukiera. Lagun batzuek mendiko ibilaldi bat antolatu dute: lehen egunean ibilbide osoaren laurdena egin dute; bigarren egunean, herena egin dute; eta gainerakoa (25 km) hirugarren egunerako utzi dute. Zer zatiki adierazten dute hirugarren egunean egindako kilometroek? Guztira, zenbat kilometro egin dituzte? Hirugarren egunean egindakoa: . Guztira egindako kilometroak: .x = =25 5 12 60: km 1 1 4 1 3 5 12 − − = 094 ●●● x = =12 3 8 32: 1 1 2 1 8 3 8 − − = 1 4 1 1 2 1 8 ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = 1 2 093 ●●● 092 ERANTZUNAK EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA GUZTIZKOA, ZATI BAT ZENBATEKOA DEN JAKINDA? Igerileku bat guztizko edukieraren osatzeraino dago beteta. Oraindik ere 880 litro behar dira erabat betetzeko. Zein da igerilekuaren guztizko edukiera? LEHENA. Igerilekuaren zati hutsa adierazten duen zatikia kalkulatuko dugu. BIGARRENA. x etraz izendatuko dugu igerilekuaren guztizko edukiera. x bakanduz: Igerilekuaren edukiera 3.960 litrokoa da. x = = ⋅ = =880 2 9 880 9 2 7 920 2 3 960: . . x x-ren 2 9 2 9 880= ⋅ = 1 7 9 9 9 7 9 2 9 − = − = 7 9 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 39
- 40. 40 Kalkulatu kenketa hauek. a) Lortutakoemaitzekin, egin batuketa hau. b) Aurreko emaitza kontuan hartuz, zein izango da, zure ustez, batuketa honen emaitza? a) b) Bi ontzi hauek pitxer batean husten aditugu, zein izango da pitxarreko ur- eta ozpin-proportzioa? Nahasteak 5 zati ur eta 2 zati ozpin izango ditu. Uraren proportzioa da, eta ozpinarena, . 2 7 5 7 096 ●●● = − =1 1 1 001 1 000 1 001. . . 1 2 1 6 1 12 1 20 1 30 1 42 1 1 001 000 + + + + + + + =… . . 1 1 001 000 1 1 000 1 1 001. . . . = − = − + − + − + − + − = − =1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1 5 1 5 1 6 1 1 6 5 6 1 2 1 6 1 12 1 20 1 30 + + + + = 1 4 1 5 1 20 − = 1 2 1 3 1 6 − = 1 5 1 6 1 30 − = 1 3 1 4 1 12 − =1 1 2 1 2 − = 1 2 1 6 1 12 1 20 1 30 1 42 1 1 001 000 + + + + + + … + . . 1 2 1 6 1 12 1 20 1 30 + + + + 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1 5 1 5 1 6 1 1 2 - - - - - 095 ●●● NAHASTEA 2 zati ur 1 zati ozpin NAHASTEA 3 zati ur 1 zati ozpin Zenbaki arrazionalak 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 40
- 41. 41 1 Irudiak bederatzi karratuditu, aldearen luzera 1 dutenak. Adierazi puntuek hau betetzen dute: PQ = QR = RS = ST = Zuzen batek puntu horietako batekin lotzen du X,eta azalera bereko bi zatitan banatzen du irudia. Zein da zuzen hori? XQ zuzena da; triangelu eta karratu bana osatzen ditu. Triangeluaren oinarria 4 da, eta altuera, . Beraz, azalera: . Bestalde, karratuaren azalera 1 da. Azalera 3,5 + 1 = 4,5 da, azalera osoaren erdia: . EGUNEROKOAN Auzo-komunitate batek eguzki-plakak instalatu nahi ditu, eraikinean kontsumitzen den energiaren zati bat haien bidez eskuratzeko. Enpresa instalatzaile bati galdetuta, behean ageri diren datuak jaso dituzte. 098 ●●● 9 2 4 5= , 4 7 4 2 3 5⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ =: ,1 3 4 7 4 + = 1 4 X T S R Q P 097 ●● X ERANTZUNAK EGUZKI-PLAKAK JARTZEKO AURREKONTUA Auzo-komunitatea: Eguzki kalea, 23 Eguzki-plakak eta instalazioa. Guztira: 22.000 € Gure txostenaren arabera, eguzki-plakak jartzeak orain kontsumitzen dugun energiaren aurrezteko aukera emango liguke. 2 7 Q 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 41
- 42. 42 Enpresa instalatzaileak auzo-komunitatearijakinarazi dio zenbait erakunde ofizialek diru-laguntzak ematen dituztela eguzki-plakak jartzeko. Auzo-komunitatea argindarrez hornitzen duen enpresa elektrikoak 8,6726 zentimo kobratzen ditu kilowatteko. Bi hileko azken ordainagirian 48 auzoetako bakoitzak 46,34 € ordaindu ditu. Zenbateko epean amortizatuko dituzte eguzki-plakak eta instalazioa, komunitatearen kontsumoa jarraitua bada? Plaken kostua eta instalazioa: 22.000 €. Diru-laguntza: ⋅ 22.000 = 11.000 €. Hileko gastua: (48 ⋅ 46,34) : 2 = 1.112,16 €. Gastuan aurreztutakoa: €. Amortizazio-epea: (22.000 − 11.000) : 317,76 = 34,62 hil. Beraz, hiru urte baino gutxiago beharko dute gastua amortizatzeko. Aste Santuan gertatutako auto-istripuei buruzko berriek agerian utzi dute ezbehar kopuruak gora egin duela nabarmen. 099 ●●● 2 7 1 11216 317 76⋅ =. , , 1 2 ENERGIAREN DIBERTSIFIKAZIORAKO ETA AURREZTEKO ERAKUNDEA Jakinarazten dizugu zure auzo-komunitateak Eguzki kaleko 23ko eraikinean eguzki-plakak jartzeko egin zuen diru- laguntzaren eskaria onartua izan dela. Diru-laguntza hori eguzki-plaken eta instalazioaren kostuaren erdia izango da. Zenbaki arrazionalak Aste Santuan errepidean izandako ezbeharren kopurua 108 pertsona hil dira auto-istripuetan Autoan hildakoen erdiek ez ze- ramaten segurtasun-uhala lotuta. Motoan hildakoen hirutik ba- tek ez zuen kaskoa jarrita. Hildakoen erdiek 35 urte bai- no gutxiago zituzten. Haien arte- an lautik batek, berriz, 25 urte baino gutxiago zituen Bost istriputik bitan arreta gal- tzea ageri da arrazoi nagusi gisa; bide-arauak haustea, berriz, bost istriputik batean; eta gehiegizko abiaduran joatea, hamarretik hi- rutan. Ibilgailua Hildakoak Autoak 91 Motoak 17 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 42
- 43. 43 1 Azken paragrafoa istripueiburuzkoa da, baina guk hildakoei buruzkoa balitz bezala ebatziko dugu problema; beraz, paragrafoa hau izango litzateke: Arreta galtzea faktore nagusia izan da bost hildakotik bitan; bide-arauak haustea, hirutik batean; eta gehiegizko abiadura, hamarretik hirutan. Horrela ez eginez gero, ezingo litzateke hildakoen kopurua finkatu; izan ere, istripu batean hildako bat baino gehiago egon daiteke edo bakar bat ere ez. ERANTZUNAK Hildakoak Segurtasun-neurriak Uhala lotu gabe zihoan 1 2 91 45 5 46⋅ = ≈, Ez zuen kaskoa jarrita 1 3 17 5 6 6⋅ = ≈, Segurtasun-neurriak betetzen zituen 108 − 46 − 6 = 56 Adin-tarteak 35 urtetik beherakoak 1 2 108 54⋅ = 35 urtetik gorakoak 1 2 108 54⋅ = 25 urtetik beherakoak 1 4 54 13 5 14⋅ = ≈, Istripuaren arrazoi nagusia Arreta galtzea 2 5 108 43 2 43⋅ = ≈, Bide-arauak haustea 1 3 108 36⋅ = Gehiegizko abiadura 3 10 108 32 4 32⋅ = ≈, Aurreko arrazoietatik bat ere ez Gehiegizko abiadura bide-arauak haustea da; beraz, 108 − 36 − 43 = 29. 29 pertsona hil ziren horren ondorioz. Istripuaren arrazoi nagusia arrazoi bakar bat dela ari gara suposatzen; hau da, ez da kontuan hartu istripuak arrazoi nagusi bat baino gehiago izan dezakeela. 908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 43
- 44. 44 Zenbaki errealak2 ADIERAZPENA ZENBAKI ARRAZIONALAK ZENBAKI IRRAZIONALAK BERREKETA HURBILKETAK ERROREAK ZENBAKI ERREALAK BERRETZAILE POSITIBOA BERRETZAILE NEGATIBOA IDAZKERA ZIENTIFIKOA ERAGIKETAK BATUKETAKENKETA BIDERKETA ZATIKETA 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 44
- 45. Arrazoi irrazionala Kristo aurrekoV. mendearen hasieran, bizitzaren ilunabarrean zegoen Pitagoras handiak, mundua eta hark zenbakiekin duen harremana ikertu zituenak, kreazioko gauza guztien edertasun arrazionala aurkitu zuenak, hau aitortu zion ikasleetako bati, arranguraz beteta: –Entzun –esan zion Hipaso Metapontokoari–; bizitza osoa igaro dut egia zenbakietan bilatzen; haietan, edo haien arrazoietan, zegoen gizatiartasunaren eta jainkotiartasunaren azalpena; dena zen perfektua eta azalgarria, arrazoizkoa... Hipasok miretsita begiratzen zion maisuari, buruarekin baiezkoa eginez. Bitartean, Pitagorasek aurrera egin zuen: –Nire bizitza bukatzear dagoen honetan, egia lazgarri bat aitortu behar dizut: aspaldi aurkitu nituen; beste batzuk daude. –Beste batzuk? –galdetu zuen Hipasok. –Bai, hor daude, baina neurtezinak dira: edonork egin dezake aldeen luzera 1 duen karratu bat; haatik, ez da haren diagonala neurtzeko gai izango. Pentalfaren arrazoia ere, ez da arrazoizkoa; beste horietako bat baizik, antzaldatuta. Sinesten ez baduzu, saiatu 3 urrats zabal eta 5 urrats luze den gela honen diagonala neurtzen. Pitagorasen teorema aplikatuko dugu: Gelaren zabalera eta luzera zenbaki osoen bidez neur daitezkeen arren, diagonala zenbaki irrazional bat da; hau da, ez da neurgarria. 3 5 9 25 34 5 830951 2 2 ++ ++= = = = , … 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 45
- 46. 46 ARIKETAK Kalkulatu berreketa hauek. a)32 d) (−5)3 g) (4,25)4 b) 74 e) (−2,02)4 h) c) (−9)2 f) i) (−14,32)8 a) 9 d) −125 g) 326,25390625 b) 2.401 e) 16,64966416 h) c) 81 f) i) 8.622.994,474905370624 Kalkulatu (−0,8)2 , (−0,8)3 eta (−0,8)4 . Zein da handiena? (−0,8)2 = 0,64 (−0,8)3 = −0,512 (−0,8)4 = 0,4096 Handiena (−0,8)2 da. Adierazi berreketa gisa. a) 3 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 3 b) a) 36 b) Kalkulatu berreketa hauek. a) 7−3 d) (−5)−2 g) j) b) 71 e) (−5)0 h) k) c) 7−1 f) (−5)−1 i) l) a) e) 1 i) b) 7 f) j) c) g) k) 1 d) h) l) − 5 8 8 5 1 5 1 252 ( )− = 5 8 625 4 096 4 4 = . 1 7 − = − 5 8 5 5 3.125 32.768 1 5 1 51 ( )− = − 5 8 1 7 1 3433 = − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − 8 5 1 8 5 1 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 8 5 0 8 5 1 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − 8 5 5 8 5 4 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − 004 − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 1 7 3 − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ 1 7 1 7 1 7 003 002 − 3.125 32.768 − 1 27 − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 5 8 5 − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 1 3 3 001 Zenbaki errealak 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 46
- 47. 47 2 Esan zuzena alaokerra den. a) Berretzaile negatiboko berreketak beti dira positiboak. b) 0 berretzaileko berreketak beti dira positiboak. a) Okerra, berretzailea bikoitia bada soilik izango da positiboa. b) Zuzena, 1 da beti. Nola kalkulatuko zenuke (0,2)−3 ? Kalkulatu. a) (8 ⋅ 4)3 d) [6 ⋅ 5]−2 b) [(−1) ⋅ (−4)]3 e) [(−3) ⋅ 5]−2 c) f) a) 83 ⋅ 43 = 512 ⋅ 64 = 32.768 d) b) (−1)3 ⋅ (−4)3 = (−1) ⋅ (−64) = 64 e) c) f) Ebatzi: a) b) a) b) (−6)5 = 65 = 7.776 Esan desberdintza hauetatik zein den zuzena. a) b) a) Zuzena da: . b) Okerra da: .[ ( )]2 1 2 164 4 ⋅ − = = > 1 2 1 2 1 8 3 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = < 1 4 [ ( )]2 1 1 2 4 ⋅ − < 1 2 1 4 3 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ < 009 14 3 14 3 5 5 5 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = = 537.824 243 3 5 10 2 ⋅ − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ − ( )2 7 3 5 ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 008 3 5 2 2 = 9 25 4 5 3 3 = 64 125 1 3 5 1 9 25 1 2252 2 ( )− ⋅ = ⋅ = 1 6 5 1 36 25 1 9002 2 ⋅ = ⋅ = − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − 5 3 2 4 5 3 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 007 0 2 1 5 0 2 1 5 5 125 3 3 3 , ,= ( ) = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = = − − → 006 005 ERANTZUNAK 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 47
- 48. 48 Adierazi berreketa bakarbaten bidez. a) 54 ⋅ 56 e) [22 ]3 b) (−9)6 : (−9)2 f) [(−2)2 ]3 c) g) d) h) a) 54+6 = 510 e) 22⋅3 = 26 b) (−9)6−2 = 94 f) (−2)2⋅3 = 26 c) g) d) h) Sinplifikatu berreketen eragiketa hauek. a) (43 ⋅ 42 )3 d) (711 : 75 )2 b) [(−5)3 : (−5)2 ]2 e) (72 ⋅ 94 )2 c) [(4,2)4 ⋅ (4,2)3 ]4 f) [(−3)5 ⋅ 45 ]2 a) 4(3+2)⋅3 = 415 d) 7(11−5)⋅2 = 712 b) (−5)(3−2)⋅2 = 52 e) 74 ⋅ 98 c) (4,2)(4+3)⋅4 = (4,2)28 f) 310 ⋅ 410 Adierazi berreketa bakar baten bidez. a) 25 ⋅ 43 b) (3−5 ⋅ 93 )−2 a) 25 ⋅ 43 = 25 ⋅ 26 = 211 b) (3−5 ⋅ 93 )−2 = (3−5 ⋅ 36 )−2 = 3−2 Idatzi, idazkera zientifikoa erabiliz. a) 493.000.000 c) 0,0004464 e) 253 b) 315.000.000.000 d) 12,00056 f) 256,256 a) 4,93 ⋅ 108 c) 4,464 ⋅ 10−4 e) 2,53 ⋅ 102 b) 3,15 ⋅ 1011 d) 1,200056 ⋅ 101 f) 2,56256 ⋅ 102 Idatzi idazkera zientifikoz emandako zenbaki hauek, zifra guzti-guztiak jarriz. a) 2,51 ⋅ 106 b) 9,32 ⋅ 10−8 c) 3,76 ⋅ 1012 a) 2.510.000 b) 0,0000000932 c) 3.760.000.000.000 014 013 012 011 − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − 4 3 4 3 1 3 3 0 3 5 3 5 4 2 8 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ · − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ + 4 3 4 3 3 3 6 5 6 5 6 10 6 4 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 4 3 4 3 3 3 : 3 5 4 2 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 4 3 4 3 3 3 5 6 5 6 10 6 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ : 010 Zenbaki errealak 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 48
- 49. 49 2 Idazkera zientifikoari jarraiki,zenbaki hauek ez daude zuzen idatzita. Zuzendu. a) 0,247 ⋅ 108 b) 24,7 ⋅ 108 c) 0,247 ⋅ 10−8 a) 2,47 ⋅ 107 b) 2,47 ⋅ 109 c) 2,47 ⋅ 10−9 Banketxe baten finantza-aktiboak 52 bilioi euro dira, gutxi gorabehera. Adierazi kopuru hori idazkera zientifikoa erabiliz. 5,2 ⋅ 1013 Ebatzi eragiketa hauek, idazkera zientifikoa erabiliz. a) 7,77 ⋅ 109 − 6,5 ⋅ 107 d) (34 ⋅ 103 ) ⋅ (25,2 ⋅ 10−2 ) b) 0,05 ⋅ 102 + 1,3 ⋅ 103 e) (0,75 ⋅ 107 ) : (0,3 ⋅ 103 ) c) 37,3 ⋅ 10−2 + 0,01 ⋅ 102 f) (8,06 ⋅ 109 ) ⋅ (0,65 ⋅ 107 ) Ez ahaztu emaitza idazkera zientifikoan adierazi behar dela beti. a) 777 ⋅ 107 − 6,5 ⋅ 107 = 770,5 ⋅ 107 = 7,705 ⋅ 109 b) 0,005 ⋅ 103 + 1,3 ⋅ 103 = 1,305 ⋅ 103 c) 0,373 ⋅ 100 + 1 ⋅ 100 = 1,373 ⋅ 100 d) 3,4 ⋅ 104 ⋅ 2,52 ⋅ 10−1 = 8,568 ⋅ 103 e) (7,5 ⋅ 106 ) : (3 ⋅ 102 ) = 2,5 ⋅ 104 f) (8,06 ⋅ 109 ) ⋅ (6,5 ⋅ 106 ) = 52,39 ⋅ 1015 = 5,239 ⋅ 1016 Kalkulatu kasu bakoitzean falta den gaia. a) 2,5 ⋅ 106 − = 8,4 ⋅ 105 c) (2,5 ⋅ 106 ) ⋅ = 8,4 ⋅ 105 b) 9,32 ⋅ 10−3 + = 5,6 ⋅ 10−2 d) (9,52 ⋅ 10−3 ) : = 5,6 ⋅ 10−2 a) = 1,66 ⋅ 106 c) = 3,36 ⋅ 101 b) = 4,668 ⋅ 10−2 d) = 11,7 ⋅ 10−1 Ebatzi batuketa hau: 7,8 ⋅ 1099 + 5 ⋅ 1099 . Ondoren, egin batuketa kalkulagailuz. Zer gertatzen da? Zergatik gertatzen da hori? 7,8 ⋅ 1099 + 5 ⋅ 1099 = 1,28 ⋅ 10100 . Kalkulagailuz ∃ lortzen da, magnitude ordena 100 baita, 3 zifrakoa, eta kalkulagailuak 2 zifra bakarrik erabiltzen ditu. Adierazi zenbaki hamartar hauek arrazionalak ala irrazionalak diren. a) 4,325325325… b) 4,330300300030000300000… c) 1,23233233323333233333... d) 3,12359474747… a) Arrazionala. c) Irrazionala. b) Irrazionala. d) Arrazionala. 020 019 018 017 016 015 ERANTZUNAK 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 49
- 50. 50 Idatzi bost zenbakiarrazional eta bost irrazional. Arrazionalak →1,16 ) ; 1,6 ) ; 8; 2,83 ) ; 0,4625 Irrazionalak → 2,123456789101112...; 6,111213141516171819...; 0,010010001...; π; Eman al dezakezu komaren ostean hamartar bakarra duen zenbaki irrazionalik? Eta bi dituenik? Ez, infinitu digitu behar baitira komaren ostean. Eten ehunenetan eta milarenetan, eta biribildu ehunenetara eta milarenetara. a) 1,234564668 g) b) 2,7 ) h) 3,222464 c) 4,51 ) i) d) 1,43643625 j) 1,6467538 e) 2,222 k) 1,1234… f) 3,127 ) l) 5,5 ) a) Etendura: 1,23 eta 1,234. Biribilketa: 1,23 eta 1,235. b) Etendura: 2,77 eta 2,777. Biribilketa: 2,78 eta 2,778. c) Etendura: 4,51 eta 4,515. Biribilketa: 4,52 eta 4,515. d) Etendura: 1,43 eta 1,436. Biribilketa: 1,44 eta 1,436. e) Etendura: 2,22 eta 2,222. Biribilketa: 2,22 eta 2,222. f) Etendura: 3,12 eta 3,127. Biribilketa: 3,13 eta 3,128. g) Etendura: 2,23 eta 2,236. Biribilketa: 2,24 eta 2,236. h) Etendura: 3,22 eta 3,222. Biribilketa: 3,22 eta 3,222. i) Etendura: 1,73 eta 1,732. Biribilketa: 1,73 eta 1,732. j) Etendura: 1,64 eta 1,646. Biribilketa: 1,65 eta 1,647. k) Etendura: 1,12 eta 1,123. Biribilketa: 1,12 eta 1,123. l) Etendura: 5,55 eta 5,555. Biribilketa: 5,56 eta 5,556. Kalkulatu aurreko ariketako atal bakoitzean egindako errore absolutua eta errore erlatiboa. a) b) c) Hurbilketa 4,51 4,515 4,52 Errore absolutua 0,005151515 0,000151515 0,004848485 Errore erlatiboa 0,00114094 3,3557E−05 0,001073826 Hurbilketa 2,77 2,777 2,78 2,778 Errore absolutua 0,007777778 0,000777778 0,002222222 0,000222222 Errore erlatiboa 0,0028 0,00028 0,0008 0,00008 Hurbilketa 1,23 1,234 1,235 Errore absolutua 0,004564668 0,000564668 0,000435332 Errore erlatiboa 0,003697391 0,000457382 0,00035262 024 3 5 023 022 2 021 Zenbaki errealak 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 50
- 51. d) e) f) g) h) i) j) k) l) 2,1236 g-ko zizarebaten pisua hurbiltzerakoan 0,0236 g-ko errore absolutua egin dugu. 824,36 kg-ko idi batena hurbiltzerakoan, berriz, 4,36 kg-ko errorea. Zein kasutan egin dugu errore handiena? Zizarearen kasuan, errore erlatiboa 0,01111 da. Idiaren kasuan, errore erlatiboa 0,00528 da. Zizarearen kasuan egin dugu errore handiena. Adierazi zenbakia zuzen errealean, modu zehatzean. Horretarako, egin1 cm eta cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzena. 2 3026 025 Hurbilketa 5,55 5,555 5,56 5,556 Errore absolutua 0,005555556 0,000555556 0,004444444 0,000444444 Errore erlatiboa 0,001000000 0,000100000 0,000800000 0,000080000 Hurbilketa 1,12 1,123 Errore absolutua 0,003456789 0,000456789 Errore erlatiboa 0,003076922 0,000406592 Hurbilketa 1,64 1,646 1,65 1,647 Errore absolutua 0,006753800 0,000753800 0,003246200 0,000246200 Errore erlatiboa 0,004101281 0,000457749 0,001971272 0,000149506 Hurbilketa 1,73 1,732 Errore absolutua 0,002050808 0,000050808 Errore erlatiboa 0,001184034 0,000029334 Hurbilketa 3,22 3,222 Errore absolutua 0,002464000 0,000464000 Errore erlatiboa 0,000764632 0,000143989 Hurbilketa 2,23 2,236 2,24 Errore absolutua 0,006067977 0,000067977 0,003932023 Errore erlatiboa 0,002713682 0,000030400 0,001758454 Hurbilketa 3,12 3,127 3,13 3,128 Errore absolutua 0,007777778 0,000777778 0,002222222 0,000222222 Errore erlatiboa 0,002486679 0,000248668 0,00071048 0,00007 Hurbilketa 2,22 2,222 Errore absolutua 0,002 0 Errore erlatiboa 0,00090009 0 Hurbilketa 1,43 1,436 1,44 Errore absolutua 0,00643625 0,00043625 0,00356375 Errore erlatiboa 0,004480707 0,000303703 0,002480966 51 2ERANTZUNAK 1 1 1 0 3 3 2 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 51
- 52. 52 Adierazi zenbakia, baimodu zehatzean, bai hamarrenetara hurbilduta. Erabili 1 cm eta 2 cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzena. Zer zenbakiren adierazpena da irudi hau? OP2 = 22 + 22 = 4 + 4 = 8 → OP = Adierazi grafikoki modu zehatzean. Nola egin duzu? Ardatz horizontalean 3 bateko hartu behar dira, eta bertikalean, 2. Hipotenusaren luzera: Adierazi grafikoki tarte hauek. a) [1, 4] b) (2, 5) c) (3, 6] d) [3, 7) a) b) c) d) Zer tarteren adierazpena da hau? (−7, −1) tartearena. Zer zenbaki hartzen ditu (-1, 4] tarteak? a) 0 b) 3,98 c) d) −0,3 ) Zenbaki guztiak tartekoak dira. 2 032 −7 −1 031 3 7 3 6 2 5 1 4 030 3 2 132 2 + = 13 13 2 2 310 13029 82 210 P 028 5 2 236067= …, 5027 Zenbaki errealak 0 2,2 2,4 2,7 1 2 1 5 5 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 52
- 53. 53 2 Zenbat puntu daude[1, 2] tartean? Eta [1,1; 1,2] tartean? Eta [1,11; 1,12] tartean? Hutsa ez den edozein tartetan infinitu puntu daude. ARIKETAK Idatzi biderketa hauek berreketa gisa eta kalkulatu emaitzak. a) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 b) (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) c) a) 24 = 16 b) (−5)6 = 15.625 c) Adierazi behekoak biderketa gisa eta kalkulatu emaitzak. a) (−3)4 c) 56 e) (2,5)3 b) d) f) (−2,3)4 a) (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = 81 b) c) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 15.625 d) e) (2,5) ⋅ (2,5) ⋅ (2,5) = 15,625 f) (−2,3) ⋅ (−2,3) ⋅ (−2,3) ⋅ (−2,3) = 27,9841 Idatzi adierazpen hauek berreketa gisa, ahal bada. a) 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 e) (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−2) ⋅ (−3) b) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 f) (6 + 6 + 6 + 6) ⋅ 6 c) 4 ⋅ 4 ⋅ 4 + 4 g) 23 + 23 + 23 + 23 d) 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 5 h) 5 + 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 a) 95 e) 63 b) Ezin da. f) Ezin da. c) Ezin da. g) Ezin da. d) Ezin da. h) Ezin da. 036 ●● 10 3 10 3 100 9 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ 1 2 1 2 1 2 ⎟⎟ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ 1 2 1 2 1 2 ⎟⎟⎟⎟⎟ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − 1 2 1 128 10 3 2 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 1 2 7 035 ● −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = −2 5 8 125 3 −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ 2 5 2 5 2 5 ⎟⎟ 034 ● 033 ERANTZUNAK 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 53
- 54. 54 Kalkulatu berreketa hauenemaitzak, kalkulagailua erabiliz. a) 25 d) g) (0,7)2 j) (−2)5 b) 64 e) h) (0,04)6 k) (−6)4 c) 123 f) i) (1,32)8 l) (−12)3 a) 64 e) 5,0625 i) 9,2170395205042176 b) 1.296 f) 0,027 j) −32 c) 1.728 g) 0,49 k) 1.296 d) 0,000244140625 h) 0,000000004096 l) −1.728 Adierazi zenbaki hauetako bakoitza zenbaki positibo baten berreketa gisa. a) 8 b) 27 c) 16 d) 81 e) 64 f) 125 g) 49 h) 121 a) 23 b) 33 c) 24 d) 34 e) 26 f) 53 g) 72 h) 112 Idatzi zenbaki hauetako bakoitza zenbaki negatibo baten berreketa gisa. a) 16 c) 49 e) 121 g) −27 i) 64 b) −125 d) −128 f) 144 h) −216 a) (−4)2 c) (−7)2 e) (−11)2 g) (−3)3 i) (−8)2 b) (−5)3 d) (−2)7 f) (−12)2 h) (−6)3 Kalkulatu berreketa hauek. a) (−2)2 b) (−3)3 c) −(−82 ) d) −(−2)3 a) 4 b) −27 c) −64 d) 8 Esan berdintza hauek zuzenak diren ala ez. a) Okerra. d) Okerra. b) Zuzena. e) Zuzena. c) Okerra. f) Zuzena. 041 ●● 040 ●● 039 ●● 038 ●● 3 10 3 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 3 2 4 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 1 4 6 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 037 ● Zenbaki errealak 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 54
- 55. 55 2 Idatzi zenbaki bakoitzazenbaki oso baten berreketa gisa. a) −81 d) −1.000 g) −49 b) −8 e) −25 h) −2.187 c) −16 f) −512 i) −7.776 a) −34 d) (−10)3 g) −72 b) (−2)3 e) −52 h) (−3)7 c) −24 f) (−2)9 i) (−6)5 Kalkulatu a-ren balioa berdintza hauetan. a) 2a = 32 c) a4 = 2.401 b) 3a = 729 d) a3 = 216 a) a = 5 c) a = 7 b) a = 6 d) a = 6 Kalkulatu berreketa hauek. a) 2−3 d) 4−2 g) (−5,02)−3 b) (1,3)−2 e) (−3)−2 h) (−2)−4 c) f) i) a) b) c) 22 = 4 d) e) 0,1 ) f) g) h) i) (−6)2 = 36 1 2 1 16 0 06254 ( )− = = , 1 5 02 1 00790476293 ( )− = = , 126,506008 0, 5 3 125 27 3 3 ( )− = − 1 3 1 92 ( )− = = 1 4 1 16 0 06252 = = , 1 13 1 169 0 59171592 ( ), , ,= = 1 2 1 8 01253 = = , − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − 1 6 2 −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − 3 5 3 1 2 2 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − 044 ● 043 ●●● 042 ●● ERANTZUNAK 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 55
- 56. 56 Kalkulatu berreketen emaitzak,kalkulagailua erabiliz. a) 7−4 c) (−0,07)−4 e) (0,12)−7 b) (−4)−7 d) f) a) 0,0004164931 d) 0,19753086419753 b) −0,00006103515625 e) 2.790.816,47233653 c) 41.649,312786339 f) −0,064 2−2 , 2−3 eta 2−5 berreketak ditugu. a) Zein da handiena? b) Nolakoa da berreketa, berretzaile negatiboaren balio absolutua handitzen doan heinean? c) Erantzun aurreko galderei, baina 0,7−3 , 0,7−4 eta 0,7−5 berreketak dituzula. a) Berreketa handiena 2−2 da. b) Berretzailearen balio absolutua handiagoa den heinean, berreketa orduan eta txikiagoa da. c) Handiena 0,7−5 da. Zenbat eta handiagoa berretzailearen balio absolutua orduan eta handiagoa da berreketa. Kasu honetan, berrekizuna bata baino txikiagoa da; horregatik da aurreko kasuaren desberdina. Kalkulatu berreketa hauen balioak. a) 25 ⋅ 23 d) (−4)9 ⋅ (−4)5 ⋅ (−4) b) 25 : 23 e) (−4)9 : (−4)5 : (−4) c) 37 ⋅ 32 ⋅ 34 f) (7 ⋅ 4)0 a) 28 = 256 d) (−4)15 = −1.073.741.824 b) 22 = 4 e) (−4)3 = −64 c) 313 = 1.594.323 f) 1 Kalkulatu berreketen eragiketa hauen emaitzak, kalkulagailua erabiliz. a) (0,03)2 ⋅ (0,03)4 b) (4,1)6 ⋅ (4,1)4 c) (1,2)2 ⋅ (1,2)5 ⋅ (1,2)8 d) (0,6)2 ⋅ (0,6)4 ⋅ (0,6)12 e) (0,7)6 ⋅ (0,7)13 ⋅ (0,7)11 a) 7,29 ⋅ 10−10 b) 1.342.265,931 c) 15,40702157 d) 1,015599567 ⋅ 10−4 e) 2,25393403 ⋅ 10−5 048 ● 047 ● 046 ●●● − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − 5 2 3 3 2 4 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − 045 ● Zenbaki errealak 908272 _ 0044-0073.qxd 28/9/07 12:58 Página 56
- 57. 57 2 Adierazi emaitzak, berreketabakar baten bidez. a) (33 ⋅ 34 ⋅ 38 ) : 39 b) (−2)4 ⋅ (−2)6 ⋅ (−2)5 c) (−7)8 : (−7)4 ⋅ (−7)2 d) e) f) (−5)8 : [(−5)3 : (−5)3 ] g) [69 ⋅ 65 ] : [64 ⋅ 62 ] a) 36 b) (−2)15 e) c) (−7)6 = 76 f) (−5)8 d) g) 68 Ebatzi adierazpen hauek, berreketen propietateak aplikatuz. a) 74 ⋅ 34 = 2.401 ⋅ 81 = 194.481 b) (−5)5 ⋅ 35 = −3.125 ⋅ 243 = −759.375 c) d) (−8)3 : 53 = −512 : 125 e) f) g) (−6)18 h) (0,3)6 i) (−0,5)30 j) − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 3 6 5 4 6 7 3 4 5 5 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = −: 55 5 5 5 5 5 3 6 7 2 7 ⋅ ⋅ = − ( ) ( ) 016 3 0 0256 9 2 2 , , − = 64 27 512 216 4 096 729 ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − . 050 ●● 5 2 1 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 1 9 1 9 2 2 − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ −1 9 1 9 2 3 : 11 9 1 9 4 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ : 5 2 5 2 5 2 4 3 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ : 66 049 ●● ERANTZUNAK a) (7 ⋅ 3)4 b) [(−5) ⋅ 3]5 c) d) [(−8) : 5]3 e) [(0,16) : (−3)]2 f) g) (−6)2 ⋅ (−6)4 ⋅ (−6)12 h) (0,3)2 ⋅ (0,3)4 i) (−0,5)6 ⋅ (−0,5)13 ⋅ (−0,5)11 j) − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 3 6 3 6 3 2 4 6 7 3 5 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ : 4 3 8 6 3 ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 57
- 58. 58 Adierazi zatiketa bakoitzarenemaitza, berreketa bakar baten bidez. a) 38 : 34 d) 3140 : (−31)4 : (−31) b) (−9)12 : (−9)4 e) (0,5)30 : (0,5)5 : (0,5)3 c) (−12)15 : 123 : 125 a) 34 d) −3135 b) (−9)8 e) (0,5)22 c) −127 Osatu. a) 23 ⋅ = 25 d) (−3)12 : = (−3)6 b) (−4)5 ⋅ = (−4)10 e) : 56 = 5 c) ⋅ = f) : a) 23 ⋅ 22 = 25 b) (−4)5 ⋅ (−4)5 = (−4)10 c) d) (−3)12 : (−3)6 = (−3)6 e) 57 : 56 = 5 f) Bilatu a-ren balioa berdintza hauetan. a) 5a ⋅ 53 = 56 c) (−6)a : (−6)8 = (−6)0 b) (−2)5a : (−2)2a = (−2)6 d) a) a = 3 c) a = 8 b) a = 2 d) a = 3 5 3 5 3 5 3 3 2 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ a ⎟⎟ 9 054 ●●● − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟1 3 1 3 1 3 3 0 : ⎟⎟⎟⎟ 3 7 2 7 2 7 2 6 1 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 77 − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 1 3 1 3 0 3 7 2 7 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 7 2 6 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 053 ●● 052 ●● EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA AURKAKO BERREKIZUNAK DITUZTEN BERREKETEN BIDERKETAK? Adierazi berreketa bakar batez: (−3)4 ⋅ 32 . LEHENA. Berrekizun negatiboa deskonposatuko dugu; ondoren, biderketaren berreketa-propietatea aplikatuko dugu. (−3)4 ⋅ 32 = (−1 ⋅ 3)4 ⋅ 32 = (−1)4 ⋅ 34 ⋅ 32 BIGARRENA. Berrekizun bereko berreketen eragiketak egin, eta ebatzi egingo dugu. (−1)4 ⋅ 34 ⋅ 32 = (−1)4 ⋅ 34+2 = 1 ⋅ 36 = 36 051 Zenbaki errealak 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 58
- 59. 59 2 Ebatzi eragiketa hauek. a)25 b) 2−6 ⋅ 2−4 = 2−10 c) (−3)−3 d) (−3)8 : (−3)5 = (−3)3 e) f) g) 33 h) (−5)11 i) (−6)−15 ⋅ (−6)−20 = (−6)−35 Adierazi eta zuzendu berdintza hauen akatsak. a) 32 + 33 + 35 = 32+3+5 = 310 b) 32 ⋅ 33 − 35 = 32+3 − 35 = 35 − 35 = 30 = 1 c) 49 : 42 ⋅ 44 = 49 : 42+4 = 49 : 46 = 49−6 = 43 d) (−2)6 ⋅ (−2)3 = [(−2) ⋅ (−2)]6+3 = 49 e) −32 ⋅ 32 = (−3)2+2 = (−3)4 = 34 f) 2 ⋅ (−3)2 = [2 ⋅ (−3)]2 = (−6)2 = 62 g) 85 ⋅ 87 = (8 + 8)5+7 = 1612 h) 31 ⋅ 30 = 31⋅0 = 30 = 1 a) 32 ⋅ 33 ⋅ 35 = 32+3+5 = 310 b) 32 ⋅ 33 − 35 = 32+3 − 35 = 35 − 35 = 0 c) 49 : 42 ⋅ 44 = 49−2 ⋅ 44 = 47 ⋅ 44 = 47+4 = 411 d) (−2)6 ⋅ (−2)3 = (−2)6+3 = (−2)9 e) −32 ⋅ 32 = −32+2 = −34 f) 2 ⋅ (−3)2 g) 85 ⋅ 87 = 812 h) 31 ⋅ 30 = 31+0 = 31 056 ●● −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − − 1 4 1 4 1 4 6 6 : ⎟⎟⎟⎟ = 0 1 1 3 9 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 055 ●● ERANTZUNAK a) 24 ⋅ 2−2 ⋅ 23 b) (2−2 )3 ⋅ 2−4 c) (−3)−5 : (−3)2 ⋅ (−3)4 d) [(−3)−2 ]−4 : (−3)5 e) f) g) 3−6 : 3−7 ⋅ 32 h) (−5)8 : (−5)−2 : (−5)−1 i) [(−6)3 ]−5 ⋅ [(−6)−5 ]4 −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ − − 1 4 1 4 6 2 : 33 1 3 1 3 1 3 2 5 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ − : ⎟⎟ −6 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 59
- 60. 60 Argudiatu berdintza hauekzuzenak diren ala ez. a) 9−1 = −9 b) (−2)−4 = 24 c) (−3)−6 = 3−6 d) (−3)−3 = (−3)−2 ⋅ 3−1 e) 4−3 = (−4)−1 ⋅ (−4)4 f) (2−5 )−1 = 2−6 a) Okerra: . b) Okerra: . c) Zuzena: . d) Okerra: (−3)3 = (−3)2 ⋅ (−3)−1 (−3)2 ⋅ 3−1 . e) Okerra: (−4)−1 ⋅ (−4)4 = (−4)3 4−3 . f) Okerra: (2−5 )−1 = 25 . Adierazi berreketa bakar baten bidez. a) (23 )4 b) [(−3)3 ]2 c) [−64 ]3 d) e) f) [−52 ]4 a) 212 c) −612 e) b) (−3)6 d) f) 58 Kalkulatu berreketa hauen balioak. a) [(−3)2 ]2 ⋅ [(−3)3 ]3 b) [(5)8 ]2 : [(−5)4 ]3 a) (−3)4 ⋅ (−3)9 = (−3)13 = 1.594.323 b) 516 : (−5)12 = 516 : 512 = 54 = 625 059 ●● 1 3 8 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 3 5 15 − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 3 5 3 5 1 3 2 4 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 058 ● ( ) ( ) − = − = =− − 3 1 3 1 3 36 6 6 6 ( )− = =− − 2 2 1 2 4 4 4 9 1 9 1− = 057 ●● Zenbaki errealak 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 60
- 61. 61 2 Ebatzi. a) (−2)−4 ⋅ [(−2)2 ]3 e)−2−3 ⋅ (−2−4 ) b) 34 ⋅ [(−3)2 ]−2 f) (−26 ) ⋅ (−2−6 ) c) (−8)3 ⋅ 2−4 g) (−3)4 ⋅ (−34 ) d) (−2)−3 ⋅ 2−3 h) 4−3 ⋅ 2−2 a) (−2)−4 ⋅ (−2)6 = (−2)2 e) 2−7 b) 34 ⋅ 3−4 = 30 = 1 f) 20 = 1 c) (−2)9 ⋅ 2−4 = (−2)5 g) −38 d) −2−3 ⋅ 2−3 = −2−6 h) 2−6 ⋅ 2−2 = 2−8 Osatu berdintza hauek. a) [(−5)3 ] : (−5)7 = (−5)5 c) [73 ]5 : 7 = 1 b) [ 2 ]5 ⋅ 4 = (−3)14 d) 119 ⋅ [112 ]3 = 11 a) [(−5)3 ]4 : (−5)7 = (−5)5 b) [(−3)2 ]5 ⋅ (−3)4 = (−3)14 c) [73 ]5 : 715 = 1 d) 119 ⋅ [112 ]3 = 1115 Sinplifikatu berreketen biderketa hauek. a) 54 ⋅ 253 e) −123 ⋅ 185 b) 84 ⋅ 162 f) (−63)5 ⋅ 212 c) 63 ⋅ 125 g) −723 ⋅ (−4)7 d) 47 ⋅ 32 h) 322 ⋅ (−24)3 a) 54 ⋅ 56 = 510 e) −26 ⋅ 33 ⋅ 25 ⋅ 310 = −211 ⋅ 313 b) 212 ⋅ 28 = 220 f) −310 ⋅ 75 ⋅ 32 ⋅ 72 = −312 ⋅ 77 c) 23 ⋅ 33 ⋅ 210 ⋅ 35 = 213 ⋅ 38 g) −36 ⋅ 29 ⋅ (−214 ) = 36 ⋅ 223 d) 214 ⋅ 25 = 219 h) 210 ⋅ (−2)9 ⋅ 33 = (−2)19 ⋅ 33 063 ●●● EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA BERREKETEN BIDERKETAK, BERREKIZUNEK BIDERKAGAI BERAK DITUZTENEAN? Ebatzi 162 ⋅ 32−2 . LEHENA. Biderkagai lehenetan deskonposatzen dira. 162 ⋅ 32−2 = (24 )2 ⋅ (25 )−2 BIGARRENA. Eragiketak egiten dira: berreketen berreketa eta berrekizun bereko berreketen biderketa. (24 )2 ⋅ (25 )−2 = 28 ⋅ 2−10 = 2(8−10) = 2−2 062 061 ●● 060 ● ERANTZUNAK 908272 _ 0044-0073.qxd 28/9/07 12:58 Página 61
- 62. 62 Kalkulatu eta adieraziemaitzak berreketa bakar baten bidez. a) (52 ⋅ 252 )3 c) ((−2)12 )3 ⋅ 85 e) ((3)12 )3 ⋅ ((−27)5 )2 b) (92 : (−27)4 )4 d) (63 ⋅ 362 )6 f) (162 : 643 )5 ⋅ 44 a) (56 )3 = 518 d) (67 )6 = 642 b) (−34 : 312 )4 = 3−32 e) 336 ⋅ 330 = 366 c) 236 ⋅ 215 = 241 f) (44 : 49 )5 ⋅ 44 = 4−25 ⋅ 44 = 4−21 Egin berreketen eragiketa hauek eta sinplifikatu lortutako emaitzak ahal duzun gehiena. a) 4012 : ((−4)6 )−6 b) (−45)15 ⋅ ((−15)3 )−6 c) (92 : 274 )−4 ⋅ (6−3 ⋅ 36−2 ) d) a) 512 ⋅ 236 : 2−72 = 512 ⋅ 2108 b) −330 ⋅ 515 ⋅ 3−18 ⋅ 5−18 = −312 ⋅ 5−3 c) (3−8 )−4 ⋅ (2−7 ⋅ 3−7 ) = 2−7 ⋅ 3−39 d) [1−3 : (−2 ⋅ 3)]−1 = −2 ⋅ 3 Adierazi eragiketa hauen emaitzak 10 berrekizuneko berreketa gisa. a) 0,000000001 ⋅ 1.000.000 c) 0,00000000001 : 1.000.000.000 b) 0,0000000010 ⋅ 10.000.000 d) 0,000001 : 1.000 a) 10−3 b) 10−2 c) 10−20 d) 10−9 Adierazi idazkera zientifikoan. a) Hiru bilioi eta erdi. c) Hamar milioiren. b) Berrehun milaren. d) Ehun mila milioi eta erdi. a) 3,5 ⋅ 1012 b) 2 ⋅ 10−1 c) 1 ⋅ 10−5 d) 1,000005 ⋅ 1011 Idatzi, zifra guztiak jarriz, idazkera zientifikoan adierazitako zenbaki hauek. a) 3,432 ⋅ 104 c) 3,124 ⋅ 10−7 b) 1,3232 ⋅ 10−3 d) 5,3732 ⋅ 107 a) 34.320 c) 0,0000003124 b) 0,0013232 d) 53.732.000 Eragiketak aurrez egin gabe, jakingo al zenuke esaten eragiketa hauen emaitzak zer magnitude-ordenatakoak diren? a) 6,3 ⋅ 102 + 4,5 ⋅ 102 c) (2,6 ⋅ 103 ) ⋅ (3,1 ⋅ 104 ) b) 7,7 ⋅ 104 − 7,2 ⋅ 104 d) (5 ⋅ 107 ) : (2,5 ⋅ 106 ) a) 3 b) 3 c) 7 d) 1 069 ●● 068 ● 067 ● 066 ● 3 4 4 3 3 2 4 3 ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤− : ( ) ⎦⎦ ⎥ ⎥ ⎥ −1 065 ●●● 064 ●●● Zenbaki errealak 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 62
- 63. 63 2 Egin eragiketa haueketa adierazi emaitzak idazkera zientifikoa erabiliz. a) 113,5 ⋅ 10−6 + 0,0001 ⋅ 104 b) 7.693,57 ⋅ 10−2 + 0,7861 ⋅ 106 c) 3.023.500 ⋅ 10 − 0,0317 ⋅ 1012 d) 4.023 ⋅ 104 − 1.234,57 ⋅ 1011 e) (20.100 ⋅ 103 ) : (2,7 ⋅ 105 ) f) 0,35 ⋅ (1,24 ⋅ 10−8 ) g) (1.435 ⋅ 103 ) ⋅ (6,7 ⋅ 107 ) h) (32,130 ⋅ 10−6 ) : (3,7 ⋅ 107 ) i) (54,3 ⋅ 10−7 ) : (6,7 ⋅ 105 ) a) 1,0001135 ⋅ 100 d) −1,2345695977 ⋅ 1014 g) 9,6145 ⋅ 1013 b) 7,861769357 ⋅ 105 e) 7,444444444 ⋅ 101 h) 8,683783784 ⋅ 10−13 c) −3,1669765 ⋅ 1010 f) 4,34 ⋅ 10−9 i) 8,104477612 ⋅ 10−12 Kalkulatu kasu bakoitzean falta den gaia. a) 15 ⋅ 104 + = 13 ⋅ 103 b) 4,6 ⋅ 1011 + = 2,1 ⋅ 104 c) (32,15 ⋅ 104 ) ⋅ = 65,53 ⋅ 104 d) (3,6 ⋅ 102 ) : = 6,12 ⋅ 1012 a) 1,37 ⋅ 105 c) 2,038258165 ⋅ 100 b) −4,59999979 ⋅ 1011 d) 5,882352941 ⋅ 10−11 Adierazi zer zenbaki multzo zehatzi dagokion zenbaki edo adierazpen bakoitza. a) 7,65444… e) π− e i) b) −11,2 f) 1,010222… j) 1 c) 999 g) 300,301302… k) 6,585959… d) 9,88777… h) l) 1,00111… a) 7,654 ) → Hamartar periodiko mistoa; Q multzoa. b) −11,2 → Hamartar zehatza; Q multzoa. c) 999 → Arrunta; N multzoa. d) 9,887 ) → Hamartar periodiko mistoa; Q multzoa. e) π − e → Irrazionala; I multzoa. f) 1,0102 ) → Hamartar periodiko mistoa; Q multzoa. g) 300,301302… → Irrazionala; I multzoa. h) → Arrunta; N multzoa. i) → Irrazionala; I multzoa. j) 1 → Arrunta; N multzoa. k) 6,5859 ) → Hamartar periodiko mistoa; Q multzoa. l) 1,001 ) → Hamartar periodiko mistoa; Q multzoa. 99 9 94987e = …, 169 13= 169 99e 072 ● 071 ●● 070 ● ERANTZUNAK 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 63
- 64. 64 Ordenatu zenbaki hauekhandienetik txikienera. a) b) a) −1,73 ) < −1,73206 < −1,7320508… < −1,4 −1,73 ) < −1,73206 b) → Aztertu zenbaki hauek, eta esan zein diren arrazionalak eta zein irrazionalak. a) 0,444444… c) 0,151155111555… b) 0,323232… d) 0,234432234432… Eman, ahal den kasuetan, zenbakiaren zatikizko adierazpena. a) Arrazionala, . c) Irrazionala. b) Arrazionala, . d) Arrazionala, . 075 234 432 999 999 2 368 10 101 . . . . = 32 99 4 9 074 ● 1 1001 1 089 11 10 9 < < < =, ,, 10 9 11= , < − < −3 7 5 − = − − = −3 17320508 7 5 14, …; , 1 1 00111 10 9 1111 1 08999; , ; ; , ; ,… … … − − − −3 7 5 1 7333 1 73206; ; , ; ,… 073 ● Zenbaki errealak EGIN HONELA NOLA ADIERAZTEN DIRA ERROAK, ERROKIZUNAK BERBIDURA PERFEKTUEN BATURA EZ DIRENEAN? Erregela eta konpasa erabiliz, marraztu zenbakia zuzen errealean. LEHENA. Errokizuna berbiduren batuketa gisa deskonposatu behar da, berbidura perfektuak izatera iritsi arte. BIGARRENA. Alderantzizko ordenan, kalkulatu- tako erlazioak adierazten dituzten triangelu an- geluzuzenak marraztu behar dira. Hau da lehenengo erlazioa: . HIRUGARRENA. Triangelu angeluzuzenak eraiki behar dira, bakoitza aurrekoaren hipotenusaren gainean. Gero, zentrotzat 0 eta erradiotzat azken triangeluaren hipotenusa dituen arkua eraikiko dugu, zuzena P' puntuan ebakiko duena. Puntu horren abzisa izango da bila gabiltzan erroa. erlazioa adierazten duen triangelua eraikiko dugu. ( ) ( ) .2 1 3 2 2 2 + = 1 1 22 2 2 + = ( ) 3 1 2 1 1 12 2 2 2 2 2 = + = + +( ) ( ) 3 10 1 1 3 3 2 P 1 10 P' 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 64
- 65. 65 2 Adierazi grafikoki zenbakierreal hauek, goiko prozedura erabiliz. a) b) c) d) a), b) eta c) d) Adierazi grafikoki, erregelaz eta konpasez, zenbaki erreal hauek. a) b) c) d) a) 26 = 52 + 12 b) 40 = 62 + 22 c) 161 = 122 + 17 17 = 42 + 12 d) 187 = 132 + 18 118 = 42 + 2 112 = 12 + 12 4 13 14 187 187 F 4 1 12 13 161 161 F 0 1 2 2 3 4 5 6 7 40 40 F 1 26 F 26 0 1 2 3 4 5 6 1871614026 077 ● 11 10 1 2 2 2( ) = ( ) + 10 3 1 2 2 2( ) = + 0 1 1 2 3 4 11 F 10 11 8 7 1 2 2 ( ) = ( ) + 7 6 1 2 2 ( ) = ( ) + 6 5 1 2 2 ( ) = ( ) + 5 2 1 2 2 2( ) = + 0 1 1 2 5 6 7 8 6 7 8 F F F 3 11786 076 ●● ERANTZUNAK 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 65
- 66. 66 Azaldu, arrazoi bidez,zenbaki erreal hauek grafikoki adierazteko modua. a) c) b) d) a) adieraziko dugu 1 × 1 neurriko karratuaren diagonaletik abiatu, erdibitzailea marraztu eta zuzenkiaren erdiko puntua lortuko dugu: . b) 0 puntuan elkar ebakitzen duten bi zuzen egingo ditugu. eta adieraziko ditugu zuzen batean, eta 1 zenbakia, bestean. Ondoren, eta 1 elkartzen dituen zuzena marraztuko dugu eta -tik igarotzen den zuzen paraleloa. Bigarren zuzenarekiko ebakidura-puntua: . c) adieraziko dugu, 1 × 1 neurriko karratuaren diagonaletik abiatuta. adieraziko dugu, 1 × neurriko karratuaren diagonaletik abiatuta, erdibitzailea marraztu eta zuzenkiaren erdiko puntua lortuko dugu: . d) adieraziko dugu, 1 × 1 neurriko karratuaren diagonaletik abiatuta. adieraziko dugu, 1 × neurriko karratuaren diagonaletik abiatuta eta -ren luzera -ren ondoren jarriko dugu. Zer zenbaki adierazten du P puntuak kasu bakoitzean? a) b) a) . Beraz, P-k zenbakia adierazten du. b) . Beraz, P-k zenbakia 5 adierazten du.16 9 5+ = 2016 4 20+ = P 0 4 3 P 0 4 2 079 ●● 32 23 2 3 2 23 2 3 2 32 32 2 2 2 2 3+ 3 2 3 2 2 2 078 ●● Zenbaki errealak 908272 _ 0044-0073.qxd 28/9/07 12:58 Página 66
- 67. 67 2 1 + zenbakia: a)Arrazionala ala irrazionala da? b) Adierazi, zuzen errealean, modu zehatzean. a) Irrazionala. b) Adierazi zenbaki hauek zuzen errealean, hurbilketa bidez. a) 0,9 ) b) 1,202202220… c) a) b) c) Idatzi hiru zenbaki irrazional, zati hamartarrean 0 eta 1 digituak erabiliz. Arrazoitu zenbaki bakoitzaren sortze-prozesua Zati hamartarra 1ekin hasi eta ondoz ondoko bi batekoaren artean aurrekoen artean baino 0 bat gehiago sartuko dugu: 1,1101001000100001… Hasteko 1 eta 0 bana idatziko dugu, eta ondoren bi 1 eta bi 0: 1,10110011100011110000… Zenbaki lehenei dagozkien lekuetan 1 idatziko dugu, eta gainerakoetan, 0: 1,01101010001010001000001… Idatzi bi zenbaki erreal eta bi irrazional, adierazitako zenbakien artean daudenak: a) 7,1 eta 7,11 b) eta 1 c) 0,63 ) eta 0,636633666333… d) eta a) Errealak: 7,102 eta 7,109. Irrazionalak: eta 7,10110111011110... b) Errealak: 0,9 ) eta 0,95. Irrazionalak: eta 0,919293949596... c) Errealak: 0,634 eta 0,635. Irrazionalak: 0,636465666768... eta 0,636261605958... d) Errealak: 3,15 eta 3,16. Irrazionalak: 3,15012384… eta 3,162122334489… 0 9, 50 5, 10 8 9 083 ●● 082 ●● −3 − 15 F −4 1 2 1,202202220… F 0 1 0,9 ) F − 15 081 ●● 0 1 2 3 4 1 2+ F 2080 ●● ERANTZUNAK 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 67
- 68. 68 Biribildu zenbaki hauekmilarenetara eta eten milarenetan. Ondoren, kalkulatu egindako errore absolutua. a) 1,2468 d) 0,67 ) g) b) 5,3 ) e) 3,28 ) h) 9,12 ) c) 21,9673 f) i) 6,54 ) a) Biribilketa: 1,247. Errorea: 0,0002. Etendura: 1,246. Errorea: 0,0008. b) Biribilketa: 5,333. Errorea: 0,0003 ) . Etendura: 5,333. Errorea: 0,0003 ) . c) Biribilketa: 21,967. Errorea: 0,0003. Etendura: 21,967. Errorea: 0,0003. d) Biribilketa: 0,677. Errorea: 0,00032 ) . Etendura: 0,0676. Errorea: 0,00076 ) . e) Biribilketa: 3,283. Errorea: 0,00017 ) . Etendura: 3,282. Errorea: 0,00082 ) . f) Biribilketa: 4,123. Errorea: 0,000105626... Etendura: 4,123. Errorea: 0,000105626... g) Biribilketa: 4,359. Errorea: 0,000101056... Etendura: 4,358. Errorea: 0,000898944... h) Biribilketa: 9,121. Errorea: 0,00021 ) . Etendura: 9,121. Errorea: 0,00021 ) . i) Biribilketa: 6,545. Errorea: 0,00045 ) . Etendura: 6,545. Errorea: 0,00045 ) . Kalkulatu zenbaki hauek hamarrenetara hurbiltzean egin daitekeen errorerik handiena. a) 5,697 b) 0,28 ) c) Zer emaitza lortu duzu? Hurbildu duzun zenbakiaren araberakoa al da? a) 0,097 b) 0,088888 c) 0,0852575695... Hiru kasuetan, zenbakiak etetean egiten da errorea, bigarren hamartarra 5 baino handiagoa baita. Idatzi hauek betetzen dituen zenbaki bana: a) Hamarrenetara biribiltzean eta hamarrenetan etetean zenbaki bera ematea. b) Ehunenetara biribiltzean 5,87 zenbakia ematea. c) Ehunenetara biribiltzean 11,56 ematea, eta hurbilketan egindako errore absolutua 0,003 izatea. d) Hamarrenetan etetean 0,7 ematea, eta hurbilketan egindako errore absolutua 0,025 izatea. a) 1,23 b) 5,8685 c) 11,563 d) 0,675 086 ●● 21 085 ● 17 19 084 ● Zenbaki errealak 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 68
- 69. 69 2 Adierazi grafikoki tartehauek. a) [−2, 3] c) (−5, 1] b) (−1, 0) d) [6, 9) a) c) b) d) Zer tarte daude hemen adierazita? [−5, 1) eta (−2, 4). Adierazi zuzen errealean tarte hauek, eta seinalatu aldi berean lau tarteetakoak diren bi zenbaki. a) [1, 5] b) (4, 6] c) (3,5; 9) d) [0, 6) a) c) b) d) Lau tarteetakoak diren zenbakiak: 5 eta 4,5. Behatu adibideari eta adierazi tarte bakoitza, desberdintzak erabiliz. (2, 5] honen baliokide da: 2 < x ≤ 5 a) [−1, 2] c) [0, π] e) (11, 15] b) (1, 5) d) (6, 7) f) [0, 11) a) −1 ≤ x ≤ 2 c) 0 ≤ x ≤ π e) 11 < x ≤ 15 b) 1 < x < 5 d) 6 < x < 7 f) 0 ≤ x < 11 Idatzi −0,8 ) zenbakia barnean duten bi tarte. [−5, 0) eta (−0,9; −0,8) Tarte hauetatik zein erabiliko zenuke −3 baino handiagoak eta 5 edo txikiagoak diren zenbaki errealen multzoa adierazteko? a) (−3, 5) b) [−3, 5) c) (−3, 5] d) [−3, 5] c) aukera: (−3, 5]. Adierazi berreketa gisa aitona-amonak, birraitona-amonak eta herenaitona-amonak. Aitona-amonak: 22 ; birraitona-birramonak: 23 ; herenaitona-amonak: 24 . 093 ●● 092 ● 091 ● 090 ●● 0 64 6 3,5 91 5 089 ● −2 4 −5 1 088 ● 6 9−1 0 −5 1−2 3 087 ● ERANTZUNAK 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 69
- 70. 70 Arku-tiroko lehiaketa batantolatu dute. Lehiakideak hautatu ondoren, bosna kideko bost talde eratu dituzte. Taldekide bakoitzak bost gezi ditu itura tiratzeko. Zenbat gezi beharko dira, orotara? 53 = 125. 125 gezi behar dira. Ikasgelako liburutegiak hiru apalategi ditu. Apalategi bakoitza hiru apalek osatzen dute, eta apal bakoitzak hiruna liburu dituzten hiru atal ditu. Zenbat apal, atal eta liburu ditu liburutegiak? Adierazi emaitza berreketa gisa.iiiiii Apalak: 32 = 9 Atalak: 33 = 27 Liburuak: 34 = 81 Jonek 32 €-ko ordainsaria izaten du astero. Gurasoek zigorra jarri diote, eta asterik aste erdira murriztu diote. a) Adierazi prozesu hori, berreketak erabiliz. b) Zenbat asteren buruan izango da Jonen ordainsaria 25 zentimokoa soilik? a) 25 , 24 , 23 , 22 , 2, 1, b) 7 asteren buruan. Etxebizitza baten azalera 117,13 m2 -koa da, eta beste batena, 73,65 m2 -koa. Biribildu metro koadroetara eta eten metro koadroetan etxebizitza bakoitzaren azalera. Zein hurbilketa da zehatzena. Lehenengoan, biribilketa 117 m2 da eta etendura ere bai; beraz, errorea bera da: 0,13 m2 . Bigarrenean, biribilketa 74 m2 da, eta errorea, 0,35 m2 . Etendura 73 m2 da, eta errorea, 0,65 m2 . Beraz, biribilketa da zehatzena. Tren-geltokirik hurbilenerako distantzia 16,74 km da. Koldok dio distantzia hori 16 km dela eta Eiderrek, berriz, 17 km dela. Nork egin du hurbilketarik zehatzena? Eider gehiago hurbildu da eta 0,26 km-ko errorea egin du; Koldok, berriz, 0,74 km-ko errorea egin du. DBH 3ko ikasleek Hizkuntzako lehen ebaluazioan lortu dituzten notak hauek izan dira: Hurbileneko zenbaki osoan etetean lortzen den nota jartzen du irakasleak buletinean. a) Zer nota egokituko zaie? b) Zer nota izango lukete, eten ordez biribilduta? a) 2, 6, 8, 6, 7, 9, 3, 4, 5, 3, 6, 9, 4, 5, 9, 9, 6, 3, 8, 2, 7, 4, 9, 1, 5 b) 3, 6, 9, 6, 8, 9, 3, 5, 5, 4, 6, 10, 4, 6, 10, 9, 7, 4, 8, 3, 7, 5, 9, 2, 5 099 ●● 098 ●● 097 ●● 1 2 1 22 , , , … 096 ●●● 095 ●● 094 ●● Zenbaki errealak 2,5 6,4 8,6 6,1 7,6 9 3,2 4,5 5,2 3,8 6,4 9,7 4,3 5,8 9,7 9,3 6,8 3,7 8,4 2,6 7,2 4,7 9,1 1,6 5 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 70
- 71. 71 2 Bost litro urmineral dituen botila batean honako hau dago idatzita: «5 litro ±% 5». a) Zer esan nahi du ohar horrek? b) Zein balioren artekoa da botilaren edukiera? a) Esan nahi du 5 litro dituela diotenean gehienez % 5eko errorea egingo dutela, gutxiagoz edo gehiagoz. b) 4,75 eta 5,25 litroren artean. Berretzailea osoa eta positiboa duen berreketa bat berrekizuna baino handiagoa al da beti? Zein kasutan da hala? Berrekizuna baino handiagoa da, berrekizuna 1 baino handiagoa bada. Berretzaile oso negatiboko berreketa berrekizuna baino handiagoa da? Ba dago emaitza berrekizuna baino txikiagoa duen baliorik? Berrekizuna baino handiagoa da, berrekizuna 1 baino handiagoa bada, eta txikiagoa izango da, berrekizuna 1 baino txikiagoa bada. Eman jarraipena segida honi. Arkimedesek, K.a. III. mendean π zenbakiaren hurbilketa gisa zatikia eman zuen. a) Idatzi gehiagozko eta gutxiagozko hiru hurbilketa π-rentzat eta zatiki horrentzat. b) Biribildu bi zenbaki horiek milarenetara eta alderatu emaitzak. Zer gertatzen da? c) Eta ehunenetara biribiltzen badituzu? a) Gutxiagoz: 3; 3,1; 3,14. Gehiagoz: 4; 3,2; 3,15. b) . Emaitzen aldea 1 milaren da. c) . Ehunenetara hurbilduta, emaitza bera da. 22 7 314 314≈ ≈, ,; π 22 7 3143 3142≈ ≈, ,; π 22 7 104 ●●● 22 = 12 + 3 32 = 22 + 5 42 = 32 + 7 52 = 42 + 9 n2 = (n − 1)2 + (2n − 1) 22 = 12 + 3 32 = 22 + 5 42 = 32 + 7 52 = 2 + n2 = … 103 ●●● 102 ●●● 101 ●●● 100 ●●● ERANTZUNAK 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 71
- 72. 72 EGUNEROKOAN Internet sarean nabigatzengenbiltzala, web orri hau aurkitu dugu. a) Zenbateko distantzia dago Merkurio eta Saturnoren artean? b) Zein da handiena Lurretik Uranorako distantzia ala Martetik Neptunorakoa? c) Bigarren web orriko espazio-ontziaz, zenbat denbora behar da Neptunora iristeko? Gai izango ginateke Neptuno eta Lurra arteko joan-etorria egiteko? a) Merkuriotik Saturnorainoko distantzia: 1,429 ⋅ 109 − 5,791 ⋅ 107 = 1,429 ⋅ 109 − 0,05791 ⋅ 109 = = 1,37109 ⋅ 109 km b) Lurretik Uranorainoko distantzia: 2,87 ⋅ 109 − 1,496 ⋅ 108 = 2,87 ⋅ 109 − 0,1496 ⋅ 109 = 2,7204 ⋅ 109 km Martetik Neptunorainokoa: 4,5 ⋅ 109 − 2,2794 ⋅ 108 = 4,5 ⋅ 109 − 0,22794 ⋅ 109 = 4,27206 ⋅ 109 km Martetik Neptunora distantzia handiagoa dago Lurretik Uranora baino. 105 ●●● Zenbaki errealak Planeten sorrera Planetak duela 4.500 milioi urte inguru eratu ziren, Eguzkiarekin batera. Oro har, Eguzkian geratu ez ziren material arinak astunak baino gehiago urrundu ziren. Hasierako gas- eta hauts-hodeia kiribilka zebilen, eta zona trinkoagoak zituen, planeten hastapenak zirenak. Grabitateak eta talkek materia gehiago eraman zuten zona horietara, eta errotazio-higidurak biribildu egin zituen. Planetak Ekuatore- erradioa Distantzia Eguzkiraino (km) Ilargiak Errotazio periodoa Orbita Merkurio 2.440 km 5,791 ⋅ 107 0 58,6 egun 87,97 egun Artizarra 6.052 km 1,082 ⋅ 108 0 –243 egun 224,7 egun Lurra 6.378 km 1,496 ⋅ 108 1 23,93 ordu 365,256 egun Marte 3.397 km 2,2794 ⋅ 108 2 24,62 ordu 686,98 egun Jupiter 71.492 km 7,7833 ⋅ 108 16 9,84 ordu 11,86 urte Saturno 60.268 km 1,429 ⋅ 109 18* 10,23 ordu 29,46 urte Urano 25.559 km 2,87 ⋅ 109 15 17,9 ordu 84,01 urte Neptuno 24.746 km 4,5 ⋅ 109 8 16,11 ordu 164,8 urte *Zenbait astronomoren esanetan, Saturno planetari 23 satelite dagozkio Astronautak Espazioan bizi Esplorazioan Bakarrik al gaude? Esplorazioan ExoMars Etorkizunean Marten egingo diren esplorazioak Garraiobide berriak Espazioan zehar nabigatzea Orain arte, ia misio espazial guztiek erregai eta erregarri bidez elikatutako kohete-motorrak erabili izan dituzte. Tamalez, motor horiek ez dira oso eraginkorrak; adibidez, abiarazi zuten unean, ESAren Rosetta espazio-zundaren pisuaren erditik gora erregaia zen. Egun, ontziek garraiatzen duten erregai kantitatea murrizteko moduak ikertzenari da ESA. Abiapuntuetako bat ioizko motorra da, gasa espaziorantz ‘jaurtitzen’duen ‘pistola’ elektrikoa erabiliko duena. Ioizko kohete-motor elektrikoak bultzada-indar oso txikia duen arren, gero etaabiadura handiagoa hartzen du, harik eta, unea heltzean, espazio-ontziariabiadura handiz lekualdatzeko aukera ematen dion arte. SMART 1 zundak ioizko motorra probatu du, arrakastaz probatu ere, LurretikIlargira egindako bidaian. Erabilitako erregai kilogramo bakoitzeko, ontziarenabiadura-igoera 10 aldiz handiagoa da ioizko motorrarekin kohete-motorarruntarekin baino. Orobat, kohete-motorren ordez ‘eguzki-belak’ baliatuko dituzten espazio-ontziakerabiltzea aztertzen ari da ESA. Eguzkiaren argiak tamaina handiko bela batengainean ‘jo’ eta beste planetetaraino bultza dezake espazio-ontzia. Eguzki-haizetan hilabete askotan egindako bidaiaren ostean, mota horretako espazio-ontziak orduko 360.000 km-ko abiadura lor dezake. Espazioko estazioak EsplorazioanLaborategia Jolasa Berriak 908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 72
- 73. 73 2 c) Lurretik Neptunorainokodistantzia: 4,5 ⋅ 109 − 1,496 ⋅ 108 = 4,5 ⋅ 109 − 0,1496 ⋅ 109 = 4,3504 ⋅ 109 km Abiadura: 360.000 km/h = 3,6 ⋅ 105 km/h. Lurretik Neptunora behar den denbora: (4,3504 ⋅ 109 ) : (3,6 ⋅ 105 ) = 1,2084 ⋅ 104 = 12.084 horas = 503,5 egun Joan-etorria egiteko denbora bikoitza; hau da, 1.006 egun, 2 urte eta 9 hilabete, gutxi gorabehera; beraz, joan-etorria egin daiteke. Kontuan hartu behar da suposatu dugula hasieratik gehienezko abiadura harrapatu dugula: 360.000 km/h. Mikel Londresera iritsi berri da. Bidaian abiatu baino lehen 200 libera aldatu zituen banketxean. Hau da eman zioten agiria: Euro batek 0,649900 libera balio ditu; hortaz, aldatu zituen 200 liberak 307,74 € ordaindu zituen. Mikelek 48,5 libera balio duen galtza parea erosi nahi du, eta eurotara pasa nahi du prezio hori, kostuaz jabetzeko. a) Iritzirako kalkulua zuzen egin al du? Zenbateko errorea egin du? b) Hoteleko bost gauek 467 liberako kostua badute, zenbat izango da kostu hori eurotan, Mikelen zenbatespenei jarraiki? Eta zein da benetako kostua? a) 48,5 : 0,649900 = 74,63 €; beraz, zenbatespena okerra da. Mikelek egindako errore absolutua 14,63 €-koa da, eta errore erlatiboa, 0,196 €-koa. b) Benetako kostua 718,57 €-koa da eta egindako errorea: 718,57 ⋅ 0,196 = = 140,84 €. Beraz, zenbatespena: 718,57 − 140,84 = 577,73 €. ATZERRIKO BILLETEAK ETA BIDAIA TXEKEAK DIBISATAN EROSTEA ETA TXEKEAK KONTUAN SARTZEA DIBISATAN MIKEL AGIRRE BADIOLA J. Helbidea ARGIAREN ETORBIDEA, Z/G Herria MUNGIA K.P. 28082 N.A.N/I.K. 978687623 Kontzeptua: EZKUTUKO ERAGIKETA REF. 6036786 BBAANNKKUUAAERAKUNDEA - BULEGOA - KONTUA 2038 - 5538948273647783 EUR DOKUMENTUA DIBISA ZENBATEKOA KANBIO-TASA KONTRABALIOA BILLETEAK GBP 200,0 0,649900 307,74 EUR 307,74 EUR ERAGIKETA-DATA: 2007/7/31 BALIO-DATA: 2007/7/31 GUZTIRA 307,74 EUR Komisioak eta gastuak (Doakionaren sinadura) BANK UA BANK UA (sinadura eta zigilua) BBAANNKKUUAA 106 ●●● 60€ inguru balio du... ERANTZUNAK 908272 _ 0044-0073.qxd 28/9/07 12:58 Página 73
- 74. 74 Polinomioak3 ERAGIKETAK MONOMIOAK POLINOMIO BATEN ZENBAKIZKO BALIOA POLINOMIOAK BATUKETAKENKETA BIDERKETA ZATIKETA ERAGIKETAK POLINOMIOEKIN BATUKETAREN BERBIDURA KENKETAREN BERBIDURA BATUKETA BIDER KENKETA LABURBIDEZKO FORMULAK 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 74
- 75. Kalifaren zerbitzaria Mohamed urdurizebilen Jakinduriaren Etxeko egoitzetan gora eta behera, Al-Khwarizmi jakintsuaren bila. Hark zion irakatsia kantitate ezezagunak kontatzeko eta erabiltzeko metodoa, Mohamed gazteak kalifaren jauregian hornidura-funtzionario gisa egiten zituen lanetan aplikatzen zuena. Azkenik, iturri baten ondoan eserita aurkitu zuen maisua. –Maisu, errepasatuko al ditugu atzoko kalkuluak? –Pozten nau zure ezagutza-egarri horrek. –Al-Khwarizmi harritu egiten zuen Mohamedek aisialdi oro ikasten emateak. –Ontasuna eta ezagutza dira pobreen aberastasunak eta, gizon guztiak bezala, neuk ere aberats izan nahi dut; gainera, ez dago aberastasun horiek kenduko dizkidan lapurrik –erantzun zuen Mohamedek, irribarrez. –Ondo da, ondo da! –erantzun zuen jakintsuak, harrituta bezain jostari, eta zenbait ariketa aritmetiko proposatu zizkion, berak hizkuntza aljebraikoa eta ekuazioak aztertzen ziharduen bitartean. Oholtxoan, honako hau zegoen idatzita: «Berbidura batek eta hamar errok hogeita hemeretzi bateko egiten dituzte...». Hizkuntza aljebraiko modernoan: x2 + 10x = 39. Nola idatziko zenuke hizkuntza aljebraikoan «Zenbaki baten kuboa ken hiru aldiz zenbaki horren berbidura ken bost bateko» esaldia? Zenbaki baten kuboa = x3 Berbidura bider hiru = 3x2 Bost bateko = 5 x3 – 3x2 – 5 908272 _ 0074-0099.qxd 27/9/07 17:40 Página 75
- 76. 76 ARIKETAK Adierazi monomio hauenkoefizientea, letrazko zatia eta maila. a) −3x3 y2 z4 b) −5b2 c3 c) x15 y d) a) Koefizientea: −3 Letrazko zatia: x3 y2 z4 Maila: 3 + 2 + 4 = 9 b) Koefizientea: −5 Letrazko zatia: b2 c3 Maila: 2 + 3 = 5 c) Koefizientea: 1 Letrazko zatia: x15 y Maila: 15 + 1 = 16 d) Koefizientea: Letrazko zatia: xy5 Maila: 1 + 5 = 6 Zehaztu monomio pare hauek antzekoak diren ala ez. a) y −5z5 x2 y3 c) xy3 y −xy3 b) 6x3 y4 y 6x4 y3 d) 7x y −x a) Antzekoak dira. c) Antzekoak dira. b) Ez dira antzekoak. d) Antzekoak dira. Idatzi beheko monomio hauen aurkako monomioak. a) b) −4a2 b3 c) −5x9 d) 9x11 a) b) 4a2 b3 c) 5x9 d) −9x11 Idatzi monomioa, ahal bada: a) Koefizientea 2 eta letrazko zatia xy6 dituena. b) Koefizientea −3 izan eta −2x3 -ren antzekoa dena. c) Maila 7 izan eta −4x2 y-ren antzekoa dena. d) Letrazko zatia x3 y4 izan eta −4x3 y-ren aurkakoa. a) 2xy6 b) −3x3 c) Ezin da. Mailak ezin du 7 eta 3 izan aldi berean. d) Ezin da. Mailak ezin du 7 eta 4 izan aldi berean. Egin eragiketa hauek. a) 6x2 + 2x2 −x2 + 3x2 −x2 d) (−8x2 y) ⋅ (−4xy2 ) b) 3x2 y2 −2x2 y2 + 6x2 y2 −x2 y2 e) (15xy) : (−3x) c) (−5ab) ⋅ (6abc) f) (2xyz) : (−2xy) a) 9x2 d) 32x3 y3 b) 6x2 y2 e) −5y c) −30a2 b2 c f) −z 005 004 − 1 2 3 2 xy z 1 2 3 2 xy z 003 1 2 2 3 5 x y z 002 − 2 3 −2 3 5 xy 001 Polinomioak 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 76
- 77. 77 3 Sinplifikatu adierazpen hauek. a)−2x3 −x2 + 5x2 −6x + x −2x2 −6x b) 5x −(x2 + 3x3 ) + 3x2 −x3 + 2x c) 11x7 y3 + 4xy5 −9x7 y3 + xy5 −x2 a) −2x3 + (−1 + 5 − 2)x2 + (−6 + 1 − 6)x = −2x3 + 2x2 − 11x b) (−3 − 1)x3 + (−1 + 3)x2 + (5 + 2)x = −4x3 + 2x2 + 7x c) (11 − 9)x7 y3 + (4 + 1)xy5 − x2 = 2x7 y3 + 5xy5 − x2 Kalkulatu: −x2 y −(−3x2 ⋅ 7y) + (16x2 y3 z : 4y2 z). −x2 y + 21x2 y + 4x2 y = 24x2 y Adierazi polinomio hauen mailak, aldagaiak eta gai askeak. a) P(x, y) =−2x5 −x2 y2 + 5x3 −1 + 3x3 + 3 b) Q(x, y) = x2 + 4x3 −x −9 + 4x4 y3 c) R(x, y) = x9 −x7 y3 + y13 −4 d) S(x, y, z) = 7x2 yz −3xy2 z + 8xyz2 a) Maila: 5. Aldagaiak: x, y. Gai askea: 3 − 1 = 2. b) Maila: 3 + 4 = 7. Aldagaiak: x, y. Gai askea: −9. c) Maila: 13. Aldagaiak: x, y. Gai askea: −4. d) Maila: 2 + 1 + 1 = 4. Aldagaiak: x, y, z. Gai askea: 0. Laburtu polinomio hau eta kalkulatu aurkakoa. R(x) = x5 + 1 −3 + 4x5 −3x −2x R(x) = 5x5 − 5x − 2, eta aurkakoa: −R(x) = −5x5 + 5x + 2. Idatzi ezaugarri hauek dituen polinomio bat: bi aldagaikoa, 7. mailakoa, 3. mailako gai bat duena eta gai askerik gabea. adibidez: 5x5 y2 − 3xy2 . Kalkulatu polinomioaren zenbakizko balioa, kasu bakoitzean. a) P(x) = 3x6 + 2x5 −3x4 −x2 + 7x −2, x = 0 denean. b) P(x, y) =−x4 y −x2 y + 7xy −2, x = 1, y = 2 denean. a) P(0) = 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 − 3 ⋅ 0 − 0 + 7 ⋅ 0 − 2 = −2 b) P(1, 2) = −1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 2 + 7 ⋅ 1 ⋅ 2 − 2 = 8 011 010 009 008 007 006 ERANTZUNAK 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 77
- 78. 78 Polinomio hauek izanik: P(x,y) = 3x2 y + xy −7x + y −2 Q(x, y) =−xy2 + 4y2 −3x kalkulatu zenbakizko balioak: P(0, 0) P(1, 1) Q(0, −1) Q(0, 2) P(0, 0) = 3 ⋅ 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 − 7 ⋅ 0 + 0 − 2 = −2 P(1, 1) = 3 ⋅ 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 − 7 ⋅ 1 + 1 − 2 = −4 Q(0, −1) = −0 ⋅ (−1)2 + 4 ⋅ (−1)2 − 3 ⋅ 0 = 4 Q(0, 2) = −0 ⋅ 22 + 4 ⋅ 22 − 3 ⋅ 0 = 16 Laburtu polinomio hauek eta kalkulatu zenbakizko balioa x = 2 den kasurako. a) P(x) = 4 −3x2 + x −x2 + 1 b) Q(x) = x4 −4 −3x2 + x −x2 + 1 −3x4 −3x a) P(x) = −4x2 + x + 5 P(2) = −4 ⋅ 22 + 2 + 5 = −9 b) P(x) = −2x4 − 4x2 − 2x − 3 P(2)= −2 ⋅ 24 − 4 ⋅ 22 − 2 ⋅ 2 − 3 = −55 Zenbaki bat polinomio baten erroa da, zenbaki horrentzat polinomioaren zenbakizko balioa zero denean. −4 eta 4 zenbakiak polinomio honen erroak al dira? P(x) = x2 −5x + 4 Jakingo al zenuke beste erro bat kalkulatzen? P(−4) = (−4)2 − 5 ⋅ (−4) + 4 = 40 → −4 ez da erroa. P(4) = 42 − 5 ⋅ 4 + 4 = 0 → 4 erroa da. Polinomio honek beste erro bat du: x = 1. Kalkulatu polinomio pare bakoitzaren arteko batura, kendura eta biderkadura. a) R(x) = x4 − x + 1; S(x) = x2 + 1 b) R(x) = x + 1; S(x) = x2 + x − 1 c) R(x) = 5x7 − x8 + 1; S(x) = x2 + x6 − 1 d) R(x) = x5 −x4 + x3 + 2x + 1; S(x) = x3 + 2x e) R(x) = 7x3 + 2x2 + x −3; S(x) = x4 + x2 −8 f) R(x) = x7 + 3; S(x) = x3 + x2 + 4x + 2 a) R(x) + S(x) = (x4 − x + 1) + (x2 + 1) = x4 + x2 − x + 2 R(x) − S(x) = (x4 − x + 1) − (x2 + 1) = x4 − x2 − x R(x) ⋅ S(x) = (x4 − x + 1) ⋅ (x2 + 1) = x6 + x4 − x3 + x2 − x + 1 b) R(x) + S(x) = (x + 1) + (x2 + x − 1) = x2 + 2x R(x) − S(x) = (x + 1) − (x2 + x − 1) = −x2 + 2 R(x) ⋅ S(x) = (x + 1) ⋅ (x2 + x − 1) = x3 + 2x2 − 1 c) R(x) + S(x) = (5x7 − x8 + 1) + (x2 + x6 − 1) = −x8 + 5x7 + x6 + x2 R(x) − S(x) = (5x7 − x8 + 1) − (x2 + x6 − 1)= −x8 + 5x7 − x6 − x2 + 2 R(x) ⋅ S(x) = (5x7 − x8 + 1) ⋅ (x2 + x6 − 1) = = −x14 + 5x13 − x10 + 5x9 − 5x7 + x8 + x6 + x2 − 1 015 014 x = 2 ⎯⎯→ x = 2 ⎯⎯→ 013 012 Polinomioak 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 78
- 79. 79 3 d) R(x) +S(x) = (x5 − x4 + x3 + 2x + 1) + (x3 + 2x) = = x5 − x4 + 2x3 + 4x + 1 R(x) − S(x) = (x5 − x4 + x3 + 2x + 1) − (x3 + 2x) = x5 − x4 + 1 R(x) ⋅ S(x) = (x5 − x4 + x3 + 2x + 1) ⋅ (x3 + 2x) = = x8 − x7 + 3x6 − 2x5 + 4x4 + x3 + 2x2 − 2x e) R(x) + S(x) = (7x3 + 2x2 + x − 3) + (x4 + x2 − 8) = = x4 + 7x3 + 3x2 + x − 11 R(x) − S(x) = (7x3 + 2x2 + x − 3) − (x4 + x2 − 8) = = −x4 + 7x3 + x2 + x + 5 R(x) ⋅ S(x) = (7x3 + 2x2 + x − 3) ⋅ (x4 + x2 − 8) = = 7x7 + 7x6 + 8x5 − x4 − 55x3 − 11x2 + 24 f) R(x) + S(x) = (x7 + 3) + (x3 + x2 + 4x + 2) = x7 + x3 + x2 + 4x + 5 R(x) − S(x) = (x7 + 3) − (x3 + x2 + 4x + 2) = x7 − x3 − x2 − 4x + 1 R(x) ⋅ S(x) = (x7 + 3) ⋅ (x3 + x2 + 4x + 2) = = x10 + x9 + 4x8 + 2x7 + 4x4 + 3x3 + 3x2 + 12x + 6 Kalkulatu −A(x) + B(x) eta −A(x) −B(x) polinomio hauekin: A(x) = 3x4 −5x3 + x2 −7 B(x) =−3x4 + x3 −2x + 1 −A(x) + B(x) = −(3x4 − 5x3 + x2 − 7) + (−3x4 + x3 − 2x + 1) = = −6x4 + 6x3 − x2 − 2x + 8 −A(x) − B(x) = −(3x4 − 5x3 + x2 − 7) − (−3x4 + x3 − 2x + 1) = = 4x3 − x2 + 2x + 6 Kalkulatu aurreko ariketako bi polinomioen arteko biderkadura, horretarako banatze-propietatea baliatuz. A(x) ⋅ B(x) = (3x4 − 5x3 + x2 − 7) ⋅ (−3x4 + x3 − 2x + 1) = = 3x4 ⋅ (−3x4 + x3 − 2x + 1) − 5x3 ⋅ (−3x4 + x3 − 2x + 1) + + x2 ⋅ (−3x4 + x3 − 2x + 1) − 7 ⋅ (−3x4 + x3 − 2x + 1) = = (−9x8 + 3x7 − 6x5 + 3x4 ) + (15x7 − 5x6 + 10x4 − 5x3 ) + + (−3x6 + x5 − 2x3 + x2 ) + (21x4 − 7x3 + 14x − 7) = = −9x8 + 18x7 − 8x6 − 5x5 + 34x4 − 14x3 + x2 + 14x − 7 Kalkulatu. a) (x3 −3x2 + 2x) : x b) (2x3 −3x2 −5x −5) : (x −2) c) (2x3 −3x2 + 4x −3) : (x2 + x −1) d) (x4 + x3 −x2 + x + 1) : (x3 −5) e) (−6x5 + x3 + 2x + 2) : (4x3 + 2x + 3) f) (x8 −1) : (x5 + x3 + x + 2) g) (x −1) : x h) (x2 −1) : (x + 1) i) (x2 −5x + 6) : (x −2) 018 017 016 ERANTZUNAK 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 79
- 80. 80 a) x2 − 3x+ 2 b) c) d) e) f) g) h) x2 − x − 1 x + 1 − x2 − x x − 1 − x2 − x − 1 − x2 − x + 1 − x2 − x − 0 x − 1 x − x 1 x − 1 x8 − x6 − x4 + 2x3 + x2 + 2x − 1 x5 + x3 + x − 2 − x8 − x6 − x4 − 2x3 + x2 + 2x − 1 x3 − x − x6 − x4 − 2x3 + x2 + 2x − 1 x6 + x4 + 2x3 + x2 + 2x − 1 − x6 − x4 − 2x3 + x2 + 2x − 1 x4 + x3 − x2 + 5x + 1 x3 − 5 − x4 + x3 − x2 + 5x x + 1 x3 − x2 + 6x + 1 − x3 − x2 + 6x + 5 −x2 + 6x + 6 2x3 − 3x2 + 4x − 3 x2 + x − 1 − 2x3 − 2x2 + 2x 2x − 5 −5x2 + 6x − 3 + 5x2 + 5x − 5 11x − 8 2x3 − 3x2 − 5x − 5 x − 2 − 2x3 + 4x2 2x2 + x − 3 x2 − 5x − 5 − x2 + 2x − 3x − 5 3x − 6 −11 −6x5 + x3 + + 2x + 2 4x3 + 2x + 3 −6x5 + 3x3 + + 1 4x3 + + 2x + 2 − 4x3 + − 2x − 3 − 1 9 2 2 x 9 2 2 x − 3 2 2 x 9 2 2 x Polinomioak 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 80
- 81. i) Egin zatiketa haueketa aztertu ondo eginda dauden. a) (x3 −4x2 + 5x −2) : (x2 −2) b) (x4 + x2 + 3) : (x3 + 3x2 + 2x + 6) a) (x2 − 2) ⋅ (x − 4) + (7x − 10) = (x3 − 4x2 − 2x + 8) + (7x − 10) = = x3 − 4x2 + 5x − 2 b) (x3 + 3x2 + 2x + 6) ⋅ (x − 3) + (8x2 + 21) = (x4 − 7x2 − 18) + (8x2 + 21) = = x4 + x2 +3 Kalkulatu polinomioen zatiketa honen hondarra. Zatikizuna ⎯⎯→ P(x) = x5 + x3 −x2 + 5x −3 Zatitzailea ⎯⎯→ Q(x) = x3 + x −1 Zatidura ⎯⎯⎯→ C(x) = x2 R(x) = P(x) − Q(x) ⋅ C(x) = (x5 + x3 − x2 + 5x − 3) − (x3 + x − 1) ⋅ x2 = = (x5 + x3 − x2 + 5x − 3) − (x5 + x3 − x2 ) = = 5x −3 Atera polinomio hauen biderkagai komuna. a) 8x2 − 4x d) −12ab3 + 4b2 − 6b4 b) 18x3 y2 − 12x2 y3 e) 34a4 − 14a3 b + 28ab3 c) 30a2 b − 15ab2 + 5a2 b2 f) 20a4 b2 c + 36a2 b − 18a3 b2 a) 4x ⋅ (2x − 1) d) 2b2 ⋅ (−6ab + 2 − 3b2 ) b) 6x2 y2 ⋅ (3x − 2y) e) 2a ⋅ (17a3 − 7a2 b + 14b3 ) c) 5ab ⋅ (6a − 3b + ab) f) 2a2 b ⋅ (10a2 bc + 18 − 9ab) 021 020 x4 − 3x3 + 2x2 − 6x + 13 x3 + 3x2 + 2x + 6 − x4 − 3x3 − 2x2 − 6x x − 3 − 3x3 − 2x2 − 6x + 13 − 3x3 + 9x2 + 6x + 18 8x2 + 6x + 21 x3 − 4x2 + 5x − 12 x2 − 2 − x3 − 4x2 + 2x x − 4 − 4x2 + 7x − 12 − 4x2 + 7x − 18 7x − 10 019 x2 − 5x + 6 x − 2 − x2 + 2x x − 3 − x2 − 3x + 6 − x2 − 3x − 6 − 0 81 3ERANTZUNAK 908272 _ 0074-0099.qxd 27/9/07 17:40 Página 81
- 82. 82 Atera polinomio hauenbiderkagai komuna. a) b) x ⋅ (xy2 −y) + y2 ⋅ (4xy −3y) c) a) b) y[x ⋅ (xy − 1) + y2 (4x − 3)] c) Kalkulatu a, ax3 y + 4x4 y2 − 6xa y3 polinomioaren biderkagai komuna 2x2 y izateko. Hirugarren gaiari erreparatuz, a > 2 bada, hiru gaien biderkagai komunak x ber 3 izango luke eta hori ezinezkoa da; eta a < 2 bada, hiru gaien biderkagai komunak x ber 2 baino zenbaki txikiago bat izango luke. Beraz, ebazpen bakarra a = 2 da. Garatu laburbidezko formula hauek. a) (x + 7)2 e) (x −4)2 b) (2a + 1)2 f) (3a −b)2 c) (6 + x)2 g) (5 −x)2 d) (3a2 + 2b)2 h) (2b2 −5b3 )2 a) x2 + 14x + 49 e) x2 − 8x + 16 b) 4a2 + 4a + 1 f) 9a2 − 6ab + b2 c) 36 + 12x + x2 g) 25 − 10x + x2 d) 9a4 + 12a2 b + 4b2 h) 4b4 − 20b5 + 25b6 Garatu. a) (3x3 −a2 )2 b) (x2 + x3 )2 c) (2x + x3 )2 d) (6ab2 −2y)2 a) 9x6 − 6x3 a2 + a4 c) 4x2 + 4x4 + x6 b) x4 + 2x5 + x6 d) 36a2 b4 − 24ab2 y − 4y2 Adierazi batuketaren edo kenketaren berbidura gisa, egokiena zer den. a) x2 + 6x + 9 c) x2 + 4xy + 4y2 b) 4x2 −12xy + 9y2 d) x4 + 2x2 + 1 a) (x + 3)2 c) (x + 2y)2 b) (2x − 3y)2 d) (x2 + 1)2 Kalkulatu biderketa hauek. a) (x + 7) ⋅ (x −7) b) (7x + 4y) ⋅ (7x −4y) a) x2 − 49 b) 49x2 − 16y2 027 026 025 024 023 x x x− − −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 2 7 1 5 x x 2 1⋅ −( ) x x x x2 2 2 7 5 − − −x x2 2 2 − 022 Polinomioak 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 82
- 83. 83 3 Aztertu adierazpen hauekbatuketa bider kenketa gisa adieraz daitezkeen. a) x2 −1 b) x4 −9 c) 16 −x2 a) (x + 1) ⋅ (x − 1) b) (x2 + 3) ⋅ (x2 − 3) c) (4 − x) ⋅ (4 + x) Adierazi biderketa gisa. a) 4x2 −4x + 1 c) 100x2 −4z6 b) 9a2 −30ab + 25b2 a) (2x − 1)2 b) (3a − 5b)2 c) (10x + 2z3 ) ⋅ (10x − 2z3 ) Behatu adibideari eta kalkulatu buruz. 1.0002 − 9992 = (1.000 + 999) ⋅ (1.000 − 999) = 1.999 ⋅ 1 = 1.999 a) 462 −452 b) 1202 −1192 c) 5002 −4992 a) 91 b) 239 c) 999 Sinplifikatu zatiki aljebraiko hauek. a) b) c) d) a) b) c) d) x Sinplifikatu: a) b) a) b) Kalkulatu a izateko. 4x2 + 4ax + a2 = (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9 → a = 3 ARIKETAK Esan adierazpen hauek monomioak diren ala ez. a) 2x2 + yz c) 5x5 y2 e) b) d) f) 3ab + 2a2 a) Ez da monomioa. c) Monomioa da. e) Ez da monomioa. b) Monomioa da. d) Monomioa da. f) Ez da monomioa. xyz 2 11 2 4 x y− 3 2 1 3 x y+ 034 ● 4 4 2 3 2 3 2 2 x ax a x x + + + = +033 ( ) ( ) ( ) x x x x+ ⋅ − − = +3 3 2 3 3 2 ( )x x x − − = − 2 2 2 2 x x 2 9 2 6 − − x x x 2 4 4 2 − + − 032 2 y 5 3 2 x yx y 2 4 4 2 x y xy 6 3 2 2 2 x y x y 5 3 3 2 x y xy x xy 3 031 030 029 028 ERANTZUNAK 908272 _ 0074-0099.qxd 27/9/07 17:40 Página 83
- 84. 84 Esan monomio hauekantzekoak diren. a) xz, 3xy, −6xy c) 4c9 d, c7 d, cd 4 b) ab, a2 b, 7b d) 8xy2 , 7xy a) atalean antzekoak: 3xy, −6xy; xz ez da besteen antzekoa. b), c) eta d) ataletan ez dago antzeko monomiorik. Egin monomioen batuketa hauek. a) xz + 3xz + 6xz c) 9c9 + c9 + c9 b) a2 b + 9a2 b + 27a2 b d) 8xy + 7xy + 43xy + 23xy a) 10xz b) 37a2 b c) 11c9 d) 81xy Egin monomioen kenketa hauek. a) 3xz − 6xz c) 18xy − 7xy − 3xy − 3xy b) 9a2 b − 2a2 b d) 5x9 − x9 − x9 − x9 a) −3xz c) 5xy b) 7a2 b d) 2x9 Egin eragiketak eta adierazi emaitza den monomioaren maila. a) 2x2 + 3x2 −7x2 + 8x2 −x2 b) 5xy3 −2xy3 + 7xy3 −3xy3 + 12xy3 c) 3abc −2abc + 6abc + 9abc −4abc d) 5xz −3xz + 15xz −11xz + 8xz −3xz e) (2xyz) ⋅ (2x2 yz3 ) f) (−2abc) ⋅ (3a2 b2 c2 ) ⋅ (−bc) g) 7x ⋅ (2xy) ⋅ (−3xy5 ) ⋅ (xy) h) (6ac3 ) ⋅ (−2a2 c3 ) ⋅ (−3ac) ⋅ (−4a3 c2 ) i) (21x2 y3 ) : (7xy2 ) j) (9abc) : (3bc) k) (16x4 y5 a3 b6 ) : (8x2 y3 a2 b5 ) l) (5m3 n2 g4 ) : (2mng) a) 5x2 Maila: 2. g) −42x4 y7 Maila: 11. b) 25xy3 Maila: 4. h) −144a7 c9 Maila: 16. c) 12abc Maila: 3. i) 3xy Maila: 2. d) 11xz Maila: 2. j) 3a Maila: 1. e) 4x3 y2 z4 Maila: 9. k) 2x2 y2 ab Maila: 6. f) 6a3 b4 c4 Maila: 11. l) Maila: 6. 5 2 2 3 m ng 038 ● 037 ● 036 ● 035 ● Polinomioak 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 84
- 85. 85 3 Egin eragiketa hauek. a)−xz + 6xz + xyz − 8xz c) 9c9 − c9 − c9 + 10c9 b) 9a2 b − 2a2 b + 8a2 b − a2 b d) 8xy + 7xy − xy + 3xy − xy a) −3xz + xyz b) 14a2 b c) 17c9 d) 16xy Egin biderketa hauek. a) xy ⋅ 3xy ⋅ (−6xy) c) 8xy2 ⋅ 7xy b) ab ⋅ a2 b ⋅ 7b ⋅ ab d) 15x9 ⋅ (−3x9 ) a) −18x3 y3 b) 7a4 b3 c) 4y d) −45x18 Egin monomioen arteko zatiketa hauek. a) 9xy : 3xy c) 15x8 : 5x8 e) 15x9 : 3x9 b) 9ab : ab d) 8xy2 : 2xy2 f) 32x7 : 8x4 a) 3 b) 9 c) 3 d) 4 e) 5 f) 4x3 Kalkulatu eta sinplifikatu emaitza ahalik eta gehien. a) 2x2 −5(−x2 ) + 8x2 −(2x) ⋅ (3x) b) 2x ⋅ (−y) + 7xy −yx + (−4x) ⋅ (−5y) c) 3x2 −(−x)2 + 3(−x2 ) + (−3) ⋅ (−x)2 d) (2xy −3xy + 7xy) ⋅ (2ab) e) (x2 −3x2 + 6x2 −2x2 ) ⋅ (−5zx) a) 2x2 + 5x2 + 8x2 − 6x2 = 9x2 d) (6xy) ⋅ (2ab) = 12xyab b) −2xy + 7xy − xy + 20xy = 24xy e) (2x2 ) ⋅ (−5zx) = −10x3 z c) 3x2 − x2 − 3x2 − 3x2 = −4x2 Arrazoitu berdintza hauek zuzenak ala okerrak diren. a) Zuzena: x ⋅ x ⋅ x = x1+1+1 = x3 . b) Okerra, ezin da berrekizun bereko eta berretzaile desberdineko berreketen kenketarik egin. c) Zuzena: x3 ⋅ x4 = x3+4 = x7 . d) Okerra, berreketa berrekizuna aldi kopuru jakin batean biderkatzea da, ez batzea. e) Zuzena: (x2 )2 = x2⋅2 = x4 . f) Okerra: .x x − =2 2 1 a) x · x · x = x3 b) x2 - x = x c) x3 · x4 = x7 d) x5 = 5x e) (x2 )2 = x4 f) x-2 = -x2 043 ●● 042 ●● 041 ● 040 ● 039 ● ERANTZUNAK 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 85
- 86. 86 Adierazi polinomio hauenmaila, gai askea eta aurkako polinomioa. a) P(x) = −x3 + x2 − 7x − 2 d) S(x) = 8 b) Q(x) = −x2 + 2x + 6 e) T(x) = 12x − x2 + x4 c) R(x) = x + 1 f) a) Maila: 3 Gai askea: −2 Aurkakoa: x3 − x2 + 7x + 2 b) Maila: 2 Gai askea: 6 Aurkakoa: x2 − 2x − 6 c) Maila: 1 Gai askea: 1 Aurkakoa: −x − 1 d) Maila: 0 Gai askea: 8 Aurkakoa: −8 e) Maila: 4 Gai askea: 0 Aurkakoa: −x4 + x2 − 12x f) Maila: 2 Gai askea: Aurkakoa: Arrazoitu zuzena ala okerra den. a) Polinomio bat bi monomioren batuketa da. b) Polinomio baten maila osagai dituen monomioen mailarik handiena da. c) Polinomio baten koefizienteak zenbaki arruntak dira beti. d) Polinomio orotan dago x2 daukan gai bat. a) Okerra. Polinomio bat bi monomio edo gehiagoren batuketa edo kenketa da. b) Zuzena. c) Okerra. Koefizienteak edozein motatako zenbakiak dira. d) Okerra. Aldagaiak ez du zertan x izan, eta ez da beharrezkoa 2. mailako gai bat izatea. Laburtu polinomio hauek. a) P(x) = −x2 − x − 2 −x3 + x2 − x − 2 b) Q(x) = −x2 + x2 + 6 −x + x2 − 7x − 2 c) R(x) = x + 1 − x + x2 d) S(x) = 8 − x + 34 −x + 324 e) T(x) = x4 + x4 −x3 + x2 − 7x − 2 f) a) P(x) = −x3 − 2x − 4 b) Q(x) = x2 − 8x + 4 c) R(x) = x2 + 1 d) S(x) = −2x + 364 e) T(x) = 2x4 − x3 + x2 − 7x − 2 f) U(x) = 3 7 1 6 2 x x− − U x x x x( ) = − − − 1 2 1 6 2 7 2 2 046 ● 045 ●● − + + 1 2 1 6 2 x x− 1 6 U x x x( ) = − − 1 2 1 6 2 044 ● Polinomioak 908272 _ 0074-0099.qxd 27/9/07 17:40 Página 86
- 87. 87 3 Kalkulatu polinomio bakoitzarenzenbakizko balioa, aldagaiaren balio hauetarako. a) A(x) = x + 1, x = 1 denean b) B(x) = x4 + 3, x = 2 denean c) C(x) = 4x5 − x2 + 3, x =−1 denean d) D(x) = −9x4 + 7x2 + 5, x = 1 denean e) E(x) = x3 + x2 + x + 2, x = −2 denean f) F(x) = x4 + x4 −x3 + x2 − 7x − 2, x = 0 denean g) G(x) = −14, x =−2 denean a) A(1) = 1 + 1 = 2 b) B(2) = 8 + 3 = 11 c) C(−1) = −4 − 1 + 3 = −2 d) D(1) = −9 + 7 + 5 = 3 e) E(−2) = −8 + 4 − 2 + 2 = −4 f) F(0) = −2 g) G(−2) = −14 Aurkitu polinomio honen zenbakizko balioak: P(x, y) = 2x2 y + xy2 −3xy + 5x −6y + 9 a) P(0, 0) c) P(−1, 1) e) P(1, 2) b) P(1, 1) d) P(1, −1) f) P(2, 1) a) P(0, 0) = 2 ⋅ 02 ⋅ 0 + 0 ⋅ 02 − 3 ⋅ 0 ⋅ 0 + 5 ⋅ 0 − 6 ⋅ 0 + 9 = 9 b) P(1, 1) = 2 ⋅ 12 ⋅ 1 + 1 ⋅ 12 − 3 ⋅ 1 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 − 6 ⋅ 1 + 9 = 8 c) P(−1, 1) = 2 ⋅ (−1)2 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 12 − 3 ⋅ (−1) ⋅ 1 + 5 ⋅ (−1) − 6 ⋅ 1 + 9 = 2 d) P(1, −1) = 2 ⋅ 12 ⋅ (−1) + 1⋅ (−1)2 − 3 ⋅ 1 ⋅ (−1) + 5 ⋅ 1 − 6 ⋅ (−1) + 9 = 11 e) P(1, 2) = 2 ⋅ 12 ⋅ 2 + 1 ⋅ 22 − 3 ⋅ 1 ⋅ 2 + 5 ⋅ 1 − 6 ⋅ 2 + 9 = 4 f) P(2, 1) = 2 ⋅ 22 ⋅ 1 + 2 ⋅ 12 − 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 − 6 ⋅ 1 + 9 = 17 049 048 ● 1 2 047 ● EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA POLINOMIO BATEN KOEFIZIENTEA, HAREN ZENBAKIZKO BALIOETAKO BAT EZAGUNA DENEAN? Kalkulatu k-ren balioa polinomio honetan: P(x) = x2 − x + k, si P(2) = 5. LEHENA. Aldagaia bere balioaz ordezkatu behar da polinomioan. P(x) BIGARRENA. Sortzen den ekuazioan k bakandu. 2 + k = 5 → k = 5 − 2 = 3 P k k P k ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 2 5 2 = − + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ + =→ x = 2 F ERANTZUNAK 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 87
- 88. 88 Kalkulatu k-ren balioapolinomio bakoitzean, P(1) = 6 dela jakinik. a) P(x) = kx7 + x3 + 3x + 1 d) P(x)= kx6 − kx3 + kx + k b) P(x) = kx4 + kx3 + 4 e) P(x) = k c) P(x) = 9x5 + kx2 + kx − k a) k + 1 + 3 + 1 = 6 → k = 1 d) k − k + k + k = 6 → k = 3 b) k + k + 4 = 6 → k = 1 e) k = 6 c) 9 + k + k − k = 6 → k = 3 Polinomio hauek izanik: P(x) = 2x5 −3x4 + 7x3 −2x2 + 3x −6 R(x) = 3x2 −x + 1 Q(x) = 3x4 −2x3 + 5x2 −7x −1 S(x) = 2x + 3 kalkulatu. a) P(x) + Q(x) c) P(x) −S(x) e) P(x) + R(x) g) Q(x) −R(x) b) Q(x) + P(x) d) Q(x) −P(x) f) R(x) + S(x) h) R(x) −P(x) a) (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) = = 2x5 + 5x3 + 3x2 − 4x − 7 b) (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) + (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) = = 2x5 + 5x3 + 3x2 − 4x − 7 c) (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) − (2x + 3) = = 2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + x − 9 d) (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) − (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) = = −2x5 + 6x4 − 9x3 + 7x2 − 10x + 5 e) (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x2 − x + 1) = = 2x5 − 3x4 + 7x3 + x2 + 2x − 5 f) (3x2 − x + 1) + (2x + 3) = 3x2 + x + 4 g) (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) − (3x2 − x + 1) = 3x4 − 2x3 + 2x2 − 6x − 2 h) (3x2 − x + 1) − (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) = = −2x5 + 3x4 − 7x3 + 5x2 − 4x + 7 Egin polinomio hauen batuketa eta kenketak. a) P(x) = −7x + 4; Q(x) = 2x + 5 b) P(x) = −3x2 + 1; Q(x) = −x2 + 2x c) P(x) = −3x2 + 1; Q(x) = −x2 + 2x + 6 d) P(x) = −5x3 + x2 −7x −2; Q(x) = 5x3 + x2 + 4x −2 e) P(x) = x2 −2xy − y2 ; Q(x) = x2 −xy −y2 f) P(x) = x2 −2xy − y2 ; Q(x) = x2 − 2xy − y2 g) P(x) = x2 − −3; Q(x) = − x2 + x −1 h) P(x) = x2 −5x − 3; Q(x) = − x2 + 1 3 1 2 1 3 1 2 x 2 2 3 1 3 3 2 1 2 3 2 1 2 052 ● 051 ● 050 ●● Polinomioak 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 88
- 89. 89 3 a) Batuketa: −5x+ 9 Kenketa: −9x − 1 b) Batuketa: −4x2 + 2x + 1 Kenketa: −2x2 − 2x + 1 c) Batuketa: −4x2 + 2x + 7 Kenketa: −2x2 − 2x −5 d) Batuketa: 2x2 − 3x − 4 Kenketa: −10x3 − 11x e) Batuketa: x2 − 3xy − y2 Kenketa: x2 − xy − y2 f) Batuketa: x2 − 4xy − y2 Kenketa: x2 − y2 g) Batuketa: x2 − x − 4 Kenketa: x2 − x − 2 h) Batuketa: x2 − 5x − Kenketa: x2 − 5x − Polinomio hauek izanik: P(x) = 2x5 −3x4 + 7x3 −2x2 + 3x −6 R(x) = 3x2 −x + 1 Q(x) = 3x4 −2x3 + 5x2 −7x −1 S(x) = 2x + 3 kalkulatu. a) P(x) + Q(x) + R(x) + S(x) c) [P(x) + Q(x)] −[R(x) + Q(x)] b) P(x) −R(x) + S(x) −Q(x) d) [P(x) −Q(x)] −[R(x) −Q(x)] a) (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) + + (3x2 − x + 1) + (2x + 3) = 2x5 + 5x3 + 6x2 − 3x − 3 b) (2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) − (3x2 − x + 1) + (2x + 3) − − (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) = 2x5 − 6x4 + 9x3 − 10x2 + 13x − 3 c) [(2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1)] + + [(3x2 − x + 1) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1)] = = (2x5 + 5x3 + 3x2 − 4x − 7) − (3x4 − 2x3 + 8x2 − 8x) = = −2x5 − 3x4 + 7x3 − 5x2 + 4x − 7 d) [(2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) − (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1)] + + [(3x2 − x + 1) − (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1)] = = [2x5 − 6x4 + 9x3 − 7x2 + 10x − 5] − [−3x4 + 2x3 − 2x2 + 6x + 2] = = 2x5 − 3x4 + 7x3 − 5x2 + 4x − 7 Aurkitu Q(x) polinomioa, P(x) = x2 + 2x − 1 polinomioari batu behar zaiona emaitza R(x) izan dadin. a) R(x) = x − 1 d) R(x) = −7x2 − 3x b) R(x) = 2x2 − x − 6 e) R(x) = x3 − x c) R(x) = 5x2 − x + 1 f) R(x) = x3 − x2 Q(x) = R(x) − P(x) a) Q(x) = −x2 − x d) Q(x) = −8x2 − 5x + 1 b) Q(x) = x2 − 3x − 5 e) Q(x) = x3 − x2 − 3x + 1 c) Q(x) = 4x2 − 3x + 2 f) Q(x) = x3 − 2x2 − 2x + 1 054 ●● 053 ● 10 3 3 2 8 3 1 2 5 6 3 2 1 6 1 2 5 6 1 6 13 6 5 6 1 2 − 1 2 5 2 3 2 ERANTZUNAK 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 89
- 90. 90 Polinomio hauek izanik: P(x)= 2x6 −7x4 + 2x3 −2x2 + x −1 Q(x) = 3x5 −2x3 + x2 −x −1 R(x) = x2 −x + 1 kalkulatu. a) P(x) ⋅ Q(x) b) Q(x) ⋅ R(x) c) P(x) ⋅ R(x) d) R(x) ⋅ R(x) a) (2x6 − 7x4 + 2x3 − 2x2 + x − 1) ⋅ (3x5 − 2x3 + x2 − x − 1) = = 6x11 − 25x9 + 8x8 + 6x7 − 10x6 + 10x5 + x4 + 3x3 + 1 b) (3x5 − 2x3 + x2 − x − 1) ⋅ (x2 − x + 1) = = 3x7 − 3x6 + x5 + 3x4 − 4x3 + x2 − 1 c) (2x6 − 7x4 + 2x3 − 2x2 + x − 1) ⋅ (x2 − x + 1) = = 2x8 − 2x7 − 5x6 + 9x5 − 11x4 + 5x3 − 4x2 + 2x − 1 d) (x2 − x + 1) ⋅ (x2 − x + 1) = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1 Polinomio hauek izanik: P(x) = 2x5 −3x4 + 7x3 −2x2 + 3x −6 R(x) = 3x2 −x + 1 Q(x) = 3x4 −2x3 + 5x2 −7x −1 S(x) = 2x + 3 kalkulatu. a) [P(x) −Q(x)] ⋅ S(x) c) [P(x) + Q(x) + R(x)] ⋅ S(x) b) [R(x) −Q(x)] ⋅ S(x) d) [P(x) + Q(x) −R(x)] ⋅ S(x) a) [(2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) − (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1)] ⋅ (2x + 3) = = (2x5 − 6x4 + 9x3 − 7x2 + 10x − 5) ⋅ (2x + 3) = = 4x6 − 6x5 + 13x3 − x2 + 20x − 15 b) [(3x2 − x + 1) − (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1)] ⋅ (2x + 3) = = (−3x4 + 2x3 − 2x2 + 6x + 2) ⋅ (2x + 3) = = −6x5 − 5x4 + 2x3 + 6x2 + 22x + 6 c) [(2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) + + (3x2 − x + 1)] ⋅ (2x + 3) = (2x5 + 5x3 + 6x2 − 5x − 6) ⋅ (2x + 3) = = 4x6 + 6x5 + 10x4 + 27x3 + 8x2 − 27x − 18 d) [(2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6) + (3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1) − − (3x2 − x + 1)] ⋅ (2x + 3) = (2x5 + 5x3 − 3x − 8) ⋅ (2x + 3) = = 4x6 + 6x5 + 10x4 + 15x3 − 6x2 − 25x − 24 Egin eragiketa hauek. a) b) c) d) 5 6 3 1 1 3 5 2 4 3 5 2 5 2 x x x x x x x⋅ − + − − ⋅ − + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟( ) 2 5 3 1 1 2 2 3 2 3 2 3 2 x x x x x x x⋅ − + − − ⋅ − + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟( ) 5 3 2 5 7 5 2 33 2 2 x x x x x− + − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 1 2 3 4 5 4 7 7 2 92 2 x x x x+ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ + − 44 3x + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 057 ●● 056 ●● 055 ● Polinomioak 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 90
- 91. 91 3 a) b) c) d) Zatitu. a) (4x4 + 3x3 −5x2 +x + 7) : (x −1) b) (4x4 −2x3 + 3x2 −2x + 5) : (x + 1) c) (7x5 + 4x4 + 3x3 −5x2 + 2x −1) : (x2 + x) d) (x4 −2x3 + x2 −x + 3) : (x2 + x + 1) e) (4x4 −2x3 + 7x2 −2x + 3) : (x2 −x −2) a) b) 4x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 15 x + 1 − 4x4 − 4x3 4x3 − 6x2 + 9x − 11 − 6x3 + 3x2 − 2x + 15 − 6x3 + 6x2 + 9x2 − 2x + 15 − 9x2 − 9x − 11x + 15 − 11x + 11 16 4x4 + 3x3 − 5x2 + 2x + 7 x − 1 − 4x4 + 4x3 4x3 + 7x2 + 2x + 3 7x3 − 5x2 + 2x + 7 − 7x3 + 7x2 + 2x2 + 2x + 7 − 2x2 + 2x − 3x + 17 − 3x + 13 10 058 ● 5 6 5 6 5 2 5 6 5 2 4 3 6 3 2 6 5 x x x x x x− + − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − − + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = = − + − − + − 1 3 10 3 4 3 5 6 5 2 5 6 7 6 5 3 2 x x x x x x 2 5 6 5 2 5 2 5 1 2 2 3 5 4 3 2 5 4 3 x x x x x x x− + − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − − + ⎛⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = = − + − − 1 10 1 5 4 15 2 5 5 4 3 2 x x x x 25 6 6 37 10 41 2 215 4 3 2 x x x x x− + − + 1 2 7 2 3 4 5 4 9 4 72 + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − − − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ + − +x x 33 4 11 4 42 ( ) = − −x x ERANTZUNAK 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 91
- 92. 92 c) d) e) Garatu. a) (3x +2)2 d) (7x3 + 4x2 )2 g) (x4 + 3x5 ) ⋅ (x4 −3x5 ) b) (3x −2)2 e) (2x + 7) ⋅ (2x −7) h) c) (3x2 −2x)2 f) (2x2 + 3x) ⋅ (2x2 −3x) a) 9x2 + 12x + 4 e) 4x2 − 49 b) 9x2 − 12x + 4 f) 4x4 − 9x2 c) 9x4 − 12x3 + 4x2 g) x8 − 9x10 d) 49x6 + 56x5 + 16x4 h) 4x2 − 2x + Garatu berbidura hauek. a) (x + 5)2 c) (−y − 8)2 e) (−x − y)2 b) (2y − 7)2 d) (xy − 6x)2 f) (x + 2xy)2 a) x2 + 10x + 25 d) x2 y2 − 12x2 y + 36x2 b) 4y2 − 28y + 49 e) x2 + 2xy + y2 c) y2 + 16y + 64 f) x2 + 2x2 y + 4x2 y2 060 ●● 1 4 2 1 2 2 x − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 059 ● 4x4 − 2x3 + 17x2 − 12x + 13 x2 − x − 2 − 4x4 + 4x3 + 38x2 4x2 + 2x + 17 − 2x3 + 15x2 − 12x + 13 − 2x3 + 12x2 + 14x + 17x2 + 12x + 13 − 17x2 + 17x + 34 19x + 37 x4 − 2x3 + 3x2 − 1x + 3 x2 + x + 1 − x4 − 2x3 − 3x2 x2 − 3x + 3 − 3x3 + 3x2 − 1x + 3 − 3x3 + 3x2 + 3x + 3x2 + 2x + 3 − 3x2 − 3x − 3 − 3x 7x5 + 4x4 + 3x3 − 15x2 + 12x − 1 x2 + x − 7x5 − 7x4 7x3 − 3x2 + 6x − 11 − 3x4 + 3x3 − 15x2 + 12x − 1 − 3x4 + 3x3 + 6x3 − 15x2 + 12x − 1 − 6x3 − 16x2 − 11x2 + 12x − 1 11x2 + 11x 13x − 1 Polinomioak 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 92
- 93. 93 3 Osatu berdintza hauek. a)(2x + 3)2 = + 12x + c) (9 + 7x) ⋅ (9 −7x) = − b) (5 −3x)2 = 25 − + x2 d) ( + )2 = x4 + 2x3 + x2 a) (2x + 3)2 = (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 3 + 32 = 4x2 + 12x + 9 b) (5 − 3x)2 = 52 − 2 ⋅ 5 ⋅ 3x + (3x)2 = 25 − 30x + 9x2 c) (9 + 7x) ⋅ (9 − 7x) = 92 − (7x)2 = 81 − 49x2 d) x4 + 2x3 + x2 = (x2 )2 + 2 ⋅ x2 ⋅ x + x2 = (x2 + x)2 Garatu eta sinplifikatu adierazpen hauek. a) 5x2 + (2x2 + 1)2 −2x4 −(x −1)2 b) (x −1)2 −(x2 + x + 1) c) (5x + 5)2 −(5x −5)2 d) (2x3 −3x2 )2 −(2x + 2) ⋅ (2x −2) e) (x + 6)2 −(x −6)2 −(x −5) ⋅ (x + 5) f) (2x + 1)2 −(2x −1)2 + (2x + 1) ⋅ (3x + 2) a) 5x2 + (2x2 + 1)2 − 2x4 − (x − 1)2 = 5x2 + 4x4 + 4x2 + 1 − 2x4 − x2 + + 2x − 1 = 2x4 + 8x2 + 2x b) (x − 1)2 − (x2 + x + 1) = x2 − 2x + 1 − x2 − x − 1 = −3x c) (5x + 5)2 − (5x − 5)2 = [(5x)2 + 2 ⋅ 5x ⋅ 5 + 52 ] − − [(5x)2 − 2 ⋅ 5x ⋅ 5 + 52 ] = 25x2 + 50x + 25 − 25x2 + 50x − 25 = 100x d) (2x3 − 3x2 )2 − (2x + 2) ⋅ (2x − 2) = (2x3 )2 − 2 ⋅ 2x3 ⋅ 3x2 + (3x2 )2 − − [(2x)2 − 22 ] = 4x6 − 12x5 + 9x4 − 4x2 + 4 e) (x + 6)2 − (x − 6)2 − (x − 5) ⋅ (x + 5) = = x2 + 12x + 36 − x2 + 12x − 36 − x2 + 25 = −x2 + 24x + 25 f) (2x + 1)2 − (2x − 1)2 + (2x + 1) ⋅ (3x + 2) = = (2x)2 + 2 ⋅ 2x + 1 − ((2x)2 − 2 ⋅ 2x + 1) + 6x2 + 4x + 3x + 2 = = 4x2 + 4x + 1 − 4x2 + 4x − 1 + 6x2 + 7x + 2 = 6x2 + 15x + 2 063 ●● EGIN HONELA Egin eragiketa hau. (2x − 3)2 − (2 + x)2 LEHENA. Polinomioa garatuko dugu, laburbidezko formulen emaitzak aplikatuz. (2x − 3)2 − (2 + x)2 = (4x2 − 12x + 9) − (4 + 4x + x2 ) BIGARRENA. Parentesiak kenduko ditugu, zeinuak kontuan hartuta. (4x2 − 12x + 9) − (4 + 4x + x2 ) = 4x2 − 12x + 9 − 4 − 4x − x2 HIRUGARRENA. Polinomioa laburtuko dugu. 4x2 − 12x + 9 − 4 − 4x − x2 = 3x2 − 16x + 5 Hortaz: (2x − 3)2 − (2 + x)2 = 3x2 − 16x + 5. 062 061 ●● ERANTZUNAK 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 93
- 94. 94 Adierazi polinomio hauekbatuketaren edo kenketaren berbidura gisa. a) 9x2 + 18x + 9 c) x2 + 16x + 64 b) 16x2 − 16x + 4 d) 4x2 + 4x + 1 a) 32 x2 + 2 ⋅ 3 ⋅ 3x + 32 = (3x + 3)2 b) 42 x2 − 2 ⋅ 4 ⋅ 2x + 22 = (4x − 2)2 c) 12 x2 + 2 ⋅ 1 ⋅ 8x + 82 = (x + 8)2 d) 22 x2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1x + 12 = (2x + 1)2 Adierazi irudi bakoitzaren azalera polinomio baten bidez. Sinplifikatu adierazpena. a) c) b) d) a) (x + 4)2 + x2 = 2x2 + 8x + 16 b) c) (x + 5) ⋅ (x + 3) − 2(x − 1) = x2 + 8x + 15 − 2x + 2 = x2 + 6x + 17 d) = x2 + 2x Idatzi polinomioak bi biderkagairen biderketa gisa. a) x2 −16 d) x2 −4x + 4 b) x4 −36 e) 16x2 −24xy + 9y2 c) 4x2 −25 f) 16x4 + 24x2 + 9 a) (x + 4) ⋅ (x − 4) d) (x − 2)2 b) (x2 + 6) ⋅ (x2 − 6) e) (4x − 3y)2 c) (2x + 5) ⋅ (2x − 5) f) (4x2 + 3)2 Erreparatu ebatzitako adibideari eta osatu. [(x + 2) + 3] ⋅ [(x + 2) − 3] = (x + 2)2 − 9 a) [(3x − y) + 4] ⋅ [(3x − y) − 4] b) [(a + b) + c] ⋅ [(a + b) − c] a) (3x − y)2 − 16 b) (a + b)2 − c2 067 ●● 066 ●● x x x + + ⋅ ( )4 2 ( ) ( )x x x x − ⋅ + = − − 3 2 5 2 1 2 15 2 2 x + 4 x x 2x + 5 x − 3 x − 1 x + 32 x + 5 x + 4 x + 4 x x 065 ●● 064 ●● Polinomioak 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 94
- 95. 95 3 Atera biderkagai komunaadierazpen hauetan. a) 3x2 − 4x c) xy − 6xyz − 5xyzt b) (x + 1) + 3(x + 1) d) 3x − 4x2 − 6x3 a) x(3x − 4) c) xy(1 − 6z − 5zt) b) (x + 1) ⋅ (1 + 3) = 4(x + 1) d) x(3 − 4x − 6x2 ) Sinplifikatu adierazpen hauek, laburbidezko formulak eta biderkagai komunak erabiliz. a) 7x2 − 14x + 7 e) (2x + 4) ⋅ (x −2) b) 16x2 + 64x + 64 f) (x − 5) ⋅ (x2 + 5x) c) x3 − 2x2 + x g) (−x − 7) ⋅ (x − 7) d) 18x4 − 12x2 + 2 h) (−x2 + 5) ⋅ (−x2 − 5) a) 7(x2 − 2x + 1) = 7(x − 1)2 b) 16(x2 + 4x + 4) = 16(x + 2)2 c) x(x2 − 2x + 1) = x(x − 1)2 d) 2(9x4 − 6x2 + 1) = 2(3x2 − 1)2 e) 2(x + 2) ⋅ (x − 2) = 2(x2 − 4) f) x (x − 5) ⋅ (x + 5) = x(x2 − 25) g) −(x + 7) ⋅ (x − 7) = −(x2 − 49) = 49 − x2 h) (x2 − 5) ⋅ (x2 + 5) = x4 − 25 070 069 ●● 068 ●● EGIN HONELA NOLA SINPLIFIKATZEN DIRA ZATIKI ALJEBRAIKOAK? Sinplifikatu. LEHENA. Zenbakitzailea eta izendatzailea ahalik eta biderkagai gehienetan deskonposatuko ditugu. BIGARRENA. Zenbakitzailea eta izendatzailea biek biderkagai komuntzat dituztenez zatitzen dira. y y x x y x y y x x 3 2 2 1 1 1 1 1⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − = − −( ) ( ) ( ) ( )( ) y y x xy x 3 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) = − ⋅ − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y y x x xy x y y x x4 3 2 2 3 2 2 1 1 1 2 1− ⋅ − + − = − ⋅ − + xxy x2 1( )− = Biderkagai komuna a y3 da y4 − y3 = y3 ⋅ (y − 1) Kenketaren berbidura x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 F F ( ) ( ) ( ) y y x x xy x 4 3 2 2 2 1 1 − − + − ⋅ ERANTZUNAK 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 95
- 96. 96 Sinplifikatu zatiki aljebraikohauek. a) c) b) d) a) b) c) d) Sinplifikatu zatiki aljebraiko hauek. a) d) b) e) c) f) a) b) c) d) e) f) P(x) polinomioa 5. mailakoa bada, eta Q(x), berriz, 2. mailakoa, zehaztu, ahal den kasuetan, polinomio hauen mailak: a) P(x) + Q(x) c) P(x) ⋅ Q(x) b) P(x) − Q(x) d) P(x) : Q(x) adierazpenaren zatidura eta hondarra. Egin gauza bera, P(x) eta Q(x) 5. mailakoak izanik. 073 ●●● 3 4 4 2 4 4 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x + ⋅ − + ⋅ − = 4 3 4 3 3 4 3 4 4 3 4 3 3 4 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x + + ⋅ − = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 x x x x x + + ⋅ − = + − 18 1 9 1 18 1 1 9 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x − − = − ⋅ + − == +2 1 2 2 ( )x x 2 4 4 4 2 4 4 2 x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − ⋅ + = − + x x x x x x x 2 4 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) − ⋅ + + = − ( )( )3 12 4 2 322 x x x + − − 18 36 18 9 1 4 2 2 2 x x x x − + −( ) ( )6 8 27 48 2 2 x x + − x x x x ( ) ( ) 2 16 32 16 2 2 − + − ( )3 2 9 4 2 2 x x − − x x x x 3 2 16 4 ( ) ( ) − + 072 ●●● ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (x x y y xy x y x+ ⋅ − ⋅ + ⋅ − − ⋅ + = +3 3 4 4 2 3 4 3 2 )) ( ) ( ) ⋅ − + y xy y 4 2 4 y x x x y x x 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )− − = − x x x x x x x 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) + ⋅ − − = + ( ) ( ) ( )x x x x x + + = +1 1 12 ( )( ) ( )( ) x y xy x y 2 2 2 9 16 2 6 4 − − − + x x x x 2 2 4 2 ( ) ( ) − − y x x x x 2 2 4 4 2 ( ) ( ) − + − x x x x 2 2 1 1 + + +( ) 071 ●● Polinomioak 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 96
- 97. 97 3 a) Maila: 5. b)Maila: 5. c) Maila: 7 = 5 + 2. d) Zatidura → Maila: 3 = 5 − 2. Hondarra ⎯⎯→ Maila: 2 baino txikiagoa. P(x) eta Q(x) 5. mailakoak badira: a) Ezin da jakin; izan ere, gerta daiteke gairen bat anulatzean batuketa egitean, koefizienteak aurkakoak badira. b) Ezin da jakin; izan ere, gerta daiteke gairen bat anulatzea kenketa egitean. c) Maila: 10 = 5 + 5. d) Zatidura → Maila: 0 = 5 − 5. Hondarra ⎯⎯→ Maila: 5 baino txikiagoak. Batuketa hauek berbidura perfektuak dira. Emaitza hauen argitan, jakingo al zenuke zehazten zer berbiduraren berdina den adierazpen hau? x2 + (x + 1)2 + x2 (x + 1)2 Aztertu proposatutako berdintza zuzena den. x2 + (x + 1)2 + x2 (x + 1)2 = [x (x +1) + 1]2 Formula frogatzeko, bigarren ataletik abiatuko gara: [x(x + 1) + 1]2 = [x(x + 1)]2 + 2x(x + 1) + 1 = x2 (x +1)2 + 2x(x + 1) + 1 = = x2 (x + 1)2 + 2x2 + 2x + 1 = = x2 (x + 1)2 + x2 + x2 + 2x + 1 = = x2 + (x + 1)2 + x2 (x + 1)2 Egiaztatu, zenbait adibideren bidez, ondoz ondoko hiru zenbaki osoren arteko biderketari erdiko zenbakia batzen bazaio, emaitza kubo perfektu dela beti. Frogatu, ondoz ondoko edozein hiru zenbaki osorako: x − 1, x y x + 1. Adibideak: 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 = 27 = 33 4 ⋅ 5 ⋅ 6 + 5 = 125 = 53 9 ⋅ 10 ⋅ 11 + 10 = 1.000 = 103 (x − 1) ⋅ x ⋅ (x + 1) + x = (x3 − x) + x = x3 075 ●●● 12 + 22 + 12 · 22 = 32 22 + 32 + 22 · 32 = 72 … 92 + 102 + 92 · 102 = 912 074 ●●● ERANTZUNAK 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 97
- 98. 98 Laburbidezko formulen garapenaaurkitzeko aplikatutako metodoari jarraiki, bilatu adierazpen hauen garapena: a) (a + b)3 c) (a + b)2 ⋅ (a − b)2 b) (a − b)3 d) (a − b)4 a) (a + b)3 = (a + b)2 ⋅ (a + b) = (a2 + 2ab + b2 ) ⋅ (a + b) = = a3 + 2a2 b + ab2 + a2 b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2 b + 3a2 b + b3 b) (a − b)3 = (a − b)2 ⋅ (a − b) = (a2 − 2ab + b2 ) ⋅ (a − b) = = a3 − 2a2 b + ab2 − a2 b + 2ab2 − b3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 c) (a + b)2 ⋅ (a − b)2 = ((a + b) ⋅ (a − b)) ⋅ ((a + b) ⋅ (a − b)) = (a2 − b2 )2 = = ((a2 )2 − 2(a2 ) ⋅ (b2 ) + (b2 )2 ) = a4 − 2a2 b2 + b4 d) (a − b)4 = (a − b)3 ⋅ (a − b) = (a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 ) ⋅ (a − b) = = a4 − 3a3 b + 3a2 b2 − ab3 − a3 b + 3a2 b2 − 3ab3 + b4 = = a4 − 4a3 b + 6a2 b2 − 4ab3 + b4 EGUNEROKOAN Fabrika batean eskuz egindako mahaiak ekoizten dituzte. Nagusia konturatu da mahai bakoitzeko fabrikazio-kostua gehiegi aldatzen dela, ekoitzitako mahai kopurua zein den. Gainera, x mahairen guztizko ekoizpen-kostuak (eurotan) honi jarraitzen diola ondorioztatu du: C(x) = x3 + 5x + 16.000 Aurreko guztia kontuan hartuta: a) Zenbat da 40 mahairen ekoizpen-kostua? Zer kostu du mahai bakoitza ekoizteak? Eta 20 mahairena? Zer kostu du mahai bakoitza ekoizteak, kasu horretan? b) Zenbateko aldea dago ekoizleak izango dituen mozkinen artean? Zein aukerak emango dio mozkinik handiena? a) 40 mahairen fabrikazio-kostua: C(40) = 403 + 5 ⋅ 40 + 16.000 = = 80.200 € Mahai bakoitzaren kostua: 80.200 : 40 = 2.005 €. 20 mahairen kostua: C(20) = 203 + 5 ⋅ 20 + 16.000 = 24.100 € Mahai bat ekoiztearen kostua: 24.100 : 20 = 1.205 €. 077 ●●● 076 ●●● Polinomioak 18 mahai ekoizteko enkargua egin didate, eta bi aukera ditut: • 18 mahai ekoiztea eta katalogoko prezioan saltzea: 1.700 € mahai bakoitzeko. • Bezeroari 20 mahaiko eskaintza egitea, bakoitza 1.640 €-an. 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 98
- 99. 99 3 b) 18 mahaifabrikatzea: C(18) = 183 + 5 ⋅ 18 + 16.000 = 21.922 €. Diru-sarrerak: 1.700 ⋅ 18 = 30.600 €. Mozkinak: 30.600 − 21.922 = 8.678 €. 20 mahai fabrikatzea: C(20) = 203 + 5 ⋅ 20 + 16.000 = 24.100 € Diru-sarrerak: 1.640 ⋅ 20 = 32.800 €. Mozkinak: 32.800 − 24.100 = 7.300 €. Mozkinen arteko aldea: 8.678 − 7.300 = 1.378 € 18 mahai saltzean; hori da aukerarik onena fabrikatzailearentzat. Enpresa batean kartoizko kutxak egiten dituzte. Hiru kutxa mota dituzte, eta bezero bakoitzak neurriak eta formatua aukera ditzake, zer behar duen. Neurri guztiak zentimetrotan adierazita daude eta, ekoizpen-premiek eta kartoiaren erresistentziak hala aginduta, aldagaiaren balioek muga batzuk izaten dituzte, zein modelo hautatzen den. Gainera, 10 cm-tik gorakoak eta 50 cm-tik beherakoak izan behar dute. a) Adierazi polinomio gisa enbalaje bakoitza ekoizteko behar den kartoi kantitatea. b) Kartoiaren prezioa 0,02 €/m2 bada, zer kostu izango du 30 × 60 × 80 cm-ko ohiko enbalajeko 200 kutxa ekoizteko behar den kartoiak? c) Zer kutxa mota beharko dugu esfera hauek paketatzeko? a) Esferaren diametroak ez du 50 cm baino handiagoa izan behar. Banaka enbalatu nahi baditugu, hiru kutxa kubiko behar ditugu. Hiru esferak batera enbalatu nahi baditugu, espazioa sobera geratu gabe, enbalaje luzexka erabiliko dugu. Hiru esferak batera enbalatu eta espazioa sobera geratzea nahi badugu, ohiko enbalajea erabiliko dugu. b) Enbalaje kubikoa: x2 azalerako 6 aurpegi → S(x) = 6x2 Enbalaje luzexka: x2 azalerako 2 aurpegi eta azalera hau duten 4 aurpegi: 3x2 → S(x) = 14x2 Ohiko enbalajea: 2x2 azalerako 2 aurpegi, 2x2 + 20 azalerako 2 aurpegi eta 4x2 + 40x azalerako 2 aurpegi → S(x) = 2(8x2 + 60x) = 16x2 + 120x c) x = 30 → Kutxa bakoitzaren azalera: S(30) = 16 ⋅ 302 + 120 ⋅ 30 = 18.000 cm2 → 18.000 cm2 = 1,8 m2 200 kutxaren azalera 200 ⋅ 1,8 = 360 m2 -koa da, eta kostua, 360 ⋅ 2 = 720 euro-zentimokoa = 7,20 €. 078 ●●● OHIKO ENBALAJEA ERANTZUNAK ENBALAJE KUBIKOA ENBALAJE LUZEXKA 2x + 20 2x 3x x x x x x x 908272 _ 0074-0099.qxd 20/9/07 14:48 Página 99
- 100. 100 Lehen eta bigarren mailakoekuazioak4 BERDINTZA ALJEBRAIKOAK EKUAZIO MOTAK METODO OROKORRA LEHEN MAILAKO EKUAZIOAK EKUAZIO OSOAK EKUAZIO EZ-OSOAK FORMULA OROKORRA EBAZPEN-METODOAK EBAZPEN KOPURUAREN AZTERKETA BIGARREN MAILAKO EKUAZIOAK PROBLEMAK EKUAZIOEN BIDEZ EBAZTEA 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 100
- 101. Munduaren azkena 1533ko urrian,Wittenberg-eko kartzela elkartze bitxi baten aterpe izan zen: hara joan zen Luther, lagun mina zuen Michael Stifeli bisita egitera. Stifelek, Bibliari zenbakizko kalkuluak aplikatuz, munduaren azkena urte hartako urriaren 18an izango zela iragarri zuen. Luterok, barreari eutsi ezinik, esan zion: –Michael, zenbat aldiz esan dizut Fedea eta Arrazoia ez nahasteko? –Ez zait berriz gertatuko, ez! Hemendik irtetean, nire idazkiak ordenatzeari lotuko natzaio, eta nire lan zientifikoak argitara emango ditut. Inoiz ez ditut berriz nahasiko ura eta olioa diren bi gauza. Agindu bezala, 1544an Aritmetika osoa argitaratu zuen. Lan horretan, + eta – ikurren erabilera orokortu zuen Stifelek, batuketak eta kenketak egiteko. Orobat, onartu zituen, estreinakoz, koefiziente negatiboak ekuazioetan, baina ez ebazpen negatiboak. Stifelek zioenez... Zein izango litzateke ekuazio horien ebazpena? Ekuazio hau emanda: x + 1 = 0 Stifelek zioenez, ez zuen ebazpenik, zenbaki negatibo bat baita ebazpena, x = –1. Ekuazio hau emanda: x2 – 1 = 0 Stifelek zioenez, ebazpen bakarra du: x = 1. 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 101
- 102. 102 ARIKETAK Kalkulatu adierazpen hauenzenbakizko balioa. a) 2x + x2 −3 x = 4 bada. d) x + x3 −x x =−1 bada. b) 3x + 4y x = y = 2 bada. e) x4 + 2 x =−1 bada. c) x3 −2x + 2 x =−3 bada. a) 8 + 16 − 3 = 21 b) 6 + 8 = 14 c) −27 + 6 + 2 = −19 d) −1 − 1 + 1 = −1 e) 1 + 2 = 3 Adierazi berdintza hauetatik zein den identitatea, eta zein, ekuazioa. a) −6(x −2) + 5 =−2(3x −3) + 11 b) 6(x −1) = 4(x −2) −3(−x −5) a) −6x + 12 + 5 = −6x + 6 + 11 → −6x + 17 = −6x + 17 → Berdintza b) 6x − 6 = 4x − 8 + 3x + 15 → 6x − 6 = 7x + 7 Balio honek soilik betetzen du: x = −13 → 6(−13) − 6 = 7(−13) + 7 → → −78 − 6 = −91 + 7 Idatzi bi identitate eta bi ekuazio. Identitateak: 7x + 2x − 8 = 9x + 4 − 12 −7x − 2 = 7(−x − 1) + 5 Ekuazioak: 2x + 3 = 85 6x + 8 = 2x + 6 Zehaztu ekuazio hauen elementuak. a) 2x − 5 = 4(x + 9) b) x2 + x − 1 = x2 − 2x c) x(x2 − x) + 2 + x2 = x3 + x a) Lehen atala: 2x − 5. Bigarren atala: 4(x + 9). Ezezaguna: x. Maila: 1. b) Lehen atala: x2 + x − 1. Bigarren atala: x2 − 2x. Ezezaguna: x. Maila: 1. c) Lehen atala: x(x2 − x) + 2 + x2 . Bigarren atala: x3 + x. Ezezaguna: x. Maila: 1. 004 003 002 001 Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 102
- 103. 103 4 Beheko zenbakietatik zeinda 5x − 9 = 4(x − 5) ekuazioaren ebazpena? a) 4 b) −3 c) 14 d) −11 5x − 9 = 4(x − 5) a) 5 ⋅ 4 − 9 = 20 − 9 = 11 4(4 − 5) = 4(−1) = −41 → Ez b) 5(−3) − 9 = −15 − 9 = −24 4(−3 − 5) = 4(−8) = −32 → Ez c) 5 ⋅ 14 − 9 = 70 − 9 = 61 4(14 − 5) = 4 ⋅ 9 = 36 → Ez d) 5(−11) − 9 = −55 − 9 = −64 4(−11 − 5) = 4(−16) = −64 → Ebazpena: x = −11 Idatzi ebazpena x = 1 duten bi ekuazio. 3x = 3 2x + 5 = 7 Idatzi bi ekuazio: a) Bina ebazpen dituztenak. b) Ebazpenik ez dutenak. c) Infinitu ebazpen dituztenak. a) x2 + 5x = −3 x2 = 4 b) x2 + 9 = 0 x2 + x + 1 = 0 c) 3x + 6 = 3(x + 2) 5x + 4 = 2x + 3 + 3x + 1 Ebatzi berdintza hauek, batuketaren eta biderketaren arauak aplikatuz. a) x + 4 = 5 d) 8x = 24 b) x −2 =−1 e) −6x = 72 c) 3 −x = 21 f) −4x =−24 a) x + 4 = 5 ⎯→ x + 4 − 4 = 5 − 4 → x = 1 b) x − 2 = −1 → x − 2 + 2 = −1 + 2 → x = 1 c) 3 − x = 21 ⎯→ 3 − x − 3 = 21 − 3 → −x = 18 → ⎯→ (−1)(−x) = (−1)18 → x = −18 d) 8x = 24 ⎯⎯→ e) −6x = 72 ⎯→ f) −4x = −24 → − − = − − = 4 4 24 4 6 x x→ − − = − = − 6 6 72 6 12 x x→ 8 8 24 8 3 x x= =→ 008 007 006 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 005 ERANTZUNAK 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 103
- 104. 104 Kalkulatu. a) 2x +4 = 16 b) 7x + 8 = 57 c) 5x −5 = 25 d) −6x −1 =−13 a) 2x + 4 = 16 → 2x + 4 − 4 = 16 − 4 → 2x = 12 → → x = 6 b) 7x + 8 = 57 → 7x + 8 − 8 = 57 − 8 → 7x = 49 → → x = 7 c) 5x − 5 = 25 → 5x − 5 + 5 = 25 + 5 → 5x = 30 → → x = 6 d) −6x − 1 = −13 → −6x − 1 + 1 = −13 + 1 → −6x = −12 → → → x = 2 Ebatzi. a) −11x =−4x + 15 c) 7x −4 =−5 −6x b) −1 −2x =−3x −11 d) 4x −8 = 6x + 2 a) −11x = −4x + 15 → −11x + 4x = −4x + 15 + 4x → −7x = 15 → → b) −1 − 2x = −3x − 11 → −1 − 2x + 3x + 1 = −3x − 11 + 3x + 1 → → x = −10 c) 7x − 4 = −5 − 6x → 7x − 4 + 6x + 4 = −5 − 6x + 6x + 4 → → 13x = −1 → → d) 4x − 8 = 6x + 2 → 4x − 8 − 6x + 8 = 6x + 2 − 6x + 8 → → −2x = 10 → → x = −5 Aurkitu ekuazio honen ebazpena: 3(x + 2) = 3x + 6. 3(x + 2) = 3x + 6 → 3x + 6 = 3x + 6. Identitatea da: infinitu ebazpen. Ebatzi ekuazio hauek. a) 2x + 5 = 2 + 4x + 3 d) 4x −5 = 3x −2 + x −5 b) 3x −5 = 2x + 4 + x −9 e) 9x −11 = 4x + 6 + 5x + 5 c) 3x + 8 = 5x + 2 f) 6x + 2x + 4 = 3x + 3 −5x −9 a) 2x + 5 = 2 + 4x + 3 → 2x + 5 = 4x + 5 → 2x − 4x = 5 − 5 → x = 0 b) 3x − 5 = 2x + 4 + x − 9 → 3x − 5 = 3x − 5 → Identitatea c) 3x + 8 = 5x + 2 → 3x − 5x = 2 − 8 → −2x = −6 → x = 3 d) 4x − 5 = 3x − 2 + x − 5 → 4x − 5 = 4x − 7 → 4x − 4x = −7 + 5 → → 0x = −2 → Ekuazio bateraezina e) 9x − 11 = 4x + 6 + 5x + 5 → 9x − 11 = 9x + 11 → → 9x − 9x = 11 + 11 → 0x = 22 → Ekuazio bateraezina f) 6x + 2x + 4 = 3x + 3 − 5x − 9 → 8x + 4 = −2x − 6 → x = −1 012 011 − − = − 2 2 10 2 x x = − 1 13 13 13 1 13 x = − − − = − = − 7 7 15 7 15 7 x x→ 010 − − = − − 6 6 12 6 x 5 5 30 5 x = 7 7 49 7 x = 2 2 12 2 x = 009 Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 104
- 105. 105 4 Adierazi egindako urratsazuzena den ala ez. a) 2x + 5x = 2x + 4 → 5x = 4 b) 3x −5 = x −9 → 4x =−4 a) 2x + 5x − 2x = 4 → 5x = 4. Zuzena da. b) 3x − x = −9 + 5 → 2x = −4. Ez da zuzena. Zer gertatzen da ekuazio baten bi ataletan gai bera azaltzen denean? Bi ataletan ezaba daiteke, bietako bat lekuz aldatuz gero, gai baten eta aurkakoaren batura izango genukeelako. Ebatzi. a) x −5(x −2) = 6x b) 120 = 2x −(15 −7x) a) x − 5(x − 2) = 6x → x − 5x + 10 = 6x → −4x + 10 = 6x → → 10 = 6x + 4x → 10 = 10x → x = 1 b) 120 = 2x − (15 − 7x) → 120 = 2x − 15 + 7x → 120 = 9x − 15 → → 120 + 15 = 9x → 135 = 9x → x = 15 Kalkulatu x-ren balioa. a) b) c) a) → → 3(x + 2) = 2(x + 3) → 3x + 6 = 2x + 6 → 3x − 2x = 6 − 6 → x = 0 b) → → 5x − 2(2x + 7) = 50 → 5x − 4x − 14 = 50 → x = 50 + 14 → x = 64 c) → 60 = 7x − 3x → 60 = 4x → x = = 60 4 15 x x x x x x 4 5 7 12 12 4 12 5 12 7 12 3 60 7+ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + =→ → → m.k.t. (4, 12) = 12 F x x x x 2 2 7 5 5 10 2 10 2 7 5 10 5− + = ⋅ − ⋅ + = ⋅→ ( ) m.k.t. (2, 5) = 10 F 6 2 2 6 3 3 ⋅ + = ⋅ +x xm.k.t. (2, 3) = 6 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x x+ = +2 2 3 3 x x 4 5 7 12 + = x x 2 2 7 5 5− + = x x+ = +2 2 3 3 016 015 014 013 ERANTZUNAK 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 105
- 106. 106 Ebatzi ekuazio hauek. a) b) a) →8(x − 1) − 2(x − 3) = 30 → 8x − 8 − 2x + 6 = 30 → → 6x − 2 = 30 → 6x = 32 → b) → 48x + 4(x + 5) − 9(x + 4) = 24(7 − 3x) → → 48x + 4x + 20 − 9x − 36 = 168 − 72x → → 43x − 16 = 168 − 72x → 43x + 72x = 168 + 16 → Idatzi parentesiak eta izendatzaileak dituen lehen mailako ekuazio bat, ebazpena x =−1 izango duena. Ebatzi. a) x2 −7x + 12 = 0 d) x2 −9x + 14 = 0 b) x2 −9x + 18 = 0 e) x2 −6x + 8 = 0 c) 2x2 −8x + 8 = 0 f) 3x2 + 12x + 9 = 0 a) b) = ± − = ± = ± = 9 81 72 2 9 9 2 9 3 2 6 3 x x x2 2 9 18 0 9 9 4 18 2 − + = = − − ± − − ⋅ =→ ( ) ( ) = ± − = ± = ± = 7 49 48 2 7 1 2 7 1 2 4 3 x x x2 2 7 12 0 7 7 4 12 2 − + = = − − ± − − ⋅ =→ ( ) ( ) 019 x x x+ + + = −3 2 2 1 4 5 ( ) 018 → →115 184 184 115 8 5 x x= = = → →24 2 24 5 6 24 3 4 8 24 7 3⋅ + ⋅ + − ⋅ + = −x x x x ( ) ( ) ( ) 2 5 6 3 4 8 7 3x x x x+ + − + = − ( ) ( ) → m.k.t. (6, 8) = 24 F x = = 32 6 16 3 4 1 3 2 3 6 5 6 4 1 3 6 2 3 6 6 5 ( ) ( ) ( ) ( )x x x x− − − = ⋅ − − ⋅ − = ⋅→ → m.k.t. (3, 6) = 6 F 2 5 6 3 4 8 7 3x x x x+ + − + = − ( ) ( ) 4 1 3 2 3 6 5 ( ) ( )x x− − − = 017 Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 106
- 107. c) 2x2 − 8x+ 8 = 0 → d) e) f) Adierazi ax2 + bx + c = 0 gisa eta ebatzi. a) x2 −x = 20 b) 2x2 = 48 −10x c) 3x2 −8 =−2x d) x2 + 9 = 10x a) b) 2x2 = 48 − 10x → 2x2 + 10x − 48 = 0 → c) 3x2 − 8 = −2x → 3x2 + 2x − 8 = 0 → d) x2 + 9 = 10x → x2 − 10x + 9 = 0 → = ± = ± = 10 64 2 10 8 2 9 1 → x = − − ± − − ⋅ = ± − = ( ) ( )10 10 4 9 2 10 100 36 2 2 = − ± = − ± = 2 100 6 2 10 6 8/6 = 4/3 −2 → x = − ± + ⋅ ⋅ ⋅ = − ± ± = 2 2 4 3 8 2 3 2 4 96 6 2 = − ± = − ± = 10 484 4 10 22 4 3 −8 → x = − ± + ⋅ ⋅ ⋅ = − ± + = 10 10 4 2 48 2 2 10 100 384 4 2 = ± + = ± = ± = 1 1 80 2 1 81 2 1 9 2 5 −4 x x x2 2 20 0 1 1 4 20 2 − − = = − − ± − + ⋅ =→ ( ) ( ) 020 = − ± − = − ± = − ± = 12 144 108 6 12 36 6 12 6 6 −1 −3 3 12 9 0 12 12 4 3 9 2 3 2 2 x x x+ + = = − ± − ⋅ ⋅ ⋅ =→ = ± − = ± = ± = 6 36 32 2 6 4 2 6 2 2 4 2 x x x2 2 6 8 0 6 6 4 8 2 − + = = − − ± − − ⋅ =→ ( ) ( ) = ± − = ± = ± = 9 81 56 2 9 25 2 9 5 2 7 2 x x x2 2 9 14 0 9 9 4 14 2 − + = = − − ± − − ⋅ =→ ( ) ( ) → x = − − ± − − ⋅ ⋅ = ± − = = ( ) ( )8 8 4 2 8 4 8 64 64 4 8 4 2 2 107 4ERANTZUNAK 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 107
- 108. 108 Ebatzi ekuazio hauek. a)2x2 − 98 = 0 b) 5x2 + 20x = 0 a) b) 5x2 + 20x = 0 → x2 + 4x = 0 → x(x + 4) = 0 Beste modu bat: 5x2 + 20x = 0 → x Zehaztu bigarren mailako ekuazio hauen ebazpen kopurua. a) x2 −7x −12 = 0 b) x2 + 9x + 18 = 0 c) 3x2 −x + 12 = 0 a) ∆ = (−7)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−12) = 49 + 48 = 97 > 0 → 2 ebazpen b) ∆ = 92 − 4 ⋅ 1 ⋅ 18 = 81 − 72 = 9 > 0 → 2 ebazpen c) ∆ = (−1)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 12 = 1 − 144 = −143 < 0 → Ez du ebazpenik Kalkulatu zenbat ebazpen dituzten bigarren mailako ekuazio hauek. Ondoren, kalkulatu haien balioa. a) x2 −6x + 4 = 0 d) x2 −5x + 9 = 0 b) 2x2 = 4 −10x e) 7x2 + 1 = 6x c) 3x2 = 6x f) 8x2 =−3 a) x2 − 6x + 4 = 0 → x = b) 2x2 = 4 − 10x → 2x2 + 10x − 4 = 0 → → x = − ± = 10 132 4 − +10 132 4 − −10 132 4 = − ± + ⋅ ⋅ ⋅ = − ± + = 10 10 4 2 4 2 2 10 100 32 4 2 = ± = 6 20 2 6 20 2 + 6 20 2 − 6 6 4 4 2 6 36 16 2 2 ± − ⋅ = ± − = 023 022 = − ± = − 20 20 10 0 4 = − ± − ⋅ ⋅ = − ± = 20 20 4 5 0 10 20 400 10 2 → x → → → x x x x = = + = = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 0 0 4 0 4 1 2 2 98 0 2 98 49 49 7 7 2 2 2 x x x x− = = = = ± = − → → → 021 Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 108
- 109. 109 4 c) 3x2 = 6x→ 3x2 − 6x = 0 → x = d) x2 − 5x + 9 = 0 → x = Ez du ebazpen errealik e) 7x2 + 1 = 6x → 7x2 − 6x + 1 = 0 → → x f) 8x2 = −3 → x2 = Ez du ebazpen errealik Kalkulatu, kasu bakoitzean, diskriminatzailearen balioa eta ebazpenak. a) x2 −4x + 3 = 0 c) x2 −4x =−5 b) 2x2 −20x =−50 d) a) ∆ = (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 16 − 12 = 4 > 0 → 2 ebazpen ditu b) 2x2 − 20x + 50 = 0 → x2 − 10x − 25 = 0 → → ∆ = (−10)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 25 = 100 − 100 = 0 → → Ebazpen bat du (bikoitza) c) x2 − 4x + 5 = 0 → ∆ = (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 16 − 20 = −4 < 0 → → Ez du ebazpenik c) 2 ebazpen ditu Idatzi bigarren mailako ekuazio bat: a) Bi ebazpen dituena. b) Ebazpen bakarra baina bikoitza duena. c) Ebazpenik ez duena. a) x2 + 7x + 12 = 0 → x1 = −3, x2 = −4 b) x2 + 6x + 9 = 0 → x = −3 (bikoitza) c) x2 − 3x + 5 = 0 → Ez du ebazpen errealik 025 2 3 4 5 0 4 5 4 2 3 02 2 x x+ = = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⋅ ⋅→ →∆ 2 3 4 5 02 x x+ = 024 − = ± − 3 8 3 8 → →x = ± = ± = 6 2 2 14 3 2 7 3 2 7 + 3 2 7 − = − − ± − − ⋅ ⋅ = ± − = ± = ( ) ( )6 6 4 7 2 7 6 36 28 14 6 8 14 2 = ± −5 11 2 → − − ± − − ⋅ = ± − = ( ) ( )5 5 4 9 2 5 25 36 2 2 = ± = ± = 6 36 6 6 6 6 2 0 − − ± − − ⋅ ⋅ ⋅ = ( ) ( )6 6 4 3 0 2 3 2 ERANTZUNAK 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 109
- 110. 110 Ebatzi. a) x2 −9x =0 f) x2 + 6x = 0 b) x2 −7x = 0 g) x2 + 9x = 0 c) 4x2 −5x = 0 h) 10x2 + 11x = 0 d) 7x2 = 6x i) 3x2 =−4x e) 2x2 −32 = 0 j) 3x2 −243 = 0 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Kalkulatu. a) 900x2 = 9 c) −x2 = 3x −10 b) 5x(2x −1) = 7x d) (x −2)(3x + 7) = 0 a) b) 5x(2x − 1) = 30 → 10x2 − 5x − 30 = 0 → → x = ± = ± = = − = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 5 1 225 20 5 35 20 2 30 20 3 2 1 2 . / / → x x = − − ± − + ⋅ ⋅ ⋅ = ± + = ( ) ( ) .5 5 4 10 30 2 10 5 25 1 200 20 2 900 9 1 100 1 100 1 10 1 10 2 2 1 2 x x x x x = = = ± = = − ⎧ ⎨ ⎪⎪→ → → / /⎩⎩⎪⎪ 027 3 243 0 81 9 9 2 2 1 2 x x x x − = = = = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ → → x = 0 ⎯⎯⎯→ x1 = 0 3x + 4 = 0 → x2 = −4/3 3 4 0 3 4 02 x x x x+ = + = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ → →( ) x = 0 ⎯⎯⎯⎯→ x1 = 0 10x + 11 = 0 → x2 = −11/10 10 11 0 10 11 02 x x x x+ = + = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ → →( ) x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 x + 9 = 0 → x2 = −9 x x x x2 9 0 9 0+ = + = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ → →( ) x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 x + 6 = 0 → x2 = −6 x x x x2 6 0 6 0+ = + = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ → →( ) x1 = 4 x2 = −4 2 32 162 2 x x= = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ → → x = 0 ⎯⎯⎯→ x1 = 0 7x − 6 = 0 → x2 = 6/7 7 6 0 7 6 02 x x x x− = − = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ → →( ) x = 0 ⎯⎯⎯→ x1 = 0 4x − 5 = 0 → x2 = 5/4 4 5 0 4 5 02 x x x x− = − = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ → →( ) x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 x − 7 = 0 → x2 = 7 x x x x2 7 0 7 0− = − = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ → →( ) x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 x − 9 = 0 → x2 = 9 x x x x2 9 0 9 0− = − = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ → →( ) 026 Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 110
- 111. 111 4 c) −x2 = 3x− 10 → −x2 − 3x + 10 = 0 → d) Idatzi bigarren mailako ekuazio bat, bi ebazpen eta koefizienteetako bat zero dituena. Bi zenbakiren batura 48 da. Bata bestearen erdia bada, zer zenbaki dira? Zenbakiei x eta 2x esango diegu. x + 2x = 48 → 3x = 48 → x = 16 → 2x = 32 Bi zenbakiak 16 eta 32 dira. Mirenek Joanak baino 4 komiki gutxiago ditu. Mirenek 2 emanez gero, hark dituenen hirukoitza izango du Joanak. Zenbat komiki ditu bakoitzak? Mirenen komikiak: x Joanaren komikiak: x + 4 x + 4 + 2 = 3(x − 2) → x + 4 + 2 = 3x − 6 → x − 3x = −6 − 4 − 2 → → −2x = −12 → x = 6 Mirenk 6 komiki ditu, eta Joanak, 10. Jaialdi batean 43 pertsona izan dira. 3 mutil joango balira, neska kopurua mutil kopuruaren hiru halako izango litzateke. Zenbat neska eta zenbat mutil daude? Mutil kopurua: x Neska kopurua: 43 − x 43 − x = 3(x − 3) → 43 − x = 3x − 9 → 43 = 4x − 9 → 52 = 4x → x = 13 Ordezkatuz: 43 − 13 = 30. 13 mutil eta 30 neska daude. Ondoz ondoko bi zenbaki bakoitiren batura 156 da. Zer zenbaki dira? Zenbakiei x eta x + 2 baderitzegu → x + x + 2 = 156 → 2x = 154 → x = 77 Beraz, zenbakiak 77 eta 79 dira. Zenbaki baten eta haren bikoitzaren arteko biderkadura 288 da. Zer zenbaki da? Ebazpen bat baino gehiago al daude? Zenbakia: x x ⋅ 2x = 288 → 2x2 = 288 → x2 = 144 → x = ±12 Bi ebazpen: 12 eta −12. 033 032 031 030 029 x x x x x 2 2 1 2 16 0 16 16 4 4 − = = = ± = = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ → → → 028 x − 2 = 0 ⎯→ x1 = 2 3x + 7 = 0 → x2 = −7/3 ( )( )x x− + = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 2 3 7 0 → → →x x x = − − ± − + ⋅ − = ± − = ± − = − = ( ) ( )3 3 4 10 2 3 49 2 3 7 2 52 1 2 22 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ ERANTZUNAK 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 111
- 112. 112 Alexen adina Anerenarenbi halako da. Bi adinak biderkatzen baditugu, emaitza 512 da. Zenbat urte ditu bakoitzak? Aneren adina: x Alexen adina: 2x x ⋅ 2x = 512 → 2x2 = 512 → x2 = 256 → x = ±16 Adina zenbaki positiboa denez, ebazpena bakarra da. Anek 16 urte ditu, eta Albertok, 32 urte. Zenbaki baten eta haren berbiduraren batura 42 da. Zer zenbakiz ari gara? x + x2 = 42 → x2 + x − 42 = 0 → Bi ebazpen daude: x = 6 bada ⎯→ 62 + 6 = 36 + 6 = 42 x = −7 bada → (−7)2 + (−7) = 49 − 7 = 42 Maitek eta haren nebak 5 urteren aldea dute. Bien adinak biderkatuta lortzen den zenbakia 176 da. Zenbat urte ditu bakoitzak? Bigarren ebazpenak ez du balio (adinak ezin du negatiboa izan); beraz, Maitek 16 urte ditu, eta bere nebak, 16 − 5 = 11 urte. Aurkitu ondoz ondoko bi zenbaki, biderketa egitean emaitza 380 bateko dutenak. Zenbakiei x eta x + 1 esango diegu. x(x + 1) = 380 → x2 + x − 380 = 0 → Bi ebazpen daude: x = 19 bada ⎯→ Zenbakiak 19 eta 20 dira. x = −20 bada → Zenbakiak −20 eta −19 dira. → →x x x = − ± + ⋅ = − ± = − ± = = − 1 1 4 380 2 1 1 521 2 1 39 2 19 2 2 1 2 . 00 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 037 = ± = = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 5 27 2 16 11 1 2 → x x x = − − ± − + ⋅ = ± + = ± = ( ) ( )5 5 4 176 2 5 25 704 2 5 729 2 2 Maiteren adina: Bere nebaren adina: x x − ⎫ ⎬ ⎪ 5 ⎪⎪ ⎭⎪⎪ − = − − =x x x x( )5 176 5 176 02 → 036 → →x x x = − ± + ⋅ ⋅ = − ± = − ± = = − ⎧ ⎨ 1 1 4 42 2 1 1 169 2 1 13 2 6 7 2 1 2 ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎪ 035 034 Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 112
- 113. 113 4 750 m2 -ko lur-sailaduen etxaldea hesiz inguratzeko, 110 m hesi erabili dira. Kalkulatu hesiaren neurriak. Aldeak x eta 55 − x dira. Azalera: A = x(55 − x) = 750. Aldeen luzera kalkulatzeko, bigarren mailako ekuazioa ebatziko dugu: x(55 − x) = 750 → 55x − x2 = 750 → x2 + 55x − 750 = 0 ARIKETAK Zehaztu berdintza aljebraiko hauek identitateak ala ekuazioak diren. a) 2x + 3 = 5(x − 1) − 3x + 8 b) 2x − 3x − 7 = 5x + 1 − x c) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 8x − 3 − 2x d) (x + 2)2 − x2 − 4x = 4 a) 2x + 3 = 5(x − 1) − 3x + 8 → 2x + 3 = 5x − 5 − 3x + 8 → → 2x + 3 = 2x + 3 → Identitatea b) 2x − 3x − 7 = 5x + 1 − x → −x − 7 = 4x + 1 → Ekuazioa c) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 8x − 3 − 2x → 6 = 2 + 6x → Ekuazioa d) (x + 2)2 − x2 − 4x = 4 → x2 + 4x + 4 − x2 − 4x = 4 → 4 = 4 → → Identitatea Adierazi ekuazio hauen atalak. a) 2x + 3 = 5 b) 2x − 3x − 7 = 5x + x − 5x c) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 2x − 3 − 2x d) (x + 2) − (x2 − 2) = 4 a) 2x +3 = 5 1. atala 2. atala b) 2x − 3x − 7 = 5x + x − 5x 1. atala 2. atala c) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 2x − 3 − 2x 1. atala 2. atala d) (x + 2) − (x2 − 2) = 4 1. atala 2. atala 040 ● 039 ● = − ± − = − ± − = = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 55 25 2 55 5 2 25 30 1 2 → x x x = − ± − ⋅ − = − ± − − = 55 55 4 750 2 55 3 025 3 000 2 2 . . 038 ERANTZUNAK 55 − x x ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ 908272 _ 0100-0137.qxd 28/9/07 13:02 Página 113
- 114. 114 Adierazi beheko ekuazioengaiak. a) 5x + 1 = 25 c) 4x + 6 = 76 + 12x + 3 −2x b) 2x −x −9 = x + 3x −5x d) 9(x + 7) −3(x2 −2) = 4 a) 5x + 1 = 25 → Gaiak: 5x, 1, 25 b) 2x − x − 9 = x + 3x − 5x → Gaiak: 2x, −x, −9, x, 3x, −5x c) 4x + 6 = 76 + 12x + 3 − 2x → Gaiak: 4x, 6, 76, 12x, 3, −2x d) 9(x + 7) − 3(x2 − 2) = 4 → 9x + 63 − 3x2 + 6 = 4 → → Gaiak: 9x, 63, −3x2 , 6, 4 Adierazi ekuazio hauen maila. a) x4 −8 + x = 0 b) 2x2 + x = 0 c) 3x2 + 75 = 0 d) −4x2 −12x5 = x6 a) Maila: 4. b) Maila: 2. c) Maila: 2. d) Maila: 6. Zenbaki hauen artean zein da x(x −1) = x2 + x ekuazioaren emaitza? Ebazpena: c) x = 0; izan ere, 0(0 − 1) = 0 + 0. Ekuazio hauetatik baten batek ba al du 4 balioa ebazpentzat? a) x2 −16 = 0 c) x2 −4 = 8 e) x3 −124 = 0 b) x + 4 = 0 d) x2 −x + 8 = x + 4 f) x2 −x + 8 = x + 4 −8 a) Bai, 16 − 16 = 0. d) Ez, 16 − 4 + 8 4 + 4. b) Ez, 4 + 4 0. e) Ez, 64 − 128 0. c) Ez, 16 − 4 8. f) Ez, 16 − 4 + 8 4 + 4 − 8. Idatzi ekuazio bat: a) Bi ezezagun eta gai askeak 5 eta −3 dituena. b) Ezezagun bat eta ebazpena 7 dituena. c) Ezezaguna z izan eta ebazpena −9 duena. a) x − 3y + 5 = 2x + y − 3 b) 2x − 5 = 9 → 2x = 14 → x = 7 c) 1 − z = 10 → −z = 10 − 1 = 9 → z = −9 Aurkitu ekuazio hauetatik zeinek duen x = 6 ebazpena. a) 4x = 24 c) e) −x =−6 b) 8x = 12 d) 3x = 32 f) a) Bai, x = 6. c) Ez, . e) Bai, x = 6. b) Ez, . d) Ez, . f) Ez, .x = 2 3 x = 32 3 x = 3 2 x = − 4 3 4 8 3 x = − =x 4 3 046 ● 045 ●● 044 ● a) x = 1 b) x =−1 c) x = 0 d) x = 2 e) x =−3 f) x =−2 043 ● 042 ● 041 ● Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 114
- 115. 115 4 Idatzi, kasu bakoitzean,bi ekuazio. a) Ebazpena x = 3 dutenak. c) Ebazpena x = 5 dutenak. b) Ebazpena x =−2 dutenak. d) Ebazpena x =−1 dutenak. a) 2x = 6 eta 3x + 6 = 15 c) x − 5 = 0 eta 2x = 10 b) 3x = −6 eta 9 − 2x = 13 d) x + 1 = 0 eta 3x = −3 Ebatzi. a) 10 −x = 3 e) 4x + 5 = 11 b) 9 + x = 2 f) 3x + 7 = 14 c) −12 −x = 3 g) −5 + 20x = 95 d) 16 + 3x =−12 h) −9 −11x = 2 a) 10 − x = 3 → 10 − 3 = x → x = 7 b) 9 + x = 2 → 9 + x − 9 = 2 − 9 → x = −7 c) −12 − x = 3 → −12 − x + 12 = 3 + 12 → −x = 15 → x = −15 d) 16 + 3x = −12 → 16 + 3x − 16 = −12 − 16 → 3x = −28 → e) 4x + 5 = 11 → 4x = 11 − 5 → 4x = 6 → f) 3x + 7 = 14 → 3x = 14 − 7 → 3x = 7 → g) −5 + 20x = 95 → 20x = 95 + 5 → = 5 h) −9 − 11x = 2 → −11x = 2 + 9 → = −1 Aurkitu ekuazio hauen ebazpena. a) 4x + 5 =−3x + 12 d) 6x + 40 = 2x + 50 g) 9x + 8 =−7x + 16 b) 3x + 7 = 2x + 16 e) −3x −42 =−2x −7 h) −5x −13 =−2x −4 c) 5 + 20x = 7 + 12x f) 3x −50 = 10 −2x i) 9x − 8 = 8x − 9 a) 4x + 5 = −3x + 12 → 4x + 3x = 12 − 5 → 7x = 7 → x = 1 b) 3x + 7 = 2x + 16 → 3x − 2x = 16 − 7 → x = 9 c) 5 + 20x = 7 + 12x → 20x − 12x = 7 − 5 → 8x = 2 → d) 6x + 40 = 2x + 50 → 6x − 2x = 50 − 40 → 4x = 10 → e) −3x − 42 = −2x − 7 → −3x + 2x = −7 + 42 → −x = 35 → x = −35 f) 3x − 50 = 10 − 2x → 3x + 2x = 10 + 50 → 5x = 60 → x = 12 g) 9x + 8 = −7x + 16 → 9x + 7x = 16 − 8 → 16x = 8 → h) −5x − 13 = −2x − 4 → −5x + 2x = −4 + 13 → −3x = 9 i) 9x − 8 = 8x − 9 → 9x − 8x = −9 + 8 → x = −1 → x = − = − 9 3 3 x = 1 2 x = = 10 4 5 2 x = 1 4 049 ● x = − 11 11 x = 200 20 x = 7 3 x = 3 2 x = − 28 3 048 ● 047 ● ERANTZUNAK 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 115
- 116. 116 Zuzendu beheko ekuazioaebazterakoan egindako akatsak. Hirugarren urratsean, x bakantzean, 5 zatitzen pasatu behar da x biderkatzean duen zeinu berarekin; kasu honetan positiboa, Ebatzi. a) 6(x + 11) = 40 + 6(x + 2) d) 120 = 2x −(15 −7x) b) 2(x −17) = x −3(12 −2x) e) 5(x + 4) = 7(x −2) c) x −5(x −2) = 6 f) 3(x + 7) −6 = 2(x + 8) a) 6(x + 11) = 40 + 6(x + 2) → 6x + 66 = 40 + 6x + 12 → → 6x + 66 = 6x + 52 → 6x − 6x = 52 − 66 → → 0x = 14 → Ez du ebazpenik b) 2(x − 17) = x − 3(12 − 2x) → 2x − 34 = x − 36 + 6x → → 2x − 34 = 7x − 36 → 2x − 7x = −36 + 34 → −5x = −2 → c) x − 5(x − 2) = 6 → x − 5x + 10 = 6 → −4x = −4 → x = 1 d) 120 = 2x − (15 − 7x) → 120 = 2x − 15 + 7x → 120 + 15 = 9x → → = 15 e) 5(x + 4) = 7(x − 2) → 5x + 20 = 7x − 14 → 5x − 7x = −14 − 20 → → −2x = −34 → x = 17 f) 3(x + 7) − 6 = 2(x + 8) → 3x + 21 − 6 = 2x + 16 → → 3x + 15 = 2x + 16 → 3x − 2x = 16 − 15 → x = 1 x = 135 9 x = 2 5 052 ● 051 x = = 10 5 2. 050 ●● Lehen eta bigarren mailako ekuazioak EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA PARENTESIAK DITUZTEN EKUAZIOAK? Ebatzi 3(4 − 2x) − 2(3x − 1) = 2. LEHENA. Parentesiak kenduko ditugu, baina kontuan hartuta parentesi aurrean minus zeinua badago, parentesi barruko zeinu guztiak aldatu behar direla. 3(4 − 2x) − 2(3x − 1) = 2 3 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2x − 2 ⋅ 3x + 2 ⋅ 1 = 2 12 − 6x − 6x + 2 = 2 BIGARRENA. x duten gai guztiak atal batean bilduko ditugu; zenbakiak, berriz, bestean. 12 − 6x − 6x + 2 = 2 → 12 + 2 − 2 = 6x + 6x HIRUGARRENA. Antzeko gaiak laburtuko ditugu. 12 + 2 − 2 = 6x + 6x → 12 = 12x LAUGARRENA. x bakunduko dugu. 12 = 12x → x = = 1 12 12 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 116
- 117. 117 4 Ebatzi ekuazio hauek. a)c) e) b) d) f) a) b) c) d) e) f) Idatzi ekuazio bat: a) Parentesi pare bat eta ebazpena −1 duena. b) Izendatzaile bat eta ebazpena 3 dituena. c) Bi parentesi pare eta ebazpena 4 dituena. a) b) c) 3(x − 1) − 6(5 − x) = 3 Ebatzi. a) c) b) d) a) b) c) d) → →15 13 4 52 15 x x= ⋅ = 3 4 1 12 3 3 4 3 12 1 3 12 4 13 x x x x x− = − + = + + =→ → → 3 2 20 25 3 2 25 20 1 2 5 2 5 10 x x x x x x+ = + − = − = = ⋅ =→ → → 3 15 6 7 3 15 42 3 57 57 3 19 x x x x + = − + = − = − = − = −→ → → x x x − = − = = + = 2 5 1 2 5 5 2 7→ → 3 4 1 12 3 x x− = − 3 15 6 7 x + = − 3 2 20 25 x x+ = + x − = 2 5 1 055 ●● x − = − 5 2 1 3 3 2 6 ( )x − = − 054 ●● − = − − = − = 3 2 25 3 50 50 3 x x x→ → 9 3 5 9 15 15 9 5 3 x x x= − = − = − = −→ → 7 4 28 7 28 4 112 7 16 x x x= = ⋅ = =→ → − = − = = − = − 2 3 4 2 12 12 2 6 x x x→ → 3 6 21 3 21 6 3 126 126 3 42 x x x x= − = − ⋅ = − = − = −→ → → 4 20 3 4 3 20 4 60 15 x x x x= = ⋅ = =→ → → − = − 3 2 25 x7 4 28 x = 3 6 21 x = − 9 3 5 x = − − = 2 3 4 x4 20 3 x = 053 ● ERANTZUNAK 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 117
- 118. 118 Kalkulatu x-ren balioa. a)d) b) e) c) f) a) b) 5x − 46 → x + 2 = 15x − 138 → x − 15x = −138 − 2 → → −14x = −140 → x = 10 c) 10x − 2(x + 4) = 10 + 5x → → 10x − 2x − 8 = 10 + 5x → 8x − 8 = 10 + 5x → → 8x − 5x = 10 + 8 → 3x = 18 → x = 6 d) → 3(x + 8) − (x − 4) = 12 → 3x + 24 − x + 4 = 12 → → 2x + 28 = 12 → 2x = 12 − 28 → = −8 e) → 10 ⋅ 3 → → 2(x − 5) + 5(8 − x) + 5(2x − 10) = 30 → → 2x − 10 + 40 − 5x + 10x − 50 = 30 → → 7x − 20 = 30 → 7x = 50 → f) → → 6(x − 10) − 3(x − 20) − 4(x − 30) = 60 → → 6x − 60 − 3x + 60 − 4x + 120 = 60 → → −x + 120 = 60 → −x = 60 − 120 = −60 → x = 60 12 10 2 12 20 4 12 30 3 12 5⋅ − − ⋅ − − ⋅ − = ⋅ ( ) ( ) ( )x x x → x x x− − − − − = 10 2 20 4 30 3 5 → x = 50 7 10 5 5 10 8 2 10 2 10 2 ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − = ( ) ( ) ( )x x x x x x− + − + − = 5 5 8 2 2 10 2 3 → x = −16 2 x x x x+ − − = ⋅ + − ⋅ − = ⋅ 8 2 4 6 2 6 8 2 6 4 6 6 2→ → ( ) ( ) m.k.t. (2, 6) = 6 F x x x − + = + 4 5 1 2 → m.k.t. (5, 2) = 10 F x + = 2 3 → → 8 30 2 2 30 8 15 2 x x= = ⋅ = 3 5 7 2 6 9 3 5 2 6 9 7 3 6 2 5 30 x x x x + = + − = − ⋅ − ⋅⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟→ → ⎟⎟ =x 2 → x x x− − − − − = 10 2 20 4 30 3 5x x x − + = + 4 5 1 2 x x x− + − + − = 5 5 8 2 2 10 2 3 x x + = − 2 3 5 46 x x+ − − = 8 2 4 6 2 3 5 7 2 6 9 x x + = + 056 ● Lehen eta bigarren mailako ekuazioak m.k.t. (5, 6) = 30 F F m.k.t. (5, 2) = 10 F m.k.t. (2, 4, 3) = 12 908272 _ 0100-0137.qxd 28/9/07 13:02 Página 118
- 119. 119 4 Lortu ekuazio hauenebazpena. a) d) b) e) c) a) → 4(2x − 10) − 9(x − 12) = −12 → 8x − 40 − 9x + 108 = −12 → → −x + 68 = −12 → −x = −12 − 68 = −80 → x = 80 b) = 15 − 20(x + 2) → → −3x − 3 = 15 − 20x − 40 → −3x + 20x = −25 + 3 → → 17x = −22 → c) → → 4(2x − 5) + 5(x + 1) = 20(20 − x) → 8x − 20 + 5x + 5 = 400 − 20x → → 13x + 20x = 400 + 15 → 33x = 415 → d) → 2(3 − x) − 14x = 3 + 2(x − 1) → → 6 − 2x − 14x = 3 + 2x − 2 → 6 − 16x = 1 + 2x → → −16x − 2x = 1 − 6 → −18x = −5 → e) → → 6(4x − 6) + 120x = 1.260 − 15(x + 1) → → 24x − 36 + 120x = 1.260 − 15x − 15 → → 144x + 15x = 1.245 + 36 → 159x = 1.281 → x = = 1 281 159 427 53 . (: 3) F 60 4 6 10 60 2 60 21 60 3 1 12 ⋅ − + ⋅ = ⋅ − ⋅ +x x x( ) → 4 6 10 2 21 3 1 12 x x x− + = − +( ) → m.k.t. (10, 12) = 60 F x = 5 18 3 7 3 2 1 14 14 3 7 14 14 3 2 1 14 − − = + − ⋅ − − = ⋅ + −x x x x x x( ) ( ) → →→ x = 415 33 20 2 5 5 20 1 4 20 20⋅ − + ⋅ + = − ( ) ( ) ( ) x x x → 2 5 5 1 4 20 x x x − + + = − → m.k.t. (5, 4) = 20 F x = − 22 17 − − = − + ⋅ − −3 3 5 3 4 2 5 3 3 5 x x x ( ) → 2 10 3 3 12 4 1 12 2 10 3 12 3 12 4 x x x x− − − = − ⋅ − − ⋅ − = ( ) ( ) ( ) → −−12 → m.k.t. (3, 4) = 12F 2 5 5 1 4 20 x x x − + + = − 4 6 10 2 21 3 1 12 x x x− + = − +( )− − = − + 3 3 5 3 4 2 x x( ) 3 7 3 2 1 14 − − = + −x x x( )2 10 3 3 12 4 1 x x− − − = − ( ) 057 ● ERANTZUNAK 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 119
- 120. 120 Ondo ebatzita aldago ekuazio hau? Erabaki, ebazpena egiaztatuta. Zuzendu ebazpenean egindako akatsak. 1. m.k.t. kalkulatu. m.k.t. (7, 4) = 28 2. Bider 28 egin. 4(4x − 2) = 2x − 7(x − 1) 3. Parentesiak kendu. 16x − 2 = 2x − 7x − 7 4. Gaiak lekuz aldatu. 16x − 2x + 7x = −7 + 2 5. Gaiak laburtu. 15x = −5 6. x bakundu. x = = −3 2. 2x ez da 2z biderkatu: 4(4x − 2) = 56x − 7(x − 1) 3. Banatze-propietatea gaizki aplikatu da: 16x − 8 = 56x − 7x + 7 4. 14x − 56x + 7x = 7 + 8 5. Batuketa gaizki eginda dago: −35x = 15 6. x gaizki bakandu da: x = Ebatzi. a) b) c) a) 3(x + 5) = (x + 1)(x − 3) → 3x + 15 = x2 − 2x − 3 → x2 − 5x − 18 = 0 b) x − 2x − 12(x − 1) = 15(x − 2) → x − 2x − 12x + 12 = 15x − 30 → → −28x = −42 → x = c) 2(2x − 3(x − 5)) = x − 3 → 4x − 6x + 30 = x − 3 → −3x = −33 → → x = 11 3 2 x x x = ± + = ± = + = − ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪ 5 25 72 2 5 97 2 5 97 2 5 97 2 1 2 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 2 3 5 2 3 4 x x x− − = −( ) x x x x 6 3 4 1 2 5 2 2 − − − = −( ) ( ) 2 5 2 1 3 3 ( ) ( )( )x x x+ = + − 059 ●● − = − 15 35 3 7 15 5− 4 2 7 2 1 4 x x x− = − − 058 ●● Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 120
- 121. 121 4 Ebatzi bigarren mailakoekuazio hauek, formula orokorra aplikatuz. a) x2 −5x + 6 = 0 e) x2 −2x + 1 = 0 b) 2x2 −4x + 13 = 0 f) 7x2 −3x + 1 = 0 c) x2 + 8x + 16 = 0 g) −x2 −4x + 5 = 0 d) 3x2 + 2x −16 = 0 a) b) c) d) e) f) g) Ebatzi gabe, aurkitu ekuazio hauen ebazpen kopurua. a) x2 + 5x + 6 = 0 e) x2 + 8x + 16 = 0 b) −2x2 −6x + 8 = 0 f) 2x2 −4x + 13 = 0 c) x2 −8x + 16 = 0 g) 7x2 −3x + 1 = 0 d) −x2 + x + 1 = 0 a) ∆ = 25 − 24 = 1 > 0: 2 ebazpen. b) ∆ = 36 + 64 = 100 > 0: 2 ebazpen. c) ∆ = 64 − 64 = 0: 1 ebazpen. d) ∆ = 1 + 4 = 5 > 0: 2 ebazpen. e) ∆ = 64 − 64 = 0: 1 ebazpen. f) ∆ = 16 − 104 = −88 < 0: ebazpenik ez. g) ∆ = 9 − 28 = −19 < 0: ebazpenik ez. 061 ● x x x = ± + − = − ± = − + = = − − = − ⎧ ⎨ ⎪ 4 16 36 2 4 36 2 4 6 2 1 4 6 2 5 1 2 → ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪ x = ± − = ± −3 9 28 14 3 19 14 → Ez du ebazpenik x = ± − = ± = 2 4 4 2 2 0 2 1 bikoitza( ) x x x = − ± + = − ± = − + = = − − = − 2 4 192 6 2 196 6 2 14 6 2 2 14 6 8 1 2 → 33 ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪ x = − ± − = − ± = − 8 64 64 2 8 0 2 4 bikoitza( ) x = ± − = ± −4 16 104 4 4 88 4 → Ez du ebazpenik x x x = ± − = ± = + = = − = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪ 5 25 24 2 5 1 2 5 1 2 3 5 1 2 2 1 2 → ⎪⎪⎪⎪⎪ 060 ● ERANTZUNAK 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 121
- 122. 122 Zehaztu ekuazio hauenebazpen kopurua. a) x2 −1 = 0 e) x2 −x −2 = 0 b) x2 + 2x = 0 f) x2 = 7x −12 c) x2 −4x + 4 = 0 g) 2x2 −4 + 3x = x2 + 2 + 2x d) x2 + 8x + 16 = 0 a) x2 − 1 = 0 → x2 = 1 → x = ±1 b) x2 + 2x = 0 → x(x + 2) = 0 → c) x2 − 4x + 4 = 0 → d) x2 + 8x + 16 = 0 → e) x2 − x − 2 = 0 → x f) x2 = 7x − 12 → x2 − 7x + 12 = 0 → → g) 2x2 − 4 + 3x = x2 + 2 + 2x → 2x2 − x2 + 3x − 2x − 4 − 2 = 0 → → x2 + x − 6 = 0 → Ebatzi bigarren mailako ekuazio ez-oso hauek. a) x2 −8 = 0 e) −8x2 −24x = 0 b) 2x2 + 50 = 0 f) −x2 −x = 0 c) 3x2 + 75x = 0 g) x2 −1 = 0 d) x2 −16 = 0 h) 4x2 −2x = 0 a) b) x2 = −25 ⎯→ Ez du ebazpenik c) 3x(x + 25) ⎯→ x1 = 0, x2 = −25 d) x = ±4 e) −8x(x + 3) → x1 = 0, x2 = −3 f) −x(x + 1) ⎯→ x1 = 0, x2 = −1 g) x = ±1 h) 2x(x − 1) ⎯→ x1 = 0, x2 = 1 x = ± 8 063 ● x x x = − ± + ⋅ = − ± = = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 1 1 4 6 2 1 5 2 2 3 1 2 → x x x = − − ± − − ⋅ = ± − = ± = = ⎧( ) ( )7 7 4 12 2 7 49 48 2 7 1 2 4 3 2 1 2 → ⎨⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ = ± = + = = − = − ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪ 1 3 2 1 3 2 2 1 3 2 1 1 2 → x x = − − ± − + ⋅ = ± + = ( ) ( )1 1 4 2 2 1 1 8 2 2 x = − ± − ⋅ = − ± − = − 8 8 4 16 2 8 64 64 2 4 2 x = − − ± − − ⋅ = ± − = ( ) ( )4 4 4 4 2 4 16 16 2 2 2 x1 = 0 x + 2 = 0 → x2 = −2 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 062 ● Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 122
- 123. 123 4 Ebatzi ekuazio hauek,metodo egokienari jarraituz. a) 7x2 = 63 b) x2 −24 = 120 c) x2 −25 = 0 d) x2 = 10.000 e) x2 −3 = 22 f) 5x2 −720 = 0 g) x2 + 1 = h) x2 −36 = 100 i) 2x2 −72 = 0 j) 5x2 −3 = 42 k) 9x2 −36 = 5x2 l) 2x2 + 7x − 15 = 0 a) 7x2 = 63 → x2 = 9 → x = ±3 b) x2 − 24 = 120 → x2 = 120 + 24 = 144 → → x = ±12 c) x2 − 25 = 0 → x2 = 25 → x = ±5 d) x2 = 10.000 → x = ±100 e) x2 − 3 = 22 → x2 = 25 → x = ±5 f) 5x2 − 720 = 0 → 5x2 = 720 → → x2 = 144 → x = ±12 g) x2 + 1 = h) x2 − 36 = 100 → x2 = 100 + 36 = 136 → → x = i) 2x2 − 72 = 0 → 2x2 = 72 → x2 = 36 → x = ±6 j) 5x2 − 3 = 42 → 5x2 = 45 → x2 = 9 → x = ±3 k) 9x2 − 36 = 5x2 → 9x2 − 5x2 = 36 → 4x2 = 36 → → x2 = 9 → x = ±3 l) 2x2 + 7x − 15 = 0 → = − ± = = = − = − ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪ 7 13 4 6 4 3 2 20 4 5 1 2 → x x x = − ± + = 7 49 120 4 ± 136 → x = ± 1 2 5 4 5 4 1 1 4 2 → →x = − = 5 4 064 ● ERANTZUNAK 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 123
- 124. 124 Ebatzi. a) x2 −7x =0 b) x2 + 3x = 0 c) x2 −25x = 0 d) x2 −10x = 0 e) 16x(x −5) = 0 f) 3x2 −12x = 0 g) 3x = 4x2 −2x h) 4x2 = 5x i) 25x2 −100x = 0 j) 6x2 −6x = 12x a) x2 − 7x = 0 → x(x − 7) = 0 → b) x2 + 3x = 0 → x(x + 3) = 0 → c) x2 − 25x = 0 → x(x − 25) = 0 → d) x2 − 10x = 0 → x(x − 10) = 0 → e) 16x(x − 5) = 0 → f) 3x2 − 12x = 0 → 3x(x − 4) = 0 → g) 3x = 4x2 − 2x → 4x2 − 2x − 3x = 0 → 4x2 − 5x = 0 → → x(4x − 5) = 0 → h) 4x2 = 5x → 4x2 − 5x = 0 → x(4x − 5) = 0 → → i) 25x2 − 100x = 0 → 25x(x − 4) = 0 → j) 6x2 − 6x = 12x → 6x2 − 18x = 0 → 6x(x − 3) = 0 → → 6x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 x − 3 = 0 → x2 = 3 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 25x = 0 ⎯→ x1 = 0 x − 4 = 0 → x2 = 4 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ x x x x = = − = = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ 0 0 4 5 0 5 4 1 2 ⎯⎯⎯→ → x x x x = = − = = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ 0 0 4 5 0 5 4 1 2 ⎯⎯⎯→ → 3x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 x − 4 = 0 → x2 = 4 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 16x = 0 ⎯→ x1 = 0 x − 5 = 0 → x2 = 5 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ x = 0 ⎯⎯⎯→ x1 = 0 x − 10 = 0 → x2 = 10 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ x = 0 ⎯⎯⎯→ x1 = 0 x − 25 = 0 → x2 = 25 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 x + 3 = 0 → x2 = −3 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 x − 7 = 0 → x2 = 7 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 065 ● Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 124
- 125. 125 4 Kalkulatu, formula orokorraerabili gabe. a) (x + 2)(x1 −2) = 0 b) (x −3)(x2 + 3) = 0 c) (x + 3)(2x −5) d) (x −5)2 = 0 e) (x −2)2 + x = x f) a) b) c) d) x − 5 = 0 → x = 5 (bikoitza) e) (x − 2)2 = 0 → x − 2 = 0 → x = 2 (bikoitza) f) (bikoitza) x x x x = = − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − = 0 0 3 4 4 5 0 3 4 4 5 0 1 2 ⎯⎯⎯⎯⎯→ → → xx2 16 15 = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪ x x x x x x + = = − − = = − = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪ 3 0 3 2 5 0 5 2 5 2 10 1 2 3 ⎯→ → ⎯⎯⎯→ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ x x x x + = = − − = = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 3 0 3 3 0 3 1 2 → → x x x x + = = − − = = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 2 0 2 2 0 2 1 2 → → x x3 4 4 5 0 2 − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = 5 2 0− ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = x 067 ●● 066 ERANTZUNAK EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA EMAITZA ZERO DUEN BIDERKETA BAT DAUKATEN EKUAZIOAK? Ebatzi (x − 1)(x + 2) = 0 ekuazioa. Zenbait biderkagairen biderkadura zero izan dadin, gutxienez biderkagaietako batek zero izan behar du. LEHENA. Biderkagai bakoitza zerorekin berdinduko dugu. (x − 1)(x + 2) = 0 → BIGARRENA. Sortzen diren ekuazioak ebatziko ditugu. (x − 1)(x + 2) = 0 → Ekuazioak bi ebazpen ditu: x1 = 1 eta x2 = −2. x x x x − = = + = = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 1 0 1 2 0 2 → → x x − = + = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 1 0 2 0 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 125
- 126. 126 Ebatzi ekuazio hauek. a)(x + 1)(x −3) + 3 = 0 e) (2x + 3)(2x −3) = 135 b) (x + 9)(x −9) = 3(x −27) f) c) x(3x −2) = 65 d) 4x −(x2 −4) = 2x −4 g) a) (x + 1)(x − 3) + 3 = 0 → x2 + x − 3x − 3 + 3 = 0 → x2 − 2x = 0 → → x(x − 2) = 0 → b) (x + 9)(x − 9) = 3(x − 27) → x2 − 81 = 3x − 81 → x2 − 3x = 0 → → x(x − 3) = 0 → c) x(3x − 2) = 65 → 3x2 − 2x − 65 = 0 → d) 4x − (x2 − 4) = 2x − 4 → 4x − x2 + 4 − 2x + 4 = 0 → → −x2 + 2x + 8 = 0 → e) (2x + 3)(2x − 3) = 135 → 4x2 − 9 = 135 → 4x2 = 144 → → x2 = 36 → x = ±6 f) g) = ± − = + = = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪ 7 49 13 2 7 36 2 13 2 1 2 1 2 → x x x x x2 2 7 13 4 0 7 7 4 13 4 2 − + = = − − ± − − ⋅ =→ ( ) ( ) / → x x 1 2 23 4 41 4 2 64 4 2 64 8 8 23 4 41 4 2 = + = = = = − ( ) ( ) / / / / / == − = − ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪ 18 4 2 9 4 / = ± + = ±23 4 529 1 152 16 2 23 4 41 4 2 / / / /( . ) → → x = − − ± − + ⋅ = ± +( ) ( ) ( )23 4 23 4 4 18 2 23 4 529 16 722 / / / / 22 = x x x x2 223 4 18 23 4 18 0− = − − =→ → = − ± − = − = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 2 6 2 2 4 1 2 → x x x = − ± + ⋅ ⋅ − = − ± + − = 2 2 4 8 2 1 2 4 32 2 2 ( ) → →x x x = ± + = ± = = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 2 4 780 6 2 28 6 5 13 1 2 x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 x − 3 = 0 → x2 = 3 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ x = 0 ⎯⎯→ x1 = 0 x − 2 = 0 → x2 = 2 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ x x2 7 13 4 0− + = x x2 23 4 18− = 068 ●● Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 126
- 127. 127 4 Idatzi bigarren mailakoekuazio bat, zero koefizienterik gabea eta ebazpen bikoitza duena. Ekuazioa hau da: x2 + 2x + 1 = 0. 070 x = − ± − = − = − 2 4 4 2 2 2 1 069 ●● ERANTZUNAK EGIN HONELA NOLA EBATZI PARENTESIAK ETA IZENDATZAILEAK DITUZTEN BIGARREN MAILAKO EKUAZIOAK? Ebatzi . LEHENA. Izendatzaileak ezabatzea. Izendatzaileen m.k.t. kalkulatu eta ekuazioaren bi atalak hartaz biderkatzen dira. m.k.t. (2, 4) = 4 2(x − 1)2 − (3 − 4x) = (5 + 4x) BIGARRENA. Parentesiak kentzea. 2(x2 − 2x + 1) − 3 + 4x = 5 + 4x 2x2 − 4x + 2 − 3 + 4x = 5 + 4x HIRUGARRENA. Gai guztiak lehen atalera pasatzea eta eragiketak egitea. 2x2 − 4x + 2 − 3 + 4x − 5 − 4x = 0 2x2 − 4x − 6 = 0 LAUGARRENA. Ekuazioa sinplifikatzea, ahal bada, eta ebaztea. 2x2 − 4x − 6 = 0 x2 − 2x − 3 = 0 BOSGARRENA. Ebazpenak egiaztatzea. ( ) ( ) ( )− − − − − = + − − = 1 1 2 3 4 1 4 5 4 1 4 2 7 4 1 4 2 → x = −1 ⎯⎯⎯→ ( )3 1 2 3 4 3 4 5 4 3 4 2 9 4 17 4 2 − − − ⋅ = + ⋅ + =→ x = 3 ⎯⎯⎯→ x x x = ± + = ± = = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 2 4 12 2 2 4 2 3 1 1 2 → 2z zatituko dugu F 4 1 2 3 4 4 4 5 4 4 2 ( )x x x− − −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = +⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ( )x x x− − − = +1 2 3 4 4 5 4 4 2 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 127
- 128. 128 Ebazpenak egiaztatzea. a) b) c) (2x+ 1)2 = −1 d) (x − 2) + (2x − 1)(x − 3) = x(3x − 3) − 2x e) (x − 1)(x + 2) = 2 + (x + 3)(x − 4) f) a) 2(x − 2)2 + 14x − 5 = 11 → 2x2 − 8x + 8 + 14x − 5 = 11 → → 2x2 + 6x − 8 = 0 → x2 + 3x − 4 = 0 → → b) 12(x − 2)(x + 2) − 10(14x + 35) = 6(52x + 5) → → 12x2 − 48 − 140x − 350 = 312x + 60 → 12x2 − 452x − 458 = 0 → → 6x2 − 226x − 229 = 0 → 2 ebazpen ditu c) 4x2 + 4x + 2 = 0 → 2x2 + 2x + 1 = 0 → → → Ebazpenik ez d) x − 2 + 2x2 − 7x + 3 = 3x2 − 3x − 2x → −x2 − x + 1 = 0 → → e) x2 + x − 2 = 2 + x2 − x − 12 → 2x = −8 → x = −4 f) Aurkitu ondoz ondoko bi zenbaki, batura 51 dutenak. Zenbakiak x eta x + 1 dira → x + x + 1 = 51 → 2x = 50 → x = 25 Beraz, zenbakiak 25 eta 26 dira. Kalkulatu bere bikoitza eta hirukoitza batuta 10 ematen duen zenbakia. Zenbakia hau da: x → 2x + 3x = 10 → 5x = 10 → x = 2 073 ●● 072 ●● x x x x x 3 4 5 4 0 0 3 4 5 4 0 5 3 1 2 + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = = + = = − ⎧ ⎨ ⎪ → → ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ x x x = ± + − = ± − = + − = − − ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ 1 1 4 2 1 5 2 1 5 2 1 5 2 1 2 → ⎪⎪⎪⎪⎪ x = − ± − = − ± −2 4 8 4 2 4 4 x = ± + = ±226 51 076 5 496 12 226 56 572 12 . . . x x x = − ± + = − ± = − + = = − − = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ 3 9 16 2 3 25 2 3 5 2 1 3 5 2 4 1 2 → ⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪ 3 4 4 5 02 x x+ = ( )( )x x x x− + − + = +2 2 5 14 35 6 52 5 10 ( )x x− + − = 2 3 14 5 6 11 6 2 071 ●●● Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 128
- 129. 129 4 Aurkitu 4 batzeanbere bikoitza ken bat ematen duen zenbakia. Zenbakia: x → x + 4 = 2(x − 1) → −x = −6 → x = 6 Aurkitu ondoz ondoko bi zenbaki, jakinik haien berbiduren arteko kendura 567 dela. Bi zenbakiak x eta x + 1 dira. (x + 1)2 − x2 = 567 → x2 + 2x + 1 − x2 = 567 → 2x = 566 → x = 283 Zenbakiak 283 eta 284 dira. Eraztun baten eta haren kutxaren prezioa 10.200 € da, eta eraztunak kutxak baino 10.000 € gehiago balio du. Zein da gai bakoitzaren prezioa? Kutxa: x. Eraztuna: x + 10.000 → x + x + 10.000 = 10.200 → 2x = 200 → → x = 100. Kutxak 100 € balio du, eta eraztunak, 10.100 €. Upeltegi batean upel guztien erdiak esportatu zituzten urtarrilean; handik bi hilabetera, berriz, geratzen zirenen herenak. Zenbat upel zituzten hasieran, orain 40.000 badituzte? Upelak: x. Urtarrilean esportatuak: ; handik bi hilabetera: . → x = 120.000 upel 078 x x x x x x − − − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − = 2 1 3 2 40 000 2 6 40 000. .→ → xx 3 40 000= . → 1 3 2 x x − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ x 2 077 ●● 076 ●● 075 ●● 074 ●● ERANTZUNAK EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA ADINAZ DIHARDUTEN PROBLEMAK, EKUAZIOAK ERABILIZ? Peruk bere txakurrak baino 12 urte gehiago ditu, eta lau urte barru, haren adinaren hirukoitza izango du. Zenbat urte dituzte? LEHENA. Planteamendua. Lau urte barru, Peruren adina txakurrarenaren hirukoitza izango da x + 4 = 3(x − 8). BIGARRENA. Ebaztea. x + 4 = 3(x − 8) → x + 4 = 3x − 24 → 28 = 2x → x = 14 HIRUGARRENA. Egiaztatzea. Peruk 14 urte ditu, eta txakurrak, 14 − 12 = 2 urte. Lau urte barru, Peruk 18 eta txakurrak 6, 18 = 6 ⋅ 3. Peruren adina Txakurraren adina Gaur egun x x − 12 Lau urte barru x + 4 x − 12 + 4 = x − 8 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 129
- 130. 130 Mikelek bere lehengusuKoldok baino 4 urte gehiago ditu eta, hiru urteren buruan (liburuan 4 jartzen du, baina 3 dira), bien artean 20 urte izango dituzte. Zenbat urte ditu bakoitzak? Koldo: x. Mikel: x + 4 → (x + 3) + (x + 4 + 3) = 20 → 2x = 10 → x = 5 Koldo: 5 urte; Mikel: 9 urte. Zenbat urte ditut orain, hemendik 12 urtera duela 6 urte nituenen hirukoitza izango badut? Gaur egungo adina: x → x + 12 = 3(x − 6) → −2x = −30 → x = 15 urte Maitek hiru seme ditu. Gazteenak erdikoaren adinaren erdia du; erdikoak, berriz, zaharrenak baino 6 urte gutxiago. Kalkulatu hiruren adinak, jakinik gaur egun dituzten urteak batuta Ane lehengusinaren adina osatzen dutela, gazteenak baino 12 urte gehiago dituela Ane lehengusinak. Zaharrena: x Erdikoa: x − 6 Gazteena: Ane: Zaharrena: 9 urte. Erdikoa: 3 urte. Gazteena: 1 urte eta erdi. 082 x x x x x x+ − + − = − + = =6 2 2 2 2 12 2 18 9→ → x − + 6 2 12 x − 6 2 081 ●●● 080 ●● 079 ●● Lehen eta bigarren mailako ekuazioak EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA NAHASTEEZ DIHARDUTEN PROBLEMAK, EKUAZIOAK ERABILIZ? Bi te mota ditugu: bat Thailandiakoa, kiloa 5,20 €-an, eta bestea Indiakoa, kiloa 6,20 €-an. 100 kg te lortu nahi ditugu, 6 €/kg-ko prezioan. Mota bakoitzetik zenbat kilo nahasi behar ditugu, horretarako? LEHENA. Planteamendua. Nahastearen prezioa, kiloko = BIGARRENA. Ebaztea. 5,2x + 620 − 6,2x = 600 → 20 = x HIRUGARRENA. Egiaztatzea. Thailandiako 20 kg te behar ditugu, eta 100 − x = 80 kg Indiako te. Nahastearen prezioa kg-ko: 6 €. 5 2 20 6 2 80 100 , ,⋅ + ⋅ = 5 2 6 2 100 100 6 , ,x x+ − = ( ) → 5 2 6 2 100 100 6 , ,x x+ − = ( ) Kiloak Prezioa Thailandiako tea Indiako tea Nahastea x 100 − x 100 5,2x 6,2(100 − x) 5,2x + 6,2(100 − x) 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 130
- 131. 131 4 0,75 €/¬ balioduen esnetik zenbat litro nahasi behar dira 0,85 €/¬-ko esnearekin, 0,77 €/¬ balioko duen esnearen 100 litro lortzeko? 0,75 €-ko esnea: x 0,85 €-ko esnea: 100 − x 0,75x + 0,85(100 − x) = 100 ⋅ 0,77 → 85 − 0,1x = 77 → x = 80 0,75 €/¬-ko 80 litro eta 0,85 €/¬-ko 20 litro nahasi behar dira. Adreilu-fabrika batean tonako 21 € balio duen buztina eta 45 € balio duena nahasten dituzte. Mota bakoitzeko zenbat tona erabili behar dira tonako 39 € balioko duen 500 tona buztin lortzeko? 21 €/t-ko buztina: x. 45 €/t-koa: 500 − x → 21x + 45(500 − x) = 500 ⋅ 39 → → 22.500 − 24x = 19.500 → x = 120 → 120 t 21 €/t-koa eta 380 t 45 €/t-koa Paper-denda batean A motako 25 kutxa paper eta B motako 14 saldu dituzte, guztira 7.700 €-an. Zein da mota bakoitzeko kutxaren prezioa baldin eta B motako kutxaren prezioa A motakoaren bada? A motakoa: x B motakoa: 25x + → → 110x = 23.000 → x = 210. A motakoa: 210 €. B motakoa: 175 €. 086 25 35 3 7 700 75 35 23 100x x x x+ = + =. .→ 5 6 x 5 6 085 ●● 084 ●● 083 ●● ERANTZUNAK EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA MUGIMENDUAZ DIHARDUTEN PROBLEMAK, EKUAZIOAK ERABILIZ? Kamioi bat 80 km/h-ko abiaduran irten da hiri batetik; handik bi ordura auto bat irten da leku beretik, 120 km/h-ko abiaduran. Hiritik zenbateko distantziara harrapatuko du autoak kamioia? LEHENA. Planteamendua. x → Autoa irten denetik biek topo egiten duten arteko denbora-tartea Topo egiten dutenean, bi ibilgailuek distantzia bera egin dute → → 2 ⋅ 80 + 80x = 120x BIGARRENA. Ebaztea: 2 ⋅ 80 + 80x = 120x → 160 = 120x − 80x → x = 4 HIRUGARRENA. Egiaztatzea. Autoa abiatu eta handik 4 ordura egiten dute topo; hau da kamioia abiatu denetik 6 ordura. 6 orduan kamioiak egin ditu: 6 ⋅ 80 = 480 km. 4 orduan autoak egin ditu: 4 ⋅ 120 = 480 km. Aldea Topaketaren unea Kamioiak egindako distantzia Autoak egindako distantzia 2 ⋅ 80 2 ⋅ 80 + 80x 120x 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 131
- 132. 132 Estitxu Sevillatik Bartzelonaraabiatu da, autoa hartuta. Goizeko 8etan abiatu da eta 90 km/h-ko abiadurari eutsi dio. Ordu horretan bertan, baina Bartzelonatik 110 km-ra, Jonek 70 km/h-ko abiaduran doan autobusa hartu du, Estitxuren noranzko berean. Zer ordutan egingo du topo Estitxuk autobusarekin? Zer distantzia egin du bakoitzak? Topo egiteko behar duten denbora: x. 90x = 110 + 70x → 20x = 110 → x = 5,5 ordu. Beraz, 13 h 30 min-an egingo dute topo. Estitxuk egindako distantzia: 5,5 ⋅ 90 = 495 km. Jonek egindakoa: 495 − 110 = 385 km. Goizeko 7etan, Aitor Zamoratik Cádizera abiatu da, 75 km/h-ko abiaduran. 660 km daude bi hirion artean. Ordu berean, Nora Cádizetik irten da Zamorarako bidean, Aitorrek hartu duen errepide beretik, 60 km/h-ko abiaduran. Zer ordutan gurutzatuko dute elkar? Eta Cádizetik zenbateko distantziara? Topo egiteko behar duten denbora x bada, eta 660 km-ko distantziara daudela kontuan hartuta: 75x + 60x = 660 → 135x = 660 → → x = 4,888 ordu = 4 h 53 min 20 s. 11 h 53 min 20 s-an egingo dute topo eta Cádizetik 4,888 ⋅ 60 = 293,333 km-ra egongo dira. Lur-sail laukizuzen batek 1.739 m2 -ko azalera du, eta luzetara zabaletara baino 10 m gehiago ditu. Kalkulatu lur-sail horren neurriak. Zabalera: x. Luzera: x + 10 → x(x + 10) = 1.739 → x2 + 10x − 1.739 = 0 Lur-saila 37 m zabal eta 47 m luze da. Beste ebazpenak ez du balio, negatiboa baita. Futbol-zelai batek 30 m gehiago baditu luzeran zabaleran baino, eta 7.000 m2 -ko azalera badu, kalkulatu futbol-zelai horren neurriak. Zabalera: x. Luzera: x + 30 → x(x + 30) = 7.000 → x2 + 30x − 7.000 = 0 Futbol-zelaia 70 m zabal eta 100 m luze da. Beste ebazpenak ez du balio, negatiboa baita. → x x 1 2 30 170 2 70 30 170 2 100 = − + = = − − = − ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ x = − ± + = − ±30 900 28 000 2 30 28 900 2 . . → 090 ●● x x x = − ± + = − ± = − + = 10 100 6 956 2 10 7 056 2 10 84 2 371 2 . . → == − − = − ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪ 10 84 2 47 089 ●● 088 ●●● 087 ●●● Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 132
- 133. 133 4 Aurkitu 7 batekorenaldea duten bi zenbaki, jakinik bien arteko biderkadura 60 dela. Txikiena: x. Handiena: x + 7 → x(x + 7) = 60 → x2 + 7x − 60 = 0 Ebazpenak: 5 eta 12 edo −12 eta −5. 24 m-ko perimetroa duen triangelu angeluzuzen batean, kateto baten luzera bestearenaren hiru laurden da. Aurkitu triangelu horren neurriak. 1. katetoa: x 2. katetoa: Hipotenusa: 1. katetoa = 8 m. 2. katetoa = 6 m. Hipotenusa = 10 m. 8 m luze eta 6 m zabal den egongela bat zolatzeko 300 lauza karratu erabili dira. Zenbat da lauza bakoitzaren aldearen neurria? Lauzaren aldea: x 300x2 = 8 ⋅ 6 → x2 = 0,16 → x = 0,4 Lauzaren aldea 40 cm luze da. Laukizuzen baten diagonala 10 cm-koa da. Kalkulatu laukizuzenaren neurriak, kateto bat bestea baino 2 cm motzagoa bada. Handiena: x Txikiena: x − 2 Diagonala: x2 + (x − 2)2 = 102 → 2x2 − 4x + 4 = 100 → x2 − 2x − 48 = 0 Neurriak 8 cm eta 6 cm dira. Beste ebazpenak ez du balioa, negatiboa baita. x x x = ± + = ± = + = = − = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ 2 4 192 2 2 196 2 2 14 2 8 2 14 2 6 1 2 → ⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪ x x2 2 2+ −( ) 094 ●● 093 ●● x x x x x+ + = = = 3 4 5 4 24 3 24 8→ → x x x2 29 16 5 4 + = 3 4 x 092 ●●● x x x = − ± + = − ± = − + = = − − = − 7 49 240 2 7 289 2 7 17 2 5 7 17 2 1 2 → 112 ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪ 091 ●● ERANTZUNAK 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 133
- 134. 134 Zinema-areto batean, ilarakopurua eta ilara bakoitzeko eserleku kopurua berdinak dira. Jabeak aretoa birmoldatzea erabaki du, hiru ilara eta ilara bakoitzeko eserleku bat kenduta. Birmoldatu ondoren, eserleku kopurua 323 da. a) Zenbat eserleku zituen zinema-aretoak, birmoldatu aurretik? b) Zenbat eserleku daude orain, ilara bakoitzeko? a) x = ilara kopurua = eserleku kopurua/ilara. 3 ilara ezabatuta: x − 3. Ilarako 1 eserleku ezabatuta: x − 1. (x − 3)(x − 1) = 323 → x2 − 3x − x + 3 = 323 → → x2 − 4x − 320 = 0 → Balio negatiboak ez du balio; beraz, 20 eserleku zeuden ilarako eta 20 ilara. b) Orain 20 − 1 = 19 eserleku daude ilarako. Azter ditzagun x2 -ren koefizientea 1 duten bigarren mailako ekuazioen nondik norakoak; hau da, forma hau duten ekuazioenak: x2 + bx + c = 0 Horretarako, urrats hauei jarraituko diegu. a) Ebatzi lau ekuazio hauek: b) Zer erlazio aurkitzen duzu lortutako ebazpenen eta b eta c koefizienteen artean? c) Aurkitu x2 + bx + c = 0 ekuazioaren ebazpenak, eta egin haien batuketa eta biderketa. d) Aurkitutako erlazioak aplikatuta, aurkitu batura 15 eta biderkadura 56 duten bi zenbaki. 096 ●●● = ± + = ± = = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 4 16 1 280 2 4 36 2 20 16 1 2 . → x x x = ± + ⋅ = 4 4 4 320 2 2 095 ●●● Lehen eta bigarren mailako ekuazioak 908272 _ 0100-0137.qxd 28/9/07 13:02 Página 134
- 135. 135 4 a) x2 − 7x+ 12 = 0 → x2 − 3x − 10 = 0 → x2 + 5x + 6 = 0 → x2 + 2x − 24 = 0 → b) b = −(x1 + x2), c = x1 ⋅ x2 c) d) x2 − 15x + 56 = 0 → Garatu eta sinplifikatu adierazpen hau: A = (x − 1)2 + x2 + (x + 1)2 . Aurkitu ondoz ondoko hiru zenbaki oso, berbiduren batura 30.002 dutenak. A = (x − 1)2 + x2 + (x − 1)2 → A = x2 − 2x + 1+ x2 + x2 + 2x + 1 → → A = 3x2 + 2 30.002 = 3x2 + 2 → 30.000 = 3x2 → x2 = 10.000 → x = ±100 Bi ebazpen ditu: 99 eta 100, 101 eta −99, −100 eta −101. 097 ●●● → →x x x = ± − = ± = + = = − = ⎧ ⎨ 15 225 224 2 15 1 2 15 1 2 8 15 1 2 7 1 2 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪ → x x b b c b b c b x x b b c 1 2 2 2 1 2 2 4 2 4 2 4 + = − + − + − − − = − ⋅ = − + − 22 4 2 4 4 2 2 2 2 ⋅ − − − = − − = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ b b c b b c c ( ) x b b c x b b c 1 2 2 2 4 2 4 2 = − + − = − − − ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ → → →x x x = ± − = ± = + = = − = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ 2 4 96 2 2 100 2 2 10 2 6 2 10 2 4 1 2 ⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪ → →x x x = − ± − = − ± = − + = − = − − = − ⎧ ⎨ 5 25 24 2 5 1 2 5 1 2 2 5 1 2 3 1 2 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪ → →x x x = ± + = ± = + = = − = − ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪3 9 40 2 3 49 2 3 7 2 5 3 7 2 2 1 2 ⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪ → →x x x = ± − = ± = + = = − = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ 7 49 48 2 7 1 2 7 1 2 4 7 1 2 3 1 2 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ERANTZUNAK 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 135
- 136. 136 Ebatzi, formula orokorraerabili gabe: 4x2 − 1 + (2x + 1)(x + 3) = 0 ekuazioa. Horretarako, deskonposatu lehen atala biderkagaitan. 4x2 − 1 + (2x + 1)(x + 3) = 0 → (2x + 1)(2x − 1) + (2x + 1)(x + 3) = 0 → → (2x + 1)[(2x − 1) + (x + 3)] = 0 → (2x + 1)(3x + 2) = 0 → EGUNEROKOAN Mireni egun gutxi geratzen zaizkio erditzeko. Haren lantokian, jaioberriei oparia egiteko ohitura dute. Xabier eta Josune lankideak arduratu dira oparia erosteko dirua biltzeaz. Miren oso ezaguna da bere lantokian, ia denek estimatzen dute. Hori dela eta, lankide gehienek hartu dute parte oparian. Atzo, Xabier eta Josune merkataritza-gune handi batean egon ziren, eta eskaintzan zegoen haur-kotxe bat erostea proposatu zuten. Horretarako, bakoitzak 8 € jarri beharko lituzke. Denak ados zeudenez, erostera joan ziren, baina eskaintza amaitua zen eta 4 € falta zitzaizkien. Azkenean, Xabierrek eta Josunek esan didate 14 lankideetatik batek ez duela dirurik jarri Mireni oparia erosteko. Zure ustez, egia da esaten dutena? Parte hartu duten pertsonak: x Hasierako prezioa: 8x Prezio berria: 8x + 4 eta 9x − 8 8x + 4 = 9x − 8 → x = 12 Beraz, Xabierrek eta Josunek esan dutena ez da egia, 12 pertsonak jarri baitute dirua eta ez 13k. 099 ●●● x x 1 2 1 2 2 3 = − = − ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪ 4x2 − 1 = (2x + 1)(2x − 1) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 098 ●●● Lehen eta bigarren mailako ekuazioak Hara zer egin dezakegun: bakoitzak 9 € jarri eta sobera dauden 8 €-ekin haurrari elastiko bat erosi. 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 136
- 137. 137 4 Martxel errementaria da,eta bere lan-ibilbidean hainbat arazori aurre egin behar izan die. Askotan, betetzen zailak diren enkarguak egiten dizkiote. Zenbaitetan, zailtasuna ez datza soilik egin beharreko lanean, baizik eta bezeroak nahi duen hura ulertzean, batik bat. Hala, norbaitek goiko horren moduko eskaera bat egiten dionean, Martxelek errementerian egin beharreko lanetara pasatu behar izaten du. Nola okertu beharko du Martxelek burdin barra hori? Triangelu angeluzuzenaren 1. katetoa: x. 2. katetoa: 170 − x. x2 + (170 − x2 ) = 1302 → x2 + x2 − 340x + 28.900 = 16.900 → → 2x2 − 340x + 12.000 = 0 x Barra okertzean, zati batek 120 cm-ko luzera izan beharko du, eta besteak, 50 cm-koa. → x x 1 2 340 140 4 120 340 140 4 50 = + = = − = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪ = ± − = ±340 115 600 96 000 4 340 19 600 4 . . . → 100 ●●● ERANTZUNAK Zuk behar zenukeena 1,70 m luzeko burdin barra bat da. Barra hori angelu zuzena osatu arte okertu behar da, bi muturren arteko distantzia 1,30 m-koa izanik. Terrazan 1,30 m-ko pareta zatia dut. Pareta horren bi bazterretan, burdin barra bat jarri nahi dut, angelu zuzena osatuz, 1,70 m luze den eguzki-oihal bat jartzeko. 908272 _ 0100-0137.qxd 20/9/07 15:57 Página 137
- 138. 138 Ekuazio-sistemak5 BI EZEZAGUNEKO EKUAZIO LINEALA SISTEMAMOTAK GRAFIKO BIDEZ EBAZTEA BI EZEZAGUNEKO BI EKUAZIOREN SISTEMAK ORDEZKATZEA BERDINTZEA LABURTZEA EBAZPEN-METODOAK PROBLEMAK EBAZTEA BI EZEZAGUNEKO BI EKUAZIOREN SISTEMEN BIDEZ 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 138
- 139. Bat-bateko ikasbidea Udaberriko jaialdiaurtean behin ospatzen zen, maharajaren jauregian. Festa hartara gonbidatua izatea itzal handiko pertsonei mugaturiko ohorea zen. Elefantearen gainera igotzean, Brahmagupta jakintsua eta Serhane, haren laguntzaile gaztea, bat etorri ziren maharajaren eskuzabaltasuna goraipatzean, segizioa bidali baitzien, jauregira lagun ziezaieten. Laguntzaile gazteak bidearen erdia eman zuen ikasi behar zituen jakintzagaiez kexatzen: –Maisu, zergatik ikasi behar dut aljebra? Ez dauka inolako erabilgarritasunik; bost txanpon baditut bost txanpon ditut, eta ez bost ezezagun... Eta ezezaguna edozer izan ahal izatea naturaren aurkakoa da. Brahmaguptak hitza hartu zuen, eta geratzen zitzaien bidearen erdian, aljebraren baliagarritasuna azaldu zion ikasleari: –Mundu honetako gauza guztiek dute bere esanahia: elefantearen bekokiko izarra ez da izarra soilik: elefantea maharajarena dela esan nahi du. Era berean, lau zirkuluz koroatutako gurutzea ez da marrazkia soilik, hiriaren sinboloa ere bada. Matematikan, sinpleena gauzei esanahia kentzea da, zenbakiekin eragiketak egitea eta, ondoren, emaitza interpretatzea. Hitz horien ostean, maisuak eta ikasleak isilean egin zuten jauregira iristeko geratzen zitzaien kilometroa. Ekuazio baten laguntzaz, kalkulatu elefantearen gainean egin zuten distantzia. x = distantzia → 2x + x + 4 = 4x → x = 4 4 km-ko distantzia egin zuten. 1 2 1 4 1x x x++ ++ == 908272 _ 0138-0177.qxd 27/9/07 17:50 Página 139
- 140. 140 ARIKETAK` Jarri ekuazio hauekax + by = c eran eta adierazi koefizienteen balioa. a) y = 2x − 3 b) y = x + 3 c) −3x = 1 − y d) x = 2 − y Eraiki balio-taula bat goiko ekuazio horietarako. a) y = 2x − 3 → −2x + y = −3 → a = −2; b = 1; c = −3 y = 2x − 3 b) y = x + 3 → −x + y = 3 → a = −1; b = 1; c = 3 y = x + 3 c) −3x = 1 − y → −3x + y = 1 → a = −3; b = 1; c = 1 y = 3x + 1 d) x = 2 − y → x + y = 2 → a = 1; b = 1; c = 2 x = 2 − y → y = 2 − x Adierazi ekuazio hauek planoan. a) 2x + 3 = y b) y + 1 = x a) 2x + 3 = y b) y + 1 = x → y = x − 1 002 001 Ekuazio-sistemak x −2 −1 0 1 2 y −7 −5 −3 −1 1 x −1 0 1 2 −3 y 2 3 4 5 0 x −2 −1 0 1 2 y −5 −2 1 4 7 x −1 0 1 2 −3 y 3 2 1 0 5 y = 2x + 3 1 1 1 1 y = x − 1 Y Y X X x y −1 −2 0 −1 1 0 x y −1 1 0 3 1 5 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 140
- 141. 141 5 Idatzi bi ezezagunekobi ekuazio lineal, ebazpena x = 3, y = −2 izango dutenak. Adibidez: 3x + y = 7; y = 1 − x. Aurkitu sistema bakoitzaren ebazpena, sistema osatzen duten ekuazioen balio-tauletatik abiatuta. a) b) a) x + y = 5-ren ebazpenak: x − y = 3-ren ebazpenak: (4, 1) puntua a) sistemaren ebazpena da. b) 2x + y = 13-ren ebazpenak: x − y = 2-ren ebazpenak: (5, 3) puntua b) sistemaren ebazpena da. Adierazi grafikoki sistema hauek eta zehaztu haien ebazpenak. a) b) a) x + 2y = 6 → x − 2y = −2 → Ebazpena: (2, 2). b) x + y = 0 → y = −x x − y = −2 → y = 2 + x Ebazpena: (−1, 1). y x = + 2 2 y x = −6 2 x y x y + = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 0 2 x y x y + = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 6 2 2 005 2 13 2 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5 3 004 003 ERANTZUNAK x 0 1 2 3 4 y 5 4 3 2 1 x 0 1 2 3 4 y −3 −2 −1 0 1 x 0 1 2 3 4 y 13 11 9 7 5 5 3 x 0 1 2 3 4 y −2 −1 0 1 2 5 3 x 0 2 4 6 y 3 2 1 0 x −2 0 2 4 y 0 1 2 3 x −2 −1 0 1 y 2 1 0 −1 x −2 −1 0 1 y 0 1 2 3 1 1 1 −1 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 141
- 142. 142 Sistema hauetatik zeinda (8, 4) ebazpentzat duena? Eta (10, 2)? Eta (3, 1)? a) b) • Ikus dezagun (8, 4) puntua a) edo b) sistemaren ebazpena den: a) → → Ebazpena da. b) → → Ez da. • Ikus dezagun (10, 2) puntua a) edo b) sistemaren ebazpena den: a) → → Ez da ebazpena. b) → → Ez da. • Ikus dezagun (3, 1) puntua a) edo b) sistemaren ebazpena den: a) → → Ez da ebazpena. b) → → Ebazpena da. Idatzi bi ezezaguneko ekuazio lineal bat, ebazpenetako bat x = 2, y = 3 izango duena. Idatzi balio pare hori ebazpen izango duen sistema bat. 3x − 2y = 0 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 = 6 − 6 = 0 Ebatzi sistema hauek eta sailkatu, ebazpen kopurua kontuan hartuta. a) d) b) e) c) f) x y x y − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3 2 3 2 6 x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 3 2 4 6 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 6 2 2 12 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 7 5 2 13 2 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5 3 008 3 2 2 3 0 2 3 1 ⋅ − ⋅ = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ −x = 2, y = 3 ⎯⎯⎯⎯⎯→ 3 2 0 1 x y x y − = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x = 2, y = 3 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 007 2 3 4 1 6 4 10 3 3 1 9 1 81 ⋅ + ⋅ = + = ⋅ − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 4 10 3 84 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3 1 4 12 3 1 2 4 + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 12 4 2 10 4 2 20 8 28 10 3 10 2 30 2 28 81 ⋅ + ⋅ = + = ⋅ − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 4 10 3 84 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 10 2 12 10 2 8 4 + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 12 4 2 8 4 4 16 16 32 10 3 8 4 24 4 20 81 0 ⋅ + ⋅ = + = ⋅ − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 4 10 3 84 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 8 4 12 8 4 4 + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 12 4 2 4 10 3 8 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 12 4 006 Ekuazio-sistemak 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 142
- 143. 143 5 a) x +y = 5 x − y = 3 Ebazpena (4, 1) da: sistema bateragarri mugatua. b) x + y = 7 x − y = 5 Ebazpena (6, 1) da: sistema bateragarri mugatua. c) x + 2y = 3 2x + 4y = 6 Bi ekuazioak zuzen berarenak dira: sistema bateragarri mugagabea. d) 2x + y = 13 x − y = 2 Ebazpena (5, 3) da: sistema bateragarri mugatua. e) x + y = 6 2x − 2y = 12 Ebazpena (6, 0) da: sistema bateragarri mugatua. f) x − 3y = 2 3x − 2y = 6 Bi zuzenek (2, 0) puntuan ebakitzen dute elkar: sistema bateragarri mugatua. ERANTZUNAK x 0 1 2 3 y 5 4 3 2 4 1 x 0 1 2 3 y −3 −2 −1 0 4 1 x 0 1 2 3 y 7 6 5 4 4 5 6 3 2 1 x 0 1 2 3 y −5 −4 −3 −2 4 5 6 −1 0 1 x y 1 1 3 0 x y 1 1 3 0 x 0 1 2 3 y 13 11 9 7 4 5 5 3 x 0 1 2 3 y −2 −1 0 1 4 5 2 3 x 0 1 2 3 y 6 5 4 3 4 5 6 2 1 0 x 0 1 2 3 y −6 −5 −4 −3 4 5 6 −2 −1 0 x y 2 0 −1 −1 x y 0 −3 2 0 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 143
- 144. 144 Ebatzi eta sailkatusistema hauek. a) b) a) b) x − y = 1 3x − 2y = 6 2x − 2y = 1 Bateraezina. Bateraezina. Eman ekuazio-sistema bateragarri mugatuaren, bateragarri mugagabearen eta bateraezinaren adibide bana. Bateragarri mugatua: Bateragarri mugagabea: Bateraezina: Ebatzi, ordezkatze-metodoa erabiliz. → y = 5 − x → x − (5 − x) = 3 → x − 5 + x = 3 → 2x = 3 + 5 → x = = 4 y = 5 − x = 5 − 4 = 1 Sistemaren ebazpena hau da: x = 4, y = 1. Ebatzi ordezkatze-metodoaren bidez eta adierazi bateragarria ala bateraezina den. y = 8 − x = 8 − 8 = 0 Sistemaren ebazpena hau da: x = 8, y = 0. Bateragarria da. → y = 8 − x → x − (8 − x) = 8 → x − 8 + x = 8 → 2x = 16 → x = 8 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 8 8 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 8 8 012 8 2 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5 3 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5 3 011 x y x y + = − − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 5 2 10 x y x y + = − − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 5 2 5 x y x y + = − + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 5 3 5 010 x y 2 3 2− = x y x y − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 1 2 2 1 x y x y 2 3 2 3 2 6 − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ 009 Ekuazio-sistemak x 0 2 4 6 y −3 0 3 6 x −2 0 2 4 y −3 −1 1 3 x −2 0 2 4 y − 5 2 − 1 2 3 2 7 2 x 0 2 4 6 y −6 −3 0 3 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 144
- 145. Zuzendu egindako akatsak. 2x− 4y = 22 2x − 4(1 − 5x) = 22 → 2x − 4 − 20x = 22 → → −18x = 18 → x = = 1 5x − y = 1 5 ⋅ 1 − y = 1 → y = −4 → y = 1 − 5x y-ren zeinua ezabatu da; hau jarri behar luke: 5x − 1. 2x − 4y = 22 2x − 4(1 − 5x) = 22 → 2x − 4 − 20x = 22 Zeinua gaizki jarri da; hau jarri behar luke: +20x. −18x = 18 4 kentzen pasatu da, batzen pasatu beharrean; hau behar luke: −18x = 26. x = = 1 18z zatitu da eta −18z behar luke: . 5x − y = 1 5 ⋅ 1 − y = 1 → y = −4 y-ren zeinua ezabatu da; hau jarri behar luke: y = −1. Ebazpen zuzena: 2x − 4y = 22 2x − 4(5x − 1) = 22 → 2x − 20x + 4 = 22 → → −18x = 18 → y = 5x − 1 y = −6 Ebatzi ekuazio-sistema hauek, berdintze-metodoari jarraituta. a) b) a) → 5 − y = 3 + y → 5 − 3 = 2y → y = 1 x = 5 − y = 5 − 1 = 4 b) → y = 13 − 2x = 13 − 2 ⋅ 5 = 3 13 2 2 15 3 5 − = − = = x x x x → → → → → y x y x = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 13 2 2 2 13 2 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ → → x y x y = − = + ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5 3 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5 3 2 13 2 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5 3 014 x = −1 ⎯⎯→ x = − = − 18 18 1 y = 5x − 1 ⎯⎯⎯⎯→ 5 1 2 4 22 5 1 4 2x y x y y x − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = −→ x = 1 ⎯⎯→ x = − = − 18 18 1 18 18 y = 1 − 5x ⎯⎯⎯⎯→ 5 1 2 4 22 4 2x y x y − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x = 1 ⎯⎯→ 18 18 y = 1 − 5x ⎯⎯⎯⎯→ 5 1 2 4 22 1 5 4 2x y x y y x − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = −→ 013 145 5ERANTZUNAK 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 145
- 146. 146 Ebatzi berdintze-metodoaren bidezeta adierazi bateragarriak ala bateraezinak diren. Zenbat ebazpen dituzte? a) b) a) → Berdintza bat lortu da. Sistemak infinitu ebazpen ditu, bateragarri mugagabea da. b) 1. ekuaziotik y bakanduko dugu: y = 8 − 2x, 2. ekuaziotik: y = 12 − 2x; eta berdindu egingo dugu. 8 − 2x = 12 − 2x → 8 12. Sistema bateraezina da: ez du ebazpenik. Zuzendu berdintze-metodoari jarraituz sistemaren ebazpenean egin diren akatsak. y − 7 = 1 + → 3(y − 7) = 1 + y → 3y − 21 = 1 + y → → 3y − y = 1 + 21 → 2y = 22 → y = =−11 x − y = 7 x − 11 = 7 → x = 7 + 11 = 18 y − 7 = 1 + → 3(y − 7) = 1 + y → Izendatzailea gaizki ezabatuta: → 3(y − 7) = 3 − y → 3y − 21 = 1 + y → → 3y − y = 1 + 21→ 2y = 22 → → y = → Gaizki bakanduta: . x − y = 7 x − 11 = 7 → Gaizki ordezkatuta: x + 11 = 7. x = 7 + 11 = 18 Ebazpen zuzena: → → → 3y + 21 = 1 + y → 3y − y = 1 − 21→ 2y = −20 → → y = x = y + 7 x = −10 + 7 → x = −3 y = −10 ⎯⎯⎯→ − = − 20 2 10 y y y y+ = + + = +7 1 3 3 7 1→ ( ) x y x y = + = + ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪ 7 1 3 → → 3 7 3 1 x y x y − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪ y = −11 ⎯⎯⎯→ y = = 22 2 11 22 2− y 3 → → Gaizki bakanduta: Gaizki bakanduta: x y= + 7 x y = + ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪ 1 3 x y x y = − = + ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪ 7 1 3 → → 3 7 3 1 x y x y − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪ y = −11 ⎯⎯⎯→ 22 2− y 3 x y x y = − = + ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ 7 1 3 → → ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪ x − y = 7 3x − y = 1 016 2 8 2 12 1x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5 5 2 5 5 2 5 5− = − =y y → 2 5 10 4 10 20 5 5 2 5 1x y x y x y x + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪ = − = → → −− ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪ 5 2 y 2 8 2 12 x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 5 10 4 10 20 1x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 015 Ekuazio-sistemak 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 146
- 147. 147 5 Ebatzi laburtze-metodoaren bidez. a) b) a) Biekuazioak batuko ditugu. Eta haietako batean ordezkatuz: x + y = 5 4 + y = 5 → → y = 5 − 4 = 1 b) Ekuazioak batuko ditugu: Eta 1. ekuazioan ordezkatuz: x − 5y = 6 Ebatzi ekuazio-sistema hauek laburtze-metodoaren bidez, eta adierazi bateragarriak ala bateraezinak diren. a) b) a) Sistema bateraezina: ez du ebazpenik. b) Sistema bateragarri mugagabea: infinitu ebazpen ditu. ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x − 2y = 10 2x − 2y = 10 0 = 10 1. ekuazioa ⋅ 2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ kenketa eginda ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x − y = 50 2x − 2y = 10 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + 4y = 0 2x + 4y = 6 0 6 1. ekuazioa ⋅ 2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ kenketa eginda ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x + 2y = 0 2x + 4y = 6 x y x y − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 5 2 2 10 x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 0 2 4 6 018 → x = − = − = −6 115 17 102 115 17 13 17 x − − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ =5 23 17 6 → y = − 23 17 ⎯⎯⎯⎯→ → y = − 23 17 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 4x − 20y = 24 −4x + 03y = −1 − 17y = 23 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ −4x − 20y = 24 −4x + 03y = −1 ⋅ 4 ⎯⎯→ ⋅ (−1) ⎯⎯→ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x − 5y = 6 4x − 3y = 1 x = 4 ⎯⎯→ → x = 4 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + y = 5 x − y = 3 2x + y = 8 x y x y − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5 6 4 3 1 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5 3 017 ERANTZUNAK 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 147
- 148. 148 Zuzendu sistema ebazterakoanegindako akatsak. 2x + y = 0 2 ⋅ (−2) + y = 0 → −4 + y = 0 → y = −4 Gai askea gaizki biderkatuta dago: 0 ⋅ 2 zero da. Ez da kenketa egin behar, batu baizik; gainera, gaizki dago. 2x + 7 = 0 2(−2) + y = 0 → −4 + y = 0 → y = −4 Gaizki bakanduta; y = 4 behar luke. Ebazpen zuzena hau da: 2x + 7 = 0 Ebatzi, metodorik egokienari jarraituta. a) c) b) a) 1. ekuazioan ordezkatuko dugu: x + 1 = 5 → x = 4. b) y = −6 x = −3 − 5 x = 27 c) → 1. ekuazioan ordezkatuko dugu: x + y = 2 → −12 + y = 2 → y = 14 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + 3y = 1−6 2x + 3y = −18 x + 3y = −12 1.a ⋅ 3 ⎯⎯⎯⎯→ kenketa x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3 2 2 3 18 → → x y x y x y + = + + − = − − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 4 2 4 18 y = −6 ⎯⎯⎯→ 2 3 5 3 2 18 ( )− − + = y y → x = −3 − 5y ⎯⎯⎯⎯⎯→ 2 3 2 18 x y+ = 3 3 2 2 3 2 18 5 3y x x y x y x y x+ = − + + = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ + = − = −( ) → → 33 5− y Kenketa egingo dugu. → y = 1 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x + 2y = −5 x + 2y = −6 −y = −1 → → 2 3 5 2 2 3 3 4 x y x y x y y + = + + − − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3 3 2 2 3 2 18 y x x y x y + = − + + = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ ( ) x y x y x y + = + + − = − − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 4 2 4 18 2 3 5 2 2 3 3 4 x y x y x y y + = + + − − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 020 2 4 7 0 8 7 0 8 7 −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ + = − + = =y y y→ →⎯⎯⎯→ x = −4 7 → x = −4 7 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 4x + 2y = 0 + 3x − 2y = −4 7x − 2y = −4 4 2 2 3 2 4 x y x y + = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ ⋅ 2 ⎯→ ⎯→ 2 0 3 2 4 2x y x y + = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x = −2 ⎯⎯→ 4x + 2y = 2 − 3x − 2y = −4 x − 2y = −2 4 2 2 3 2 4 x y x y + = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ ⋅ 2 ⎯→ ⎯→ 2 0 3 2 4 2x y x y + = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x =−2 ⎯⎯→ 4x + 2y = 2 − 3x − 2y = −4 x − 2y = −2 4 2 2 3 2 4 x y x y + = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ ⋅ 2 ⎯→2 0 3 2 4 2x y x y + = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 019 Ekuazio-sistemak 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 148
- 149. 149 5 Ebatzi, metodorik egokienarijarraituta. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 2x − y = 4 Ekuazioen kenketa eginda: 0 −1. Ez du ebazpenik, bateraezina da. Idatzi ordezkatze-metodoaren bidez ebazteko egokia den ekuazio-sistema bat, eta laburtze-metodoaren bidez ebazteko beste bat. Ordezkatze-metodoaren bidez: → 3x − 8 = y → 2x + 3(3x − 8) = 31 → → 2x + 9x − 24 = 31 → 11x = 55 → x = 5 Eta ordezkatuz: y = 3 ⋅ 5 − 8 = 7. Laburtze-metodoaren bidez: Ekuazioen batuketa egingo dugu. → x = 1 Eta ordezkatuz: 2 − 1 − 3y = −4 → −3y = −6 → y = 2. Fernandok eta haren aitak 40 urte dituzte bien artean. Aitaren adina semearenaren 7 halako da. Zenbat urte ditu bakoitzak? Fernando: x. Aita: y. 2. ekuazioan bakandu eta 1. ekuazioan ordezkatuz: x + 7x = 40 → x = 5. Eta ordezkatuz: y = 35. Fernando: 5 urte. Aita: 35 urte. Azterketan, 10 galderari erantzun diet. Erantzun zuzenek bi puntu batzen dituzte, eta okerrek, bat kentzen. 8 puntu lortu ditut; zenbat erantzun zuzen eman ditut? Zuzen: x. Oker: y. 1. ekuazioan x bakanduz: x = 10 − y, eta 2.ean ordezkatuz: 20 − 2y − y = 8 → y = 4. Eta ordezkatuz: x = 6. Zuzen: 6. Oker: 4. Hotel batean 120 gela daude, banakoak eta bikoitzak kontuan hartuta. Ohe kopurua guztira 195 bada, zenbat gela bikoitz ditu hotelak? Eta zenbat banako gela? Bikoitzak: x. Banakoak: y. 1.ean x bakanduz: x = 120 − y 2.ean ordezkatuz: 240 − 2y + y = 195 → y = 45. Eta ordezkatuz: x = 75. Bikoitzak: 75. Banakoak: 45. x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 120 2 195 025 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 10 2 8 024 x y y x + = = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 40 7 023 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x − 3y = −4 3x + 3y = +9 5x + 3y = +5 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x − 3y = 81 2x + 3y = 31 022 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ → → 4 2 3 4 2 3 ( )x y x y − = − = 2 3 2 4 2 4 x y x y x y − + − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪ 2 3 2 4 2 4 x y x y x y − + − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ 021 ERANTZUNAK 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 149
- 150. 150 Pertsona bakoitzak 5pastel jaten baditu, 3 pastel daude sobera; 6 janez gero, ordea, 1 falta da. Zenbat pertsona eta zenbat pastel daude? x = pertsona kopurua eta y = pastel kopurua. 2. ekuazioan ebatziz: y = 6 ⋅ 4 − 1 = 23. 4 pertsona eta 23 pastel daude. ARIKETAK x = 1 eta y = 2 ekuazio hauen ebazpen al dira? a) 3x + 2y = 7 c) 2x −y = 0 b) x + 3 = y d) x + 1 = 7 a) 3 + 6 7. Ez. c) 2 − 2 = 0. Bai. b) 1 + 3 2. Ez. d) 2 + 1 7. Ez. 2x + 3y = 15 ekuazioaren balio-taula beheko hau da. Eman ekuazio horren ebazpen batzuk eta adierazi beste ebazpenen bat aurkitzeko prozedura bat. Beste ebazpen batzuk: (9, −1) eta (12, −3). Prozedura: bi ezezagunetako bat bakandu eta besteari balioak ematea; hala, ebazpen pareak lortzen dira. Egin ebazpen-taula bat ekuazio hauetarako. Hartu −2, −1, 0, 1 eta 2 balioak x aldagaiaren baliotzat. a) y = x + 5 c) y = 3 −x b) x + y = 4 d) x = 5 + y a) y = x + 5 b) x + y = 4 → y = 4 − x c) y = 3 − x d) x = 5 + y → y = x − 5 029 ● 028 ● 027 ● 5x + 3 = 6x − 1 → −x = −4 → x = 4 → → ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5x + 3 = y 6x − 1 = y → → ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5x = y − 3 6x = y + 1 026 Ekuazio-sistemak x 6 3 0 −3 −6 y 1 3 5 7 9 x −2 −1 0 1 2 y 3 4 5 6 7 x −2 −1 0 1 2 y 6 5 4 3 2 x −2 −1 0 1 2 y 5 4 3 2 1 x −2 −1 0 1 2 y −7 −6 −5 −4 −3 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 150
- 151. 151 5 Adierazi planoan, aurrekoariketako ekuazio bakoitzerako, lortu dituzun zenbaki pareak eta aztertu haien adierazpenak zuzen bati dagozkion. a) c) b) d) Osatu balio-taula bat ekuazio bakoitzerako eta adierazi ebazpen batzuk. a) 3x + 2y = 18 d) 2x −5y = 12 b) x −3y = 20 e) 3x + y = 24 c) x −7 = y f) y = 2x −1 a) Ebazpenak: (0, 9), (2, 6)… b) Ebazpenak: (−1, −7), (2, −6)... c) Ebazpenak: (0, −7), (2, −5)... d) Ebazpenak: (−4, −4), (1, −2)... e) Ebazpenak: (0, 24), (2, 18)... f) Ebazpenak: (0, −1), (2, 3)... 031 ● 030 ● ERANTZUNAK x 0 2 4 6 y 9 6 3 0 x −1 2 5 8 y −7 −6 −5 −4 x 0 2 4 6 y −7 −5 −3 −1 x −4 1 6 11 y −4 −2 0 2 x 0 2 4 6 y 24 18 12 6 x 0 2 4 6 y −1 3 7 11 Y X x + y = 4 y = x + 5 y = 3 − x x = 5 + y Y X Y X Y X 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 151
- 152. 152 Osatu balio-taula batsistemaren ekuazio bakoitzerako. Zure ustez, ba al dago bi tauletan agertzen den x-ren eta y-ren balio parerik? x + y = 5 x − 2y = 2 (4, 1) parea bi tauletan agertzen da. Idatzi bi ezezaguneko ekuazio lineal bat, ebazpenetako bat atal bakoitzeko balio parea izango duena: a) x = 3, y = 0 c) x = 2, y = 3 b) x = 0, y =−1 d) x =−1, y =−5 a) x − y = 3 c) 2x − y = 1 b) 5x + y = −1 d) 5x − y = 0 Idatzi bi ezezaguneko bi ekuazio lineal, ebazpena x = 3, y = 2 dutenak. Ondoren, adierazi grafikoki bi ekuazio horiek. Zer ikusten duzu? → x − 1 = 2x − 4 → x = 3 1. ekuazioan ordezkatuz: 3 − y = 1 → 3 − 1 = y → y = 2. x − y = 1 2x − y = 4 Bi zuzenek (3, 2) puntuan ebakitzen dute elkar; hori da sistemaren ebazpena. ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x − 1 = y 2x − 4 = y → → ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x − y = 1 2x − y = 4 034 ●● 033 ●● x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 0 5 2 2 032 ● Ekuazio-sistemak x 0 2 4 6 y 5 3 1 −1 x 0 2 4 6 y −1 0 1 2 x y 0 1 −1 0 x y 2 0 0 −4 x − y = 1 2x − y = 4 Y X 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 152
- 153. 153 5 Adierazi sistema hauenkoefizienteak eta gai askeak. a) b) c) d) a) → a' = 1 b' = 1 c' = 5 a' = 1 b' = 2 c' = 6 b) → a' = 1 b' = 3 c' = 5 a' = 1 b' = −1 c' = 1 c) → a' = 1 b' = −2 c' = 1 a' = 2 b' = 1 c' = 7 d) → a' = 5 b' = −3 c' = 1 a' = 4 b' = 1 c' = 11 Beheko balio pareetatik zein da sistemaren ebazpena? a) (1, 5) c) (2, 3) b) (5, 1) d) (0, 0) Ebazpena b) aukera da: (5, 1). Sistema hau izanik: aztertu beheko balio pare hauetatik baten bat ebazpena duen sistema horrek. a) x = 2, y = 4 c) x = 1, y = 1 b) x = 4, y =−1 d) x = 0, a) 6 − 4 = 2 y 4 + 12 5. Ez da 2. ekuazioaren ebazpena. b) 12 + 1 2 y 8 − 3 = 5. Ez da 1. ekuazioaren ebazpena. c) 3 − 1 = 2 y 2 + 3 = 5. Sistemaren ebazpena da. d) 0,5 2 y −1,5 5. Ez da sistemaren ebazpena. Sistema batek x = 2, y =−1 balio parea du ebazpen, eta sistema osatzen duten ekuazioetako bat 2x −y = 5. Zein da bestea? a) 4x −2y = 6 c) −x + 2y = 5 b) 4x −2y = 5 d) −x + 2y =−4 Beste ekuazioa d) aukerakoa da: −x + 2y = −4. Idatzi bi ezezaguneko ekuazio lineal bat, ebazpenen artean, x = 1, y =−2 izango duena, besteak beste. Erabili ekuazioa balio pare hori ebazpen izango duen ekuazio-sistema bat zehazteko. Ekuazioak batuko ditugu. → x = 1 1 − y = 3 → y = −2 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + y = 1 x − y = 3 4x − y = 4 039 ●● 038 ●● y = − 1 2 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x −2y = 2 2x + 3y = 5 037 ● ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + 3y = 13 3x −4y = 11 036 ● 5 3 1 4 11 x y x y − = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x y x y − = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 1 2 7 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3 5 1 x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5 2 6 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5x − 3y = 11 4x + 3y = 11 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x − 2y = 1 2x + 2y = 7 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x + 3y = 5 x − 3y = 1 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x + 2y = 5 x + 2y = 6 035 ●● ERANTZUNAK 908272 _ 0138-0177.qxd 27/9/07 17:50 Página 153
- 154. 154 Kalkulatu sistema bakoitzarenebazpena. Horretarako, erabili sistema osatzen duten ekuazioen balio-taulak. a) d) g) b) e) h) c) f) a) x − y = 1 ekuazioaren ebazpenak: 2x − y = 4-ren ebazpenak: Sistemaren ebazpena: x = 3, y = 2. b) x + y = 2 ekuazioaren ebazpenak: 2x − 3y = 9-ren ebazpenak: Sistemaren ebazpena: x = 3, y = −1. c) x − 2y = 1 ekuazioaren ebazpenak: 2x + y = 7-ren ebazpenak: Sistemaren ebazpena: x = 3, y = 1. d) 2x + y = 7 ekuazioaren ebazpenak: x − 3y = 0-ren ebazpenak: Sistemaren ebazpena: x = 3, y = 1. e) 2x + y = 13 ekuazioaren ebazpenak: x − y = 2-ren ebazpenak: Sistemaren ebazpena: x = 5, y = 3. f) −x + 2y = 2 ekuazioaren ebazpenak: 3x − 4y = −2-ren ebazpenak: Sistemaren ebazpena: x = 2, y = 2. g) 5x − 3y = 1 ekuazioaren ebazpenak: 4x + y = 11-ren ebazpenak: Sistemaren ebazpena: x = 2, y = 3. ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ −x + 2y = −2 3x − 4y =−2 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x − 2y = 1 2x + 0y = 7 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5x + 3y = 16 3x − 3y = 10 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + y = 13 x − y = 12 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x + 3y = 2 2x − 3y = 9 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5x − 3y = 11 4x + 3y = 11 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + 3y = 7 x − 3y = 0 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x − y = 1 2x − y = 4 040 ●● Ekuazio-sistemak x y 0 −1 1 0 2 1 3 2 x y 0 −4 1 −2 2 0 3 2 x y 0 2 1 1 2 0 3 −1 x y 0 −3 1 −7/3 2 −5/3 3 −1 x y 0 −1/2 1 0 2 1/2 3 1 x y 0 7 1 5 2 3 3 1 x y 0 7 1 5 2 3 3 1 x y 0 0 1 1/3 2 2/3 3 1 x y 0 13 1 11 2 9 3 7 4 5 5 3 x y 0 −2 1 −1 2 0 3 1 4 2 5 3 x y 0 1 1 3/2 2 2 x y 0 1/2 1 5/4 2 2 x y 0 −1/3 1 4/3 2 3 x y 0 11 1 7 2 3 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 154
- 155. 155 5 h) 5x +3y = 16 ekuazioaren ebazpenak: 3x − 3y = 0-ren ebazpenak: Sistemaren ebazpena: x = 2, y = 2. Ebatzi grafikoki ekuazio-sistema hauek eta adierazi zer motatakoak diren. a) c) b) d) a) x + y = 2 2x − y = 1 Sistemaren ebazpena: x = 1, y = 1. Sistema bateragarri mugatua. b) 2x + y = 2 6x + 3y = 6 Bi zuzenak bat datoz. Sistema bateragarri mugagabea: infinitu ebazpen ditu. c) x + 3y = 5 3x − 4y = 2 Bi zuzenen ebakidura-puntua: (2, 1). Sistema bateragarri mugatua. d) x + 2y = 4 2x + 4y = 5 Bi zuzenak paraleloak dira, ez dute elkar ebakitzen. Sistema bateraezina. ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x + 2y = 4 2x + 4y = 5 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + 3y = 2 6x + 3y = 6 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x + 3y = 5 3x − 4y = 2 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x + y = 2 2x − y = 1 041 ● ERANTZUNAK x y 0 16/3 1 11/3 2 2 x y 0 0 1 1 2 2 x y 0 1 2 0 x y 0 1 2 0 x y 2 5 1 0 x y 0 2/3 −1/2 0 x y 0 4 2 0 x y 0 5/2 5/4 0 x y 0 2 2 0 x y 0 1 −1 1 2x − y = 1 x + y = 2 Y X Y X Y X Y X 2x + y = 2 6x + 3y = 6 x + 3y = 5 3x − 4y = 2 x + 2y = 4 2x + 4y = 5 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 155
- 156. 156 Zehaztu zer ekuazio-sistemamota den adierazita dagoena. a) c) b) d) a) Sistema bateragarri mugatua: ebazpen bat. b) Sistema bateraezina: ebazpenik ez. c) Sistema bateragarri mugugabea: infinitu ebazpen. d) Sistema bateraezina: ebazpenik ez. Ebatzi grafikoki sistema hauek. a) b) Zer baiezta daiteke? a) x + y = 2 x − y = 2 Ebazpena: (2, 0). b) 2x + 3y = 4 x − 2y = 2 Ebazpena: (2, 0). Esan daiteke ebazpen bera dutela: x = 2, y = 0. Sistema baliokideak dira. ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + 3y = 4 x − 2y = 2 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x + y = 2 x − y = 2 043 ● Y X Y X Y X Y X 042 ●● Ekuazio-sistemak x y 0 1 2 1 x y 0 2 −2 0 x y 2 0 0 4/3 x y 2 0 0 −1 Y X Y X x + y = 2 x − y = 2 2x + 3y = 4 x − 2y = 2 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 156
- 157. 157 5 Ebatzi grafikoki sistemahauek eta sailkatu, ebazpen kopurua kontuan hartuta. a) c) b) d) a) 2x − y = −4 −x + 3y = −3 Ebazpena (−3, −2) da: sistema bateragarri mugatua. b) x + 3y = 6 2x + 6y = 12 Ebazpena zuzen osoa da; infinitu ebazpen ditu: sistema bateragarri mugagabea. c) 2x − y = 8 4x − 2y = 10 Ez du ebazpenik: sistema bateraezina. d) x − 2y = 0 x + 2y = 0 Ebazpena (0, 0) da: sistema bateragarri mugatua. ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x −2y = 0 x + 2y = 0 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x + 3y = 36 2x + 6y = 12 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x −3y = 38 4x −2y = 10 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x −3y =−4 −x + 3y =−3 044 ● ERANTZUNAK x −6 −3 0 3 y −8 −2 4 10 x −6 −3 0 3 y −3 −2 −1 0 x −3 0 3 6 y 3 2 1 0 x −3 0 3 6 y 3 2 1 0 x −2 0 2 4 y −12 −8 −4 0 x −2 0 2 4 y −1 0 1 2 x −2 0 2 4 y −9 −5 −1 3 x −2 0 2 4 y 1 0 −1 −2 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 157
- 158. 158 Zenbat ebazpen dituztesistema hauek? a) b) a) 4x − 3y = 5 8x − 6y = 10 Ebazpena zuzen osoa da; infinitu ebazpen ditu: sistema bateragarri mugagabea. b) 2x + 3y = 5 2x + 3y = 35 Ez du ebazpenik: sistema bateraezina. Aztertu sistema hauek bateraezinak ala bateragarriak diren, eta bateragarriak badira, ebazpen bakarra duten. a) b) a) → Bi ekuazioak bat datoz; sistema bateragarri mugagabea da. Infinitu ebazpen. b) → Berdintza okerra da; beraz, sistema bateraezina da. Ebazpen berak al dituzte sistema hauek? a) b) Ebazpen berak dituzte; izan ere, bigarren sistemako ekuazioak sinplifikatuz, lehenengoko ekuazioak lortzen dira. 3 2 8 2 3 14 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ : 2 ⎯⎯→ : (−3) ⎯⎯→ 6 4 16 6 9 42 x y x y + = − + = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 6x + 4y = −16 −6x + 9y =−42 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + 2y = 28 2x −3y = 14 047 ● ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 6x − 2y = 10 6x − 2y = 18 0 = 12 ⋅ 2 ⎯→3 5 6 2 8 2x y x y − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 4 6 10 4 6 10 x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ ⋅ 2 ⎯→2 3 5 4 6 10 x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x −2y = 5 6x −2y = 8 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + 3y = 25 4x + 6y = 10 046 ● ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + 3y = 25 2x + 3y = 35 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 4x −3y = 25 8x −6y = 10 045 ● Ekuazio-sistemak x 1/2 2 5 y −1 1 5 x 1/2 2 5 y −1 1 5 x −5 −2 1 y 5 3 1 x 1 4 7 y 11 9 7 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 158
- 159. 159 5 Idatzi bi ezezagunekoekuazio lineal bat, 3x − 2y = 4 ekuazioarekin sistema osatzean ebazpen kopuru hau izango duena: a) Ebazpen bakarra. b) Infinitu ebazpen. c) Ebazpenik ez. a) b) c) Idatzi ebazpen hauek izango dituen ekuazio-sistema bat: a) x = 2, y = 1 b) x = 4, y =−3 a) b) Adierazi sistema hauen ebazpen kopurua, ebatzi gabe eta ekuazioetatik abiatuta. a) c) b) d) a) Bateragarri mugatua. c) Bateraezina. b) Bateraezina. d) Bateragarri mugatua. 051 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + 2y = 1 x −8y = 5 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + 4y = 8 6x + 8y = 10 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + 10y = 4 x + 5y = 4 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x −y = 5 x + y = 1 050 ●● x y x y − = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 10 12 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3 1 049 ●● ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x − 2y = 4 9x − 6y = 4 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x − 2y = 4 9x − 6y = 12 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x − 2y = 4 2x + 3y = 1 048 ●● EGIN HONELA NOLA LORTZEN DA EZEZAGUN BATEK KOEFIZIENTE BERA IZATEA BI EKUAZIOTAN? Eraldatu sistema hau, x ezezagunak koefiziente bera izan dezan bi ekuazioetan. LEHENA. Koefiziente bera izatea nahi dugun aldagaiaren koefizienteen m.k.t. kalkulatuko dugu. m.k.t. (24, 18) = 72 BIGARRENA. m.k.t. koefiziente bakoitzaz zatitu eta ekuazioa emaitzaz biderkatuko dugu. Lehen ekuazioa: 3 → 3 ⋅ (24x + 13y = 80) → 72x + 39y = 240 Bigarren ekuazioa: 4 → 4 ⋅ (18x − 7y = 90) → 72x − 28y = 360 Sistema baliokidea hau izango da: ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 72x + 39y = 240 72x − 28y = 360 m.k.t. koefizientea = = 72 18 m.k.t. koefizientea = = 72 24 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 24x + 13y = 80 18x − 7y = 90 ERANTZUNAK 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 159
- 160. 160 Sistema hau izanik: idatzisistema baliokideak, baldintza hauek beteta: a) x-k koefiziente bera izatea bi ekuazioetan. b) y-k koefiziente bera izatea bi ekuazioetan. c) Gai aske bera izatea bi ekuazioetan. a) 2. ekuazioa 7z biderkatuz: b) 1. ekuazioa 3z eta 2.a −2z biderkatuz: c) 1. ekuazioa 17z eta 2.a 4z biderkatuz: Idatzi sistema baliokide bat, izendatzailerik gabeko ekuazioz osatua. 1. ekuazioa bider m.k.t. (2, 5) = 10 eginez eta 2.a bider m.k.t. (2, 3) = 6: Osatu sistemak, lehenak x = 2, y = −3 ebazpena izan dezan, eta bigarrenak, berriz, x = −3, y = 2. a) b) Aldagaien ordez ebazpena idatziz, ekuazioak bete behar dira. a) b) Osatu sistemak, lehena bateragarria izan dadin, eta bigarrena, berriz, bateraezina. a) b) a) Edozein baliok balioko du, betiere 2. ekuazioan x-ren koefizientea ez bada −3 eta 1. ekuazioko gai askea ez bada −6. b) edo 2. ekuazioko gai askea 6 ez den edozein zenbaki izan daiteke, lehenengo sisteman, eta 3 ez den edozein zenbaki, bigarrenean. 2 2 3 2 2 5 x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x y x y + = + = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 3 2 4 7 3 2 8 2 73 x y x y − = + = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x + 2y = 3 2x + y = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x − 2y = x + 2y = 6 055 ●●● − + = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 8 2 7 2x y x y 3 5 21 7 4 2 x y x y − = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ −2x + y = 8 x − 2y =−7 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x − 5y = x + 4y = 2 054 ●●● 5 2 50 4 3 6 x y x y + = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x y x y 2 5 5 2 3 2 1 + = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪ 053 ●●● 119 34 68 4 12 68 x y x y − = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 21 6 12 2 6 34 x y x y − = − − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 7 2 4 7 21 119 1 11x y x y − = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 7x − 2y = 04 x + 3y = 17 052 ●● Ekuazio-sistemak 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 160
- 161. 161 5 Osatu sistema hauek,lehena bateragarri mugatua izan dadin, eta bigarrena, berriz, bateragarri mugagabea. a) b) a) b) Idatzi ebazpena x = 1, y = 2 izango duten hiru sistema, baldintza hauek beteta: a) Lehenean, koefizienteak 1 edo −1 izatea. b) Bigarrenean, x-ren koefizienteak y-ren koefizienteen erdia edo bikoitza izatea. c) Hirugarrenean, x-ren eta y-ren koefizienteak zatikiak izatea. a) b) c) Ebatzi, ordezkatze-metodoari jarraiki. a) d) g) b) e) h) c) f) a) → y = 1 − x 1. ekuazioan ordezkatuko dugu: 3x + 5(1 − x) = 1 → 3x + 5 − 5x = 1 → −2x = −4 → x = 2 y kalkulatuko dugu → y = 1 − x = 1 − 2 = −1. b) → 2y = 7 − 3x → 1. ekuazioan ordezkatuko dugu: 7x + 28 − 12x = 23 → −5x = −5 → x = 1 y kalkulatuko dugu → .y x= − = − ⋅ = 7 2 3 2 7 2 3 2 1 2 7 8 7 2 3 2 23x x+ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = → y x= − 7 2 3 2 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 7x + 8y = 23 3x + 2y = 7 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + 5y = 1 x + 5y = 1 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + y = 12 −x − y =−7 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x − 3y = 5 5x + 0y = 4 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + 5y = 20 7x + 4y = 39 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 4x − 3y =−3 x + 3y =−4 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 7x + 8y = 23 3x + 2y = 07 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + y = 10 2x − y = 10 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5x − 3y = 01 4x + 0y = 11 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + 5y = 1 x + 5y = 1 058 ● x y x y 3 3 1 5 2 5 1 + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪ 2 2 2 5 2 4 x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x y x y + = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3 1 057 ●●● 2 5 10 2 4 6 12 x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪, − − = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 5 1 2 2 6 x y x y ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + y = 10 x − y = 12 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x − 5y = 2x + y = 6 056 ●●● ERANTZUNAK 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 161
- 162. 162 c) → y =4 − 5x 1. ekuazioan ordezkatuko dugu: 2x − 3(4 − 5x) = 5 → 2x − 12 + 15x = 5 → 17x = 17 → x = 1 y kalkulatuko dugu: y = 4 − 5x = 4 − 5 ⋅ 1 = −1 d) → y = 11 − 4x 1. ekuazioan ordezkatuko dugu: 5x − 3(11 − 4x) = 1 → 5x − 33 + 12x = 1 → 17x = 34 → x = 2 y kalkulatuko dugu: y = 11 − 4x = 11 − 4 ⋅ 2 = 3 e) → −y = −3 − 4x → y = 3 + 4x 2. ekuazioan ordezkatuko dugu: x + 3(3 + 4x) = −4 → x + 9 + 12x = −4 → 13x = −13 → x = −1 y kalkulatuko dugu: y = 3 + 4x = 3 + 4 ⋅ (−1) = −1 f) → −y = −7 + x → y = 7 − x 1. ekuazioan ordezkatuko dugu: 2x + (7 − x) = 12 → 2x + 7 − x = 12 → 2x − x = 12 − 7 → x = 5 y kalkulatuko dugu: y = 7 − x = 7 − 5 = 2 g) → y = 10 − 3x 2. ekuazioan ordezkatuko dugu: 2x − (10 − 3x) = 10 → 2x − 10 + 3x = 10 → 5x = 20 → x = 4 y kalkulatuko dugu: y = 10 − 3x = 10 − 3 ⋅ 4 = −2 h) → 5y = 20 − 3x → 2. ekuazioan ordezkatuko dugu: y kalkulatuko dugu → .y = − ⋅ = − =4 3 5 5 4 3 1 → → 23 5 39 16 5 23 23 5x x= − = ⋅ = 7 4 4 3 5 39 7 16 12 5 39x x x x+ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = + − =→ → y x= −4 3 5 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + 5y = 20 7x + 4y = 39 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + y = 10 2x − y = 10 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + y = 12 −x − y = −7 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 4x − y = −3 x + 3y = −4 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5x − 3y = 1 4x + 3y = 11 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x − 3y = 5 5x + 3y = 4 Ekuazio-sistemak 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 162
- 163. 163 5 Ebatzi ekuazio-sistema hauek,berdintze-metodoari jarraituta. a) d) g) b) e) h) c) f) a) → 5y = 1 − 3x → y = 1 − x Berdinduz: y kalkulatuko dugu → y = 1 − x = 1 − 2 = −1. b) Berdinduz: → 69 − 49 = −14y + 24y → 20 = 10y → y = 2 x kalkulatuko dugu → . c) → −3y = 5 − 2x → y = 4 − 5x Berdinduz: y kalkulatuko dugu → y = 4 − 5x = 4 − 5 ⋅ 1 = −1. d) → 4x + 3 = y → 3y = −x − 4 Berdinduz: y kalkulatuko dugu → y = 4x + 3 = 4 ⋅ (−1) + 3 = −1. e) → y = 10 − 3x → 2x − 10 = y Berdinduz: 10 − 3x = 2x − 10 → 20 = 5x → x = 4. y kalkulatuko dugu → y = 10 − 3x = 10 − 3 ⋅ 4 = −2. ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + y = 10 2x − y = 10 → → 13 3 13 3 1 x x= − = − 4 3 3 4 3 4 3 4 3 3x x x x + = − − + = − −→ → → y x = − − 3 4 3 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 4x − 3y = −3 4x + 3y = −4 → → 17 3 17 3 1x x= = − + = − + = + 5 3 2 3 4 5 2 3 5 4 5 3 x x x x→ → → y x= − + 5 3 2 3 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x − 3y = 5 5x + 3y = 4 x y= − = − ⋅ = − = 7 3 2 3 7 3 2 3 2 7 4 3 1 → →21 23 7 21 7 3 21 2 3 21 8 7 ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅y y 23 7 8 7 7 3 2 3 23 7 7 3 2 3 8 7 − = − − = − +y y y y→ → → →3 7 2 7 3 2 3 x y x y= − = − → →7 23 8 23 7 8 7 x y x y= − = −⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪ 7x + 8y = 23 3x + 2y = 7 1 5 3 5 1 3 5 1 1 5 2 5 4 5 2− = − − = − = =x x x x x x→ → → . → y x= − 1 5 3 5 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + 5y = 1 3x + 5y = 1 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5x − 3y = 11 4x + 3y = 11 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x − 3y = 5 5x + 0y = 4 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + 5y = 20 7x + 4y = 39 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + y = 10 2x − y = 10 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 7x + 8y = 23 3x + 2y = 07 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5x + 3y = 16 3x − 3y = 00 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 4x − 0y =−3 0x + 3y =−4 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + 5y = 1 x + 5y = 1 059 ● ERANTZUNAK 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 163
- 164. 164 f) → 5x− 1 = 3y → y = 11 − 4x Berdinduz: 17x = 34 → x = 2 y kalkulatuko dugu → y = 11 − 4x = 11 − 4 ⋅ 2 = 3. g) → 3y = 16 − 5x → 3x = 3y → y = x Berdinduz: → 16 = 8x → x = 2 y kalkulatuko dugu → y = x = 2. h) Berdinduz: → 35x − 12x = 195 − 80 → 23x = 115 → x = 5 y kalkulatuko dugu → . Ebatzi, egokiena deritzozun metodoari jarraituta. a) c) b) d) a) → → 1. ekuazioa ken 2.a eginez: −4y = −8 → y = 2. Eta 2. ekuazioan ordezkatuz: 3 ⋅ 2 − 2x = 0 → 6 = 2x → x = 3. b) → → Bi ekuazioak batuko ditugu: −8y = −16 → y = 2. Eta 2. ekuazioan ordezkatuz: x − 3 ⋅ 2 = −4 → x = −4 + 6 = 2. ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ −x − 5y = −12 x − 3y = −4 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ −5y + 10 = x − 2 x − 3y = −4 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ −5(y − 2) = x − 2 x − 3y = −4 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ −2x − 3y = −8 −2x + 3y = 0 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ −2x + 4 = y − 4 3y − 2x = 0 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ −2(x − 2) = y − 4 3y − 2x = 0 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3(x + 2) − 7(x + y) = 15 5(x + 1) − y = 14 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = x − 2 =−4 −5(y − 2) x − 3y ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3(x + y) − x + 2y = 15− 2x − (y + 8) =−11 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ −2(x − 2) = y − 4 3y − 2x = 0 060 ●● y x= − = − ⋅ = − =4 3 5 4 3 5 5 4 3 1 → →20 7 4 20 3 5 20 39 4 20 4⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅x x 4 3 5 39 4 7 4 7 4 3 5 39 4 4− = − − = −x x x x→ → → →4 39 7 39 4 7 4 y x y x= − = − → →5 20 3 4 3 5 y x y x= − = −⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪ 3x + 5y = 20 7x + 4y = 39 16 3 5 3 16 3 5 3 16 3 8 3 − = = + =x x x x x→ → → → y x= − 16 3 5 3 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5x + 3y = 16 3x − 3y = 0 → → 17 3 34 3 x = 5 3 1 3 11 4 5 3 4 11 1 3 x x x x− = − + = +→ → → y x= − 5 3 1 3 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5x − 3y = 1 4x + y = 11 Ekuazio-sistemak 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 164
- 165. 165 5 c) → → Bi ekuazioenkenketa egingo dugu: 6y = 18 → y = 3 Eta 2. ekuazioan ordezkatuz: 2x − 3 = −3 → 2x = 0 → x = 0 d) → Eta 2. ekuazioan bakanduz: 061 5 64 39 9 320 39 9 320 351 39 31 39 ⋅ − = − = = − = −y y y→ → → x = 64 39 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ −4x − 7y = 6−1 −35x + 7y = −63 −39x = −64 2.a ⋅ (−7) ⎯⎯⎯⎯→ batuz ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ −4x − 7y = −1 −5x − 7y = 9 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + 6 − 7x − 7y = 51 5x + 5 − y = 14 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3(x + 2) − 7(x + y) = 51 5(x + 1) − y = 14 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + 5y = 15 2x − 5y = −3 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + 3y − x + 2y = 15− 2x − y − 8 = −11 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3(x + y) − x + 2y = 15− 2x − (y + 8) = −11 EGIN HONELA NOLA EZABATZEN DIRA PARENTESIAK ETA IZENDATZAILEAK SISTEMA BATEAN? Ebatzi sistema hau: LEHENA. Izendatzaileak ezabatzea. Ekuazio bakoitzean izendatzaileen m.k.t. kalkulatuko dugu, eta hartaz biderkatuko ditugu ekuazioaren bi atalak. Lehen ekuazioa: m.k.t. (2, 4, 2) = 4 4 2x + 3y = 2 Bigarren ekuazioa: m.k.t. (2, 9) = 18 18 = 18 ⋅ (−10) → 9 ⋅ 3(2x − 2) − 2 ⋅ 3(y + 1) = −180 BIGARRENA. Parentesiak kentzea. 9 ⋅ 3(2x − 2) − 2 ⋅ 3(y + 1) = −180 → 54x − 54 − 6y − 6 = −180 HIRUGARRENA. Ezezagunak atal batera pasatzea, eta ezezagunik gabekoak, bestera. 54x − 54 − 6y − 6 = −180 → 54x − 6y = −180 + 54 + 6 = −120 Parentesirik eta izendatzailerik gabe, sistema da: ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + 3y = 2 9x − y = −20 Sinplifikatuta F ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + 3y = 2 54x − 6y = −120 3 2 2 2 3 1 9 ( ) ( )x y− − +⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ x y 2 3 4 4 1 2 + ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = ⋅ → x x y y 2 3 2 2 2 3 4 3 1 9 1 2 10 + − − = + = − ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪ ( ) ( ) ERANTZUNAK 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 165
- 166. 166 Ebatzi, egokiena deritzozunmetodoari jarraituta. a) b) a) → → x = 1 2. ekuazioan ordezkatuz: 5 ⋅ 1 + 3y = −1 → 3y = −6 → y = −2 b) → −6x = −90 → x = 15 1. ekuazioan ordezkatuz: Ezabatu parentesiak eta izendatzaileak sistema hauetan. a) b) a) 1. ekuazioa 2z biderkatuko dugu, eta 2.a, 21ez: b) 1. ekuazioa 10ez biderkatuko dugu, eta 2.a, 6z: → − − = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪− 10 2 8 5 14 14 1 1 1 x y x y 10 1 2 1 5 15 5 1 7 2 1 12 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − = + + − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x y x y →→ → 10 10 2 2 5 15 5 5 14 7 12 − − + − = + + − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x y x y → x y x y + = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 14 0 15 14 29 x y x y x y x + = + − + = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ + = + 0 15 1 14 2 42 0 15 15( ) ( ) → −− − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪14 28 42y → 3 1 3 1 5 1 2 3 2 5 1 7 2 1 6 2 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − = + + − = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪ x y x y ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪ x x y y 2 5 1 7 2 0 2 2 3 2 + + − = + = − ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪ ( ) ( ) 063 ●●● 15 3 2 1 2 1 5 6 12− = − − = − − = − = y y y→ → kenduz ⎯⎯⎯⎯→ ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪ 2x − 3y = −6 8x − 3y = 84 x y x y x y 3 2 1 2 3 4 7 6 3 6 2 6 1 − = − − = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⋅ − ⋅ = − → 22 2 3 12 4 84⋅ − ⋅ = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪ x y → ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 12x − 6y = 24 10x + 6y = −2 22x = 22 2.a ⋅ 2 ⎯⎯⎯→ batuz ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 12x − 6y = 24 15x + 3y = −1 3 3 2 4 2 3 5 1 12 3 3 12 2 4 2 x y y x x y − = + = − ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ ⋅ − ⋅ = ⋅→ 112 5 3 1x y+ = − ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ → x y x y 3 2 1 2 3 4 7 − = − − = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪ 3 3 2 4 2 3 5 1 x y y x − = + = − ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ 062 ●● Ekuazio-sistemak 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 166
- 167. 167 5 Ebatzi sistema hauek,berdintze-metodoari jarraituta. a) b) c) a) Izendatzaileak ezabatuta: 1. ekuazioan y bakanduko dugu: , eta 2.ean: ; berdinduz: . Eta ordezkatuz: y = 8. b) Izendatzaileak ezabatuta: 1. ekuazioan x bakanduko dugu: x = 10 − 5y, eta 2.ean: ; berdinduz: . Eta ordezkatuz: . c) Izendatzaileak ezabatuta: 1. ekuazioan y bakanduko dugu: y = x + 3 eta 2.ean: y = 4x; eta berdinduz: x + 3 = 4x → x = 1, y = 4. Ebatzi sistema hauek, laburtze-metodoari jarraituta. a) c) b) a) Izendatzaileak ezabatuta: Batuketa eginda: 4x = 32 → → x = 8, eta 2. ekuazioan ordezkatuz: 8 − 2y = −4 → y = 6. b) Izendatzaileak ezabatuta: Kenketa egin: −x = 1 , x = −1, eta 1. ekuazioan ordezkatuz: −1 − y = −1 → y = 0. c) Izendatzaileak ezabatuta: 1. ekuazioa −2z biderkatuz: Biak batuz: −13y = −13, y = 1, eta 1. ekuazioan ordezkatuz: x + 5 = 10 → x = 5. − − = − − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 10 20 2 3 71 x y x y x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5 10 2 3 7 x y x y x y x y − − = − − − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ − = − − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪2 1 2 2 2 6 1 2 2 → ⎭⎭⎪⎪ 3 2 36 2 4 x y x y + = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x x y y 2 2 1 3 2 2 1 2 2 6 1 − − − + = + = − ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪ ( ) x x y y 5 2 2 3 7 + − = = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ x x y y 2 3 6 2 4 + − = = − ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ 065 ●●● x y x y − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3 4 0 x = 5 7 10 5 7 3 2 13 7 − = − =y y y→ x y = −7 3 2 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5 10 2 3 7 36 3 2 4 2 8 − = + = x x x→ y x = + 4 2 y x = −36 3 2 3 2 36 2 4 x y x y + = − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x x y y 5 2 2 3 7 + − = = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ x x y y 2 2 1 3 2 2 1 2 2 6 1 − − − + = + = − ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪ ( ) x x y y 2 3 6 2 4 + − = = − ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ 064 ●●● ERANTZUNAK 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 167
- 168. 168 Ebatzi, metodorik egokienarijarraituta. a) b) c) a) Batu egingo ditugu: 3x = 0 → x = 0. 1. ekuazioan ordezkatuz: y = 0. b) 1. ekuazioa 5ez eta 2.a −2z biderkatuz: Batu egingo ditugu: 23y = 0 → y = 0. 1. ekuazioan ordezkatuz: 2x = 2 → x = 1. c) Izendatzaileak ezabatuta: Batuz: 4x = 7 → 1. ekuazioan ordezkatuz: . d) Izendatzaileak ezabatuta: 1. ekuazioan x bakanduko dugu: . 2. ekuazioan ordezkatuz: 15y − 10 − 28y = −146 → → −13y = −136 → Ordezkatuz: . e) Izendatzaileak ezabatuta: 1. ekuazioa −2z biderkatuz: Bien batuketa eginez: . 2. ekuazioan ordezkatuz: .20 57 7 15 12 35 x x+ = =→ 63 57 19 21 y y= − = − → − + = − − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 20 72 72 20 9 157 x y x y 10 36 36 20 9 153 x y x y − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x = 191 26 y = 136 13 10 3 2 4 14 73 y y −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − = − → x y = −3 2 4 4 3 2 10 14 73 1x y x y − = − − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ y = −3 4 x = 7 4 x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 1 3 6 10 15 10 10 8 101 x y x y − = − − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 3 2 5 4 5 x y x y − = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 0 2 0 x x y y 2 3 1 2 0 6 + − − = = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x −3y = 2 5x + 4y = 5 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x + y = 0 2x −y = 0 066 ●●● Ekuazio-sistemak d) e) 3 1 6 1 5 3 2 3 1 10 1 5 3 3 ( ) ( ) x x y y x y x + − − − + = − − + = + ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪ 2 1 5 5 1 7 3 4 10 2 5 1 2 8 2 x x y y + − + − − = + = − ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪ ( ) ⎪⎪ 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 168
- 169. 169 5 Adierazi bi ezezagunekoekuazioen bitartez. a) Ogitarteko bat eta freskagarri bat 5 € dira. b) Bi ogitarteko eta hiru freskagarri 15 € dira. c) Ogitartekoa freskagarria baino 1 € garestiago da. d) Ogitarteko bat eta hiru freskagarri 10 €-rekin ordaindu eta 3 € itzuli dizkidate. Ogitartekoaren prezioa: x. Freskagarriaren prezioa: y. a) x + y = 5 b) 2x + 3y = 15 c) x = y + 1 d) x + 2y + 3 = 10 068 ●● 067 ERANTZUNAK EGIN HONELA NOLA ADIERAZTEN DIRA ENUNTZIATU JAKIN BATZUK, BI EZEZAGUNEKO EKUAZIOEN BITARTEZ? Adierazi bi ezezaguneko ekuazio gisa. a) Bi zenbakiren batura 50 da. b) Bi neba-arrebak 5 urteren aldea dute adinean. c) Aita batek semearen adinaren bi halako du. d) Zenbaki bat beste bat baino 10 bateko handiagoa da. LEHENA. Ezezagun bat esleitzea ezagutzen ez dugun datu bakoitzari. BIGARRENA. Datu ezagunak eta ezezagunak berdintza baten bidez erlazionatzea (ekuazioa). a) Batura 50 da. x + y = 50 b) Aldea 5 urterena da. x − y = 5 c) Aitak semearen adinaren bikoitza du. x = 2y d) Bata bestea baino 10 bateko handiagoa. x = y + 10 Ezagutzen ez diren datuak Ezezagunak Bi zenbaki x, zenbaki bat y, beste zenbakia BI neba-arrebaren adinak x, nagusienaren adina y, gazteenaren adina Aitaren eta semearen adina x, aitaren adina y, semearen adina Bi zenbaki x, zenbaki bat y, beste zenbakia 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 169
- 170. 170 Hautatu erantzun egokia. a)Duela hiru urte, osaba baten adina ilobarenaren hirukoitza zen, baina 5 urte barru bikoitza baino ez da izango. Hauek dira osabaren eta ilobaren adinak: 1. Osaba: 15, iloba: 5. 3. Osaba: 27, iloba: 11. 2. Osaba: 35, iloba: 15. b) Antzoki batean 250 sarrera saldu dira, patioko eta palkoko besaulkiak batuta. Lehenek 15 €-na balio dute, eta bigarrenek, berriz, 30 €-na. Diru-bilketa guztira 4.500 €-koa bada, mota bakoitzetik saldutako sarrerak hauek izan ziren: 1. Patioan: 50, palkoan: 250. 3. Patioan: 200, palkoan: 50. 2. Patioan: 100, palkoan: 150. 4. Patioan: 125, palkoan: 125. a) Osaba: x Iloba: y 2. ekuazioan x ordezkatuko dugu: 3y + 5 = 2y + 10 → → y = 5, x = 15 Ebazpena 1. aukera da. Osaba: 15 urte. Iloba: 5 urte. b) Patioko besaulkiak: x Palkoko besaulkiak: y 2. ekuazioan x ordezkatuko dugu: 15(250 − y) + 30y = 4.500 → → 3.750 + 15y = 4.500 → y = 50, x = 200 Ebazpena 3. aukera da. Patioan: 200. Palkoan: 50. Aurkitu batura 10 eta kendura 6 dituzten bi zenbaki. Ekuazioak batuz: 2x = 16 → x = 8, y = 2. Aurkitu laukizuzen baten neurriak, jakinik 60 cm-ko perimetroa duela eta oinarria altueraren bikoitza dela. 2. ekuazioa 1.an ordezkatuz: 4y + 2y = 60 → y = 10, x = 20. Oinarria: 20 cm. Altuera: 10 cm. Bi kilo abrikotek eta hiru kilo pikuk 13 € balio dute. Hiru kilo abrikotek eta bi kilo pikuk 12 € balio dute. Zenbat eurotan dago abrikot-kiloa? Albrikotak: x Pikuak: y 1. ekuazioa 3z eta 2.a −2z biderkatuz: Ekuazioak batuz: 5y = 15 → y = 3, x = 2. Albrikotak: 2 €/kg. Pikuak: 3 €/kg. 6 9 39 6 4 24 x y x y + = − − = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 3 13 3 2 12 x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 072 ●● 2 2 60 2 x y x y + = = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 071 ●● x y x y + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 10 6 070 ● x y x y x y+ = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = −250 15 30 4 500 250 . → x y x y = + = + ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3 5 2 5( ) 069 ● Ekuazio-sistemak 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 170
- 171. 171 5 Erosketa bat ordaintzeko,2 €-ko txanponak eta 5 €-ko billeteak erabili dira. Guztira, txanponak eta billeteak 13 dira, eta 33 € ordaindu dira? Zenbat 2 €-ko txanpon erabili dira? Eta 5 €-ko zenbat billete Txanponak: x Billeteak: y 1. ekuazioan x bakanduz: x = 13 − y. Eta 2.ean ordezkatuz: 26 − 2y + 5y = 32 → y = 2, x = 11. Drogeria batean 3 xaboi-pastilla eta 2 flasko kolonia 12 €-an daude salgai, bai eta 4 xaboi-pastilla eta 3 flasko kolonia ere, 17 €-an. Kalkulatu gai bakoitzaren prezioa. Xaboiaren prezioa: x Flasko koloniaren prezioa: y 1. ekuazioan ordezkatuz: 3 ⋅ 2 + 2y = 12 → 2y = 6 → y = 3. Xaboiak 2 € balio du, eta flasko koloniak, 3 €. 0,26 € eta 0,84 € balio duten zigiluak erosi ditugu. Guztira, 11 zigilu 5,18 € ordaindu ditugu. Zenbat dira 0,26 €-koak? Eta 0,84 €-koak? 0,26 €-ko zigiluak: x 0,84 €-ko zigiluak: y 1. ekuazioan x bakanduz: x = 11 − y. Eta 2. ekuazioan ordezkatuz: 2,86 − 0,26y + 0,84y = 5,18 → y = 4, x = 7. 0,84 € -ko 7 zigilu eta 0,26 €-ko zigiluak 4 zigilu erosi ditugu. Urdaiazpiko-ogitartekoak erosi ditugu, 2,80 €-an, eta gazta-ogitartekoak, 2,50 €-an. Guztira, 48 € ordaindu ditugu 18 ogitartekoak. Zenbat urdaiazpiko-ogitarteko erosi dira? Urdaiazpiko-ogitartekoak: x Gazta-ogitartekoak: y 1. ekuazioan x bakanduz: x =18 − y. 2. ekuazioan ordezkatuz: 50,4 − 2,8y + 2,5y = 48 → y = 8, x = 10. Urdaiazpikoa: 10 ogitarteko. Gazta: 8 ogitarteko. Lantegi batean 50 ibilgailu daude, motorrak eta autoak kontatuta. Gurpil kopurua guztira 140 bada, mota bakoitzeko zenbat ibilgailu daude? Autoak: x Motorrak: y → x = 50 − y 2. ekuazioan ordezkatuz: 200 − 4y + 2y = 140 → y = 30, x = 20. Autoak: 20. Motorrak: 30. x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 50 4 2 140 077 ●● x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 50 18 2 80 2 50 48 , , , 076 ●● x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 0 84 11 0 26 0 84 5 18 , , , , 075 ●● ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 9x + 6y = −36 −8x − 6y = −34 x =− 32 1.ª ⋅ 3 ⎯⎯⎯⎯→ 2.ª ⋅ (−2) batuz ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 3x + 2y = 12 4x + 3y = 17 074 ●● x y x y + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5 13 2 5 32 073 ●● ERANTZUNAK 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 171
- 172. 172 Lur-sail laukizuzen batenperimetroa 350 m da, eta luzeraren hirukoitza zabaleraren laukoitza da. Zer neurritakoa da lur-sail hori? Luzera: x Zabalera: y . 1. ekuazioan y ordezkatuz: Luzera: 100 m. Zabalera: 75 m. Josebak Inexari esan dio: «10 disko emango banizkizu, nik hainbeste izango zenituzke». Inexak erantzun dio: «Zuzen zabiltza. 10 disko baino ez zaizkizu falta, nik halako bi izateko». Zenbat disko ditu bakoitzak? Josebaren diskoak: x Inexaren diskoak: y → 1. ekuazioan ordezkatuko dugu: x − 10 = 30 + 10 → x = 50. Josebak 50 disko ditu, eta Inexak, 30. Autoak alokatzeko enpresa batek bi modelo eskaintzen ditu, bata lau eserlekukoa, bestea bostekoa. Egun batean, enpresak 10 auto alokatu ditu; auto horietan 42 pertsonak bidaiatu dute, eta bi eserleku hutsik geratu dira. Mota bakoitzeko zenbat auto alokatu zituzten? Lau eserlekuko autoak: x Bost eserlekuko autoak: y → 2. ekuazioan ordezkatuz: 4x + 5(10 − x) = 44 → 4x + 50 − 5x = 44 → −x = −6 → x = 6 Eta bakanduz: y = 10 − x = 10 − 6 = 4. Lau eserlekuko 6 auto eta bost eserlekuko 4 auto alokatu zituzten. Jonek alkandora bat eta praka pare bat erosi ditu. Biak batera, jantzi horiek 60 €-ko prezioa zuten, baina alkandoran % 10eko beherapena eta praketan % 20koa egin diote. Guztira, beraz, 50,15 € ordaindu ditu. Zenbat balio zuen jantzi bakoitzak, beherapena egin aurretik? Alkandoraren prezioa: a Praka parearen prezioa: p 1. ekuazioan ordezkatuz: p = 60 − a, eta 2. ekuazioan ordezkatuz: 0,9a + 0,8(60 − a) = 50,15 → 0,9a + 48 − 0,8a = 50,15 → → 0,1a = 2,15 → c = 21,50 € Eta bakanduz: p = 60 − a = 60 − 21,50 = 38,50 €. ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 0,9a + 0,9p = 60 0,9a + 0,8p = 50,15 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ a + p = 60,15 a(% 100 − % 10) + p(% 100 − % 20) = 50,15 081 ●●● → y = 10 − x⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 4x + 5y = 10 4x + 5y = 44 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x + y = 10 4x + 5y − 2 = 42 080 ●●● Ekuazioen kenketa eginez: −y − (−2y) = 20 − (−10) → y = 30 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x − 2y = 20 x − 2y = −10 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ x − 10 = y + 10 x + 10 = 2y 079 ●● 2 3 2 350 7 700 100 75x x x x y+ = = = =→ → , 2 2 350 3 4 3 4 x y x y y x + = = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ =→ 078 ●● Ekuazio-sistemak 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 172
- 173. 173 5 12 €/¬ eta15 €/¬ balio duten bi likore nahasi dira, eta 50 ¬ likore lortu dira, 13 €/¬-an. Zenbat litro nahasi dira likore mota bakoitzetik? 12 €/¬ balio duen likorea: x 15 €/¬ balio duen likorea: y 1. ekuazioan x bakanduz: x = 50 − y. Eta 2. ekuazioan ordezkatuz: 12 €/¬ balio duen likorea: litro. 15 €/¬ balio duen likorea: litro. 50 3 100 3 600 12 15 650 50 3 100 3 − + = = =y y y x→ , x y x y + = + = ⋅ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 15 50 12 15 50 13 083 ●●● 082 ERANTZUNAK EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA NAHASTEEZ DIHARDUTEN PROBLEMAK, EKUAZIO-SISTEMEN BITARTEZ? Bi ardo mota nahasi nahi dira (bata 5,20 €/ ¬-koa, eta bestea 6,20 €/ ¬-koa), 6 €/ ¬-ko prezioa izango duten 100 ¬ lorzeko. Zenbat litro behar dira mota ba- koitzetik? LEHENA. Planteamendua. BIGARRENA. Ebazpena. Balioa beste ekuazioan ordezkatuko dugu: 5,2(100 − y) + 6,2y = 600 → y = 80 x = 100 − y x = 20 HIRUGARRENA. Egiaztatzea. Nahasteak A ardotik 20 ¬ eta B ardotik 80 ¬ izango ditu. Nahaste kantitatea 20 + 80 = 100 ¬ izango da. Eta nahastearen prezioa hau izango da: 6 € 5 2 20 6 2 80 100 104 496 100 , ,⋅ + ⋅ = + = y = 80 ⎯⎯⎯→ x = 100 − y ⎯⎯⎯⎯→ x y x y x y x + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ = − + 100 5 2 6 2 100 6 100 5 2 , , , → 66 2 600, y = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ Litroak Prezioa x 5,2x y 6,2y 100 5,2x + 6,2y x + y = 100 5 2 6 2 100 6 , ,x y+ = A ardoa B ardoa Nahastea Ekuazioak 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 173
- 174. 174 Zuku-fabrika batean bikalitate mota nahasi dituzte, litroa 50 zentimokoa bata, eta litroa 80 zentimokoa bestea. Zenbat zuku-litro nahasi behar dira mota bakoitzetik, guztira 85,50 € balioko duten 120 litro zuku lortzeko? 0,50 €/¬-ko zukua: x 0,80 €/¬-ko zukua: y 2. ekuazioan ordezkatuz: 0,50x + 0,80(120 − x) = 85,50 → 0,50x + 96 − 0,80x = 85,50 → → −0,30x = −10,50 → x = 35 Eta bakanduz: y = 120 − x = 120 − 35 = 85. 0,50 €/¬-ko 35 litro zuku eta 0,80 €/¬-ko 85 litro zuku nahasi behar dira. Nahasi ditugu 40 kg kafe, 10 €/kg balio dutenak, 14 €/kg balio duen beste kantitate batekin. Mota bakoitzetik zenbat kilo erabili ditugu, nahastea 12,80 €/kg-ko prezioan saltzekoa bada? 12 €-ko kafea: x Kafe guztia: y 1. ekuazioan y bakanduz: y = 40 + x. Eta 2. ekuazioan ordezkatuz: 512 + 12,80x − 14x = 400 → 12 €/kg-ko kafea: kg. Kafe guztia: kg. Ebazpen bakarra duen ekuazio-sistema batean ekuazio bateko gai guztiak bider 3 egiten badira: a) Ebazpen berria hasierakoaren hirukoitza da. b) Ebazpena berdina da. c) Sistema berriak ezin du ebazpenik izan. d) Aurreko hiru aukerak okerrak dira. b) Ebazpena berdina da, ekuazio bateko gai guztiak kantitate beraz biderkatzen baditugu, lortzen den ekuazioa baliokidea baita; hau da, ebazpen berak ditu. Bi ekuaziotan ezezagun bera bakantzen badugu, eta behin berdinketa egindakoan, sortu berri den ezezagun bakarreko ekuazioa ebatzi ezin bada, nolakoa da sistema, bateragarria ala bateraezina? Arrazoitu. Bateraezina da, ezezagun horretarako ez badu ebazpenik, sistemak ezin baitu ebazpenik izan; izan ere, sistemak ebazpena izango balu ebazpenik ez duen ekuazioari ebazpena emango lioke. 087 ●●● 086 ●●● 400 3 280 3 x y= = 280 3 400 3 , y x y x − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 14 40 12 80 14 400, 085 ●●● → y = 120 − x⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 0,50x + 0,50y = 120 0,50x + 0,80y = 85,50 084 ●●● Ekuazio-sistemak 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 174
- 175. 175 5 Zenbaki baten bizifren arteko batura a da, eta haien arteko kendura ere a da. Zer motatakoak dira baldintza hori betetzen duten zenbakiak? Zifrak x eta y badira: Ekuazioak batuta: 2x = 2a → x = a. 1. ekuazioan ordezkatuz: y = 0. Baldintza hori betetzen duten zenbakiak hamarrekoak dira. Zenbaki baten bi zifren batura 2a da, eta kendura, berriz, a. Zer zenbakik betetzen dute baldintza hori? Zifrak x eta y badira: Ekuazioak batuta: 2x = 3a → → . Eta 1. ekuazioan ordezkatuz: . a-k bikoitia eta 7 baino txikiagoa izan behar duenez (a = 2, 4, 6), zenbakiak 93, 39, 62, 26, 31 eta 13 dira. ABC triangeluan, BC aldea 8 cm-koa da, eta AH altuera, berriz, 4 cm-koa. Triangelu horren barruan MNPQ laukizuzena marraztu nahi da, P eta Q erpinak BC aldean, M AB aldean eta N, berriz, AC aldean daudela. Kalkulatu MN-ren eta MQ-ren luzerak, MNPQ laukizuzenaren perimetroa 12 cm izan dadin Laukizuzenaren oinarria: x. Laukizuzenaren altuera: y. ABC eta AMN antzeko triangeluak dira, MN eta AB paraleloak direlako. AMN triangeluaren oinarria x da, eta altuera, 4 − y. → Laukizuzenaren oinarria: MN = 4 cm. Laukizuzenaren altuera: MQ = 2 cm. → 8 + 2y = 12 → y = 2 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + 2y = 12 8x + 2y = 38 2x + 2y = 14 Kenduz ⎯⎯⎯→ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2x + 2y = 12 x = 8 − 2y Izendatzaileak ezabatuta ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 2 2 12 8 4 4 x y x y + = = − ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ A B C M N Q H P 090 ●●● y a = 2 x a = 3 2 x y a x y a + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 089 ●●● x y a x y a + = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 088 ●●● AMN ABC AMN-ren oinarria -ren oinarria -ren al = ttuera -ren altueraABC x → 8 4 = ERANTZUNAK 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 175
- 176. 176 EGUNEROKOAN Xaquin Sevillarantz doa,17:00 h-etan abiatu den tren batean. Amak ezer ez ahazteko arreta hartzeko eskatu dion arren, Xaquinek garrantzi handiko zerbait utzi du etxean ahaztuta: nortasun-agiria. Aurkitu duenean, ama tren-geltokira joan da, geltokiko buruari galdetzera. Hona hemen hark esandakoa. Xaquinen ama Villarrualeko geltokira trena baino lehen iritsiko balitz, semea bilatu eta nortasun-agiria eman liezaioke. Tamalez, dagoeneko 20 minutu pasatu dira trena abiatu denetik. Zure ustez, garaiz irits al daiteke Xaquinen ama tren-geltokira? Trenak Villarrualera iristeko behar duen denbora: 1 h 11 min 9 s. Amak behar duena: 41 min 30 s. Baina, irteteko 20 minutuko atzerapena izan duenez, guztira 1 h 1 min 30 s beharko ditu; beraz, garaiz irits daiteke. Alainek eta Naroak Parisen bi urtez ikasteko beka bat eskuratu dute. Maletak fakturatzerakoan, Alainek 18 kg eta Naroak 27 kg zeramatzatela ikusi dute. 092 ●●● 83 120 = 83 70 = 091 ●●● 18 kg bagaje daramazu. Ez duzu gainkargarik ordaindu behar. Zuk, berriz, 27 kg… 42 € ordaindu beharko dituzu, gainkargagatik. Ekuazio-sistemak Trenak geldialdi bakarra egingo du, Villarrualen, hemendik 83 km-ra… Trenaren batez besteko abiadura 70 km/h-koa da. Hemendik Villarrualera autobidea dago, eta zu, autoz, 120 km/h-ko abiaduran joan zaitezke. 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 176
- 177. 177 5 Bidaiari-hegazkinetan pisu jakinabaimentzen da bagaje bakoitzeko; pisu hori gaindituz gero, bidaiariak diru kopuru bat ordaindu behar izaten du, gehiegizko kilo bakoitzagatik. Naroari merkeago irten dakion, maleten fakturazioa egiten ari den hegazkin- laguntzaileak burutazio bat izan du: Zenbat da bidaiari bakoitzari baimendutako pisua? Zenbat ordaindu behar da gainkargako kilo bakoitzeko? Baimendutako pisua: x Prezioa kiloko: y → y = 6 (27 − x)y = 42 (27 − x)6 = 42 → 27 − x = 7 → x = 20 Baimendutako pisua: 20 kg. Prezioa kiloko: 6 €. y = 6 ⎯⎯⎯→ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ −54y + 2xy = −84 45y − 2xy = −30 2−9y + 2xy = −54 ⋅ (−2) ⎯⎯⎯→27 42 45 2 30 2y xy y xy − = − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ ( ) [ ( ) ] 27 42 27 18 30 27 2− = − − − = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ − =x y x x y y xy → 442 45 2 30y xy− = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ Elkarrekin zoaztenez, eta zure lagunari gainkargarako hainbat kilo falta zaizkio, bagajeak elkar ditzakegu; horrela, 30 € soilik ordaindu beharko dituzu. ERANTZUNAK 908272 _ 0138-0177.qxd 20/9/07 16:00 Página 177
- 178. 178 Zenbakizko proportzionaltasuna6 ZUZENA ALDERANTZIZKOA HIRUKO ERREGELASINPLEA ZUZENKI PROPORTZIONALAK ALDERANTZIZ PROPORTZIONALAK MAGNITUDEAK ZUZENAK ALDERANTZIZKOAK BANAKETA PROPORTZIONALAK INTERES BAKUNA EHUNEKOAK PROPORTZIONALTASUN KONPOSATUA 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 178
- 179. Historiaren zatitxo bat Azkenik,Alik lortu zuen Schoene hoteletik ateraraztea, han baitzeramatzan lau egun, begiak liburu hartatik jaso gabe. Tarteka, aldarri egiten zuen Schoenek: –Miresgarria da! Zoragarria! Hainbat mendez galduta egon da eta neuk aurkitu dut! Arratsalde hartan, azokan paseatzen zebiltzala, Schoene etengabe ari zen bere azken erosketa goraipatzen. Historiaren puzzlearen txatal bat zela zioen. –Ali, liburua da froga. –Schoenek zirrara bizian begiratzen zion lagunari–. Heron Alexandriakoaren Matematikako liburu baten itzulpena da, aspaldian galdua, eta jatorrizkoa I. mendean idatzi zuten. –Nik errealitatea nahiago teoria matematikoak baino –erantzun zuen Alik, lagunaren zirrarari eutsi gabe. –Oker zabiltza, Ali, liburu hau erabilera praktikoz beteta dago: erro koadro ez-zehatzen hurbilketak egiteko moduak irakasten ditu, poligonoen azalerak eta bolumenak kalkulatzeko metodoak, baita azalerak zati proportzionaletan banatzeko moduak ere... Ezagutza horiek oso baliagarriak ziren I. mendeko Egipton; adibidez, landutako lurren neurriak kalkulatzeko, edo oinordetzak banatzeko. Nola banatuko zenuke 1.000 m2 -ko lur-sail bat bi familiaren artean, bati 7 zati eta besteari 13 badagozkio? Lur-saila zatituko dugu: 7 + 13 = 20 zatitan → = 50 Zati bakoitza 50 m2 -koa da. Beraz: 07 zati → 07 ⋅ 50 = 350 m2 13 zati → 13 ⋅ 50 = 650 m2 Familia batek 350 m2 jasoko ditu, eta besteak, 650 m2 . 1 000 20 . 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 179
- 180. 180 ARIKETAK Osatu taula hauek,proportzionaltasun zuzenekoak izan daitezen. 9 menuren prezioa 166,50 € bada, zenbat izango da 15 menurena? 92,50 € Mapa batean, 14 cm-k errealitateko 238 km adierazten dute. Zer luzerak adieraziko ditu 306 km? Mapan 10 cm adierazita badaude, zenbat da errealitatean? → ⎯→ Egunkari batean iragarkiak jartzeak 10 € balio du 3 testu-lerroko, eta hortik aurrera idatzitako lerro bakoitzeko 3 € gehiago kobratzen dituzte. Egin bi magnitudeen arteko erlazioa islatuko duen taula bat. Proportzionalak al dira. Taula ez da proportzionala; izan ere, . Osatu taula hauek, alderantzizko proportzionaltasuna isla dezaten. Itsasontzi batean, 8 pertsonak 15 egunez bidaiatzeko adina janari daukate. 8 ordez 6 badira, zenbat egunerako janaria izango dute? Bidaiari kopurua eta denbora magnitude alderantziz proportzionalak dira, eta beraz: 8 ⋅ 15 = 6 ⋅ x → 20 20 egunerako janaria izango dute. x = ⋅ = 8 15 6 006 005 3 10 4 13 004 x = ⋅ = 238 10 14 170 km 238 14 10 = x x = ⋅ = 14 306 238 18 cm 238 14 306 = x 003 166 50 5 5 166 50 9 , , 9 = = ⋅ = x x→ 002 001 Zenbakizko proportzionaltasuna 2 4 5 8 40 6 12 15 24 120 1 0,25 3 2,4 8 5 1,25 15 12 40 1 2 3 4 6 24 12 8 6 4 10 15 25 12 6 15 10 6 12,5 25 Lerroak 3 4 5 6 Prezioa 10 13 16 19 908272 _ 0178-0207.qxd 28/9/07 13:40 Página 180
- 181. 181 6 Sailkatu, proportzionaltasun motarijarraituta. a) Karratu baten aldea eta perimetroa. b) Langile kopurua eta lan bat egiteko epea. a) Zuzena; proportzionaltasun-konstatea 4. b) Alderantzizkoa. BHI bateko sukaldean 42 € ordaindu dituzte 70 ogi. Zenbat ordainduko zuketen, 70 ordez 45 ogi erosi balituzte? Hiruko erregela sinple zuzena aplikatuko dugu: 27 € Auto batek 46 euro-zentimo gasolina erretzen ditu 4 km egiten. Zenbat diruren erregaia beharko du 270 km-ko bidaia egiteko, kontsumo-maila horri eusten badio? Hiruko erregela sinple zuzena aplikatuko dugu: 31,05 € Jatetxe batean 15 menuren kostua 120 € izan da. Zenbatean dago menua? 7 pertsona joaten badira bazkaltzera, zenbat ordainduko dute? Hiruko erregela sinple zuzena aplikatuko dugu: 56 € ordainduko dute Menuaren prezioa: 8 €. 2,25 m-ko altuera duen zuhaitz batek 2 m-ko itzala egiten du. Zer altuera izango du ordu berean 188,8 m-ko itzala egiten duen dorre batek? Hiruko erregela sinple zuzena aplikatuko dugu: 212,4 m-ko altuera 7 langilek kale bat garbitzen igarotzen duten denbora 7 ordu bada, zenbat denbora beharko dute 5 langilek? Langile kopurua eta denbora magnitude alderantziz proportzionalak dira, eta beraz: 7 ⋅ 7 = 5 ⋅ x → 9,8 h = 9 h 48 minx = ⋅ = 7 7 5 012 x = ⋅ = 2 25 188 8 2 , , ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2,25 m-ko altuera ⎯→ 2 m-ko itzala x m-ko altuera ⎯→ 188,8 m-ko itzala 011 120 15 56 7 = = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = ⋅ =→ x 7 120 15 15 menu ⎯→ 120 € 7 menu ⎯⎯→ 1x € 010 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = ⋅ =→ x 270 0 46 4 ,4 km ⎯⎯→ 0,46 € 270 km ⎯→ x € 009 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = ⋅ =→ x 45 42 70 70 ogi ⎯→ 42 € 45 ogi ⎯→ x € 008 007 ERANTZUNAK 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 181
- 182. 182 Mirentxuk 5 minutubehar izaten ditu etxetik eskolara, gurpil-oholez, 6 km/h-ko batez besteko abiaduran. Zenbat denbora beharko du oinez joanda, 4 km/h-ko abiaduran badoa? Abiadura eta denbora magnitude alderantziz proportzionalak dira. Komeni da minutuak ordu bihurtzea, unitate koherenteak erabiltzeko eta Fisikako kontzeptuzko akatsik ez egiteko. 5 min h → x = 0,125 ⋅ 60 = 7,5 min Iturri batek minutuko 6 litro isurtzen ditu, eta 5 ordu behar ditu andel bat betetzen. Minutuko litro bat isuriko balu, zenbat denbora beharko luke? Emaria, litro/minututan, eta denbora magnitude alderantziz proportzionalak dira. Unitate koherenteak erabiltzeko, orduak minutu bihurtu behar dira: 5 ordu = 5 ⋅ 60 minutu = 300 minutu 6 ¬/min ⋅ 300 min = 1 ¬/min ⋅ x min → 1.800 min → Igerileku bat eraikitzen, 10 langilek 16 egunez aritu behar dute lanean. Zenbat aritu ziren lanean, 40 egun behar izan bazituzten? Langile kopurua eta denbora magnitude alderantziz proportzionalak dira. 10 langile ⋅ 16 egun = x langile ⋅ 40 egun → 4 langile Banatu 102 €, hurrenez hurren 3, 2 eta 1 zenbakiekiko zati zuzenki proportzionaletan. 51 €; 34 €; 17 € Aita batek 99 € banatu ditu seme-alaben artean, zenbaki hauekiko zati zuzenki proportzionalean: 3, 2/3 eta 11/6. Zenbana dagokie? €; €; €z = ⋅ = 11 6 99 33 / 5,5 y = ⋅ = 2 3 99 12 / 5,5 x 3 99 54= ⋅ = 5,5 x y z 3 2 3 11 6 99 = = = / / 5,5 017 z = ⋅ = 1 102 6 y = ⋅ = 2 102 6 x 3 102 6 = ⋅ = x y z 3 2 1 102 6 = = = 016 x = ⋅ = 10 16 40 015 → x = = 1 800 60 30 . ordu x = ⋅ = 6 300 1 014 6 5 60 4 6 5 60 4 0 125⋅ = ⋅ = ⋅ =x x→ →, h = 5 60 013 Zenbakizko proportzionaltasuna 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 182
- 183. 183 6 Pantxika andreak berelurrak banatu ditu biloben artean, adinekiko zati proportzionaletan. Bilobek 8, 12 eta 15 urte dituzte. Gazteenari 12 hektarea egokitu bazaizkio, aurkitu banatu den guztizko hektarea kopurua. Banatu 70, 3 eta 4 zenbakiekiko zati alderantziz proportzionaletan. 3ri dagozkionak: 120 : 3 = 40 zati 4ri dagozkionak: 120 : 4 = 30 zati. Banatu 1.100, 5 eta 6 zenbakiekiko zati alderantziz proportzionaletan. 5i dagozkionak: 3.000 : 5 = 600 Eta 6ri dagozkionak: 3.000 : 6 = 500 620 € banatu nahi ditut nire iloben artean, haien adinekiko zati alderantziz proportzionaletan. 1, 3 eta 7 urte badituzte, zenbat eman behar diot bakoitzari? Proportzionaltasun-konstantea hau da: 420 € 140 € 60 € 300 € banatu dira , eta zenbakiekiko zati alderantziz proportzionaletan. Zein da zenbakiari dagokion zatia? zenbakiari dagokion zatia: €. k 1 5 20 5 100= ⋅ = 1 5 k = + + = + + = = 300 1 1 3 1 1 5 1 1 7 300 3 5 7 300 15 20 1 5 1 7 1 5 1 3 022 z = = 420 7 y = = 420 3 x = = 420 1 k = + + = + + = ⋅ = 620 1 1 1 3 1 7 620 21 7 3 21 620 21 31 420 021 k = + = = 1 100 1 5 1 6 33 000 11 3 000 . . . → 020 k = + = = 70 1 3 1 4 840 7 120 → 019 12 8 35 12 35 8 52 5= = ⋅ = Guztizkoa Guztizkoa ha→ , 12 8 12 15 8 12 15 = = = + + y z Guztizkoa ( ) 018 ERANTZUNAK 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 183
- 184. 184 1.200 banatzen badizkiet5i eta 6ri proportzioan, eta 6ri 500 eta 5i 700 ematen badizkiot, egindako banaketa alderantziz proportzionala izan al da? Ez, 500 ⋅ 6 = 3.000 baita eta 700 ⋅ 5 = 3.500. Kantitate horiek berdinak izan beharko lukete, eta gainera, proportzionaltasun-konstantearen berdinak. Zortzi makinak 7 egunean hondeatu dute 1.400 m luze den zanga bat. Zenbat makina beharko dira 300 m-ko zanga 6 egunean hondeatzeko? Alderant. Zuzena Hogei langilek 400 m kable luzatu dituzte 6 egunez lan eginda, egunean 8 orduko jardunean. Egunean zenbat ordu egin beharko dituzte 24 langilek, 700 m kable 14 egunean jartzeko? ordu 24 langileek 5 ordu egingo dituzte egunean, 14 egunez, 700 m kable jartzeko Ostatu bateko nagusiak 250 €-ko aurrekontua egin du ostatu hartuta dauden 18 lagunei 12 egunez jaten emateko. Ostatura beste 6 lagun etorri badira, zenbat egunerako iritsiko zaio aurreikusitako diru horrekin? Alderant. Aurrekontua aldatuko ez denez, alderantzizko hiruko erregela sinplea da: 18 24 12 18 12 24 9= = ⋅ = x x→ egun ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 18 lagunentzat ⎯→ 12 egunerako ⎯→ 250 € 24 lagunentzat ⎯→ x egunerako ⎯→ 250 € 026 I I D 24 20 14 6 400 700 8 134 400 84 000 8 84 00 ⋅ ⋅ = = = x x x→ → . . . 00 8 134 400 5 ⋅ = . 025 6 7 1 400 300 8 8 400 2 100 8 2 100 8 8 400 ⋅ = = = ⋅. . . . .x x x→ → == 2 makina ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 7 egunean ⎯⎯→ 8 makinak ⎯⎯→ 1.400 m-ko zanga 6 egunean ⎯⎯→ x makinak ⎯⎯→ 1.300 m-ko zanga 024 023 Zenbakizko proportzionaltasuna F F F F F F FF F F F F Langileak Egunak Metroak Ordu/egun 20 6 400 8 24 14 700 x Alderant. Zuzena Alderant. 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 184
- 185. 200 hm3 -ko edukieraduen urtegi baten % 45 dago beteta. Zenbat ur dauka urtegiak? Egunkari batean irakur daitekeenez, 1.500 pertsonatik 80k arriskuko kirolak egiten dituzte. Adierazi datu hori ehuneko gisa. % 5,3 Tenis-erraketa batek 180 € gehi % 16ko BEZa balio du. Zenbat da salneurri osoa? 208,80 € Mirenek 15 € ordaindu du liburu bat. Salneurri horretan % 4ko BEZa sartuta dago. Zenbat balio du liburuak, BEZik gabe? Liburuaren prezio garbiari (x) % 4 batu behar zaio: 0,04 ⋅ x €. Beraz: x + 0,04 ⋅ x = 15 → 1,04 ⋅ x = 15 → 14,42 € BEZik gabe Disko trinko batek 12 € balio du. Dendariak % 15eko beherapena egin dit bezero ona naizelako, eta ordaintzerakoan, % 16ko BEZa kobratu dit. Zenbat ordaindu dut diskoa? Zenbat da, ehunekotan, azken prezioa hasierakoarekiko? % 15eko beherapena egin badit → 1 − 0,15 = 0,85 Eta % 16ko BEZa kobratu badit → 1 + 0,16 = 1,16 Ehunekoak kateatuta: 0,85 ⋅ 1,16 ⋅ 12 = 0,986 ⋅ 12 = 11,83 € Azken prezioa hasierakoaren % 98,6 da. Akzio baten balioa 15 € da. Astelehenean %3 igo da; asteartean %7 murriztu da, eta asteazkenean, berriz, %10 igo da. Zer baliorekin hasi du osteguna? Zer unetan da akzioaren balioa hasierakoa baino handiagoa? Igoeren eta beherapenen ehunekoak aplikatuko ditugu: % 3 igo bada ⎯⎯→ 1 + 0,03 = 1,03 % 7 jaitsi bada ⎯→ 1 − 0,07 = 0,93 % 10 igo bada ⎯→ 1 + 0,10 = 1,10 Ostegunean, akzioaren balioa hau izango da: 1,03 ⋅ 0,93 ⋅ 1,10 ⋅ 15 = 1,05 ⋅ 15 = 15,80 € Balioa hasierakoa baino % 5,36 handiagoa da. 032 031 x = = 15 1 04, 030 180 16 100 180 180 1 0 16 180 116+ ⋅ = ⋅ + = ⋅ =( , ) , 029 80 1 500 100 80 100 1 500. . = = ⋅ = x x→ 028 45 100 200 45 200 100 90 3 = = ⋅ = x x→ hm 027 185 6ERANTZUNAK 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 185
- 186. 186 Tomateen prezioan hainbataldaketa izan dira azkenaldi honetan. Ekainaren hasieran, tomate-kiloaren batez besteko prezioa 2,10 € zen, eta hil horretan zehar % 10 igo zen prezioa. Uztailean ere tomate-kiloaren salneurriak gora egin zuen, % 17, zehazki; abuztuan, berriz, % 8 merkatu zen, uztaileko prezioarekiko. Aurreko guztia kontuan hartuta, zein zen tomate-kiloaren prezioa abuztuaren bukaeran? Zenbatekoa izan da, ehunekotan, tomateen prezioak ekainetik abuztura bitartean izan duen igoera? Tomate-kiloak 2,49 € balio zuen abuztuaren amaieran. Igoeraren ehunekoa, ekaina eta abuztua bitartean: Kalkulatu 9 hilabetean urteko % 4an jarritako 1.800 €-k emango duten interesa. 54 € 54 €-ko interesa emango dute. Arratek 2.460 € utzi zizkion Jon Anderri, 4 urtez eta % 3an. Epe hori pasatutakoan, zenbat diru itzuli zion Jon Anderrek? 2.755,20 € 2.755,20 € itzuli zion. Zer interes jasoko dugu urteko % 4an jarritako 4.500 €-ko inbertsioagatik, dirua sartu eta 2 hilabete eta 9 egunera ateratzen badugu? 34,50 € 34,50 € jasoko ditugu. Kalkulatu banketxe batean sartu dudan kapitala, % 4,5ean eta 2 urtez, guztira 1.463 € itzuli badizkidate. Adierazpenean ordezkatuz: → → (1.463 − K) ⋅ 100 = 90K → 146.300 − 100K = 90K → → 770 € Kapitala: 770 €. 146 300 190 146 300 190 . . = = =K K→ 1 463 45 2 100 . − = ⋅ ⋅ K K →I K r t = ⋅ ⋅ 100 037 I K r t = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 36 000 4 500 4 69 36 000. . . 036 2 460 2 460 2 460 3 4 100 2 460 295 2. . . . ,+ = + ⋅ ⋅ = + =I 035 I K r t = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 1 200 1 800 4 9 1 200. . . 034 0 39 2 10 19 , , %= 2 10 110 100 117 100 92 100 , ⋅ ⋅ ⋅ = 033 Zenbakizko proportzionaltasuna 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 186
- 187. 187 6 ARIKETAK Adierazi magnitude hauetatikzein diren zuzenki proportzionalak. a) Karratu baten aldearen luzera eta haren perimetroa. b) Karratu baten aldearen luzera eta haren azalera. c) Familia bateko seme-alaba kopurua eta opor-egunen kopurua. a) ataleko magnitudeak zuzenki proportzionalak dira. Merkatu batean sagarrak saltzen dituzten bi saltoki daude, eta salneurri-taula hauei jarraitzen diete. Bi saltoki hauetako zeinetan dira pisua eta prezioa magnitude zuzenki proportzionalak? Ikus dezagun ea proportzioak betetzen diren: = ? = ? → 0,53 = 0,53 = 0,53 = ? = ? → 0,60 0,50 Beraz, pisua eta prezioa magnitude zuzenki proportzionalak dira A saltokian. Osatu taula hau, proportzionaltasun zuzenekoa dela jakinik. Behatu bi magnituderen arteko proportzionaltasuna adierazten duen taula honi. Egiaztatu M eta M' magnitudeak zuzenki proportzionalak direla, eta kalkulatu y eta y'. Hau bete beharko da: 0,3 ) = 0,3 ) = 0,3 ) ⎯→ 4 ⋅ y = 12 ⋅ 9 ⎯→ → 4 ⋅ y' = 12 ⋅ 10 → y' = ⋅ = 12 10 4 30 4 12 10 = y' y = ⋅ = 12 9 4 27 4 12 9 = y 4 12 6 18 7 21 = = → 041 ● 040 ● 1 50 3 ,1 2 0 60 1 , 1 59 3 ,1 06 2 ,0 53 1 , A saltokia 1 kg 2 kg 3 kg 0,53 € 1,06 € 1,59 € B saltokia 1 kg 2 kg 3 kg 0,60 € 1 € 1,50 € 039 ● 038 ● ERANTZUNAK 100 500 1.000 5.000 25.000 4 20 40 200 1.000 M magnitudea 4 6 7 9 10 M' magnitudea 12 18 21 y y' 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 187
- 188. 188 Adierazi magnitude parehauetatik zeinek duten alderantzizko proportzionaltasuna. a) Makina kopurua eta lan bat egiteko behar duten denbora. b) Pertsona baten adina eta oinez darabilen abiadura. c) Azalera 20 cm2 -koa duen laukizuzen baten oinarria eta altuera. d) Perimetroa 40 cm-koa duen laukizuzen baten oinarria eta altuera. a) eta c) ataletako magnitude pareak alderantziz proportzionalak dira. Aztertu magnitude hauen arteko proportzionaltasuna zuzena ala alderantzizkoa den. a) Zirkunferentzia baten erradioa eta luzera. b) Auto baten abiadura eta ibilbide jakin bat egiteko behar duen denbora. c) Zinemako sarreren kopurua eta prezioa. d) Pareta baten azalera eta hura margotzeko behar den denbora. e) Auto batek erretako gasolina eta egindako distantzia. a) Proportzionaltasun zuzena. d) Proportzionaltasun zuzena. b) Alderantzizko proportzionaltasuna. e) Proportzionaltasun zuzena. c) Proportzionaltasun zuzena. Osatu taula hauek, alderantzizko proportzionaltasuna adieraz dezaten. a) b) Egiaztatu M eta M' magnitudeak alderantziz proportzionalak direla, eta kalkulatu y eta y' ezezagunen balioa. Hau bete beharko da: 4 ⋅ 12 = 6 ⋅ 8 = 8 ⋅ 6 → 48 = 48 = 48 4 ⋅ 12 = 10 ⋅ y ⎯→ 4 ⋅ 12 = 16 ⋅ y' → Alderantzizko proportzionaltasuna adierazten duten taula hauetan akats bana dago. Zuzendu eta kalkulatu proportzionaltasun-konstantea. a) b) k = 54 k = 60 1,2 2,4 4,8 6 7,2 50 25 12,5 10 8,3 )9 6 5,4 4,5 4 6 9 10 12 13,5 046 ●● y' = ⋅ = 4 12 16 3 y = ⋅ = 4 12 10 4 8, 045 ● 4 12 30 60 420 140 56 28 2 3 4 5 0,90 0,60 0,45 0,36 044 ● 043 ● 042 ● Zenbakizko proportzionaltasuna M magnitudea 4 6 8 10 16 M' magnitudea 12 8 6 y y' 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 188
- 189. 189 6 Hamabi metroko hesiajartzea 1.250 € ordaindu dute. Zenbat ordaindu beharko dute 25 metroko hesi bat jartzea? → € Arantzazuk 2 metroko oihal-pieza erosi du, 32 € ordainduta. Zenbat ordainduko zuen 3,2 metroko oihal-pieza? → 51,20 € Auto batek 25 litro erregai erretzen ditu 300 km-ko bidaia egiten, abiadura jakin batean doala. Zenbat erreko ditu 550 km-ko bidaian, abiadura berean joanda? → Orduko 100 km-an doan trenak 5 ordu behar ditu hiri batera heltzen. Zenbateko abiaduran doa ibilbide bera egiten 6 ordu eta laurden behar dituen trena? Abiadura eta denbora magnitude alderantziz proportzionalak dira. 100 ⋅ 5 = x ⋅ 6,25 → Pintore batek 125 kilo pintura erabili baditu 75 m2 -ko pareta pintatzen: a) Zenbat pintura behar izango zukeen 300 m2 -ko pareta pintatzeko? b) 50 kg pintura baditu eskura, zenbat metro koadro pinta ditzake? Pintura kiloak eta paretaren azalera (m2 ) magnitude zuzenki proportzionalak dira. a) → b) ⎯→ x = ⋅ = 50 75 125 30 2 m ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 125 kg ⎯⎯→ 75 m2 Si50 kg ⎯⎯→ x m2 x = ⋅ = 125 300 75 500 kg ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 125 kg ⎯⎯→ 275 m2 Si x kg ⎯⎯→ 300 m2 051 ●● x = ⋅ = 100 5 6 25 80 , km/h 050 ●● x = ⋅ = 25 550 300 45 83, litro ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 300 → 25 550 → x 049 ● x = ⋅ = 3 2 32 2 ,⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 ⎯→ 32 3,2 → x 048 ● x = ⋅ = 25 1 250 12 2 604 17 . . , ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 12 → 1.250 25 → x 047 ● ERANTZUNAK 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 189
- 190. 190 Hamabost pertsonak zenbaiteguzki-plakaren muntaia hiru astean egin dute. a) Zenbat denboran egingo lukete muntaia hori bera 35 pertsonak? b) Hamabost egunean amaituta izan nahi bagenu, zenbat pertsona beharko genituzke? Pertsona kopurua eta denbora magnitude alderantziz proportzionalak dira. Denbora egunetan adieraziko dugu: a) 15 pertsona ⋅ 21 egun = 35 pertsona ⋅ x egun → b) 15 pertsona ⋅ 21 egun = x pertsona ⋅ 15 egun → Hiru kutxa polboroik 2,7 kg-ko pisua dute. a) Zer pisu izango dute 15 kutxak? b) Gure furgoneta 500 kg garraiatzeko gauza bada, eraman al ditzakegu bertan 230 kutxa? Kutxa kopurua eta pisua magnitude zuzenki proportzionalak dira. a) b) → 207 kg < 500 kg denez (gehieneko pisu teknikoa), eraman ditzakegu 230 kutxa. Abeletxe batean 18 astez 48 behiri jaten emateko adina belar dute. a) Zenbat asterako izango lukete, 24 behi gehiago balituzte? b) 7 aste pasatutakoan 18 behi erosten badituzte, noiz arte iraungo die belarrak? Behi kopurua eta denbora magnitude alderantziz proportzionalak dira. a) 48 behi ⋅ 18 aste = (48 + 24) ⋅ x → b) 7 aste pasatutakoan 11 asterako adina belar geratuko litzateke hasierako 48 behien kasuan. 18 behi erosiz gero: 48 behi ⋅ 11 aste = (48 + 18) ⋅ x → Sei pertsona bizi diren etxe batean egunean 900 litro ur erabiltzen dituzte norberaren garbitasunean. Zenbat ur gastatuko dute etxe horretan, 5 pertsona gehiago bizi badira? → x = ⋅ = 11 900 6 1 650. litro ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 16 → 900 11 → x 055 ●● x = ⋅ = 48 11 66 8 aste x = ⋅ = 48 18 72 12 aste 054 ●● x = ⋅ = 230 2 7 3 207 , kg ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 30 kutxa ⎯⎯→ 2,7 kg 230 kutxa ⎯⎯→ x kg 3 2 7 15 2 7 15 3 13 5 kutxa kg kutxa kg k , , ,= = ⋅ = x x→ gg 053 ●● x = ⋅ = 15 21 15 21 pertsona x = ⋅ = 15 21 35 9 egun 052 ●● Zenbakizko proportzionaltasuna 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 190
- 191. 191 6 150 lagunek erabiltzenduten gimnasio batean eguneko ur-kontsumoa 6.000 litro da. a) Zenbat izango da kontsumoa, beste 30 lagunek izena ematen badute? b) Zazpi mila litroko kontsumoa gainditzeak errekargua badakar, zenbat bezerok eman dezake izena, errekargu hori ordaindu beharrik izan gabe? Lagun kopurua eta ur-kontsumoa magnitude zuzenki proportzionalak dira. a) → b) → 25 bezerok eman dezake izena. Hamar zentimetroko minipizza bat egiteko, 100 gramo mozzarella behar ditugu. Diametroa 20 zentimetrokoa duen pizza bat egin nahi badugu, zenbat gazta erabiliko dugu? Pizzaren azalera (ez diametroa) eta gazta gramoak magnitude zuzenki proportzionalak dira. → Eraikitzaile batek 1.000 € banatu nahi ditu bere enpresako hiru langileren artean, antzinatasunarekiko proportzioan. Anderrek 9 urte egin ditu enpresan; Bernardok eta Karlosek, berriz, 3 urteko antzinatasuna soilik dute. Zer zati dagokio bakoitzari? → Ander 600 € ⎯→ Karlos 200 € Bernardori ere 200 € dagozkio. = ⋅ + + = 1 000 3 9 3 3 .1 000 9 3 3 3 . + + = Karlos = ⋅ + + = 1 000 9 9 3 3 .1 000 9 3 3 9 . + + = Ander 058 ● x = ⋅ ⋅ ⋅ = π π 10 100 5 400 2 2 g ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ π ⋅ 52 cm2 -rako ⎯⎯⎯→ 100 g π ⋅ 102 cm2 -rako ⎯⎯→ x g 057 ●●● x = ⋅ = 150 7 000 6 000 175 . . lagun ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 150 lagun ⎯⎯⎯→ 6.000 litro x lagun ⎯⎯⎯→ 7.000 litro x = ⋅ = 180 6 000 150 7 200 . . litro ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 150 lagun ⎯⎯⎯→ 6.000 litro 180 lagun ⎯⎯⎯→ x litro 056 ●●● ERANTZUNAK 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 191
- 192. 192 Aitona batek berebiloben artean 120 karamelu banatzea erabaki du, haien adinekiko zati zuzenki proportzionaletan. Bilobek 4, 6, 6 eta 8 urte dituzte, hurrenez hurren. Zenbat karamelu dagozkio biloba bakoitzari? 4 urteko bilobari: → a = 20 karamelu 6 urteko bilobei: → b = 30 karamelu 8 urteko bilobari: → c = 40 karamelu Bi lagunek negozio bat jarri dute abian. Bietako batek atzera egiten du 8 hilabeteren buruan, baina beste bazkideak urte amaiera arte jarraitzen du. Azken emaitza 1.500 €-ko galera da. Zenbat diru ordaindu behar du lagun bakoitzak? 8 hilabete egon den lagunak: ⎯→ a = 600 € Urtebete egon den lagunak: → b = 900 € Bixentek eta Uxuek aurrezki-libreta bat zabaldu dute bankuan. Bixentek 400 € sartu ditu, eta Uxuek, berriz, 800 €. Urte batzuen buruan 1.380 € itzuli dizkiete. Nola banatu behar dituzte? Zenbat dagokio bakoitzari? Proportzio zuzenean banatu beharko dute. → 460 € Bixenterentzat 920 € Uxuerentzat Zubi bat eraikitzea erabaki dute, eta haren kostu osoa, milioi bat eurokoa, hiru herrik ordaindu beharko dute, zubiraino duten distantziarekiko alderantzizko proportzioan. Zumarrena 6 km-ra dago, Ureta 8 km-ra eta Betzaindegi 10 km-ra. Kalkulatu herri bakoitzak ordaindu behar duen diru kopurua. Zumarrenari dagokiona ⎯⎯→ 2.553.191,49 : 6 = 425.531,91 € Uretari dagokiona ⎯⎯⎯⎯→ 2.553.191,49 : 8 = 319.148,94 € Betzaindegiri dagokiona ⎯⎯→ 2.553.191,49 : 10 = 255.319,15 € k = + + = = 1 000 000 1 6 1 8 1 10 240 000 000 94 2 553 19 . . . . . . 11 49, 062 ●● y = ⋅ = 800 1 380 1 200 . . x = ⋅ = 400 1 380 1 200 . . x y 400 800 1 380 400 800 = = + . 061 ●● 1 500 8 12 12 . + = b 1 500 8 12 8 . + = a 060 ●● 120 4 6 6 8 8+ + + = c 120 4 6 6 8 6+ + + = b 120 4 6 6 8 4+ + + = a 059 ● Zenbakizko proportzionaltasuna 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 192
- 193. 193 6 Koldok, Mattinek etaKarlosek Gabonetako loteriako dezimo bat erosi zuten. Karlosek 10 € jarri zituen; Mattinek, 6 €, eta Koldok, berriz, 4 €. Dezimoa saritua izan zen eta, banaketan, Karlosi 5.000 € egokitu zitzaizkion. Eta beste biei? Mattini: 6 ⋅ 500 = 3.000 €. Koldori: 4 ⋅ 500 = 2.000 €. Aitona batek 10.350 € banatu ditu bere hiru biloben artean, haien adinekiko proportzionaltasun zuzenean. Biloba gazteenek 22 eta 23 urte badituzte, kalkulatu: a) Nagusiaren adina, 3.600 € egokitu zaizkiola jakinik. b) Besteei egokitu zaizkien kopuruak. a) b) . 22 urteko bilobari: 150 ⋅ 22 = 3.300 €; eta 23 urtekoari: 150 ⋅ 23 = 3.450 €. k = = 3 600 24 150 . 10 350 22 23 3 600 10 350 3 600 162 000 . . . . . x x x x + + = = +→ →→ x = 24 urte 065 ●●● k = = 5 000 10 500 . 064 ●● EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA BANATUTAKO KOPURUA, ZUZENKI PROPORTZIONALA DEN ZATI BAT EZAGUNA IZANIK? Diru kopuru bat banatu da, hiru neba-arrebaren adinekiko zati zuzenki propor- tzionaletan. Neba-arrebek 8, 4 eta 3 urte dituzte. Nagusiari 800 € egokitu ba- zaizkio, zer kopuru banatu da, guztira? LEHENA. Proportzionaltasun-konstantea kalkulatzea. BIGARRENA. Guztizkoa kalkulatzea. (8 + 4 + 3) ⋅100 =1.500. 1.500 € banatu dira. k = = 800 8 100 063 ERANTZUNAK 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 193
- 194. 194 10, 7 eta3 zenbakiekiko alderantziz proportzionala den kopuru bat banatzen baduzu, 3ri dagokion zatia 50 da. Zer kopuru dagokio 10i eta 7ri? k = 3 ⋅ 50 = 150. 10i dagokiona → 150 : 10 = 15 eta 7ri → 150 : 7 = 21,43. Oinordetza batean agindutakoari, jarraiki, 359.568 € banatu dira hiru pertsonaren artean, bakoitzaren soldatarekiko zati alderantziz proportzionalean. Kalkulatu bakoitzari dagokion soldatarik txikiena ertainaren bada eta ertaina handiarena . Handiena: x Ertaina: Txikiena: Handiena: 82.977,23x : x = 82.977,23 € Ertaina: 82.977,23x : = 110.636,31 € Txikiena: 82.977,23x : = 165.954,46 € x 2 3 4 x k x x x x x= + + = = 359 568 1 4 3 2 1 078 704 13 82 977 23 . . . . , x 2 3 4 x 3 4 2 3 068 ●● 067 ●● 066 Zenbakizko proportzionaltasuna EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA BANATUTAKO KOPURUA, ALDERANTZIZ PROPORTZIONALA DEN ZATI BAT EZAGUNA IZANIK? Oinordetza bat banatu da, hiru lehengusuren adinekiko zati alderantziz propor- tzionaletan. Hiru lehengusuok 25, 20 eta 16 urte dituzte. 25 urteko lehengu- suari 800 € egokitu zaizkio. Zenbateko kopurua banatu da? LEHENA. Proportzionaltasun-konstantea kalkulatzea. k = 800 ⋅ 25 = 20.000 BIGARREN. Kopuru osoa kalkulatzea. Oinordetza 3.050 € 3.050 € banatu dira. 20 000 25 20 000 20 20 000 16 . . . + + = k k k 25 20 16 + + = 800 25 = k → 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 194
- 195. 195 6 Zortzi laguneko taldebatek 940 € ordaindu zuen 3 eguneko egonaldia hotel batean. Zenbat balio zuen lagun bakoitzaren eguneroko egonaldiak? Zuzena Zuzena 39,17 € Bi makinak, 6 orduko jardunean, 1.500 kWh kontsumitzen dituzte eguneko. Zenbat kontsumituko dute egunean 8 orduz diharduten 3 makinak? Hiru makinak: 10 m-ko luzera eta 2 cm2 -ko sekzioa duen metalezko barra batek 8,45 kg-ko pisua du. Zer pisu du 5 m-ko luzera eta 7 cm2 -ko sekzioa duen metal bereko barra batek? Zuzena Zuzena Auzo bateko jaietan, egunean 8 orduz piztuta egoten diren 1.200 faroltxo jarri dituzte, guztira 1.440 €-ko gastua egiten dutenak. Zenbat izango litzateke gastua, 2 ordu gutxiagoz piztuta egongo liratekeen 600 faroltxo gehiago jarriz gero? Zuzena Zuzena x = 1.620 € 1 200 1 800 8 6 1 440 9 600 10 800 1 440. . . . . . ⋅ = = x x → → ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 1.200 faroltxo ⎯⎯→ 8 ordu/egun ⎯⎯→ 1.440 € 1.800 faroltxo ⎯⎯→ 6 ordu/egun ⎯⎯→ x € 072 ●● 10 5 2 7 8 45 20 35 8 45 35 8 45 20 14 79⋅ = = = ⋅ = , , , , x x x→ → kgg ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 10 m-ko luzera ⎯⎯→ 2 cm2 -ko sekzioa ⎯⎯→ 8,45 kg 15 m-ko luzera ⎯⎯→ 7 cm2 -ko sekzioa ⎯⎯→ x kg 071 ●●● 1 500 2 6 3 8 1 500 3 8 2 6 3 000 . . . ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = x x→ kWh 070 ●● 8 1 3 1 940 24 1 940 940 24 ⋅ = = = = x x x→ → ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 8 lagun ⎯⎯→ 3 egun ⎯⎯→ 940 € 1 lagun ⎯⎯→ 1 egun ⎯⎯→ 9x € 069 ●● ERANTZUNAK F F F F F F F F F F F F Makinak Orduak Kontsumoa 2 6 1.500 3 8 x 908272 _ 0178-0207.qxd 28/9/07 13:40 Página 195
- 196. 196 Zenbaiten ustetan, Keopsenpiramidea eraikitzeko 20.000 pertsonak egunean 10 orduz egin zuten lan, eta 20 urte behar izan zituzten amaitzeko. a) Zenbat denbora behar izango zuten, 10.000 pertsona gehiago izan balira? b) Eta egunean 8 orduz jardun izan balute? a) b) Ehun langilek 300 egun behar dituzte itsasontzi bat eraikitzen, 8 orduko jardunean. a) 20 lagun gehiago hasten badira lanean, zenbat egun aurreratuko lirateke eraikitze-lanak? b) 20 lagun gutxiago ari badira lanean, zenbat egun atzeratuko litzateke lana? c) Eta 20 lagun gutxiago ari badira lanean, baina egunean 9 ordu jardungo balira? Alderant. 50 egun aurreratuko lirateke. Alderant. 75 egun atzeratuko litzateke. Alderant. Alderant. Ia 34 egun atzeratuko litzateke. Bost ikasletik hiruk gripea izan dute urtarrilean. Adierazi datu hori ehuneko gisa. 3 5 100 3 100 5 60= = ⋅ = x x→ % 075 ● 80 100 9 8 300 720 800 300 333 33⋅ = = = x x x→ → , egun ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 100 lagun ⎯⎯→ 8 ordu/egun ⎯⎯→ 300 egun 80 lagun ⎯⎯→ 9 ordu/egun ⎯⎯→ 1x1 egun c) ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = =→ → 100 80 300 375 x x egun 100 lagun ⎯⎯→ 300 egun 80 lagun ⎯⎯→ x egun b) ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = =→ → 100 120 300 250 x x egun 100 lagun ⎯⎯→ 300 egun 120 lagun ⎯⎯→ x egun a) 074 ●● 10 20 8 10 20 8 25 → → → urte x x ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = ⋅ = 20 000 20 30 000 20 000 20 30 000 . . . . → → → x x ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = ⋅ = 113 33 13, = urte eta 4 hilabete 073 ●● Zenbakizko proportzionaltasuna F F F F F F F F 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 196
- 197. 197 6 21€ balio duenCD batean % 15eko beherapena egin didate. Zenbat diru aurreztu dut? 3,15 € Institutu bateko 63 ikaslek, hau da, kopuru osoaren % 15ek, atzerrira bidaiatu dute. Zenbat ikasle dira institutuan? Auto-saltzaile batek egindako salmenten % 0,8 jasotzen du komisio gisa. a) Hilabete batean 300 €-ko komisioa jaso badu, zenbat saldu du? b) Hurrengo hilabetean 45.000 €-ko salmentak egin baditu, zer komisio jaso du? a) € b) € Merkatari batek salgai baten prezioa, 72 €-koa, % 3 garestitzea erabaki du; hurrengo astean, berriz, beste % 3 igo du, prezio garestituarekiko. Zenbat da azken salneurria? % 3ko 1. igoera → 1,03 % 3ko 2. igoera ⎯→ 1,03 Igoerak kateatuta: 1,03 ⋅ 1,03 ⋅ 72 = 1,0609 ⋅ 72 = 76,38 € Bi astez jarraian, gai baten salneurria % 2 eta % 5 igo dute. Zenbat ehunekotan igo da gai horren salneurria, hasierako salneurria kontuan hartuta? € % 7,1 igo da. Denda batean salgai baten prezioa, 200 €-koa %10 igo dute. Hurrengo astean, berriz, azken prezio horrekiko % 10 merkatzea erabaki dute. Zer gertatu da prezioarekin? Azken prezioa hau da: €; hau da, 2 € merkatu da, % 1. 200 110 100 90 100 198⋅ ⋅ = 081 ●● 100 102 100 105 100 107 10⋅ ⋅ = , 080 ●● 079 ●● 45 000 0 8 100 360 . ,⋅ = 300 100 0 8 37 500 ⋅ = , . 078 ●● 15 100 63 63 100 15 420= = ⋅ = x x→ ikasle 077 ●● 15 100 21 21 15 100 = = ⋅ = x x→ 076 ● ERANTZUNAK 908272 _ 0178-0207.qxd 28/9/07 13:40 Página 197
- 198. 198 Arkume-haragiaren salneurria 8,85€/kg-tik 11,55 €/kg-ra igo da Gabonetan. Beste produktu bat ere garestitu da, mahatsa, 2,10 €/kg-tik 3,95 €/kg-ra igo baita. Proportzioan, zein garestitu da gehien? Haragia: . Mahatsa: . Mahatsa garestitu da gehien. Metro bat luze den metalezko barra 200 °C-ra berotzean, 1,04 m-ko luzera arte dilatatu da. Beste metal batez egindako barra bat, 60 cm-koa, tenperatura berean berotzean 61,9 cm-ra arte dilatatu da. Zein metal dilatatzen da gutxien? 1 m-eko barra: . 60 cm-ko barra: 0,0316 = % 3,16 . 60 cm-ko barrako metala dilatatu da gutxien. Galleta-ontzi batean ageri den iragarkian prezio berean % 25 galleta gehiago dagoela jartzen du. Lehengo ontziek 1 kg-eko pisua zuten eta oraingoek, eskaintzarekin, 1,20 kg. Egia al da iragarkian jarrita dagoena? 1 kg-ren % 25: Beraz, ontziaren pisuak 1,25 kg-koa izan behar luke. 1,20 < 1,25 denez, iragarkiak dioena ez da egia. 25 100 1 0 25= = x x kg kg kg→ , 085 ●●● 61 9 60 60 , − = 1 04 1 1 0 04 4 , , % − = = 084 ●● 3 95 2 10 2 10 0 881 88 1 , , , , % , − = = 11 55 8 85 8 85 0 305 30 5 , , , , % , − = = 083 ●● 082 Zenbakizko proportzionaltasuna EGIN HONELA NOLA ALDERATU, EHUNEKOAK ERABILIZ? Kafetegi batean freskagarrien salneurriak igo dituzte: laranja-freskagarria 1 €-etik 1,05 €-ra igo da, eta kola-freskagarria, berriz, 1,10etik 1,15 €-ra. Proportzioan egin al dira bi igoerak? LEHENA. Igoera lineala kalkulatzea. 1,05 − 1 = 0,05 1,15 − 1,10 = 0,05 Bi freskagarriak kopuru bera garestitu da. BIGARRENA. Izandako igoera adierazten duen ehunekoa kalkulatzea. Igoera ez da proportzionala. 0 05 110 , , 0,0454 4,54= → % 0 05 1 5 , 0,05= → % 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 198
- 199. 199 6 Zer interes ematendute 3.000 €-k, 5 urteko epean % 4,3an jarrita? Eta 15 hilabeteko epean? Eta 150 eguneko epean 645 € 161,25 € 53,75 € Zenbateko kapitalak ematen ditu 3.760 € urtebeteren buruan, % 7,5ean jarrita? 50.133,33 € Joxe Marik erabaki du bere aurrezkiak, 9.600 €-koak, 4 urtez % 3,85ko interesa eskaintzen duen gordailu batean inbertitzea. a) Zenbat jasoko du interesetan, lehen 6 hilabeteetan? b) Eta 3 hilabete eta 20 egunean? c) Lau urteko inbertsio-epea amaitu baino lehen dirua ateratzea erabakiko balu, inbertitu duen kapitalaren % 5eko zigorra jarriko liokete. Urte bat eta bi hilabete eta erdi pasatutakoan, dirua galdu ala irabazi egingo luke ateraz gero? d) Zenbat denbora pasatu behar luke, gordailuan sartutakoa ateratzean dirurik gal ez dezan? a) Urtebeteko interesak: 369,60 €, eta 6 hilabetekoak: €. b) 3 hilabeteko interesak: €, eta 20 egunekoak: €; guztira, 112,65 €. c) Urtebeteko interesa 369,60 da eta 2,5 hilabetekoa: €; guztira, 446,60 €. Zigorra: €. Guztira galduko duena: 480 − 446,6 = 33,40 €. d) = = 1 urte, 3 hilabete eta 18 egun 480 9 600 100 480 100 9 600 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = . . 3,85 3,85 1,3 t t→ años 9 600 5 100 480 . ⋅ = 369,6 2,5⋅ = 12 77 369,6 20,25 ⋅ = 20 365 369,6 92,40 ⋅ = 3 12 369,6 184,80 ⋅ = 6 12 I = ⋅ ⋅ = 9 600 1 100 . 3,85 088 ●● 3 760 1 3 760 100 . . = ⋅ ⋅ = ⋅ = K K 7,5 100 7,5 → 087 ●● I K r t = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 36 000 3 000 150 36 000. . . 4,3 I K r t = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 1 200 3 000 15 1 200. . . 4,3 I K r t = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 100 3 000 5 100 . 4,3 086 ●● ERANTZUNAK 1,3 urte 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 199
- 200. 200 Urtzik 40.000 €-kooinordetza jaso du. Diru hori gordailu batean inbertitu du, 5 urte eta erdian urteko % 5eko interesa emango dion gordailuan. Epe hori amaitutakoan, jasoko dituen interesak bere lau seme-alaben artean banatuko ditu, haien adinekiko –15, 14, 12 eta 10 urte dituzte– zati alderantziz proportzionaletan. a) Inbertsioa amaitzen denean; hau da, bost urte eta erdi barru, zenbat jasoko du interesetan? b) Zenbat diru jasoko du seme-alaba bakoitzak? a) € b) 15 urtekoak jasoko duena → 34.222,22 : 15 = 2.281,48 € 14 urtekoak jasoko duena → 34.222,22 : 14 = 2.444,44 € 12 urtekoak jasoko duena → 34.222,22 : 12 = 2.851,85 € 10 urtekoak jasoko duena → 34.222,22 : 10 = 3.422,22 € 090 k = + + + = + + + 11 000 1 15 1 14 1 12 1 10 4 620 000 28 30 35 4 . . . 22 = 34.222,22 I = ⋅ ⋅ = 40 000 5 100 11 000 . . 5,5 089 ●● Zenbakizko proportzionaltasuna EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA NAHASTEEZ DIHARDUTEN PROBLEMAK? Bi irin mota, A eta B, 0,75 €/kg eta 0,50 €/kg balio dutenak proportzio honetan nahasi dira: A motatik 5 kg eta B motatik 3 kg. Zer prezio izango du nahaste-kiloak? LEHENA. Prezioa eta kantitate osoa kalkulatzea. Irina, guztira = 5 kg + 3 kg = 8 kg Prezioa, guztira = 5 ⋅ 0,75 + 3 ⋅ 0,50 = 5,25 € BIGARRENA. Batekora laburtzea. Nahastearen prezioa = 0,66 €/kg 5,25 8 = 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 200
- 201. 201 6 2,25 €/kg balioduen kafetik 8 kg eta 1,66 €/kg balio duenetik 5 kg nahasi ditugu. Zenbatean saldu beharko dugu kafe-kiloa, kilo bakoitzeko prezioaren % 10 irabazi nahi badugu? Kafea, guztira = 8 + 5 = 13 kg Prezioa, guztira = 8 ⋅ 2,25 + 5 ⋅ 1,66 = 26,30 € % 10 batuz gero: 26,30 ⋅ 1,1 = 28,93 €. Prezioa kiloko: €/kg. % 10 irabazteko, nahaste-kiloa 2,23 €/kg-an saldu beharko dugu. 200 g-ko zilar-lingotea, legea % 90 duena (% 90eko purutasuna), legea % 80 duen 300 g-ko batekin galdatu da. Zein da lingote berriaren legea? Metala, guztira: 200 + 300 = 500 g Zilar purua, guztira: 420 g Nahastearen legea hau da: Lingote berriaren legea % 84 da. % 96ko alkohola dugu. 1 litro alkohol litro-erdi urekin nahasten badugu, zenbat gradu izango ditu sortzen den alkoholak? Likido guztia 1,5 litro da, eta alkohol guztia, 0,96 litro. Nahastearen graduak: . Zer proportziotan nahastu behar ditugu A eta B kafe motak, 5 €/kg eta 8 €/kg balio dutenak, hurrenez hurren, emaitza 7,25 €/kg balio duen kafea izan dadin? Demagun A motako kafearen 1 kg eta B motakoaren x kg nahastu ditugula. Prezioa hau izango da: 7,25 €/kg 5 + 8x = 7,25 + 7,25x → 0,75x = 2,25 → x = 3 kg Beraz, proportzioa hau da: A motako 1 kg kafe eta B motako 3 kg (% 25 A motakoa eta % 75 B motakoa). 1 5 8 1 ⋅ + ⋅ + = x x 094 ●●● 0,96 1,5 0,64= = % 64 093 ●● 420 500 84= % 200 90 100 300 80 100 ⋅ + ⋅ = 092 ●● 28,93 2,23 13 = 091 ●● ERANTZUNAK 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 201
- 202. 202 Legea % 90duen urrezko eta kobrezko lingote baten pisua 100 g da. Zenbat kobrerekin batera galdatu beharko dugu, legea % 75era jaits dadin? Kobre kantitatea x bada, aleazio kantitatea (100 + x) g izango da. Urre puruaren kantitatea: 100 ⋅ % 90 = 90 g. Aleazioaren legea: kobre 096 → x = = 15 20 0,75 g 90 100 90 75 + = = + x x0,75 0,75→ → 095 ●●● Zenbakizko proportzionaltasuna EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA HIGIKARIEZ DIHARDUTEN PROBLEMAK? Bidaiari-tren bat 90 km/h-ko abiaduran doa. Merkantzia-tren bat, berriz, trenbide paralelo batetik doa, 50 km/h-ko abiaduran. a) 350 km-ra dauden bi puntutatik abiatzen badira ordu berean, eta bata bestera hurbiltzen ari badira, zenbat denbora beharko dute topo egiteko? b) Puntu beretik abiatzen badira, eta merkantzia-trenak 140 km-ko abantaila badu, lehenago abiatu delako, zenbat denboran harrapatuko du bidaiari-trenak bestea? LEHENA. Abiadurak batzea edo kentzea, zer noranzkotan doazen, berean ala aurkakoan. BIGARRENA. Bien arteko distantziaren eta hurbiltze-abiaduraren arteko zatidura denbora da. a) HURBILTZE-ABIADURA = 90 + 50 = 140 km/h 40 km/h-ko abiaduran hurbiltzen dira. Denbora = 2,5 ordu beharko dituzte topo egiteko. b) HURBILTZE-ABIADURA = 90 − 50 = 40 km/h Bidaiari-trena 40 km/h-ko abiaduran hurbiltzen zaio besteari. Denbora = 3,5 ordu beharko ditu beste trena harrapatzeko. distantzia abiadura 3,5= = 140 40 distantzia abiadura 2,5= = 350 140 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 202
- 203. 203 6 9:45ean AVE trenbat Sevillatik Madrilera abiatu da, 220 km/h-ko batez besteko abiaduran. Ordu berean Madriletik merkantzia-tren bat irten da, AVE trenaren ibilbide paraleloa egiten duena, 40 km/h-ko abiaduran. Zer ordutan egingo dute topo? Kontuan izan Sevillatik Madrilera bitartean 520 km-ko distantzia dagoela? Hurbiltze-abiadura: 220 + 40 = 260 km/h Beraz, topo egiteko behar duten denbora: 2 ordu 11:45ean egingo dute topo. 15 km/h-ko abiaduran doan txirrindulari batek ordu beteko aurrerapena du 60 km/h-ko abiaduran doan auto batekiko. Zenbat denbora beharko du autoak txirrindularia harrapatzeko? Txirrindulariak ordubeteko abantaila duenez, autoa baino 15 km aurrerago doa. Hurbiltze-abiadura: 60 − 15 = 45 km/h Denbora = 0,3 ordu = 20 minutu A magnitudea B magnitudearekiko zuzenki proportzionala bada, eta B magnitudea, berriz, C magnitudearekiko alderantziz proportzionala bada, nolakoak dira A eta C? A eta B zuzenki proportzionalak dira → B eta C alderantziz proportzionalak dira → B ⋅ C = k2 Berdintzako bi gaiak bider k1 egiten baditugu: Beraz, A eta C alderantziz proportzionalak dira. B C k B C k k k B C A B k k A C k k⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅2 1 2 1 2 1 2 1→ → → A B k= 1 099 ●●● 15 45 = 098 ●●● 520 260 = 097 ●● ERANTZUNAK 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 203
- 204. 204 Banatu k zenbakibat m eta n bi edozein zenbakirekiko zati zuzenki proportzionaletan, eta ondoren, egin bi balio horiekiko (m eta n) alderantziz proportzionala den banaketa. a) Zer-nolako lotura dago banaketa bakoitzean lortutako zatien artean? b) Beti gertatzen al da gauza bera? m-ri dagokion banaketa proportzionala: eta n-ri dagokiona: Banaketa alderantziz proportzionala da. Hau da konstantea: Beraz, banaketa hau da: k = 100, m = 12 eta n = 8 12ri dagokion banaketa proportzionala: eta 8ri dagokiona: Banaketa alderantziz proportzionala da. Hau da konstantea: Beraz, banaketa hau da: a) Banaketa aurkakoa da, kasu bakoitzean; m-ri banaketa zuzenki proportzionalean dagokiona n-ri dagokio banaketa alderantziz proportzionalean, eta alderantziz. b) Bai, frogapena lehen egindakoa da. 12 → 60 → 2.400 : 60 = 40 18 → 60 → 2.400 : 40 = 60 c = + = = 100 1 60 1 40 12 000 5 2 400 . . ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = =→ x 800 20 40 20 → 100 18 → 1x ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = =→ x 1 200 20 60 .20 → 100 12 → 1x n n k m n n m k m n n k m n m k m n → → ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + = ⋅ + 2 2 ( ) : m m k m n n m k m n m k m n n k m n → → ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + = ⋅ + 2 2 ( ) : c k m k m n n k m n k m n m k m n n k m n k m = ⋅ + + ⋅ + = + ⋅ + + ⋅ = ⋅ ⋅ +1 1 2 ( nn)2 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = ⋅ + → x n k m n m + n → k n ⎯⎯⎯→ x ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = ⋅ + → x m k m n m + n → k m ⎯⎯→ x 100 ●●● Zenbakizko proportzionaltasuna 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 204
- 205. 205 6 Kopuru bat %10 murrizten badugu, zer ehunekotan handitu behar dugu, hasierako kopurua lortzeko? txikitutako kopuruaren % 11,1 Beirazko lamina batek iristen zaion argi gorriaren % 20 xurgatzen du; hau da, % 80 uzten du pasatzen. Zenbat lamina jarri behar dira, gutxienez, bata bestearen gainean, jotzen duen argi gorriaren erdia igaro dadin, gehienez ere? 0,80x < 0,5 0,80 ⋅ 0,80 = 0,64 0,64 ⋅ 0,80 = 0,512 0,512 ⋅ 0.80 = 0,4096 Gutxienez 4 lamina jarri behar dira. EGUNEROKOAN Kepak Aste Santuko oporraldia osaba-izeben etxean igaro du. Eskolako apunteak eraman zituen, agindutako zenbait etxeko lan egin beharra zuelako. Etxera itzultzean ahaztuta utzi zituenez, Helene lehengusinak mezulari bidez bidaliko dizkio. Behinola aitak kontratatutako mezulari-enpresa bateko ordainagiri bat aurkitu du etxean Kepak. Helenek Keparen apunteekin egindako paketea pisatu du: 3,2 kg, eta mapa batean haren hiriraino dagoen distantzia neurtu du: 126 km. Zenbat ordainduko du Helenek paketea enpresa honen bidez bidaltzen badu? Eta presazko zerbitzua erabilita bidaltzen badu? Garraio-gastua: → → x = € Kostua BEZik gabe: 2 + 1.209,6 = 1.211,60 €. Kostua BEZa barne: 1.211,6 ⋅ 1,07 = 1.296,41 €. Presazko zerbitzua erabilita bidaltzen badu: 1.296,41 ⋅ 1,3 = 1.685,34 €. 18,75 7.560.000 6.250 1.209, ⋅ ⋅ ⋅ = = 3 200 126 250 25 . 660 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 18,75 → 250 ⋅ 25 x → 3.200 ⋅ 126 103 ●●● 102 ●●● ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = = =→ x 1 000 90 100 9 .10 → 90 x → 100 101 ●●● ERANTZUNAK Guztira 22,20 € PackExpress IFK 455545EE07 Tel: 902 566 300 www.packexpress.com BEZEROA: Don Santos Copalón NAN: 38135286 Helbidea: Lanperna kalea, 13 Zerbitzua 2,00 € Garraioa: 250 g 25 km-ra 18,75 € % 7 BEZa 1,45 € Presakoa bada, %30 gehitu- ko zaio guztizkoari. Enpresa horiek zenbateko finko bat kobratzen dute zerbitzu bakoitza, eta horri gehitzen diote paketearen pisuarekiko eta bidaltzen den lekurainoko distantziarekiko proportzionala den beste zenbateko bat. 908272 _ 0178-0207.qxd 28/9/07 13:40 Página 205
- 206. 206 Laukiz eta Maldaukizbata bestearen auzoan dauden herriak dira. Bi herri horien inguruan autobide bat egin dutenez, alkateek erabaki dute lehengo errepidea aldatu eta autobiderako sarrera bat egitea. Haatik, ez dira ados jartzen gastuak nola banatu. Eztabaida luzeen ondoren, hau erabaki dute. Lanek sorrarazitako gastu guztien zer ehuneko ordaindu beharko du herri bakoitzak? UDAL-BANDOA Laukiztik Maldaukizera bitartean saihesbide bat egingo da, autobide berrirako sarbidea izango dena. Lan horien gastuak herri bakoi tzaren erroldan agertzen den biztanle kopuruarekiko modu zuzenki propor tzionalean zatituko dira, eta herri bakoitzak auzo-bideen mantenuan di- tuen gastuekiko modu alderantziz proportzio- nalean. Biztanleak Gastuak Laukiz 6.748 16.860 € Maldaukiz 1.230 12.400 € 104 ●●● Zenbakizko proportzionaltasuna Ados nago, baina kontuan hartu behar da Laukizek biztanle gehiago dituenez, diru kopuru handiagoa jarri beharko lukeela. Haatik, inguru honetako beste errepideen mantenuan ere diru gehiena Laukiz herriak jarri behar izaten du... Nire ustez, herri bakoitzaren biztanle kopuruarekiko zati zuzenki proportzionaletan banatu behar genituzke gastuak. 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 206
- 207. 207 6 16.860 6.748 12.400 100− x 1.230 16.195.200 ⋅ x = (100 − x) ⋅ 20.737.800 36.933.000x = 2.073.780.000 → x = % 56,15 Laukizek % 56,15 jarriko du, eta Maldaukizek, % 43,85. x x100 6 748 1 230 2 400 16 860− = ⋅ = . . . . 16.195.200 20.7737.800 Zuzena ⎯⎯⎯⎯→ Alderantzizkoa ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ Zuzena ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→x Alderantzizkoa ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ERANTZUNAK 908272 _ 0178-0207.qxd 20/9/07 16:03 Página 207
- 208. 208 Progresioak7 GAI OROKORRA SEGIDA ERREPIKARIAK SEGIDAK GAI OROKORRA n GAIREN BATURA PROGRESIO ARITMETIKOA GAI OROKORRA nGAIREN BATURA ETA BIDERKADURA INFINITU GAIREN BATURA PROGRESIO GEOMETRIKOA INTERES KONPOSATUA 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 208
- 209. Printzesaren abere kuttuna Siziliakoerrege Frederiko II.ak Gorteko filosofo Joan Palermokoari agindua zion Leonardo Pisakoari azterketa egiteko, ebazpen zaileko problema matematikoak jarrita. Leonardok, Fibonacci izenez ezagunagoak, ebazpenak aurkeztu zizkien, eta balorazioaren zain geratu zen. Leonardoren lana aztertu ahala, harridura nagusitu zen haien begiratuan. Bitartean, Fibonacci pixka bat urrundu eta, eskaileretan eserita, altzoan zeukan untxia laztantzen ari zen neskato batekin solasean hasi zen. –Nik izan nuen untxi-bikote bat –esan zuen Fibonaccik. –Zer koloretakoak? –galdetu zion neskatoak. –Zuriak ziren eta etxean eduki nituen, bikote hura eta haien umeak, 12 hilabetez. Gero aitarekin joan nintzen, eta ezin izan nituen nirekin eraman. Urtebetean 144 bikote nituen! –Hori ezinezkoa da –esan zion neskatoak, eta den-dena untxiz beteta imajinatu zuen. –Lehen bikotea bigarren hilabetean hasi zen umatzen, eta umealdi bakoitzeko bikote bat hartzen nuen niretzat. Bikote berri bakoitza, berriz, jaio eta bi hilera hasten zen umeak izaten –gogoratu zuen jakintsuak. Neskak dena idatzi zuen eta, bat-batean, ulertu zuen. –Untxi-bikoteen kopurua, hilero, aurreko bi hilabeteko kopuruen batura da. Zenbat bikote izango lituzke hamalau hilabeteren buruan? Eta bi urteren buruan? 14 hilabete barru zenbat bikote izango lituzkeen jakiteko, a14 kalkulatu behar da: Bi urte 24 hilabete direnez, a24 kalkulatu behar da: … a13 a14 a15 a16 a17 a18 … 233 377 610 987 1.597 2.584 a19 a20 a21 a22 a23 a24 … 4.181 6.765 10.946 17.711 28.657 46.368 … a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 … 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 … Hila U O M A M E U A I U A A Pareak 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 209
- 210. 210 ARIKETAK Adierazi segida hauetanzein diren a1, a3 eta a6 gaiak. a) 6, 7, 8, 9, 10, … b) 0, −2, −4, −6, −8, … c) 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; … d) −1, −1, −1, −1, −1, … e) −2, −4, −8, −16, −32, … f) 1, 2, 3, 5, 8, … Zehaztu segida horien eraketa-arauak. a) a1 = 6, a3 = 8, a6 = 11. Zenbaki bakoitza aurrekoa gehi 1 da. b) a1 = 0, a3 = −4, a6 = −10. Zenbaki bakoitza aurrekoa ken 2 da. c) a1 = 1; a3 = 0,01; a6 = 0,00001. Zenbaki bakoitza aurrekoa zati 10 da. d) a1 = −1, a3 = −1, a6 = −1. Zenbaki guztiak −1 dira. e) a1 = −2, a3 = −8, a6 = −64. Zenbaki bakoitza aurrekoaren bikoitza da. f) a1 = 1, a3 = 3, a6 = 13. Zenbaki bakoitza aurreko bien batura da. Idatzi baldintza hauek betetzen dituzten segidak: a) Lehen gaia 5 da eta ondorengo bakoitza aurrekoa gehi 3 da. b) Lehen gaia 12 da eta ondorengo bakoitza aurrekoa bider 3 da. a) 5, 8, 11, 14, 17, ... b) 12, 36, 108, 324, 972, ... Egin a1 = 2, a2 = 3 eta a3 = 4 gaiak dituen segida, ondorengo gaiak aurreko hiruren batura izanik. 2, 3, 4, 9, 16, 29, ... Idatzi segidako lehen lau gaiak eta gai orokorra: a) an = n2 −3n + 2 b) an = a) a1 = 12 − 3 ⋅ 1 + 2 = 0 a3 = 32 − 3 ⋅ 3 + 2 = 2 a2 = 22 − 3 ⋅ 2 + 2 = 0 a4 = 42 − 3 ⋅ 4 + 2 = 6 b) a1 = a3 = a2 = a4 = 4 4 2 4 1 8 9 + ⋅ + = 2 4 2 2 1 6 5 + ⋅ + = 3 4 2 3 1 7 7 1 + ⋅ + = = 1 4 2 1 1 5 3 + ⋅ + = n n + + 4 2 1 004 003 002 001 Progresioak 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 210
- 211. 211 7 Aurkitu segida hauetakobakoitzaren lehen lau gaiak. a) a1 = −1, an = n + an−1 b) a1 = 2, an = 2a2 n−1 − 3n a) an = n + an−1 → a1 = −1, a2 = 2 + (−1) = 1, a3 = 3 + 1 = 4 a4 = 4 + 4 = 8 b) an = 2 ⋅ a2 n−1 − 3n a1 = 2, a2 = 2 ⋅ 22 − 3 ⋅ 2 = 8 − 6 = 2 a3 = 2 ⋅ 22 − 3 ⋅ 3 = 8 − 9 = −1 a4 = 2 ⋅ (−1)2 − 3 ⋅ 4 = 2 − 12 = −10 Asmatu segida baten gai orokorra, eta kalkulatu 13, 25 eta 64 gaien balioa. an = 2n2 + 1 a13 = 339 a25 = 1.251 a64 = 8.193 Idatzi segida hauen gai orokorra. a) 2, 3, 4, 5, 6, … c) 5, 10, 15, 20, 25, … b) 3, 6, 9, 12, 15, … d) 8, 11, 14, 17, 20, … a) an = n + 1 b) an = 3n c) an = 5n d) an = 5 + 3n Adierazi segida hauek progresio aritmetikoak diren. a) 1, 0, −1, −2, … c) 2, 4, 7, 11, 16, … e) 11, 10, −1, −2, … b) 4, 5, 6, 7, 8, 9, … d) 1, 4, 9, 16, 25, … a) a2 − a1 = 0 − 1 = −1 a3 − a2 = −1 − 0 = −1 a4 − a3 = −2 − (−1) = −1 → d = −1 → Bai. b) a2 − a1 = 5 − 4 = 1 a3 − a2 = 6 − 5 = 1 a4 − a3 = 7 − 6 = 1 a5 − a4 = 8 − 7 = 1 → d = 1 → Bai. c) a2 − a1 = 4 − 2 = 2 a3 − a2 = 7 − 4 = 3 → Ez. d) a2 − a1 = 4 − 1 = 3 a3 − a2 = 9 − 4 = 5 → Ez. e) a2 − a1 = 10 − 11 = −1 a3 − a2 = −1 − 10 = −11 → Ez. Progresio aritmetiko batean, a1 = 4,8 eta a2 = 5,6 dira. Kalkulatu. a) Diferentzia, d. b) a8 gaia. a) d = 5,6 − 4,8 = 0,8 b) a8 = 4,8 + 7 ⋅ 0,8 = 10,4 Progresio aritmetiko batean, a4 = 12 da eta diferentzia d = −3. Kalkulatu a1 eta a8. 12 = a1 + 3 ⋅ (−3) → a1 = 12 + 9 = 21 → an = 21 + (n − 1) ⋅ (−3) a8 = 21 + (8 − 1) ⋅ (−3) = 21 − 21 = 0 010 009 008 007 006 005 ERANTZUNAK 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 211
- 212. 212 Aurkitu progresio aritmetikohauen gai orokorra. a) , 1, , 2, , … b) 25, 22, 19, 16, … a) d = 1 − = ⎯→ an = + (n − 1) ⋅ = n b) d = 22 − 25 = −3 → an = 25 − (n − 1) ⋅ 3 = 28 − 3n Progresio aritmetiko batean, lehen gaia 5 da, eta diferentzia, −2. Zehaztu an. a1 = 5, d = −2 → an = a1 + (n − 1) ⋅ d = 5 − (n − 1) ⋅ 2 = 7 − 2n Progresio aritmetiko batean, hirugarren gaia 9 da, eta diferentzia, berriz, 7. Aurkitu lehen gaia eta gai orokorra. a3 = a1 + (3 − 1) ⋅ d → 9 = a1 + 2 ⋅ 7 → a1 = −5 an = a1 + (n − 1) ⋅ d = −5 + (n − 1) ⋅ 7 = 7n − 12 Progresio aritmetiko batean, a6 = 17 eta a9 = 23 dira. Kalkulatu a1 eta gai orokorra. 23 = 17 + (9 − 6) ⋅ d → d = 6 : 3 = 2 → 17 = a1 + 5 ⋅ 2 → → a1 = 17 − 10 = 7, an = 7 + (n − 1) ⋅ 2 Kalkulatu progresio honen lehen 10 gaien batura: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, … d = 7 − 3 = 4 → a10 = 3 + 9 ⋅ 4 = 39 S10 = ⋅ 10 = 210 an = 10 − 5n duen progresio aritmetikoa izanik, kalkulatu lehen 25 gaien batura. a25 = 10 − 5 ⋅ 25 = 10 − 125 = −115 a1 = 10 − 5 ⋅ 1 = 5 S25 = ⋅ 25 = −1.375 Zazpi loreontzi ilara jarri nahi ditut, halako moldez non lehen ilaran 3 loreontzi jarriko baititut, eta ondorengo ilaretako bakoitzak aurrekoak baino 3 loreontzi gehiago izango baititu. Zenbat loreontzi jarriko ditut, guztira? an = a1 + (n − 1) ⋅ d → an = 3 + (n − 1) ⋅ 3 = 3n a1 = 3, a7 = 3 + 6 ⋅ 3 = 21 S7 = ⋅ 7 = 84 loreontzi 3 21 2 + 017 5 115 2 − 016 3 39 2 + 015 014 013 012 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 2 3 2 1 2 011 Progresioak 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 212
- 213. 213 7 Zehaztu progresio geometrikoakdiren. a) 1, 5, 25, 125, 625, … d) 3, 9, 24, 33, … b) 7, 14, 28, 56, 112, … e) 4, 4, 4, 4, 4, … c) −1, −2, −4, −8, −16, … a) → Bai. b) → Bai. c) → Bai. d) → Ez. e) → Bai. Aurkitu gai orokorra eta a6 gaia. a) b) a) Ez da progresioa; izan ere, b) Progresio geometriko batean, a2 = 2 eta . Kalkulatu an eta a5. r = ordezkatuko dugu 1. ekuazioan: eta 2. ekuazioa betetzen dela egiaztatuko dugu: . r = − bada, 1. ekuazioan: 2 1 2 41 1= ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = −a a→ 1 2 4 1 2 4 1 8 1 2 3 ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⋅ = 2 1 2 41 1= ⋅ =a a→ 1 2 r r2 1 2 2 1 4 1 2 = = = ±→ 2.a : 1.a ⎯⎯⎯→ a a r a a r 2 1 4 1 3 2 1 2 = ⋅ = = ⋅ = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ a4 1 2 =020 → →a an n = ⋅ = ⋅ = =− 3 3 3 3 27 3 46 7651 6 5 ( ) ( ) , a r a r rn n = ⋅ = ⋅ = =− 3 3 3 3 31 2→ → → 2 5 2 3 a a 3 2 2 3 = a a 2 1 2 5 = 3 3 3 9 9 3, , , , … 2 3 4 15 8 45 , , , … 019 4 4 4 4 4 4 4 4 1= = = = = r 9 3 24 9 − − = − − = − − = − − = = 2 1 4 2 8 4 16 8 2 r 14 7 28 14 56 28 112 56 2= = = = = r 5 1 25 5 125 25 625 125 5= = = = = r 018 ERANTZUNAK 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 213
- 214. 214 eta 2. ekuazioabetetzen dela egiaztatuko dugu: Beraz, bi ebazpen daude: eta eta Segida hau izanik: 2; 3; 4,5; 6,75; 10,125; … a) Aztertu progresio geometrikoa den. Aurkitu haren arrazoia. b) Kalkulatu gai orokorra. c) Kalkulatu progresio horren lehen 10 gaiak. a) → Bai. b) an = 2 ⋅ 1,5n−1 c) Kalkulatu progresio honen lehen 7 gaien batura: a2 = a1 ⋅ r → = 3 ⋅ r → r = → an = 3 ⋅ ( )n−1 a7 = 3 ⋅ ( )6 = 3 ⋅ 33 = 81 Amebak 5 min-tik behin ugaltzen dira, erdibiketaz. Zenbat egongo dira 10 orduren buruan? 10 orduan = 10 ⋅ 60 = 600 minutuan: 600/5 = 120 erdibiketa izango dira. Progresio geometrikoa da; a1 = 1 da, eta, r = 2. Beraz: a120 = 1 ⋅ 2120−1 = 6,646 ⋅ 1035 . Kalkulatu progresio geometriko hauen gai orokorra, batetik, eta infinitu gaien batura, bestetik. a) a1 = 5 eta r = b) a1 = 2 eta r = a) b) a Sn n = ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − = = − 2 1 10 2 1 1 10 2 9 10 20 9 1 → a Sn n = ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − = = − 5 1 2 5 1 1 2 5 1 2 10 1 → 1 10 1 2 024 023 S7 7 3 3 3 1 3 1 3 3 3 1 3 1 187 55= ⋅ − − = ⋅ ⋅ − − = ( ) ( ) , 3 333 3 3, 3 3, , 9 , …9 3022 S10 10 2 1 5 1 1 5 1 113 33 0 5 226 66= ⋅ − − = = ( , ) , , , , 3 2 4 5 3 6 75 4 5 10 125 6 75 1 5= = = = , , , , , , 021 a a5 5 1 54 1 2 4 1 16 1 4 4 1 = ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⋅ = = − ⋅ − − y ( ) 22 4 1 16 1 4 5 1 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − ⋅ = − − ( ) an n = − ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ( )4 1 2 1 an n = ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − 4 1 2 1 ( ) ( )− ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ =4 1 2 4 1 8 1 2 3 Progresioak 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 214
- 215. Kalkulatu, ahal bada,progresio hauen infinitu gaien batura. a) b) a) Ezin dugu batura kalkulatu, ez delako progresio geometrikoa. b) a2 = a1 ⋅ r → 3 = 3 ⋅ r → r = Arrazoia bata baino handiagoa da; ezin da batura kalkulatu (infinitua da). Progresio geometriko batean, S = 20 eta a1 = 5. dira. Zein da arrazoiaren balioa? Kalkulatu a1 = 3 eta r = 5 dituen progresio geometriko baten lehen 4 gaien biderketa a4 = a1 ⋅ r3 → a4 = 3 ⋅ 53 = 375 → P4 = = (1.125)2 = 1.265.625 Progresio geometriko batean, a4 = 12 eta r = 3. Kalkulatu lehen 10 gaien arteko biderketa. a4 = a1 ⋅ r3 → 12 = a1 ⋅ 33 → a1 = a10 = a1 ⋅ r9 → a10 = ⋅ 39 = 4 ⋅ 37 = 8.748 P10 = = (3.888)5 = 8,884 ⋅ 1017 Gai orokorra an = 4 ⋅ 2n−1 duen progresio geometrikoa izanik, kalkulatu P6. Aurkitu a1 = 1 eta P5 = 1.024 dituen progresio geometriko baten arrazoia. Kalkulatu 200 € urteko % 2an 10 urtez edukita lortzen den kapitala. K10 = 200 ⋅ = 200 ⋅ 1,22 = 243,80 €1 2 100 10 + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 031 1 024 1 024 220 10 . .= = =r r r→ → a5 = r 4 ⎯⎯→P a5 5 5 1 024 1= = ⋅. ( ) 030 a P6 5 6 6 4 2 128 4 128= ⋅ = = ⋅ =→ ( ) 134.217.728 029 4 9 8 748 10 ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ . 4 9 12 27 4 9 = 028 ( )3 375 4 ⋅ 027 S a r r r r r r= − = − − = − = − = =1 1 20 5 1 1 5 20 1 1 4 1 1 4 3 4 → → → → → 026 33 a a a a 2 1 3 2 2 5 2 3 = = 3, 3 3, , 9 , …9 3 2 3 4 15 8 45 , , , … 025 215 7ERANTZUNAK 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 215
- 216. 216 Kalkulatu euroaren 50zentimo urteko % 5ean mende batez edukita lortuko litzatekeen kapitala. Zenbat izango litzateke kapitala, korritua % 1 balitz? K100 = 0,50 ⋅ = 65,75 € Kalkulatu, hileko % 1eko interes konposatuan, 3 urteren buruan 3.000 € ematen dituen kapitala. 3.000 = K ⋅ → 3.000 = K ⋅ 1,43 → K = 2.097,90 € Kalkulatu, urteko % 10eko interes konposatuan jarrita, hiru urteren buruan 133,10 € ematen dituen kapitala. 133,10 = K ⋅ → 133,10 = K ⋅ 1,331 → K = 100 € ARIKETAK Idatzi segida hauen hurrengo gaiak. a) 5, 6, 7, 8, 9, … c) 7, 14, 21, 28, 35, … b) 30, 20, 10, 0, −10, … d) 1, 5, 25, 125, … Zein eraketa-irizpideri jarraitzen dio bakoitzak? a) 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... → Banaka handitzen da. b) 30, 20, 10, 0, −10, −20, −30, −40, ... → 10naka txikitzen da. c) 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, ... → 7naka handitzen da. d) 1, 5, 25, 125, 625, 3.125, 15.625, ... → 5ez biderkatuz handitzen da. 1, 8, 27, 64, … segida izanik a) Zein da seigarren gaia? b) Eta eraketa-irizpidea? a) 63 = 216 b) an = n3 1, 4, 9, 16, 25, … segidak an = n2 du gai orokortzat. Aurkitu segida hauen gai orokorrak. a) 2, 8, 18, 32, 50, … c) 4, 9, 16, 25, … b) 3, 6, 11, 18, 27, … d) 16, 25, 36, 49, … a) an = 2n2 c) an = (n + 1)2 b) an = n2 + 2 d) an = (n + 3)2 037 ●● 036 ●● 035 ● 1 10 100 3 + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 034 1 1 100 36 + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 033 1 5 100 100 + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 032 Progresioak 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 216
- 217. 217 7 2, 4, 6,8, 10, … segidak an = 2n du gai orokortzat. Zehaztu segida hauen gai orokorrak. a) −1, 1, 3, 5, 7, … c) −2, −4, −6, −8, … b) 6, 8, 10, 12, … d) 6, 12, 18, 24, 30, … a) an = 2n − 3 c) an = −2n b) an = 2n + 4 d) an = 6n Kalkulatu gai orokor bakoitzak adierazten duen segidaren lehen bost gaiak: a) an = 2n d) an = 2 + 4(n + 1) f) an = n2 + 3n − 2 b) an = (−3)n+2 e) an = 2 ⋅ g) an = c) an = 5 − 3n a) an = 2n → 2, 4, 8, 16, 32, … b) an = (−3)n+2 → (−3)3 , (−3)4 , (−3)5 , (−3)6 , (−3)7 , … = = −27, 81, −243, 729, −2.187, … c) an = 5 − 3n → 2, −1, −4, −7, −10, … d) an = 2 + 4 ⋅ (n + 1) → 10, 14, 18, 22, 26, … e) an = 2 ⋅ → f) an = n2 + 3n − 2 → 2, 8, 16, 26, 38, … g) an = → Idatzi segida hauetako bakoitzaren lehen bost gaiak. a) Lehen gaia 5 da eta gai bakoitza aurrekoari 2 gehituta lortzen da. b) Lehen gaia 2 da, eta ondorengoak lortzeko, aurreko gaia biderkatu egin behar da zenbakiaz. c) Lehen gaia 3 da; bigarrena, 4; eta ondorengoak, bi aurrekoen batura. d) Lehen gaia 8 da eta ondorengoetako bakoitza aurrekoaren erdia da. a) 5, 7, 9, 11, 13 b) c) 3, 4, 7, 11, 18 d) 8 4 2 1 1 2 , , , , 2 1 1 2 1 4 1 8 , , , , 1 2 040 ● 4 5 4 6 9 7 16 8 25 , , , , , … n n + 3 2 2 2 3 2 9 2 27 2 81 , , , , , … 1 3 1 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ −n n n + 3 2 1 3 1 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ −n 039 ● 038 ●● ERANTZUNAK 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 217
- 218. EGIN HONELA NOLA ZEHAZTENDA ZATIKIAK DITUZTEN SEGIDA BATZUEN GAI OROKORRA? Aurkitu segida honen gai orokorra. LEHENA. Zenbakitzaileen eraketa-irizpidea bilatuko dugu, eta haien gai orokorra zehaztuko. 4, 9, 16, 25, … ⎯⎯→ Lehen gaia 2ren berbidura da. Bigarrena 3ren berbidura da. Hirugarrena, 4ren berbidura… Gai orokorra ⎯⎯⎯⎯→ (n + 1)2 BIGARRENA. Izendatzaileen eraketa-irizpidea bilatuko dugu, eta haien gai orokorra zehaztuko. 1, 3, 5, 7, … ⎯⎯→ Zenbaki bakoitien segida. Gai orokorra ⎯⎯⎯⎯→ 2n − 1 HIRUGARRENA. Segidaren gai orokorra bi gai orokorren arteko segida izango da. Gai orokorra ⎯⎯⎯⎯→ ( )n n + − 1 2 1 2 4 1 9 3 16 5 25 7 , , , , … 218 Progresioak 1, 2, 3, 4, 5, … segidak an = n du gai orokortzat. 2, 4, 8, 16, … segidak an = 2n du gai orokortzat. Kalkulatu segida hauen gai orokorrak. a) c) b) d) a) b) c) d) Aurkitu segida errepikari hauetako bakoitzaren lehen 5 gaiak. a) a1 = 1, a2 = 3, an = an−2 − an−1 b) b1 = 2, b2 = 4, bn = c) c1 = −1, c2 = 0, c3 = 1, cn = cn−1 + cn−2 + cn−3 d) d1 = 2, dn = dn−1 + n a) 1, 3, −2, 5, −7 c) −1, 0, 1, 0, 1 b) d) 2, 4, 7, 11, 162 4 2 1 2 1 4 , , , , b b n n − − 1 2 043 ● an n n = −2 1 2 an n = 1 2 a n n n = + 3 a n n = 1 1 2 3 4 7 8 15 16 , , , , …4 5 2 6 3 7 4 , , , , … 1 2 1 4 1 8 1 16 , , , , …1 1 2 1 3 1 4 , , , , … 042 ●● 041 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 218
- 219. 219 7 Aurkitu segida errepikarihauen eraketa-araua. a) 3, 4, 7, 11, 18, 29, … c) 1, 2, 3, 6, 11, 20, … b) d) −5, 1, 6, 5, −1, −6, … a) a1 = 3, a2 = 4, an = an−1 + an−2 b) a1 = 1, a2 = 3, an = c) a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, an = an−1 + an−2 + an−3 d) a1 = −5, a2 = 1, an = an−1 − an−2 Kalkulatu progresio aritmetiko hauen diferentziak eta gai orokorrak. a) 10, 7, 4, 1, … c) 7, 2, −3, −8, … b) d) 16, 8, 0, −8, … a) d = 7 − 10 = −3 → an = 10 − 3 ⋅ (n − 1) = 13 − 3n b) d = c) d = 2 − 7 = −5 → an = 7 − 5 ⋅ (n − 1) = 12 − 5n d) d = 8 − 16 = −8 → an = 16 − 8 ⋅ (n − 1) = 24 − 8n Progresio aritmetiko hauen datuekin: a) a1 = 13 eta a2 = 5, kalkulatu d, a8 eta an. b) b1 = 4,5 eta b2 = 6, kalkulatu d, b10 eta bn. c) c2 = 13 eta d = −5, kalkulatu c1, c8 eta cn. d) h1 = 8 eta h3 = 3, kalkulatu d, h10 eta hn. a) 5 = 13 + (2 − 1) ⋅ d → d = −8 → a8 = 13 + (8 − 1) ⋅ (−8) = −43 an = 13 + (n − 1) ⋅ (−8) b) 6 = 4,5 + (2 − 1) ⋅ d → d = 1,5 → b10 = 4,5 + (10 − 1) ⋅ 1,5 = 18 bn = 4,5 + (n − 1) ⋅ 1,5 c) 13 = c1 + (2 − 1) ⋅ (−5) → c1 = 18 → c8 = 18 + (8 − 1) ⋅ (−5) = −17 cn = 18 + (n − 1) ⋅ (−5) d) 3 = 8 + (3 − 1) ⋅ d → d = −2,5 → h10 = 8 + (10 − 1) ⋅ (−2,5) = −14,5 hn = 8 + (n − 1) ⋅ (−2,5) Egizu kontu 2, 4, 6, 8, 10, ... segida dugula a) Progresio aritmetikoa al da? c) Kalkulatu 30. gaia. b) Aurkitu gai orokorra. a) Bai, progresio aritmetikoa da; d = 4 − 2 = 6 − 4 = 8 − 6 = 10 − 8 = 2. b) an = 2 + (n − 1) ⋅ 2 = 2n c) a30 = 2 ⋅ 30 = 60 047 ● 046 ● 2 2 2 2 2 2 1 2− = = + ⋅ − =→ a n nn ( ) 2 2 2 3 2 4 2, , , , … 045 ● a a n n − − 1 2 1 3 3 1 1 3 1 3 1, , , , , , , … 044 ●● ERANTZUNAK 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 219
- 220. 220 segida izanik: a) Egiaztatuprogresio aritmetikoa den. b) Aurkitu gai orokorra. a) b) Progresio aritmetiko baten gaiak kalkulagailuaz lor daitezkeela jakinik, batugai konstante honen bidez: d a1 … aurkitu progresio aritmetiko hauetako bakoitzaren lehen 10 gaiak. a) a1 = 8; d = 5 c) c1 = −10; d = 3 b) b1 = 3; d = −5 d) h1 = −12; d = −8 a) 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53 b) 3, −2, −7, −12, −17, −22, −27, −32, −37, −42 c) −10, −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, 14, 17 d) −12, −20, −28, −36, −44, −52, −60, −68, −76, −84 Progresio aritmetiko batean, a10 = 32 eta d = 5 dira. Aurkitu a25 gaiaren balioa. a25 = a10 + (25 − 10) ⋅ d → a25 = 32 + 15 ⋅ 5 = 32 + 75 = 107 Beste batean, dira. a) Aurkitu a1 eta d. b) Zehaztu gai orokorra. a) b) Progresio aritmetiko batean, a8 = 12 eta a12 = 32 dira. Kalkulatu diferentzia eta gai orokorra. a n nn = − + ⋅ − = − +23 5 1 28 5( ) a a d1 8 7 12 35 23= − ⋅ = − = − a a d d a a 12 8 12 8 4 4 32 12 4 5= + = − = − =→ 052 ●● a nn = − + − ⋅ 1 6 1 1 3 ( ) d a a a a= − = − = = − ⋅ = − ⋅ = −4 3 1 3 5 6 1 2 1 3 2 1 3 1 2 2 1 3 1 6 → a a3 4 1 2 5 6 = =eta051 ●● 050 ● =====++ 049 ● a n n n n = + − ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − − = −5 3 1 1 3 5 1 3 6 3 ( ) ( ) 4 3 5 3 1 4 3 2 3 1 1 3 2 3 1 3 − = − = − = − = − = d 5 3 4 3 1 2 3 0, , , , , …048 ● Progresioak 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 220
- 221. 221 7 Progresio aritmetiko batean,a1 = 7 eta d = 6 dira. Aurkitu 79 balioa duen gaia zer posiziotan dagoen. a1 = 7, d = 6 → an = 7 + (n − 1) ⋅ 6 → 79 = 7 + 6 ⋅ (n − 1) → → 72 = 6 ⋅ (n − 1) → 12 = n − 1 → n = 13 Aurkitu progresio aritmetiko hauen gai orokorra. a) 1,73; 1,77; 1,81; 1,85, … c) b) 5, 2, −1, −4, −7, … d) a) a1 = 1,73; d = 0,04 → an = 1,73 + (n − 1) ⋅ 0,04 = 1,69 + 0,04n b) a1 = 5, d = −3 → an = 5 − 3 ⋅ (n − 1) = 8 − 3n c) a1 = , d = → an = + ⋅ (n − 1) = n d) a1 = , d = → an = + ⋅ (n − 1) = Aurkitu a4 = 13 eta a2 + a11 = 41 betetzen duen progresio aritmetikoaren gai orokorra. a4 = a2 + 2d = 13 → a2 = 13 − 2d Ordezkatu egingo dugu, d kalkulatzeko: a2 + a11 = 41 → a2 + a2 + (11 − 2) ⋅ d = 41 → 2a2 + 9d = 41 → → 2 ⋅ (13 − 2d) + 9d = 41 → 26 − 4d + 9d = 41 → → 5d = 41 − 26 = 15 → d = 3 Eta ordezkatuz: a2 = 13 − 2d → a2 = 13 − 2 ⋅ 3 = 13 − 6 = 7 a2 = a1 + d denez → 7 = a1 + 3 → a1 = 4. Gai orokorra hau da: an = 4 + (n − 1) ⋅ 3 = 1 + 3n. Zortzi gai dituen progresio aritmetiko batean, lehena eta azkena batuta emaitza 21 da. Hirugarren gaia 6 da. Idatzi progresioa. · → a1 = 6 − 2d a1 + a8 = 21 → a1 + a1 + (8 − 1) ⋅ d = 21 → → 2a1 + 7d = 21 → 2 ⋅ (6 − 2d) + 7d = 21 → → 12 − 4d + 7d = 21 → 3d = 21 − 12 → 3d = 9 → d = 3 Eta bakanduz: a1 = 6 − 2d = 6 − 2 ⋅ 3 = 0. Beraz, an = (n − 1) ⋅ 3 = 3n − 3 → 0, 3, 6, 9, ... a1 + a8 = 21 a3 = a1 + 2d = 6 056 ●●● 055 ●●● − + 1 2 a n a 2 a 1 a 2 a 1 a 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 5 7 a a a a , , , , … 1 2 1 3 2 2, , , , … 054 ●● 053 ●●● ERANTZUNAK 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 221
- 222. Interpolatu 1 eta3 arteko 6 gai, progresio aritmetikoa osa dezaten. a1 = 1, a8 = 3, d = (3 − 1) : (8 − 1) = Hona hemen 6 gaiak: . Interpolatu 5 gai, beheko muga eta goikoa izanik, progresio aritmetikoa osa dezaten. a1 = , a7 = , Hona hemen 5 gaiak: . Segida hauek progresio aritmetikoak direla jakinik, osatu progresioan falta diren gaiak. a) , , , , , c) , , , , , b) ; 1,5; ; 2,5; d) , , , , , a) d = − − = 5 6 1 2 4 2 1 6 1 3 1 2 2 3 5 6 1 7 6 → , , , , , 8 3 5 3 1 2 1 4 5 6 1 2 060 ●●● 29 84 41 42 135 84 47 21 241 84 , , , , d = + − = 7 2 2 7 7 1 53 84 7 2 − 7 2 7 2 − 7 2 059 ●● 9 7 11 7 13 7 15 7 17 7 19 7 , , , , , 2 7 058 ●● 057 EGIN HONELA NOLA INTERPOLATZEN DIRA PROGRESIO ARITMETIKO BAT OSATUKO DUTEN GAIAK? Interpolatu 1 eta 9 arteko hiru gai, progresio aritmetikoa osa dezaten. LEHENA. a1 eta d kalkulatuko ditugu. Sortu nahi den progresioa honelakoa izango da: 1, a2, a3, a4, 9. Hortaz: a1 = 1 eta a5 = 9. Progresioak aritmetikoa izan behar duenez: an = a1 + (n − 1)d 9 = 1 + (5 − 1)d 9 = 1 + 4d → d = = 2 BIGARRENA. Tarteko gaiak kalkulatuko ditugu. a2 = 1 + (2 − 1) ⋅ 2 = 3 a3 = 1 + (3 − 1) ⋅ 2 = 5 a4 = 1 + (4 − 1) ⋅ 2 = 7 Interpolatu beharreko hiru gaiak 3, 5 eta 7 izango dira. 8 4 n = 5 ⎯⎯→ 222 Progresioak 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 222
- 223. 223 7 b) d =(2,5 − 1,5) : (4 − 2) = 0,5 → 1; 1,5; 2; 2,5; 3 c) d) Izan dadila an = 4n + 1 progresio aritmetiko baten gai orokorra. Kalkulatu a25 eta lehen 20 gaien batura. a25 = 4 ⋅ 25 + 1 = 101 → a1 = 4 ⋅ 1 + 1 = 5 S20 = ⋅ 20 = ⋅ 20 = 860 Progresio aritmetiko batean, a8 = 40 eta d = 7 dira. Aurkitu lehen gaia eta lehen 10 gaien batura. a8 = a1 + 7 ⋅ d → 40 = a1 + 7 ⋅ 7 → a1 = −9 a10 = a1 + 9d → a10 = −9 + 9 ⋅ 7 = 54 S10 = ⋅ 10 → S10 = ⋅ 10 = 225 Kalkulatu progresio aritmetiko baten lehen 10 gaien batura, baldin eta hirugarren gaia 24 bada, eta hamargarrena, berriz, 66. a3 = 24, a10 = a3 + 7d → 66 = 24 + 7d → 42 = 7d → d = 6 a3 = a1 + 2d → 24 = a1 + 2 ⋅ 6 → a1 = 12 S10 = ⋅ n = ⋅ 10 = 390 Kalkulatu lehen 100 zenbaki bikoitien arteko batura. a1 = 2 → an = a1 + (n − 1) ⋅ d → an = 2 + 2 ⋅ (n − 1) = 2n → → a100 = 2 + 2 ⋅ 99 = 200 S100 = ⋅ n = ⋅ 100 = 10.100 Kalkulatu 200 eta 301 artean dauden 3ren multiploen arteko batura. a1 = 201, an = 300 → an = a1 + (n − 1) ⋅ d → 300 = 201 + (n − 1) ⋅ 3 → → = n − 1 → n − 1 = 33 → n = 34 S34 = ⋅ n = ⋅ 34 = 8.517 201 300 2 +a a1 34 2 + 300 201 3 − 065 ●● 2 200 2 +a a1 100 2 + 064 ● 12 66 2 +a a1 10 2 + 063 ● − +9 54 2 a a1 10 2 + 062 ● 5 81 2 +a a1 20 2 + 061 ● d = − − = 8 3 5 3 6 4 1 2 1 6 2 3 7 6 5 3 13 6 8 3 → , , , , , d = − − = 1 2 1 4 5 2 1 12 1 6 1 4 1 3 5 12 1 2 7 12 → , , , , , ERANTZUNAK 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 223
- 224. 224 Kalkulatu a1 =7 eta a4 = 40 dituen progresio aritmetikoaren lehen 15 gaien arteko batura. a4 = a1 + 3d → 40 = 7 + 3d → d = 11 a15 = a1 + 14d → a15 = 7 + 14 ⋅ 11 = 161 S15 = ⋅ n → S15 = ⋅ 15 = 1.260 Kalkulatu lehen n zenbaki arrunten arteko batura. an = n → Sn = ⋅ n = ⋅ n = 1etik hasita, bata bestearen segidako zenbat zenbaki bakoitiren batura da 2.916? Zenbaki bakoitiek osatutako segidaren gai orokorra hau da: an = 2n − 1. Sn = ⋅ n → 2.916 = ⋅ n → 2.916 = n2 → n = 54 Beraz, lehen 54 zenbaki bakoitiak dira. Kalkulatu diferentzia 4 duen progresio aritmetiko baten batura eta azken gaia, jakinik 12 gai dituela eta lehenengoaren balioa 7 dela. a12 = 7 + (12 − 1) ⋅ 4 = 51, S12 7 51 12 2 348= + ⋅ = ( ) 069 ●● 1 2 1 2 + −na an1 2 + 1 + 3 + 5 + 7+ 9+11+13+15+ 17+19+21+23+ 25+27+29+ 31 + 33 + 35 + 37+39+4 1+43+45+ 47+49 + 51 + 5 3…= 2.916 068 ●●● n n2 2 +1 2 + na an1 2 + 067 ●●● 7 161 2 +a a1 15 2 + 066 ● Progresioak 908272 _ 0208-0241.qxd 27/9/07 17:58 Página 224
- 225. 225 7 Kalkulatu progresio aritmetikomugatu baten gaien batura, jakinik lehen gaia 4 dela; azkena, 40; eta diferentzia, berriz, 3. 40 = 4 + (n − 1) ⋅ 3 → n = 13, Progresio aritmetiko batean, lehen 5 gaien batura 2,5 da. Lehen 8 gaien batura, berriz, 5,2 da. Idatzi progresioa. S5 = ⋅ n = 2,5 → (a1 + a5) ⋅ 5 = 5 S8 = ⋅ n = 5,2 → (a1 + a8) ⋅ 8 = 10,4 ·→ a8 − a5 = 3d = 0,3 → d = 0,1 1. ekuazioan ordezkatuz: a1 + a5 = 1 → 2a1 + 4d = 1 → 2a1 + 0,4 = 1 → 2a1 = 0,6 → a1 = 0,3 Progresioa hau da: 0,3; 0,4; 0,5; 0,6, … Kalkulatu progresio hauen diferentziak edo arrazoiak, eta aurkitu bakoitzaren gai orokorra. a) 3, 6, 12, 24, … c) 1, 1, 1, 1, … e) 16, 8, 0, −8, … b) 10, 7, 4, 1, … d) 16, 8, 4, 2, 1, … f) 3, 9, 15, 21, … a) r = 6 : 3 = 2; an = 3 ⋅ 2n−1 b) d = 7 − 10 = −3; an = 10 + (n − 1) ⋅ (−3) c) r = 1; an = 1 d) r = ; an = 16 ⋅ e) d = 8 − 16 = −8; an = 16 + (n − 1) ⋅ (−8) = (n − 3) ⋅ (−8) f) d = 9 − 3 = 6; an = 3 + (n − 1) ⋅ 3 = 3n Progresio geometriko batean, a1 = 4 eta a2 = 3 dira. Aurkitu gai orokorra eta a20. 3 = 4r → r = → an = 4 ⋅ a20 = 4 ⋅ Progresio geometriko batean, a1 = 6 eta a3 = 30 dira. Aurkitu a4 eta gai orokorra. a3 = a1 ⋅ r2 → 30 = 6r2 → r = ± Bi ebazpen daude: an = 6 ⋅ (± )n−1 → a4 = 6 ⋅ (± )3 = ±30 555 5 074 ● 3 4 19 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 3 4 1 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ −n 3 4 073 ● 1 2 1 2 1 5 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − −n n 8 16 1 2 0 5= = , 072 ● a1 + a5 = 1 a1 + a8 = 1,3 a a1 8 2 + a a1 5 2 + 071 ●●● S13 4 40 13 2 286= + ⋅ = ( ) 070 ●●● ERANTZUNAK ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪ 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 225
- 226. 226 Kalkulatu. a) a1 =3 eta r = 5 dituen progresio geometrikoaren gai orokorra b) 7. gaia. a) an = 3 ⋅ 5n−1 b) a7 = 3 ⋅ 56 = 46.875 Segida hau izanik a) Egiaztatu progresio geometrikoa dela. b) Kalkulatu 10. gaia. a) b) Kalkulatu progresio geometriko hauetako hutsuneetan falta diren gaiak. a) 1; 0,1; ; 0,001; b) , , , , , c) , , , , d) , , , , a) 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 b) c) d) 3, 6, 12, 24, ... progresioaren gai orokorra hau da: a) an = 3 + (n − 1) ⋅ 3 b) an = 3 ⋅ 3n−1 c) an = 3 ⋅ 2n−1 d) Ezin da kalkulatu. c) an = 3 ⋅ 2n−1 078 ● 1 4 3 2 9 2 2 27 2 4 81 43 3 3 , , , , ⋅ ⋅ 2 3 1 3 1 6 1 12 1 24 , , , , 3 2 1 2 1 6 1 18 1 54 1 162 , , , , , 81 4 3 2 1 12 1 3 1 54 1 6 1 2 077 ●● a10 9 10 2 3 1 3 2 3 2 59 049 = ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = = . 2 9 2 3 2 27 2 9 2 81 2 27 1 3 : : := = = = r 2 3 2 9 2 27 2 81 , , , , …076 ● 075 ● Progresioak 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 226
- 227. 227 7 Gai guztiak positiboakdituen progresio geometriko batean, a2 = 60 eta a4 = 2.400. Kalkulatu: a) Lehen 5 gaiak. b) Gai orokorra. c) Lehen 10 gaiak. a) b) c) Progresio geometriko batean, a2 = 10 eta a5 = 10.000 dira. Kalkulatu r eta progresioaren lehen 10 gaiak. Zein da gai orokorra? 10.000 = 10 ⋅ r3 → r = 10, an = 10n−1 Lehen 10 gaiak: 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000, 10.000.000, 100.000.000, 1.000.000.000. Progresio geometriko batean, gai jakin baten balioa 3.720.087 da. Lehen gaia 7 bada, eta arrazoia 3, zenbatgarren gaiaz ari gara? 3.720.087 = 7 ⋅ 3n−1 → 3n−1 = 531.441 → n − 1 = 12 → n = 13 Progresio geometriko batean, bata bestearen segidako bi gairen balioak 3 eta 4 dira. Aurkitu gai horien posizioa, a1 = . an = ⋅ rn−1 = 3 an+1 = ⋅ rn = 4 Eta 1. ekuazioan ordezkatuz: → (: 3) → n − 1 = 2 → n = 3 3. eta 4. gaiak dira. Progresio geometriko batean, lehen gaia 5 da eta arrazoia, berriz, 3. Kalkulatu lehen 8 gaien batura. a1 = 5, r = 3 S a r r Sn n = ⋅ − − = ⋅ − − =1 8 8 1 1 5 3 1 3 1 16 400 ( ) ( ) .→ 083 ● 3 27 16 4 3 48 27 16 9 4 3 1 = ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟ −n → ⎟⎟⎟⎟ −n 1 27 16 27 16 082 ●●● 081 ●● 080 ● 3 10 60 120 10 2 400 2 800 10 96 000 192 000 10 , , , . , . , . , . ,, . . , . . , . .3 840 000 7 680 000 10 153 600 000 an n = ⋅ − 3 10 2 10 1 ( ) 3 10 60 120 10 2 400 2 800 10, , , . , . 2 400 60 40 2 102 . ·= → = =r r 079 ● Zatiketa eginda: = r. 4 3 ERANTZUNAK ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪ F 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 227
- 228. Progresio geometriko batean,bigarren gaia 2 da, eta laugarrena, berriz, . Kalkulatu lehen 6 gaien arteko batura. a2 = 2, a4 = → a4 = a2 ⋅ r2 → = 2 ⋅ r2 → r = ± a2 = a1 ⋅ r → 2 = a1 ⋅ → a1 = ±4 085 S6 6 4 1 2 1 1 2 1 = ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟⎟ = = − ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 63 8 4 1 2 1 6 6 o S ( ) ⎥⎥ − − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − 1 2 1 21 8 ± ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 1 2 1 4 1 2 = ± 1 2 1 2 1 2 084 ● EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA PROGRESIO GEOMETRIKO BATEN INFINITU GAIEN BATURA? Kalkulatu progresio geometriko hauen infinitu gaien batura. a) a1 = 3 eta r = 2 c) c1 =−2 eta r = b) b1 =−1 eta r = 2 d) d1 = eta r =−2 LEHENA. Progresioaren arrazoia kalkulatuko dugu. BIGARRENA. Aukerak aztertuko ditugu. • r > 1 bada, batura beti da +ϱ edo −ϱ. a) r = 2 > 1. Honelakoa da segida: 3, 6, 12, 24, 48, … Gai guztien batura +ϱ da. b) r = 2 > 1. Honelakoa da segida: −1, −2, −4, −8, −16, −32, −64, … Gai guztien batura −ϱ da. • −1 < r < 1 bada, S = formula aplikatzen da. c) −1 < r = < 1. Formula aplikatuta: S = • r < −1 bada, ezin da kalkulatu. d) r = −2 < −1. Honelakoa da segida: , −1, 2, −4, 8, −16, 32, … Ezin da infinitu gaien batura kalkulatu. 1 2 c r 1 1 2 1 1 3 2 2 3 3 − = − − = − = − 1 3 a r 1 1 − 1 2 1 3 228 Progresioak 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 228
- 229. 229 7 a1 = 2eta r = 0,1 dituen progresio geometrikoa izanik, kalkulatu. a) Lehen 6 gaien arteko batura. b) Infinitu gaien arteko batura. a) b) 2,2 Progresio geometriko batean, a1 = −1 eta r = 7. Kalkulatu. a) Lehen 10 gaien arteko batura. b) Infinitu gaien arteko batura. a) b) Arrazoia 1 baino handiagoa duen progresio geometrikoaren infinitu gaien batura infinitua da. Aurkitu progresio honen infinitu gaien arteko batura: 16, 12, 9, , … a2 = a1 ⋅ r → 12 = 16 ⋅ r → r = S = → S = = 64 Beheko segidak izanik, kalkulatu, ahal den kasuetan, bakoitzaren infinitu gaien arteko batura. a) r S= = − = 1 2 10 1 1 2 20→ 089 ●● 16 1 3 4− / a r 1 1 − 12 16 3 4 = 27 4 088 ● S10 10 1 7 1 7 1 282 475 248 6 47 079 208= − ⋅ − − = = ( ) . . . . 087 ● S = − = = 2 1 0 1 2 0 9, , S6 6 2 0 1 1 0 1 1 1 999998 0 9 2 22222= ⋅ − − = − − = ( , ) , , , , 086 ● ERANTZUNAK 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 229
- 230. 230 b) Ezin da,3 > 1 delako. c) d) Ezin da. e) Ezin da, segida aritmetikoa da, ez geometrikoa. f) Ezin da, segida aritmetikoa da, ez geometrikoa. g) r = 1; beraz, ezin da. h) Progresio geometriko baten infinitu gaien arteko batura da, eta arrazoia, berriz, . Kalkulatu segidaren lehen 4 gaiak. S = → 15 = 5a1 → a1 = 3 a2 = a1 ⋅ r = 3 ⋅ Progresio geometriko baten 6. gaiaren balioa 18 da, eta laugarrenarena, berriz, 6. a) Kalkulatu gai orokorra. b) Kalkulatu lehen 10 gaien arteko biderkadura. a) a6 = a4 ⋅ r2 → 18 = 6 ⋅ r2 → r = ± r = + bada→ a4 = a1 ⋅ r3 → 6 = a1 ⋅ ( )3 → a1 = an = r = − bada → 6 = a1 ⋅ (− )3 → a1 = an = b) a10 = = 2 ⋅ 34 = 162 P10 = = (±187,06)5 = ±2,29 ⋅ 1011 ( )a a1 10 10 5 2 3 3 162⋅ = ± ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟⎟ 2 3 3 2 3 310 5 ⋅ ± = ⋅( ) − ⋅ − −2 3 3 3 1 ( )n 6 3 3 2 3 3− = − 33 2 3 3 3 2 3 31 ⋅ = ⋅− ( ) ( )n n 6 3 3 2 3 3 =33 3 091 ●● 1 5 3 5 3 25 3 125 3 4= = =, ,a a a r a a1 1 1 1 15 4 1 1 5 15 4 5 4− = − =→ → 1 5 15 4 090 ●●● r S= = − = 1 10 10 1 1 10 100 9 → r = − < − 3 2 1 → r S= − = − − − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − 1 3 1 1 1 3 3 4 → r = = 3 2 1 2 3 → Progresioak 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 230
- 231. 231 7 Progresio geometriko batenzortzigarren gaia 1.458 da, eta arrazoia 3. a) Kalkulatu gai orokorra. b) Kalkulatu progresioaren lehen 8 gaien arteko biderkadura. a) a8 = a1 ⋅ r 7 → 1.458 = a1 ⋅ 37 → a1 = (: 729) b) P8 = = 9724 = 8,926 ⋅ 1011 Progresio geometriko baten bosgarren gaia 160 da, eta bigarrena, berriz, 20. a) Kalkulatu zazpigarren gaia. b) Kalkulatu progresio horren lehen 7 gaien arteko biderkadura. a) a5 = a2 ⋅ r 3 → 160 = 20 ⋅ r 3 → r = = 2 a2 = a1 ⋅ r ⎯→ 20 = a1 ⋅ 2 → a1 = 10 a7 = a1 ⋅ r 6 → a7 = 10 ⋅ 26 = 640 b) P7 = = 807 = 2,097 ⋅ 1013 Kiroldegi batean, asteburuko erabiltzaile kopurua 150 zen hasieran; eta orduz geroztik, aste bukaera oro 30 erabiltzaile gehiago dago. a) Zenbat erabiltzaile izan zituzten 12. astean? b) Eta lehen 10 asteetan? Progresio aritmetikoa da; d = 30 da. a) a12 = 150 + 11 ⋅ 30 = 480 erabiltzaile b) erabiltzaile Teresak zaldi bat erosi du eta ferratu egin nahi du. Horretarako, 20 iltze jarri behar dizkiote. Lehen iltzeak euroaren 1 zentimo balio du, eta ondorengo bakoitzak aurrekoak baino zentimo bat gehiago. Guztira, zenbat ordaindu du zaldia ferratzea? Progresio aritmetikoa da. a1 = 1 da eta d = 1. a20 = 1 + 19 ⋅ 1 = 20 zentimo S20 = ⋅ 20 = = 210 zentimo = 2,10 € a a1 20 2 20 1 20 2 + ⋅ = + 095 ●● S10 150 420 10 2 2 850= + ⋅ = ( ) . 094 ●● ( ) ( )a a1 7 7 7 10 640⋅ = ⋅ 83 093 ●● ( ) .a a P1 8 8 8 8 2 3 1 458⋅ = ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ → 1 458 2 187 2 3 2 3 3 1. . = = ⋅ − → an n 092 ●● ERANTZUNAK F 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 231
- 232. 232 Zenbait ordainduko lukeTeresak, lehen iltzearen prezioa berdina izanik, ondorengoetako bakoitzaren prezioa aurrekoaren bikoitza balitz? Progresio geometrikoa da; arrazoia r = 2 da eta a1 = 1. S20 = → S20 = = 1.048.575 zentimo = 10.485,75 € Aparkaleku batean 0,25 € kobratzen dute lehenengo ordua. Ondorengo ordu bakoitzak, berriz, aurreko ordua kobratu dutenaren bikoitza balio du. Zenbat ordainduko dugu 8 orduz aparkatzea? Progresio geometriko baten lehen 8 gaien progresio geometrikoa da; r = 2 da eta a1 = 0,25 → € Hazkunde bizkorreko zuhaitz baten altuera 1,2 aldiz handiagoa da urtero. Urte hasieran altuera 0,75 cm bazen, zenbateko altuera izango du 10 urtean? Zenbat luzatuko da 10 urte horietan? Progresio geometrikoa da; r = 1,2 da eta a1 = 0,75. a10 = 0,75 ⋅ 1,29 = 3,87 m-ko altuera izango du 10 urtean; beraz luzatuko dena: 3,87 − 0,75 = 3,12 m. Pilota bat metro bateko altueratik erortzen utzi dugu, eta egiten duen errebote bakoitzean aurreko errebotearen altuera erdira iristen da. Zer altuerara iritsiko da bosgarren errebotean? Progresio geometrikoa da; r = 0,5 da eta a1 = 1. Bosgarren errebotea progresioaren 6. gaia da: a6 = 1 ⋅ 0,55 = 0,03125 m. Baloi bat korridore batean bota dugu, erreboteak eginez, irudian ageri den moduan. Zazpigarren errebotean pareta jo eta gelditzen bada, zer distantzia izango du egina? Progresio geometrikoa da; r = da eta a1 = 1. Lehen 7 gaien batura: m.S7 8 1 2 3 1 2 3 1 2= ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ − = ,8883 2 3 100 ●● 099 ●● 098 ●● S8 8 0 25 2 1 2 1 63 75= ⋅ − − = , ( ) , 097 ●● 1 2 1 2 1 20 ⋅ − − ( )a r r 1 20 1 1 ⋅ − − ( ) 096 ●● Progresioak 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 232
- 233. 233 7 Kalkulatu putzu batensakonera, lehen metroa hondeatzea 20 € ordaindu bada, eta gainerakoetan metro bakoitza aurrekoa baino 5 € gehiago bada. Kostu osoa 1.350 €-koa izan da. Progresio aritmetikoa da; d = 5 da eta a1 = 20. n-ren ebazpen negatiboa ez dugu aintzat hartuko, luzera-neurri negatiboak ez baitu zentzurik. Igel bat 7 m-ko erradioa duen urmael zirkular baten ertzean dago eta erdiraino iritsi nahi du, jauzika. Lehen jauzia 3 metrokoa egin du; ondoren, jauzi bakoitzean aurrekoaren erdia aurreratu du. Lortuko al du erdiraino iristea? Progresio geometrikoa da; r = 0,5 da eta a1 = 3. Egingo duen gehieneko distantzia gaien batura infinitua da. ; beraz, ez da urmaelaren erdiraino iritsiko. Bere bizitzako lehen lau hilabeteetan, haurtxo batek % 20 irabazi du hilean. Jaiotzean 2.900 g-ko pisua bazuen, zenbateko pisua izango du laugarren hilabetearen amaieran? Progresio geometrikoa da; r = 1,2 da eta a1 = 2.900. a4 = a1 ⋅ r3 → a4 = 2.900 ⋅ (1,2)3 = 5.011,2 gramo Eskailera baten maila guztiak berdinak dira, lehen maila izan ezik: 20 cm da. Ehun eskailera-maila igotzean, 1.505 cm-ko altuera igotzen da. Zenbat da maila bakoitzaren altuera? h = 99 eskailera-mailetako bakoitzaren altuera 1.505 − 20 = 99 ⋅ h → h = = 15 cm Kontuan har daiteke 99 eskailera-mailek progresio aritmetikoa osatzen dutela, d = 0 izanik. 1 485 99 . 104 ●● 103 ●● S = − = 3 1 0 5 6 , m 102 ●● 1 350 1 2 20 20 1 51 1 . ( ( ) ) ( ( ) ) = = + + − ⋅ ⋅ = + + − ⋅ S a a n d n n n ⋅⋅ = = + + − = = n n n n n n 2 5 35 2 5 35 2 700 0 20 2 2 → →. m 101 ●● ERANTZUNAK 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 233
- 234. 234 Biologo batek euli-populazio batenbilakaera ikertzen dihardu. a) Hasierako euli kopurua 50 bada, eta 10 egunetik behin euli-populazioa laukoiztu egiten bada, kalkulatu hamar egunez behingo euli kopuruak osatzen duen progresioaren gai orokorra. b) Zenbat euli izango ditugu 50 egunen buruan? c) Euli-janaren prezioa, lehen egunean, 1 €-koa bada, eta eguneko 2 zentimo igotzen bada, aurkitu zein den progresioaren gai orokorra. d) Zehaztu euli-janak 20. egunean izango duen prezioa. e) Kalkulatu euli-janaren kostua lehen 40 egunetan. a) Progresio geometrikoa da; r = 4 da eta a1 = 50. Beraz, an = 50 ⋅ 4n−1 da. b) a5 = 50 ⋅ 44 = 12.800 euli c) Progresio aritmetikoa da; d = 0,02 da eta a1 =1; an = 1 + (n − 1) ⋅ 0,02. d) a20 =1 + (20 − 1) ⋅ 0,02 = 1,38 € e) € Abenduaren 31n, 5.000 € sartu ditugu banku baten gordailuan, urteko % 4an. Dirua 6 urte pasa arte ateratzen ez badugu, zer kapital izango dugu urte bakoitzaren amaieran? Lehen urtea: € Bigarrena: € Hirugarrena: € Laugarrena: € Bosgarrena: € Seigarrena: €C6 6 5 000 1 4 100 6 326 60= ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ =. . , C5 5 5 000 1 4 100 6 083 26= ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ =. . , C4 4 5 000 1 4 100 5 849 29= ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ =. . , C3 3 5 000 1 4 100 5 624 32= ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ =. . , C2 2 5 000 1 4 100 5 408= ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ =. . C1 5 000 1 4 100 5 200= ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ =. . 106 ●● S40 1 1 78 40 2 55 60= + ⋅ = ( , ) , 105 ●●● Progresioak 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 234
- 235. Kalkulatu % 5ekointeres konposatuan inbertituta 4 urteren buruan 1.500 €-ko azken kapitala ematen duen kapitala. € Interes konposatu pean egonik, bi urteren buruan 5.000 €-ko kapitala 6.000 €-koa bihurtu bada, zenbateko interesean egon da inbertituta hasierako kapitala? Interesa % 9,5koa da. 109 → → r 100 0 095= , 6 000 5 000 1 100 6 5 1 100 1 2 . .= ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = + r r r → → 000 6 5 1= − → 108 ●● 1 500 1 5 100 1 500 1 5 100 4 . . = ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = + ⎛ ⎝ ⎜ K K→ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ =4 1 234 05. , 107 ●● EGIN HONELA NOLA EBAZTEN DIRA KAPITALA HANDITU ETA INTERES KONPOSATUA DUTEN PROBLEMAK? Familia batek aurrezki-plan bat egin du 4 urtez, urte bakoitzaren hasieran 3.000 € inbertituta, urteko %5eko interes konposatuan. Zenbat diru izango du plana amaitzean? LEHENA. Ekarpen bakoitzaren interesa kalkulatzea. – Lehen urtean 3.000 € sartu dituzte, eta 4 urtez bankuan egonda, diru kopuru hau lortu dute: 3.000 ⋅ 1,054 € – Bigarren urtean 3.000 € sartu dituzte, eta 3 urtez bankuan egonda, diru ko- puru hau lortu dute: 3.000 ⋅ 1,053 € – Hirugarren urtean 3.000 € sartu dituzte, eta 2 urtez bankuan egonda, diru ko- puru hau lortu dute: 3.000 ⋅ 1,052 € – Laugarren urtean 3.000 € sartu dituzte, eta urte batez bankuan egonda, hau lor- tu dute: 3.000 ⋅ 1,05 € BIGARRENA. Lortutako kopuruen batura egitea. 3.000 ⋅ 1,05 + 3.000 ⋅ 1,052 + 3.000 ⋅ 1,053 + 3.000 ⋅ 1,054 Hala, progresio geometriko baten gaien batura lortzen da, non: a1 = 3.000 ⋅ 1,05 a4 = 3.000 ⋅ 1,054 r = 1,05 S = 13.576,90 € a r a r 4 1 5 1 3 000 3 000 1 ⋅ − − = ⋅ − ⋅ − = . .1,05 1,05 1,05 235 7ERANTZUNAK 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 235
- 236. 236 Arroxalik 1.000 €-kohaborokina jasotzen du hiruhileko bakoitzaren hasieran. Dirua banketxe bateko gordailuan sartzen badu, urteko %4ko interes konposatuan, zenbat diru izango du urtebeteren buruan? Haborokina hiruhilekoaren hasieran jasotzen badu, lehen hiruhilekoari dagokiona 1.000 ⋅ 1,04 da, bigarrenari dagokiona , hirugarrena eta laugarrena . Progresio geometriko baten gaien batura kalkulatu behar da a1 = eta r = izanik. € Azterketa batean, galderak zailtasun-maila kontuan hartuta zeuden ordenatuta. Lehenak 2 puntu balio zituen, eta gainerakoek, aurrekoak baino 3 puntu gehiago. Guztira 40 puntu badira, zenbat galdera zituen azterketak? Progresio aritmetikoa da; d = 3 da eta a1 = 2. n-ren ebazpen negatiboa ez dugu aintzat hartuko, luzera-neurri negatiboak ez baitu zentzurik. Izan al daiteke 0 progresio geometriko baten lehen zenbakia? Eta progresio aritmetiko batena? Progresio geometriko baten lehen gaia 0 bada, gai guztiak 0 izango dira; izan ere, gainerako gaiak kalkulatzeko, lehena arrazoia ber berretzaile jakin batez biderkatu behar da. Bestalde, ez dago inolako eragozpenik progresio aritmetiko baten lehen gaia 0 izateko. 112 ●● 40 1 1 2 2 2 1 3 2 1 1 = = + + − ⋅ ⋅ = + + − ⋅ ⋅ = = S a a n n n n n ( ( ) ) ( ( ) ) 33 2 3 80 0 5 2 2n n n n n + + − = =→ → galdera 111 ●●● S4 5 4 1 4 1 4 1 000 1 000 1 = ⋅ − ⋅ − = . .1,04 1,04 1,04 1.050,225 1.009,85 0,0099 4.080,21 − = 1,04 1 41.000 · 1,04 1 4 1.000 · 1,04 1 41.000 · 1,04 2 41.000 · 1,04 3 4 110 ●●● Progresioak 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 236
- 237. 237 7 Har ditzagun a10 eta r 0 dituen progresio geometrikoa, eta a1 = 0 duen progresio aritmetikoa. Bi progresio horiek gaika batuta 1, 1, 2, … segida lortzen dugu. Zenbat da lehen 10 gaien batura? Segida geometrikoa an da eta aritmetikoa, bn (b1 = 0 dela). Batura hau da: an + bn. a1 + b1 = 1, eta b1 = 0 denez, a1 = 1. Beraz: an = rn−1 eta bn = (n − 1) ⋅ d. → r2 − 2r = 0 → r = 0 eta r = 2 r-k ezin duenez 0 izan, r = 2 da eta d = −1. Lehen 10 gaien batura segida bakoitzeko 10 gaien batura da. Progresio aritmetiko baten lehen n gaien batura (n > 1) 53 da, eta progresioaren diferentzia 2 da. a1 zenbaki osoa bada, zer balio har ditzake n-k? Diferentzia: d = 2. n-k zenbaki osoa izan behar du; beraz, 153ren zatitzailea izango da. zt (153) = {1, 3, 9, 17, 51, 153} Ebazpentzat har daitezkeen balioak aztertuko ditugu. • n = 3 → a1 + 3 − 1 = 51 → a1 = 49, a2 = 51, a3 = 53 eta a3 arteko batura 153 da. • n = 9 → a1 + 9 − 1 = 17 → a1 = 9, a2 = 11, a3 = 13… eta a9 arteko batura 153 da. • n = 17 → a1 + 17 − 1 = 9 → a1 = −7, a2 = −5, a3 = −3… eta a17 arteko batura 153 da. • n = 51 → a1 + 51 − 1 = 3 → a1 = −47, a2 = −45, a3 = −43… eta a51 arteko batura 153 da. • n = 153 → a1 + 153 − 1 = 1 → a1 = −151, a2 = −149, a3 = −147… eta a153 arteko batura 153 da. Batura: S a a n a a n d n n n = + ⋅ = + + − ⋅ ⋅ = = ( ) ( ( ) ) ( 1 1 1 2 1 2 22 2 1 2 1 1531 1 a n n a n n + ⋅ − ⋅ = + − ⋅ = ( ) ( ) ) 114 ●●● ′ = ⋅ − − = ′′ = + − ⋅ = ⎫ ⎬ ⎪ S S 10 9 10 1 2 1 2 1 511 0 1 10 2 5 ( ) ( )( ) ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪ = ′ + ′′ =→ S S S10 10 10 516 a b r d a b r d d r1 1 2 2 2 1 2 2 1+ = + = + = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪ → ⎪⎪ + ⋅ − =r r2 2 1 2( ) → 113 ●●● ERANTZUNAK 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 237
- 238. 238 Adierazi 0,5; zenbakiazatiki gisa; horretarako, idatzi zenbaki hori modu honetara: 0,5 + 0,05 + 0,005 + … eta kalkulatu progresioaren batura Progresio geometrikoa da. Gai orokorra: → 0,5 = S = Kalkulatu 2,8 zenbakiaren zatiki sortzailea, progresio baten batuketa erabiliz. 2,8 = 2,8888… denez = 2 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008… Progresio geometriko baten batura; lehen gaia a1 = 0,8 da eta r = 0,1 2,8 . ABC triangelu angeluzuzen baten AC aldea 8 zati berdinetan zatitzen dugu, zatiketa-puntuetatik BC aldearekiko lerro paraleloak marraztuz. Baldin eta BC aldearen luzera 10 cm bada, kalkulatu beste 7 zuzenkien luzeren batura. A-tik AC-ren n zatiketa bakoitzera arteko distantzia da eta antzeko triangeluak direnez, zatiketatik pasatzen den BC-ren alde paraleloa: , Beraz, progresio aritmetikoa osatzen dute eta diferentzia hau da: d = eta a1 = . Batura: .S10 5 4 10 10 2 5 4 10 5= + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ = + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ == 225 4 5 4 5 4 n AC AC x x n n 8 10 10 8 5 4 → → → ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪ = = n AC 8 117 ●●● = + − = + =2 0 8 1 0 1 2 8 9 26 9 , , 116 ●●● 0 5 1 1 10 5 9 , − =an n = ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − 0 5 1 10 1 , 115 ●●● Progresioak A B 10 cm C 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 238
- 239. 239 7 EGUNEROKOAN Julen Gasolek, Herriberrikogasolindegiaren jabeak, erregaia bere gasolindegian hartu ohi duten kamioi-gidarien leialtasuna saritu nahi du. Puntu horiek menu batez trukatu daitezke kafetegi batean, edo itsas bidaia zoragarri batez. Mikelek tamaina ertaineko kamioia du, 350 litroko andela duena, eta astero bete ohi du. Gasolio-litroak 1 € baino pixka bat gutxiago balio duenez asteko andel-betetzea 350 € inguru kostatzen zaio. Gastu berdina egiten jarraitzen badu, lortuko al du doaneko menua? Eta itsas bidaia? Laguna duen Anttonek hark baino kamioi handiagoa du, eta esan dio bere ustez ez duela arazorik izango itsas bidaia lortzeko. Andela astean behin betez gero, zenbat litro Gasolio bota beharko ditu astean? Puntu osoak soilik ematen direla kontuan hartuta, lortutako puntuek progresio aritmetikoa osatzen dute; an = 3n da. n andel-betetzeren puntuen batura: .S n n n n n = + ⋅ = +( )3 3 2 3 3 2 2 118 ●●● ERANTZUNAK Hilabete honetan, 100 €-ren gasolina hartzen dutenei puntuak emango dizkiegu… Norbait andela betetzera etortzen den lehen aldian puntu bat emango diogu 100 €-ko; bigarrenean, 2 puntu 100 €-ko; hirugarrenean, 3 puntu 100 €-ko; laugarrenean, 4 puntu... eta abar. 100 PUNTU Menua doan 1.000 PUNTU Itsas bidaia bi lagunentzat. 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 239
- 240. 240 Hilean lautan betezgero, puntu; beraz, ez du ez menurik ez itsas bidaiarik lortuko. Itsas bidaiaren 1.000 puntuak lortzeko: Beraz, Mikelek 18 aldiz hartu behar du gasoila. Anttonen kasua progresio geometrikoa da; an = xn da. Hartutako litroak (ehunka) x badira: Anttonek 10.000 litro erregai hartu behar ditu aldi bakoitzean. Ekonomiari buruzko aldizkari bateko txosten batek dioenez, merkatuan dagoen pentsio-planik onena Bankuonarena da. Pentsio-plan batean aldian behingo diru-sarrerak egiten dira: hilean behin, hiruhilekoan behin, urtean behin… Hasieran sartzen den diruak eta urtero gehitzen denak urteko % 4,45eko errentagarritasuna du. Eragozpen bakarra da urtean behin, orobat, % 0,99ko kudeaketa-gastuak kobratzen dituztela. Berrogei urte baditut, eta urtean 2.000 € sartzea erabakitzen badut, zenbat diru jasoko dut 65 urteak betetzean? 119 ●●● → →1 000 4 4 2 10 1004 2 . = = ⋅ + ⋅ = =S x x x x S x xn n xn xn n = + ⋅ = +( ) 2 2 2 → → →n n n = − ± + = − ± = = 3 9 12 000 6 3 109 58 6 106 58 6 17 76 . , , , == − = − ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪ 112 58 6 118 76 , , 1 000 3 3 2 3 3 1 000 0 2 2 . .= = + + − =S n n n nn → → S4 2 3 4 3 4 2 30= ⋅ + ⋅ = Progresioak BANKUONA PENTSIO-PLANA ■ Merkatuko komisiorik txikienak kentzen ditugu 0 Izen-emate komisioa 0 Diru-itzultze komisioa 0 Gordailu komisioa 0,99 Kudeaketa komisioa ■ Errentagarria %4,45urtean. Bermatua! Ea... 2.000 € sartzen baditut, urte amaieran diru hori gehi % 4,45 izango dut, eta horri guztiari % 0,99 kendu behar diot. Bigarren urtean beste 2.000 € sartuko ditut, lehen urteko diruari gehitzekoak, eta % 4,45 emango didate baina, berriz ere, guztiari % 0,99 kendu beharko diot... 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 240
- 241. 241 7 Urtebetegatik hau dagokio: Biurterengatik: Eta progresio geometriko horri jarraituz, t urterengatik: Beraz, erretiroa hartzeko falta zaizkion 24 urteetako ekarpenen batura hau da: S24 = €= = 2.478,47455989 0,03415945 72.556,04 2 000 1 4 45 100 1 0 99 100 . , , ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ 1 4 45 100 1 0 99 100 24 , , ⎞⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 24 1 1 4 45 100 , ⎟⎟⎟⎟ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − = 1 0 99 100 1 , 2 000 1 4 45 100 1 0 99 100 . , , ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ t ⎠⎠ ⎟⎟⎟⎟ t 2 000 1 4 45 100 1 0 99 100 2 . , , ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠⎠ ⎟⎟⎟⎟ 2 = ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ 2 000 1 4 45 100 1 0 99 100 . , , ⎠⎠ ⎟⎟⎟⎟ 2 000 2 000 4 45 100 2 000 2 000 4 45 100 . . , . . , + ⋅ − + ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ = 0 99 100 , ERANTZUNAK 908272 _ 0208-0241.qxd 20/9/07 15:54 Página 241
- 242. 242 Leku geometrikoak. Irudi lauak8 PARALELOGRAMOAK ETATRIANGELUAK EDOZEIN POLIGONO ZIRKUNFERENTZIAREN LUZERA IRUDI ZIRKULARREN AZALERA POLIGONOEN ANGELUAK ZIRKUNFERENTZIAREN ANGELUAK IRUDI LAUEN ANGELUAK POLIGONOEN PERIMETROAK ETA AZALERAK POLIGONO ERREGULARRAK ARKU BATEN LUZERA ZIRKULUAREN AZALERA IRUDI ZIRKULARREN PERIMETROAK ETA AZALERAK 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 242
- 243. Jakintsuen aberastasuna Hura gehiegizkoazen: hain jakintsua izanda aberatsa ez izateak barkamenik ez zuela leporatzen zion amak berak. Lehenago ere entzun izan zuen arren, inoiz baino min handiagoa egin zion Tales Miletokoari. Etxean sartu eta plan bat prestatzeari ekin zion. Astroak aztertu zituen eta urtea laborantzarako oso ona izango zela aurresan zuen. Beraz, zuen diru guztia eta maileguz lortu ahal izan zuena bildu eta Miletoko nahiz alboko Kios herriko olio-prentsa guztiak bereganatu zituen. Klimari buruz aurresandakoa erabat bete zen. Auzokoak pozik zeuden oliba-uztak etekin onak emango zizkielakoan. Baina olibak ehotzera joan zirenean irribarrea okertu zitzaien, Talesek eskatutakoa ordaintzea beste irtenbiderik ez zutelako. Mendekua burutu eta aberastu ondoren, prentsak eta lurrak saldu, eta filosofia eta matematika ikasteari ekin zion. Baina aurrez hau esan zien auzokoei: «Zeuek hartu kontuan gainerakoei ematen dizkiezuen aholkuak». Talesen postulatuetako batek dioenez, zirkunferentzierdi batean inskribatutako angeluak angelu zuzenak dira beti. Nola egingo zenuke 4 cm-ko hipotenusa duen triangelu angeluzuzena? Konpasa erabiliz, 2 cm-ko erradioko zirkunferentzia marraztu eta diametro bat markatu behar da. 4 cm-ko luzera izango du eta hipotenusa da. Gero, zirkunferentziaren edozein puntu hartu (diametrokoa ez dena), A, eta puntua diametroaren bi muturrekin elkartuz, triangelu angeluzuzena lortzen da. A 2 cm 908272 _ 0242-0273.qxd 28/9/07 13:10 Página 243
- 244. 244 ARIKETAK Marraztu koadernoan baldintzahauek betetzen dituzten puntuen leku geometrikoa. a) 6 cm-ko luzera duen zuzenki baten muturrekiko distantziakideak dira. b) 90°-ko angeluaren aldeekiko distantziakideak. c) P puntutik 2 cm-ra daude. a) Leku geometrikoa 6 cm-ko luzerako zuzenki baten erdibitzailea da. b) Leku geometrikoa 90°-ko angeluaren erdikaria da. c) Leku geometrikoa 2 cm-ko erradioko eta P zentroko zirkunferentzia da. Zehaztu zuzen batekiko distantziakideak diren puntuen leku geometrikoa. Zuzen batekiko distantziakideak diren puntuak bi zuzen paralelo dira eta jatorrizko zuzenetik distantzia berera daude. Definitu zuzen gorriak, leku geometriko gisa. a) b) a) Leku geometriko bat da, r zuzenetik distantziara dagoena. b) r-tik d distantziara eta P puntuarekin lerrokatuta dauden puntuek osatutako leku geometrikoa da, harekin zuzena osatzen dutela. Marraztu irudiko triangeluen zirkunferentzia zirkunskribatuak. a) b) a) b) 004 d 2 003 002 001 Leku geometrikoak. Irudi lauak d r r d P d 2 d 2 A C A B C B A C B C B A 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 244
- 245. 245 8 Marraztu triangelu aldeberdinbat, eta adierazi barizentroa eta zirkunzentroa. Ba al dago ezer aipagarririk? Gauza bera gertatzen al da edozein triangelu aldeberdinetan? Edozein triangelu aldeberdinetan, barizentroa eta zirkunzentroa bat datoz, erdibitzaileak eta erdibidekoak bat datozelako. Definitu barizentroa leku geometriko gisa. Barizentroa aurkako aldeetarako distantzia erpinetarako distantziaren halako bi duten puntuen leku geometrikoa da. Marraztu triangelu hauetako bakoitzean inskribatutako zirkunferentzia. a) b) a) b) Marraztu triangelu aldeberdin bat eta adierazi ortozentroa zein intzentroa. Ba al dago ezer aipagarririk? Gauza bera gertatzen al da edozein triangelu aldeberdinetan? Edozein triangelu aldeberdinetan, ortozentroa eta intzentroa bat datoz, erdikariak eta altuerak bat datozelako. Definitu zirkunferentzia inskribatua leku geometriko gisa. Zirkunferentzia hau betetzen duen leku geometrikoa da: puntu guztietatik intzentrorako distantzia eta intzentrotik triangeluaren aldeetarako distantzia berdinak dira. 32 cm eta 24 cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzenean, kalkulatu hipotenusa. a = + = =32 24 1 600 402 2 . cm 010 009 008 007 006 005 ERANTZUNAK C A B C A B 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 245
- 246. 246 Aztertu ea neurrihauek triangelu angeluzuzen baten aldeen luzerak diren. a) 8 cm, 5 cm eta 4 cm b) 10 cm, 8 cm eta 6 cm a) Ez da angeluzuzena, 82 ≠ 52 + 42 delako. b) Angeluzuzena da, 102 = 82 + 62 delako. Triangelu angeluzuzen baten bi alde 28 eta 21 cm-koak dira. Zer luzera du hirugarren aldeak? Alde ezagunak katetoak badira: Alde ezagunak hipotenusa eta kateto bat badira: Azaldu zergatik ezin den izan angeluzuzena 35, 77 eta 85eko aldeak dituen triangelua. 35 eta 77 7ren multiploak direnez, haien berbiduren batura ere 7ren multiploa da, eta 85 ez denez 7ren multiploa, haren berbidura ere ez da izango. Beraz, Pitagorasen teorema ez da betetzen. Kalkulatu zenbatekoa den a, triangelu aldeberdinean eta karratuan. a) b) a) b) Kalkulatu karratu baten aldearen luzera, jakinik diagonala 8 cm-koa dela. Kalkulatu 28 cm-ko altuera duen triangelu aldeberdinaren aldearen luzera.016 d2 2 2 2 2 2 64 2 32 5 66= + = = = =l l l l l→ → , cm 015 a = + = =6 6 72 8 492 2 , cm a = − = =4 2 12 3 462 2 , cm 014 013 a = − = =28 21 343 18 522 2 , cm a = + = =28 21 1 225 352 2 . cm 012 011 l l l l l 2 2 2 2 2 2 28 2 784 4 4 3 136 = + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = + = → → → . ++ = = = l l l l 2 2 2 3 3 136 3 136 3 32 33 → → → → . . , cm Leku geometrikoak. Irudi lauak 4 cm a 6 cm a h=28cm 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 246
- 247. 247 8 Kalkulatu poligono hauenazalera. a) Trapezioa. Oinarriak, 12 eta 8 cm; altuera, 5 cm. b) 12 cm eta 9 cm-ko diagonalak dituen erronboa. a) b) Kalkulatu irudiaren azalera. Azalera osoa = Laukizuzenaren azalera + 1. triangeluarena + 2. triangeluarena Laukizuzenaren azalera = 26 ⋅ 2 = 52 cm2 1. triangeluaren azalera = 2. triangeluaren azalera = Azalera osoa = 52 + 16 + 30 = 98 cm2 Kalkulatu 3 cm-ko altuera eta 5 cm-ko diagonala dituen laukizuzenaren azalera. Azalera = 4 ⋅ 3 = 12 cm2 Kalkulatu triangelu bakoitzaren azalera. Alboko triangeluak berdinak dira: Erdiko triangeluaren azalera: A = Kalkulatu heptagono erregular baten apotema. Aldea: 6 cm; azalera: 130,8 cm2 . Kalkulatu 7 cm-ko aldea duen karratuaren azalera, poligono erregularren azaleraren formula aplikatuz. A = → A = → A = = 49 cm2 28 7 2 ⋅ 2 4 2 l l ⋅ 2 P a⋅ 2 022 A P a a A P = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = 2 2 2 130 8 6 7 6 23→ , , cm 021 12 10 2 60 ⋅ = cm2 . A = ⋅ = 12 5 2 30 cm2 020 Oinarria cm= − = =5 3 16 42 2 019 10 6 2 30 ⋅ = cm2 16 2 2 16 ⋅ = cm2 018 A = ⋅ = 12 9 2 54 cm2 A = + ⋅ = ( )12 8 5 2 50 cm2 017 ERANTZUNAK 10 cm 2 cm 6 cm 26 cm 4 cm 10 cm 12 cm 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 247
- 248. 248 Kalkulatu 6 cm-koaldea duen hexagono erregularraren azalera. Apotema 6 cm-ko aldea duen triangelu aldeberdinaren altuera da; triangelu hori bi triangelu angeluzuzenetan bana daiteke. Kalkulatu alboko irudiaren azalera. Kontuan hartu barrukoa hexagono erregularra dela. Azalera 2 cm-ko aldea duen hexagonoaren azalera halako. bi da. Apotema 2 cm-ko aldea duen triangelu aldeberdinaren altuera da. Irudiaren azalera: 2 ⋅ 10,38 = 20,76 cm2 . Kalkulatu 2 dm2 -ko azalera duen triangelu aldeberdinaren altuera eta perimetroa. Altuera aldearen mende: h = 0,87 ⋅ 2,14 = 1,86 dm P = 3 ⋅ 2,14 = 6,42 dm Kalkulatu 6 cm-ko diametroa duen zirkuluaren azalera. r = ⎯→ r = = 3 cm L = 2r → L = 2 ⋅ 3 = 18,84 cm A = r 2 → A = ⋅ 32 = 28,26 cm2 Bi zirkunferentzia zentrokideren erradioak 5 eta 3 cm-koak dira, hurrenez hurren. Kalkulatu bien arteko koroa zirkularraren azalera. Kalkulatu sortzen dituzten zirkuluen azalerak ere. Koroaren azalera = ⋅ (R2 − r2 ) = ⋅ (52 − 32 ) = ⋅ 16 = 50,24 cm2 Zirkulu handienaren azalera = r2 = ⋅ 52 = ⋅ 25 = 78,5 cm2 Zirkulu txikienaren azalera = r2 = ⋅ 32 = ⋅ 9 = 26,26 cm2 027 6 2 d 2 026 A = = ⋅ = =2 0 87 2 4 0 87 2 14 l l l , , ,→ dm h = − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = =l l l l.2 2 2 2 3 4 0 87, 025 A = ⋅ = 12 1 73 2 10 38 , , cm2 a = − = =2 1 3 1 732 2 , cm 024 A = ⋅ = 36 5 2 2 93 6 , , cm2 a = − = =6 3 27 5 22 2 , cm 023 Leku geometrikoak. Irudi lauak 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 248
- 249. Kalkulatu 120°-ko eta20 cm-ko erradioko sektorearen segmentu zirkularraren azalera. AZuzenkia = ASektorea − ATriangelua ASektorea = r2 = h2 + → h = = 17,3 cm ATriangelua = AZuzenkia = 418,67 − 173 = 245,67 cm2 Zer erlazio dago bi zirkunferentziaren erradioen artean, bien arteko koroa zirkularraren azalera zirkulu handienaren azaleraren erdia bada? Zirkunferentzia handienaren azalera txikienaren azaleraren bikoitza da; beraz, zirkunferentzia handienaren erradioa txikienarena bider da. ARIKETAK Erlazionatu elementu hauek. a) Barizentroa 1) Altuerak b) Intzentroa 2) Erdibitzaileak c) Zirkunzentroa 3) Erdibidekoak d) Ortozentroa 4) Erdikariak a) → 3) c) → 2) b) → 4) d) → 1) Marraztu zenbait triangelu angeluzuzen eta adierazi ortozentroa. Non dago? Angelu zuzenaren erpinean dago. 031 ● 030 ● 2 029 b h⋅ = ⋅ = 2 20 17 3 2 173 , cm2 20 10 3002 2 − = r 2 2 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ π ⋅ ⋅ = 20 120 360 418 67 2 ° ° , cm2 028 249 8ERANTZUNAK C C C BA B ABA H H H 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 249
- 250. 250 Marraztu lerrokatuta ezdauden hiru puntu eta haietatik igarotzen den zirkunferentzia. Puntuak elkartzen dituzten zuzenkiak eta erdibitzaileak marraztuko ditugu. Ebakidura-puntua zirkunferentziaren zentroa da. Marraztu triangelu angeluzuzen bat eta haren erdibitzaileak. Ondoren, adierazi zirkunzentroa. Zer hauteman duzu? Zirkunzentroa hipotenusaren erdiko puntuan dago. Triangelu angeluzuzen isoszele batean, hipotenusa 10 cm luze da. Zirkunferentzia zirkunskribatua bada, zenbatekoa da erradioa? Intzentroa hipotenusaren erdiko puntuan dagoenez, hipotenusa da diametroa; beraz, erradioa 5 cm-koa da. 36 cm-ko perimetroa duen triangelu aldeberdinean, zirkunferentzia zirkunskribatua egin dugu. Erdibidekoa 10,39 cm-koa dela jakinik, zenbatekoa da zirkunferentziaren erradioa? Triangelu aldeberdinetan zuzen eta puntu nabarmenak bat datozenez, erradioa barizentrotik zentrorako distantzia da: r = 10,39 ⋅ 2 : 3 = 6,93 cm. Triangelu angeluzuzenetan, barizentroa, ortozentroa, zirkunzentroa eta intzentroa hemen egoten dira: a) Triangelutik kanpo. c) Alde batean. b) Triangeluaren barruan. Intzentroa eta barizentroa barruko puntuak dira; ortozentroa eta zirkunzentroa, berriz, alde batean daude. Triangelu angeluzuzen isoszele batean, adierazi zirkunzentroa eta ortozentroa. Triangeluaren bi puntu lotzen dituen zuzenkia hau da: a) Erdibidekoa b) Erdibitzailea c) Altuera d) Erdikaria Triangelu angeluzuzen eskalenoetan ere betetzen al da hori? Zuzenkia bat dator erdibideko, erdibitzaile, altuera eta erdikari batekin. Triangelua eskalenoa bada, hori ez da betetzen. 037 ●● 036 ●● 035 ●● 034 ●● 033 ●● 032 ●● Leku geometrikoak. Irudi lauak A B C O A C O H BA B C O 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 250
- 251. 251 8 Triangelu angeluzuzen isoszeleetan: a)Hipotenusaren altuera kateto bat baino handiagoa al da? b) Hipotenusaren erdibidekoa kateto bat baino handiagoa ala txikiagoa da? a) Ez. Izan ere, altuerak bi triangelu angeluzuzen osatzen ditu eta haien hipotenusa hasierako triangeluaren katetoa da. Hipotenusa alde handiena da. b) Erdibidekoa altuerarekin bat dator eta txikiagoa da, a) atalean adierazitakoagatik. Triangelu angeluzuzen baten hipotenusa 12 cm-koa da, eta kateto bat, 6 cm-koa. Kalkulatu beste katetoaren luzera. Kalkulatu triangelu angeluzuzen bakoitzean falta den aldearen luzera (a hipotenusa da). a) a = 34 cm, b = 30 cm b) b = 28 cm, c = 21 cm a) b) Kalkulatu triangelu angeluzuzen baten hipotenusaren luzera, jakinik katetoen arteko kendura 2 cm-koa dela eta txikienak 6 cm dituela. Katetoen luzera: 6 cm eta 6 + 2 = 8 cm. Hipotenusaren luzera: Adierazi ea angeluzuzenak diren triangelu hauek. Hala diren kasuetan, adierazi hipotenusaren eta katetoen neurriak. a) 5, 12 eta 13 cm-ko aldeak dituen triangelua. b) 6, 8 eta 12 cm-ko aldeak dituen triangelua. c) 5, 6 eta cm-ko aldeak dituen triangelua. d) 7, 24 eta 25 cm-ko aldeak dituen triangelua. a) → Angeluzuzena. Hipotenusa 13 cm luze da, eta katetoak, 12 cm eta 5 cm luze. b) → Ez da angeluzuzena. c) → Angeluzuzena. Hipotenusa cm luze da, eta katetoak, 6 cm eta 5 cm luze. d) → Angeluzuzena. Hipotenusa 25 cm luze da, eta katetoak, 24 cm eta 7 cm luze. 25 24 7 6252 2 = + = 6161 5 62 2 = + 12 8 6 100 102 2 ≠ + = = 13 12 5 1692 2 = + = 61 042 ● a = + = =36 64 100 10 cm 041 ●● a = + = =784 441 1 225 35. cm c = − = =1 156 900 256 16. cm 040 ● b = − = =144 36 108 10 39, cm 039 ● 038 ●● ERANTZUNAK 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 251
- 252. 252 Kalkulatu adierazitako zuzenkienluzera. a) b) a) b) Triangelu isoszele baten alde berdinak 7 cm-koak dira, eta beste aldea, 4 cm-koa. Kalkulatu altuera. 72 = h2 + 22 h2 = 72 − 22 h2 = 49 − 4 h = 6,71 cm Kalkulatu 30 cm-ko perimetroa duen triangelu aldeberdinaren altuera. Aldea: 30 : 3 = 10 cm. Altuera: Azalera: 10 ⋅ 8,66 : 2 = 43,3 cm2 . Kalkulatu triangelu isoszele baten oinarriaren luzera, jakinik alde berdinak 17 cm-koak direla, eta altuera, 8 cm-koa. Oinarriaren erdiak, altuerak eta aldeetako batek triangelu aldeberdina osatzen dute. Pitagorasen teorema aplikatuz gero, hau lortuko dugu: b b 2 17 8 225 15 302 2 = − = = =cm cm→ 046 ●● 100 25 75 8 66− = = , cm 045 ●● h = 45 044 ● FE = + =18 16 34→ FB FC FD= + = = + = = + =4 4 8 1 8 3 9 9 18→ → → EB EC ED= + = = + = = + =1 4 5 1 5 6 1 6 7→ → 043 ●● Leku geometrikoak. Irudi lauak 2 cm 4 cm 2 cm 1cm 3 cm 2 cm A A F E E? ? D D B B C C 1cm 1 cm 1 cm 7 cm 7 cm h 4 cm 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 252
- 253. Kalkulatu triangelu isoszelebaten alde berdinen luzera, jakinik alde desberdinak 42 cm dituela eta altuera 20 cm-koa dela. Oinarriaren erdiak, altuerak eta aldeetako batek triangelu aldeberdina osatzen dute. Pitagorasen teorema aplikatuko dugu: Kalkulatu 6 cm-ko altuera duen triangelu aldeberdinaren aldearen luzera. Oinarriaren erdiak, altuerak eta aldeetako batek triangelu aldeberdina osatzen dute. Pitagorasen teorema aplikatuko dugu: 049 h2 2 2 2 2 2 3 4 36 3 4 48 6 93= − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = = = =l l l l l→ → , cm 048 ●● l = + = =21 20 841 292 2 cm 047 ●● EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA EDOZEIN TRIANGELUREN ALTUERA, ALDEEN LUZERA JAKINIK? Kalkulatu 5 cm, 8 cm eta 10 cm-ko aldeak dituen triangeluaren altuera. LEHENA. Triangelua marraztu eta elementu guztiak izendatu behar dira. Altuerak oinarria bi zatitan banatzen du: • AH; haren luzerari x esango diogu. • HB; haren luzera 10 − x izango da. BIGARRENA. Lortutako bi triangelu angeluzuzenei Pitagorasen teorema aplikatu behar zaie. AHC triangeluan: 52 = x2 + h2 → h2 = 52 − x2 HBC triangeluan: 82 = (10 − x)2 + h2 → h2 = 82 − (10 − x)2 HIRUGARRENA. Bi adierazpenak berdindu eta ekuazioa ebatzi behar da. 25 − x2 = 64 − (100 + x2 − 20x) 25 − x2 = 64 − 100 − x2 + 20x 20x = 61 → x = 3,05 cm LAUGARRENA. h kalkulatu behar da. h x h2 2 2 2 2 5 5 3 05 3 96= − = − =→ , , cm h x h x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 25 8 10 5 8 10 = − = − − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ − = − − ( ) (→ ))2 253 8ERANTZUNAK 5 cm 8 cm C A H B x 10 − x h 10 cm G F 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 253
- 254. 254 Kalkulatu triangelu batenaltuera, jakinik aldeen luzerak hauek direla: a) AB = 4 cm BC = 7 cm CA = 9 cm b) AB = 6 cm BC = 10 cm CA = 14 cm c) AB = 5 cm BC = 11 cm CA = 15 cm a) 16 − x2 = 49 − 81 + 18x − x2 18x = 48 → x = 2,67 cm b) 36 − x2 = 100 − 196 + 28x − x2 28x = 132 → x = 4,71 cm c) 25 − x2 = 121 − 225 + 30x − x2 30x = 129 → x = 4,3 cm Kalkulatu P puntuaren eta A puntuaren arteko distantzia, CP zuzenkiaren eta DP zuzenkiaren luzerak berdinak izan daitezen grafikoetan. a) b) a) Baldin CP = PD = d 4 + x2 = 9 + 49 − 14x + x2 14x = 54 → x = 3,86 cm b) Baldin CP = PD = d 4 + x2 = 9 + 36 − 12x + x2 12x = 41 → x = 3,42 cm d x d2 2 2 2 4 18 49 3 96= + = + =→ , , cm d x d x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 3 6 2 3 6 = + = + − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ + = + − ( ) ( )→ d x d2 2 2 4 16 18 49 5 56= + = + =→ , , cm d x d x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 3 7 4 3 7 = + = + − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ + = + − ( ) ( )→ 051 ●●● h x h2 2 2 5 25 18 49 2 55= − = − =→ , , cm h x h x x 2 2 2 2 2 2 2 2 25 11 15 5 11 15 = − = − − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ − = − ( ) (→ −− x)2 h x h2 2 2 6 36 22 22 3 71= − = − =→ , , cm h x h x x 2 2 2 2 2 2 2 2 26 10 14 6 10 14 = − = − − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ − = − ( ) (→ −− x)2 h x h2 2 2 4 16 7 11 2 98= − = − =→ , , cm h x h x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 7 9 4 7 9 = − = − − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ − = − − ( ) ( )→ 050 ●● Leku geometrikoak. Irudi lauak 7 cm 4 cm C A P D B 6 cm 2 cm 3 cm 3 cm C A P D B 908272 _ 0242-0273.qxd 28/9/07 13:10 Página 254
- 255. 255 8 Kalkulatu zer luzeraduen x-k irudietan. a) c) b) d) a) b) c) d) Behatu irudiari eta kalkulatu. a) Erronboaren aldea. b) AB, katetoaren luzera, AC katetoarena eta BC hipotenusarena. a) b) Kalkulatu irudi hauen perimetroa. a) b) a) P = 28 + 25 + 18 + 26,93 = 97,93 cm b) P = 17,46 + 14 + 28 + 12 + 18,44 + 8,6 + 5 + 28 + 16 = 147,5 cm c = + = =14 12 340 18 442 2 , cm b = + = =5 7 74 8 62 2 , cm a = + = =16 7 305 17 462 2 , cm x = + = =25 10 725 26 932 2 , cm 054 ●● BC AC AB AC= + = + =2 2 2 2 24 18 30→ cm AB d d= + = + = 2 12 2 12 18 cm AC D D= + = + = 2 16 2 16 24 cm l = + = + = =8 6 64 36 100 102 2 cm 053 ●● x = − = − = =117 9 117 81 36 6 2 2 cm x = + = =8 5 89 9 432 2 , cm 10 100 2 50 7 072 2 2 2 = + = = =x x x x→ → , cm x = + = =4 4 32 5 662 2 , cm 052 ● ERANTZUNAK 117 cm 4 cmx x 5 cm 10 cm x 9 cm 8 cm x G F 12 cm GF 16cm C l A B 25 cm 28 cm 18 cm 12 cm 5 cm16 cm 14 cm 7 cm 28 cm a c b x 908272 _ 0242-0273.qxd 28/9/07 13:10 Página 255
- 256. 256 Behatu irudiari. Laukizuzenaren aldeak15 eta 20 cm luze badira, zer luzera du zirkunferentziaren erradioak? Erradioa diagonalaren erdia da: Demagun tangram txinatarraren zazpi pieza hauek ditugula. Kalkulatu tangram honen pieza bakoitzaren azalera. Karratuaren diagonala kalkulatuko dugu: ATriangelu handiena = ATriangelu ertaina = = 12,5 cm2 ATriangelu txikiena = AKarratua = AErronboidea = b ⋅ h = → AErronboidea = 5 ⋅ 2,5 = 12,5 cm2 Pieza guztien azaleren batura karratuaren azalera osoaren berdina dela egiaztatuko dugu, 102 cm2 : 2 ⋅ 25 + 12,5 + 2 ⋅ 6,25 + 12,5 + 12,5 = = 50 + 12,5 + 12,5 + 12,5 + 12,5 = 100 cm2 Aukeratu erantzun zuzena, kasu bakoitzean. a) 2 cm eta 4 cm-ko diagonalak dituen erronboaren azalera hau da: I) 4 cm2 III) 6 cm2 II) 2 cm2 IV) 12 cm2 b) 10 cm eta 8 cm-ko oinarriak eta 6 cm-ko altuera dituen trapezioaren azalera: I) 240 cm2 III) 108 cm2 II) 54 cm2 IV) 60 cm2 c) 10 cm-ko aldea duen triangelu aldeberdinaren azalera hau da: I) 86,6 cm2 III) 43,3 cm2 II) 50 cm2 IV) 100 cm2 a) → I) 4 cm2 b) → II) 54 cm2 c) → I) 86,6 cm2 057 ● l l 2 4 ⋅ d 4 10 2 4 100 2 16 2 2 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟⎟ = ⋅ = 112 5, cm2 d d 4 4 2 10 2 4 10 2 4 2 100 2 16 2 6 25 ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = , cm2 5 5 2 ⋅ 5 2 5 2 2 25 2 2 25 ⋅ = ⋅ = cm2 d d= + = =l l l2 2 2 10 2→ cm 056 ●●● r = + = = 400 225 2 625 2 12 5, cm 055 ●● Leku geometrikoak. Irudi lauak 20 cm 15 cm G 5 cm 5 cm 2,5 cm 2,5cm 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 256
- 257. 257 8 Triangelu isoszele batenazalera 24 m2 -koa da, eta alde desberdinaren luzera, 6 m-koa. Kalkulatu beste aldeen luzera. Triangelu angeluzuzen baten azalera 12 cm2 -koa da, eta kateto baten luzera, 6 cm-koa. Kalkulatu hipotenusaren luzera. Beste katetoaren luzera: 12 ⋅ 2 : 6 = 4 cm eta hipotenusarena: Kalkulatu 90 cm-ko perimetroa duen triangelu aldeberdinaren azalera. Aldea: 90 : 3 = 30 cm Altuera: Azalera = Triangelu aldeberdin baten azalera 30 cm2 -koa bada, kalkulatu aldearen luzera. Aldea x bada, altuera: h = Azalera = 30 = → x = 8,32 cm Kalkulatu 13 cm-ko hipotenusa duen triangelu angeluzuzenaren azalera, kateto bat 5 cm-koa bada. Beste katetoa: eta azalera: (5 ⋅ 12) : 2 = 30 cm2 . Kalkulatu karratu baten azalera, jakinik diagonala 7,07 cm-koa dela. Karratua erronbo gisa hartzen badugu, azalera: (7,07 ⋅ 7,07) : 2 = 25 cm2 . Kalkulatu laukizuzen honen azalera. Oinarriaren erdia: , eta beraz, azalera: 10 ⋅ 8 = 80 cm2 . Kalkulatu laukizuzen baten azalera. Oinarria: 10 cm; diagonala: cm. Altuera: eta azalera: 10 ⋅ 4 = 40 cm2 .116 100 4− = cm 116065 ●● 41 16 5− = cm 064 ●● 063 ●● 169 25 144 12− = = cm 062 ●● x x x ⋅ = 3 2 2 3 4 2 x x x − = 2 3 2 . 061 ●● 25 98 30 2 789 7 , , ⋅ = cm2 30 15 675 25 982 2 − = = , cm. 060 ●● 36 16 52 7 21+ = = , cm. 059 ●● A b h h h= ⋅ = ⋅ = ⋅ = = + = + 2 24 6 2 24 2 6 8 3 8 9 642 2 2 2 → → → → m l l ll = =73 8,54 m 058 ●● ERANTZUNAK 4 cm 41 cm 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 257
- 258. 258 Kalkulatu laukizuzen batenazalera; oinarria: 7 cm; perimetroa: 24 cm. 7 + 7 + 2h = 24 → 2h = 10 → h = 5 cm Azalera = 5 ⋅ 7 = 35 cm2 Kalkulatu margotutako gunearen azalera. A = 6 ⋅ 8 + 4 ⋅ 9 + 11 ⋅ 8 + 9 ⋅ 4 = 48 + 36 + 88 + 36 = 208 cm2 068 067 ●● 066 ●● Leku geometrikoak. Irudi lauak 4 cm 6 cm 9 cm 4 cm 11 cm 8 cm F EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA TRAPEZIO ISOSZELE BATEN AZALERA, ALTUERA JAKIN GABE? Kalkulatu trapezio isoszele honen azalera. LEHENA. Altuera mugatzen duen triangelu angeluzuzenaren oinarria kalkulatu behar da. Trapezio isoszelea denez, altuerek bi triangelu angeluzuzen berdin mugatzen dituzte; haien oinarriak trapezioaren oinarrien arteko kenduraren erdia dira. BIGARRENA. Altuera mugatzen duen triangelu angeluzuzenari Pitagorasen teorema aplikatu behar zaio. 1,52 + h2 = 2,52 h2 = 2,52 − 1,52 = 4 HIRUGARRENA. Azalera kalkulatu behar da. A B b h = + ⋅ = + ⋅ = ( ) ( ) 2 8 5 2 2 13 2 cm h = =4 2 cm AE FB AB CD = = − = − = 2 8 5 2 1,5 cm 5 cmD C A 8 cm 2,5 cm B 5 cmD hh C A 8 cm 2,5 cm2,5 cm 1,5 1,5 BE F D h A 2,5 cm 1,5 E 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 258
- 259. 259 8 Kalkulatu trapezio isoszelehauen azalera. a) c) b) d) a) b) c) d) Kalkulatu irudi hauen azalerak: a) 2 cm-ko aldeko hexagono erregularrarena. b) 48 cm-ko perimetroko oktogono erregularrarena. a) Apotema hau da: b) Aldea 6 cm luze da. 6 18 4 24 4 24 6 2 7 24 2 2 2 = + = = = + = = ⋅ x x x a A P a → , , , cm cm 22 48 7 24 2 173 76= ⋅ = , , cm2 a A P a = − = = = ⋅ = ⋅ = 2 1 3 1 73 2 12 1 73 2 10 38 2 2 , , , cm cm2 070 ●● b A B b h = − ⋅ = = + ⋅ = + ⋅ = 14 2 4 6 2 14 6 3 2 30 m m2( ) ( ) AE B AB = − = = = = + ⋅ = 4 13 3 5 4 81 2 19 7 2 2 19 11 3 2 2 , , , , , , m 88 2 11 38 7 4 13 2 37 95 m m2 A B b h = + ⋅ = + ⋅ = ( ) ( , ) , , h DE A = = ( ) − −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = =164 24 16 2 148 12 17 2 2 , m == + ⋅ = + ⋅ = ( ) ( ) , , B b h 2 24 16 12 17 2 243 4 m2 h DE A B b = = − −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = = = + ⋅ 3 10 6 2 5 2 242 2 , ( ) cm hh 2 10 6 2 24 2 17 92= + ⋅ = ( ) , , cm2 069 ●● ERANTZUNAK 6 cm 7 m 16 m 24 m 14 m 4 m 3 m 3 cm 3,5 m 4,13 m 10 cm 164 m 6 cm x x x D C EA F B a a 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 259
- 260. 260 Kalkulatu irudiko zuzenkigorriaren luzera. Zuzenkiaren erdibitzailea marratuz gero, erpinerako distantzia erradioaren erdia da, 3 cm, eta triangelu aldeberdina osatzen du hexagonoaren alde batekin eta zuzenkiaren erdiarekin. Beraz, zuzenkiaren erdia: eta zuzenkia 10,4 cm-koa da. Adierazi zer azalera duten margotutako guneek. a) Karratu handiena − Karratu txikiena − 2 triangelu A = b) Hexagonoa osatzen duten triangelu aldeberdinak marraztuz gero, margotutako gunea triangelu bakoitzaren erdia da, eta beraz, hexagonoaren azaleraren erdia izango da. Hexagonoaren apotema 3,46 cm-koa denez, azalera 41,57 cm2 -koa da, eta margotutako gunearena, 20,78 cm2 -koa. c) Hexagonoa osatzen duten triangelu aldeberdinak marraztuz gero, margotutako gunea triangelu oso bat eta beste biren erdiak dira; hau da, bi triangeluren baliokidea da edo hexagonoaren herena. Hexagonoaren apotema 2,6 cm-koa denez, azalera 23,4 cm2 -koa da, eta margotutako gunearen azalera, 7,8 cm2 -koa. d) Azalera osoa triangeluen azalera da: x = A = Triangelu handiena + Triangelu txikiena = = 5,54 ⋅ 5,54 : 2 + 5,54 ⋅ 1,15 : 2 = 18,53 cm2 Kalkulatu 6 cm eta 8 cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzenean zirkunskribatutako zirkuluaren azalera. Hipotenusa 10 cm-koa da eta diametroarekin bat dator; erradioa 5 cm-koa da, eta azalera, 25π = 78,5 cm2 -koa. Kalkulatu 8 cm-ko aldeko karratuan zirkunskribatutako eta inskribatutako zirkunferentziek mugatutako koroa zirkularraren azalera. Barruko zirkunferentziaren erradioa aldearen erdia da: 4 cm; eta kanpokoa diagonalaren erdia ( ): 5,66 cm. Azalera = π ⋅ (32 − 16) = 50,24 cm2 64 64 128 11 31+ = = , cm 074 ●● 073 ●● 9 7 67 1 33 115− = =, , , cm. 5 2 5 2 5 2 5 2 6 252 2 − − ⋅ ⋅⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ =, , , cm2 072 ●● 36 9 27 5 2− = = , cm, 071 ●●● 6 cm Leku geometrikoak. Irudi lauak 4 cm 3 cm 5 cm 3 cm a) b) c) d) G 5,54 cm x 3 cm 5,54 cm 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 260
- 261. 261 8 Kalkulatu 60°-ko anplitudeaeta 12π cm-ko luzerako zirkunferentziaren erradioa dituen sektore zirkularraren azalera. Zirkunferentzia 12π cm-koa bada, erradioa 6 cm-koa da. Sektorea zirkuluaren seiren bat denez, azalera: Kalkulatu zirkulu baten azalera, jakinik haren diametroa eta 7 cm-ko aldea duen karratuaren perimetroa berdinak direla. Diametroa 28 cm-koa da, erradioa 14 cm-koa eta azalera: 196π = 615,44 cm2 . 5 cm-ko erradioa duen zirkunferentzian triangelu angeluzuzen isoszele bat inskribatu da. Kalkulatu zirkuluaren eta triangeluaren arteko azalera. Triangeluaren oinarria eta diametroa bat datoz, bai eta altuera eta erradioa ere; beraz, azalera: 10 ⋅ 5 : 2 = 25 cm2 . Zirkuluaren eta triangeluaren arteko azalera: 25π − 25 = 53,5 cm2 . Kalkulatu margotutako gunearen azalera, jakinik zirkunferentziaren diametroa 10 cm-koa dela. a) 25π − 2 ⋅ 6,25π = 39,25 cm2 b) 5 cm-ko aldea duen hexagonoaren azalera: , eta gunearen azalera: 25π − 64,95 = 13,55 cm2 . c) Zirkuluaren erdia da: 25π : 2 = 39,25 cm2 . Kalkulatu irudi hauen azalera. a) Zirkuluerdi bat da, azalera jakin bat batuta eta kenduta; beraz, azalera zirkuluerdiarena da: A = 36π = 113,04 cm2 . b) Zirkuluerdi bat gehi zirkulu-laurden bat da; hau da, zirkuluaren hiru laurden gehi triangelu aldeberdin bat. A = 0,75 ⋅ 4π + 2 ⋅ 1,73 : 2 = 11,15 cm2 079 ●●● 30 4 33 2 64 95 ⋅ = , , cm2 078 ●● 077 ●● 076 ●● 36 6 18 84 π = , .cm2 075 ●● ERANTZUNAK 10 cm b)a) c) 10 cm 10 cm 4 cm a) 12 cm b) 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 261
- 262. Kalkulatu irudi hauenazalera. a) Laukizuzen bat ken karratu bat da: A = 7 ⋅ 5 − 3 ⋅ 3 = 26 cm2 . b) Irudiari azalera jakin bat kendu eta batu zaio; beraz, azalera jatorrizko irudiaren azalera da: A = 10 ⋅ 4 = 40 cm2 . c) Karratu bat gehi triangelu aldeberdin bat ken zirkulu bat da: h = = 4,33 → A = 5 ⋅ 5 + (5 ⋅ 4,33) : 2 − 4π = 23,27 cm2 . d) Irudiari azalera jakin bat kendu eta batu zaio; beraz, azalera jatorrizko irudiaren azalera da: A = 2,5 ⋅ 2,5 = 6,25 cm2 . 081 5 2 52 2 − , 080 ●●● EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA TRAPEZIO ZIRKULAR BATEN AZALERA? Kalkulatu bi erradiok mugatutako koroa zirkularraren zatia (trapezio zirkularra). LEHENA. Bi sektore zirkularren azalera kalkulatu behar da. Kasu honetan, 30°-ko anplitudea dute, eta erradioak 20 eta 8 cm-koak dira, hurrenez hurren. BIGARRENA. Bi sektoreen azaleren kenketa egin. Trapezio zirkularraren azalera 87,92 cm2 -koa da, gutxi gorabehera. A A1 2 2 104 67 16 75 87 92− = − =, , , cm A2 2 28 30 360 16 75= ⋅ ⋅ = π , cm A1 2 220 30 360 104 67= ⋅ ⋅ = π , cm 262 Leku geometrikoak. Irudi lauak a) c) 5 cm 7 cm 5 cm 5 cm 2 cm b) d) 10 cm 2,5 cm 2,5 cm4 cm 3 cm 8cm 20 cm 30° F 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 262
- 263. 10m 6 m 263 8 Kalkulatu aurrekoariketako koroa zirkularrak sortutako trapezio zirkularraren azalera, anplitudea 120°-koa bada. Hiruko erregela aplikatuz, hau lortuko dugu: Kalkulatu trapezio zirkular baten azalera. Erradioak: 12 eta 6 cm. Anplitudea: 270°. ASektore handiena = ASektore txikiena = ATrapezioa = 339,12 − 84,78 = 254,34 cm2 Behatu bitxiloreari eta kalkulatu lore-hosto bakoitzaren zati zuriaren azalera, zati horiarena eta guztizko azalera. Zati zuriko sektore bakoitzaren azalera: A = = 6,28 cm2 Zati horiko sektore bakoitzaren azalera: A' = = 18,84 cm2 Azalera osoa: AOsoa = 6 ⋅ (A + A') = 6 ⋅ (6,28 + 18,84) = 6 ⋅ 25,12 = 150,72 cm2 Behatu dorreari eta haren itzalari. Zer distantzia dago dorrearen punturik altuenaren eta itzalaren muturraren artean? d2 = 1502 + 2002 → d2 = 62.500 → → d = 250 m 10 m-ko eskailera bat horma baten kontra dago jarrita. Eskaileraren oinaren eta hormaren artean 6 m daude. Zer altuera hartzen du eskailerak horman? 102 = h2 + 62 → h2 = 100 − 36 = 64 → → h = 8 m 086 ●● 085 ●● π ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅( ) , ( )8 4 45 360 3 14 64 16 45 360 2 2 π ⋅ ⋅4 45 360 2 084 ●● π ⋅ ⋅ = 6 270 360 84 78 2 , cm2 π ⋅ ⋅ = 12 270 360 339 12 2 , cm2 083 ●● 30 87 92 120 87 92 4 351 68 ° ° → → → , , , A A ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = ⋅ = cm2 082 ●● ERANTZUNAK 4 cm 45° G G 10 m 6 m h 200 m 150m 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 263
- 264. 264 Lau angeluko lur-sailbaten aldeetan 32 zuhaitz landatu dituzte, 5 m-ko tarteak utzita. Zer azalera du lur-sailak? Zer luzera du aldeak? 32 zuhaitz daudenez eta karratuaren perimetroa osatzen denez, 5 m-ko 32 tarte egongo dira; hau da: P = 32 ⋅ 5 = 160 m → 4l = 160 → l = 40 m Azalera hau da: A = l2 → A = 402 = 1.600 m2 . Bide-seinale honek nahitaez gelditu beharra adierazten du. Kalkulatu azalera, 90 cm-ko altuera eta 37 cm-ko aldea baditu. Apotema altueraren erdia da: 45 cm; perimetroa: 37 ⋅ 8 = 296 cm. Eraikin bateko 50 etxebizitzen oinplanoa irudian ikus daitekeena da. Hexagonoaren aldea 30 m-koa da. Lurreko moketaren prezioa 20 €/m2 -koa bada, kalkulatu zenbat ordaindu duten eraikin osoko moketa. Apotema hau da: a = AHexagonoa = AKarratua = 302 = 900 m2 ATriangelua = Solairu baten azalera: 2.340 + 900 + 390 = 3.630 m2 . Solairu bateko moketaren prezioa: 3.630 ⋅ 20 = 72.600 €. Eraikin osoko moketaren prezioa: 50 ⋅ 72.600 = 3.630.000 €. Mikelek erronboide formako lorategia du. Bide bat ere badago, eta bidearen neurriak badakizkigu. Kalkulatu lorategiaren azalera eta perimetroa. Perimetroa: P = 2 ⋅ (x + y) + 2 ⋅ 45 = = 2 ⋅ (15,4 + 46,4) + 2 ⋅ 45 = 213,6 m Azalera: A = b ⋅ a = (x + y) ⋅ 38 = = (15,4 + 46,4) ⋅ 38 = 2.348,4 m2 y = − =60 38 46 42 2 , m x = − =41 38 15 42 2 , m 090 ●●● 1 2 30 30 3 2 390⋅ ⋅ ⋅ = m2 P a A ⋅ = ⋅ ⋅ = 2 6 30 26 2 2 340→ . m2 30 15 675 262 2 − = = m. 089 ●●● A = ⋅ = 296 45 2 6 660. cm2 088 ●● 087 ●● Leku geometrikoak. Irudi lauak 30 m 6 dam 4,1dam 38m 4,5dam 60 m 45m 38 m y x 41 cm G 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 264
- 265. 265 8 Beirate triangeluar batjarri dugu. Kalkulatu beira gorrizko gunearen azalera, jakinik leihoa 1 m-eko aldea duen triangelu aldeberdina dela. Triangelu gorri bakoitza aldearen 1/8 m da eta aldeberdina; beraz, altuera hau da: At = 27 triangelu gorri daudenez, azalera osoa hau da: A = 27 ⋅ 0,007 = 0,189 m2 Pista zirkular batean 15 kg hondar bota dituzte metro koadroko. Guztira 4.710 kg hondar bota badituzte, zer erradio du pistak? Lehendabizi, pistak zenbat metro koadro dituen kalkulatu behar da: 4.710 : 15 = 314 m2 A = r2 → 314 = r2 → r2 = 100 → r = 10 m 30 m-ko diametroa duen pista zirkular batean, 30 kg hondar bota nahi dituzte metro koadroko. a) Zenbat tona hondar behar dira? b) Eskorga mekaniko batean 5na kg-ko 157 zaku jarri dituzte. Zenbat bidaia egin beharko dituzte? D = 30 m → r = 15 m → A = ⋅ 152 = 706,5 m2 a) 30 kg/m2 ⋅ 706,5 m2 = 21.195 kg ഡ 21,2 t hondar behar dira. b) Bidaia bakoitzean: 5 ⋅ 157 = 785 kg. Beraz, = 27 bidaia egin beharko dituzte. Lorategi karratu batean, zirkulu bat egin nahi dute, lauzak erabiliz, irudian ageri den moduan. a) Zer azalera du lauzatutako gainazalak? b) Zer azalera du soropila duen gainazalak? a) AZirkulua = r2 → A = ⋅ 52 = 78,5 m2 b) AKarratua = 102 = 100 m2 ASoropila = AKarratua − AZirkulua = 100 − 78,5 = 21,5 m2 094 ●● 21 195 785 . 093 ●● 092 ●● b h⋅ = ⋅ = 2 1 8 0 11 2 0 007 / m2, , h = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − = 1 8 1 16 1 64 1 256 3 2 2 116 0 11= , m 091 ●●● ERANTZUNAK 1 m 10 m 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 265
- 266. 266 Gozogile batek azukreabota du irudikoaren moduko 200 erroskillaren goialdean. 5 kg azukre erabili baditu, zenbat gramo azukre beharko dira erroskilla baten 1 cm2 estaltzeko? Erroskila bakoitzaren goiko aldearen (laua) azalera kalkulatuko dugu: A = ⋅ (R2 − r2 ) → A = ⋅ (8,52 − 2,52 ) = 66 = 207,24 cm2 200 erroskila direnez, estali beharreko azalera: 200 ⋅ 207,24 = 41.448 cm2 5 kg azukre erabili badira, cm2 -ko kantitate hau behar da: 5.000 g : 41.448 cm2 = 0,12 g Monokulo baten armazoia egin dugu, 10 cm burdin hari erabiliz. Zer azalera izango du armazoian ahokatzen den leiarrak? L = 2r → 10 = 2r → r = 1,6 cm A = r2 → A = ⋅ 1,62 = 8 cm2 Kalkulatu disko trinko baten gainazal grabagarriaren azalera (argazkian urdinez ageri da). Diskoaren azalera osoaren zer ehuneko erabiltzen da grabatzeko? A = ⋅ (62 − 22 ) = ⋅ 32 = 100,5 cm2 Erabilitako azalera = ⋅100 = % 88,9 Lorezain batek soropila landatu du koroa zirkular bat osatuz. Koroa zirkularrean marraz daitekeen zuzenkirik handiena 15 m-koa da? Zer azalera du lorezainak landatutako soropilak Eskatutako azalera koroa zirkularrarena da: A = ⋅ (R2 − r2 ) Zuzenkia 15 cm luze denez, Pitagorasen teorema aplikatuko dugu: R2 = r2 + → R2 − r2 = 7,52 Ordezkatuz, hau lortuko dugu: A = ⋅ (R2 − r2 ) = ⋅ 7,52 = 176,63 m2 15 2 2 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 098 ●●● 100 5 113 , 097 ●● 096 ●● 095 ●●● Leku geometrikoak. Irudi lauak R 7,5 r 6 cm 5 cm G F G F 6 cm 2 cm G F G F 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 266
- 267. 267 8ERANTZUNAK A B C 1.500m 3.200 m Hona hemen Brasilgo bandera. Neurtu eta kalkulatu azalera osoaren zer ehuneko dagokion kolore bakoitzari. AZirkulua = ⋅ 62 = 113 mm2 AErronboa = D ⋅ d = 27 ⋅ 18 = 486 mm2 ALaukizuzena = 37 ⋅ 24 = 888 mm2 Urdina = ⋅ 100 = % 12,7 Horia = Berdea = A hiriko teleferikoa mendi baten oinetik atera eta gailurreraino iristen da. Handik B edo C hirira joaten da. a) Zer distantzia egiten du teleferikoak A eta C hirien artean? b) Eta A eta B hirien artean? a) Distantzia (A-Gail.) = Distantzia (Gailurra-C) = = 3.298,48 m Distantzia (A-C) = 1.700 + 3.298,48 = 4.998,48 m Pintore batek irudi hauek erabili ditu hesi bat apaintzeko. Margotutako hesiaren metro koadroko 32 € kobratzen badu, zenbat kobratuko du irudi bakoitza? 1. irudia: hesiko irudia lau aldiz errepikatzen da. Irudiaren azalera 2 m-ko erradioa duen zirkuluerdiaren azalera da; hau da: A = π ⋅ 4 : 2 = 6,28 m2 . 4 irudi direnez, azalera 25,12 m2 -koa da, eta prezioa: ⋅ 32 = 0,08 € = 8 zentimo 2. irudia: 5 m-ko aldea duen karratu batean inskriba daitezkeen 8 lore-hosto dira, karratuaren diagonalarekiko simetrikoak. Erdi bakoitzaren azalera hau da: 90°-ko angelua eta 5 m-ko erradioa dituen sektore zirkularrarena ken 5 m-ko oinarria eta altuera dituen triangeluarena: . Lore-hostoaren azalera 14,25 m2 -koa da, eta 8 lore-hostoena, 114 m2 -koa; prezioa: ⋅ 32 = 0,36 € = 36 zentimo. 114 10 000. 25 4 5 5 2 7 125 π − ⋅ = , m2 25 12 10 000 , . 101 ●●● 10 240 000 640 000 10 880 000. . . . .+ = = 2 250 000 640 000 2 890 000 1 700. . . . . .+ = = m 100 ●● 888 486 888 100 45 3 − ⋅ = % , 486 113 888 100 42 − ⋅ = % 113 888 099 ●● 4 m 10 m 800 m 908272 _ 0242-0273.qxd 28/9/07 13:10 Página 267
- 268. 268 Triangelu batean, edozeinetan,erdibidekoak marraztu ditugu, eta 6 triangelu eratu dira, barizentroa erpin komuna dutela. Azaldu zergatik duten guztiek azalera bera. Hori aintzat hartuta, frogatu barizentrotik erpin bakoitzerako distantzia barizentrotik aurkako aldearen erdiko punturakoaren bikoitza dela. A eta B triangeluen oinarriak berdinak dira (erdibidekoaren definizioa dela-eta), eta altuerak ere berdinak direnez, azalerak bat datoz. Hau da, SA = SB, SC = SD, SE = SF. Triangelu osoa kontuan hartuta eta arrazoiketa berari jarraituz: SA + SB + SC = SD + SE + SF. SC = SD denez → SA + SB = SE + SF 2SA = 2SE → SA = SE. Beraz, SA = SB = SE = SF, eta arrazoiketa edozein erdibidekorekin errepikatuz, SC eta SD-ren berdinak direla lortuko dugu: SA = SB = SC = SD = SE = SF. denez eta , eta gainera, SB = SC = SD: → → Zer da handiena, ABC triangelu angeluzuzenaren azalera ala L1 eta L2-ren azaleren batura? (Irudiko zirkunferentzien diametroak triangeluaren aldeak dira.) A1 eta A2 L1 eta L2-ri dagozkien zirkuluerdi osoen azalerak balira, hiru zirkuluerdien azalera hauek lirateke: A1 = A2 = A3 = Pitagorasen teorema aplikatuz: A1 + A2 = = = = = A3 Triangeluari zirkuluerdi handienaren azalera izateko falta zaion azalera L1 eta L2-ri falta zaiena da. L1 eta L2-ren azalera triangeluaren bera da. πr3 2 2 π(r1 2 + r2 2 ) 2 πr2 2 2 πr1 2 2 πr3 2 2 πr2 2 2 πr1 2 2 103 ●●● b b h h b 1 2 2 2 2 = ⋅ ⋅ =2 2 2 1 2b h b h⋅⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⋅ 2 2 2 1 2b h b h⋅⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⋅ S S b h C D+ = ⋅2 2 S b h B = ⋅1 2 SA = SB; SE = SF ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 102 ●●● Leku geometrikoak. Irudi lauak C A B L1 L2 F A B E D C D Ch B b2 b1 908272 _ 0242-0273.qxd 28/9/07 13:10 Página 268
- 269. 269 8 Alderatu marratutako guneareneta gune zuriaren azalera. Zirkulu handienaren laurdenaren erradioa r bada, r/2 bi zirkuluerdi txikiena izango da; eta haien azalerak: Zirkulu-laurdenaren azalera zirkuluerdien azaleren batura denez, haien ebakidura, marratutako gunea, gune zuriaren berdina da (zirkuluerdien kanpokoa). Karratu hauetan marraztutako zuzenkiak diagonalak dira edo karratuen erpinak aurkako aldeen erdiko puntuekin lotzen dituzten zuzenkiak. Karratuaren azaleraren zer zatiki daude margotuta? ABC triangelua hartuta, margotutako azalera erdibidekoek elkar ebakitzean eratutako 6 triangeluetako bat da. 102. ariketan ikusi zenez, berdinak dira; hain zuzen, karratuaren erdiaren seirena, eta dagokion zatikia: . 4 triangelu berdin, 4 trapezio berdin eta karratu bat eratu dira. Triangeluak antzekoak direnez, triangeluen kateto handiena karratuaren aldearen berdina da, eta triangeluen kateto txikiena trapezioen oinarri handienaren berdina. Beraz, trapezio bat eta triangelu bat elkartuz gero, margotutako karratuaren berdina lortuko dugu, eta horren ondorioz, karratu osoa margotutako 5 karraturen berdina da, eta dagokion zatikia: . Aurreko atalean azaldutakoagatik, triangelua trapezioaren herena da eta karratuaren laurdena; beraz, dagokion zatikia: . Bigarren ebazpenean bezala, erdiko bi karraturen baliokidea daukagu, eta dagokion zatikia hau da: . Lehenengo ebazpenean bezala, c eta a azalerak erdibidekoen bilketaz eratutako triangeluak dira, eta azalera azalera osoaren da; azalera urdina, berriz, a azaleraren bikoitza da, eta dagokion zatikia: . 1 6 1 12 2 5 1 20 1 5 1 12 105 ●●● A r A A r r A A1 2 2 3 2 2 2 3 4 2 2 8 = ⋅ = = ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⋅ + π π π → == ⋅ = π r A 2 1 4 104 ●●● ERANTZUNAK D C A B D C A b a c B 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 269
- 270. 270 Leku geometrikoak. Irudilauak EGUNEROKOAN Plano honetan bulego-eraikin bat egiteko lur-saila ageri da. Lur-sailak 1.300 m-ko aldea duen triangelu aldeberdinaren forma du eta hiru errepide ditu inguruan. Obrako kontratista eta arkitektoa bat etorri dira eraikinaren kokapenari buruz. Demagun egin beharreko eraikina karratu formakoa izango dela 484 m2 -ko azalera izango duela, eta irteerako bideen metro linealak 1.150 € balioko duela. Zenbat balioko dute egin beharreko hiru bideek? 106 ●●● G F 1.300 m Nik uste dut eraikinaren eta hiru errepideen arteko distantziak berdina izan behar duela... Hala, soinua eta kutsadura txikiagoak izango dira. Ados nago… Baina orduan, hiru errepideetarako egin beharko ditugun hiru sarreren kostuaren aurrekontua egin beharko duzu. 908272 _ 0242-0273.qxd 28/9/07 13:10 Página 270
- 271. 271 8 Zirkuluan inskribatutako karratuamarraztuko dugu, zentroa intzentroan duela, eta zuzenek zirkulua ebakitzean lortutako hexagonoa marraztuko dugu. Zirkuluaren erradioa karratuaren diagonalaren erdia da. Hexagonoaren apotema hau da: Triangeluak antzekoak direnez: Karratuaren eta alboaren arteko distantzia barizentrotik alborako distantzia ken OD da. Barizentrotik alborako distantzia altueraren herena da. Karratutik oinarrirako distantzia altueraren herena ken karratuaren aldearen erdia da: Distantzien batura hau da: 2 ⋅ 362,57 + 364,28 = 1.089,42 m. Beraz, prezioa hau da: 1.089,42 ⋅ 1.150 = 1.252.833 €. 1 125 83 3 22 2 364 28 . , ,− = m. Alborako distantzia = − = 1 125 83 3 12 71 362 57 . , , , mm h = − =1 300 650 1 125 832 2 . . , m OD OC OB OA OD= = ⋅ =→ 11 15 56 13 47 12 71 , , , m OA = − =242 60 5 13 47, , m r = + = 484 484 2 15 56, m l = =484 22 m ERANTZUNAK C D A B O 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 271
- 272. 272 Mendi baten gailurreanerrepikagailua jarri nahi dute, inguruan dauden lau herrietako komunikazioak bermatzeko. Lau herriak laukizuzen baten erpinetan daude kokatuta, eta hauek dira haien arteko distantziak: Mapan ikus daitekeenez, mendi-gailurraren eta Hargaitz nahiz Herrigoitiren arteko distantziak erraz neur daitezke. Hona hemen distantzia horiek: Dena den, Sasimendiren eta beste bi herrien arteko distantziak ezin dira hain erraz neurtu, tartean aintzira bat dagoelako. Antzeko beste errepikagailu batzuetan egin diren neurketei esker, jakina da seinalea onargarria dela 90 km arteko distantzian, baina hortik aurrera ez dela hain ona. 107 ●●● Leku geometrikoak. Irudi lauak Hargaitz - Herrigoiti 100 km Herrigoiti - Herribeheiti 60 km Hargaitz - Sasimendi 50 km Herrigoiti - Sasimendi 80 km Hargaitz Herrigoiti Haizpe Herribeheiti Pico de Buey 60 km 100 km Sasimendi 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 272
- 273. 273 8 Onargarria izango alda seinalea Herribeheiti eta Haizpe herrietan? 2.500 − x2 = 6.400 − 10.000 + 200x − x2 200x = 6.100 → x = 30,5 km Distantziak 90 km baino txikiagoak direnez, seinalea onargarria da. SBH = − + =( , ) , ,60 39 62 30 5 36 682 2 km SHB = − + − =( , ) ( , ) ,60 39 62 100 30 5 72 422 2 km h x h2 2 2 50 2 500 930 25 39 62= − = − =→ . , , km h x h x x 2 2 2 2 2 2 2 2 250 80 100 50 80 = − = − − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ − = − ( ) → (( )100 2 − x ERANTZUNAK 908272 _ 0242-0273.qxd 20/9/07 16:20 Página 273
- 274. MOTAKELEMENTUAK AZALERAK 274 Gorputz geometrikoak9 PRISMAK ETAPIRAMIDEAK ELEMENTUAK EULERREN FORMULA POLIEDROAK PRISMEN ETA PIRAMIDEEN BOLUMENAK CAVALIERIREN PRINTZIPIOA ZILINDROEN, KONOEN ETA ESFEREN BOLUMENAK BOLUMENAK IRUDI ESFERIKOAK AZALERAK BIRAKETA-GORPUTZAK KOORDENATU GEOGRAFIKOAK LUR-ESFERA 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 274
- 275. Arkimedesen ondarea Sizilian, Zizeronarduratuta zegoen haren seme Markoren eredua Julio Zesarren gerlari-izaera eta garaipenak zirelako. Zizeronek honela hitz egin zion semeari: –Hemendik oso hurbil, Sirakusan, garai guztietako gerra-ingeniari handiena bizi izan zen. Erromatar armadari hiru urtez baino gehiagoz eusteko gai izan zen, bera bakarrik. Markori interes handia sortu zion gai hark eta aitak Arkimedesen historia kontatu zion. Gainera, biharamunean haren hilobia ikustera joango zirela agindu zion. Biharamunean, hilobiaren aurrean, Markok Arkimedesen balentriak ikusteko itxaropena zuen, baina zilindro batean inskribatutako esfera bat baino ez zuen aurkitu. Orduan, Zizeronek esan zion: –Ingeniaritza militarrean aurrerapen asko egin arren, ez zuen haiei buruz ezer idatzi, baina bai matematikako eta mekanikako liburu asko. Haren ustez, altxorrik handiena hau zen: esferaren bolumena hura barne hartzen duen zilindroaren bolumenaren bi heren dela aurkitzea. Irudi batzuk irudi lauak biraraziz lortzen dira. Zer irudi dira? Ezagutzen al duzu horrela sortzen den beste irudirik? Laukizuzen bat haren alde baten inguruan biraraziz zilindroa sortzen da. Esfera, berriz, zirkuluerdi bat haren diametroa barne hartzen duen ardatzaren inguruan biratzean sortzen da. 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 275
- 276. 276 ARIKETAK Adierazi zer izenduten poliedro hauek eta zenbat aurpegi nahiz ertz dituzten. a) b) a) Hexaedroa: 6 aurpegi eta 10 ertz. b) Hexaedroa: 6 aurpegi eta 12 ertz. Egin aurreko ariketako poliedroen garapen lauak eta adierazi zer urratsi jarraitu diezun. a) b) Marraztu ertz eta erpin kopuru desberdina duten bi heptaedro. (Erreparatu aurreko adibideei.) Poliedro hau kubo moztu bat da (kuboaren erpin guztiak moztuta daude triangelu aldeberdin bana osatzen dutela). Poliedro ahurra ala ganbila da? Egiaztatu Eulerren formula betetzen duela. Ganbila da. Aurpegiak = 14, ertzak = 36, erpinak = 24. Eulerren formula betetzen du → 14 + 24 = 36 + 2. 004 003 002 001 Gorputz geometrikoak 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 276
- 277. 277 9 Adierazi zer poligonoerregular egin daitekeen: a) Triangelu aldeberdinez. b) Karratuz. Zenbat aurpegi elkartzen dira erpin bakoitzean? a) Tetraedroa (3), oktaedroa (4) eta ikosaedroa (5). b) Kuboa (3). Egin al daiteke poliedro erregular bat hexagono erregularrak soilik erabiliz? Eta sei alde baino gehiagoko poligono erregularrak erabiliz? Ezin da poliedro erregularrik egin 6 alde baino gehiagoko poligonoak erabiliz, angelu poliedroen neurria 360° baino handiagoa izango litzatekeelako. Sailkatu prisma hauek eta izendatu elementu nagusiak. a) b) Ortoedroa Prisma hexagonal zeiharra Kalkulatu 9 cm-ko ertza duen kuboaren azalera. Azalera 6 aurpegien azaleren batura da; beraz, A = 6 ⋅ 92 = 486 cm2 . Kalkulatu prisma triangeluar baten azalera. Oinarria triangelu aldeberdin erregularra da; oinarriko ertza, 5 cm-koa; eta altuera, 16,5 cm-koa. Lehendabizi, oinarriaren azalera kalkulatuko dugu: A = 3 ⋅ AAurpegia → AAldea = 3 ⋅ 5 ⋅ 16,5 = 247,5 cm2 A = AAldea + 2 ⋅ AOinarria → A = 247,5 + 2 ⋅ 10,8 = 269,1 cm2 Kalkulatu prisma hexagonal erregular baten azalera. Oinarriko ertzak 8 cm ditu; altuerak, 10 cm. Lehendabizi, oinarriaren azalera kalkulatuko dugu: AAldea = 6 ⋅ AAurpegia = 6 ⋅ 8 ⋅ 10 = 480 cm2 A = AAldea + 2 ⋅ AOinarria → A = 480 + 2 ⋅ 165,6 = 811,2 cm2 A P a AOinarria Oinarria 26,9 165,6 cm= ⋅ = ⋅ ⋅ = 2 6 8 2 → a = − = − =8 64 162 2 4 6,9 cm 010 A b h AOinarria B= ⋅ = ⋅ ⋅ = 1 2 1 2 5→ 4,3 10,8 cm2 h = − =52 2 2,5 4,3 cm 009 008 007 006 005 ERANTZUNAK Oinarria Alboko ertzaG G Oinarria Altuera Altura Alboko ertzaG Alboko aurpegiaG Oinarriko ertzaG Alboko aurpegiaG Oinarriko ertzaG 5 cm h 8cm a 4 cm 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 277
- 278. 278 Sailkatu piramide haueketa esan elementu nagusien izenak. a) b) Piramide triangeluar zuzena Piramide hexagonal zeiharra Kalkulatu piramide hexagonal erregular baten guztizko azalera, jakinik oinarriko ertza 6 cm-koa dela, eta alboko aurpegien apotema, 12 cm-koa. Oinarri hexagonalaren azalera kalkulatuko dugu: 62 = a2 + 32 → a = = 5,2 cm AAldea = 6 ⋅ AAurpegia → AAldea = 6 ⋅ 36 = 216 cm2 A = AAldea + AOinarria → A = 216 + 93,6 = 309,6 cm2 Oinarritzat edozein triangelu hartuta piramide zuzen bat egin daiteke. Egin al daiteke edozein lauki hartuta? Triangelua hartuta egin daiteke; izan ere, erdibitzaileen ebakiduratik (zirkunzentroa) igarotzen den triangeluaren zuzen zutean egongo da erpina. Laukizuzena hartuta ezin da; izan ere, erdibitzaileen ebakidurak ez du zertan puntu bat izan. Marraztu biraketa-gorputz hauen garapen laua eta kalkulatu azalera. a) 3 cm-ko erradioko oinarria eta 5 cm-ko altuera dituen zilindroa. b) 4 cm-ko erradioa eta 6 cm-ko sortzailea dituen konoa. a) AA = 2πrh → AL = 2π ⋅ 3 ⋅ 5 = 94,2 cm2 AO = πr2 → AB = π ⋅ 32 = 28,26 cm2 A = AA + 2 ⋅ AO → → A = 94,2 + 2 ⋅ 28,26 = 150,72 cm2 b) AA = πrg → AL = π ⋅ 4 ⋅ 6 = 75,36 cm2 AO = πr 2 → AB = π ⋅ 42 = 50,24 cm2 A = AA + AO → AT = 75,36 + 50,24 = = 125,6 cm2 014 013 A b h AAurpegia Aurpegia 21 1 cm= ⋅ = ⋅ ⋅ = 2 2 6 12 36→ A P a AOinarria Oinarria= ⋅ = ⋅ ⋅ = 2 6 6 2 → 5,2 93,6 cm2 36 9 27− = 012 011 Gorputz geometrikoak Oinarria Alboko ertzaG Apotema Altura F Alboko aurpegia F Oinarria FOinarriko ertza F ErpinaG ErpinaG Alboko aurpegiaG G Oinarriko ertza Alboko ertzaG AltueraG G 3 cm 6cm a 5 4 cm 6cm G G 3 cm 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 278
- 279. 279 9 Alboko azalera: 75,36cm2 . Oinarriko erradioa: 4 cm. Zer altuera du zilindroak? AA = 2πrh → 75,36 = 2π ⋅ 4 ⋅ h → Kono batek zilindro baten oinarri bera eta haren azaleraren erdia ditu. Zein da altuera? Erradio bera eta azalera erdia dituenez: πr(h + r) = πr(g + r) → h = g Zilindroaren altuerak konoaren sortzailearen berdina izan behar du, eta konoaren altuera sortzailea baino txikiagoa denez beti, zilindroaren altuera konoarena baino handiagoa da. 20 cm-ko erradioko esferan, kalkulatu 40°-ko ziri-gainazalaren azalera eta 10 cm-ko altuerako txapel esferikoarena. AZiri-gainazala = → AZiri-gainazala = = 558,2 cm2 ATxapel esferikoa = 2πrh ⎯→ ATxapel esferikoa = 2π ⋅ 20 ⋅ 10 = 1.256 cm2 15 zentimetroko diametroa duen laranja batean, azalaren zer azalera dagokio 12 laranja-ataletako bakoitzari? Laranja-atal bakoitza neurri honetako ziri-gainazala da: . AZiri-gainazala = → AZiri-gainazala = → AZiri-gainazala = 58,9 cm2 Kalkulatu gune esferiko baten altuera, azalera 10°-ko ziri-gainazal esferiko baten azaleraren berdina izan dadin, jakinik dagokion esferaren erradioa 15 cm-koa dela. Eta erradioa 30 cm-koa balitz? Esferaren erradioaren araberakoa al da emaitza? AZiri-g. = → AZiri-g. = → AZiri-g. = 78,5 cm2 AGunea = 2πr 2 h → AGunea = 2π ⋅ 152 ⋅ h = 1.413 ⋅ h Beraz: 78,5 = 1.413 ⋅ h → h = 0,06 cm. Erradioa r = 30 cm bada, hau daukagu: AZiri-gainazala = = 314 cm2 314 = 2π ⋅ 302 ⋅ h → h = = 0,06 cm eta hori gunearen altuera bera da; berdintza planteatuz eta sinplifikatuz ondoriozta genezakeen hori: = 2πr 2 h → h = adierazpenean ez da ageri erradioa, r. 2 360 ⋅ n4 360 2 πr n⋅ 314 5 652. 4 30 10 360 2 π ⋅ ⋅ 4 15 10 360 2 π ⋅ ⋅4 360 2 πr n⋅ h 15 cm 019 4 30 360 2 π ⋅ ⋅7,54 360 2 πr n⋅ 360 12 30= ° 018 4 20 40 360 2 π ⋅ ⋅4 360 2 πr n⋅ 017 016 h = = 75,36 25,12 cm3 015 ERANTZUNAK 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 279
- 280. 280 Kalkulatu prisma hexagonalerregular baten bolumena. Oinarriko ertza 3 cm-koa da, eta altuera, 4 cm-koa. Oinarriaren azalera kalkulatuko dugu: 32 = a2 + 1,52 → a = = 2,6 cm V = AO ⋅ h → V = 23,4 ⋅ 4 = 93,6 cm3 Kalkulatu aurreko ariketako prisman zirkunskribatutako zilindroaren bolumena. Zilindroaren erradioa eta hexagonoaren aldea berdinak dira (3 cm). V = πr2 h = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 113,04 cm3 Kalkulatu kubo baten ertzaren luzera, jakinik 3, 4 eta 5 cm-ko ertzak dituen ortoedroaren bolumen bera duela. VOrtoedroa = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 cm3 VKuboa = l3 → 60 = l3 → l = 3,91 cm Bi zilindrok bolumen bera badute eta baten erradioa bestearen erradioaren bikoitza bada, zer lotura dago altueren artean? πr2 h = πr'2 h' πr2 h = π ⋅ 4 ⋅ r2 h' → h = 4h' Erradio txikieneko zilindroaren altuera bestearen halako lau da. Kalkulatu irudi hauen bolumena. a) b) a) b) Kalkulatu irudiko kuboaren eta konoaren arteko espazioaren bolumena. VKuboa = 103 = 1.000 cm3 VKonoa = πr2 h → VKonoa = π ⋅ 52 ⋅ 10 = 261,7 cm3 VKuboa − VKonoa = 1.000 − 261,7 = 738,3 cm3 1 3 1 3 10 cm 025 V r h V= = ⋅ ⋅ = 1 3 1 3 4 3 50 242 2 3 π π→ , cm V A h V= ⋅ = ⋅ ⋅ = 1 3 1 3 3 7 212 3 Oinarria cm→ 4 cm 5 cm 3 cm 7cm 024 r' = 2r ⎯⎯⎯⎯⎯→ 023 022 021 A P a AO O= ⋅ = ⋅ ⋅ = 2 6 3 2 → 2,6 23,4 cm2 9 − 2,25 020 Gorputz geometrikoak 1,5 cm 3cm a 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 280
- 281. r erradioko etah altuerako konoa badugu, nola handituko da gehien bolumena: erradioa 1 cm handituz ala altuera 1 cm handituz? Erradioa 1 cm handituz: Bolumena honela handitzen da: . Altuera 1 cm handituz: Bolumena honela handitzen da: . Erradioaren kasuan gehiago handitzen da, baldin bada. Kalkulatu 10 cm-ko diametroa duen esferaren bolumena. Esfera baten bolumena 22 dm3 -koa bada, zer erradioa du? Kalkulatu 1 m-eko altuerako eta diametroko zilindroan zirkunskribatutako eta inskribatutako esferen bolumena. Zer alde dago esferen erradioen artean? Esfera inskribatuaren erradioa zilindroaren diametroaren erdia da: 0,5 m. Esfera zirkunskribatuaren erradioa zilindroaren diagonalaren erdia da; Pitagorasen teorema erabiliz kalkulatuko dugu. Diagonalaren luzera: m. Erradioen arteko aldea: 2 2 1 2 2 1 2 1 2 − = − = − = 1,41 0,205 m. r V r= = = ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = 2 2 4 3 4 3 2 3 3 m 1,41 1,47 m→ π π 33 1 1 22 2 + = V r= = ⋅ = 4 3 4 3 3 3 3 π π 0,5 0,52 m 1 m GF 1 m 029 V r r r= = = = 4 3 22 4 3 22 4 3 3 3 3 π π π → → 1,74 dm 028 V r= = ⋅ = 4 3 4 3 5 523 333 3 3 π π , cm 10 cm 027 h r r > + 2 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 2 1 2 2 2 ( )( ) ( ) ( )π πr h r r h r h r r + ⋅ > + ⋅ > > + → → 1 3 2 ( )πr V r h r h r= ⋅ + = ⋅ + 1 3 1 1 3 1 3 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ).π π π 1 3 2 1( )( )π r h+ ⋅ V r h r r h r h= + ⋅ = + + ⋅ = ⋅ + 1 3 1 1 3 2 1 1 3 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )π π π 11 3 2 1( )( )π r h+ ⋅ 026 281 9ERANTZUNAK 908272 _ 0274-0309.qxd 28/9/07 13:46 Página 281
- 282. 282 Bilatu atlas bateanIpar latitudea eta Mendebalde longitudea dituen hiri bat, eta Hego latitudea eta Ekialde longitudea dituen beste bat. Ipar latitudea eta Mendebalde longitudea: New York. Hego latitudea eta Ekialde longitudea: Sidney. A hiriaren koordenatuak 20° E 30° I dira, eta B hiriarenak, 50° M 25° H. Zenbat gradu longitude eta latitude daude A eta B hirien artean? Latitudeen arteko aldea: 25° + 30° = 55°. Longitudeen arteko aldea: 20° + 50° = 70°. A eta B puntuak paralelo berean badaude, zer lotura dago bien latitudeen artean? Izango al lukete loturarik meridiano berean baleude ? Paralelo berean badaude, latitude bera dute. Meridiano berean badaude, longitude bera dute, baina latitudeari buruz ezin da ezer esan. ARIKETAK Marraztu poliedro hauen garapenak. a) c) b) d) a) b) d) c) 033 ●● A B 032 031 030 Gorputz geometrikoak 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 282
- 283. 283 9 Erregularrak al dirahiru poliedro hauek? Arrazoitu erantzuna. Ez dira erregularrak, aurpegien forma eta neurria ez baitira berdinak. Aztertu ea betetzen duten Eulerren formula poliedro hauek. a) c) e) g) b) d) h) f) Sailkatu ahurretan eta ganbiletan. a) Aurpegiak = 10 Erpinak = 7 Ertzak = 15 → 10 + 7 = 15 + 2 Ganbila. b) Aurpegiak = 9 Erpinak = 9 Ertzak = 16 → 9 + 9 = 16 + 2 Ahurra. c) Aurpegiak = 12 Erpinak = 10 Ertzak = 20 → 12 + 10 = 20 + 2 Ganbila. d) Aurpegiak = 9 Erpinak = 9 Ertzak = 16 → 9 + 9 = 16 + 2 Ahurra. e) Aurpegiak = 8 Erpinak = 8 Ertzak = 14 → 8 + 8 = 14 + 2 Ganbila. f) Aurpegiak = 4 Erpinak = 4 Ertzak = 6 → 4 + 4 = 6 + 2 Ganbila. g) Aurpegiak = 9 Erpinak = 9 Ertzak = 16 → 9 + 9 = 16 + 2 Ganbila. h) Aurpegiak = 11 Erpinak = 16 Ertzak = 24 → 11 + 16 24 + 2 Ahurra. Beheko taulan poliedro erregularrak daude adierazita. Osatu taula eta egiaztatu denek betetzen dutela Eulerren formula. 036 ●● 035 ●● 034 ●● a) b) c) ERANTZUNAK Aurpegiak Erpinak Ertzak A + Ep −Er Tetraedroa 4 4 6 2 Kuboa 6 8 12 2 Oktaedroa 8 6 12 2 Dodekaedroa 12 20 30 2 Ikosaedroa 20 12 30 2 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 283
- 284. 284 Marraztu piramide pentagonalbat. Zenbatu ertzak, erpinak eta aurpegiak, eta egiaztatu Eulerren formula betetzen duela. Aurpegiak = 6, erpinak = 6, ertzak = 10. Betetzen du Eulerren formula → 6 + 6 = 10 + 2. Adierazi zer poligono den prismaren oinarria, kasu bakoitzean. a) 10 erpin baditu. b) 9 ertz baditu. c) 9 aurpegi baditu. a) Pentagonoa. b) Triangelua. c) Heptagonoa. Adierazi zer poligono den piramidearen oinarria, kasu bakoitzean. a) 10 erpin baditu. b) 12 ertz baditu. c) 9 aurpegi baditu. a) Eneagonoa. b) Hexagonoa. c) Oktogonoa. Luzera bereko ertzak dituzten tetraedro eta oktaedro bana ditugu; aurpegi batetik itsatsi ditugu, beste poliedro bat osatzeko. Betetzen al du Eulerren formula poliedro horrek? Aurpegiak = 10, erpinak = 7, ertzak = 15. Betetzen du: 10 + 7 = 15 + 2. Ortoedro baten hiru ertzak 5, 6 eta 4 cm-koak dira, hurrenez hurren. Kalkulatu diagonala. d = oinarriaren diagonala = → → d = = 7,8 cm D = ortoedroaren diagonala = → → D = = 8,8 cm Kalkulatu 3 cm-ko ertza duen kuboaren diagonala. d = oinarriaren diagonala = cm D = kuboaren diagonala = = 5,2 cm3 18 9 18 272 2 + = + =( ) 3 32 2 + 042 ●● 16 61 77+ = 42 2 + d 36 25 61+ = 6 52 2 + 041 ● 040 ●● 039 ● 038 ● 037 ● Gorputz geometrikoak d D F DE A B C 6 cm 4 cm 5 cm 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 284
- 285. 285 9 Kubo baten diagonalam-koa da. Zenbatekoa da ertza? Eta aurpegi baten diagonala? d2 = l2 + l2 = 2l2 D2 = d2 + l2 = 3l2 → ( )2 = 3l2 → l2 = 9 → l = 3 m d2 = 2l2 → d = l → d = 3 = 4,2 m Lau angeluko piramide erregular baten apotema 12 cm-koa da, eta oinarriko ertza, 10 cm-koa. Zenbatekoa da altuera? a2 122 = h2 + 52 → → h2 = 144 − 25 = 119 → h = 10,9 cm Piramide hexagonal erregular baten apotema 10 cm-koa da, eta oinarriko ertza, 10 cm-koa. Zenbatekoa da altuera? Oinarriaren apotema, a', kalkulatuko dugu: 102 = a'2 + 52 → a' = cm Piramidean kolorea duen triangeluari Pitagorasen teorema aplikatuko diogu: a2 = h2 + a'2 → 102 = h2 + ( )2 → → h2 = 100 − 75 → h = = 5 cm Kalkulatu gorputz geometriko hauetan adierazitako zuzenkien luzera. a) b) a) Oinarriaren diagonala kalkulatuko dugu, l = 6 cm aldea duen karratua. d 2 = 62 + 62 = 2 ⋅ 62 → d = 6 cm Margotutako triangeluari Pitagorasen teorema aplikatuz: → h2 = 36 − 18 → h = = 3 cm Beraz, zuzenkiaren luzera: 2h = 2 = 6 = 8,5 cm. b) Markatutako zuzenkia l = 8 cm aldea duen karratuaren diagonala da. d = + = ⋅ = =8 8 2 8 8 22 2 2 11,3 cm 218 218 l2 2 2 2 2 2 2 6 6 2 2 = + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟h d h→ →→ 2 8 cm 8 cm 6 cm 046 ●● 25 75 75 045 ● = + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟h2 2 2 l → 044 ● 22 27 27043 ●●● ERANTZUNAK D d l l = 10 cm h 12 cm 5 cm a = 10 cm h 10cm a' a' G G G l h l 2 G d 2 908272 _ 0274-0309.qxd 28/9/07 13:46 Página 285
- 286. Kono bat oinarriarenparaleloa den plano batez ebakitzean, beste kono bat eta kono-enbor bat lortzen dira. Kalkulatu kono-enborraren altuera. Altuera: Marraztu oinarri karratuko piramide-enbor bat. Oinarrien aldeak 8 cm eta 11 cm-koak dira, eta altuera, 4 cm-koa. Kalkulatu alboko aurpegiaren altuera. Pitagorasen teorema aplikatuko dugu: a Kalkulatu piramide-enborraren alboko ertza, x, eta piramidearen altuera, h. Antzeko triangeluak direnez, H = h + 4,8 hartuta: → h = 14,4 cm → → H = 14,4 + 4,8 = 19,2 cm ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ h ⎯⎯⎯→ 6 h + 4,8 → 8 x = −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ + −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ + = 8 6 2 8 6 2 2 2 2 4,8 25,,04 cm= 5 050 ●●● = =18,25 4,27 cm = + = −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ + =b h2 2 2 211 8 2 4 049 ●●● h = − − = =8 5 3 602 2 ( ) 7,75 cm 048 ●● 047 EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA PIRAMIDE-ENBOR BATEN ALBOKO AURPEGIAREN ALTUERA? Kalkulatu piramide-enbor honen alboko aurpegiaren altuera. Piramide-enborra: oinarri izeneko bi aurpegi paralelok eta trapezio isoszeleak diren zenbait alboko aurpegik osatutako poliedroa. Piramidea oinarriaren paraleloa den plano batez ebakitzean eratzen da. LEHENA. ABC triangelu angeluzuzena definitu behar da AB = 7 − 4 = 3 cm AC = h = 4 cm BIGARRENA. Pitagorasen teorema aplikatu behar da. (BC) 2 = (AB) 2 + (AC) 2 BC = + =3 4 52 2 cm 286 Gorputz geometrikoak 4 cm 4 cm 7 cm G G G 4 cm 4 cm G G BA C 3 cm 8 cm 5 cm h x 8 cm 6 cm F 4,8 cm 8 cm 11 cm h a F b 908272 _ 0274-0309.qxd 28/9/07 13:46 Página 286
- 287. 287 9 Kalkulatu prisma triangeluarzuzen baten guztizko azalera. Altuera 3 cm-koa da, eta oinarria, 2 cm-ko aldeko triangelu aldeberdina. Oinarriaren azalera kalkulatuko dugu: 22 = a2 + 12 → Eta alboko aurpegi baten (laukizuzena) azalera kalkulatuko dugu: AAurpegia = 2 ⋅ 3 = 6 cm2 → AAldea = 3 ⋅ AAurpegia = 3 ⋅ 6 = 18 cm2 A = AAldea + 2 ⋅ AOinarria → A = 18 + 2 = 21,5 cm2 Kalkulatu ortoedro baten azalera. Altuera 5 cm-koa da, eta oinarria, 3 × 4 cm-ko laukizuzena. Alboko aurpegi mota bakoitzaren azalera kalkulatuko dugu: A➀ = 3 ⋅ 5 = 15 cm2 A➁ = 4 ⋅ 5 = 20 cm2 AOinarria = 4 ⋅ 3 = 12 cm2 A = 2 ⋅ A➀ + 2 ⋅ A➁ + 2 ⋅ AOinarria A = 2 ⋅ 15 + 2 ⋅ 20 + 2 ⋅ 12 = 30 + 40 + 24 = 94 cm2 Ortoedro baten luzera zabaleraren bikoitza da, eta zabalera, altueraren bikoitza. Kalkulatu guztizko azalera, jakinik diagonala cm-koa dela. Altuera = x Zabalera = 2x Luzera = 2 ⋅ 2x = 4x Oinarriaren diagonala, d', hau da: d' = Eta ortoedroaren diagonala, d, hau da: d 2 = d'2 + x2 21 = 20x2 + x2 → → 21 = 21x2 → x = 1 cm Beraz, neurriak 4 cm, 2 cm eta 1 cm dira: A = 2 ⋅ 4 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 16 + 8 + 4 = 28 cm2 → →( ) ( )21 202 2 2 2 = +x x ( ) ( )4 2 202 2 2 x x x+ = cm 21 053 ●● 052 ● 3 A b a AOinarria Oinarria= ⋅ = ⋅ ⋅ = 1 2 1 2 2 3 3→ cm2 a = − =4 1 3 cm 051 ● ERANTZUNAK a 2 cm 1 cm x 21 cm 2x4x 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 287
- 288. 288 Kalkulatu piramide triangeluarzuzen baten guztizko azalera, jakinik alboko ertza 6 cm-koa dela, eta oinarria, 4 cm-ko aldea duen triangelu aldeberdina. Alboko aurpegi baten apotema kalkulatuko dugu: a 5,66 cm AAur. = b ⋅ a → AC = ⋅ 4 ⋅ 5,66 = 11,32 cm2 AAldea = 3 ⋅ AAurpegia → AAldea = 3 ⋅ 11,32 = 34 cm2 Oinarriaren azalera kalkulatuko dugu: h 3,5 cm AOinarria = b ⋅ h = ⋅ 4 ⋅ 3,5 = 7 cm2 A = AAldea + AOinarria → A = 34 + 7 = 41 cm2 Tetraedro erregular baten ertza 2 cm-koa da. Kalkulatu aurpegi baten azalera eta guztizkoa. Aurpegi baten azalera kalkulatuko dugu: AAurpegia = b ⋅ h → AC A = 4 ⋅ AAurpegia = = 6,93 cm2 Oktaedro erregular baten ertza 4 cm-koa da. Kalkulatu aurpegi baten azalera eta guztizkoa. Aurpegi baten azalera kalkulatuko dugu: AAurpegia A = 8 ⋅ AAurpegia → AT = 8 ⋅ 55,4 cm2 Ikosaedro erregular baten ertza 6 cm-koa da. Kalkulatu aurpegi baten azalera eta guztizkoa. Ikosaedroaren azalera: A = 20 ⋅ AAurpegia. AAurpegia = b ⋅ h → AAur. = ⋅ 6 ⋅ 5,2 = 15,6 cm2 A = 20 ⋅ 15,6 = 312 cm2 1 2 1 2 h h= − = − = =6 3 36 9 272 2 → 5,2 cm 057 ●● 4 3 32 3= = = ⋅ ⋅ = 1 2 4 12 4 3 cm2 h = − =4 2 122 2 cm 056 ●● 4 3 = ⋅ ⋅ = 1 2 2 3 3 cm21 2 h = − =2 1 32 2 cm 055 ●● 1 2 1 2 = − = =4 2 122 2 1 2 1 2 = − = =6 2 322 2 054 ● Gorputz geometrikoak 2 cm 2 cm 6 cm 4 cm a h h 1 cm 2 cm h 4 cm 2 cm h 6 cm 3 cm G 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 288
- 289. 289 9 Kalkulatu hauen ertza: a)cm2 -ko guztizko azalera duen tetraedroa. b) cm2 -ko aurpegiak dituen ikosaedroa. c) cm2 -ko guztizko azalera duen oktaedroa. a) A = 4 ⋅ AAurpegia → = 4 ⋅ AA → AA = cm2 l2 = 16 → l = 4 cm b) l2 = 4 → l = 2 cm c) A = 8 ⋅ AAurpegia → 18 = 8 ⋅ AC → l2 = 9 → l = 3 cm Kalkulatu gorputz hauen eta irudi esferiko hauen azalera. a) c) e) g) b) d) f) h) 059 ● AAurpegia = ⋅ ⋅ = 1 2 3 2 9 3 4 3 4 2 l l l → → h = − =l l l2 2 4 3 2 → AC = 9 3 4 2 cm3 → →2 3 3 2 2 = ⋅l A b hAurpegia = ⋅ = ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = 1 2 3 1 2 2 2 32 2 → →l l l ll l ⋅ 3 4 2 → → →4 3 3 4 2 = l A h ACAurpegia = ⋅ = ⋅ = 1 2 1 2 3 2 3 4 2 l l l l → → h = − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = =l l l l2 2 2 2 3 4 3 2 4 316 3 18 3 3 16 3 058 ●● ERANTZUNAK h l h l 6 cm 9 cm G 4 cm 40° 4 cm 6 cm G 6 cm 3 cm 5 cm G 3 cm 3 cm G 5cm 3 cm G 5cm 4 cm 3 cm l 2 l 2 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 289
- 290. 290 a) A =2 ⋅ (3 ⋅ 4) + 2 ⋅ (4 ⋅ 5) + 2 ⋅ (3 ⋅ 5) = 24 + 40 + 30 = 94 cm2 b) A = 2πr2 + 2πrh → A = 2π ⋅ 32 + 2π ⋅ 3 ⋅ 5 → → A = 56,52 + 94,2 = 150,72 cm2 c) AEsfera = 4πr2 → AEsfera = 4π ⋅ 32 = 113,04 cm2 d) ATxapel esferikoa = 2πrh → ATxapel esferikoa = 2π ⋅ 5 ⋅ 3 = 94,2 cm2 e) Alboko aurpegi baten apotema kalkulatuko dugu: AAurpegia = b ⋅ a → AAurpegia = ⋅ 3 ⋅ 5,8 = 8,7 cm2 AAldea = 6 ⋅ AAurpegia → AAldea = 6 ⋅ 8,7 = 52,2 cm2 Gero, oinarriaren azalera kalkulatu behar da: a' = A = AA + AO → A = 52,2 + 23,4 = 75,6 cm2 f) Alboko azalera kalkulatuko dugu: AA = πrg → AA = π ⋅ 4 ⋅ 6 = 75,36 cm2 AO = πr2 → AO = π ⋅ 42 = 50,24 cm2 A = AA + AO → AT = 75,36 + 50,24 = 125,6 cm2 g) AZiri-gainazala 22,33 cm2 h) AGunea = 2πrh → AGunea = 2π ⋅ 9 ⋅ 6 = 339,12 cm2 Kalkulatu hauen azalera: a) Aurpegi baten diagonala 10 cm-koa duen kuboa. b) Oinarriaren diametroa 20 cm-koa eta altuera 12 cm-koa dituen zilindroa. c) 4 cm-ko erradioko eta 6 cm-ko altuerako konoa. d) 12 cm-ko diametroko esfera. e) 80°-ko anplitudeko eta 20 cm-ko erradioko ziri-gainazal esferikoa. f) 10 cm-ko erradioko eta 9 cm-ko altuerako txapel esferikoa. g) 8 cm-ko altuerako eta 12 cm-ko erradioko gune esferikoa. h) 3 cm-ko altuera eta oinarriko aldea dituen piramide hexagonal erregularra. a) d2 = l2 + l2 → 102 = 2l2 → l = cm AAurpegia = l2 → AA = 50 cm2 AKuboa = 6 ⋅ AA → AKuboa = 6 ⋅ 50 = 300 cm2 b) AAldea = 2πrh → AAldea = 2π ⋅ 10 ⋅ 12 = 753,6 cm2 AOinarria = πr2 → AOinarria = π ⋅ 102 = 314 cm2 A = AAldea + 2 ⋅ AOinarria → A = 753,6 + 2 ⋅ 314 = 1.381,6 cm2 50 060 ● = ⋅ = ⋅ ⋅ = 4 360 4 4 40 360 2 2 π πr n A ° ° ° Ziri-gainazala→ A P a AO O= ⋅ = ⋅ ⋅ = ' 2 6 3 2 2 → 2,6 23,4 cm 32 2 − = =1,5 6,75 2,6 cm 1 2 1 2 a = − = =62 2 1,5 33,75 5,8 cm Gorputz geometrikoak 6 cm 3cm 1,5 cm 1,5 cm a a' 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 290
- 291. 291 9 c) AAldea =πrg → AAldea = π ⋅ 4 ⋅ = 90,56 cm2 AOinarria = πr2 → AOinarria = π ⋅ 42 = 50,24 cm2 A = AAldea + AOinarria → A = 90,56 + 50,24 = 104,8 cm2 d) AEsfera = 4πr2 → AEsfera = 4π ⋅ 62 = 452,2 cm2 e) AZiri-gainazala = → AZiri-gainazala = = 1.116,4 cm2 f) ATxapel esferikoa = 2πrh → ATxapel esferikoa = 2π ⋅ 10 ⋅ 9 = 565,2 cm2 g) AGunea = 2πrh → AGunea = 2π ⋅ 12 ⋅ 8 = 602,9 cm2 h) Alboko ertza eta alboko aurpegiaren apotema kalkulatuko ditugu: Oinarriaren apotema hau da: A = 35,76 + 23,4 = 59,16 cm2 Oinarri karratuko piramide zuzen baten (eta beraz erregularraren) alboko azalera 80 cm2 -koa da, eta oinarriko perimetroa, 32 cm-koa. Kalkulatu piramidearen apotema. Bi zilindroren alboko azalera bera da, eta erradioak, 6 eta 8 m-koak, hurrenez hurren. Kalkulatu altuera, jakinik bien arteko aldea 3 m-koa dela. Kalkulatu, halaber, zilindroaren alboko azalera eta guztizko azalera. 2 ⋅ π ⋅ 6 ⋅ (x + 3) = 2π ⋅ 8 ⋅ x → 12,56x = 113,04 → x = 9 m 6 m-ko erradioa duen zilindroak 12 m-ko altuera du, eta 8 m-ko erradioa duen zilindroak, 9 m-ko altuera. 6 m-ko erradioa duen zilindroa: Alboko azalera = 2π ⋅ 6 ⋅ 12 = 452,16 m2 Oinarriaren azalera = π ⋅ 62 = 113,04 m2 Azalera osoa = 452,16 + 2 ⋅ 113,04 = 678,24 m2 8 m-ko erradioa duen zilindroa: Alboko azalera = 2π ⋅ 8 ⋅ 9 = 452,16 m2 Oinarriaren azalera = π ⋅ 82 = 200,96 m2 Azalera osoa = 452,16 + 2 ⋅ 200,96 = 854,08 m2 062 ●● A P a a aAldea = ⋅ = ⋅ = 2 80 32 2 5→ → cm 061 ●● A P a Oinarria 2,6 23,4 cm= ⋅ = ⋅ = 2 18 2 2 a = + =32 2 1,5 2,6 cm AAldea = ⋅ =6 2 5,96 35,76 cm AAurpegia 3,97 5,96 cm= ⋅ = 3 2 2 Apotema 1,5 cm= − =18 3 972 , Ertza 4,24 cm= + =3 32 2 4 20 80 360 2 π ⋅ ⋅ ° ° 4 360 2 πr n⋅ ° 4 62 2 + ERANTZUNAK 3cm 3 cm 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 291
- 292. 292 Zilindro baten altueraeta oinarriaren diametroa berdinak dira. Zilindroak 470 cm2 -ko azalera du. Kalkulatu oinarriko erradioa. Altuera: 2x, erradioa: x. Alboko azalera = 2x ⋅ π ⋅ x = 6,28x2 Oinarriaren azalera = π ⋅ x2 = 3,14x2 Azalera osoa = 6,28x2 + 2 ⋅ 3,14x2 = 12,56x2 = 470 → x = 6,12 cm Kalkulatu zilindro baten altuera, oinarri baten azalera alboko azaleraren berdina bada, eta horietako bakoitza 154 cm2 -koa bada. Kalkulatu guztizko azalera. Erradioa: x, altuera: y. Oinarriaren azalera = π ⋅ x2 = 154 → x = 7 cm Alboko azalera = 14 ⋅ π ⋅ y = 154 → y = 3,5 cm Erradioa: 7 cm, altuera: 3,5 cm. Kalkulatu kono baten alboko azalera, kontuan hartuta altuera eta oinarriaren diametroa berdinak direla, eta oinarriko zirkunferentzia 18,85 cm-koa bada. 2πr = 18,85 cm → r = 3 cm, h = 3 ⋅ 2 = 6 cm 066 g A rgAldea= + = = = ⋅ ⋅ =6 3 6 71 3 14 3 6 71 63 22 2 , , , ,cm → π 11 2 cm 065 ●● 064 ●● 063 ●● Gorputz geometrikoak EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA PIRAMIDE-ENBORREN ETA KONO-ENBORREN ALBOKO AZALERA? Kalkulatu irudi hauen alboko azalera. a) b) a) Piramide-enbor baten alboko azalera hau da: AAlboa 912 cm2 b) Kono-enbor baten alboko azalera hau da: AAlboa = π(r + r')g = π(12 + 10) ⋅ 15 = = 1.036,2 cm2 = ⋅ + ⋅ = 4 24 14 2 12 ( ) = ⋅ + ⋅ = n a ( )l l' 2 24 cm 14 cm 12cm 12 cm 10 cm 15 cm G G a l' l 2πr' 2πr g 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 292
- 293. 293 9 Kalkulatu irudi hauenguztizko azalera. a) c) b) d) a) Alboko azalera = π ⋅ (6 + 3) ⋅ 8 = 226,08 cm2 1. oinarriaren azalera = π ⋅ 62 = 113,04 cm2 2. oinarriaren azalera = π ⋅ 32 = 28,26 cm2 Guztizko azalera = 226,08 + 113,04 + 28,26 = 367,38 cm2 b) Alboko azalera 950 cm2 c) Sortzailea: . Alboko azalera = π ⋅ (10 + 12) ⋅ 14,14 = 976,79 cm2 1. oinarriaren azalera = π ⋅ 122 = 452,16 cm2 2. oinarriaren azalera = π ⋅ 102 = 314 cm2 Guztizko azalera = 976,79 + 452,16 + 314 = 1.742,95 cm2 d) Alboko azalera 240 cm2 1. oinarriaren azalera = 81 cm2 2. oinarriaren azalera = 36 cm2 Guztizko azalera = 240 + 81 + 36 = 357 cm2 Esfera baten erradioa 3 cm-koa da. Kalkulatu guztizko azalera. A = 4π ⋅ 32 = 113,04 cm2 Esfera baten zirkulu maximoa 78,54 cm2 -koa da. Kalkulatu erradioa eta guztizko azalera. Zirkulua = π ⋅ x2 = 78,54 cm2 → x = 5 cm A = 4π ⋅ 52 = 314 cm2 069 ●● 068 ● = ⋅ + ⋅ =4 6 9 2 8 g = + = =14 2 2002 2 14,14 cm = ⋅ + ⋅ =5 16 22 2 10 8 cm 9 cm 6 cm 10 cm 22 cm 16 cm G 14 cm 10 cm G G G 12 cm 8 cm 6 cm 3 cm G 067 ●●● ERANTZUNAK 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 293
- 294. 294 Kalkulatu gorputz geometrikohauen guztizko azalera. a) c) e) b) d) a) l = 3 cm aldeko karratuaren azalera kalkulatuko dugu → A = l2 = 9 cm2 . 6 gurutze dira eta bakoitzak 5 karratu ditu → A = 6 ⋅ 5 ⋅ 9 = 270 cm2 . 8 hutsune dira eta bakoitzak 3 karratu ditu → → A = 8 ⋅ 3 ⋅ 9 = 216 cm2 Beraz, guztizko azalera hau da: A = 270 + 216 = 486 cm2 3 ⋅ 3 = 9 cm-ko ertza duen kuboaren azaleraren berdina → → AAurpegia = 92 = 81 cm2 → A = 6 ⋅ AA → A = 6 ⋅ 81 = 486 cm2 b) Guztizko azalera kuboaren 5 aurpegien azaleren eta piramidearen 4 alboko aurpegien azaleren batura da. AKuboa = 5 ⋅ 62 = 5 ⋅ 36 = 180 cm2 APiramidearen aldea = 4 ⋅ AAurpegia Aurpegi baten azalera kalkulatzeko, apotema, a, kalkulatuko dugu: AAurpegia = b ⋅ a → AA = ⋅ 6 ⋅ 3,6 = 10,8 cm2 APiramidearen aldea = 4 ⋅ 10,8 = 43,2 cm2 Beraz, A = 180 + 43,2 = 223,2 cm2 . c) Zilindroaren azalera hau da: A = 2πrh + πr2 = 2π ⋅ 6 ⋅ 7 + π ⋅ 62 = 376,8 cm2 eta esferaerdiarena: A = → A = 2π ⋅ 62 = 226,1 cm2 A = 376,8 + 226,1 = 602,9 cm2 4 2 2 πr 1 2 1 2 a h a a2 2 2 2 2 2 2 3 13= + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = + = = l → → 3,6 cm 070 ●● Gorputz geometrikoak 7 cm 6 cm G 4 cm 8 cm 6 cm 2 cm 3 cm 5 cm 3 cm ah l 2 G 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 294
- 295. 295 9 d) Zilindroerdiaren azalerakalkulatuko dugu: AAldea = + 2rh − rh = π ⋅ 1,5 ⋅ 5 + 1,5 ⋅ 5 = 31,05 cm2 AOinarriak = 2 ⋅ → AB = π ⋅ 1,52 = 7,07 cm2 A = 31,05 + 7,07 = 38,12 cm2 Konoerdiaren azalera kalkulatzeko, sortzailea kalkulatuko dugu: AA = → AA = = 12,29 cm2 AOinarria = → AO = = 3,53 cm2 A = 12,29 + 3,53 = 15,82 cm2 e) Izkinako triangeluaren aldea kalkulatuko dugu: l2 = 42 + 42 = 32 → l = = 5,66 cm AAurpegi osoa = 82 = 64 cm2 AEbakidura = b ⋅ h = ⋅ 4 ⋅ 4 = 8 cm2 AEbakitako aurpegia = 64 − 8 = 56 cm2 Kuboaren alboko azalera hau da: AA = 3 ⋅ AAur. + 3 ⋅ AEbakitako aur. → AL = 3 ⋅ 64 + 3 ⋅ 56 = 192 + 168 = 360 cm2 Azkenik, kuboaren izkinako triangeluaren azalera kalkulatuko dugu: h = → h = 4,9 cm AIzkina = l ⋅ h → AIzkina = ⋅ 5,66 ⋅ 4,9 = 13,9 cm2 A = 360 + 13,9 = 373,9 cm2 Kalkulatu 10 cm-ko ertza eta 5 cm-ko altuera dituen lau angeluko piramide zuzenaren bolumena. AO = l2 → AO = 102 = 100 cm2 V = AO ⋅ h → V = ⋅ 100 ⋅ 5 = 166,7 cm31 3 1 3 071 ● 1 2 1 2 5 66 2 83 242 2 , ,− = 1 2 1 2 32 3,14 1,52 ⋅ 2 πr 2 2 3,14 1,5 5,22⋅ ⋅ 2 πrg 2 g = + = + =5 252 2 1,5 2,25 5,22 cm πr 2 2 2 2 πrh ERANTZUNAK 1,5 cm 5 cm g 4 cm 4 cm 5,66 cm 2,83 cm l h h l 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 295
- 296. 296 Kalkulatu prisma triangeluarzuzen baten bolumena, jakinik 8 cm-ko altuera duela eta oinarria 4 cm-ko aldeko triangelu aldeberdina dela. Oinarriaren azalera kalkulatuko dugu: h = cm AO = b ⋅ h → AO = = 6,9 cm2 V = AO ⋅ h → V = 6,9 ⋅ 8 = 55,2 cm3 Kalkulatu piramide triangeluar zuzen baten bolumena, jakinik alboko ertzak 8 cm-koak direla, eta oinarria, 7 cm-ko aldeko triangelu aldeberdina. Oinarriaren azalera kalkulatuko dugu: h' = 6,1 cm AO = b ⋅ h' → AO = ⋅ 7 ⋅ 6,1 = 21,4 cm2 Piramidearen altuera kalkulatzeko, Pitagorasen teorema aplikatuko diogu koloreko triangeluari; aldeberdina denez, erradioa hau da: r = h' → r = ⋅ 6,1 = 4,1 cm 82 = h2 + r2 → h = = 6,9 cm V = AO ⋅ h → V = ⋅ 21,4 ⋅ 6,9 = 49,2 cm3 Kalkulatu zilindro baten bolumena, diametroa 12 cm-koa bada, eta altuera, diametroa halako hiru. V = πr2 h → V = π ⋅ 62 ⋅ 36 = 4.069,4 cm3 074 ●● 1 3 1 3 64 − 16,81 2 3 2 3 1 2 1 2 72 2 − = =3,5 36,75 073 ●● 1 2 4 12⋅ ⋅ 1 2 4 2 122 2 − = 072 ●● Gorputz geometrikoak 4 cm 2 cm4 cm 8cm h 3,5 cm 7 cm h r h' 7 cm 8cm h = 3 ⋅ 12 = 36 cm 6 cm G 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 296
- 297. 297 9 Kalkulatu gorputz geometrikohauen bolumena. a) b) a) Ertza: . V = 2,893 = 25,66 cm3 b) Ertza: . Altuera: . V = 9,23 ⋅ 8 ⋅ 7,54 = 556,75 cm3 076 h = − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = =8 8 3 2 2 56,88 7,54 cm 8 2 3 2 2 2 = − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = =a a a a→ 9,23 cm 5 32 2 2 = + + = =a a a a a→ 2,89 cm G 8 cm 5 cm 075 ●●● ERANTZUNAK EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA PIRAMIDE-ENBOR BATEN ETA KONO-ENBOR BATEN BOLUMENA? Kalkulatu irudi hauen bolumena. a) b) Piramide-enbor baten bolumena edo kono-enbor baten bolumena formula honen bidez kalkula daiteke: a) S1 = 62 = 36 cm2 S2 = 42 = 16 cm2 b) S1 = πr2 = π ⋅ 52 = 78,5 cm2 S2 = πr'2 = π ⋅ 32 = 28,26 cm2 V = ⋅ + + ⋅ = 9 3 461 58( ) ,78,5 28,26 78,5 28,26 cm3 V = ⋅ + + ⋅ = 9 3 36 16 36 16 228 3 ( ) cm V h S S S S= + + ⋅ 3 1 2 1 2( )h r r' S2 S1 GS2 S1 h 9 cm 3 cm 5 cm G 4 cm 6 cm 9 cm G 6 cm 9 cm G G 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 297
- 298. 298 Kalkulatu irudi hauenbolumena. a) b) a) Pitagorasen teorema aplikatuz, alboko aurpegiaren altuera kalkulatuko dugu: Eta berriro ere Pitagorasen teorema aplikatuz, piramide-enborraren altuera lortuko dugu: , eta bolumena: b) Pitagorasen teorema aplikatuz, altuera kalkulatuko dugu: , eta bolumena hau da: 12 cm-ko ertzeko kuboaren barruko piramidearen oinarria aurpegi bat da, eta piramidearen erpina, oinarriaren aurkako aurpegiaren zentroa. Kalkulatu piramidearen azalera eta bolumena. Apotema: . Alboko azalera Oinarriaren azalera = 122 = 144 cm2 . Azalera = 144 + 322,08 = 366,08 cm2 Bolumena Kalkulatu kono baten bolumena: a) 5 cm-ko erradioa eta 8 cm-ko altuera baditu. b) 5 cm-ko erradioa eta 8 cm-ko sortzailea baditu. a) V = πr2 h → V = π ⋅ 52 ⋅ 8 = 209,3 cm3 b) Konoaren altuera kalkulatuko dugu: V = πr2 h → V = π ⋅ 52 ⋅ 6,24 = 163,28 cm31 3 1 3 h = − = − =8 5 64 252 2 6,24 cm 1 3 1 3 079 ● = ⋅ = 12 12 3 576 2 3 cm = ⋅ ⋅ =4 12 2 213,42 322,08 cm a = + = =12 6 1802 2 13,42 cm 12 cm 078 ●● V = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = 4,9 189,76 cm3 3 3 4 3 42 2 2 2 ( )π π π π h = − − = =5 4 3 242 2 ( ) 4,9 cm V = ⋅ + + ⋅ = 8,27 763,6 cm 3 12 7 12 72 2 2 2 3 ( ) h = − = =8,64 2,5 68,4 8,27 cm2 2 hAurpegia 74,75 8,64 c= − −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = =9 12 7 2 2 2 mm. 7 cm 12 cm 9 cm 077 ●● 5 cm 3 cm 4 cm G Gorputz geometrikoak 8 cm 5 cm h 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 298
- 299. 299 9 Kalkulatu 20 cm-kodiametroa duen esferaren bolumena. V = πr3 → V = π ⋅ 103 = 4.186,7 cm3 Kubo eta esfera banak azalera bera dute: 216 cm2 . Zeinek du bolumen handiena? AKuboa = 6 ⋅ AAurpegia = 6l2 → 216 = 6l2 → l = = 6 cm AEsfera = 4πr2 → 216 = 4πr2 → r = = 4,15 cm VKuboa = l3 → VKuboa = 63 = 216 cm3 VEsfera = πr3 → VEsfera = π ⋅ 4,153 = 299,2 cm3 Esferak du bolumen handiena. Kalkulatu gorputz geometriko hauen bolumena. a) e) b) f) c) g) d) h) a) VPiramidea = AB ⋅ h → VPiramidea = ⋅ 22 ⋅ 2 = = 2,7 cm3 VOrtoedroa = a ⋅ b ⋅ c → VOrtoedroa = 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 cm3 V = VPiramidea + VOrtoedroa = 2,7 + 16 = 18,7 cm3 8 3 1 3 1 3 7 cm 6 cm G 3 cm 8 cm4 cm4 cm 4 cm 6 cm 4 cm 5 cm 3 cm 2 cm 2 cm 2 cm 4 cm 082 ●●● 4 3 4 3 17 2, 36 081 ●●● 4 3 4 3 080 ●● 3 cm 4 cm 4 cm G G ERANTZUNAK 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 299
- 300. 300 b) VKonoa =πr2 h → VKonoa = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 37,68 cm3 VZilindroa = πr2 h → VZilindroa = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 113,04 cm3 V = 37,68 + 113,04 = 150,72 cm3 c) VKonoa = π ⋅ 42 ⋅ 4 = 67 cm3 VZilindroa = πr2 h → VZilindroa = π ⋅ 42 ⋅ 8 = 401,92 cm3 V = VZilindroa − VKonoa = 401,92 − 67 = 334,92 cm3 d) VKuboa = l3 → VKuboa = 93 = 729 cm3 VHutsunea = 33 = 27 cm3 V = VKuboa − 8 ⋅ VHutsunea = 729 − 8 ⋅ 27 = 513 cm3 e) VZilindroerdia = πr2 h → VZilindroerdia = π ⋅ 1,52 ⋅ 5 = 17,66 cm3 VKonoerdia = πr2 h → VKonoerdia = π ⋅ 1,52 ⋅ 5 = 5,89 cm3 V = 17,66 + 5,89 = 23,55 cm3 f) VPiramidea = AB ⋅ h = ⋅ 62 ⋅ 2 = 24 cm3 VKuboa = l3 = 63 = 216 cm3 V = VKuboa − VPiramidea = 216 − 24 = 192 cm3 g) Triangelu aldeberdinaren aldea kalkulatuko dugu: l2 = 42 + 42 = 32 → VKuboa = l3 = 83 = 512 cm3 Kubotik alakatutako muturraren bolumena kalkulatuko dugu (piramide triangeluarra da): AOinarria = ⋅ 4 ⋅ 4 = 8 cm2 VMuturra = AOinarria ⋅ h → VMuturra = ⋅ 8 ⋅ 4 = 10,7 cm3 h) VEsferaerdia = πr3 = ⋅ π ⋅ 63 = 452,16 cm3 VZilindroa = πr2 h = π ⋅ 62 ⋅ 7 = 791,28 cm3 V = 452,16 + 791,28 = 1.243,44 cm3 1 2 4 3 ⋅ 1 2 4 3 ⋅ 1 3 1 3 1 2 l = =32 4 2 cm 1 3 1 3 1 6 1 6 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 Gorputz geometrikoak 4 cm 4 cm l 4cm 4 cm 4 cm 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 300
- 301. 301 9 Erreparatu A etaB hirien kokalekuei eta erantzun. a) B hiria eta A hiria paralelo berean daude. Zer latitude du B hiriak? Zer lotura dago A eta B hirien latitudeen artean? b) A eta E hiriak meridiano berean daude. Zer lotura dago bi hirien longitudeen artean? a) Latitude bera dute. b) Longitude bera dute. Igogailu batek neurri hauek ditu: 100 × 100 × 250 cm. Sartuko al da igogailuan 288 cm-ko luzera duen makila bat? Igogailuan sar daitekeen makilarik luzeena igogailuaren diagonalaren luzera berekoa da. Beraz, makila ezin da igogailuan sartu. 4 × 6 m-ko laukizuzen formako gela bat margotu nahi dugu (sabaia barne). Gela 3 m-ko altuerakoa da, eta 30 m2 margotzeko, poto bat pintura behar da. a) Zenbat poto erosi beharko ditugu, fabrikatzaileak dioenari kasu egiten badiogu? b) Azkenik, 4 poto behar izan baditugu, zenbat metro koadro margotu ditugu poto bat erabiliz? Alboko azalera: (4 + 4 + 6 + 6) ⋅ 3 = 60 m2 ; eta sabaiaren azalera hau da: 6 ⋅ 4 = 24 m2 . Azalera osoa: 60 + 24 = 84 m2 . a) Poto kopurua: 84 : 30 = 2,8; beraz, 3 poto beharko ditugu. b) 4 poto oso erabili baditugu, bakoitzarekin 84 : 4 = 21 m2 margo daiteke. Kefren piramideak irudian ageri diren neurriak ditu. Kalkulatu piramidearen altuera. Apotemak, altuerak eta aldearen erdiak osatutako triangelu angeluzuzena kontuan hartuta, altuera hau da: h = − = =179,37 107,625 20.590,46 143,49 m2 2 086 ●● 085 ●● d = + + = = <100 100 250 82 500 2882 2 2 . 287,22 cm cm 084 ●● A B E 083 ●● 179,37 m 215,25 m G ERANTZUNAK 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 301
- 302. 302 Kalkulatu 10 m-koertza duen kubo formako dorrearen guztizko azalera, kontuan hartuta piramide formako 12 m-ko altuerako teilatua duela. Kuboaren alboko azalera hau da: AKuboa = 4 ⋅ 102 = 400 m2 Piramidearen alboko azalera kalkulatzeko, lehendabizi, aurpegi baten altuera neurtu behar dugu. AAurpegia = b ⋅ a → AAurpegia = ⋅ 10 ⋅ 13 = 65 m2 APiramidearen aldea = 4 ⋅ 65 = 260 m2 ; APira. aldea = AL + AB = 400 + 260 = 660 m2 A = 400 + 660 = 1.060 m2 Kubo batek eta esfera batek bolumen bera dute: 125 cm3 . Zeinek du azalera txikiena? Kubo edo esfera formako andela egin beharko bazenu, zer modutan beharko zenuke material gutxien? VKuboa = l3 → 125 = l3 → l = 5 cm AKuboa = 6 ⋅ AC = 6l2 → AKuboa = 6 ⋅ 52 = 150 cm2 VEsfera = πr3 → 125 = πr3 → AEsfera = 4πr2 → AEsfera = 4 ⋅ π ⋅ 3,12 = 120,7 cm2 Esferak azalera txikiagoa du kuboan baino. Beraz, esfera formakoa. Géode esfera formako zinema izugarri handia da. Kalkulatu azalera, jakinik 24.416.640 dm3 -ko bolumena duela. V = πr3 → 24.416.640 = πr3 → A = 4πr2 → A = 4π ⋅ 1802 = 406.944 dm2 r = ⋅ = 3 24 416 640 4 1803 . . π dm 4 3 4 3 089 ●● r = ⋅ = 3 125 4 3 π 3,1 cm 4 3 4 3 088 ●● 1 2 1 2 a h a2 2 2 2 2 2 12 5 13= + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = + = l → m 087 ●● Gorputz geometrikoak 12 m 10 m G a h l 2 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 302
- 303. 303 9 Kalkulatu igerileku honen bolumena. Igerilekuaoinarri trapezoidaleko prisma dela kontuan hartuta, oinarriaren azalera: AOinarria = ; eta bolumena: V = 60 ⋅ 4 = 240 m3 . Urez betetako 3 m-ko ertzeko andel kubikoan, behean ageri diren gorputzak sartu ditugu. a) Kuboan 1,5 m-ko erradioko esfera bat sartu ondoren, hasierako ur kantitatearen zer ehuneko geratuko da? b) Hasierako ur kantitatearen zer ehuneko geratuko da 3 m-ko diametroa eta altuera dituen zilindroa sartu ondoren? c) Eta 3 m-ko diametroa eta altuera dituen kono bat sartuz gero? a) VKuboa = l3 → VKuboa = 33 = 27 m3 VEsfera = πr3 → VEsfera = ⋅ π ⋅ 1,53 = 14,13 m3 VKuboa − VEsfera = 27 − 14,13 = 12,87 m3 Ehunekoa kalkulatzeko, hiruko erregela aplikatuko dugu: Hasierako bolumenaren % 47,7 geratuko da. b) VZIlindroa = πr2 h → VZilindroa 21,2 m3 VKuboa − VZilindroa = 27 − 21,2 = 5,8 m3 c) VKonoa = πr2 h → VKonoa 7,1 m3 VKuboa − VKonoa = 27 − 7,1 = 19,9 m3 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = =→ x 1 990 27 . % 73,7 2 27 m3 -tik ⎯⎯→ 19,9 m3 Si 100 m3 -tik ⎯⎯→ x m3 = ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ = 1 3 3 2 3 2 π 1 3 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = =→ x 580 27 % 21,5 2 27 m3 -tik ⎯⎯→ 5,8 m3 Si 100 m3 -tik ⎯⎯→ x m3 = ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ =π 3 2 3 2 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = =→ x 1 287 27 . % 47,7 2 27 m3 -tik ⎯⎯→ 12,87 m3 Si 100 m3 -tik ⎯⎯→ x m3 4 3 4 3 091 ●●● 4 2 2 20 60 2+ ⋅ = m 090 ●● 3 m 3 m 3 m ERANTZUNAK 908272 _ 0274-0309.qxd 28/9/07 13:46 Página 303
- 304. 304 11 × 6× 15 cm cm-ko ortoedro formako ontzietan zukua saltzen duen enpresa batek ontzien ezaugarriak aldatzea erabaki du: – Oinarriaren azalera % 10 txikitu du. – Altuera % 10 handitu du. a) Ontzi berriaren bolumena zaharrarena baino handiagoa ala txikiagoa da? b) Prezioa ez bada aldatu, errentagarriagoa al da bezeroentzat ontzi berria? c) Tetrabrik batek 1,40 € balio du. Zenbat irabaziko du enpresak hilean 99.000 litro zuku ontziratzen baditu? Eta zenbat irabazten zuen lehen? a) V = 11 ⋅ 6 ⋅ 15 = 990 cm3 AO = 11 ⋅ 6 = 66 cm2 → AO' = 0,9 ⋅ 66 = 59,4 cm2 h' = 1,1 ⋅ h → h' = % 110 ⋅ 15 = 16,5 cm V ' = AO' ⋅ h' → V ' = 59,4 ⋅ 16,5 = 980,1 cm3 Beraz, ontzi berriaren bolumena zaharrarena baino txikiagoa da. b) Ez, prezio berean zuku gutxiago baitu. c) V ' = 980,1 cm3 = 0,98 dm3 = 0,98 ¬ 99.000 ¬ : 0,98 ¬ = 101.020,4 ontzi Gaur egun irabazten duena: 101.020 ⋅ 1,40 €/ontzi = 141.428 €. V = 990 cm3 = 0,99 dm3 = 0,99 ¬ 99.000 ¬ : 0,99 ¬ = 100.000 ontzi Lehen irabazten zuena: 100.000 ⋅ 1,40 €/ontzi = 140.000 €. Inurri bat oktaedro baten erpin batean dago eta ertz guztietatik igarotzea erabaki du, ertz beretik bi aldiz igaro gabe. Adierazi inurriak egin dezakeen ibilbide bat. Bitxia bada ere, inurriak ezingo luke gauza bera egin kubo batean. Egiaztatu. Oktaedroaren alboko lau aurpegiak kontuan hartzen baditugu, amaierako puntu bakoitza ondorengo aurpegiaren hasierako puntua izango da. Kuboarekin ezin da egin, erpin bakoitza hiru ertzen ebakidura delako (ez laurena) eta ibilbidea egiten saiatzean inurria erpin batera bigarren aldiz iristen denean, ezingo du handik atera. 093 ●●● 092 ●● Gorputz geometrikoak 3.o 4.o 5.o 1.o Hasiera Amaiera 2.o 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 304
- 305. 305 9 Demagun Lurraren ekuatoreainguratu dugula, soka bat erabiliz. a) Lurraren erradioa 6.378 km-koa bada, zer luzera izango du sokak? b) Metro bat luzeagoa den soka bat erabiliz zirkunferentzia bat egingo dugu. Zer alde dago bien erradioen artean? c) Gauza bera egingo dugu 18 mm-ko erradioko bola batekin. Zer alde dago bi zirkunferentzien erradioen artean? a) Luzera = 2πr = 2π ⋅ 6.378 = 40.074,15588 km → 40.074.155,88 m b) 40.074.156,88 = 2πr r = 6.378.000,16 6.378.000,16 − 6.378.000 = 0,16 m = 16 cm → Aldea 16 cm-koa da. c) Distantzia bera da, erradioaren luzera edozein dela. 1638. urtean, Galileo matematikari handiak problema hau proposatu zuen: «Paperezko orri bat alde luzeenetik eta motzenetik biribilduz gero, bi zilindro desberdin lortzen dira». Bolumen bera al dute bi zilindroek? Demagun aldeen luzerak a eta b direla. a altuera duen zilindroaren bolumena: b altuera duen zilindroaren bolumena: Beraz, orria karratua bada soilik dute bolumen bera. r a V r b a b a b = = = = 2 4 4 2 2 2 2 π π π π π → r b V r a b a b a = = = = 2 4 4 2 2 2 2 π π π π π → 095 ●●● 2 1 2 1 2 0 16 16π π π r r d d+ = + = = =( ) ,→ m cm r = 6.378 km G 094 ●●● ERANTZUNAK 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 305
- 306. 306 Zilindro batean inskribatutakoesfera bat badugu, kalkulatu zer alde dagoen esferaren eta zilindroaren bolumenen artean, esferaren erradioaren menpe. Zilindroaren bolumena = πr2 ⋅ (2r) = 2πr3 Esferaren bolumena = Beraz, esferaren bolumena zilindroaren bolumenaren da. Aldea hau da: Matematikako liburu batean, problema hau aurkitu dugu: «Oktaedro baten aldea l bada, bolumen hau du: V = l3 ⋅ 0,4714». Ikertu nola lortzen den formula hori. Oktaedroaren bolumena oinarritzat aldearen berbidura eta l ertza duten bi piramideren bolumena da. Alboko apotema hau da: Piramidearen altuera hau da: EGUNEROKOAN Christo Javacheff eta haren emazte Jeanne gaur egungo bi artista ospetsu dira. Objektuak eta monumentuak oihalez estaltzea dira haien obra esanguratsuenak. Hasieran, botilak, latak eta kutxak oihal nahiz plastikoz paketatzen zituzten. Baina, pixkana-pixkana, erronka handituz joan ziren. 1982an, Floridako badiako 11 uharte inguratu zituzten 603.000 m2 oihal arrosa erabiliz. 1985ean, Sena ibaiko Pont Neuf paketatu zuten Parisen. 1995ean, Berlingo Reichstag eraikin izugarria oihalez estali zuten. 098 ●●● V VOktaedroa Piramidea 0,4714= ⋅ = =2 2 3 3 3 l l V A hPiramidea Oinarria= ⋅ = ⋅ = 1 3 1 3 2 2 2 6 2 3 l l l h = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟⎟ − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = 3 2 2 2 2 2 2 l l l. a = − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ =l l l.2 2 2 3 2 097 ●●● 2 3 3 πr . 2 3 4 3 3 πr 096 ●●● Gorputz geometrikoak 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 306
- 307. 307 9 Etorkizunean, Madrilgo Alcalakoatea eta Bartzelonako Kolonen estatua estali nahi dituzte. Hona hemen Madrilgo Alcalako atearen krokisa, neurri eta guzti. Zenbat metro koadro oihal beharko dituzte, gutxi gorabehera, monumentua erabat biltzeko, arkuak estali gabe? Irudiak osagai hauek ditu: 42 × 10,5 × (23 − 6,75) m-ko lau angeluko prisma nagusia; gehi gaineko lau angeluko prisma, 12 × 10,5 × 4 m-koa; gehi lau angeluko prisma, teilatu gisa, 12 m-ko oinarria eta 6,75 m − 4 m-ko altuera dituen triangelua duena, prismaren altuera 10,5 m izanik; ken ateetako lau angeluko bi prisma 3,5 × 10,5 × 6,75 m-koak; ken erdiko hiru ateen espazioa, 5,4 × 10,5 × (10,8 − 2,7) m-ko lau angeluko prismak eta 2,7 m-ko erradioko eta 10,5 m-ko altuerako zilindro-erdiak osatua. VNagusia = 42 ⋅ 10,5 ⋅ 16,25 = 7.166,25 m3 VGoikoa = 12 ⋅ 10,5 ⋅ 4 = 504 m3 VAlboko atea = 3,5 ⋅ 10,5 ⋅ 6,75 = 248,06 m3 VAte nagusia = 5,4 ⋅ 10,5 ⋅ 8,1 + π ⋅ 2,72 = 459,27 + 22,89 = 482,16 m3 VOsoa = 7.166,25 + 504 + 173,25 − 2 ⋅ 248,06 − 3 ⋅ 482,16 = 5.900,9 m3 VTeilatua 2,75 10,5 173,25 m= ⋅ ⋅ = 12 2 3 ERANTZUNAK 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 307
- 308. 308 GOZOZALE gozokien lantegikoproduktuen artetik, gehien saltzen direnak 6 cm-ko diametroa eta 5 mm-ko lodiera duten galleta zirkularrak dira. Galletak 40ko paketeetan saltzen dira, zelofan-paperean bilduta. Kutxak ortoedro formakoak dira, eta kutxa bakoitzean lau pakete egoten dira. Kutxak biltzeko paketeetako zelofan-paper bera erabiltzen da. Egunean 10.000 galleta inguru ekoizten direla kalkulatu da iritzira, eta kutxa ortoedro formakoa izatea komeni den ala ez ari da aztertzen finantza-departamentua. Zure ustez, kutxak beste forma bat izango balu hobeto aprobetxatuko al litzateke espazioa? Zer kantitate kartoi mehe aurreztuko lukete egunean? GOZOZALE 099 ●●● Zenbat metro koadro kartoi mehe behar ditugu egun baterako? Eta zenbat zelofan-paper? Nire ustez, kontua da kutxaren bolumenaren zer ehuneko hartzen duten galletek. Gorputz geometrikoak 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 308
- 309. 309 9 Paketeak zilindro formadu; erradioa 3 cm-koa da, eta altuera, 0,5 ⋅ 40 = 20 cm-koa. Pakete batek behar duen zelofan-papera azaleraren berdina da. APaketea = 2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h) = 2π ⋅ 3(3 + 20) = 433,32 cm2 Kutxaren azalera: AKutxa = 2 ⋅ 12 ⋅ 12 + 12 ⋅ 4 ⋅ 20 = 1.248 cm2 . Kutxa bat egiteko behar den materiala: AZelofana = 4 ⋅ 433,32 + 1.248 = 2.981,28 cm2 AKartoi mehea = 1.248 cm2 Eguneko kutxa kopurua 10.000 : 40 = 250 da; beraz, erabilitako material guztia: GuztizkoaZelofana = 250 ⋅ 2.981,28 cm2 = 745.320 cm2 = 74,32 m2 GuztizkoaKartoi mehea = 250 ⋅ 1.248 cm2 = 312.000 cm2 = 31,2 m2 Eta irudian ageri den moduan jarrita, hau lortuko dugu: Alboko azalera bera da, baina oinarriaren azalera txikiagoa denez, kartoi mehea aurrezten da. Erronboidearen oinarria galletaren diametroaren bikoitza da, 12 cm, eta altuera: Altuera = 3 + 3 + h; h galletaren diametroaren, 12 cm, luzera bereko aldea duen triangelu aldeberdinaren altuera da. h = 6 + 10,39 = 16,39 cm AOinarria = 24 ⋅ 16,39 = 393,36 cm2 Aurrez.Kart. m. = 2 ⋅ (AKarratua − AErronboidea) = 2 ⋅ (242 − 393,36) = 365,28 cm2 Guztizko aurrezkia = 250 ⋅ 365,28 = 91.320 cm2 = 9,132 m2 Egunero 9,132 m2 kartoi mehe aurreztuko da. h = − =12 62 2 10,39 cm ERANTZUNAK h 3 cm 3 cm 908272 _ 0274-0309.qxd 24/9/07 17:22 Página 309
- 310.
- 311. Eguzkiaren gurdia Kondairak dioenez,Alexandrian, itsasargi ospetsua egiten ari ziren garaian, gizon talde batek Eguzkia garaitu zuen. Apolok (batzuek Ra esaten zioten) garai guztietako zortzi gizonik jakintsuenak beregana eramateko agindu zien morroiei, berarentzat nahi baitzuen jakituria guztia. Morroiak lanean hasi ziren eta berehala aurkitu zituzten lehen zazpiak. Erraza izan zen, guztiak Hadesen baitzeuden eta Zazpi Jakintsuak esaten zieten. Zortzigarrena hilen eta bizien artean bilatu zuten, Lurrean zein zeruan, baina ez zen ageri. Bilatzen nekatu zirenean, Orakuluari galdetu zioten: –Euklides du izena eta Alexandriako liburutegian dago. Apoloren gurdian sartu eta liburutegira joan ziren hegan. Han gizon batzuk aurkitu zituzten. Zaharrena tamaina desberdineko bi karratu aztertzen ari zen, antzekotasunak eta desberdintasunak idazten, eta hura harrapatu zuten Apoloren morroiek. –Harrapatu dugu Euklides! Une hartan, gainerako gizon guztiek inguratu zituzten, eta hau zioten: –Ni naiz Euklides! Ni naiz Euklides! Morroiek alde egin zuten, ezin baitzuten jakin nor zen benetan Euklides, eta Apolori esan zioten zortzigarren jakintsurik ez zegoela, bat zela eta guztiak zirela. Horren ondoren, Apolok aske utzi zituen Zazpi Jakintsuak. Zergatik askatu zituen galdetu ziotenean, erantzun zuen ez dagoela jakituriari eta ezaguerari eusteko moduko harresirik. Zertan dira berdinak eta zertan desberdinak neurri desberdineko bi karratu? Bi karratu berdinak dira forma bera dutelako eta desberdinak dira tamaina desberdina dutelako. 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 311
- 312. 312 ARIKETAK Puntu pare hauekemanda, kalkulatu ABជ bektorearen koordenatuak eta modulua, kasu bakoitzean. a) A(1, 3) B(−4, 5) b) A(4, 0) B(−1, −5) c) A(−1, −3) B(5, −7) a) ABជ = (−4 − 1, 5 − 3) = (−5, 2) → |ABជ| = b) ABជ = (−1 − 4, −5 − 0) = (−5, −5) → |ABជ| = c) ABជ = (5 + 1, −7 + 3) = (6, −4) → |ABជ| = A(2, 4) eta ABជ(−3, 5) emanda, kalkulatu B puntua, ABជbektorearen muturra. → B(−1, 9) Idatzi 4 modulua duten 3 bektore. Idatz al daiteke −2 modulua duen bektore bat? ABជ (4, 0); CDជ (0, 4) eta EFជ ( , ) Ez dago −2 modulua duen bektorerik, moduluak ezin duelako negatiboa izan, luzera-neurri bat adierazten duelako. Zer irudi lortzen dira ezkerreko irudiari higidurak aplikatzean? a) eta b) ataletako irudiak. Adierazi zuzenak ala okerrak diren esaldi hauek: a) Transformazioa higidura bat da. b) Higidurak ez du forma aldatzen. c) Transformazioak ez du irudien tamaina aldatzen. b) ataleko esaldia zuzena da. Marraztu E letra eta aplikatu zenbait transformazio geometriko. E E E FFF 006 005 a) c)b) d) 004 88 003 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ A(2, 4); B(x, y) → −3 = x − 2 → x = −1 5 = y − 4 → y = 9 002 6 4 522 2 + − =( ) ( ) ( )− + − =5 5 502 2 ( )− + =5 2 292 2 001 E Higidurak eta antzekotasunak 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 312
- 313. 313 10 Adierazi F irudiarivជbektoreko translazioa aplikatuz lortutako irudi eraldatua. vជ= ABជ = (11 − 7, 3 − 6) = (4, −3) bektoreko translazioa aplikatzean F irudiko erpinei, hau lortuko dugu: A(1, 6) A'(5, 3) B(4, 5) ⎯⎯⎯⎯→ B'(8, 2) C(3, 3) ⎯⎯⎯⎯→ C'(7, 0) D(2, 4) ⎯⎯⎯⎯→ D'(6, 1) Karratu baten erpinak puntu hauek dira A(−1, 1), B(1, 1), C(1, −1) eta D(−1, −1). a) Zehaztu vជ(4, −2) bektoreko translazioaren bidezko A'B'C'D' eraldatua. b) Egiaztatu, grafikoki A', B', C' eta D' puntuek ere karratua osatzen dutela. a) A(−1, 1) A'(3, −1) B(1, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ B'(5, −1) C(1, −1) ⎯⎯⎯⎯→ C'(5, −3) D(−1, −1) ⎯⎯⎯⎯→ D'(3, −3) b) Adierazi zer translazio aplikatu behar den A(−1, 4)-ren eraldatua A'(5, 2) izateko. vជ= (5 − (−1), 2 − 4) = (6, −2) Lortu O zentroko eta 90°-ko angeluko biraketaren bidezko F irudiaren eraldatua. O 90° F F' 010 009 vជ(4, −2) ⎯⎯⎯⎯⎯→ 008 vជ(4, −3) ⎯⎯⎯⎯⎯→ 007 F 6 4 2 Y X vជ ERANTZUNAK F A C D B F' A' C' D' B' vជ A' B' D' C' 2 4 6 8 10 6 4 2 Y X2 4 6 8 10 −1 −3 Y X 1 3 5 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 313
- 314. 314 Triangelu baten erpinakA(3, 0), B(−1, 4) eta C(2, 5) puntuak dira. Lortu (2, −1) zentroko eta 180°-ko angeluko biraketaren bidezko eraldatua. ABCD karratuari B(A; 90°) biraketa aplikatzen badiogu zer irudi lortuko dugu? Eta B(A; −90°) biraketa aplikatuz gero? Bi kasuetan, karratua lortuko dugu. Aplikatu O zentroko simetria zentrala F irudiari eta lortu irudi eraldatua. Marraztu erpin hauek osatzen duten karratua: A(1, 1) B(−1, 1) C(−1, −1) D(1, −1) eta kalkulatu simetrikoa koordenatu-ardatzarekiko eta A(1, 1) puntuarekiko. Koordenatu-ardatzarekiko A' = (1, 1), B' = (3, 1), karratua bera da. C' = (3, 3) eta D' = (1, 3) 014 O F F' 013 012 011 A B C B' C' A' Higidurak eta antzekotasunak A B C D' C' A' D +90° B' D'C' A'B' A B C D' C' A' D B' A B B' D C' A' D' −90° C −1 −3 −5 1 Y X −3 −3 3 3 Y X −3 −3 3 3 Y X 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 314
- 315. 315 10 Irudi honen erdiadesagertu egin da. Osatu, kontuan hartuta O puntuarekiko simetrikoa dela. Lortu F irudiaren eraldatua, e ardatzarekiko simetria aplikatuz. Adierazi irudi hauen simetria-ardatz guztiak. Triangelu baten erpinak A(2, −1), B(4, 5) eta C(−3, 6) dira. Lortu horren eraldatua, abzisa-ardatzarekiko simetria aplikatuz. Aplikatu zentrotzat A erpina eta arrazoitzat 3 duen homotezia irudiko hexagonoari. 019 018 017 e FF' 016 015 C B A D CF BA E O ERANTZUNAK F C' A' B' −3 −5 −1−3−5 3 5 5 3 Y X 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 315
- 316. 316 Antzekoak al dira3, 4 eta 5 cm-ko aldeak dituen triangelua eta 1,5; 2 eta 2,5 cm-koak dituena. Antzekoak dira eta arrazoia 2 da. Lortu homotezia baten puntu eta zuzen bikoitzak. Homotezia baten puntu bikoitz bakarra homoteziaren zentroa da: O. Zuzen bikoitzak zuzen berak bihurtzen diren zuzenak dira; hau da, homoteziaren zentrotik igarotzen diren zuzenak. Kalkulatu luzera ezezagunak. Kontuan hartuta arrazoi hau: ; kalkulatu AB eta OB. cm cm Banatu 5 cm-ko AB zuzenkia 7 zati berdinetan.024 1,6 9,7 15,52= = OB OB→ 1,6 = = AB AB 5 8→ 1,6 = = = OA OA AB A B OB OB' ' ' ' B'A' r s O B A 4,7 cm 5 cm OA OA' = 1,6023 3 5 2 x y x y= = = = 2,25 1,5 cm 7,5 cm→ ; x y 1,5 cm 5 cm 3 cm 2,25 cm 022 021 3 4 2 5 2 1,5 2,5 = = = = k 020 BA Zenbakizko proportzionaltasuna 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 316
- 317. Banatu grafikoki 20cm-ko luzerako AB zuzenkia honela: a) 3 zati berdinetan. b) 7 zati berdinetan. c) 2 zatitan, bigarrenaren luzera lehenengoaren erdia dela. d) 4 zatitan, zati bakoitzaren luzera aurrekoaren bikoitza dela. a) d) b) c) Banatu grafikoki 16 cm-ko luzerako AB zuzenkia 2 cm-ko eta 3 cm-ko luzerako bi zuzenkirekiko zati proportzionaletan. Jonek 30 cm-ko listoi bat 7 zati berdinetan ebaki behar du. 21 cm-ko luzerako zati bat baino ez du. Nola egin dezake banaketa? 21 cm-ko zatia 7 zati berdinetan banatuko dugu, 3 cm-ko zatitan, eta Talesen teorema aplikatuko dugu. Bi listoiak mutur batetik elkartu eta beste bi muturrak zuzenki baten bidez lotuko ditugu. Ondoren, zuzen paraleloak marraztuko ditugu zuzenkitik 21 cm-ko listoiaren banaketetatik. 30 cm-ko listoiaren ebakidura-puntuak dira ebaki beharreko puntuak. 027 026 025 317 10ERANTZUNAK BA BA BA B B A A 16 cm 2 cm 3 cm d d 2d 4d 8d d 2 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 317
- 318. 318 Kalkulatu futbol-zelai honenneurri errealak. Luzera: 4 cm ⋅ 3.000 = 12.000 cm = 120 m Zabalera: 2,5 cm ⋅ 3.000 = 7.500 cm = 75 m Zer eskalatan dago eginda mapa bat, jakinik bi hiriren arteko distantzia 4,5 cm-koa dela mapan eta 54 km-koa errealitatean? Eskala 1 : 1.200.000 A eta B hirien artean 50 km-ko distantzia dago. Zer distantzia egongo da haien artean, 1 : 800.000 eskalako mapa batean? 5.000.000 cm : 800.000 = 6,25 cm ARIKETAK Bi puntu pare emanda, kalkulatu ABជ bektorearen koordenatuak eta modulua. a) A(−1, 3), B(4, 5) c) A(4, −1), B(2, −6) b) A(−2, 0), B(1, −3) d) A(−3, −3), B(−1, −2) a) ABជ = (4 − (−1), 5 − 3) = (5, 2) → ⏐ABជ⏐ = b) ABជ = (1 − (−2), −3 − 0) = (3, −3) → ⏐ABជ⏐ = c) ABជ = (2 − 4, −6 − (−1)) = (−2, −5) → ⏐ABជ⏐ = d) ABជ = (−1 − (−3), −2 − (−3)) = (2, 1) → ⏐ABជ⏐ = Kalkulatu A puntuaren koordenatuak ABជ bektorean eta adierazi grafikoki. a) ABជ(2, 3) eta B(−3, 4) b) ABជ(−1, 0) eta B(2, 5) a) A = (−5, 1) b) A = (3, 5) 032 ● 5 29 18 29 031 ● 030 54 5 400 000km 4,5 cm cm 4,5 cm 1.200.000= = . . 029 028 1 : 3.000 Higidurak eta antzekotasunak ? A B B A 31 5 5 3 1 Y X −1−3−5 5 3 1 Y X 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 318
- 319. 319 10 Kalkulatu B puntuarenkoordenatuak ABជ bektorean eta adierazi grafikoki. a) ABជ(2, −2) eta A(−3, 3) b) ABជ(−2, −3) eta A(2, −1) c) ABជ(3, 0) eta a) B = (−1, 1) b) B = (0, −4) c) 034 B = − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟5 5 2 , A 2 5 2 , − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 033 ● EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DIRA BEKTORE BATEN KOORDENATUAK KOORDENATU-SISTEMA BATEAN? Kalkulatu bektore hauen koordenatuak. Bektorea laukizuzen baten diagonaltzat hartu eta laukizuzenaren aldeen neurriak kalkulatu behar dira. LEHENA. Bektorearen lehen koordenatua laukizuzenaren luzeraren neurria da. Desplazamendua eskuinerakoa bada positibotzat hartzen da, eta ezkerrerakoa bada, negatibotzat. a) AA' ⎯→ 3 bateko eskuinera ⎯→ 3 b) CC' → 3 bateko ezkerrera → −3 BIGARRENA. Bigarren koordenatua laukizuzenaren altuera da. Desplazamendua goranzkoa bada positibotzat hartzen da, eta beheranzkoa bada, negatibotzat. a) A'B ⎯→ 2 bateko gora → 2 b) C'D → 1 bateko behera ⎯⎯→ −1 Beraz, bektoreen koordenatuak hauek dira: ABជ(3, 2) eta CDជ(−3, −1). 5 3 1 1 3 5 Y X A BD CC' A' ERANTZUNAK A B A B A B −1−3−5 5 3 1 Y X 1 3 −1 −3 Y X 1 3 5 −1 −3 −5 Y X 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 319
- 320. 320 Kalkulatu, hor beheandituzun kasuetan ABជ bektorearen muturren koordenatuak, eta bektorearen koordenatuak eta modulua. a) b) a) ABជ = (5, 1) − (1, 6) = (4, −5) |ABជ| = b) ABជ = (6, 5) − (1, 2) = (5, 3) |ABជ| = Marraztu A(−2, 2) eta B(3, 0) muturrak dituen bektorea. Kalkulatu koordenatuak eta modulua. ABជ = (3 − (−2), 0 − 2) = (5, −2) |ABជ| = BAជ bektorea ABជ bektorearen aurkakoa da. Idatzi 9 moduluko hiru bektore. Idatz al daitezke gehiago? Zenbat? Esate baterako, (0, 9), (−9, 0) eta (9, 0). Infinitu bektore idatz daitezke. Jatorriko puntu bakoitzerako, 9 erradioko zirkunferentzian amaitzen diren bektore guztiak izango lirateke, zentroa puntu horretan dutela. Erreparatu alboko irudiari eta adierazi beheko irudiak. higiduraren baten bidez lortu diren ala ez. Arrazoitu erantzuna. 1. eta 2. irudiak formari eta neurriari eusten dioten, eta beraz, higidura baten bidez lortu dira. 3. eta 4. irudia ez; 3. irudiak ez dio ez formari ez neurriari eusten, eta 4. irudiak formari eusten dio, baina ez neurriari. 038 ● 037 ●●● 5 2 292 2 + − =( ) 036 ●● 5 3 25 9 342 2 + = + = 4 5 16 25 412 2 + − = + =( ) 035 ● A B5 3 1 1 3 5 Y X 5 3 1 1 3 5 Y X A B A B Higidurak eta antzekotasunak 1. irudia 2. irudia 3. irudia 4. irudia −1−3 1 3 3 1 Y X 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 320
- 321. 321 10 Beheko irudietatik abiatuta,marraztu hauei eusten dieten beste irudi batzuk. a) tamainari. b) formari. c) tamainari eta formari. d) ez tamainari ez formari. a) b) c) d) Lortu vជbektorearen bidezko F irudiaren eraldatua. a) c) b) d) 040 ● 039 ● F vជ F' F vជ F' F vជ F' F F' vជ ERANTZUNAK 2 8 10 2 Y X 2 4 6 8 10 4 2 Y X 2 4 6 8 10 4 2 Y X 2 4 6 8 10 6 4 2 Y X 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 321
- 322. Osatu taula hau. Zertranslazio-bektorek eramaten du A(2, −3) puntua A'(−1, 7) puntura? vជ = (−3, 10) Kalkulatu vជ . bektorearen translazioz lortutako B(4, −2) puntuaren eraldatuaren koordenatuak. Adierazi grafikoki F irudia F' eta F" bihurtzen dituzten translazioen bektoreak. Kalkulatu, halaber, irudi eraldatuen koordenatuak. Hiru irudien goiko ezkerreko erpina hartuko dugu: Egiaztatzeko, F irudiaren eskuineko erpina eraldatuko dugu: C(−1, 2) C' (5, 4) C(−1, 2) C" (7, 1) F' eta F" irudien muturren koordenatuak dira. wជ(8, −1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ vជ(6, 2) ⎯⎯⎯⎯⎯→ → vជ = (2 − (−4), 6 − 4) = (6, 2) → wជ = (4 − (−4), 3 − 4) = (8, −1) F-n ⎯→ A(−4, 4) F'-n ⎯→ A'(2, 6) F"-n → A"(4, 3) 044 ●● B' = −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 21 5 8 3 , 1 5 2 3 , − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟043 ● 042 ● 041 ●● F C F' C' C" F" Y X 5 3 1 −4 −2 1 3 5 7 322 Higidurak eta antzekotasunak C(10, 7) wជ(−3, −5) C'(7, 2) D(1, 5) sជ(4, −4) D'(5, 1) E(0, 3) tជ(3, −2) E'(3, 1) Puntua Translazio-bektorea Puntu transladatua A(1, 3) vជ(1, −2) A'(2, 1) B(−2, −4) uជ(2, 7) B'(0, 3) vជ wជ 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 322
- 323. 323 10 Kalkulatu F, kontuanhartuta, vជ(−2, −3) bektoreko translazioa aplikatzean, F' lortu dela. Hori egin aurretik, adierazi zer koordenatu izango dituzten F irudiaren erpinek. A(x1, y1) A'(−6, 4) B(x2, y2) B'(−4, 3) C(x3, y3) C'(−4, 1) D(x4, y4) D'(−8, 1) E(x5, y5) E'(−7, 2) G(x6, y6) G'(−8, 3) Kalkulatu F irudiari vជbektoreko translazioa aplikatzean lortutako irudi eraldatua. Izendatu F'. Ondoren, kalkulatu F'-ri wជ bektoreko translazioa aplikatzean lortutako irudi eraldatua. Izendatu F". a) F-tik abiatuta lor al daiteke zuzenean F", translazio baten bidez? Baiezkoan bazaude, marraztu bektorea eta idatzi kooordenatuak. b) Idatzi vជ-ren eta wជ-ren koordenatuak, eta batu abzisak eta ordenatuak. Zer lotura dago emaitzaren eta a) ataleko emaitzaren artean? vជ = (8, 2) − (5, 5) = (3, −3) F irudiko puntuak hauek bihurtuko dira: A(1, 5) A'(4, 2) B(4, 5) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ B'(7, 2) C(2, 4) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ C'(5, 1) D(1, 4) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ D'(4, 1) wជ = (10, 1) − (12, 3) = (−2, −2) F' irudiko puntuan hauek bihurtuko dira: A'(4, 2) A"(2, 0) B'(7, 2) ⎯⎯⎯⎯⎯→ B"(5, 0) C'(5, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ C"(3, −1) D'(4, 1) ⎯⎯⎯⎯⎯→ D"(2, −1) wជ(−2, −2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ vជ(3, −3) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 046 ●●● x6 − 2 = −8 → x6 = −6 y6 − 3 = 3 ⎯→ y6 = 6 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ vជ(−2, −3) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x5 − 2 = −7 → x5 = −5 y5 − 3 = 2 ⎯→ y5 = 5 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ vជ(−2, −3) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x4 − 2 = −8 → x4 = −6 y4 − 3 = 1 ⎯→ y4 = 4 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ vជ(−2, −3) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x3 − 2 = −4 → x3 = −2 y3 − 3 = 1 ⎯→ y3 = 4 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ vជ(−2, −3) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x2 − 2 = −4 → x2 = −2 y2 − 3 = 3 ⎯→ y2 = 6 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ vជ(−2, −3) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x1 − 2 = −6 → x1 = −4 y1 − 3 = 4 ⎯→ y1 = 7 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ vជ(−2, −3) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 045 ●● ERANTZUNAK F' F B' C'D' E' G' A' F vជ wជ Y X 5 3 1 1 3 5 7 9 11 FA B D C vជ F' F" wជ −2−4−6−8 1 3 5 3 1 Y X 1 7 9 11 5 3 1 Y X 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 323
- 324. 324 a) Bai, formarieta neurriari eusten diotelako. Egiaztatzeko F irudiko puntu bat eraldatu eta F"-ko puntu bat lortuko dugu; F-ko beste hiru puntuei aplikatuko diegu. A(1, 5) A"(2, 0) → tជ(1, −5) tជ bektorea aplikatzen badiegu F-ko beste hiru puntuei: B(4, 5) B"(5, 0) C(2, 4) ⎯⎯⎯⎯→ C"(3, −1) D(1, 4) ⎯⎯⎯⎯→ D"(2, −1) bi higiduren bidez lortutako puntuekin bat datozela ikusiko dugu. b) vជ + wជ = (3, −3) + (−2, −2) = (1, −5) a) atalean lortutako tជ bektorea da. P(0, 5) puntua dugu. vជ(3, 4) bektoreko translazioa aplikatu badugu, eta ondoren, wជ(−2, −1) bektoreko translazioa: a) Zer puntu lortu dugu? b) Bi translazioak egin ondoren, Q(2, -2) puntua lortuko balitz, zer puntu izango litzateke hasierako puntua? a) P' = (0 + 3 − 2, 5 + 4 − 1) = (1, 8) b) R = (2 − 3 + 2, −2 − 4 + 1) = (1, −5) Lortu O zentroko eta adierazitako angeluko biraketaren bidezko F-ren eraldatua. a) 90°-ko angelua. c) −120°-ko angelua (120° erlojuaren orratzen noranzkoan). b) 45°-ko angelua. d) 180°-ko angelua. a) c) b) d) 048 ● 047 ●● tជ(1, −5) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 1 + x = 2 → x = 1 5 + y = 0 → y = −5 tជ(x, y) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Higidurak eta antzekotasunak F F F O O O F' F' F' 180° −120° 90° OF F' 45° wជ vជ F" F' F 1 5 7 9 11 5 3 1 Y X tជ 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 324
- 325. 325 10 Kalkulatu F' irudia,F irudiari koordenatu-jatorria zentroko eta 90°-ko angeluko biraketa aplikatzean lortzen bada. Zer koordenatu dituzte F-ren erpinek? Eta eraldatuaren erpinek? Zer lotura hauteman duzu emaitzen artean? A(1, 1) ⎯→ A'(−1, 1) B(2, 4) ⎯→ B'(−4, 2) C(3, 3) ⎯→ C'(−3, 3) D(4, 3) ⎯→ D'(−3, 4) E(4, 2) ⎯→ E'(−2, 4) G(5, 1) ⎯→ G'(−1, 5) P(x, y) puntuaren eraldatua, koordenatu-jatorria zentroko eta 90°-ko angeluko biraketa aplikatzean, P'(−y, x) da. Kalkulatu F irudia F' bihurtzen duen biraketaren zentroa eta angelua . O zentroa irudiarena da. Biraketa-angelua −120° da, gutxi gorabehera. Kalkulatu F irudia, jakinik jatorria zentroko eta 90°-ko angeluko biraketa aplikatzean F' irudia lortzen dela. F-ren erpinei 90°-ko biraketa aplikatzean, hau beteko da: A(x1, y1) ⎯→ A'(−6, 3) → x1 = 3, y1 = 6 B(x2, y2) → B'(−5, 5) → x2 = 5, y2 = 5 C(x3, y3) ⎯→ C'(−4, 4) → x3 = 4, y3 = 4 D(x4, y4) → D'(−3, 5) → x4 = 5, y4 = 3 E(x5, y5) ⎯→ E'(−3, 1) → x5 = 1, y5 = 3 G(x6, y6) → G'(−5, 1) → x6 = 1, y6 = 5 Osatu zentroa koordenatu-jatorrian duten biraketei buruzko taula hau. 052 ●● 051 ●● F O F' 050 ●● 049 ●● F A A' F'B' C' D' E' G' B C D E G F G G' A B C B' C' D D' E E' F'A' 90° ERANTZUNAK C(1, 2) 180° C'(−1, −2) D(−3, −4) 180° D'(3, 4) E(0, 3) 90° E'(−3, 0) Puntua Angelua Puntu eraldatua A(1, 0) 90° A'(0, 1) B(3, 0) 90° B'(0, 3) −4 −2 1 3 5 7 5 3 Y X Y X 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 325
- 326. 326 Lortu F' irudia,F irudiaren eraldatua O zentroko eta 90°-ko angeluko biraketaren bidez. Ondoren, lortu F" irudia, F'-ren eraldatua O zentroko eta 60°-ko biraketaren bidez. a) Kalkulatu O zentroko eta 150° (90° + 60°) angeluko biraketaren bidezko F-ren irudi eraldatua. Zer hauteman duzu? b) Aurreko emaitzaren arabera, zer higiduraren baliokidea da zentro bereko ondoz ondoko bi biraketa egitea? c) Eta 270°-ko ondoz ondoko bi biraketa egitea? a) 150°-ko angeluko biraketaren bidezko eraldatua 90°-ko biraketa eta 60°-koa ondoz ondo aplikatzean lortzen dena da. b) Zentro bereko eta angeluen baturako biraketaren baliokidea da. c) 540°-ko biraketaren baliokidea. Lortu O zentroko simetria zentralaren bidezko F irudiaren eraldatua. a) F' irudiaren erpinen koordenatuak: A(−2, 2) ⎯→ A'(2, −2) B(−4, 0) ⎯→ B'(4, 0) C(−5, 1) ⎯→ C'(5, −1) D(−5, 2) ⎯→ D'(5, −2) b) F' irudiaren erpinen koordenatuak: A(−3, 3) ⎯→ A'(3, −3) B(−3, −1) ⎯→ B'(3, 1) C(−4, −1) ⎯→ C'(4, 1) D(−4, 0) ⎯→ D'(4, 0) E(−6, 1) ⎯→ E'(6, −1) G(−5, 1) ⎯→ G'(5, −1) c) F' irudiaren erpinen koordenatuak: A(0, 2) ⎯⎯→ A'(0, −2) B(1, 1) ⎯⎯→ B'(−1, −1) C(3, 2) ⎯⎯→ C'(−3, −2) D(2, 0) ⎯⎯→ D'(−2, 0) E(3, −1) ⎯→ E'(−3, 1) G(1, −1) ⎯→ G'(−1, 1) d) F' irudiaren erpinen koordenatuak: A(−2, 3) ⎯→ A'(2, −3) B(−1, 3) ⎯→ B'(1, −3) C(0, 2) ⎯⎯→ C'(0, −2) D(−1, 1) ⎯→ D'(1, −1) E(−2, 0) ⎯→ E'(2, 0) G(−3, 1) ⎯→ G'(3, −1) 054 ● F O F'90° 60° F" 053 ●●● Higidurak eta antzekotasunak A OB C B' C' D D' F F' A' A B C B' C' DD' E G E' G' F F' A' G' A BC B' C' D D' E E' F G F' A' G' G A B C B' C' D D' E E' F F' A' O O O 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 326
- 327. 327 10 Lortu F irudiareneraldatua, honen bidezkoa: a) Zentroa jatorrian duen simetria. b) Ordenatu-ardatzarekiko ardatz-simetria. Zer lotura dago F-ren erpinen koordenatuen eta eraldatuaren erpinen koordenatuen artean? a) A(−4, 4) ⎯→ A'(4, −4) B(−2, 3) ⎯→ B'(2, −3) C(−2, 1) ⎯→ C'(2, −1) D(−6, 1) ⎯→ D'(6, −1) E(−5, 2) ⎯→ E'(5, −2) G(−6, 3) ⎯→ G'(6, −3) P(x, y) puntuaren eraldatua P'(−x, y) da, Y ardatzeko simetria aplikatzean. b) A(−4, 4) ⎯→ A'(4, 4) B(−2, 3) ⎯→ B'(3, 2) C(−2, 1) ⎯→ C'(1, 2) D(−6, 1) ⎯→ D'(1, 6) E(−5, 2) ⎯→ E'(5, 2) G(−6, 3) ⎯→ G'(3, 6) P(x, y) puntuaren eraldatua P'(y, x) da, zentroa jatorrian duen simetria aplikatzean. Kalkulatu F irudia F' bihurtzen duen eta F' F" bihurtzen duen simetria-zentroa, eta eraldatze horiek egiteko simetria-ardatza. e ardatzarekiko simetriak F irudia F' bihurtzen du. Eta P puntuarekiko simetriak F irudia F" bihurtzen du. F P e F' F" 056 ●● Y F A D B C G E F' A' C' G' D' B' E' F A D B C G E F' A' D' B' C' G' E' Y X 055 ● ERANTZUNAK 31 5−4−6 −2 5 3 1 −2 −4 31 5−4−6 −2 5 3 1 X 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 327
- 328. 328 Osatu zentroa koordenatu-jatorrianduen simetria bati buruzko taula hau. Osatu zenbait simetriari buruzko beheko taula hau. Aplikatu beheko irudiari higiduren konposizio hauek. a) vជ bektoreko translazioa eta 180°-ko biraketa. b) O zentroko simetria eta 90°-ko biraketa. c) r zuzenarekiko simetria eta vជ bektoreko translazioa. 060 ●● 059 058 ●● 057 ●● Higidurak eta antzekotasunak B(1, −2) B'(−1, 2) C(−3, 0) C'(3, 0) D(0, 2) D'(0, −2) Puntua Puntu eraldatua A(1, 0) A'(−1, 0) C(2, −1) Abzisa-ardatza C'(2, 1) D(5, 0) Abzisa-ardatza D'(5, 0) Puntua Simetria-ardatza Puntu transladatua A(1, 3) Ordenatu-ardatza A'(−1, 3) B(0, 3) Ordenatu-ardatza B'(0, 3) EGIN HONELA NOLA EGITEN DA HIGIDUREN KONPOSIZIO BAT? Aplikatu ABC triangeluari O zentroko eta 90º-ko angeluko biraketa, eta triangelu eraldatuari aplikatu vជbektoreko translazioa LEHENA. Lehen higidura aplikatu behar da. Kasu hone- tan, 90º-ko biraketa. BIGARRENA. Lortutako irudiari, A'B'C'-ri, bigarren higidu- ra aplikatu behar zaio. Kasu honetan, translazioa. Higiduren konposiziotik (biraketa eta translazioa) lortu dugun irudia A"B"C" triangelua da. A B C A' B' C' A" B" C" O vជ O C D B A r vជ 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 328
- 329. 329 10 a) b) c) Marraztu irudi bateta aplikatu zentro bereko ondoz ondoko bi simetria zentral. Zer lotura dago jatorrizko irudiaren eta azkenean lortutako irudiaren artean? Jatorrizko irudia eta azkenean lortutakoa irudi bera dira. T eta T' irudiak homotetikoak dira. Kalkulatu homoteziaren zentroa eta arrazoia. r = = 1,8 1,2 1,5 062 ● 061 ●●● r vជ O C D B A E O C D B A E vជ F F' T 1,8 cm 1,2 cm T' F" ERANTZUNAK 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 329
- 330. 330 Kalkulatu 7, 11eta 13 cm-ko aldeak dituen triangeluaren antzekoaren aldeen luzera, jakinik antzekotasun-arrazoia k = 3 dela. Aldeak: ; eta . Hexagono baten sei aldeen neurriak hauek dira: 13, 14, 15, 17, 19 eta 20 cm. Horren antzeko hexagono baten alde bat 80 cm-koa da. Antzekotasun-arrazoia zenbaki osoa bada, zer neurri dute gainerako aldeek? Antzekotasun-arrazoia zenbaki osoa izan dadin, 80 cm-ko aldeari 20 cm-koa dagokio, hori baita 80ren zatitzaile bakarra. Arrazoia 4 da eta aldeak 52, 56, 60, 68, 76 eta 80 cm-koak dira, hurrenez hurren. Marraztu 8 × 6 cm-ko laukizuzen bat eta erantsi 3 cm alde bakoitzean. Antzeko laukizuzen bat lortu al duzu? Zergatik? Ez dira antzeko laukizuzenak, aldeak ez direlako proportzionalak. Kalkulatu poligono hauen antzekotasun-arrazoia. Zer lotura dago perimetroen artean? Arrazoia: 5,1 : 3 = 1,7. Bigarren triangeluaren altuera: 1,4 ⋅ 1,7 = 2,38 cm. Perimetroen arrazoia: 14,96 : 8,8 = 1,7. Kalkulatu luzera ezezagunak. a) b) a) b) 2 4 8 3x x= = , → 1,25 4 3 2 = = x x→ 1,5 3 cmx 2 cm 4,8 cm 3 cm x 4 cm 2 cm 067 ● 3 cm 5,1 cm 1,4 cm F 066 ●● 065 ●● 064 ●● 13 3 = 4,33 cm 11 3 = 3,66 cm 7 3 = 2,33 cm 063 ● 8 3 Higidurak eta antzekotasunak 3 6 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 330
- 331. 331 10 Alboko irudian, da. KalkulatuOA', AB eta BC. ⎯→ = 2,875 cm → AB = 2,24 cm → BC = 3,6 cm Banatu AB zuzenkia grafikoki 10 zati berdinetan, jakinik AB = 14 cm dela. Banatu AB zuzenkia grafikoki 2 cm-ko eta 6 cm-ko bi zuzenkirekiko zati proportzionaletan, jakinik AB = 10 cm dela. Kalkulatu lortutako zuzenkien luzerak zenbakien bidez eta alderatu grafikoki lortutako emaitzarekin. Auto baten luzera erreala 4,2 m-koa da. Zer luzera izango du 1 : 200 eskalako maketa batean? Eta 1 : 400 eskalako maketa batean? 1 : 200 eskalan: 420 : 200 = 2,1 cm. Eta 1 : 400 eskalan: 420 : 400 = 1,05 cm. 071 ● 10 8 2 6 = = = = x y x y→ 2,5 cm 7,5 cm; 070 ●● 069 ● 0,8 4,5 = = BC B C BC ' ' 0,8 2,8 = = AB A B AB ' ' OA'0,8 2,3 = = OA OA OA' ' OB OB' = 0,8068 ● ERANTZUNAK 2,3 cm A B A' B'2,8 cm 4,5 cm A B14 cm 2,5A B7,5 2 6 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 331
- 332. 332 Aurreko ariketako autoarenmaketa bat 7,5 cm-koa bada, zer eskala du maketak? 420 : 7,5 = 56. Eskala 1 : 56 da. Mapa batean beheko eskala grafikoa ageri da. a) Zenbatekoa da zenbakizko eskala? b) Zer distantzia dago benetan bi punturen artean, mapakoa 8 cm-koa bada? a) 1 : 8.000 b) 8 ⋅ 8.000 = 64.000 cm = 640 m Egin 1 : 350 eta 1 : 6.000 zenbakizko eskalei dagozkien eskala grafikoak. 1 : 350 1 : 6.000 Eskualde baten bi mapa ditugu. Lehen maparen eskala 1 : 400.000 da, eta bigarrenarena, 1 : 1.000.000. a) Zer mapa da handiena? b) Bi herriren artean 20 km-ko distantzia badago errealitatean, zer distantzia egongo da bien artean bi mapetan? c) Lehen mapan, bi hiriren, A-ren eta B-ren, artean 2,3 cm-ko distantzia dago. Zer distantzia dago errealitatean? d) Zer distantzia egongo da bi hirien artean bigarren mapan? a) Lehen mapa da handiena, eskala txikiagoa duelako. b) Lehen mapan: 2.000.000 cm : 400.000 = 5 cm. Bigarren mapan: 2.000.000 cm : 1.000.000 = 2 cm. c) 2,3 cm ⋅ 400.000 = 920.000 cm = 9,2 km d) 920.000 cm : 1.000.000 = 0,92 cm = 9,2 mm 075 ●● 0 60 120 180 240 m0 3,5 7 10,5 14 m 074 ●● 0 80 160 240 320 m 073 ●● 072 ●● Higidurak eta antzekotasunak A B C P Q 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 332
- 333. 333 10 1 : 150.000eskalako mapa bat dugu. a) % 80an fotokopiatu badugu, zer eskala lortuko dugu? b) Eta % 120an fotokopiatuz gero? c) Errealitateko 15 km-ko distantziak zer luzera izango du hiru mapetako bakoitzean? a) . Eskala 1 : 187.500. b) . Eskala 1 : 125.000. c) 15 km = 1.500.000 cm . . . Miniaturazko armairu bat egin nahi dugu, 180 × 110 ×45 cm-ko neurriak dituen beste baten antzekoa, baina 13,5 cm-ko altuerakoa. Kalkulatu zabalera eta sakonera. Antzekotasun-arrazoia: 180 : 13,5 = 13,33. Zabalera: 110 : 13,33 = 8,25 cm. Sakonera: 45 : 13,33 = 3,375 cm. Kalkulatu zer neurri izango dituen lau angeluko etxe batek 1 : 50 eskalako plano batean, errealitatean etxearen oinarria altueraren erdia bada eta 144 m2 -ko azalera badu. Oinarria: x. Altuera: 2x → 2x ⋅ x = 144 → x = 8,49 Oinarria: 8,49 m. Altuera: 16,97 m. 1 : 50 eskalako planoan, neurriak hauek dira: Oinarria: 8,49 m : 50 = 17 cm Altuera: 17 cm ⋅ 2 = 34 cm Giza zelula batek 3,5 metro-milioireneko diametroa du, gutxi gorabehera. Mikroskopio elektronikoaz begiratuz gero, 1,75 cm-ko diametroa duela ikusiko dugu. Kalkulatu zenbat handitze dituen mikroskopioak. 0,0 m 0,0 cm 1,75 0,00035 ha000035 0035 5 000= =→ . nnditze 079 ●● 078 ●● 077 ●● 1 500 000 125 000 12 125 000 . . . .= cm 1 : eskalan 1 500 000 187 500 8 187 500 . . . .= cm 1 : eskalan 1 500 000 150 000 10 . . . = cm 1 : 150.000 eskalan 150 000 120 100 . = 125.000 150 000 80 100 . = 187.500 076 ●●● ERANTZUNAK 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 333
- 334. 334 Errepide batean saihesbidebat egin behar dute, errepidearen ibilbidea A eta B herriekiko lerro zuzena izateko moduan. Kalkulatu errepideko zer puntutan egin behar den saihesbidea, bi herrietarako ibilbideak ahalik txikienak izateko. Antzeko bi triangelu osatzen diren puntuan egin behar da saihesbidea. Kalkulatu mendi baten altuera, x. Badakigu mendiaren itzalaren muturraren eta gailurraren arteko distantzia 2.325 m-koa dela, eta une horretan 1 m-eko makila batek 1,1 m-ko itzala ematen duela. Antzeko triangeluak direnez, makilak osatutako triangeluaren hipotenusa hau da: . Hiruko erregela egingo dugu: -ko altuera du mendiak. Txori bat zuhaitz baten adar batean dago (A puntua), ibai baten ertzean. Ibaiaren beste ertzean dagoen zuhaitz batera (B puntua) joan nahi du eta hegan ari dela ura edateko aprobetxatu, geratu gabe. Ibaiaren zer puntutara joan behar du, ibilbidea ahalik motzena izateko? Ibaiko eta zuhaitzetako puntuek antzeko triangeluak osatzen dituzten puntura joan beharko du. Txoriak B puntua uretan islatuta ikusten duen puntua da. 082 ●●● ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = =→ x 2 325 1 560 . . 1,49 m 1,49 → 2.325 1 ⎯⎯→ x 1 + =1,21 1,49 m 081 ●●● 3 12 6 12 18 02 x x x x x= − − + = =→ → 10,24 080 ●●● 3 km x 6 km 12 km 2.325 km 1,1 m 1 m x = ? Higidurak eta antzekotasunak 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 334
- 335. 335 10 vជ eta wជbektoreak grafikoki batzeko, wជ-ren jatorria vជ-ren muturrean jartzen da; batura bektorearen jatorria vជ-ren jatorria izango da, eta muturra, wជ-ren muturra. Bektore bat zenbaki positibo batez biderkatzeko, jatorrizko bektorearen norabide eta noranzko bereko bektore bat marraztu behar da; modulua jatorrizko bektorearen modulua bider zenbakia izango da. Zenbakia negatiboa bada, prozesu bera egin behar da, baina noranzkoa aurkakoa izango da. Horretan oinarrituta eta irudiari behatuz, idatzi bektore hauek , , , , , , eta hauen mende: pជ= eta qជ= . = qជ = −pជ = qជ = pជ+ qជ = + = pជ+ qជ+ pជ= 2 ⋅ pជ+ qជ = 2 ⋅ = 2 ⋅ pជ+ 2 ⋅ qជ = + = −pជ+ qជ = −pជ Idatzi triangelu txikien perimetroa, p, altuera h, eta azalera, a, triangelu handiaren P perimetroaren, H altueraren eta A azaleraren mende. Triangelu txiki bakoitzaren aldeak eta altuerak triangelu handiaren aldeen eta altueren herenak dira: a h H A = ⋅ = ⋅ = oinarria OINARRIA 2 3 3 2 9 p P = 3 h H = 3 084 ●●● ជOD ជEDជFEជAC ជEOជEB ជOAជEOជEA ជEO ជFO ជBC ជAB ជEDជEFជODជAC ជEBជEAជEOជFOជBCជAB vជ wជ vជ wជ v ជ + w ជ 083 ●●● 3vជ −3vជ ERANTZUNAK O E D F C BA 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 335
- 336. 336 EGUNEROKOAN Aireportuetan hegazkinen higidurak kontrolatzendira, lurreratzeak eta aireratzeak koordinatzeko. Lan hori aire-zirkulazioko kontrolatzaileek egiten dute; radarraren bidez hegazkinen kokalekua zehaztu, eta haien ibilbidea eta posizioa finkatzeaz gain, lurreratzeko pistetara zer abiaduratan hurbiltzen diren adierazten dute. Radar baten pantailan, une jakin batean, ibilbide zuzena daramaten lau hegazkien posizioa hautematen da. Minutu batzuk geroago, hegazkinen posizioa aldatu egin da, eta horren ondorioz, kontrol-dorreak hegazkin bakoitzaren posizioaren, ibilbidearen eta abiaduraren berri eman behar du. Deskribatu lau hegazkinen ibilbidea eta alderatu haien abiadurak. A(2, −1) ⎯→ A'(1, 3). Ibilbidea (−1, 4); modulua . B(0, 3) ⎯⎯→ B'(3, 4). Ibilbidea (3, 1); modulua . C(−2, 0) ⎯→ C'(−6, 0). Ibilbidea (−4, 0); modulua 4. D(−2, −4) → D'(−4, −2). Ibilbidea (−2, 2); modulua . Abiadura handiena hegazkin gorriarena da, eta gero, hegazkin urdin argiarena, urdin ilunarena eta zuriarena. 8 10 17 085 ●●● Higidurak eta antzekotasunak A' B' C' D' D C B A X Y 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 336
- 337. 337 10 MOKADUA jatetxean, bertakochef ospetsuak produktu tradizionalak eta goi-mailako sukaldaritza nahasten ditu, eta emaitza publikoaren eta kritikoen gustukoa da. Julen Gerrikaetxeberriak, jatetxearen jabeak, lokalean egin behar dituzten berrikuntza-lanak direla-eta, jatetxean chefaren irudiari bultzada bat emateko modu bat asmatu du. Lehen diseinuan, oktogonoa gela angeluzuzenaren erdian ezarri dute, eta ondoren, lauza horiz inguratu dute, erabat estali arte. Egin al daiteke? Nola jarri behar dira koroak hori lortzeko? Bai, egin daiteke. Hona hemen hori egiteko modu bat: 086 ●●● ERANTZUNAK Lurrean, oktogono formako lauza handi bat jartzea pentsatu dut, barruan zure argazkia daramala. Gainerakoa lauzaz estaliko dugu zure inguruan koroa moduko bat osatzen duela. 908272 _ 0310-0337.qxd 20/9/07 16:26 Página 337
- 338. 338 Funtzioak11 FUNTZIO KONTZEPTUA ENUNTZIATUA TAULAFORMULA GRAFIKOA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK GORAKORTASUNA ETA BEHERAKORTASUNA MAXIMOAK ETA MINIMOAK SIMETRIAK PERIODIKOTASUNA 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 338
- 339. Espainiar gripea Salamanca, 1918.Bi erizainek txanda-aldaketa egin behar zuten; haietako bat nekeak jota zegoen. Txanda amaitu zuen erizaina, Carmen, jarraibideak ematen ari zen sartzera zihoan erizainari. –Ez ezazu lotura pertsonalik izan gaixoarekin, ez saiatu izena jakiten ere, seguruenik hilik egongo baita egun gutxi barru. –Gripea hondamena eragiten ari zen biztanleen artean–. Behatu sintomei eta gaixoak oinak urdinak dituela ikusten baduzu… ez galdu denborarik eta errezatu haren arimaren alde. Hiru urte geroago, Anaren boluntario-lana amaituta zegoela, azken urteetan gripeak eragindako hildakoen zifra ofizialak irakurtzen ari zen egunkarian. Begiak busti zitzaizkion bere lagun Carmenez oroitzean. Izan ere, hura izan zen 1918. urtean hil zenetako bat. Pandemia horren eraginez mundu osoan 20 eta 40 milioi artean hil omen ziren. Hiriko beste egunkarian, datuak aurkezteko grafiko bat erabili zuten, taula baten ordez. Grafiko hori berregiteko eta interpretatzeko gai al zara? Zer motatako grafikoa erabiliko duzu? Puntuz osatutako grafikoa erabili dugu eta puntuak elkartu egin ditugu, urte horietan gripeak eragindako heriotzen bilakaera hautemateko. 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 6.481 7.021 7.479 147.114 21.235 17.825 5.837 Espainian urtero gripeak hildakoak EgunkariaEgunkaria 160.000 140.000 120.000 100.000 80.000 60.000 40.000 20.000 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 339
- 340. 340 ARIKETAK Adierazi funtzioak direnala ez magnitude pare hauen arteko erlazioak eta arrazoitu erantzuna. a) Pertsona baten adina eta altuera. b) Upel baten prezioa eta har dezakeen likido kantitatea. c) Poligono erregular baten aldearen luzera eta poligonoaren perimetroa. d) Azterketa batean lortutako nota eta ikasten pasatutako ordu kopurua. e) Langile kopurua eta lan bat amaitzeko behar duten denbora. a) Ez, altueraren balio batek pisuaren zenbait balio izan baititzake, eta alderantziz. b) Bai, upelaren prezioa likido kantitatearen araberakoa baita. c) Bai, aldearen balio bakoitzari perimetroaren balio bat dagokio. d) Ez du zertan funtzioa izan, gerta baitaiteke azterketa gaizki egitea. e) Bai, langile kopurua handitzean lana amaitzeko behar duten denbora txikitu egingo baita. 3, 5, 7 eta 9 zenbakiak emanda, kalkulatu zer zenbaki dagokion edo dagozkion bakoitzari beheko lau erlazioen bidez eta adierazi zer funtzio diren. a) Zenbakiaren bikoitza gehi 2. c) Zenbakia ber lau. b) Zenbakiari bat batu eta d) Zenbakiaren erro koadroa. emaitza zati 2 egitean. a) 3 → 2 ⋅ 3 + 2 = 8 7 → 2 ⋅ 7 + 2 = 16 5 → 2 ⋅ 5 + 2 = 12 9 → 2 ⋅ 9 + 2 = 20 b) 3 → = 2 7 → = 4 5 → = 3 9 → = 5 c) 3 → 34 = 81 7 → 74 = 2.401 5 → 54 = 625 9 → 94 = 6.561 d) 3 → ± 7 → ± 5 → ± 9 → ± a), b) eta c) ataletako erlazioak funtzioak dira. Idatzi funtzioak diren bi erlazio eta funtzioak ez diren beste bi. Funtzioak diren erlazioen adibideak: • Telefono-dei baten kostua eta iraupena. • Internetetik artxibo bat behera kargatzeko denbora eta artxiboaren tamaina. Funtzioak ez diren erlazioen adibideak: • Ikasgela bateko ikasle kopurua eta azterketa bat gainditu dutenen kopurua. • Pertsona baten adina eta pisua. 003 9 3= ±5 73 9 1 2 +5 1 2 + 7 1 2 +3 1 2 + 002 001 Funtzioak 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 340
- 341. 341 11 Adierazi funtzio hauek,enuntziatu banaren bidez. a) y = 2x − 1 b) y =−x + 3 a) Zenbaki bakoitzari bikoitza ken 1 egokitzen dion funtzioa. b) Zenbaki bakoitzari aurkakoa gehi 3 egokitzen dion funtzioa. Lortu zenbaki bakoitzari hau egokitzen dion funtzioaren adierazpen aljebraikoa: a) hirukoitza. b) berbidura. c) bikoitza gehi 5. d) erdia. a) y = 3x b) y = x2 c) y = 2x + 5 d) y = Zenbaki bakoitzari laurdena gehi 3 egokitzen dion funtzioa dugu: a) Idatzi adierazpen aljebraikoa. b) Kalkulatu f(8), f(−4) eta f(10). a) y = f(x) = + 3 b) f(8) = + 3 = 5 f(−4) = + 3 = 2 f(10) = Pentsatu adierazpen aljebraiko baten bidez adierazi ezin den funtzio bat. Pertsona baten NAN eta altuera zentimetrotan lotzen dituen funtzioa. Egin funtzio bakoitzaren balio-taula bat, adierazi funtzio bakoitza enuntziatu baten bidez eta egin adierazpen grafikoa. a) y = x + 2 e) y = −3x − 1 b) y = 2x + 3 f) y = x2 + 1 c) y = x2 g) y = 4x − 4 d) y = x2 + x h) y = −x a) Zenbaki bakoitzari zenbakia bera gehi 2 egokitzen dion funtzioa. 008 007 10 4 3 10 12 4 22 4 11 2 + = + = = −4 4 8 0 x 4 006 x 2 005 004 ERANTZUNAK x y −2 0 −1 1 0 2 1 3 2 4 y = x + 22 1 Y X 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 341
- 342. 342 b) Zenbaki bakoitzaribikoitza gehi 3 egokitzen diona. c) Zenbaki bakoitzari berbidura egokitzen diona. d) Zenbaki bakoitzari berbidura gehi zenbakia bera egokitzen dion funtzioa. e) Zenbaki bakoitzari aurkakoaren hirukoitza ken 1 egokitzen dion funtzioa. f) Zenbaki bakoitzari berbidura gehi 1 egokitzen dion funtzioa. g) Zenbaki bakoitzari laukoitza ken 4 egokitzen dion funtzioa. h) Zenbaki bakoitzari aurkakoa egokitzen dion funtzioa. Funtzioak x y −2 −1 −1 1 0 3 1 5 2 7 x y −2 4 −1 1 0 0 1 1 2 4 x y −2 2 −1 0 0 0 1 2 2 6 x y −2 5 −1 2 0 −1 1 −4 2 −7 x y −2 5 −1 2 0 1 1 2 2 5 x y −2 −12 −1 −8 0 −4 1 0 2 4 x y −2 2 −1 1 0 0 1 −1 2 −2 y = x2 Y X y = 2x + 3 Y X Y X y = x2 + x Y X y = −3x − 1 Y X y = x2 + 1 Y X y = 4x − 4 y = −x Y X 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 342
- 343. 343 11 Puntu bat funtziobaten grafikokoa da haren koordenatuek ekuazioa betetzen badute. y = −2x funtziokoak al dira (−1, 2) eta (0, −1)? (−1, 2) → 2 = −2 ⋅ (−1) → Funtziokoa da. (0, −1) → −1 −2 ⋅ 0 ⎯→ Ez da funtziokoa. Sarrera batek 15,75 € balio ditu. Adierazi funtzio hori ekuazio baten, taula baten eta grafiko baten bidez. y = 15,75x Arrazoitu nolakoak izango liratekeen grafiko hauetako aldagaiak. Lehen grafikoa mailakatua da, x aldagaia jarraitua delako, eta y aldagaia, diskretua. Bigarren grafikoa diskretua da, puntu isolatuz osatua dagoelako. Altzari-saltzaile batek 480 €-ko soldata finkoa jasotzen du, eta 10 €-ko komisioa, saldutako altzariko. Marraztu saldutako altzari kopuruaren mendeko irabaziak adierazten dituen grafikoa. Funtzio etena da, altzari kopuruaren aldagaia diskretua delako eta ez jarraitua; izan ere, balio osoak soilik har ditzake. Idatzi grafiko diskretua duen funtzio bat eta grafiko mailakatua duen beste bat. • Grafiko diskretua: liga-jardunaldi bateko gol kopurua jardunaldiaren zenbakiarekiko. • Grafiko mailakatua: telefono-dei baten kostua iraupenarekiko (minutuka kobratuta). 013 012 011 010 009 ERANTZUNAK x y 0 0 1 15,75 2 31,50 3 47,25 y = 15,75x 3 31,50 15,75 21 Y X Y X Y X 540 520 500 480 531 Y X 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 343
- 344. 344 Aztertu grafikoko funtzioaren jarraitutasuna.Adierazi etenuneak, baldin baditu. Funtzioak bi etenune ditu: x = −3 eta x = 3; bi puntu horietan jauzi bana dago. y = −x + 3 eta y = x2 funtzioak emanda: a) Osatu balio-taulak. b) Adierazi funtzioak grafikoki. c) Aztertu jarraitutasuna. y = −x + 3 f(x) = −x + 3 funtzioa jarraitua da. y = x2 f(x) = x2 funtzioa jarraitua da. Marraztu funtzio hauen grafikoak. a) Zenbaki arrunt bakoitzari bikoitza ken 2 egokitzen dion funtzioa. b) Zenbaki oso bakoitzari bikoitza ken 2 egokitzen dion funtzioa. c) Zenbaki erreal bakoitzari bikoitza ken 2 egokitzen dion funtzioa. a) b) c) Aztertu zenbaki erreal bakoitzari 4 zenbakia egokitzen dion funtzioaren jarraitutasuna. Funtzio jarraitua da, arkatza altxatu gabe marraz daitekeelako. 017 016 015 014 Funtzioak x y −2 5 −1 4 0 3 1 2 2 1 x y −2 4 −1 1 0 0 1 1 2 4 y = x2 Y Y X X Y X y = −x + 3 4 2 −2 −2 −4 3 9 7 5 3 1 531 Y X 9 7 5 3 1 −3 −5 −7 531−2 Y X 5 3 1 5 731−2−4−6 Y X 9 7 5 3 1 −3 −5 −7 531−2 Y X 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 344
- 345. Kalkulatu funtzioaren eremuaeta ibiltartea. Er f = [−5, 5] Ib f = [−5, 5] Erreal bakoitzari hirukoitza ken 6 egokitzen dion funtzioa emanda, kalkulatu: a) Adierazpen aljebraikoa. b) Eremua, ibiltartea eta grafikoa. a) y = 3x − 6 b) Er f = ;ޒ Ib f = ޒ Zenbaki erreal bakoitzari alderantzizkoa gehi 3 egokitzen dion funtzioa emanda: a) Idatzi adierazpen aljebraikoa. b) Kalkulatu eremua eta ibiltartea. c) Zer irudi du 2 zenbakiak? (Gogoratu ezin dela zati 0 egin.) a) b) Er f = ޒ − {0}; Ib f = ޒ − {3} c) f(2) = Adierazi grafikoki zenbaki erreal bakoitzari negatiboa bada −1 eta positiboa bada +1 egokitzen dion funtzioa. a) Zer irudi du 2 zenbakiak? Eta −2k? b) Marraztu grafikoa. c) Kalkulatu eremua eta ibiltartea. a) f(2) = 1; f(−2) = −1 b) c) Er f = ޒ − {0}, 0 ez delako ez zenbaki positiboa ez negatiboa; Ib f = {−1, 1}, bi balio baino ez dituelako hartzen: 1 eta –1. 021 1 2 3 3 5+ = , y x = + 1 3 020 019 018 345 11ERANTZUNAK Y X y = 3x − 6 Y X 5 3 1 −3 −5 531−2−4 3 1 −2 31−2 1 3 51−2−4−6 Y X 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 345
- 346. 346 Adierazi grafikoki funtziohauek eta kalkulatu ardatzekiko ebakidura-puntuak. a) y = 3x − 6 b) y = x + 1 c) y = −2x d) y = x2 − 2 a) X ardatzarekiko ebakidura-puntua: y = 0 → 3x − 6 = 0 → x = 2 → (2, 0) Y ardatzarekiko ebakidura-puntua: x = 0 → y = 3 ⋅ 0 − 6 = −6 → (0, −6) b) X ardatzarekiko ebakidura-puntua: y = 0 → x + 1 = 0 → x = −1 → (−1, 0) Y ardatzarekiko ebakidura-puntua: x = 0 → y = 0 + 1 = 1 → (0, 1) c) X ardatzarekiko ebakidura-puntua: y = 0 → −2x = 0 → x = 0 → (0, 0) Y ardatzarekiko ebakidura-puntua: x = 0 → y = −2 ⋅ 0 = 0 → y = 0 → (0, 0) d) X ardatzarekiko ebakidura-puntuak: y = 0 → x2 − 2 = 0 → x = ± Y ardatzarekiko ebakidura-puntua: x = 0 → y = 02 − 2 = −2 → (0, −2) Zer puntutan ebakitzen ditu ardatzak y = x2 − 5x + 6 funtzioak? X ardatzarekiko ebakidura-puntuak: y = 0 → x2 − 5x + 6 = 0 → x = Ebakidura-puntuak (3, 0) eta (2, 0) dira. Y ardatzarekiko ebakidura-puntua: x = 0 → y = 0 − 5 ⋅ 0 + 6 = 6 → (0, 6) Adierazi grafikoki y = 3. Zer hautematen da? Zer puntutan ebakitzen ditu ardatzak? X ardatzarekiko zuzen paraleloa da, eta Y ardatza (0, 3) puntuan ebakitzen du. 024 3 2 = ± − = ±5 25 24 2 5 1 2 023 ( , ) ( , ) + − 2 0 2 0 2 022 Funtzioak y = x + 1 y = −2x y = x2 − 2 Y Y Y X X X y = 3x − 6 Y y = 3 Y X X 3 1 −2 31−2 3 1 −2 31−2 3 1 −2 31−2 3 1 3−2 1 −2 31−2 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 346
- 347. 347 11 Funtzio hau dugu:. Zer puntutan ebakitzen ditu ardatzak. X ardatzarekiko ebakidura-puntuak: y = 0 → = 0 → Ez du ebazpenik, ez du ebakitzen. Y ardatzarekiko ebakidura-puntuak: x = 0 → y = → Ez dago definituta, ez du ebakitzen. y = 5x funtzioak zer puntutan ebakitzen du Y? Eta y = 5x + 1 funtzioak? Eta y = 5x − 2 funtzioak? Emaitza horiek jakinik, zure ustez, zer puntutan ebakiko du Y ardatza y = 5x − 7 funtzioak? Y ardatzarekiko ebakidura-puntuak: x = 0 → y = 5 ⋅ 0 = 0 ⎯⎯⎯→ (0, 0) x = 0 → y = 5 ⋅ 0 + 1 = 1 ⎯→ (0, 1) x = 0 → y = 5 ⋅ 0 − 2 = −2 → (0, −2) y = 5x − 7 funtzioak (0, −7) puntuan ebakitzen du Y ardatza. Zenbat ebakidura-puntu izan ditzake funtzio batek Y ardatzarekiko? Eta X-rekiko? Y ardatza behin bakarrik ebaki dezake funtzio batek, bestela 0 zenbakiak irudi bat baino gehiago izango lituzke. X ardatza infinitu aldiz ebaki dezake. Behatu 2003-2007 aldiko patata kilogramoaren prezioari (eurotan). Adierazi datuak grafiko batean, eta aztertu gorakortasuna eta beherakortasuna. Gorakorra da (2003, 2004) eta (2006, 2007) tarteetan. Beherakorra da (2004, 2006) tartean. Marraztu funtzio baten grafikoa, jakinik gorakorra dela (0, 3) eta (6, 8) tarteetan, eta beherakorra, (3, 6) eta (8, 10) tarteetan. 029 028 027 026 8 0 8 0 y x = 2 025 ERANTZUNAK Y X 3 5 3 1 6 8 y = f(x) Y X Urtea Prezioa 2003 0,51 2004 0,65 2005 0,57 2006 0,49 2007 0,64 03 04 0,70 0,40 0,10 05 06 07 Y X y x = 23 1 −2 31−2 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 347
- 348. 348 Taulan, urtearen lehenbost hiletako auto-salmentak ageri dira. Datuak grafikoki adierazi gabe, aztertu funtzioaren gorakortasuna eta beherakortasuna. Beherakorra da taulan adierazitako eremu osoan (urtarriletik maiatzera arte). Adierazi grafikoki funtzioa, eta aztertu gorakortasuna eta beherakortasuna. Konstantea al da tarteren batean? Beherakorra da bi adarretan; hiperbola bat da. Ez du tarte konstanterik. Zehaztu funtzioaren maximoak eta minimoak. Funtzioak minimoak ditu abzisa-puntu hauetan: x = −3, −1 eta 2. x = −1 puntuan minimo absolutua du, eta beste bietan, erlatiboak. Funtzioak maximoak ditu abzisa-puntu hauetan: x = −4, −2, 1 eta 4. x = −2 puntuan maximo absolutua du, eta beste hiruretan, erlatiboak. Marraztu x = −2 eta x = 3-n maximoak, eta x = 1 eta x = 2-n minimoak dituen funtzioa. Marraztu 2 periodoko funtzio bat eta 4 periodoko beste funtzio bat. 2 periodokoa: 4 periodokoa: 034 033 032 y x = 1 031 030 Funtzioak Hila Salm. E 2.000 F 1.875 M 1.690 A 1.600 M 1.540 −4 −4 4 2 2 4 X Y −2 −4 −2 4 2 2 −2 4 2 2 86 10 3 1 −2 31−2 Y X y x = 1 Y X Y X Y X 5 3 1 −2 3 5 71−2−4−6−8 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 348
- 349. 349 11 Marraztu erlojuaren orratzek00:00 eta 02:00 orduen artean osatutako angelua neurtzen duen funtzioaren grafikoa. Zer maximo eta minimo ditu? Demagun angelu zorrotza hartu dugula. Maximoak hauek dira, gutxi gorabehera: 0:30 h (0 h 32 min 44 s) eta 1:35 h (1 h 38 min 11 s); minimoa, berriz: 1:05 h. Adierazi grafikoki balio-taularen bidez emandako funtzioa. Funtzio simetrikoa al da? Funtzio simetrikoa da Y ardatzarekiko. Aztertu funtzio hauen simetriak. a) y = 4 b) y = x4 c) y = x3 a) · f (−x) = f (x) → Funtzio bikoitia b) · f (−x) = f (x) → Funtzio bikoitia c) · Izan al daiteke funtzio bat X ardatzarekiko simetrikoa? Arrazoitu erantzuna. Ezin da, X-ren balio bakoitzak bi irudi izango lituzkeelako, eta beraz, ez litzateke funtzioa izango. ARIKETAK Zehaztu zer erlaziok adierazten duten funtzio bat. Arrazoitu erantzuna. a) Zenbaki positibo bat eta haren erro koadroa. b) Zenbaki positibo bat eta haren erro kuboa. c) Zenbaki negatibo bat eta haren balio absolutua. d) Piramide baten oinarriaren alde kopurua eta ertz kopuru osoa. a) Korrespondentzia da. Zenbaki positiboak erro positibo eta negatibo bana ditu. b) Funtzioa da. Zenbaki batek erro kubo bakar bat du. c) Funtzioa da. Zenbaki negatibo bakoitzak balio absolutu bat du, zenbakia bera zeinua aldatuta. d) Funtzioa da. Ertz kopurua alde kopuruaren bikoitza da eta alde kopuru bakoitzari ertz kopuru bakar bat dagokio. 039 ● 038 f (−x) f (x) ⎯→ Funtzio ez-bikoitia f (−x) = −f (x) → Funtzio bakoitia f (x) = x3 f (−x) = (−x)3 = −x3 f (x) = x4 f (−x) = (−x)4 = x4 f (x) = 4 f (−x) = 4 037 036 035 ERANTZUNAK 180 90 x y … … −2 7 −1 4 0 3 1 4 2 7 … … 6 4 2 2 X Y X Y 32m 44s65min27s98min11s130min54s 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 349
- 350. Idatzi funtzioen hiruadibide eta adierazi zein diren funtzio bakoitzeko aldagaiak. Auto baten abiadura eta 100 km egiteko behar duen denbora. Zenbaki oso baten zatitzaileak; x aldagaia: zenbaki osoa, y : zatitzaileak. Laino baten altuera eta tanta bat eurik erortzen zenbat denbora behar duen. Adierazi zein diren funtzioak eta zein ez. a) c) b) d) a) Ez da funtzioa. b) Funtzioa da. c) Ez da funtzioa. d) Funtzioa da. 042 ● 041 040 ● EGIN HONELA NOLA IDENTIFIKATZEN DA FUNTZIO BAT ADIERAZPEN GRAFIKOAREN BIDEZ? Adierazi funtzioak diren ala ez grafiko hauek. a) b) LEHENA. x-ren balioren bati y-ren balio bat baino gehiago dagokion zehaztu behar da. a) b) BIGARRENA. Hala bada, grafikoa ez da funtzio batena. Balio bakarra badagokio, berriz, grafikoa funtzio batena izango da. Beraz, b) funtzioa da eta a) ez. Y X Y X Y X Y X 350 Funtzioak Y Y X X Y X Y X 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 350
- 351. 351 11 Idatzi magnitude hauenarteko erlazioaren adierazpen aljebraikoa. a) Zirkunferentzia baten erradioa eta luzera. b) Esfera baten erradioa eta bolumena. c) Zirkulu baten azalera eta erradioa. a) y = 2πx b) y = c) y = πx2 Zenbaki bakoitzari zenbakiaren eta 5en baturaren alderantzizkoa egokitzen dion funtzioa emanda: a) Idatzi adierazpen aljebraikoa. b) Funtzioak ba al du baliorik x =−2 bada? a) b) Bai, Piramide baten erpin kopuruaren eta ertz kopuruaren arteko erlazioa. a) Funtzioa al da? Egin balio-taula eta adierazi grafikoki. b) Idatz al daiteke funtzioaren adierazpen aljebraikoa? a) Bai, funtzioa da. b) y = 2(x −1), x ≥ 4 bada. Adierazi funtzio hauek, ahalik modu gehienetan. a) y = x + 5 b) y = −3x + 1 c) y = x2 + x + 1 d) Ariketa honetako adibideak erabiliz, funtzio bat zenbait modutan nola adierazten den praktikatzea gomendatzen da, funtzio mota arruntenak ageri baitira. y x = 5 046 ●● 045 ●● y = 1 3 y x = + 1 5 044 ● 4 3 3 πx 043 ● ERANTZUNAK Erpinak Ertzak 4 6 5 8 6 10 7 12 8 14 9 16 … … d)a) b) c) Y X Y X Erpinak Ertzak 15 13 11 9 7 5 3 1 1 3 5 7 9 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 351
- 352. 352 Zorro bat patatafrijituk 1,50 € balio du. Adierazi aljebraikoki Zorro kopurua – Prezioa funtzioa, eta egin balio-taula eta grafikoa y = 1,50x Egin 36 m2 -ko azalera duten laukizuzenen luzeren eta zabaleren balio-taula. Adierazi aljebraikoki Luzera – Zabalera funtzioa eta egin grafikoa. Aztertu funtzio hauen jarraitutasuna. Ba al dute etenunerik? a) b) a) Ez da jarraitua. Bi etenune ditu x = −1 eta x = 4 puntuetan. b) Ez da jarraitua, jauzi bat du x = 0 puntuan. Eneko gaixo dago eta egunean 4 aldiz hartu diote tenperatura, 3 egunez. Grafikoan ageri diren puntuak lortu dituzte? Elkar al daitezke puntuak? Funtzio jarraitua ala etena izango da? Bai, elkar daitezke puntuak. Aldagaiak jarraituak dira eta grafikoa ere bai. 050 ● 049 ● y x = 36 048 ●● 047 ●● Funtzioak x y 0 0 1 1,50 2 3 3 4,50 4,50 3 1,50 1 2 3 Y X 18 6 4 2 Y X Luzera Zabal. 18 2 12 3 9 4 6 6 4 9 3 12 2 18 Y X−5 −3 −1 −2 2 1 3 5 2 2 4−4 −2 −2 Y X 40 39 38 37 36 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 Tenperatura(°C) Denbora (h) Y X 2 4 6 18 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 352
- 353. Idatzi bi funtziohauen eremua eta ibiltartea. a) b) a) Eremua = [−1, 8] − (1, 2) – (5, 6) = [−1, 1] + [2, 5] + [6, 8] Ibiltartea = [0, 3] + {5} b) Eremua = [−1, 7] − (2, 3) = [−1, 2] + [3, 7] Ibiltartea = [0, 5] Kalkulatu funtzio hauen eremua. a) y = x2 + 1 c) b) d) a) R c) [−1, +ϱ) b) R − {5} d) [2, +ϱ) x − 2y x = − 5 5 x + 1 053 ●● 052 051 ● EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA FUNTZIO BATEN EREMUA, ADIERAZPEN ALJEBRAIKOTIK ABIATUTA? Kalkulatu funtzioen eremua. a) y = 2x − 3 b) c) LEHENA. Adierazpen mota aztertu behar da. a) y = 2x − 3 ⎯→ Adierazpen polinomikoa da. b) → Izendatzailean x aldagaia duen adierazpena da. c) ⎯→ x aldagaia erro koadro baten errokizunean duen adierazpena. BIGARRENA. Eremua kalkulatu behar da, adierazpen mota aintzat hartuta. a) Adierazpenak zenbaki erreal guztietarako daude definituta: Er f = R. b) Zatiketa bat ez dago definituta izendatzailea 0 bada; beraz, funtzioa ez dago definituta x = 1 puntuan: Er f = R − {1}. c) Erroketak zenbaki positiboetarako bakarrik daude definituta; beraz, funtzioa definituta dago 1 edo handiagoa bada x: Er f = [1, +ϱ). y x= − 1 y x x = + + 3 2 1 y x= −1y x x = + + 3 2 1 353 11ERANTZUNAK 4 2 4 6 8 Y X 4 2 2 4 6 8 Y X 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 353
- 354. 354 Aztertu y =x3 funtzioaren jarraitutasuna, eta lortu eremua eta ibiltartea. Funtzio jarraitua da; eremua: R; ibiltartea: R. Aztertu funtzio honen jarraitutasuna: . Lortu eremua eta ibiltartea. → Ά Funtzioa jarraitua da tarte honetan: ޒ − {0}. Funtzio hau dugu: : a) Egin balio-taula bat. c) Marraztu grafikoa. b) Aztertu jarraitutasuna. d) Zehaztu eremua eta ibiltartea. a) c) b) Jarraitua da eremu osoan. d) Er f = [−4, +ϱ) Ib f = [0, +ϱ) Kalkulatu funtzioen ebakidura-puntuak ardatzekiko. a) y = 4x − 1 c) y = x2 − 3 e) y = x3 − 8 b) y = 5 d) y = (x − 3)2 f) y = −3 a) y = 4x − 1 → Y ardatza → x = 0 → y = 4 ⋅ 0 − 1 = −1 → P(0, −1) X ardatza → y = 0 → 0 = 4x − 1 → b) y = 5 → Y ardatza → x = 0 → y = 5 → P(0, 5) X ardatza → y 0, ez du ardatz horrekiko ebakidura-punturik. c) y = x2 − 3 → Y ardatza → x = 0 → y = 0 − 3 = −3 → P(0, −3) X ardatza → y = 0 → x2 − 3 = 0 → x = ± → Q( , 0) eta Q'(− , 0) d) y = (x − 3)2 → Y ardatza → x = 0 → y = (0 − 3)2 = 9 → P(0, 9) X ardatza → y = 0 → 0 = (x − 3)2 → x = 3 → Q(3, 0) e) y = x3 − 8 → Y ardatza → x = 0 → y = −8 → P(0, −8) X ardatza → y = 0 → x3 − 8 = 0 → x = 2 → Q(2, 0) f) y = −3 → Y ardatza → x = 0 → y = −3 → P(0, −3) X ardatza → y 0, ez du ardatz horrekiko ebakidura-punturik. 333 x Q= ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 1 4 1 4 0→ , 057 ● f x x( ) = + 4056 ●●● Er f = ޒ − {1} Ib f = ޒ − {0}y x = − 2 1 y x = − 2 1 055 ●●● 054 ●● Funtzioak Y X y x = − 2 1 x 1 5 0 2 2 6 −4 0y Y X y x= + 4 y = x3 Y X 1 1 1 1 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 354
- 355. 355 11 Aztertu funtzio honengorakortasuna. Funtzioa gorakorra da [−1, 2] eta [5, 8] tarteetan; beherakorra [3, 4] tartean eta konstantea (4, 5)-n. Behatu behean ageri den funtzioaren grafikoari. a) Zehaztu eremua eta ibiltartea. b) Funtzio jarraitua al da? c) Aztertu gorakortasuna eta beherakortasuna. d) Adierazi maximoak eta minimoak, baldin baditu. a) Er f = [0, 10]; Ib f = [0, 7] b) Jarraitua da eremu osoan. c) Gorakorra: [0, 1] ∪ [2, 4] ∪ [5, 6] ∪ [8, 10]. Beherakorra: [1, 2] ∪ [4, 5] ∪ [6, 8]. d) Maximoak ditu x = 1, x = 4 eta x = 6 puntuetan. Minimoak ditu x = 2, x = 5 eta x = 8 puntuetan. Osatu bi grafikoak, Y ardatzarekiko simetrikoa den funtzio bat lortzeko, kasu bakoitzean. a) b) a) b) 060 ●● 059 ● 058 ●● ERANTZUNAK 5 4 3 2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 X Y 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X Y X X Y Y X X Y Y 3 1 −2 31−2 3 1 −2 31−2 3 1 −2 31−2 3 1 −2 31−2 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 355
- 356. 356 Gerta al daitekefuntzio bat Y ardatzarekiko eta jatorriarekiko simetrikoa izatea? Baietz uste baduzu, idatzi adibide bat. y = 0 funtzioarekin soilik gertatzen da; izan ere: f(−x) = −f(−x). Adierazi hauetako zein diren funtzio periodikoen grafikoak. a) c) b) d) Periodikoak dira a) eta c) ataletako funtzioak, eta ez dira periodikoak b) eta d) ataletakoak. Aztertu magnitude pare hauek lotzen dituzten funtzioen ezaugarriak: a) Hexagono erregular baten aldea eta azalera. b) Karratu baten aldearen luzera eta diagonala. c) Zenbaki erreal bat eta haren kuboa. d) Zenbaki erreal bat eta haren erro koadroaren hirukoitza. a) Funtzio jarraitua eta gorakorra da eremu osoan → → Er f = ޒ b) funtzioa jarraitua eta gorakorra da → Er f = ޒ c) y = x3 → Er f = ;ޒ Ib f = ޒ Jarraitua eta gorakorra da, ez du maximo eta minimorik, eta simetrikoa da jatorriarekiko. d) y = → Er f = ޒ+ = [0, +ϱ) Ib f = ޒ+ = [0, +ϱ) Jarraitua eta gorakorra da, eta ez du maximorik eta minimorik. 3 x d = =2 22 l l A P a = ⋅ = ⋅ ⋅ = 2 6 3 2 3 3 2 2 l l l 2 063 ●● 062 ●● 061 ●●● Funtzioak X Y X Y X Y X Y 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 356
- 357. 357 11 Aztertu funtzio hauenezaugarriak. a) y = −3x c) y = x2 + 2x + 1 e) y = (x − 1)2 b) y = 2x − 5 d) f) y = x3 − 3 a) y = −3x → Er f = ;ޒ Ib f = ޒ Jarraitua eta beherakorra da, eta ez du maximorik eta minimorik, ez eta simetriarik ere. b) y = 2x − 5 → Er f = ;ޒ Ib f = ޒ Jarraitua eta gorakorra da, ez du maximorik, ez minimorik, ez simetriarik. c) y = x2 + 2x + 1 → Er f = ;ޒ Ib f = ޒ Jarraitua da, beherakorra −ϱ-tik −1era arte, gorakorra −1etik +ϱ-ra arte, eta minimo bat du x = −1 puntuan. Ez da simetrikoa Y ardatzarekiko, ez eta koordenatu-jatorriarekiko ere. d) → Er f = ޒ − {0}; Ib f = ޒ − {−2} Jarraitua eta beherakorra da, ez du simetriarik Y ardatzarekiko, eta simetrikoa da koordenatu-jatorriarekiko. e) y = (x − 1)2 → Er f = ;ޒ Ib f = ޒ Jarraitua da, beherakorra −ϱ-tik 1era arte, gorakorra 1etik +ϱ-ra arte, eta minimo bat du x = 1 puntuan. Ez da simetrikoa Y ardatzarekiko, ez eta koordenatu-jatorriarekiko ere. f) y = x3 − 3 → Er f = ;ޒ Ib f = ޒ Jarraitua eta gorakorra da, ez du simetriarik Y ardatzarekiko, ez eta koordenatu-jatorriarekiko ere. Aztertu funtzio hauek. a) y = ⏐x⏐ (x-ren balio absolutua) b) y = a) y = ⏐x⏐ = Ά Er f = ;ޒ Ib f = [0, +ϱ) Jarraitua da. Beherakorra (−ϱ, 0)-n eta gorakorra (0, +ϱ)-n. Minimo absolutu bat du x = 0 puntuan. Simetrikoa da Y ardatzarekiko. b) y = Ά Er f = ;ޒ Ib f = [0, +ϱ) Jarraitua da. Beherakorra (−ϱ, 0)-n eta gorakorra (0, +ϱ)-n. Minimo absolutu bat du x = 0 puntuan. Ez du simetriarik. −x x ≤ 0 bada x2 x > 0 bada −x x < 0 bada x x > 0 bada −x x ≤ 0 bada x2 x > 0 bada ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎪⎪ 065 ●●● y x = − 2 2 y x = − 2 2 064 ●● ERANTZUNAK Y Y X X y = ⏐x⏐ y = x2 y = −x 3 1 −2 31−2 3 1 −2 31−2 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 357
- 358. Adierazi grafikoki funtziohau: – Er f = R – (5, 0) eta (7, 0) puntuetatik igarotzen da. – Minimoak ditu (0, 1) eta (6, −3) puntuetan, – Maximo bat du (3, 5) puntuan. Adierazi grafikoki ezaugarri hauek dituen funtzioa. – Er f = R – (−3, 0) eta (0, 2) puntuetatik igarotzen da. – Gorakorra da x =−2ra arte, (−2, 4) tartean; eta beherakorra, x = 4tik aurrera. 068 ●● 067 ●● 066 EGIN HONELA NOLA ADIERAZTEN DA GRAFIKOKI FUNTZIO BAT, HAREN ZENBAIT EZAUGARRI JAKINDA? Adierazi funtzio bat grafikoki, datu hauekin. – Er f = R – (−2, 0), (2, 0) eta (4, 0) puntuetatik igarotzen da. – Minimo bat du (3, −2) puntuan. – Maximo bat du (0, 2) puntuan. LEHENA. Funtzioaren puntuak grafikoki adierazi behar dira. BIGARRENA. Funtzioaren maximoak eta minimoak marraztu behar dira. Minimoak adierazteko, arku bat erabiltzen da, zati ahurra behera begira duela. Maximoak adierazteko, zati ahurra gora begira dutela erabiltzen dira. HIRUGARRENA. Funtzioa grafikoki adieraz- teko, grafikoaren norabidea eta zer pun- tutatik igarotzen den erakusten duten ge- ziei jarraitu behar zaie. 2 −2 −2 2 4 Y X 2 −2 −2 2 4 Y X 358 Funtzioak Y X 5 3 1 −2 3 5 71−2−4 Y X 3 1 −2 −4 3 5 7 91−2−4 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 358
- 359. 359 11 Marraztu funtzio periodikobat, (−5, 5) eremua eta (−2, 2) ibiltartea dituena. Bat baino gehiago al dago? Infinitu ebazpen daude. Adierazi grafikoki Y ardatzarekiko simetrikoa den funtzio bat, beti gorakorra dena. Egin al daiteke? Ezin da, balio positiboetarako gorakorra bada, negatiboetarako beherakorra izango da, eta alderantziz, Y ardatzarekiko simetrikoa delako. a > b > 0 bada, f(a) > f(b) izango da, gorakorra eta Y ardatzarekiko simetrikoa delako. Dena den, f(−a) > f(−b) baldintza ezinezkoa da, funtzioa gorakorra delako; izan ere, −b > −a. Ikastetxe batean, eraikin nagusiaren itzalaren luzera neurtu dute, ordu oro, neguko egun batean (18:00etatik aurrera gaua da). Lortutako datuak taulan ageri dira. a) Adierazi grafikoki. b) Funtzio jarraitua ala etena da? c) Aztertu funtzioaren ezaugarriak. a) b) Jarraitua da. c) Beherakorra da eguzkia atertzen denetik 13:00 arte, eta ordu horretatik eguzkia sartu arte gorakorra da. Minimo bat du 13:00etan. Eremua adierazitako eguzki-ordu guztiek osatzen dute. 071 ●● 070 ●●● 069 ●● ERANTZUNAK X Y Ordua Luzera 8 23 9 18 10 14 11 10 12 4 13 2 14 6 15 10 16 16 17 21 Y X 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 5 9 13 171 3 1 −2 3 51−2−4 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 359
- 360. 360 Tren batek bihiriren (A eta B) arteko ibilbidea egiten du. A-tik 07:00etan atera eta abiadura konstantean abiatzen da B-rantz; 40 minutuan iristen da. Gero, 20 minutu geldirik egon eta B-tik A-rantz abiatzen da; 50 minutuan iristen da. 10 minutu geroago, B-rantz ateratzen da, berriro ere. a) Adierazi grafikoki Denbora – A hiriarekiko distantzia funtzioa. b) Egin funtzioaren azterketa osoa. a) b) Funtzioa jarraitua da eremu osoan. Gorakorra da tarte hauetan: (0, 40), (120, 160)… Konstantea da tarte hauetan: (40, 60), (110, 120), (160, 180)… Beherakorra da tarte hauetan: (60, 110), (180, 230)... c) Bai, funtzio periodikoa da; periodoa: T = 120 minutu. Grafikoan, urtearen hil bakoitzean udalek etxebizitzak egiteko emandako gainazala ageri da (milioika m2 -tan). a) Aztertu jarraitutasuna. b) Zer puntutan ebakitzen ditu ardatzak? c) Aztertu gorakortasuna. d) Seinalatu maximoak eta minimoak, eta adierazi absolutuak ala erlatiboak diren. e) Zer hiletan eman ziren 12 milioi metro koadro baino gehiago? Zer hilen artean erregistratu zen gorakadarik handiena? a) Funtzio jarraitua da. b) Ez du X ardatza ebakitzen; Y ardatza (E; 8,5) puntuan ebakitzen du. c) Gorakorra da urtarriletik otsailera, martxotik apirilera, ekainetik uztailera eta abuztutik urrira. Beherakorra da otsailetik martxora, apiriletik ekainera, uztailetik abuztura eta urritik abendura. d) Maximo erlatiboak: otsaila, apirila, uztaila eta urria. Maximo absolutua: urria. Minimo erlatiboak: martxoa, ekaina eta abuztua. Minimo absolutua: urtarrila. e) 12 milioi metro koadro baino gehiago: urrian, azaroan eta abenduan. Gorakadarik handiena abuztuan eta irailan erregistratu zen. 073 ●● 072 ●● Funtzioak 20 60 100 140 180 220 Distantzia Denbora (min) 13 12 11 10 9 U O M A M E U A I U A A X Y 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 360
- 361. 5.000 m-ko lasterketarakoentrenamenduan, taulan ageri diren denborak egin ditu atleta batek. a) Adierazi datuak grafiko batean. b) Abiadurari eusten badio, zenbat denbora beharko du 5.000 m egiteko? c) Idatzi egindako espazioa eta erabilitako denbora lotzen dituen adierazpen aljebraikoa. a) b) t = 3.000 : 6,5 = 461,54 s = 7 min 41,54 s c) y = 6,5x Zer grafiko dagokio flasko bakoitza betetzeari? a) Kono bat da. Bolumena handitu ahala, altuera gero eta azkarrago handitzen da. Grafikoa hau da: b) Beheko zatia zilindroa da; bolumena proportzionala da altuerarekiko. Gero, kono bat da; beraz, bolumena handitu ahala, altuera gero eta azkarrago handitzen da. Grafikoa hau da: 075 ●●● 074 ●● 361 ERANTZUNAK Denbora (s) Espazioa (m) 0 0 10 65 20 130 30 195 40 260 50 325 … … Altuera Bolumena Altuera Bolumena Altuera Bolumena Altuera Bolumena 1 2 2 3 3 4 Altuera Bolumena Altuera Bolumena 11 Y X 13 11 9 7 5 3 1 3 5 7 9 111 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 361
- 362. 362 c) Esfera batda. Esfera betetzean, altuera azkarrago handitzen da hasieran eta bukaeran, poloetatik hurbil. Grafikoa hau da: d) Alderantzizko kono bat da. Bolumena handitu ahala, altuera gero eta mantsoago handitzen da. Grafikoa hau da: Funtzio bat jarraitua bada: a) Funtzioak X ardatza 4 aldiz ebakitzen badu, zenbat maximo izan beharko ditu gutxienez? b) Funtzioak ez badu konstantea den tarterik, zenbat aldiz ebaki dezake gehienez X ardatza, 3 minimo baditu? a) X ardatzeko lau ebakidura-puntuek hiru tarte mugatzen dituzte; funtzioa jarraitua denez, tarte horietan maximo eta minimo bat izan behar ditu, gutxienez. Bi minimo eta haien artean maximo bat baditu lortzen da maximo kopururik txikiena. b) 3 minimo dituenez, gehienez 4 maximo ditu, eta funtzio jarraitua denez, minimo bakoitza 2 maximoren artean egongo da. Maximo bakoitzak X ardatzean 2 ebakidura-puntu egotea eragin dezake, eta beraz, gehienez 8 ebakidura-puntu izango ditu X ardatzean. Funtzio bikoiti baten balioa −7 izan al daiteke, x = 0 bada? Eta bakoiti batena? Ez, funtzio bakoitia bada jatorriarekiko simetrikoa izango da, eta (0, 7) puntutik ere pasatu beharko du, eta hori ezinezkoa da 0 zenbakiak irudi bat baino gehiago izango lukeelako. Y ardatza ebakitzen duten funtzio bakoiti guztiek (0, 0) puntuan ebakitzen dute. 077 ●●● 076 ●●● Funtzioak Altuera Bolumena Altuera Bolumena X Y X Y 1 4 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 362
- 363. 363 11 Funtzio jakin batiburuz badakigu Irudi multzoko elementu guztiak positiboak direla. Gainera: f(x + y) = f(x) ⋅ f(y) bada, zer balio du f(5)-k? Eta f(0)-k? EGUNEROKOAN Amaiak aurrezkiak inbertitzea erabaki zuen 2002. urtean. Bi finantza-produktu zituen aukeran: epe finkorako gordailua eta inbertsio-funtsa. Epe finkorako gordailuaren iraupena 5 urtekoa zen. Denbora-tarte hori pasatu ondoren, bankuak gordailatutako kapitala gehi % 15eko interesak itzuliko lituzke. Dirua lehenago ateraz gero, bankuak % 3ko interesa eskaintzen du urteko. Bestalde, inbertsio-funtsak ez zuen errentagarritasun finkorik eta interesa burtsa-adierazleen arabera alda liteke. Azkenik, Amaiak inbertsio-funtsa aukeratu zuen eta 1.519 partaidetza erosi zituen. 079 ●●● f f f( )5 15 1 3 1 3 = ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜⎜ ⎞⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = = 15 15 2 32.768 4 2 3 1 3 1 3 1 3 = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ f f f ⎞⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜⎜ f f 1 3 1 3 ⎞⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = = 2 1 3 4 2→ f 4 2 3 2 3 0 2 3 = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ f f f ⎠⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⋅ = ⋅ =f f f( ) ( ) ( )0 4 0 0 1→ f 2 3 4 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = 078 ●●● ERANTZUNAK Inbertsio- funtsa PARTAIDETZA: 15,80 € ERRENTAGARRI-TASUN HANDIA EPE FINKORAKO GORDAILUA IRAUPENA: 5 URTE ERRENTAGARRIT.: %15 URTEKO %3 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 363
- 364. 364 Atzo, inbertsio-funtsari buruzkoazken 5 urteotako informazioa jaso zuen. Informazioan, grafiko hau ageri zen. Grafikoa ikusita, hobea al zen epe finkorako gordailuan inbertitzea? 2002. urteaz geroztik, zer unetan ematen zuen errentagarritasun hobea epe finkorako gordailuak? Aukera dirua atertzeko unearen araberakoa da. Esate baterako, 2002 osoan zehar, eta 2003 eta 2004ko ia hil guztietan errentagarriena epe finkorako gordailua izango zen. Komunikabideen Institutu Nagusiak (KIN) inkesta bat egin du entzuleen artean eta inkestaren emaitzen berri eman du. Grafikoan, herrialdean audientzia handiena duten bi irratien entzule kopurua (milioitan) ageri da. 080 ●●● Funtzioak 22 21 20 19 18 17 16 15 99 00 01 02 03 04 05 06 Urtea Prezioapartaidetzako(€) 3 2 1 4 8 12 16 20 24 Irrati berdea Irrati gorria Orduak Entzulekopurua(milioiak) 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 364
- 365. 365 11 Hona hemen biirrati-kateen eguneroko programazioa. Zer ondorio atera dituzu grafikoa eta programazioak aztertu ondoren? Nola aldatuko zenituzke kateen programazioak, audientzia handitzeko? Kirol-programen eta albisteen bidez lortzen da audientzia handiena, eta txikiena, berriz, kultura- eta umore-programen bidez. Irratiek horrelako edukiak dituzten programa gehiago jartzea da gomendagarriena, audientzia handiagoa izateko. ERANTZUNAK IRRATI BERDEA 0 – 4 h Kultura 4 – 7 h Musika 7 – 10 h Albisteak 10 – 14 h Elkarrizketak 14 – 15 h Albisteak 15 – 16 h Kirolak 16 – 20 h Umorea 20 – 22 h Albisteak 22 – 24 h Kirolak IRRATI GORRIA 0 – 4 h Elkarrizketak 4 – 7 h Umorea 7 – 10 h Musika 10 – 12 h Albisteak 12 – 14 h Kirolak 14 – 16 h Kultura 16 – 19 h Kirola 19 – 20 h Albisteak 20 – 22 h Musika 22 – 24 h Zinema 908272 _ 0338-0365.qxd 20/9/07 16:12 Página 365
- 366. 366 Funtzio linealak eta afinak12 ZUZENBATEN MALDA ADIERAZPEN GRAFIKOA FUNTZIO LINEALAK X ARDATZAREKIKO PARALELOAK Y ARDATZAREKIKO PARALELOAK ZUZEN PARALELOAK ETA EBAKITZAILEAK MALDA ETA JATORRIKO ORDENATUA ADIERAZPEN GRAFIKOA FUNTZIO AFINAK APLIKAZIOAK BI PUNTUTATIK IGAROTZEN DEN ZUZENAREN EKUAZIOA 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 366
- 367. Kalkuluak bi aitaditu Atea zabaltzen entzutean, Leibnizek begiak paperetik kendu zituen eta iritsi berria agurtu baino lehen kexuka hasi zen, bere onetik aterata: –Denek dakite bizitza osoan zehar nire jarduera hutsik gabea izan dela. Nola liteke nitaz zalantza egitea? Nire zintzotasuna eta adimena behar bezala frogatu ditut, horretarako eta gehiagorako. Leibnizi arnasa estutu zitzaion eta haren solaskideak, Bernoullik, esan zion mundu osoan inork ez zuela zalantzarik bere lanari buruz, Ingalaterran izan ezik. –Nik ez nuen Newton maisuaren lanaren berririk. Gainera, idatziz eman nion nire aurrerapenen berri. Baina ez dut inoren lana plagiatu –adierazi zuen Leibnizek. –Berri on bat ematera etorri naiz: batzordeak ikerketak amaitutzat eman ditu eta bi teoriak bereizita garatu direla ondorioztatu du. Are gehiago, nire ustez zure sistema hobea da, batik bat erabiltzen duzun idazkerarengatik. Leibnizek eta Newtonek garatutako teoria oso garrantzitsua da funtzioei buruzko hainbat propietate aztertzeko. Leibnizek erabili zuen lehenengo aldiz «funtzio» hitza, bi magnituderen arteko erlazioa izendatzeko. Jakingo al zenuke zenbaki bakoitza eta haren bikoitza ken hiru lotzen dituen funtzioa idazten? Zenbaki bakoitza eta haren bikoitza ken hiru lotzen dituen funtzioa hau da: f(x) = 2x – 3 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 367
- 368. 368 ARIKETAK Adierazi ea linealakdiren funtzioak. Linealak badira, kalkulatu malda eta gorakortasuna edo beherakortasuna. a) y = 3x − 4 c) e) b) y = 5x d) f) y = x2 a) Ez da lineala. c) Lineala eta gorakorra. e) Ez da lineala. b) Lineala eta gorakorra. d) Ez da lineala. f) Ez da lineala. Idatzi funtzio lineal gorakorren bi adibide eta beherakorren beste bi. Funtzio lineal gorakorra: y = 3x; y = 4x. Funtzio lineal beherakorra: y = −5x; y = −x. Egin balio-taula bana eta adierazi grafikoki funtzio lineal hauek. a) y = 0,5x b) y = −2x c) y = 4x d) y = x e) y = −0,5x f) y = 10x a) d) b) e) c) f) Proportzionaltasun zuzeneko funtzio bat P(−5, 10) puntutik igarotzen da. a) Kalkulatu malda. c) Funtzio gorakorra ala b) Idatzi adierazpen aljebraikoa beherakorra da? a) m = 10 : (−5) = −2 b) y = −2x c) Beherakorra da. 004 003 002 y x= + 1 3 2 y x = 4 y x= 3 4 001 Funtzio linealak eta afinak x y 0 0 1 0,5 2 1 3 1,5 x y 0 0 1 1 2 2 3 3 x y 0 0 1 −2 2 −4 3 −6 x y 0 0 1 −0,5 2 −1 3 −1,5 x y 0 0 1 4 2 8 3 12 x y 0 0 1 10 2 20 3 30 y = 0,5x 0,5 y = −2x y = 4x y = 10x 1 2 20 10 y = −0,5x 1 2 3 Y Y Y Y Y X X X X X X Y y = x 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 368
- 369. 369 12 Adierazi ea afinakdiren funtzio hauek, eta kalkulatu malda eta jatorriko ordenatua. a) y = 3x − 4 b) y = c) y = x2 − 5 d) y = a) Afina da: m = 3, n = −4. c) Ez da afina. b) Afina da: m = − , n = 3. d) Ez da afina. Adierazi grafikoki y = 2x + n funtzio afina, n = 1, n = 2, n = −1 eta n = 0 kasuetarako. Nolakoak dira marraztutako zuzenak? Zuzen paraleloak dira. Egin balio-taula bana eta adierazi grafikoki funtzio afin hauek. a) y = 2x + 3 c) y = −3x + 1 e) y = 5x − 5 b) y = −x + 4 d) y = x + 3 f) y = 0,5x + 3 a) d) b) e) c) f) 007 006 2 5 2 1 x + − + 2 5 3x 005 ERANTZUNAK x y 0 3 1 5 2 7 3 9 x y 0 3 1 4 2 5 3 6 x y 0 4 1 3 2 2 3 1 x y 0 −5 1 0 2 5 3 10 y = 2x + 3 y = −x + 4 y = 5x − 5 y = x + 3 y = 2x + 1 y = 2x Y Y Y Y X X X X x y 0 1 1 −2 2 −5 3 −8 x y 0 3 1 3,5 2 4 3 4,5 y = −3x + 1 y = 0,5x + 3 Y Y X X Y X y=2x−1 y=2x+2 −2 −2 1 3 5 3 5 7 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 369
- 370. 370 Hiru koadrantetatik igarotzenden zuzen bat funtzio lineala ala afina da? Arrazoitu erantzuna. Afina da, hiru koadrantetatik igarotzeko beharrezkoa baita jatorritik ez igarotzea. Zehaztu funtzio bakoitzeko bi puntu eta adierazi funtzioak grafikoki. a) y = −3x c) y = −2x + 4 e) y = 4x − 2 g) y = −0,4x b) y = −6x + 7 d) y = −4x f) y = −x + 3 h) y = x − 2 a) x = 0 → y = 0 e) x = 0 → y = −2 x = 1 → y = −3 x = 1 → y = 2 b) x = 0 → y = 7 f) x = 0 → y = 3 x = 1 → y = 1 x = 3 → y = 0 c) x = 0 → y = 4 g) x = 0 → y = 0 x = 2 → y = 0 x = 1 → y = −0,4 d) x = 0 ⎯→ y = 0 h) x = 0 → y = −2 x = −1 → y = 4 x = 2 → y = 0 Aztertu (0, 2) eta (1, 2)-tik igarotzen den zuzena. X ardatzaren zuzen paraleloa da. Adierazpen aljebraikoa y = 2 da. 010 009 008 Funtzio linealak eta afinak y = −3x y = −6x + 7 y = −2x + 4 y = −0,4x y = −x + 3 y = 4x − 2 Y Y Y Y Y Y X X X X X X y = −4x y = x − 2 Y Y X X y = 2 −1−3−5 531 (0, 2) (1, 2) Y X 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 370
- 371. 371 12 Adierazi hiru funtziohauek ardatz beretan eta azaldu zertan diren desberdinak. a) y = 2x b) y = 2x −3 c) y = 2x + 1 Zuzen paraleloak dira; jatorriko ordenatuaren balioa dute desberdina. Idatzi puntu hauetatik igarotzen diren zuzenen ekuazioak. a) A(1, 6) eta B(3, 9) d) A(2, 4) eta B(3, 1) b) A(−1, 0) eta B(0, 4) e) A(−1, −2) eta B(2, 5) c) A(−3, 6) eta B(2, −4) a) m = → 6 = ⋅ 1 + n → 6 − = n → n = y = b) m = = 4 → 0 = 4 ⋅ (−1) + n → n = 4 y = 4x + 4 c) m = = −2 → 6 = −2 ⋅ (−3) + n → n = 0 y = −2x d) m = = −3 → 4 = −3 ⋅ 2 + n → n = 10 y = −3x + 10 e) m = → −2 = ⋅ (−1) + n → n = −2 + y = Aztertu ea (1, 1) koordenatuak dituen puntutik igarotzen diren aurreko ariketako funtzioak. Ba al dago funtzio afinik? a) 1 . Ez. d) 1 −3 + 10 = 7. Ez. b) 1 4 + 4 = 8. Ez. e) 1 . Ez. c) 1 −2. Ez. c) atalekoa funtzioa lineala da, eta gainerakoak, afinak. 7 3 1 3 8 3 + = 3 2 9 2 6+ = 013 7 3 1 3 x + 7 3 1 3 = 7 3 5 2 2 1 7 3 − − − − = ( ) ( ) 1 4 3 2 − − − − − − = −4 6 2 3 10 5( ) 4 0 0 1 − − −( ) 3 2 9 2 x + 9 2 3 2 3 2 9 6 3 1 3 2 − − = 012 011 ERANTZUNAK Y X y= 2x− 3 y= 2x y= 2x+ 1 −2 −2 −4 −6 5 3 1 1 3 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 371
- 372. 372 Kalkulatu grafikoko zuzenarenekuazioa. (4, 1) eta (0, −2)-tik igarotzen denez → m = 0,75. Eta (0, −2)-tik igarotzen denez → → −2 = 0,75 ⋅ 0 + n → n = −2 Zuzenaren ekuazioa hau da: y = 0,75x − 2. Kalkulatu A(3, 5) eta B(−1, 4) puntuetatik igarotzen den zuzenaren malda bera duen zuzenaren ekuazioa, jakinik C(5, 0) puntutik igarotzen dela. m = . (5, 0)-tik igarotzen denez → 0 = 0,25 ⋅ 5 + n → → n = −1,25. Zuzenaren ekuazioa hau da: y = 0,25x − 1,25 → . Adierazi zuzen pare hauen kokapen erlatiboa. a) y = x + 2 b) y = 6x c) y = 2x + 3 d) y = x − 9 y = −x + 2 y = 6x − 5 y = 2x − 11 y = −x + 9 a) → Ebakitzaileak dira. Bi ekuazioak batuta: 2y = 4 → y = 2 → 2 = x + 2 → x = 0 → P(0, 2) b) ⎯→ Paraleloak dira. c) ⎯→ Paraleloak dira. d) → Ebakitzaileak dira. Bi ekuazioak batuta: 2y = 0 → y = 0 → 0 = x − 9 → x = 9 → P(9, 0) Kalkulatu zuzenen ebakidura-puntua. a) y = x + 8 b) y = 3x + 1 y = 2x y = 6x + 2 a) P(8, 16) puntuan ebakitzen dute elkar. b) P puntuan ebakitzen dute elkar.−⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 1 3 0, y x y x x x x x y = + = + ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ + = + = − = −3 1 6 2 3 1 6 2 3 1 1 3 → → → → == 0 y x y x x x x y = + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ + = = = + 2 8 8 2 8 2 8 16→ → → 017 y x y x m m = − = − + ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ − 9 9 1 1 ' ' y x y x m m = + = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 2 3 2 11 2 2 ' ' y x y x m m = = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ −6 6 5 6 6 5 ' ' y x y x m m = + = − + ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ = = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ − 2 2 1 1 ' ' 016 y x = − 5 4 4 5 1 3 1 4 0 25 − − − = − − = , 015 014 Funtzio linealak eta afinak Y X A 1 1 3 4 −2B 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 372
- 373. Kalkulatu triangelu batenerpinen koordenatuak jakinik aldeak zuzen hauetan daudela: r: y = −x + 5 s: y = x + 7 t: y = 2x − 9 Erpinak dira hiru ekuazio-sistemen ebazpenak: . Ebazpena: (−1, 6). . Ebazpena: . . Ebazpena: (16, 23). Idatzi zuzen hauetako bakoitzaren hiru zuzen ebakitzaile eta hiru zuzen paralelo. a) y = −x + 4 c) y = −6x − 1 b) y = 3x − 7 d) y = 4 a) y = −x + 4 Zuzen ebakitzaileak: y = 3x − 1 y = x − 4 y = 2x + 3 Zuzen parareloak: y = −x + 1 y = −x − 1 y = −x + 2 b) y = 3x − 7 Zuzen ebakitzaileak: y = x − 7 y = −x + 1 y = 2x − 1 Zuzen parareloak: y = 3x − 1 y = 3x + 1 y = 3x + 2 c) y = −6x − 1 Zuzen ebakitzaileak: y = x + 1 y = 6x − 5 y = −x + 3 Zuzen parareloak: y = −6x + 1 y = −6x − 2 y = −6x d) y = 4 Zuzen ebakitzaileak: y = x − 1 y = x y = x + 1 Zuzen parareloak: y = 0 y = −1 y = 2 Adierazi grafikoki zuzen hauek. a) y = −7 d) y = 2 b) y = 0 e) y = −2 c) y = 1 f) y = 3 020 019 y x y x x x x y = − = + ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ − = + = = − 2 9 7 2 9 7 16 23→ → → 14 3 1 3 , ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − + = − = =x x x y5 2 9 14 3 1 3 → → y x y x = − + = − ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 5 2 9 → y x y x x x x y = − + = + ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ − + = + = − = − 5 7 5 7 1 6→ → → 018 373 12ERANTZUNAK y = 3 y = 2 y = 1 y = 0 y = −2 y = −7 Y X−2−4 −6 −4 1 1 3 5 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 373
- 374. 374 Adierazi grafikoki zuzenhauek. a) x = −3 b) x = 0 c) x = 4 d) x = −2 Adierazi y = 3 eta x = −2 zuzenen kokapen erlatiboa. Ebakitzaileak badira, kalkulatu ebakidura-puntua. Zuzen ebakitzaileak dira, elkarzutak; P(−2, 3) puntuan elkar ebakitzen dute. Kalkulatu zuzenaren ekuazioa: a) X-rekiko paraleloa eta P(1, 3)-tik igarotzen dena. b) Y-rekiko paraleloa, P(−1, 4)-tik igarotzen dena. a) X ardatzaren paraleloa da → m = 0 → y = n. P(1, 3)-tik igarotzen da → 3 = 0 ⋅ 1 + n → n = 3. Beraz, y = 3 zuzena da. b) Y ardatzaren paraleloa da → x = k. P(−1, 4)-tik igarotzen da → x = −1. Beraz, x = −1 zuzena da. Asteroko azokako postu batean, eskaintza hau ikusi dugu: «10 kilogramo tomatek 16 € balio ditu». a) Funtzio gisa hartzen badugu, zer aldagai ari gara erlazionatzen? b) Adierazi funtzioa ahalik modu gehienetan. c) Zer funtzio mota da? d) Zenbat balio dute 7 kg tomatek? a) Tomate kilogramoen kopurua (aldagai askea) eta prezioa (mendeko aldagaia). b) ·→ y = = 1,6 → y = 1,6x c) Funtzio lineala da. d) y = 1,6 ⋅ 7 = 11,20 € Antartikako leku batean, tenperatura 5 °C-koa da 12etan eta 4 °C jaisten da ordu oro. Adierazi funtzioa ahalik modu gehienetan. y = 5 − 4x; x 12 h-etatik igarotako ordu kopurua da, eta y, tenperatura (°C-tan). 025 16 1 10 ⋅10 kg ⎯ 16 € 01 kg ⎯ y € 024 023 022 021 Funtzio linealak eta afinak x=4 x=0 x=−2 x=−3 Y X X Y y = 5 − 4x −4 −2 −1−5 1 3 5 −2 1 3 5 1 3 5 −2 −4 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 374
- 375. 375 12 Banku-gordailu batek ematenduen interesa ekuazio honek adierazten du: y = 3 ⋅ t. Inbertitutako kapitala 150 €-koa bada, idatzi kapitala eta denbora lotzen dituen ekuazioa, eta adierazi grafikoki. Kapitala = Inbertitutakoa + Interesa → K = 150 + 3t Kalkulatu grafikoki bi zuzen hauen ebakidura-puntua. y = 2x − 3 y = −2x + 1 Aztertu funtzioen propietateak. Zuzen afinak dira; (−1, 1) puntuan ebakitzen dute elkar. y = 2x – 3 zuzena gorakorra da; malda 2 da. y = −2x + 1 zuzena beherakorra da; malda −2 da. Ikasturte-amaierako festa egiteko, lagun talde batek lokal bat alokatu nahi du. Bi lokalen eskaintzak dituzte aukeran: CAMELOT: 1.000 € eta 5 € laguneko. MORGANA: 200 € eta 10 € laguneko. Bi lokalen gehieneko edukiera 300 lagunekoa da. Zein aukeratuko zenuke? Kostuaren ekuazioa partaide kopuruaren mende: Camelot: y = 1.000 + 5x Morgana: y = 200 +10x Partaideak 160 baino gutxiago badira hobeto da Morgana aukeratzea, eta 160 baino gehiago badira, hobeto Camelot aukeratzea. Tren bat Atumenditik atera da 90 km/h-ko abiaduran, Ituarterantz. Une horretan bertan, beste tren bat Ituartetik atera da Atumendirantz 100 km/h-ko abiaduran. Bi herrien arteko distantzia 344 km-koa bada, bi herrietatik zer distantziatara gurutzatuko dira trenak? Trenen ibilbideen ekuazioa denboraren mende: Irteera Atumenditik: y = 90x Irteera Ituartetik: y = 344 – 100x Bi zuzen ebakidura-puntua (1 h 48 min, 163 km) da. Atumenditik 163 km-ra gurutzatuko dira. 029 028 027 026 ERANTZUNAK Y X X X Y Y Kapitala(€) Denbora Partaideak (lagunak) Denbora (orduak) Dirua(€)Distantzia(km) 150 (−1, 1) 50 100 150 500 1.000 1.500 (160, 1.800) y = 1.000 + 5x (Camelot) y = 200 + 10x (Morgana) y = 90x (Atum endi) y = 344 − 100 x (Ituarte) 100 200 300 1 2 3 (1 h 48 min, 163 km) y = −2x + 1 y = 2x − 3 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 375
- 376. 376 ARIKETAK Funtzio lineal bat(2, 8) koordenatuak dituen puntutik igarotzen da. Kalkulatu malda eta ekuazioa. Gorakorra ala beherakorra da? y = mx → 8 = m ⋅ 2 → m = 4 → y = 4x → Gorakorra da. Hona hemen proportzionaltasun zuzeneko funtzio baten grafikoa. Marraztu ardatzak, jakinik A puntuaren abzisa x = 3 dela. a) Zer ordenatu du A puntuak? b) Zein da funtzioaren adierazpen aljebraikoa? a) Ordenatua A puntuan 6 da. b) y = 2x Sailkatu funtzio hauek linealetan eta afinetan. Nola egin duzu? s eta t funtzioak linealak dira. r eta u funtzioak afinak dira. Funtzio linealak koordenatu-jatorritik igarotzen diren zuzenak dira. Sailkatu funtzio hauek. a) b) y =−0,25x c) d) y = 1,7x a), b) eta d) ataletako funtzioak linealak dira. c) atalekoa afina da. Funtzio hauetan, kalkulatu zenbatekoak diren malda eta jatorriko ordenatua. a) y =−3x + 6 b) y = 10x c) y =−2x − 5 d) y =−9x a) Malda: −3. Jatorriko ordenatua: 6. b) Malda: 10. Jatorriko ordenatua: 0. c) Malda: −2. Jatorriko ordenatua: −5. d) Malda: −9. Jatorriko ordenatua: 0. Sailkatu funtzioak gorakorretan eta beherakorretan, grafikoki adierazi gabe. Nola egin duzu? a) y = 12x − 3 c) y = 0,25x − 3 e) b) d) y =−7x − 4 f) y = 0,7x + 0,65 a), b), c) eta f) ataletako funtzioak gorakorrak dira, malda positiboa dutelako. d) eta e) ataletako funtzioak beherakorrak dira, malda negatiboa dutelako. y x= + 1 6 2 3 y x= − 12 5 035 ● 034 ● y x= + 1 2 5y x= − 1 3 033 ● 032 ● 031 ● 030 ●● Funtzio linealak eta afinak r u s Y Y X X t y = 2x A(3, 6) −2 −2 1 3 5 1 3 5 7 −4 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 376
- 377. 377 12 Zehaztu funtzio hauenmalden zeinua eta jatorriko ordenatuarena. r zuzena: m > 0 eta n > 0 t zuzena: m < 0 eta n > 0 s zuzena: m > 0 eta n < 0 u zuzena: m < 0 eta n < 0 Maldaren zeinua zuzenaren inklinaziotik ondorioztatuko dugu, eta jatorriko ordenatuarena, Y ardatzarekiko ebakidura-puntutik. Adierazi grafikoki funtzio hauek. a) y = x + 2 b) y = 2,5x c) y = −2x − 3 Marraztu koordenatu-ardatzetan. a) Malda negatiboko funtzio lineal bat. b) Malda positiboko eta jatorriko ordenatu negatiboko funtzio afin bat. c) Malda negatiboko eta jatorriko ordenatu positiboko funtzio afin bat. a) r zuzena. b) s zuzena. c) t zuzena. Kalkulatu zuzen hauen bidez adierazitako ekuazioen adierazpen aljebraikoak. a) (0, −3) eta (6, 0)-tik igarotzen da → m = . (0, −3)-tik igarotzen denez → → −3 = 0 + n → n = −3. Zuzenaren ekuazioa: . b) (0, 0) eta (1, 4)-tik → m = 4. (0, 0)-tik igarotzen denez → 0 = 0 + n → → n = 0. Zuzenaren ekuazioa: y = 4x. c) (0, 2) eta (2, 0)-tik → m = −1. (0, 2)-tik igarotzen denez → 2 = 0 + n → → n = 2. Zuzenaren ekuazioa: y = −x + 2. d) (0, 8) eta (−4, 0)-tik → m = 2. (0, 8)-tik igarotzen denez → 8 = 0 + n → → n = 8. Zuzenaren ekuazioa: y = 2x + 8. y x = − 2 3 1 2 039 ● 038 ●● 037 ● 036 ●● ERANTZUNAK r u s Y X t X Y a) b)c) 2 1 Y X t r s X Y d) c) b) a) 1 1 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 377
- 378. 378 Zein da funtzioarenadierazpena? a) c) b) d) Funtzioa beherakorra da, malda negatiboa baitu, eta gainera, (0, −1) puntutik igarotzen denez, ebazpena b) atalekoa da. Esan zer puntu diren y = 3x − 6 funtziokoak. A(1, 3) B(−1, −9) C(1, −9) D(11, 27) E(−4, −6) F(5, 9) A(1, 3) ⎯⎯→ y = 3 ⋅ 1 − 6 = −3 3 B(−1, −9) → y = 3 ⋅ (−1) − 6 = −9 C(1, −9) ⎯⎯→ y = 3 − 6 = −3 −9 D(11, 27) ⎯→ y = 3 ⋅ 11 − 6 = 33 − 6 = 27 E(−4, −6) ⎯→ y = 3 ⋅ (−4) − 6 = −18 −6 F(5, 9) ⎯⎯⎯→ y = 3 ⋅ 5 − 6 = 15 − 6 = 9 B, D eta F puntuak dira funtziokoak. Idatzi zuzen hauetako bakoitzekoak diren lau puntu. a) y = 2x − 5 c) b) y = −3x − 2 d) y = 0,25x − 3 a) x = 0 bada ⎯→y = 2 ⋅ 0 − 5 = −5 → (0, −5) x = 1 bada ⎯→ y = 2 ⋅ 1 − 5 = −3 → (1, −3) x = −1 bada →y = 2 ⋅ (−1) − 5 = −7 → (−1, −7) x = 2 bada ⎯→ y = 2 ⋅ 2 − 5 = −1 → (2, −1) b) x = 0 bada ⎯→ y = −3 ⋅ 0 − 2 = −2 → (0, −2) x = 1 bada ⎯→ y = −3 ⋅ 1 − 2 = −5 → (1, −5) x = −1 bada →y = −3 ⋅ (−1) − 2 = 1 → (−1, 1) x = 2 bada ⎯→ y = −3 ⋅ 2 − 2 = −8 → (2, −8) y x= − − 1 2 3 2 042 ●● 041 ●● y x= − − 1 2 1040 ● Funtzio linealak eta afinak X Y 1 1 1 1 1 1 1 1 X Y X Y X Y 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 378
- 379. 379 12 c) x =0 bada ⎯→ y = → x = 1 bada ⎯→ y = = −2 → (1, −2) x = −1 bada →y = = −1 → (−1, −1) x = 2 bada ⎯→ y = → d) x = 0 bada ⎯→ y = −3 → (0, −3) x = 1 bada ⎯→ y = 0,25 ⋅ 1 − 3 = −2,75 → (1; −2,75) x = −1 bada →y = 0,25 ⋅ (−1) − 3 = −3,25 → (−1; −3,25) x = 2 bada ⎯→ y = 0,25 ⋅ 2 − 3 = −2,5 → (2; −2,5) Esan linealak ala afinak diren funtzio hauek, bai eta gorakorrak ala beherakorrak diren ere. a) y + 6x = 4 d) x = 3y b) 5x + y = 0 e) y − 3x = 0 c) x − 5y = 0 f) 2x − y = 5 a) y = −6x + 4 → Funtzio afina: m = −6, eta beherakorra. b) y = −5x ⎯⎯→ Funtzio lineala: m = −5, eta beherakorra. c) y = ⎯⎯⎯→ Funtzio lineala: m = , eta gorakorra. d) y = ⎯⎯⎯→ Funtzio lineala: m = , eta gorakorra. e) y = 3x ⎯⎯⎯→ Funtzio lineala: m = 3, eta gorakorra. f) y = 2x − 5 ⎯→ Funtzio afina: m = 2, eta gorakorra. Zehaztu ekuazioa eta funtzio mota, deskribapenetik abiatuta. a) Grafikoa jatorritik eta (3, −4) koordenatuak dituen puntutik igarotzen da. b) m = −4 da eta (1, 5)-tik igarotzen da. c) Ordenatua n = 2 da eta (2, 6)-tik igarotzen da. a) −4 = m ⋅ 3 → m = − Funtzioa y = − x. Lineala da. b) y = mx + n → 5 = −4 ⋅ 1 + n → n = 9 Funtzioa y = −4x + 9. Afina da. c) 6 = m ⋅ 2 + 2 → 4 = 2m → m = 2 Funtzioa y = 2x + 2. Afina da. 4 3 4 3 044 ●● 1 3 x 3 1 5 x 5 043 ●● 2 5 2 ,− ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⋅ − = − 1 2 2 3 2 5 2 − ⋅ − − 1 2 1 3 2 ( ) − ⋅ − 1 2 1 3 2 0 3 2 ,− ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − 3 2 ERANTZUNAK 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 379
- 380. 380 A(0, −3) etaB(3, 5) puntuak emanda: a) Kalkulatu bietatik igarotzen den zuzenaren malda eta jatorriko ordenatua. b) Zer ekuazio du zuzenak? c) Adierazi funtzioa grafikoki. a) c) (0, −3)-tik igarotzen denez, jatorriko ordenatua −3 da. b) Kalkulatu puntu pare bakoitzetik igarotzen den zuzenaren ekuazioa, eta adierazi zer funtzio mota den. a) (1, 5) eta (−3, −15) d) (2, 4) eta (4, 6) b) (0, 2) eta (1, 4) e) (−1, 4) eta (3, −12) c) (1, −1) eta (−2, −6) f) (−1, 2) eta (5, −2) a) = 5 → y = 5x + n A(1, 5) puntua ordezkatuko dugu: 5 = 5 ⋅ 1 + n → n = 0 → y = 5x → Funtzio lineala b) = 2 → y = 2x + n A(0, 2) puntua ordezkatuko dugu: 2 = 2 ⋅ 0 + n → n = 2 → y = 2x + 2 → Funtzio afina c) → y = x + n A(1, −1) puntua ordezkatuko dugu: −1 = ⋅ 1 + n → n = − → y = x − → Funtzio afina d) = 1 → y = x + n A(2, 4) puntua ordezkatuko dugu: 4 = 2 + n → n = 2 → y = x + 2 → Funtzio afina e) = −4 → y = −4x + n A(−1, 4) puntua ordezkatuko dugu: 4 = −4 ⋅ (−1) + n → 4 = 4 + n → n = 0 → y = −4x → Funtzio lineala m = − − − − = −12 4 3 1 16 4( ) m = − − 6 4 4 2 8 3 5 3 8 3 5 3 5 3 m = − − − − − = − − = 6 1 2 1 5 3 5 3 ( ) m = − − 4 2 1 0 m = − − − − = − − 15 5 3 1 20 4 046 ● y x= − 8 3 3 m = + − = 5 3 3 0 8 3 045 ● Funtzio linealak eta afinak Y X B(3, 5) A(0, −3) y x= − 8 3 3 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 380
- 381. 381 12 f) → y= − x + n A(−1, 2) puntua ordezkatuko dugu: 2 = − ⋅ (−1) + n → n = → y = − x + → Funtzio afina Kalkulatu jatorritik igarotzen den eta m = 1 malda duen zuzenaren ekuazioa. Ekuazioa y = x da. Kalkulatu zuzen hauen ekuazioa: a) m = −3 malda eta jatorriko ordenatua −1,5 duena. b) A(2, 4)-tik igaro eta y = −3x − 5 funtzioaren malda bera duena. c) 3x + 2y = 6 zuzenaren malda bera izan eta B(−2, 3)-tik igarotzen dena. a) y = −3x − 1,5 b) y = −3x + n → 4 = −3 ⋅ 2 + n → n = 10 → y = −3x + 10 c) 2y = 6 − 3x → y = 3 − x → m = − y = − x + n → 3 = − ⋅ (−2) + n → 3 = 3 + n → n = 0 → y = − x 2(x − 5) = 5(y − 3) ekuazioa duen zuzena dugu. a) Kalkulatu malda. b) Kalkulatu A(2, 7)-tik igarotzen den ala ez. a) b) 2 ⋅ (2 − 5) = −6 5 ⋅ (7 − 3) = 20. Ez da A-tik igarotzen. Kalkulatu A(−1, 5) puntutik igarotzen den zuzenaren ekuazioa, jakinik jatorriko ordenatua −4 dela. (−1, 5) eta (0, −4) puntuetatik igarotzen da → → . Zuzenaren ekuazioa hau da: y = −9x − 4. Kalkulatu jatorritik eta B(1, 5) puntutik igarotzen den zuzenaren ekuazioa. (1, 5) eta (0, 0)-tik igarotzen da → . Idatzi koordenatu-ardatzen ekuazioak. Abzisa-ardatzaren ekuazioa y = 0 da, eta ordenatu-ardatzarena, x = 0. 052 ●● m = − − = 5 0 1 0 5 051 ● m = − − + = − 4 5 0 1 9 050 ● m = = 2 5 0 4, 049 ●● 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 048 ●● 047 ● 4 3 2 3 4 3 2 3 2 3 m = − − − − = − = − 2 2 5 1 4 6 2 3( ) ERANTZUNAK 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:17 Página 381
- 382. 382 Lerrokatuta al daude, eta puntuak? A eta B-tik igarotzen den zuzena: ; A-tik igarotzen denez: . Zuzenaren ekuazioa: . C zuzenekoa den ala ez aztertuko dugu: . Beraz, hiru puntuak lerrokatuta daude. Puntu hauek ditugu: A(2, −1), eta C(6, k). Kalkulatu k, puntuak lerrokatuta egoteko. A eta B-tik igarotzen den zuzena: ; A-tik igarotzen denez: . Zuzenaren ekuazioa hau da: , eta C-tik igaro dadin → . Kalkulatu A(2, 3) eta B(1, −3)-tik igarotzen den zuzena. Kalkulatu p, C(p, -5) puntua zuzenekoa izan dadin. m = = 6 → y = 6x + n A(2, 3) ordezkatuko dugu: 3 = 6 ⋅ 2 + n → n = 3 − 12 = −9 → y = 6x − 9. Eta C(p, −5) ordezkatuko dugu: −5 = 6p − 9 → 4 = 6p → p = . 2 3 − − − 3 3 1 2 056 ●● k = ⋅ − = 1 3 6 5 3 1 3 y x= − 1 3 5 3 − = ⋅ + = −1 1 3 2 5 3 n n→ m = + − − = 2 3 1 3 2 1 3 B − − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟3 2 3 ,055 ●● 23 12 2 3 4 3 4 = ⋅ − y x= − 2 3 3 4 − = + = − 1 12 2 3 3 4 n n→ m = − + − − = 5 4 1 12 3 4 1 2 3 C 4, 23 12 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟B − − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 3 4 5 4 ,A 1, − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 1 12 054 ●● 053 Funtzio linealak eta afinak EGIN HONELA NOLA AZTER DAITEKE HIRU PUNTU LERROKATUTA DAUDEN? Aztertu ea lerrokatuta dauden A(−1, 2), B(1, 4) eta C(3, 6). Hiru puntu lerrokatuta daude hirurak zuzen berean badaude. LEHENA. Bi puntutatik igarotzen den zuzena kalkulatu behar da. A(−1, 2) eta B(1, 4) aukeratuko ditugu. y = 1 ⋅ x + n 2 = −1 + n → n = 3 A-tik eta B-tik igarotzen den zuzena y = x + 3 da. BIGARRENA. Hirugarren puntua zuzenekoa den ala ez aztertu behar da. y = x + 3 6 = 3 + 3 C puntua A-tik eta B-tik igarotzen den zuzenekoa da. Beraz, hiru puntuak lerrokatuta daude. C(3, 6) ⎯⎯⎯→ A(−1, 2) ⎯⎯⎯⎯→ m b a b a = − − = − − − =2 2 1 1 4 2 1 1 1 ( ) 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 382
- 383. A(2, 3), B(3,4) eta C(5, 7) puntuak zuzen berekoak al dira? Zehaztu, grafikoki adierazi gabe. Azaldu nola egin duzun. Bi puntu hartu, A eta B, eta haien zuzenaren ekuazioa kalkulatuko dugu: m = = 1 → y = x + n → 3 = 2 + n → n = 1 → y = x + 1 Ondoren, C(5, 7) puntua zuzenekoa den ala ez aztertuko dugu: y = 5 + 1 = 6 7 → Hiru puntuak ez dira zuzen berekoak. Zehaztu zuzen pare hauek ebakitzaileak edo paraleloak diren, grafikoki adierazi gabe. a) y = −4x + 2 y = 4x + 1 c) y = 2x + 3 y = −2x − 11 b) y = −3x y = −3x + 6 d) y = 1,5x y = −1,5x Bi zuzenek malda bera duten ala ez aztertuko dugu: a) m = −4, m' = 4 → Ebakitzaileak dira. b) m = −3, m' = −3 → Paraleloak dira. c) m = 2, m' = −2 → Ebakitzaileak dira. d) m = 1,5; m' = −1,5 → Ebakitzaileak dira. Kalkulatu, aljebraikoki eta grafikoki, zuzen pare bakoitzaren ebakidura-puntua. a) y = x + 2; y = −x + 1 c) y = 2x; y = −2x + 4 b) y = −3x; y = 3x + 6 d) y = 3x; y = 2x − 5 a) x + 2 = −x + 1 → 2x = −1 → → x = − → y = − + 2 = b) −3x = 3x + 6 → → −6x = 6 → x = −1 y = −3 ⋅ (−1) = 3 P(−1, 3) c) 2x = −2x + 4 → → 4x = 4 → x = 1 y = 2 ⋅ 1 = 2 P(1, 2) d) 3x = 2x − 5 → x = −5 y = 3 ⋅ (−5) = −15 P(−5, −15) P − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 1 2 3 2 , 3 2 1 2 1 2 059 ● 058 ● 4 3 3 2 − − 057 ●● 383 12ERANTZUNAK X X X X y = −x + 1 y = x + 2 y = 3x + 6 y = −3x y = −2x + 4 y = 3x −10 10 5 y = 2x − 5 y = 2x Y Y Y Y 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 383
- 384. 384 Idatzi zuzen hauenhiruna zuzen paraleloren eta hiruna zuzen ebakitzaileren ekuazioak. a) y = 9x − 6 b) y = −7x c) y = −11x + 13 d) y = x Zuzen paraleloek malda (m) bera eta jatorriko ordenatu (n) desberdina dute. Zuzen ebakitzaileek malda desberdina dute. a) Zuzen paraleloak: y = 9x y = 9x − 1 y = 9x + 3 Zuzen ebakitzaileak:y = x y = x + 5 y = −x + 1 b) Zuzen paraleloak: y = −7x + 1 y = −7x − 1 y = −7x + 3 Zuzen ebakitzaileak:y = x y = 2x − 3 y = 7x c) Zuzen paraleloak: y = −11x y = −11x + 1 y = −11x − 1 Zuzen ebakitzaileak:y = x y = x − 1 y = 3x + 5 d) Zuzen paraleloak: y = x + 3 y = x − 4 y = x + 1 Zuzen ebakitzaileak:y = 3x + 2 y = −2x + 5 y = 8x − 3 Adierazi irudiko zuzenaren paraleloa izateaz gain, A puntutik igarotzen den zuzena. Malda: ; eta A(3, 1)-tik igarotzen denez: Zuzenaren ekuazioa hau da: . r: 2x − 3y = 12 zuzena emanda, kalkulatu. a) s zuzena, B(−3, 2)-tik igaro eta r-ren paraleloa. b) t zuzena, r-ren jatorriko ordenatu bera duena eta A(2, -7)-tik igarotzen dena. c) z zuzena, t-ren paraleloa eta koordenatu-jatorritik igarotzen dena. a) r-ren paraleloa denez, 2x − 3y = c formakoa da; (−3, 2)-tik igarotzen da → → −6 − 6 = c → c = −12. Zuzena: 2x − 3y = −12. b) Jatorriko ordenatua −4 da, eta (0, −4) eta (2, 7)-tik igarotzen denez: . Zuzenaren ekuazioa: y = 6,5x − 4. c) t-ren paraleloa izan eta jatorritik igarotzen denez, y = 6,5x. m = + − = 7 4 2 0 6 5, 062 ●● y x= − 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 0 5= ⋅ + = − = −n n→ , m = − + = = 2 0 0 4 1 2 0 5, 061 ●● 060 ●● Funtzio linealak eta afinak Y A 3 1 −1−3 −2 X31 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 384
- 385. 385 12 Kalkulatu zuzenaren ekuazioa. a)A(−1, −3)-tik igaro eta y = −3x − 5 zuzenaren paraleloa dena. b) A(−2, −1)-tik igaro, eta B(1, 0)-tik eta C(0, 4)-tik igarotzen den zuzenaren paraleloa dena. a) Paraleloa denez, m = −3 → y = −3x + n. A(−1, −3) ordezkatuz → −3 = −3 ⋅ (−1) + n → n = −6 → y = −3x − 6. b) m = = −4 → y = −4x + n A(−2, −1) ordezkatuz → −1 = −4 ⋅ (−2) + n → n = −9 → y = −4x − 9. Adierazi grafikoki zuzen hauek: a) y = 2 b) y = −5 c) x = 2 Zer zuzen dira funtzioen grafikoei dagozkienak? Zer funtzio mota dira? a) eta b) ataletako zuzenak funtzio afinak dira eta m = 0 da. c) ataleko zuzena ez da funtzio batena, x-ren balio bati y-ren zenbait balio egokitzen baitizkio. Kalkulatu zuzenaren ekuazioa: a) A(−1, 0)-tik igaro eta Y-ren paraleloa dena. b) B(0, 4)-tik igaro eta X-ren paraleloa dena. c) C(3, 0)-tik igaro eta X-ren paraleloa dena. d) D(0, −2)-tik igaro eta Y-ren paraleloa dena. a) Y ardatzaren paraleloa → x = k. (−1, 0)-tik igarotzen da → x = −1. b) X ardatzaren paraleloa → m = 0 → y = n. (0, 4)-tik igarotzen da → y = 4. c) X ardatzaren paraleloa → m = 0 → y = n. (3, 0)-tik igarotzen da → y = 0. d) Y ardatzaren paraleloa → x = k. (0, −2)-tik igarotzen da → x = 0. 065 ●● 064 ● 4 0 0 1 − − 063 ●● ERANTZUNAK X x=2 y = 2 y = −5 Y −6 −2 −2 −4 1 3 5 1 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 385
- 386. 386 Nereak patata frijituakerosi nahi ditu urtebetetzea ospatzeko. 200 gramoko zorro batek 2 € balio ditu. a) Aztertu gramo kopurua eta prezioa lotzen dituen funtzioa, eta adierazi grafikoki. b) Zenbat balioko du kilo-erdi patata frijituk? a) y = ⋅ x = izanik: x = pisua (g) y = prezioa (€) b) y = = 5 € Motozikleta bat 35 km/h-ko abiadura konstantean dabil. a) Idatzi denbora eta egindako espazioa lotzen dituen funtzioaren ekuazioa. b) Zer motatakoa da? Egin grafikoa. c) Zenbat denbora behar du 245 km egiteko? a) e = 35t; izanik: t = denbora (h) e = espazioa (km) b) Funtzio lineala da. c) e = 245 bada → 245 = 35t → t = 7 h Urmael batean uraren maila 120 cm-koa zen. Uhateak zabaltzean, uraren maila 6 cm txikitzen da minutuko. a) Egin uraren maila (cm) denboraren (minutuak) mende adierazten duen taula. b) Zer funtzio mota da? Adierazi grafikoki. c) Zer ur-maila egongo da 15 minutu igarotzean? d) Zenbat denboran hustuko da urmaela? a) b) y = 120 − 6x → Funtzio afina c) x = 15 → y = 120 − 6 ⋅ 15 = 30 cm d) y = 0 → 120 − 6x = 0 → x = 20 minutu 068 ●● 067 ●● 500 100 x 100 2 200 066 ● Funtzio linealak eta afinak 100 3 2 1 300 500 Y (€) X (g) 1 2 3 4 5 e = 35t 175 105 35 t (h) e (km) 6 cm/min Denbora (minutuak) Maila (cm) 0 120 1 114 2 108 3 102 10 20 y = 120 − 6x 120 20 Y X y x = 100 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 386
- 387. 387 12 Itsasoko urak eragindakopresioaren eta sakoneraren arteko lotura erakusten ditu beheko taulak. Aztertu bi magnitudeak lotzen dituen funtzioa eta adierazi grafikoki. Zer presio eragingo du urak Marianetako fosan, kontuan hartuta 11.033 m-ko sakoneran dagoela? y = 0,096x; izanik: x = sakonera (m) y = presioa (atm) x = 11.033 m bada → y = 0,096 ⋅ 11.033 = 1.059,17 atm Itsas mailan, urak 100 °C-an irakiten du, baina altueran 100 m gora eginez gero, gradu-hamarren bat gutxiago behar du irakiteko. a) Kalkulatu irakite-puntua Aneto (3.404 m) eta Everest (8.844 m) mendien gailurretan. b) Idatzi Irakite-tenperatura – Altuera funtzioaren adierazpen aljebraikoa. a) Aneton: 100 − (3.404 : 100) ⋅ 0,1 = 95,596 °C. Everesten: 100 − (8.850 : 100) ⋅ 0,1 = 91,596 °C. b) y = 100 − x 1 000. 070 ●● 069 ●● ERANTZUNAK Sakonera (m) Presioa (atm) 1 0,096 2 0,192 3 0,288 10 0,96 1 0,096 Sakonera (m) Presioa(atm) y = 0,096x 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 387
- 388. 388 Lasterkari bat 9km/h-ko abiaduran igaro da maratoi bateko 2. kilometrotik. a) Osatu taula. b) Idatzi Distantzia – Denbora funtzioaren adierazpen aljebraikoa eta adierazi grafikoki. a) b) y = 9x + 2 Beheko grafikoan tenperatura ageri da altueraren (km-tan) mende. a) Idatzi Altuera – Tenperatura funtzioaren adierazpen aljebraikoa. b) Zenbatekoa da jatorriko ordenatua? Zer esan nahi du? c) Zer tenperatura egongo da 9 km-ko altueran? a) (0, 12) eta (2, −2)-tik igarotzen denez → m = −7. Eta (0, 12)-tik igarotzen denez → 12 = 0 + n → → n = 12. Zuzenaren ekuazioa: y = −7x + 12. b) Jatorriko ordenatua 12 da. Horrek esan nahi du itsas mailan airearen tenperatura 12 °C-koa dela. c) −51 °C. 072 ● 071 ●● Funtzio linealak eta afinak Y X Tenperatura(°C) Altuera (km) 10 6 2 1 3 5−2 −6 Denbora (orduak) Distantzia (0. km-ra) 0 2 1 11 2 20 3 29 4 38 … … Denbora (h) Distantzia(km) Y X y = 9x + 2 1 2 3 4 5 6 (2, 20) (1, 11) 30 25 20 15 10 5 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 388
- 389. 389 12 Uraren hileko fakturakokostu finkoa 10 €-koa da. Horri egindako kontsumoa gehitu behar zaio (metro kubotan adierazten da). – 80 m3 baino kontsumo txikiagoa: 0,90 €. – 80 m3 eta 120 m3 arteko kontsumoa: 1,50 €. – 120 m3 baino kontsumo handiagoa 2 €. Adierazi grafikoki Kontsumoa – Prezioa funtzioa hiru kontsumo-tarteetako bakoitzerako, ardatz beretan. x < 80 m3 kontsumoetarako: y = 10 + 0,90x. x = 80 bada → y = 10 + 72 = 82 €. 80 m3 < x < 120 m3 kontsumoetarako: y = 82 + (x − 80) ⋅ 1,50. x = 120 m3 bada → y = 82 + 40 ⋅ 1,50 = 142 €. x > 120 m3 kontsumoetarako: y = 142 + (x − 120) ⋅ 2. Iratik salgai baten azken prezioaren grafikoa egin du hasierako prezioaren mende, % 25eko beherapena egin ondoren. a) Beheko bi grafikoetatik, zein grafiko da egokiena funtzio hori adierazteko? Zergatik? b) Kalkulatu zuzenen ekuazioak. a) Grafiko egokiena da, amaierako prezioa hasierakoa baino txikiagoa baita. 4 balio zuenak 3 balioko du. (4, 3) puntua ez dago grafikoan. b) : y = 0,75x. : y = 1,25x.2 1 2 1 074 ●●● 073 ●●● ERANTZUNAK 20 80 120 160 80 40 Kontsumoa (m3 ) Prezioa(€) Y X6 842 2 4 6 1 Y X6 842 2 4 6 2 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 389
- 390. 390 Esaldi hau aurkitudugu. Ikertu ea zuzena den, eta erabili (3, 0) eta (0, 5) puntuetatik igarotzen den zuzena kalkulatzeko. (a, 0) eta (0, b)-tik igarotzen denez, malda da; beraz, ekuazioa hau da: , eta (0, b)-tik igarotzen denez, n = b da, eta ekuazioa hau da: Beraz, ekuazioa zuzena da. Zuzenaren ekuazioa (3, 0) eta (0, 5)-tik igarotzen da: . Osatu arrazoinamendu hau. r eta s bi zuzen elkarzut dira. r zuzenaren malda hau da: . Eta s-ren malda: . Izan ere, s beherakorra denez, malda hau du: … ABC triangelua ...da. Izan ere, A$… da. AD ABC triangeluaren... bat denez, ABD eta ADC triangeluak… dira, eta haien aldeak... dira. Beraz, eta m1 ⋅ m2 = … Zer lotura dago bi zuzen elkarzuten malden artean? r eta s bi zuzen elkarzut dira. r-ren malda . da Eta s-ren malda da, s beherakorra denez, malda negatiboa delako. ABC triangelua angeluzuzena da A$ angelu zuzena delako. AD ABC triangeluaren altuera bat denez, ABC eta ABC triangeluak antzekoak dira, eta aldeak, proportzionalak. Hala, eta ; beraz, .m m 1 2 1 = − m m AD BD AD DC 1 2 1⋅ = ⋅ −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − AD BD DC AD = − = AD DC m2 AD BD m= 1 AD BD DC AD = − = AD DC m2 AD BD m= 1 076 ●●● x y 3 5 1+ = y b a x b y b a x x a y b = − + = − + + =→ → 1 1 1 y b a x n= − + m b a = − 075 ●●● Funtzio linealak eta afinak Y X A s B CD r (a, 0) eta (b, 0) zuzen batenebakidura-puntuak badira ardatzekiko, eta a =/ 0 eta b =/ 0badira, zuzen horren ekuazioahau da: + = 1 y b x a 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 390
- 391. EGUNEROKOAN Ikasleekin kimikako esperimentubat egiteko, Potasio irakasleak merkurioa erosi behar du. Hori dela-eta, produktu kimikoen bi laborategitara joan da, prezioak jakitera. Hona hemen zer informazio jaso duen laborategietan: Potasio irakasleak ikasleei eman die informazio hori, ikasgelara heltzean. Ondoren, ikasleei galdetu die nola jakin daitekeen zer eskaintza den merkeena. Azkenean, ardatz beretan bi laborategiak adierazten dituztengrafikoak marraztea erabaki dute eta kostuen azterketa egitea, 1 kg merkurio artekoa, gehienez ere. Zure ustez, zer emaitza lortu dituzte? Zer kantitatetatik aurrera komeni zaie laborategi bat ala bestea? Sulfuroso laborategian erostea komeni zaie, 600 g arteko ehuneko bikoitietarako, eta Litio laborategian, gainerako kantitateetarako. 077 ●●● 391 12ERANTZUNAK Gramo bat merkuriok 4 zentimo balio ditu. Merkurioa gehienez 200 g-ko edukiera duten saio-hodietan saltzen da. Saio-hodi bakoitzaren prezioa 5 €-koa da. Gramo bat merkuriok 5 zentimo balio ditu. Merkurioa gehienez 100 g-ko edukiera duten saio-hodietan saltzen da. Saio-hodi bakoitzaren prezioa 2 €-koa da . Sulfuroso Litio Edukiera (g) 70 60 50 40 30 20 10 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.000 Prezioa(€) SULFUROSO LABORATEGIA LITIO LABORATEGIA 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 391
- 392. 392 Oporretan, Ane mendikoherri batera joan zen, familiarekin. Joanerako bidaian, mendiko errepide estuak eta aldapatsuak gurutzatu zituzten. Haietako batean, Aneren nebak seinale hau ikusi zuen eta zer adierazten duen galdetu zuen. Anek esan zion zuzen baten maldak zuzenaren inklinazio-maila adierazten duela, Matematikan ikasi zuenez. Orduan ondorioztatu zuen % 12k hau adierazten duela: horizontalean egindako 100 metroko, 12 metro egiten direla bertikalean. Nebari esan zionaz oso ziur ez zegoenez, etxera iristean zirkulazioko kodea kontsultatu zuen Anek. Kodean ikusi zuenez, trafikoan maldak beste esanahi bat du. Errepidean, % 12ko maldak esan nahi du errepidean egindako 100 metroko, 12 metro egiten direla bertikalean. Zer maldak du inklinazio handiena, errepidekoak ala Matematikakoak? Zer inklinazio izan behako luke idatzita % 12ko malda matematikoa adierazten duen trafiko-seinaleak? 078 ●●● Funtzio linealak eta afinak ERREPIDEA %12ko malda G F 100 m GF 12 m MATEMATIKA %12ko malda G F100 m GOGORATU 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 392
- 393. 393 12 Errepideko maldak maldahandiagoa adierazten du; izan ere, 100 m egitean, triangeluaren hipotenusa, oinarria edo katetoa 100 m baino txikiagoa da. Beraz, malda berarako altuera desberdina adierazten da eta horizontalean egindako metro kopurua txikiagoa izango da. Errepideko % 12ko malda 100 m-ko hipotenusa eta 12 m-ko altuerako katetoa dituen triangeluaren baliokidea da. x = Matematikako malda hau da: .m = = 12 99 28 0 121 12 1 , , % ,→ 9.856 m= 99 28,100 122 2 − = ERANTZUNAK 100 m x 12 m 908272 _ 0366-0393.qxd 20/9/07 16:18 Página 393
- 394. 394 Estatistika13 ADIERAZPEN GRAFIKOAK POPULAZIOA ETALAGINA KUALITATIBOAK ABSOLUTUAK ETA ERLATIBOAK METATUAK JARRAITUAK MAIZTASUNAK KUANTITATIBOAK DISKRETUAK ALDAGAI ESTATISTIKOAK BATEZ BESTEKOA MEDIANA MODA ZENTRALIZAZIO-NEURRIAK IBILTARTEA ETA BATEZ BESTEKO DESBIDERATZEA BARIANTZA ETA DESBIDERATZE TIPIKOA ALDAKUNTZA- KOEFIZIENTEA SAKABANATZE-NEURRIAK 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 394
- 395. Jainkoak salba bezaerregina! Sidney Herbert Gerrarako Estatuko Idazkariak karrera politikoko erabakirik arriskutsuena hartu zuen. Izan ere, haren lagun Florence Nightingale-ren esku utzi zuen aire zabaleko erizainen gorputza antolatzea, Krimeako Gerrako ospitaleak hobetzeko. 1854. urtea zen eta bere etorkizun politikoa dama haren esku zegoen. Gatazka-gunera joateko prestatzen ari zela, herrialde osoa astindu zuen Brigada Arinaren deuseztapenak, errusiarren baterien aurkako eraso suizidaren ondoren. Ekintza hori ez zuten hondamen gisa zabaldu, ingelesen kemenaren eta ohorearen froga gisa baizik. Nightingale neurri higienikoak aplikatzen hasi zen, eta datuak bilduz eta grafikoen bidez antolatuz joan zen, errazago irakurtzeko. Txostena Gerrako Idazkariari bidali zioten, eta bertan laguntza eskatzen zen armadako buruzagiek jarritako oztopoak ezabatzeko. Amaieran, eskuizkribu bat ageri zen. Honela zioen eskuizkribuak: Adierazi oharreko datuak grafiko egoki baten bidez. “Urtarrilean, 3.168 bajetatik, 2.761 gaixotasun kutsakorrek eragin zituzten, 83 gerrako zauriek eta 324 beste arrazoi batzuek… Gure ospitaleek etsaiaren kanoiek baino baja gehiago eragiten dituzte. Jauna, ez utzi Ingalaterraren ohorea ospitale bateko gela batean lurperatzen.” Jainkoak salba beza erregina! Datuak adierazteko, barra- edo sektore-diagrama erabil dezakegu; dena den, egokiena sektore-diagrama erabiltzea da. Kutsatuta Kutsatuta Gudan Gudan Bestelakoak Bestelakoak 2.400 1.800 1.200 600 BARRA-DIAGRAMA SEKTORE-DIAGRAMA Arrazoiak Bajak(pertsonak) F F 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 395
- 396. 396 ARIKETAK Ikastetxe bateko DBHko3. mailako ikasleen oinetakoen neurriari buruzko azterketa estatistikoa egin nahi dugu. a) Zein da populazioa? b) Aukeratu lagin bat. Zer neurri du? a) Populazioa: ikastetxeko DBHko 3. mailako ikasle guztiak. b) Lagin bat: ikasgeletako bateko ikasleak. Neurria ikasgelako ikasle kopurua da. Adierazi zer kasutan komeni den populazioa ala lagina aztertzea. a) Makina batek egiten dituen torlojuen luzera. b) Urte bateko turista guztien garaiera. c) Bost laguneko talde baten pisua. a) Lagina, ezin ditugu torloju guztiak neurtu. b) Lagina, turista asko daude-eta. c) Populazioa, talde txikia delako. Hona hemen egunkari bateko izenburu bat. «ESPAINIARREN BATEZ BESTEKO PISUA 69 KG DA.» a) Zure ustez, nola lortzen da ondorio hori? Populazio osoa aztertu ote da? b) Zer ezaugarri izan behar ditu lagin osoak? Izan al litezke adin berekoak lagineko banako guztiak? Guztiak emakumeak badira, zuzena al litzateke lagina? a) Lagin esanguratsu bat hartu da, kontuan izanda zer taldetan bana daitekeen populazio osoa; inkesta egin eta batez bestekoa kalkulatu da. Ia ezinezkoa da espainiar guztiei galdetzea. b) Laginak esanguratsua izan behar du adin eta sexu guztietarako; populazioko proportzio berean ageri behar dute. Pentsatu eta idatzi azterketa estatistikoa egiteko populazioaren adibide bat. Zer lagin har dezakegu? Adierazi zein diren banakoak eta zer neurri duen laginak. Populazioa: futbol-taldeetan inskribatutako hiri jakin bateko gazte guztiak. Lagina: futbol-talderen batean aritzen diren ikastetxeko gazte guztiak. Banakoak: aurreko lagineko gazte bakoitza. Laginaren neurria: aurreko lagineko gazte kopurua. 004 003 002 001 Estatistika 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 396
- 397. 397 13 Adierazi kualitatiboak alakuantitatiboak diren aldagai estatistiko hauek. a) Jaiotza-urtea. b) Ile-kolorea. c) Pertsona baten ogibidea. d) Perimetro torazikoa e) Egoera zibila. f) Gerriaren perimetroa. g) Zenbat aldiz bidaiatu den hegazkinez. Kualitatiboak: b), c) eta e). Kuantitatiboak: a), d), f) eta g). Sailkatu aldagai hauek kualitatibotan eta kuantitatibotan; bigarren kasuan, bereizi diskretuak eta jarraituak. a) Norbera bizi den probintzia. b) Eraikin bateko auzotar kopurua. c) Aitaren ogibidea. d) Gasolina-kontsumoa 100 km-ko. Kuantitatiboak: b) eta d). Kualitatiboak: a) eta c). Diskretua: b) eta jarraitua: d). Aldagai estatistiko kuantitatibo batek infinitu balio har baditzake, diskretua ala jarraitua da? Printzipioz, ez du zertan diskretua ala jarraitua izan. Esan dezakeguna hau da: aldagai bat jarraitua bada infinitu balio har ditzake. Aldagaia diskretua bada, tarte bakoitzean har dezakeen balio kopurua finitua da, baina aldagaiak infinitu balio har ditzake. Esate baterako, zenbaki arrunt gustukoena zein den galdetuz gero, printzipioz infinitu erantzun daude, zenbaki arrunt guztiak, hain zuzen ere. Hala ere, aldagaia diskretua da. Hona hemen 28 gazteren altuera (cm-tan): 155 178 170 165 173 168 160 166 176 169 158 170 179 161 164 156 170 171 167 151 163 158 164 174 176 164 154 157 Egin tarteka antolatutako taula bat, zenbatu datuak eta lortu tarte bakoitzeko klase-markak. 008 007 006 005 ERANTZUNAK Tartea [150, 160) [160, 170) [170, 180) Klase-marka 155 165 175 Zenbaketa 7 11 10 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 397
- 398. 398 30 lagunen ile-koloreak(B = beltzarana, I = ilehoria, G = ilegorria) hauek dira: B I G B B B B I I G G B B B B B B G I I I G B B B B I B B B Egin maiztasun-taula. Zergatik dira tauletako tarteak alde batetik itxiak eta bestetik irekiak? Bi aldeetatik irekiak balira, puntu jakin bat ez zen tarte bakar batean ere egongo, eta bi tarteak itxiak balira, puntu jakin bat bi tartetan egongo litzateke. Eta bi egoera horiek ez dira zuzenak. 30 lagunek ordenagailuaren bidez lanean egunean ematen dituzten orduak: a) Zer motatako aldagai estatistikoa da? b) Egin maiztasun-taula. a) Aldagai kuantitatibo diskretua da. b) Hona hemen 20 laguni egindako adimen-test baten emaitzak: 100 80 92 101 65 72 121 68 75 93 101 100 102 97 89 73 121 114 113 94 Egin maiztasun-taula, 10 zabalerako tarteak hartuta. 012 3 4 0 5 5 3 4 5 0 2 2 5 3 2 0 1 2 2 1 2 0 3 1 2 1 1 2 1 4 3 011 010 009 Estatistika Ile-kolorea fi hi Fi Hi Beltzarana 18 0,6 18 0,6 Ilehoria 7 0,23 25 0,83 Ilegorria 5 0,17 Guztira 30 1 30 1 Orduak fi hi 0 4 0,13 1 6 0,2 2 8 0,27 3 5 0,17 4 3 0,1 5 4 0,13 Guztira 30 1 Adina fi hi [65, 75) 4 0,2 [75, 85) 2 0,1 [85, 95) 4 0,2 [95, 105) 6 0,3 [105, 115) 2 0,1 [115, 125) 2 0,1 Guztira 20 1 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 398
- 399. 399 13 Zer gertatzen damaiztasun absolutuen batura eta guztizko datu kopurua ez badira berdinak? Daturen bat ez dugu zenbatu edo bestela okertu egin gara kalkuluren bat egitean. Hona hemen 24 lagunen pisuak (kg-tan): 68,5 34,2 47,5 39,2 47,3 79,2 46,5 58,3 62,5 58,7 80 63,4 58,6 50,2 60,5 70,8 30,5 42,7 59,4 39,3 48,6 56,8 72 60 a) Bildu 10 zabalerako tartetan eta egin maiztasun-taula. b) Zenbatek dute 50 kg-tik beherako pisua? c) Kalkulatu zer ehuneko adierazten duen guztizkoarekiko maiztasun absolutu handieneko tarteak. a) b) Maiztasun absolutu metatuen zutabeari, Fi, erreparatuz, 9 lagunek 50 kg baino pisu txikiagoa dutela ikusten da. c) Maiztasun handieneko tartea [50, 60) da: fi = 6 eta hi = 0,25 → % 25. Hona hemen 30 ikasleren egun bateko batez besteko ikasketa-orduak: 3 4 3 5 5 1 1 1 1 2 3 4 5 0 2 0 3 2 2 1 2 1 3 2 0 1 2 1 4 3 Egin maiztasun-taula. Zer esanahi dute maiztasun metatuek? Maiztasun metatuek egunean gehienez ordu kopuru jakin bat ikasten ematen duten ikasle kopurua edo ehunekoa adierazten dute. 015 014 013 ERANTZUNAK Tartea fi [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) 4 5 6 5 3 1 24 Fi 4 9 15 20 23 24 hi 4/24 = 0,17 5/24 = 0,21 6/24 = 0,25 5/24 = 0,21 3/24 = 0,12 1/24 = 0,04 Hi 0,17 0,38 0,63 0,84 0,96 1 Orduak fi hi 0 3 0,1 1 8 0,27 2 7 0,23 3 6 0,2 4 3 0,1 5 3 0,1 Guztira 30 1 Fi 3 11 18 24 27 30 Hi 0,1 0,37 0,6 0,8 0,9 1 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 399
- 400. 400 Azaldu nola osatukozenukeen maiztasun-taula bat, maiztasun absolutu metatuak soilik jakinda. Lehen maiztasun absolutu metatua eta lehen maiztasun absolutua berdinak dira. Gainerako maiztasun absolutuak kalkulatzeko, ondoz ondoko maiztasun absolutu metatuen kenketak egin behar dira. f1 = F1 fi = Fi − Fi −1 Laginaren neurria azken maiztasun absolutu metatua da, eta hortik abiatuta, maiztasun erlatiboak kalkulatzen dira. Eraikin batean, 16 etxebizitza daude. Etxebizitzetako telebista kopurua: 0 1 1 2 1 3 2 1 1 1 2 2 3 0 3 2 a) Egin maiztasun-taula. Zer aldagai mota da? Arrazoitu erantzuna. b) Egin datuen barra-diagrama eta maiztasun-poligonoa. c) Egin gauza bera maiztasun metatuekin. a) Aldagai kuantitatibo diskretua da. b) c) Aparkaleku publiko batean, 25 auto gorri, 19 hori, zilar-koloreko 39, 50 zuri, 27 berde, 30 urdin eta 10 beltz zeuden. a) Egin maiztasun-taula. c) Egin b) Kalkula al ditzakezu maiztasun metatuak? barra-diagrama. a) 018 017 016 Estatistika Telebistak fi hi 0 2 0,125 1 6 0,375 2 5 0,3125 3 3 0,1875 Guztira 16 1 Fi 2 8 13 16 Hi 0,125 0,5 0,8125 1 fi 25 19 39 50 27 30 10 Kolorea Gorria Horia Zilar-kolorea Zuria Berdea Urdina Beltza hi 25/200 = 0,125 19/200 = 0,095 39/200 = 0,195 50/200 = 0,25 27/200 = 0,135 30/200 = 0,15 10/200 = 0,05 0 1 2 3 6 5 4 3 2 1 MAIZTASUN ABSOLUTUAK Telebistak Auzotarrak 0 1 2 3 16 14 12 10 8 6 4 2 MAIZTASUN METATUAK Telebistak Auzotarrak 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 400
- 401. b) Ezin diramaiztasun metatuak kalkulatu, aldagaia kualitatiboa delako. c) Egin aurreko ariketako grafikoak maiztasun erlatibo eta guzti. Zer hauteman duzu? Grafiko bera da, baina maiztasunen eskala aldatuta. Hona hemen 18 kilkerren luzera (cm-tan): 1,8 1,9 2 2,4 2,6 2,8 1,7 1,9 2,3 1,6 2,1 3 2,3 2,7 2,9 1,5 1,8 2,6 a) Egin tarteak eta idatzi maiztasun-taula. b) Adierazi datuak histograma eta maiztasun-poligono banaren bidez. c) Egin sektore-diagrama. Zure ustez, zer grafiko da egokiena? a) c) b) 020 019 401 13ERANTZUNAK G H Zil. Z Ber. U Belt. 50 40 30 20 10 fi G H Zil. Z Ber. U Belt. 0,25 0,20 0,15 0,10 0,5 hi Tartea fi [1,5; 2) [2; 2,5) [2,5; 3) 7 5 6 1,5 2 2,5 3 7 6 5 4 3 2 1 fi [2,5; 3) [1,5; 2) [2; 2,5) Histograma da egokiena, datuak aldagai kuantitatibo batenak direlako. 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 401
- 402. 402 Adierazi grafikoki datuhauek: 50 ikasleko gela batean; 12 ikaslek ez dute irakasgaia gainditu; 30ek Nahiko atera dute; %12k, Oso ongi; eta gainerakoek, Bikain. Egin grafikoari dagokion maiztasun-taula. DBHko 3. mailako 24 ikasleren altuerak (cm-tan) hauek dira: 158 160 168 156 166 158 160 168 168 158 156 164 162 166 164 168 162 158 156 166 160 168 160 160 a) Bildu tartetan. b) Kalkulatu batez bestekoa, mediana eta moda. a) b) xෆ = = 162,7 Me = 162,5 Mo = 1652,5 Interpretatu 15 ikasleren Gutxiegi kopuruen zentralizazio-neurriak. 4 1 0 4 1 4 1 2 3 0 2 4 0 3 1 024 3 905 24 . 023 022 021 Estatistika Notak fi Gutxiegi Nahiko Oso ongi Bikain 12 30 6 2 50 Gutxiegi Bikain Oso ongi Nahikoa 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 Y X Aldagaia fi hi [0, 10) 15 0,075 [10, 20) 30 0,15 [20, 30) 45 0,225 [30, 40) 50 0,25 [40, 50) 35 0,175 [50, 60) 25 0,125 Total 200 1 Tartea fi [155, 160) [160, 165) [165, 170) 27 29 28 24 xi 157,5 162,5 167,5 fi ⋅ xi 1.102,5 1.462,5 1.340,5 3.905,5 Gutxiegi kopurua fi hi 0 3 0,2 1 4 0,27 2 2 0,13 3 2 0,13 4 4 0,27 15 1 Fi 3 7 9 11 15 Hi 0,2 0,47 0,60 0,73 1 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 402
- 403. 403 13 xෆ = Ikasle bakoitzak2 gutxiegi ditu, batez beste. Bi moda daude: Mo = 1 eta Mo = 4. Me = 2 denez, ikasleen erdiek 2 irakasgaitan gutxiegi atera dute, gehienez. Erantsi mediana aldatuko ez duen balio bat. 18 8 7 9 12 15 21 12 Mediana 12 da eta edozein balio sartuta ere 12 izango da. Izan ere, balio kopurua bikoitia da eta beste balio bat batzean, bakoitia izango da. Beraz, bi 12etako batek balio zentrala izaten jarraituko du. Beheko datuek 10 langilek zenbat baja-egun izan dituzten erakusten dute. Kalkulatu datu multzoaren kuartilak 0 2 3 4 2 1 1 0 0 3 10 ⋅ 0,25 = 2,5 → Q1 = 0 10 ⋅ 0,5 = 5 → Q2 = Me = = 1,5 10 ⋅ 0,75 = 7,5 → Q3 = 3 Interpretatu aurreko ariketan kalkulatutako kuartilak. Bajan egon ez diren langileak % 25 dira, gutxienez; langileen erdiak gehienez egun bat egon dira bajan, eta langileen % 75, gehienez 3 egun. Oposizio-deialdia egin dute 50 lanpostu betetzeko eta 200 pertsona aurkeztu dira. Hona hemen emaitzak. Zer nota behar da lanpostua lortzeko? 50 lanpostuak bat datoz hirugarren kuartilarekin, 150 pertsonak ez dituztelako lortu: % 75ek. Behar den nota 7 da. 028 027 1 2 2 + 026 025 0 3 1 4 2 2 3 2 4 4 15 30 15 2 ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = ERANTZUNAK Bajak fi Fi 0 3 3 1 2 5 2 2 7 3 2 9 4 1 10 Guztira 10 Notak Oposiziogileak fi 3 6 4 25 5 34 6 42 7 50 8 24 9 13 10 3 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 403
- 404. 404 Hona hemen torlojuenlagin bateko luzerak (mm-tan). Kalkulatu sakabanatze-neurriak, klase-markak erabiliz. xෆ = = 14,5 BBD = = 0,8 σ2 = = 1,1 σ = 1,05 Ikasle batek nota hauek lortu ditu bost azterketatan: 3, 8, 5, 7 eta 4. Eta beste batek, berriz, hauek: 2, 9, 4, 5 eta 7. Zer ikaslek du sakabanatze handiena? Lehen ikaslea: H = 8 − 3 = 5 xෆ = = 5,4 BBD = = 1,68 σ = = 1,85 AK = = 0,34 Bigarren ikaslea: H = 9 − 2 = 7 xෆ = = 5,4 BBD = = 2,08 σ = = 2,42 AK = = 0,45 Beraz, bigarren ikasleak du sakabanatze handiena. 2 42 5 4 , , 29 2 5 , 10 4 5 ,27 5 1 85 5 4 , , 17 2 5 , 8 4 5 ,27 5 030 22 20 16 20 290 20 029 Estatistika Tartea fi [13, 14) [14, 15) [15, 16) [16, 17) 8 7 2 3 Tartea [13, 14) [14, 15) [15, 16) [16, 17) xi 13,5 14,5 15,5 16,5 fi 8 7 2 3 20 fi ⋅ xi 108,5 101,5 31,5 49,5 290,5 1 0 1 2 8 0 2 6 16 8 0 2 12 22 ⏐xi − xෆ⏐ fi ⋅ ⏐xi − xෆ⏐ fi ⋅ (xi − xෆ)2 xi 3 4 5 7 8 fi 1 1 1 1 1 5 fi ⋅ xi 3 4 5 7 8 27 2,4 1,4 0,4 1,6 2,6 2,4 1,4 0,4 1,6 2,6 8,4 5,76 1,96 0,16 2,56 6,76 17,266 ⏐xi − xෆ⏐ fi ⋅ ⏐xi − xෆ⏐ fi ⋅ (xi − xෆ)2 xi 2 4 5 7 9 fi 1 1 1 1 1 5 fi ⋅ xi 2 4 5 7 9 27 3,4 1,4 0,4 1,6 3,6 3,4 1,4 0,4 1,6 3,6 10,4 11,56 1,96 0,16 2,56 12,96 29,20 ⏐xi − xෆ⏐ fi ⋅ ⏐xi − xෆ⏐ fi ⋅ (xi − xෆ)2 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 404
- 405. 405 13 Galdetu adina etaaltuera 5 ikaskideri. Alderatu bi aldagaien sakabanatzea. Emaitzak laginaren araberakoak izango dira. ARIKETAK Ikasleek irakurtzen ematen duten denborari buruzko azterketa egin nahi dugu. a) Aukeratu lagina, azterketa egiteko. b) Zer neurri du aukeratutako laginak? c) Zein da populazioa? a) Esate baterako, ikasgelako ikasleak. b) Ikasgelako ikasleen kopurua. c) Ikastetxeko ikasle guztiak. Azaldu zer aldagai estatistiko mota ari garen aztertzen eta adierazi zer den onena kasu bakoitzean: lagina ala populazioa aztertzea. a) Zure familiako kideen programa gustukoena. b) Ikastetxe bateko ikasleen oinetakoen neurria. c) Zure probintziako eguneroko batez besteko tenperatura. d) Herrialde bateko biztanleen adina. e) Herri bateko biztanleen sexua. f) Zure lagunek astebetean gastatutako dirua. g) Sendagai berri baten eraginak gizakiarengan. h) Zure gelako ikaskideen ile-kolorea. a) Kualitatiboa. Populazioa. b) Kuantitatibo diskretua. Lagina. c) Kuantitatibo jarraitua. Populazioa. d) Kuantitatibo diskretua. Lagina. e) Kualitatiboa. Lagina. f) Kuantitatibo diskretua. Populazioa. g) Kualitatiboa. Lagina. h) Kualitatiboa. Populazioa. 033 ● 032 ● 031 ERANTZUNAK 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 405
- 406. 406 Behean ageri direnaldagaietatik zein dira diskretuak? a) Maskota kopurua. b) Oinetakoen neurria. c) Burezurraren perimetroa. d) Fruta-denda bateko eguneroko diru-sarrerak. e) Astebetean ikastetxe bateko jangelan kontsumitutako okela-kilogramoak. Diskretuak: a) eta b). Jarraituak: c), d) eta e). Atzerrira zenbat aldiz joan diren galdetu zaie 20 pertsonari. Hona hemen emaitzak: 3 5 4 4 2 3 3 3 5 2 6 1 2 3 3 6 5 4 4 3 a) Egin zenbaketa eta antolatu datuak. b) Egin maiztasun-taula. a) Datuak ordenatuta: 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6. b) Hona hemen Gorputz Hezkuntzako 20 ikasleren oinetakoen neurria: 37 40 39 37 38 38 38 41 42 37 43 40 38 38 38 40 37 37 38 38 Egin barra-diagrama eta maiztasun-poligonoa, eta adierazi maiztasun absolutuak eta maiztasun absolutu metatuak. 036 ● 035 ● 034 ● Estatistika xi 1 2 3 4 5 6 fi 1 3 7 4 3 2 20 Fi 1 4 11 15 18 20 hi 1/20 = 0,05 3/20 = 0,15 7/20 = 0,35 4/20 = 0,20 3/20 = 0,15 2/20 = 0,10 1 % 5 15 35 20 15 10 100 0,05 0,20 0,55 0,75 0,90 1 Hi 37 38 39 40 41 42 43 10 8 6 4 2 MAIZTASUN ABSOLUTUAK Neurriak Ikasleak 37 38 39 40 41 42 43 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 MAIZTASUN METATUAK Neurriak Ikasleak 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 406
- 407. 407 13 Hona hemen 27gazteren altuerak (cm-tan): 155 178 170 165 173 168 160 166 176 169 158 170 179 161 164 156 170 171 167 151 163 158 164 174 176 164 154 a) Erabili 5 zabalerako tarteak, maiztasun-taula egiteko. b) Adierazi datuak histograma batean, maiztasun absolutuak eta maiztasun absolutu metatuak erabiliz. a) b) Afari batera joan diren 30 lagunetatik, % 20k txahala jan zuen; % 40k, arkumea; eta gainerakoek, arraina. Adierazi aldagai estatistikoa eta antolatu emaitzak maiztasun-taula batean. Ondoren, adierazi datuak sektore-grafiko batean. 038 ●● 037 ● ERANTZUNAK Tartea [150, 155) [155, 160) [160, 165) [165, 170) [170, 175) [175, 180) xi 152,5 157,5 162,5 167,5 172,5 177,5 fi 2 4 6 5 6 4 27 Fi 2 6 12 17 23 27 hi 2/27 = 0,074 4/27 = 0,148 6/27 = 0,222 5/27 = 0,185 6/27 = 0,222 4/27 = 0,148 1 0,074 0,222 0,444 0,629 0,851 1 Hi Jatekoa fi hi Txahala 6 0,2 Arkumea 12 0,4 Arraina 12 0,4 30 1 150 155 160 165 170 175 180 6 5 4 3 2 1 MAIZTASUN ABSOLUTUAK Altuera (cm) Gazteak 150 155 160 165 170 175 180 26 22 18 14 10 6 2 MAIZTASUN METATUAK Altuera (cm) Gazteak Arkumea (12) Txahala (6) Arraina (12) 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 407
- 408. 408 Grafikoan, kiroldegi batekoteniseko pista hil bakoitzean zenbat aldiz alokatu den ageri da. a) Kalkulatu maiztasun erlatiboak eta metatuak. b) Hilen zer ehunekotan alokatu zen pista 80 alditan baino gehiagotan? c) Adierazi maiztasun absolutu metatuen poligonoa. a) b) Urtarrilean, maiatzean, ekainean, uztailean, urrian eta abenduan 80 aldiz alokatu zen pista, hilen % 50 baino gehiagoan. c) Kalkulatu datu segida honen zentralizazio-neurriak. 3 2 4 9 8 7 3 2 4 5 1 8 6 1 5 1 0 2 4 1 2 5 6 5 4 7 1 3 0 5 8 6 3 4 0 9 2 5 7 4 0 2 1 5 6 Batez best.: xෆ = = 3,91 Mediana: Me = 4 Moda: Mo = 5 176 45 040 ● 039 ●●● Estatistika U O M A M E U A I U A A 100 70 120 126 60 62 66 69 97 100 78 90 140 120 100 80 60 40 20 fi Hila fi Urt Ots Mar Api Mai Eka Uzt Abu Ira Urr Aza Abe 100 60 70 62 97 120 100 78 66 126 69 90 Fi 100 160 230 292 389 509 609 687 753 879 948 1.038 hi 0,096 0,058 0,067 0,060 0,093 0,116 0,096 0,075 0,063 0,121 0,066 0,087 Hi 0,096 0,154 0,221 0,281 0,374 0,490 0,586 0,661 0,724 0,845 0,911 1 U O M A M E U A I U A A 1.000 500 100 Fi xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 fi 4 6 6 4 6 7 4 3 3 2 Fi 4 10 16 20 26 33 37 40 43 45 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 408
- 409. 409 13 Egin aurreko ariketa2 zabalerako tarteak hartuta. Emaitza berak lortu al dituzu? Zure ustez, zergatik gertatzen da hori? Batez bestekoa: xෆ = = 4,42 Mediana: Me = [4, 6) Moda: Mo = [4, 6) Emaitzak desberdinak dira. Hori gertatzen da datuak biltzean klase-markan daudel suposatzen dugulako, eta beraz, eragiketak aldatu egiten dira. Kalkulatu datu hauen mediana. a) b) a) N = 5 + 3 + 4 + 2 + 4 + 6 = 24 denez, mediana 12. eta 13. lekuan dauden xi balioei dagokie. Kasu honetan: x12 = 3 eta x13 = 4 → Me = = 3,5 b) N = 1 + 3 + 5 + 2 = 11denez eta F3 = 9 > → → Me = [20, 30) tarteko klase-marka = 25 Kalkulatu taula honetako datuen batez bestekoa, mediana, moda eta kuartilak. a) Taulako balio guztiak 3z biderkatuz gero, zenbatekoa litzateke batez bestekoa? Eta mediana? Eta moda? b) Aldagai baten balio guztiei zenbaki bera kendu edo haiek zenbaki beraz zatitzen baditugu, zenbatekoa izango da batez besteko berria? xෆ = N = 20 denez, 10. eta 11. lekuetan dauden xi balioak dira mediana. Kasu honetan, Me = 28, Q1 = 26 eta Q3 = 30. Gehien ageri den balioa hau da: Mo = 28. a) xෆ = = = = 3 ⋅ xෆaurrekoa Kasu honetan, xෆberria = 3 ⋅ 28,4 = 85,2. Beraz, Me = 3 ⋅ 28 = 84, Q1 = 78, Q3 = 90 eta Mo = 84. b) Balio guztiei zenbaki bera kenduz gero, xෆberria = xෆ − zenbakia. Eta balio guztiak zenbaki beraz zatituz gero, xෆberria = xෆ : zenbakia. 3 26 6 28 7 30 4 32 3 20 ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 26 6 3 28 7 3 30 4 3 32 3 20 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 26 6 28 7 30 4 32 3 20 568 20 28 4 ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = , 043 ●● 11 2 3 4 2 + 042 ● 199 45 041 ●● ERANTZUNAK Aldagaia xi fi [0, 2) 1 10 [2, 4) 3 10 [4, 6) 5 13 [6, 8) 7 7 [8, 10) 9 5 Fi 10 20 33 40 45 xi fi 1 5 2 3 3 4 4 2 5 4 6 6 [0, 10) 1 [10, 20) 3 [20, 30) 5 [30, 40) 2fi Bar. xi fi 26 6 28 7 30 4 32 3 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 409
- 410. 410 10, 17, a,19, 21, b, 25 datuen batez bestekoa, mediana eta moda 19 dira. Zenbatekoak dira a eta b? xෆ = = 19 92 + a + b = 7 ⋅ 19 = 133 → a + b = 41 10 - 17 - a - - 21 - b - 25 a-k 19 (moda) izan behar duenez → 19 + b = 41 → b = 22. Demagun datuen multzo hau: 23 17 19 x y 16 Jakinik batez bestekoa 20 eta moda 23 direla, zenbatekoak dira x eta y? 20 = → 120 = 75 + x + y → x + y = 45 Moda Mo = 23 bada, x-k edo y-k (edo biek) 23 izan behar dute. x = y = 23 balira → x + y = 23 + 23 = 46 45. Beraz, x = 23 → y = 45 − 23 = 22. Hona hemen etxeetako irrati kopuruari buruzko inkesta bateko datuak. a) Zenbat irrati dituzte etxeen laurdenek? b) Eta etxeen % 75ek? c) Zer esanahi du medianak? a) Etxeen % 25ek irrati bat du edo bat ere ez. b) Etxeen % 75ek 2 irrati edo gutxiago dituzte. c) Mediana bera baino datu handiagoen eta txikiagoen kopuru bera duen balioa da. Ebatzi ariketa hau, kalkulagailua erabiliz. Hilabetean, zortzi saltzailek aire girotuzko gailuen kopuru hauek saldu zituzten. 8 11 5 14 8 11 16 11 Kalkulatu batez bestekoa, desbideratze tipikoa eta aldakuntza-koefizientea. 047 ● 16 581 4 3 23 . ⋅ = =12.435,75 → Q 16 581 4 11 . = =4.145,25 → Q 046 ●●● 23 + 17 + 19 + x + y + 16 6 045 ●●● 19 10 + 17 + a + 19 + 21 + b + 25 7 044 ●●● Estatistika Etxe kopurua Irrati kopurua 0 432 1 8.343 2 6.242 3 1.002 4 562 Xi 0 1 2 3 4 fi 432 8.343 6.242 1.002 562 16.581 Fi 432 8.775 15.017 16.019 16.581 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 410
- 411. Datuak ordenatuko ditugu:5 - 8 - 8 - 11 - 11 - 11 - 14 - 16. xෆ = = = 10,5 σ2 = = = = = = 10,75 → σ = Planetarioa bisitatu duten lehen 30 lagunen adinak (urtetan) hauek dira: Kalkulatu neurri estatistikoak. Datuak ordenatuko ditugu: 3 - 4 - 4 - 5 - 5 - 6 - 7 - 7 - 7 - 8 - 8 - 9 - 9 - 10 - 10 - 10 - 10 - 10 - 11 - 12 - 13 - 13 - 14 - 16 - 16 - 17 - 18 - 18 - 20 - 20 xෆ = = = 10,7 Me = 10 Mo = 10 H = 17 σ2 = = σ2 = 23,29 → σ = = 4,83 → AK = = 0,451 049 4 83 10 7 , , 23 29, (3 − 10,7)2 ⋅ 1 + ... + (20 − 10,7)2 ⋅ 2 30 320 30 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 + ... + 20 ⋅ 2 30 20 7 10 13 4 7 8 11 16 14 8 10 16 18 12 3 6 9 9 4 13 5 10 17 10 18 5 7 10 20 048 ●● 10,75 3,28 3,28 10,5 0,312= = =→ AK 86 8 30,25 + 12,5 + 0,75 + 12,25 + 30,25 8 (5 − 10,5)2 ⋅ 1 + ... + (16 − 10,5)2 ⋅ 1 8 84 8 5 ⋅ 1 + 8 ⋅ 2 + 11 ⋅ 3 + 14 ⋅ 1 + 16 ⋅ 1 8 EGIN HONELA NOLA ALDERATZEN DA BI ALDAGAI ESTATISTIKOREN SAKABANATZEA? Jaioberrien lagin bateko batez besteko pisua x = 2,85-koa da, eta desbideratze tipikoa, σ = 1 kg. Amen batez besteko pisua x = 62 kg da, eta desbideratze ti- pikoa, σ = 15 kg. Zer banaketatan da handiena sakabanatzea? LEHENA. Aldakuntza-koefizienteak kalkulatu. BIGARRENA. Koefizienteak alderatu behar dira. 0,35 > 0,24 → Sakabanatzea handiagoa da jaioberrien pisuan amen pisuan baino, desbideratze tipikoei erreparatuz gero aurkakoa dirudien arren: 1 < 15. 411 13ERANTZUNAK AKjaioberriak 2,85 0,35= = = 1 35% AKamak = = = 15 62 0 24 24, % 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 411
- 412. 412 Albertok nota hauekatera ditu 5 azterketatan: 4, 6, 6, 7 eta 5. Anek, berriz: 43, 62, 60, 50 eta 55. Bietatik zein da erregularrena errendimendu akademikoan? Albertoren kasuan, neurri estatistikoak hauek dira: xෆ = σ2 = AK = Aneren kasuan, neurri estatistikoak hauek dira: xෆ = σ2 = AK = Beraz, Ane da erregularrena errendimendu akademikoan. Kalkulatu datu hauen batez bestekoa, mediana, moda eta desbideratze tipikoa. xෆ = Me = [47, 53) Mo = [47, 53) σ2 = 1 240 18 68 89 8 3 . , ,= =→ σ 960 18 53 33= , 051 ●● 6 9 54 0 13 , ,= 238 5 47 6 6 9= =, ,→ σ 270 5 54= 1 02 5 6 0 18 , , ,= 5 2 5 1 04 1 02 , , ,= =→ σ 28 5 5 6= , 050 ●● Estatistika 5 6 1 4 4 Pisua Ikasle kopurua [41, 47) [47, 53) [53, 59) [59, 65) [65, 71) Pisua [41, 47) [47, 53) [53, 59) [59, 65) [65, 71) xi 44 50 56 62 68 fi 5 6 1 4 2 18 Fi 5 11 12 16 18 fi ⋅ xi 220 300 56 248 136 960 87,11 11,11 7,11 75,11 215,11 435,56 66,67 7,11 300,44 430,22 1.240,22 (xi − xෆ)2 fi ⋅ (xi − xෆ)2 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 412
- 413. Hona hemen 40ikaslek Musikan lortu dituzten notak: 6 4 1 7 3 6 6 2 5 2 4 9 5 10 8 2 6 10 5 7 5 3 7 8 4 6 0 5 8 7 6 9 7 2 5 6 8 7 3 6 Kalkulatu datuen batez bestekoa eta desbideratze tipikoa, aldagaia diskretu gisa hartuta, lehendabizi, eta ondoren, datuak tarte hauetan bilduz: [0, 5), [5, 7), [7, 9) eta [9, 10]. Zer alde hautematen da? Lehendabizi, datuak ordenatuko ditugu: 0 - 1 - 2 - 2 - 2 - 2 - 3 - 3 - 3 - 4 - 4 - 4 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 7 - 8 - 8 - 8 - 8 - 9 - 9 - 10 - 10 xෆ = = 5,5 σ2 = = 5,8 σ = = 2,4 → AK = = 0,06 Datuak tartetan bilduko ditugu: xෆ = = = 5,8 σ2 = = 5,86 σ = = 2,42 → AK = = 0,06 Batez bestekoa eta desbideratze tipikoa aldatu egin dira. 2 42 40 , 5 86, (2,5 − 5,8)2 ⋅ 12 + ... + (9,5 − 5,8)2 ⋅ 4 40 232 40 2,5 ⋅ 12 + 6 ⋅ 14 + 8 ⋅ 10 + 9,5 ⋅ 4 40 2 4 40 , 5 8, (0 − 5,5)2 ⋅ 1 + ... + (10 − 5,5)2 ⋅ 2 40 1 + 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 6 + 6 ⋅ 8 + 7 ⋅ 6 + 8 ⋅ 4 + 9 ⋅ 2 + 10 ⋅ 2 40 052 ●● 413 13ERANTZUNAK Tartea [0, 5) [5, 7) [7, 9) [9, 10] Klase-marka 2,5 6,5 8,5 9,5 fi 12 14 10 4 Musika-gela 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 413
- 414. 414 Taulan, etxebizitzen hilekoalokairuen prezioak ageri dira. a) Zenbatekoa da batez besteko alokairua? b) Adierazi zer prezio ageri den gehien. c) Kalkulatu mediana. Zer esan nahi du? d) Kalkulatu bariantza eta desbideratze tipikoa. Zertarako dira zenbaki horiek? a) xෆ = = 326,31 € b) Gehien ageri den prezioa moda da: Mo = 300 €. c) Mediana Me = 330 € da eta prezio horren azpitik daude alokairuen erdiak. d) σ2 = € Zenbaki horiek datuen sakabanatzea ikusteko balio dute; kasu honetan, alokairu batzuen eta beste batzuen artean alde handia dagoen ikusteko, hau da, ea alokairuen prezioa homogeneoa den ala ez. Grafiko hauetatik abiatuta, egin maiztasun-taula, eta kalkulatu datuen batez bestekoa, mediana, moda eta desbideratze tipikoa. a) 054 ●● 302 673 71 187 . , = =1.618,58 40,23→ σ 61 020 187 . 053 ●● Estatistika 13 33 40 35 30 16 20 Prezioa (€) Etxebizitza kopurua 240 270 300 330 360 390 420 Prezioa (€) 240 270 300 330 360 390 420 fi 13 33 40 35 30 16 20 187 Fi 13 46 86 121 151 167 187 fi ⋅ xi 3.120 8.910 12.000 11.550 10.800 6.240 8.400 61.020 57.600,00 72.900,00 692,22 13,61 1.135,01 4.056,40 8.777,79 748.800,00 2.405.700,00 27.688,98 476,52 34.050,16 64.902,33 175.555,72 302.673,71 (xi − xෆ)2 fi ⋅ (xi − xෆ)2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 6 5 4 3 2 1 Y X 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 414
- 415. b) a) xෆ = =5,26 N = 27 denez, mediana 14. tokian dagoen balioa da → Me = 5. Moda hau da: Mo = 5. σ2 = = 6,41 σ = = 2,53 b) xෆ = = 12,25 Me = 12,5 Mo = 12,5 σ2 = = 1,27 σ = = 1,13 055 1 27, (10,5 − 12,25)2 ⋅ 5 + ... + (14,5 − 12,25)2 ⋅ 1 24 10,5 ⋅ 5 + ... + 14,5 ⋅ 1 24 6 41, (1 − 5,26)2 ⋅ 2 + ... + (10 − 5,26)2 ⋅ 1 27 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 6 + ... + 10 ⋅ 1 27 EGIN HONELA NOLA INTERPRETATZEN DIRA BATEZ BESTEKOA ETA DESBIDERATZE TIPIKOA BATERA? Saskibaloi-talde batek hegaleko bat behar du. Azken bost partidetan taulan adierazitako puntu kopurua lortu duten bi jokalariak aukeratu dira. Nor hautatuko zenuke? LEHENA. Batez bestekoa eta desbideratze tipikoa kalkulatu behar dira. BIGARRENA. Aurreko emaitzak aztertu behar dira. Batez bestekoak berdinak direnez, entrenatzaileak jokalari erregular bat nahi balu, A jokalaria aukeratuko luke (desbideratze tipiko txikiak antzeko datuak adierazten ditu). Baina pizgarri bat nahi izanez gero, B aukeratuko luke; izan ere, oso partida onak eta txarrak egiten ditu (desbideratze tipiko handiak datu desberdinak adierazten ditu). x BB B = = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 14 σ 7,56 jokalaria x AA A = = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 14 σ 1,09 jokalaria 415 13ERANTZUNAK X 10 11 12 13 14 15 10 8 6 4 2 Y xi fi 1 2 2 3 3 2 4 3 5 6 6 2 7 3 8 2 9 3 10 1 Tartea fi [10, 11) [11, 12) [12, 13) [13, 14) [14, 15) 5 3 10 5 1 xi 10,5 11,5 12,5 13,5 14,5 A jokalaria B jokalaria 16 25 14 10 13 8 13 6 14 21 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 415
- 416. 416 5 proba eginondoren taulan ageri diren emaitzak lortu dituzte bi ikaslek.≥ Alderatu bien errendimendua. Jon: batez bestekoa = 5, desbideratze tipikoa = 1,87. Ane: batez bestekoa = 5, desbideratze tipikoa = 4,18. Batez besteko bera izanda, Jon da konstanteena emaitzetan, desbideratze tipiko txikiena duelako. Lehen ebaluazioan, gela bateko 30 ikasleetatik, % 10ek dena gainditu zuen, % 20k irakasgai bat suspenditu zuen; % 50ek bi irakasgai suspenditu zituen, eta gainerakoek, bi baino gehiago. Egin maiztasun-taula, datu horiek erabiliz. Bi irakasgai baino gutxiago zenbat ikaslek suspenditu zituzten galderari erantzuteko maiztasunik ba al dago? Arrazoitu erantzuna. Bi irakasgai baino gutxiago suspenditutako ikasleak adierazteko 1en maiztasun absolutu metatua erabiltzen da; hau da, 9 ikasle. Lasterkari batek astelehenetik ostiralera egiten ditu entrenamenduak. 2, 5, 5, 7 eta 3 km egiten ditu, hurrenez hurren. Larunbatean ere entrenamendua egiten badu: a) Zenbat kilometro egin behar ditu batez bestekoa ez aldatzeko? b) Eta mediana ez aldatzeko? c) Eta moda ez aldatzeko? xෆ = . Mediana: 5. Moda: 5. a) Larunbatean 4,4 km egin behar ditu. b) 5 km edo handiagoa den edozein distantzia. c) 2, 3 edo 7 km ez den edozein distantzia. 2 5 5 7 3 5 + + + + = 4,4 058 ●● 057 ● 056 ●●● Estatistika Jon Ane 2 0 6 1 5 9 7 8 5 7 Gutxiegi kopurua fi hi 0 3 0,1 1 6 0,2 2 15 0,5 2 baino gehiago 6 0,2 Guztira 30 1 Fi 3 9 24 30 Hi 0,1 0,3 0,8 1 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 416
- 417. 417 13 Buruzko kalkuluko (BK)proba eta psikomotrizitate-proba (P) bana egin zaie ikasgela ≥bateko 28 ikasleei. Emaitza hauek lortu dira: a) Zer probatan lortu dituzte emaitza onenak (batez besteko handiena)? b) Zer probatan izan da sakabanatze handiena? (Erabili aldakuntza-koefizientea.) a) Batez bestekoak kalkulatuko ditugu: xෆBK = = xෆCM = = 34,64 xෆP = = xෆP = = 38,57 Psikomotrizitate-proban lortu dituzte emaitza onenak. b) σ2 BK = = σCM 2 = = 132,02 → σBK = 11,49 AK = → AK = = 0,332 σ2 P = = σP 2 = = 165,82 → σP = 12,87 → AK = = 0,334 Sakabanatzea ia bera izan da bi probetan. 12 galderako proba bati erantzun zioten 50 ikasleetatik, % 10ek zuzen erantzun zien 3 galderari; % 50ek, 7ri; % 30ek, 10i; eta gainerakoek, proba osoari. Kalkulatu datuen batez bestekoa, mediana eta moda. Kalkulatu desbideratze tipikoa. Lehendabizi, maiztasun-taula egingo dugu: xෆ = = 8 Mediana 25. eta 26º posizioetako balioen batez bestekoa da, N = 50 baita; kasu honetan, Me = 7. fi handiena duen balioa Mo = 7 da. σ2 = = 5,8 → σ = 2,4 (3 − 8)2 ⋅ 5 + ... + (12 − 8)2 ⋅ 5 50 3 ⋅ 5 + 7 ⋅ 25 + 10 ⋅ 15 + 12 ⋅ 5 50 060 ●● 12 87 38 57 , , 4 642 86 28 . , (15 − 38,57)2 ⋅ 1 + ... + (65 − 38,57)2 ⋅ 1 28 11 49 34 64 , , σ x 3 696 44 28 . , (15 − 34,64)2 ⋅ 2 + ... + (65 − 34,64)2 ⋅ 1 24 1 080 28 . 15 ⋅ 1 + 25 ⋅ 7 + 35 ⋅ 9 + 45 ⋅ 5 + 55 ⋅ 4 + 65 ⋅ 2 28 970 28 15 ⋅ 2 + 25 ⋅ 8 + 35 ⋅ 11 + 45 ⋅ 4 + 55 ⋅ 2 + 65 ⋅ 1 28 059 ●● ERANTZUNAK Puntu kopurua BK [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) 2 8 11 4 2 1 P 1 7 9 5 4 2 xi 3 7 10 12 fi %10 ⋅ 50 = 5 %50 ⋅ 50 = 25 %30 ⋅ 50 = 15 %10 ⋅ 50 = 5 908272 _ 0394-0421.qxd 28/9/07 13:12 Página 417
- 418. 418 Gestio-informatikan diplomadunek, lehenlanpostuan, 1.280 €-ko batez besteko soldata dute. Desbideratze tipikoa 380 €-koa da. Bestalde, sistemen informatikako diplomadunek 1.160 €-ko batez besteko soldata dute eta 350 €-ko desbideratze tipikoa. Gestio-informatikako diplomadun bati 1.400 €-ko soldata eskaini diote, eta sistemen informatikako diplomadun bati, 1.340 €-ko soldata: a) Nori egin diote eskaintza onena? b) Arrazoitu zergatik den hobea eskaintza bat. Erantzunak bistakoa dirudi, 1.400 > 1.340 baita. Beraz, itxuraz eskaintza onena gestio-informatikako diplomadunari egin diotena da. Hala ere, banako bakoitza zer populaziotakoa den aintzat hartuta alderatzeko, talde bakoitzeko batez besteko soldata eta sakabanatzea kontuan hartu beharko ditugu. Gestio-informatika: 1.400 € irabazten dituzte eta sakabanatzea 120 €-koa da taldeko batez bestekoaren gainetik (1.280 €). Desbideratzea (120 €) eta talde horretan ageri den sakabanatzea alderatuko ditugu: σ = 380, , eta zenbat eta handiagoa izan zenbaki hori orduan eta urrunago egongo da batez besteko soldatatik. Sistemen informatika: 1.340 € irabazten dituzte eta sakabanatzea 180 €-koa da taldeko batez bestekoaren gainetik (1.160 €). Desbideratzea (120 €) eta taldeko sakabanatzea alderatuko ditugu: σ = 340, . Beraz, eskaintza onena sistemen informatikako diplomadunari egin diotena da, 0,52 > 0,31 delako, eta horren ondorioz, egin dioten eskaintza gehiago urruntzen da taldeko batez besteko soldatatik. Zenbaki oso positibo desberdinek osatutako datu multzo baten batez bestekoa 47 da. Kontuan hartuta datu bat 97 dela eta datu guztien batura 329, zein da datu multzoan egon daitekeen zenbakirik handiena? da datu kopurua. Datu bat 97 denez, gainerakoek ahalik txikienak izan beharko dute: 1, 2, 3, 4 eta 5. Zazpigarren zenbakia hau da: 329 − (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 97) = 217. Beraz, 217 da egon daitekeen zenbakirik handiena. x N N= = = =47 329 329 47 7→ 062 ●●● 180 340 0 52= , 120 380 0 31= , 061 ●●● Estatistika 1.280 € 1.160 € 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 418
- 419. Datu multzo haudugu: 14 12 26 16 x Kalkulatu x, datuen mediana eta batez bestekoa berdinak izan daitezen. x 16 baino handiagoa bada, mediana 16 izango da, eta batez bestekoa 16 izatea nahi dugunez, bost gaien baturak 80 izan behar du. Beraz, x = 80 − (12 + 14 + 16 + 26) = 12. 12 ez denez 16 baino handiagoa, ezinezkoa da. x 15 bada, mediana 15 izango da, eta batez bestekoa 15 izatea nahi dugunez, bost gaien baturak 75 izan behar du. Beraz, x = 75 − (12 + 14 + 16 + 26) = 7; eta hori ezinezkoa da. x 14 baino txikiagoa bada, mediana 14 izango da, eta batez bestekoa 14 izatea nahi dugunez, bost gaien baturak 70 izan behar du. Beraz, x = 70 − (12 + 14 + 16 + 26) = 2. Eta 2 14 baino txikiagoa denez, ebazpena x = 2 da. Bost datuko multzo batean, batez bestekoa 10 da, eta mediana, 12. Zein da ibiltarteak har dezakeen baliorik txikiena? Mediana 12 denez, 12 edo handiagoak diren bi balio egon behar dute eta 12 edo txikiagoak diren beste bi balio. Eta ibiltartea minimoa izan dadin, bi balio handienek ahalik txikienak izan behar dute (mediana batez bestekoa baino handiagoa denez), eta beraz, 12 balioa izango dute. Bost gaien baturak 50 izan behar du eta hiru gairen batura 36 da. Beraz, beste bi gaien baturak 14 izan behar du. Ibiltartea minimoa izan dadin, balio txikienak ahalik handiena izan behar du, eta hori gertatzen da bi balio txikienak berdinak badira; beraz, 7 balioa izango dute. Balioak 7, 7, 12, 12, 12, 12 izango dira, eta ibiltartea, 5. 10, 2, 5, 2, 4, 2, x datu multzoaren batez bestekoa, mediana eta moda goranzko ordenan idazten baditugu, progresio aritmetiko bat lortuko dugu. Kalkulatu x aldagaiak har ditzakeen balio guztiak. Moda 2 da, edozein kasutan. x 2 baino txikiagoa bada, mediana 2 izango da; beraz, progresio aritmetikoa izateko, batez bestekoak ere 2 izan behar du, eta hori ezinezkoa da. x 3 bada, mediana 3 izango da; beraz, progresioa aritmetikoa izateko, batez bestekoak 2, 5 edo 4 izan behar du, eta hori ezinezkoa da. x 4 edo handiagoa bada, mediana 4 da; eta batez bestekoak 4 baino balio handiagoak hartzen dituenez, progresio aritmetikoa izateko, batez bestekoak 6 izan behar du. Beraz, gaien batura 36 da: x = 36 − (2 + 2 + 2 + 4 + 5 + 10) = 11. 065 ●●● 064 ●●● 063 ●●● 419 13ERANTZUNAK 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 419
- 420. 420 Zazpi datuko multzobat ordenatu ondoren, lehenengo lau datuak hartuz gero, batez bestekoa 5 izango da; baina azken lau datuak hartuz gero, batez bestekoa 8 izango da. Zenbaki guztien batez bestekoa bada, zenbatekoa da mediana? = x1 + x2 + x3 + x4 + x4 + x5 + x6 + x7 = = 46 + x4 → x4 = 12 Mediana 12 da. EGUNEROKOAN Ikasleen Matematikako errendimendua balioesten ari da Hezkuntza Saila. Hori dela-eta, iazko ikasturtean Bigarren Hezkuntzako ikasleek Matematikan izandako emaitzak erakusten dituen txostena egin du. Grafikoetan, txosten horren laburpena ikus daiteke. Sektore-diagrama egiteko, notarik handienak, OSO ONGI eta BIKAIN, bildu eta nota bakoitza lortu duten ikasleen ehunekoak sartu dira. Txostenaren arabera, NAHIKO nota atera duten ikasleak 28.413 izan dira. Grafikoei eta ehunekoei erreparatu, kalkulatu zenbat ikasle ebaluatu dituzten guztira eta zenbat ikaslek atera duten BIKAIN. Ikasle guztien % 35 28.413 badira → Guztira = ikasle Ongi eta nahiko lortu dutenen kopurua → ikasle Oso ongi lortu dutenen kopurua → ikasle Bikain lortu dutenen kopurua → ikasle 81 180 100 5 4 059 . .⋅ = 81 180 100 10 8 118 . .⋅ = 81 180 100 25 20 295 . .⋅ = 2 841 300 35 81 180 . . .= 067 ●●● x x x x x x x x 1 2 3 4 4 5 6 7 20 38 58 + + + = + + + = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ → x x x x x x x x= + + + + + + = 46 7 461 2 3 4 5 6 7→ 46 7 066 ●●● Estatistika GUT 35 30 25 20 15 10 5 % NAH ONG OSO BIK GUT NAH ONG OSO + BIK %15 %25 %35 %25 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 420
- 421. 421 13 Telebista-kate bateko ikuslekopuruaren araberakoa da kate horretan ematen den publizitatearen kostua. Horregatik, aldizka audientzia-indizeak jakinarazten dira. Audientzia-indize handieneko bi telebista-kateek urteko lehen lau hiletako emaitzak aurkeztu dituzte. Hona hemen zenbait komunikabidetan agertu diren grafikoak. Bi kateek gorakada handia izan dute, baina MIRO TELEBISTAko arduradunek diote haien telebistaren gorakada handiagoa izan dela. Zenbat ikusle irabazi ditu kate bakoitzak? Zer adierazpenek islatzen du ondoen egoera? Bi grafikoen eskalak desberdinak dira, eta horregatik dirudi MIRO TELEBISTAren gorakada handiagoa dela; dena den, FREE KATEA telebistako audientziaren gorakada 40.000koa da, gutxi gorabehera. Beste kateko audientziaren gorakada, berriz, txikiagoa da: 30.000 ikusentzule gehiago, gutxi gorabehera. Gorakada hobeto ikus daiteke MIRO TELEBISTAren grafikoan, eta adierazteko bi moduak baliozkoak diren arren, informazioa alderatzeko, eskala bera erabili behar genuke. 068 ●●● ERANTZUNAK 290 250 210 Urt. Ots. Mar. Api. MIRO TELEBISTAMilakoak 400 350 300 250 200 150 100 50 0 Urt. Ots. Mar. Api. FREE KATEA Milakoak Komunikabideetan argitaratutako grafikoetan ikus daitekeen moduan, Free Kateak baino gorakada handiagoa izan dugu. 908272 _ 0394-0421.qxd 20/9/07 16:15 Página 421
- 422. 422 Probabilitatea14 OINARRIZKO GERTAKARIAK GERTAKARI BATERAGARRIAK GERTAKARI BATERAEZINAK GERTAKARIAK ZENBAKI HANDIEN LEGEA LAPLACEREN ERREGELA ERAGIKETAK GERTAKARIEKIN PROBABILITATEA ZUHAITZ-DIAGRAMAK AUSAZKO ESPERIMENTUAK BILDURAREN PROBABILITATEA OSAGARRIAREN PROBABILITATEA LAGIN-ESPAZIOA 908272 _0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 422
- 423. Xake-mate! Europa kontinentaleko zorrozkeriapolitikotik eta erlijiosotik ihesi Kanala gurutzatu zuenetik, kafetegi hartan egon ohi zen: Slaughter’s Coffee House izenekoan. Bigarren etxea zuen Abraham de Moivre-k. Intelektualak biltzen ziren han eta ideiak defendatzen zituzten, armatzat arrazoia soilik erabiliz. Lokalean sartu berri ziren Newton eta Halley, Abraham de Moivreren lagunak, eta begiradaz hura bilatzen ari ziren. Atzealdeko mahai batean aurkitu zuten xakean jokatzen. Aurkaria urduri zegoen, eskua pieza batetik bestera zerabilen eta ezin zuen erabaki zer pieza mugitu. Pieza mugitu orduko Abrahamek oihu egin zuen: xake-mate! Jaiki eta lagunengana hurbildu zen. –Ez du inoiz ikasiko, xakean irabazteko zoriak zerikusia duela uste du oraindik eta egunen batean tokatuko zaiola. –Monsieur De Moivre –erantzun zuen Halleyk–, Probabilitate-ezagutzak dituzu zure alde, bai eta joko zoragarri horren ezagutza ere. Zure aurkariak zazpi mugimendu zituen aukeran, baina haietako biren ondoren soilik egin zenezakeen xake-mate. –Hala ere egin du eta nik irabazi dut –esan zuen De Moivrek, partidan jokatutako txanponak poltsikoan gordetzen ari zela. Zenbatekoa zen xake-mate egiteko probabilitatea? Eta ez egitekoa? 2 aukera zeuden 7tik, irabazteko; beraz, xake-mate egiteko probabilitatea zen. 5 aukera zeuden 7tik, mugimendua egin ondoren xake-mate ez egiteko; beraz, xake-mate ez egiteko probabilitatea zen. 5 7 2 7 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 423
- 424. 424 ARIKETAK Sailkatu esperimentu hauekausazkoetan eta deterministetan. a) Karta sorta batetik karta bat ateratzea. b) Litro bat merkurio pisatzea. c) Ikaskideei zenbaki bat esateko eskatzea. d) Hiru txanpon jaurti eta ateratako aurpegi kopurua idaztea. e) Bi zenbaki jakinen kenketa egitea. a), c) eta d) esperimentuak ausazkoak dira, eta b) eta e), deterministak. Poltsa batean, 3 koloretako 10 bola daude. Idatzi ausazko esperimentu bat eta esperimentu determinista bat. Ausazkoa: poltsatik bola bat ateratzea. Determinista: hiru bolaren pisua kalkulatzea. Proposatu ausazko bi esperimentu. Adierazi oinarrizko gertakariak eta bi gertakari konposatu. • 1. esperimentua: 1etik 10era arteko zenbaki bat esateko eskatzea. Oinarrizko gertakariak: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}. Gertakari konposatua: zenbaki bikoitia ateratzea. • 2. esperimentua: kiniela asmatzea. Oinarrizko gertakariak: {0}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11}, {12}, {13}, {14}. Gertakari konposatua: saria lortzeko behar den apustu kopura asmatzea. Airera bi txanpon jaurtitzeko ausazko esperimentuan, idatzi lor daitezkeen emaitza guztiak. a = aurpegia eta x = gurutzea badira, hona hemen zenbait emaitza: (a, a), (a, x), (x, a) eta (x, x). Txanpon bat eta sei aurpegiko dado bat jaurti ditugu. Zein da lagin-espazioa? Egin zuhaitz-diagrama bat, laguntzeko. E = {aurp. 1, aurp. 2, aurp. 3, aurp. 4, aurp. 5, aurp. 6, guru. 1, guru. 2, guru. 3, guru. 4, guru. 5, guru. 6} 005 004 003 002 001 Probabilitatea 1 aurp. guru. 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 424
- 425. 425 14 Zehaztu aurreko ariketakobi gertakari bateragarri eta bi gertakari bateraezin. Bateragarriak: gurutzea eta 3ren multiploa, gurutzea eta bikoitia. Bateraezinak: aurpegia eta bikoitia, gurutzea eta 3 baino txikiagoa. Ba al dago gainerako guztiekin bateraezina den gertakaririk? Eta bateragarria denik? Gainerako guztiekin bateraezina den gertakaria ezinezko gertakaria da, eta bateragarria, gertakari ziurra. Gertakari hauek ditugu: A = {1, 2, 3} eta B = {1, 3, 5}, Egin bilketa eta ebaketa. A ∪ B = {1, 2, 3, 5} A ∩ B = {1, 3} Karta sorta batetik karta bat ateratzeko esperimentuan, adierazi bildura eta ebakidura gisa gertakari hauek. a) «5 baino txikiagoa eta 2 baino handiagoa den zenbaki bat ateratzea». b) «Beltza eta bastoia ateratzea». c) «Batekoa ez ateratzea». a) {5 baino txikiagoa ateratzea} ∩ {2 baino handiagoa ateratzea} b) {Beltza ateratzea} ∩ {Bastoia ateratzea} c) {2 edo handiagoa ateratzea} ∪ {Beltza ateratzea} Beste aukera bat gertakari osagarria erabiltzea da: A = {Batekoa ateratzea} bada → A = {Batekoa ez ateratzea}. Karta bat atera dugu. Egin gertakari pareen bilketak eta ebaketak. a) A = «Urrea atera» eta B = «Kopa atera» b) C = «Batekoa atera» eta D = «Batekoa ez atera» c) F = «Bastoia atera» eta G = «Batekoa atera» a) A ∪ B = {Urrea edo kopa atera} → A ∩ B = ∅ b) C ∪ D = E → A ∩ B = ∅ c) F ∪ G = {Bastoia edo batekoa atera} → A ∩ B = {Bateko bastoia atera} Gerta al daiteke bi gertakariren bildura bi gertakarietako baten berdina izatea? Hala bada, zer gertatuko da ebakidurarekin? Bi gertakariren bildura bietako baten berdina da bata bestearen zati bada; kasu horretan, bi gertakarien bildura gertakari handiena da, eta ebakidura, txikiena. 011 010 009 008 007 006 ERANTZUNAK 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 425
- 426. 426 8 aurpegiko dadobat jaurtitzean, gertakari hauek izango ditugu kontuan. A = {2, 4, 5, 8} eta B = {1, 2, 3, 7} Kalkulatu: a) A ∪ B d) A ∪ B b) A ∩ B e) c) f) A ∩ B Zer hautematen da c) eta d) atalen emaitzetan? Eta e) eta f) atalen emaitzetan? a) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8} b) A ∩ B = {2} c) A,∩,B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8} d) A = {1, 3, 6, 7} B = {4, 5, 6, 8} → A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e) A,∪,B = {6} f) A ∩ B = {6} Hau betetzen da: A,∩,B = A ∪ B eta A,∪,B = A ∩ B. Demagun txanpon bat jaurtitzeko ausazko esperimentua. Kalkulatu lagin-espazioa eta ahalik gertakari gehienak, eta adierazi zein diren oinarrizkoak eta zein konposatuak. Kalkulatu gertakari horietako bakoitzaren osagarria. E = {aurp., guru.} A gertakaria B gertakariaren barne badago, zer gertatzen da gertakari horien osagarriekin? Aren osagarriaren barruan Bren osagarria egongo da. 2 dado jaurti eta ateratako bi zenbakien batuketa egingo dugu. Adierazi: a) Gertakari ziur bat. b) Ezinezko gertakari bat. Zer probabilitate izango dute bi gertakari horiek? a) Gertakari ziurra: «puntu bat baino gehiago ateratzea». Probabilitatea 1. b) Ezinezko gertakaria: «12 puntu baino gehiago ateratzea». Probabilitatea 0. Kutxa batean, 5 bola zuri eta 4 bola gorri daude. Idatzi: a) Ezinezko gertakari bat. b) Gertakari ziur bat. a) Ezinezko gertakaria: «Bola berdea ateratzea». b) Gertakari ziurra: «Bola urdina ez ateratzea». 016 015 014 013 A ∩ B A ∪ B 012 Probabilitatea Osagarria E {gurutzea} {aurpegia} ∅ Gertak. ∅ {aurp.} {guru.} E 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 426
- 427. 427 14 Txanpon bat jaurtitzekoausazko esperimentuan: a) Kalkulatu lagin-espazioa. b) Idatzi gertakari ziur bat eta ezinezko bat. c) Zer probabilitate emango zenioke «Aurpegia atera» gertakariari? Arrazoitu. a) E = {aurpegia, gurutzea} b) Ziurra: «Aurpegia edo gurutzea atera». Ezinezkoa: «bateko urrea atera». c) Txanpona ez badago trukatuta, aurpegia edo gurutzea ateratzeko probabilitatea bera da; beraz, P(Aurpegia atera) . Zeren berdina da gertakari ziur baten eta ezinezko baten bildura? Eta ebakidura? Kalkulatu probabilitateak. Bildura gertakari ziurra da, eta ebakidura, ezinezko gertakaria. P(gertakari ziurra) = 1 P(ezinezko gertakaria) = 0 Dado bat jaurtitzean, kalkulatu hau ateratzeko probabilitatea: a) 5en multiploa. f) Bikoitia eta 4ren zatitzailea. b) 2ren zatitzailea. g) 7ren multiploa. c) Zenbaki lehena. h) 10 baino txikiagoa. d) 3 zenbakia. i) Zenbaki bakoitia. e) 6ren zatitzailea. a) P(5en multiploa) = b) P(2ren zatitzailea) = c) P(zenbaki lehena) = d) P(3 zenbakia) = e) P(6ren zatitzailea) = f) P(bikoitia eta 4ren zatitzailea) = g) P(7ren multiploa) = h) P(10 baino txikiagoa) = i) P(zenbaki bakoitia) = 3 6 1 2 = 6 6 1= 0 6 0= 2 6 1 3 = 4 6 2 3 = 1 6 3 6 1 2 = 2 6 1 3 = 1 6 019 018 = 1 2 017 ERANTZUNAK 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 427
- 428. 428 Karta sorta batetikkarta bat atera dugu. Zenbatekoa da zalduna ateratzeko probabilitatea? Eta beltza ateratzekoa? Eta urrea? Eta kopakoa ez den txanka? P(zalduna) P(beltza) P(urrea) P(kopakoa ez den txanka) Kutxa batean, 5 bola hori eta 7 bola gorri daude. Zenbatekoa da bola hori bat ateratzeko probabilitatea? Eta bola gorria ateratzekoa? P(bola horia) P(bola gorria) Pentsatu oinarrizko gertakari guztiak ekiprobableak izan arren Laplaceren erregela aplikatzea ezinezkoa den esperimentu bat. Esate baterako, zuzen errealeko tarte bateko puntu bat aukeratzean, ezin da Laplaceren erregela aplikatu, kasu posibleen kopurua infinitua delako. Txanpon bat 85 aldiz jaurti eta 43 aurpegi atera dira. Zenbatekoa da «Gurutzea ateratzea» gertakariaren maiztasun erlatiboa? a) b) 42 c) d) 0,42 Aurpegiak 43 badira, gurutzeak 42 dira. Maiztasuna hau da: c) . 4 aurpegiko dado bat jaurti eta 1 aurpegia atera ez den aldi kopurua idatzi dugu. a) Egin maiztasun erlatiboen taula. b) Zer baliotarako joera du? c) Zer probabilitate emango zenioke? a) b) 0,25erako joera du. c) P(1 aurpegia ez ateratzea) = 1 4 024 42 85 42 85 43 85 023 022 = 7 12 = 5 12 021 = 3 40 = = 10 40 1 4 = = 12 40 3 10 = = 4 40 1 10 020 Probabilitatea Jaurtiketak fi hi 20 7 0,35 40 11 0,28 60 15 0,25 80 18 0,23 100 27 0,27 Jaurtiketak fi 20 7 40 11 60 15 80 18 100 27 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 428
- 429. Poltsa batean, 1etik5era arteko zenbakia duten bolak daude. Bola bat atera, emaitza idatzi eta bola poltsara itzuli 5.000 aldiz egin dugu. Hona hemen emaitzak: Kalkulatu 2ren multiploa lortzeko probabilitatea. Poltsan 100 bola badaude, zenbat dira mota bakoitzekoak? Arrazoitu erantzuna. P(bikoitia atera) Probabilitatea maiztasun erlatibora hurbiltzen denez, kasu posibleen kopurua 100 denean Laplaceren erregela aplikatuz gero, hau lortuko dugu: 1-24, 2-16, 3-14, 4-26, 5-20. Makina batek torlojuak egiten ditu. Zer egingo zenuke torloju bat ausaz aukeratu eta akastuna izateko probabilitatea kalkulatzeko? Torlojuen lagin bat ausaz hartu, akastunak zenbatu eta torloju akastunen kopurua laginaren neurriaz zatituko nuke. 2 dado jaurti eta puntuak batu ditugu. Kalkulatu batura hau izateko probabilitatea: a) 3 b) 10 baino handiagoa. c) 7 d) 4 edo 5 2 dado jaurtitzean, 36 konbinazio daude: E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (2, 6), (3, 1), ..., (3, 6), (4, 1), ..., (4, 6), (5, 1), ..., (5, 6), (6, 1), ..., (6, 6)} a) 2 konbinaziotan batura 3 da: (1, 2) eta (2, 1). b) 3 konbinaziotan batura 10 baino handiagoa da: (5, 6), (6, 5) eta (6, 6). c) 6 konbinaziotan batura 7 da: (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4) eta (4, 3). d) 7 konbinaziotan batura 4 edo 5 da: (2, 2), (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 3) eta (3, 2). P( )batura 4 edo 5 = 7 36 P( )batura 7 = = 6 36 1 6 P( )batura 10 baino handiagoa = = 3 36 1 12 P( )batura 3 = = 2 36 1 18 027 026 = + = 800 1 300 5 000 0 42 . . , 025 429 14ERANTZUNAK Bola fi 1 1.200 2 800 3 700 4 1.300 5 1.000 Bola fi hi 1 1.200 0,24 2 800 0,16 3 700 0,14 4 1.300 0,26 5 1.000 0,20 Guztira 5.000 1 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 429
- 430. 430 Karta sorta batetikkarta bat atera dugu. Kalkulatu hau izateko probabilitatea: a) Ezpata. c) Txanka edo urrea. b) Ezpata eta erregea. d) Beltza ez izatea. a) P(ezpata) c) P(txanka edo urrea) b) P(ezpata eta erregea) d) P(beltza ez) Kutxa batean, 4 bola zuri, 2 gorri eta 5 beltz daude. Kalkulatu honelako bola bat ateratzeko probabilitatea: a) Zuria. b) Gorria. c) Zuria edo beltza. a) P(zuria) c) P(zuria edo beltza) b) P(gorria) Ausazko esperimentu batean, P(B) = 0,2 da eta P(A ∪ B) = P(A). Bateraezinak al dira A eta B? Osagarriak al dira? P(A ∪ B) = P(A) denez, hau daukagu: P(A ∩ B) = P(B) = 0,2; beraz, A eta B ez dira ez bateraezinak ez osagarriak. ARIKETAK Sailkatu esperimentu hauek deterministetan eta ausazkoetan. a) Karta sorta batetik karta bat ateratzea. b) 3 eta 4 cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzenaren hipotenusa neurtzea. c) 3 txanpon jaurti eta aurpegi kopurua idaztea. d) Txintxeta bat jaurti eta nola geratzen den behatzea. e) Zirkuitu elektriko batean, bonbilla bat pizteko pultsadoreari sakatzea. f) Dominoko fitxa bat ausaz aukeratzea. g) Ikasgela baten altuera neurtzea. h) Harri bat amildegira jaurti eta azelerazioa neurtzea. i) Partida baten emaitza asmatzea, jokatu aurretik. Ausazkoak: a), c), d), f) eta i). Deterministak: b), e), g) eta h). Idatzi ausazko bi esperimentu eta ausazkoak ez diren beste bi. Arrazoitu erantzuna. Ausazkoak: ikasle baten pisua eta loterian aterako den zenbakia. Ausazkoak ez direnak: Haur Hezkuntzako 1. mailako ikasle baten adina eta Espainian adin-nagusitasunera zenbat urterekin iristen den. 032 ● 031 ● 030 = 2 11 = 9 11 = 4 11 029 = − = = 40 12 40 28 40 7 10 = 1 40 = + = 3 10 40 13 40 = = 10 40 1 4 028 Probabilitatea 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 430
- 431. 431 14 Idatzi ausazko esperimentuhauen lagin-espazioa. a) Karta sorta batetik karta bat ateratzea. b) Txintxeta bat jaurti eta nola erortzen den idaztea. c) 5 bola gorri, 3 urdin eta 2 berde dituen kutxa batetik bola bat ateratzea. d) 2 dado jaurti eta goiko aurpegien kenketa egitea. e) 2 dado jaurti eta goiko aurpegien biderketa egitea. f) Karta sorta bateko ezpatak hartu eta multzo horretako karta bat ateratzea. g) EBko herrialde bat ausaz aukeratzea. a) E = {bateko, biko, ..., errege urrea; bateko, biko, ..., errege kopa; bateko, biko, ..., errege ezpata; bateko, biko, ..., errege bastoia} b) E = {gora begira, behera begira} c) E = {gorria, urdina, berdea} d) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36} f) E = {batekoa, bikoa, ..., zazpikoa, txanka, zalduna, erregea} g) E = {Alemania, Austria, Belgika, Bulgaria, Zipre, Danimarka, Eslovakia, Eslovenia, Espainia, Estonia, Finlandia, Frantzia, Grezia, Hungaria, Irlanda, Italia, Letonia, Lituania, Luxenburgo, Malta, Herbehereak, Polonia, Portugal, Erresuma Batua, Txekiar Errepublika, Errumania, Suedia} 2 dado jaurti dira, bata gorria eta bestea urdina. Zein da esperimentu horren lagin-espazioa? E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (2, 6), (3, 1), ..., (3, 6), (4, 1), ..., (4, 6), (5, 1), ..., (5, 6), (6, 1), ..., (6, 6)} 2 dado jaurti eta bietan lortutako puntuak biderkatu ditugu. Zenbat emaitza lor daitezke? Deskribatu lagin-espazioa eta adierazi oinarrizkoak ez diren bi gertakari. 18 emaitza lor daitezke. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36} Oinarrizko gertakariak: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {8}, {9}, {10}, {12}, {15}, {16}, {18}, {20}, {24}, {25}, {30}, {36} Oinarrizkoak ez direnak: «Bikoitia», «20 baino txikiagoa». Dominoko fitxa bat ausaz aukeratu dugu. Adierazi zer elementuz osatuta dauden: a) Lagin-espazioa. b) A = «Batura 6 duen fitxa bat aukeratzea» c) B = «Zenbakien biderkadura 12 den fitxa bat aukeratzea» A eta B gertakariak bateragarriak ala bateraezinak dira? a) Dominoan ez dira bereizten (a, b) eta (b, a). E = {(0, 0), ..., (6, 6)} b) A = {(6, 0), (1, 5), (2, 4), (3, 3)} c) B = {(2, 6), (3, 4)} A ∩ B = ∅ → Bateraezinak dira. 036 ● 035 ● 034 ● 033 ● ERANTZUNAK 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 431
- 432. 432 3 txanpon jaurtiditugu. Idatzi gertakari hauek: A = «Gutxienez aurpegi bat ateratzea» eta B = «Aurpegi bakar bat ateratzea». Kalkulatu. a) A ∪ B b) A ∩ B c) A d) B A = {AAA, AA+, A+A, +AA, A++, +A+, ++A} B = {A++, +A+, ++A} a) A ∪ B = {AAA, AA+, A+A, +AA, A++, +A+, ++A} = A b) A ∩ B = {A++, +A+, ++A} = B c) = {+++} d) = {AAA, AA+, A+A, +AA, +++} Dominoko 28 fitxetako bat ausaz atera eta puntuen batuketa egin dugu. Idatzi gertakariak. a) A = «5en multiploa ateratzea» b) B = «Zenbaki bikoitia ateratzea» Kalkulatu: A ∪ B, A ∩ B, A eta B, A ∪ A, B ∩ B. a) A = {5, 10} b) B = {2, 4, 6, 8, 10, 12} A ∪ B = {2, 4, 5, 6, 8, 10, 12} A ∩ B = {10} = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12} = {0, 1, 3, 5, 7, 9, 11} A ∪ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} ∩ B = ∅ Loteria-ontzi batean, 1etik 15era arteko zenbakiak dituzten 15 bola daude eta bat atera dugu. Idatzi gertakari hauen elementuak. a) 3ren multiploa. d) 3 baino handiagoa eta 8 baino txikiagoa. b) 2ren multiploa. e) Zenbaki bakoitia. c) 4 baino handiagoa. Idatzi bakoitzaren gertakari bateragarri eta bateraezin bat, bai eta gertakari bakoitzaren aurkako gertakaria ere. a) A = {3, 6, 9, 12, 15} Gertakari bateragarria ⎯→ «12 baino handiagoa ateratzea» Gertakari bateraezina ⎯→ «3 baino txikiagoa ateratzea» = «Ez da 3ren multiploa» = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14} b) B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} Gertakari bateragarria ⎯→ «3ren multiploa ateratzea» Gertakari bateraezina ⎯→ «2 baino txikiagoa ateratzea» = «Bikoitia ez izatea» = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}B A 039 ●● B A B A 038 ●● B A 037 ●● Probabilitatea 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 432
- 433. 433 14 c) C ={5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} Gertakari bateragarria ⎯→ «7ren multiploa ateratzea» Gertakari bateraezina ⎯→ «3 baino txikiagoa ateratzea» = «4 edo txikiagoa» = {1, 2, 3, 4} d) D = {4, 5, 6, 7} Gertakari bateragarria ⎯→ «5en multiploa ateratzea» Gertakari bateraezina ⎯→ «12 baino handiagoa ateratzea» = {1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} e) E = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} Gertakari bateragarria ⎯→ «7ren multiploa ateratzea» Gertakari bateraezina ⎯⎯→ «Bikoitia eta 10 baino handiagoa ateratzea» = «Bakoitia ez izatea» = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} 6 aurpegiko dado bat jaurtitzean, A = {2, 4} eta B = {1, 2, 3}. Kalkulatu. a) A ∩ B c) Bateragarriak al dira A eta B? b) A ∪ B d) Gertakari hauen aurkakoak A, B, A ∩ B eta A ∪ B. Gertakari horien artean, aurkitu bi gertakari bateragarri, bi gertakari bateraezin eta aurkako bi gertakari. a) A ∩ B = {2} b) A ∪ B = {1, 2, 3, 4} c) A ∩ B ∅ → Bateragarriak dira. d) = {1, 3, 5, 6} = {4, 5, 6} A,∩,B = {1, 3, 4, 5, 6} A,∪,B = {5, 6} A eta B bateragarriak dira → A ∩ B ∅ A ∩ B eta bateraezinak dira → (A ∩ B) ∩ = ∅ A eta aurkakoak dira. 6 aurpegiko dado bat jaurti eta A = {1, 3, 5, 6}, B = {1, 2, 4, 5} eta C = {3, 4} gertakariak hartu ditugun kontuan. Kalkulatu. a) A d) A ∪ B g) b) B e) A ∩ B h) A ∩ B c) C f) B ∪ C i) A ∪ B a) = {2, 4} f) B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5} b) = {3, 6} g) A,∪,B = ∅ c) = {1, 2, 5, 6} h) ∩ = ∅ d) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E i) ∪ = {2, 3, 4, 6} e) A ∩ B = {1, 5} BA BAC B A A ∪ B 041 ●● A BB BA 040 ● E D C ERANTZUNAK 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 433
- 434. 434 Karta sorta batetikbi karta atera ditugu.Hona hemen ezinezko gertakari bat: a) «Bi urre ateratzea» b) «Kopako bi zaldun ateratzea» c) «Palo desberdineko bi karta ateratzea» d) «Palo bereko bi beltz berdin ateratzea» Bi ezinezko gertakari daude: b) «Kopako bi zaldun ateratzea» eta d) «Palo bereko bi beltz berdin ateratzea». Beraz, bi kartek ezin dute berdinak izan. Dado bat jaurtitzean, beheko gertakariak hartu ditugu kontuan. Ordenatu gertakariak probabilitate txikienetik handienera a) «Zenbaki bakoitia» b) «5 edo handiagoa» c) «7 baino txikiagoa» d) «7 baino handiagoa» P(d) = 0 < P(b) < P(a) < P(c) = 1 40 kartako sortatik karta bat atera da. Kalkulatu gertakari hauen probabilitateak: a) A = «Urrea ateratzea» b) B = «Errege urrea ateratzea» c) C = «Ezpata edo kopa ateratzea» a) P(A) = b) P(B) = c) P(C) = Dado bat jaurti eta aurpegi guztietako puntuak batu ditugu, goikoak izan ezik. Kalkulatu lagin-espazioa eta 3ren multiploa ateratzeko probabilitatea. E = {15, 16, 17, 18, 19, 20} P(3ren multiploa) = = 0,3 ) Partxisean, dadoa trukatu da, 5 ateratzeko probabilitatea beste edozein ateratzeko probabilitatearen boskoitza izan dadin. Zein esaldi da zuzena? 046 ●● 2 6 1 3 = 045 ●● 20 40 0 5= , 1 40 0 025= , 10 40 0 25= , 044 ● 043 ● 042 ● Probabilitatea 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 434
- 435. 435 14 a) P(5 aurpegia)c) P(5 aurpegia) b) P(5 aurpegia) d) P(1 aurpegia) Probabilitateen batura 1 denez, 5 ez den aurpegi bat ateratzeko probabilitatea x bada eta 5 ateratzekoa 5x bada: x + x + x + x + x + 5x = 1 → x = 0,1 eta 5x = 0,5. Beraz, erantzuna b) da P(aurpegia 5) = . Aurreko dadoaren kasuan, aurpegi bakoitia ateratzeko probabilitatea hau da: a) b) c) d) P(bakoitia) = P({1, 3, 5}) = P(1) + P(3) + P(5) = 0,7. Erantzuna d) da. Txintxeta bat jaurtitzean, punta gora ala behera begira duela eror daiteke. a) Ausazko esperimentua ala determinista da? b) Zein dira oinarrizko gertakariak? c) Gertakari ekiprobableak al dira? a) Ausazkoa da. b) Oinarrizko gertakariak «Punta gora begira» eta «Punta behera begira» dira. c) Ez dira ekiprobableak, punta behera begira gertakariaren probabilitatea handiagoa baita. Aurreko ariketako oinarrizko gertakariak ekiprobableak diren ala ez jakiteko, egin esperimentua 100 aldiz (hartu 10 txintxeta eta jaurti 10 aldiz). Handiagoa al da «Punta gora begira» gertakariaren maiztasun erlatiboa? Alderatu zure emaitza eta zure ikaskideek lortutakoak, eta idatzi taula batean emaitza guztiak. «Punta behera begira» gertakariaren maiztasun erlatiboa handiagoa da. 049 ● 048 ● 7 10 7 10 7 6 3 10 1 2 047 ●● 1 2 = 1 6 = 1 2 = 5 6 = 2 3 ERANTZUNAK 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 435
- 436. 436 Loteria-ontzi batean, 0tik9ra arteko zenbakiak dituzten 10 bola daude. Bola bat atera eta berriro gorde dugu, 100 aldiz. Emaitzak hauek dira: A = «3ren multiploa», B = «Zenbaki bakoitia» eta C = «6ren zatitzailea» ditugu. Kalkulatu: a) A, B eta C-ren maiztasun erlatiboa. b) A ∪ B, A ∩ B eta A ∪ C-ren maiztasun erlatiboa. Zer probabilitate emango zenioke gertakariei? A = {3, 6, 9} B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {1, 2, 3, 6} a) A-ren maiztasuna = 12 + 12 + 11 = 35 B-ren maiztasuna = 13 + 12 + 10 + 6 + 11 = 52 C-ren maiztasuna = 13 + 11 + 12 + 12 = 48 b) A ∪ B-ren maiztasuna = 13 + 11 + 12 + 10 + 12 + 6 + 11 = 75 A ∩ B-ren maiztasuna = 12 + 11 = 23 A ∪ C-ren maiztasuna = 13 + 11 + 12 +12 + 11 = 59 Tetraedro formako dado bat 100 aldiz jaurti eta ezkutuan geratu den aurpegia idatzi dugu. Hau lortu dugu: Kalkulatu gertakari hauen maiztasun erlatiboak: a) 3ren multiploa. c) 1 baino handiagoa. b) 2ren multiploa. d) 1 baino txikiagoa. Zer probabilitate emango zenioke gertakari horietako bakoitzari? a) Maiztasuna 30 → P = 0,3 ) b) Maiztasuna 22 + 20 = 42 → P = c) Maiztasuna 22 + 30 + 20 = 72 → P = d) Maiztasuna 0 → P = 0 72 100 = 0,72 42 100 0 42= , 30 100 = 051 ●● P A C( ) ,∪ = = 59 100 0 59P A B( ) ,∩ = = 23 100 0 23P A B( ) ,∪ = = 75 100 0 75 P C( ) ,= = 48 100 0 48P B( ) ,= = 52 100 0 52P A( ) ,= = 35 100 0 35 050 ●● Probabilitatea Aurp. fi 1 28 2 22 3 30 4 20 Bola fi 0 7 1 13 2 11 3 12 4 8 5 10 6 12 7 6 8 10 9 11 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 436
- 437. 4 txanpon berdinjaurti ditugu. a) Zer probabilitate du 4 aurpegi ateratzeak? b) Eta bakar bat ere ez ateratzeak? c) Zerk du probabilitate handiena, 2 aurpegi ala gutxienez 3 gurutze lortzeak? Oinarrizko 16 gertakari ekiprobable daude. a) P(4 aurpegi) = b) P(0 aurpegi) = P(4 gurutze) = c) «2 aurpegi ateratzea» = {AA++, A+A+, A++A,+AA+, +A+A, ++AA} P(2 aurpegi) = «Gutxienez 3 gurutze lortzea» = {+++A, ++A+, +A++, A+++, ++++} P(gutxienez 3 gurutze) = . 2 aurpegi lortzeko probabilitatea gutxienez 3 gurutze lortzekoa baino handiagoa da. 5 16 0 3125= , 6 16 0 375= , 1 16 0 0625= , 1 16 0 0625= , 053 ●● 052 EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DIRA PROBABILITATEAK ZUHAITZ-DIAGRAMA BATEN LAGUNTZAZ? Hiru txanpon jaurti ditugu. Kalkulatu gertakari hauen probabilitateak. A = «3 aurpegi ateratzea» D = «Gurutze bat ateratzea» B = «2 aurpegi ateratzea» E = «Gehienez aurpegi bat ateratzea» C = «Aurpegi bat ere ez ateratzea» F = «Aurpegi bat baino gehiago» LEHENA. Zuhaitz-diagramaren teknika aplikatu behar da, oinarrizko gertakariak lortzeko. A AAA A X AAX A A AXA X X AXX A XAA A X XAX X A XXA X X XXX E = {AAA, AAX, AXA, AXX, XAA, XAX, XXA, XXX} BIGARRENA. Probabilitateak kalkulatu behar dira, Laplaceren erregela erabiliz. P(A) P(C) P(E) P(B) P(D) P(F) = = 4 8 1 2 = 3 8 = 3 8 = = 4 8 1 2 = 1 8 = 1 8 Emaitza3. txanpona2. txanpona1. txanpona 437 14ERANTZUNAK ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 437
- 438. 438 Test motako azterketabatek 5 galdera ditu, eta galdera horietako bakoitzak, 3 erantzun posible. a) Kalkulatu 3 galdera asmatzeko probabilitatea, ausaz erantzunez gero. b) Azterketa gainditzeko gutxienez 3 galderari ongi erantzun behar bazaie, kalkulatu azterketa gainditzeko eta suspenditzeko probabilitateak. P(galdera bat asmatzea) = P(galdera bat ez asmatzea) = a) «3 galdera asmatzea» = {AAAEE, AAEAE, AAEEA, AEAAE, AEAEA, AEEAA, EAAAE, EAAEA, EAEAA, EEAAA} P(oinarrizko gertakaria) P(3 galdera asmatzea) b) «4 galdera asmatzea» = {AAAAE, AAAEA, AAEAA, AEAAA, EAAAA} P(oinarrizko gertakaria) P(4 galdera asmatzea) «5 galdera asmatzea» = {AAAAA} P(5 galdera asmatzea) P(gainditzea) = P(suspenditzea) = 1 − P(gainditzea) = Gertakari baten probabilitatea 0,2 da. Zer probabilitate du aurkako gertakariak? P(A) = 1 − 0,2 = 0,8 Dado batean, P(1) = P(2) = P(3) = 0,14 eta P(4) = P(5) = P(6) = x. Zer balio du x-k? Dado trukatu batean, hauek dira aurpegi bakoitza ateratzeko probabilitateak: P(4) = 2P(5) bada, zenbatekoak dira a eta b? a = 2b → 0,1 + 0,1 + 0,1 + 2b + b + 0,4 = 1 → b = 0,1 eta a = 0,2 057 ●● 3 7 3 1 4 21 + = =x x→ 056 ●● 055 ● 1 51 243 192 243 − = 1 10 40 243 51 243 + + = = 1 243 = ⋅ =5 2 243 10 243 = 2 243 = ⋅ =10 4 243 40 243 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 4 243 2 3 1 3 054 ●●● Probabilitatea Aurp. fi 1 0,1 2 0,1 3 0,1 4 a 5 b 6 0,4 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 438
- 439. Karta sorta batetikkarta bat atera dugu. Kalkulatu probabilitateak: a) Zalduna izatea. b) Beltza ez izatea. c) Urrea edo bastoia ez izatea. d) Errege urrea edo errege ezpata izatea. a) P(zalduna) = b) P(beltza) = c) P(ez urrea ez bastoia) = d) P(errege urrea edo errege ezpata) = 1etik 30era arteko zenbaki bat aukeratu dugu ausaz. Gertakari hauek ditugu: A = «14 edo txikiagoa den zenbaki bikoitia», B = «10 edo txikiagoa den 3ren multiploa» eta C = «10en multiploa». Kalkulatu probabilitateak: a) A ∪ B c) A ∪ B e) B ∩ C b) A ∪ C d) C ∪ B f) A ∩ B A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} B = {3, 6, 9} C = {10, 20, 30} a) A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14} P(A ∪ B) = 0,3 b) A ∪ C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 20, 30} P(A ∪ C) = 0,3 c) A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30} P(A ∪ B) = d) C ∪ B = B ∪ C = {3, 6, 9, 10, 20, 30} P(C ∪ B) = e) B ∩ C = ∅ → P(B ∩ C) = 0 f) A ∩ B = {3, 9} → P(A ∩ B) = 2 30 0 06= , 6 30 0 2= , 28 30 0 93= , 059 ●● 2 40 1 20 0 05= = , 20 40 1 2 0 5= = , 12 40 3 10 0 3 1 0 3 0 7= = = − =, ( , ,→ P beltza ez) 4 40 1 10 0 1= = , 058 ●● 439 14ERANTZUNAK 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 439
- 440. 440 Kutxa batean, 1etik100era arteko zenbakiak dituzten 100 bola daude. n zenbakia duen bola atera eta gertakari hauek definitu ditugu. A = «n 5en multiploa da» D = «n 10ez zatigarria da» B = «n 3ren multiploa da» E = «n 1ez zatigarria da» C = «n 2z zatigarria da» a) Oinarrizko zenbat gertakari ditu gertakari bakoitzak? Zer probabilitate du bakoitzak? b) Ba al daude bi gertakari bateraezin? c) Eta bi gertakari bateragarri? Eta bi aurkako? d) Kalkulatu A ∩ B, B ∪ C eta D-ren probabilitatea. a) A = 20 ⎯→ P(A) = 0,2 B = 33 ⎯→ P(B) = 0,33 C = 50 ⎯→ P(C) = 0,5 D = 10 ⎯→ P(D) = 0,1 E = 100 → P(E) = 1 b) Ez daude. c) Bateragarriak diren pare guztiak. Ez dago aurkako gertakaririk. d) P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) = 0,2 ⋅ 0,33 = 0,6 P(B ∪ C) = P(B) + P(C) − P(B ∩ C) = 0,33 + 0,5 − 0,165 = 0,665 P(D) = 0,1 Joko batean, bi dado jaurti eta 11 edo 7 atera behar da, irabazteko. a) Deskribatu esperimentu horren lagin-espazioa. b) Kalkulatu irabazteko probabilitatea. a) E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (2, 6), (3, 1), ..., (3, 6), (4, 1), ..., (4, 6), (5, 1), ..., (5, 6), (6, 1), ..., (6, 6)} b) P(7 edo 11) = Bazkari batean, 28 gizon eta 32 emakume daude. 16 gizonek eta 20 emakumek okela eskatu dute, eta gainerakoek, arraina. Lagun bat ausaz hartuta, kalkulatu gertakari hauen probabilitatea: 062 ●● 8 36 4 9 = 061 ●●● 060 ●● Probabilitatea 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 440
- 441. 441 14 a) Gizona izatea. b)Arraina jatea. c) Gizona izan eta arraina jatea. a) P(gizona) = b) P(arraina) = c) P(gizona eta arraina) = Haurtzaindegi batean, 20 mutil eta 16 neska daude. Mutilen erdia eta nesken hiru laurdena beltzaranak dira, eta gainerakoak, ilehoriak. Bat ausaz aukeratuta, zenbatekoa da mutila edo beltzarana izateko probabilitatea? Mutilak → beltzaranak = 10, ilehoriak = 10 Neskak → beltzaranak = ⋅ 16 = 12, ilehoriak = 4 P(mutila edo beltzarana) = P(mutila) + P(beltzarana) − P(mutila eta beltzarana) P(mutila edo beltzarana) = Hiri batean, biztanleen % 30ek A egunkaria irakurtzen du; % 20k, B egunkaria; eta % 7k, bi egunkariak. a) Lagun bat ausaz aukeratuta, zenbatekoa da bi egunkarietako bat irakurtzeko probabilitatea? b) Eta bakar bat ere ez irakurtzeko probabilitatea? Eta bat irakurtzekoa? a) P(A edo B) = P(A) + P (B) − P(A eta B) P(A edo B) = 0,3 + 0,2 − 0,07 = 0,43 b) P(ez A eta ez B) = 1 − P(A edo B) P(ez A eta ez B) = 1 − 0,43 = 0,57 P(bat bakarrik) = 1 − [P(A eta B) + P(bat ere ez)] P(bat bakarrik) = 1 − [0,07 + 0,57] = 1 − 0,64 = 0,36 064 ●●● 20 36 22 36 10 36 32 36 0 89+ − = = , 3 4 063 ●● 12 60 1 5 0 2= = , 24 60 2 5 0 4= = , 28 60 7 15 0 46= = , ERANTZUNAK Okela Gizonak Emakumeak Guztira Arraina Guztira 16 12 28 20 12 32 36 24 60 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 441
- 442. 442 Koldok eta Jonekgela txukundu behar dute. Koldok 3 bola gorri, 2 berde eta 1 urdin sartu ditu poltsa batean, eta bat ateratzeko esan dio Joni. Ateratako bola gorria bada, Jonek txukunduko du gela, eta urdina bada, Koldok. a) Zer probabilitate du bola bakoitzak? b) Bidezkoa al da Koldok proposatutakoa? c) Jonek ez du onartu eta hau proposatu du: gorria bada, Jonek txukunduko du, eta urdina edo berdea bada, Koldok. Bidezkoa al da? Zergatik? a) P(gorria) = P(urdina) = b) Ez, Joni tokatzeko probabilitatea hirukoitza baita. c) Bai; izan ere, P(urdina edo berdea) = 0,5 = P(gorria). Ate baten 3 sarrailak zabaltzen dituzten 3 giltzak ditut, baina ez dakit zein den sarraila bakoitzeko giltza. Zenbatekoa da lehen saiakeran konbinazio egokia asmatzeko probabilitatea? Eta 3 giltza eta soilik 2 sarraila balira? (Giltza batek ez du sarrailarik irekitzen.) Hiru giltza baditut, E = {123, 132, 213, 231, 312, 321}. Seietako bat bakarrik da konbinazio egokia: P(lehenengoan asmatzea) = . Bi giltza baditut: E = {12, 13, 21, 23, 31, 32}. Seietako bat bakarrik da konbinazio egokia: P(lehenengoan asmatzea) = . Paula denda batera joaten da astean bitan eta Jonek denda horretan egiten du lan astean 4 egunetan. Ostirala bada bietako inor joaten ez den egun bakarra, zenbatekoa da bi egunetan dendan elkar ikusteko probabilitatea? (Denda igandeetan itxi egiten da.) Jonek bost egunetatik lautan bakarrik lan egiten duenez (astelehena, asteartea, asteazkena, osteguna eta larunbata), egun batean bakarrik ez du lanik egiten; beraz, gutxienez egun batean ikusten dute elkar. «Egun batean elkar ikusi» gertakaria Jonek jai izan eta Paulak lan egitea da, eta probabilitate hau du: (aldeko kasuak = 2 egun, kasu posibleak = 5 egun). «Bi egunetan elkar ikusi» gertakaria «Egun batean elkar ikusi» gertakariaren aurkakoa da; probabilitate hau du: 1 − 0,4 = 0,6. 2 5 0 4= , 067 ●●● 1 6 1 6 066 ●●● 1 6 0 16= , 3 6 1 2 0 5= = , 065 ●● Probabilitatea 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 442
- 443. 443 14 Hiru lagunek garbiketanork egin erabaki behar dute. Luzera desberdineko hiru makila hartu, altuera bera erakusten dutela estali eta bakoitzak bat aukeratu behar du. Motzena hartzen duenak galduko du. Zergatik ez dute eztabaidatzen nork aukeratuko duen lehendabizi? A = «Lehen lagunak makilarik motzena hartzea» B = «Bigarren lagunak makilarik motzena hartzea» C = «Hirugarren lagunak makilarik motzena hartzea» Bateraezinak dira. Beraz, gertakari bakoitza beste bien gertakari osagarriaren barruan dago. P(A) = P(A ∩ B) = P(B) = P(A ∩ B ∩ C) = P(C) = Beraz, hirurek probabilitate bera daukate makilarik motzena hartzeko. Nadal Federer baino hobea da lur gainean eta Federerri set bat irabazteko probabilitatea 3/5 da. Nekeak berdin eragiten badie biei, azaldu zergatik nahiago duen Nadalek 5 seteko partida jokatu 3koa baino. Kasu bakoitzeko irabazteko maiztasuna kontuan hartuta, zuhaitz-diagrama egingo dugu. 069 ●●● 1 3 1 3 1 3 068 ●●● ERANTZUNAK Nadal garaile 27/125 Nadal garaile 18/125 Nadal garaile 18/25 Federer garaile 12/125 Nadal garaile 18/25 Federer garaile 12/125 Federer garaile 12/125 Federer garaile 8/125 N 9/25en 3/5N 3/5en 3/5 N 3/5 F 2/5 F 3/5en 2/5 N 2/5en 3/5 F 2/5en 2/5 F 9/25en 2/5 N 6/25en 3/5 F 6/25en 2/5 N 6/25en 3/5 F 6/25en 2/5 N 4/25en 3/5 F 4/25en 2/5 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 443
- 444. 444 Nadal garaile izatekoprobabilitatea hau da: Beraz, 5 setetan garaile izateko Nadalen probabilitatea da handiena. P( )Nadal = + + + + + + + +243 162 162 162 108 162 108 108 1622 108 108 108 162 108 108 108 108 3 125 2 + + + + + + + + + = = . .. . , 295 3 125 0 73= P( )Nadal 0,65= + + + = = 27 125 18 125 18 125 18 125 81 125 Probabilitatea N → Nadal garaile 243/3.125N 27/125en 3/5N 9/25en3/5 F 9/25en 2/5 N 6/25en 3/5 F 6/25en 2/5 N 6/25en 3/5 F 6/25en 2/5 F 2/5 N 4/25en 3/5 F 4/25en 2/5 N 3/5en 3/5 N 3/5 F 3/5en 2/5 N 2/5en 3/5 F 2/5en 2/5 F ⎯→ Nadal garaile 162/3.125 N → Nadal garaile 162/3.125 F ⎯→ Nadal garaile 108/3.125 N → Nadal garaile 162/3.125 F ⎯→ Nadal garaile 108/3.125 N → Nadal garaile 108/3.125 F ⎯→ Federer garaile N → Nadal garaile 162/3.125 F ⎯→ Nadal garaile 108/3.125 N → Nadal garaile 108/3.125 F ⎯→ Federer garaile N → Nadal garaile 108/3.125 F ⎯→ Federer garaile N → Federer garaile F ⎯→ Federer garaile N → Nadal garaile 108/3.125 F ⎯→ Nadal garaile 108/3.125 N → Nadal garaile 108/3.125 F ⎯→ Federer garaile N → Nadal garaile 108/3.125 F ⎯→ Federer garaile N → Federer garaile F ⎯→ Federer garaile N → Nadal garaile 108/3.125 F ⎯→ Federer garaile N → Federer garaile F ⎯→ Federer garaile N → Federer garaile F ⎯→ Federer garaile N → Federer garaile F ⎯→ Federer garaile 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 444
- 445. 445 14 Poltsikoan, 20 zentimokobi txanpon, 10 zentimoko bi eta 5 zentimoko beste bi ditut. Bi txanpon ausaz ateraz gero, zenbatekoa da 20 zentimo baino gehiago hartzeko probabilitatea? Bi txanpon ateratzearen zuhaitz-diagrama egingo dugu: Bi txanponekin gutxienez 20 zentimo hartzeko probabilitatea hau da: 23 ikasleko gela batean, tutorea ikasleen fitxak begiratzen ari da eta bi ikasleren urtebetetzea hil bereko egun berean dela ohartu da. Matematikako irakasleari jakinarazi dio eta hori aurkakoa baino arruntagoa dela esan dio; hau da, kointzidentziarik ez egotea baino arruntagoa dela. Egiaztatu Matematikako irakasleak arrazoi duela. Bi ikasle badira, jaiotze-data bera ez izateko probabilitatea hau da: . Hiru ikaslek jaiotze-data bera ez izateko probabilitatea: . Lau ikasleren probabilitatea: . Beraz, 23 ikaslek jaiotze-data desberdina izateko probabilitatea hau da: . Kointzidentziaren bat izateko probabilitatea 0,54 da; beraz, probabilitatea handiagoa da. 342 343 363 364 365 0 4622 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ... , 363 364 365 362 365 362 363 364 3652 3 ⋅ = ⋅ ⋅ en 364 365 363 365 363 364 3652 en = ⋅ 364 365 071 ●●● P( )> = + + + + + = =20 2 4 4 4 2 4 30 20 30 2 3 zent. 070 ●●● ERANTZUNAK 20 zent. 2/6en 1/5 10 zent. 2/6en 2/5 5 zent. 2/6en 2/5 20 zent. 2/6en 2/5 10 zent. 2/6en 1/5 5 zent. 2/6en 2/5 20 zent. 2/6en 2/5 10 zent. 2/6en 2/5 20 zent. 2/6 10 zent. 2/6 5 zent. 2/6 5 zent. 2/6en 1/5 40 zent. → 2/30 GuztiraBigarren txanponaLehen txanpona 30 zent. → 4/30 25 zent. → 4/30 30 zent. → 4/30 20 zent. → 2/30 15 zent. → 4/30 25 zent. → 4/30 15 zent. → 4/30 10 zent. → 2/30 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 445
- 446. 446 EGUNEROKOAN Ikastetxeko kultura-astea dela-eta, dardo-txapelketa antolatuda. Zenbait kanporaketa egin ondoren, Ane, Xabier, Nekane eta ni iritsi gara finalera. Jokatutako partiden informazioa idatziz jaso dut: nork jokatu dugun eta nor izan den irabazlea. Finala liga bat da eta denok denon aurka jokatu behar dugu. Garaipen bakoitzak 1 puntu emango dio irabazleari, eta 0 puntu, galtzaileari. Liga amaitzean, puntu gehien lortu dituen jokalariak irabaziko du. Idatzita ditudan datuen arabera, zenbatekoa da txapelketa nik irabazteko probabilitatea? Eta galtzekoa? Irabazteko bakarka puntu gehien lortu behar badira, berdinketarik gabe, hiru garaipen lortu behar dira nahitaez; izan ere, bi soilik irabaziz gero, ligako beste lau partidetan beti egongo da gutxienez bi partida irabazi dituen jokalari bat, eta beraz, berdindu egingo lukete. Hiru partidak irabazteko probabilitatea, zuhaitz-diagramaren bidez adierazita: Txapelketa irabazteko probabilitatea: . Bestalde, galtzeko puntu gutxien lortu behar direla aintzat hartuta, aukera bakarra partida guztiak galtzea da; izan ere, gainerako bost partidetako bat irabaziz gero, ezinezkoa da jokalari guztiek bi partida irabaztea. Hiru partidak galtzeko probabilitatea, zuhaitz-diagramaren bidez adierazita: Txapelketa galtzeko probabilitatea: . 63 2 728 0 02 . ,= 35 186 0 18= , 072 ●●● Probabilitatea Jokatutako partidak Jokatutako partidak Anek irabazitakoak Jokatutako partidak Xabierrek irabazitakoak Ane 36 22 Xabier 44 35 Nekane 31 12 Xabier 27 16 Nekane 29 13 Nekane 32 9 Ni hauen kontra: Ane hauen kontra: Xabier honen kontra: Aneri irabazi Xabierri irabazi Nekaneri irabazi 22/36 = 11/18 11/18en 35/44 = 35/72 35/72en 12/31 = 35/186 Aneren aurka galdu Xabierren aurka galdu Nekaneren aurka galdu 14/36 = 7/18 7/18en 9/44 = 7/88 7/88en 9/31 = 63/2.728 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 446
- 447. Trafikoko Zuzendaritza Nagusiak (DGT)errepideetako ezbehar kopurua txikitzeko kanpaina bat egin behar du. Hildakoak eragiten dituzten istripu asko bi faktorek eragiten dituzte: • Segurtasun-uhala ez erabiltzeak. • Segurtasun-distantzia ez zaintzeak. Arau-hauste horien eragina zehazteko, trafikoko hainbat kontrol egin dira. Datu hauek bildu dira: Gerrikoa ez zeraman gidari bakoitzari 2 puntu kendu zizkioten, eta segurtasun- distantzia zaintzen ez zuten gidariei, 3 puntu. Datu horiek kontuan hartuta, DGTk kontrolak egitea erabaki du, gidariek beharrezko neurriak har ditzaten. Zenbat ibilgailu ikuskatu behar dira, gutxi gorabehera, kontrol bakoitzean, gehienezko zigorra (5 puntu kentzea, alegia) 10 gidariri baino gehiagori ez ezartzeko? Gerrikoa eramaten ez duten eta segurtasun-distantzia errespetatzen ez duten gidarien maiztasuna: ; beraz, 5 puntu kentzeko zigorra 10 gidariri baino gehiagori ez ezartzeko, 125 ibilgailu baino gutxiago ikuskatu behar dira. x x⋅ < < 2 25 10 125→ 40 500 2 25 = 073 ●●● 447 14ERANTZUNAK Kontrol bakoitzean, agenteek 500 ibilgailu ikuskatu dituzte: • Batez beste 60 gidarik ez zeramaten gerrikoa. • 60 horietatik, 40k ez zuten segurtasun- distantzia zaintzen. • Eta 410ek behar bezala zirkulatzen zuten. 908272 _ 0422-0448.qxd 20/9/07 16:21 Página 447
- 448. Debekaturik dago, legeakezarritako salbuespenak salbu, lan hau inola bikoiztea, banatzea, jendaurrean jakinaraztea zein eraldatzea, beraren jabetza intelektuala dutenen baimenik gabe. Aipatutako esku- bideen urratzea jabetza intelektualaren aurkako delitua izan daiteke (Kode Penaleko 270. artikulua eta hurrengoak). © 2007 by Zubia Editoriala, S. L. / Santillana Educación, S. L. Legizamon poligonoa Gipuzkoa kalea, 31 48450 Etxebarri (Bizkaia) Inprimatzailea: ISBN: 978-84-8147-969-0 EK: 908272 Lege-gordailua: Arte-zuzendaritza: José Crespo Proiektu grafikoa: Azala: CARRIÓ/SÁNCHEZ/LACASTA Barrualdea: Manuel García, Rosa Barriga Irudiak: Grafitti s.c., José María Valera Proiektu-burua: Rosa Marín Irudien koordinazioa: Carlos Aguilera Proiektu-garapenerako burua: Javier Tejeda Garapen grafikoa: José Luis García, Raúl de Andrés Zuzendaritza teknikoa: Ángel García Encinar Koordinazio teknikoa: Maitane Barrena, Félix Rotella Konposaketa eta muntaketa: Miren Pellejero, Almudena de la Torre, Luis González, Fernando Calonge, Marisa Valbuena Hizkuntza-egokitzapena: Josu Garate Argazkien aukeraketa eta dokumentazioa: Nieves Marinas Argazkiak: A. Toril; D. López; F. de Madariaga; GOYENECHEA; J. Jaime; J. M.ª Escudero; Prats i Camps; A. G. E. FOTOSTOCK; AGENCIA ESTUDIO SAN SIMÓN/A. Prieto; COMSTOCK; EFE/EPA/Justin Lane, Andreu Dalmau; EFE/M. Hernández de León; EFE/EPA PHOTO/Wolfgang Kumm; EFE/SIPA-PRESS/Peter Stumpf; FOAT; I. Preysler; JOHN FOXX IMAGES; PHOTODISC; STOCKBYTE; Airman Joe Hendricks, U. S. Navy; MATTON-BILD; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; SANTILLANAREN ARTXIBOA 908272 _ 0422-0448.qxd 28/9/07 13:23 Página 448