Slideshow of my PhD thesis where I show the research activity concerning the integration of gravity data with GOCE gradiometric data leading to a more detailed description of local gravity field and the possibility of small mass anomalies detection.

1. Covariance models for
geodetic applications of
collocation
candidato:
Ing. Carlo De Gaetani
Dottorato in Ingegneria Ambientale e delle Infrastrutture
25° ciclo
tutor:
Prof. Riccardo Barzaghi

2. Introduzione:
Nel marzo 2009 è stato lanciato in orbita il satellite GOCE. L’obiettivo è
quello di mappare globalmente il campo gravitazionale terrestre con
elevata accuratezza (1-2 cm in termini di N o 1 mGal in termini di Δg) e
risoluzione spaziale (<100 km).
Quale impatto in ambito locale?
Quali margini di miglioramento?
Come si integra con altre metodologie di misura?

3. Obiettivi e struttura della tesi:
Sviluppo di una procedura per la stima locale del campo gravitazionale
terrestre tramite l’integrazione di osservazioni di natura diversa.
Studio del potenziale gravitazionale, la sua rappresentazione
analitica, le quantità correlate, le tecniche di misura.
Analisi delle attuali tecniche di stima e di integrazione dati, con
particolare attenzione alle loro potenzialità e limiti.
Implementazione di una nuova procedura
che superi i limiti riscontrati.
Analisi dei risultati ottenibili con la nuova procedura.

4. Il potenziale anomalo ed i suoi funzionali:
E’ possibile considerare il potenziale gravitazionale come la somma di
un potenziale di “riferimento” ed un potenziale di “disturbo”.
Il potenziale normale U è quello generato da un ellissoide di rotazione
che approssima la Terra.
Il potenziale anomalo T è la parte residua rispetto alla rappresentazione
analitica dell’ellissoide di rotazione, circa 0,001% del potenziale totale
W.
Ogni osservabile del campo anomalo si può esprimere come funzionale
lineare (o linearizzato) di T.
T
rr
T
g
2
2
2
r
T
Trr
T
N
)()()( PUPTPW

5. L’anomalia di gravità Δg:
• copertura spaziale disomogenea
• medie-alte frequenze
• risoluzione spaziale bassa
QPgg

6. L’ondulazione del geoide N:
• raccolta dati solo su mare
• basse-medie frequenze
• risoluzione spaziale alta
SSTNSSHh

7. L’ondulazione del geoide N (2):
• copertura spaziale disomogenea
• basse-medie frequenze
• raccolta dati solo su terra
• risoluzione spaziale bassa
HhN

8. I gradienti gravitazionali:
Il gradiometro di GOCE misura il tensore gravitazionale terrestre.
Il continuo tracciamento del satellite permette di rilevare le anomalie
d’orbita dovute alla variazione di gravitazione.
• copertura spaziale omogenea
• basse-medie frequenze
• risoluzione spaziale alta
ij
ii
V
j
VV 12

9. La tecnica Remove-Restore:
Si rimuove la componente deterministica al segnale gravitazionale.
La stima locale del campo viene fatta sulla base di un segnale residuo
comprendente noise di misura, mismodeling e segnale di interesse.
OBS
MOD
RTC
RES
MOD
PRED
RTC
RES
-
+
+
- =
=
long
wavelengths
short
wavelengths
removephase
restorephase
RESIDUAL
COMPONENT
ESTIMATION
OBS RES
RR technique

10. La teoria della collocazione:
In geodesia è la metodologia tradizionalmente applicata per
l’integrazione di differenti funzionali del campo della gravità.
Permette la stima di un qualunque funzionale di T dati n valori di altri
funzionali di T osservati in altrettanti n punti sparsi.
L’ipotesi di base è che il potenziale anomalo sia un processo stocastico
debolmente stazionario ed ergodico nella media e nella covarianza, le
cui osservazioni sono realizzazioni di questo processo stocastico.
La più generale formula di stima è:
Ruolo fondamentale è quello assunto dalla funzione di covarianza che
esprime la correlazione spaziale tra le diverse quantità osservate.
))((),(),()(ˆ )(12)()()()()(
j
P
njiTT
PP
iTT
PPP
nTLIPPCLLPPCLLTL jjii

11. Il modello di covarianza e la sua propagazione:
Il modello analitico di è:
Da cui è possibile ottenere, per propagazione, i modelli analitici relativi
agli altri funzionali:
max
min
)(cos)(),(
1
2
2
2
2
,
l
ll
l
l
QP
lpqTTqp P
rr
R
R
GM
CTTC qp
)()()()()( pqTTjiqLpL qpji
CqLpLC
max
min
)(cos)1(
2
2
22
4
2
)(),(
l
ll
l
l
QP
lQgPg P
rr
R
l
R
GM
C
max
min
)(cos)2()1(
3
2
222
6
2
)(),(
l
ll
l
l
QP
lQTrrPTrr P
rr
R
ll
R
GM
C
)(),(2)(),(
1
QTPTQNPN CC
T
rr
T
g
2
2
2
r
T
Trr
T
N

12. La stima della funzione di covarianza modello:
La stima del modello di covarianza più opportuno consiste nello stimare
un unico set di tale per cui le funzioni di covarianza empiriche dei
funzionali osservati ed i corrispondenti modelli si trovano in accordo.
Le usuali metodologia di stima di adeguati modelli di covarianza
presentano alcune criticità:
• Non-negatività delle stimate non garantita.
• Poca flessibilità.
• Propagazione della covarianza poco soddisfacente.
2
l
2
l
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-50
0
50
100
150
200
250
300
C(DgDg)
deg
[mGal2
]
empirical
model
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
C(NN)
deg
[m2
]
empirical
model
l
m
lmlml sc
0
222

13. Il metodo del Simplesso:
Lo studio si è concentrato su tecniche di calcolo proprie della
programmazione lineare riconducibili al calcolo combinatorio.
Algoritmo nato per la risoluzione di problemi di Ottimizzazione.
Minimizzare (o massimizzare) una data funzione obiettivo (lineare),
soggetta lei stessa, le sue variabili e/o una loro combinazione lineare a
determinati vincoli.
Metodo del Simplesso

14. Il metodo del Simplesso (2):
Il meccanismo:
• Si basa sul teorema della programmazione lineare.
• Determina la regione delle soluzioni ammissibili.
• Valuta in maniera iterativa l’ottimalità delle soluzioni.
• In ciascuna iterazione sceglie in maniera “intelligente” la successiva
soluzione da valutare.
Le caratteristiche:
• Seleziona in maniera efficiente le soluzioni da testare.
• Passa da una soluzione all’altra senza inversioni di matrici o
risoluzione di sistemi
• La determinazione della soluzione ottimale avviene sempre in un
numero finito di iterazioni.

15. max
min
)(cos)(
1
2
2
2
2
,
l
ll
l
l
QP
lpqTT P
rr
R
R
GM
C qp
Un nuovo strumento per la stima della funzione di
covarianza modello:
Come adattare le caratteristiche dell’algoritmo del simplesso al caso
della stima congiunta di funzioni di covarianza modello?
1- non negatività di
2- accordo tra covarianza empirica e modello
3- linearità delle equazioni dei vincoli
4- stima integrata
5- adattabilità
2
l

16. I vincoli imposti:
Il modello analitico applicato è stato:
Il problema di ottimizzazione che ne deriva è:
lredl
l
nl
l
redpre
TT Pe
hR
R
R
GM
C
2
2
)1(22
)(cos)(
)()()( redpost
TT
redpre
TTTT CCC
lmaxl
1lredl
nl
l
redpost
TT Pe
hR
R
R
GM
C )(cos)( 2
)1(22
)min(
))
))
(βtollβ(βtoll
(αtollα(αtoll
))(ψ(Ctoll)(ψC))(ψ(Ctoll kLLkLLkLL jijiji

17. La procedura realizzata:
covarianza empirica
covarianza modello
osservazioneΔg N T Trr
RTCΔg N T Trr
residuoΔg N T Trr
Δg N T Trr modello-
-
stimaΔg N T Trr
modelloΔg N T Trr
predizioneΔg N T Trr
Δg N T Trr RTC+
+
COLLOCAZIONE
+
SIMPLESSO
REMOVE
RESTORE
][]][[]ˆ[ 1
ˆ nSCCCS nnSSSS

18. La procedura implementata:
covarianza
empirica
covarianza
modello
COLLOCAZIONE
][]][[]ˆ[ 1
ˆ nSCCCS nnSSSS
scelta iniziale dei
vincoli da applicare
SIMPLESSO
nessuna soluzione soluzioni multiplesoluzione singola
vincoli troppo rigidi vincoli troppo rilassati
selezione dei residui
interni alla finestra di
ricerca scelta
SCCC nnSSSSˆ
1
][ nnSS CC

19. La soluzione a finestre:
La risoluzione del sistema di collocazione richiede l’inversione di una
matrice di dimensioni pari al numero di osservazioni.
Le osservazioni più distanti dal punto di predizione contribuiscono in
maniera limitata al processo di stima.
La funzione di covarianza fornisce indicazioni a riguardo.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
C(NN)
deg
[m2
]
empirical
model
Correlation length

20. Test della procedura implementata: l’Arco Calabro
• area test: 15.5 < λ < 17.5 , 38 < φ < 39.5
• 1157 ΔgFA da campagna aerogravimetrica
• integrazione di dati radar-altimetrici e GOCE
• area di selezione: 12 < λ < 21 , 34 < φ < 43
• 22932 N da ERS1-GM
• 16370 Trr filtrati SPT e TRK con media mobile (0.7 )
• riduzione del dato con GOCE DIRr3 (l=180)
• RTC rimossa ai soli dati ΔgFA e N

21. Dato GOCE disponibile:
I dati GOCE sono accessibili attraverso il portale ESA Earthnet Online.
E’ necessario un ulteriore processamento del dato.
modelloosservazioni
- GDIR r3 l=180
- GDIR r3 l=180

22. Pre-trattamento del dato GOCE:
E’ stata applicata una media mobile alle osservazioni ridotte:

23. Stima di una funzione di covarianza modello
adeguata:
Persistono comunque problemi legati alla propagazione su altri
funzionali.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
C(NN)
deg
[m2
]
empirical
model
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-2
0
2
4
6
8
10
12
C(TrrTrr)
deg
[mE2
]
empirical
model
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
C(TrrTrr)
deg
[mE2
]
empirical
model
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
C(NN)
deg
[m2
]
empirical
model
N Trr (TRK) Trr (SPT)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-2
0
2
4
6
8
10
12
C(TrrTrr)
deg
[mE2
]
empirical
model

24. Stima integrata di una funzione di covarianza
modello adeguata:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
C(NN)
deg
[m2
]
empirical
model
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
C(TrrTrr)
deg
[mE2
]
empirical
model
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
C(NN)
deg
[m2
]
empirical
model
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-2
0
2
4
6
8
10
12
C(TrrTrr)
deg
[mE2
]
empirical
model
N+Trr (SPT) N+Trr (TRK)

25. test A, risultato filtraggio:
Residuals
Mean
[mGal]
σ
[mGal]
ΔgFA
RES -1.12 21.34
ΔgFA
RES - ΔgFA
PRED (Trr TRK) -9.36 23.52
ΔgFA
RES - ΔgFA
PRED (Trr SPT) -8.66 19.80
ΔgFA
RES - ΔgFA
PRED (N) 8.31 15.64
ΔgFA
RES - ΔgFA
PRED (N+Trr TRK) 4.72 14.97
ΔgFA
RES - ΔgFA
PRED (N+Trr SPT) -2.16 33.23
• Raggio della finestra di selezione (N): 0.7 ≈ 600 valori
• Raggio della finestra di selezione (Trr): 0.7° ≈ 500 valori
15.5 16 16.5 17 17.5
37.5
38
38.5
39
39.5
40
Residuals aerogravimetry Dg [mGal]
deg
deg
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50

26. test B, risultato filtraggio:
• Raggio della finestra di selezione (N): 0.7 ≈ 600 valori
• Raggio della finestra di selezione (Trr): 0.7° ≈ 500 valori
• Rimozione della media locale alle osservazioni selezionate.
Residuals
Mean
[mGal]
σ
[mGal]
ΔgFA
RES -1.12 21.34
ΔgFA
RES - ΔgFA
PRED (Trr TRK) -10.72 22.49
ΔgFA
RES - ΔgFA
PRED (Trr SPT) -17.64 22.54
ΔgFA
RES - ΔgFA
PRED (N) -0.04 17.05
ΔgFA
RES - ΔgFA
PRED (N+Trr TRK) -1.19 17.46
ΔgFA
RES - ΔgFA
PRED (N+Trr SPT) -7.87 16.18
15.5 16 16.5 17 17.5
37.5
38
38.5
39
39.5
40
Residuals aerogravimetry Dg [mGal]
deg
deg
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50

27. test C, risultato filtraggio:
• Raggio della finestra di selezione (N): 1 ≈ 800 valori
• Raggio della finestra di selezione (Trr): 1° ≈ 600 valori
• Rimozione della media locale alle osservazioni selezionate.
Residuals
Mean
[mGal]
σ
[mGal]
ΔgFA
RES -1.12 21.34
ΔgFA
RES - ΔgFA
PRED (Trr TRK) -9.38 20.37
ΔgFA
RES - ΔgFA
PRED (N) -0.04 17.01
ΔgFA
RES - ΔgFA
PRED (N+Trr TRK) 2.26 15.94
15.5 16 16.5 17 17.5
37.5
38
38.5
39
39.5
40
Residuals aerogravimetry Dg [mGal]
deg
deg
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
15.5 16 16.5 17 17.5
37.5
38
38.5
39
39.5
40
Predicted residuals Dg [mGal] case N+TrrTRK
deg
deg
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50

28. test C, risultato filtraggio (2):
L’integrazione N+Trr permette una migliore modellizzazione delle aree
terrestri.
15.5 16 16.5 17 17.5
37.5
38
38.5
39
39.5
40
(case N) - (case N+TrrTRK) [mGal]
deg
deg
-6
-4
-2
0
2
4
6
8

29. test C, risultato filtraggio vs EGM2008:
Residuals
Mean
[mGal]
σ
[mGal]
ΔgFA
RES - ΔgFA
EGM08(2160) -0.28 3.73
ΔgFA
RES - ΔgFA
EGM08(1800) -0.72 4.49
ΔgFA
RES - ΔgFA
EGM08(1000) 0.34 9.58
ΔgFA
RES - ΔgFA
EGM08(800) 1.09 12.74
ΔgFA
RES - ΔgFA
PRED (N+Trr TRK) 2.26 15.94
ΔgFA
RES - ΔgFA
EGM08(650) 2.50 16.78

30. Test della procedura implementata: il Mediterraneo
Centrale
• area test: 7 < λ < 17 , 37 < φ < 49
• 1068 N da GPS-livellazione
• integrazione di dati radar-altimetrici, GOCE e ΔgFA
• area di selezione: 3 < λ < 22 , 33 < φ < 50
• 27092 N da ERS1-GM
• 66010 Trr filtrati SPT con media mobile (0.5 ) e GOCE DIRr3 (l=240)
• 49559 ΔgFA
• riduzione del dato con GOCE DIRr3 (l=180)
• RTC rimossa ai soli dati ΔgFA e N

31. Esempi di stima di una funzione di covarianza
modello adeguata:
ΔgFA + N + Trr(DIRr3)
ΔgFA
Stima integrata:
Stima con funzionale singolo:

32. risultato filtraggio:
Residuals #
σ
[m]
NGPS-LEV
RES - NPRED (Δg) 954 0.24
NGPS-LEV
RES - NPRED (Δg+N) 984 0.29
NGPS-LEV
RES - NPRED (Trr DIR) 937 0.47
NGPS-LEV
RES - NPRED (Δg+Trr DIR) 968 0.30
NGPS-LEV
RES - NPRED (Δg+N+Trr DIR) 967 0.30
NGPS-LEV
RES - NPRED (Trr SPT) 972 0.62
NGPS-LEV
RES - NPRED (Δg+Trr SPT) 969 0.30
NGPS-LEV
RES - NPRED (Δg+N+Trr SPT) 973 0.30

33. Conclusioni:
La procedura implementata è in grado di stimare, tramite collocazione,
un qualsiasi funzionale del potenziale gravitazionale terrestre a partire
da osservazioni di altri funzionali o una loro combinazione.
La stima della funzione di covarianza modello attraverso il metodo del
simplesso è risultata stabile e versatile.
Una soluzione a finestre, scelte sulla base della lunghezza di
correlazione dei dati in ingresso, si è dimostrata appropriata.
La stima congiunta della funzione di covarianza modello permette una
migliore modellizzazione delle caratteristiche stocastiche del campo
locale.

34. Conclusioni (2):
La distribuzione spaziale del dato sembra essere un parametro
maggiormente significativo rispetto alla numerosità delle osservazioni.
In applicazioni pratiche, se la precisione richiesta non è particolarmente
elevata, i modelli globali GOCE sono già sufficienti.
E’ necessario approfondire il pre-trattamento del dato GOCE.
Miglioramenti della stima locale del campo gravitazionale sono ottenibili
attraverso l’integrazione di dati diversi.

35. Grazie per l’attenzione