1. Calcolo dell’autovettore:
metodo dei minimi quadrati
□ Basato sull’assunzione che il vettore w
debba soddisfare la proprietà aijwi/wj
□ Problema di ottimizzazione:
 Minij(aij-wi/wj)2
 s.t. jwi=1 wi>0 i=1,…,n
 Minij(wi - aijwj)2

2. Algoritmo
1. matrice dei confronti a coppie A
2. si stabilisce  piccolo a piacere
3. si calcola il vettore dei pesi locali sommando i
valori sulla riga e normalizzando
4. si determina il quadrato della matrice
5. si calcola il vettore dei pesi locali sommando i
valori sulla riga e normalizzando
6. si calcola la variazione (differenza) tra i vettori
normalizzati, se minore di  stop altrimenti passo 7.
7. si torna al passo 4. finché la variazione nel risultato
prodotto dall’algoritmo non diviene minore di 

3. Esempio 1 - 1
1 1
2
  1 2
  1/2
1 2 a
A 1 1 3 a 1/3
2  1/a
1 1  3
 1
a 3  3
1

4. Esempio 1 - 2
□ Quando A è consistente:
 3 6 18   9 18 54 
   
A   1,5 3 9 
2
A   4,5 9 27 
3
 0,5 1 3   1,5 3 9 
   

5. Hard Data
□ Le priorità possono essere derivate dai
dati così come dai confronti a coppie
□ Quando sono disponibili dei dati sulle
alternative è ragionevole ipotizzare
relazioni lineari o inversamente
proporzionali
□ La tentazione di derivare le preferenze
dai dati è fortissima.

6. Giudizi mancanti - 1
□ Si possono avere meno di n(n-1)/2
giudizi nelle matrici dei confronti a
coppie per i seguenti motivi:
□ per ridurre il tempo nell’esprimere i giudizi;
□ a causa di una riluttanza nel fare una
comparazione diretta tra due particolari
elementi;
□ perché si è insicuri su alcuni confronti.

7. Giudizi mancanti - 2
□ Esistono dei metodi per gestire la
carenza di giudizi.
□ Tali metodi sono utili per ridurre
l’inconsistenza delle matrici: se un
giudizio, a seguito di un’ispezione
manuale o attraverso un algoritmo
computerizzato, sembra errato si può
considerare mancante.

8. Matrici quasi-reciproche
□ Possono essere presenti dei coefficienti nulli
□ aij=aji=0 per alcuni valori di i e j con i≠j
□ Data una matrice A quasi-reciproca si può
ricavare una nuova matrice B nella quale i
coefficienti che non appartengono alla
diagonale principale coincidono con quelli
di A, mentre i coefficienti della diagonale,
che nella matrice A sono uguali a 1,
assumono in B il valore mi, essendo mi il
numero di coefficienti nulli presenti nella riga
i-sima di A.

9. Matrici incomplete – metodo
di Harker
□ mi rappresenta il numero di confronti non effettuati
nei quali è coinvolto l’elemento i
□ Harker ha dimostrato che le componenti
dell’autovettore principale della matrice B
costituiscono delle stime corrette dei pesi degli
elementi confrontati
□ Il metodo è rilevante nei casi in cui gli elementi da
confrontare sono molti, perché al crescere del
numero di confronti risulta più difficile mantenere la
coerenza nei giudizi
□ La scelta del numero di confronti da effettuare
implica un trade-off tra affidabilità del risultato e
tempo che il decisore è disposto a spendere per la
valutazione.

10. Matrice di sintesi
□ Quando i decisori sono più di uno:
□ si analizza la consistenza di tutte le matrici raccolte
□ si torna dai decisori se l’inconsistenza non è
accettabile
□ se i giudizi non sono troppo dispersi attorno alla
media geometrica si calcola la matrice di sintesi
(tramite la media geometrica per preservare la
reciprocità)
□ si valuta la consistenza della matrice di sintesi
□ se i giudizi sono troppo dispersi si riportano i decisori
sull’albero
□ L’obiettivo è ottenere il “consenso” sui giudizi

11. Sintesi gerarchica
□ Calcolati i pesi locali di tutti gli
elementi dell’albero si può procedere
al calcolo dei pesi globali
□ I pesi locali di ogni elemento vengono
moltiplicati per il peso globale
dell’elemento “padre”
□ Procedendo con una logica top-down
(sintesi gerarchica) si trasformano tutti i
pesi locali in pesi globali

12. I pesi globali
□ I pesi globali degli elementi alla base
dell’albero rappresentano il risultato
principale della valutazione
□ I pesi globali consentono di valutare
tutte le alternative rispetto all’obiettivo
generale
□ L’alternativa con il ranking più alto è
quella preferita

13. □ L’AHP non rispetta l’assioma
dell’indipendenza dalle alternative
irrilevanti del teorema di Arrow

14. Esercitazione
□ Appello 23 febbraio 2010