1. ECONOMETRIE
- CURS 7 -

2. Tematic ă C7
1.
2.
3.
Modelul reciproc
Modele semi-logaritmice
Modele polinomiale

3. Modelul reciproc (I)


este modelul care are la bază ecuaţia unei hiperbole;
variabila independentă apare prin inversa sau reciproca sa.
Estimarea parametrilor modelului
Modelul reciproc este definit prin relaţia:
Y = β0 + β1
1
+ε
X
Pentru această clasă de modele se va face substituţia X*=1/X. În urma
substituţiei, va rezulta forma liniarizată a modelului hiperbolic:
Y = β0 + β1 X * + ε
Modelul liniarizat va fi tratat ca un model simplu liniar pentru
determinarea estimaţiilor parametrilor β0 şi β1.

4. Modelul reciproc (II)
Interpretarea parametrilor modelului

β0: valoarea limită pe care o atinge variabila
dependentă, atunci când valorile variabilei
independente cresc la infinit;

β1: - variaţia medie a lui Y la o creştere cu o unitate
a lui X;
- dacă β1>0, atunci o creştere a lui X determină
o descreştere a lui Y;
- dacă β1<0, atunci o creştere a lui X determină
o creştere a lui Y.

5. Modelul reciproc (II)
Curba lui Philips
• în teoria şi practica economică, modelul hiperbolic este folosit
pentru a explica relaţia dintre inflaţie şi şomaj;
•curba reprezentată cu ajutorul celor două variabile se numeşte
curba lui Philips
1
Y = β0 + β1 + ε
X
unde: Y – rata inflaţiei sau indicele salariului real, exprimat în
procente;
X – rata şomajului, exprimată în procente.
Exemplu:
Y = 52,029 + 13,302
1
X

6. Modele semi-logaritmice (I)




Fie variabila independentă, fie variabila dependentă
apar, în forma liniarizată a modelului, ca variabile
logaritmate
Estimează variaţia relativă sau absolută a variabilei
dependente la o variaţie absolută sau relativă cu o
unitate a variabilei independente
Modelele cu variabila dependentă logaritmată pe
care le vom studia sunt: modelul Compound
(Compus), Growth (de creştere) şi Exponenţial
Modelul cu variabila independentă logaritmată pe
care îl vom studia este modelul Logarithmic

7. Modele semi-logaritmice (II)
Modelul Compound

Forma generală a modelului :
Y = β 0 ⋅ β1 ⋅ eε
X
Ecuaţia se liniarizează prin logaritmare:
ln Y = ln β 0 + X ⋅ ln β1 + ε

8. Modele semi-logaritmice (III)
Parametrii modelului:
- β0 este valoarea medie a lui Y pentru X=0.
Variabila Y are numai valori pozitive, deci β0
satisface condiţia β0 >0.
- lnβ1 arată variaţia medie procentuală a lui Y la o
variaţie absolută a lui X cu o unitate. Reprezintă
rata de creştere sau reducere a variabilei Y în
d ln Y
raport cu variabila X.
ln β 1 =
dX

9. Modele semi-logaritmice (IV)
Observaţii:
-
Dacă lnβ1>0, adică β1>1, atunci legătura dintre
cele două variabile este directă.
-
Dacă lnβ1<0, adică 0<β1<1, atunci legătura dintre
cele două variabile este inversă.

10. Modele semi-logaritmice (V)
2. Estimarea parametrilor modelului
Se face prin MCMMP:
2
∑ ei = min im
Sistemul de ecuaţii normale:
n ln b0 + ln b1 ∑ xi = ∑ ln yi , i = 1, n
ln b0 ∑ xi + ln b1 ∑ xi2 = ∑ xiln y i

11. Modele semi-logaritmice (VI)
ln b1 =
n∑ xi ln yi − ∑ xi ∑ ln yi
n∑ xi2 − ( ∑ xi )
∑ ln yi ∑
ln b0 =
n∑
2
;
∑ xi ∑ xi ln yi
2
( ∑ xi )
2
xi −
2
xi −

12. Modele semi-logaritmice (VII)
3. Testarea semnificaţiei parametrilor
 Ipoteze
 Interpretare
4. Intensitatea legăturii dintre variabile
- raportul de determinaţie (R square)

13. Modele semi-logaritmice (VIII)
5. Exemplu
În urma analizei legăturii dintre valoarea
investiţiilor (mii euro) şi valoarea producţiei
(mil. euro) înregistrate pe un eşantion de 5
firme, s-au obţinut următoarele rezultate:

14. Coefficients
xi
(Constant)
Unstandardized
Coefficients
B
Std. Error
1.769
.103
1.322
.256
Standardized
Coefficients
Beta
2.677
t
17.118
5.161
Sig.
.000
.014
The dependent variable is ln(yi).
Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două
variabile este:
y xi = 1,322 ⋅ 1,769 xi
Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:
l ny i =ln1,322 +x i ln1,769 =0,279 +0,570x i

15. Interpretare:
- valoarea parametrului β1 arată că, la o
creştere cu o mie de euro a valorii
investiţiilor, valoarea producţiei creşte, în
medie, cu o rată de 0,57 sau cu 57%.
2 . Testarea semnificaţiei parametrilor
3. Estimarea şi testarea intensităţii legăturii
dintre variabile

16. Model Summary
R
.985
Adjusted
R Square
.959
R Square
.969
Std. Error of
the Estimate
.185
The independent variable is xi.
ANOVA
Regression
Residual
Total
Sum of
Squares
3.253
.102
3.356
The independent variable is xi.
df
1
3
4
Mean Square
3.253
.034
F
95.333
Sig.
.002

17. Modele semi-logaritmice (IX)

Modelul Growth (de Creştere)
1.
Forma generală a modelului :
Y =e
β 0 + β 1 X +ε
Ecuaţia se liniarizează prin logaritmare:
ln Y = β 0 + β 1 ⋅ X + ε

18. Modele semi-logaritmice (X)
Parametrii modelului:
-
eβ0 este valoarea medie a lui Y pentru X=0.
-
β1 arată variaţia medie procentuală a lui Y la o
variaţie absolută a lui X cu o unitate.
d ln Y
β1 =
dX

19. Modele semi-logaritmice (XI)
Exemplu
Se consideră legătura dintre Timpul de
accelerare de la 0 la 100 km/h
(secunde) şi Puterea motorului (CP).

20. Coefficients
Horsepower
(Constant)
Unstandardized
Coefficients
B
Std. Error
-.004
.000
3.092
.019
Standardized
Coefficients
Beta
-.726
t
-21.032
164.791
Sig.
.000
.000
The dependent variable is ln(Time to Accelerate from 0 to 60 mph (sec)).
Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două
variabile este:
Y =e
3, 092 − 0 , 004⋅ X
Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:
l nY=3,092-0.004X

21. Interpretare:
 când Puterea motorului este de 0
C.P., Timpul de accelerare este de
e3,092=22 secunde.
 La o creştere a puterii motorului cu 1
C.P., timpul de accelerare scade, în
medie, cu o rată de 0,004 sau cu
0,4%.

22. Modele semi-logaritmice (IX)

Modelul Exponential
1.
Forma generală a modelului :
Y = β0 ⋅ e
β1 X
⋅e
ε
Ecuaţia se liniarizează prin logaritmare:
ln Y = ln β 0 + β 1 ⋅ X + ε

23. Modele semi-logaritmice (X)
Parametrii modelului:
-
β0 este valoarea medie a lui Y pentru X=0.
-
β1 arată variaţia medie procentuală a lui Y la o
variaţie absolută a lui X cu o unitate.
d ln Y
β1 =
dX

24. Modele semi-logaritmice (XI)
Exemplu
Se consideră legătura dintre Puterea
motorului (CP) şi Numărul de cilindri
(cilindri).

25. Coefficients
Number of Cylinders
(Constant)
Unstandardized
Coefficients
B
Std. Error
.170
.005
38.911
1.221
Standardized
Coefficients
Beta
.842
t
31.057
31.877
Sig.
.000
.000
The dependent variable is ln(Horsepower).
Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două
variabile este:
Y = 38,911 ⋅ e 0,170 X
Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:
l nY=ln38,911+0,17X

26. Interpretare:
 când Numărul de cilindri este de 0,
Puterea medie a motorului este de
38,911 C.P.
 La o creştere a numărului de c ilindri cu
1 cilindru, puterea motorului creşte, în
medie, cu 17%.

27. Modele semi-logaritmice (XII)

Modelul Logarithmic
1.
Forma generală a modelului :
Y = β 0 + β 1 ⋅ ln X + ε
-
β0 este valoarea medie a lui Y pentru X=1.
-
β1 arată variaţia medie absolută a lui Y la o
variaţie procentuală a lui X cu o unitate.
dY
β1 =
d ln X

28. Exemplu
Se consideră legătura dintre Puterea
motorului şi Numărul de cilindri.

29. Coefficients
ln(Number of Cylinders)
(Constant)

Unstandardized
Coefficients
B
Std. Error
104.458
3.632
-68.048
6.112
Standardized
Coefficients
Beta
.822
t
28.761
-11.134
Sig.
.000
.000
Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele
două variabile este:
Y = −68 ,048 + 104 ,458 ⋅ ln X + ε

30. Interpretare:
 când Numărul de cilindri este de 1,
Puterea medie a motorului este de
-68,048 C.P.
 La o creştere a numărului de c ilindri cu
1 %, puterea motorului creşte, în
medie, cu 1,04458 C.P. (104,458/100)

31. Modele polinomiale (I)
a. Modelul parabolic : cel mai simplu model
polinomial este modelul parabolic (Quadratic).
Y = β 0 + β1 ⋅ X + β 2 ⋅ X + ε
2
La nivelul eşantionului:
YX = b0 + b1 ⋅ X + b2 ⋅ X 2

32. Modele polinomiale (II)

În economie, modelul polinomial este folosit pentru
descrierea relaţiei dintre costul unitar şi producţia
realizată: costul unitar scade concomitent cu
creşterea producţiei până la un nivel optim al
producţiei, după care, dacă producţia continuă să
crească, începe să crească şi costul unitar.

33. Exemplu
Cost unitar
Observed
50.00
Quadratic
40.00
Ecuaţia estimată este:
y i =89,041-25,795x i +2,114x i 2
30.00
20.00
10.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
Productia
Coefficients
Productia
Productia ** 2
(Constant)
Unstandardized
Coefficients
B
Std. Error
-25.795
3.895
2.114
.351
89.041
9.231
Standardized
Coefficients
Beta
-5.322
4.842
t
-6.623
6.026
9.646
Sig.
.000
.001
.000

34. Interpretare:


β1<0, β2>0, deci legătura de tip parabolic admite un
punct de minim.
Coordonatele punctului de minim arată nivelul optim
al producţiei pentru care costul unitar este minim.
Abscisa acestui punct este:
b1/2b2=25,79/4,22=6,11. Pentru o producţie de 611
bucăţi din produsul A, costul este minim.

35. b. Modelul cubic
Y = β 0 + β1 ⋅ X + β 2 ⋅ X + β 3 ⋅ X + ε
2
3
În economie acest model este folosit pentru
descrierea relaţiei dintre costul total şi valoarea
producţiei.
Pentru acest tip de legătură se poate determina
punctul de inflexiune al curbei, prin anularea
derivatei de ordinul 2 in X. Se obţine valoarea lui X
de unde Y îşi modifică modul de variaţie.

36. Grad de urbanizare (%)
100
80
60
40
20
0
0
5000
10000
15000
PIB / loc
20000
25000

37. Coefficients
PIB/loc
PIB/loc ** 2
PIB/loc** 3
(Constant)
Unstandardized
Coefficients
B
Std. Error
.010
.002
-6.1E-007
.000
1.21E-011
.000
32.036
3.395
Standardized
Coefficients
Beta
2.557
-3.206
1.255
t
4.950
-2.652
.
9.438
Sig.
.000
.009
.
.000
Ecua ţia estimată este:
Y = 32,036 + 0,010 ⋅ X − 6,1 ⋅10 −7 ⋅ X 2 + 1,21 ⋅10 −11 ⋅ X 3
Punctul de inflexiune este dat de:
-b 2 /3b 3 =6,1/0,000121=25105