1. CINEMATICA
EJERCICIO 9
1.-Encontrar la velocidad media y la posición final, sabiendo que una partícula
parte del punto A(2:0:1)m y se demora 5s para llegar a B que esta al NE de A. Se
sabe que el módulo del desplazamiento es 20m
Vo=(2:0:1) Vm=d/t
T=5s Vm=20/5
d=200m Vm=4m/s
Δr=20mNE Δr=Vf-Vo
Cos45º=z/20 sen45º=x/20 Vf=16.14j-13.14k
Z=-14.14jm x=14.14i Vf=(16.14i-13.14k)m
V=(2.83i-2.83j)m/s
V=4NE
Z=4cos45º x=4sen45º
Z=-2.83jm/s x=2.53im/s
2.-

V = (7i − 3 j ) m/s Δr=(7i-3j)6s
Ro=2i+2jq Δr=(42i-18j)m
T=6s d= 422 + 182
d=457m
Δr=rf-ro
Δr=42i-18j |Vm|= 7 2 + 32
ro=2i+2j |Vm|=7.62
(7i − 3 j )m / s
rf=44i-16j μvm=
7.62m / s
μvm=(0.90i-0.4j)
3.-

2. VA=36km/h=10m/s dA= VA* tA
VB=45 km/h =12.5 m/s dB= VB* tB
tA= td=2+ tB VA* (2+ tB)= VB* tB
d=10(8+2) 10(2+ tB)=12.5* tB
d=100m tB=8S
B=12.5m/s
4.-
VA= dA/ tA tA = tB dB=444.44 de B
VA=800/2 dA=800-20 dB=x dA=(800-444.44)m de A
800 − x x
VA=32m/s − dA=355.56 de A
32 40
3200=72x
x=444.44m
5.-
d=428Km t=d/v Tt=2.33+0.3+0.083
V=55Km/h t=128/55 Tt=2.713h
Pp=18min=0.3h t=2.33h
Sp=5min=0.083h
Vm=128Km/2.73h Vm=47.18Km/h

3. 6.-dos móviles se desplazan 1.6Km en la misma dirección. El primero con una
velocidad de 5.2m/s y el segundo con V=4.5m/s. El móvil más rápido da un
ventaja al más lento: podrá arrancar solo después de que el más lento pase por
cierto punto marcado en la pista.
Donde debe estar esa marca para que lleguen los dos móviles al mismo tiempo
∆r ∆r ∆r − x
VA=5.0 m/s TA= V = V T B= V
A A B
VB=4.5m/s TA= TB
7200=832-5.2x
X=215.38
7.-
T1=1.75H=105min T4= Δr/V=108/65
T3=3.2h=192min T4=1.66h=99.7min
Δr=V*T=60*1.75=105Km Δr=62.5*3.2=200
Δr=484-200-108-105=71Km
Vm=484/8.8=55Km/h
8.-Una partícula se mueve rectilíneamente con velocidad constante la dirección de
la velocidad media en los primeros 6s es 0.92i-0.39j con una magnitud 7.62 m/s Si
su posición final es 44i-16j determinar a) La posición inicial al instante T=0
b) El desplazamiento hasta 6s
c) la distancia recorrida
 
V = 0.39i-0.39j Vf-Vf= V *t

V = =7.62m/s Vo=7.62*(0.92i-0.39j)*6+(4i-16j)
T=6s Vo=1.94i+1.83j
Vf=44i-16j

4. Δr=v*t d= 42.062 + 17.852
Δr=42.06i-17.83j d=45.62m
9.-
17.5 Km + x
T B= VB
TA=x/ VA
17.5 Km + x
VB
=x/25 TB=(17.5+62.5)/32
437.5+25x=32x TB=2.5h
437.5=7x dA=62.5Km
X=62.5Km dB=17.5+62.5
dB=80Km
10.- Dos corredores A y B sobre uma pista tienen rapideces constantes de 2m y 5m
respectivamente. Si A parte 5s antes que B. Determine :
a) Cuando A es alcanzado por B
b)Cuales son la graficas V-t para cada uno de los corredores
VB=2m/s dA= TA-VA dB= TB-VB
VB=5m/s TA= Tb+5s
(VA)( TB+5s)= TB+VB
2 TB+10=5TB
10=5TB-2TB
3 TB=10
TB=3.33 TA=5+3.33=8.33s

5. EJERCICIO 10
Vf=Vo+at m=tan53
1.33=0.67+a m=1.33=V
a=0.66m/s2 Vf=1.33m/s
Δx=(Vf+Vo)/2*t
Vf=0.67+0.66*30 2(1)=1.33+Vo
Vf=20.4m/s Vo=0.67
Vm=(20.4+0.67)/2
Vm=10.53m/s

6. Vo=(3,2,0)m Vf=Vo-at
a=2i+3j m/s Vf=3.61m/s-3*10
t=10s Vf=μ*|Vf|
Vf=(-26.36)*(0.55i+0.85j)
Vo= 4 + 9 Vf=(-14.51i-21.9j)m/s
Vo=3.61m/s
Δr=Vot-1/2at2 Vf= Δr-r
Δr=3.61*10-1/2*3*100 Vf=(62.65i+96.5j)m
|Δr|=-113.9m Vm=(-14.65i+96.5)+(2i+3j23)
Δr=113.9m 2
Vm=(-6.26i-9.45j)m/s
a)Vf=Vo+at da=20*10/2
Vf=2*10 da=100m
Vf=20m/s dB=20m*20s
Df=100+400+50 Db=50m
Df=550m Db=400m
D=(Vo+Vf)/2*Tc Vf=Vo+at
Tc=1/10*50 a=-20/5
Tc=5s a=-4m/s

7. a) A en t=(0.3)=MRU
en t=(3.10)= MRUR
B en t=(0.10)=MRUA
b) A : en t=3s |Δr|=v*t=6*3=18m

8. en t=6s |Δr|=(Vf+Vo)/2*3s=9m |Δr|=27m
c) |Δr|=Vot+1/2at2 Ec1: Vf-Vo=6*t+1/2(-2) t2
(Vf-Vo)/t=a Vf-9=6t- t2
-6/3=a Vf=6t- t2+9
-2m/s2=aA aB=1m/s2 EC2=Vf-Vo=-6*t+1/2(a) t2
Vf= t2/2-6t+1/2 t2
6t- t2+9= t2/2-6t+1/2 t2
12t-2t2+18= t2-6t+18
t=0s t=6s

9. T Δx Δx a Movimiento
0-a 0.5 1 1 MRUVA
a-b 1 0 0 MRU
b-c 2 2 2 MRUVA
c-d 7 1 0.5 MRUVA
d-e 4 0 0 MRU
e-f 3.5 -1 -1 MRUVR
f-g 5 -1 -0.5 MRUVR
g-h 2 0 0 MRU
a)Vm= Δx/ Δt=en t=5s am= Δv/t
Vm=(0.5+1+2+7)/5 am=(1+2+1)/5
Vm=2.1 m/s am=0.8m/s2
Vm en t=10s am en t=10s
Vm=0.5+1+2+7+4+3.5+5+2 am(1+2+0.5-1-0.5)/10
Vm=2.5m/s am=0.2m/s2

10. T=0-30 a=2m/s2 t=30-70 t=70- α a=-4m/s
Vf=Vo+at Vf=Vo+at Vf=Vo+at
Vf=2*30 Vf=60m/s Vf=60-4
Vf=60m/s t=60/4
T=1.5s
Δx-t
T=0-30 a=2m/s2 t=30-70 a=0m/s t=70- α a=-4m/s
Δx=(Vo+Vf)/2*t Δx=V*t Δx=Vot+1/2at2
Δx=(60/2)*30 Δx=60*40 Δx=60t-2t2
Δx=900m Δx=2400

11. Vf-Vo=Δr
Δr=| Δr |*μ Δr
Δr=(450+3300)(0.7i+0.5j-0.509k)
Δr=(2625i+1875j-1908.75k)
Vf= Δr+Vo
Δr=2626i+1875j -1908.75k
Vo=400i+ 50j+ 300k
Vf=3025i+2375j+1091.25k
Vo + Vf
a)dt= *t b) d=Vot+1/2at2
2
Vf=2dt/t t2=2*32/8
Vf=128/4 t=2.83s
Vf=32m/s c)Vf=Vo+at
Vf=Vo+at Vf=8*2.83
a=32/4 Vf=22.64m/s
a=8m/s2

12. d) d=Vot+1/2at2 e) Vf=Vo+at
d=1/2*8*4 Vf=8*2
d=16m Vf=16m/s
∆v v1 ∆v v1
aB= = aA= =
∆t 4 ∆t 2
ΔxA=Vo+1/2at2 ΔxB=Vo+1/2at2
ΔxA=1/2*V1/2*(t-2)2 ΔxB=1/2*V/4*t2
ΔxA=V(t-2)2/4 ΔxB=Vt2/8
V(t-2)2/4= Vt2/8
2(t-2)2= t2
t2-8t+8=0
t=6.83s
t=1.17s

13. T Δx V
0-2 20 10
2-3 15 15
3-4 5 5
4-6 50 2.5
6-8 -20 -10
8-9 -15 -15
a) Δx=20+15+5+50 b) Δx=20+15
Δx=90m Δx2=35m
c) Δx=Vf-Vo d=90+35
Δx=55m d=125m
11.La aceleración de cada una de las partículas la posición inicial relativa de B con
respecto a A durante 5s

14. Va=2i+5j
μA=0.3i+0.94j
dA=0.31i+1.89j μB=0.6i-0.8j
|aA|=2 |Va|=3.37 dB=-1.8i+2.4j
|aA|=3 |VB|=30m/s
dA=6.32*5+0.5*52*2 B=67.5i+90J
Da=56.6227m A=19.9i+56.75j
DB=30*5+0.5*(-3)*52 R=47.6i-146.75J
dB=112.5m
1) d=Vt 2)d=Vot+1/2at2
D=10(t+2) d=1/2*1.5t2
10(t+2)= 1/2*1.5t2
20*(t+2)=1.5t2
1.8t2-20t+40= 0
X1=2.45
X2=10.88
T=15.09
a=10*(15.9+2)=170.99m
b) V=at=1.8*15.9=22.65m/s

15. Va=2m/s*10s=20m/s
d1=1/2at2=1/2*2*100=100m
d2=Vot+1/2at2=20*5=100m
d3= Vot+1/2at2=20*5+1/2*(-3)(25)*52
=100-37.5=62.5m
A=d1+D2+D3=262.5m

16. Δr1=Vot+1/2at2 R=2Vo+2a
Vf=Vo+at a=6-Vo
Δr2= Vot+1/2at2
Δr2=Vo+2a+1/2a
3=Vo+12-2Vo+3-1/2Vo 3Vo=20
6=2Vo+24-4vo+6-vo Vo=8

17. a=-2
Vf=0
Vf=Vo+at de ida y de regreso
0=8m/s-2t=4s
|V|= 3
μv=(0.83i+0.55j) Vf=Vo+at
a=(-6.66i-4.44j) Vf= 3 +8*10
Δx=-300m Vf=-76.34m
Δy=Yo+Voyt+1/2ayt2 vf=(-63.41i-42.002j)
Δy=-200m
Δr=(-300i-200j)m Δr=Vot+1/2vot2
Δr=10* 3 -400
Δr=363.94m

18. Vf − Vo
a=
t
Δr=Vo+at
Vo=0
ae=3m/s2 an=2.4m/s2
Δr=d+60m Δr=60m
60
T= Vf=3m/s2*7.07s
1.2
T=7.07s Vf=21.21m/s
Δ1=1/2at2
Δr=1.5*7.07 d=75-60=15m
Δr=75m

19. Δr=Vot
Δr1=41.66*0.5
Δr1=20.83m
Vf=0 Δr=Vot-1/2at2
Vf=Vo+at Δr=41.67*1.66-1/2*5*2.77
T=-Vo/a Δr=48.62
− Vo
T= NO CAE
a
41.67
T= Δr=69.45m
− 15
T=1.66s

20. Vf − Vo
a= Δr=1/2at2=1/2*(-22.5)=45m/s
t
a=-45/2
a=-22.5m/s2 Δr2=Vot+1/2at2=-45.2+45.2=90m
Δr3=45*2=90m
a2=(45+45)/2=45 m/s2 Δr4=45*1+1/2*7.5=48.75m
a3=0
a4=(60-45)/2=7.5
x=273.75m
X=Vot x=1/2at2
X=16.67t x=1/2*0.25t2
16.67t=1/2*0.25t2
33.33t=0.25t2
T=133.33m/s x=16.67*1.33
X=2222.22

21. EJERCICIO 11
V en los 15m Vf al ipacto
Vf2= Vo2+g*h1 Vf2== Vo2+gh2
Vf= 2 * 9.8 *15 Vf= 17.152 + 2 * 9.8 *10
Vf=17.15m/s Vf=22.14m/s
Vf=Vo+gt
22.17 − 17.15
t=
9.2
t=0.51s
h=Vot+1/2gt2

22. hA=1/2g(t+1)2 hB=1/2g(t+1)2
ha=hB
9.8 * (t 2 + 2t + 1) 2 * 18t + 9.8t 2 2
=
2 2
16.4t=9.8
t=0.6s
h=1/2(9.8)(1.6)2
h=12.5m
a) h=Vot+1/2gt2 Vf2= Vo2-2gh
h=1/2(20)(60) Vo2=2gh
h=36000m (1200)2/2*9.8=h
Vf= h=Vo+gt h=73469.4
Vf=20m/s*60s Ht=109469.4
Vf=1200m/s
b)Vf=Vo-gt h=Vot+1/2gt2
1200/9.8=t t3=149.5
T2=122.45 tT=60s+122.45+149.5
tT=331.95s

23. a) h=Vot+1/2gt2 Δy=v*t
yf-f=50y+1/2(9.8)t2 yf-f=10m/s*t
yf-50=50t-49t2 yf=10t+10
yf=-4.9t2+50t+50
10t+10=-4.9t2+50t+50
4.9 t2-40t-40=0
t=9.06s
b) yf=10*9.06+10 Vf2=Vo2-2gh
yf=100.6m 50*50/(2*9.8)=h
ht=127.55+127.55-100.6+40 h=127.55m
ht=195.1m
c)Vf=Vo+gt
Vf=50-9.8*9.06
Vf=-38.79m/s

24. Vo=0.05m/s
Vf=0.316m/s
Vf=Vo+at Δr=Vot+1/2at2
0Vf − Vo 0.316 − 0.05
a= = = 0.046 Δr=-0.27*15+1/2*0.046*152
t t
Δr=1.13m
Vf=Vo+at ro=1.47m
Vf=0.042-0.0465
Vf=0.27m/s
Δy=Vot+1/2gt2
Δy=4.9(3.15)2
Δy=48.62m
Vf2=Vo2+2g Δy

25. Vf2=25+(-19.6)(-12)
Vf=-16.13m/s
Vf=Vo+gt
-16.13=5-9.8t
T=2.17s
Δy=Vot+1/2gt2 y=150(0.47)-4.9(0.47)2
150-y=20(t+2)+4.9(t+2)2 y=69.42
150-y=20t+40+4.9t2+19.6t+19.6
4.9t2+39.6t-90.4=-y 489.6t=0.04
Δy=Vot+1/2gt2 t=0.47s
Y=150t-4.9t2

26. Vf2=Vo+2gΔy Δy=Vot+2gt2
Vf2=7.84h 3/5h= 7.84h (2)+19.6
Vf= 7.84h (3/5h-19.6)2=(2* 7.84h )2
0.36h2-23.52h+334.16=31.36h
H=145.15m
Δy=Vot+1/2gt2
145.15=4.9 t2
T=5.415s
Vf2=Vo+2gΔy
Vf2=19.6Δy
Δy=Vot+1/2gt2 Vf2=19.6(0.64)
3= 19.6∆y *0.5+4.9*0.52 Vf=3.57m/s
Δy=0.64m

27. EJERCICIO 13
Vf=0m/s=mov. parabólicos
Vo= 402 + 302 Vox=Vocosθ
Vo=50m/s 40=50cosθ
Θ=36.9º
Vfy2=Voy2-2gymax t=Vosenθ/g
Ymax=(Vosen45º)/20m/s2 t=Vosen45º/10
T=0.07Vo
ymax=(Vosen45º)(0.07Vo)-5(Vosen45º)
ymax=(0.07Vo)2-5(0.07Vo)2
ymax=2xmax
xmax=(Vocos45º)Tv
xmax=(0.07Vo)(2)(0.07Vo)
xmax=2*(0.07Vo)2

28. Xmax=Vocosθts ts=Vosenθ/g ymax=(Vosenθ)/g
Xmax=ymax
(Vocosθ)(2)(Vosenθ )/g=(Vosenθ)2/2g
4=senθ/cosθ
Tanθ=4
θ=tan-14
θ=75.96º
Δx=Vocosθ
Δx=100cos30º*5
Δx=433m
Δy=Vosenθt+1/2gt2 Δr=433i+127.5j
Δy=100sen30º(5)-4.9*52

29. Vo=20m/s(cos45º+sen45º)
Vo=(14.14i+14.14jm/s)
Vf=Voy-gt Δt=t1+t2
T=Voy/g Δt=1.41+3.46
T=(14.14j)m/s Δt=4.87s
T=1.41
Ymax=Yo+Voyt-9t2
Ymax=60m
Y=Vot-gt2/2
t2=60/5
t=3.46s
Δy=Vosenθ-1/2gt2
Δy=-4.9(3)2
Δy=-44.1m
H=44m
Y=xtgθ-gx2/(2Vo2cos2θ)
20=300*0.75-9.8(90000)/ 2Vo2(0.64)
20=225-88200/(1.28Vo2)
882000=VO2*262.4

30. Vo=57.97
Vo=Vo(cos30ºi+sen30ºj) Vo2(sen30º)2=9max-2g
Vo2=5*2*10/sen30º
Vo=20m/s
Vx=Vocosθ Δx=Vocosθt Δy=Vosenθt
3 3
Vx=300( ) =300* *10 =300*1/2*10-4.9*100
θ 2
Vx=259.8m/s Δx=2598.07m Δy=1010m
Vo 2 sen 2θ
Ymax= Rf=2598.07i+1010j
2g
300 2 *1 / 4
Ymax= Vy=Vosenθ-gt
19.6

31. Vy=300*1/2-9.8(10)
Ymax=1147.96 Vy=52m/s
Xmax=sen2θ*Vo2/9.8
Xmax=7593.29m
Vx=Vocosθ Δx=Vocosθt Δy=Vosenθt
3 3
Vx=300( ) =300* *10 =300*1/2*10-4.9*100
θ 2
Vx=259.8m/s Δx=2598.07m Δy=1010m
Vo 2 sen 2θ
Ymax= Rf=2598.07i+1010j
2g
Vox=Vocosθ x=Vox*t h=Voy-1/2gt2
5=17.11cosθ 15/3=Vox 5=Voy*3-4.9*9
θ=73.03º Vox=5m/s Voy=16.36m/s
Vo= Vox 2 + Voy 2
Vo= 16.302 + 25
Vo=17.11m/s
Vy=Vo-gt
Vy=16.36-9.8*3

32. Vy=-13.03m/s
Y=tgθx-g/(2Vo2cos2θ)
6.667 x 2
Y=0.577x-
Vo 2
X=500cos40º y=500sen40º
X=383.0m y=321.39
Y=221-978030.36/Vo2
542.39Vo2=978030.36
Vo=42.46m/s
Va=(36.77i-21.23j)m/s Vox=Vocos30º=36.77m/s
Voy=Vosen30º=21.23m/s
VB=(36.77i-82.94j)

33. Vf=Vo-gt
T=40j/10m/s V2=Vot-gt2/2
Tv=8s V2=(240i+320j)*320
Vo 2 sen 2θ
Y=
19.6
19.6y=Vo2sen2θ α=tan-1(45/29.77)-45
19.6 = VO sen 2θ
θ=29.72 α=11.56º
OP=r Vx=Vox+axt

34. at=9.4m/s2 Vox=29.24cos(-70º)
Vox=10m/s
at=3.42m/s2 Vy=Voy+ayt
29.24sen(-70)=Voy+(-10)(4.48)
Voy=17.32m/s
Vo=10i+17.32j(m/s)
A=V2/r
3.92= V2/250
V=29.24m/s
y=Vosen53ºt-5jt2 x=Vcos53t
1.5=Vosen53º(6/Vocos53)-5(6/Vocos53º)
1.5=6tan53º-487.04/Vo2
Vo2=487.04/6.46
Vo=8.68m/s

35. 1.5m/s=8.68sen37º-5t2
5t2-6.93t+1.5=0
T=1.12s
x=Vocosθ*t ymax=vsenθ/2g
150 * sen 28.18º
t=Vocosθ/x ymax=
2 * 32.15
50senθ/32.15=50cosθ/60pies ymax=8.67pies
Senθ/cosθ=32.15/60 y=13.67pies
θ=tan-1(32.5/60)
θ=28.18º
at=(4.9i+8.43j)(0.5i+0.86j) Vx=800cos60=400
at=2.45+7.25 Vy=692.82m/s

36. at=9.7m/s2
μv=0.5i+0.86j
Vf=200m
A: B:
Ts=Vosenθ/g ts=VosenB/g
Ts=0.05Vo ts=0.08Vo
Vo=ta/0.05 Vo=(ts)/0.08
xA=Vocosθ(0.05Vo) xB=VocosB(0.08Vo)
xa=2(0.04 Vo2) xB=(0.04 Vo2)
Vo2=2xA/0.04 Vo2=Xb/0.04
0.08TsA=0.05TsB Ta=Tb
TsB>TsA

37. Vox=Vocos(-15) Voy=Vosen(-15)
Vox=772.74m/s Voy=-207.06m/s
Y=xtgθ-g/(2Vo2cos2θ)x2
-2000=xtg(-15)-10/(2*8002*cos2(-15))
X=6245.25m
X=Xo+Voxt+1/2axt2
6245.25=7+2.76t
T=8.08s
200=Vocos30t x=Xo+Voxt+1/2axt2
Vo=230.94/t 200=Vox9.12
Vox=21.93im/s
Y=Yo+Voyt+1/2gt2 y=yo+Voyt+1/2gt2
-300=Vosen30ºt+1/2gt2 -300=Voy(9.12)+1/2(-10)(9.12)2
-300=(230.94/t)sen30ºt+1/2(-10)t2 Voy=12.7jm/s
T=9.12
Vy=Voy+gt
Vy=12.7-10*9.12
Vy=-78.5jm/s
V=(21.93i-78.5j)m/s

38. ha=Voyt-1/2gt2
ha=25*1.7-4.9*1.72 h=hA-HB
hA=28.34m h=28.34-22.65
h=5.69m
hB=Voyt-4.9t2
hB=21.6*1.7-4.9*1.72 VoxA=25cos60º
HB=22.65m VoxA=12.5
VoyB=2.5sen60º
VoyB=21.65
H=Ha-HB
H=28.34-22.65 x=Vox*t
H=5.69 x=12.5*1.7
X=21.25m
D= h 2 + x 2
D= 5.62 + 2.122 d=22m
Vo=3i+4j y= Tgθx-g/2Vo2cos2θ*x2
Tgθ=4/3 y=tg53.13x-10/(2*25*cos253.13)x3

39. θ=53.13º x=24.5m
Vo=5m/s
Tv=2Vosenθ =2(5*sen53.13/10)
g
Tv=0.8s
Y=Yo+Voyt+1/2gt2
-100=(-4)t+1/2*10t2 Vf2=Vo2+2gΔt
T=4.04s Vf2=()2+2*(-10)*(-300)
Vf=77.56m/s
V=(3i-77.56j)m/s