Công thức XSTK

1. PHẦN I: XAÙC SUAÁT
1. Bieán coá ngaãu nhieân & xaùc suaát cuûa bieán coá:
1.1.Coâng thöùc coäng xaùc suaát:
1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 bieán coá xung khaéc)
1.1.2. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A.B)  p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-[p(AB)+p(AC)
+p(BC)]+p(ABC)
1.2.Coâng thöùc nhaân xaùc suaát:
1.2.1. p(A.B)=p(A).p(B) (2 bieán coá ñoäc laäp)
1.2.2. p(A.B)=p(A).p(B/A)  1 2 1 2 1 1 2 1( ... ) ( ). ( / )... ( / .. )n n np A A A p A p A A p A A A A −=
1.3.Coâng thöùc Bernoulli: cho 2 bieán coá A vaø A
1.3.1. ( ) x x n x
n np x C p q −
= , p=p(A), q=1-p
1.4.Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû:
1 1 2 2( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )n np F p A p F A p A p F A p A p F A= + + +
1.5.Coâng thöùc Bayes:
( . ) ( ). ( / )
( / )
( ) ( )
i i i
i
p A F p A p F A
p A F
p F p F
= =
2. Bieán ngaãu nhieân:
2.1.Baûng phaân phoái xaùc suaát (bieán ngaãu nhieân rôøi raïc)
2.2.Haøm maät ñoä xaùc suaát ( ( )f x ) (bieãn ngaãu nhieân lieân tuïc)
2.2.1. ( )f x ≥ 0
2.2.2. ( ) 1f x dx
+∞
−∞
=∫
2.2.3. ( ) ( )
b
a
p a x b f x dx≤ ≤ = ∫
2.3.Haøm phaân phoái xaùc suaát ( ( )F x ) (duøng cho caû 2 loaïi bieán-thöôøng laø
bieán ngaãu nhieân lieân tuïc)
2.3.1. ( )F x =p( F <x)
2.3.2. '( ) ( )F x f x=
2.3.3. ( ) ( )
x
F x f t dt
−∞
= ∫
2.4.Kyø voïng
2.4.1. 1 1 2 2( ) ... n nE x x p x p x p= + + + (töø baûng phaân phoái xaùc suaát)
2.4.2. ( ) ( )E x xf x dx
+∞
−∞
= ∫

2. 2.5.Phöông sai:
2.5.1.
2 2
( ) ( ) [ ( )]V x E x E x= −
2.5.2.
2 2
( ) ( ) [ ( ) ]V x x f x dx xf x dx
+∞ +∞
−∞ −∞
= −∫ ∫
3. Moät soá phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng:
3.1. Phaân phoái chuaån toång quaùt: 2
~ ( ; )X N µ σ
3.1.1.
2
2
( )
2
1
( )
2
x
f x e
µ
σ
σ π
−
−
=
3.1.2. ( ) 1f x dx
+∞
−∞
=∫
3.1.3. ModX MedX µ= = ;
2
( ) , ( )E x V xµ σ= =
3.1.4. ( ) ( ) ( )
b a
p a x b
µ ϕ
ϕ ϕ
σ σ
− −
≤ ≤ = −
3.1.5. Phaân phoái chuaån taéc
2
0, 1µ σ= =
3.1.5.1. ~ (0,1)T N
3.1.5.2.
2
2
1
( )
2
t
f t e
π
−
=
3.1.5.3. Ñoåi bieán
X
T
µ
σ
−
=
3.1.5.4. ( ) ( ) ( )p a x b b aϕ ϕ≤ ≤ = −
3.2. Phaân phoái Poisson: ~ ( )X P λ ,λ >0
3.2.1. ( )
!
k
p k e
k
λ λ
λ −
= =
3.2.2. ( ) ( )E x V x λ= =
3.3. Phaân phoái nhò thöùc: ~ ( , )X B n p
3.3.1. ( ) ( ) , 1k k n k
n np X k p k C p q p q−
= = = + =
3.3.2.
0
( ) 1
n
k
p X k
=
= =∑
3.3.3. ( )E x np= , 0 0,ModX x np q x np q= − ≤ ≤ +
3.3.4. Khi n=1: ~ (1, )X B p :phaân phoái khoâng-moät
3.3.4.1.
2
( ) , ( ) , ( )E x p E x p V x pq= = =
3.3.5. Xấp xỉ phaân phoái nhò thöùc:

3. 3.3.5.1. Baèng phaân phoái Poisson: n >50, p <0.1; ~ ( , ) ~ ( )X B n p X P λ≈ ,
npλ = . ( )
!
k
k k n k
np x k C p q e
k
λ λ− −
= = =
3.3.5.2. Baèng phaân phoái chuaån: 0.5, 0.5, ,np nq np npqµ σ≥ ≥ = = .
~ ( , ) ~ ( , )X B n p X N np npq≈
1
( ) ( )
k
p x k f
µ
σ σ
−
= = ; p( 1k <X<
2 1
2 ) ( ) ( )
k k
k
µ µ
ϕ ϕ
σ σ
− −
= −
3.4.Phaân phoái sieâu boäi: ~ ( , , )AX H N N n [N:toång soá phaàn töû, AN :Soá
phaàn töû coù tính chaát A trong N, n: soá phaàn töû laáy ngaãu nhieân].Goïi X laø
soá phaàn töû coù tính chaát A trong n.
.
( ) A A
k n k
N N N
n
N
C C
p X k
C
−
−
= =
3.4.1. ( ) , AN
E X np p
N
= = ; ( ) . , 1
1
N n
V X npq q p
N
−
= = −
−
3.4.2. Xaáp xæ phaân phoái sieâu boäi baèng phaân phoái nhò thöùc:
0.05 ~ ( , )n N X B n p≤ ⇒ ; ( ) ,k k n k A
n
N
p X k C p q p
N
−
= = =
3.5.Bieán ngaãu nhieân 2 chieàu: X vaø Y ñoäc laäp ( ). ( )ij i jP p x q y⇔ =
vôùi moïi i,j
3.6. Hieäp phöông sai vaø heä soá töông quan:
3.6.1. Hieäp phöông sai(cov): cov( , ) ( ) ( ) ( )X Y E XY E X E Y= −
3.6.2. Heä soá töông quan ,X Yρ : ,
cov( , )
( ) ( )
X Y
X Y
X Y
ρ
σ σ
=
PHAÀN 2: THOÁNG KEÂ
1. Toång theå vaø maãu
1.1.Thöïc haønh tính toaùn treân maãu:
1.1.1. Tính trung bình ( nX ):
1
1 n
n i
i
X x
n =
= ∑
1.1.2. Tính tyû leä maãu: ( nf );
A
n
m
f
n
= ( Am :soá phaàn töû mang tính chaát A; n:
kích thöôùc maãu)
1.1.3. Tính phöông sai maãu:
2 2 2
1
1
[ ( ) ]
1
k
i iS n x n X
n
= −
−
∑
1.2.Öôùc löôïng tham soá cuûa toång theå:
1.2.1. Öôùc löôïng ñieåm:
2 2
( ) , ( ) , ( )n nE X E f p E Sµ σ= = =

4. 1.2.2. Öôùc löôïng khoaûng:
1.2.2.1. Öôùc löôïng khoaûng cho trung bình: Vôùi ñoä tin caäy 1-α cho
tröôùc, 1 maãu kích thöôùc n.
30n ≥ , 2
σ bieát 30n ≥ , 2
σ chöa bieát
X ,σ
1 2,X Xµ ε µ ε= − = +
2
.u
n
α
σ
ε =
(1 α− 0.5- 2
α
 2
uα
)
X ,s
1 2,X Xµ ε µ ε= − = +
2
.
s
u
n
αε =
(1 α− 0.5- 2
α
 2
uα
)
n <30, 2
σ bieát n <30, 2
σ chöa bieát
Nhö TH1 X ,s
1 2,X Xµ ε µ ε= − = +
( 1, )
2
.
n
s
t
n
αε
−
=
1.2.2.2. Öôùc löôïng khoaûng cho tyû leä: toång theå coù tyû leä p chöa bieát,
vôùi ñoä tin caäy 1 α− cho tröôùc, vôùi 1 maãu kích thöôùc n, tyû leä maãu
nf . Tìm 2 soá 1 2,p p thoaû: 1 2( ) 1p p p p α≤ ≤ = − , 1,2 np f ε= m Coâng
thöùc:
2
(1 )f f
u
n
αε
−
=
1.2.2.3. Öôùc löôïng khoaûng cho phöông sai:Giaû söû toång theå coù
2
σ
chöa bieát. Döïa vaøo 1 maãu kích thöôùc n, vôùi ñoä tin caäy 1-α cho
tröôùc.
TH1: µ chöa bieát, bieát
2
S . Khi ñoù ta coù
2 2
2
2 2
1 2
( 1) ( 1)
[ , ]
n S n S
σ
χ χ
− −
∈ trong
ñoù
2 2
1 ( 1, )
2
n
α
χ χ= − ,
2 2
2 ( 1,1 )
2
n
α
χ χ= − −
TH2: µ bieát. Khi ñoù
2
2 2
1 2
( ) ( )
[ , ]i i i in x n xµ µ
σ
χ χ
− −
∈
∑ ∑
, trong ñoù
2 2
1 ( , )
2
n
α
χ χ=
,
2 2
2 ( ,1 )
2
n
α
χ χ= −
1.2.3. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ:
1.2.3.1. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho µ

5. 1.2.3.1.1. TH1:
2
σ bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ Wα :
2
σ bieát (mieàn baùc boû 0H )
0 0:H µ µ=
1 :H µ ≠ 0µ
0
{ ,
X
W u n uα
µ
σ
−
= = > 2
uα
}
0 0:H µ µ=
1 :H µ < 0µ
0
{
X
W u nα
µ
σ
−
= = ,u<-uα }
0 0:H µ µ=
1 :H µ > 0µ
0
{
X
W u nα
µ
σ
−
= = ,u>uα }
1.2.3.1.2. TH2: 30n ≥ ,
2
σ khoâng bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ Wα (mieàn baùc boû 0H )
0 0:H µ µ=
1 :H µ ≠ 0µ
0
{ ,
X
W u n u
s
α
µ−
= = > 2
uα
}
0 0:H µ µ=
1 :H µ < 0µ
0
{
X
W u n
s
α
µ−
= = ,u<-uα }
0 0:H µ µ=
1 :H µ > 0µ
0
{
X
W u n
s
α
µ−
= = ,u>uα }
1.2.3.1.3. TH3: n <30,
2
σ khoâng bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ Wα (mieàn baùc boû 0H )
0 0:H µ µ=
1 :H µ ≠ 0µ
0
{ ,
X
W t n t
s
α
µ−
= = > ( 1, )
2
n
t α
− }
0 0:H µ µ=
1 :H µ < 0µ
0
{
X
W t n
s
α
µ−
= = ,t <- ( 1, )
2
n
t α
− }
0 0:H µ µ=
1 :H µ > 0µ
0
{ ,
X
W t n
s
α
µ−
= = t > ( 1, )
2
n
t α
− }
1.2.3.2. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho tyû leä:
Giaû thuyeát thoáng keâ Wα (mieàn baùc boû 0H )
0: 0H p p=
1:H p ≠ 0p
0
0 0
{ ,
(1 )
f p
W u u
p p
n
α
−
= =
− > 2
uα
}

6. 0: 0H p p=
1:H p < 0p
0
0 0
{
(1 )
f p
W u
p p
n
α
−
= =
− ,u <-uα }
0: 0H p p=
1:H p > 0p
0
0 0
{
(1 )
f p
W u
p p
n
α
−
= =
− ,u >uα }
1.2.3.3. Kieåm ñònh giaû thuyeát thoáng keâ cho phöông sai:
1.2.3.3.1. TH1: µ chöa bieát
Giaû thuyeát thoáng keâ Wα (mieàn baùc boû 0H )
2 2
0 0:H σ σ=
2
1 :H σ ≠
2
0σ
2
2
2
0
( 1)
{
n s
Wα χ
σ
−
= = ,
2
χ <
2
1χ hoaëc
2
χ >
2
2χ
2 2 2 2
1 2
( 1,1 ) ( 1, )
2 2
,
n n
α αχ χ χ χ
− − −
= =
2 2
0 0:H σ σ=
2
1 :H σ <
2
0σ
2
2
2
0
( 1)
{
n s
Wα χ
σ
−
= = ,
2
χ <
2
( 1,1 )n αχ − −
2 2
0 0:H σ σ=
2
1 :H σ >
2
0σ
2
2
2
0
( 1)
{
n s
Wα χ
σ
−
= = ,
2
χ >
2
( 1, )n αχ −
1.2.3.3.2. TH2: µ bieát.
Giaû thuyeát thoáng keâ Wα (mieàn baùc boû 0H )
2 2
0 0:H σ σ=
2
1 :H σ ≠
2
0σ
2
2
2
0
( )
{ i in x
Wα
µ
χ
σ
−
= =
∑
,
2
χ <
2
1χ hoaëc
2
χ >
2
2χ
2 2 2 2
1 2
( ,1 ) ( , )
2 2
,
n n
α αχ χ χ χ
−
= =
2 2
0 0:H σ σ=
2
1 :H σ <
2
0σ
2
2
2
0
( )
{ i in x
Wα
µ
χ
σ
−
= =
∑
,
2
χ <
2
( ,1 )n αχ −
2 2
0 0:H σ σ=
2
1 :H σ >
2
0σ
2
2
2
0
( )
{ i in x
Wα
µ
χ
σ
−
= =
∑
,
2
χ >
2
( , )n αχ
1.2.4. So sánh 2 tham số của tổng thể:
1.2.4.1. So sánh 2 số trung bình:
1.2.4.1.1. TH1:
2 2
1 230, 30, ,m n σ σ≥ ≥ biết
GTTK
Wα

7. 0 1 2:H µ µ=
1 1 2:H µ µ≠
2 2
21 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 
− 
= = > 
 +  
0 1 2:H µ µ=
1 1:H µ < 2µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 
− 
= = < − 
 +  
0 1 2:H µ µ=
1 1:H µ > 2µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 
− 
= = > 
 +  
1.2.4.1.2. TH2:m <30,n <30,
2 2
1 2,σ σ biết, X,Y có phân phối chuẩn
GTTK
Wα
0 1 2:H µ µ=
1 1 2:H µ µ≠
2 2
21 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 
− 
= = > 
 +  
0 1 2:H µ µ=
1 1:H µ < 2µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 
− 
= = < − 
 +  
0 1 2:H µ µ=
1 1:H µ > 2µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
m n
α α
σ σ
 
 
− 
= = > 
 +  
1.2.4.1.3. TH3:
2 2
1 230, 30, ,m n σ σ≥ ≥ không biết
GTTK
Wα
0 1 2:H µ µ=
1 1 2:H µ µ≠
2 2
21 2
;
X Y
W u u u
s s
m n
α α
 
 
− 
= = > 
 +  

8. 0 1 2:H µ µ=
1 1:H µ < 2µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
s s
m n
α α
 
 
− 
= = < − 
 +  
0 1 2:H µ µ=
1 1:H µ > 2µ
2 2
1 2
;
X Y
W u u u
s s
m n
α α
 
 
− 
= = > 
 +  
1.2.4.1.4. TH4:m <30,n <30, X,Y có phân phối chuẩn,
2 2
1 2σ σ= không biết
GTTK
Wα
0 1 2:H µ µ=
1 1 2:H µ µ≠
2,
2 2
;
1 1 m n
X Y
W t t t
s
m n
α α 
+ − ÷
 
 
 
− 
= = > 
  + ÷   
( ) ( )2 2
1 22 1 1
2
m s n s
s
m n
− + −
=
+ −
0 1 2:H µ µ=
1 1:H µ < 2µ
( )2,
2
;
1 1
m n
X Y
W t t t
s
m n
α α+ −
 
 
− 
= = < − 
  + ÷   
0 1 2:H µ µ=
1 1:H µ > 2µ
( )2,
2
;
1 1
m n
X Y
W t t t
s
m n
α α+ −
 
 
− 
= = > 
  + ÷   
1.2.4.1.5. TH5:m <30,n <30, X,Y có phân phối chuẩn,
2 2
1 2σ σ≠ chưa biết
GTTK
Wα
0 1 2:H µ µ=
1 1 2:H µ µ≠ 2 2
1 2 1 1 2 2
1 2 1 22 2 1, 1,
1 22 21 2
; ; , ; , ;
m n
s s t v t vX Y
W g g t t t t t v v t
m n v vs s
m n
α α α   
− − ÷  ÷
   
 
 
+− 
= = > = = = = = 
+ +  

9. 0 1 2:H µ µ=
1 1:H µ < 2µ
( )1 2 ( 1, )1,2 2
1 2
; ; , nm
X Y
W g g t t t t t
s s
m n
α αα −−
 
 
− 
= = < − = = 
 +  
0 1 2:H µ µ=
1 1:H µ > 2µ
2 2
1 2
;
X Y
W g g t
s s
m n
α
 
 
− 
= = > 
 +  
1.2.4.2. So sánh 2 tỷ lệ:
GTTK
Wα
0 1 2:H µ µ=
1 1 2:H µ µ≠
( )
1 2 1 2
1 2
2
; ; ,
1 1
1
f f k k
W u u u f f
m n
f f
m n
α α
 
 
− 
= = > = = 
  − + ÷   
0 1 2:H µ µ=
1 1:H µ < 2µ
( )
1 2
;
1 1
1
f f
W u u u
f f
m n
α α
 
 
− 
= = < − 
  − + ÷   
0 1 2:H µ µ=
1 1:H µ > 2µ
( )
1 2
;
1 1
1
f f
W u u u
f f
m n
α α
 
 
− 
= = > 
  − + ÷   
1.2.4.3. So sánh 2 phương sai:
GTTK
Wα
2 2
0 1 2:H σ σ=
2 2
1 1 2:H σ σ≠ ( )
( )
2
1
2
2 2
2
1
, ; 1, 1 ,
1, 1
s
W g g f hayg f f f m n f
s f n m
α α
α
 
 
= = < > = − − = 
− − 
 
2 2
0 1 2:H σ σ=
2 2
1 1 2:H σ σ>
2
1
2
2
, ( 1, 1)
s
W g g f m n
s
α α
 
= = > − − 
 

10. 0 1 2:H µ µ=
1 1:H µ < 2µ
( )1 2 ( 1, )1,2 2
1 2
; ; , nm
X Y
W g g t t t t t
s s
m n
α αα −−
 
 
− 
= = < − = = 
 +  
0 1 2:H µ µ=
1 1:H µ > 2µ
2 2
1 2
;
X Y
W g g t
s s
m n
α
 
 
− 
= = > 
 +  
1.2.4.2. So sánh 2 tỷ lệ:
GTTK
Wα
0 1 2:H µ µ=
1 1 2:H µ µ≠
( )
1 2 1 2
1 2
2
; ; ,
1 1
1
f f k k
W u u u f f
m n
f f
m n
α α
 
 
− 
= = > = = 
  − + ÷   
0 1 2:H µ µ=
1 1:H µ < 2µ
( )
1 2
;
1 1
1
f f
W u u u
f f
m n
α α
 
 
− 
= = < − 
  − + ÷   
0 1 2:H µ µ=
1 1:H µ > 2µ
( )
1 2
;
1 1
1
f f
W u u u
f f
m n
α α
 
 
− 
= = > 
  − + ÷   
1.2.4.3. So sánh 2 phương sai:
GTTK
Wα
2 2
0 1 2:H σ σ=
2 2
1 1 2:H σ σ≠ ( )
( )
2
1
2
2 2
2
1
, ; 1, 1 ,
1, 1
s
W g g f hayg f f f m n f
s f n m
α α
α
 
 
= = < > = − − = 
− − 
 
2 2
0 1 2:H σ σ=
2 2
1 1 2:H σ σ>
2
1
2
2
, ( 1, 1)
s
W g g f m n
s
α α
 
= = > − − 
 