Bat dang thuc trong de thi dai hoc

tµi liÖu tham kh¶o
bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè
I.KiÕn thøc c¬n b¶n:
1.C¸c bÊt d¼ng thøc th«ng dông:
a) 0: 2
≥∀ AA , 002
=⇔= AA .
b)Cho 0>a , ta cã: aAaaA ≤≤−⇔≤ .



≥
−≤
⇔≥
aA
aA
aA .
c) babababa +≤+≤−∀ :, .
2.§¼ng thøc liªn quan:
a) [ ]222222
)()()(
2
1
accbbacabcabcba −+−+−=−−−++ .
b) ))((3 222333
cabcabcbacbaabccba −−−++++=−++ .
II.C¸c vÝ dô :
VÝ dô 1: Chøng minh r»ng 0, ≥∀ ba , ta cã : abba 2≥+ .
Vµ baabba =⇔=+ 2 .
(BÊt ®¼ng thøc C«-Si).
Chøng minh:
Ta cã 0)(2 2
≥−=−+ baabba . Suy ra 02 ≥−+ abba .
VËy abba 2≥+ .
Vµ bababaabbaabba =⇔=−⇔=−⇔=−+⇔=+ 00)(022 2
.
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng 0,, ≥∀ cba , ta cã :
3
3 abccba ≥++ .
Vµ cbaabccba ==⇔=++ 3
3 .
(BÊt ®¼ng thøc C«-Si).
Chøng minh:
Ta cã ( ) ( ) ( ) 0)(
2
1
3
2
33
2
33
2
333333
≥



 −+−+−++=−++ accbbacbaabccba .
Suy ra 033
≥−++ abccba .
VËy 3
3 abccba ≥++ .
Vµ cbaabccba ==⇔=++ 3
3 .
VÝ dô 3: Chøng minh r»ng : dcbabdacdcba ,,,,)())(( 22222
∀+≥++ .
DÊu “=” x¶y ra khi nµo ?
(BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«xki ).
Chøng minh:
Ta cã 0)(2)())(( 2222222222
≥−=−+=+−++ bcadacbdcbdabdacdcba .
Suy ra 0)())(( 22222
≥+−++ bdacdcba .
VËy 22222
)())(( bdacdcba +≥++ . DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi bcad = .
VÝ dô 4: Chøng minh r»ng :
2
212121
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1 )())(( zzyyxxzyxzyx ++≥++++ , 212121 ,,,,, zzyyxx∀ .
(BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«xki ).
Chøng minh:
1

2
212121
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1 )())(( zzyyxxzyxzyx ++≥++++
212121212121
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1 222 zzyyzzxxyyxxyzzyxzzxxyyx ++≥+++++⇔ : lu«n ®óng.
VÝ dô 5: Cho a, b, c lµ çc sè thùc. Chøng minh r»ng :
a) ab
baba
≥




 +
≥
+
222
22
.
b)
333
22





 +
≥
+ baba
,víi 0≥+ ba .
c) 333
2222
cabcabcbacba ++
≥




 ++
≥
++
.
d)
3333
33





 ++
≥
++ cbacba
abc≥ .
DÊu “=” xÈy ra khi nµo ?
VÝ dô 6: Cho 122
=+ ba . Chøng minh r»ng : 22 ≤+≤− ba .
Chøng minh:
Ta cã 2)(2)( 222
=+≤+ baba . Suy ra 2)( 2
≤+ba 2≤+⇔ ba .
VËy 22 ≤+≤− ba .
VÝ dô 7:Chøng minh r»ng ba,∀ ta cã : 022
≥±+ abba .
Chøng minh:
Ta cã 0
4
3
2
1
4
3
4
1 2
2
22222
≥+





±=++±=±+ bbabbabaabba .
Suy ra 022
≥±+ abba . DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi 0
0
0
2
1
==⇔




=
=±
ba
b
ba
.
III.Çc bµi tËp:
Bµi 1. Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng :
a) yxyx +
≥+
411
.
b) zyxzyx ++
≥++
9111
. DÊu “=” xÈy ra khi nµo ?
Bµi 2.Cho 2=+ ba . Chøng minh r»ng : 244
≥+ ba .
Bµi 3. Cho 0, >ba . Chøng minh r»ng: ba
a
b
b
a
+≥+ .
Bµi 4.Chøng minh r»ng víi 3 sè d¬ng a, b, c bÊt k×, ta lu«n cã
322
3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a ++
≥
++
+
++
+
++
.
(Híng dÉn: Ta cã
3
2
22
3
ba
baba
a −
≥
++
).
Bµi 5. Cho x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn 1222
=++ zyx . Chøng minh r»ng :
1
2
1
≤++≤− zxyzxy .
Bµi 6. Cho 3 sè a, b, c bÊt k×, chøng minh r»ng :
a) )(3)( 2
cbaacbcabcab ++≥++ .
2

b) 2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + + .
Híng dÉn: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) .a b c d a c b d a b c d ac bd+ + + ≥ + + + ⇔ + + ≥ + ,
DÊu “=” xÈy ra khi 0ad bc− = .
c) 3 3 3
6 ( )( )a b c abc a b c ab bc ca+ + + ≥ + + + + ;
d) 3
( ) 9 4( )( )a b c abc a b c ab bc ca+ + + ≥ + + + + .
Bµi 7.Cho a, b,c > 0. Chøng minh r»ng :
)(3222222
cbaacaccbcbbaba ++≥++++++++ .
(Híng dÉn: Ta cã )(
2
322
bababa +≥++ ).
Bµi 8.a)Cho 1≥ab . Chøng minh r»ng :
abba +
≥
+
+
+ 1
2
1
1
1
1
22 .
b)Cho 1,, ≥cba . Chøng minh r»ng :
abccba +
≥
+
+
+
+
+ 1
3
1
1
1
1
1
1
333 .
Híng dÉn:
a) 0
)1)(1)(1(
)1()(
1
2
1
1
1
1
22
2
22
≥
+++
−−
⇔
+
≥
+
+
+ abba
abab
abba
.
b)¸p dông c©u a) cho biÓu thøc .
1
1
1
1
1
1
1
1
333
abccba +
+
+
+
+
+
+
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si :
Bµi 9.Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n bca
211
=+ . Chøng minh r»ng
4
22
≥
−
+
+
−
+
bc
bc
ba
ba
. DÊu “=” xÈy ra khi nµo?
Híng dÉn:
Ta cã bca
211
=+ . Suy ra ca
ac
b
+
=
2
.
Vµ 4)(
2
3
1
2
3
2
3
22
≥++=
+
+
+
=
−
+
+
−
+
c
a
a
c
c
ca
a
ca
bc
bc
ba
ba
. DÊu “=” xÈy ra khi a=b=c.
Bµi 10.Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng
3
2
1
2
1
2
1
222
≥




 +
+




 +
+




 + zyx
vµ 3
2
1
2
1
2
1
333
≥




 +
+




 +
+




 + zyx
.
DÊu “=” xÈy ra khi nµo?
Bµi 11.Cho x, y, z thuéc ®o¹n [0; 1] . Chøng minh r»ng :
zyxz
z
y
y
x
x
+
+
+
+
+
≤≤
+
+
+
+
+ 1
1
1
1
1
1
2
3
111 222 .
Híng dÉn:
Ta cã
2
1
1 2
≤
+ x
x
.
vµ 2
3
3
9
1
1
1
1
1
1
≥
+++
≥
+
+
+
+
+ zyxzyx .
Bµi 12.Cho 3 sè d¬ng cba ,, . Chøng minh r»ng :
abc
cba
abccabbca 2
111
222
++
≤
+
+
+
+
+ .
Híng dÉn:
Ta cã bc
abc
bcabca
2
22
=≥+ . Suy ra
abc
cb
abc
bc
bca 42
1
2
+
≤≤
+
.
Bµi 13. Cho 0,, ≥cba vµ 2
1
1
1
1
1
1
≥
+
+
+
+
+ cba
. Chøng minh r»ng : 8
1
≤abc .
3

Híng dÉn:
2
1
1
1
1
1
1
≥
+
+
+
+
+ cba )1)(1(
2
111
1
cb
bc
c
c
b
b
a ++
≥
+
+
+
≥
+
⇒
Suy ra )1)(1)(1(
8
)1)(1)(1(
1
cba
abc
cba +++
≥
+++
.
Bµi 14. Cho cba ,, tháa m·n ®iÒu kiÖn 1=++ cba . Chøng minh r»ng :
64
1
1
1
1
1
1 ≥





+





+





+
cba
.
Híng dÉn:
a
bca
a
acab
a
caba
a
a
a
4 2
42211
1 ≥
+
≥
+++
=
+
=+ .
Bµi 15.Cho 1, ≥ba . Chøng minh r»ng : ababba ≤−+− 11 .
Híng dÉn:
ababba ≤−+− 11 1
11
≤
−
+
−
⇔
b
b
a
a
mµ
2
1
2
111
=
+−
≤
−
a
a
a
a
.
Bµi 16. Cho 0,, >cba . Chøng minh r»ng :






++≤
++
+
++
+
++ cbabacacbcba
111
4
1
2
1
2
1
2
1
.
Híng dÉn: ¸p dông yxyx +
≥+
411
(x, y >0 ).






++≤
+
+
+
+
+ cbaaccbba
111
2
1111
.
≥+
411
(x, y >0 ).
a) 2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
;
b)
2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a ++
≥
+
+
+
+
+
.
c) 2
a b c d
b c c d d a a b
+ + + ≥
+ + + +
.
d) ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+ 2
15
≥
+
+
+
+
+
+
c
ba
b
ac
a
cb
.
Híng dÉn:
a) 2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
2
9
)
111
)(( ≥
+
+
+
+
+
++⇔
baaccb
cba .
9)
111
)(222( ≥
+
+
+
+
+
++⇔
baaccb
cba : lu«n ®óng.
b)
2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a ++
≥
+
+
+
+
+
)(
2
3
))(( cba
ba
c
ac
b
cb
a
cba ++≥
+
+
+
+
+
++⇔ .
c) cba
a
cba
a
cb
a
++
≥
+
=
+
2
)(
.
4

Bµi 19. Cho 0, >ba vµ 1=+ ba . Chøng minh r»ng :
a) 6
11
22
≥
+
+
baab
; b) 14
32
22
≥
+
+
baab
.
Híng dÉn:
a) 6
11
22
≥
+
+
baab
01712)(6 222222
≥+−⇔+≥++⇔ abbabaababba .
§Æt abt = , víi 4
1
≤t . Suy ra 01712)( 2
≥+−= tttf : lu«n ®óng.
Bµi 20.(§H2011A)Cho x, y, z lµ ba sè thùc thuéc ®o¹n [1; 4] vµ zxyx ≥≥ , .
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc xz
z
zy
y
yx
x
P
+
+
+
+
+
=
32 .
Híng dÉn:
y
x
x
y
z
x
y
z
x
y
P
+
+
+
≥
+
+
+
+
+
=
1
2
32
1
1
1
1
1
32
1
.
(¸p dông bÊt ®¼ng thøc : abba +
≥
+
+
+ 1
2
1
1
1
1
( 1≥ab ). DÊu “=” xÈy ra khi vµ
chØ khi ba = hoÆc 1=ab ).
DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi yx = hoÆc zx = (1).
§Æt t
y
x
= , víi [ ]2;1∈t . Ta cã
tt
t
P
+
+
+
≥
1
2
32 2
2
.
XÐt hµm sè
tt
t
tf
+
+
+
=
1
2
32
)( 2
2
, víi [ ]2;1∈t . Ta cã 0)(' <tf .
Suy ra 33
34
)2()( =≥ ftf . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 1,442 ==⇔=⇔= yx
y
x
t
(2).
Suy ra 33
34
≥P . Tõ (1) vµ (2) suy ra dÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi :
4,1,4 === zyx .
VËy 33
34
min =P , khi : 4,1,4 === zyx .
Bµi 21.(§H2011B)Cho a vµ b lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n
)2)(()(2 22
++=++ abbaabba . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc






+−





+= 2
2
2
2
3
3
3
3
94
a
b
b
a
a
b
b
a
P .
Híng dÉn:
§Æt a
b
b
a
t += , ta cã ( ) ( ) 1812942934 2323
+−−=−−−= ttttttP .
Víi )2(
11
12)2)(()(2 22
+





+=+





+⇔++=++ ab
aba
b
b
a
abbaabba
)2(
11
12 +





+=+





+⇔ ab
aba
b
b
a
)(22
22
12
a
b
b
a
ba
ba
a
b
b
a
+≥+++=+





+⇔
2
5
0154422212)(2212 2
≥⇔≥−−⇔+≥+⇔+≥+





+⇔ ttttt
a
b
b
a
a
b
b
a
.
Bµi 22.(§H2009D)Cho çc sè thùc kh«ng ©m x, y tháa m·n 1=+ yx . T×m
gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc xyxyyxS 25)34)(34( 22
+++= .
Bµi 23.(§H2009B)Cho çc sè thùc x, y thay ®æi tháa m·n 24)( 3
≥++ xyyx
.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 1)(2)(3 222244
++−++= yxyxyxA .
5

Híng dÉn:
1)(2)(
4
9 22222
++−+≥ yxyxA . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 22
yx = .
§Æt 22
yxt += , víi 102)()(24)( 233
≥+⇒≥−+++⇒≥++ yxyxyxxyyx
Suy ra
2
1
2
)( 2
22
≥
+
≥+
yx
yx . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 2
1
== yx .
Suy ra 2
1
≥t . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 2
1
== yx .
Vµ 12
4
9 2
+−≥ ttA . XÐt hµm sè 12
4
9
)( 2
+−= tttf , ta cã 02
2
9
)(' >−= ttf .
Suy ra 16
9
)
2
1
()( =≥ ftf . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 2
1
2
1
==⇔= yxt .
Suy ra 16
9
≥A . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 2
1
== yx .
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A b»ng 16
9
; khi 2
1
== yx .
Bµi 24.(§H2009A)Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n
yzzyxx 3)( =++ , ta cã 333
)(5))()((3)()( zyzyzxyxzxyx +≤+++++++ .
Híng dÉn:
Ta cã 222
)())(()()(4))((3)( zyzxyxzxyxyzzxyxyzzyxx +=++−+++⇔=++⇔=++ .
Suy ra 32
)(3).()(3).(4.3))()((3 zyzyzyzyyzzyzxyx +=++≤+=+++ .
vµ 3233
)(2))(2()()( zyzyzyxzxyx +≤+++=+++ (v× )(22 zyzyx +≤++ ).
Bµi 25.(§H2005D)Cho c¸c sè d¬ng x, y, z tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng
33
111 333333
≥
++
+
++
+
++
zx
xz
yz
zy
xy
yx
.
Bµi 26.(§H2005A)Cho x, y, z lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n 4
111
=++
zyx
. Chøng
minh r»ng 1
2
1
2
1
2
1
≤
++
+
++
+
++ zyxzyxzyx .
Híng dÉn:
Ta cã 





++≤





+
+
+
≤
++ zyxzxyxzyx
112
16
111
4
1
2
1
. DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi
x=y=z .
T¬ng tù ta cã : 





++≤
++ zyxzyx
121
16
1
2
1
,






++≤
++ zyxzyx
211
16
1
2
1
.
Suy ra 1
111
4
1
2
1
2
1
2
1
=





++≤
++
+
++
+
++ zyxzyxzyxzyx
.
Bµi 27.(§H2006A)Cho hai sè thùc 0,0 ≠≠ yx thay ®æi tháa m·n ®iÒu kiÖn
xyyxxyyx −+=+ 22
)( . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc 33
11
yx
A += .
Híng dÉn:
Ta cã xyyxyx
xyyxxyyx
31111
)(
2
22
−





+=+⇔−+=+
22
11
4
331111






+≤=





+−





+⇔
yxxyyxyx
.
DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y .
Suy ra 4
11
0
11
4
11
2
≤+⇒≤





+−





+
yxyxyx
. DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 2
1
== yx .
6

Vµ 64
1131111
32
≤





+=








−





+





+=
yxxyyxyx
A . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi
2
1
== yx .
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña A b»ng 64; khi 2
1
== yx .
Bµi 28.Cho a lµ sè cè ®Þnh, cßn x, y lµ çc sè thay ®æi. H·y t×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt cña biÓu thøc 22
)52()12( ++++−= ayxyxA .
Híng dÉn:
a)



=++
=+−
⇔=
052
012
0min
ayx
yx
A cã nghiÖm 4−≠⇔ a .
b)Víi 4−=a . Khi ®ã 22
)542()12( +−++−= yxyxA .
§Æt 12 +−= yxt . Ta cã 5
9
5
9
5
6
59125)32(
2
222
≥+





+=++=++= tttttA .
Suy ra 5
9
≥A .DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 5
6
−=t .
Suy ra 5
9
min =A khi 5
6
−=t .
VËy nÕu 4−≠a th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 0,
vµ nÕu 4−=a th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 5
9
.
Bµi t¬ng tù: Cho çc sè thùc x, y tháa m·n yx 22 ≤+ . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt
cña biÓu thøc 26442220205 22
+−+−+= yxxyyxH .
Bµi 29. Cho çc sè thùc x, y tháa m·n xyyx +=+ 122
. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸
trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 2244
yxyxT −+= .
Híng dÉn:
Ta cã xyxyyx 2122
≥+=+ vµ xyxyyx 2122
−≥+=+ . Suy ra 1
3
1
≤≤− xy .
vµ 1223)1(3)( 2222222222
++−=−+=−+= xyyxyxxyyxyxT .
§Æt xyt = . Suy ra 2
3
max =T ; 9
1
min =T .
Bµi 30.Cho çc sè thùc x, y tháa m·n 30 ≤≤ x , 40 ≤≤ y . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt
cña biÓu thøc )32)(4)(3( yxyxA +−−= .
Híng dÉn:
Ta cã 36
3
3231226
6
1
)32)(312)(26(
6
1
3
=




 ++−+−
≤+−−=
yxyx
yxyxA .
DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 6-2x=12-3y=2x+3y hay x=0, y=2.
VËy maxA=36; khi x=0, y=2.
Bµi 31.Cho çc sè thùc x, y, z tháa m·n 3≥x , 4≥y , 2≥z . T×m gi¸ trÞ lín
nhÊt cña biÓu thøc z
z
y
y
x
x
F
243 −
+
−
+
−
= .
Híng dÉn:
Ta cã:
32
13
3232
33
3
3).3(
3 ≤
−
⇔=
+−
≤
−
=−
x
xxxx
x . DÊu “=” xÈy ra khi vµ
chØ khi x-3=3 hay x=6.
7

T¬ng tù 4
14
≤
−
y
y
. DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi y=8.
22
12
≤
−
z
z
. DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi z=4.
Bµi 32.Cho çc sè thùc x, y, z tháa m·n 4=++ zxyzxy . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt
cña biÓu thøc 444
zyxF ++= .
Híng dÉn:
Ta cã 4222
=++≥++ zxyzxyzyx . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z= 2± .
3
16
3
)( 2222
444
≥
++
≥++=
zyx
zyxF .
Bµi 33.Cho x, y, z > 0 vµ x+y+z=1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña
111 +
+
+
+
+
=
z
z
y
y
x
x
P .
Híng dÉn:
Ta cã )
1
1
1
1
1
1
(3
+
+
+
+
+
−=
zyx
P .
Mµ 9)
1
1
1
1
1
1
)(3( ≥
+
+
+
+
+
+++
zyx
zyx
4
9
)
1
1
1
1
1
1
( ≥
+
+
+
+
+
⇔
zyx .
DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z= 3
1
.
Suy ra 4
3
≤P . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z= 3
1
.
Bµi 34.Cho çc sè thùc d¬ng a, b, c tháa m·n abc=1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt
cña biÓu thøc
bcac
ab
cbab
ac
caba
bc
P 222222
+
+
+
+
+
= .
Híng dÉn: §Æt a
x
1
= , b
y
1
= , c
z
1
= . Ta cã xyz=1 vµ
2
3
2
222
≥
++
≥
+
+
+
+
+
=
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
P . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=1.
Bµi 35.(HSG TØnh NA 2007)
a)Chøng minh r»ng : 





∈∀>





2
;0,cos
sin
3
π
xx
x
x
.
b)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n 3,1,0 =+≥≥ yxyx . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt
, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc xxyxyxP 5432 223
−+++= .
Bµi 36.(HSG TØnh NA 2006)Cho çc sè thùc x, y tháa m·n π<≤< yx0 .
Chøng minh r»ng xyyyxx sin)6(sin)6( 33
−≤− .
Bµi 37.(HSG TØnh NA 2000)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n 1,0,0 =+>> yxyx
vµ m lµ sè d¬ng cho tríc. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tæng xy
m
yx
S +
+
= 22
1
.
Bµi 38.(HSG TØnh NA 2008)Cho çc sè thùc d¬ng a, b, c . T×m gi¸ trÞ lín
nhÊt cña biÓu thøc
abc
ab
cab
ca
bca
bc
P
333 +
+
+
+
+
= .
Híng dÉn:
Ta cã )
333
(33
abc
c
cab
b
bca
a
P
+
+
+
+
+
−= .
§Æt abc
c
cab
b
bca
a
Q
333 +
+
+
+
+
= . Ta cã
8

2
)()333)(
333
( cbaabccabbca
abc
c
cab
b
bca
a
++≥+++++
+
+
+
+
+
4
3
)(
)(
2
2
≥
+++++
++
≥⇔
cabcabcba
cba
Q . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi cba == .
Suy ra 4
3
≤P . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi cba == .
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P b»ng 4
3
; khi cba == .
Bµi 39.(HSG TØnh NA 2009)Cho çc sè thùc d¬ng x, y, z . Chøng minh
r»ng
222222
9
36111
zxzyyxzyx +++
≥++ .
Híng dÉn:
Ta cã 036)9)((
9
36111 222222
222222
≥−+++++⇔
+++
≥++ xyzxzzyyxzxyzxy
zxzyyxzyx
( ) ( ) ( ) 034036393 3
4
3
4
3
2
3 ≥+−⇔≥−



 +⇔ xyzxyzxyzxyzxyz .
DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi zyx == .
§Æt 3 xyzt = , víi t>0. Ta cã 0)32()1(034 224
≥++−⇔≥+− ttttt : lu«n ®óng.
Bµi 40.(HSG TØnh NA 2010B)
a)Cho x, y lµ çc sè thùc tháa m·n 1)2(log)2(log 44 =−++ yxyx . T×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt cña biÓu thøc yxP −=2 .
b)Cho çc sè thùc d¬ng a, b, c tháa m·n 1=++ cba . Chøng minh r»ng
3
2
ab bc ca
ab c bc a ca b
+ + ≤
+ + +
.
Híng dÉn:
b)§Æt
aca
ca
abc
bc
cab
ab
A
+
+
+
+
+
= . Ta cã 





+
+
+
+
+
≤
bca
ca
abc
bc
cab
ab
A 32
. DÊu “=”
xÈy ra khi 3
1
=== cba . Suy ra 4
92
≤A .
Bµi 41.(HSG TØnh NA2010A)
a)Cho x, y lµ çc sè thùc tháa m·n 1)2(log)2(log 44 =−++ yxyx . Chøng minh
r»ng 152 ≥− yx .
b)Cho çc sè thùc a, b, c kh«ng ®ång thêi b¼ng 0, tháa m·n
)(2)( 2222
cbacba ++=++ . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
))((
333
cabcabcba
cba
P
++++
++
= .
Híng dÉn:
b)Ta cã 22222
)(
4
1
)(2)( cbacabcabcbacba ++=++⇔++=++ . Suy ra














++
+





++
+





++
=
++
++
=
333
3
333
4
)(
)(4
cba
c
cba
b
cba
a
cba
cba
P .
§Æt cba
a
x
++
= , cba
b
y
++
= , cba
c
z
++
= . Ta cã
9





+−=
−=+
⇔




=++
=++
4
1
1
4
1
1
2
xxyz
xzy
zxyzxy
zyx
.
Vµ 3
2
00234)( 22
≤≤⇔≤−⇔≥+ xxxyzzy .
Suy ra 3744
4
1
)1()1(4)(4 23233333
+−+=











+−−−−+=++= xxxxxxxxzyxP .
XÐt hµm sè 3744)( 23
+−+= xxxxf , víi 





∈
3
2
;0x . Ta cã
4
1
07812)(' 2
=⇔=−+= xxxxf .
Bµi 42.Cho çc sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n 2
3
≤++ zyx . T×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt cña biÓu thøc zyx
zyxP
111
+++++= .
Híng dÉn:
§Æt zyxt ++= . Ta cã 9)
111
)(( ≥++++
zyx
zyx
tzyx
9111
≥++⇒ .Víi 




∈
2
3
;0t .
Suy ra t
tP
9
+≥ . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=1.
Bµi 43.Cho çc sè thùc d¬ng x, y tháa m·n 6
32
=+
yx
. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt
cña biÓu thøc yxS += .
Bµi 44.Cho çc sè thùc kh«ng ©m x, y tháa m·n 1=+ yx .T×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc 11 +
+
+
=
x
y
y
x
P .
Bµi 45.Cho çc sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n 1222
=++ zyx . Chøng minh r»ng
2
33
222222
≥
+
+
+
+
+ yx
z
xz
y
zy
x
.
Híng dÉn:
Ta cã 2
33
222222
≥
+
+
+
+
+ yx
z
xz
y
zy
x
2
33
)1()1()1( 2
2
2
2
2
2
≥
−
+
−
+
−
⇔
zz
z
yy
y
xx
x
.
XÐt hµm sè )1()( 2
tttf −= , víi )1;0(∈t . Ta cã 33
2
)( ≤tf .
Bµi 46.Cho n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1. Chøng minh r»ng
nnn
baba





 +
≥
+
22
.
Híng dÉn:
XÐt hµm sè nn
xcxxf )()( −+= , víi c>0. Ta cã )
2
()(
c
fxf ≥ .
§Æt xa = , xcb −= . Suy ra 0>+ ba .
VËy
nnn
baba





 +
≥
+
22
.
10

Bµi 47.(HSG12A-NA:2011-2012)
Cho ba sè thùc , ,x y z tháa m·n x y z xyz+ + = và 1 1 1, ,x y z> > > . T×m gi¸ trÞ
nhá nhÊt cña biÓu thøc 2 2 2
11 1yx z
P
y z x
−− −
= + + .
Híng dÉn:
2 2 2
x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1
P
y z x
− + − − + − − + −
= + + 2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y z x y z
   
− + + + + + ÷  ÷
   
(1).
Mà 2 2 2
x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1
y z x
− + − − + − − + −
+ +
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
x 1 y 1 z 1
x y y z x z
     
= − + + − + + − + ÷ ÷  ÷
    
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 1 y 1 z 1
xy yz xz
≥ − + − + − (2).
Tõ (1) và (2) suy ra
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
P 2
x y z x y z xy yz zx
 
≥ + + + + + − + + ÷
 
(3).
Tõu gi¶ thiÕt ta cã
1 1 1
1
xy yz zx
+ + = (4).
Mà 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1
x y z xy yz zx
+ + ≥ + + = (5).
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3
x y z xy yz zx x y z
   
+ + ≥ + + ⇒ + + ≥ ÷  ÷
   
(6).
Tõ (3), (4), (5) và (6) suy ra P 3 1≥ − .
DÊu b»ng xÈy ra khi x y z 3= = = .
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P là 3 1− .
Bµi 48.(HSG12B-NA:2011-2012)
Cho x,y,z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu
thøc
2 2 2
1 1 1
1 1 1
P
x y z
= + +
+ + +
.
____________________________________________________________
_______
khai th¸c mét sè bÊt ®¼ng thøc quen thuéc
i.Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi t¬ng ®¬ng:
Bµi to¸n 1: Cho a, b lµ c¸c sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng: ba
a
b
b
a
+≥+
.
11

1.1)Cho a, b lµ çc sè thùc d¬ng . Chøng minh r»ng 2
1
≥
+
++
baa
b
b
a
.
Híng dÉn:
Ta cã ba
a
b
b
a
+≥+ . Suy ra 2
11
≥
+
++≥
+
++
ba
ba
baa
b
b
a
.
1.2)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng
2
2222
≥
++
+
+
+
+
+
+ cbaba
c
ac
b
cb
a
.
Híng dÉn:
Ta chøng minh
2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a ++
≥
+
+
+
+
+
. ThËt vËy:
)(
2
3
2
222222
cba
ba
c
c
ac
b
b
cb
a
a
cba
ba
c
ac
b
cb
a
++≥





+
++





+
++





+
+⇔
++
≥
+
+
+
+
+
)(
2
3
cba
ba
cba
c
ac
cba
b
cb
cba
a ++≥





+
++
+





+
++
+





+
++
⇔
2
3
≥
+
+
+
+
+
⇔
ba
c
ac
b
cb
a
2
9
111 ≥
+
++
+
++
+
+⇔
ba
c
ac
b
cb
a
.
Mµ 2
9111
)(111 ≥





+
+
+
+
+
++≥
+
++
+
++
+
+
accbba
cba
ba
c
ac
b
cb
a
: lu«n ®óng.
1.3)Cho x, y, z lµ nh÷ng sè thùc d¬ng . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
zyxyx
z
xz
y
zy
x
P
++
+
+
+
+
+
+
=
3
.
1.4)Cho çc sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n 2
3
≤++ zyx . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt
cña biÓu thøc zyx
zyxP
111
+++++= .
Híng dÉn:
§Æt zyxt ++= . Ta cã 9)
111
)(( ≥++++
zyx
zyx
tzyx
9111
≥++⇒ .Víi 




∈
2
3
;0t .
Suy ra t
tP
9
+≥ . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=1.
Bµi to¸n 1.5:
a)Cho a, b, c lµ çc sè thùc tháa m·n 0≥++ cba . Chøng minh r»ng
9
)( 3
333 cba
cba
++
≥++ .
b)Cho a, b, c lµ çc sè thùc. Chøng minh r»ng
3
)( 2
222 cba
cba
++
≥++ .
1.6)Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n xyzxzyzxy =++ . Chøng minh
r»ng
81333
≥++ zyx .
Híng dÉn:
Ta cã
9
)( 3
333 zyx
zyx
++
≥++ . Mµ 1
111
=++⇔=++
zyx
xyzxzyzxy .
Suy ra 99)
111
)(( ≥++⇔≥++++ zyx
zyx
zyx .
VËy 81333
≥++ zyx .
12

1.7)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n 1=++ cba . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt
cña biÓu thøc
333
1
1
1
1
1
1






+
+





+
+





+
=
cba
P .
Híng dÉn:
§Æt a
x
+
=
1
1
, b
y
+
=
1
1
, c
z
+
=
1
1
. Ta cã 4
111
=++
zyx . Suy ra 4
9
≥++ zyx .
DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 4
3
=== zyx hay 3
1
=== cba .
Suy ra 64
81333
≥++= zyxP . DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 4
3
=== zyx hay
3
1
=== cba .
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P b»ng 64
81
, khi 3
1
=== cba .
1.8)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
333






+
+





+
+





+
=
ba
c
ac
b
cb
a
P .
Híng dÉn:
§Æt cb
a
x
+
= , ac
b
y
+
= , ba
c
z
+
= . Ta cã 6
111
≥++
zyx . Suy ra 2
3
≥++ zyx .
Bµi to¸n 1.9: Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng . Chøng minh r»ng
2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a ++
≥
+
+
+
+
+
.
Híng dÉn:
2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a ++
≥
+
+
+
+
+
)(
2
3
))(( cba
ba
c
ac
b
cb
a
cba ++≥
+
+
+
+
+
++⇔ .
2
3
≥
+
+
+
+
+
⇔
ba
c
ac
b
cb
a
2
9
)
111
)(( ≥
+
+
+
+
+
++⇔
baaccb
cba .
9)
111
)(222( ≥
+
+
+
+
+
++⇔
baaccb
cba : lu«n ®óng.
1.10)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n 1=++ cabcab . Chøng minh
r»ng
2
3222
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
.
Híng dÉn:
3)(3)( 2
≥++⇒++≥++ cbacabcabcba .
1.11)Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n 1=++ zyx . T×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt cña biÓu thøc y
xz
x
zy
z
yx
P
+
+
+
+
+
+
+
+
=
1
)(
1
)(
1
)( 222
.
Híng dÉn:
§Æt xzczybyxa +=+=+= ,, . Ta cã 2=++ cba vµ 1
2
222
=
++
≥
+
+
+
+
+
=
cba
ba
c
ac
b
cb
a
P .
Bµi to¸n 1.12:Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh
r»ng
3
2
1
2
1
2
1
222
≥




 +
+




 +
+




 + zyx
vµ 3
2
1
2
1
2
1
333
≥




 +
+




 +
+




 + zyx
.
DÊu “=” xÈy ra khi nµo?
1.13)Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n 1=xyz . Chøng minh r»ng
13

a)( ) ( ) ( ) 12
222
≥+++++ xzzyyx .
b)( ) ( ) ( ) 24
333
≥+++++ xzzyyx .
1.14)Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n 1=++ zyx . Chøng minh r»ng
3
1222
≥++ zyx vµ 9
1333
≥++ zyx .
1.15)Cho x, y, z lµ çc sè thùc tháa m·n 1222
=++ zyx . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt
cña biÓu thøc 333
zyxP ++= .
1.16)Cho x, y lµ çc sè thùc tháa m·n 122
=+ yx . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
biÓu thøc 33
yxP += .
Bµi to¸n 1.17: Cho 0,, >cba . Chøng minh r»ng :






++≤
+
+
+
+
+ cbaaccbba
111
2
1111
.
≥+
411
(x, y >0 ).
1.18)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n 1
111
=++
cba . Chøng minh r»ng
2
1111
≤
+
+
+
+
+ accbba
.
1.19)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n 1=++ cba . Chøng minh r»ng
2
1
≤
+
+
+
+
+ ac
ca
cb
bc
ba
ab
.
1.20)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n 1=++ cba . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt
cña biÓu thøc
ac
ca
cb
bc
ba
ab
A
+
+
+
+
+
= .
Híng dÉn:
)(
2
1
222
accbba
ac
ac
cb
cb
ba
ba
ac
ca
cb
bc
ba
ab
A +++++≤
+
+
+
+
+
+
+
+
≤
+
+
+
+
+
=
⇒=++≤+++++ 6)(6)( 2
cbaaccbba 6≤+++++ accbba
Suy ra
2
6
≤A . DÊu “=” xÈy ra khi 3
1
=== cba .
Bµi to¸n 1.21.Chøng minh r»ng víi 3 sè d¬ng a, b, c bÊt k×, ta lu«n cã
322
3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a ++
≥
++
+
++
+
++
.
(Híng dÉn: Ta cã
3
2
22
3
ba
baba
a −
≥
++
).
1.22)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n 1=++ cba .Chøng minh r»ng
3
1
22
3
22
3
22
3
≥
++
+
++
+
++ acac
c
cbcb
b
baba
a
.
1.23)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n 1=abc .Chøng minh r»ng
122
3
22
3
22
3
≥
++
+
++
+
++ acac
c
cbcb
b
baba
a
.
Bµi to¸n 1.24:Cho a, b,c > 0. Chøng minh r»ng :
)(3222222
cbaacaccbcbbaba ++≥++++++++ .
(Híng dÉn: Ta cã )(
2
322
bababa +≥++ ).
1.25)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n 1=++ cba .Chøng minh r»ng :
3222222
≥++++++++ acaccbcbbaba .
1.26)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n 1=abc .Chøng minh r»ng :
14

33222222
≥++++++++ acaccbcbbaba .
Bµi to¸n 1.27:Cho 0,, >cba . Chøng minh r»ng :
2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a ++
≥
+
+
+
+
+
.
Híng dÉn:
Ta cã 2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
2
9
)
111
)(( ≥
+
+
+
+
+
++⇔
baaccb
cba .
9)
111
)(222( ≥
+
+
+
+
+
++⇔
baaccb
cba : lu«n ®óng.
vµ
2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a ++
≥
+
+
+
+
+
)(
2
3
))(( cba
ba
c
ac
b
cb
a
cba ++≥
+
+
+
+
+
++⇔ .
1.28)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n 1=++ cba .Chøng minh r»ng :
2
1222
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
.
1.29)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n 1=abc .Chøng minh r»ng :
2
3222
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
.
II.Ph¬ng ph¸p ®a vÒ hµm sè mét biÕn:
2.1)Cho x, y lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n 5
94
=+
yx
cña biÓu thøc yx
yxH
+
++=
4
.
Híng dÉn:
§Æt yxt += , víi 5
94
=+
yx .Ta cã : 5525)
94
)(( ≥⇒≥+⇒≥++ tyx
yx
yx .
Vµ t
tH
4
+= .
2.2)Cho çc sè thùc x, y, z tháa m·n 1=++ zxyzxy . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
biÓu thøc 444
444 4
zyx
zyxP
++
+++= .
Híng dÉn:
§Æt 444
zyxt ++= , víi 1222
=++≥++ zxyzxyzyx . Suy ra
3
1
3
)( 2222
444
≥
++
≥++
zyx
zyx .
2.3)Cho çc sè thùc a, b tháa m·n 122
=+ ba . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ
nhá nhÊt cña biÓu thøc )2)(( baabbaP +++= .
Híng dÉn:
Ta cã [ ] )()()(1)()()( 232
babababababaP +−+++=−++++= .
§Æt bat += , víi 122
=+ ba . Suy ra 222)(2)( 222
≤+≤−⇔≤+≤+ bababa
hay ]2;2[−∈t . Vµ tttP −+= 23
, víi ]2;2[−∈t .
2.4)Cho x, y lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n xyyx =+ . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt
cña biÓu
thøc xyyxP 933
−+= .
Híng dÉn:
Ta cã [ ] )(9)(3)(93)()( 232
yxyxyxxyxyyxyxP +−+−+=−−++= .
§Æt yxt += , víi 2
)(
4
1
yxxyyx +≤=+ 4≥+⇒ yx 4≥⇒ t .
Vµ tttP 93 23
−−= , víi 4≥t .
15

11
=+
yx
cña biÓu thøc yx
yxP
+
++=
422
.
Híng dÉn:
yx
yxyxP
+
++−+=
4
)(2)( 2
. §Æt yxt += . Víi 44)
11
)(( ≥+⇒≥++ yx
yx
yx .
2.6)Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n zyx
111
=+ . Chøng minh r»ng
4
33
2
22
≥
+
+
+
yx
z
z
yx
Híng dÉn:
yx
z
z
yx
yx
z
z
yx
+
+
+
≥
+
+
+
2
2
2
22
2
)(
. DÊu “=” xÈy ra khi yx =
§Æt z
yx
t
+
= . Víi 4
111
≥
+
⇒=+
z
yx
zyx hay 4≥t .DÊu “=” xÈy ra khi zyx 2== .
XÐt hµm sè
t
t
tf
1
2
)(
2
+= , víi 4≥t .
2.7)Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
zyx
zyxP
++
+++=
2222
.
Híng dÉn:
zyx
zyx
P
++
+
++
≥
2
3
)( 2
. DÊu “=” xÈy ra khi zyx == .
§Æt zyxt ++= . Ta cã
t
t
tfP
2
3
)(
2
+=≥ víi 0>t .
2.8)Cho x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n 1=xyz . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt
cña biÓu thøc zyx
zyxP
++
+++=
2222
.
Híng dÉn:
zyx
zyx
P
++
+
++
≥
2
3
)( 2
. DÊu “=” xÈy ra khi zyx == .
§Æt zyxt ++= . Ta cã 3333 ≥⇒=≥++ txyzzyx
vµ
t
t
tfP
2
3
)(
2
+=≥ víi 3≥t .
2.9)Cho x, y lµ çc sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng
xyyxyxxy 6)(4 22
≥+++ .
Híng dÉn:
xyyxyxxy 6)(4 22
≥+++ 6
11
)(4 22
≥+++⇔
yx
yx .
yx
yx
yx
yx
+
++≥+++
4
)(2
11
)(4 222
.
§Æt yxt += . XÐt hµm sè t
ttf
4
2)( 2
+= , víi 0>t .
2.10)Cho x, y lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n )(22
yxxyyx +=+ . T×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt cña biÓu thøc xyyxP 633
−+= .
Híng dÉn:
23
)(3)( yxyxP +−+= .
16

§Æt yxt += . Víi )(22
yxxyyx +=+ . Ta cã
4
)(
)(
3
yx
yxxy
+
≤+ vµ 22
2
2
)(
yx
yx
+≤
+
Suy ra ≤
+
2
)( 2
yx
4
)( 3
yx +
hay 2≥+ yx . Vµ 23
3ttP −= , víi 2≥t .
2.11)Cho x, y lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n )(22
yxxyyx +=+ . T×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt cña biÓu thøc xyyxyxP 6)(933
−+−+= .
2.12)Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n ))(()( 22
cbacbacba +++=++
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc )(9))(2(3333
cbacbabccbaP ++−+−+++= .
Híng dÉn:
§Æt cbyax +== , .
2.13)Cho x, y, z lµ çc sè thùc tháa m·n 1222
=++ zyx . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ
gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 2
4
+++
+++=
zxyzxy
zxyzxyP .
Híng dÉn:
§Æt zxyzxyt ++= , víi 1
2
1
1222
≤++≤−⇒=++ zxyzxyzyx hay 





−∈ 1;
2
1
t .
Ta cã 2
4
)(
+
+==
t
ttfP , víi 





−∈ 1;
2
1
t .
00
)2(
4
)2(
4
1)(' 2
2
2
=⇔=
+
+
=
+
−= t
t
tt
t
tf .
6
13
)
2
1
(,2)0( =−= ff , 3
7
)1( =f .
Suy ra 3
7
)1(max == fP khi 1=t hay 3
1
±=== zyx .
vµ 2)0(min == fP khi 0=t hay 0=++ zxyzxy vµ 1222
=++ zyx .
111
=+ .Chøng minh r»ng
4
17
≥
+
+
+
yx
z
z
yx
111
=+ . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt
cña biÓu thøc
22






+
+




 +
=
yx
z
z
yx
P .
111
cña biÓu thøc
33






+
+




 +
=
yx
z
z
yx
P .
111
cña biÓu thøc
44






+
+




 +
=
yx
z
z
yx
P .
111
cña biÓu thøc yx
z
z
yx
P
+
+
+
= .
2.19)Cho x, y lµ çc sè thùc d¬ng tháa m·n xyyxyx ++=++ )(2222
. T×m gi¸
trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc yx
xyxyA
+
−+=
4
2 .
17

Híng dÉn:
Ta cã )(52)(44)(24)( 222
yxxyyxyxyx +≤++=++≤++
4104)(5)( 2
≤+≤⇔≤++−+⇒ yxyxyx .
vµ 2)(2)(2 2
++−+=+ yxyxxyxy . Suy ra
yx
yxyxA
+
−++−+=
4
2)(2)( 2
. §Æt yxt += , víi [ ]4;1∈t .
Khi ®ã t
tttfA
4
22)( 2
−+−== ,víi [ ]4;1∈t .
0
)22)(1(24224
22)(' 2
2
2
23
2
>
+−+
=
+−
=+−=
t
ttt
t
tt
t
ttf .
Suy ra 8)4(max == fA khi x=y=2; vµ 5)1(min == fA khi 2
1
== yx .
2.20)Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n xyyx 244
=+ . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸
trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 22222
)()(23 yxyxxyyxxyA +−+++= .
Híng dÉn:
Ta cã
8
)(
2
)(
2
2
)( 4222
44
2
yxyx
yxxy
yx +
≥
+
≥+=≥
+
224)(00)()(4 242
≤+≤−⇔≤+≤⇔≥+−+⇒ yxyxyxyx .
Vµ 2 24
)(2)( yxyxA +−+= . §Æt yxt += , víi [ ]2;2−∈t .
Khi ®ã 24
2)(2 tttfA −== ,víi [ ]2;2−∈t
1,0044)(' 3
±==⇔=−= tttttf .
8)2(,1)1(,0)0( =±−=±= fff .
Suy ra 4max =A khi 1±== yx .
2
1
min −=A khi
2
5721
,
2
5721 −−
=
−+
= yx hoÆc
2
5721
,
2
5721 −+
=
−−
= yx hoÆc
2
1721
,
2
1721 −−−
=
−+−
= yx hoÆc
2
1721
,
2
1721 −+−
=
−−−
= yx .
2.21)Cho c¸c sè thùc 0,0 ≠≠ yx tháa m·n xyyxyx ++=++ )(22 2244
. T×m gi¸ trÞ
lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 22
22 4
2
yx
xyyxA
+
−+= .
Híng dÉn:
Ta cã )(
2
5
)(222)(
2
1 222244222
yxxyyxyxyx +≤++=++≤++
4104)(5)( 2222222
≤+≤⇔≤++−+⇔ yxyxyx .
vµ 22
22222 4
2)(2)(
yx
yxyxA
+
−++−+= . §Æt 22
yxt += , víi [ ]4;1∈t .
6)(2 yxyxyx =++ . T×m gi¸ trÞ
lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc xyyx
A
311
4 +





+= .
Híng dÉn:
Ta cã xyyx
yxyxyx
12
2
11
46)(2 33
223333
=+





+⇔=++ vµ
2
33
3
11
3
12
2
11
42
11






+≤=+





+≤+





+
yxxyyxyx
.
18

Suy ra 31
11
1
11
32
11
23
+≤+≤⇔





+≤+





+
yxyxyx
.
§Æt yx
t
11
+= , víi [ ]31;1 +∈t .Ta cã 22
1
14 2
+
−+−+=
t
tttA = 22
1
132
+
−++
t
tt .
XÐt hµm sè )(tf = 22
1
132
+
−++
t
tt ,víi [ ]31;1 +∈t .
0
)22(
2
32)(' 2
>
+
++=
t
ttf .
Suy ra 4
19
)1(min == fA khi 2== yx ; )31(max += fA khi 13 −== yx .
19

Bat dang thuc trong de thi dai hoc

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (8)

Bat dang thuc trong de thi dai hoc