Tài liệu trình bày các quy tắc khai phương liên quan đến tích và thương của các căn thức bậc hai với các số không âm và dương. Nó cung cấp các ví dụ minh họa và bài tập áp dụng để củng cố kiến thức đã học. Các quy tắc này bao gồm việc khai phương từng số, nhân hoặc chia các số dưới dấu căn và lấy căn bậc hai của kết quả.

1. KIỂM TRA BÀI CŨ
Phát biểu quy tắc khai phương một tích, quy tắc nhân các căn thức bậc hai ?
7.63
a) 0, 09.64
b)
Đáp án
Muốn khai phương một tích của các số không âm ta có thể khai phương từng thừa số rồi
nhân các kết quả với nhau.
Quy tắc khai phương một tích
Quy tắc nhân các căn thức bậc hai
Muốn nhân các căn thức bậc hai của các số không âm ta có thể nhân các số dưới dấu căn với
nhau rồi khai phương kết quả thu được.
Áp dụng
7.63
a) = 7.7.9 = 2
7 .9 = 21
2 2
7 . 3
=
7.3
=
0, 09.64
b) = 0, 09. 64 = 0,3.8 = 2, 4
Áp dụng tính

2. §4 : LIÊN HỆ GiỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
1. Định lí
?1
16
25
Giải
16
25
2
4
5
 
  
 
4
5

Tính và so sánh:
16
25
và
16
25
4
5

Ta có:
Vậy
16
25
16
25
=
Như vậy: Với số a không
âm và số b dương ta có
điều gì ?
Với số a không âm và số b dương ta có:
a a
b b

Chứng minh
Vì và nên xác định và
không âm
0
a  0
b 
a
b
Ta có:
2
a
b
 
 
 
 
 
 
2
2
a
b

a
b

Vậy: là căn bậc hai số học của ,
a
b
a
b
tức là a a
b b


3. LIÊN HỆ GiỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
2. Áp dụng
Muốn khai phương một
thương a/b với số a không
âm và số b dương ta làm
như thế nào ?
Giải
a) Quy tắc khai phương một thương
Muốn khai phương một thương , trong
đó số a không âm và số b dương ta có thể lần
lượt khai phương số a và số b rồi lấy kết quả
thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
a
b
Ví dụ 1: Áp dụng quy tắc khai phương một
thương, hãy tính.
25
121
a) b)
9 25
:
16 36
25
121

5
11

25
121
a)
b)
9 25
:
16 36
9 25
:
16 36

3 5
:
4 6

3 6
.
4 5

9
10


4. LIÊN HỆ GiỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
2. Áp dụng
a) Quy tắc khai phương một thương
Muốn khai phương một thương , trong
đó số a không âm và số b dương ta có thể lần
lượt khai phương số a và số b rồi lấy kết quả
thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
a
b
?2 Tính a)
225
256
0,0196
b)
225
256

Giải
a)
225
256
196
10000

15
16

0,0196
b)
196
10000

14
100

7
50

Như vậy: Ngược lại với
quy tắc khai phương một
thương là quy tắc nào ?
b) Quy tắc chia hai căn thức bậc hai
Muốn chia căn bậc hai của số a không âm
cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia
số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.

5. LIÊN HỆ GiỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
2. Áp dụng
a) Quy tắc khai phương một thương
Muốn khai phương một thương , trong
đó số a không âm và số b dương ta có thể lần
lượt khai phương số a và số b rồi lấy kết quả
thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
a
b
a)
80
5
49 1
: 3
8 8
b)
Giải
49
25

b) Quy tắc chia hai căn thức bậc hai
Muốn chia căn bậc hai của số a không âm
cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia
số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.
Ví dụ 2: Tính
a)
80
5
80
5
 16
 4

49 1
: 3
8 8
b)
49 1
:3
8 8

49 25
:
8 8

49 8
.
8 25
 7
5


6. LIÊN HỆ GiỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
2. Áp dụng
a) Quy tắc khai phương một thương
Muốn khai phương một thương , trong
đó số a không âm và số b dương ta có thể lần
lượt khai phương số a và số b rồi lấy kết quả
thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
a
b
a)
999
111
Giải
52
117

b) Quy tắc chia hai căn thức bậc hai
Muốn chia căn bậc hai của số a không âm
cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia
số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.
b)
52
117
999
111
 3

4
9

9

2
3

?3 Tính
a)
999
111
b)
52
117
4.13
9.13

Định lí trên có đúng với
hai biểu thức A không âm
và B dương hay không ?
Chú ý
Với biểu thức A không âm và biểu thức B
dương, ta có:
A A
B B


7. LIÊN HỆ GiỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
2. Áp dụng
a) Quy tắc khai phương một thương
Muốn khai phương một thương , trong
đó số a không âm và số b dương ta có thể lần
lượt khai phương số a và số b rồi lấy kết quả
thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
a
b
Giải
2
4
25
a

b) Quy tắc chia hai căn thức bậc hai
Muốn chia căn bậc hai của số a không âm
cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia
số a cho số b rồi khai phương kết quả đó. 3

9

a)
2
4
25
a
27
3
a
a

Chú ý
Với biểu thức A không âm và biểu thức B
dương, ta có:
A A
B B

Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau:
b)
27
3
a
a
( Với a > 0 )
a)
2
4
25
a 2
4.
5
a

2
5
a

27
3
a
a
b) ( Với a > 0 )

8. LIÊN HỆ GiỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
2. Áp dụng
a) Quy tắc khai phương một thương
Muốn khai phương một thương , trong
đó số a không âm và số b dương ta có thể lần
lượt khai phương số a và số b rồi lấy kết quả
thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
a
b
Giải
2 4
25
a b

b) Quy tắc chia hai căn thức bậc hai
Muốn chia căn bậc hai của số a không âm
cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia
số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.
a)
2 4
2
50
a b
2 4
25
a b

Chú ý
Với biểu thức A không âm và biểu thức B
dương, ta có:
A A
B B

?4 Rút gọn
b)
2
2
162
ab
( Với a 0 )

a)
2 4
2
50
a b 2 2
( )
5
ab

2
1
5
ab

2
5
b
a
 (Vì )
2
0
b 
2
2
162
ab
b)
2
2
162
ab

2
81
ab

2
81
ab

2
.
9
a b
 .
9
b
a


9. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định lí
Với số a không âm và số b dương ta có:
a a
b b

2. Quy tắc khai phương một thương
Muốn khai phương một thương , trong đó số a không âm và số b dương ta có thể lần
lượt khai phương số a và số b rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
a
b
3. Quy tắc chia hai căn thức bậc hai
Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia số
a cho số b rồi khai phương kết quả đó.

10. BÀI TẬP VỀ NHÀ
BÀI 28 SGK/18
289 289 17
)
225 15
225
a  
14 64 64 8
) 2
25 25 5
25
b   
0,25 0,25 0,5
)
9 3
9
c  
8,1 81 81 9
)
1,6 16 4
16
d   
BÀI 29 SGK/19
2 2 1 1
)
18 9 3
18
a   
15 15 1 1
)
735 49 7
735
b   
12500 12500
) 25 5
500
500
c   
5 5 5 5
2
3 5 3 5
3 5
6 6 2 .3
) 2 2
2 .3 2 .3
2 .3
d    

11. BÀI TẬP VỀ NHÀ
BÀI 30 SGK/19
2 2
4 2
4
) . . .
x
y x y x y
a
x y x x y
y
 
2
4 4
2 2 2
2 2
)2 . 2 . 2 .
4 2
4
x
x x
b y y y
y y
y
 
Vì x > 0 nên
Vì y0 nên y2 > 0 
x x

2 2
y y

2
2
1
. .
x
y y x
x x y y
y
  
2
4
1
.
y x
x y y

Vậy
Vì x2  0 nên
Vì y < 0 nên 2y < 0 
2 2
x x

2 2
y y
 
2 2
2 2 2
2 . 2 .
2 2
x x
y y x y
y y
   

4
2 2
2
2 .
4
x
y x y
y
 
Vậy

12. BÀI TẬP VỀ NHÀ
BÀI 30 SGK/19
2 2
6 3
6
5
25 25
)5 . 5 . 5 .
x
x x
c xy xy xy
y y
y
  3 3 3 3
4 8 4 8
3 3 3 3
2 4 2 4
16 16
)0,2 . 0,2 .
4 4
0,2 . 0,2 .
.
d x y x y
x y x y
x y x y
x y x y

 
Vì x < 0 nên
Vì y > 0 nên y3 > 0 
5 5
x x
 
3 3
y y

Vậy
Vì x  0 nên
Vì y  0 nên
2 2
x x

4 4
y y

Vậy
2
3 2
3
5 5 25
5 . 5 .
x x x
xy xy
y y
y
 
  
2 2
6 2
25 25
5 .
x x
xy
y y


3 3 3 3
2 4
2 4
4 4 0.8
0,2 . 0,2 .
.
.
x
x y x y
x y y
x y
  
3 3
4 8
16 0.8
0,2 .
.
x
x y
x y y


13. BÀI TẬP VỀ NHÀ
BÀI 31 SGK/19
) 25 16 9 3
a   
0
0 0
a b
a b
a b a b

  

 

 
 
  

 
Vì 3 1 25 16 25 16
    
Vậy
2 2
( ) ( )
2
2 2 0
2 ( ) 0
a b a b
a b a b
a ab b a b
b ab
b b a
  
   
    
  
  
Vậy
25 16 25 16
  
25 16 5 4 1
   
b) Với a > b > 0, ta có
Xét
(luôn đúng)
a b a b
   Với a > b > 0

14. BÀI TẬP VỀ NHÀ
BÀI 32 SGK/19
9 4 25 49 1
) 1 .5 .0,01 . .
16 9 16 9 100
25 49 1 25 49 1
. . . .
16 9 100 16 9 100
5 7 1 7
. .
4 3 10 24
a 
 
 
2 2
165 124 (165 124)(165 124)
)
164 164
41.289 289 289 17
41.4 4 2
4
c
  

   
2 2
2 2
149 76
)
457 384
(149 76)(149 76)
(457 384)(457 384)
73.225 225
73.841 841
225 15
29
841
d


 

 
 
 
) 1,44.1,21 1,44.0,4
1,44(1,21 0,4)
1,44.0,81 1,44. 0,81
1,2.0,9 1,08
b 
 
 
 

15. BÀI TẬP VỀ NHÀ
BÀI 33 SGK/19
) 2. 50 0 2. 50
50 50
2
2
25 5
a x x
x x
x x
   
   
   
2 2
2 2
) 3. 12 0 3.( 4) 0
2 0 2
2
2
2
c x x
x x
x
x
x
    
    
 

   
 


2 2
2
) 20 0 20
5 5
2 20. 5
20.5
10
10
10
x x
d
x
x
x
x
x
   
 
 
 
 

 
 


) 3. 3 12 27
3.( 1) 3( 4 9)
1 2 3
5 1
4
b x
x
x
x
x
  
   
   
  
 
Vậy nghiệm của pt là S={4}
Vậy nghiệm của pt là S={5}
Vậy nghiệm của pt là S={ ; }
Vậy nghiệm của pt là S={ ; }
2
 2
10
 10

16. BÀI TẬP VỀ NHÀ
BÀI 34 SGK/19+20
2 2
2 4 2 4
2 2
2 2
3 3
) . .
3 3
. .
.
a ab ab
a b a b
ab ab
ab a b

 
2 2
2 2
27( 3) 9( 3)
)
48 16
3 3
9( 3) 9. ( 3)
4 4
16
a a
b
a
a a
 


 
  
Vì a < 0 nên
Vì b  0 nên
Vậy
a a
 
2 2
b b

2 2
2
2
3 3
. . 3
.
.
ab ab
a b
a b
   

2
2
3
. 3
. 4
ab
a b
 
Vì a > 3 nên a – 3 > 0 
Vậy
3 3
a a
  
3 3 3( 3)
4 4
a a
 
 
2
27( 3) 3( 3)
48 4
a a
 


17. BÀI TẬP VỀ NHÀ
BÀI 34 SGK/19+20
2 2
2 2
2
2
9 12 4 (3 2 )
)
3 2
(3 2 )
a a a
c
b b
a
a
b
b
  



 
2 2
)( ). ( ).
( ) ( )
( ).
ab ab
b a b a b
a b a b
a b ab
a b
  
 



Vì a  -1,5 nên a + 1,5  0
2a + 3  0 
Vì b < 0 nên
Vậy
3 2 3 2
a a a
  
b b
 
Vì a < b < 0 nên a – b < 0

Vậy
( )
a b a b
   
3 2 2 3
a a
b b
 
 

2
2
9 12 4 2 3
a a a
b b
  


( ). ( ).
( )
a b ab a b ab
ab
a b a b
 
   
  
2
( ).
( )
ab
a b ab
a b
  


18. BÀI TẬP VỀ NHÀ
BÀI 35 SGK/20
2
) ( 3) 9 3 9
3 9 12
3 9 6
a x x
x x
x x
    
  
 
 
 
    
 
2 2
) 4 4 1 6 (2 1) 6
2 1 6
2 1 6
2 1 6
5
2 5 2
2 7 7
2
b x x x
x
x
x
x
x
x
x
     
 

       






  
   
  


Vậy nghiệm của pt là S ={-6;12}
Vậy nghiệm của pt là S ={-7/2; 5/2}

19. BÀI TẬP VỀ NHÀ
BÀI 36 SGK/20
)0,01 0,0001
a  )(4 13).2 3.(4 13)
d x
  
Đúng
Vì:
2
0,0001 (0,01) 0,01
 
) 0,5 0,25
b    Sai
Vì vế phải không có nghĩa do số âm
không có căn bậc hai
) 39 7
c  Đúng
39 6

và
36 39 49 36 39 49
6 39 7
    
  
(1)
16 13 16 13 4 13
4 13 0
    
  
Đúng
(4 13).2 3.(4 13)
(1)
(4 13) (4 13)
2 3
x
x
 
 
 
 

20. BÀI TẬP VỀ NHÀ
BÀI 37 SGK/20
Các cạnh bằng nhau và cùng bằng
đường chéo của hình chữ nhật có
chiều dài 2cm, chiều rộng 1cm. Do đó
theo định lý Py-ta-go, ta có:
2 2
2 1
5 ( )
MN NP PQ QM
cm
    

Hay MNPQ là hình thoi
Các đường chéo bằng nhau và cùng
bằng đường chéo của hình chữ nhật có
chiều dài 3cm, chiều rộng 1cm. Do đó
theo định lý Py-ta-go, ta có:
2 2
3 1 10 ( )
MP NQ cm
   
Như vậy hình thoi MNPQ có hai
đường chéo bằng nhau nên MNPQ là
hình vuông
Vậy diện tích hình vuông MNPQ là
2 2 2
( 5) 5 ( )
MN cm
 