Apostila do módulo b5 textual - corrigido e ampliado - 22032020 (1)

PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT
1
B5.1 AULA 1 – Radiciação
NO3 – Submódulo 5.1
Radiciação é um conteúdo que vai sendo avançado nas séries do ensino
fundamental. No 6º ano é introduzida e vai sendo aprofundada até o 9º ano.
Ao estudar essa aula você deve estar atento à cada propriedade e procurar
compreendê-las. Leia os enunciados com cuidado, estude, pois valerá muito
a pena.
Essa aula é continuidade ao MÓDULO 2.1.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
A serem disponibilizados na
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
Pré Requisitos:
POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE NATURAL E INTEIRO NEGATIVO
POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO
DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS
Caso você não domine esses conteúdos, é necessário estuda-los antes.
COMO PROCEDER?
 Assista vídeos da parte teórica dessa matéria. Procure no Youtube por:
o RADICIAÇÃO
o PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO
o SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS: EXTRAÇÃO DE FATORES DO RADICANDO
 Resolva todos os exercícios dessa apostila.
 Na dúvida procure ajuda de colegas, professores ou na Internet.
 Concluída a apostila vá até a Plataforma Moodle e resolva todos os exercícios até tirar 10,0 na
atividade.
EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS
Conceito
LEIA COM ATENÇÃO ESSE
QUADRO
Radiciação:
√𝒂
𝒏
= 𝒃 quando 𝒃𝒏
= 𝒂
Essa definição é sempre válida para:
 𝑛 ∈ ℕ; e
 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+.
Acontece que a restrição de usarmos apenas
números positivos é deixada de lado quando
trabalhamos com valor de n ímpar.
Tabela de Potências
QUADRO
𝟐𝟐
= 𝟒 𝟑𝟐
= 𝟗 𝟒𝟐
= 𝟏𝟔 𝟓𝟐
= 𝟐𝟓
𝟔𝟐
= 𝟑𝟔 𝟕𝟐
= 𝟒𝟗 𝟖𝟐
= 𝟔𝟒 𝟗𝟐
= 𝟖𝟏
𝟏𝟎𝟐
= 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟐
= 𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟐𝟐
= 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟑𝟐
= 𝟏𝟔𝟗
𝟐𝟑
= 𝟖 𝟑𝟑
= 𝟐𝟕 𝟒𝟑
= 𝟔𝟒 𝟓𝟑
= 𝟏𝟐𝟓
𝟔𝟑
= 𝟐𝟏𝟔 𝟕𝟑
= 𝟑𝟒𝟑 𝟖𝟑
= 𝟓𝟏𝟐 𝟗𝟑
= 𝟕𝟐𝟗
𝟐𝟒
= 𝟏𝟔 𝟑𝟒
= 𝟖𝟏 𝟒𝟒
= 𝟐𝟓𝟔 𝟓𝟒
= 𝟔𝟐𝟓
𝟐𝟓
= 𝟑𝟐 𝟑𝟓
= 𝟐𝟒𝟑 𝟐𝟔
= 𝟔𝟒 𝟑𝟔
= 𝟕𝟐𝟗
𝟐𝟕
= 𝟏𝟐𝟖 𝟐𝟖
= 𝟐𝟓𝟔 𝟐𝟗
= 𝟓𝟏𝟐 𝟐𝟏𝟎
= 𝟏𝟎𝟐𝟒

2
QUADRO
Nome dos Termos
√𝒂
𝒏
= 𝒃
n – índice (n=2 não aparece no índice, não escrito)
a – radicando
b – raiz
√ - radical
Quando o índice é 2, a raiz é chamada de quadrada.
Quando o índice é 3, a raiz é chamada de cúbica.
Radiciação de Números Naturais
1) Calcule:
a)
3
27 b)
4
81 c)
3
64
d)
3
125 e)
4
16 f)
5
32
2) Ache:
a)
3
3
27
8 
b)
5
3
32
.
125
c)
4
3
16
216 
d) 9
81
4

3) Se 210
=1024, calcule
10
1024 .
4) Calcule
9
512.
5) Calcule:
a) 81 b)
4
81
c) 16 d)
4
16
e) 256 f)
4
256
Que conclusão que você tira? Registre.
6) Calcule:
a) 256 b)
8
256
7) Calcule
4
625
QUADRO
TABELA DE POTÊNCIAS DE DOIS
𝟐𝟎
= 𝟏 𝟐𝟏
= 𝟐 𝟐𝟐
= 𝟒 𝟐𝟑
= 𝟖
𝟐𝟒
= 𝟏𝟔 𝟐𝟓
= 𝟑𝟐 𝟐𝟔
= 𝟔𝟒 𝟐𝟕
= 𝟏𝟐𝟖
𝟐𝟖
= 𝟐𝟓𝟔 𝟐𝟗
= 𝟓𝟏𝟐 𝟐𝟏𝟎
= 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝟐𝟏𝟏
= 𝟐𝟎𝟒𝟖
𝟐𝟏𝟐
= 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝟐𝟏𝟑
= 𝟖𝟏𝟗𝟐 𝟐𝟏𝟒
= 𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒 𝟐𝟏𝟓
= 𝟑𝟐𝟕𝟔𝟖
𝟐𝟏𝟔
= 𝟔𝟓𝟓𝟑𝟔 𝟐𝟏𝟕
= 𝟏𝟑𝟏𝟎𝟕𝟐 𝟐𝟏𝟖
= 𝟐𝟔𝟐𝟏𝟒𝟒 𝟐𝟏𝟗
= 𝟓𝟐𝟒𝟐𝟖𝟖
8) Use uma tabela de potências de 2 e responda:
a)
12
4096
b)
14
16384
c) 65536
d)
15
13
32768
8192 
9) Ache
3
3
27
8  .
Você se lembra que
2−1
=
1
2
? Estude o assunto!! Essencial!
10) Ache 2-1
+
3
8
11) Abaixo não é para usar cancelamento se você
já conhece a técnica. É para resolver a expressão:
a)  3
3
8 b)
3 3
8
c)  4
4
1 d)
4 4
1
e)  2
9 f)
2
9
12) Calcule 121
49
5 
13) Ache a metade da
3
3
3
125
27
8 
 .
14) Ache o valor de (se preciso, use uma
calculadora):
a)
4
3
8
b)
3 6
8
c)
4 8
10
15) Calcule (vá “chutando” até encontrar o valor)
a)
3
8000
b)
4
160000
Que conclusão que você tira? Registre e verifique, entendendo o porquê.
16) Ache o valor de
3
1000000000
17) Se a=
3
8000 e b=2+32
, ache o valor de
2
10

 b
a

3
18) Ache a metade da 3
64000000
Calculando Raízes por Fatoração
QUADRO
Uma das formas de calcular uma raíz é pela
fatoração. Vamos usar números pequenos, porém,
ela é mais útil para números grandes.
√144
24
32
√144
= √2432
= 22
3
= 12
Observe os
círculos
vermelhos,
multiplique os
fatores
2 ∙ 2 ∙ 3 = 12
√216
3
23
33
√216
3
= √23
33
3
= 2 ∙ 3
= 6
Observe que
como o índice
é 3,
circulamos 3
números
2 ∙ 3 = 6
Aqui estamos usando propriedades da radiciação
meio que intuitivamente. Veremos elas em detalhes!
Toda vez que aparecer a mãozinha LEIA
1) Utilizando-se da fatoração, descubra as raízes.
Você pode fazê-la apenas circulando os números
repetidos:
a)√2401
b) √5184
c)√1728
3
d)√3375
3
e) √104976
4
f) √759375
5
Regra Prática de Simplificação de
Raízes
QUADRO
O que faremos a seguir é apenas uma simplificação
bem útil, que nos permitirá escrever raízes de forma
mais simples. As propriedades que fundamentam as
regras aprenderemos nessa aula.
Os valores fora do círculo são multiplicados e se
mantém dentro da raiz. Os valores dentro do círculos
são multiplicados e ficam fora da raiz.
Raiz Quadrada
√12 = 2√3
√108
= 2 ∙ 3√3
= 6√3 √540
= 2 ∙ 3√3 ∙ 5
= 6√15
√72
= 2 ∙ 3√2
= 6√2
√360
= 2 ∙ 3√2 ∙ 5
= 6√10
√30, não
pode ser
simplificado
1) Simplifique, se possível, utilizando-se da
fatoração:
a) √12 b) √20
c) √18 d) √150
e) √192 f) √400
g) √140 h) √98

4
QUADRO
Raiz Cúbica
√81
3
= 3√3
3
√324
3
= 3√2 ∙ 2 ∙ 3
3
= 3√12
3
√648
3
= 2 ∙ 3√2
3
= 6√2
3
Analogamente, em grupos de quatro, vocês
simplificam raízes quarta.
fatoração:
a) √108
3
b)√360
3
c) √54
3
d) √72
3
h) √96
3
i) √625
3
j) √720
3
k) √729
3
(Faça as fatorações em um rascunho)
fatoração:
a) √32
4
b) √162
4
c) √80
4
d) √1280
4
3) Simplifique √160
5
.
Radiciação de Números Inteiros
QUADRO
Sabemos que:
52
= 25 e (−5)2
= 25
Não faz sentido dizermos que √25=5 e que √25=-5.
Não é possível uma única operação ter dois
resultados diferentes!
Definimos então, que a raiz quadrada de um número
positivo é positivo.
Aliás, se n for par
√𝒂
𝒏
= 𝒂
Sendo b>0.
Já para a>0 NÃO EXISTE raiz quadrada ou de índice
par de números negativos:
Ex:
 √−36 não existe
 √−1
4
não existe
Quanto ao índice ímpar, a definição
√𝒂
𝒏
= 𝒂
Sempre é válida:
Ex:
 √−8
3
= −2
 √−1
5
= −1
1) Calcule, se for possível:
a)
3
27
 b)
3
27 c)
4
16
d)
4
16
 e) 36
 f)
g) h)
5
32

2) Ache o valor de x:
a) x2
=16 b) x2
=49 c) x2
=-1
d) x3
=-27 e) x3
=8 f) x3
=-1
g) x4
=16 h) x4
=-16
Note que o exercício 2 não trata de raízes! Mas é fundamental para
compreendê-las.
3) Resolva
3 3
2
2
2
7
.
3
5 

4) Calcule:
a)
3
8000
 b)
4
160000

5) Calcule:
a)
5
100000 b)
3
27000

36
5
32

5
Radiciação de Números Racionais
Existe uma crise no ensino das frações e números decimais. Mas esse é
um dos assuntos mais básicos do Ensino Fundamental, séries iniciais. Procure
entender e aprender os exercícios.
1) Calcule:
a)
6
0 b) 3
27
8

2) Ache o valor de
9
1
3
25
4

3) Ache o valor de O valor de 0,000064
6
4) Calcule o valor de 3
3 001
,
0
27
8


Radiciação Aproximada
QUADRO
As raízes, em geral, são números irracionais:
√2 = 1,414213562 …
Esses números possuem infinitas casas decimais e
não são dízimas periódicas.
√2
3
= 1,25992105 …
1) Sendo 07
,
1
2
10
 , ache o valor aproximado de
7+10
2 .
2) Uma fórmula de calcular a raíz quarta é extrair
duas vezes a raiz quadrada de um número. E isso
pode ser feito com uma calculadora de bolso
simples apertando duas vezes a tecla de raiz
quadrada.
Usando dessa estratégia, determine os valores,
com pelo menos 8 dígitos, de:
a)√7
4
b) √13
4
c) √91
4
d) √105
4
e) √5
8
f) √11
8
g) √5
16
h) √2
32
3) (Colégio Elisa Andreoli) Determine o valor das
radicais abaixo na forma de número decimal use
41
,
1
2  , 73
,
1
3  e 23
,
2
5  .
a) 162
b) 20
c) 300
d) 125
1ª Propriedade da Radiciação
QUADRO
1ª Propriedade
√𝒙𝒏
𝒏
= 𝒙, com 𝒙 ∈ ℝ+, 𝒏 ∈ ℕ e 𝒏 > 𝟏
Exemplo de aplicação:
a)√73
3
= 7
b) √52 = 5 (quando não há índice ele é 2)
c) √(𝑥 − 4)4
4
= 𝑥 − 4 para 𝑥 ≠ 4
d) √(−4)2 não pode ser simplificado, pois o
radicando é negativo!
Veja que, apesar da propriedade não dar essa
abertura, temos que é possível cancelar
expoentes e índices quando eles são ímpares,
mesmo que o número seja negativo:
√(−1)3
3
= −1
1) Dê o valor das expressões:
a)√52 b) √182
c) √(
1
3
)
2
d) √𝑥2 (𝑥 ≥ 0)
e) √(4𝑎3)2 (𝑎 ≥ 0) f) √(𝑥 − 4)2 (𝑥 ≥ 4)

6
2) Dê o valor das expressões:
a) √53
3
b) √74
4
c) √(5𝑥)6
6
(𝑥 ≥ 0)
d) √(𝑎3𝑏2)9
9
(𝑎, 𝑏 ≥ 0)
3) Decomponha os números a seguir em fatores
primos e calcule usando essa propriedade:
a) √49 b) √729
6
c) √625
4
d) √343
3
Faça as fatoração num rascunho!
4) É possível simplificar?
a) √(−5)3
3
b) √(−5)4
4
5) Verifique quanto vale √(−4)2.
(Não use a propriedade, pois ela não funciona!)
QUADRO
2ª Propriedade
√𝒙𝒎
𝒏
= √𝒙𝒎:𝒑
𝒏:𝒑
, com 𝒙 ∈ ℝ+, 𝒎,𝒏, 𝒑 ∈ ℕ, 𝒏 > 𝟏
e 𝒎 ≠ 𝟎
Exemplos de aplicação:
a)√54
6
= √54:2
6:2
= √52
3
b) √35
15
= √35:1
15:5
= √35
3
c) √34
8
= √34:4
8:4
= √3. Note que índice 2 e
expoente 1 não precisam ser escritos!
d) √515
5
= √515:5
5:5
=√53
1
= 53
. Note que √
1
não
faz sentido, é o mesmo que nada escrever no
índice!
e) √(4𝑥3)6
4
= √(4𝑥3)6:2
4:2
= √(4𝑥3)3 para 𝑥 ≥ 0
1) Simplifique os radicais (considere no item ‘g’:
a>0 e no item ‘h’: a,b>0)
a) √310
15
b) √43
18
c) √79
18
d) √315
9
e) √106
9
f) √𝑥14
21
g) √𝑎12
20
h) √(𝑎𝑏)6
9
2) Determine o valor de x em cada igualdade
(basta raciocinar ou usar proporções):
√73
15
= √74
𝑥
⇒
15
3
=
𝑥
4
⇒ 3𝑥 = 60 ⇒ 𝑥 =
60
3
⇒ 𝑥
= 20
a) √38
14
= √34
𝑥
b) √54
8
= √5𝑥
c) √115
15
= √11𝑥
3
d) √8𝑥
10
= √8
5
Lembre-se que na ausência do índice, ele é 2 e na ausência do
expoente ele é 1.
3) Decomponha o radicando em fatores primos e
use a 2ª propriedade para simplificar os radicais:
a) √32
10
b) √27
9
c) √81
16
d) √16
6
e) √64
8
f) √1024
12
Faça as fatoração num rascunho!
QUADRO
3ª Propriedade
√√𝒙
𝒏
𝒎
= √𝒙
𝒎𝒏
, com 𝒙 ∈ ℝ+, 𝒎,𝒏 ∈ ℕ e 𝒎,𝒏 > 𝟏
a) √√7
3
5
= √7
5∙3
= √7
15
b) √√4
3
= √4
3∙2
= √4
6
c) √√5 = √5
2∙2
= √5
4
Lembre-se que na ausência do índice ele é 2.

7
1) Escreva sob a forma de uma única raiz (no item
‘e’ – x>0):
a)√√3
5
b) √√3
c) √√𝑥
7
5
d) √√7
3
3
e) √√𝑥
6
f) √√√5
g) √√√4
3
h) √√√5
5
i) √√ √5
11
3
6
j) √√√√7
2) Usando as propriedades aprendidas,
simplifique ao máximo possível os radicais a
seguir (lembre-se de fatorar o radicando):
a) √√64
4
3
b) √√243
5
3) Determine o valor de x nas igualdades:
a) √√𝑥
𝑥
5
= √𝑥
15
b) √√5
𝑥
7
= √5
14
c) √√3
𝑥
= √3
10
d) √√√7=√√7
𝑥
4
e) √√5
𝑥
𝑥
= √√5
4
9
f) √√10
𝑥
𝑥
= √√10
9
4
4) Explique como usar uma calculadora para
determinar √3
8
. Por qual motivo essa regra
funciona?
QUADRO
4ª Propriedade
√𝒙𝒚
𝒏
= √𝒙
𝒏
√𝒚
𝒏
, com 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ+, 𝒏 ∈ ℕ e 𝒏 > 𝟏
a) √5.7 = √5√7
b) √4.7
3
= √4
3
√7
3
c) √3𝑎𝑏
7
= √3
7
√𝑎
7
√𝑏
7
(com a,b>0)
1) Escreva como um produto de radicais (no item
“b” – a,b>0; no item “c” – x,y>0):
a) √3 ∙ 11 b) √𝑎𝑏
c) √5𝑥2𝑦 d) √4 ∙ 13
3
e) √5 ∙ 9 ∙ 3
7
f) √3𝑎𝑏5
5
2) Decomponha os radicandos em fatores primos
e escreva cada radical como produto de radicais:
a) √10 b) √21
6
c) √15
7
d) √30
3
e) √154
5
f) √12
3
3) Transforme as multiplicações em um único
radical:
a) √5
3
∙ √7
3
b) √7
4
∙ √13
4
c) √4
3
∙ √12
3
d) √5 ∙ √3
e) √8
3
∙ √4
3
∙ √3
3
f) √2 ∙ √5 ∙ √7
g) √𝑥2𝑦3
3
∙ √𝑥4𝑦
3
h) √𝑥5
3
∙ √2𝑥3
3
∙ √3𝑥11
3

8
4) Simplifique ao máximo (use mais propriedades):
√23
20
∙ √2
2
QUADRO
5ª Propriedade:
√
𝒙
𝒚
𝒏
=
√𝒙
𝒏
√𝒚
𝒏 , com 𝒙,𝒚 ∈ ℝ+, 𝒚 ≠ 𝟎, 𝒏 ∈ ℕ e 𝒏 > 𝟏
Exemplos de Aplicação:
a) √
5
3
=
√5
√3
b) √
1
5
5
=
√1
5
√5
5
1) Transforme em um quociente de radicais
(suponha que no item ‘b’ – y>0):
a) √
1
5
b) √
𝑥4
𝑦3
c) √
7
5
3
d) √
2
13
6
2) Transforme em produtos e quocientes de
radicais (suponha que no item ‘b’ - y≠0, no item ‘c’
– x>0):
a) √
3𝑥
5
3
b) √
4𝑥
5𝑦
5
c) √
1
5𝑥
d) √
3𝑥2
7𝑦4
QUADRO
6ª Propriedade
( √𝑥
𝑛
)
𝑝
= √𝑥𝑝
𝑛
, com 𝑥 ∈ ℝ+, 𝑝 ∈ ℝ , 𝑛 ∈ ℕ e 𝑛 >
1
Exemplos de Aplicação:
a) Para efetuarmos (√5
3
)
6
, podemos fazer
√56
3
e usar a 2ª propriedade e obtermos
√52
1
= 52
= 25
b) Podemos fazer o cancelamento (√3
5
)5
=
3
c) Para efetuar √85
3
eu posso usar essa
propriedade “ao contrário”: √85
3
=
(√8
3
)
5
= 25
= 32
1) Calcule os seguintes valores:
a) √272
3
b) √493
c) √163
4
d) √815
4
e) √1693 f) √255
g) √10247
10
h) √6253
4
2) Calcule combinando a 6ª e a 2ª propriedade:
a) (√3
4
)
8
b) (√5
3
)
9
3) Simplifique:
a) (√5
5
)
5
b) (√3
7
)
7
Propriedades da Radiciação
QUADRO
Propriedades
Sejam 𝑥, 𝑦, 𝑚, 𝑛, 𝑝𝜖ℝ, sendo x, y positivos.
R1 √𝑥𝑛
𝑛
= 𝑥
R2 √𝒙𝒚
𝒏
= √𝒙
𝒏
√𝒚
𝒏
R3 √
𝒙
𝒚
𝒏
=
√𝒙
𝒏
√𝒚
𝒏
R4 √𝒙𝒎
𝒏
= √𝒙𝒎𝒑
𝒏𝒑
R5 √𝒙𝒎
𝒏
= √𝒙𝒎:𝒑
𝒏:𝒑
R6 ( √𝒙
𝒏
)
𝒑
= √𝒙𝒑
𝒏
R7 √√𝒙
𝒏
𝒎
= √𝒙
𝒎𝒏
Note que mudamos os números das propriedades e
também acrescentamos as R4 e R5 para a 2ª
Propriedade, além de pequena alteração na R6.
Não há um padrão nessas propriedades. Isso varia
de autor para autor!

9
1) Simplificar os radicais (use as propriedades):
64
d)
5
c)
3
b)
2
a)
3
3 3
4 8
12 6
2) Reduza à uma só raiz
3 4
)
3 8
)
5 10
)
c
b
a
5 32
)
3 27
)
3 4 5
)
f
e
d
3 2
2
)
3 3 12
)
)
i
a
h
a
g
4 3 8
5
)
64
)
2
)
m
l
a
j
3) Simplificar os radicais:
160
c)
32
b)
320
a)
4
3
80
h)
625
g)
40
f)
18
e)
12
d)
4
3
3
Exemplo:
3
6
3
.
3
.
2
3
.
3
.
2
3
.
3
.
2
3
.
2
108
1
2
2
2
2
2
1
3
2





R
R
P
(existem modos mais rápidos que você pode
inventar)
0)
c
e
b
a,
(com
c
b
8a
c)
0)
(a
16a
b)
0)
(a
a
a)
9
6
3
3 5
5 13



a)√16
3
b) √32
10
c)√1024
5
d)√√64
3
e)(√32)
4
x
x
b)
3
a)
3 4
3 7
2
-
3
27
f)
50
2
e)
34
29
.
58
17
d)
8
c)
54
b)
48
a)
3 4
3
a

10
B5.2 AULA 2 – Fatoração de Polinômios I
CA2 – Submódulo 5.2
Fatoração é um assunto básico tradicionalmente ensinado no 2º ou 3º
bimestre do 8º ano. Escolas como o Sistema Etapa ensinam no início do 7º
ano.
Para você acompanhar as aulas é necessário que tenha mínimos
conhecimentos de polinômios, incluindo os produtos notáveis
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
Pré Requisitos:
POLINÔMIOS
PRODUTOS NOTÁVEIS
COMO PROCEDER?
o FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
o FATORAÇÃO PELO FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA
o FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO
atividade.
1º Caso – Fator Comum em Evidência
QUADRO
Como fatorar?
 𝟓𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟓 (𝒙 + 𝒚)
 𝒙𝟐
− 𝟑𝒙 = 𝒙(𝒙 − 𝟑)
 𝟗𝒙𝟓
− 𝟏𝟓𝒙𝟑
= 𝟑𝒙𝟑
(𝟑𝒙𝟐
− 𝟓)
Veja que se eu multiplicar 𝟓 (𝒙 + 𝒚) eu obtenho
𝟓𝒙 + 𝟓𝒚.
Fatorar é descobrir um produto (conta de vezes)
com polinômios que gera um resultado.
1) Fatore, colocando o fator comum em
evidência:
a) 3x+3y
b) x2
-5x
c) x3
+4x2
+2x
d) 12x3
-8x2
+20x
e) 36x6
y4
+ 24 x4
y6
Jamais desista! Caso você não consiga fazer pesquise! Estude! Se
esforce! E vença!

11
2)Fatore, colocando o fator comum em evidência:
a) ax+bx+cx
b) x2
+7x
c) x5
+4x3
d) ab+a/3
e)
𝑥𝑦𝑧
2
+
𝑥𝑧
4
+
𝑥
2
f) 80x5
+64x3
QUADRO
Dado:
 𝒂 + 𝒃 = 𝟏𝟎
 𝒂𝒃 = 𝟐𝟓
Quanto vale 𝑎2
𝑏 + 𝑎𝑏2
?
Ao fatorarmos 𝑎2
𝑏 + 𝑎𝑏2
obtemos 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏),
portanto só multiplicar 𝑎𝑏 = 25 por 𝑎 + 𝑏 = 10
3) Se ax2
=14 e a+x=9, quanto vale 3a2
x2
+3ax3
4) Fatore as expressões, colocando os fatores
comuns em evidência:
a) 2a+2b
b) a2
-6a
c) 2x3
-8x2
+6x
d) 18x3
y2
+27x2
y3
e) 10x3
-15x2
+20x
f) 14a2
b+21ab3
5) Se xy=10 e 2x-y=6, quanto vale 2x2
y-xy2
QUADRO
Vamos supor que o professor lhe proponha a
seguinte expressão numérica:
53 × 48 + 53 × 52
Note que 53 é um fator comum à duas multiplicações
solicitadas, portanto:
53 × (48 + 52) = 53 × 100 = 5300
6) Calcule, colocando o fator comum em
evidência:
a) 3x57+2x57+5x57
b) 2x57+4x57+6x57+8x57
c) 128x188+128x201+128x269+128x342
d) 4x96+3x96+2x96+96
QUADRO
 𝟑(𝒙 + 𝟏) + 𝒙(𝒙 + 𝟏) = (𝒙 + 𝟏)(𝟑 + 𝒙)
 𝒙(𝒂 + 𝒃) + 𝒚(𝒂 + 𝒃) = (𝒙 + 𝒚)(𝒂 + 𝒃)
Note que (3 + 𝑥) e (𝑎 + 𝑏) são fatores comuns.
7) Fatorar, colocando fator comum em evidência:
a) 3(x+2)-5x(x+2)
b) a(x+y)+b(x+y)
c) a(x-y)+b(x-y)
d) 5(x-y)-a(x-y)
8) Fatore, colocando o fator comum em
evidência:
a) a(x+2)+b(x+2)
b) a(x+2y)+b(x+2y)+3(x+2y)
𝑎+1
5
é o mesmo que
1
5
(𝑎 + 1)
c)
𝑎+1
5
− 3𝑥(𝑎 + 1)
d) x2
(a+b)-x(a+b)+y(a+b)

12
QUADRO
A simplificação de frações só existe se
cancelarmos um fator do numerador por um
fator do denominador.
Exemplos:
a)
5𝑥
10
=
⏞
5
𝑥
2
b)
5𝑎
6𝑎
=
⏞
𝑎
5
6
(impõe que a≠0)
c)
14𝑥
10𝑥
=
⏞
2𝑥
7
5
(impõe que x≠0)
d)
6𝑎𝑏
4𝑏
=
⏞
2𝑏
3𝑏
2
(impõe que b≠0)
e)
𝑥2
3𝑥
=
⏞
𝑥
𝑥
3
(impõe que b≠0)
f)
3𝑎𝑏
2𝑎𝑏
=
⏞
𝑎𝑏
3
2
(impõe que a,b≠0)
g)
5𝑥2𝑦
6𝑥𝑦2 =
⏞
𝑥𝑦
5𝑥
6𝑦
(impõe que x,y≠0)
Em geral registramos o cancelamento:
.
6𝑎𝑏
4𝑏
=
3𝑎
2
2𝑎𝑏
3𝑎𝑏
=
2
3
É um hábito de professores de matemática cortar o
x com o expoente 2:
Há no entanto frações com polinômios portanto,
para cancelarmos, a fração deve estar na forma
fatorada.
É incorreto fazer : (supondo x≠0)
𝑥2
+ 𝑥
2𝑥
=
𝑥
2
O correto é fatorar os polinômios:
𝑥2
+ 𝑥
2𝑥
=
𝑥(𝑥 + 1)
2𝑥
=
𝑥 + 1
2
Veja mais exemplos:

5𝑎+5𝑏
𝑎2+𝑎𝑏
=
5(𝑎+𝑏)
𝑎(𝑎+𝑏)
=
5
𝑎
(Considerando a≠0, a≠-b)

𝑥2+5𝑥
𝑥2+3𝑥
=
𝑥(𝑥+5)
𝑥(𝑥+3)
=
𝑥+5
𝑥+3
(Considerando x≠0, x≠-3)
9) Simplifique as frações (suponham satisfeitas as
condições de existência – o denominador):
5ab
3ab
c)
9b
6a
b)
6
4x
a)
6
2a
4am
f)
15
6a
e)
10x
8x
d)
2
2
4
2
2
3
a
c
ab
bx

5
15
5
)
3y
6
+
3x
h)
18
12
-
6x
g)
2
x
x
x
i

3
15
5y
l)
2
12
6x
j)
2
2




y
y
x
xy
y
QUADRO
Leia a história:
- Pense em um número. Não pode ser zero. Eleve ao
quadrado . Multiplique por 4.
- Pronto!
- Subtraia 8 vezes o número. Divida pelo quádruplo do
número.
- Deu 9.
- Você pensou em 11.
Como foi possível descobrir o número pensado?
Resolução:
Pensei um número 𝑥
Elevei ao quadrado 𝑥2
Multiplique por 4 4𝑥2
Subtraia 8 vezes o número 4𝑥2
− 8𝑥
Divida pelo quádruplo do nº
4𝑥2−8𝑥
4𝑥
Note que:
4𝑥2−8𝑥
4𝑥
=
4𝑥(𝑥−2)
4𝑥
= 𝑥 − 2
Como deu 9:
𝑥 − 2 = 9
𝑥 = 11
E por isso ele pensou em 11!
Vamos pensar:
Por que o professor pediu para o aluno pensar
em um número diferente de zero?

13
10) Efetue as seguintes operações com um
número x : eleve ao quadrado, some o quádruplo
do número e divida pelo número somado com 4.
Simplificando a expressão obtida, qual será o
resultado?
QUADRO
Escreva a área da seguinte figura na forma
fatorada:
3𝑥2
+ 5𝑥 = 𝑥 (3𝑥 + 5)
11) Dê a área da figura. Apresente o resultado na
forma fatorada:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1) Fatore:
a) x4
+3x3
+x2
b) a2
+a
c) x2
yz+xy2
z+xyz2
d) x3
y2
-x2
y3
e) 14xy-21xz
f) 33xy2
-44x2
y
g)4ax3
+6a2
x2
+4a3
x2
h) 45a5
y4
-75a4
y5
+105a3
y6
2) Fatore:
a)
3
4
𝑎5
−
5
8
𝑎4
+
7
6
𝑎6
b) 5𝑎3
(𝑥 + 3) − 7𝑎2
(𝑥 + 2) + 4𝑎4
(𝑥 + 2)
3) Efetue estes cálculos:
a) 13x43+27x43+16x26+84x26
b) 41x51+91x51+68x18+68x33
c)
17 79 79 3
7 79 2 79 79
x x
x x

 
4) Reduza os termos semelhantes e fatore:
a) ab+3b-2ab-b
b) a2
x2
y+3a5
xy-2a2
x2
y-a5
xy
c) 4(x-2)-6x+10
d) 4(a3
b2
-2a5
)-6a3
b2
+10a5
5) Simplifique as frações:
2
4x
2x
y
2xy
y
x
h)
6x
18x
27x
g)
6
5x
x
24
20x
4x
f)
20xy
10x
10xy
e)
14mn
21mn
d)
axy
y
ax
c)
10xy
2xy
b)
4x
8x
a)
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
5
2











14
6) Leia a história:
- Pense um número diferente de zero. Calcule o triplo de seu
quadrado.
- Feito!
- Some 6 vezes o número e divida pela soma do número com 2.
- Deu 21.
- Então você pensou no 7.
- Ele acerta todas.
Faça os cálculos pedidos pelo professor com um
número x. Explique como ele encontrou o número
pensado.
7) Simplifique as expressões e fatore:
a) (3ab-6a2
)+(a2
-4ab+2b2
)+(5a2
-3b2
)
b) (2x+7y)(2x-7y)+(x-7y)2
8) Dê a área da figura. Apresente o resultado na
forma fatorada:
2º Caso –Fatoração por Agrupamento
QUADRO
Fatorar por agrupamento é apenas fatorar
usando duas vezes o fator comum em
evidência
Exemplo 1
𝑚𝑥 + 𝑚𝑦
⏟
𝑚(𝑥+𝑦)
+ 𝑛𝑥 + 𝑛𝑦
⏟
𝑛(𝑥+𝑦)
= 𝑚(𝑥 + 𝑦) + 𝑛(𝑥 + 𝑦)
= (𝑥 + 𝑦)(𝑚 + 𝑛)
Veja que trata-se apenas de uma fatoração
combinada!
1) Fatore por agrupamento:
a) ax+bx+ay+by
b) 2x+2y+ax+ay
c) 3ax+3ay+5bx+5by
d) ax+ay+bx+by
Ao fatorar
−𝑦𝑎 − 𝑦𝑏 observe o jogo de sinais:
−𝑦(𝑎 + 𝑏). No b
fica o sinal de +, pois -y vezes +b é -yb.
e) xa+xb-ya-yb
QUADRO
Veja e entenda:
53 × 41 + 53 × 59
⏟
53×(41+59)
+ 47 × 39 + 47 × 61
⏟
47×(39+61)
53 × (41 + 59) + 47 × (39 + 61)
53 × 100 + 47 × 100
100 × (53 + 47)
100 × 100
10000
2)Efetue, usando a fatoração por agrupamento:
a) 7x21+3x21+6x23+4x23
b) 12x11+7x11-7x16-4x16
c) 102x71+102x29-24x52-52x76
3)Fatore por agrupamento:
a) am+na+bm+bn
b)2x+ay+2y+ax
c) y3
-3y2
+4y-12
d) ax2
-bx2
+3a-3b
a) abx+cx+2ab+2c
b)
3𝑥
5
+ 𝑎𝑥 +
3𝑦
5
+ 𝑎𝑦
c) x2
y2
z+2xy+3xyz+6
d) 𝑎2
𝑥 +
1
4
𝑥 + 3𝑎2
+
3
4

15
Ao fazermos ax+bx = x (a+b), e o restante da expressão contiver a+b, é
bem conveniente transformar a+b em 1(a+b), pois aí favorecemos uma
fatoração por agrupamento!!! É importante se esforçar para entender essa
explicação!
a) ax+bx+a+b
b) xy+x+y+1
c) x²y+5x²+y+5
d) x2
y-2x+xy-2
e)ax2
-bx2
+a-b
6)Fatore por agrupamento x3
-ax2
-3bx+3ab
QUADRO
OBSERVAÇÃO 1
O agrupamento também pode ser triplo ou
com membros com mais termos:
Exemplo 1:
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧
⏟ + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑏𝑧
⏟
𝑎(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 𝑏(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑎 + 𝑏)
Exemplo 2:
𝑚𝑥 + 𝑚𝑦
⏟ + 𝑛𝑥 + 𝑛𝑦
⏟ + 𝑝𝑥 + 𝑝𝑧
⏟
𝑚(𝑥 + 𝑦) + 𝑛(𝑥 + 𝑦) + 𝑝(𝑥 + 𝑦)
(𝑥 + 𝑦)(𝑚 + 𝑛 + 𝑝)
Exemplo 3
𝑥5
− 4𝑥4
⏟ + 𝑥3
− 4𝑥2
⏟ −𝑥 + 4
⏟
𝑥4(𝑥 − 4) + 𝑥2(𝑥 − 4) − 1(𝑥 − 4)
(𝑥 − 4)(𝑥4
+ 𝑥2
− 1)
OBSERVAÇÃO 2
Eventualmente, precisamos reorganizar o
agrupamento para que ele faça sentido!:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦
⏟ + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦
⏟
𝑎(𝑥 + 𝑦) + 𝑏(𝑥 + 𝑦)
(𝑥 + 𝑦)(𝑎 + 𝑏)
𝑦3
+ 3 − 𝑦2
− 3𝑦
𝑦3
− 𝑦2
⏟ −3𝑦 + 3
⏟
𝑦2(𝑦 − 1) − 3(𝑦 − 1)
(𝑦 − 1)(𝑦2
− 3)
a)
𝑥
3
+
𝑏𝑦
3
+ 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 −
7𝑏𝑥
5
−
7𝑏𝑦
5
b)ax+bx+3ay+3by+5az+5bz
c)am-an-bm+bn+cm-cn
Nós já simplificamos frações! Você precisa fatorar o denominador e o
numerador.
Dica, reorganize 𝑎2
+ 5𝑏 + 5𝑎𝑏 + 𝑎 para colocar a+q em evidência
8)Simplifique as frações (considere satisfeitas as
condições de existência):
)
1
)(
1
(
4
4
x
b)
25
10
5
5
)
2
3
2
2
2










x
x
x
x
b
ab
a
a
ab
b
a
a
Já fizemos exercícios como o apresentado a seguir.
9) Se a+b=12 e x+y=4. Qual é o valor da
expressão ax+ay+bx+by?
REFORÇANDO
1) Fatore por agrupamento:
a) x2
+2xy+3x+6y
b) 3a-3b+am-bm
c) ax+2bx+ay+2by
d) x3
+3x2
-2x-6
e) x6
+x5
+x4
+x3
+x2
+x
2) Fatore por agrupamento
a) 10ax+14bx+15ab+21b2
b) x3
+5x2
+2x+10
c)x2
y-bxy+ax-ab
d) x3
-3x2
+ax-3a
e)6ax-3bx-4a+2b
f) mn-8am-10n+80a
g) 4ab-24a-5b+30
h) x2
-5xy-2x+10y

16
3)Fatore as expressões:
a) ax+ay-bx-by
b) y3
-y2
-3y+3
c) ay-by-a+b
d) x2
-bx-2ax+2ab
e) ax-4a-24+6x
f) a2
y-a3
+3ab-3by
g) 2ax-bx-10a+5b
h)ax-3x-ay+3y
4)Se a+b=10 e m+n=5, determine o valor de
am+bm+na+bn.
5) Simplifique a fração, sendo x≠-2
2
2
2
)
2
(
)
2
(
3
)
2
(
5




x
x
y
x
6) Calcule o valor numérico de
1
2
2
4
2





y
yx
y
x
y
x
para x=1 e y=-87/41
GABARITO
Será disponibilizado em PDF e/ou Vídeo na Plataforma PODEMOS e no Blog.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – FATOR COMUM EM
EVIDÊNCIA
1) Fatore, colocando o fator comum em evidência
a) 2a+2b b) 3x2
-3y2
c) 5a+ab
d) x2
+3x e) a2
+a f) x2
-x
g) 6x2
-9x h) 3a-9 i) 14a2
b+21ab3
j) 15x3
-10x2
k) 9x2
-12x l) 9x2
-12x
m) a3
-4a2
n) 9x2
y-12xy2
o) a3
+a2
+a
p) 6x2
-9x+12 q) 2x3
-8x2
+6x r) 18x3
y2
+27x2
y2
s) 3x+6x2
+9x3
t) 10x3
-15x2
+20x u) a(x+y)+b(x+y)
v) 2a(x-3)-b(x-3) w) x(a-b)+y(a-b) x) 5(x-y)-a(x-y)
2) Use a fatoração e efetue:
a) 572
+43x57 b) 37x321+14x321+49x321
c) 123
x3+122
x64
3) Simplifique as expressões usando fatoração:
a)
13
b)
41x71 - 41x21
5
c)
72x133 - 2x133
1132x7 + 22x63
2
x x
61 13 3
13
3

4) Se x2
y2
=2 e 2x+3=25, determine 18x3
y2
+27x2
y2
.
a)
6
8x
b)
15xy
20x
c)
6mn
9mp
d)
14a b
21a b
e)
2x 4
6
f)
x
x x
g)
5x 3x
2x 5x
h)
3x y
3xy 3x y
2
2 3
3
2
2
2
3
2
2 2



 
6) Leia a história:
- Pense num número, diferente de zero.
- Pensei!
- Eleve ao quadrado e multiplique por 2.
- Certo!
- Agora, some o quádruplo do número pensado.
- Termine dividindo a soma pelo dobro do número pensado.
- Deu 7.
- Então você pensou no número 5.
- Faça os cálculos, e explique como o professor descobriu o número
5!
7) Dê a área da figura. Apresente o resultado na forma fatorada:
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES – FATORAÇÃO POR
AGRUPAMENTO
1- Fatore por agrupamento:
a) ax-ay+bx-by b) x2
+2xy+3x+6y c) ab+2b-3a-6
d) ax-2x+ay-2y e) 3a-6y+ab-2by f) 10x2
+15xy-4x-6y
g) am+bm+an+bn+ap+bp h) x3
+3x2
+2x+6
i) a3
-a2
+a-1 j) 10ab-2b+15a-3
2-Se a+2b=10 e x+y=12, determine ax+2bx+ay+2by.
3- Se 3a-b=10 e a+x=3, calcular o valor de 3a2
+3ax-ab-bc.
COMO PROCEDER?
Há vários vídeos sobre o assunto na Plataforma PODEMOS. Vá até a página correspondente.
Alguns vídeos que podem ser interessantes:
O Que é Fatorar? https://youtu.be/KY3IlGqmk08
Fatoração por Agrupamento. https://youtu.be/rxqEINfbbM0 e https://youtu.be/v2awPxFm78M
Uma visão mais avançada de Fatoração. https://youtu.be/m9lMvdX5Pfc
Fatoração - aula no PODEMOS B2 em 24/1 https://youtu.be/wV3SGwXBKOo
Playlist resolvendo exercícios de Fatoração https://goo.gl/WRHvqH
Outros links podem ser postados em http://matematicacomotavio.blogspot.com/p/podemos-b5.html

17
B5.3 AULA 3 – Conjuntos – Ideias Iniciais
CJ1 – Submódulo 5.3
Os conjuntos são a linguagem da Matemática. Esse é um conteúdo essencial
e infelizmente negligenciado no Ensino Fundamental.
Acontece que, nos anos 60, um movimento chamado “Matemática Moderna”
exagerou no ensino de Conjuntos, ensinando sobre os mesmos até na Pré-
Escola. Atualmente algumas escolas o ensinam apenas no Ensino Médio, o
que acaba sendo bastante incoerente.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o CONJUNTOS
o RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA – CONJUNTOS
o RELAÇÃO DE INCLUSÃO – CONJUNTOS
o CONJUNTO DAS PARTES
atividade.
Ideias Iniciais
QUADRO
Um conjunto é um grupo de coisas. Essas coisas
são chamadas de elementos do conjunto. Quando
algo é um elemento de um conjunto dizemos que
esse elemento pertence ao conjunto.
São conceitos primitivos, aceitos sem definição:
 Conjunto – representados em geral por
letras maiúsculas: A, B, C, D, etc..
 Elemento
 Pertinência – representados pelo símbolo ∈
O símbolo de pertence é um ∈ - Não faça ele em
outro formato! (como um E).
Sendo A={1,2,3,4} , dizemos que:
1 ∈ 𝐴 – 1 pertence a A
5 ∉ 𝐴 – 5 pertence a A
COMO REPRESENTAR UM CONJUNTO?
Ele pode ser representado:
 Listando os Elementos
 Por uma propriedade característica
 Por um diagrama de Venn.
Ex:
a) Listagem de Elementos
P={0,2,4,6,8}
V={a,e,i,o,u}
S={Rio Grande do Sul, Santa Catarina, Paraná}
C={0,1,2,3,4,...,99,100}
(os ... significa que há vários números nesse espaço)
b) Propriedade Característica
P={ x | x é algarismo par }
V={ x | x é vogal }
S={ x | x é estado da Região Sul}
C={ x | x é número de 0 até 100 }

18
Muita gente estranha a notação
P={ x | x é algarismo par }
Especialmente no “x | x”. Por qual motivo repeti o x?
Isso é pelo fato de que o conjunto é composto de
todo valor possível para x (antes da “|”), que torna a
sentença (após a “|”) verdadeiro
Considere a substituição de “x é algarismo par” por:
 x=0 | 0 é algarismo par – Verdadeiro. Então
0∈ 𝑃.
 x=1 | 1 é algarismo par – Falso. Então 1∉ 𝑃.
c) Diagrama de Venn
É uma região do plano, uma “bola” com pontos
dentro, que representa os elementos do diagrama.
Veremos muito sobre o Diagrama de Venn.
CONJUNTO VAZIO E UNITÁRIO
Por mais estranho que seja, um conjunto pode ter
apenas 1 elemento.
Ex: A={ x | x é número primo par } = { 2 }
Esse conjunto é chamado de unitário.
Também existe conjunto com 0 elementos:
Ex: B={ x | x é número ímpar terminado em 4} = { }
Esse conjunto é chamado de vazio.
O conjunto vazio pode ser representado pelo símbolo
∅ (que é uma letra do alfabeto norueguês)
É incorreto representar o conjunto vazio por { ∅ }
CONJUNTO INFINITO
Conjuntos podem ter infinitos elementos, como o
conjunto dos números naturais, o conjunto dos
números pares, etc.
Correção em vídeo 12:45
Ex. 1 a 9
https://youtu.be/W9-ppeiZiTA
1. Um time de futebol é um conjunto de 11
elementos. O que são estes elementos?
2. Represente o conjunto abaixo pela listagem dos
elementos e pela propriedade características
3. Vamos representar o conjunto V descrevendo
uma propriedade de seus elementos: “V é o
conjunto das vogais de nosso alfabeto”.
Represente V pela lista de seus elementos.
4. Reescreva os conjuntos dando um a um os seus
elementos:
a) A={x|x é número natural menor que 10}
____________________________
b) B={x|x é número primo menor que 20}
____________________________
c) C={x|x é mês com 30 dias}
____________________________
d) D={x|x é satélite natural da Terra}
____________________________
e) E={x|x é país da América do Norte}
____________________________
f) F={x|x é gato que voa}
____________________________
5. Liste os conjuntos:
A={x|x é estado da região Sul do Brasil}
___________________________
B={x|x é aluno de nossa classe começado com B}
____________________________
C={x|x é planeta do sistema solar}
____________________________
D={x|x é par positivo menor que 100}
____________________________
E={x|x é prefeito desta cidade}
____________________________
F={x|x é professor de Matemática desta classe}
____________________________
G={x|x é vogal da palavra PARANAPIACABA}
____________________________
Dois conjunto são iguais quando possuem exatamente os
mesmos elementos. Ex: {1,2,3}={2,1,3}={1,3,2}={1,1,1,3,2,3}. A
ordem e a repetição de elementos não torna o conjunto diferente do
outro. Veja mais sobre “Igualdade de Conjuntos” na Internet
6. Considere o conjunto A das letras utilizadas
para se escrever SAUDADE. Agora considere o
conjunto B das letras utilizadas para escrever
DEUSA. Neste caso o que ocorre: A=B ou AB?

19
7. O conjunto dos algarismos de 2004 é {2,0,4}.
Escreva o conjunto dos algarismos de:
a) 5042
b) 2005
c) 1999
d) 7202
e) 555
8. Escreva o conjunto das letras de:
a) ARARA
b) CIRCUNFLEXO
c) PERNAMBUCO
d) NOILTO
e) MUZAMBINHO
f) IESDE
9. Escreva cinco palavras de cinco letras. Em cada
uma delas, o conjunto das letras deve ser sempre
{a, o, r, p, t}.
Palavras escritas as mesmas letras, com a mesma quantidade de
cada letra são chamados de ANAGRAMAS da palavra.
Ex. 10 a 16
https://youtu.be/siB1wH4HxYM
10. Represente os conjuntos
A={1,2,3,8,9},B={1,3,5,8} e C={0,1,3,7,9} no
diagrama:
11. Seja o conjunto A das letras da palavra
SERPENTE, o conjunto B das letras da palavra
MONTANHA e o conjunto C das letras da palavra
SAUDADE. Represente em diagramas os
conjuntos A, B e C utilizando um só desenho.
12. Com uma propriedade de seus elementos,
descreva o seguinte conjunto:
13. Com propriedades características escreva os
conjuntos:
a) A={Paraná, Rio Grande do Sul, Santa Catarina}
_________________________________
b) C={Brasil, Alemanha, Itália, Argentina, Uruguai,
Inglaterra, França, Espanha}
_______________________________________
c) E={Vênus, Mercúrio, Terra, Marte}
_______________________________________
d) F={Substantivo, Adjetivo, Artigo, Pronome,
Numeral, Verbo, Advérbio, Preposição,
Conjunção, Interjeição}
______________________________________
e) G={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
_______________________________________
14. Veja se é verdade:
a) a palavra IESDE tem 5 letras.
b) o conjunto das letras da palavra IESDE tem 5
elementos
c) 515 é um número de três algarismos.
d) o conjunto dos algarismos do número 515 tem
2 elementos.
15. Escreva seis números de 3 algarismos. Em
cada um deles, o conjunto dos algarismos
utilizados sempre deve ser {3,5, 6}
16. Escreva 2 palavras de 6 letras. Em cada uma
delas, o conjunto das letras utilizadas deve ser {a,
o, p, s, t}.
Ex. 17 a 19
https://youtu.be/tRen-w8bGpg
17. Considere o conjunto V das vogais de nosso
alfabeto. Complete os espaços com  ou :
a__V b__V c__V d__V
e__V f__V
18. Se A={x|x é verbo da primeira conjugação},
B={x|x é estado da região Sudeste do Brasil},
C={x|x é número primo}
Determine se ou:
Cantar ____ A Partir _____A
Minas Gerais ____ B
Amazonas ______B 12____C
.2
.3
.5
.7
.11
.13
.17
.19

20
21. Veja a figura:
Complete com  ou :
a) 5__A
b) 5__B
c) 7__A
d) 7__B
e) 3__A
f) 3__B
g) 15__A
h) 15__B
19. Identifique os conjuntos unitários e os vazios:
a) A={x|x é oceano que banha o Brasil}
b) B={x|x é mulher que já foi presidente do Brasil}
c) C={x|x é mês cujo nome começa com ‘a’}
d) D={x|x é mês com menos de 30 dias}
e) E={x|xIN e x+1=0}
f) F={x|1/x=0}
Ex. 20
https://youtu.be/A6YOeRs8Dbk
20. Considere P={2, 3, 7, 8, 9}. Determine:
a) A={xP|x é par}
_________________________________
b) B={xP|x é divisível por 5}
_________________________________
c) C={xP|x é número primo}
__________________________________
d) D={xP| x é divisor de 35}
__________________________________
e) E={xP|x é quadrado perfeito}
__________________________________
f) F={xP|x-1=0}.
__________________________________
QUADRO
PROBLEMA 1
Uma pessoa começou a trabalhar no dia 7 de abril
e trabalhou todos os dias até o dia 30 de abril.
Quantos dias essa pessoa trabalhou nesse mês?
A primeira impressão que se tem é que a resposta é
que a pessoa trabalhou 23 dias, afinal de contas 30-
7=23.
Mas se você contar a lista abaixo:
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17
18 19 20 21 22
23 24 25 26 27
Verificará que são 24 dias trabalhados.
Estranho não é?
PROBLEMA 2
Uma mãe mantém uma agenda para cada ano
diferente que sua filhinha nasceu. Ex: a filha
nasceu em 2012, ela tem uma agenda para 2013.
Sua filhinha completará 5 anos em outubro desse
ano. Quantas agendas sua mãe possui?
Aparentemente a sua mãe possui 5 agendas ou 6,
certo? Mas uma análise mais detalhada chegará no
número de 7 agendas!!!
Como assim? Verifique. Suponha que estejamos em
agosto de 2018 e a criança nasceu em outubro de
2012, portanto, a criança completará 6 anos em
outubro e hoje ela tem 5 anos.
Ela possui agendas de 2012, 13, 14, 15, 16, 17 e 18
– 7 agendas.
PROBLEMAS ANÁLOGOS
a) Uma festa de Rodeio que vai do dia 10 ao
dia 13 de maio possui 4 dias e não 3.
b) Um jornal cujo ano I foi em julho de 1991
ainda terá 26 anos no início de 2018 mas
em suas edições estará estampado ano
XXVIII (28).
Há outros problemas (a) cuja traça está no final do 1º
livro e vai até a primeira página do 3º livro e percorre
apenas UM livro; (b) e cuja pessoa que tem que
tomar 3 comprimidos a cada 30 min, e toma o
primeiro agora, conseguindo tomar os 3 em 1 hora
(e não em 3 x 30 min = 1h30).
Para entender isso basta perceber que ninguém
nasce com 1 ano, mas com zero anos, apesar da
lógica dos problemas serem invertidas a idéia é a
mesma, e, não há regras, é preciso pensar.
Porém

21
Para determinar o número de elementos de
conjuntos do tipo {14, 15, ...., 90} o que eu faço?
Pego o último elemento, subtraio o primeiro e somo
1:
90 – 14 + 1 = 77
São 77 elementos.
Ex. 21 a 26
https://youtu.be/t2-WQfMHZKs
21. Quantos elementos tem os conjuntos:
a) A={7,8,9,10,...,30}
b) A={25, 26, 27, ...., 100}
22. Uma pessoa foi admitida num emprego dia 5
de novembro e trabalhou até o último dia desse
mês. Quantos dias essa pessoa trabalhou.
(Novembro tem 30 dias).
23. Uma pessoa gasta 4 minutos para subir do 1º
ao 5º andar de elevador. Quanto tempo gastará
para subir do 1º ao 9º andar no mesmo elevador,
sabendo que esse tem sempre a mesma
velocidade?
Esse exercício é semelhante aos que demos nos exemplos.
24. Uma pessoa nasceu em maio de 2010. Em
fevereiro de 2018:
a) Qual será sua idade?
b) Quantos anos ela terá vivido?
QUADRO
Diagramas de Venn podem ser usados
para representar ideias
Suponha que S seja o conjunto dos
sofredores e C o conjunto dos corinthianos.
Vamos representa-los por diagramas de
Venn em situações hipotéticas, segundo a
opinião de três pessoas.
Nenhum corinthiano é sofredor
Alguns corinthianos são sofredores
Todo corinthiano é sofredor
Essa representação em diagramas foi
inicialmente feita pelo matemático Leonhard
Euler, e por isso há quem chame tais
diagramas de “Diagramas de Euler Venn”
25. Represente as idéias com diagramas de Venn:
a) Todo filatelista é propedeuta
b) Alguns filatelistas são propedeutas
c) Nenhum filatelista é propedeuta
26. Represente as idéias com diagramas de Venn:
a) Todo astronauta é poeta.
b) Alguns astronautas são poetas.
c) Nenhum astronauta é poeta.

22
QUADRO
Relação de Inclusão
Quando todos elementos de um conjunto
também são elementos de outro conjunto,
dizemos que ele é um SUBCONJUNTO.
Exemplo 1: o conjunto P dos paranaenses é um
subconjunto do conjunto B dos brasileiros.
Representamos com:
𝑃 ⊂ 𝐵
Eu leio “P está contido em B”
Exemplo 2: o conjunto F={1,2} e o conjunto
G={1,3} são subconjuntos do conjunto
H={1,2,3,4}, ou seja 𝐹 ⊂ 𝐻 e também 𝐺 ⊂ 𝐻
IMPORTANTE: Um conjunto X só está contido
() em um conjunto Y se todos os elementos
do X também forem elementos do Y. Caso
contrário, não está contido (⊄)
Ex: A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{0,1,2,3}A , pois 0, 1, 2 e 3 pertencem ao
conjunto A.
{1,2,4,8,16}⊄A , pois 1, 2, 4 e 8 pertencem ao
conjunto A, mas 16 não pertence
Não podemos usar ∈ ou ∉ para dizer que um
conjunto é subconjunto do outro. Esses
símbolos são de relação de pertinência, que
associam, elemento – conjunto.
Elemento – Conjunto
Relação de Pertinência ∈ ou ∉
Conjunto - Conjunto
Relação de Inclusão ⊂ ou ⊄
Ex. 27 ao 32
https://youtu.be/h8QDsuZtFHI
27. Considere A o conjunto dos números de 0 a 9.
Complete os espaços vazios com  ou ⊄:
a) {0,1,2)__A b) {8,9,10}__A
c) {1,3,5,7,9}__A d) {0,2,4,6,8}__A
e) {10,11}__A f f) {9,10}__A
g) {11,12,13)__A
28. Veja a figura:
A) Complete com  ou
:
a) 5__A
b) 5__B
c) 7__A
d) 7__B
e) 3__A
f) 3__B g) 15__A h) 15__B
B) Complete com com  ou ⊄:
a) {2,5}__A b) {2,7}__A c) {2,7)__B
d) {7,11)__B e) {7)__A f) {7}__B
g) {2,11}__A h) A__B i) B__A
29. Veja a figura:
a) Ela indica que CP ou
que PC?
b) Essa figura pode ser
usada quando C é o
conjunto dos curitibanos
e P é o conjunto dos
paranaenses?
c) Esta figura pode ser
usada quando C é o conjunto dos cariocas e P o
conjunto dos paulistas?
30. Noilto, Maíra, Maiara, Guilherme, Naiara e
Carlos são alunos de uma 1ª série. Noilto e
Guilherme são carecas. Desse pessoal, considere
os conjuntos: H dos homens, C dos carecas.
a) É verdade que Noilto C? ___ É verdade que
Noilto  H? ___
Lembre-se que  associa elemento e conjunto e  associa
conjunto e conjunto.
b) É verdade que CH? ___ É verdade que HC?
___
c) Agora as representações de C e H: A primeira
representação está correta? E a segunda?

23
31. a) Faça um diagrama de Euler-Venn
representando três conjuntos A, B e C, sendo AB
e BC.
b) O que se conclui a respeito de A e C?
O exercício 32 é importantíssimo. Lembre-se que {1,2} e {2,1}
são o mesmo conjunto.
32. Ache todos os conjuntos X tal que:
a) X{1,2,3}
b) X{1,2,3,4}
c) X{1,2}
d) X{1}
DESAFIO: Qualquer que seja o conjunto A, temos
que A. Explique.
QUADRO
Conjunto das Partes
Eu chamo de conjunto das partes ou conjunto
potência, o conjunto com todos os
subconjuntos de um determinado conjunto.
Vamos falar das partes de um conjunto.
a) Quais são as partes de {1,2,3}
Com um elemento
{1}, {2}, {3}
Com dois elementos
{1,2}, {1,3}, {2,3}
Com três elementos
{1,2,3} (um conjunto está contido nele mesmo)
Com zero elementos
 (o vazio está contido em qualquer conjunto)
Note que são 8 subconjuntos. O conjunto
de todos subconjuntos é chamado de
Conjunto das Partes ℘ (ou conjunto
potência):
℘({1,2,3}) =
{, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
b) Quais são as partes de {1,2,3,4}
Com 0 elementos: 
Com 1 elemento: {1}, {2}, {3}, {4}
Com 2 elementos: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4},
{3,4}
Com 3 elementos: {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4},
{2,3,4}
Com 4 elementos {1,2,3,4}
São 16 subconjuntos.
℘({1,2,3,4}) =
{, {1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},
{2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,2}, {2,3,4},
{1,2,3,4}}
c) Quais são as partes de {1,2}
Com 1 elemento: {1}, {2}
Com 2 elementos: {1,2}
São 4 subconjuntos
℘({1,2,3,4}) = {, {1}, {2}, {1,2}}
d) Quais são as partes de {1}
Com 1 elemento: {1}
São 2 subconjuntos
℘({1}) = {,{1}}
e) Quais são as partes de 
Só o  é parte do  (óbvio). É 1 subconjunto.
℘() = {}
NOTE QUE: {} é o conjunto das partes de 
{} é conjunto unitário e não vazio!
Ex. 33 e 34
https://youtu.be/4I9CxqAMQLg
33. Eu posso dizer que, se A={1,2,3}, que 1A ou
que {1}A Justifique.
Lembre-se que  relaciona subconjunto e conjunto, enquanto 
relaciona elemento e conjunto

24
34. Classificar como V ou F cada uma das
afirmações:
a) {3} {1,2,3} b) {2,3,1}{1,2,3}
c) 2{1,2} d) 2{1,2}
e) {2,3,4}{1,2,3,4} f) {1,2}
g) {1,2} h) {3,5,2}{3,5}
Ex. 35 a 37
https://youtu.be/SAyDQThnwsA
35. Dados os conjuntos A1={a,b,c} e A2={d,e}, de
quantas maneiras diferentes podemos escolher
um elemento de A1 e um de A2?
Para resolver use o Princípio Fundamental da Contagem! (Veja
aos vídeos para entender). Veja o módulo B4.3
36. Dados os conjuntos A1={a,b,c}, A2={d,e} e
A3={f,g,h,i}, de quantas maneiras diferentes
podemos escolher um elemento de A1, um de A2 e
um de A3?
37. Dados os conjuntos A1={a, b, c}, A2={d, e},
A3={f, g, h, i}, A4={j, k, l, m, n} e A5={o}, de quantas
maneiras diferentes podemos escolher um
elemento de A1, um de A2, um de A3, um de A4 e
um de A5?
Ex. 38 a 41
https://youtu.be/W4GXcE25AaE
38. Quantos subconjuntos o conjunto A={a,b,c}
possui?
39. Quantos subconjuntos possui o conjunto A={a,
b, c, d}?
40. Quantos subconjuntos possui o conjunto A={a,
b, c, d, e}? Faça sem listar todos os subconjuntos.
41. Um conjunto A tem 10 elementos. Quantos
subconjuntos tem o conjunto A?
QUADRO
Número de elementos do conjunto das
partes
Se você fez os exercícios 35 ao 41 e assistiu
aos vídeos, entendeu que se eu tenho um
conjunto {1,2,3,4,5}, há 2 hipóteses para cada
número – pertencer ou não pertencer ao
conjunto.
Usando o princípio fundamental da contagem,
temos que:
1 – pode pertencer ou não – 2 possibilidades
2– pode pertencer ou não – 2 possibilidades
Usando o Princípio Fundamental da Contagem,
o total de partes é
𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 = 𝟑𝟐
Podemos dizer que um conjunto de n elementos
possui 2𝑛
elementos, ou seja:
#℘(𝐴) = 2#𝐴
(#A é a cardinalidade, ou seja, o número de
elementos de um conjunto A)
Explicação Teórica 5:44
Conjunto das Partes
https://youtu.be/6RTIIzPUL_Y
QUADRO
Conjuntos e Geometria
Recordemos algumas notações e alguns conceitos
da geometria.
 Pontos são nomeados por letras latinas maiúsculas
e de fôrma (A, B, C, D, ...).
 Retas são nomeadas por letras latinas minúsculas
(a,b,c, ..., r,s,t, ...).
 Um segmento de reta de extremos A e B é indicado
por 𝐴𝐵
̅̅̅̅.
 Uma semi-reta de origem A que passa por B é
indicada por 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ .
 Uma reta é um conjunto de pontos; logo, cada um
de seus pontos é um elemento da reta.
 Uma semi-reta é um conjunto de pontos; logo, cada
um de seus pontos é elemento da semi-reta.
 Um segmento de reta é um conjunto de pontos;
logo, cada um de seus pontos é um elemento do
segmento de reta.

25
Ex. 42
https://youtu.be/lfIl4z6OX0c
42. De acordo com a figura, classificar em V
ou F cada uma das afirmações:
a) Ar b) A r c) {A} r
d) 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ r e) 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗  r f) 𝐷𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗
g) AAC h) A𝐴𝐶
̅̅̅̅.
A superfície da lousa de sua classe é uma superfície plana. Por
isso dizemos que ela está contida num plano. Esse plano é infinito,
isto é, não se limita às margens da lousa. Um plano é constituído por
infinitos pontos; e toda reta que passa por dois de seus pontos
(distintos) está contida nesse plano. Em geometria, pode-se
representar um plano por um paralelogramo e usa-se uma letra grega
minúscula (, , , ...) para denominá-lo.
1) Escreva a lista dos elementos de:
𝐴 = {𝑥 𝑥
⁄ é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 0 𝑒 5} = {___________________}
𝐵 = {𝑥 𝑥
⁄ é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑒 𝑥 ≤ 8} = {___________________}
𝐶 = {𝑥 𝑥
⁄ é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑥 > 50} = {_________________________}
2) Complete com = ou ≠:
a) {1,3,5} ___ {3, 5, 1}
b) {1,3,5,1,5} ___ {1, 1, 1, 3, 3, 5}
c) {1,1,1,1,1} ____ {1, 3}
d) {5,4,6,7} ___ {4,5,6,7,8}
3) Coloque os algarismos nos diagramas de Venn:
A={0,1,3,5,7}
B={1,2,3,4,8}
C={1,2,4,5,9}
4) Considere A={1,2,4,8,16,32,64}, B={10,11,12,....,30}.
Complete com  ou :
1___A 1___B 16___A 16___B
5___A 5___B 27___A 27___B
5) Quantos elementos possuem os conjuntos:
a) {16, 17, 18, 19, ..., 50}
b) {40, 41, 42, 43, ...., 99}
6) Você ingressou no início do ano de 2005 no emprego. No final do
ano de 2018 terá trabalhado quantos anos nesse emprego?
7) Um jornal foi fundado em 1991. Nesse ano indicava em sua capa
“ANO 1”. Em 1992 indicava “ANO 2”, em 1993, “ANO 3”. No ano de
2018, será “ANO ___”?
8) Represente em diagramas de Venn:
a) Todo florista é romântico.
b) Alguns floristas são românticos.
c) Nenhum florista é romântico.
9) Represente em diagramas de Venn o conjunto dos quadrados Q,
dos losangos L e dos retângulos R.
10) Complete com com  ou ⊄:
a) {5,6} ____ {1,2,3,...,10} b) {1,3,5,7} ___
{1,2,3,4,5,6,7}
c) {1,4}___ {1,3,4,5} d) {1,3,4,5}____
{1,3,4}
11) Faça um desenho com diagramas de Venn representando os
conjuntos B dos brasileiros, M dos mineiros e Z dos
muzambinhenses.
12) Considere o conjunto A dos estudantes do 1ºA e o conjunto S
dos estudantes da EE Prof. Salatiel de Almeida. Considere Tamires,
uma estudante do 1ºA e Paula, uma estudante da escola, mas não
matriculada no 1ºA. Complete com  ou ,  ou ⊄:
Tamires ___ A Tamires ___ S A ___ S
Paula ___ A Paula ___ S {Paula, Tamires} ___ A
13) Considere M o conjunto dos mamíferos, A o conjunto das aves e
V o conjunto dos vertebrados. Complete com  ou ,  ou ⊄:
Cachorro ___ M Cachorro ___ A Cachorro ___ V
Galinha ___ M Galinha ___ A Galinha ___ V
A ___ V M ___ V A ___ M
14) Ache todos os subconjuntos de:
a) {P, A, T, O}
b) {A, V, E}
c) {X, Y}
d) {F}
15) Qual é o conjunto F, de tal forma que F={ xℕ / 3x+1=10}?
16) Classifique os conjuntos em unitário e vazio:
a) X={x / x é número primo e par}
b) Y={x / x é número natural entre 5 e 6}
c) Z ={x / x é número que é solução da equação 5x-3=9}
d) W={x / x é número natural que é solução da equação 5x-3=9}
17) Represente em um diagrama os conjuntos M das mulheres, P dos
palmeirenses e C dos cariocas.
18) Por qual motivo A, sendo A qualquer conjunto?
Correção em vídeo
Ex 1 ao 18
https://youtu.be/ehzx5g62H1g

26
B5.1 AULA 4 – Simplificação de Radicais
Esse módulo trata de simplificação de Radicais apenas utilizando as
propriedades já conhecidas.
Essas simplificações em geral são trabalhadas no 9º ano, no início do ano.
Mas são temas que podem ser facilmente aprendidos se você se dedicar e
estudar.
Matemática exige auto-estudo.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS
o INTRODUÇÃO DE FATORES EXTERNOS NO RADICANDO
o REDUÇÃO DE RADICAIS AO MESMO ÍNDICE
o COMPARAÇÃO DE RADICAIS
atividade.
Simplificação de Radicais
QUADRO
Vamos combinar as propriedades estudadas na Aula
1 para simplificarmos radicais.
O que faremos aqui explica bem a regra prática
apresentada na Aula 1.
Também já fizemos isso em um exercício anterior.
Mas aqui está mais formalizado!
Simplifique
a)√𝟔𝟑 =
⏞
𝑭𝒂𝒕𝒐𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐
𝒐 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐
√𝟑𝟐𝟕 =
⏞
𝑹𝟐
√𝟑𝟐
√𝟕 =
⏞
𝑹𝟏
𝟑√𝟕
b)√𝟏𝟎𝟖𝟎
𝟑
=
⏞
√𝟐𝟑𝟑𝟑𝟓
𝟑
=
⏞
𝑹𝟐
√𝟐𝟑
𝟑
√𝟑𝟑
𝟑
√𝟓
𝟑
=
⏞
𝑹𝟏
𝟐 ∙ 𝟑√𝟓
𝟑
= 𝟔√𝟓
𝟑
Em alguns casos é preciso usar a propriedade da
potenciação para conseguir aplicar a propriedade da
radiciação:
a)√𝟏𝟐𝟓 =
⏞
√𝟓𝟑 =
⏞
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒓𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅𝒆
𝑷𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂çã𝒐
√𝟓𝟐𝟓 =
⏞
𝑹𝟐
√𝟓𝟐√𝟓
=
⏞
𝑹𝟏
𝟓√𝟓
b)√𝟏𝟐𝟖
𝟑
=
⏞
√𝟐𝟕
𝟑
=
⏞
√𝟐𝟑𝟐𝟑𝟐
𝟑
=
⏞
𝑹𝟐
𝟐 ∙ 𝟐√𝟐
𝟑
=
⏞
𝑹𝟏
𝟒√𝟐
𝟑
c) √𝟔𝟒𝟖 =
⏞
√𝟐𝟑𝟑𝟒 =
⏞
√𝟐𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟐𝟑𝟐
=
⏞
𝑹𝟐
√𝟐𝟐√𝟐√𝟑𝟐√𝟑𝟐 =
⏞
𝑹𝟏
𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑√𝟐 = 𝟏𝟐√𝟐
1) Simplifique os radicais usando das
propriedades da radiciação. Tenha consciência
das operações utilizadas.
a)√32 ∙ 13
b) √3 ∙ 55
5

27
c) √24 ∙ 3 ∙ 5
4
d) √2 ∙ 35 ∙ 5
5
e) √2 ∙ 33 ∙ 53
3
f) √54
3
g) √37
h) √23 ∙ 32
i) √28 ∙ 39
4
j) √211
5
2) Considere os valores de x e y positivos:
a)√𝑥5
b)√𝑦4
3
c) √𝑥2𝑦3
d)√𝑥5𝑦7
5
e) √𝑥9
f)√𝑦12
5
g)√𝑦10
9
h) √𝑥13
10
3) Simplifique os radicais:
a)√45
b) √300
c) √500
d) √54
3
e) √128
6
f) √270
g) √192
5
h) √176
4
i) √1200
j) √375
3
4) Considere √2 = 1,41 e √3 = 1,73, que são
valores aproximados, e determine os valores
aproximados a seguir:
Primeiramente fatore e simplifique como você fez no exercício
anterior, e depois substitua os valores acima, dados.
a) √18
b) √48
c) √32
d) √200
e) √162
f) √75
QUADRO
Olha o tipo de cancelamento que você NÃO
PODE fazer:
2 + √8
2
= √8
Como falamos na Aula 2 (fatoração), você só
pode cancelar se numerador e denominador
estejam fatorados.
Sabemos que √8 = 2√2, então o correto é:
2 + √8
2
=
2 + 2√2
2
=
2(1 + √2)
2
= 1 + √2
Note que FATORAMOS o numerador.
4) Simplifique o radical e simplifique a expressão
colocando o fator comum em evidência:
a) 5 + √50
b) 3 − √18
c) 10 − √8
d) 10 + √200
Exemplo: 9 + √45 = 9 + 3√5 = 3(1 + √5)
5) Simplifique as frações. Veja que é fundamental,
nesse caso, fatorar os termos:
a)
2+√12
2
b)
10−√50
5
c)
2+√8
2
d)
7−√98
14

28
6) Simplifique as frações (necessário usar a
fatoração, colocando fatores comuns em
evidência0:
a)
4+√12
6+√27
b)
3+√27+√18
4+√32+√48
7) Se √12 = 3,46, determine um valor para √300.
Nessa questão, se você tentar fazer seguindo uma regra, não vai
conseguir. É necessário pensar e aplicar as propriedades!
8) Simplifique os radicais, usando várias
propriedades:
a)√√1536
b) √√√4096
3
Redução de Radicais para um
mesmo índice
QUADRO
Eu quero saber qual radical simplificado resulta em
3√2.
Basta fazer o processo inverso usando as
propriedades da operação:
3√2 = √32√2 = √322 = √18
Note que é pegar o número fora da raiz e “jogar para
dentro” elevando à potência correspondente ao
índice.
Outros exemplos:
a) 2√3
3
= √23
3
√3
3
= √233
3
= √24
3
b) 3√3
5
= √35
5
√3
5
= √36
5
= √729
5
c) √3√3
3
5
= √√33
3
√3
5
5
= √√333
3
5
= √34
15
= √81
15
d) 3√32
4
= √34
4
√32
4
= √3432
4
= √36
4
= √33
Note que você usou várias propriedades para efetuar
as expressões. Procure entender cada uma delas.
Refaça os exemplos do caderno, identificando as propriedades
utilizadas. Essa informação é IMPORTANTE.
1) Introduza os fatores externos no radicando:
a) 7√3
b) 2√5
c) 10√2
d) 5√7
e)5√2
3
f) 2√10
6
2) Considerando a e b números positivos,
introduza os fatores externos no radicando:
a) 6√𝑎
b) 2𝑎√𝑏
c) 5𝑎√𝑎
d) 2𝑎𝑏√𝑎𝑏
e) 𝑏√𝑎𝑏
3
f) 𝑎√2𝑎
5
g) 3𝑏 √𝑎𝑏
4
3) Transformem as expressões em um único
radical usando as propriedades da radiciação:
a) √𝑥√𝑥2
3
6
b) √𝑥√𝑥2𝑦3
5
4) Introduza os fatores externos no radicando:
a) 2√3
b) 7√5
3
c) 2√2
5
d) √𝑥√𝑥
3
5
5) Sendo a, b, c números reais positivos, mostrar
que a b c a b c
3 6 2
12
 .
Simplificação de Radicais
usando várias propriedades
1) Reduza a um só radical, aplicando as
propriedades dos radicais:
 
3 5
3
4 3
12
3
27 9
5
5
3
3
8
g)
125
1
f)
2
e)
2
d)
5
c)
4
8
b)
5
.
2
a)

29
2) Simplificar as expressões:
 
 8
4
5
15
3
3
3
3
3
3
3
5
5
5
5
5
5
3
j)
9
16
i)
2
h)
8
1
g)
3
1
f)
5
3
:
10
e)18
5
:
10
d)
3
.6
2
c)2
3
.
2
b)2
3
.
2
a)






3) Simplifique:
8 12
3 4
6 5
4
4
3
3
4
e)
2
d)
64
c)
2
.
32
b)
2
.
32
a)
4)Simplifique:
a) 3
2
.
2
b)
5
5
3
(Caso não caibam esses exercícios nesse
pequeno espaço, faça no caderno)
Redução de Raízes ao mesmo
índice
QUADRO
Vamos reduzir para o mesmo índice:
a)√3
3
e √3
4
Como os índices são 3 e 4, vamos transformar
ambos os índices em 12, pois 12=mmc(3,4) – é
múltiplo comum de 3 e 4.
Usando a propriedade R4 (2ª propriedade) temos
que:
√3
3
= √34
12
√3
4
= √33
12
Portanto, para reduzir √3
3
e √3
4
ao mesmo índice,
temos √34
12
e √33
12
.
b) √25
6
e √23
9
mmc(6,9)=18
Então: √25
6
= √215
18
e √23
9
= √26
18
Portanto, a redução ao mesmo índice é √215
18
e √26
18
Pesquise: “Redução de Raízes (Radicais)
ao mesmo índice” no Youtube.
1) Reduza ao mesmo índice:
a)√2
3
e √3
4
b) √5 e √5
4
c) √4, √2
3
e √3
4
d) √𝑥4
5
e √𝑦2
3
e) 5 e √4
3
Lembre-se que 5 = √5
1
2) Reduza os radicais ao mesmo índice:
√𝑥𝑦2
3
, √𝑥3
4
e √𝑦
3) Reduza ao mesmo índice:
4
3
3
3
5
3
7
4 5
3 2
5
,
2
,
3
e)
5
,
3
d)
4
,
7
c)
3
,
2
,
6
b)
2
,
3
,
5
a)
Exemplo: Para reduzir ao mesmo índice o item “a” reduzimos os
índices 2 (raiz quadrada o índice é 2, ou seja, quando não tiver índice,
índice 2), 3 e 4 à um mesmo número – sendo o melhor número para
isto, o mínimo múltiplo comum de 2, 3 e 4, ou seja, 12. Depois
aplicamos em cada item R4.
Veja: a)
12 6
6
2 6
1
5
5
5 
 x x
;
12 8
4
3 4
2
3 2
3
3
3 
 x x
;
12 15
3
4 3
5
4 5
2
2
2 
 x x
.
Comparação de Radicais
QUADRO
Para comparar dois radicais, o primeiro passo é
reduzir os radicais a um mesmo índice.

30
a) Compare √2 e √3
3
Reduza à um índice comum (que você já notou ser
idêntico ao reduzir à um denominador comum):
mmc(2,3)=6
√2 = √23
6
= √8
6
√3
3
= √32
6
= √9
6
Como 8<9, temos que:
√2 < √3
3
b) Coloque em ordem crescente √2 , √5
3
e √7
4
.
Reduza à um índice comum:
mmc (2,3,4)=12
√2 , √5
3
e √7
4
√26
12
, √54
12
e √73
12
√64
12
, √625
12
e √343
12
Colocando em ordem crescente:
√64
12
< √343
12
< √625
12
E portanto a resposta é:
√2 < √7
4
< √5
3
Pesquise: “Comparação de raízes
(radicais)”
Fonte: http://matemagicaa.blogspot.com/2012/03/reducao-dos-
radicais-ao-mesmo-indice.html
1) Comparar os radicais:
a) 5 2
3 3
e
b) 3
6
e 2
4
Atenção: Para comparar radicais é fundamental reduzi-los ao
mesmo índice.
2) Escrever em ordem crescente os números
5 2 9
3 3 3
, , .
3) Escrever em ordem decrescente os números
5 2 3
4 3
, , .
4) Coloque em ordem √7
3
, √3 e √52
4
.

31
B5.2 AULA 5–Fatoração de Polinômios II
Vamos continuar a aula 2 com mais dois tipos de fatoração: Fatoração da
Diferença entre Dois Quadrados e Fatoração do Trinômio Quadrado Perfeito.
Também apresentaremos casos combinados de fatoração e para
aprofundamento três outros casos de fatoração que não são os mais
importantes, mas vale a pena você – bom aluno – conhecer. Caso você não
faça o aprofundamento deve ignorar vários outros exercícios com *
assinalado.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o FATORAÇÃO DA DIFERENÇA ENTRE DOIS QUADRADOS
o FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO (TQP)
o CASOS COMBINADOS DE FATORAÇÃO
atividade.
 Os casos a seguir não são essenciais para a alfabetização matemática, mas, se você é um aluno
talentoso, com facilidade ou que gosta de estudar, TAMBÉM VALE A PENA saber:
o FATORAÇÃO DA SOMA DE DOIS CUBOS
o FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS CUBOS
o FATORAÇÃO DO POLINÔMIO CUBO PERFEITO
o FATORAÇÃO DO TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU
3º Caso – Diferença entre Dois
Quadrados
QUADRO
Você se lembra que?
(𝒙 − 𝒚)(𝒙 + 𝒚) = 𝒙𝟐
− 𝒚𝟐
Esse produto notável (produto da soma pela
diferença) precisa ser conhecido para você
entender essa aula! Se não conhece, PESQUISE!
De um modo geral, qualquer produto de soma (𝒙 + 𝒚)
por diferença (𝒙 − 𝒚) é uma diferença entre dois
quadrados 𝒙𝟐
− 𝒚𝟐
.
Lembre-se que:
 (𝑥 + 3)(𝑥 − 3) = 𝑥2
− 9
 (𝑥 − 4)(𝑥 + 4) = 𝑥2
− 16
 (2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) = 4𝑥2
− 1
 (3𝑥 + 4𝑦)(3𝑥 − 4𝑦) = 9𝑥2
− 16𝑦2
Portanto toda vez que houver dois quadrados e uma
diferença entre eles, eu posso fatorá-los usando o
inverso do Produto Notável
𝑥2
− 16𝑦2
São dois quadrados 𝑥2
é o quadrado de 𝑥 e 16𝑦2
é o
quadrado de 4𝑦, portanto:
𝑥2
− 16𝑦2
= (𝑥 + 4𝑦)(𝑥 − 4𝑦)
Exemplo:
 𝑥2
− 4 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
 4𝑦2
− 𝑚2
= (4𝑦 + 𝑚)(4𝑦 − 𝑚)
 𝑥2
𝑦2
− 1 = (𝑥𝑦 + 1)(𝑥𝑦 − 1)
 𝑥4
− 9 = (𝑥2
+ 3)(𝑥2
− 3)

16
25
𝑦6
−
1
9
= (
4
5
𝑦3
+
1
3
) (
4
5
𝑦3
−
1
3
)

32
1)Fatore as seguintes diferenças entre dois
quadrados:
a) m2
-n2
b) x2
-4
c) m2
-100
d)
4
9
m2
–
25
49
n2
e) x2
-c2
2)a) Calcule (x-4)(x+5)
b) Qual é a forma fatorada de x2
+x-20?
Esse exercício 2, bem como o 3, são auto-
explicativos, óbvios. Se vocês tiverem dificuldades é
pelo fato de não terem entendido O QUE é a fatoração!
(Ou dúvidas com pré-requisitos). Nesse caso pense: o
que é fatorar?
3) a) Calcule (x2
-1)(x2
+1)
b) Qual é a forma fatorada de x4
-1?
4)Fatore as diferenças entre dois quadrados:
a) x2
-4
b) y2
-36
c) 9x2
-16
d) 81x2
-64
e) y2
-25x2
f) 4x2
-25a2
5) Fatore as diferenças entre dois quadrados:
a) p4
-16q6
b) x4
-y4
c)
1
9
x2
-64
d) 4
9
m2
- 25
49
n2
e) 9a6
b4
-169
f)
𝑎2
9
−
25𝑏4
16
6) Observe o exemplo a4
-1=(a2
+1)(a2
-1), mas
como a2
-1=(a+1)(a-1), a4
-1=(a2
+1)(a+1)(a-1).
Fatore desta maneira os seguintes polinômios:
a) x4
-1
b) 81a4
-1
c) x20
-81
d) 625-x4
7) Parece difícil fazer mentalmente 31x29, mas
não é. Nesse caso, a álgebra
ajuda.31x29=(30+1)x(30-1)=302
-12
=900-1=899.
Use o mesmo método e calcule:
a) 21x19
b) 22x18
c) 91x89
d) 102x98
QUADRO
Como calcular facilmente
20192
− 20182
?
Como se trata de uma diferença entre dois
quadrados:
20192
− 20182
= (2019 + 2018)(2019 − 2018)
= 4037 ∙ 1 = 4037
8) a) Calcule 19982
-19972
.
b) Que número somado a 19882
resulta em
19892
?
QUADRO
A expressão
𝑥3
− 𝑥
Pode ser fatorada usando o fator comum em
evidência:
𝑥3
− 𝑥 = 𝑥(𝑥2
− 1)
Note que o fator 𝑥2
− 1é uma diferença entre dois
quadrados que também pode ser fatorado:
𝑥3
− 𝑥 = 𝑥(𝑥2
− 1) = 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

33
Outro exemplo:
5𝑥2
𝑦 − 45𝑦 = 5𝑦(𝑥2
− 9) = 5𝑦(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
Falamos aqui que fatoramos completamente.
9) Fatore completamente:
a) x3
-a2
x
b) 16y-a2
y
c) x2
(a+b)-4(a+b)
d) x3
-x
e) 12x3
-3xy2
f) a3
-9a
10- Fatore as expressões:
(𝑎 + 𝑏)2
− 𝑐2
eu tenho uma diferença entre dois
quadrados: de a+b e de c, portanto temos que
((𝑎 + 𝑏) + 𝑐)((𝑎 + 𝑏) − 𝑐) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏 − 𝑐).
a) (a+b)2
-c2
b) (a+3)2
-b2
c) a2
-(b+c)2
11- Efetue
123456 12345
123456 12345
2 2


12- (38ª OBM - Nível 1) Qual é o valor da
expressão
2
2016 1
2015

?
REFORÇANDO
a) m2
-100
b) x2
-y2
c) y2
-1
d) a4
-9
e) 4x2
-49
f) 9a2
-25b2
g) x2
-4
h) a2
-36
a) x2
-36
b) 4x2
-36
c) x2
-4y2
d) 25x4
-36a6
e)
25
144
x2
-121
f) x2
-1444
3)Calcule mentalmente usando que aprendemos:
a) 108x92
b) 42x38
4)Calcule:
a) 2562
-2552
b) 1442
-1432
a) (a+3)2
-9
b) (x+5)2
-9
c) 16-(a-3)2
6)Fatore as expressões completamente:
a) a3
-ab2
b) 2x2
-18
c) x4
-y4
d) a2
-b+a2
+ab
e) 3x-6y
7)Simplifique as frações:
a)
𝑥2+3𝑥
𝑥2−9
b)
3𝑥+6
𝑥2−4
c)
4𝑥2−25
2𝑥+5
d)
3𝑥3+𝑥2+3𝑥+1
𝑥4−1

34
4º Caso – Trinômio Quadrado Perfeito
QUADRO
Você se lembra que?
(𝒙 + 𝒚)𝟐
= 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐
(𝒙 − 𝒚)𝟐
= 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐
Esse produto notável (quadrado da soma,
quadrado da diferença) precisa ser conhecido
para você entender essa aula! Se não conhece,
PESQUISE!
Note que apenas um dos termos será negativo no
quadrado da diferença.
Lembre-se que:
 (𝑥 + 3)2
= 𝑥2
+ 6𝑥 − 9
 (𝑥 − 4)2
= 𝑥2
− 8𝑥 + 16
 (2𝑥 − 1)2
= 4𝑥2
− 4𝑥 + 1
 (3𝑥 + 4𝑦)2
= 9𝑥2
+ 24𝑥𝑦 + 16𝑦2
Esse trinômio (3 termos) que é resultado do produto
notável é chamado de TRINÔMIO QUADRADO
PERFEITO - TQP.
Portanto toda vez que houver um TQP, eu posso
fatorá-los usando o inverso do Produto Notável
𝑥2
+ 8𝑥𝑦 + 16𝑦2
São dois quadrados 𝑥2
é o quadrado de 𝑥 e 16𝑦2
é o
quadrado de 4𝑦, e o termo do meio é o dobro do
produto de 𝑥 e 4𝑦 portanto:
𝑥2
+ 8𝑥𝑦 + 16𝑦2
= (𝑥 + 4𝑦)2
Exemplo:
 𝑥2
− 4𝑥 + 4 = (𝑥 − 2)2
 4𝑥2
+ 4𝑥 + 1 = (2𝑥 + 1)2
Você deverá ENTENDER o que está fazendo e não
apenas repetir regras e procedimentos. Isso é
possível, e, como tudo na Matemática e na vida exige
certo esforço.
Um TQP só é TQP se for o quadrado de um número,
mais/menos duas vezes um número vezes outro
número, mais o quadrado do outro número.
Como eu verifico se um TQP?
𝑥2
⏟
𝑥
− 6𝑥 + 9
⏟
3
Primeiramente vejo se dois dos termos são
quadrados perfeitos. (abaixo da chave tem o número
que foi elevado ao quadado)
Depois eu verifico se o produto dessed quadrados e
2 é o outro termo
2 ∙ 𝑥 ∙ 3 = 6𝑥
Portanto é um TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO.
Exemplos:
1) 4𝑥2
+ 4𝑥 + 1
4𝑥2
é o quadrado de 2𝑥
1 é o quadrado de 1
O produto 2 ∙ 2𝑥 ∙ 1 é igual a 4x
Portanto: é TQP
2) 16𝑥2
+ 24𝑥𝑦 + 9𝑦2
16𝑥2
é o quadrado de 4𝑥
9𝑦2
é o quadrado de 3𝑦
O produto 2 ∙ 4𝑥 ∙ 3𝑦 é igual a 24xy
Portanto: é TQP
3) 𝑥2
− 9𝑥 + 9
𝑥2
é o quadrado de 𝑥
9 é o quadrado de 3
O produto 2 ∙ 𝑥 ∙ 3 é igual a 6x e não 3x
Portanto: não é TQP
1) 4𝑥2
+ 4𝑥 − 1
Não é TQP por ter sinal de negativo no 1
1) Verifique se os trinômios são quadrados
perfeitos (ou seja, podem ser fatorados na forma
(a+b)2
)
a) x2
+10x+25
b) a2
-4a+4
c) x2
-12x+9
d) 16a2
+36ab+9b2
Perceba que o polinômio está fora de ordem nos
itens “e” e “f”
e) m2
+n2
+2mn
f) 25x2
+9y2
-30xy
2)Fatore os trinômios quadrados perfeitos:
a) x2
+8x+16
b) x2
-8x+16
c) 4x2
-20x+25
d) 9x2
-12x+4
e) x2
-2x+1
f) 121x2
+22x+1
3)Fatore:
Nesse exercício estão misturados casos diversos de
fatoração de polinômios
a) 16y6
-x4
b) 25 m2
+20m+4

35
c)25x2
-10x/3+1/9
4)Complete os trinômios de modo que eles sejam
quadrados perfeitos:
Para x²+...+49 ser um TQP, note que x² é quadrado
de x e 49 é quadrado de 7. (...) precisa ser 2 ∙ 𝑥 ∙ 7=14x
a) x2
+...+100
b) x2
+...+25
c) x4
+...+25
5)Complete os trinômios de modo que eles sejam
quadrados perfeitos:
x²-8x+... só é um TQP se eu pensar que o número
que ao quadrado da x², que é x vezes 2 vezes um certo
número é 8x. Esse certo número é 4. Portanto ... = 4²
a) x2
-4x+...
b) 4x2
-40x+...
c) x4
-12x2
y2
+...
6)Simplifique as frações:
Para simplificar as frações fatore numerador e
denominador se necessário e faça os cancelamentos.
a) x x
x
2
14 49
7
 

b) x
x
2
16
4


7)Calcule usando a fatoração do TQP:
Para fazer esse exercício fatore as expressões como
se ao invés de números fossem variáveis quaisquer
a) 32
+2.3.6+62
b) 172
+2.17.13+132
8)Multiplique um número natural pelo sucessor de
seu sucessor. Some 1 ao resultado. Aí, extraia a
raiz quadrada. Surpresa! Essa raiz quadrada é
sempre um número inteiro. Usando álgebra,
explique por que isso acontece.
Você deve fazer de forma análoga ao que fizemos
na Aula de Fatoração pelo Fator Comum em Evidência
9)Fatore completamente:
Você deve usar um ou mais casos de fatoração e
fazer fatorações sucessivas até cada termo ser não
fatorável. Na dúvida fale com o professor.
a) x3
-6x2
y+9y2
x
b) 7x7
-14x6
+7x5
c) x4
+3x3
+x2
10)Fatore completamente:
a) x3
-8x2
+16x
b) x3
+6x2
+9x
c) 3x2
+30xy+75y2
11)Simplifique:
4
4
)
2
(
3
)
2
(
5
)
4
4
4
)
2
2
2
2
2
3









x
x
x
y
x
b
x
x
x
x
a
12)Sabendo que x2
+y2
=74 e xy=35, calcule o valor
de (x-y)2
Já fizemos exercícios semelhantes com esse. Fatore
e depois substitua os valores!
13)Sendo (a+b)2
=64 e ab=12, calcule o valor de
a2
+b2
.
14) Calcule as raízes quadradas, supondo que o
radicando é positivo:
Note que √𝑥2 + 12𝑥 + 36 = √(𝑥 + 6)2 = 𝑥 + 6.
Temos que supor que x+6 é positivo
1
4
4
)
25
10
)
9
6
)
2
2
2






x
x
c
x
x
b
x
x
a

36
REFORÇANDO
1) Fatore os trinômios quadrados perfeitos, não
esqueça de verificar se realmente são trinômios
a) a2
-2ax+x2
b) x2
-10x+25
c) ¼+x+x2
d) y2
+14ya+49a2
e) 25a2
+10az+z2
f)4x2
+16xy+16y2
g) y4
-12y2
+36
h) a4
+2a2
+1
i) 81+90a+25a2
2) Complete os trinômios de modo que eles sejam
quadrados perfeitos
a) x2
-...+4
b) 16x6
+...+49
c) x4
-...+9y2
3) Complete os trinômios de modo que eles sejam
quadrados perfeitos
a) x2
+5x+...
b) x2
/4+3x+...
c) x2
-x+...
4) Calcule:
a) 272
-2.27.7+72
b) 542
-2.54+1
3
9
6
)
)
1
5
(
1
10
25
)
2
2
2






x
x
x
b
x
x
x
a
6) Simplifique a expressão:
Não fique na dúvida! Faça a simplificação separada
de cada fração e depois some. Será fácil!
x
x
x x
x
2 2
4
2
6 9
3



 

a) x2
yz+xy2
z+xyz2
b) 45a5
y4
-75a4
y5
+105a3
y6
c) 4ax3
+6a2
x2
+4a3
x2
a) x3
+4x2
+4x
b) 27a2
-18a+3
c) 2a3
+4a2
+2a
9) Se (a+b)2
=81 e a2
+b2
=53, calcule o valor de ab.
10) Calcule o valor numérico de m n mn m
m mn n
2
2 2
5 5
10 25
  
 
,
quando m=-1 e n=1989/1990
Simplifique a fração antes!
11) Calcule:
2
2
2
2
16
8
)
1
2
x
)
25
10
)
y
xy
x
c
x
b
x
x
a






Fatoração: Generalização
QUADRO
Qual é o significado da fatoração? Quando
usamos a fatoração?
Resposta: Fatorar é transformar um polinômio
num produto. Usamos a fatoração quando é
necessária a transformação de um polinômio
em produto.
1)Fatore os polinômios, indicando o caso de
fatoração que foi utilizado:
a) x2
-4
𝑥2
− 4 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) Diferença de 2 quadrados
b) 2x2
-x
𝑥(2𝑥 − 1) Fatoração por agrupamento

37
c) x2
-10x+25
𝑥2
− 10𝑥 + 25 = (𝑥 − 5)2
TQP
d) ax+ay+bx+by
e) 9x2
-144
f) x2
-24x+144
2)Fatore completamente, usando sucessivamente
os casos de fatoração:
a) m3
-m
𝑚3
− 𝑚 = 𝑚(𝑚2
− 1) = 𝑚(𝑚 + 1)(𝑚 − 1)
b) x3
-4x2
+4x
𝑥3
− 4𝑥2
+ 4𝑥 = 𝑥(𝑥2
− 4𝑥 + 4) = 𝑥(𝑥 − 2)2
c) x2
-1+xy-y
d) m4
-n4
e) 2a2
-18
f) x4
-8x3
+16x2
g) x2
+2xy+y2
-z2
h) 27a2
-18a+3
3)Quantos fatores tem a fatoração completa de
m8
-1?
4)Fatore os polinômios, usando os casos de
fatoração estudados:
a) x2
+5x
b) x3
-2x2
+4x-8
c) 4x2
-9
d) ax-a+bx-b
e)a3
b2
+a2
b3
f) m6
-1
g) 4a2
x2
-4abx+b2
h) (x+1)2
-9
i) a2
bc+ab2
c+abc2
j) 25x2
+70x+49
k) 1-(a+b)2
l) x6
+x4
+x2
+1
QUADRO
Fatore:
𝑥2
− 9 + 4𝑥𝑦 + 12𝑦
Podemos usar a fatoração por agrupamento
combinada com diferença entre dois quadrados
𝑥2
− 9
⏟ + 4𝑥𝑦 + 12𝑦
⏟
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) + 4𝑦(𝑥 + 3)
Como (𝑥 + 3) é fator comum:
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3 + 4𝑦)
Veja outro exemplo:
𝑥2
− 6𝑥 + 9
⏟ + 𝑎𝑥2
− 9𝑎
⏟
(𝑥 − 3)2
+ 𝑎(𝑥2
− 9)
(𝑥 − 3)2
+ 𝑎(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
(𝑥 − 3)(𝑥 − 3 + 𝑎(𝑥 + 3))
(𝑥 − 3)(𝑥 − 3 + 𝑎𝑥 + 3𝑎)
a) x²-a²-2ab-b²
b) x²-9+3ay+9y
d) x²-6x+9+ax-3a
e) x²-y²-6y-9
REVISANDO
1)Fatore os polinômios, indicando o caso de
fatoração que foi utilizado:
a) 3x2
-9x
b) 5x3
y4
-3x2
y6
c) ax+bx+ay+by
d) x2
-49
e) 4x2
-9y2
f) x2
-22x+121
g) x3
+3x2
+2x
h) x2
-1225

38
2)Fatore completamente, usando sucessivamente
a) x4
-2x2
+1
b) x3
-xy2
c) x4
-1
d) 9x2
+15x+25
e) ¼+x+x2
f) 2a2
-98
g) a4
-8a3
+16a2
h) 5a2
-10ab+5b2
i) 6x2
-4y2
3)Fatore os polinômios, usando sucessivamente
a) a2
-x2
+2xy-y2
b) b2
-a2
-10a-25
c) x2
-6x+9
d) x3
-6x2
+15x
e) x2
-8x+16-25
f) (m2
+n2
)2
-(-m2
-2n2
)2
1- Fatore as diferenças entre dois quadrados:
a) x2
-4 b) a2
-36 c)m2
-n2
d) p4
-16q6
e) a4
-9 f) 4x2
-49
g) 9a2
-25b2
h) x4
-y4
i) 9-1
x2
-64
j) 4/9 m2
-25/49 n2
k) (a+b)2
-c2
l) (a+3)2
-b2
m) a2
-(b+c)2
n) x2
-(y-z)2
o) 16-(a-3)2
2- Fatore os trinômios quadrados perfeitos
a) x2
-10x+25 b) y2
+2y+1 c) x2
-8xy+16y2
d) 9x2
+12x+4 e) 81+90a+25a2
f) a2
+4ax+4x2
g) a2
-2ax+x2
h) y4
-12y2
+36 i) ¼+x+x2
j) y2
+14ya+49a2
k) 9x2
-12xy+16y2
l) 25a2
+10ax+z2
m) 4x2
+16xy+16y2
3- Qual a forma mais simples de se escrever o polinômio
(a-b)2
+(a+b)(a-b)-(a+b)2
?
4- Fatorar (x-1)(x-2)2
-(x-1)3
.
5- a) Fatorar a expressão x3
-3x2
-4x+12.
b) Para quais valores se tem x3
-3x2
-4x+12=0?
6- Calcule:
a x xy y
b x x
c x x
d
x
xa a
)
)
)
)
2 2
2
2
2
2
2
10 25
1
4
4
 
 
 
 
7- Qual é a forma mais simples da expressão:
(a-b)3
-(a3
-b3
)+4ab(a-b)2
?
8- Sabendo que x-y=6, determine o valor numérico do polinômio:
5x2
-10xy+5y2
.
9-Sem usar a calculadora o valor de A=132412
-132402
.
10-Ache o número real positivo x, tal que o quadrado de seu triplo
seja igual ao seu dobro.
11- Calcule:
a) 32
+2.3.6+62
b) 172
+2.17.13+132
c) 272
-2.27.7+72
d) 542
-2.54+1
e) 2.57+4.57+6.57+8.57 f) 128.188+128.201+128.269+128.342
g) 4.96+3.96+2.96+96
12 - Sabendo que x2
+y2
=74 e xy=35, calcule o valor de (x-y)2
.
13 - Sendo (a+b)2
=64 e ab=12, calcule o valor de a2
+b2
.
14 - Complete os trinômios quadrados perfeitos:
a) x2
+8x+... b) x2
+...+25
15- Se xy=16 e x2
+y2
=68, determine x+y
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (OPCIONAIS)
1) Fatore completamente os polinômios:
a) a2
b-bc2
b) x3
-xy2
c) 4x2
+8x+4
d) m4
-n4
e) ax2
+6axy+9ay2
f) a4
-256
g) 10a2
-10 h) 2m2
-8 i) x3
-10x2
+25x
j) ay2
+4ay+4a k) h4
-m4
l) x2
y-36y
m) ab2
-a+b2
c-c n) x4
+2x3
+x2
o) 81-k4
p) x3
y-8x2
y2
+16xy3
q) a2
-b2
+ax+bx r) x3
+1+3x+1
a
x
b
a
b
c
ab
ab
d
x
x
e
x
x
f
xy
xy
g
ax y
axy
h
mn
mn
i
abc
abc
j
a bc
ab c
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
4
6
6
9
3
5
8
10
8
4
2
10
21
14
9
18
6
15
3
2
2
5
3
2
2
2
2
4 2
l
am
a a
m
x
n
x
y
o
xy
x xy
p
x
x
q
x
x
r
x xy y
x y
s
x
x x
t
a b
a b
u
a a
a
)
)
)
)
)
( )
)
)
)
)
)
4
2 6
6 12
18
3 6
3
10
10 20
1
1
3 6
4
2
3 3
9
6 9
3 6
2
10 25
2 10
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2








 


 


 

3)Qual é a forma mais simples da expressão:
(a-b)3
-(a3
-b3
)+4ab(a-b)2
?

39
4)Sabendo que x-y=6, determine o valor numérico do polinômio 5x2
-
10xy+5y2
.
5)Sem usar a calculadora calcule o valor de A=132412
-132402
.
6)Ache o número real positivo x, tal que o quadrado de seu triplo seja
igual ao seu dobro
7)Que número somado a 19882
resulta 19892
8)Qual a forma mais simples de se escrever o polinômio
(a-b)2
+(a+b)(a-b)-(a+b)2
?
9)Fatorar (x-1)(x-2)2
-(x-1)3
.
APROFUNDAMENTO INTERESSANTE – Para quem gosta de estudar
Fatoração de Trinômios - Estratégia
QUADRO
Vamos efetuar o produto:
(𝑥 + 3)(𝑥 + 4) = 𝑥2
+ 7𝑥 + 12
Então para fatorar 𝑥2
+ 7𝑥 + 12 nós vamos fazer o
que? Sabemos que o resultado é (𝑥 + 3)(𝑥 + 4)mas
como chegar nele?
Existem algumas estratégias que iremos aprender.
1) Sabendo que x2
+7x+10 é favorável na forma
(x+a)(x+b), descubra esta forma fatorada por
tentativas.
2) Observe a fatoração de x2
+8x+12:
x2
+8x+12=
=x2
+8x+16+12-16= (somamos e subtraímos 16)
=(x+4)2
-4= (fatoramos o TQP)
=(x+4-2)(x+4+2)= (fatoramos a diferença entre
quadrados)
=(x+2)(x+6).
Usando esta técnica, fatore:
a) x2
+11x+30
b) x2
+12x+20
c) x2
+13x+12
d) x2
-7x+10
5º Caso - Fatoração do Trinômio do 2º
Grau por Soma e Produto
QUADRO
Se eu efetuar
(𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞) = 𝑥2
+ 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑝𝑞
= 𝑥2
+ (𝑝 + 𝑞)𝑥 + 𝑝𝑞
Chamando a soma S=p+q e o produto P=pq
Aí temos que:
(𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞) = 𝑥2
+ 𝑆𝑥 + 𝑃
Ex 1: Como fatorar, por exemplo 𝑥2
+ 5𝑥 + 6 ?
S= 5 e P= 6
Quais números somados dão 5 e multiplicados 6?
Sabemos que são 2 e 3, portanto:
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)
Ex 2: Fatore 𝑥2
− 9𝑥 + 20.
Soma = - 9 e Produto = 20
Os números são -4 e -5, e você acha na tentativa e
erro (chute). Portanto:
𝑥2
− 9𝑥 + 20 = (𝑥 − 4)(𝑥 − 5)
É óbvio, mas não custa falar que:
NEM TODO POLINÔMO PODE SER FATORADO
ASSIM!
No B6 vamos aprender a resolver equações do 2º
grau para auxiliar na fatoração desse trinômio.
Uma equação do 2º grau
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Tem raízes
𝑥1 =
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Veremos que
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
Por exemplo
𝑥2
− 5𝑥 + 6 = 0
Tem 𝑥1 = 2 e 𝑥2 = 3, então
𝑥2
− 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
1) Fatore:
a) x²+7x+10
b) x²-6x+8
c) x²-9x+14
d) x²+x-12
e) x²-9x+18
f) x²-x-12
g) x²+7x-8

40
h) x²-2x-15
i) x²-11x-12
j) m²-13m+12
k) t²+8t+12
l) k²-2k-8
2) Fatore 4x²-28x-32
6º Caso – Soma e Diferença de Cubos
QUADRO
Os polinômios x3
-y3
e x3
+y3
podem ser fatorados da
seguinte maneira:
x3
-y3
=(x-y)(x2
+xy+y2
)
x3
+y3
=(x+y)(x2
-xy+y2
)
Isso pode ser verificado efetuando os produtos.
A fatoração é como se você substituísse em uma
fórmula:
 𝑥3
− 8 = (𝑥 − 2)(𝑥2
+ 2𝑥 + 4)
 64𝑥3
− 27 = (4𝑥 − 3)(16𝑥2
+ 12𝑥 + 9)
 𝑥3
+ 1 = (𝑥 + 1)(𝑥2
− 𝑥 + 1)
1)Fatore os seguintes polinômios:
a) a3
-1
b) m3
-n3
c) x3
-27
d) 8a3
-1
e) 1-x3
f) a3
+1
g) m3
+n3
h) x3
+27
i) 8a3
+1
j) x3
+64
2) Fatore ao máximo possível:
Use casos combinados de fatoração
a) x4
-y4
b) x6
-y6
c) x8
-y8
d) x9
-y9
e) x12
-y12
3) Se x3
-y3
=216, e x2
+xy+y2
=72, quanto vale x-y?
4)Se x+y=12 e x-y=9, determine o valor de x2
-y2
,
usando:
a) um sistema de duas equações
b) a fatoração do polinômio x2
-y2
.
7º Caso – Polinômio Cubo Perfeito
QUADRO
Você deve estar lembrado do seguinte produto
notável:
(𝑥 + 𝑦)3
= 𝑥3
+ 3𝑥2
𝑦 + 3𝑥𝑦2
+ 𝑦3
(𝑥 − 𝑦)3
= 𝑥3
− 3𝑥2
𝑦 + 3𝑥𝑦2
− 𝑦3
Pesquise sobre CUBO DA SOMA e CUBO DA
DIFERENÇA e fique atento nos sinais.
Baseando nisso eu posso facilmente fatorar
8𝑎3
+ 36𝑎2
𝑏 + 54𝑎𝑏2
+ 27𝑏3
Note que:
√8𝑎3
3
= 2𝑎
√27𝑏3
3
= 3𝑏
E que
3 ∙ (2𝑎)2
∙ 3𝑏 = 36𝑎2
𝑏
3 ∙ 2𝑎 ∙ (3𝑏)2
= 54𝑎𝑏2
Portanto:
8𝑎3
+ 36𝑎2
𝑏 + 54𝑎𝑏2
+ 27𝑏3
= (2𝑎 + 3𝑏)3
Nessa esteira
𝑥3
− 6𝑥2
+ 12𝑥 − 8
Pode ser fatorado como (𝑥 − 2)3
1) Fatore:
a) 1+6x+12x²+8x³
b) 1-6x+12x²-8x³
c) 27m³+27m²+9m+1
d) b6
-9b4
+27b²-27

41
e) 27a³-54a²+36a-8
f) 8x³-36x²y+54y²x-27y³
g) a3
x6
+3a²x4
y²+3ax²y4
+y6
h) 27x6
+108x4
y³+144x2
y6
+64y9
Revisão Fatoração
1) Fatore, identificando o caso de fatoração
utilizado.
a) 2x+2
b) x²-1
c) ax³+bx²+ax+b
d) 3a+6ab
e) xyz+7z
f) xyz+abc
g) 3a+9
h) x²-25
i) 2x³+3x²+4x+6
j) x²+6x+9
k) 4x²-4x+1
l) 7x+14x²
m) 2x²-5x
n) 3x²ay+2ax+3xyb+2b
o) a²+ab-a
p) x²-2x+1
q) a³-3a²-4a+12
r) 12xyz+14xyde+6yz
s) 9x²+12x+4
t) a²+ab
u) x²-6x+9
v) x³+3x²y+3xy²+y³
2) Fatore completamente.
a) a2
b-bc2
b) x3
-xy2
c) 4x2
+8x+4
d) m4
-n4
e) ax2
+6axy+9ay2
f) a4
-256
g) 10a2
-10
h) 2m2
-8
i) x3
-10x2
+25x
j) ay2
+4ay+4a
k) h4
-m4
l) x2
y-36y
m) ab2
-a+b2
c-c
n) x4
+2x3
+x2
o) 81-k4
p) x3
y-8x2
y2
+16xy3
q) a2
-b2
+ax+bx
r) x3
+1+3x+1
s) a²b²-6ab²+8b²
t) x³+3x²t+3xt²+t³
3) Calcule as expressões numéricas usando a
fatoração para fazê-las de forma mais prática.
a) 2017²-2016²
b) 52x56+48x56
c) 33x77+33x23
d) 52+45x52+54x52
e) (FGV) 375²-374²
f) (UNISUL) 934287²-934286²
g) (FATEC) 579865²-579863²

42
h) (UFES) 20022
∙ 2000 − 2000 ∙ 19982
i) (ESPM) 𝑝 =
97831343∙97831347
97831344∙97831346−3
j) (IFBA) (1 −
1
3
) (1 +
1
3
) (1 +
1
9
) (1 +
1
81
)(1 +
1
6561
) Escreva
na forma 1 − (
1
3
)
𝑛
k) (UNEB)
220∙317+617∙3
215∙317+615∙2
4) Simplifique as frações algébricas.
a
x
b
a
b
c
ab
ab
d
x
x
e
x
x
f
xy
xy
g
ax y
axy
h
mn
mn
i
abc
abc
j
a bc
ab c
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
4
6
6
9
3
5
8
10
8
4
2
10
21
14
9
18
6
15
3
2
2
5
3
2
2
2
2
4 2
l
am
a a
m
x
n
x
y
o
xy
x xy
p
x
x
q
x
x
r
x xy y
x y
s
x
x x
t
a b
a b
u
a a
a
)
)
)
)
)
( )
)
)
)
)
)
4
2 6
6 12
18
3 6
3
10
10 20
1
1
3 6
4
2
3 3
9
6 9
3 6
2
10 25
2 10
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2








 


 


 

5) Observe a fatoração de x2
+8x+12:
x2
+8x+12=
=x2
+8x+16+12-16= (somamos e subtraímos 16)
=(x+4)2
-4= (fatoramos o TQP)
=(x+4-2)(x+4+2)= (fatoramos a diferença entre
quadrados)
=(x+2)(x+6).
Usando esta técnica, fatore:
a) x2
+11x+30
b) x2
+12x+20
c) x2
+13x+12
d) x2
-7x+10
6) (VUNESP). Dado que a + b = 5 e ab = 2, qual é
o valor numérico de a² + b²?
APROFUNDAMENTO OLÍMPICO OU MILITAR
8º Caso – Completar Quadrados
QUADRO
Identidade de Sophie Germain
𝑎4
+ 4𝑏4
= 𝑎4
+ 4𝑎2
𝑏2
+ 4𝑏4
− 4𝑎2
𝑏2
=
= (𝑎2
+ 2𝑏2)2
− (2𝑎𝑏)2
=
= (𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 2𝑏2)(𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 2𝑏2)
Identidade de Argand
𝑥4
+ 𝑥2
+ 1 = 𝑥4
+ 2𝑥2
+ 1 − 𝑥2
=
= (𝑥2
+ 1)2
− 𝑥2
=
= (𝑥2
+ 𝑥 + 1)(𝑥2
− 𝑥 + 1)
a)𝑥4
+ 4
b)𝑛5
+ 𝑛4
+ 1
c)𝑎4
− 𝑎2
+ 16
d)𝑥4
+ 4𝑦4

43
Identidade de Gauss
QUADRO
𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
− 3𝑎𝑏𝑐
É um comum desafio em olimpíadas e cursos
preparatórios militares, e o raciocínio émuito semelhante
ao do 8º caso, ainda que não seja completar quadrados.
𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
− 3𝑎𝑏𝑐 =
Primeiramente usamos a soma de cubos:
= (𝑎 + 𝑏)3
+ 𝑐3
− 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) − 3𝑎𝑏 =
Vamos fazer mais algumas manipulações e chegaremos
em:
= ((𝑎 + 𝑏) + 𝑐)((𝑎 + 𝑏)2
− (𝑎 + 𝑏)𝑐 + 𝑐2) − 3𝑎𝑏(𝑎
+ 𝑏 + 𝑐)
Colocando𝑎 + 𝑏 + 𝑐 em evidência:
= (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 )((𝑎 + 𝑏)2
− (𝑎 + 𝑏)𝑐 + 𝑐2
− 3𝑎𝑏) =
= (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
− 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐
9º Caso – Soma ou Diferença de
Potências
QUADRO
Para 𝑛 inteiro positivo qualquer, vale:
𝑥𝑛
− 𝑎𝑛
= (𝑥 − 𝑎)(𝑥𝑛−1
+ 𝑥𝑛−2
𝑎 + ⋯ + 𝑥𝑎𝑛−2
+ 𝑎𝑛−1
)
Para n inteiro positivo ÍMPAR, vale:
𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛
= (𝑥 + 𝑎)(𝑥𝑛−1
− 𝑥𝑛−2
𝑎 + ⋯ − 𝑥𝑎𝑛−2
+ 𝑎𝑛−1
)
Exemplos:
𝑥5
− 32 = (𝑥 − 2)(𝑥4
+ 2𝑥3
+ 4𝑥2
+ 8𝑥 + 16)
𝑥5
+ 32 = (𝑥 + 2)(𝑥4
− 2𝑥3
+ 4𝑥2
− 8𝑥 + 16)
1) Fatore:
a)𝑥4
− 1
b)𝑥5
+ 243
c)𝑥6
− 1
d)𝑥5
+ 𝑦5
− 𝑥𝑦4
− 𝑥4
𝑦
10º Caso – Completar Retângulos
(Simon’s Favorite Factoring Trick –
SFFT)
QUADRO
Trata-se de um truque para resolver problemas ou
equações diofantinas (com coeficientes inteiros)
𝑥𝑦 − 𝑥 − 𝑦 = 119
Para favorecer um “retângulo” (fatoração por
agrupamento) eu faço o seguinte
𝑥𝑦 − 𝑥 − 𝑦 + 1 = 119 + 1
Isso favorece fatoração por agrupamento:
(𝑥 − 1)(𝑦 − 1) = 120
No caso geral
𝑥𝑦 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
Podemos forçar:
(𝑥 + 𝑏)(𝑦 + 𝑎) = 𝑐 + 𝑎𝑏
Isso é muito comum nas competições AMC.
1) Usando o Truque de Fatoração Favorito do Simon’s
(SFFT), determine as soluções inteiras positivas de
𝑎𝑏 − 2𝑎 − 2𝑏 = 0
2)(AoPS - Youtube) Ache pares de inteiros positivos
que resolvem a equação:
𝑚𝑛 + 3𝑚 − 8𝑛 = 59
Resolvido no canal da AoPS:
https://youtu.be/0nN3H7w2LnI
11º Caso – Fórmulas de Vieta
QUADRO
Não vamos aprofundar, porém, as fórmulas podem
ajudar eventuais fatorações:
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
= 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
+ 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎)
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3
= 𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
+ 3(𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎)
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)5
= 𝑎5
+ 𝑏5
+ 𝑐5
+ 5(𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎)(𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎)
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)7
= 𝑎7
+ 𝑏7
+ 𝑐7
+ 7(𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎)(𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎)
+ 𝑎𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)

44
COMO PROCEDER?
Há vários vídeos sobre o assunto na Plataforma PODEMOS. Vá até a página correspondente. Sempre adicionaremos vídeos novos e correções.
Alguns vídeos que podem ser interessantes:
Explicação sobre a Diferença entre Dois Quadrados - https://youtu.be/xcjt4hOpkxk
Explicação sobre o TQP - https://youtu.be/8iU6TSzVTEw, https://youtu.be/kRhMG-cF360
Questões DDQ – vídeos do PODEMOS B2 - https://youtu.be/-letr0tu0bY, https://youtu.be/lsf1kQrVF3E, https://youtu.be/brk4T05YmrQ
Questão TQP - vídeos do PODEMOS B2 - https://youtu.be/1sjwNr5g2Os

45
B5.3 AULA 6–Operações com Conjuntos
Operações com conjuntos é algo bastante simples, lógico, objetivo e exige
apenas raciocínio. É um conteúdo fundamental para compreensão de
algumas idéias futuras na Matemática.
Além disso, união e intersecção precisam ser incorporados ao repertório do
vocabulário matemático de um aluno a partir do 6º ano. Esse conteúdo era
ensinado no ensino primário até os anos 80.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o UNIÃO DE CONJUNTOS
o INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
o DIFERENÇA DE CONJUNTOS
atividade.
União e Intersecção de Conjuntos
QUADRO
1)Chamamos de UNIÃO ou REUNIÃO entre dois
conjuntos A e B, o conjunto dos elementos que estão
em A ou em B, tanto faz se está em um deles
(qualquer um) ou nos dois.
A={1,2,3,4} e B={1,3,5,7}
O conjunto 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5,7}.
Cada elemento de 𝐴 ∪ 𝐵 está em A ou em B. Eu leio
𝐴 ∪ 𝐵 como “A união B”
2)Chamamos de INTERSECÇÃO entre dois
conjuntos A e B, o conjunto dos elementos que estão
em A e em B simultaneamente.
A={1,2,3,4} e B={1,3,5,7}
O conjunto 𝐴 ∩ 𝐵 = {1,3}.
Cada elemento de 𝐴 ∩ 𝐵 está em A e em B ao
mesmo tempo – necessariamente nos dois. Eu leio
𝐴 ∩ 𝐵 como “A inter B” ou “A intersecção B”
NOTE QUE:
As definições de união e intersecção estão
relacionadas com os conectivos e e ou:
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 𝒐𝒖 𝑥 ∈ 𝐵}
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 𝒆 𝑥 ∈ 𝐵}
Ex. 1 ao 11
https://youtu.be/GHM382jd8_0
1. Se A={1,2,3,5}, B={1,2,6,7}, C={6,7},
determine:
a) AB
b) AB

46
c) AC
d) AC
e) BC
f) BC
g) ABC
h) ABC
2. Ache AB e AB, dados os seguintes
conjuntos:
a) A={1,2,3,4,5} e B={6,7,8}
b) A={1,2,3,4} e B={3,4,5}
c) A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5}
3. Dados A={2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9,
12, 15} e C={0, 5, 10, 15, 20}, determine:
a) AB
b) AB
c) AC
d) AC
e) BC
f) BC
g) ABC
h) ABC
i) (AB)(AC)
Faça primeiramente as operações dos parênteses (que já estão
prontas nos itens anteriores). Depois efetue as operações entre elas,
conforme indicado. Se permanecer a dúvida, assista aos vídeos!
j) A(BC)
l) (AB)(AC)
m) (AB)(AC)
n) AU
o) ABC{1,2,3}
4. Dados os conjuntos A={1, 2, 3, 4, 5}; B={3,
4, 5, 6, 7}; C={2, 3, 4, 5, 8, 9}; D={10, 11}.
a) ABCD
b) ABC
c) ABCD
d) (AB)(CD)
5. Dados os conjuntos, com a lista dos
elementos representa A, B, AB e AB
6. Veja:
Diga quantos elementos tem o conjunto:
a) AB
b) AB
c) BC
d) BC
e) AC
f) AC
7.Considere A={2,5,6,7}. Lembrando que IN é
o conjunto dos números naturais, faça AIN e
AIN.

47
8. B é o conjunto dos brasileiros e P é o
conjunto dos paranaenses. Represente esses
conjuntos numa só figura e indique o conjunto
BP.
9. Efetue a) {2,3,5} Ø
b) {2,3,5} Ø
10. Efetue: a)  b) 
c) IN d) IN
11. Seja P o conjunto dos números pares e I o
conjunto dos números ímpares. Faça:
a) PI b) PI c) INP
d) INP e) INI
Ex. 12-A
https://youtu.be/kEr4abEoCXo
QUADRO
Em uma excursão o diretor decidiu que para
viajar precisava ser homem e maior de 12 anos.
Nesse caso era permitido que viajasse quem
fosse ao mesmo tempo homem e maior de 12
anos (as duas coisas ao mesmo tempo). Se
fosse uma mulher ou um homem com 11 anos
não poderia viajar.
Se o diretor falasse que era para ser homem ou
maior de 12 anos, poderia ser uma mulher com
mais de 12 anos, um homem com 11 anos. Pois
o ou inclui as categorias.
Posso até usar diagramas de Venn para
representar essa idéia:
Considere o conjunto H dos homens e o
conjunto D dos maiores que 12 anos.
O conjunto dos homens e maiores que 12 anos
é o conjunto 𝐻 ∩ 𝐷 e o conjunto dos homens ou
maiores que 12 anos é o conjunto 𝐻 ∪ 𝐷.
O diagrama dos homens e maiores que 12 anos
está pintado abaixo:
Já o diagrama dos homens ou maiores que 12
anos é o seguinte:
12. Uma turma possui 14 alunos que torcem
para os times mais importantes do
campeonato paulista, e os selecionou para
uma excursão. (Imagem adaptada de
www.ecampusnew.com)
Item A
Quem são os alunos que são:
a) Homens E Corinthianos?
b) Homens OU Corinthianos?
c) Mulheres E Santistas?
d) Mulheres OU Santistas?

48
e) Homens E Santistas?
f) Homens E não-Palmeirenses
g) Não-Palmeirenses OU Não-
Corinthianos
Ex. 12-B
https://youtu.be/KB7SRpHD4KU
Item B
Verdadeiro ou Falso (V ou F)?
a) ( ) Cíntia é mulher e corinthiana.
b) ( ) Cíntia é mulher ou corinthiana
c) ( ) Tales é mulher e corinthiano
d) ( ) Tales é mulher ou corintiano
e) ( ) Carlos é mulher e corinthiano
f) ( ) Carlos é mulher ou corinthiano
g) ( ) Aryana é mulher e corinthiana
h) ( ) Aryana é mulher ou corinthiana
QUADRO
O uso do E e do OU precisa ser
compreendido.
Esquecidas as exceções, e imaginando um
mundo binário.
 Quem é homem OU mulher? Todo
mundo!
 Quem é Homem E Mulher? Ninguém!
No mundo da lógica há a piada onde
perguntam ao lógico:
- Seu filho recém nascido é homem ou
mulher?
- Sim – responde o lógico!
É evidente! O filho do lógico é homem ou
mulher, é um dos dois.
Ex. 12-C
https://youtu.be/AL6PjnTygEY
Item C
Dê um único exemplo:
a) São Paulino e com barba ___________
b) Muçulmana e palmeirense
__________
c) Negra e palmeirense
_______________
d) Muçulmana ou santista
_____________
e) Homem ou santista
________________
f) Homem e mulher
__________________
g) Homem ou mulher
_________________
Ex. 13 ao 18
https://youtu.be/_9qx5gKSvI4
13. Para ser candidato a reitor do instituto
federal precisa ser professor há mais de 5
anos na escola ou possuir doutorado.
Considere como C o conjunto dos professores
com mais de 5 anos na instituição e D o
conjunto dos professores com doutorado.
O conjunto das pessoas aptas a se
candidatarem a reitor do instituto federal é
C∪D ou C∩D?
14. Certo Edital coloca quesitos para assumir
cargos públicos:
Cargo Quesitos
PROFESSOR DE EDUCAÇÃO
FÍSICA
Licenciatura em Educação
Física e registro no CREF
SUPERVISOR PEDAGÓGICO Licenciatura em Pedagogia
ou Pós Graduação em
Educação.
Item A - Verdadeiro ou Falso o que se afirma?
a) Para ser professor de Educação Física é
necessário ter registro no CREF.
b) Para ser professor de Educação Física é
suficiente ter registro no CREF.
c) Para ser supervisor pedagógico é
necessário ter Licenciatura em Pedagogia.
d) Para ser supervisor pedagógico é
suficiente ter Licenciatura em Pedagogia

49
Item B – Considere os conjuntos E dos
licenciados em Educação Física, C dos
registrados no CREF, L dos licenciados em
Pedagogia, G dos pós graduados em
Educação.
a) Para prestar concurso para professor
de Educação Física deve pertencer ao
conjunto E∪C ou E∩C?
b) Para prestar concurso para Supervisor
Pedagógico deve pertencer ao
conjunto P∪G ou P∩G?
QUADRO
Há alguns anos havia uma lei que dizia nos ônibus
ser proibido fumar charuto, cachimbo ou cigarro de
palha, só que, o texto da lei, mal escrita, era
reproduzido exatamente em cartazes (que até hoje
encontramos em alguns ônibus):
“É PROIBIDO FUMAR CHARUTO, CACHIMBO E
CIGARRO DE PALHA”.
Não é proibido, é impossível! Ninguém consegue
fumar charuto, cachimbo e cigarro de palha AO
MESMO TEMPO.
O termo E não proibia fumar só cachimbo, só charuto
ou só cigarro de palha. Proibia o fumo dos 3 itens ao
mesmo tempo! (A redação da lei foi alterada na
década de 90).
Abaixo desenho feito por meu aluno de 7ª série Hugo
José Augustoni, 2003, EMEF Ricardo C. C. Monteiro.
15. Considere o conjunto A das meninas de
uma classe e B dos meninos de uma classe.
O que significa os conjuntos:
a) A∪B
b) A∩B?
16. Não existem alunos nessa classe que são
ao mesmo tempo meninos e meninas. Ou é
menino, ou é menina. Não tem quem é menino
e menina. Portanto dizemos que os conjuntos
de meninos e meninas são disjuntos. Quais
dos conjuntos a seguir são disjuntos?
a) Conjunto dos brasileiros e conjunto dos
mineiros.
b) Conjunto das mulheres e conjunto dos
corinthianos.
c) Conjunto das aves e conjunto dos
mamíferos
d) Conjunto dos alunos matriculados no 1ºA e
conjunto dos alunos matriculados no 1ºB
e) Conjunto dos estudantes que possuem
menos de 15 anos e conjunto das meninas
QUADRO
Chamamos de conjuntos disjuntos os
conjuntos A e B onde 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
17. O conjunto das letras da palavra cana é A;
de banana é B; e de caju é C. Represente
esses conjuntos, listando os elementos.
Depois, obtenha:
a) AB
b) AB
c) AC
d) AC
e) BC
18. C é o conjunto dos algarismos do número
100, e M, do número 1000. Represente esses
conjuntos, listando os elementos; depois, diga
se no lugar de __ , devemos colocar = ou .
a) C__M b) CM__C
c) CM__C d) CM__M
Dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os
mesmos elementos.

50
Ex. 1 ao 9
https://youtu.be/124DZIQ7ne8
1.Temos: {1,2}X={1,2,3,4} Ache os 4
conjuntos que podem substituir X.
Para resolver essa questão você precisa PENSAR! Não esqueça
de assistir ao vídeo corrigindo.
2. Temos {1,2}X={2}. No lugar de X, podem
ser escritos vários conjuntos.
a) Dê 3 exemplos.
b) É necessário que 2X? E que 1X?
c) Quantos são os valores possíveis para X?
3. São dados A={xℤ|-3x<5} e B={x ℤ
|2x<8}. Determinar AB e AB.
Você consegue listar os elementos de A e B? Isso é muito
importante. Tente pensar. Na dúvida, veja o vídeo!
4. Se AUB={1,2,3,5,6,7}, B
A  ={5,6,7} e
B={1,2,5,6,7}, determine A.
5. Dados AB={2,5}, B={2,5,9} e
AB={2,3,5,8,9}, represente A e B em
diagramas de Venn.
6. Se AB, então quanto é:
a) AB b) AB
7. Se AB=, então quanto é:
a) AB b) AB
8. Represente em diagramas de Venn A e B
nas seguintes situações:
a) AB=
b) AB
b) AB
9. Dados os desenhos, hachure as regiões
pedidas:
a) AB
b) A∪B
c) ABC
d) ABC
e) ABC
f) ABC
g) AB

51
h) BC
i) AC
j) A∪B
k) A∪C
l) B∪C
m) (A∪B)C
n) (A∪B)(C∪B)
o) (AB) ∪(CB)
p)A∪B∪C
q)(AB)C
r) (AB)C
Ex. 1 ao 9
https://youtu.be/Q7jmhXPpirc
Analisando as Operações com
Conjuntos
1. Dados:
𝐴 = {1,3,4,7,9,11}
𝐵 = {2,4,9,13,15,18}
𝐶 = {9,15,6,18}
Encontre:
a) AB
b) AB
c) AC
d) AC
e) BC
f) BC
2. Ache AB e AB, dados os seguintes
conjuntos:
a) A={2,3,5} e B={4,7,8}
AB=
AB=

52
b) A={1,2,3} e B={1,2}
AB=
AB=
c) A={1,2,3} e B={1,2,4,5}
AB=
AB=
QUADRO
Definimos que a diferença entre conjuntos A-B (“A
menos B”) é o conjunto dos elementos que estão em
A, mas não estão em B.
Ex: A={1,2,4,5} e B={4,5,6,7}
A-B={1,2}
B-A={6,7}
Note que A-B não é a mesma coisa que B-A.
Podemos definir assim:
𝐴 − 𝐵 = {𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵}
3. Ache 𝐴 − 𝐵 e 𝐵 − 𝐴 em cada um dos conjuntos
abaixo:
a) A={2,3,5} e B={4,7,8}
𝐴 − 𝐵=
𝐵 − 𝐴=
b) A={1,2,3} e B={1,2}
𝐴 − 𝐵=
𝐵 − 𝐴=
c) A={1,2,3} e B={1,2,4,5}
𝐴 − 𝐵=
𝐵 − 𝐴=
Veja os conjuntos:
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} e 𝐵 = {𝑑, 𝑒}
Esses conjuntos não possuem elementos em comum, eles são
chamados, portanto, de conjuntos disjuntos, então AB=∅.
4. Verifique quais pares de conjuntos são
disjuntos:
a) A={2,3,5} e B={4,7,8}
b) A={1,2,3} e B={1,2}
c) A={1,2,3} e B={1,2,4,5}
O número de elementos de um conjunto A é dado por #𝑛(𝐴).
Ex: A={1,5,6,7}, então #(𝐴)=4.
5. Determine quantos elementos possui cada
conjunto:
a) A={1,3,5,6,7,8,9,11} #(A)=___
b) B={5,6,7,...,30} #(B)=___
c) C={10,11,12,13,...70} #(C)=___
d) D={6} #(D)=___
e) E=∅ #(E)=___
6. Responda (veja o exercício 2)
a) A={2,3,5} e B={4,7,8}
#(A)=___
#(B)=___
#(A) + #(B)=___
#(AB)=___
Esses conjuntos são
disjuntos? ________
#(A) + #(B) ___ #(AB)
(Igual ou diferente?)
b) A={1,2,3} e B={1,2}
#(A)=___
#(B)=___
#(A) + #(B)=___
#(AB)=___
disjuntos? ________
#(A) + #(B) ___ #(AB)
c) A={1,2,3} e B={1,2,4,5}
#(A)=___
#(B)=___
#(A) + #(B)=___
#(AB)=___
disjuntos? ________
#(A) + #(B) ___ #(AB)
Podemos concluir que em conjuntos disjuntos
#(𝐴) + #(𝐵) = #(𝐴𝑈𝐵)
Mas isso não vale para todos conjuntos
7. Responda:
a) A={2,3} e B={3,4,7,8}
É verdade que A⊂B ? _____
Podemos afirmar que 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴? ____
Podemos afirmar que 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵? ____
b) A={1,2} e B={1,2,3,4}
É verdade que A⊂B ? _____
Podemos afirmar que 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴? ____
Podemos afirmar que 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵? ____
c) Se A⊂B.
Determine:
AB=
AB=
8. Preencha os diagramas com os elementos:
a) A={2,3,5} e B={4,7,8}
b) A={1,2,3} e B={1,2}

53
c) A={1,2,3} e B={1,2,4,5}
d) Qual dos itens ‘a’, ‘b’, ‘c’ poderia ser preenchido
corretamente nos diagramas abaixo? Preencha:
e) Qual dos itens ‘a’, ‘b’, ‘c’ poderia ser preenchido
corretamente nos diagramas abaixo? Preencha:
9. Associe os diagramas com:
(I) Os conjuntos são disjuntos (ou seja AB = ∅).
(II) Podemos afirmar que B é subconjunto (ou
parte) de A. (ou seja B⊂A)
( )
( )
( )
Ex. 10
https://youtu.be/-LvRYmeJjac
10. Liste os elementos:
𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ/3 < 𝑥 < 9}=
𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ/1 < 𝑥 < 10}=
𝐶 = {𝑥 ∈ ℕ/3 ≤ 𝑥 < 5}=
𝐷 = {𝑥 ∈ ℕ/0 < 𝑥 ≤ 6}=
𝐸 = {𝑥 ∈ ℕ/1 ≤ 𝑥 ≤ 3}=
𝐹 = {𝑥 ∈ ℕ/8 < 𝑥 < 9}=

54
B5.1 AULA 7 – Racionalização de Denominadores
Racionalizar denominador é mais uma questão de estética e padronização
do que de matemática. Toda matemática seria a mesma sem a racionalização.
Porém, é interessante aprender a racionalizar, ainda que os casos mais
complicados sejam criticados por educadores e pedagogos, por não ser tão
necessário no Ensino Fundamental. De qualquer forma, é uma prática que
ajuda a treinar outras habilidades em Matemática.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
atividade.
Racionalização de Denominadores
QUADRO
Racionalizar denominadores é uma prática de retirar as
raízes de um denominador e transformá-lo em número
inteiro.
Por Exemplo
1
√2
pode ser racionalizado multiplicando
denominador e numerador por √2:
2
2
2
2
2
1
2
1


(Sempre é permitido multiplicar numerador e
denominador por um mesmo número diferente de zero)
Para racionalizar, por exemplo
5
√2+1
é racionalizado ao se
multiplicar numerador e denominador por √2 − 1:
 
   5
2
5
1
5
2
5
1
2
5
2
5
1
2
1
2
1
2
5
1
2
5












Note que há duas formas de escrever o mesmo radical
1
√2
ou
√2
2
. Padronizamos escolhendo a 2ª forma. Parece-
me que a padronização é o maior motivo da
racionalização!!! Mas há vários outros motivos.
Educadores mostram que uma das vantagens é que,
sabendo que √2 = 1,41421356237. .., ao tentar
transformar
1
√2
em numero decimal, seria muito
trabalhoso dividir 1 por 1,41421356237. ... Já a divisão
para transformar
√2
2
é bem mais simples, pois é dividir
1,41421356237. ... por 2, o que é evidentemente mais
fácil!
Explicação em vídeo 3:45
O Porquê
https://youtu.be/mdclHUK6xn8

55
TEXTO
A maioria dos autores usa o seguinte argumento retirado do livro: Novo Matemática na medida certa
– Centurión, Jakubo e Léllis – 8ª série.
Não concordamos com o argumento e fazemos as seguintes colocações:
 Raramente na Matemática
escolar precisamos transformar
raízes em números decimais,
geralmente os autores deixam as
raízes “indicadas”; por ser
impossível escrever valor exato
de uma raiz na forma decimal, é
mais preciso escrever a resposta
sob a forma de radicais.
 Na prática, fazemos
cálculos muito mais complexos
que dividir 1 por 3 . Muitas
vezes, quando precisamos de
valores exatos, lidamos com
números como , e, etc..., e estes
números aparecem nos
denominadores, e não há, neste
caso, meios de racionalizar o
denominador.
 Com o advento das
calculadoras, temos exatamente o
mesmo trabalho para dividir 3
por 1 quanto 1 por 3 . Na maior
parte não faz sentido, quando queremos o valor decimal aproximado, racionalizar o denominador.
Achamos o seguinte:
Qual é o principal motivo de simplificarmos frações? Chegar a um valor único. É claro que às vezes,
simplificamos para facilitar cálculos, mas, a simplificação é sempre uma garantia de uma resposta
padronizada. Em testes de concurso, por exemplo, um mesmo problema, dependendo dos procedimentos
de cálculo pode indicar
4
3
,
8
6
ou mesmo
208
156
. Mas os testes podem colocar apenas uma resposta. E que
resposta escolhem?
4
3
evidentemente (há exceções e pegadinhas ocasionais). O mesmo motivo leva a
criação de um padrão para radicais.
3
1
e
3
3
representam o mesmo valor. Aparentemente é mais simples
(como vimos) escrever todos radicais no numerador. E ficou assim padronizado. Então, achamos que, por
isto, é mais conveniente racionalizarmos denominadores
Observação: Quando escrevemos
3
3
sabemos exatamente de qual número estamos tratando. Quando
falamos no número 0,57735..., por mais casas decimais que escrevamos, estamos colocando apenas uma
aproximação. Por isto, às vezes deixamos o valor em forma de radical, deixamos os radicais “indicados”.
Geralmente, colocamos os valores decimais aproximados quando o problema necessita de um valor
numérico decimal aproximado, muitas vezes por motivos práticos (uma medida, um valor de Matemática
Financeira ou Estatística ou Química ou Engenharia, etc...).

56
1º Caso de Racionalização
QUADRO
Para racionalizar denominadores onde há
apenas uma raiz quadrada simples no
denominador é algo bastante fácil de ser feito.
Basta multiplicar denominador e numerador
pela raiz quadrada do denominador:
Exemplos:
a)
5
√3
=
5
√3
∙
√3
√3
=
5√3
3
(É bastante óbvio que
√3 vezes √3 é 3, pela própria definição
do que é raiz quadrada)
b)
√2
√3
=
√2
√3
∙
√3
√3
=
√6
3
c)
3
2√2
=
3
2√2
∙
√2
√2
=
3√2
2∙2
=
3√2
4
(Note que
basta multiplicar numerador e
denominador por √2, não sendo
necessário multiplicar por 2√2)
d) √
2
3
=
√2
√3
=
√2
√3
∙
√3
√3
=
√6
3
1) Racionalize os denominadores:
a)
2
5
b)
2
3
2
c)
7
5
d)
5
2
3
e)
3
1
f)
3
5
2
3
2) Determine o valor de x em cada caso,
apresentando a resposta racionalizada quando o
caso:
a) 3𝑥2
= 5
3x²=5, então 𝑥2
=
5
3
e 𝑥 = ±√
5
3
= ±
√5
√3
∙
√3
√3
= ±
√15
3
b) 5𝑥² = 1
c) 4𝑥² = 1
d) 5𝑥2
+ 3 = 1
e) 3(4𝑥2
− 1) = 1
3) (Taubaté) Simplificando a expressão
2
3
3
2
 , obtém-se:
a)1 b) c)
5
6
d)
13
5
e)
5 6
6
13
6
Faça cada racionalização separada e depois some os resultados
4) Racionalize os denominadores a seguir:
a)
1−√3
√3
Lembre-se e entenda o porquê ao efetuar (1 − √3)√3 = √3 − 3
b)
3−√2
√2
c)
√5+√2
√5
d)
√3−√2
√3
e)
2+√2
√2
f)
1+√2
√5
QUADRO
Quando a raiz não é quadrada, é preciso fazer
um “malabarismo” com as propriedades das
raízes. O malabarismo é muito complexo de se
explicar com palavras, veja e tente
compreender, à luz das propriedades:

57
a)
1
√2
3 =
1
√2
3 ∙
√22
3
√22
3 =
√22
3
√23
3 =
√22
3
2
=
√4
3
2
b)
5
√25
3 =
5
√52
3 =
5
√52
3 ∙
√5
3
√5
3 =
5 √5
3
√53
3 =
5 √5
3
5
= √5
3
c)
1
√9
5 =
1
√32
5 =
1
√32
5 ∙
√33
5
√33
5 =
√33
5
√35
5 =
√27
5
3
d)
5
√16
3 =
5
√24
3 =
5
√24
3 ∙
√22
3
√22
3 =
5 √24
3
√26
3 =
5 √16
3
4
Se você não entendeu, procure na Internet
explicações, e veja o “aulão”. É fundamental
saber fazer.
Sempre que apresentarmos exemplos é
importante entender 100% dos exemplos. Leia-
os, copie-os, grife-os.
Aulão de Racionalização
31:35
https://youtu.be/MIe15OfMTWQ
1) Racionalizar o denominador de:
a)
3
√4
4
b)
5
√7
7
c)
3
√2
4
d)
2
√32
7
e)
2
5 √8
4
f)
8
√10000
7
a)
1
√63
5
b)
2
√27
9
c)
4
√83
4
d)
20
√108
11
3) Resolva as equações e racionalize os
resultados:
a)3𝑥3
− 5 = 0
b)5𝑥4
− 1 = 0
a)
1
√63
5
b)
5
2
3
c)
5 2
3
7
d)
3 2
6
6
Lembre: Quando deixamos apenas em forma de radicais, sem
colocar o valor aproximado, falamos que DEIXAMOS INDICADOS, já
que é impossível dar o valor exato, ante a infinitude de casas
decimais
QUADRO
Vamos racionalizar denominadores que contém
somas e diferenças, onde um dos termos é uma
raiz quadrada.
Para resolvermos essas racionalizações, vamos
usar o seguinte produto notável:
𝑥2
− 𝑦2
= (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)
Se tivermos, por exemplo:
√3 + 1
Podemos estrategicamente multiplica-lo por:
√3 − 1
(algumas vezes chamado de conjugado)
Teremos então:
(√3 + 1)(√3 − 1) = (√3)
2
− 1 = 3 − 1 = 2
Note que conseguimos encontrar um número
inteiro. Isso sempre funciona com soma de
raízes quadradas:
Então:

58
Exemplo 1
1
√3 + 1
=
1
√3 + 1
∙
√3 − 1
√3 − 1
=
√3 − 1
(√3)
2
− 12
=
√3 − 1
3 − 1
=
√3 − 1
2
Dependendo do denominador teremos que
aplicar a propriedade distributiva, conhecida por
chuveirinho, que estudamos no Módulo B2.
Exemplo 2
5
√2 + 1
=
5
√2 + 1
∙
√2 − 1
√2 − 1
=
5(√2 − 1)
(√2)
2
− 12
=
5√2 − 5
2 − 1
=
5√2 − 5
1
= 5√2 − 5
Ou ainda:
Exemplo 3
√3 + 1
√3 − 1
=
√3 + 1
√3 − 1
∙
√3 + 1
√3 + 1
=
(√3)
2
+ √3 + √3 + 1
(√3)
2
− 12
=
4 + 2√3
3 − 1
=
4 + 2√3
2
Note que
4+2√3
2
tem todos coeficientes pares, o
que faz com que eu possa “fatorar por
evidência” o numerador para fazer um
cancelamento:
4 + 2√3
2
=
2(2 + √3)
2
= 2 + √3
Note que NÃO É DIFÍCIL, mas é preciso
dominar técnicas de manipulação algébrica, que
você aprende APENAS COM A PRÁTICA.
Veja mais um exemplo, mas complicado.
Exemplo 4
1
1 + √2 + √3
=
1
1 + √2 + √3
∙
1 + √2 − √3
1 + √2 − √3
=
1 + √2 − √3
(1 + √2)
2
− (√3)
2
=
1 + √2 − √3
1 + 2√2 + (√2)
2
− 3
=
1 + √2 − √3
1 + 2√2 + 2 − 3
=
1 + √2 − √3
2√2
=
1 + √2 − √3
2√2
∙
√2
√2
=
(1 + √2 − √3)√2
2√2√2
=
√2 + √4 − √6
2√4
=
√2 + 2 − √6
2 ∙ 2
=
2 + √2 − √6
4
=
Eu sei que é complicado! Que exigem muitos
cálculos, e que é fácil errar. Por isso é preciso
fazer muitos exercícios! Só a prática leva para a
perfeição!
1) Faça a racionalização das seguintes
expressões:
a)
6
2
4

h)
2
6
5

b)
3
5
2

i)
2
5
3
4

c)
2
3
7

j)
1
3
9

d)
6
7
3
2

k)
3
7
3

e)
7
9
12

l)
3
11
2
6

f)
3
5
5

m)
13
5
6

g)
7
3
3
4

n)
10
4
8


59
2) Racionalize o denominador de:
1
2
1
2
f)
3
2
3
1
e)
1
3
3
d)
1
3
2
2
c)
3
5
2
b)
2
5
2
a)







No item ‘f’ você terá que fazer o chuveirinho!
3) Faça a racionalização das expressões, e
resolva-as.
a)
2
3
2
3
2
3
2
3





b)
6
5
6
5
6
5
6
5





c)
3
3
3
3
3
4
3
4





d)
4
2
4
2
4
2
4
2





e)
7
3
7
3
7
3
7
3





4) Racionalizar os denominadores de:
5
1
f)
3
7
8
e)
1
3
2
d)
2
2
1
1
c)
2
1
b)
2
1
a)
3 2
3





No item “c” você precisará pensar! Uma dica é usar
sucessivamente a racionalização! É um desafio. Persistindo a dúvida,
fale comigo!
5) (MACK) Racionalizando o denominador da fração
3
4 2 2 3

temos:
a) 3 + 4 2 b) 2 +12 3 c)
8 2
d) e)8
2 6
16 3
3
12 2 6 3
20
 
6) (FUVEST) O valor da expressão
2 2
2 1


é:
a) 2 b)
1
2
c)2 d)
1
2
e) 2 1
7)(G.V.)
3 5 2 13
7 5 3 13


é igual a:
a)
183- 23 65
b)
5 65
3
c) -
1
15
d) -
7
128
e)1
128
3 13


60
8) Racionalizar o denominador da fração
b
a
b
a
b
a
b
a






.
9) (CEFET-93) (2ª fase) Mostre que:
1
4
1
.
4
4
4
4
2
2
2
2
2



























x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Essa questão não é difícil! Mas exige muitos cálculos!
10)(Colégio Naval-94) O número
4
3
2
2
1

é:
a) 1
2 
b) 2
2 
c) 1
2 
d) 1
2 

e) 2
1
1)(CESGRANRIO) Racionalizando o denominador, vemos que a razão
1
3
3
1


é igual a:
a) 3
2  b) 2
3 
c) 3
2
1 d) 2 + 3
2
2)(UNIP-SP)
5
2
5
4


é igual a:
a) 1
5  b) 1
5  c) 3
5  d) 3
5
2 
3)(FUVEST-SP)
3
2
2
3
5
2


é igual a:
a)
3
4
3
5 
 b)
3
2
3
5 

c)
3
2
3
5 
 d)
3
4
3
5 

4)(CMRJ-97) O valor simplificado da expressão E =
625
135
45
3
125
3


é:
a)
6
5 b)
3
5 c) 3
76
17
d) 6
76
17
e) 5
5)(EsSA-91) Racionalizando o denominador da expressão
2
3
2
3


,
obtemos:
a) 6
3 b) 5
6
2 
 c) 3
2 
d) 6
3  e)
4
2
3
3
2 
6) (EPCAr) Depois de racionalizar e efetuar os cálculos em
  10
2
2
5
2
5
3



, obtem-se como resultado:
a) 7 b) 10
2
7  c)
10
2
7 
d) 10
2
2
5 
 e) 10
2
2
5 

8)(EPCAr-83) Racionalizando o denominador da fração
2
2
1
2


encontramos:
a)
2
2
b)
4
2
c) 2 d)
6
6
e)
9
2
2
13)(EsPCEx-83) Simplifique
2
3
6
3


.
14) (Olimpíada Sergipana de Matemática – Nível 2 - 2a
fase – 1999)
Simplificar:
2
3
2
3
2
2
2












15) (Concurso de Auxiliar Judiciário TER – 2001) O valor da
expressão
   
45
3
5
3
5
2
2



é igual a:
a)
4
3
3
b)
4
5
3
c)
3
3
4
d)
3
5
4
e) 3
5 

61
QUADRO
Vamos mostrar como racionalizar frações com
denominador com radical duplo:
21
√3 + √7
Nesse caso procedemos de forma similar ao 3º
caso, e depois fazermos uma racionalização
conforme o 1º caso, veja:
21
√3 + √7
=
21
√3 + √7
√3 − √7
√3 − √7
=
21√3 − √7
√32 − (√7)
2
=
21√3 − √7
√9 − 7
=
21√3 − √7
√2
=
21√3 − √7
√2
∙
√2
√2
=
21√6 − 2√7
2
a)
3
√4+√15
b)
√3
√9−√29
c)
8
√5−√87
5º Caso - Racionalização Envolvendo
Soma de Raízes Cúbicas no
Denominador
QUADRO
Você precisa ter feito o aprofundamento da Aula
5 para compreender o que estamos fazendo
aqui.
Vamos relembrar que:
𝑥3
+ 𝑦3
= (𝑥 + 𝑦)(𝑥2
− 𝑥𝑦 + 𝑦)
𝑥3
− 𝑦3
= (𝑥 − 𝑦)(𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦)
Usando estrategicamente essas relação
conseguimos racionalizar os denominadores:
1
√2
3
+ 1
Vamos forçar um número que multiplicado por
√2
3
+ 1 resulte em uma soma de dois cubos (e
permitirá o cancelamento da raíz cúbica).
Ora, basta completar a relação:
𝑥3
+ 𝑦3
= (𝑥 + 𝑦)(𝑥2
− 𝑥𝑦 + 𝑦)
𝑥 + 𝑦 = √2
3
+ 1
Então:
𝑥2
− 𝑥𝑦 + 𝑦 = √22
3
− √2
3
+ 1
E o produto de √2
3
+ 1 com √22
3
− √2
3
+ 1 vai ser
a soma dos cubos (√2
3
)
3
+ 13
(mera
substituição de fórmula).
Na prática:
1
√2
3
+ 1
=
1
√2
3
+ 1
∙
√22
3
− √2
3
+ 1
√22
3
− √2
3
+ 1
=
√4
3
− √2
3
+ 1
(√2
3
)
3
+ 13
=
√4
3
− √2
3
+ 1
2 + 1
=
√4
3
− √2
3
+ 1
3
Esse caso de racionalização é pouquíssimo
conhecido por professores.
Existem fórmulas para diferença e soma de
quintas potências, sétimas potências, nonas
potências, etc... Tais fórmulas, combinadas com
a diferença entre dois quadrados permitem
racionalizar qualquer soma ou diferença de
raízes nos denominadores, mas, não vamos
nos ater a isso.
1)Racionalize (Caso mais difícil):
a)
5
√2
3
+1
b)
10
√3
3
+ √4
3
c)
1
√3
3
−1

62
2) (CMRJ-98) Racionalizando o denominador da
expressão
1
4
1
4
6
3


, encontramos:
Use primeiramente o 3º Caso de Racionalização, onde você
transformará essa expressão numa soma com raízes cúbicas.
a)
3
1
2
3

b) 1
2  c)
3
1
2
4

d)
3
1
2
6

f) 1
2
3

3) Racionalize as expressões:
1
5
3
)
3
2
1
1
)
7
3
2
4
)
2
5
1
)
3
5
2
)
3
2
2
)
3
3
3








f
e
d
c
b
a
7
3
2
4
)
2
5
1
c)
3
5
2
b)
3
3
2
)
3
3





d
a

63
B5.2 AULA 8–Resolvendo Equações por Fatoração
Agora vamos ver uma importante aplicação da Fatoração – resolver
equações. Porém, não avançaremos para a Fórmula de Bháskara, que é
demonstrada usando fatoração de polinômios, em especial ao TQP.
Sim! Resolveremos algumas equações do 2º grau, porém, elas serão casos
imediatos da fatoração.
Estude! Se aprofunde! Leve a sério!
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COMO PROCEDER?
o RESOLVENDO EQUAÇÕES POR FATORAÇÃO
atividade.
Lei dos Produtos Nulos
QUADRO
Quando eu tenho vários números multiplicados e o
produto é zero, pelo menos um deles é zero.
Simplificadamente:
Se 𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑎3 ∙ … ∙ 𝑎𝑛 = 0, então 𝑎1 = 0 ou 𝑎2 = 0 ou
... ou 𝑎𝑛 = 0 (um dos números é zero).
Isso é bem útil para resolver equações:
(𝑥 − 3)(𝑥 + 4)(2𝑥 − 1) = 0
A equação acima tem 3 raízes, dependendo de
igualar cada um dos fatores a zero:
𝑥 − 3 = 0 ou 𝑥 + 4 = 0 ou 2𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 3 ou 𝑥 = −4 ou 𝑥 =
1
2
𝑆 = {−4,
1
2
, 3}
1) Resolva as equações, na variável x, sendo
U=IR:
a)(𝑥 − 4)(𝑥 + 6)(𝑥 − 10)(𝑥 + 5) = 0
b)4(𝑥 − 6)(𝑥 + 4)(−𝑥 − 12) = 0
Obviamente não é necessário escrever que 4=0, e a equação tem
apenas 3 raízes.
c)(2𝑥 − 4)(−2𝑥 + 6)(3𝑥 − 11) = 0

64
d)(3𝑥 − 𝑎)(4𝑥 + 𝑎)(−9𝑥 + 3𝑎) = 0
Aqui temos uma equação literal. As raízes são em função de ‘a’,
ou seja, do tipo 𝑥 =
𝑎
3
e)(𝑥 − 3)(2𝑥 − 6) = 0
Não é correto colocar na solução 𝑆 = {3,3}. Sabemos que num
conjunto não colocamos duas vezes o mesmo número! A solução fica
apenas 𝑆 = {3}. Dizemos que no caso 3 tem multiplicidade 2 na
equação.
f)𝑥(𝑥 + 4)2(𝑥 − 6)(−3𝑥 + 4)3
= 0
Na equação, podemos ignorar os expoentes. Mas -4, por
exemplo, tem multiplicidade 2 (pois o expoente de x+4) é 2.
g)(
𝑥
2
− 1) (
3𝑥
4
− 2) (3𝑥 − 6) = 0
h)𝑥(3𝑥 + 2) = 0
i)𝑥2(2𝑥 + 5)3
= 0
2)Resolva as equações, sendo U=IR:
a)(3𝑥 − 4)(2𝑥 + 5)(4𝑥 − 3) = 0
b)(𝑥 − 2)23(𝑥 + 45)56(4𝑥 − 3) = 0
c)3(𝑥 − 2)6(𝑥 + 7)26(𝑥 − 14)25
= 0
d)(2𝑥 +
3
4
) (5𝑥 −
1
4
) (
3
6
− 4𝑥) = 0
e)(4𝑥2
− 16)(𝑥3
− 8) = 0
Precisamos resolver a equação de grau n. Se o grau for PAR eu
coloco ±. Veja: 4𝑥2
− 16 = 0, então : 4𝑥2
= 16 e 𝑥2
= 4, temos então
𝑥 = ±2
f)[
2𝑥2−4
5
+ 2𝑥(𝑥 − 2)] [3𝑥3
− 27] = 0
g)(𝑥3
+ 27) (3𝑥 −
1
2
)
6
(5𝑥 + 4) = 0
h)(3𝑥 + 2𝑥 − 4𝑦 + 6)(5𝑥 − 𝑦 + 4 − 𝑥 + 2𝑦) = 0
Trata-se de uma equação literal na variável x. y é um parâmetro.
3) Na minha calculadora efetuei vários produtos
encontrei resultado 0. Com esta afirmação,
podemos conhecer um dos fatores, com toda a
certeza. Que fator é este?

65
Multiplicidade de uma Raiz
QUADRO
Uma equação polinomial de grau n tem exatamente
n raízes complexas se considerarmos que um
número pode ser mais de uma vez sua raiz.
Por exemplo: 𝑥2
= 0 tem duas raízes, e as duas são
zero. Dizemos que a multiplicidade da raiz 0 é 2.
Veja:
(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)(2𝑥 − 8) = 0
As raízes são 4, -3 e 4. Como o 4 repete duas vezes,
dizemos que a multiplicidade do 4 é 2.
Raízes 4 com multiplicidade 2; e -3 com
multiplicidade 1.
Outros Exemplos:
a) (𝑥 − 3)8(𝑥 + 4)11
= 0. Raiz 3 –
multiplicidade 8; raiz -4 – multiplicidade 11.
b) 𝑥3
− 8 = 0. Raiz 2 – multiplicidade 3.
1)Resolva as equações, na variável x, sendo U=IR
e dê a multiplicidade das raízes:
a) 𝑥 ∙ 7 ∙ 2 = 0
b)(𝑥 + 2)2
𝑥 = 0
c) (𝑥 − 8)(15 − 2)(7 + 2) = 0
d) (0𝑥 − 3)(5𝑥 − 4) = 0
e) (𝑥2
− 4)(2𝑥 − 2) = 0
f) (𝑥3
− 8)(𝑥2
− 4) = 0
g) (𝑥 − 3)(2𝑥 − 6)(𝑥 + 7)(2𝑥 + 14) = 0
h) (𝑦2
+ 3)(𝑦 − 5)(𝑦2
+ 1) = 0
i) 𝑥2(𝑥 − 2) − 0
j) (𝑥 + 3)(𝑥 − 2,4) (𝑥 −
1
2
) = 0
k)
5(𝑥−2)
3
= 0
m) (𝑥 − 7)2
= 0
n) (𝑦2
− 1)(𝑦 − 5) = 0
o) 𝑥(𝑥 + 5)2
= 0
p) (𝑥 − 7,4) (𝑥 +
3
4
) (𝑥 + 5) = 0

66
q) (𝑥 − 2)2(𝑥 − 5)2
= 0
r) (𝑥 − 7)2
= 0
F) Resolva as equações em x, sendo U=IR, e dê
a multiplicidade de cada uma:
a) (𝑐 + 4𝑐 − 3(𝑐 − 2))(3𝑥 − 2) = 0
A equação não é em c, é em x, mas você aqui pode descobrir o
valor de c.
b) (𝑥 − 6)(𝑥 + 2)25
= 0
c) (𝑥 + 5)0(𝑥 − 4)3(𝑥 + 5) = 0
d) (𝑥 − 3)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 0
e) (2𝑥 −
4
5
) (√3𝑥 − 4)(√2𝑥 + 3) = 0
f) (√𝑥 − 1)(𝑥2
− 49)(3𝑥
− 27) = 0
g) (5𝑥 − 3)26(4𝑥 − 12)34(5𝑥2
− 125)33
= 0
3) Resolva as equações, sendo U=IR:
a)(−30 − 2 + 65𝑥)(11 − 5𝑥 + 15 + 11𝑥)𝑥 = 0
b)(
𝑥+1
3
+
3𝑥−1
2
−
2𝑥+1
4
+ 3)
2
(
𝑥−1
2
+
𝑥+2
3
− 6)
11
= 0
c)(3𝑥 − √2)[2(2𝑥 + 1) − 1 − 3(𝑥 + 4)] = 0
d)[5(3𝑥 − 4) − 7(2𝑥 − 3) − 2𝑥 − 11]6
𝑥(𝑥 − 2) = 0
Equações e Fatoração
QUADRO
A fatoração de alguns polinômios permite a
resolução de equações. Veja os exemplos:
Exemplo 1
𝑥2
− 4𝑥 = 0
𝑥(𝑥 − 4) = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 4
S={0,4}
Exemplo 2
𝑥3
− 4𝑥2
= 0
𝑥2(𝑥 − 4) = 0
𝑥2
= 0 𝑜𝑢 𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 4
S={0,4}
Nesse equação 0 tem multiplicidade 2.
Exemplo 3
𝑥3
− 4𝑥 = 0
𝑥(𝑥2
− 4) = 0
𝑥2
= 0 𝑜𝑢 𝑥2
− 4 = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥2
= 4
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = ±2
S={-2,0,2}

67
1) Resolva as equações a seguir, na variável 𝑥,
sendo 𝑈 = ℝ:
a) 𝑥2
− 5𝑥 = 0
b) 𝑦2
+ 6𝑦 = 0
c) 5𝑥2
− 3𝑥 = 0
d)−2𝑥2
+ 6𝑥 = 0
e) √3𝑥2
+ 3𝑥 = 0
f)
2𝑥2
3
− 4𝑥 = 0
g) 𝑥3
− 2𝑥2
= 0
h) 𝑥3
− 8𝑥2
= 0
i) 𝑥4
− 𝑥3
= 0
2)Resolva as equações a seguir, na variável 𝑥,
sendo 𝑈 = ℝ:
a) 𝑥2
− 9 = 0
Aqui gostaríamos que vocês fatorassem pela diferença entre dois
quadrados:
𝑥2
− 9 = 0
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 0
𝑥 − 3 = 0 𝑜𝑢 𝑥 + 3 = 0
𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = −3
b) 𝑥2
− 64 = 0
c) 9𝑥2
− 16 = 0
d) 𝑥2
− 10𝑥 + 25 = 0
Aqui é proibido usar a fórmula de Bháskara (“delta”). Temos que
usar a fatoração do TQP. Como x²-10x+25 é um TQP, podemos
trocar essa expressão por (x-5)². O mesmo com os itens “e” e “f”. Se
você fizer o “delta” está errado!
𝑥2
− 10𝑥 + 25 = 0
(𝑥 − 5)2
= 0
𝑥 − 5 = 0
𝑥 = 5
e) 𝑥2
+ 6𝑥 + 9 = 0
f) 9𝑥2
+ 12𝑥 + 4 = 0
g) 64𝑥2
− 81 = 0
h) 𝑥2
− 15𝑥 = 0

68
3) Resolva as equações, sendo U=IR (simplifique
as equações, e use as técnicas já conhecidas).
Aqui há várias técnicas:
a)(𝑦 + 5)(𝑦 + 3) = 15
b) (𝑡 + 5)2
− 2 = 23
c) (3𝑥 + 4)(2𝑥 − 1) = −4
d) (𝑥 − 4)2
+ 2(𝑥 − 8) = 0
Antes de resolver, desenvolva o produto notável, aplique a
distributiva, e simplifique a expressão.
e)
𝑦2
4
+
𝑦
3
=
𝑦
2
f)
𝑥−4
2
−
𝑥2−6
3
= 0
g)
𝑥2
4
+
𝑥
2
=
2𝑥
3
h)3𝑥(𝑥 + 2) = 𝑥(𝑥 + 10)
4) Resolva as equações, na variável x, sendo
U=IR (use a fatoração):
a)𝑥³ − 9𝑥 = 0
b)𝑥³ + 𝑥² − 4𝑥 − 4 = 0
Aqui devemos fatorar por agrupamento:
𝑥3
+ 𝑥2
− 4𝑥 − 4 = 0
𝑥2
(𝑥 + 1) − 4(𝑥 + 1) = 0
(𝑥 + 1)(𝑥2
− 4) = 0
𝑥 + 1 = 0 𝑜𝑢 𝑥2
− 4 = 0
𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥2
= 4
𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 = ±2
S={-2,-1,2}
c)𝑥³ − 2𝑥² + 𝑥 = 0
d)𝑥³ + 2𝑥² − 9𝑥 − 18 = 0
e)𝑥3
− 5𝑥2
− 4𝑥 + 20 = 0

69
f)𝑥³ + 𝑥² − 𝑥 − 1 = 0
5) a) Na equação (2x+1)(2x-1)=0, pode-se concluir
que 2x+1=0 ou que 2x-1=0. Qual é, então, o
conjunto-solução de (2x+1)(2x-1)=0?
b) Na equação (2x+1)(2x-1)=3, pode-se concluir
que 2x+1=3 ou que 2x-1=3? Por quê?
6)Resolva as equações, na variável x, sendo
U=IR (use a fatoração):
a)49𝑥³ − 16𝑥 = 0
b)𝑥³ + 10𝑥² + 25𝑥 = 0
c)4𝑥³ − 12𝑥² + 9𝑥 = 0
d)3𝑥 + 6 + 𝑥² − 4 = 0
e)3𝑥 + 6 + 𝑥² + 2𝑥 = 0
f)𝑥³ + 2𝑥² − 9𝑥 − 18 = 0
g)𝑥³ − 5𝑥² − 3𝑥 + 15 = 0
7) Qual é o conjunto solução da equação
(𝑥 − 2)(𝑥 + 5)(𝑥 − 3) = 0?
a) {5,2,3} b) {-5,2,3} c) {-5,-2,3}
d) {-5,-2,-3} e) {0}
8) Qual é a soma das soluções da equação a
seguir?
(2𝑥 − 3)(5𝑥 + 2) = 0
a) 0,4 b) 1,1 c) 1,5 d) 5 e) 11
9) A raiz da equação 3𝑥³ − 24 = 0 é:
a) 2 b) -2 c) 3 d) -3
e) nenhuma das anteriores
10) Resolva a equação
(𝑥 + 2)² + 3(2𝑥 − 1) = 𝑥²
a) x= 3/5 b) x=3/2 c) x=3/10
d) x=10/3 e) x=-1/10

70
11) A equação x²=9 tem como solução:
a) {3} b) {-3} c) {3,-3}
d) {3,9} e) {3,-3,9,-9}
REFORÇANDO
Resolva as equações
1) (𝑥 − 2)(2𝑥 + 4)(3𝑥 − 6) = 0
2) 3(𝑥 − 5)²(2𝑥 − 10)³ = 0
3) 𝑥² − 8𝑥 = 0
4) 𝑥5 − 3𝑥4 = 0
5) 𝑥² − 16 = 0
6) 𝑥² + 4𝑥 + 4 = 0
7) 4𝑥² + 16𝑥 + 4 = 0
8) (𝑦 + 5)(𝑦 + 3) = 15
9) (𝑡 + 5)² − 2 = 34
10) 𝑥³ + 𝑥² − 4𝑥 − 4 = 0
11) 𝑥³ − 2𝑥² + 𝑥 = 0
12) 3𝑥 + 6 + 𝑥² − 4 = 0
13) 49𝑥³ − 16𝑥 = 0
14) 𝑥³ + 10𝑥² + 25𝑥 = 0
15) 3𝑥 + 6 + 𝑥² + 2𝑥 = 0
Resolver em ℝ
16) x²-6x=0
17) 3x³-27x²=0
18) x³+3x²-x-3=0
19) x²-6x+9=0
20) x³-6x²+9x=0
21) (x-3)²(2x-1)5
(3x-6)8
=0
Equações e Fatoração do Trinômio do
2º Grau
QUADRO
Resolva a equação
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = 0
Podemos fatorar o trinômio do 2º Grau como vimos
na aula 5, no aprofundamento 5º caso de fatoração,
por soma e produto S=5 e P=6, achamos os números
2 e 3:
(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 0
𝑥 + 2 = 0 𝑜𝑢 𝑥 + 3 = 0
𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = −3
Usando a fatoração do polinômio do 2º Grau, resolva
as equações:
a) x²+7x+10=0
b) x²-6x+8=0
c) x²-9x+14=0
d) x²+x-12=0
e) x²-9x+18=0
f) x²-x-12=0
g) x²+7x-8=0
h) x²-2x-15=0
i) x²-11x-12=0
j) m²-13m+12=0
k) t²+8t+12=0
l) k²-2k-8=0

71
B5.3 AULA 9–Tópicos sobre Conjuntos
Esse é um capítulo mais longo que todos os outros. Ele é de auto-estudo e
grande parte dos conteúdos não serão trabalhados nas aulas regulares.
Há temas aqui, como Pi e Teorema de Pitágoras, cujo objetivo é fazer revisões
essenciais dentro do conjunto dos números irracionais.
Esse capítulo tem duas partes: Conjuntos Numéricos e Outros Tópicos
(Conjunto Complementar, Intervalo Discreto e Diferença Simétrica)
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o CONJUNTOS NUMÉRICOS
o CONJUNTO COMPLEMENTAR
atividade.
Conjuntos Numéricos
QUADRO
Os números naturais são os números contáveis, que
representam uma quantidade:
0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, ...
Por maior que seja um número natural n sempre há
um número maior ainda n+1 (o sucessor).
O conjunto de todos números naturais eu chamo de
conjunto ℕ dos Números Naturais.
Em resumo, o conjunto dos números naturais é:
ℕ = {0,1,2,3,4, … }
Acontece que equações do tipo
𝑥 + 5 = 1
não possuem solução no conjunto ℕ. Para isso
ampliamos esse conjunto, para o conjunto dos
números inteiros, incluindo os números negativos.
ℤ = {… , −3, −2, −1,0,1,2,3,… }
Esse conjunto é chamado de conjunto dos números
inteiros.
A letra Z vem de Zahl, número em alemão. (Há uma
brincadeira que diz que é o conjunto dos números
“zinteiros”.
O conjunto dos números naturais é um subconjunto
dos números inteiros:
ℕ ⊂ ℤ
.
Mas há equações insolúveis em ℤ, como por
exemplo:
5𝑥 = 3

72
Para isso eu crio um conjunto que tem como
elementos todo número que pode ser escrito como
fração.
Eu chamo esse conjunto, de conjunto dos números
racionais ℚ.
Todo número inteiro é racional, pois, qualquer um
deles pode ser escrito como fração:
5 =
5
1
−3 =
−3
1
Portanto:
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ
Podemos definir esse conjunto ℚ:
ℚ = {
𝑝
𝑞
|𝑝, 𝑞 ∈ ℤ 𝑒 𝑞 ≠ 0}
Interprete a definição, pois é fácil e possível!
Existem outros conjuntos?
- Sim!
Falaremos ainda nessa aula sobre o conjunto dos
números reais que abrangem toda a reta numérica,
todas as medidas possíveis.
1)Defina os conjuntos:
ℕ=______________________
Nome: Conjunto dos Números_________________
ℤ=______________________
ℚ=______________________
2)Dado diagrama, coloque nos lugares corretos os
números
0 5 -2 -1,5
-2/3 3/5 0,777.... 0,25
-1 0,1666... 1/3 5 ½
QUADRO
Para restringir os sinais dos conjuntos colocamos
símbolos:
𝔸∗
O asterismo (ou estrela) indica que o conjunto é não-
nulo.
O conjunto com essa estrela é chamado de
“conjunto dos números (...) não nulos”
Se inserirmos ao mesmo tempo * e os sinais de – e
+ teremos exclusivamente números negativos ou
positivos:
𝔸−
∗
𝔸+
∗
Os conjuntos acima são:
“conjunto dos números (...) negativos”
“conjunto dos números (...) positivos”
Se colocarmos apenas os sinais de + ou -, os
conjuntos incluem o zero.
𝔸−
𝔸+
Os conjuntos acima são:
“conjunto dos números (...) negativos”
“conjunto dos números (...) positivos”
3)Escreva o nome e defina:
ℕ ∗=______________________
ℤ ∗=______________________
ℤ+=______________________
ℤ−=______________________
ℤ+
∗
=______________________

73
ℤ−
∗
=______________________
ℚ ∗=______________________
ℚ+=______________________
ℚ−=______________________
ℚ+
∗
=______________________
ℚ−
∗
=______________________
4)Pode-se dizer que A*=A-{0}.
Dado isso, seℙ é o conjunto dos números pares, o que
seria ℙ*?
5)Complete com ∈ ou ∉:
0 ____ ℕ 0____ ℤ 0___ ℚ
5 ____ ℕ 5____ ℤ 5___ ℚ
-2 ____ ℕ -2____ ℤ -2___ ℚ
0,3 ____ ℕ 0,3____ ℤ 0,3___ ℚ
2/3 ____ ℕ 2/3____ ℤ 2/3___ ℚ
-0,5 ____ ℕ -0,5____ ℤ -0,5___ ℚ
-1/5 ____ ℕ -1/5____ ℤ -1/5___ ℚ
0,333.... ____ ℕ 0,333....____ ℤ 0,333...___ ℚ
6)Escreva os números em seus locais nos diagramas
de Venn:
0 5 -3 2/3
1
2
3
0,5 0,333... -1/4
7)Complete com ⊂ (contém) ou ⊄ (não contém):
ℕ____ ℤ ℕ____ ℚ ℤ____ ℕ
ℤ____ ℚ ℚ____ ℕ ℚ____ ℤ
8) Efetue:.
ℕ ∪ ℤ = ___ ℕ ∪ ℚ = ___
ℤ ∪ ℚ = ___ ℕ ∩ ℤ = ___
ℕ ∩ ℚ = ___ ℤ ∩ ℚ = ___
9)Escreva 4 relações de inclusão entre conjuntos não-
negativos, não-positivos, negativos, positivos e não-
nulos envolvendo quaisquer conjuntos.
GABARITO
1) Defina os conjuntos:
ℕ = {0,1,2, …, 𝑛, 𝑛 + 1, … } - Conjunto dos Números Naturais
ℤ = {… ,−3, −2, −1,0,1,2, … } - Conjunto dos Números Racionais
ℚ = {
𝑝
𝑞
;𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≠ 0} - Conjunto dos Números Racionais
2) Dado diagrama, coloque nos lugares corretos os números
3) Escreva o nome e defina:
ℕ ∗= {𝑥 ∈ ℕ; 𝑥 ≠ 0}
Nome: Conjunto dos Números Naturais Não Nulos
ℤ ∗= {𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 ≠ 0}
Nome: Conjunto dos Números Inteiros Não Nulos
ℤ+={𝑥 ∈ ℤ;𝑥 ≥ 0}
Nome: Conjunto dos Números Inteiros Não Negativos
ℤ−={𝑥 ∈ ℤ;𝑥 ≤ 0}
Nome: Conjunto dos Números Inteiros Não Positivos
ℤ+
∗
={𝑥 ∈ ℤ;𝑥 > 0}
Nome: Conjunto dos Números Inteiros Positivos
ℤ−
∗
={𝑥 ∈ ℤ;𝑥 < 0}
Nome: Conjunto dos Números Inteiros Negativos
ℚ ∗={𝑥 ∈ ℚ; 𝑥 ≠ 0}
Nome: Conjunto dos Números Racionais Não Nulos
ℚ+={𝑥 ∈ ℚ; 𝑥 ≥ 0}
Nome: Conjunto dos Números Racionais Não Negativos
ℚ−={𝑥 ∈ ℚ; 𝑥 ≤ 0}
Nome: Conjunto dos Números Racionais Não Positivos
ℚ+
∗
={𝑥 ∈ ℚ; 𝑥 > 0}
Nome: Conjunto dos Números RacionaisPositivos
ℚ−
∗
={𝑥 ∈ ℚ; 𝑥 < 0}
Nome: Conjunto dos Números Racionais Negativos
4) Pode-se dizer que A*=A-{0}. Dado isso, seℙ é o conjunto dos números pares,
o que seria ℙ*? O conjunto dos Pares menos o zero, ou seja, {2,4,6,8,..., 2n,
2n+2, ...}
5) Complete com ∈ ou ∉:
0 ∈ ℕ 0 ∈ ℤ 0∈ ℚ 5 ∈ ℕ 5∈ ℤ 5∈ ℚ
-2 ∉ ℕ -2∈ ℤ -2∈ ℚ 0,3 ∉ ℕ 0,3∉ ℤ 0,3∈ ℚ
2/3 ∉ ℕ 2/3∉ ℤ 2/3∈ ℚ -0,5 ∉ ℕ -0,5∉ ℤ 0,5∈ ℚ
-1/5 ∉ ℕ -1/5∉ ℤ -1/5∈ ℚ 0,333....∉ ℕ 0,333....∉ ℤ 0,333...∈ ℚ
6) Escreva os números em seus locais nos diagramas de Venn:
1
2
3
deve entrar no terceiro círculo. Nenhum dos elementos ficará no último
círculo (não aprendemos ainda os números reais)
7) Complete com ⊂ (contém) ou ⊄ (não contém):
ℕ ⊂ ℤ ℕ ⊂ ℚ ℤ ⊄ ℕ
ℤ ⊂ ℚ ℚ ⊄ ℕ ℚ ⊄ ℤ
A relação de pertinência existe quando relacionamos ELEMENTO e
CONJUNTO.
Podemos dizer então que:
5∈{0,1,2,3,4,5} e 2/3 ∈ ℚ
enquanto
7∉{0,1,2,3,4,5} e 2/3 ∉ ℤ
Já a relação de pertinência existe quando relacionamos CONJUNTO e
CONJUNTO, nesse caso dizemos que está contido e não está contido
{1,2}⊂{0,1,2,3,4}
{1,5}⊄{0,1,2,3,4}
Um conjunto está contido no outro quando TODOS os seus elementos
pertencem ao outro.
8) Determine a união e intersecção entre os conjuntos dos números naturais,
inteiros e racionais.
ℕ ∪ ℤ = ℤ ℕ ∪ ℚ = ℚ
ℤ ∪ ℚ = ℚ ℕ ∩ ℤ = ℕ
ℕ ∩ ℚ = ℕ ℤ ∩ ℚ = ℤ
9) Escreva 4 relações de inclusão entre conjuntos não-negativos, não-positivos,
negativos, positivos e não-nulos envolvendo quaisquer conjuntos.
ℤ+= ℕ ℤ−
∗
⊂ ℚ−
∗
ℤ−
∗
⊂ ℤ+
ℕ ∗=ℤ+
∗
Existem outras

74
Propriedades Estruturais
QUADRO
Propriedades da Adição
Nome Sent;
COMUTATIVA a+b=b+a
ASSOCIATIVA (a+b)+c=a+(b+c)
ELEMENTO NEUTRO a+0=0+a=a
ELEMENTO OPOSTO a+(-a)=0
FECHAMENTO a+b∈ ℚ
CANCEL. ADITIVO Se
a+c+b+c
então a=b
Propriedades da Multiplicação
Nome Sent.
COMUTATIVA ab=ba
ASSOCIATIVA (ab)c=a(bc)
ELEMENTO NEUTRO a.1=1.a=a
DISTRIBUTIVA EM
RELAÇÃO À ADIÇÃO
a(b+c)=ab+ac
(a+b)c=ac+bc
ELEMENTO INVERSO a.(1/a)=1
OBS: a≠0
FECHAMENTO ab∈ ℚ
CANCELAMENTO
MULTIPLICATIVO
Se
ac=bc
então a=b
OBS: a≠0
A Reta Numérica e construções
– Números Racionais
QUADRO
Localizar números reais na reta não é uma tarefa
fácil de se explicar por escrito, mas é fácil de
perceber a lógica
Vamos supor óbvia a localização dos números
inteiros
Localização do número 3/2:
Imagem de www.gcfaprendelivre.org
Localização do número -5/4:
Imagem de www.gcfaprendelivre.org
1) Represente na reta numérica:
A=
1
2
B=2
1
2
C=
3
4
D=−1
1
4
E=
11
4
F=−0,25 G=3,75
Caso tenha dificuldade ou não consiga localizar algum número,
fale com o professor
2) Represente na reta numérica:
A=6
1
2
B=7
2
5
C=7,2 D=6,9
Para achar as frações faça como nos exemplos Aqui já estão
divididos os números, e, para achar 6 ½, por exemplo, basta achar ½
após 6
3) Dê o valor aproximado de cada letra indicada
na reta:
Aqui você vai “chutar” os valores, já que não é possível dar o valor
exato
4) Marque APROXIMADAMENTE onde os
números se localizam:
A=-1,2 B=1,2 C=3,5
D=-2,7 E=-3,25
Não é preciso colocar o valor exato, mas sim aproximado
5) Qual o valor de K e M?

75
6) A régua de polegadas está dividida em riscos
decrescentes que separam meios, quartos,
oitavos, e dezesseis avos.
A medida A é de 2
7
8
.
A medida de B é de 2
3
8
.
A medida de C é de 1
3
8
.
A medida de D é de
15
16
Consegue marcar cada ponto da régua?
7) (Bilstein et alli) Escreva as frações de
polegadas correspondentes à cada medida
abaixo:
Inches é polegada em Inglês
TESTE SOBRE LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS
NA RETA
1)(SAERS). Observe a reta numérica abaixo.
Nessa reta, que número corresponde ao ponto P?
(A) 5,4 (B) 5,5 (C) 5,6 (D) 5,9
2) (Blog do Prof. Warles) Observe os números que
aparecem na reta abaixo.
O número indicado pela seta é
(A) 0,9 (B) 0,54 (C) 0,8 (D) 0,55
3) (Blog do Prof. Warles) No mês de Julho, foram
registradas as temperaturas mais baixas do ano nas
seguintes cidades:
Cidades Temperaturas (ºC)
X –1
Y +2
Z -3
A representação correta das temperaturas registradas
nas cidades X, Y e Z, na reta numerada, é:
4) (Prova Brasil). A figura abaixo mostra os pontos P e
Q que correspondem a números racionais e foram
posicionados na reta numerada do conjunto dos
racionais.
Os valores atribuídos a P e Q, conforme suas posições
na reta numérica abaixo são:
(A) P = - 0,2 e Q = – 0,3 (B) P = - 0,3 e Q = – 0,2
(C) P = - 0,6 e Q = – 0,7 (D) P = - 0,7 e Q = – 0,6
5) (Prova Brasil 2009). Em uma aula de Matemática, o
professor apresentou aos alunos uma reta numérica
como a da figura a seguir.
O professor marcou o número
11
4
nessa reta.
Esse número foi marcado entre que pontos da reta
numérica?
(A) – 4 e – 3. (B) – 3 e – 2.
(C) 0 e 1. (D) 3 e 4.
6) (Blog do Prof. Warles) Observe a reta numérica
abaixo.
Nessa reta, que número corresponde ao ponto P?
(A) 2,4 (B) 2,5 (C) 2,6 (D) 2,7
7) (Blog do Prof. Warles) Observe o desenho abaixo.
O número
7
25
, nessa reta numérica, está localizado
entre:
(A) – 4 e –3. (B) 2 e 3. (C) 3 e 4. (D) – 3 e – 4.

76
8) (Imenes & Lellis). Colocamos os números na reta,
como se fosse a escala de um termômetro.
Nessa representação, os pontos A e B correspondem,
respectivamente, aos números:
(A) – 1,8 e 0,5. (B) – 2,2 e – 0,5;
(C) – 1,8 e – 0,5. (D) –2,2 e 0,5.
9) (Blog do Prof. Warles) Observe o desenho abaixo.
O número
5
13
 , nessa reta numérica, está localizado
entre:
(A) – 2 e –3.(B) 2 e 3.(C) 3 e 4. (D) – 3 e – 4.
10) (Blog do Prof. Warles) Veja a reta numérica
abaixo.
A letra T corresponde ao número
A) 0,8 B) 1,8 C) 2,5 D) 2,8
11) (SAERJ). Veja a reta numérica abaixo.
O número 33,5 está representado pela letra
A) P. B) Q. C) R. D) S.
12) (Blog do Prof. Warles) Observe os números que
aparecem na reta abaixo.
O número indicado pela seta é:
(A) 0,5 (B) 0,14 (C) 0,4 (D) 0,15
13) (Blog do Prof. Warles) Observe a reta numerada
abaixo.
Nessa reta, o ponto P corresponde ao número
A)
2
1
B)
3
2
C)
2
3
D)
3
7
14) (Blog do Prof. Warles) Artur é arquiteto. Ele está
verificando as medidas de um projeto. No desenho
abaixo, podemos ver a linha que Artur está medindo.
A medida desta linha, em centímetros, é
(A) 3,0. (B) 3,4. (C) 3,8. (D) 4,0.
15) (Blog do Prof. Warles) Na reta numérica abaixo,
há quatro valores assinalados pelas letras A, B, C e D.
Qual delas pode estar indicando a localização do
número 1,2?
(A) A (B) B (C) C (D) D
16) (Blog do Prof. Warles) A receita de bolo de Ana
Maria diz que é preciso usar
4
3
de xícara de farinha.
O valor correspondente a
4
3
, na reta numerada, é a
letra
(A) A.(B) B.(C) C.(D) D.
17) (Blog do Prof. Warles) O ponto que pode
corresponder ao número 1,75 aparece na reta numérica
representado pela letra
(A) A. (B) B . (C) C . (D) D.
18) (Blog do Prof. Warles) A mãozinha está
apontando para um número na reta numérica abaixo.
Assinale a opção que corresponde a esse valor.
a) 3/4 b) 4/3 c) 3,4 d) 4,3
19) (Blog do Prof. Warles) Na reta numérica abaixo,
estão representados por P, Q, R e S quatro números
reais.
Dentre as representações, a que pode ser a do número
-2,4 é
(A) P.(B) Q.(C) R.(D) S.

77
20) (Blog do Prof. Warles) Veja a reta numérica
abaixo.
O ponto correspondente a fração 5/2 é
A) P B) Q C) R D) S
21) (Blog do Prof. Warles) O ponto da reta numérica
abaixo que corresponde à fração
2
5
é:
(A) A (B) B (C) C (D) D
22) (SARESP). Observe a reta numérica:
A letra M está assinalando o número 80, 458. Qual é o
número que a letra R está marcando?
(A) 80, 469 (B) 80,466
(C) 80, 475 (D) 80, 476
23) (Saresp 2007). A letra L está assinalando, na reta
numérica, o número 45,477.
Qual é o número que a letra J está assinalando?
(A) 45,456(B) 45,454(C) 45,435(D) 45,404
24) (Saresp – SP). Abaixo, representamos na reta
numérica os números x, y, z e zero.
É correto dizer que:
A) y > zB) y < xC) x > 0
D) z é um numero positivo.
25) (Praticando matemática) O número
6
3
 está
compreendido entre:
A) 0 e 1
B) 3 e 6
C) –1 e 0
D) –6 e –3
MAIS EXERCÍCIOS SOBRE A RETA NUMÉRICA
1) Associar as frações
3
2
,
9
2
e
1
2
com as letras, de acordo
com suas posições na reta numeradas
2) Represente os números racionais:
Resposta:
QUADRO
O oposto de um número 𝑥 é:
−𝑥
Ex: oposto de 5 é -5, de -3 é 3, de 1/3 é -1/3, de 0 é
0.
O oposto também é conhecido como SIMÉTRICO,
pois a distância de 𝑥 até zero é a mesma distância
de −𝑥 até zero.
𝑥 + (−𝑥) = 0
(Lembre-se da Propriedade do Elemento Oposto)
O inverso do número 𝑥 é:
1
𝑥
Ex: oposto de 5 é 1/5, de 3/5 é 5/3, de -1/3 é -3, de 1
é 1, de -1 é -1 e não há inverso de 0.
O inverso do número também é chamado de
RECÍPROCO
𝑥 ∙
1
𝑥
= 1
(Lembre-se da propriedade do Elemento Inverso)
O módulo do número 𝑥 é:
|𝑥|
É o número sem o sinal, a distância do número até
zero.
Ex: o módulo de 5 é 5, de -3 é 3, de -7 é 7, de 0 é 0.
O módulo de um número também é chamado de
VALOR ABSOLUTO
1)Localize na reta:
a) A= ½ b) B=1/3 c) C=5/6
d) D=2/5 e) E=3/4

78
2)Localize na reta:
a) A=-1/2 b) B=-2/3 c) C=-5/8
3)Localize na reta:
a) A=
4
1
2 b)
3
2
1

B c)
4
1
2


C
d)
5
1
1


D e)
5
2


E f) 3


G
4)Ache o módulo, o inverso e o oposto de:
a) 2/3 módulo: ___ inverso: ___ oposto: ___
b) 3/5 módulo: ___ inverso: ___ oposto:
c) 1/4 módulo: ___ inverso: ___ oposto: ___
d) 4 módulo: ___ inverso: ___ oposto:___
e) -2 módulo: ___ inverso: ___ oposto: ___
f) -2/3 módulo: ___ inverso: ___ oposto: ___
5)Ache o inverso de
4
1
2 .
6)Ache o oposto do inverso de -3/4.
7)Ache a metade do triplo do inverso de
6
1
.
8) (Concurso Professor de Matemática 5ª à 8ª séries
– Prefeitura Municipal de Orlândia-SP/2003) A figura
mostra um trecho da reta numérica:
Os pontos P e Q, indicados pelas setas, podem
corresponder, respectivamente, aos números:
a) -1,76 e -1,685
b) -1,76 e -1,525
c) -1,64 e -1,69
d) -1,64 e -1,52
e) -1,64 e -1,515
9)(Avaliação do SAEB – 4ª série – 2001) A reta
numerada, o ponto A representa o número
a) 7,0 b) 7,1
c) 7,5 d) 7,8
10. (Avaliação do SAEB – 4ª série – 2001) O número
decimal correspondente ao ponto assinalado na reta
numérica é
a) 0,3 b) 0,23 c) 2,3 d) 2,03
11. (Concurso Professor de Matemática 5ª à 8ª
séries e Ensino Médio– SESI-SP/2002) Na figura
abaixo estão representados geometricamente os
números reais –1, y, 0, x e 1.
Com base nessa representação, é possível concluir
que o produto x.y está localizado
a) entre x e 1 b) entre 0 e x c) entre y e 0
d) entre –1 e y e) à esquerda de –1
12. (Concurso de Fiscal de Serviços Públicos –
Prefeitura Municipal de São Carlos / 2002) Observe
a figura abaixo. Os números indicados pelos pontos A
e B na escala decimal são, respectivamente,
a) 2,386 e 2,42 b) 2,385 e 2,42 c)2,385 e 2,402
d) 2,381 e 2,42 e) 2,385 e 2,399
13. (Avaliação do SARESP 1998 – 5ª série - Diurno)
Examine a figura:
O ponto A corresponde a um dos números abaixo. A
qual deles?
a) 0,25 b) 0,85 c) 1,25 d) 1,85
14. (SIMAVE – 4ª série – 2002) Roberto está com
febre. Veja a ilustração do termômetro que marca a
temperatura dele:
O termômetro está marcando:
A) 39º C B) 39,3º C C) 39,5º C D) 40º C
15. (ENCCEJA – Ensino Fundamental – 2002) Uma
estrada está sinalizada com marcadores de
quilometragem que guardam entre si a mesma
distância. Um carro X está na posição 150 e um carro
Y, na posição 310.Um carro Z está entre X e Y,
conforme a figura abaixo.
Dentre as alternativas, assinale a que melhor expressa,
em quilômetros, a localização do carro Z.
(A) 160. (B) 190. (C) 210. (D) 270.
16. (Concurso Público para Professor de 5ª à 8ª série –
Prefeitura Municipal de Araçatuba – SP/2000) Com 3
cartões numerados de 1 a 3, e um cartão marcado com uma
vírgula,podemosrepresentar,porexemplo,onodecimal1,23.
O maior número e o menor número, expressos na notação
decimal, que podemos representar com os quatro cartões
são, respectivamente:
a) 12,3 e 1,23 b) 32,1 e 2,13
c) 32,1 e 1,23 d) 23,1 e 2,13

79
17.(Avaliação do SARESP 2000 – 5ª série - Diurno)
Das comparações abaixo, qual é verdadeira?
a) 0,40<0,31 b) 1<1/2
c) 0,4<4/10 d) 2>1,9
18. (Concurso Público para Professor de 1ª à 4ª
série – Prefeitura Cidade do Rio de Janeiro/2001?)
Com 3 cartões numerados de 1 a 3, e um quarto cartão
com uma vírgula, podemos representar, por exemplo, o
no
decimal 1,23. Quantos números decimais podemos
representar com os quatro cartões?
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12
19. (Avaliação do SARESP 1998 – 5ª série - Diurno)
Célia fez regime e anotou seu progresso numa tabela:
Semana Perda em Quilogramas
1ª 2,45
2ª 1,3
3ª 2,54
4ª 1,03
Em qual semana Célia perdeu menos peso?
a) 1ª b) 2ª c) 3ª d) 4ª
20. (Avaliação do SAEB – 4ª série – 2001) Qual é o
maior dos números abaixo:
a) 0,398 b) 0,52 c) 0,5 d) 0,8
21. (Concurso do Magistério Estadual do Rio de
Janeiro – 1990) Numa régua graduada, o segmento
cujos extremos são X=7,13 e Y=8,32 se encontra
dividido em sete partes iguais, conforme se vê na figura
abaixo. O número decimal Z, correspondente à terceira
divisão a partir da extremidade X, é expresso por:
a) 7,30 b) 7,45 c) 7,60
d) 7,64 e) 7,82
GABARITO
1) Localize na reta:
a) A= ½ b) B=1/3 c) C=5/6 d) D=2/5 e) E=3/4
4. Ache o módulo, o inverso e o oposto de:
a) 2/3 módulo 2/3 inverso 3/2 oposto -2/3
b) 3/5 módulo 3/5 inverso 5/3 oposto -3/5
c) 1/4 módulo ¼ inverso 4 oposto -1/4
d) 4 módulo 4 inverso ¼ oposto -4
e) -2 módulo 2 inverso -1/2 oposto 2
f) -2/3 módulo 2/3 inverso -3/2 oposto 2/3
5.Ache o inverso de
4
1
2
. 2
1
4
=
9
4
, logo o inverso é 4/9
6. Ache o oposto do inverso de -3/4. Resposta: 4/3
7. Ache a metade do triplo do inverso de
6
1 .
Inverso – 6
Triplo do inverso – 18
Metade disso – 9
8. e) -1,64 e -1,515
9. c) 7,5
10. c) 2,3
11. y é negativo e menor que 1
x está entre 0 e 1
Ignorando o sinal x . y é um número menor que y, mas xy é negativo,
então estão entre y e 0.
Veja um exemplo y=-1,3 e x=0,5, então xy=-0,65
c) entre y e 0
12. c) 2,385 e 2,402
13. Não há gabarito, o A deve ser próximo de 2,4
14. B) 39,3º C
15. (D) 270.
16.c)32,1e1,23
17. d) 2>1,9
18. d) 12
Ignorando a vírgula temos 3x2x1=6 possibilidades. A vírgula pode ser colocada
em 2 posições, ou seja 6x2=12, números.
Listando: 1,23 12,3
1,32 13,2
2,13 21,3
2,31 23,1
3,12 31,2
3,21 32,1
19. d) 4ª
20. d) 0,8
21. 8,32-7,13=1,19
São 7 segmentos
1,19:7=0,17
3 x 0,17 = 0,51
7,13+0,51 = 7,64
d) 7,64
QUADRO
Comparação
Vamos aprender a verificar qual a fração é maior que a outra,
comparar frações com os símbolos > < ou =, colocar em ordem
crescente ou decrescentes frações, etc, através de exemplos.
a) Quem é maior 5/8 ou 7/8?
É óbvio que 7/8 é maior! (Faça o desenho!)
Em frações de denominador igual, é muito fácil comparar frações!
b) Quem é maior 3/8 ou 9/24?
*** mmc(8,6)=24 (veja as tabuadas do 8 e do 6. O mmc é o 24).
3
8
=
9
24
<
5
6
=
20
24
. Então 5/6 é maior.
***Como a diferença é MUITO GRANDE, 5/6 é evidentemente
maior.
3/8 é menos que a metade (que seria 4/8) e 5/6 é bem mais que
a metade (que seria 3/6).
*** Mas como encontrar 9/24 e 20/24? Veja no caso de como
encontrarmos que 3/8=9/24. Depois de achar o mínimo,
pensamos assim:

80
E esse valor é 9.
*** Também há um esquema “divide pelo de baixo e multiplica pelo
de cima”, esquematicamente:
24 : 8 = 3, 3x3=9.
1) Quem é maior? Para saber, reduza as
frações ao mesmo denominador.
a)
3
8
ou
5
6
b)
7
12
ou
11
20
c)
7
10
ou
13
20
d)
5
6
ou
6
5
2) Quem é maior?
a) 1 ou
5
7
b) 12 ou
13
5
c) 3 ou
21
20
3) Mentalmente (sem efetuar cálculos),
coloque em ordem crescente:
a)
1
3
,
1
6
,
1
12
,
1
24
,
1
48
.
b)
1
5
,
1
9
,
1
21
,
1
33
,
1
4
4) Considere os números racionais:
5
7
,
12
10
,
3
3
,
8
20
,
13
18
𝑒
18
9
. Quais deles são menores
que 1?
5) No lugar de ...., o que se deve colocar: >, =
ou >?
a)
3
4
....
7
10
b)
2
3
....
3
5
c)
13
20
...
3
5
d)
12
15
....
25
40
e)
16
20
....
20
25
f)
15
10
....
12
8
g)
2
11
...
3
13
h) 5 ....
27
2
6) Verdadeiro ou falso?
a) 5,40=5,4 b) 3,0=3
c) 3,6=3,60=3,600 d) 2,4=2,04
e) 2,00=2 f) 0,3=3
g) 0,04=0,4
7) Compare com <, = ou >:
a) 2,7___ 1,42 b) 0,54___8,2
c) 0,54___0,278 d) 2,5___2,50
e) 3,41___3,28 f) 5,657___5,642
g) 0,0836___0,839 h) 2,1___2,01
i) 4,567___4,5675 j) 13,6___13,89
8) Dentre os números abaixo, sublinhe os
que são menores que 0,5?
0,3 0,72 0,08 0,12
0,912 1,2 5,0
9) a) Qual o menor número natural maior que
11,7?__________
b) Qual o maior número natural menor que
9,02?__________
10) Coloque em ordem crescente os
números decimais:
0,61 1,3 1,45 0,2
3,0 0,99 0,075

81
11) Qual fração é menor: ou ?
Lembre-se da inversão da ordem nos números negativos
12) Determine o maior número: – 2,5 ou + 0,8?
GABARITO – Fundamental Estudá-lo para
conclusões gerais.
1) Quem é maior? Para saber, reduza as frações ao mesmo
denominador.
a) 3/8 ou 5/6. mmc(8,6)=24.
3
8
=
9
24
<
5
6
=
20
24
É 5/6.
b) 7/12 ou 11/20. mmc(12,20)=60.
7
12
=
35
60
>
11
20
=
33
60
. É 7/12.
c) 7/10 ou 13/20. mmc(10,20)=20.
7
10
=
14
20
>
13
20
. É 7/10.
d) 5/6 ou 6/5. mmc(6,5)=30.
5
6
=
25
30
<
6
5
=
36
30
. É 6/5
Dica: No caso da letra D, 6/5 é obviamente maior, pois é mais que 1
inteiro (o numerador é maior), e o 5/6 é menor que 1 inteiro.
2) Quem é maior?
a) 1 ou 5/7. Não é necessários cálculos: 5/7 é menor que 1 inteiro
(denominador maior). Então 1 é maior.
b) 12 ou 13/5. 12 é muito maior. 13/5 é 2 inteiros e pouco.
c) 3 ou 21/20. 21/20 é pouco mais que 1 inteiro. 3 é maior.
Lembre-se:
Denominador > Numerador. Fração própria (menos que o inteiro)
Numerador > Denominador. Fração imprópria (mais que o inteiro)
3) Mentalmente, coloque em ordem crescente:
a) 1/48<1/24<1/12<1/6<1/3 b) 1/33<1/21<1/9<1/5<1/4
4) Basta verificar em quais o denominador > numerador: 5/7, 8/20,
13/18
5) No lugar de ...., o que se deve colocar: >, = ou >?
a) ¾ .... 7/10
3
4
=
15
20
>
7
10
=
14
20
Em desenhos:
b) 2/3....3/5
2
3
=
10
15
>
3
5
=
9
15
c) 13/20...3/5
13
20
>
3
5
=
12
20
d) 12/15....25/40
12
15
=
96
120
>
25
40
=
75
120
e) 16/20....20/25
16
20
=
80
100
=
20
25
=
80
100
f) 15/10....12/8
15
10
=
60
40
=
12
8
=
60
40
g) 2/11...3/13
2
11
=
26
143
<
3
13
=
33
143
h) 5 .... 27/2
5 =
10
2
<
27
2
Os Números Irracionais
QUADRO
Os pitagóricos notaram há 2500 anos que um
quadrado de lado 1 tem diagonal que não pode ser
escrita como um número racional, e sabemos que
essa diagonal mede √2 pelo Teorema de Pitágoras.
.Os pitagóricos provaram que é impossível escrever
√2 como uma fração
√2 =
𝑎
𝑏
é impossível para a, b inteiros
Portanto:
√2 ∉ ℚ
Dizemos que √2 portanto é um número irracional.
Forma Decimal dos Números Irracionais:
 A parte decimal dos Números Irracionais são
sempre infinitas e não periódicas.
 Qualquer número decimal com infinitas
casas decimais não periódicas é irracional
Ex:
1,01001000100001... é irracional
0,123456789101112... é irracional
Todas raízes de números inteiros não exatas são
irracionais
Pi é irracional
Por outro lado, disso podemos tirar as seguintes
conclusões:
 Números Racionais são sempre decimais
exatos ou dízimas periódicas.
 Qualquer divisão resulta num decimal exato
ou numa dízima periódica

82
1) Quais dos números a seguir são irracionais?
2/3 0,1111..... 0,543456121212121...
0,142857142857142857..... 0,51551555155551....
√2 √5
3
√8
3
𝜋 5/4 √−2
Um dos números acima não é nem racional e nem irracional. Qual
deles?
O Número Pi
QUADRO
Um número muito famoso é o PI
O PI é um número irracional bem famoso que vimos
nos módulos 2 e 3
𝜋 = 3,14159265359 …
Pi é o quociente entre a circunferência e seu
diâmetro. Vale para qualquer circunferência
1) Calcule o comprimento de uma
circunferência:
a) cujo raio mede 10 cm.
b) cujo diâmetro mede 12 cm.
circunferência:
a) cujo raio mede 2 cm.
b) cujo diâmetro mede 5 cm.
3) Uma praça circular tem raio de 40 m.
Quantas metros anda uma pessoa quando dá
3 voltas na praça?
circunferência de raio= 10cm
5) Uma praça circular tem raio de 40m.
Quantos metros uma pessoa anda quando dá
três voltas na praça?
6) O raio da roda de uma bicicleta mede 25cm.
Qual o comprimento da circunferência da
roda?
7) O raio de uma praça circular mede 140m:
a) Quantos metros de tela de arame são
necessários para cercá-la?
b) Qual o custo dessa obra, se o metro linear
da tela de arame custa R$195,0?
8) O raio de uma circunferência mede 10 cm.
Determine o comprimento da circunferência?

83
9) Determine quantos metros,
aproximadamente, uma pessoa percorrerá se
der 8 voltas completas em torno de um
canteiro circular de 2 m de raio.
10) O pneu de um veículo, com 400 mm de
raio, ao dar uma volta completa, percorre
quantos metros aproximadamente?
11) Veja a charge abaixo:
A frase do estudante A+ ficaria correta se ele
acrescentasse uma palavra. Qual?
GABARITO
1) a) 𝐶 = 2𝜋𝑅 = 2 × 3,14 × 10𝑐𝑚 = 62,8𝑐𝑚
b) R=6 cm (metade do diâmetro)
𝐶 = 2𝜋𝑅 = 2 × 3,14 × 6𝑐𝑚 = 37,68𝑐𝑚
2) a) 𝐶 = 2𝜋𝑅 = 2 × 3,14 × 2𝑐𝑚 = 12,56𝑐𝑚
b) R=2,5 cm (metade do diâmetro)
𝐶 = 2𝜋𝑅 = 2 × 3,14 × 2,5𝑐𝑚 = 15,7𝑐𝑚
3) 𝐶 = 2𝜋𝑅 = 2 × 3,14 × 40 = 251,2𝑚
3 voltas são 3x251,2m=753,6m
4) Repetida (veja 1 a) 5) Repetida (veja 3)
6) 𝐶 = 2𝜋𝑅 = 2 × 3,14 × 25 = 157𝑐𝑚
7) a) 𝐶 = 2𝜋𝑅 = 2 × 3,14 × 140 = 879,2 𝑐𝑚
b) R$ 171.444,00 (que é o preço de um muro, pois arame não é possível ser!)
8) Repetida (veja 1 a)
9) 𝐶 = 2𝜋𝑅 = 2 × 3,14 × 2𝑐𝑚 = 12,56𝑐𝑚
12,56 x 8 = 100,48 m
Poderá percorrer 100,48m
10) 𝐶 = 2𝜋𝑅 = 2 × 3,14 × 400𝑚𝑚 = 2512 𝑚𝑚 = 2,512𝑚
11) Os números irracionais podem ser representados por fração. Eles não
podem ser representados por frações onde denominador e numerador são
números inteiros, pertencem ao conjunto ℤ.
A definição de um número racional é:
ℚ = {
𝑝
𝑞
; 𝑝 ∈ ℤ e 𝑞 ∈ ℤ∗}
Um número é irracional quando não é racional e é real, ou seja, representa uma
medida.
O que Johann Lambert provou em 1761, foi que pi é irracional pois não pode
ser expresso como a razão entre dois números INTEIROS. Entre dois números
quaisquer pode, como mostrou o futuro matemático:
𝜋
1
Analisando os números
Irracionais e o Teorema de
Pitágoras
QUADRO
O Teorema de Pitágoras apresenta várias aplicações
dos números irracionais e é um assunto
ESSENCIAL em toda Matemática Apresentamos
uma pequena lista de revisão e a parte teórica eu
sugiro que procurem na Internet.
Na aula, de outro submódulo, teremos um capítulo
inteiro sobre o Teorema de Pitágoras - a aula 19 -
ressaltando o uso dos radicais nos cálculos.
1) (CEDERJ) Há uma torre com 10 metros de
altura e em volta da torre há um canal com 3
metros de largura. Alguém precisa fazer uma
escada que passe por cima da água até ao topo
da torre.
A pergunta é: que comprimento deve ter a
escada?
2) (Colégio Melini) A figura mostra um edifício
que tem 15 m de altura, com uma escada colocada
a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. Qual
é o comprimento da escada?

84
3) (Colégio Melini) Quantos metros de fio são
necessários para "puxar luz" de um poste de 6 m
de altura até a caixa de luz que está ao lado da
casa e a 8 m da base do poste?
4) (Colégio Melini) O portão de entrada de uma
casa tem 4m de comprimento e 3m de altura. Que
comprimento teria uma trave de madeira que se
estendesse do ponto A até o ponto C?
5)(Colégio Melini) Durante um incêndio num
edifício de apartamentos, os bombeiros utilizaram
uma escada Magirus de 10 m para atingir a janela
do apartamento em chamas. A escada estava
colocada a 1 m do chão, sobre um caminhão que
se encontrava afastado 6 m do edifício. Qual é a
altura do apartamento em relação ao chão?
6) (Colégio Melini) Uma linha de transmissão de
energia elétrica, formada de dois cabos, será
construída sobre um morro, como na figura.
Aproximadamente, quantos metros de cabo serão
necessários nesse trecho?
7)(Colégio Melini) Qual deve ser a altitude do
balão para que sua distância ao topo do prédio
seja de 10 km?
8)(Colégio Melini) Nos telhados de dois edifícios
encontram-se duas pombas.
É atirado um pouco de pão para o chão: ambas as
pombas se lançam sobre o pão à mesma
velocidade e ambas chegam no mesmo instante
junto do pão.
a) A que distância do edifício B caiu o pão?
b) Qual a altura do edifício A?
9)(Colégio Melini) As extremidades de um fio de
antena totalmente esticado estão presas no topo
de um prédio e no topo de um poste,
respectivamente, de 16 e 4 metros de altura.
Considerando-se o terreno horizontal e sabendo-
se que a distância entre o prédio e o poste é de 9
m. Qual é o comprimento do fio?
10) (Colégio Melini) A Torre Eiffel é uma torre
treliça de ferro do século XIX localizada no Champ
de Mars, em Paris, que se tornou um ícone
mundial da França e uma das estruturas mais
reconhecidas no mundo. Nomeada em
homenagem ao seu projetista, o engenheiro
Gustave Eiffel, foi construída como o arco de
entrada da Exposição Universal de 1889. A torre
possui 324 metros de altura. Uma pomba voou em
linha reta do seu topo até o ponto M. A distância
do centro da base do monumento até o ponto M é
igual a 15 m, como mostra a ilustração abaixo.

85
Qual foi a distância, em metros, percorrida por
essa pomba?
Números Reais
QUADRO
Se juntarmos os números irracionais e os números
irracionais teremos um novo conjunto, o conjunto dos
números reais, que é o conjunto que representa
todas as medidas possíveis.
É o conjunto em correspondência biunívoca – um a
um – com os números da reta numérica. Todo ponto
da reta numérica equivale a um número real.
.ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
1) Complete:
ℝ ∗=______________________
ℝ+=______________________
ℝ−=______________________
ℝ+
∗
=______________________
ℝ−
∗
=______________________
6 ___ℕ 6___ℤ
6___ℚ 6___ ℝ
-6 ___ℕ -6___ℤ
-6___ℚ -6___ ℝ
2
3
___ℕ
2
3
___ℤ
2
3
___ℚ
2
3
___ ℝ
0,4___ℕ 0,4___ℤ
0,4___ℚ 0,4__ ℝ
0,222...___ℕ 0,222...___ℤ
0,222...___ℚ 0,222...___ ℝ
√2___ℕ √2___ℤ
√2___ℚ √2___ ℝ
𝜋___ℕ 𝜋 ___ℤ
𝜋 ___ℚ 𝜋 ___ ℝ
3) Em que conjuntos numéricos eu posso classificar
−
8
2
.
4) E possível efetuarmos alguma divisão de dois
números inteiros e resultar em 𝜋? Explique.
5)Preencha os símbolos ℕ, ℤ, ℚ, I e ℝ nos seguintes
diagramas de Venn e insira os seguintes números:
2 -5 0
2
3
1
1
2
√2 √49 𝜋
0,333.... 0,123456... 2,010010001... -
2
3
−√2
10
2
5) De um exemplo de número irracional:
a) entre 0 e 1
b) entre 1 e 2
c) entre 2 e 3
d) entre 3 e 4
6) Qual número é maior √10 ou π?
7) Efetue as operações com conjuntos:
a)ℝ⋃ℕ b)ℝ⋃ℤ
c)ℝ⋃ℚ d) ℝ⋃𝕀
e)ℝ⋂ℕ f) ℝ⋂ℤ
g) ℝ⋂ℚ h) ℝ⋂𝕀

86
A Reta Numérica e construções
– Números Irracionais
QUADRO
Para construir um segmento com EXATAMENTE √2
cm na reta numérica é necessário utilizarmos o
Teorema de Pitágoras, pois, esse número é
irracional.
Portanto, para localizarmos EXATAMENTE o
número √2 na reta numérica utilizamos o seguinte
procedimento.
É possível construirmos a raiz quadrada de qualquer
número natural utilizando o Teorema de Pitágoras:
Sendo a unidade o segmento de 0 a 1 marcado acima,
construa com régua e compasso NECESSARIAMENTE os
números e assinale ele na reta numérica. (Dica: você
também pode utilizar um triângulo de catetos 1 e 2).
a)√2
b) √5
Tópicos sobre Conjuntos
QUADRO
Os temas a seguir envolvem conceitos diferenciados
e você precisa de pouco para resolvê-los. No caso
de dúvida assista aos vídeos indicados.
Correção em Vídeo 2:27
Ex 1
https://youtu.be/8bTD45nz7eo
1) Liste os conjuntos:
a) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ/ −3 ≤ 𝑥 < 8}
b) 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/ −5 < 𝑥 ≤ 1}
c) 𝐶 = {𝑥 ∈ ℤ/ 𝑥 < 3}
d) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℤ/ 𝑥 ≥ −1}
e) 𝐸 = {𝑥 ∈ ℕ/ 𝑥 < 3}
Ex 2
https://youtu.be/n7ImJzvI0pE
2) Dados os conjuntos
a) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ/ −1 ≤ 𝑥 < 5}
e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/ −5 ≤ 𝑥 < 3}
Determine os intervalos equivalentes a:
A=
B=
𝐴 ∪ 𝐵=
𝐴 ∩ 𝐵=
𝐴 − 𝐵=
𝐵 − 𝐴=
b) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ/ −2 ≤ 𝑥 < 5}
e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/ −5 ≤ 𝑥 < 11}
A=
B=
𝐴 ∪ 𝐵=
𝐴 ∩ 𝐵=
𝐴 − 𝐵=
𝐵 − 𝐴=

87
c) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ/ −100 ≤ 𝑥 < 50}
e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/ −40 ≤ 𝑥 < 3000}
A=
B=
𝐴 ∪ 𝐵=
𝐴 ∩ 𝐵=
𝐴 − 𝐵=
𝐵 − 𝐴=
Correção alternativa 6:09
Ex 2 – item C
https://youtu.be/-UuAmx-GVxw
d) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ/ 0 ≤ 𝑥 < 5}
e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/ 5 ≤ 𝑥 < 9}
A=
B=
𝐴 ∪ 𝐵=
𝐴 ∩ 𝐵=
𝐴 − 𝐵=
𝐵 − 𝐴=
e) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ/ 0 ≤ 𝑥 < 5}
e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/ 5 < 𝑥 < 9}
A=
B=
𝐴 ∪ 𝐵=
𝐴 ∩ 𝐵=
𝐴 − 𝐵=
𝐵 − 𝐴=
Explicação Conjunto
Complementar 3:07
https://youtu.be/yMHH6JuloN0
QUADRO
Definimos Conjunto Complementar ∁𝐴
𝐵
= 𝐴 − 𝐵,
quando 𝐵 ⊂ 𝐴, em linguagem comum, “é o
quanto falta de B para virar A”
Fonte: Matika
Sendo 𝐴 = {0,1,2} e B={0,1,2,5,6}, então 𝐶𝐵
𝐴
=
𝐵 − 𝐴 = {5,6}, o que falta de A para virar B é
{5,6}: veja o desenho
Ex 3
https://youtu.be/psfPloe6d0U
3) a) Dado A={5,6,7,...,10} e B={5,6,7}, represente
em diagramas e diga qual é o conjunto
complementar é ∁𝐵
𝐴
.
b) Dado A={1,3,4,7,9} e B={4,7}, represente em
diagramas e diga qual é o conjunto complementar
é ∁𝐵
𝐴
.
Ex 4
https://youtu.be/Hbvi_oynYCw
4) (Prof. Walter
Tadeu – Colégio
Pedro II – 1ª
Série EM) Faça o
diagrama dos
conjuntos A = {1, 2,
3} e B = {2, 3, 4, 5,
6}:
Enumere os
conjuntos:
a) L = A U B
b) M = A ∩ B
c) N = A – B
d) O = B – A
Ex 5
https://youtu.be/6QjZqyap9gk

88
5) (Prof. Walter Tadeu – Colégio Pedro II – 1ª
Série EM) Faça o diagrama dos conjuntos A = {1, 2, 3,
4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e C = {11, 12, 13}:
a) X = A U B
b) Y = A ∩ B
c) Z = A U C
d) W = A ∩ C
e) P =
A
B
C
f) U =
B
A
C
g) K = (A U C) – B
h) T = B – (A ∩ C)
i) V =
B
A
A
C 
Ex 6
https://youtu.be/reSdBXDjqTk
6) Defino a diferença simétrica A▲B por:
𝐴∆𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵)
a) Dados:
X={1,2,3,4} e Y={2,4,6,8}
Determine X▲Y
b) A={1,2,3,4,5} B={2,4,5} C={1,3,7}
Ache:
A▲B
A▲C
B▲C
b) Represente em diagramas X e Y do item “a” e
pinte as regiões de X▲Y
C) Hachure A▲B
d) Mostre que A▲B=(A-B)∪(B-A) com um
exemplo.
Lista Adicional com esses
temas - aprenda 15:47
https://youtu.be/Pl2F_BMHLL8
7) Hachure conforme o pedido, escrevendo de
forma simplificada quando possível:
a)𝐴 − 𝐵
b) 𝐵 − 𝐴
c) (𝐴 ∪ 𝐵) − 𝐴
d) (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵)
e) (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴)

89
8) Verifique usando diagramas que
(𝐴 ∪ 𝐵) − 𝐴 = 𝐵
9) Escreva uma expressão para os
diagramas:
10)Quando supomos que é dado um conjunto
universo S, o conjunto complementar 𝐶𝐴
𝑆
é
chamado simplesmente de 𝐴𝑐
a) Sendo o conjunto dos números naturais ℕ
o conjunto universo e P o conjunto dos
números pares, qual conjunto é 𝑃𝑐
?
b) Considere o conjunto universo como o
conjunto dos números reais ℝ, qual é o
conjunto ℚ𝑐
?
c) Sendo os seres humanos o conjunto
universo e o conjunto A dos maiores de 18
anos, o que é o conjunto 𝐴𝑐
?
d) Hachure 𝐴𝑐
10) Verifique a validade da seguinte relação:
Imagem do Youtube
Resolvido pelo PASSEI DIRETO:
Alternativamente usa-se 𝐴′ ou 𝐴̅ para achar o
conjunto complementar
11) Verifique que a propriedade da
INDEPOTÊNCIA vale para as operações de
união e intersecção de conjuntos, ou seja:
𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴
𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴
12) Usando diagramas prove a validade da
propriedade distributiva:
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
Hachure 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)
Hachure (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

90
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
Hachure 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)
Hachure (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
Verifique as duas propriedades distributivas com a
igualdade dos pares de diagramas
13) Verifique a validade para UNIÃO e
INTERSECÇÃO das propriedades:
a) Comutativa
b) Associativa
c) Elemento Neutro
d)Distributiva da União em relação à Intersecção
e) Distributiva da Intersecção em relação à União
f) Indepotência (pesquise!)
14) Verifique que
(𝐴𝑐
)𝑐
= 𝐴
15) Hachure:
a)A-B
b) B-A
c) (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐶)
d)(𝐴 − 𝐵) ∩ (𝐵 − 𝐶)
e)(𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐵 ∪ 𝐶)
f)(𝐴 ∩ 𝐵) − (𝐵 ∩ 𝐶)
g)(𝐴 ∪ 𝐵) − 𝐵
QUADRO
Todos esses temas serão aprofundados no
PODEMOS J

91
5.1 AULA 10 – Potência de Expoente Fracionário
O tema que se segue é uma tema esclarecedor, mas é um tema objetivo e
curto. A aula 10 pertence em geral ao 2º encontro presencial do PODEMOS.
Você vai notar que o 1º encontro é gigante e os outros dois seguintes são
menores (o que permite revisar o encontro anterior).
É preciso de muito estudo! Ninguém vence na vida sem muito esforço. Alguns
pais acham que deve evitar e buscar o equilíbrio. Cuidado! Tudo na vida exige
muito esforço, dedicação, tempo e muitas horas de estudo!
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o xxxx
atividade.
Potência de Expoente Fracionário
QUADRO
Podemos afirmar que:
𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎𝑚
𝑛
Isso vale para qualquer a positivo e n≠0.
Vale uma regra mnemônica:
m está por cima! (está bem!)
então
m está por dentro!
E
n está por baixo! (está mal!)
então
m está por fora!
Mas o que explica isso? Usando as propriedades
𝑎
𝑚
𝑛 =
⏞
𝑅1⇐
√(𝑎
𝑚
𝑛 )
𝑛
𝑛
=
⏞
𝑃3
√𝑎
𝑚∙𝑛
𝑛
𝑛
= √𝑎𝑚
𝑛
(Existem outras explicações)
1) Escreva em forma de potência com expoente
fracionário:
a)√22
3
b) √𝑎3
5
c) √5 d) √𝑥3
4
e) √2
3
f) √𝑎
g) √𝑥 h) √𝑎
4
i) √𝑥5
6
j) √53
Lembre-se que na ausência de índice ele é 2 e na ausência de
expoente ele é 1. Então √𝑥 = √𝑥1
2
= 𝑥
1
2
l)
1
√3
= √
1
3
= √3−1
Você pode fazer direto, sem as transformações acima!
m)
1
√4
3
n)
1
√𝑎3
5

92
2) Escreva na forma de radical (simplifique, e não
escreva 1 no expoente e 2 no índice quando for o
caso):
a) 2
3
4 b)3
1
4
c) 5
2
3 d) 2
1
2
e) 𝑎
1
3 f) 𝑥
3
2
g) 𝑎
1
2 h) 𝑥
2
3
i) 8−
1
2 j) (𝑎3
𝑏)
1
4
k) 𝑚−
3
4 l) 5
4
3
m) 6
5
2
3) Fatore os radicandos e escreva na forma de
potência com expoente fracionário:
a)√32
3
Por exemplo, 32=25
(após fatoração) Então trocamos 32 por 25
.
Efetue os cálculos das fatorações em um rascunho
b) √25
3
c)√27
4
d) √125
4
e) √8
7
f) √512
8
g) √32
h) √216
3
No caso do 216, você vai fatorar e encontrar 23
33
. Isso é o mesmo
que 63
certo?
QUADRO
Como eu calcularia?
a) 𝟑𝟐
𝟑
𝟓
32
3
5 = √323
5
= √32768
5
= 8
Difícil, não?
Então você pode usar uma estratégia mais
eficaz:
32
3
5 = √323
5
= (√32
5
)
3
= 23
= 8
Você entendeu? Você pode fazer direto
√323
5
b) 𝟏𝟒𝟒𝟏,𝟓
Antes de fazer o cálculo, converta o 1,5 em
fração, ou seja 1,5 =
3
2
. Portanto:
𝟏𝟒𝟒𝟏,𝟓
= 𝟏𝟒𝟒
𝟑
𝟐 = √𝟏𝟒𝟒𝟑 = 𝟏𝟐𝟑
= 𝟏𝟕𝟐𝟖
c) 𝟐𝟓−
𝟏
𝟐
Esse é bem simples:
𝟐𝟓−
𝟏
𝟐 = √𝟐𝟓−𝟏 = 𝟓−𝟏
=
𝟏
𝟓
4) Calcule as potências:
a)25
1
2
b) 125
2
3
c)81−
1
4
d)810,75
e) 640,666…
f) 4−0,333…
g) 5
2
3
h) 90,5
i) 6−0,1
j) 8
2
3
k) 27
1
3
l) 49−
1
2
m) 0
3
4
n) 1
3
5
o) 80,666…
p) 10240,1

93
QUADRO
Você já percebeu?
𝟒𝟗
𝟏
𝟐 = √𝟒𝟗
𝟔𝟒
𝟏
𝟐 = √𝟔𝟒
𝒙
𝟏
𝟐 = √𝒙
𝟏𝟎𝟎𝟎,𝟓
= √𝟏𝟎𝟎
Portanto:
Elevar um número a ½ ou 0,5 é o mesmo que
tirar sua raiz quadrada!
5) Calcule mentalmente (direto):
a)144
1
2 b) 36
1
2
c) 121
1
2 d) 400
1
2
e) 90,5
f) 1690,5
g) 160,5
h) (
36
25
)
0,5
i) 9−
1
2 j) 8
1
2
Expoente -1/2 resulta no inverso da raiz quadrada
6) Efetue e racionalize o denominador da
resposta:
3−
1
2
7) Quanto vale 1251
1
3?
8) Mostre que √8 = 2√2 usando expoente
fracionários.
QUADRO
Quando o expoente é fracionário e maior que
1, podemos fazer o seguinte “truque”:
125
4
3 = 1251+
1
3 = 125√125
3
= 125 ∙ 5 = 625
Isso não adiantou nada, mas resolve para casos
como
2
3
2 = 21+
1
2 = 2 ∙ 2
1
2 = 2√2
9) Vimos que 2
3
2 = 21+
1
2 = 2 ∙ 2
1
2 = 2√2.
Por outro lado 2
3
2 = √23 = √8 = 2√2.
Faça o mesmo, das duas formas, com:
a) 3
3
2
b) 5
4
3
QUADRO
As mesmas propriedades das potências
para expoentes inteiros valem para
expoentes racionais:
P1 𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚+𝑛
P2
𝑎𝑚
𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
(𝑎 ≠ 0)
P3 (𝑎𝑚
)𝑛
= 𝑎𝑚𝑛
P4 (𝑎𝑏)𝑛
= 𝑎𝑛
𝑏𝑛
P5 (
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛 (𝑏 ≠ 0)
Só que nunca se esqueça que para somar
frações precisamos “achar o mínimo” (sic)
Ex: 5
1
25
2
3 = 5
1
2
+
2
3 = 5
3+4
6 = 5
7
6
10) a)Verifique, usando expoentes fracionários,
que √ √𝑥
𝑚
𝑛
= √𝑥
𝑛𝑚
para 𝑥 positivo
b) Verifique com expoentes fracionários √𝑥𝑚
𝑛
=
√𝑥𝑚𝑝
𝑛𝑝
para 𝑥 > 0 e 𝑝 ≠ 0.
11) Você já notou que 𝑥
1
3 = 𝑥0,333…
= √𝑥
3
?
Com base nisso, calcule:
a)27
1
3 b) 125
1
3
c) 216
1
3 d) 729
1
3
e) 640,333…
f) 13310,333…
g) 8−
1
3 h) 50,333…

94
12) Calcule e racionalize o denominador:
20,666…
13) Calcule e simplifique ao máximo
8
5
3
14)Reduza a uma só potência. Suponham
satisfeitas as condições de existência.
a)2
1
3 ∙ 2
1
4
b) 𝑎
2
3 ∙ 𝑎
1
2
c) 5
1
2 ∙ 5
3
2
d)2
1
3: 2
1
4
e)𝑎
4
5:𝑎
2
3
f)𝑎 ∙ 𝑎
1
3
g) 62
∙ 6
1
2 ∙ 6
1
3
h) 𝑥 ∙ 𝑥
2
3 ∙ 𝑥
1
2
i) (12
1
2)
4
3
j) (5
3
7)
7
2
k) 𝑥−
1
3 ∙ 𝑥−
2
5
l) 𝑥0,5
∙ 𝑥
É necessário relembrar as operações com frações, que percorrem
toda Educação Básica e foram estudadas detalhadamente no
PODEMOS B1
QUADRO
Calculando raízes na calculadora e celular
É muito comum calculadoras não possuírem
teclas para calcular raízes de índice diferente de
2 (algumas calculadoras tem tecla para raiz
cúbica também).
Para calcular √2
3
podemos usar a tecla de
potência, em geral representada por ^, e efetuar
2 ^ (1/3).
A calculadora fx-82, uma das calculadoras
científicas mais simples, que custa entre 2 e 3
dólares americanos, tem uma tecla:
Você pode usar + para calcular
direto a raiz. O Shift ativa a escrita em cima da tecla.
Para raízes cúbicas há a tecla (tem que ser
precedida de SHIFT)
Porém, na calculadora padrão de celulares
Motorola, Lenovo e Samsung não há botão de
raiz n-ézima:
Tela da parte científica da calculadora do Moto
G 5
Nesse caso:
a)√5
3
digita-se 5 ^ (1/3)
b) √13
7
digita-se 13 ^ (1/7)
15) Usando a calculadora do seu celular,
calcule com 4 dígitos após a vírgula. Não esqueça
de fazer o arredondamento (5º dígito após a
vírgula maior ou igual a 5, você soma 1 ao 4º
dígito):
a) √5
3
b) √13
7
c) √7
5
d) √11
8
e) √137
3
f) √1536
11
g) √1,036
36
h) √0,003
3

95
16) Calcule:
a)11,942
b)064,355
17)(SCHULTZ, 2004) Usando uma calculdadora,
determine, com uma casa decimal:
a)166,05
+ 8,83,24
b)3,32,7
− 51,9
+ 0,630,095
c)0,00521,53
+ 9,050,034
d)71,330,44
+ 478,20,4
e)11,70,6
+ 29,31,23
− 6−2,2
f)893,5
− 5,259,25
+ 3240,05
17) Ainda não definimos potência de expoente
irracional, mas quanto você acha que vale? Faça
conjecturas:
a)0√3 b)(5√3)
√3
18) Será possível 0−4
? Explique
19) Quanto vale:
a)32
1
5 b)𝑥
1
2 ∙ 𝑥
1
2 c)
𝑥
3
2
√𝑥
20) (Vestibular da FATEC – 1o
semestre/2004) Se x e y são
números reais tais que   25
,
0
25
,
0
x  e
125
,
0
16
y 
 , é
verdade que:
a) y
x 
b) y
x 
c) 2
2
y
.
x 
d) y
x  é um número irracional.
e) y
x  é um número racional não inteiro.
21) (Exame de Seleção do Coluni/UFV – 2000) Considere as
igualdades abaixo:
I )
10
10
1
10
10
10
3
3
2
1
2
3
1











 
II ) 0,0317 = 31,7 x 10-2
III ) 5
4
3 2
2


IV ) 5
2
3 

Pode-se afirmar corretamente que:
a) apenas I e III são verdadeiras.
b) apenas II e IV são verdadeiras.
c) todas são falsas.
d) apenas I é verdadeira.
e) todas são verdadeiras.
22) (Concurso de Professor de Matemática Ensino Médio –
Governo do Estado de Minas Gerais/2001) Se a=1,555....,
b=0,777.... e c=1,777..., então ab-1
+c1/2
é igual a:
a) 10/3 b) 11/6 c) 80/99 d) 1
Se você marcou X na questão certa e não apresentou os cálculos,
volte e refaça! Não tem qualquer sentido só marcar a resposta! Em
provas objetivas você não precisa mostrar os cálculos, mas precisa
fazê-los para chegar na resposta!
23) (Olimpíada Paulista de Matemática – 2ª Fase – 8ª série – 1995)
(Lembre-se: se a base de uma potência for maior do que 1, quanto
maior for o expoente, maior ela será.)
Coloque os seguintes números em ordem crescente:
3 2
2
3
4 5
8
3
3 1
4
8
9
,
3
,
3
,
1
,
3
,
27
,
9
,
3


.
24) Qual das versões está certa? Explique.
4
)
4
(
)
4
(
2
16
)
4
(
)
4
(
4 2
4
/
2
4
4 2
4
/
2










25)(UBERLÂNDIA) Sabendo que a e b são números reais e que as
raízes indicadas existem em ℝ, qual das seqüências de igualdade é
errada:
 
 
a)
1
a b
a b
b) a a a a
c) 2 2
d)
2
b
2 b 2
1
2
2b
e) a a
3 2
-3 -2
1
2
3
1
3
1
3
1
2 1
6
3
1
12
3
1
3 3
1
3
3
1
2 3

 
 





 

  

 
26)(UFRN) 13 7 2 4
   é igual a:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
De fato não há expoente inteiro negativo nessa questão!
27) (Concurso de Professor de Matemática 5ª à 8ª série –
Governo do Estado de Minas Gerais/1992)
6
2
3
3
2 2
1
3 6

 . O
valor desta expressão é:
a) 4 b) 2- 3 c) 4+ 3 d) 4- 3 e) 3
2 
28) (Olimpíada Paulista de Matemática – 2ª Fase – 8ª série –
1992) a) Determine o número racional a que satisfaz:
3
27
1
75
1
a


b) Determine a e b (racionais) tais que
3
3
3
4
6
6
8
b
a 




.
29) (UnB) A expressão (21/2
)-1/2
equivale a:
a) 2 b) 2
4
c)
1
2
d)
1
2

96
B5.2 AULA 11 – MMC/MDC de Polinômios
Encontrar o MMC e o MDC de Polinômios é fundamental para calcular a soma
e a diferença enre frações algébricas. Além disso, é essencial para resolver
equações fracionárias.
É preciso que você lembre e entenda o MMC e o MDC de números: sem a
consolidação desses conceitos fica bem complexo dar continuidade aos
conceitos matemáticos.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o MMC e MDC de Monômios e Polinômios
atividade.
MMC e MDC
QUADRO
Todos nós já aprendemos a achar MMC e MDC
de números naturais.
Nesse tópico vamos aprender a achar MMC e
MDC de monômios e polinômios, que é um
assunto básico para podermos somar e subtrair
frações algébricas.
O MMC é o mínimo múltiplo comum de dois
números – o próprio nome já dá o significado do
que seja. O MDC é o máximo divisor comum de
dois números.
Para acharmos o MMC e o MDC há vários
métodos (listagem, fatoração, fatoração
simultânea, algoritmo de Euclides), porém, para
calcularmos o MMC e o MDC de monômios e
polinômios usaremos apenas o método da
fatoração.
Note que fatoração aqui pode ser entendida
como fatoração de números (decomposição em
fatores primos) como fatoração de polinômios,
mostrando a unificação dos dois assuntos.
Decompostos os números, polinômios ou
monômios,
MDC – escolho os menores expoentes (necessário
ter o número em ambos os números, monômios ou
polinômios)
MMC – escolho os maiores expoentes
Exemplos:
a) 24
∙ 53
∙ 𝑎4
∙ 𝑏 e 25
∙ 52
∙ 𝑏3
MDC = 24
∙ 52
∙ 𝑏
MMC = 25
∙ 53
∙ 𝑎4
∙ 𝑏3
b) (𝑥 + 4)(𝑥 − 4)2
e 5(𝑥 − 4)3
MDC = (𝑥 − 4)2
MMC = 5(𝑥 + 4)(𝑥 − 4)3
Quando não há nenhum fatora comum, o MDC
é 1, e dizemos que os números, monômios ou
polinômios são primos entre si.

97
Vale a pena rever os assuntos MDC e MMC
de números naturais, que constam também
dos módulos E2 e de forma aprofundada em
B11.
EXERCÍCIO
1) Calcule o MDC e MMC dos seguintes números,
usando o método da fatoração: não use outro método!
a)300 e 504
Fatorando:
MDC=
MMC=
b)18 e 120
Fatorando:
MDC=
MMC=
c)100 e 20
Fatorando:
MDC=
MMC=
d)5 e 4
Fatorando:
MDC=
MMC=
MMC e MDC de Monômios
QUADRO
Exemplo 1
18𝑎3
𝑏𝑐2
e 24𝑎𝑏3
𝑐4
𝑑
Fatorando 18 = 2 ∙ 32
e 24 = 23
∙ 32
Portanto as formas fatoradas são
2 ∙ 32
∙ 𝑎3
∙ 𝑏 ∙ 𝑐2
23
∙ 32
∙ 𝑎 ∙ 𝑏3
∙ 𝑐4
∙ 𝑑
MDC – escolho os menores expoentes (necessário
ter o número em ambos os monômios)
2 ∙ 32
∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐2
= 6𝑎𝑏𝑐2
MMC – escolho os maiores expoentes
23
∙ 32
∙ 𝑎3
∙ 𝑏3
∙ 𝑐4
∙ 𝑑 = 72𝑎3
𝑏3
𝑐4
𝑑
Exemplo 2
45𝑥5
𝑦; 60𝑥2
𝑦3
𝑧 e 54𝑎2
𝑏𝑥3
Colocando na foram fatorada:
45𝑥5
𝑦 = 32
∙ 5 ∙ 𝑥5
∙ 𝑦
60𝑥2
𝑦3
𝑧 = 22
∙ 3 ∙ 5 ∙ 𝑥2
∙ 𝑦3
∙ 𝑧
54𝑎2
𝑏𝑥3
= 2 ∙ 33
∙ 𝑎3
∙ 𝑏 ∙ 𝑥3
MDC = 3 ∙ 𝑥2
= 3𝑥2
MMC = 22
∙ 33
∙ 5 ∙ 𝑎2
∙ 𝑏 ∙ 𝑥5
∙ 𝑦3
∙ 𝑧 =
540𝑎2
𝑏𝑥5
𝑦3
𝑧
Exemplo 3
5𝑥2
; 24𝑎𝑥 e 16𝑦4
𝑧
Colocando na forma fatorada
5𝑥2
= 5𝑥2
24𝑎𝑥 = 23
∙ 3 ∙ 𝑎 ∙ 𝑥
16𝑦4
𝑧 = 24
∙ 𝑦4
∙ 𝑧
MDC =1 (pois não há nenhum fator comum)
MMC = 24
∙ 3 ∙ 5 ∙ 𝑎 ∙ 𝑥2
∙ 𝑦4
∙ 𝑧 = 240𝑎𝑥2
𝑦4
𝑧
EXERCÍCIOS
(Ismael Reis) Ache o MMC e o MDC dos seguintes
monômios
a) 4𝑎3
𝑏2
e 18𝑎𝑏3
𝑐
Fatorando:
MDC=
MMC=

98
b)3𝑚3
𝑛 e 15𝑚2
𝑛3
Fatorando:
MDC=
MMC=
c) 12𝑥4
𝑦3
𝑧 e 30𝑥𝑦2
𝑧4
Fatorando:
MDC=
MMC=
d) 7𝑎𝑥2
; 49𝑎3
𝑥 e 28𝑥6
Fatorando:
MDC=
MMC=
e) 16𝑥𝑦4
; 32𝑎𝑥4
e 15𝑎2
𝑏
Fatorando:
MDC=
MMC=
f) 𝑎2
𝑏; 4𝑎𝑏; 𝑎𝑏3
e 10𝑎
Fatorando:
MDC=
MMC=
g) 40𝑎2
𝑥; 72𝑎𝑏𝑥2
e 60𝑥3
Fatorando:
MDC=
MMC=
h) 5𝑥3
; 12𝑥𝑦; 50𝑥𝑦2
e 60𝑦2
Fatorando:
MDC=
MMC=
i) 12𝑎; 25𝑎𝑥2
; 20𝑎2
e 75𝑎𝑥
Fatorando:
MDC=
MMC=
j) 9𝑎2
𝑚𝑛3
; 36𝑎𝑚2
𝑛4
;45𝑚 e 18𝑚3
𝑛5
Fatorando:
MDC=
MMC=
k) 𝑎𝑚
𝑏𝑚
; 𝑎𝑚
𝑏2𝑚
; 𝑎2𝑚
𝑏4𝑚
𝑥𝑛
Fatorando:
MDC=
MMC=

99
Gabarito:
a) MDC: 2ab² MMC: 36a³b³c b) MDC: 3m²n MMC: 15m³n³
c) MDC: 6xy²z MMC: 60x4y3z4 d) MDC: 7x MMC: 196a3x6
e) MDC: 1 MMC: 480a2bx4y4 f) MDC: a MMC: 2a²b³
g) MDC: 4x MMC: 360a²bx³ h) MDC: 1 MMC: 300x³y²
i) MDC: a MMC: 300a²x² j) MDC: 9m MMC: 180a²m³n5
k) MDC: ambm MMC: a2mb4mxn
MMC e MDC de Polinômios
QUADRO
Exemplo 1
3𝑎2
− 6𝑎𝑏; 12𝑎2
− 48𝑏2
e 𝑎2
− 4𝑎𝑏 + 4𝑏2
Primeiramente eu tenho que FATORAR
COMPLETAMENTE os polinômios, segundo as regras
de fatoração já aprendidas:
3𝑎2
− 6𝑎𝑏 = 3𝑎(𝑎 − 2𝑏) = 3 ∙ 𝑎 ∙ (𝑎 − 2𝑏)
12𝑎2
− 48𝑏2
= 12(𝑎2
− 4𝑏2)
= 12(𝑎 − 2𝑏)(𝑎 + 2𝑏)
= 22
∙ 3 ∙ (𝑎 − 2𝑏) ∙ (𝑎 + 2𝑏)
𝑎2
− 4𝑎𝑏 + 4𝑏2
= (𝑎 − 2𝑏)2
(Usamos FATOR COMUM, FATOR COMUM +
DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS, TRINÔMIO
QUADRADO PERFEITO)
MDC = (𝑎 − 2𝑏)
MMC = 23
∙ 3 ∙ 𝑎 ∙ (𝑎 − 2𝑏)2(𝑎 + 2𝑏) = 12(𝑎 −
2𝑏)2
(𝑎 + 2𝑏)
Exemplo 2
𝑥2
− 7𝑥 + 12; 2𝑥3
− 18𝑥 e 15𝑥4
− 45𝑥3
Fatorando:
𝑥2
− 7𝑥 + 12 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 4)
= (𝑥 − 3) ∙ (𝑥 − 4)
2𝑥3
− 18𝑥 = 2𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
= 2 ∙ 𝑥 ∙ (𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 3)
15𝑥4
− 45𝑥3
= 3 ∙ 5 ∙ 𝑥3
∙ (𝑥 − 3)
MDC = (𝑥 − 3) = 𝑥 − 3
MMC = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 𝑥3
∙ (𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 4) =
30𝑥3(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)(𝑥 − 4)
Exemplo 3
𝑥2
− 10𝑥 + 25 e 𝑥2
− 4
Fatorando
𝑥2
− 10𝑥 + 25 = (𝑥 − 5)2
𝑥2
− 4 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
MDC = 1
MMC = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 5)2
EXERCÍCIOS
1)(Edwaldo Bianchini) Encontre o MMC e o MDC dos
polinômios a seguir
a) 9𝑎 e 𝑎2
+ 𝑎𝑏
Fatorando:
MDC=
MMC=
b) 𝑎𝑥 + 𝑎𝑏 e 𝑥2
− 𝑏2
Fatorando:
MDC=
MMC=
c) 4𝑥2
e 𝑥2
− 2𝑥
Fatorando:
MDC=
MMC=
d) 2𝑎 + 2 e 5𝑎 + 5
Fatorando:
MDC=
MMC=
e) 4𝑥2
+ 12𝑥𝑦 + 9𝑦2
e 4𝑥 + 6𝑦
Fatorando:
MDC=
MMC=
f) 𝑥2
− 4 e 2𝑥 − 4
Fatorando:
MDC=
MMC=

100
g) 𝑥2
+ 2𝑥 + 1; 𝑥2
− 1 e 2𝑥 + 2
Fatorando:
MDC=
MMC=
h) 𝑎2
− 𝑎𝑏; 𝑎2
− 𝑏2
; 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Fatorando:
MDC=
MMC=
i) 𝑥2
+ 3𝑥 e 𝑥2
− 6𝑥 + 9
Fatorando:
MDC=
MMC=
j) 3𝑥2
− 15𝑥; 𝑥2
− 25 e 2𝑥 − 10
Fatorando:
MDC=
MMC=
GABARITO
a) MDC: a MMC: 9a(a+b)
b) MDC: x+b MMC: a(x+b)(x-b)
c) MDC: x MMC: 4x²(x-2)
d) MDC: a+1 MMC: 10(a+1)
e) MDC: 2x+3y MMC: 2(2x+3y)²
f) MDC: x-2 MMC: 2(x+2)(x-2)
g) MDC: x+1 MMC: 2(x+1)²(x-1)
h) MDC: a-b MMC: a(a+b)(a-b)²
i) MDC: 1 MMC: x(x+3)(x-3)²
j) MDC: x-5 MMC: 6x(x-5)(x+5)
2)O MMC das expressões 6𝑎2
𝑏𝑝
𝑐 e 9𝑎𝑏𝑐𝑞
é
18𝑎2
𝑏4
𝑐3
. Então p e q valem quanto?
3)O MDC das expressões 10𝑥2
𝑦𝑝
e 15𝑥𝑞
𝑦4
é 5𝑥𝑦2
.
Então p e q valem quanto?
(Ismael Reis) Encontre o MMC e o MDC dos polinômios a seguir
a) 9𝑎 e 3𝑎2
− 6𝑎
b) 𝑎𝑏 e 𝑎2
− 𝑎𝑏
c) 𝑥2
− 16 e 𝑥 + 4
d) 2𝑥 − 6 e 𝑥2
− 6𝑥 + 9
e) 𝑎𝑏 − 3𝑎𝑦 + 2𝑏 − 6𝑦 e 𝑏2
− 9𝑦2
f) 𝑥 + 2; 𝑥 − 2 e 𝑥2
− 4
g) 𝑥 e 𝑥 + 𝑦
h) 𝑥2
− 1; 𝑥2
− 2𝑥 + 1 e 𝑥2
− 𝑥
i) 𝑦2
+ 4𝑦 + 4; 𝑦2
− 4 e 2𝑦 + 4
GABARITO
a) MDC: 3a MMC: 9a(a-2)
b) MDC: a MMC: ab(a-b)
c) MDC: x+4 MMC: (x-4)(x+4)
d) MDC: x-3 MMC: 2(x-3)²
e) MDC: b-3y MMC: (a+2)(b-3y)(b+3y)
f) MDC: 1 MMC: (x+2)(x-2)
g) MDC: 1 MMC: x(x+y)
h) MDC: x-1 MMC: x(x+1)(x-1)2
i) MDC: y+2 MMC: 2(y+2)2(y-2)
j) MDC: a-b MMC: ax(a+b)(a-b)2
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO (Necessário ter feito o
aprofundamento da AULA 5 para conseguir fazer – 5º ao 7º casos de
fatoração)
a) 𝑥3
− 𝑦3
e 𝑥2
− 𝑦2
b) 𝑥3
+ 8 e 𝑥2
+ 4𝑥 + 4
c) 𝑥2
+ 8𝑥 + 15 e 𝑥2
+ 3𝑥
d) 𝑥2
− 5𝑥 − 14 e 𝑥2
− 4
e) 𝑥2
+ 2𝑥 − 3 e 𝑥3
− 1
f) 𝑥2
− 𝑥 + 1 e 𝑥3
+ 1
g) 𝑎2
+ 𝑎𝑏 e 𝑎3
+ 𝑏3
h) 𝑎2
+ 3𝑎 − 10; 𝑎2
− 4 e 𝑎2
− 2𝑎
GABARITO
c) MDC: x+3 MMC: x(x+3)(x+5)
g) MDC: a+b MMC: a(a+b)(a²-ab+b²)
h) MDC: a-2 MMC: a(a-2)(a+2)(a+5)

101
B5.3 AULA 12 – Intervalos
Intervalos são "pedaços" da reta numérica, são conjuntos de infinitos
números reais. A compreensão de intervalos é fundamental ao aprendizado
de funções e de inequações.
É preciso tentar aprender 100% de cada aula, não deixando para trás nenhum
conhecimento, ficar atento aos detalhes, entender os conceitos e raciocinar
sobre eles.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o INTERVALOS
o OPERAÇÕES COM INTERVALOS
atividade.
Intervalos
QUADRO
O QUE SÃO INTERVALOS?
Intervalos são conjuntos dos infinitos números reais
entre dois números reais, maiores eu um número ou
menores eu um número.
O conjunto dos números maiores eu 7 é um intervalo.
O conjunto dos números entre 4 e 5 é um intervalo.
Existem infinitos números reais entre os números
reais x e y. O número
𝑥+𝑦
2
é o ponto médio do intervalo
(e a média aritmética de x e y).
Intervalos são subconjuntos contínuos e
infinitos de números reais. Dado um intervalo X,
sabemos que:
𝑋 ⊂ ℝ
INTERVALOS FINITOS
Intervalo aberto
5 < 𝑥 < 8
Intervalo fechado
3 ≤ 𝑥 ≤ 6
Intervalo semi-aberto à direita
3 ≤ 𝑥 < 6
Intervalo semi-aberto à esquerda
4 < 𝑥 ≤ 7

102
INTERVALOS INFINITOS
Intervalo aberto decrescente
𝒙 < 𝟔
Intervalo fechado decrescente
𝒙 ≤ 𝟔
Intervalo aberto crescente
𝒙 > 𝟓
Intervalo fechado crescente
𝒙 ≥ 𝟓
INTERPRETANDO O SIGNIFICADO DAS
“BOLINHAS”
A bolinha ABERTA – o número não pertence ao
intervalo! Mas um infinitésimo antes ou depois do
números (conforme ao caso), pertence.
A bolinha FECHADA - o número pertence ao
intervalo.
É importantíssimo observar que a bolinha significa
no Intervalo. Em alguns casos, só se consegue
resolver o exercício se você ENTENDER o
significado da bolinha.
NOTAÇÃO DE INTERVALOS
Há três maneiras de representar um intervalo, além
de sua representação geométrica:
Intervalo aberto
5 < 𝑥 < 8
Notação de conjuntos: {𝑥𝜖ℝ|5 < 𝑥 < 8}
Notação de colchetes: ]5,8[
Notação de parênteses/colchetes: (5,8)
Intervalo fechado
3 ≤ 𝑥 ≤ 6
Notação de conjuntos: {𝑥𝜖ℝ|3 ≤ 𝑥 ≤ 6}
Notação de colchetes: [3,6]
Notação de parênteses/colchetes: [3,6] (idêntica)
Intervalo semi-aberto à direita
3 ≤ 𝑥 < 6
Notação de conjuntos: {𝑥𝜖ℝ|3 ≤ 𝑥 < 6}
Notação de colchetes: [3,6[
Notação de parênteses/colchetes: [3,6)
Intervalo semi-aberto à esquerda
4 < 𝑥 ≤ 7
Notação de conjuntos: {𝑥𝜖ℝ|4 < 𝑥 ≤ 7}
Notação de colchetes: ]4,7]
Notação de parênteses/colchetes: (4,7]
INTERVALOS INFINITOS
Intervalo aberto decrescente
𝒙 < 𝟔
Notação de conjuntos: {𝑥𝜖ℝ|𝒙 < 𝟔}
Notação de colchetes: ] − ∞, 6[
Notação de parênteses/colchetes: (−∞, 6)
Intervalo fechado decrescente
𝒙 ≤ 𝟔
Notação de conjuntos: {𝑥𝜖ℝ|𝒙 ≤ 𝟔}
Notação de colchetes: ] − ∞, 6]
Notação de parênteses/colchetes: (−∞, 6]
Intervalo aberto crescente
𝒙 > 𝟓
Notação de conjuntos: {𝑥𝜖ℝ|𝒙 > 𝟓}
Notação de colchetes: ]5, +∞[
Notação de parênteses/colchetes: (5, +∞)
Intervalo fechado crescente
𝒙 ≥ 𝟓
Notação de conjuntos: {𝑥𝜖ℝ|𝒙 ≥ 𝟓}
Notação de colchetes: [5, +∞[
Notação de parênteses/colchetes: [5, +∞)
Observação: | é lida como “tal que”, e
eventualmente pode ser substituída por “;” ou
por “tq”.
Vamos entender essa notação!
Note que a diferença da notação de colchetes para a
notação de parênteses está apenas na “bolinha
aberta”.
Na notação de parênteses, a bolinha aberta é
representada por parênteses e a fechada por
colchetes.
A bolinha aberta indica que o número NÃO
PERTENCE ao intervalo, mas apenas os números
nas vizinhanças de onde está a bolinha.
Note que para “bolinha aberta” temos < ou > e para
bolinha fechada usamos ≤ ou ≥.
O infinito é sempre “aberto” na representação de
parênteses ou colchetes.

103
CONJUNTO VAZIO COMO INTERVALO
Podemos dizer que o conjunto vazio ∅ é um
intervalo, ainda que isso seja muito estranho, é
essencial para fazer certas operações.
INTERVALO DEGENERADO
Os intervalos dos números maiores ou iguais a 2 e
ao mesmo tempo menores ou iguais a 2 é
exatamente o conjunto {2}
{𝑥𝜖ℝ|𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐} = [2] = {2}
Dizemos que esse é um INTERVALO
DEGENERADO.
OBSERVAÇÃO
Quando fizermos intervalos entre dois números
decimais, usamos ; e não , na notação de colchetes:
{𝑥𝜖ℝ|𝟐, 𝟓 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒, 𝟖} = [2,5;4,8]
1) Represente na reta os intervalos:
a) {𝑥𝜖ℝ 3 < 𝑥 < 9}
⁄
b) {𝑥𝜖ℝ −5 < 𝑥 ≤ 3}
⁄
c) {𝑥𝜖ℝ −1 ≤ 𝑥 < 9}
⁄
d) {𝑥𝜖ℝ 1 ≤ 𝑥 ≤ 10}
⁄
e) {𝑥𝜖ℝ 𝑥 > 3}
⁄
f) {𝑥𝜖ℝ 𝑥 ≥ −5}
⁄
g) {𝑥𝜖ℝ 𝑥 ≤ 3}
⁄
h) {𝑥𝜖ℝ 𝑥 < −1}
⁄
i) [3,5[
j) [-2,3]
k) ]-1,5[
l) ]0,3]
m) [4,[
n) ]3, [
o) ]-,3]
p ]-,5[
2) Represente os intervalos de duas maneiras
possíveis:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

104
QUADRO
Operações com Intervalos
Para entendermos, vamos recapitular:
𝐴 ∪ 𝐵 – está em A ou B, ou seja, basta estar em um
dos dois intervalos
𝐴 ∩ 𝐵 – está em A e em B, ou seja, precisa estar
nos dois intervalos
𝐴 − 𝐵 – está no A, mas não está no B
𝐵 − 𝐴 – está no B, mas não está no A
Você precisará usar o raciocínio e ENTENDER o
significado das bolinhas. Sem entender fica
praticamente impossível resolver os problemas.
Exemplo 1:
𝐴 =]1,4]
𝐵 = [3,7[
Em 𝐴 − 𝐵 a bolinha do 3 fica aberta, pois, o ponto 3
está no A e no B, ou seja, para pertencer ao intervalo
precisava estar no A mas não no B. Se você não
entendeu, precisa tentar entender o significado das
bolinhas.
Respostas:
𝑨 ∪ 𝑩 =]𝟏, 𝟕[
𝑨 ∩ 𝑩 = [𝟑, 𝟒]
𝑨 − 𝑩 =]𝟏, 𝟑[
𝑩 − 𝑨 =]𝟒, 𝟕[
Exemplo 2:
𝐴 =]1,4]
𝐵 =]3,7[
Diferentemente do exemplo 1, o número 3 tem
bolinha fechada em 𝐴 − 𝐵, pois ele está no A e não
está no B. Se você não entendeu pode não ter
entendido o que é um intervalo, o que é diferença de
conjuntos e o significado das bolinhas.
Respostas:
𝑨 ∪ 𝑩 =]𝟏, 𝟕]
𝑨 ∩ 𝑩 =]𝟑, 𝟒]
𝑨 − 𝑩 =]𝟏, 𝟑]
𝑩 − 𝑨 =]𝟒, 𝟕[
Exemplo 3:
𝐴 =] − 1,3]
𝐵 =]3,11]
Nenhum elemento está ao mesmo tempo em A e
em B, por isso a intersecção é vazia.
Respostas:
𝑨 ∪ 𝑩 = [−𝟏, 𝟏𝟏]
𝑨 ∩ 𝑩 = ∅
𝑨 − 𝑩 = [−𝟏, 𝟑]
𝑩 − 𝑨 =]𝟑, 𝟏𝟏]

105
Exemplo 4:
𝐴 =] − 1,3[
𝐵 =]3,11]
Perceba que 𝑨 ∪ 𝑩 é um intervalo com um “buraco”,
por isso anotamos o intervalo menos o ponto
específico..
Respostas:
𝑨 ∪ 𝑩 =] − 𝟏, 𝟏𝟏] − {𝟑}
𝑨 ∩ 𝑩 = ∅
𝑨 − 𝑩 = [−𝟏, 𝟑[
𝑩 − 𝑨 =]𝟑, 𝟏𝟏]
Exemplo 5
𝐴 =] − 1,3]
𝐵 = [3,11]
Perceba que a união é apenas um único ponto,
portanto preciso anotar {3} – ou seja, a intersecção
de intervalos pode ser um ponto!!!
Note que na diferença a bolinha do 3 é aberta. Você
precisa raciocinar para entender!!! Não existem
regras!
Respostas:
𝑨 ∪ 𝑩 = [−𝟏, 𝟏𝟏]
𝑨 ∩ 𝑩 = {𝟑}
𝑨 − 𝑩 = [−𝟏, 𝟑[
𝑩 − 𝑨 =]𝟑, 𝟏𝟏]
Exemplo 6
𝐴 =]1,5]
𝐵 =]9,15[
Como os intervalos são disjuntos e sem extremos
comuns, não há como registrá-lo a não ser como
uma união de conjuntos. (Não há anotações
próprias)
Respostas:
𝑨 ∪ 𝑩 =]𝟏, 𝟓] ∪]𝟗,𝟏𝟓]
𝑨 ∩ 𝑩 = ∅
𝑨 − 𝑩 =]𝟏, 𝟓]
𝑩 − 𝑨 =]𝟗, 𝟏𝟓]
Exemplo 7
𝐴 =] − ∞, 3]
𝐵 = [−1,4[

106
Respostas:
𝑨 ∪ 𝑩 =] − ∞, 𝟒[
𝑨 ∩ 𝑩 = [−𝟏, 𝟑]
𝑨 − 𝑩 =] − ∞, −𝟏[
𝑩 − 𝑨 =]𝟑, 𝟒]
Exemplo 8
𝐴 =] − ∞, 3]
𝐵 =] − 1,4[
Respostas:
𝑨 ∪ 𝑩 =] − ∞, 𝟒]
𝑨 ∩ 𝑩 =] − 𝟏, 𝟑]
𝑨 − 𝑩 =] − ∞, −𝟏]
𝑩 − 𝑨 =]𝟑, 𝟒]
Exemplo 9
𝐴 =] − ∞, 3]
𝐵 = [−1, +∞[
Note que a união é toda a reta, ou seja, o conjunto
dos números reais.
Respostas:
𝑨 ∪ 𝑩 = ℝ
𝑨 ∩ 𝑩 = [−𝟏, 𝟑]
𝑨 − 𝑩 =] − ∞, −𝟏]
𝑩 − 𝑨 = [𝟑, +∞[
Diferença de Intervalos
https://youtu.be/qrVcAW8s08I
Operações com Intervalos
https://youtu.be/xk1S2-Ewzs8
3) Sendo A = [ 0 3 ] e B = [ 1 5 [, determine:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A − B
d) B – A
4) (UFV) Sejam os conjuntos A = {x ∈IR 1/ < x < 5 } e B
= {x ∈IR / 2 ≤ x ≤ 6 }. Então A ∩ B é:
a) {2 ,3 4 }
b) {x ∈IR / 2 ≤ x ≤ 5 }
c) {x ∈IR / 2 < x < 5 }
d) {x ∈IR / 2 < x ≤ 5 }
e) {x ∈IR / 2 ≤ x < 5 }

107
Casos mais difíceis
https://youtu.be/Rk7u0ljUrvE
5) Dados os intervalos: A=[-1, 6]; B=[0, 8) e C=(-∞,10].
Obtenha:
a) A ∪ B =
b) A ∩ B =
c) A ∩ C =
d) A – B =
e) B – A =
f) A – C =
g) C – A =
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a) 5 ___ [1,4] b) 3 ___ [1,4]
c) 4 ___ ]4,7] d) 4 ___ [4,7]
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM
1)Escrever a notação para os seguintes intervalos,
representados na reta real:
2) Escrever a notação para os seguintes intervalos,
representados na reta real:
3) (Prof. Walter Tadeu – Colégio Pedro II) Escreva usando a
notação de conjuntos e de colchetes os intervalos na reta dos
reais.
4) Escreva, usando as duas notações:
a) O intervalo aberto de extremos -2 e 1.
b) O intervalo semi-aberto à esquerda de extremos 3 e 8.
c) O intervalo fechado de extremos 0 e 5.
d) O intervalo semi-aberto à direita de extremos –5 e 1.

108
5) (ENCCEJA) Uma agencia de modelos esta selecionando
jovens para uma propaganda de sorvetes. Entre as
exigências, a agencia solicita que os jovens tenham uma
altura minima de 1,65m e maxima de 1,78m. Se x é um
numero racional que representa a altura, em metros, de um
jovem que pode ser escolhido para essa propaganda, é
correto afirmar que:
a) x < 1,78 b) x > 1,65
c) 1,65 < x < 1,78 d) 1,65< x > 1,78
6) Represente as idéias como intervalos:
a) O voto é facultativo a partir dos 16 anos até o dia que a
pessoa completa 18 anos.
b) Haverá uma alíquota de 13,5% de descontos para quem
ganha mais de R$ 3.500 até R$ 6.000.
c) Podem participar quem tem mais de 1,50 e menos de 1,80.
d) O prazo de prescrição da pena é para quem a partir de 18
anos e menos de 21 e para maiores de 60 anos.
e) Podem brincar crianças de no máximo 12 anos nesses
brinquedos.
f) Caminhões a partir de 3,00 de altura não podem entrar
nesse túnel.
7) Usando a notação de conjuntos, escreva os intervalos:
a) [6, 10] b) [-1, 5]
c) [-6, 0] d) [0, + ∞]
e) ] – ∞, 3[ f) [ -5, 2[
8).Represente, na reta real, os intervalos:
a) [ 2, 8] b) { x ∈ ℝ/ 2 < x < 5}
c) ] – ∞, 2] d) { x ∈ ℝ/ -2≤ x ≤ 2}
9)Represente os conjuntos abaixo sob a forma de colchetes:
a)
b)
c)
d)
10) (Prof. Walter Tadeu – Colégio Pedro II) Represente, na
reta real, os intervalos:
a) [2, 8]
b) [– 6, – 1[
c) {x є IR / 2 < x < 5}
d) {x є IR / 3 < x  7}
e) [0, +∞[
f) {x є IR / x ≥ – 1}
g) {x є IR / – 2  x  2}
11) (Prof. Walter Tadeu – Colégio Pedro II) Escreva os
intervalos reais, utilizando colchetes, formados pelos
números.
a) maiores que 3
b) menores que – 1
c) maiores ou iguais a
2
1
12) (Professor Joaquim Rodrigues) Sendo A = [0, 3 ] e B =
[1, 5 [, determine:
A  B =
A  B =
A – B =
B – A =
13) (Colégio Sigmund Freud – Jane Précaro- Adaptado)
Dados os intervalos efetue as operações:
a) A = ]-2, 6] e B = [4, 6[
A  B =
A  B =
A – B =
B – A =
b) A = [-8, 3] e B = ]4, 7[
A  B =
A  B =
A – B =
B – A =

109
14) (Colégio Sigmund Freud – Jane Précaro)
Seja A = {xR/-3  x < 7} e B = {xR/x1}, determine:
a) A  B =
b) A  B =
c) A – B =
d) B – A =
15) (Prof. Walter Tadeu – Colégio Pedro II) Considere os
conjuntos:
A = {x є IR / – 1  x  2};
B = {x є IR / 0  x  5};
C = {x є IR / 1 < x < 4};
D = {x є IR / x > – 3}
Represente na forma de colchetes e na reta os conjuntos:
a) B
A 
b) B
A 
c)   B
A
D 

Dica: Faça primeiro D-A e depois uma com B
d) D
C
B
A 


16) (FUVEST) O numero x não pertence ao intervalo aberto
de extremos -1 e 2. Sabe-se que x < 0 ou x > 3. Pode-se
então concluir que:
a) x  – 1 ou x > 3 b) x ≥ 2 ou x  0
c) x ≥ 2 ou x  – 1 d) x > 3 e) x ≥ 2
Ex. 17
https://youtu.be/9u5KmXYoAXw
17) (ENEM) Os vidros para veículos produzidos por certo
fabricante têm transparências entre 70% e 90%,
dependendo do lote fabricado. Isso significa que, quando um
feixe luminoso incide no vidro, uma parte entre 70% e 90% da
luz consegue atravessá-lo. Os veículos equipados com vidros
desse fabricante terão instaladas, nos vidros das portas,
películas protetoras cuja transparência, dependendo do lote
fabricado, estará entre 50% e 70%. Considere que uma
porcentagem P da intensidade da luz, proveniente de uma
fonte externa, atravessa o vidro e a película.
De acordo com as informações, o intervalo das porcentagens
que representam a variação total possível de P é
a) [35;63] b) [40;63] c) [50;70]
d) [50;90] e) [70;90]
Ex. 18 a 21
https://youtu.be/Q2VmcUdkWo0
18) (UFV) Sejam os conjuntos A = {xIR/1< x < 5 } e B =
{xR/ 2  x  6 }. Então A  B é:
a) {2, 3, 4 }
b) {x IR/ 2  x  5 }
c) {x IR/ 2 < x < 5 }
d) {x IR/ 2 < x  5 }
e) {x IR/ 2  x < 5 }
20)(FGV–SP) Sejam os intervalos A=]- ,1], B=]0, 2] e [-1,1].
O intervalo C  (A  B) é:
a) ]-1,1] b) [-1,1] c) [0,1] d) ]0,1]
21)(PUC – MG) Sendo IR o conjunto dos números reais e
sendo os conjuntos A = {xIR/- 5<x4} e B = {xIR/- 3<x<7},
o conjunto A - B é:
a) {x IR/- 5 < x  -3 }
b) {x IR/- 3  x  4 }
c) {x IR/- 5 < x < -3 }
d) {x IR/ 4 < x  7 }

110
22)(Mack – SP) Sejam os conjuntos A = {xIR/ 0  x  3 },
B={xIR/ x  3 } e C={x IR/- 2  x  3} O conjunto (B-A)C
é igual a:
a) Ø b) {x IR/ x < 0 }
c) {x IR/ x > -2} d) {x IR/- 2  x < 0 }
e) {x IR/- 2 < x  3 }
Ex. 23 a 25
https://youtu.be/ww7Dg4Ggutw
23)(UEBA) Sejam os conjuntos A = {xIR/-1< x < 2} e B =
{xIR/ 0  x < 3 }. AB é igual a:
a) [0, 2 [ b) ]0, 2 [ c) [-1, 3 ]
d) [-1, 3 [ e) ]-1, 3 ]
24) (PUC – MG) Sejam os conjuntos A = {xIR/- 4  x  3 } e
B = {xIR/- 2  x < 5 }. A - B é igual a:
a) {x IR/- 4  x < -2} b) {x IR/- 4  x  -2}
c) {x IR/ 3 < x < 5 } d) {x IR/ 3  x  5 }
e) {x IR/- 2  x < 5 }
25) (PUC – MG / 1998) Considere os conjuntos:
A = {xIR/ x < 0 ou x > 4 }
B = {x IN/ 0 < x < 12}
O número de elementos de A  B é:
a) 7 b) 8 c) 9 d) 11 e) 13
Ex. 26
https://youtu.be/-UuAmx-GVxw
26) (Concurso de Professor da Educação
Básica III – Matemática – Governo do Estado de
Minas Gerais – Secretaria do Estado da
Educação – 2018 – Banca Fumarc – Primeira
Aplicação)Dados os conjuntos A = [0, 10[, B = ]3,
8[ e C = [-2, 6], o conjunto (A – B) ∩ C é
a) [0, 3]
b) [0, 3[
c) ]0, 6]
d) [-2, 3]
e) [-2,6]
27) (Concurso para o Magistério do Estado e
Município do Rio de Janeiro – 1988) Se x e y são
números reais tais que 3,23<x<5,01 e 2,81<y<4,54,
então, sobre a diferença x-y, pode-se afirmar que:
a) -1,31<x-y<2,20 b) -1,41<x-y<0,73
c) 0,42<x-y<2,50 d) 0,42<x-y<2,73
e) 6,04<x-y<9,55

111
Intervalo Complementar
QUADRO
Um Intervalo Complementar é o que falta
para completar toda a reta:
ℝ − 𝐼 = 𝐼𝑐
a)] − 3, +∞[𝑐
=] − ∞, −3]
b)] − ∞, 8]𝑐
=]8, +∞[
c) [3,4[=]−∞, 3[∪ [4, +∞[
1) Determine o intervalo complementar e desenhe
na reta tanto o intervalo quanto o seu
complementar:
a)[3, +∞[𝑐
b) ]3, +∞[𝑐
c) ] − ∞, 4[𝑐
d) ] − ∞, 4]𝑐
e) ] − 5,4[𝑐
f) ∅𝑐
g) ℝ𝑐
h)(] − ∞, 4[∪ [7, +∞[)𝑐
Referência
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
BILSTEIN, Rick; LIBESKIND, Shlomo; LOTT, Johnny W. A problem
solving approach to mathematics for elementar school teachers.
11th ed. Boston: USA, 2013.
INTERVALOS
1) Escreva, usando as três notações:
a) o intervalo aberto de extremos -2 e 1.
b) o intervalo semi-aberto à esquerda de extremos 3 e 8.
c) o intervalo fechado de extremos 0 e 5.
d) o intervalo semi-aberto à direita de extremos -5 e 1.
2) Usando a notação de intervalo, escreva:
a) o subconjunto de ℝ formado pelos números reais maiores que 3.
b) o subconjunto de ℝ formado pelos números reais menores que -
1.
c) o subconjunto de ℝ formado pelos números reais maiores ou
iguais a 2.
d) o subconjunto de ℝ formado pelos números reais menores ou
iguais a ½.
3)Usando a notação de conjuntos, escreva os intervalos:
a) [6,10[ b) ]-1.5] c) ]-6,0[
d) [0,+[ e) ]-,3[ f) [-5,2[
g) ]-10,10[ h)[- 3 , 3 ] i)]-,1]
4) Represente, na reta real, os intervalos:
a) {x ℝ | 2<x<5} b) [2,8] c) ]-,2]
d) {x ℝ | -2<x<2} e) {x ℝ | x>-1} f) ]1,5[
5) Usando a notação de conjuntos, escreva os seguintes intervalos
que estão representados na reta real:
6) Determine AB, quando:
a) A={xIR | -1<x<2} e B={xIR | 0<x<5}
b) A={xIR | x<3} e B={xIR |1<x<4}
c) A={xIR | -3<x<1} e B={xIR | 0<x<3}

112
INTERVALO DISCRETO
1) Escreva os conjuntos por extenso (use adequadamente as
reticências ... )
a) {𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 < 10}={__________________________}
b) {𝑥 ∈ ℤ; −2 < 𝑥 < 7}={____________________________}
c) {𝑥 ∈ ℤ ∗; −2 < 𝑥 < 7}={______________________}
d) {𝑥 ∈ ℕ; 3 < 𝑥 < 10}={_________________________}
e) {𝑥 ∈ ℕ; −2 < 𝑥 < 7}={_______________________}
f) {𝑥 ∈ ℕ ∗; −2 < 𝑥 < 7}={________________________}
g) {𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10}={________________________}
h) {𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 ≤ 10}={__________________________}
i) {𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10}={________________________}
j) {𝑥 ∈ ℤ; −1 ≤ 𝑥 < 5}={______________________}
k) {𝑥 ∈ ℤ; −3 < 𝑥 ≤ 1}={_______________________}
l) {𝑥 ∈ ℤ; −5 ≤ 𝑥 < −3}={_______________________}
m) {𝑥 ∈ ℕ; 3 < 𝑥 < 4}={___________________________}
n) {𝑥 ∈ ℕ; −5 < 𝑥 < −2}={________________________}
o) {𝑥 ∈ ℕ; 5 < 𝑥 < 100}={_________________________}
p) {𝑥 ∈ ℕ; −10 < 𝑥 < 500}={_______________________}
q) {𝑥 ∈ ℕ; 𝑥 < 10}={____________________________________}
r) {𝑥 ∈ ℕ; 𝑥 > 10}={____________________________________}
s) {𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 < 10}={____________________________________}
t) {𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 > 10}={____________________________________}
u) {𝑥 ∈ ℤ ∗; 𝑥 > 10}={_____________________________}
v) {𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 ≥ 10}={____________________________________}
w) {𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 ≥ 10}={____________________________________}
2) Complete com ∈ (pertence) e ∉ (não pertence)
-3 _____ {𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 < 10} 4 _____ {𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 < 10}
3 _____ {𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 < 10} 3_____ {𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10}
5,2_____ {𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10} 7/2_____ {𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10}
5,2_____ {𝑥 ∈ ℚ; 3 ≤ 𝑥 < 10} 7/2_____{𝑥 ∈ ℚ; 3 ≤ 𝑥 < 10}
0,555...____{𝑥 ∈ ℚ; −5 < 𝑥 < 10} -1/3____{𝑥 ∈ ℚ; −2 < 𝑥 ≤ 3}
5/9_____ {𝑥 ∈ ℚ; 1 ≤ 𝑥 ≤ 2} 9/7_____ {𝑥 ∈ ℚ; 0 ≤ 𝑥 < 1}
1
3
5
_____ {𝑥 ∈ ℚ; 1 < 𝑥 < 2}
GABARITO
1) Escreva, usando as três notações:
a) o intervalo aberto de extremos -2 e 1. -2<x<1 ]-2,1[
b) o intervalo semi-aberto à esquerda de extremos 3 e 8. 3<x≤8 ]3,8]
c) o intervalo fechado de extremos 0 e 5. 0≤x≤5 [0,5]
d) o intervalo semi-aberto à direita de extremos -5 e 1. -5≤x<1 [-5,1[
2) Usando a notação de intervalo, escreva:
a) o subconjunto de IR formado pelos números reais maiores que 3.
x>3 ]3,∞[
b) o subconjunto de IR formado pelos números reais menores que -1.
x<-1 ]-∞,-1[
c) o subconjunto de IR formado pelos números reais maiores ou iguais a 2. x≥2
[2,∞[
d) o subconjunto de IR formado pelos números reais menores ou iguais a ½. x≤1/2
]- ∞,1/2]
3)Usando a notação de conjuntos, escreva os intervalos:
a) [6,10[ 6≤x<10 b) ]-1,5] -1<x≤ 5
c) ]-6,0[ -6<x<0 d) [0,+[ x≥0
e) ]-,3[ x<3 f) [-5,2[ -5≤ 𝑥 < 2
g) ]-10,10[ -10<x<10 h)[- 3 , 3 ] −√3 ≤ 𝑥 ≤ √3
i)]-,1] x≤ 1
1) Escreva os conjuntos por extenso (use adequadamente as reticências ... )
{𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 < 10}={4,5,6,7,8,9}
{𝑥 ∈ ℤ; −2 < 𝑥 < 7}={-1,0,1,2,3,4,5,6}
{𝑥 ∈ ℤ ∗; −2 < 𝑥 < 7}={-1,1,2,3,4,5,6}
{𝑥 ∈ ℕ; 3 < 𝑥 < 10}={4,5,6,7,8,9}
{𝑥 ∈ ℕ; −2 < 𝑥 < 7}={0,1,2,3,4,5,6}
{𝑥 ∈ ℕ ∗; −2 < 𝑥 < 7}={1,2,3,4,5,6}
{𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10}={3,4,5,6,7,8,9}
{𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 ≤ 10}={4,5,6,7,8,9,10}
{𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10}={3,4,5,6,7,8,9}
{𝑥 ∈ ℤ; −1 ≤ 𝑥 < 5}={-1,0,1,2,3,4}
{𝑥 ∈ ℤ; −3 < 𝑥 ≤ 1}={-2,-1,0,1}
{𝑥 ∈ ℤ; −5 ≤ 𝑥 < −3}={-5,-4}
{𝑥 ∈ ℕ; 3 < 𝑥 < 4}={ }=∅ (nenhum número, não há números entre 3 e 4)
{𝑥 ∈ ℕ; −5 < 𝑥 < −2}={ }=∅ (nenhum número, números naturais não podem ser negativos)
{𝑥 ∈ ℕ; 5 < 𝑥 < 100}={6,7,8,9,...,99,100}
{𝑥 ∈ ℕ; −10 < 𝑥 < 500}={-0,1,2,3,....,499,500}
{𝑥 ∈ ℕ; 𝑥 < 10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{𝑥 ∈ ℕ; 𝑥 > 10}={11,12,13,14,...}
{𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 < 10}={...,-2,-1, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 > 10}={11,12,13,14,...}
{𝑥 ∈ ℤ ∗; 𝑥 > 10}={11,12,13,14,...}
{𝑥 ∈ ℤ; 𝑥 ≥ 10}={...,-2,-1, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
2) Complete com ∈ (pertence) e ∉ (não pertence)
-3 ∉ {𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 < 10} 4 ∈ {𝑥 ∈ ℤ;3 < 𝑥 < 10}
3 ∉ {𝑥 ∈ ℤ; 3 < 𝑥 < 10} 3∈ {𝑥 ∈ ℤ;3 ≤ 𝑥 < 10}
5,2∉ {𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10} 7/2∉ {𝑥 ∈ ℤ; 3 ≤ 𝑥 < 10}
5,2∈ {𝑥 ∈ ℚ;3 ≤ 𝑥 < 10} 7/2∈ {𝑥 ∈ ℚ;3 ≤ 𝑥 < 10}
0,555........ ∈ {𝑥 ∈ ℚ; −5 < 𝑥 < 10}
-1/3∈ {𝑥 ∈ ℚ; −2 < 𝑥 ≤ 3} 5/9∉ {𝑥 ∈ ℚ; 1 ≤ 𝑥 ≤ 2}
9/7∈ {𝑥 ∈ ℚ;0 ≤ 𝑥 < 1} 1
3
5
∈ {𝑥 ∈ ℚ; 1 < 𝑥 < 2}

113
5.1 AULA 13 – Adição e Subtração de Radicais
Caso você tenha dificuldades em Matemática, esse tópico não tão é essencial
para continuidade de aprendizado de Matemática no Ensino Médio, porém,
é um conhecimento fundamental para continuidade das outras aulas do
Submódulo 5.1. Também é um capítulo que indiretamente retoma conceitos
semelhantes ao de adição de frações. Recomendo o estudo e aprendizado de
100% de toda essa apostila, em detalhes.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o CÁLCULO COM RADICAIS
atividade.
Redução de Radicais ao mesmo índice
QUADRO
Vamos rever alguns assuntos já vistos na Aula
4, para introduzirmos o tópico
Redução de radicais ao mesmo índice
a) √𝑎2
6
e √𝑏5
4
mmc(6,4)=12
12:6=2 e 2x2=4
12:4=3 e 3x5=15
√𝑎4
12
e √𝑏15
12
b) √22
3
; √53
4
e √3
mmc(3,4,2)=12
√28
12
, √59
12
e √36
15
1)Reduza ao mesmo índice os radicais (suponham
satisfeitas as condições de existência)
a) √5
3
e √2
b) √𝑎, √𝑥
4
e √𝑦2
3
(a, 𝑏, 𝑥 ≥0)
c) √𝑎3
4
e √𝑏
6
(a, b ≥ 0)
d) √𝑎 − 𝑏 e √𝑎 + 𝑏
4
(a≥b≥ 0)
e) √𝑎2
5
e √𝑎3
4
(a≥0)
f) √
𝑎
𝑏3 e √
𝑏
𝑎2
3
(a,b>0)
2)(Ismael Reis) Determine um radical:
a) de índice 4 e de mesmo valor que √29
12
.
b) de índice 15 e de mesmo valor que √32
3
.
c) de índice 8 e de mesmo valor que √𝑥3
4
.
d) de índice 2 e de mesmo valor que √𝑎4
8
.
e) com expoente de radicando igual a 3 e de
mesmo valor que √79
6
.
f) com expoente de radicando igual a 18 e de
mesmo valor que √72
5
GABARITO
2) a) √23
4
; b) √310
15
; c) √𝑥6
8
; d) √𝑎; e) √73; f) √718
45

114
Comparação de Radicais
QUADRO
Comparação de radicais
1º Caso: Radicais com o mesmo índice
a)√8 > √3 pois 8 > 3
b) √10
3
>√4
3
pois 10>4
2º Caso: Radicais com índices diferentes
a) √5 e √4
3
mmc(2,3)=6
√53
6
e √42
6
√125
6
e √16
6
√125
6
> √16
6
Logo: √5 > √4
3
b) √3
4
e √2
mmc(4,2)=4
√3
4
e √22
4
√3
4
e √4
4
√3
4
< √4
4
Logo √3
4
< √2
c) √2
3
e √4
6
mmc(3,6)=6
√22
6
e √4
6
√4
6
= √4
6
Logo √2
3
= √4
6
1) (Edwaldo Bianchini) Compare usando sinais
de igualdade ou desigualdade
a)√2 e √3
b)√15
3
e √8
3
c) √24
3
e √25
3
d) √3 e √2
3
e) √8 e √26
4
f) √5
4
e √6
3
g) √5 e √10
6
h) √22
14
e √32
21
i) √33
6
e √32
4
2) (Ismael Reis) Coloque os radicais em ordem
crescente:
a) √5, √4
3
, √2
4
b) √2
3
, √3
6
, √5
4
c) √7
4
, √12, √8
d) √2, √
1
3
, √5, √
3
4
e) √
6
5
3
, √
8
7
3
, √4
3
Radicais Semelhantes
QUADRO
Radicais Semelhantes
Para serem semelhantes, dois radicais
precisam ter o mesmo índice e o mesmo
radicando.
Exemplo:
a) 2√3 e −4√3 são radicais semelhantes
b) 7√5 e 7√3 não são radicais semelhantes pois
os radicandos são diferentes
c) √5
3
e √5 não são radicais semelhantes pois
os índices são diferentes
1)Identifique os pares de radicais semelhantes:
a)√3 e 2√3
b)√𝑎
3
e √𝑏
3
c)2√𝑎 e 5√𝑎 (a≥0)
d)5√𝑥 e √𝑥 (x≥0)
e) √𝑎
3
e √𝑎 (a≥0)
f) √2
4
e 10√2
4
Simplificando frações com radicais
QUADRO
Note que isso é bastante óbvio e já foi feito na
aula de racionalização de denominadores como
consequência natural das operações
1) Simplifique, não esquecendo de fatorar antes
denominador ou numerador:
a)
5+√50
15
b)
10+√200
25
c)
2+√12
2
d)
5+√50
3+√18
Adição e Subração de Radicais
QUADRO
Adição e Subtração de Radicais
1º Caso: Radicais Semelhantes
a) 2√3 + 7√3 − 3√3 = (2 + 7 − 3)√3 = 6√3
b) 10√3
5
+ 4√3
5
− √3
5
= (10 + 4 − 1)√3
5
= 13√3
5
c) 3√5 + 2√7 − 5√5 + √7 + 4√7 = (3 − 5)√5 +
(2 + 1 + 4)√7 = −2√5 + 7√7

115
A expressão não pode ser mais reduzida, então
ela fica indicada −2√5 + 7√7 (forma mais
simples)
d) 5√2 + 3 − 7√2 + 5 = (5 − 7)√2 + 8 =
−2√2 + 8
A expressão pode ficar como −2√2 + 8 ou ser
fatorada como −2(√2 − 4), que pode ser
conveniente em certas situações
1)Efetue:
a)2√5 + √5 − 6√5
b)5√3
5
+ 2√3
5
− 2√3
5
+ √3
5
c) 4√2 + 6√3 − 2√2 + 9√3
d)5√𝑥 − 9√𝑥 (x≥0)
e) −4 + √3
5
+ 2√3
5
− 4
f) 2√5
3
− 2√5 + 3√5 + 3√5
3
g) 3 + √2 + 7 − 5√2
h)√𝑎
3
+ √𝑎
3
+ √𝑎
3
GABARITO
a)−3√5 b) 6√3
5
c) 2√2 + 15√3
d)−4√𝑥 e) 3√3
5
f) 5√5
3
+ √5
g) 10 − 4√2 h) 3√𝑎
3
QUADRO
2º Caso: Radicais simplificáveis:
a)√18 + √50
Simplificando ambas raízes temos: 3√2 +
5√2 = 8√2
b) 2√27 + 5√12 − 2√75 = 2 ∙ 3√3 + 5 ∙ 2√3 −
2 ∙ 5√3 = 6√3
c)√16
3
+ √54
3
= 2√2
3
+ 3√2
3
= 5√2
3
1)(Edwaldo Bianchini) Calcule as somas
algébricas
a) √20 + √45
b) √50 + √18 − √8
c) 2√27 − 5√12
d) 4√63 − √7
e) √50+√98 − √72
f) √12 + √75 + √108
g) 2√54 + 3√24 − 5√6
h) 3√4𝑥 + √9𝑥 − √25𝑥 (x≥0)
i) 5√𝑥 + √36𝑥 − 2√4𝑥 (x≥0)
j) √4(𝑥 − 2) + √9(𝑥 − 2) (x≥2)
k)5√
8𝑥
125
− √
18𝑥
5
+ 7√
2𝑥
245
(x≥0)
l) √98 − 2√13 + 3√162 − √117
m)
√2
2
+
√50
4
n)
1
2
√8𝑥 +
2
7
√98𝑥 (x≥0)
2) (Ismael Reis) Simplifique:
a) 4√54
3
+ 2√250
3
− 3√16
3
b)
2
3
√25
3
+
1
4
√25
3
− 8√25
3
c) √2
3
+ √16
3
+ √54
3
+ √128
3
d) 5√16
3
− 3√250
3
−
1
3
√128
3
e) √40
3
+ √1029
3
− √625
3
f)
1
2
√24
3
−
2
3
√54
3
+
3
5
√375
3
−
1
4
√128
3

116
a) √24𝑎2
3
+ √9𝑎4
6
+ √192𝑎2
3
(a≥0)
b) 𝑎√4𝑎8
6
+ √128𝑎4
3
+ 2√16𝑎
3
(a≥0)
Simplifique as raízes dividindo índice e expoente
por um divisor comum. (Há também outras
possibilidades, como reduzir tudo ao mesmo
índice)
a)4√
3
2
+
2
3
√
3
2
−
1
8
√
3
2
b) 8√
3
4
− 2√
3
16
a) √432
3
− √250
3
+ √
1
32
5
b) √45𝑥3 − √80𝑥3 + √5𝑎2𝑥 (x≥0)
c) 8√
3
4
−
1
2
√12 + 4√27 + 2√
3
16
d) √9𝑥 + 27 + 3√4𝑥 + 12 (x≥-3)
e) 𝑎√𝑎2𝑥 + √4𝑎2𝑏2𝑥 + 𝑏√𝑏2𝑥 (a,b,x≥0)
GABARITO
1) a)5√5 b)6√2 c)−4√3
d) 11√7 e) 6√2 f)13√3
g) 7√6 h) 4√𝑥 (x≥0) i) 7√𝑥 (x≥0)
j) 5√𝑥 − 2 (x≥2) k)0 l) 34√2 − 5√13
m)
7√2
4
n) 3√2𝑥 (x≥0)
2) a) 16√2
3
b)−
85
12
√25
3
c)10√2
3
d)−
19
3
√2
3
e) 7√3
3
− 3√5
3
f) 4√3
3
− 3√2
3
3) a) 7√3𝑎2
3
b) (𝑎 + 2)2
√2𝑎
3
4) a)
109√6
48
b)
7
2
√3
5) a) √2
3
+
1
2
b) (𝑎 − 𝑥)√5𝑥 (x≥0) c)
31
2
√3
d) 9√𝑥 + 3 (x≥-3) e) (𝑎 + 𝑏)2
√𝑥 (x≥0)
MAIS EXERCÍCIOS
1) (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr) Determine
os perímetros das figuras a seguir:
2) (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr) Qual é o
perímetro de um triângulo de lados 4√96 cm,
5√216 cm e 4√486 cm ?
3) (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr) Considere
que √5 = 2,23 e que √2 = 1,41 dê o valor de
√5000 + √500 + √50 + √5
4) (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr)
Simplifique:
a)
3√20+√80−2√45
8
b)
√28+√175
√63
c)
√50−√18
√200
5) (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr) Dados a,
b, c, tais que:
𝑎 = 1 − √8
𝑏 = 1 + √50
𝑐 = 2 − √98
Calcule:
a) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
b) 𝑎 − 𝑏 − 𝑐

117
B5.2 AULA 14 – Frações Algébricas
Frações Algébricas são bastante esquecidas na escola, por ser disciplina para
o fim do ano, porém, trata-se de conceito de fundamental aprendizado. Para
compreender é essencial ter aprendido bem as aulas 2, 5, 8 e 11. Frações
Algébricas precisam estar acompanhadas de um conceito básico: inexistência
da divisão por zero: portanto, precisamos analisar a condição de existência
das frações - igualando o denominador a zero e excluindo esse valor.
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EXERCÍCIOS DA
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APOSTILA
COMO PROCEDER?
o FRAÇÕES ALGÉBRICAS
atividade.
Frações Algébricas
QUADRO
Fração algébrica é um quociente de dois
polinômios.
𝐹(𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
Onde P(x) e Q(x) são polinômios onde Q(x) não
pode ser zero (𝑄(𝑥) ≠ 0)
É sempre preciso fatorar para o cancelamento.
Só pode ser feito qualquer cancelamento se no
denominador e numerador tivermos apenas
termos multiplicados (produtos – forma
fatorada) Considere as condições de existência
satisfeitas:
6𝑎2
𝑏𝑥
8𝑎𝑏3𝑥
=
2 ∙ 3 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥
2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥
==
3𝑎
4𝑏2
𝑎2
− 𝑏2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
=
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
(𝑎 + 𝑏)2
=
𝑎 − 𝑏
𝑎 + 𝑏
Observe: O cancelamento do a+b com o
expoente 2 do (a+b)² se deve ao fato de
cancelarmos um dos a+b do denominador
Podemos usando atalhos:
1) Numerador e denominador iguais, a
fração é igual a 1 (satisfeitas condições
de existência)
4𝑎
4𝑎
= 1
𝑥 + 4
𝑥 + 4
= 1
2) Se numerador e denominador forem
opostos, a fração é -1:
𝑥 − 𝑦
𝑦 − 𝑥
= −1
5𝑥 − 4
4 − 5𝑥
= −1
3) Podemos dividir em cima e em baixo
pelo mesmo número:
6𝑥
10𝑦
=
⏞
2 3𝑥
5𝑦
𝑎2
− 𝑎𝑏
𝑎2 + 3𝑎
=
⏞
𝑎 𝑎 − 𝑏
𝑎 + 3

118
4) Também é possível você dividir
numerador por denominador, se
possível:
18𝑥3
𝑦2
9𝑥𝑦2
= 2𝑥2
𝑥2
− 6𝑥
𝑥
= 𝑥 − 6
𝑥2
− 5𝑥 + 6
𝑥 − 3
= 𝑥 − 2
1) Simplifique, supostas todas as condições de
existência satisfeitas:
a)
3𝑥
3𝑥
b)
6𝑥
3𝑥
c)
9𝑥2
3𝑥
d)
𝑥(𝑥+𝑦)
𝑥+𝑦
e)
𝑎2+4𝑎
𝑎
f)
𝑥+𝑦
𝑥+𝑦
g)
3−4𝑥
4𝑥−3
h)
𝑥3+4
−𝑥3−4
i)
𝑥2+3𝑥+4
𝑥2+3𝑥+4
j)
3(𝑥+𝑦)
3
k)
2𝑥2−3𝑥−5
2𝑥−5
2) (Edwaldo Bianchini) Simplifique, supostas
todas as condições de existência satisfeitas:
a)
4𝑥
6
b)
6𝑎
9𝑏
c)
3𝑎𝑏
5𝑎𝑏
d)
8𝑥3
10𝑥2
e)
8𝑥2
4𝑥5
f)
2𝑥𝑦3
10𝑥𝑦2
g)
𝑎𝑥2𝑦
𝑎𝑥𝑦2
h)
21𝑚𝑛
14𝑚𝑛
i)
9𝑎𝑏𝑐
18𝑎𝑏𝑐
j)
6𝑎2𝑏𝑐
15𝑎𝑏4𝑐2
k)
4𝑎𝑚
2𝑎2−6𝑎
l)
6𝑥−12
18
m)
3𝑥+6
3𝑦
n)
10𝑥𝑦
10𝑥2+20𝑥𝑦
o)
𝑥2−1
(𝑥−1)2
p)
3𝑥+6
𝑥2−4
q)
𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2
3𝑥−3𝑦
r)
𝑥2−9
𝑥2+6𝑥+9
s)
3𝑎2+6𝑏2
𝑎2+2𝑏2
t)
𝑎2−10𝑎+25
2𝑎−10
u)
𝑥−2
𝑥2−4
3)(Colégio Pentágono) Indique a alternativa
correta.
O professor Fabiano propôs que Beatriz e Patrícia
simplificassem
a fração
²
²
³
x
x
x 
. Observe a simplificação que
as meninas fizeram:
Qual das meninas acertou na simplificação da
fração algébrica? Justifique.
4) (Colégio Pentágono) Numa disputa
matemática entre duas salas do 8º ano, quatro
alunos tiveram de simplificar algumas frações
algébricas. Veja os cálculos no quadro-de-giz
abaixo.
Quais alunos fizeram as simplificações
corretamente?
5) (Colégio Pentágono) a) Simplifique a
expressão
1
²
³
1
4




y
y
y
y
e determine seu
valor para y = 999.(sugestão: substitua na forma
fatorada que é mais simples)
b) Simplifique a expressão
9
²
9
9
²
³




a
a
a
a
e
determine seu valor para a = 1.

119
c) Determine o valor da expressão
³
²
²
³
4
4
y
xy
y
x
x
y
x




, para x = 111 e y = 112
(simplificando primeiro fica mais fácil)
6)(Colégio Pentágono) Calcule o valor numérico
das frações para os valores indicados.
a)
b)
c) para x = -1
d) para a = 0,3
QUADRO
Condições de Existência
Não é correto calcular qualquer fração sem a
condição de existência, ou seja, o denominador
não pode ser zero
Exemplos:
a)
6𝑥
3𝑥
Nesse caso 𝑥 ≠ 0
b)
𝑥(𝑥+𝑦)
𝑥+𝑦
Nesse caso 𝑥 + 𝑦 ≠ 0, isto é 𝑥 ≠ −𝑦
c)
𝑥+2
𝑥+3
Nesse caso 𝑥 + 3 ≠ 0, isto é 𝑥 ≠ −3
d)
3−4𝑥
4𝑥−3
Nesse caso 4𝑥 − 3 ≠ 0, isto é 𝑥 ≠
3
4
j)
3(𝑥+𝑦)
3
Nesse caso não há restrições, ou seja,
a fração existe para qualquer número real
e)
2𝑥2−3𝑥−5
2𝑥−5
Nesse caso 2𝑥 − 5 ≠ 0, isto é 𝑥 ≠
5
2
EXERCÍCIO
1)(Colégio Pentágono) Determine a condição
para que o denominador de cada fração algébrica
a seguir não seja nulo.
a)
13
5
3


y
y b)
6
2
²


x
y
x
c)
p
p
p
3
²
6
³
8

 d)
b
a
x

QUADRO
Paradoxos e erros quando ignoramos as
condições de existência
#1 – Prova que 2=1
Suponha que 𝑥 = 𝑦
Multiplique ambos os
membros por x
𝑥2
= 𝑥𝑦
Tire 𝑦2
em ambos os
membros
𝑥2
− 𝑦2
= 𝑥𝑦 − 𝑦2
Fatore ambos os
membros
(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)
= 𝑦(𝑥 − 𝑦)
Divida ambos os
membros por 𝑥 − 𝑦
𝑥 + 𝑦 = 𝑦
Como já é hipótese que
𝑥 = 𝑦
𝑦 + 𝑦 = 𝑦
Portanto 2𝑦 = 𝑦
Divida ambos os
membros por y
2 = 1
Onde está o erro?
#2 – Outra prova
Sabemos que
0x2=0 (1) e 0x1=0 (2)
Usando a propriedade transitiva da igualdade
temos que 0x2=0x1
Dividindo ambos os membro por zero
2=1
#3 – Mais
0
0
é ao mesmo tempo igual a 0 e 1, pois:
- Um número dividido por ele mesmo é 1.
- Zero dividido por qualquer número é 0.
Logo 1=0, e portanto 1+1=0+1, e então 2=1
#4 – Mais ainda
Sabemos que
2-2=0 e 1-1=0
Igualando as duas expressões temos que
2-2=1-1
Fatorando temos que
2(1-1)=1(1-1)
Dividindo ambos os membros por 1-1 temos que
2=1
Todos esses 4 raciocínios são idênticos e tem uma
explicação única!

120
B5.3 AULA 15 – Diagramas de Venn
Esse capítulo é fruto da prática do prof Otávio Sales e a maioria dos
problemas são inéditos, de autoria do próprio professor. O material dá mais
detalhes do que a maioria encontrada pela Internet.
Os diagramas de Venn – e os diagramas de Carroll – são estratégias ótimas de
resolução de problemas simples aritméticos.
Recomendo muita atenção e leitura e assistir aos vídeos.
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COMO PROCEDER?
o Problemas com Conjuntos ou Diagramas de Venn
atividade.
Diagramas de Venn
QUADRO
Diagramas de Venn – Resolução de Problemas
Usar diagramas de Venn para resolver problemas é
uma estratégia riquíssima.
Tais diagramas foram criados pelo lógico inglês John
Venn (Drypool, 1834 – Cambridge, 1923). A idéia
inicial era utilizá-los para resolver problemas de
Lógica
1) Foi realizada uma pesquisa numa escola sobre
a audiência das séries televisavas norte-
americanas “Narcos” e “Lost”. 60 estudantes já
assistiram “Narcos”, 30 já assistiram “Lost” e 15
assistiram as duas séries.
a) Quantos dos alunos assistiram apenas “Lost”?
b) Se 62 alunos não assistiram nenhuma das duas
séries, qual é o total de alunos da Escola?
QUADRO
Vamos resolver o exercício 1
Chamemos os diagramas de “N” e “L” para quem
assistiu Narcos e quem assistiu Lost. Colocamos
dentro de N e L o número de estudante que assistiu
cada série e na intersecção os que assistiram as
duas séries:

121
Abaixo dos números vamos colocar quantos
assistem apenas Lost e apenas Narcos, reduzindo
o que está na intersecção:
Portanto 15 assistem apenas Lost (ou seja, assistem
Lost e não assistem Narcos) e 45 assistem apenas
Narcos (ou seja, assistem apenas Narcos e não
assistem Lost).
Resposta do item “a”: 15
Resposta do item “b”: Se somarmos as 3 regiões da
figura acima acharemos o total de alunos que
assistem pelo menos uma das séries:
15+15+45=75
Como são 62 alunos que não viram nenhuma das
séries, o total de alunos é
62 + 75 = 137
2) Os vírus que causam as doenças Zika e
Chicungunha passaram a ser mais conhecidos no
Brasil recentemente, e muitos técnicos em
enfermagem ainda não estão totalmente
informados sore as doenças. Após uma pesquisa,
verificou-se que 28 conhecem bem a Zika, 17 o
Chicungunha, 6 as duas doenças e 5 nenhuma
delas.
a) Quantos técnicos em enfermagem foram
entrevistados?
b) Quantos técnicos não conhecem bem o
Chicungunha?
LEIA COM ATENÇÃO
ESSE QUADRO
Vamos resolver o exercício 2
Vamos colocar os dados no diagrama como fizermos
no exercício anterior:
Como temos ainda mais um dado, os 5 que não
conhecem nenhuma doença, colocamos de fora, e
com uma chave representando o total de quem
conhece Zica OU Chicungunha:
a) Foram entrevistados 44, e você entende isso
no contexto da figura!
b) Não conhecem bem Chicungunha os 22 que
conhecem apenas Zica e os 5 que não
conhecem nenhuma das duas: 22+5=27 é a
resposta
Vamos entender os diagramas:
Apenas “B” ou “B e não A”
Apenas “A” ou “A e não B”
“A e B” ou “as duas” ou “ambas”
(intersecção – palavra E)
“A ou B” ou “pelo menos uma das duas”
(união – palavra OU)

122
“Apenas uma”
Nenhuma
Não “A”
“Não B”
“No máximo um” ou “A e B e não os dois”
Perceba que há mais configurações possíveis!!! Você
não deve decorar, mas entender
Assista aos vídeos!
3) Numa sala de aula de 40 alunos verificou-se
que 17 usam regularmente o Snapchat e 21
possuem Twitter. Sabendo que 5 alunos não
utilizam nenhum dos dois aplicativos:
a) Quantos alunos utilizam-se dos dois
aplicativos?
b) Quantos alunos utilizam apenas o Snapchat?
QUADRO
O Exercício 3 você usa o mesmo raciocínio, porém
está em ordem inversa. Vamos retirar os dados:
Com um pouco de esforço você entenderá o
diagrama!!! Os dados abaixo do diagrama, sob os
colchetes é a soma dos “S” e dos “T”, que é 38.
O primeiro valor a ser preenchido é o número que
somado com 5 dá 40, que é 35:
Mas 38 é mais que 35!!! Ou seja, há 3 entre comum
nos dois conjuntos, ou seja, colocamos esse valor na
Intersecção:
Com um pouco de reflexão e raciocínio você
entenderá o que fizemos.
Portanto:
a) 3 alunos usam dos dois aplicativos
b) 14 usam apenas Snapchat
Ex 3
https://youtu.be/PF83ZdEuz2E
Ex 4 e 5
https://youtu.be/P-s8WxjT_ZY

123
4) Os Vingadores reuniram para decidir se aceitam
no grupo a entrada do Senhor Fantástico e do
Demolidor. 16 vingadores aceitaram a entrada do
Senhor Fantástico, 25 aceitaram a entrada de
Demolidor, 5 aceitaram a entrada dos dois heróis e 5
não aceitaram nenhum dos dois.
a) Quantos vingadores aceitaram a entrada apenas
de Senhor Fantástico?
b) Quantos vingadores se reuniram?
Esse exercício é muito fácil e não tem nada novo.
Após resolvê-lo, assista ao vídeo.
5) Foram aplicadas provas de Matemática e
Geometria. 200 alunos pegaram média apenas em
Matemática, 160 pegaram média apenas em
Geometria, 500 pegaram média das duas matérias e
270 não pegaram média em matéria alguma.
a) Quantos alunos pegaram média apenas em
Matemática?
b) Quantos alunos fizeram essas provas?
QUADRO
Vamos resolver o exercício 5:
Retiramos os dados:
Note que apenas 200 e apenas 160 ficam em baixo
do colchete, o que nos dá uma diferença dos
exercícios anteriores.
Ter pego média apenas Matemática – você assinala
em baixo / Ter pego média em Matemática – você
assinala em cima. Note que a sutil diferença muda
tudo!
De resto, é só usar o raciocínio. Na dúvida, veja aos
vídeos:
Portanto:
a) 200. Está no enunciado!!!
b) 1130
Ex 6 a 8
https://youtu.be/mEes5j-iGFM
6) Foi feita a proposta de excursões à Cooxupé e
o Hoppy Hari para 90 alunos. 42 disseram que
querem viajar para Cooxupé, 75 disseram que
querem viajar para o Hoppy Hari. Todos os alunos
querem viajar para algum desses dois lugares.
a) Quantos estudantes querem fazer as duas
viagens?
b) Quantos estudantes querem ir apenas para
Cooxupé?
7) Durante o Carnaval, a Prefeitura pesquisou a
opinião sobre a qualidade dos desfiles da
Mangueira e do Salgueiro, e observou que 92%
gostaram do desfile do Mangueira e 50%
gostaram do desfile do Salgueiro. Apenas 4% das
pessoas disseram que não gostaram de nenhum
dos desfiles.
a) Qual a porcentagem de pessoas gostou dos
dois desfiles?
b) Qual a porcentagem das pessoas que gostaram
apenas do desfile do Salgueiro?
O total é sempre 100% quando usamos
porcentagens!!
8) Em uma empresa, 50% dos funcionários lêem a
revista A, 70% lêem a revista B, e todo funcionário
é leitor de pelo menos uma dessas revistas.
a) O percentual de funcionários que lêem as duas
revistas é ....
b) Quantos leem apenas a revista A?

124
GABARITO
Questão 4
a) 11 b) 41
Questão 6
a) 27 b) 15
Questão 7
a) 46% b) 4%
Questão 8
a) 20% b) 30%
Diagramas de Carroll
QUADRO
Diagramas de Carroll – Resolução de Problemas
Uma outra forma de resolver problemas são os
diagramas de Carroll, que só ajudam em parte dos
problemas.
Eles foram criados por Lewis Carroll, autor de Alice
no País das Maravilhas.
Lewis Carroll, ou Charles Lutwidge Dodgson, foi
romancista, matemático e pastor anglicano, nascido
em Daresbury em 1832 e falecido em Guilford em
1898, ambas cidades da Inglaterra.
Questão 1 – Resolva pelos diagramas de Venn
e Carroll (obrigatório resolver pelos dois métodos,
pois aqui o objetivo é o MÉTODO e não a solução
do problema simplesmente)
Nas turmas do CEC Piaquara, 120 alunos
estudam jogos culturais. Foram entrevistados e 40
alunos disseram gostar de Men’s Morris, e 70
disseram gostar de Shissima. Vários alunos
disseram que gostam de outros jogos, mas nem
de Shissima, nem de Men’s Morris. Sabendo que
20 crianças gostam tanto de Shissima quanto de
Men’s Morris, determine o total de alunos que não
gostam nem de Shissima nem de Men’s Morris.
Resolução 1:
Resposta:
Resolução 2:

125
Resposta:
QUADRO
Vamos resolver apenas pelo Diagrama de Carroll.
Primeiro, retiramos os dados no diagrama seguindo
a seguinte lógica, que, você com certo esforço,
entenderá:
Vamos inserir os dados e colocar no diagrama, e
interrogações no que eu quero descobrir:
Agora, apenas entendendo que as linhas dos totais
são a soma das linhas e colunas, vou preenchendo
os dados, como numa tabela de dupla entrada (de
contingência), que vimos em B3.3. Você tem que
PENSAR! Não há dicas e nem roteiros prontos para
isso!!! Veja os vídeos!
A tabela fica assim:
Ex 1 e 2
https://youtu.be/oGCYdl40FGU
Questão 2– Resolva pelos diagramas de Venn
e Carroll - (ENCCEJA – Ensino Médio – 2002)
Uma empresa decidiu doar livros e cadernos aos
alunos carentes de uma escola da sua vizinhança.
Receberão os materiais escolares apenas os
alunos que tenham menos de 10 faltas no ano e
cujas famílias tenham renda de até 3 salários
mínimos. Sabe-se que:
• a escola possui 1000 alunos;
• 350 alunos têm menos de 10 faltas no ano;
• 700 alunos pertencem a famílias com renda de
até 3 salários mínimos;
• 200 alunos não pertencem a nenhum dos grupos
acima, ou seja, têm 10 ou mais faltas no ano e
pertencem a famílias com renda superior a 3
salários mínimos.
A empresa deve enviar o material escolar para
(A) 250 alunos. (B) 300 alunos.
(C) 400 alunos. (D) 550 alunos.
Resolução 1:
Resposta:
Resolução 2:

126
Resposta:
Ex 3 a 6
https://youtu.be/rMQXVTL1PgI
e Carroll - (PUC) Um levantamento sócio-
econômico entre os habitantes de uma cidade
revelou que, exatamente: 17% têm casa própria;
22% têm automóvel; 8% têm casa própria e
automóvel. Qual o percentual dos que não têm
casa própria nem automóvel?
Resolução 1:
Resposta:
Resolução 2:
Resposta:
Resolução do problema acima:
http://www.profezequias.net/conjuntos.html
e Carroll - (Exame de Seleção Escola
Agrotécnica Federal de Muzambinho – 1o
semestre / 1998) Dois produtos A e B são
consumidos de acordo com dados abaixo, obtidos
em uma pesquisa:
- 20 pessoas responderam à pesquisa e todas elas
consomem, pelo menos, um dos dois produtos.
- 5 pessoas, dentre as 20 consultadas, disseram
que consomem os dois produtos.
- 3 pessoas disseram que só consomem o produto
B.
Com esses dados, é possível afirmar que o
número de pessoas que não consomem o produto
A e o número de pessoas que só consomem o
produto A são respectivamente,
a) 20 pessoas e 3 pessoas
b) 3 pessoas e 12 pessoas
c) 8 pessoas e 20 pessoas
d) 12 pessoas e 5 pessoas
e) 5 pessoas e 3 pessoas.
Resolução 1:
Resposta:
Resolução 2:
Resposta:
Questão 5– Resolva pelos diagramas de Venn e
Carroll - (Gabarito de Matemática) Na cidade dos
Pésujos, há duas marcas de sabão:
RANCAKARACA e SAIKASCUDO. Após uma
pesquisa realizada para saber a quantidade de
pessoas que utilizam as marcas, obtiveram-se os
seguintes dados na tabela abaixo:

127
Com base nas informações da tabela, quantas
pessoas foram entrevistadas?
Resolução 1:
Resposta:
Resolução 2:
Resposta:
Resolução do problema acima em
http://www.gabaritodematematica.com/problemas-de-conjuntos/
e Carroll - (Prof. Ezequias) Em uma prova
discursiva de Matemática com apenas duas
questões, 470 alunos acertaram somente uma das
questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que
90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram
a primeira questão. Quantos alunos fizeram a
prova?
Nenhuma das 5 questões acima, ou das anteriores dessa aula
precisou pensar muito! Foi tudo mecânico! Essa questão você
precisará de um pouco de raciocínio! Recomendo fortemente que
assista ao vídeo para entender o raciocínio!
Aqui tanto o 470 quanto o 210 exigem uma ginástica mental que
podem ser solucionadas usando sistemas de equações ou por
método mais simples como descrito no vídeo
Resolução 1:
Resposta:
Resolução 2:
Resposta:
Resolução dos problema acima:
e Carroll - (Concurso Professor de Matemática
5ª à 8ª séries – Prefeitura Municipal de Mogi
das Cruzes-SP – Banca Vunesp – 2003) Um
professor levou alguns alunos ao parque de
diversões chamado Sonho. Desses alunos:
 12 já andaram de montanha russa, mas
nunca haviam ido ao parque Sonho;
 32 já haviam ido ao parque Sonho, mas
nunca andaram de montanha russa;
 ao todo, 36 nunca haviam ido ao parque
Sonho;
 ao todo, 40 já andaram de montanha russa.
Pode-se afirmar que o professor levou ao parque
Sonho:
a) 64 alunos b) 72 alunos c) 84 alunos
d) 96 alunos e) 120 alunos
Ex 7
https://youtu.be/tisgmOazc_U
Note que esse exercício é muito mais fácil se
resolvido por Diagramas de Carroll do que por
diagramas de Venn.
Resolução 1:
Resposta:
Resolução 2:

128
Resposta:
e Carroll - (Concurso Professor de Matemática
5ª à 8ª séries – Prefeitura Municipal de
Orlândia-SP – Banca Vunesp – 2003) Uma
professora vai levar uma turma de 45 alunos ao
zoológico. Desses alunos:
 13 já foram ao zoológico, mas nunca viram
um elefante.
 8 já viram um elefante, mas nunca foram
ao zoológico.
 Ao todo, 18 já viram um elefante.
Pode-se afirmar que o total de alunos que nunca
foram ao zoológico é:
a) 6 b) 13 c) 14
d) 22 e) 24
Ex 8
https://youtu.be/qG5R-YsJh98
Note que esse exercício é muito mais fácil se
resolvido por Diagramas de Carroll do que por
diagramas de Venn.
Resolução 1:
Resposta:
Resolução 2:
Resposta:
GABARITO
Questão 2
Resposta: “A” (250 alunos)
Questão 3
Resposta: 69%
Questão 4

129
Resposta: “B” (3 e 20)
Questão 5
Resposta: 380
Questão 6
Resposta: 600
Questão 7
Resposta: “D” (96)
Questão 8
Resposta: “D” (22)
QUESTÕES ADICIONAIS PARA PRÁTICA
Correção da questão 1
4:45
https://youtu.be/vgNmv8YWiJc
Questão 1 - (Exame de Seleção Escola
Agrotécnica Federal de Muzambinho – 1o
semestre / 2003) Em uma pesquisa, feita por uma
turma universitária, sobre o conhecimento de duas
línguas, espanhol e francês, foram levantados os
dados:
I ) O número de alunos que dominam francês ou
espanhol é 45;
II ) 40 % desses alunos dominam os dois idiomas;
III ) Os que dominam espanhol são 11 a mais do que
os que dominam francês.

130
Podemos afirmar que o número de alunos que
sabem espanhol e o número dos que sabem francês
correspondem, respectivamente, a
a) 38 e 27 b) 37 e 26 c) 35 e 24
d) 30 e 19 e) 28 e 17
Você precisará usar equações para resolver esse
problema!
Questão 2 -(CESPE/UnB) A partir de uma amostra
de 1.200 candidatos a cargos em determinado
concurso, verificou-se que 600 deles se inscreveram
para o cargo A, 400 se inscreveram para o cargo B e
400, para cargos distintos de A e de B. Alguns que
se inscreveram para o cargo A também se
inscreveram para o cargo B.
A respeito dessa situação hipotética, julgue o item
abaixo:
Menos de 180 candidatos se inscreveram no
concurso para os cargos A e B.
a) Certo b) Errado
http://www.gabaritodematematica.com/problemas-de-
conjuntos/
Questão 3 - (ENEM) Numa escola com 1200 alunos
foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento
desses em duas línguas estrangeiras, inglês e
espanhol.
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam
inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer
um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa
escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala
inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale
espanhol?
a) 1/2 b) 5/8 c) 1/4 d) 5/6 e) 5/14
http://www.gabaritodematematica.com/problemas-de-conjuntos/
Questão 4 - (Prof. Ezequias) Dez mil aparelhos
de TV foram examinados depois de um ano de uso
e constatou-se que 4.000 deles apresentavam
problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de
som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos
de problema citados. Então o número de
aparelhos que apresentavam somente problemas
de imagem é:
(A) 4 000 (B) 3 700 (C) 3 500
(D) 2 800 (E) 2 500
Resolução dos problema acima:
EXERCÍCIO COMPLEMENTARES
Alguns problemas da lista a seguir tratam de assuntos diversos,
não necessariamente sobre conjuntos!
Correção das questões 1 e 2
3:57
https://youtu.be/IOl7PoW8OS4
1. (Exame de Seleção Escola Agrotécnica
Federal de Muzambinho – 1o
semestre / 1998)
Observando os conjuntos A, B e C abaixo,
identifique o diagrama correspondente à
intersecção entre eles.
A={ x / x é letra da palavra FELIZ } B={ x / x é
letra da palavra LISTAS } C= { x / x é vogal }
2. Se AUB={1,2,3,5,6,7}, B
A  ={5,6,7} e
B={1,2,5,6,7}, determine A.
4:02
https://youtu.be/eEl560sOD_U

131
3. (UFU/PAIES 1998-2001 – 1ª etapa) A parte
hachurada na figura abaixo representa
(AB)(AC)
( ) Verdadeiro
( ) Falso
Correção da questão 3 e 4
3:26
https://youtu.be/vDTKRgsat7U
4. (Concurso Professor III – Rede Estadual de
São Paulo – 1993) Um diagrama de Euler-Venn
que represente dois conjuntos não vazios A e B
tais que sejam verdadeiras simultaneamente as
relações:
AB, A-B=A, AB=B
é o correspondente à alternativa:
5. (FATEC) Considere verdadeiras as três
seguintes afirmações:
I. Todos os amigos de João são amigos de Mário.
II. Mário não é amigo de qualquer amigo de Paulo.
III. Antônio só é amigo de todos os amigos de
Roberto.
Se Roberto é amigo de Paulo, então:
a) Antônio é amigo de Mário
b) João é amigo de Roberto
c) Mário é amigo de Roberto
d) Antônio não é amigo de João
e) n.d.a.
Veja debate sobre a questão número 5 no site
https://www.qconcursos.com/questoes-de-
concursos/questao/b861be11-13
4:42
https://youtu.be/1-d084_5Hgs
6. (FEI) Dadas as premissas: “Todos os
corintianos são fanáticos” e “Existem fanáticos
inteligentes”, pode-se tirar a conclusão seguinte:
a) “Existem corintianos inteligentes”
b) “Todo corintiano é inteligente”
c) “Nenhum corintiano é inteligente”
d) “Todo inteligente é corintiano”
e) Não se pode tirar conclusão.
5:02
https://youtu.be/dxhTDhIBiYo
7. (Provão – Matemática – 1998) Assinale a única
alternativa verdadeira, a respeito dos números
reais.
a) A soma de dois números irracionais é sempre
um número irracional.
b) O produto de dois números irracionais é sempre
um número racional.
c) Os números que possuem representação
decimal periódica são irracionais.
d) Todo número racional tem uma representação
decimal finita.
e) Se a representação decimal infinita de um
número é periódica, então esse número é racional.
Correção das questões 8 a 12
8:07
https://youtu.be/0DvVLjB4Kq8
8. (Exame de Seleção Escola Agrotécnica
Federal de Muzambinho – 1o
semestre / 1998)
Considere que N é o conjunto dos números
naturais, Z é o conjunto dos números inteiros, Q é
o conjunto dos números racionais e R é o conjunto
dos números reais. As menores regiões a que
pretencem na figura ao lado, os números 52, -7 e
5 respectivamente, são
a) N ; Z ; R b) Z ; N ; Q c) Q ; R ; N
d) N ; Z ; Q e) Q ; Z ; R
9. (UNESP) Uma pessoa que gosta de todas e
apenas das pessoas que não gostam de si
mesmas:
a) gosta de si mesma.
b) não gosta de si mesma.
c) não existe.
d) não gosta de ninguém.
10. (Concurso para Professor de Matemática
de 5ª à 8ª e Ensino Médio – SESI/01) A Bienal de
Artes de São Paulo, que está sendo realizada

132
neste ano de 2002, é uma exposição de arte
contemporânea que ocorre de 2 em 2 anos.
Sabendo que a Copa do Mundo de Futebol, que
também ocorrerá neste ano, é um evento
realizado de 4 em 4 anos, a última Bienal antes do
ano 2100 que ocorrerá no mesmo ano de Copa do
Mundo de Futebol deverá ser em:
a) 2090 b) 2092 c) 2094
d) 2096 e) 2098
11. (UERJ/2000) O número de fitas de vídeo que
Marcela possui está compreendido entre 100 e
150. Grupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou
de 20 em 20, sempre resta uma fita. A soma dos
três algarismos do número total de fitas que ela
possui é igual a:
a) 3 b) 4 c) 6 d) 8
12. (UFC-98) Para uma festinha foram
encomendados 90 refrigerantes, 230 salgados e
120 doces. Os convidados foram divididos em 3
faixas: crianças, senhores e senhoras. Cada
criança deverá consumir exatamente 2
refrigerantes, 8 salgados e 4 doces; cada senhor
deverá consumir exatamente 3 refrigerantes, 5
salgados e 3 doces; cada senhora deverá
consumir exatamente 3 refrigerantes, 6 salgados
e 3 doces. Qual deverá ser o total de convidados
para que não sobrem e nem faltem refrigerantes,
salgados e doces?
a) 25 b) 35 c) 45 d) 55 e) 65
O problema 12, caso você não consiga resolvê-lo,
faça através de Sistemas de Equações digitados em
um aplicativo: WxMaxima, Geogebra ou Photomath.
Maioria dos exercícios dessa aula de autoria
própria - inéditos
5.1 AULA 16 – Multiplicação, Divisão, Potenciação e Radiciação de Radicais
Essa aula é continuação da aula 13, e, como a aula 13, é um assunto que
algumas vezes está ausente das aulas de Ensino Fundamental.
Vale a pena estudar essa aula! Como vale a pena estudar completamente
essa apostila.
Tire pelo menos 30 min por dia, durante 10 meses ao ano, para estudar
Matemática, durante toda a idade escolar.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o MULTIPLICAÇÃO DE RADICAIS
o DIVISÃO DE RADICAIS
o POTENCIAÇÃO DE RADICAIS
o RADICIAÇÃO DE RADICAIS
atividade.

133
Multiplicação de Radicais
QUADRO
Multiplicação de Radicais
a)√5 ∙ √2 = √10
b)√2
4
∙ √8
4
= √16
4
= √24
4
= 2
c)5√3 ∙ 3√𝑎 = 15√3𝑎 (a≥0)
d) √𝑥 ∙ √𝑥3𝑦 ∙ √𝑦 = √𝑥4𝑦2 = 𝑥2
𝑦 (x,y≥0)
1)(Edwaldo Bianchini) Determine os produtos
a) √5
3
∙ √6
3
b) √2 ∙ √8
c) √2 ∙ √6 ∙ √3
d) √5 ∙ √10
e) √4
3
∙ √6
3
f) √𝑎3
4
∙ √𝑎5
4
(a≥0)
g) 3√2 ∙ 4√3 ∙ √15
h) √𝑎2𝑏 ∙ √𝑎𝑏3 (a,b≥0)
i) 5√
2
3
∙ √
5
3
GABARITO
a)√30
3
b) 4 c) 6 d) 5√2 e) 2√3
3
f) 𝑎2
g) 36√10 h) 𝑎𝑏2
√𝑎 i)
5√10
3
QUADRO
2º Caso: Radicais com índices diferentes
Reduz-se ao mesmo índice
a) √2 ∙ √2
3
= √23
6
∙ √22
6
= √25
6
b) √3 ∙ √2
4
= √32
4
∙ √2
4
= √18
4
c) √𝑎
3
∙ √𝑥
4
= √𝑎4
12
∙ √𝑥3
12
= √𝑎4𝑥3
12
(x≥0)
2)(Edwaldo Bianchini) Determine os produtos:
a)√3 ∙ √32
3
b)√4
3
∙ √8
c)√3
3
∙ √2 ∙ √4
4
d)√𝑥
4
∙ √𝑥3 (x≥0)
e)√𝑎
3
∙ √𝑎
4
∙ √𝑎
5
(a≥0)
f)√𝑥
6
∙ √𝑥2
3
∙ √𝑥 (x≥0)
GABARITO
a)3√3
6
b) 4√2
6
c) 2√3
3
d) 𝑥√𝑥3
4
e) √𝑎47
60
f) 𝑥√𝑥
3
QUADRO
3º Caso: Produto de uma soma de radicais não
semelhantes por um radical
Usa-se a Propriedade Distributiva
a) √2(√2 + 2) = √4 + 2√2 = 2 + 2√2
b) √3(√2 − √3) = √6 − √9 = √6 − 3
c)(5 + √7)(2 − √7) = 10 − 5√7 + 2√7 − √49 =
10 − 5√7 + 2√7 − 7 = 3 − 3√7
3)(Edwaldo Bianchini) Determine os produtos:
a) √5(1 + √5)
b) √7(√2 + √3)
c) 2√3(√3 + 2)
d) (√5 + 10)(√5 − 1)
e) (3√2 − 2)(√2 + 3)
f) (√7 − 1)(√7 + 4)
GABARITO
a) √5 + 5 b) √14 + √21 c) 6 + 4√3
d) 9√5 − 5 e) 7√2 f) 3√7 + 3
Divisão de Radicais
QUADRO
Divisão de Radicais
a)√20:√10 = √2
b) √𝑥5: √𝑥4 = √𝑥 (a≥0)
c)√32
3
: √4
3
= √8
3
= 2
d) √4: √25 = √
4
25
=
2
5
2º Caso: Produto de uma soma de radicais não
semelhantes por um radical
a) √2: √2
3
= √23
6
: √22
6
= √2
6
b) √6
3
: √3 = √62
6
: √33
6
= √36
6
: √27
6
= √
36
27
6
= √
4
3
6
1)(Edwaldo Bianchini) Determine os quocientes:
a)√12:√3
b)√50:√2
c)
√49
√25
d)
√2
√3
e)√𝑎8
3
: √𝑎2
3
f)√15𝑥2
5
: √3𝑥
5
(x>0)
g)√3
3
: √4
3
h)12√6: 3√2
2)(Edwaldo Bianchini) Determine os quocientes:

134
a)√9
3
: √3
b)√4
3
: √2
c)√𝑎3
4
: √𝑎2
5
(a>0)
d)√4
4
: √8
6
e)
√6
6
√2
f)
√𝑎
3
√𝑎
6 (a>0)
GABARITO
1)a)2 b) 5 c) 7/5 d)√6/3 e) a² f) √5𝑥
5
g) √
3
4
3
h)4√3
2)a)√3
6
b) √2
6
c) √𝑎7
20
d) 1 e) √
3
4
6
f) √𝑎
6
3) (A Conquista da Matemática) A área de um
triângulo é dada pela metade do produto da
medida da base pela medida da altura. Nessas
condições, calcule, na forma decimal, a área do
triângulo da figura, adotando que √3 ≈ 1,73
4)(A Conquista da Matemática)No retângulo
seguinte, as medidas indicadas são dadas em
centímetros. Determine:
a) o perímetro do retângulo
b) a área do retângulo
5)(A Conquista da Matemática)Determine o
perímetro e a área do retângulo da figura abaixo
6)(A Conquista da Matemática)Qual é a área do
triângulo da figura a seguir?
7)(A Conquista da Matemática)Qual é o número
real x expresso por
√6(√2 + 1) − √2 ∙ √3 ?
8)(A Conquista da Matemática)Usando a
definição, calcule:
a)(1 + √5)
2
b)(√5 + √3)
2
c)(2 − √3)
2
d)(√7 − √2)
2
Potenciação de Radicais
QUADRO
Basta usar as propriedades que já aprendemos no
decorrer do módulo:
Exemplos:
a)(√3)
2
= 5 (cancelamento)
b)(√4
5
)
5
= 4
c)(√9
3
)
2
= √92
3
= √(32)2
3
= √34
3
= √33 ∙ 3
3
=
= √33
3
∙ √3
3
= 3√3
3
(uma sucessão de operações
todas estudadas nesse módulo B5)
d)(√𝑎
6
)
5
= √𝑎5
6
(não há mais como simplificar)
1) (Edwaldo Bianchini) Calcule as potências,
supondo nos itens “m” e “n” valores positivos :
a)(√5)
2
b)(√2)
2
c)(√3
3
)
4
d) (√5)
3
e) (√3
3
)
5
f) (3√5)
2
g) (2√3
3
)
4

135
h) (3√𝑎2
3
)
2
i) (2√25)
2
j) (𝑥√𝑦
3
)
4
k)(𝑎√𝑎)
5
l) (√𝑎𝑏2
3
)
3
m)(
𝑎
𝑏
√
𝑏
𝑎
)
2
n)(
2𝑥
𝑦
√
𝑦
4𝑥
4
)
5
o)(
2
5
√3𝑥)
3
QUADRO
Vamos aplicar os produtos notáveis em radicais:
Exemplos:
a)(√3 + √5)
2
= (√3)
2
+ 2√3√5 + (√5)
2
=
3 + 2√15 + 5 = 8 + 2√15 .
(usamos o quadrado da soma)
b)(3 − √2)
2
= 32
− 2 ∙ 3√2 + (√2)
2
=
9 − 6√2 + 2=11 − 6√2.
(usamos o quadrado da diferença)
c)(5 − √3)(5 + √3) = 52
− (√3)
2
= 25 − 3 = 22
(usamos o produto da soma pela diferença)
2)(A Conquista da Matemática)Aplicando a regra
dos produtos notáveis, calcule:
a)(√3 + √2)
2
b)(1 − √7)
2
c)(4√2 + 5)(4√2 − 5)
d)(2 + √10)
2
e)(√11 + √7)(√11 − √7)
f)(3√3 + √2)
2
g)(7 + √19)(7 − √19)
h)(−3√5 + 1)(−3√5 − 1)
i) (2√7 + 3√5)
2
3) Desenvolva 4√8 − (√2)
3
.
Radiciação de Radicais
QUADRO
Basta usar as propriedades que já aprendemos no
decorrer do módulo:
Exemplos:
a)√√5 = √5
4
b)√√√3
3
4
= √3
24
c)√√80 = √80
4
= √245
4
= 2√5
4
d)√3√2 = √√322 = √18
4
(note que introduzimos o
fator externo no radicando)
Verifique que essa propriedade, já estudada
anteriormente, é coerente
√√5
4
3
= (√5
4
)
1
3
= (5
1
4)
1
3
= 5
1
12 = √5
12
1)(Edwaldo Bianchini) Efetue as radiciações:
a)√√10
5
b)√√8
3
c)√√4
3
d)√√5
4
3
e) √√27
3
d) √√32
5
e)√√√𝑎
f)√√√𝑎12
3
3
g)√2√2
3
h)√𝑎√2
i) √√√64
j) √√58
3
4
k) √2√2√2
QUADRO
Quando temos um trinômio quadrado perfeito, é
fácil calcular sua raiz quadrada:
√𝑥2 − 6𝑥 + 9 = √(𝑥 − 3)2 = 𝑥 − 3
(satisfeitas condições de existência)

136
No caso do polinômio cubo perfeito, o mesmo
raciocínio (no caso você deve ter feito o
aprofundamento interessante da alua 5):
√𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1
3
= √(𝑥 + 1)3
3
= 𝑥 + 1
1) Efetue, supondo satisfeitas as condições de
existência:
a) √4𝑥2 + 4𝑥 + 1
b) √𝑥2 − 10𝑥 + 25
c) √
𝑥2−8𝑥+16
𝑥2+4𝑥+4
d)√
𝑥3+2𝑥2+𝑥
𝑥
*e)√𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8
3

137
B5.2 AULA 17 – Adição/Subtração/Multiplicação/Divisão Frações Algébricas
As atividades a seguir serão muito importantes para a continuidade do
aprendizado em Matemática. Elas ajudam a retomar as 4 operações com
frações - que devem ser conhecidas em detalhes, pois são usadas em toda
educação básica.
Recomendamos que, caso você tenha letra grande, que faça os cálculos em
seu caderno.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS
o MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS
o DIVISÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS
 Concluída a apostila vá até a Plataforma Moodle e resolva todos os exercícios até tirar 10,0 na atividade.
Adição e Subtração de Frações
QUADRO
Veja os exemplos do Colégio Asther para
Adição e Subtração de Frações Algébricas, que
é bastante evidente:
Veja exemplos do livro de SCHULTZ (2004),
não traduzidas:

138
LCD é a sigla de MMC em inglês
EXERCÍCIO
1)(Colégio Asther) Efetue, Simplifique e enuncie
as condições de existência:
a)
3𝑎
𝑦
+
2𝑎
𝑦
−
𝑎
𝑦
b)
𝑥−3
𝑥+𝑦
−
𝑥−2
𝑥+𝑦
+
𝑥+1
𝑥+𝑦
c)
𝑎
𝑏
+
2𝑎
3𝑏
−
3𝑎
2𝑏
d)
𝑎
3𝑥
+
2𝑎
2𝑥
−
3𝑎
4𝑥
e)
2
𝑥2 −
3
4𝑥
f)
3
𝑎
+
𝑎+2
𝑎−2
g)
3𝑥+1
2𝑥−2
−
𝑥+1
𝑥−1
h)
1
𝑎+𝑏
+
1
𝑎−𝑏
i)
𝑏+2𝑎2
𝑎𝑏+𝑎
−
2𝑎
𝑏+1
j)
𝑥−2
𝑥+2
+
2
𝑥−2
+
4𝑥−12
𝑥2−4
k)
𝑎
𝑎−𝑏
+
2𝑏2
𝑎2−𝑏2 +
𝑏
𝑎+𝑏
l)
𝑎+𝑏
𝑏
−
𝑎+𝑏
𝑎
+
𝑎2+𝑏2
𝑎𝑏
m)
𝑥
𝑥−2
−
𝑥2−12
𝑥2−4
+
2
𝑥+2
n)
𝑦−1
𝑦+1
+
𝑦+1
𝑦−1
−
4𝑦
𝑦2−1
o)3 − 𝑥 +
𝑥2
3+𝑥
2)(SCHULTZ,2004) Efetue as adições algébricas:
a)
𝑟+9
4
+
𝑟−3
2
b)
𝑥+7
3
−
4𝑥+1
9
c)
𝑥
𝑥2−4
−
2
𝑥−4
d)
2𝑥
𝑥+3
−
𝑥−3
𝑥2+6𝑥+9
e)
−4
𝑥−5
+
5𝑥
𝑥+3
f)
2
𝑥+2
−
6
𝑥−2
g)
3
𝑥−1
−
2
𝑥+1
h)
8
3𝑥−5
+
7
2𝑥+3
i)
2𝑥+3
𝑥+3
+
𝑥
𝑥−2
j)
𝑥+2
2𝑥−1
−
2𝑥
𝑥−1
k)𝑥2
+
2𝑥
3𝑥−5
l)
𝑥+1
(𝑥−1)2 +
𝑥−2
𝑥−1
m)2𝑥2
− 1 −
𝑥−1
𝑥+2
n)
3𝑥
𝑥−1
+
5𝑥+2
𝑥−1
−
10
𝑥−1
o)
7𝑥
𝑥2−1
−
𝑥
𝑥2−1
+
6
𝑥2−1

139
p)
7
𝑥+7
+
−𝑥
𝑥−7
+
2𝑥
𝑥2−49
*q)
𝑥
𝑥−3
−
3
𝑥+4
+
7
𝑥2+𝑥−12
r)(𝑎 − 𝑏)−1
− (𝑎 + 𝑏)−1
s)(𝑎 − 𝑏)−2
− (𝑎 + 𝑏)−2
t)
𝑥
𝑥−𝑦
−
𝑥2+𝑦2
𝑥2−𝑦2 +
𝑦
𝑥+𝑦
u)
3𝑟
2𝑟−𝑠
−
2𝑟
2𝑟+𝑠
+
2𝑠2
4𝑟2−𝑠2
Os exercícios assinalados com * exigem que o
estudante tenha feito ao aprofundamento da aula 5
Multiplicação de Frações Algébricas
QUADRO
Multiplicação de Frações Algébricas
Exemplos do livro de SCHULTZ
*
1)(Colégio Asther / Edwaldo Bianchini) Efetue,
Simplifique e enuncie as condições de existência:
a)
2𝑥
5
∙
5
𝑦
b)
𝑎+𝑏
𝑥
∙
𝑎−𝑏
𝑦
c)
3𝑎
𝑎+3
∙
2𝑎
𝑎+2
d)
𝑎−5
3
∙
2𝑎
𝑎−5
e)
3𝑥2
8𝑎
∙
2𝑎
𝑦
∙
2𝑦3
𝑥
f)
𝑚+𝑛
2(𝑎−𝑏)
∙
𝑎−𝑏
𝑚−𝑛
g)
𝑚2−𝑛2
6
∙
3
𝑚−𝑛
h)
𝑥2+𝑥
𝑥+1
∙
3𝑥+6
𝑥2−4
i)
𝑎2−1
𝑥
∙
2𝑥
𝑎+1
j)
𝑥−𝑦
4
∙
𝑥+𝑦
3𝑏
k)
3𝑎
𝑎+3
∙
2𝑎
𝑎+2
l)
𝑎−5
3
∙
2𝑎
𝑎−5
m)
𝑚+𝑛
2(𝑎−𝑏)
∙
𝑎−𝑏
𝑚−𝑛
n)
𝑚2−𝑛2
6
∙
3
𝑚−𝑛
o)
𝑥2+𝑥
𝑥+1
∙
3𝑥+6
𝑥2−4
p)
5𝑎
𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2 ∙
3𝑎−3𝑏
2
q)
4𝑥2−9
4𝑥2+12𝑥+9
∙
2𝑥2+3𝑥
4𝑥+6
r)
3
2𝑚−2
∙
𝑎𝑚+𝑎
𝑎+𝑎𝑏
∙
𝑚−1
3𝑚+3
2)(SCHULTZ,2004) Encontre os produtos:
a)
𝑥
9𝑥8 ∙
𝑥7
2𝑥
∙
45
𝑥4
b)
− 5
𝑥3 ∙
−𝑥5
3
∙
−4
𝑥
∙
20
𝑥3
*c)
𝑥2−4𝑥−5
𝑥2−3𝑥+2
∙
𝑥2−4
𝑥2−3𝑥−10
*d)
𝑥2−9
𝑥2−4𝑥+4
∙
𝑥2−4
𝑥2−𝑥−6
*e)
𝑥4+2𝑥3+𝑥2
𝑥2+𝑥−6
∙
𝑥2−𝑥−2
𝑥4−𝑥2
*f)
𝑥5−4𝑥3
𝑥2−𝑥−2
∙
𝑥2−1
𝑥5−𝑥4−2𝑥3
g)
𝑥4
4
∙ (
𝑥𝑦
6
)
−1
∙
2𝑦2
𝑥
h)
4𝑥2
5
∙
30
𝑥4 ∙
20𝑥3
60
*i)
𝑥2−8𝑥+12
𝑥2+2𝑥−15
∙
𝑥2+8𝑥+15
𝑥2+9𝑥+18
estudante tenha feito ao aprofundamento da aula 5

140
Divisão de Frações Algébricas
QUADRO
Divisão de Frações Algébricas
Veja os exemplos, do livro de SCHULTZ (2004):
1)(Edwaldo Bianchini) Encontre os quocientes:
a)
𝑎
𝑏
:
𝑥
𝑦
b)
3𝑎
4𝑏
:
5𝑎
8
c)
2𝑎
𝑏
:
𝑏
𝑐
d)
𝑎
3
:
𝑎2
𝑥
e)
𝑥−1
3𝑥
:
4
𝑥+2
f)
8𝑥
𝑥+5
:
𝑥+1
2𝑥
g)
𝑎+𝑏
𝑎𝑏
:
𝑎+𝑏
𝑎−1
h)
𝑎+𝑎𝑏
𝑥2 :
2+2𝑏
3𝑥
i)
𝑚2−𝑚
3𝑚+3
:
𝑚2−1
𝑚
j)
𝑎2−𝑎𝑏
𝑏
:
𝑎2−𝑏2
𝑎𝑏
k)
𝑎𝑥
𝑎+𝑏
:
𝑎2
𝑎2−𝑏2
l)
4𝑥2
𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2 :
8𝑥
𝑥2−𝑦2
m)
𝑥2−4𝑥
𝑥2+1
:
𝑥2−16
2𝑥2+2
n)
6𝑥
:
𝑥2−𝑦2
3𝑦
o)
𝑎2−𝑥2
𝑥𝑦
:
𝑎−𝑥
𝑥
p)
𝑥+5
2𝑥
:
𝑥2−25
3𝑥
q)
4𝑥2−9
𝑎2 :
4𝑥2+12𝑥+9
𝑎
2)(Colégio Asther) Efetue, Simplifique e enuncie
as condições de existência:
a)
𝑎
3
𝑎2
𝑥
b)
𝑎2−𝑥2
𝑥𝑦
𝑎−𝑥
𝑥
c)
𝑥+5
2𝑥
𝑥2−25
3𝑥
d)
𝑥−𝑦
2
𝑥2−𝑦2
4
*e)
4𝑥2−9
𝑎2
4𝑥2+12𝑥+9
𝑎
f)
𝑎−𝑏
𝑎𝑏2
(𝑎−𝑏)2
𝑎2𝑏
3) (SCHULTZ,2004) Encontre os quocientes:
*a)
2𝑥2−2𝑥
𝑥2−9
÷
𝑥2+𝑥−2
𝑥2+2𝑥−3
b)
4𝑥2+20𝑥
9+6𝑥+𝑥2 ÷
𝑥+5
𝑥2−9
c)
4𝑥3−9𝑥
2𝑥−7
÷
3𝑥3+2𝑥2
4𝑥2−14𝑥
d)
𝑥4−4𝑥2
𝑥2−9
÷
4𝑥2−4𝑥3+𝑥4
𝑥2−6𝑥+9
e)2𝑟𝑠 ÷
2𝑟2
𝑠
÷
2𝑠2
𝑟
*f)
𝑥2−2𝑥+1
𝑥2+6𝑥+8
÷
𝑥2−1
𝑥2+3𝑥+2
*g)
2𝑥−6
𝑥2+9𝑥+20
𝑥2−9
𝑥2+5𝑥+4

141
4) (SCHULTZ,2004) Encontre a expressão
racional R cujo numerador e denominador têm
grau 2:
5) (SCHULTZ,2004) Para analisar as receitas e os
custos da venda de fitas de espírito escolar, os
membros do Clube de Economia Doméstica da
Escola Secundária Jamesville usaram a relação
receita-custo abaixo:
𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑖𝑡𝑎
𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑖𝑡𝑎
Represente o número de fitas produzidas e
vendidas por 𝑥 e seu custo total de produção em
dólares por 0,8𝑥 + 25. Se a receita de cada fita
fosse de US $ 3, para quantas fitas a razão da
receita pelo custo era igual ou superior a 1,5?
Encontrar a resposta para esta questão envolve
escrever e simplificar uma expressão racional.
Faça.
Pense também: Para quantas fitas foi a relação de
receita-custo de 1,5 ou maior?
6) (SCHULTZ,2004) Uma caixa de tampa aberta
deve ser feita de uma folha de papelão de 20
polegadas por 20 polegada. Quadrados com lados
de x polegadas devem ser cortados em um lado e
vincados em outro para formar abas. Quando os
lados são dobrados, essas abas são coladas aos
lados adjacentes para fornecer reforço.
a) Mostre que x (20-2x) (16-2x) representa o
volume da caixa.
b) Mostre que 320-4x² representa a área da
superfície do fundo e dos lados do interior da
caixa.
c) Escreva e simplifique uma expressão para a
relação entre o volume da caixa e a área da
superfície interna da caixa.
d) Como a razão encontrada no item “C” aumenta
ou diminui?
7) (SCHULTZ,2004) Encontre os quocientes:
a)
(𝑥+2)2
(𝑥+3)2
𝑥+3
𝑥+2
b)
𝑥2−4
𝑥2−9
(𝑥−2)2
(𝑥−3)2
*c)
𝑥2−9𝑥+14
𝑥2−6𝑥+5
𝑥2−8𝑥+7
𝑥2−7𝑥+10
*d)
𝑥2+4𝑥+3
𝑥2+6𝑥+8
𝑥2+9𝑥+18
𝑥2+7𝑥+10
e)
(𝑥+𝑦)2
(𝑥+𝑦)3
𝑥+𝑦
𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2
f)
𝑥+2𝑦
2𝑥2+3𝑥𝑦+𝑦2
2𝑥2+5𝑥𝑦+2𝑦2
𝑥+𝑦
estudante tenha feito ao aprofundamento da aula
5

142
B5.3 AULA 18 – Mais sobre Diagramas de Venn
Essa aula é uma das mais interessantes desse módulo e é continuação da aula
15. O interessante é que ela é 100% resolvida em vídeo, alguns deles, com
alunos. Recomendamos cuidado, atenção e carinho e resolução de 100% dos
exercícios, procurando entendê-los!
Recomendamos fortemente que você assista todos os vídeos, com bastante
cuidado e atenção.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o Problemas com Conjuntos – 3 conjuntos (ou) Diagramas de Venn – 3 variáveis
atividade.
Diagramas de Venn – 3
Conjuntos
QUADRO
Diagramas de Venn – Resolução de Problemas
com 3 diagramas
Os problemas a seguir serão resolvidos usando 3
diagramas, que é um pouco mais complexo, mas de
compreensão bastante razoável
Questão 1 - O Spinner é um brinquedo bastante em
moda nos dias de hoje. Mas há brinquedos também
que usam de movimentos e giros: o Ioiô e o
Bolimbolacho, por exemplo. Foi feita uma pesquisa
sobre os brinquedos que um grupo de crianças
possuíam em casa. Verificou-se que 32 crianças
possuíam Spinner, 18 possuíam Ioiô, 16 possuíam
Bolimbolacho, 8 possuíam Spinner e Ioiô, 7
possuíam Ioiô e Bolimbolacho, 11 possuíam Spinner
e Bolimbolacho, 3 possuíam os três brinquedos e 6
não possuíam nenhum desses brinquedos.
a) Quantas crianças possuem apenas Spinner?
b) Quantas crianças possuem apenas Ioiô?
c) Quantas crianças possuem apenas
Bolimbolacho?
d) Quantas crianças possuem apenas um único
brinquedo?
e) Quantas crianças possuem Spinner e não
possuem Ioiô?
f) Quantas crianças possuem Ioiô e não
possuem Spinner?
g) Quantas crianças possuem exatamente dois
brinquedos?
h) Quantas crianças foram pesquisadas?
i) Quantas crianças não possuem Spinner?
QUADRO
Vamos resolver a Questão 1:
Primeiramente, retiramos os dados e inserimos
nos diagramas, conforme fizemos na Aula 15:

143
De maneira bem similar aos diagramas com 2
conjuntos, eu determino quantos pertencem à
cada região exclusivamente:
Você pode perguntar por qual motivo fizemos
32-16, 18-12 e 16-15?
Veja, As 3 intersecções de Spinner são 5, 3 e 8,
somando 5+3+8=16, e foi esse número que
tiramos de 32:
Caso a dúvida persista, recomendo que assista
aos vídeos.
Para entender a resposta, é preciso interpretar
os diagramas:
a) 16 (número na região S)
b) 6 (número na região I)
c) 1 (número na região B)
d) Apenas 1 único brinquedo eu somo os
valores 16+6+1=23
e) 32 possuem Spinner, e dessas, 8
também possuem Ioiô, ou seja, basta
fazer 32-8=24. Isso pode ser feito
somando as regiões de intersecção
16+8=32.
f) Usando o mesmo raciocínio de “e”:
6+4=10
g) Somar as regiões de intersecção
5+8+4=17
h) Precisamos somar todas as regiões:
16+6+1 (apenas um) +5+4+8
(exatamente dois) +3 (os três) +6
(nenhum) =49.
i) Como são 32 que gostam de Spinner,
basta fazer 49-32=16 (é o conjunto
complementar). Alternativamente você
pode somar as regiões (a externa é 6):
Veja o que significam cada intersecção
O rol a seguir é exemplificativo, e é muito maior:
“A”, “Somente A”, “A e B”
"A, mas não C", "A ou B", "B ou C mas não A"
“Pelo menos dois”, “Os três / A, B e C”,
“Exatamente 2 / Apenas 2”

144
“Nenhum dos três”, “Não A”, “No máximo um”
Resolução Questão 2
4:58
https://youtu.be/_haPSItXIM8
Questão 2 - Para imunizar um grupo de gestantes
foi verificada a frequência de doenças que as
mesmas tiveram na infância. 11 tiveram caxumba, 12
tiveram sarampo, 10 tiveram catapora, 6 tiveram
caxumba e catapora, 5 tiveram catapora e sarampo,
7 tiveram caxumba e sarampo, 4 tiveram as três
doenças e 7 não teve nenhuma dessas doenças.
a) Quantas gestantes teve apenas uma
doença?
b) Quantas gestantes tiveram sarampo ou
catapora, mas não tiveram caxumba?
c) Quantas gestantes não tiveram sarampo?
d) Quantas gestantes foram pesquisadas no
total?
3:10
https://youtu.be/n9RW_cblQ24
Questão 3 - As crianças de um condomínio de luxo
resolveram criar furões. Eram 16 crianças com
furões. Mas, algumas crianças também tinham
outros animais. O total de crianças com gato eram
18, e haviam ainda 15 crianças com cachorro. Um
total de 7 crianças tinham tanto cachorro quanto
gato. Das crianças com furões, 11 também tinham
gato e 10 também tinham cachorro. E 4 crianças
tinham os três bichinhos. Uma criança era alérgica e
não tinha animais.
a) Quantas crianças tinham apenas furões?
b) Quantas crianças não tinham furões?
c) Quantas crianças haviam nesse
condomínio?
2:49
https://youtu.be/wDU2Ho08bd4
Questão 4 - O Futebol é a paixão do Brasileiro, e, há
pessoas que tem seus times favoritos em outros
estados. Uma empresa de Marketing foi contratada
pelo Sport Recife (PE), Coritiba (PR) e Bahia (BA)
para verificar a preferência desses times entre
jovens de Muzambinho – MG. Foram entrevistados
500 pessoas e verificou-se que haviam 10
torcedores do Sport Recife, 19 torcedores do
Coritiba, 21 torcedores do Bahia, 3 que torciam tanto
para o Sport Recife quanto para o Bahia, 10 que
torciam tanto para o Bahia quanto para o Coritiba, 6
que torciam tanto para o Sport Recife quanto para o
Coritiba, 2 que torcem para os três times.
a) Quantos torcem apenas para o Sport Recife?
b) Quantos torcem para o Sport Recife e para o
Bahia e não para o Coritiba?
c) Quantos não torcem para nenhum desses
três times.
3:57
https://youtu.be/Oxyu7gQTPnM

145
Questão 5 -Três livros “fofos” bastante conhecidos e
antigos são “Fernão Capelo Gaivota” de Richard
Bach, “O Pequeno Príncipe” de Saint Exupery e
“Poliana” de Eleanor H. Porter. Pena que poucos dos
1.200 alunos da escola o leram. Foi pesquisado e
verificou-se que 28 leram “Fernão Capelo Gaivota”,
24 leram “Poliana”, 18 leram “O Pequeno Príncipe”,
15 leram “Fernão Capelo Gaivota” e “Poliana”, 11
leram “Fernão Capelo Gaivota” e “O Pequeno
Príncipe”, 9 leram “Poliana” e “O Pequeno Príncipe”,
6 leram os três livros.
a) Quantos alunos leram apenas “O Pequeno
Príncipe”?
b) Quantos alunos leram apenas dois desses livros?
c) Quantos alunos leram apenas um desses livros?
d) Quantos alunos não leram nenhum dos três
livros?
GABARITO
2)
3)
4)
5)
MAIS EXERCÍCIOS
QUADRO
Existem detalhes, sutilezas e complexidades em
qualquer área da Matemática, onde não vale apenas
o conhecimento, mas o raciocínio. Os exercícios a
seguir, de uma variada gama de autores, possuem
soluções nem sempre simples, que demandam
raciocínio, atenção e trabalho.
A resolução dos mesmos demanda tempo, esforço,
e algumas estratégias.
Recomendo tentativas árduas de resolução, e
finalmente, assistir aos vídeos e/ou ler as respectivas
soluções disponíveis na Internet para compreendê-
los. Mas apenas após tentar bastante!
Questão 1 - (Prof. Ezequias) Uma editora estuda a
possibilidade de lançar novamente as publicações
Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou
uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada
1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha;
400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A
Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e
Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as
três obras; Calcule:
a) O número de pessoas que leu apenas uma das
obras.
b) O número de pessoas que não leu nenhuma das
três obras.
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.
Resolução em http://www.profezequias.net/conjuntos.html
Resolução Questão 2 a 6
28:16
https://youtu.be/DHwBuYX_i3o

146
Questão 2 - (PUC – adaptado pelo prof.
Ezequias) Numa comunidade constituída de 1800
pessoas há três programas de TV favoritos:
Esporte (E), novela (N) e Humorismo (H). A tabela
abaixo indica quantas pessoas assistem a esses
programas.
Através desses dados verifica-se que o número de
pessoas da comunidade que não assistem a
qualquer dos três programas é:
(A) 200 (B) 300 (C) 600 (D) 900 (E) 1000
Resolução em http://www.profezequias.net/conjuntos.html
Questão 3 - (Gabarito de Matemática) Num
grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam
vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam
vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O
número de pessoas que jogam xadrez é igual ao
número de pessoas que jogam tênis. Pergunta-se:
a) quantos jogam tênis e não jogam vôlei?
b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam
vôlei?
c) quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?
Resolução em http://www.gabaritodematematica.com/problemas-de-
conjuntos/
Questão 4 - (UNIRIO) Numa pesquisa para se
avaliar a leitura de três revistas A, B e C,
descobriu-se que 81 pessoas leem, pelo menos,
uma das revistas; 61 pessoas leem somente uma
delas e 17 pessoas leem duas das três revistas.
Assim sendo, o número de pessoas mais bem
informadas dentre as 81 é:
a) 3 b) 5 c) 12 d) 29 e) 37
conjuntos/
Questão 5 - (FCC) Dos 43 vereadores de uma
cidade, 13 deles não se inscreveram nas
comissões de Educação, Saúde e Saneamento
Básico. Sete dos vereadores se inscreveram nas
três comissões citadas. Doze deles se
inscreveram apenas nas comissões de Educação
e Saúde e oito deles se inscreveram apenas nas
comissões de Saúde e Saneamento Básico.
Nenhum dos vereadores se inscreveu em apenas
uma dessas comissões. O número de vereadores
inscritos na comissão de Saneamento Básico é
igual a
a) 15 b) 21 c) 18 d) 27 e) 16
conjuntos/
Questão 6 - (ITA) Denotemos por n(x) o número
de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B
e C conjuntos tais que n(A U B) = 8, n(A U C) = 9,
n(B U C) = 10, N(A U B U C) = 11 e n(A ∩ B ∩ C)
= 2. Então n(A) + n(B) + n(C) é igual a:
a) 11 b) 14 c) 15 d) 18 e) 25

147
conjuntos/
QUADRO
A seguir 3 revisões feitas na EE Prof Salatiel de
Almeida, no 1º A de 2018.
As 3 revisões englobam tanto a aula 15 quanto a 18.
REVISÃO 1
Correção Completa da Revisão
1
20:40
https://youtu.be/WAu_Mv4aOvE
Questão 1 – Foi realizada uma pesquisa numa
escola sobre a audiência das séries televisavas
norte-americanas “Games of Thrones” e “The
Walking Dead”. 70 estudantes já assistiram “Games
of Thrones”, 50 já assistiram “The Walking Dead” e
18 assistiram as duas séries.
a) Quantos dos alunos assistiram apenas “The
Walking Dead”?
b) Se 112 alunos não assistiram nenhuma das duas
séries, qual é o total de alunos da Escola?
Questão 2 – Os Vingadores reuniram para decidir se
aceitam no grupo a entrada do Homem Aranha e de
Wolverine. 18 vingadores aceitaram a entrada do
Homem Aranha, 22 aceitaram a entrada de
Wolverine, 7 aceitaram a entrada dos dois heróis e 6
não aceitaram nenhum dos dois.
a) Quantos vingadores aceitaram a entrada apenas
de Wolverine?
b) Quantos vingadores aceitaram a entrada apenas
de Homem Aranha?
c) Quantos vingadores se reuniram?
d) Quantos vingadores aceitaram a entrada do
Homem Aranha ou do Wolverine?
e) Quantos vingadores não aceitaram a entrada do
Homem Aranha?
Questão 3 – Para verificar a audiência dos alunos
de uma escola sobre as séries do Netflix, foi
apresentada uma cédula aos alunos para que
dissessem qual série assistiram no streaming. As
séries pesquisadas foram: “Sense8”, “Orange is the
new Black” e “House of Cards”. 80 assistiram “Sense
8”, 60 assistiram “Orange is the new Black” e 50
assistiram “House of Cards”, 40 assistiram “Sense 8”
e “Orange is the new Black”, 30 assistiram “Sense 8”
e “House of Cards”, 20 assistiram “Orange is the new
Black” e “House of Cards”, 15 assistiram as três
series e 24 não assistiu nenhuma delas.
a) Quantos alunos foram pesquisados?
b) Quantos alunos viram pelo menos uma das
séries?
c) Quantos alunos viram apenas “House of Cards”?
d) Quantos alunos viram apenas uma das séries?
e) Quantos alunos viram exatamente duas séries?
Questão 4 – (PUC) Um levantamento sócio-
econômico entre os habitantes de uma cidade
revelou que, exatamente: 17% têm casa própria;
22% têm automóvel; 8% têm casa própria e
automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa
própria nem automóvel?
Questão 5 – Numa festa, 29 pessoas discutiam
sobre dois filmes A e B. Precisamente:
• treze dessas pessoas assistiram ao filme A ;
• cinco pessoas assistiram os dois filmes;
• seis pessoas não assistiram a nenhum dos dois
filmes.
Quantas pessoas assistiram ao filme B, sabendo que
todas as 29 pessoas opinaram?

148
Questão 6 – Num grupo de estudantes foi
pesquisado sobre quantos alunos haviam assistido
Senhor dos Anéis e percebeu que 24 estudantes já
haviam assistido Senhor dos Anéis, mas 83 nunca
haviam assistido. Além disso, sabe-se que 65 alunos
já viram Harry Potter e 16 alunos já viram tanto Harry
Potter quanto Senhor dos Anéis. Quantos alunos
desse grupo nunca viram Harry Potter?
Extra 1 - Uma editora estuda a possibilidade de
lançar novamente as publicações Helena, Senhora e
A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de
mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas
consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram
Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha
e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100
leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras;
Calcule:
a) O número de pessoas que leu apenas uma das
obras.
b) O número de pessoas que não leu nenhuma das
três obras.
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.
Extra 2 – (Concurso de Análise de Sistemas:
Suporte - BRDE - Banca FUNDATEC - 2015) O
departamento de pessoal de uma empresa realizou
uma pesquisa de clima com 550 funcionários. Ao
analisar os resultados, constatou que 200
funcionários estão satisfeitos com sua residência,
320 funcionários estão satisfeitos com o seu
automóvel; entretanto, 120 não estão satisfeitos com
sua residência, nem com seu automóvel. A partir
dessas informações, podemos dizer que o número
de funcionários que estão satisfeitos com sua
residência e seu automóvel é:
A 30 B 90 C 120 D 430 E 520
REVISÃO 2
2
23:20
https://youtu.be/LZ-llWL4V7c
Questão 1 – Os vírus que causam as doenças Zika
e Chicungunha passaram a ser mais conhecidos no
Brasil recentemente, e muitos técnicos em
enfermagem ainda não estão totalmente informados
sore as doenças. Após uma pesquisa, verificou-se
que 38 conhecem bem a Zika, 25 o Chicungunha, 23
as duas doenças e 11 nenhuma delas.
a) Quantos técnicos em enfermagem foram
entrevistados?
b) Quantos técnicos não conhecem bem o
Chicungunha?
Questão 2 – Foram aplicadas provas de Matemática
e Geometria. 300 alunos pegaram média apenas em
Matemática, 260 pegaram média apenas em
Geometria, 100 pegaram média das duas matérias e
210 não pegaram média em matéria alguma.
a) Quantos alunos pegaram média apenas em
Matemática?
b) Quantos alunos pegaram média apenas em
Geometria?
c) Quantos alunos pegaram média em apenas uma
das disciplinas?
d) Quantos alunos fizeram essas provas?
Questão 3 – Em uma pesquisa realizada com 50
pessoas para saber que esporte elas apreciam entre
futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte:
27 gostam de futebol, 23 de basquete e 14 de vôlei;
10 gostam de futebol e basquete; 9 gostam de
futebol e vôlei; 8 de basquete e de vôlei e 7 gostam
das três modalidades.
a) Quantas gostam somente de futebol?
b) Quantas gostam apenas de vôlei?
c) Quantas gostam de, no mínimo, um desses
esportes?
d) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses
esportes?
e) Quantas pessoas gostam de um e somente um
desses esportes?
f) Quantas pessoas gostam de pelo menos dois
desses esportes?
g) Quantas gostam de dois e apenas dois desses
esportes?

149
h) Quantos gostam de basquete e futebol e não
gostam de vôlei?
i) Quantas não gostam de basquete?
j) Quantos não gostam de futebol?
Questão 4 – (PUC) Dez mil aparelhos de TV foram
examinados depois de um ano de uso e constatou-
se que 4.000 deles apresentavam problemas de
imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500
não apresentavam nenhum dos tipos de problema
citados. Então o número de aparelhos que
apresentavam somente problemas de imagem é:
(A) 4 000 (B) 3 700 (C) 3 500
(D) 2 800 (E) 2 500
Questão 5 – Há uma antiga rivalidade entre os
fabricantes de dois refrigerantes: o grud-cola e o
pimba-cola. Para se saber qual o preferido numa
certa região, foi feita uma pesquisa entre 245 jovens
dessa localidade. Precisamente:
• 135 jovens entrevistados bebem grud-cola;
• 75 jovens bebem os dois refrigerantes;
• quarenta jovens não bebem nenhum dos dois
refrigerantes.
Sabendo que todos os 245 jovens opinaram, conclua
você qual o refrigerante preferido por eles e quantos
jovens bebem esse refrigerante?
Questão 6 – Romeu e Julieta é um combinado de
Queijo e Goiabada. Uma delícia! Mas em 100 alunos
pesquisados verificou que apenas 55 gostam tanto
de Queijo quanto de Goiabada. O total de estudantes
que gosta de Queijo é maior: 65. Mas há 20 “frescos”
que não gostam nem de Queijo e nem de Goiabada.
Podemos afirmar que o número de pessoas que
gostam de Goiabada é ....?
Extra 1 - (UFRJ - adaptado) Um clube oferece a
seus associados aulas de três modalidades de
esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum associado
pôde se inscrever simultaneamente em tênis e
futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas
destes dois esportes serão dadas no mesmo horário.
Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 85
inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de
inscritos para as aulas de tênis foi de 17 e, para
futebol, de 38; o número de inscritos só para as aulas
de futebol excede em 10 o número de inscritos só
para as de tênis.
a)Quantos associados se inscreveram
simultaneamente para aulas de futebol e natação?
b)Quantos associados se inscreveram
simultaneamente para aulas de tênis e natação?
Extra 2 – (Concurso Analisa Judiciárioa: Análise
de Sistemas Banco de Dados - TJ-PI - Banca FGV
- 2015) Em uma empresa com 40 funcionários, um
funcionário é considerado novo quando está na
empresa há menos de 5 anos e é considerado antigo
quando está há 5 anos ou mais. Atualmente, há 14
funcionários novos na empresa, 18 funcionários com
curso superior e 16 funcionários antigos que não
possuem curso superior. O número de funcionários
novos com curso superior é:
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

150
REVISÃO 3
3
21:41
https://youtu.be/DazVr-3jMSc
Questão 1 – Numa sala de aula de 32 alunos
verificou-se que 27 usam regularmente o Whatsapp
e 21 possuem Facebook. Sabendo que 2 alunos não
utilizam nenhum dos dois aplicativos, quantos alunos
utilizam-se dos dois aplicativos?
Questão 2 – Durante o Carnaval, a Prefeitura
pesquisou a opinião sobre a qualidade dos desfiles
do Brás e do Belém, e observou que 82% gostaram
do desfile do Brás e 70% gostaram do desfile do
Belém. Apenas 6% das pessoas disseram que não
gostaram de nenhum dos desfiles.
a) Qual a porcentagem de pessoas gostou dos dois
desfiles?
b) Qual a porcentagem das pessoas que gostaram
apenas do desfile do Brás?
c) Qual a porcentagem das pessoas que gostaram
apenas de um dos desfiles?
Questão 3 – Uma pesquisa mostrou que 30% dos
entrevistados lêem o jornal A, 29% lêem o jornal B,
20% lêem o jornal C, 13% lêem A e B, 6% lêem B e
C, 14% lêem A e C e 6% lêem os três jornais.
a) Quanto por cento lê pelo menos um jornal?
b) Quanto por cento não lê nenhum desses jornais?
c) Quanto por cento lê somente o jornal C?
d) Quanto por cento lê o jornal A e B e não lê C?
e) Quanto por cento lê o jornal A ou B e não lê C?
f) Quanto por cento não lê o jornal B?
Questão 4 – (PUC) Em uma empresa, 60% dos
funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B,
e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas
revistas. O percentual de funcionários que lêem as
duas revistas é ....
Questão 5 – (Unifap) O dono de um canil vacinou
todos os seus cães, sendo que 80% contra
parvovirose e 60% contra cinomose. Determine o
porcentual de animais que foram vacinados contra
as duas doenças.
Questão 6 – “Que não seja imortal, posto que é
chama. Mas que seja infinito enquanto dure": esse é
um trecho do Soneto de Fidelidade de Vinícius de
Moraes. O poeta também tem outro soneto,
chamado “Soneto do Amor Total”
Na turma de 40 alunos, verificou-se que apenas 6
sabiam tanto o “Soneto de Fidelidade” quanto o
“Soneto do Amor Total”. Haviam 21 estudantes que
não conheciam nenhum dos dois sonetos. O “Soneto
de Fidelidade” era conhecido por 16 pessoas.
Quantas pessoas dessa sala conhecem o “Soneto
do Amor Total”?
Extra 1 - Foi feita a proposta de excursões ao
Thermas dos Laranjais e a Fazenda Buracão para
140 alunos. 78 disseram que querem viajar para
Thermas dos Laranjais, 65 disseram que querem
viajar para a Fazenda Buracão. Todos os alunos
querem viajar para algum desses dois lugares.
a) Quantos estudantes querem fazer as duas
viagens?
b) Quantos estudantes querem ir apenas para
Thermas dos Laranjais?
c) Qual é a porcentagem de alunos que opta por ir
apenas para Thermas do Laranjais?

151
Extra 2 – (Concurso Analista de TI - TCE-SE -
Banca FGV - 2015) Em uma empresa de Aracaju,
45% dos funcionários são mulheres. Do total de
funcionários, 55% são de Aracaju e os demais são
do interior do estado. Além disso, 60% dos que são
do interior do estado são homens.
Entre as mulheres, a porcentagem daquelas que são
do interior é:
a) 35%; b) 40%; c) 45%;
d) 50%; e) 55%.
4:14
https://youtu.be/XozKGgO3AHs
1)(Concurso Analista Previdenciário: TI -
MANAUSPREV - Banca FCC - 2015) Em um grupo
de 32 homens, 18 são altos, 22 são barbados e 16
são carecas. Homens altos e barbados que não são
carecas são seis. Todos homens altos que são
carecas, são também barbados. Sabe-se que
existem 5 homens que são altos e não são barbados
nem carecas. Sabe-se que existem 5 homens que
são barbados e não são altos nem carecas. Sabe-se
que existem 5 homens que são carecas e não são
altos e nem barbados. Dentre todos esses homens,
o número de barbados que não são altos, mas são
carecas é igual a
a) 13. b) 5. c) 8. d) 4. e) 7.
QUADRO
Retire os dados antes de prosseguir:
Se olharmos os “somente A”, temos 5, e o total
de “A” é 13, então a soma das três regiões
abaixo precisa ser 18-5=13
Como 6+0=6, e 13-6=7, 7 é o valor da
intersecção tripla, e o resto é bem fácil de ser
calculado, inclusive sendo um dos dados
redundante:
Alternativa “D”
3:10
https://youtu.be/N8sxr09Ni0c
2)(Concurso Analista de Sistemas -
DESENVOLVESP - Banca VUNESP - 2014) Em
relação aos conjuntos A, B e C e a um total de 58
elementos que pertencem a eles, sabe-se: que
nenhum elemento pertence simultaneamente aos
três conjuntos; que 13 elementos pertencem
simultaneamente aos conjuntos A e B; que 3
elementos pertencem simultaneamente aos
conjuntos A e C; que 2 elementos pertencem
simultaneamente aos conjuntos B e C; que o número
de elementos que pertencem apenas ao conjunto C
é 5 unidades a mais do que aqueles que pertencem
apenas ao conjunto B; que o número de elementos
que pertencem apenas ao conjunto A é 1 unidade a
menos do que aqueles que pertencem apenas ao
conjunto B.
O número de elementos que pertencem apenas ao
conjunto C é igual a
a) 46. b) 31. c) 24. d) 17. e) 12.
QUADRO
Essa questão é bem simples: basta retirar os
dados, considerar que a soma de todas as
regiões é 58, e achar o valor de x, e finalmente,
de x+5. Na dúvida, veja o vídeo!

152
Alternativa “D”
3:36
https://youtu.be/qD44tG1l0xw
3)(Matemática Mais Ou Menos) Oitenta alunos de
uma sala de aula responderam às duas questões de
uma prova, verificando-se os seguintes resultados:
I - 30 alunos acertaram as duas questões.
II - 52 alunos acertaram a 1ª questão.
III - 44 alunos acertaram a 2ª questão.
Nessas condições, conclui-se que:
A) Nenhum aluno errou as duas questões.
B) 36 alunos acertaram somente uma questão.
C) 72 alunos acertaram pelo menos uma questão.
D) 16 alunos erraram as duas questões.
E) Não é possível determinar o número de alunos
que erraram as duas questões.
10:04
https://youtu.be/grbcR1YYj4w
4)(Matemática Mais Ou Menos) Uma escola
realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares
de seus alunos.
Alguns resultados dessa pesquisa foram:
• 82% do total de entrevistados gostam de chocolate;
• 78% do total de entrevistados gostam de pizza; e
• 75% do total de entrevistados gostam de batata
frita.
Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos
entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao
mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata
frita é, pelo menos, de
Essa é uma questão difícil e o método é bem diferente do comum!
2:00
https://youtu.be/VJmW0Yzu44Q
5)(Matemática Mais Ou Menos) Feita uma pesquisa
entre 100 alunos, do ensino médio, acerca das
disciplinas português, geografia e história,
constatou-se que 65 gostam de português, 60
gostam de geografia, 50 gostam de história, 35
gostam de português e geografia, 30 gostam de
geografia e história, 20 gostam de história e
português e 10 gostam dessas três disciplinas. O
número de alunos que não gosta de nenhuma
dessas disciplinas é
(A) 0 (B) 5 (C) 10 (D) 15 (E) 20
6:35
https://youtu.be/n2NiJIgpgdo
6)Uma cidade tentou fazer um projeto de moradia
popular destinado a pessoas carentes, sem casa
própria ou, como política afirmativa, para negros
ou pardos. Foram identificados 4900 pessoas
carentes, 2700 pessoas com casas alugadas,
5300 pessoas negras ou pardas, 1100 pessoas
carentes e com casa alugada, 2200 pessoas com
casa alugada e negras ou pardas, 1300 pessoas
carentes e negras ou pardas, 700 pessoas
carentes com casa alugada e negras ou pardas.
Essa cidade tinha 20.000 habitantes.
a) Quantas pessoas satisfazem pelo menos
um dos três critérios?
b) Quantas pessoas satisfazem pelo menos
dois dos três critérios?
c) Quantas pessoas satisfazem apenas um
dos critérios?
d) Quantas pessoas satisfazem exatamente
dois critérios?
e) Quantas pessoas não satisfazem nenhum
dos critérios?

153
GABARITO
3)
5)
6)
LEIA COM ATENÇÃO
ESSE QUADRO
RELAÇÕES ENTRE OPERAÇÕES COM
CONJUNTOS E CARDINALIDADE
Você deve ter notado pela resolução de
problemas que
#(𝐴) + #(𝐵) − #(𝐴 ∩ 𝐵) = #(𝐴 ∪ 𝐵)
E que:
#(𝐴 − 𝐵) + #(𝐵 − 𝐴) + #(𝐴 ∩ 𝐵) = #(𝐴 ∪ 𝐵)
Isso é natural e foi feito em toda nossa
prática das aulas 15 e 18.
Tente compreender com essa linguagem e
na dúvida fale com o professor ou assista a
vídeos – pois essa idéia será fundamental no
tópico de Probabilidade

154
5.1 AULA 19 – Aplicações dos Radicais: Teorema de Pitágoras e
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Esse assunto parece desconexo do restante do módulo, e talvez até seja
mesmo, mas o objetivo dessa aula é você aprender um conteúdo onde o uso
dos radicais é fundamental. Trata-se de um assunto fundamental, que já
começamos na Aula 9, que pertence a submódulo 5.2 (reveja se necessário).
Também estudamos o assunto no PODEMOS B-2.
Faça os cálculos preferencialmente deixando os valores indicados e não
aproximando.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
Pré Requisitos:
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
COMO PROCEDER?
o TEOREMA DE PITÁGORAS
o RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
atividade.
O Teorema de Pitágoras
QUADRO
Já estudamos o Teorema de Pitágoras na Aula
9 e no submódulo 4.2:
A soma dos quadrados dos catetos é igual ao
quadrado da hipotenusa!
Exemplo de aplicação com radicais:

155
Note que se o valor desconhecido for um dos
catetos, você deve reajustar as fórmulas:
Teoria sobre o Teorema de
Pitágoras 9:10
https://youtu.be/xDE-oO6ndzE
Correção em vídeo da lista
de 10 exercícios abaixo
27:37
https://goo.gl/enPkiq
EXERCÍCIOS BÁSICOS
Ex. 1
https://youtu.be/U-cERDc-6uA
1) Ache o valor de x em cada caso:
Ex. 2
https://youtu.be/GF0nCQCwMz0
Ex. 3
https://youtu.be/W1bIcf1H-q4

156
3) Ache a medida da diagonal:
Ex. 4
https://youtu.be/PgoEM1i0bls
4) Ache a medida do lado do quadrado:
Ex. 5
https://youtu.be/lFN1dT5ds3g
5) (Pitágoras – UTP Tripod – Portugal) Calcule
a área das figuras:
Ex. 6
https://youtu.be/whWq2w3fpek
6) (IFSP/2015) O transporte alternativo é uma maneira
de se locomover usando um meio diferente dos mais
tradicionais. A bicicleta é um exemplo disso. Em alguns
lugares, ela é usada porque é mais barata, como no
interior do Brasil e em países como a Índia e China.
Outras pessoas escolhem andar de bicicleta por uma
questão ideológica, porque elas não agridem o meio
ambiente e não causam tantos transtornos quanto os
carros. Usando uma bicicleta, uma pessoa sai do ponto
A e se dirige ao ponto B. O percurso, dado em km,
representado pelos segmentos AC, CD e DB está
esboçado no gráfico abaixo.
Considerando √2 = 1,4, assinale a alternativa que
apresenta a distância percorrida pela pessoa do ponto
A ao ponto B.
a) 56 km. b) 21 km. c) 20 km.
d) 15 km. e) 10 km.
Ex. 7
https://youtu.be/rxAtCzc_AeE
7) O exercício abaixo foi notícia pois relaciona o
cotidiano dos estudantes com o Teorema de Pitágoras.
O exercício foi elaborado pela professora Claire
(@tqlsnrise), professora de um subúrbio em Paris.
Cristiano Ronaldo está com ciúmes do dab de Paul
Pogba e tenta demonstrar que ele não é perfeito.
Segundo a Declaração Universal dos Direitos do Dab
(DUDDDD), o dab só é perfeito se os triângulos
representados na figura forem retângulos. Será o dab
de Pogba perfeito?
a)Não, pois só o braço esquerdo responde às regras do
Teorema de Pitágoras.
b)Não, pois só o braço direito responde às regras do Teorema
de Pitágoras.
c)Não, pois nenhum dos braços responde às regras do
Teorema de Pitágoras.
d)Sim, pois ambos braços responde às regras do Teorema de
Pitágoras.
e) Não é possível concluir.
Fonte: http://www.dn.pt/desporto/interior/o-teorema-de-pitagoras-
explicado-por-pogba-e-cristiano-ronaldo-5499775.html

157
Ex. 8
https://youtu.be/THQKakZuLJA
8) (UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à
Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o
fragmento abaixo:
Às folhas tantas de um livro de Matemática,
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela à dela,
até que se encontraram no Infinito.
"Quem és tu?" – indagou ele em ânsia radical.
"Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de hipotenusa."
(Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao
Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta:
(A) "Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de
hipotenusa."
(B) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me
chamar de hipotenusa."
(C) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me
chamar de quadrado da hipotenusa."
(D) "Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me
chamar de quadrado da hipotenusa."
Ex. 9
https://youtu.be/lyKlrXMLXEE
9) (Mundo Educação) A distância entre os muros laterais de
um lote retangular é exatamente 12 metros. Sabendo que
uma diagonal desse lote mede 20 metros, qual é a medida do
portão até o muro do fundo?
a) 8 metros b) 10 metros c) 12 metros
d) 14 metros e) 16 metros
Ex. 10
https://youtu.be/HbnMnc3Rmn4
10) (ENEM). Na figura abaixo, que representa o projeto de
uma escada de 5 degraus de mesma altura, o comprimento
total do corrimão é igual a:
A) 1,8 m. B) 1,9 m. C) 2,0 m.
D) 2,1 m E) 2,2 m.
Fonte: https://portalmath.wordpress.com/tag/hipotenusa/
MAIS EXERCÍCIOS

158
3) Ache o valor de u nos trapézios:
4) Ache o valor de x e y:

159
Aplicações do Teorema de Pitágoras
QUADRO
Existem três aplicações do Teorema de
Pitágoras mais clássicas:
- Diagonal do Quadrado
- Altura do Triângulo Equilátero
- Área do Triângulo Equilátero
DIAGONAL DO QUADRADO
Fórmula:
𝒅 = 𝓵√𝟐
Diagonal Do Quadrado
3:15
https://youtu.be/kcMjqBNqgrU
QUADRO
ALTURA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Fórmula:
𝒉 =
𝓵√𝟑
𝟐
Altura do Triângulo Equilátero
7:08
https://youtu.be/2gfOj3Dzmmg
QUADRO
ÁREA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Fórmula:
𝑨 =
𝓵𝟐
√𝟑
𝟒
Área do Triângulo Equilátero
3:42
https://youtu.be/XetxGLJbEA4
Exercícios abaixo do Colégio NOMELINI Anglo:
(Se sua letra for grande, faça no caderno!)
Ex. 1 a 14
https://goo.gl/FBtbZw
1- O perímetro de um quadrado é 20 cm. Determine sua diagonal.
Resp. 5√2 cm.
2- A diagonal de um quadrado tem 7√2 cm. Determine o perímetro
do quadrado. Resp. 28 cm.
3- O perímetro de um retângulo é 14 cm. Um dos lados mede 4
cm. Determine a diagonal do retângulo. Resp. 5 cm
4- Calcule a altura de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 4√3
cm.

160
5- O perímetro de um triângulo eqüilátero é 18 cm. Calcule a altura
do triângulo. Resp. 3√3 cm.
6- A altura de um triângulo eqüilátero mede 5√3 cm. Calcule o
perímetro deste triângulo. Resp. 30 cm.
7- Calcule a altura de um triângulo isósceles, sabendo que os lados
congruentes medem 25 cm cada um e a base 14 cm. Resp. 24
cm.
8- Um retângulo que mede 2cm x 3 cm, quanto mede sua
diagonal? Resp. d = √13
9- Em um losango a diagonal maior mede 24 cm e a menor 10 cm,
quanto mede o lado do losango? Resp. l = 13 cm
10- As diagonais do losango medem 10 cm e 24 cm. Determine o
perímetro do losango. Resp. p = 52 cm
11- O lado de um losango mede 17 cm e uma de suas diagonais tem
30 cm. Determine a outra diagonal. Resp. 16 cm
12- Um trapézio retângulo de 15 cm de altura tem as bases medindo
10 cm e 18 cm. Determine o lado oblíquo do trapézio. Resp. 17
cm
13- As bases de um trapézio isósceles medem 17 cm e 5 cm e od
lados iguais medem 10 cm cada. Determine a altura do trapézio.
Resp. 8 cm
14- Um triângulo retângulo e isósceles está inscrito numa
circunferência de 9 cm de raio. Determine a medida dos lados
congruentes do triângulo. Resp. 9√2 cm
Relações Métricas no Triângulo
Retângulo
LEIA COM ATENÇÃO
ESSE QUADRO
Vamos apresentar as fórmulas e os nomes, mas é
fundamental que vocês assistam os vídeos (os dois
conjuntos em Playlist), que totalizam quase 50
minutos de vídeo:
NOTE QUE: 1) Todo triângulo tem 3 alturas, e o triângulo
retângulo tem 2 delas coincidentes com os catetos. A
terceira altura, em relação à hipotenusa, é chamada de h.
2) As projeções m e n são relativas aos catetos b e c,
conforme indicado na figura. Mas há fontes em livros e na
Internet que associam as projeções m e n com os catetos
c e b respectivamente (o contrário).
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Teoria sobre Relações
Métricas no Triângulo
Retângulo 30:19
https://goo.gl/P4Bt9W
DEMONSTRAÇÃO DAS RELAÇÕES MÉTRICAS – Anote a
explicação do professor feita em vídeo para compreender
todas as relações e de onde elas saem – é preciso dominar
o assunto de semelhança de triângulos

161
Girando os triângulos ABC e DAC que são
semelhantes
Girando os triângulos ABC e DBA que são
semelhantes:
Girando os triângulos DAC e DBA que são
semelhantes:
Demonstração das Relações
Métricas no Triângulo
Retângulo 18:01
https://youtu.be/AdhvcMBKUUc
1) (Maria Helena M² Baccar – Colégio Pedro II)
Determine as medidas a, h, m e n no triângulo
retângulo ABC a seguir.
Determine os valores de b, c e h no triângulo
retângulo ABC abaixo.
Em um retângulo ABCD, tem-se AB = 8 cm e BC
= 6 cm. Determine:
a) a medida da diagonal AC ;
b) a distância do ponto B à diagonal AC ;
c) a medida da projeção ortogonal do lado
AB sobre a diagonal AC .
Em um triângulo retângulo ABC, a hipotenusa BC
e o cateto AB medem 30cm e 18cm,
respectivamente. Traça-se a altura AH . Calcule
as medidas dos segmentos AC e AH .
5 ) (Maria Helena M² Baccar – Colégio Pedro II)
Na figura, o triângulo ABC é retângulo em Â.
Sabendo-se que AD = 2, CD = 8 e BD = 5, a
medida do lado BC é (CUIDADO!)
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14

162
6 ) (Maria Helena M² Baccar – Colégio Pedro II)
Em uma residência, há uma área de lazer com
uma piscina redonda de 5 m de diâmetro. Nessa
área há um coqueiro, representado na figura por
um ponto Q.
Se a distância de Q (coqueiro) ao ponto de
tangência T (da piscina) é 6 m, a distância d=QP,
do coqueiro à piscina, é:
a) 4 m b) 4,5 m c) 5 m d) 5,5 m e) 6 m
7) (Colégio Pentágono) Em uma residência, há
uma área de lazer com uma piscina redonda de 5
m de diâmetro. Nessa área há um coqueiro,
representado na figura por um ponto Q.
Se a distância de Q (coqueiro) ao ponto de
tangência T (da piscina) é 6 m, a distância d = QP,
do coqueiro à piscina, é:
a) 4 m b) 4,5 m c) 5 m d) 5,5 m e) 6 m
8) (Colégio Pentágono) No triângulo EMA
suponha que MA = 3cm, AE=4cm e ME=5cm.
Calcule a medida x
(dica: primeiro calcule IA, depois EI, depois IM ...)
9) (Colégio Pentágono) A chácara de Ângela tem
a forma de um triângulo retângulo e as dimensões
indicadas na figura. Qual a distância entre o portão
e o poço?
10) (Colégio Pentágono) A figura representa a
vista frontal de uma casa. Determine as medidas
x, y e h das dimensões do telhado dessa casa.
QUADRO
MNEMÔNICA PARA DECORAR
Fonte: Objetivo

163
1)Resolva os problemas:
a) Qual é a área do quadrado de diagonal 5 cm?
b) Qual é o perímetro de um triângulo equilátero de altura 2
cm?
c) Qual é o perímetro do losango cuja diagonal maior é 16 cm
e a diagonal menor é 12 cm?
2) a) Quais são as medidas desconhecidas em cada figura?
Apresente todos os cálculos de forma organizada.
b) Quais são as medidas das projeções ortogonais dos
catetos sobre a hipotenusa?
3) Dada a figura abaixo, plotada no Plano Cartesiano,
determine indicado sob a forma de raiz simplificada. (Ex:
√40 = 2√10)
a) Calcule o valor de x. b) Calcule o valor de y
c) Calcule o valor de z
d) Determine a área e o perímetro do Trapézio da figura.
4) Um fio é preso à 8 metros de altura do chão num prédio,
ligando até um ponto 6 metros distante desse prédio. Qual
será o comprimento desse fio? (Suponha a formação de um
triângulo retângulo de catetos 8 m e 6 m)
a) 2 m b) 10 m c) 14 m d) 48 m e) 100 m
5) Eliana, Paulo e Patrícia estavam cada um em um canto da
praça. Unindo os pontos onde eles estavam, dá para construir
um triângulo retângulo sobre o gramado. A hipotenusa do
triângulo construído passa por uma árvore. O segmento
determinado pelo ponto onde estava Eliana e pelo pé da
árvore é perpendicular à hipoteusa. A seguir, apresentando o
esboço do triângulo na praça.
Quem estava mais perto da árvore? Quantos metros de
distância?
a)Eliana, que está 3 m da árvore
b)Eliana, que está 5 m da árvore
c)Patrícia, que está 2,25 m da árvore
d)Patrícia, que está 4 m da árvore
e)Paulo, que está 2,25 m da árvore
6) Considere o triângulo abaixo e as afirmações. Qual delas
é incorreta?
a)A medida
ℓ√3
2
é encontrada usando o Teorema de Pitágoras
b)O ângulo BÂM mede 30º.
c)O segmento de reta AM é ao mesmo tempo mediana,
bissetriz e altura do triângulo ABC.
d)O triângulo ABC é equilátero.
e)O triângulo AMC é isósceles.
7)Calcule x e y:
a) x=5 y=166
b) x=5 y=60/13
c) x=12 y=166
d) x=12 y=60/13
e) x=8 y=12

164
8) O segmento AD é chamado de:
a) Média Geométrica de AB e AC.
b) Média Geométrica de BD e CD.
c) Média Harmônica de AB e AC.
d) Média Harmônica de BD e CD.
e) Projeção Ortogonal de AB sobre AC.
9)Uma esfera, em uma construção, é arremessada de um
ponto A até um ponto B, conforme a figura.
Quantos metros percorre essa esfera?
a) 16m b) 18m c) 20m
d) 22m e) 32m
10) O TEOREMA DE PICK apresenta uma forma de calcular
a área de polígonos simples (convexos ou não, sem buracos),
desde que seus vértices estejam em pontos determinados em
um quadriculado.
Como calcular a área (em unidades quadradas)
1º) Conte os pontos da BORDA da figura, sendo esse total
denominado de B.
2º) Conte os pontos INTERIORES da figura, sendo esse total
denominado de I.
A área da figura será dada por:
𝐴 = 𝐼 +
𝐵
2
− 1
Exemplos:
Com base nisso, determine a área, em unidades quadradas:
a) 5 b) 11 c) 16
d) 17 e) 18

165
B5.2 AULA 20 – Potenciação e Radiciação de Frações Algébricas
Apesar de continuidade das aulas 14 e 17, essa aula trata de assuntos mais
básicos ainda, por permitir certa revisão de potenciação e suas propriedades.
Alguns exercícios estão assinalados com * e necessitam do aprofundamento
interessante da aula 5.
Note que essa aula faz uma intersecção entre as aula 14 e 17.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o POTENCIAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS
o RADICIAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS
atividade.
Potenciação de Frações Algébricas
QUADRO
É importante na resolução aplicar os conceitos e as
propriedades da potenciação que já aprendemos:
Ex:
a)(−
1
4𝑎
)
2
=
1
16𝑎2
b)(
𝑎3
𝑏4
)
5
=
𝑎15
𝑏20
c)(−
𝑥𝑦3
𝑧−2
)
3
= −
𝑥3𝑦9
𝑧−6 = −𝑥3
𝑦9
𝑧6
(Lembre-se da definição de expoente inteiro negativo: ele faz com
que o denominador torne numerador e vice-versa, alterando-se o
sinal do expoente)
d)(
𝑎3𝑏−1
𝑐−2
)
4
=
𝑎12𝑏−4
𝑐−8 =
𝑎12𝑐8
𝑏4
e)(
𝑥4
𝑦5
)
−3
=
𝑥−12
𝑦−15 =
𝑦15
𝑥12
f)(
2𝑥−6𝑦3
3𝑧−2
)
−3
=
2−3𝑥18𝑦−9
3−3𝑧6 =
27𝑥18
8𝑦9𝑧6
g)(
𝑥+3
2𝑥−1
)
2
=
𝑥2+6𝑥+9
4𝑥2−4𝑥+1
(Note no item ‘g’ que usamos produtos notáveis)
h)(
1
𝑥−3
)
3
=
1
𝑥3−9𝑥2+27𝑥−27
i)(
𝑥𝑦
2
)
0
= 1 (Todo número elevado à zero é 1)
1)(Edwaldo Bianchini) Efetue as potências
a)(
4𝑎
3
)
3
b)(
3
2𝑥
)
3
c)(−
𝑎3
5𝑏2
)
3
d)(
4𝑎2
3𝑏3
)
−2
e)(−
3𝑥2𝑦
𝑎3
)
2
f)(−
1
𝑎2𝑏
)
3
g)(
5𝑚
2𝑛
)
0
h)(
−𝑎
𝑎−1
)
2
i)(
𝑚−𝑛
5𝑚
)
−2

166
j)(
𝑥−3
𝑥+4
)
2
k)(
−2𝑎𝑏
𝑎+𝑏
)
3
l)(
𝑎−1
3𝑎
)
3
2)Efetue as seguintes potências
a) 






2
7
5
b
a
b) 





 
3
3
m
a
c) 








2
2
3
2
b
a
d) 








1
3
2
4
5
y
x
e) 






3
2
5
2
b
a
f) 






0
2
c
ab
g) 








2
2
4
3
c
b
a
h) 








2
b
a
a
i) 







2
4
3
2
x
x
j) 








2
b
a
b
a
3)(SCHULTZ, 2004) Efetue
a)(
−𝑦7
2𝑧12𝑦3
)
2
b)(
−3𝑏2𝑐5
𝑐2𝑏7
)
3
4)(SCHULTZ, 2004) Simplifique:
a)𝑥4
𝑥2
b)
𝑧9
𝑧3
c)(𝑦3)6
d)(𝑎3
𝑏7)4
e)(𝑦5
𝑦−2)4
f)(
−2𝑥3𝑦
5𝑥7
)
2
g)(
𝑎3𝑏−1
𝑎−2𝑏2
)
−2
h)(
1
𝑥−1𝑦3𝑧0
)
−1
5)(SCHULTZ, 2004) Simplifique cada expressão,
assumindo que nenhuma variável é igual a zero.
Escreva sua resposta apenas com expoentes positivos.
a)𝑦5
𝑦2
b)−2𝑧3
𝑧5
c)−2𝑦3(5𝑥𝑦4)
d)6𝑥5
∙ 3𝑥5
∙ 𝑥0
e)
𝑚9
𝑚5
f)
𝑏𝑏4
𝑏2
g)
𝑥2𝑥−5
𝑥4
h)
𝑠5𝑡2
𝑠𝑡−4
i)(2𝑥4
𝑦)3
j)(3𝑠𝑡12)3
k)(−5𝑤4
𝑣5)2
l)(−3𝑥2
𝑦7)3
m)(
−2𝑧2
𝑥3
)
7
n)(
2𝑏4
−𝑎2
)
3
o)(
−2𝑝5𝑞−4
𝑞3
)
3
p)(
3𝑚2𝑛3
𝑚−1
)
5
q)(
3𝑥4
𝑦−2
)
5
r)(
−7𝑦−2
−𝑥5
)
6
s)(
5𝑟2𝑟−2
𝑠−3
)
−1
t)(
𝑥−2𝑦
𝑦−1
)
−3

167
6)(SCHULTZ, 2004) Simplifique cada expressão,
assumindo que nenhuma variável é igual a zero.
Escreva sua resposta apenas com expoentes positivos.
a)(
15𝑥𝑦3
3𝑦2
)
−1
b)[
2𝑥−3
(2𝑥)3
]
−1
c)(
4𝑎3𝑏−3
𝑎−1𝑏2
)
−2
d)(
15𝑎2𝑏−2
−3𝑎𝑏−3
)
−2
e)(𝑥−3
𝑦−1)−1(𝑥−3
𝑦0)2
f)(𝑎−3
𝑏2)4(−2𝑎3
𝑏7)−3
g)[
(𝑎3𝑏5)
2
𝑎5𝑏2
]
−4
h)(
𝑠−3
4𝑡
)
−3
(
5𝑡
𝑠−7
)
−2
i)(
3𝑧
𝑥−4
)
2
(
3𝑥−12𝑦𝑧−3
2𝑥𝑦7
)
−3
j)[(
𝑥5𝑦2
𝑥−3𝑦
)
−2
(
𝑦−3
2𝑥5
)
3
]
−1
k)[
(𝑎−5𝑏2)
−1
(−𝑎1𝑏4𝑐−1)2
]
−3
l)[
(2𝑠3𝑥𝑡2𝑦)
2
(𝑠3𝑥𝑡−4)−1
]
2
7)(SCHULTZ, 2004) Dados a, b, c tais que
(𝑥−2
𝑦3
𝑧2)(𝑦𝑎
𝑧𝑏
𝑥𝑐)
Para todos os valores não nulos de x, y e z.
8)(SCHULTZ, 2004) Mostre que se 𝑦 ≠ 0, então
𝑦𝑎−𝑏
=
1
𝑦𝑏−𝑎
Radicais Algébricos
QUADRO
Vamos fazer diversos exercícios envolvendo radicais
algébricos, que são expressões do tipo
√𝑃(𝑥)
𝑛
Quando 𝑃(𝑥) é um polinômio, satisfeitas condições
de existência.
1)(SCHULTZ, 2004) Simplifique as expressões
com radicais usando as propriedades das raízes:
a)√50
b)√128
c)√−54
3
d)−32√−48
3
e)√32𝑥3
f) √18𝑥3
g) √−27𝑥5
3
h) √−81𝑥7
3
i)√27𝑏3𝑐4
j) √50𝑎3𝑏4
k) √24𝑥5𝑦3𝑧9
3
l) √250𝑟7𝑠2𝑡3
3
m) √98𝑥8𝑦3𝑧
n)(16𝑥6)
1
4
o)(40𝑎7)
1
3
2) (SCHULTZ, 2004) Simplifique
a)(27𝑎𝑏3)
1
3 ∙ √5𝑎4𝑏
3
b)
8(54𝑥5)
1
2
4√3𝑥3
c)√3𝑟2𝑠3
3
∙ (9𝑟3
𝑠4)
1
3
d)
√54𝑥3𝑦3
(3𝑥𝑦2)
1
2
e)√27𝑎4𝑏3
3
(81𝑎2
𝑏)
1
3
f)
12√15𝑥3
6(3𝑥)
1
2
3) (SCHULTZ, 2004) Simplifique os produtos ou
quocientes, assumindo que os radicandos são
positivos:
a)√2𝑥3 ∙ √4𝑥3
b)√3𝑦3
3
∙ √9𝑦2
3
c)√25𝑥2
4
∙ (25𝑥2)
1
4
d)(16𝑥2)
1
3 ∙ √4𝑥
3
e)(24𝑟𝑠)
1
2 ∙ √6𝑟3𝑠4 ∙ √𝑟𝑠2
f)√3𝑎2𝑏4
3
∙ (𝑎3
𝑏5)
1
3 ∙ √𝑎𝑏
3
g)
(64𝑦7)
1
3
√𝑦3
3
h)
(42𝑎4)
1
2
√8𝑎5
i)
√24𝑥5
(6𝑥3)
1
2
j)
√32𝑥7
3
(4𝑥2)
1
3
k)
(64𝑥7)
1
4
√𝑥
4
l)
(24𝑥5𝑧2)
1
2
√12𝑥2𝑧2
m)(21𝑥2
𝑦3)
1
2√3𝑥4𝑦8
n)(81𝑑4
𝑓4)
1
2√5𝑑2𝑓8√𝑑2𝑓2

168
o)√64𝑦7𝑐3𝑡5
3
(𝑦𝑐𝑡)−
2
3
p)√162𝑎7𝑏3𝑐5
3
(54𝑎𝑏𝑐)−
1
3
4) (SCHULTZ, 2004) Simplifique as expressões
com radicais usando as propriedades das raízes:
a)√49𝑥2𝑦5𝑧6
b)√64𝑎4𝑏𝑐3
c)√128𝑎𝑏2𝑐5
d)√−27𝑥7𝑦3𝑧2
3
e)√−32𝑓6𝑔5ℎ2
5
f)√−54𝑥5𝑦9
3
Radiciação de Frações Algébricas
QUADRO
A radiciação é feita usando-se as regras que já
aprendemos anteriormente:
a)√
𝑎6𝑏9
𝑐12
3
=
𝑎2𝑏3
𝑐4
(Notou que basta dividir os expoentes pelo índice?)
b)√
36𝑎4
25𝑏12 =
6𝑎2
5𝑏6
c)√
144
𝑥6𝑦8𝑧12 =
12
𝑥3𝑦4𝑧6
d)√
27𝑎9
8𝑏15
3
=
3𝑎3
2𝑏5
e)√
9
𝑥2−6𝑥+9
=
3
𝑥−3
(Note que, fatoramos o denominador que é um trinômio quadrado
e temos (𝑥 − 3)2
, portanto cancelamos o denominador com o
radical.
f)√
16
𝑥2+8𝑥+16
=
4
𝑥+4
1) Efetue as seguintes radiciações:
a)√
25𝑥6
𝑦8
b) √
400𝑎4
𝑏6𝑐10
c) √
9𝑥6𝑦2
𝑧14
d) √
8𝑦6
𝑥12
3
e) √
8𝑧9
𝑤12𝑦15
3
f) √
−8
𝑥6𝑦9
3
g) √
𝑥9
27𝑦12
3
h)√
25𝑥−4
𝑦−6
i) √
9𝑥−8𝑦12
𝑧−14
j) √
125𝑥−21
𝑧−6𝑦9
3
k)√
𝑥2−10𝑥+25
4𝑥2+4𝑥+1
l)√
144
9𝑥2−24𝑥+16
Revisão
LEIA COM ATENÇÃO
ESSE QUADRO
Vamos revisar conceitos gerais de Frações
Algébricas
1) (SCHULTZ, 2004) Faça a Simplificação das Frações (no caderno)
a)
𝑥2−25
𝑥2−10𝑥+25
b)
4𝑥2+8𝑥+4
𝑥+1
c)
𝑥2−6𝑥+9
𝑥2−9
*d)
𝑥2−10𝑥+9
𝑥2+2𝑥−3
*e)
−𝑥2−𝑥+6
𝑥2−5𝑥+6
*f)
𝑎𝑥−𝑏𝑥+𝑎𝑦−𝑏𝑦
𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑎𝑦+𝑏𝑦
*g)
𝑥2−𝑦2−4𝑥+4𝑦
𝑥2−𝑦2+4𝑥−4𝑦
2) (Ismael Reis) Efetue(no caderno)
*a)
𝑥2+4𝑥+4
𝑥2−9
∙
3𝑥+9
𝑥2+3𝑥+2
∙
𝑥−3
3𝑥
*b)
3𝑚2−3
5
∙
15(𝑚+3)
𝑚2+3𝑚−4
∙
𝑚
𝑚2−9
c)
5𝑎𝑏
𝑎2−𝑏2
∙
2𝑏𝑐
𝑎3𝑏3
∙
𝑎+𝑏
𝑐2
d)
1
4𝑥+4
∙
3
𝑥−1
∙
𝑥
𝑥2−1
*e)
𝑦2+6𝑦+9
(𝑦+2)(𝑦2+4)
∙
𝑦2−4
(𝑦+3)(𝑦+2)
f)
2𝑏(𝑎−𝑥)2
𝑎2𝑥−𝑥3
∙
3𝑥(𝑏+𝑥)
𝑏2−𝑥2
g)
𝑥4−1
𝑥
∙
𝑥
𝑥+1
∙
2𝑥+3
𝑥2
h)
𝑎2𝑦2
𝑧3
∙
𝑦𝑧
𝑎𝑦+𝑎𝑧
∙
𝑦2−𝑧2
𝑎𝑦𝑧
*i)
𝑥2−2𝑥+𝑥𝑦−2𝑦
𝑥2−3𝑥−𝑥𝑦+3𝑦
∙
(𝑥−𝑦)2
𝑥+𝑦
3) (Ismael Reis) Efetue(no caderno)
*a)
4𝑥+6
𝑥+1
:
2𝑥3+3𝑥2
𝑥2+3𝑥+2
b)
𝑎2−9
𝑎2−1
:
𝑎+3
5𝑎+5
c)
2𝑎𝑥2−2𝑎𝑦2
𝑏𝑥
:
(𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦)2
𝑥3
d)
𝑥4−𝑎4
(𝑥−𝑎)2
:
𝑥2+𝑎2𝑥
𝑥−𝑎
*e)
𝑚2−1
𝑎2−𝑏2
:
𝑚2−3𝑚+2
3𝑎+3𝑏
*f)
𝑥2+3𝑥−10
𝑎2+7𝑎−18
:
𝑥2−4
𝑎2−4
*g)
𝑎2−2𝑎−15
𝑎2−9
:
𝑎2−3𝑎
𝑎2−5𝑎
Toda vez que você ver o * Necessário ter feito o aprofundamento
interessante das aulas anteriores do Submódulo para conseguir
acompanhar.

169
B5.3 AULA 21 – Produto Cartesiano
Se voce pulasse esse capítulo não teria muitas dificuldades para compreender todo restante
do conteúdo de Ensino Fundamental e Médio. É um assunto que em geral não é cobrado nos
vestibulares atualmente.
O problema é que Produto Cartesiano ajuda na compreensão correta do conceito abstrato de
Função. Além disso, permite a ajuda ao raciocínio lógico e a criação de certos padrões.
A retirada desse tópico da Educação Básica foi um equívoco, pois, não se compreendeu o
objetivo da chamada Matemática Moderna - antes era um assunto de 5ª série do Ensino
Fundamental, mas hoje na escola aparece no 1º ano do Ensino Médio.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o PRODUTO CARTESIANO
atividade.
Produto Cartesiano
QUADRO
Chamamos de Produto Cartesiano AxB o conjunto
de todos os pares ordenados (x,y), tal que x∈A e
y∈B.
Dados:
𝐴 = {1,2,3}
𝐵 = {1,5}
Então:
𝐴 × 𝐵 = {(1,1), (1,5), (2,1), (2,5), (3,1), (3,5)}
Isso pode ser representado em diagramas de Venn:
Isso pode ser representado também no Plano
Cartesiano:

170
PRODUTO CARTESIANO - PONTOS
1) Dados os conjuntos A={-2;0;2;4} e B={2;4},
represente por extensão, em diagramas de Venn
e graficamente os seguintes conjuntos:
a) AxB
b) BxA
c) A2
d) B²

171
2) Dado o conjunto A={-2, 1, 3, 5} e B={4,6},
determinar AxB e BxA por diagramas de flechas e
no plano cartesiano:
AxB
BxA
3) Sendo P o conjunto dos números pares e I o
conjunto dos números ímpares, classifique cada
uma destas sentenças em verdadeira ou falsa:
a) (2;3)PxI b) (201;201)I2
c) (4;5)P2
d) (7;8)IxP
4)Um conjunto A possui 6 elementos e um
conjunto B possui 7 elementos. Quantos
elementos possui:
a) AxB
b) BxA
c) A²
d) B²
5)Se o conjunto A possui 3 elementos e o conjunto
B possui 2 elementos, quantos elementos possui
o conjunto das partes de AxB?
6) Dado A={1,5,6,11} e B={2,3,6,11}, quantos
elementos possui (𝐴 ∩ 𝐵) × 𝐶𝐴
𝐵
7) (Joaquim Professor Wordpress) Para os
conjuntos A e B temos que o número de elementos
de A é 3 e que o número de elementos de B é 2.
Sabendo que A ∩ B = {2}, que (3, 4) ∈ A x B e
ainda que A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, ache A e B.
8) (Joaquim Professor Wordpress) Sabendo
que a e B são dois conjuntos tais que:
1. (1, 7) e (5, 3) são elementos de A x B;
2. A ∩ B = {1, 3}
Podemos afirmar com toda segurança que:
a) A x B tem 8 elementos
b) A x B tem mais de 8 elementos
c) A x B tem pelo menos 8 elementos
d) A x B não pode ter 9 elementos
e) Nada se pode afirmar sobre o número de
elementos de A x B
9) (Joaquim Professor Wordpress) Marque a
única opção falsa:
a) se #(A)=p, então #(A²)=p².
b) se #(A × B) = #(B × A), então A × B = B × A.
c) se A = B, então A x B = B x A.
d) se #(A) = x e #(B) = y, então #(A ×B) = x ⋅ y

172
Produto Cartesiano - Intervalos
QUADRO
Dados:
𝐴 =] − 2,3]
𝐵 = [1, +∞[
𝐶 = {1,4}
Vamos fazer os produtos cartesianos:
a)𝐴 × 𝐵
A “bolinha aberta” indica que no Produto Cartesiano
devemos pontilhar. A área infinita é o produto
cartesiano.
b)𝐵 × 𝐶
São duas linhas, infinitas:
c)𝐶 × 𝐴
Imagens de Maria Adélia Friedrich (UNISINOS)
1)Dados os subconjuntos de IR, A=[-2,5[, B=]1,6]
e C=]-,4], desenhe o gráfico de:
a) AxB
b) BxA
c) CxB

173
d) AxC
2) A figura seguinte mostra o gráfico de ExF.
Represente E e F por notação de intervalo e
desenhe o gráfico de FxE.
3) Dados os conjuntos A={1,2,3,4} e
B={xIR|1x4} representar graficamente os
conjuntos:
a) A x B
b) B x A
c) (AxB)U(BxA)

174
d) (AxB)(BxA)
4) Dados os conjuntos A=[2,5[ e B={3} representar
no plano cartesiano os gráficos de AxB e BxA.
5) Represente no plano cartesiano o produto ℝ ×
{3}
6) Represente no plano cartesiano ([1,3] ×
[3,4]) ∪ ([−2, −1] × [1,2]). Em seguida determine
a área da região.
[−1,4]) ∩ ([−2,4] × [1,5]). Em seguida determine
a área da região.

175
[−1,4]) − ([2,3] × [1,2]). Em seguida determine a
área da região.
9) (Joaquim Professor Wordpress) O gráfico do
produto cartesiano ℝ x ℤ é formado por:
a) uma faixa
b) uma reta
c) infinitas retas paralelas ao eixo x
d) infinitas retas paralelas ao eixo y
e) duas retas concorrentes
10) (Joaquim Professor Wordpress) O gráfico
do produto ℝ×ℝ = ℝ² é:
a) uma reta
b) todo o plano cartesiano
c) três retas
d) o conjunto formado pelos eixos x e y
e) duas retas perpendiculares
11) (Joaquim Professor Wordpress) Se A =
[−1,1] e B = [1, 3], então o gráfico
de A x B é:
a) uma faixa vertical
b) um conjunto de quatro pontos
c) uma região quadrada
d) uma região retangular não quadrada
e) a reunião de duas retas horizontais
12) (Joaquim Professor Wordpress) Sendo A =
[2,+ ∞) e B = [3,+ ∞), então o gráfico de A x B é:
a) uma faixa de pontos paralela ao eixo y
b) uma região retangular
c) uma faixa de pontos paralela ao eixo x
d) uma região angular de abertura 90º
e) a reunião de três segmentos de retas paralelas
ao eixo y
13) (Joaquim Professor Wordpress) Sendo A, B
e C três conjuntos quaisquer não vazios de um
mesmo conjunto universo (U), então das
sentenças abaixo, a que nunca é correta é:
a) se A ≠ B, então A x B ≠ B x A
b) A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
c) A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
d) A x (B x C) = (A x B) x C
e) A x ∅ = ∅ x A = ∅
14) (Joaquim Professor Wordpress) Se A =
{x∈IR 1/ ≤ x ≤ 3} e B = {3}, o produto cartesiano
AxB graficamente será:
15) (Joaquim Professor Wordpress) Sendo A =
[ ,1 4 ] e B = [ ,1 3 ] intervalos reais, a melhor
representação do produto cartesiano A x B é:
16) (PAES – UNIMONTES / 2000) Dados os
conjuntos A = {x∈IR /− 3 ≤ x ≤ 4} e B = {y∈IR
/−2<y≤ 3}, a alternativa que representa A x B será:

176
17) (UFMT) O gráfico do produto cartesiano A x B
é formado por 15 pontos distintos. Pode-se afirmar
que:
a) A não é um conjunto unitário
b) A possui 3 elementos e B possui 5
c) A é um conjunto de números inteiros
d) A ≠ B
e) A possui 15 elementos
18) Dados: A=[-1,3], B=[-1,5], C=[0,7], D=[-2,3]
Determine:
a) (AxB)∪(CxD)
b) (AxB)∩(CxD)
19) Crie a união ou intersecção de produto
cartesiano cujo resultado seja o gráfico a seguir:
a)
b)
20) Determine {1,3,5}× ∅?
1) Quantos elementos tem AxB, se A tem 25
elementos e B tem 4 elementos?
2) Seja A={xIR|0xa}, determine o valor do
extremo A, sabendo que o gráfico de A2
resulta
numa figura de área igual a 7.
3) Sabendo que {(1,2),(3,2)}A2
e n(A2
)=9,
represente pelos elementos o conjunto A2
.
4) Considerando AB, {(0,5),(-1,2),(2,-1)}AxB, e
n(AxB)=12, represente AxB pelos seus elementos:
5) Represente no plano cartesiano o gráfico do
produto ℝ × ∅.
6) (Perilo José de Oliveira - Centro de Ensino
Médio Setor Leste) Uma empresa possui 2400
funcionários. Todo funcionário é identificado por
um código formado por uma letra do alfabeto de
26 letras e um número natural maior ou igual a 1 e
menor ou igual a 100, por exemplo k-86. Não
existem dois funcionários com o mesmo código.
Sabe-se que a empresa admitiu 350 novos
funcionários e não demitiu nenhum dos antigos. O
sistema continuará suficiente para identificar todos
os funcionários? Em caso negativo, que alteração
você faria no sistema para que todos os
funcionários pudessem ser identificados?
7) (CESGRANRIO) Dados os conjuntos
A={1,3/2}U{xIR|2<x<3} e B={xIR|1x2}, o
gráfico de AxB é representado por.... ?
8)(FAAP) Se A={xIR|1x3} e B={3}, o produto
cartesiano AxB graficamente será:

177
5.1AULA 22 – Técnica com Radicais
Capítulos de Técnicas como os da aula 22 e 23 são relativamente opcionais,
porém, ajuda a compreensão e resolução de cálculos mais complicados.
Na vida real e na aplicação da Matemática, os cálculos algumas vezes são
complexas. A escola trata geralmente dos casos mais simples para fixar
conceitos. Essa aula de técnicas pode te ajudar muito, mas pode ser apenas
um aprofundamento interessante.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o CÁLCULO COM RADICAIS
atividade.
Operações com Radicais
QUADRO
Vamos aprender na prática operar com radicais do
tipo
𝑎 + 𝑏√𝑐
1)(SCHULTZ, 2004) Efetue as operações com os
radicais algébricos indicados da forma 𝑎 + 𝑏√𝑐
a)(6 + √12) + (−7 + √75)
b)(−5 − √18) − (6 + √50)
c)(−3 + √32) + (6 + √98)
d)(8 − √45) − (−2 + √20)
e)(−3 + 5√2)(4 + 2√2)
f) (4 − √3)(2√3 + 5)
g) (3 − 5√5)(−4 + 6√5)
h)(−4 √6 + 1)(5 − 3√6)
2)(SCHULTZ, 2004) Mostre que
(𝑎 + 𝑏√2)(𝑎 − 𝑏√2) = 𝑎2
− 2𝑏2
é verdadeiro
3)(SCHULTZ, 2004) Efetue
a) (3 + √3) + (3 + √3)
b) (4 + √7) − (−3 + 2√7)
c)(3 + √18) + (−1 − 4√2)
d) (5 + √125) + (−10 + 10√5)
e)(3 + √32) − (4 + 2√98)
f)(−6 − √6) − (−1 − 3√24)
g)(√12 − 4) − (8 + √27)
h)(−3√5 + 2) − (3 + 2√20)
i)(2 + √3)(−1 + √3)
j)(√5 − 8)(−1 + 3√5)
k) (8 + √12)(3 − √12)
l)(−6 + √5)(−4 + 2√5)
m)(3 + √2)(3 + √2)
n)(2 + 3√7)(2 − 3√7)
o)(√100 − 6)(−4 + √12)
p)(5 + √18)(−√16 − 3)
q)(4 − 2√27)(1 + √75)
r)(−3 + 2√8)(√20 − 5)

178
s)(13 + √2) − (−3 + 2√2) + 3√2
t)(1 + √75) + (−2 + √125) − 7√3
u)(3 − 5√2) − (−4 + √2)
v)(4 + 3√7) − (5 + 3√7)
w)2√6(√24 − 7)
x)3√5(−√20 + 2)
y)(√75 − 8)√12
z)(3√12 + 4)√27
a’)4√2(√12 − 3√2 + 4√8)
b’)2√3(7√3 − √8 + 2√5)
Técnica com Radicais
QUADRO
Os exercícios a seguir exigem usar várias das
técnicas utilizadas nesse módulo. Cada um é feito de
uma forma distinta.
1)(A Conquista da Matemática)Sendo 𝑎 = 1 −
√3 e 𝑏 = √3 − 1, determine o produto 𝑎𝑏.
2)(A Conquista da Matemática)Efetue a
multiplicação √7 + √5 ∙ √7 − √5 simplificando o
resultado
3)(A Conquista da Matemática)Escreva na forma
mais simples possível a fração
(2 + √2)(4 + √2)
(3 − √3)(3 + √3)
4)(A Conquista da Matemática)Escreva na forma
mais simples possível a expressão
(−5 + 2√7)(4 + √7) − 3√7
5)(A Conquista da Matemática)Qual é o número
real expresso por
√10 + √10 ∙ √10 − √10
6)(A Conquista da Matemática)A propriedade
fundamental das proporções nos diz que o produto
dos extremos é igual ao produto dos meios.
Usando essa propriedade determine o valor de x
nas proporções:
a)
𝑥
√6
=
√24
2
b)
𝑥
√13+√10
=
√13−√10
9
7)(A Conquista da Matemática)Você sabe que a
área de um quadrado é dada pelo quadrado da
medida do se lado. Nessas condições, vamos
calcular a área de cada um dos seguintes
quadrados.
8)(A Conquista da Matemática)Sabendo-se que
𝑥 = 3 + √2, qual é o valor numérico das
expressões abaixo :
a)𝑥2
− 2𝑥 + 1
b)𝑥2
− 6√2
9)(A Conquista da Matemática)Sendo dados 𝑎 =
6 + √2 e 𝑏 = 6 − √2, calcule o valor numérico da
expressão 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
10)(A Conquista da Matemática)Verifique se 𝑥 =
2 + √2 torna verdadeira a igualdade 𝑥2
− 4𝑥 + 2 =
0.
11)(A Conquista da Matemática)Escreva na
forma mais simples possível a expressão (3 +
2√5)
2
− √720 − 18.
12)(A Conquista da Matemática)Vamos
simplificar a fração
(√6 +√2)
2
(√7+√3)(√7−√3)
.
13)(A Conquista da Matemática)Qual a forma
mais simples de escrever a expressão (√7 +
√5)
2
− (√7 + √5)(√7 − √5)?
14)(A Conquista da Matemática)Qual é a
expressão algébrica que representa o quadrado
da expressão √5𝑥 + √2𝑥 para 𝑥 > 0?
15)(A Conquista da Matemática)Simplifique a
expressão
√3+2
√6+2
:
√6−2
√3
16)(A Conquista da Matemática) Dados 𝑥 = 2√3
e 𝑦 = 3√2, calcule o valor de 𝑥2
𝑦2
.

179
17)(A Conquista da Matemática) Dados 𝑥 = √10
e 𝑦 = 2√5, calcule o valor de 𝑎2
− 𝑏2
+ 10
18)(Ismael Reis) Simplifique os seguinte radicais
algébricos, supondo que os radicandos são
positivos:
a)√𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 4𝑦2
b)√𝑥2 − 10𝑦 + 25𝑦2
c)√𝑥4 − 2𝑥2𝑦2 + 𝑦4
d)√
𝑥2
4
− 3𝑥 + 9
e)√
𝑥2
25
+
2𝑥𝑦
5
+ 𝑦2
f)√3𝑎2𝑐 + 6𝑎𝑏𝑐 + 3𝑏2𝑐
g)√4𝑎5𝑏2 − 20𝑎3𝑏3 + 25𝑎𝑏4
h) √
𝑎2𝑥−2𝑎𝑥2+𝑥3
𝑎2+2𝑎𝑥+𝑥2
i)√
𝑎3−𝑎𝑥2−𝑎2𝑥+𝑥3
𝑏5𝑐3𝑏
j)√𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎 + 1
3
k)√𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8
3
l)√8𝑚3 − 12𝑚2 + 6𝑚 − 1
3
m)√
𝑥3
8
−
3𝑥2
4
+
3𝑥
2
− 1
3
19)(Ismael Reis) Introduza os fatores externos
no radicando:
a)6√3
b)4𝑥2
√𝑦2
3
c)
2𝑥
𝑦
√
2𝑦
𝑥
4
d)
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
√
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
e)
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
√
𝑥2+𝑦2+2𝑥𝑦
f)(𝑎 + 𝑏)√
1
𝑎3+3𝑎2𝑏+3𝑎𝑏2+𝑏3
3
g)𝑎√
𝑏
𝑎
+ 𝑏√
𝑎
𝑏
20)(Ismael Reis) Calcule o valor das expressões
a seguir, simplificando sempre que possível,
considerando as condições de existência:
a)
√𝑥
1+√𝑥
−
√𝑥
1−√𝑥
b)
1
𝑥−√𝑥2−𝑦2
−
1
𝑥+√𝑥2−𝑦2
c)
√5+√2 √10
3
∙ √10
3
√5
d)
√24
3
− √81
3
√2 √9
3
∙√32
Equações Irracionais redutíveis ao 1º
grau
QUADRO
Vamos resolver algumas inequações irracionais:
a)√3𝑥 − 4 = 3
Vamos elevar ambos os membros ao quadrado, o
que obviamente é válido:
(√3𝑥 − 3)
2
= 9
Ao cancelarmos a raiz com o expoente 2, podemos
ter uma “equação fantasma”, e aparecer uma raiz
falsa, pois, 3𝑥 − 3 precisa ser um valor positivo
3𝑥 − 3 = 81
3𝑥 = 84
𝑥 =
84
3
𝑥 = 28
Como 3 ∙ 28 − 3 > 0
𝑆 = {28}
b)√3𝑥 − 4 = √2𝑥 + 5
(√3𝑥 − 4)
2
= (√2𝑥 + 5)
2
3𝑥 − 4 = 2𝑥 + 5
3𝑥 − 2𝑥 = 5 + 4
𝑥 = 9
Verificação √3(9) − 4 = √2(9) + 5
√23 = √23 (Checado!)
𝑆 = {9}
c)−√𝑥 = 4
(−√𝑥)
2
= 42
𝑥 = 16
Mas verificamos que:
−√16 = 4 é falso
𝑆 = ∅
Isso fará mais sentido na equação irracional do 2º
grau
d)√𝑥2 + 9 = 𝑥 + 1
(√𝑥2 + 9)
2
= (𝑥 + 1)2
𝑥2
+ 9 = 𝑥2
+ 2𝑥 + 1
9 = 2𝑥 + 1
2𝑥 = 8
𝑥 =
8
2
𝑥 = 4
Verificar:
√42 + 9 = 4 + 1
√25 = 25
Checado!
𝑆 = {4}

180
1)(A Conquista da Matemática) Vamos resolver
cada uma das seguintes equações, EM SEU
CADERNO:
a)√3𝑥 = 6 b)√3𝑥 − 2 = 5
c)√2𝑥 + 1 = −3 d)2√𝑥 = 4
e)3√𝑥 = 12 f)√𝑥2 + 3𝑥 − 9 = 𝑥
g)√2𝑥 + 5 = √𝑥 + 8 h)3√2𝑥 = 6
i)√5𝑥 + 2 = √−6 + 9𝑥 j)√𝑥2 + 2 = 𝑥 + 1
k)√𝑥 − 5 =
3
√𝑥−5
Na letra “k” vocês podem substituir 𝑥 − 5 = 𝑦
Problemas com Radicais
QUADRO
A seguir faça os problemas que foram retirados do
livro de SCHULTZ (2004).
1)(SCHULTZ, 2004) Quão alta é uma pilha de três
caixas em forma de cubo, uma em cima da outra,
dado que seus volumes são 24 polegadas
cúbicas, 81 polegadas cúbicas e 375 polegadas
cúbicas) s? Dê uma resposta exata e uma
resposta arredondada para o centésimo mais
próximo da polegada.
b)E se as caixas tiverem volumes de 54 pés
cúbicos, 128 pés cúbicos e 250 pés cúbicos.
Quão grande será a pilha de caixas? Dê uma
resposta exata e uma resposta arredondada para
o centésimo de um pé mais próximo.
Pés cúbicos e polegadas cúbicas são medidas
imperiais de volume: veja o PODEMOS B3.2.
2)(SCHULTZ, 2004) a)Consulte a figura. Encontre
o comprimento do caminho destacado do ponto A
ao ponto B e depois ao ponto C. Dada uma
resposta exata e uma resposta arredondada para
o centésimo mais próximo.
b)Consulte a figura. Encontre o comprimento para
o caminho destacado do ponto A para o ponto B
para o ponto C se AX = BX=a e BY = CY = 2a,
onde a> 0. Dê sua resposta da forma mais simples
e radical.
3)(SCHULTZ, 2004) Os investigadores de
acidentes geralmente podem estimar a velocidade
de um motorista, em milhas por hora, examinando
o comprimento d em pés das marcas de
derrapagem na estrada. A estimativa da
velocidade também depende da superfície da
estrada e das condições meteorológicas. Se f
representa o coeficiente de atrito entre borracha e
concreto ou alcatrão, o 𝑠 = √30𝑓𝑑 ornece uma
estimativa da velocidade do motorista em milhas
por hora.
a) Escreva uma função para 𝑠 em termos de 𝑑 em
condições úmidas em uma estrada de concreto.
Dê uma resposta da forma mais simples e dê uma
aproximação ao décimo mais próximo.
b) Estime a velocidade de um motorista sob
condições molhadas em uma estrada de concreto
se as marcas de derrapagem forem estimadas em
200 pés de comprimento. Dê sua estimativa para
o número inteiro mais próximo de milhas por hora.
c) Compare a velocidade de um motorista cujas
marcas de derrapagem têm 400 pés de
comprimento, ambas em condições molhadas em
uma estrada de concreto.
4) (SCHULTZ, 2004) Simplifique
a)
𝑥
3−5√2
− (2 + 3√2) b)
𝑥
4+√2
− (−1 + 3√2)

181
B5.2 AULA 23 – Técnica Algébrica com Frações Algébricas
Como observamos na aula 22, essa aula é de técnicas.
É preciso dominarmos técnicas! Essas a seguir valem muito a pena, e, talvez
você queira retornar na aula 5 e fazer o aprofundamento interessante.
Os exercícios desse capítulo devem ser feitos no caderno, pois não haverá
espaço de resolução. Exercícios com * necessitam do aprofundamento
interessante.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o EXPRESSOES ALGÉBRICAS COM FRAÇÕES ALGÉBRICAS
atividade.
Expressões com Frações Algébricas
QUADRO
Efetuar expressões com Frações Algébricas exige o
uso das regras de expressões numéricas:
 Prioridade para Parênteses, depois
Colchetes e por último Chaves
 Primeiro Potência/Radiciação, segundo
Multiplicação/Divisão e por último
Adição/Multiplicação
1)(Edwaldo Bianchini) Simplifique as expressões
(no caderno)
a)(
𝑎
𝑏
+
𝑏
𝑎
) : (
𝑎
𝑏
−
𝑏
𝑎
)
b)(
2𝑎4𝑏
3𝑐𝑑3
)
2
∙ (
3𝑐2𝑑
2𝑎
)
3
c)(
𝑥+1
𝑥−2
+
𝑥−3
𝑥+2
) :(
2𝑥2−2𝑥+8
𝑥−2
)
d)(
2𝑥
𝑥+𝑦
− 1) ∙ (1 +
2𝑦
𝑥−𝑦
)
e)(
𝑎+𝑏
𝑎
−
𝑏−𝑎
𝑏
): (1 +
𝑎
𝑏
)
f)(
𝑎
𝑏
+
𝑏
𝑎
+ 2) : (
𝑎
𝑏
+ 1)
g)(
𝑥+𝑦
𝑥𝑦
): (
𝑥
𝑦
−
𝑦
𝑥
)
h)(
𝑎
𝑏
−
𝑏
𝑎
) ∙ (
𝑎
𝑎−𝑏
+
𝑎
𝑏
)
2)(Edwaldo Bianchini) Quanto vale
𝑎
𝑏
+
𝑏
𝑎
sendo
𝑎2
+ 𝑏2
= 100 e 𝑎𝑏 = 48?
3)(Ismael Reis) Resolva as expressões (no
caderno)
a)
2𝑎
3
−
𝑎2−𝑏2
25𝑥
∙
10𝑥
𝑎+𝑏
Resposta:
4𝑎+6𝑏
15
b)(
3𝑎
2𝑏
−
2𝑏
3𝑎
) : (
2
𝑎
+
3
𝑏
) Resposta:
3𝑎−2𝑏
6
c)(𝑥 −
𝑦2
2𝑥
) ∙ (𝑥 −
𝑥2+𝑦2
𝑥+𝑦
) : (1 −
𝑥
𝑥+𝑦
) Resposta:
(2𝑥2−𝑦2)(𝑥−𝑦)
2𝑥
d)(
5𝑎
7𝑏
−
7𝑏
5𝑎
) : (
7
𝑎
+
5
𝑏
) Resposta:
5𝑎−7𝑏
35
e)(
3𝑥
4𝑦
+
2𝑦
5𝑥
+
1
2
) (
5
𝑦
−
2
𝑥
) Resposta
(5𝑥−2𝑦)(15𝑥2+8𝑦2+10𝑥𝑦)
20𝑥2𝑦2
f)(
𝑥+2
𝑥−2
−
𝑥−2
𝑥+2
): (1 −
𝑥−2
𝑥+2
) Resposta:
2𝑥
𝑥−2
g)(𝑥 + 1 +
1
𝑥
)(𝑥 − 1 +
1
𝑥
) Resposta:
𝑥4+𝑥2+1
𝑥2
h)(
𝑎+𝑏
2𝑎−2𝑏
−
𝑎−𝑏
2𝑎+2𝑏
+
2𝑏2
𝑎2−𝑏2
) ∙
𝑎−𝑏
2𝑏
Resposta: 1
i)(𝑥 +
𝑎2𝑥
𝑥−𝑎2
) (𝑥 +
𝑎2𝑥
𝑥−𝑎2
) :
𝑥2+𝑎4
𝑥2−2𝑎2𝑥+𝑎4
Resposta:
𝑥4
𝑥2+𝑎4
j)(
2𝑥
𝑥2−1
−
1
𝑥+1
) (1 +
1
𝑥
) Resposta
1
𝑥
k)
𝑎−
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
−
𝑏−
𝑎𝑏
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
Resposta
𝑎2+𝑏2
𝑎2−𝑏2
l)
1
𝑥−1
−1
1−
1
1+𝑥
: (1 +
2𝑥
1−𝑥
) Resposta: 1
m)
1+
1
𝑎
𝑏+
1
𝑎
+ 1 −
𝑎𝑏+𝑎
𝑎𝑏+1
Resposta:
2
𝑎𝑏+1
n)
1
𝑎2−
1
𝑏2
1
𝑎
−
1
𝑏
Resposta:
𝑎+𝑏
𝑎𝑏

182
o)
𝑎
𝑏
−
𝑏
𝑎
1
𝑎
+
1
𝑏
Resposta: 𝑎 − 𝑏
p)
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
−
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
−
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
Resposta: 1
q)(
9−𝑥2
9𝑥2−4
−
3𝑥2−3𝑥−36
𝑥2−9
:
12𝑥−48−18𝑥2+72𝑥
𝑥2−6𝑥+9
) ∙
4−6𝑥
3−𝑥
Resposta:
𝑥−4
3𝑥+2
r)[
𝑚
2
(
1
𝑚+𝑛
+
1
𝑛−𝑚
):
𝑚𝑛2+𝑚2𝑛
𝑛2−𝑚2
] :
1
𝑛+𝑚
Resposta: 1
s)
3
2𝑥+3−
3
1−
𝑥
𝑥+6
Resposta:
2
𝑥
t)
1
1−
1
1+
1
𝑥
Resposta: 1 + 𝑥
3)(Edwaldo Bianchini) Dividiu-se uma fração
algébrica por (
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
− 1) e o resultado foi a fração
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
. Qual era a fração dividendo?
*4)(Fórum PiR2) Racionalize o denominador
5) (SCHULTZ, 2004) Mostre que se
𝑥−1−𝑦−1
𝑥−𝑦
=
−
1
𝑥𝑦
6) (SCHULTZ, 2004) Efetue e simplifique as
expressões algébricas a seguir, indicando as
condições de existência (no caderno, como toda
aula):
a)
𝑥
𝑥2−1
÷
𝑥2
𝑥+2
𝑥
𝑥+1
b)
𝑥+3
𝑥−1
𝑥(𝑥−1)−1
c)
2𝑦+6
𝑦−7
(𝑦+2)(𝑦+3)−1 d)
1−7𝑥−1−18𝑥−2
1−4𝑥−2
e)
1+12𝑥−1+27𝑥−2
𝑥−1+9𝑥−2 f)
(𝑥+𝑦)𝑦−1−2𝑥(𝑥+𝑦)−1
(𝑥−𝑦)𝑦−1+2𝑥(𝑥−𝑦)−1
g)
3
2𝑥−1
𝑥
h)
1
3𝑥+1
2
i)
4
𝑥−1
2
𝑥−1
+
3
𝑥−1
j)
4
𝑥+2
𝑥+2
3
−
3
𝑥+2
k)
𝑥+2
𝑥+5
𝑥−1
𝑥+5
+
1
𝑥+1
l)
2𝑥+10
𝑥−1
𝑥+5
𝑥2−1
−
4
𝑥+1
m)
1−𝑥𝑦−1
𝑥−1−𝑦−1 n)
𝑥−𝑦
𝑥−1−𝑦−1
o)
1
𝑎2−
1
𝑏2
𝑎−2+2(𝑎𝑏)−1+𝑏−2
7)(SCHULTZ, 2004) Emilio e Maria Vianco tem um
custo mensal de US $ 1200 para operarem sua
lanchonete. O custo médio de preparação de um
sanduíche é de US $ 1,69.
a) Usando o menu mostrado na figura, encontre a
receita média por sanduíche. (traduza)
b) Vamos representar por x o número de
sanduíches vendidos em um mês. Escreva uma
função para o custo total mensal de operação do
negócio, C, usando o custo médio de preparar um
sanduíche.
c) Escreva uma função para a razão, R, entre a
receita média e o custo médio de cada sanduíche.
8)(SCHULTZ, 2004) O diagrama abaixo ilustra
uma ambulância percorrendo uma distância
definida em um período específico de tempo. A
aceleração média, a, é definida pela razão entre a
variação de velocidade e a variação do tempo.
a) Simplifique a expressão que define a.
b) Se a distância, d, é medida em pés e o tempo,
t, é medido em segundos, em que unidades a
aceleração é medida?
9)(SCHULTZ, 2004) Um motorista de táxi dirigiu
do aeroporto para a casa de um passageiro a uma
velocidade média de 55 quilômetros por hora. Ele
retornou ao aeroporto ao longo da mesma
autoestrada a uma velocidade média de 45
quilômetros por hora. Qual foi a velocidade média
do taxista durante toda a viagem? A resposta não
é a média de 45 e 55. Para responder a essa
pergunta, você precisa adicionar duas expressões
racionais (frações algébricas).
Refira-se à viagem de ida e volta do taxista
descrito o início da aula.
Qual é a velocidade média do taxista durante
toda a viagem?

183
A questão acima é bem clássica e dá a idéia de
média harmônica – e há várias questões similares!
Estudaremos isso no PODEMOS C em estudo
das médias e desigualdades e no PODEMOS F1
(Física).
10)(SCHULTZ, 2004) Encontre os números A, B,
C e D de modo que a expressão racional dada seja
igual à soma das duas expressões racionais mais
simples, como indicado (decomposição em
frações parciais)
a)
3𝑥+2
𝑥−5
=
𝐴𝑥
𝑥−5
+
𝐷
𝑥−5
b)
−𝑥+1
(𝑥−2)(𝑥−3)
=
𝐵
𝑥−2
+
𝐷
𝑥−3
c)
2𝑥2+5
𝑥2+11𝑥+30
=
𝐴𝑥
𝑥+5
+
𝐶𝑥+𝐷
𝑥+6
d)
𝑥2−7
𝑥2+2𝑥−3
=
𝐴𝑥
𝑥+3
+
𝐶𝑥+𝐷
𝑥−1
11)(SCHULTZ, 2004) No diagrama à direita, o
quadrado A tem 1 unidade de lado, o quadrado B
tem 1/2 de lado, o quadrado C tem 1/4 de lado e
assim por diante.
a) Escreva uma soma para a área total dos
quadrados A, B, C e D, usando apenas potências
de 2.
b) Reescreva a soma que você escreveu no item
“a” como um único número racional.
c) Suponha que mais dois quadrados, E e F, sejam
adicionados ao conjunto de quadrados,
continuando o padrão. Escreva um único número
racional para a área total dos quadrados A a F.
d) Converta suas respostas das partes b e c para
decimais arredondadas para o décimo milésimo
mais próximo. Qual fração comum as respostas
parecem estar chegando cada vez mais perto?
12)(SCHULTZ, 2004) A resistência efetiva, 𝑅𝑇 , de
resistores paralelos em um circuito elétrico é igual
ao inverso da soma dos inversos das resistências
individuais.
A resistência em um circuito elétrico é medida em
ohms.
a) Um circuito tem três resistências paralelas, 𝑅𝐴 ,
𝑅𝐵 e 𝑅𝐶 . Encontre 𝑅𝑇 com duas casas decimais,
dado 𝑅𝐴 = 5 ohms, 𝑅𝐵 = 8 ohms e 𝑅𝐶 = 12 ohms.
b) Escreva 𝑅𝑇 como uma expressão racional sem
frações no denominador.
13)(SCHULTZ, 2004) O diagrama abaixo mostra
as partes de uma viagem que Justine
recentemente fez. As distâncias entre A e B, B e
C, C e D são todas iguais. A velocidade em cada
direção é mostrada no diagrama. Encontre cada
velocidade média listada abaixo até o décimo de
milha por hora mais próximo.
a)A velocidade média de Justine para uma viagem
de A para C e de volta para A
b)A velocidade média de Justine para uma viagem
de B para D e de volta para B
c)A velocidade média de Justine para uma viagem
de A a D e de volta para A
Toda vez que você ver o * Necessário ter feito o
aprofundamento interessante das aulas anteriores do
Submódulo para conseguir acompanhar.

184
B5.3 AULA 24 – Inequações Lineares
Esse capítulo é o mais inédito de todo o B-5, e ele foi quase totalmente traduzido do
Inglês.
A temática das Inequações Lineares não é tratada na maioria dos livros brasileiros,
mas é um temamuito comum em livros norte-americanos, fazendo parte do currículo
comum de 50 estados e territórios dos EUA, os Common Core.
Esse assunto é reintroduzido no currículo brasileiro pela nova BNCC e se tornarão
assunto obrigatório na escola a partir de 2020. Estamos na frente!
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
o SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
o INEQUAÇÕES COMPOSTAS (raro em língua portuguesa)
o INEQUAÇÕES LINEARES (raro em língua portuguesa)
o SISTEMAS DE INEQUAÇÕES LINEARES (raro em língua portuguesa)
o PROGRAMAÇÃO LINEAR (em língua portuguesa só em cursos superiores de Pesquisa Operacional)
atividade.
 Os casos a seguir não são essenciais para a alfabetização matemática, mas, se você é um aluno
talentoso, com facilidade ou que gosta de estudar, TAMBÉM VALE A PENA saber:
o PROGRAMAÇÃO LINEAR (introdução à Pesquisa Operacional)
Inequações - Introdução
QUADRO
Parte desse capítulo é traduzido originalmente pelo prof Otávio
Sales de material estrangeiro:
SCHULTZ, James E. e outros. Álgebra 2. United States of
America: Holt, Rinehard and Winston,2004
Também foi utilizado material em:
GOMES, Francisco Magalhães. Matemática básica. Volume 1.
Operações, equações, funções e sequências. Campinas:
IMECC - UNICAMP, 2016
Inequações do 1º Grau
QUADRO
Uma inequação possui os seguintes sinais:
> < ≥ ≤
A resolução das Inequações do 1º Grau é
semelhante à das equações:
5𝑥 − 3 < 4
5𝑥 < 4 + 3
5𝑥 < 7
𝑥 <
7
5
A solução é um intervalo: 𝑆 =] − ∞,
7
5
[
Quando formos “multiplicar por –1” o sinal
de desigualdade precisa ser trocado.

185
−5𝑥 < 3
5𝑥 > −3
𝑥 > −
3
5
S=] −
3
5
, +∞[
1) Resolva as inequações, e represente as
soluções sob a forma de intervalos, os
representando graficamente:
a) 5𝑥 − 3 > 5
b) 5𝑥 + 2 ≤ 3𝑥 − 6
c) 5 ≥ 2𝑥 − 4
d) 5(𝑥 − 3) + 4(2𝑥 − 1) < 3𝑥 − 4
e)
𝑥
4
−
1
3
≤ 3𝑥 −
1
2
f)
𝑥−3
4
+
1
3
< −
1
2
+
2𝑥−1
3
2) (Khan Academy – adaptado) Responda ao que se
pede:
a) O objetivo do João é ter mais de -7 euros na sua
conta bancária no final do mês. A variável d é o número
de euros na conta bancária do João no final do mês.
Escreve uma inequação em função de d que seja
verdadeira apenas se o João atingir seu objetivo
mensal.
b) Átila, o Huno, liderou o Império Huno. Era
extremamente temido pelos Romanos, pois tinha o
hábito de levar a cabo violentas invasões. Após a sua
morte, no ano de 453, deixou de ser uma ameaça para
os Romanos.
Considera que x representa um ano qualquer. Escreve
uma inequação em função de x e de 453 que seja
verdadeira apenas para os valores de x que
representem anos posteriores ao ano da morte de Átila.
c) Ana está a pilotar um avião pela primeira vez! A torre
de controle diz-lhe para voar a uma altitude de pelo
menos 500 m. Escreve uma inequação que seja
verdadeira apenas para valores da altitude (h), em
metros, a que a Ana deve voar?
3)(Khan Academy – adaptado) Resolva os problemas
a seguir:
a) A profa. Maura tem um sistema especial de
recompensas para sua turma. Quando todos os alunos
se comportam bem, ela os recompensa colocando 3
bolinhas de gude em um pote de vidro. Quando o pote
chega a 100 bolinhas ou mais, a turma ganha uma
festa. Neste momento, o pote está com 24 bolas de
gude.
Seja r o número de vezes adicionais que a classe é
recompensada, escreva uma inequação para
determinar quantas vezes mais a classe precisa ser
recompensada para ganhar uma festa.
Qual é o menor número inteiro de vezes adicionais que
eles precisam ser recompensados para ganhar uma
festa?

186
b) −2 vezes um número x menos 7 é maior ou igual à
41.
Escreva uma inequação para a afirmativa acima.
Encontre o conjunto solução da inequação.
c) Jane recebe uma mesada de $3 por semana. Além
disso, ela ainda pode ganhar $2 por cada tarefa
cumprida. Esta semana, ela quer ganhar dinheiro
suficiente para comprar um CD que custa $13. Jane
pode realizar frações de tarefas.
Escreva uma inequação para determinar o número de
tarefas, c, que ela deve realizar esta semana para
ganhar dinheiro suficiente para comprar o CD.
Identifique qual reta numérica representa o conjunto
solução desta inequação.
( )
( )
( )
( )
d) Você tem $20 para gastar com um táxi. O preço da
viagem é de $5 mais $2,50 por quilômetro.
Seja m o número de quilômetros percorridos, escreva
uma inequação para determinar quantos quilômetros
você pode rodar com $20.
Qual é o número máximo inteiro de quilômetros que
você pode rodar com $20?
4) (GOMES, 2016) Escreva na forma de desigualdades
as frases abaixo, explicando o signiﬁcado das variáveis
que você usar.
a) Em Campinas, o preço da gasolina varia de R$2,39
a R$ 2,79.
b) O maior preço dos produtos dessa loja é R$ 4,99.
c) Rosana tem, no mínimo 1,50 m de altura.
d) O meu saldo bancário é positivo.
5)(GOMES, 2016) João deseja construir uma casa em
seu terreno retangular que tem 12m de largura e 25 m
de comprimento. Entretanto, as normas municipais
impedem que a área construída exceda 2/3 da área
total do terreno. Se João decidiu que sua casa terá 10
m de largura, qual será o comprimento máximo da
construção?
6)(GOMES, 2016) As companhias aéreas costumam
impor restrições ao número, peso e dimensões das
malas que cada passageiro pode transportar. Uma
tradicional companhia brasileira não permite que, em
voos domésticos, a soma das dimensões de cada mala
(altura, largura e profundidade) ultrapasse 158 cm.
Suponha que uma mala grande tenha 30 cm de
profundidade, e que sua altura corresponda a 2/3 da
largura. Nesse caso, qual é a largura máxima que a
mala pode ter, segundo a companhia aérea?
7)(GOMES, 2016) O preço a ser pago por uma corrida
de táxi inclui uma parcela ﬁxa, denominada bandeirada,
e uma parcela que depende da distância percorrida. Se
a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quilômetro rodado
custa R$ 0,90, determine que distância podese
percorrer com um valor entre R$ 20,00 e R$ 30,00.

187
8)(GOMES, 2016) Se um terreno retangular deve ter perímetro de 120 m
e um dos lados deve medir ao menos o dobro do outro, quanto deve medir
o lado menor? Lembre-se de que o perímetro de um retângulo é igual à
soma dos comprimentos de seus lados.
9)(GOMES, 2016) João poupou R$1.250,00 para sua viagem de férias.
Desse montante, R$375,00serãogastoscompassagens. O resto será
usado no pagamento de refeições e diárias de hotel. Supondo que João
pretenda gastar R$30,00 por dia com refeições, por quantos dias ele pode
se hospedar em um hotel com diária de R$ 75,00?
10)(GOMES, 2016) A nota final de uma disciplina de pós-graduação é
obtida segundo a fórmula NF=(2P1+3P2)/5, em que P1 e P2 são,
respectivamente, as notas que o aluno obteve na primeira e na segunda
prova. Posteriomente, a nota final é convertida em uma “menção”, que é
divulgada no histórico escolar do aluno. A tabela abaixo fornece a menção
relativa a cada faixa de notas.
Se Ivete tirou 7,5 em sua primeira prova, quanto deve tirar na segunda
para ficar com menção B?
11)(GOMES, 2016) Vanda pretende se aventurar na produção de
camisetas. Para tanto, ela precisa adquirir uma máquina que custa R$
600,00. Além disso, Vanda estima que gastará R$ 12,00 para comprar e
estampar cada camiseta, que será vendida a R$20,00. Quantas camisetas
Vanda terá que vender para começar a ter lucro com seu empreendimento
(o que ocorrerá quando o valor obtido com as camisetas suplantar o custo
de produção)?
12)(GOMES, 2016) Carminha recebeu duas propostas de emprego como
vendedora de cosméticos porta-a-porta. A primeira indústria se propôs a
pagar 16% do valor dos produtos que Carminha vender. A outra empresa
ofereceu um salário fixo de R$ 720,00 ao mês, além de 7% do valor das
vendas. Determine o valor dos produtos que Carminha deve vender
mensalmente para que cada plano seja o mais vantajoso.
13)(GOMES, 2016) Três planos de telefonia celular são apresentados na
tabela abaixo.
a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utiliza 25 minutos por
mês?
b) Para quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que
os outros dois?
14)(GOMES, 2016) Uma lâmpada incandescente de 100 W custa R$
2,00. Já uma lâmpada fluorescente de 24 W, que é capaz de iluminar tão
bem quanto a lâmpada incandescente de 100 W, custa R$ 13,40.
Responda às questões abaixo, lembrando que, em uma hora, uma
lâmpada de 100 W consome 100 Wh, ou 0,1 kWh. Em seus cálculos,
considere que 1 kWh de energia custa R$ 0,50.
a) Levando em conta apenas o consumo de energia, ou seja, desprezando
o custo de compra da lâmpada, determine quanto custa manter uma
lâmpada incandescente de 100 W acesa por 750 horas. Faça o mesmo
cálculo para uma lâmpada fluorescente de 24 W.
b) Para iluminar toda a sua casa, João comprou e instalou apenas
lâmpadas fluorescentes de 24 W. Fernando, por sua vez, instalou
somente lâmpadas incandescentes de 100 W em sua casa. Considerando
o custo de compra de cada lâmpada e seu consumo de energia, determine
em quantos dias Fernando terá gasto mais com iluminação que João.
Suponha que cada lâmpada fica acesa 3 h por dia e que as casas
possuem o mesmo número de lâmpadas.
15)(GOMES, 2016) Uma empresa possui 500 toneladas de grãos em seu
armazém e precisa transportá-los a um cliente. O transporte pode ser feito
por caminhões ou por trem. Para cada tonelada transportada por trem
paga-se R$ 8,00 de custo fixo e R$ 0,015 por quilômetro rodado. O
transporte rodoviário exige 25caminhões. Para cada caminhão utilizado
paga-se R$ 125,00 de custo fixo, além de R$ 0,50 por quilômetro rodado.
Supondo que x seja a distância entre o armazém e o cliente, para que
intervalo de x o transporte por trem é mais vantajoso que o transporte por
caminhões?
16)(GOMES,2016) O Índice de Massa Corporal (IMC) é uma medida
usada para determinar se a massa (ou o peso) de uma pessoa está dentro
da faixa recomendada para sua altura. Sua fórmula é
𝐼𝑀𝐶 =
𝑚
ℎ2
,
em que m é a massa (em quilos) e h é a altura (em metros) do indivíduo.
Para ser considerada saudável, uma pessoa deve ter ICM entre 18,5 e 25.
Determine em que faixa de peso um indivíduo de 1,80 m de altura deve
se manter para ser considerado saudável.
17)(GOMES,2016) Depois de encontrar uma iguana verde (iguana
iguana) seriamente ferida, um biólogo faz o possível para mantê-la viva,
começando pelo controle da temperatura ambiente (já que a iguana não
regula a temperatura de seu corpo). Consultando um livro em inglês, o
biólogo descobriu que a iguana deve ser mantida entre 79ºF e 95ºF. Ajude
o biólogo a converter para graus Celsius a faixa de temperatura correta
para a iguana, usando a relação F=
9
5
C+32, em que F é a temperatura
emgraus Fahrenheit e C a temperatura em graus Celsius.
18)(GOMES,2016) Segundo a norma, os degraus de uma escada devem
ter entre 16 e 18 cm de altura (h). Já a largura (b) do degrau deve
satisfazer a fórmula de Blondel
63 𝑐𝑚 ≤ 2ℎ + 𝑏 ≤ 64 𝑐𝑚.
Determine o intervalo admissível da largura do degrau.
19)(GOMES, 2016) O perfil lipídico é um exame médico que avalia a
dosagem dos quatro tipos principais de gordura no sangue: colesterol total
(CT), colesterol HDL (conhecido como “bom colesterol”), colesterol LDL (o
“mau colesterol”) e triglicérides (TG). Os valores desses quatro
indicadores estão relacionados pela fórmula de Friedewald: CT = LDL +
HDL + TG/5. A tabela abaixo mostra os
valoresnormaisdoslipídiossanguíneosparaumadulto, segundo o
laboratório SangueBom.
O perfil lipídico de Pedro revelou que sua dosagem de colesterol total era
igual a 198 mg/dl, e que a de triglicérides era igual a 130 mg/dl. Sabendo
que todos os seus indicadores estavam normais, qual o intervalo possível
para o seu nível de LDL?
20)(GOMES,2016) A linguiça calabresa belprato é vendida em duas
embalagens, uma com 2,5 kg e outra com 1,75 kg. Se a embalagem de
1,75 kg custa R$16,00, quanto deve custar a embalagem de 2,5 kg para
que seja vantajoso comprá-la?
Já aprendemos a resolver inequações.
É muito importante saber representa-las na reta
numérica, sob a forma de intervalos:
a) −4 ≤ 7 − 3𝑥.
Solução 𝑥 ≥
9
2
b) 4−3𝑝 > 16 − 𝑝
Solução 𝑝 < −6
Você pode representar na forma de colchetes ou
parênteses também. A solução de b é ] − ∞, −6[ ou
(−∞, −6) .

188
1)(SCHULTZ, 2004) Resolva as inequações e as
plote na reta numérica (faça no caderno)
a)5𝑥 > 10 b)35𝑥 > 70
c)−5𝑥 > 10 d)−35𝑥 > 70
e)−5𝑥 > −10 f)−35𝑥 > −70
g)𝑠 − 2 > 10 h)𝑦 + 5 < −3
i)3𝑥 + 7 < 31 j)2𝑥 − 3 ≥ 19
k)
1
2
𝑑 − 1 ≥ −15 l)
1
5
𝑥 − 2 ≤ 28
m)−2𝑥 > 14 n)−5𝑥 ≤ 30
o)−𝑥 + 8 < 41 p)−5𝑥 − 15 > 60
q)−10 < −5𝑥 r)−81 ≤ −9𝑥
s)−
𝑥
3
= 10 t)−
𝑡
32
< 2
u)−6(𝑝 + 4) < 12 v)6 − (4𝑥 − 3) ≥ 8
w)4𝑦 − 12 > 7𝑦 − 15 x)8𝑎 − 11 < 4𝑎 + 9
y)3(4𝑥 − 5) < 8𝑥 + 3 z)6(𝑥 − 9) ≥ 21 + 𝑥
a’)−4𝑥 − 3 < −6𝑥 − 17 b’)−𝑥 + 5 ≥ −4𝑥 − 7
c’)2(𝑥 − 5) < −4(3𝑥 + 2) d’)−5(3𝑥 + 2) ≥ 4(𝑥 − 1)
2)(SCHULTZ, 2004) A média de Claire na prova
de História Geral é 90. A composição da nota
nessa escola é 2/3 de prova e 1/3 de trabalhos.
Qual a média de trabalhos que Claire precisa
para ter a nota final de pelo menos 93?
2
3
90 +
1
3
𝑡 ≥ 93
Resposta: maior ou igual a 99
3)(SCHULTZ, 2004) Escreva uma inequação cuja
solução seja cada um dos resultados a seguir:
Inequações Compostas
QUADRO
Considere as inequações compostas a seguir
com o uso das preposições e e ou:
a) Usando o E:
2𝑥 + 1 ≥ 3 e 3𝑥 − 4 ≤ 17
Resolução:
2𝑥 ≥ 3 − 1 e 3𝑥 ≤ 17 + 4
2𝑥 ≥ 2 e 3𝑥 ≤ 21
𝑥 ≥
2
2
e 𝑥 ≤
21
3
𝑥 ≥ 1 e 𝑥 ≤ 7
Quais são os números que são ao mesmo
tempo maiores ou iguais que 1 e menores ou
iguais que 7?
Ora, são os números do intervalo [1,7]!
b) Usando o OU:
5𝑥 + 1 > 21 ou 3𝑥 + 2 < −1
Resolução:
5𝑥 > 21 − 1 ou 3𝑥 < −1 − 2
5𝑥 > 20 ou 3𝑥 < −3
𝑥 >
20
5
ou 𝑥 < −
3
3
𝑥 > 4 ou 𝑥 < −1
Preciso dos números que sejam ou maiores que
4 ou menores que -1
Outros exemplos:
a)5𝑥 + 7(𝑥 − 2) > 6 ou 4𝑥 + 6 ≤ −6
Resolvendo chegamos em
𝑥 >
5
3
ou 𝑥 ≤ −3
Na reta:
b) 5𝑥 + 7(𝑥 − 2) > 6 e 4𝑥 + 6 ≤ −6
Resolvendo chegamos em
𝑥 ≥ −3 e 𝑥 <
5
3
O “E” pode ser substituído por { , e nesse cso chamamos de
sistema de inequações:
5𝑥 + 7(𝑥 − 2) > 6 e 4𝑥 + 6 ≤ −6 pode ser escrito como:
{5𝑥 + 7(𝑥 − 2) > 6
4𝑥 + 6 ≤ −6
O mesmo não se aplica ao “OU”. As chaves unindo objetos
algébricos sempre significam “E”.

189
1) (SCHULTZ, 2004) Preencha as linhas
numéricas correspondentes a:
a) x>-4 e x<2
b) x>-4 e x<2
c) x>-4 ou x<2
d) x>-4 ou x>2
e) x<-4 e x<2
f) x<-4 e x>2
g) x<-4 ou x<2
h) x<-4 ou x>2
2) (SCHULTZ, 2004) Resolva as seguintes
inequações compostas e plote-as na linha
numérica (CADERNO):
a) 𝑛 + 4 < 16 e 𝑛 − 3 > 12
b) 𝑠 + 7 > 4 ou 𝑠 − 2 < 2
c) 𝑥 + 9 ≤ 5 e 4𝑥 ≥ 12
d) 𝑐 − 8 ≤ 2 ou 6𝑐 ≥ −18
e) 5𝑎 + 12 < 2 e 5𝑎 − 12 < 3
f) −9𝑥 > −81 e 2(𝑥 + 6) > −4
g) 20 − 3𝑥 ≥ 11 ou −4𝑥 ≤ −20
h) 5 − 2𝑏 ≥ −3 ou −3(𝑏 − 3) < −6
i)
1
2
(𝑥 + 9) ≤ −3 e −10 < −5𝑥
j) 2𝑥 < 7𝑥 − 10 ou 8𝑥 ≤ 3𝑥 − 15
LEIA COM ATENÇÃO
ESSE QUADRO
Resolvendo inequações compostas usando
união e intersecção de intervalos:
Lembremos da aula 6, que
E
INTERSECÇÃO
∩
OU
UNIÃO
∪
a) Usando o E:
2𝑥 + 1 ≥ 3 e 3𝑥 − 4 ≤ 17
Já resolvemos e sabemos que a solução é
𝑥 ≥ 1 e 𝑥 ≤ 7
Basta plotar os intervalos e encontrar a
intersecção dos mesmos:

190
b) Usando o OU:
5𝑥 + 1 > 21 ou 3𝑥 + 2 < −1
Já resolvemos e sabemos que a solução é
𝑥 > 4 ou 𝑥 < −1
Basta plotar os intervalos e encontrar a união
dos mesmos:
1)(SCHULTZ, 2004) Resolva as seguintes
inequações compostas usando união e
intersecção de conjuntos (cálculos no caderno)
a)𝑦 − 2 < 4 e 𝑦 + 4 > 7
b) 𝑥 + 8 < 5 ou 𝑥 − 1 > 3
c)5𝑦 ≥ 15 e 𝑦 + 8 ≥ 8
d)𝑥 + 9 ≤ 5 ou 4𝑥 ≥ 12
e)3𝑡 + 5 > 11 e 4𝑡 − 1 < 15
f) −5𝑑 < 40 e 4(𝑑 − 3) < −8
g) 14 − 3𝑥 ≤ 2 ou 5 − 4𝑥 ≥ 17
h) −6𝑥 − 11 < 13 ou 3(𝑥 + 2) ≤ −9
i)
4𝑚
3
+ 5 > 2 e 4 ≤ −2(𝑚 − 3) − 7
j) 2𝑥 − 7 < 5𝑥 + 8 ou
1
2
(16 − 4𝑥) ≥ 0
2)(SCHULTZ, 2004) Desafio: resolva −2𝑎 ≤
3𝑥 + 𝑎 < 10𝑎 para 𝑥.
PROBLEMAS
1)(SCHULTZ, 2004) Uma instituição de caridade
está planejando sortear um carro novo doado por
um revendedor local de carros. A caridade quer
arrecadar pelo menos US $ 70.000. A empresa
espera vender pelo menos 1.250 tíquetes e
gastar US $ 5.000 promovendo o sorteio.
Encontre os possíveis preços dos ingressos, p,
resolvendo a desigualdade abaixo.
1250 𝑝 − 5000 ≥ 70000

191
2)(SCHULTZ, 2004) Um estudo descobriu que
pessoas que reduziram sua ingestão de gordura
para menos de 20% de suas calorias totais
sofreram menos dores de cabeça. [Fonte: Escola
de Saúde Pública da Universidade de Loma Linda,
CA]
a) Escreva e resolva uma desigualdade para
encontrar o número total de calorias consumidas
pelas pessoas neste estudo antes de reduzir sua
ingestão de gordura para 324 calorias de gordura.
b) Escreva e resolva uma desigualdade para
encontrar o número de calorias de gordura
consumidas por alguém neste estudo que
consumiu um total de 1850 calorias antes de
reduzir a ingestão de gordura.
Sistemas de Inequações do 1º Grau
QUADRO
Veja um sistema de inequações:
{
2𝑥 − 1 ≥ 5
−𝑥 − 3 < 0
Eu devo resolver cada uma das duas
equações, encontrar os intervalos de
solução:
𝑥 ≥ 3
𝑥 > −3
O símbolo { sempre significa E, portanto
devemos fazer a intersecção ᴖ dos
intervalos:
(Imagem do Campus do Sertão da UFAL)
S=[3,+[
1) Resolva os sistemas de inequações:
a) {
3𝑥 + 1 > 0
5𝑥 − 4 ≤ 0
b) {
10𝑥 − 2 ≥ 4
6𝑥 + 8 < 2𝑥 + 10
c) {
3𝑥 + 4 ≤ 7
5𝑥 − 1 ≥ 4
d) {
4𝑥 + 4 ≤ 0
𝑥 + 1 ≤ 0
Respostas que você deve encontrar
a) ]-1/3;4/5] b) Ø c) {1} d) ]-,-1]
(Lembre-se, resposta sem TODOS os cálculos significa que você não
faz o exercício)
APROFUNDAMENTO
Resolva os sistemas de inequações a seguir, e represente a solução
em resposta na reta numérica:
a){
3𝑥 − 2 > 4𝑥 + 1
5𝑥 + 1 ≤ 2𝑥 − 5
b){
5 − 2𝑥 < 0
3𝑥 + 1 ≥ 4𝑥 − 5
𝑥 − 3 ≥ 0
c){
3𝑥 + 2 ≥ 5𝑥 − 2
4𝑥 − 1 > 3𝑥 − 4
3 − 2𝑥 < 𝑥 − 6
d){
2𝑥−5
1−𝑥
≤ −2
𝑥2+𝑥+3
𝑥+1
> 𝑥

192
Inequações Simultâneas
QUADRO
Inequações Simultâneas:
−𝑥 + 3 < 𝑥 + 1 < 2𝑥
Podem ser resolvidas as convertendo em
um sistema de inequações:
{
−𝑥 + 3 < 𝑥 + 1
𝑥 + 1 < 2𝑥
1) Resolva as inequações simultâneas:
a) −𝑥 + 3 < 2𝑥 + 1 < 5
b) 3𝑥 + 2 < −𝑥 + 3 ≤ 𝑥 + 4
c)−2 < 3𝑥 − 1 < 4
d)𝑥 + 1 ≤ 7 − 3𝑥 ≤
𝑥
2
− 1
e) −4 < 4 − 2𝑥 < 3
f)3𝑥 + 4 < 5 < 6 − 2𝑥
g)−3 < 3𝑥 − 2 < 𝑥
h)2 − 𝑥 < 3𝑥 + 2 < 4𝑥 + 1
2) (Gelson Iezzi – Fundamentos de Matemática
Elementar – volume 1)Dados os gráficos das
funções f, g e h definidas em ℝ. Determine os
valores de x∈ ℝ, tais que:
a)𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) b)𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥)
c) 𝑓(𝑥) ≥ ℎ(𝑥) d)𝑔(𝑥) > 4
e)𝑓(𝑥) ≤ 0
3) (Gelson Iezzi – Fundamentos de Matemática
Elementar – volume 1) Dados os gráficos das
funções f, g e h definidas em ℝ. Determine os
valores de x∈ ℝ, tais que:
a)𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥)
b)𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) < ℎ(𝑥)
c)ℎ(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥)
Inequações Lineares
QUADRO
Os resultados de economia de combustível de
três diferentes veículos estão mostrados na
tabela:

193
*City = cidade, *Highway = rodovia, *Fuel Economy = economia
de gasolina, *mpg = milhas por galão, *Automobile = Automóvel
Considere o automóvel A. Se você usar x para
representar as milhas dirigidas dentro da cidade
e y para representar as milhas dirigidas nas
rodovias, então representa o número
de galões de gasolina consumidos. Resolva
para descobrir até onde você
pode dirigir usando não mais do que 20 galões
de gasolina.
A inequação é chamada de
inequação linear com duas variáveis.
Definição: INEQUAÇÃO LINEAR COM DUAS
VARIÁVEIS x e y são inequações que podem
ser escritas nos formatos a seguir:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 ≥ 𝐶
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 > 𝐶
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 ≤ 𝐶
𝐴𝑥 + 𝑏𝑦 < 𝐶
Texto de: SCHULTZ, James E. e outros.
Álgebra 2. United States of America: Holt,
Rinehard and Winston,2004
EXERCÍCIO
Considerando o exemplo:
É possível dirigir 25 milhas na cidade e 400 milhas
na rodovia no automóvel B usando não mais que
20 galões de gasolina?
QUADRO
A equação do exemplo pode ser plotada como:
QUADRO
Plotando inequações lineares no Plano
Cartesiano:
Exemplo 1:
𝑦 < 𝑥 + 2
Gráfico:
Exemplo 2:
𝑦 ≥ −2𝑥 + 3
Gráfico:
Exemplo 3:
−2𝑥 − 3𝑦 ≤ 3
Exemplo 4:
𝑥 > −2

194
Exemplo 5:
𝑦 ≤ −1
1)(SCHULTZ, 2004) Plote as inequações lineares
no Plano Cartesiano:
a)𝑦 ≥ 3𝑥 + 1
b)𝑦 > 5𝑥 + 2
c)𝑦 < 6𝑥 + 2
d)𝑦 ≤
3
2
𝑥 + 1
e)𝑦 ≥ −
1
2
𝑥 +
2
3
f)𝑦 > −3𝑥 − 4
g)𝑦 < −2𝑥 +
1
2

195
h)𝑦 ≤ −10𝑥 + 3
i)𝑦 − 5𝑥 ≥ 2
j)2𝑥 + 𝑦 > −2
k)𝑥 + 3𝑦 < 1
l)5𝑥 + 3𝑦 ≤ 4
m)5𝑥 − 𝑦 ≥ 1
n)−2𝑥 − 𝑦 > 0
o)6𝑥 − 4𝑦 > −2

196
p)3𝑥 − 2𝑦 > 5
q)
3
2
𝑥 −
5
4
𝑦 − 1 ≤ 0
r)
2
3
𝑥 −
1
2
𝑦 ≤ −2
2)(SCHULTZ, 2004) Escreva as inequações
correspondentes
3)(SCHULTZ, 2004) Plote as inequações lineares
no Plano Cartesiano:
a)𝑥 < −1
b)𝑥 ≤ 2
c)𝑦 ≥ 3

197
d)𝑦 > −2
e)2𝑦 < 5
f)2𝑦 ≤ −1
g)−𝑥 ≤ 4
h)−
5
4
𝑥 < −2
i)−7𝑦 < 21
j)
3−12𝑦
7
< 0
k)
6𝑥+5
3
≥ 8
l)3(4 − 2𝑥) ≤ −7
4)(SCHULTZ, 2004) Plote o gráfico da
inequação𝑦 ≥
1
2
𝑥 + 5

198
a) O par ordenado (4,1) satisfaz a equação?
Justifique sua resposta mostrando no
gráfico que o par está na região de solução
da inequação.
b) Identifique três pares ordenados quando
x=6 satisfaz a inequação.
c) Identifique três pares ordenados quando
y=8 satisfaz a inequação.
5)(SCHULTZ, 2004) O perímetro de um retângulo com
um comprimento dex pés e uma largura de y pés não
pode exceder 200 pés.
a) Escreva três desigualdades lineares para descrever
as restrições sobre os valores do perímetro, de x, e de
y.
b) Represente graficamente a região da solução das
três desigualdades do item “a”.
6)(SCHULTZ, 2004) Michael está perto de quebrar o
recorde do ensino médio de pontos de field-goal em um
jogo de basquete, precisando de 24 pontos para
empatar o recorde e 25 pontos para quebrar o recorde.
Um field goal pode valer 2 ou 3 pontos. Michael vai
jogar em um jogo hoje à noite. Escreva uma equação
ou inequação para cada situação abaixo.
a) Ele não consegue atingir ou bater o recorde.
b) Ele atinge o recorde
c) Ele bate o recorde.
7)(SCHULTZ, 2004) Uma turma montou uma
barraquinha de refrescos para vende-los durante os
jogos de futebol da escola. Eles terão um lucro de US $
0,25 em cada refrigerante vendido e um lucro de US $
0,20 em cada bola de sorvete vendida. Seu objetivo é
obter um lucro de pelo menos US $ 50.
a) Escreva uma desigualdade que descreva a meta de
lucro.
b) Represente graficamente a desigualdade.
c) Dê quatros pares ordenados que representam um
lucro de exatamente $ 50.
d) Dê três pares ordenados que representem um lucro
superior a US $ 50.
e) Dê três pares ordenados que representem um lucro
inferior a $ 50.
8)(SCHULTZ, 2004) Amanda está planejando um
churrasco. Ela orçou um máximo de US $ 60 para
hambúrgueres e salsichas. Os hambúrgueres custam
US $ 3 por libra e as salsichas custam US $ 2 por libra.
a) Escreva uma inequação para descrever o possível
número de quilos de hambúrgueres e de salsichas que
ela pode comprar.
c) Qual é o número máximo de quilos de hambúrgueres
que ela pode comprar?
d) Qual é o número máximo de quilos de salsichas que
ela pode comprar?
9)(SCHULTZ, 2004) Um padaria local faz bolos para
duas ocasiões especiais: aniversários e feriados. Um
bolo de aniversário requer 2 libras de farinha, e um bolo
de fériado requer 1 libra de farinha. A padaria
atualmente tem 20 libras de farinha disponível para
produzir os dois tipos de bolos.
a) Escreva uma inequação para mostrar os possíveis
números de bolos de aniversários e bolos de férias que
a padaria pode fazer.
c) Dê três pares ordenados específicos que satisfaçam
a desigualdade.
Libra é uma unidade de medida de massa, que
vimos no PODEMOS B3.
10)(SCHULTZ, 2004) Na loja da esquina, sacos de
pipoca custam US $ 0,95 e sacos de amendoim custam
US $ 1,25. Suponha que você queira comprar x sacos

199
de pipoca e y sacos de amendoim e que você tenha US
$ 5,75.
a) Escreva uma inequação para descrever o número de
sacos de pipoca e o número de sacos de amendoim
que você pode comprar.
b) Resolva a desigualdade para y.
c) Represente graficamente a desigualdade.
Sistemas de Inequações Lineares
QUADRO
Suponha que um ator esteja sendo escolhido
para o personagem principal em uma peça. A
busca é por um ator masculino entre 5'8'' e 5'10''
de altura, com uma estatura média, e dentro das
faixas de peso dadas abaixo para homens com
estatura média.
*Height é a altura em polegadas (in) e Weight é a massa em libras
(lb)
5'8'' é uma forma imprópria de medir a altura nos EUA,
significa 5 ft 8 in, ou seja, 5 pés e 8 polegadas, ou seja, 5 × 12 + 8
polegadas, 68 polegadas de altura (ou seja, cerca de 1,72 m). Veja
PODEMOS B3
Você pode representar os critérios de altura e
peso do ator através de um sistema de
equações lineares, como o a seguir:
O sistema de desigualdades lineares pode ser
representado graficamente como mostrado à
seguir. A região sombreada mais escura indica
o intervalo de alturas e pesos de aceitação para
o ator principal.
Um sistema de desigualdades lineares é uma
coleção de desigualdades lineares nas mesmas
variáveis. A solução é qualquer par ordenado
que satisfaça cada uma e todas as
desigualdades no sistema.
Para representar graficamente um sistema de
desigualdades lineares, sombrear a parte do
plano que é a interseção de todas as regiões de
solução individuais.
Exemplo 1:
Plote no gráfico a solução do sistema de
inequações lineares:
Plote cada uma das inequações:
Ache a intersecção dos dois gráficos:
Exemplo 2:
Plote no gráfico a solução do sistema de
inequações lineares:

200
Plote cada uma das inequações:
Encontrando a intersecção dos gráficos:
Exemplo 5
Resposta:
Exemplo 6
Resposta:
Texto de: SCHULTZ, James E. e outros. Álgebra 2. United
States of America: Holt, Rinehard and Winston,2004.
Traduzido pelo prof Otávio Sales.
EXERCÍCIO
(SCHULTZ, 2004) Plote os sistemas de
inequações no gráfico:
a)
b)

201
c) 1 ≤ 𝑦 < 4
d)0 < 𝑥 ≤ 4
e)
f)
g) 2 < 𝑥 < 4
h)−1 ≤ 𝑦 ≤ 5

202
(SCHULTZ, 2004) Plote no Plano Cartesiano os seguintes
sistemas de inequações lineares:
1º Grupo:
a){
𝑦 ≥ 2
𝑦 < 𝑥 + 1
b){
𝑥 < 3
𝑦 ≤ 2𝑥 + 2
c){
𝑦 < 3𝑥 − 4
𝑦 ≥ 6 − 𝑥
d){
𝑦 ≤ 3 − 𝑥
𝑦 ≥ 𝑥 − 5
e){
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
𝑦 > 2𝑥 + 1
f){
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≤ 0
𝑦 > −𝑥
g){
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≤ 0
𝑦 > 2𝑥 − 5
h){
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ −1
𝑦 < −2𝑥 + 3
i){
𝑦 ≥ 2𝑥 − 1
𝑥 > 1
𝑦 < 5
j){
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 1
𝑦 ≤ 5 − 𝑥
k){
𝑦 < 𝑥 − 1
𝑦 + 2𝑥 < 3
𝑦 ≥ −1
l){
𝑦 + 2𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 2𝑥 − 4
𝑦 ≤ 3
2º Grupo:
a)−5 < 𝑦 < 1 b)−1 ≤ 𝑦 ≤ 3 c)2 ≤ 𝑥 ≤ 8
d)−2 < 𝑥 < 3 e)0 < 𝑦 < 4 f)−6 ≤ 𝑦 ≤ −2
g)−5 ≤ 𝑥 ≤ −1 h)−
2
3
< 𝑥 ≤
1
3
i)−
1
4
≤ 𝑦 <
1
5
j)−4,4 < 𝑦 ≤ −4
k)−1,5 ≤ 𝑥 ≤ 0,5 l)−5,5 < 𝑥 ≤ −5,1
3º Grupo:
a){
3𝑥 + 2𝑦 ≥ 1
2𝑥 + 3𝑦 < 2
𝑥 < 3
b){
𝑥 + 𝑦 < 1
2𝑥 + 3𝑦 > 2
𝑥 ≥ −5
c){
𝑥 +
1
2
𝑦 ≤ 2
2𝑥 + 3𝑦 < 2
d){
2𝑥 + 𝑦 ≥ 2
𝑦 ≥ 3𝑥 + 2
e){
𝑥 + 𝑦 ≤ 4
2𝑥 ≤ 𝑦
f){
2𝑥 − 2𝑦 < 1
𝑥 + 2𝑦 ≥ 2
g){
2𝑥 − 𝑦 ≤ 16
𝑥 + 𝑦 ≤ 10
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
h) {
3𝑥 − 𝑦 ≤ 15
𝑥 + 2𝑦 ≤ 10
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
i)
{
3𝑥 − 2𝑦 = 4
𝑥 + 𝑦 > 4
𝑥 − 𝑦 ≤ 7
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
QUADRO
Qual é o sistema de inequações lineares cujo
gráfico está representado a seguir?
Resolução:
Como está envolvido apenas o 1º quadrante, duas
inequações são:
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
Agora, basta arrumarmos alguma estratégia para
descobrimos as duas equações envolvidas, das
retas AB e BC.
Um dos métodos é:
Portanto as inequações são:
𝑦 ≤
1
3
𝑥 + 4
𝑦 ≤
5
3
𝑥 + 10
O sistema de equações lineares:
{
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
𝑦 ≤
1
3
𝑥 + 4
𝑦 ≤
5
3
𝑥 + 10
SCHULTZ, James E. e outros. Álgebra 2.
United States of America: Holt, Rinehard and
Winston,2004
1)(SCHULTZ, 2004) Monte o sistema de
inequações lineares correspondentes:
2)(SCHULTZ, 2004) Monte o sistema de
inequações lineares correspondentes:

203
3)(SCHULTZ, 2004) Atividade Prática
A região identificada como "Zona de conforto" no
gráfico à direita mostra os níveis de temperatura e
umidade relativa em que a pessoa média se sente
confortável.
a) O que WX e ZY representam? O que WZ e XY
representam?
b) Registre as coordenadas de W, X, Y e Z. Estime
a temperatura nesses pontos até a metade de um
grau.
c) Escreva um sistema de desigualdades lineares
que represente a zona de conforto.
d) O que você pode dizer sobre a temperatura na
zona de conforto à medida que a umidade relativa
aumenta? Explique como isso se relaciona com a
inclinação de uma das linhas limítrofes.
PROBLEMAS
1)(SCHULTZ, 2004) Um paralelogramo é um
quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.
Crie um gráfico de um paralelogramo em um plano
de coordenadas. Escreva o sistema de
desigualdades que represente o paralelogramo e
seu interior.
2)(SCHULTZ, 2004) Uma pequena empresa
fabricante de aparelhos faz modelos padrão e
deluxe de uma torradeira. A empresa pode fabricar
até 200 fornos por semana. O modelo padrão tem
custo de produção de US $ 20, e os modelos
deluxe custam US $ 30. A empresa não orçou
mais que US $ 3.600 por semana para produzir os
fornos.
a) Vamos x representar o número de modelos
padrão, e vamos y representar o número de
modelos deluxe. Escreva um sistema de
desigualdades lineares para representar as
possíveis combinações de modelos padrão e de
luxo que a empresa pode fazer em uma semana.
b) Representar graficamente o sistema de
desigualdades.

204
c) Devido a um aumento nos custos de aluguel
para a fábrica da empresa, a empresa não pode
gastar mais que US $ 3.000 por semana para
produzir os fornos. Explique como isso altera as
possíveis combinações de modelos padrão e de
luxo que a empresa pode fazer em uma semana.
3)(SCHULTZ, 2004) Oficial Cheek está tentando
resolver um crime que foi cometido por um homem
com um tamanho de sapato entre 9 a 10. Segundo
testemunhas, a altura do homem está entre 5 pés
e 5 pés e 6 polegadas, inclusive.
a) Vamos x representar o tamanho do sapato, e
vamos y representar a altura. Escreva um sistema
de desigualdades para representar a informação
dada.
desigualdades.
4)(SCHULTZ, 2004) Angela trabalha pelo menos
40 ho por semana programando computadores e
fazendo atividades de tutoria. Ela ganha US $ 20
por hora de programação e US $ 10 por hora de
atividades de tutoria. Angela precisa ganhar pelo
menos US $ 500 por semana.
a) Escreva um sistema de desigualdades lineares
que represente as combinações possíveis de
horas dedicadas à tutoria e às horas gastas de
programação que atenderão às necessidades de
Angela.
desigualdades lineares. A solução é um polígono?
c) Encontre um ponto que seja uma solução para
o sistema de desigualdades lineares. Quais são as
coordenadas deste ponto e o que as coordenadas
deste ponto representam?
d) Qual ponto na região da solução representa a
melhor maneira de Angela gastar seu tempo?
Explique porque você acha que essa é a melhor
solução.
5)(SCHULTZ, 2004) Uma bilheteria vende
ingressos para o camarote e para a pista um
shows de rock. O auditório normalmente não tem
mais de 5000 pessoas. Não pode haver mais do
que 3000 bilhetes para o camarote e não mais que
os 4000 bilhetes de pista são vendidos.
a) Vamos representar por x o número de ingressos
para o camarote e vamos representar por y o
número de ingressos para pista. Escreva um
sistema de três desigualdades lineares para
representar as possíveis combinações de
ingressos de camarote de ingressos de pista que
podem ser vendidos. (Observe que x e y devem
ser inteiros não negativos.)
desigualdades.

205
c) Para aumentar o número de pessoas que
comparecem ao show, o auditório aumenta sua
capacidade para 5500 pessoas. Explique como
esta adição altera as possíveis combinações de
ingressos.
6)(SCHULTZ, 2004) Uma loja de gramados e
jardins vende cortadores de sebe (cercas vivas)
movidos a gás e elétricos. A loja quer vender pelo
menos 45 cortadores de sebes por mês. O lucro
de cada modelo elétrico é de US $ 50, e o lucro de
cada modelo movido a gás é de US $ 40. A loja
quer ganhar pelo menos US $ 2.000 por mês com
venda desses cortadores.
a) Vamos x representar o número de cortadores
de sebe elétrico, e vamos representar o número de
cortadores de sebes movidos a gás. Escreva um
sistema de desigualdades lineares para
representar as combinações possíveis de cada
modelo vendido
desigualdades.
c) Se a loja vende, no mês, 16 cortadores de sebe
elétrico, qual é o número mínimo de cortadores de
sebe movidos a gás que devem ser vendidos
naquele mês para atingir suas metas?
DESAFIO
(SCHULTZ, 2004) Outra empresa também fabrica
dois modelos diferentes de CD players portáteis:
um modelo regular e um modelo esportivo. Cada
modelo requer os tempos a seguir em três
máquinas diferentes, como mostrado abaixo.
Cada máquina é usada para fabricar muitos itens
diferentes, portanto, em uma determinada hora, a
máquina A está disponível para produção de CD
por no máximo 18 minutos, máquina B por no
máximo 24 minutos e máquina C por no máximo
10 minutos.
a) É possível que a empresa produza 4 modelos
regulares e 5 modelos esportivos em uma hora?
Explique seu raciocínio.
b) É possível que a empresa produza 6 modelos
regulares e 5 modelos esportivos em uma hora?
Explique seu raciocínio.
APROFUNDAMENTO INTERESSANTE
Programação Linear
QUADRO
Max Desmond é um agricultor que planta milho
e trigo. Ao tomar decisões de plantio, ele usou
as estatísticas de 1996, divulgadas pelo Bureau
do Censo dos Estados Unidos.
Desmond quer plantar seguindo as seguintes
restrições:
* Não mais de 120 acres de milho e trigo
* pelo menos 20 e não mais que 80 acres de
milho
* pelo menos 30 acres de trigo
Quantos acres de cada cultura o Sr. Desmond
deveria plantar para maximizar a receita de sua
colheita?
Um método chamado programação linear é
usado para encontrar soluções ótimas, como a
receita máxima da colheita do Sr. Desmond.
Problemas de programação linear têm as
seguintes características:

206
* As desigualdades contidas no problema são
chamadas de restrições.
* A solução para o conjunto de restrições é
chamada de região viável.
* A função a ser maximizada ou minimizada é
chamada de função objetivo.
O exemplo ilustra como começar o método da
programação linear.
Como proceder? Consulte o problema de
plantio descrito no início da lição.
1º Passo: Criar um sistema de desigualdades
para representar as restrições.
2º Passo: Represente graficamente a região
viável.
3º Passo: Escreva uma função objetiva para a
receita da colheita do Sr. Desmond.
SOLUÇÃO
1º Passo: Vamos x representar o número de
acres de milho. Deixe y representar o número
de hectares de trigo. Como x e y devem ser
positivos, 𝑥 ≥ 0 e 𝑦 ≥ 0.
Restrição de milho: 20 ≥ 𝑥 ≥ 80
Restrição de trigo: 𝑦 ≥ 30
Área plantada total: 𝑥 + 𝑦 ≤ 120
O sistema é:
2º Passo: Construímos o gráfico:
3º Passo: A função objetivo da receita é a
seguinte:
𝑅 = (
𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑟𝑒
) (
𝑝𝑟𝑒ç𝑜
𝑚é𝑑𝑖𝑜
) 𝑥 + (
𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑟𝑒
) (
𝑝𝑟𝑒ç𝑜
𝑚é𝑑𝑖𝑜
) 𝑦
𝑅 = (113,5)(3,15)𝑥 + (35,8)(4,45)𝑦
𝑅 = 357,525𝑥 + 159,31𝑦
Para cada ponto na região viável de um
problema de programação linear, a função
objetivo tem um valor. Esse valor depende das
duas variáveis no sistema que representa a
região viável.
Na Atividade a seguir, você explorará valores na
região viável para a função objetivo do Exemplo.
Texto de: SCHULTZ, James E. e outros. Álgebra 2. United
States of America: Holt, Rinehard and Winston,2004, traduzido
pelo prof Otávio Sales.
ATIVIDADE – SCHULTZ, 2004
Se baseie no Exemplo anterior:
a) Copie e preencha a tabela para encontrar a
receita em cada um dos quatro vértices da região
viável do Exemplo.
b) Qual vértice representa a maior receita? O que
as coordenadas deste vértice representam?
c) Estime e confira. Escolha pontos nas linhas
limítrofes da região viável. Encontre as receitas
correspondentes para esses pontos. Você
consegue encontrar um ponto que dê uma receita
maior do que o vértice escolhido na Etapa 2?
d) Estimes e confira. Escolha pontos dentro da
região viável. Encontre as receitas
correspondentes para esses pontos. Você
consegue encontrar um ponto que dê uma receita
maior do que o vértice escolhido na Etapa 2?
e) Suas investigações sugerem que o valor
máximo da função objetivo ocorre em um vértice?
Justifique sua resposta.
f) Procure um padrão. Repita as etapas 2 a 5 para
a receita mínima em vez da receita máxima.
Explique como os pontos que correspondem às
receitas máximas e mínimas estão relacionados.

207
Na Atividade, você pode ter examinado vários pontos na região
viável e descobriu que as receitas máximas e mínimas ocorrem nos
vértices da região viável. O Princípio do Ponto de Canto confirma que
você precisa examinar apenas os vértices da região viável para
encontrar o valor máximo ou mínimo da função objetivo.
QUADRO
Princípio do ponto de canto
Na programação linear, os valores máximo
e mínimo da função objetivo ocorrem em
um dos vértices da região viável.
Usando as informações no Exemplo, maximize
a função objetivo. Em seguida, faça um gráfico
da função de objetivo que representa a receita
máxima junto com a região viável.
SOLUÇÃO
Faça uma tabela contendo as coordenadas dos
vértices da região viável.
Avalie 𝑅 = 357,525𝑥 + 159,31𝑦 para cada par
ordenado.
A receita máxima de US $ 34.974,40 ocorre em
C (80,40). Assim, o Sr. Desmond deveria plantar
80 acres de milho e 40 acres de trigo.
Escreva 357.525𝑥 + 159,31𝑦 = 34.974,4
como 𝑦 =
34.974,4−357,525𝑥
159,31
e plote no gráfico junto
com os limites da região viável.
Verifique: Quantos acres de cada cultura dão
uma receita mínima?
OUTRO EXEMPLO:
Encontre os valores máximo e mínimo, se
existirem, do objetivo da função S = 2x + 3y
dado o conjunto de restrições fornecido à direita.
1. Represente graficamente a região viável
como mostrado.
2. A função objetivo é S = 2x + 3y.
3. Encontre as coordenadas de cada vértice,
resolvendo o sistema apropriado.
4. Avalie S = 2x + 3y para as coordenadas de
cada vértice.
A região viável é ilimitada à direita dos vértices.
Assim, não há valor máximo. O valor mínimo,
28, de S = 2x + 3y ocorre em (8,4).

208
PENSE: Descreva uma situação do mundo real
em que a região viável seria ilimitada na
margem.
PENSAMENTO CRÍTICO: Pode haver uma
situação do mundo real em que a região viável
seria ilimitada à esquerda? Explicar.
RESUMO
PROCEDIMENTO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Passo 1. Escreva um sistema de desigualdades e
represente graficamente a região viável
Passo 2. Escreva a função objetiva para ser maximizada
ou minimizada.
Passo 3. Encontre as coordenadas dos vértices da região
viável.
Passo 4. Avaliar a função objetivo para as coordenadas
dos vértices da região viável. Em seguida, identifique os
cordinatos que fornecem o máximo ou mínimo necessário.
Texto em: SCHULTZ, James E. e outros. Álgebra 2. United
States of America: Holt, Rinehard and Winston,2004
VAMOS PENSAR?
1. O que é uma restrição em uma variável, como
x?
2. Discuta o que o termo viável significa quando é
usado para descrever a possível região de solução
de um problema de programação linear.
3. em suas próprias palavras, explique como
resolver um problema de programação linear
PROBLEMAS
1)(SCHULTZ, 2004) Use a tabela de estatísticas
no início da lição para determinar as restrições e
representar graficamente a região viável para
cada situação abaixo. Em seguida, escreva a
função objetivo correspondente para a receita.
a1) Um agricultor quer plantar milho e soja em 150
acres de terra. O agricultor quer plantar entre 40 e
120 acres de milho e não mais do que 100 acres
de soja.
a2) Encontre o número de acres de cada corp que
o agricultor deve plantar para maximizar a receita.
b1) Um agricultor quer plantar trigo e soja em 220
acres de terra. O agricultor quer plantar entre 100
e 200 acres de trigo e não mais de 75 acres de
soja.
b2) Encontre o número de acres de cada corp que
o agricultor deve plantar para maximizar a receita.
2)(SCHULTZ, 2004) Encontre os valores máximo
e mínimo, se existirem, de 𝐶 = 3𝑥 + 4𝑦 para
cada conjunto de restrições.
a){
3 ≤ 𝑥 ≤ 8
2 ≤ 𝑦 ≤ 6
2𝑥 + 𝑦 ≥ 12
b){
2 ≤ 𝑥
4 ≤ 𝑦 ≤ 8
𝑥 + 2𝑦 ≥ 16

209
3)(SCHULTZ, 2004) I) Represente graficamente a
região viável para cada conjunto de restrições.
II) Identifique os vértices da região viável.
a){
𝑥 + 2𝑦 ≤ 8
2𝑥 + 𝑦 ≥ 10
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
b){
3𝑥 + 2𝑦 ≤ 12
1
2
𝑥 − 𝑦 ≤ −2
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
c){
𝑥 + 2𝑦 ≤ 6
2𝑥 − 𝑦 ≤ 7
𝑥 ≥ 2, 𝑦 ≥ 0
d) {
3𝑥 + 𝑦 ≤ 12
2𝑥 − 3𝑦 ≥ −3
𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≤ 6
4)(SCHULTZ, 2004) A região viável para um
conjunto de restrições possui vértices em (-2,0),
(3,3), (6,2) e (5,1). Dada esta região viável,
encontre os valores máximo e mínimo de cada
função objetiva.
a)𝐶 = 2𝑥 − 𝑦 b)𝑀 = 3𝑦 − 𝑥
c)𝐼 = 100𝑥 + 200𝑦 d)𝑃 = 3𝑥 + 2,5𝑦
5)(SCHULTZ, 2004) Encontre os valores máximo
e mínimo, se existirem, de cada função de objetivo
para as restrições dadas.
a)𝑃 = 5𝑦 + 3𝑥, restrições: {
𝑥 + 𝑦 ≤ 6
𝑥 − 𝑦 ≤ 4
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

210
b)𝑃 = 3𝑥 + 𝑦, restrições: {
𝑥 + 𝑦 ≥ 3
3𝑥 + 4𝑦 ≤ 12
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
c)𝑃 = 4𝑥 + 7𝑦, restrições: {
𝑥 + 𝑦 ≤ 8
𝑦 − 𝑥 ≤ 2
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
d)𝑃 = 2𝑥 + 7𝑦, restrições: {
4𝑥 − 2𝑦 ≤ 8
𝑥 ≥ 1
0 ≤ 𝑦 ≤ 4
e)𝐸 = 2𝑥 + 𝑦, restrições: {
𝑥 + 𝑦 ≥ 6
𝑥 − 𝑦 ≤ 4
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
f)𝐸 = 𝑥 + 𝑦, restrições: {
𝑥 + 2𝑦 ≥ 3
3𝑥 + 4𝑦 ≥ 8
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
g)𝐸 = 3𝑥 + 5𝑦, restrições: {
𝑥 − 2𝑦 ≥ 0
𝑥 + 2𝑦 ≥ 8
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

211
h)𝐸 = 3𝑥 + 2𝑦, restrições: {
𝑥 + 𝑦 ≤ 5
𝑦 − 𝑥 ≥ 5
4𝑥 + 𝑦 ≥ −10
Restrições em Inglês escreve-se “constraints”
6)(SCHULTZ, 2004) Se a região viável para um
problema de programação linear for limitada, ela
deve formar um polígono convexo. Polígonos
convexos não podem ter "amassados" e são
definidos como polígonos nos quais qualquer
segmento de linha conectando dois pontos do
polígono não tem parte fora do polígono. Esboce
dois exemplos de polígonos convexos e dois
exemplos de polígonos que não são convexos
(isto é, côncavos).
7)(SCHULTZ, 2004) Uma função objetivo pode ter
um valor máximo (ou mínimo) em dois vértices se
o gráfico da função objetivo, igual a um valor de
função constante, contiver ambos os vértices.
a) Desenhe o gráfico de uma região viável que
tenha valores máximos de 6 em dois vértices para
a função objetivo P = 2x + 3y.
b) Desenhe o gráfico de uma região viável que
tenha valores mínimos de 6 em dois vértices para
a função objetivo P = 2x + 3y
8)(SCHULTZ, 2004) Um fabricante de esquis faz
dois tipos de esquis e possui um departamento de
fabricação e um departamento de acabamento.
Um par de esquis comum requer 6 horas para
fabricar e 1 hora para terminar. Um par de esquis
cross-country requer 4 horas para fabricar e 1 hora
para terminar. O departamento de fabricação tem
108 horas de trabalho disponíveis por dia. O
departamento de acabamento tem 24 horas de
trabalho disponíveis por dia. A empresa obtém um
lucro de US $ 40 em cada par de esquis comum
e um lucro de US $ 30 em cada par de esquis
cross-country.
a) Escreva um sistema de desigualdades lineares.
b) Represente graficamente a região viável.
c) Escreva a função objetivo para o lucro e
encontre o lucro máximo para as restrições dadas.

212
9)(SCHULTZ, 2004) Uma agência de turismo pode vender até
1200 viagens para um jogo de futebol. O pacote inclui
passagens aéreas, acomodações de fim de semana e a
escolha de dois tipos de voos: um voo sem escalas ou um voo
de duas paradas. O voo sem escalas pode transportar até 150
passageiros e o voo de duas paradas pode transportar até
100 passageiros. A agência não pode usar mais de 10 aviões
para os pacotes de viagem. Cada pacote com um voo sem
escalas é vendido por US $ 1200, e cada pacote com um voo
de duas paradas é vendido por US $ 900. Suponha que cada
avião irá transportar o número máximo de passageiros.
a) Escreva um sistema de desigualdades lineares para
representar as restrições.
c) Escreva uma função objetiva que maximize a receita para
a agência de turismo e encontre a receita máxima para as
restrições dadas.
10)(SCHULTZ, 2004) Um nutricionista escolar quer preparar
uma refeição de carne e legumes que tenha a menor gordura
possível e que atenda às doses diárias recomendadas pelo
Food and Drug Administration (FDA) de ferro e proteína. Cada
porção de 3 onças de carne contém 45 gramas de proteína,
10 miligramas de ferro e 4 gramas de gordura. Cada porção
de 1 xícara de vegetais contém 9 gramas de proteína, 6
miligramas de ferro e 2 gramas de gordura. Vamos
representar por x o número de porções de 3 onças de carne,
e vamos representar por y o número de porção de 1 xícara de
legumes.
c) Escreva a função objetiva para o número de gramas de
gordura e encontre o número mínimo de gramas de gordura
para as restrições dadas.
Onça é uma unidade imperial inglesa de massa, conforme
vimos em B3.
11)(SCHULTZ, 2004) Um agricultor tem 90 acres disponíveis
para o plantio de milho e alfafa. A semente custa US $ 4 por
hectare para o painço e US $ 6 por hectare para a alfafa. Os
custos trabalhistas são de US $ 20 por hectare para o painço
e US $ 10 por hectare para a alfafa. A renda esperada é de
US $ 110 por hectare para milheto e US $ 150 por hectare
para alfafa. O agricultor pretende gastar não mais que US $
480 para sementes e US $ 1400 para o trabalho
representar as restrições
c) Escreva a função objetiva que maximiza a renda, e
encontre a renda máxima para as premissas dadas.

213
12)(SCHULTZ, 2004) Um carpinteiro faz estantes em dois
tamanhos, grandes e pequenas. Leva 6 horas para fazer uma
estante grande e 2 horas para fazer uma pequena. O lucro
em uma estante grande é de US $ 50, e o lucro em uma
pequena estante é de US $ 20. O carpinteiro pode gastar
apenas 24 horas por semana fazendo estantes, e deve fazer
pelo menos 2 de cada tamanho por semana.
c) Escreva a função objetivo para o lucro e encontre o lucro
máximo para as restrições dadas.
DESAFIO: (SCHULTZ, 2004)
Consulte o desafio de produção de CDs apresentado nessa
aula anteriormente (último exercício antes de introduzirmos
Programação Linear.
a) Determine as coordenadas dos vértices da região viável.
b) A segunda empresa estima que faz um lucro de US $ 20
para cada modelo regular produzido e um lucro de US $ 30
para cada modelo esportivo produzido. Escreva a função
objetiva para o lucro.
c) Quantos modelos regulares e modelos esportivos a
segunda empresa deve produzir por hora para maximizar seu
lucro? Qual é o lucro máximo?

214
5.1 AULA 25 – Radical Duplo
Essa é uma "mini aula", de um assunto de aprofundamento, que é o Radical
Duplo. Não é um assunto muito comum, omitido da quase totalidade dos
livros.
Existem outras abordagens, e te desafiamos para encontrá-los.
Ao final da aula há uma lista de revisão de todo conteúdo de radicais.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o RADICAL DUPLO
atividade.
Radical Duplo Quadrado
QUADRO
Alguns livros dão a seguinte fórmula, retirada da
cartola:
Sendo a e b naturais, e existindo b
a
c 
 2
, vale
2
2
c
a
c
a
b
a




 .
Questões: a) Será correta a atitude de entregar uma
fórmula destas sem nenhuma justificativa?
f) Justifique a fórmula.
Exemplo: √7 + √48
𝑎 = 7, 𝑏 = 48, 𝑐 = √72 − 48 = √1 = 1
Então
√7 + √48 = √
7 + 1
2
+ √
7 − 1
2
= 2 + √3
É evidente que poderíamos fazer
(𝑥 + 𝑦√3)
2
= 𝑥2
+ 2𝑦2
+ √12𝑥2𝑦2
(Observe que √48 = 4√3, por isso a resposta com
√3)
Temos que:
{
𝑥2
+ 2𝑦2
= 7
12𝑥2
𝑦2
= 48
Que equivale a
{
𝑥2
+ 2𝑦2
= 7
𝑥𝑦 = 2
Os únicos produtos naturais que são iguais a 2, são
1 ∙ 2 ou 2 ∙ 1, portanto, chegamos em
𝑥 = 2
𝑦 = 1
E a resposta
2 + √3
Outro Exemplo:
Vamos apresentar métodos alternativos de resolver
radicais duplos, utilizando-se da seguinte questão,
que rolou na Internet:
√4 + √15 + √4 − √15 − 2√3 − √5

215
Técnica 1:
Vamos usar a seguinte relação, que você facilmente
pode verificar:
√(𝑎2 + 𝑏2) ± 2𝑎𝑏 = 𝑎 ± 𝑏
Portanto
√4 + √15 = √4 + 2
√15
2
= √4 + 2 ∙ √
5
2
∙ √
3
2
Se 𝑎 = √
5
2
e 𝑏 = √
3
2
, então 𝑎2
+ 𝑏2
= 4, então
√4 + √15 = √4 + 2 ∙ √
5
2
∙ √
3
2
= √
5
2
+ √
3
2
Analogamente:
√4 − √15 = √
5
2
− √
3
2
Similarmente:
√3 − √5 = √3 − 2 ∙ √
5
2
∙ √
1
2
= √
5
2
− √
1
2
Portanto:
√4 + √15 + √4 − √15 − 2√3 − √5 =
√
5
2
+ √
3
2
+ √
5
2
− √
3
2
− 2 (√
5
2
− √
1
2
) = √2
Técnica 2:
Podemos fazer
√4 + √15 =
√8 + 2√15
√2
=
√5 + √3
√2
√4 − √15 =
√8 − 2√15
√2
=
√5 − √3
√2
2√3 − √5 =
2 (√6 − 2√5)
√2
=
2(√5 − 1)
√2
1)(Matemática Muito Fácil) Usando a relação
𝐶 = √𝐴2 − 𝐵
√𝐴 ± √𝐵 = √
𝐴 + 𝐶
2
± √
𝐴 − 𝐶
2
Simplifique os radicais duplos:
a)√5 + √24
b)√3 − √5
c)√2 + √3
d)√3 + √8
e)√4 − √12
f)√4 − √15
g)√5 + √21
h)√5 − 2√6
i)√6 − 2√5
j)√6 + √35
k)√7 + √48
l)√7 − 2√6
m)√8 + 2√15
n)√8 − 2√7
o)√13 + 4√3
p)√11 − √21
q)√𝑚 + √𝑚2 − 1
r)√𝑎 − √𝑎2 − 1

216
s)√30(3+√5)
11
t)√7 + 4√3 + √7 − 4√3
u)√3 + √8 − √4 + √12
v) √8 + √60 − √8 − √60
2)(Matemática Muito Fácil) Simplifique essas
expressões:
a)√𝑎 + 𝑏 − 𝑐 − 2√𝑏(𝑎 − 𝑐)
b) √𝑥2 + 𝑥 + 1 − √2𝑥3 + 𝑥2 + 2𝑥
c) √1 + √3 + √13 + 4√3
3)(Prof. Carlos Loureiro) Resolva utilizando-se
da relação
√(𝑎2 + 𝑏2) ± 2𝑎𝑏 = 𝑎 ± 𝑏
a)√18 − 8√2
b)√49 + 20√6
Resposta e dicas: a)4 − √2 b) Transforme em
√49 + 20√6 = √49 + 2 ∙ 5 ∙ √4 ∙ 6 =
√49 + 2 ∙ √25 ∙ √24 = √(√25 + √24)
2
= 5 + √24
4)(Prof. Carlos Loureiro) Simplifique o radical:
√𝑎 + 𝑏 − 𝑐 − 2√𝑏 ∙ (𝑎 − 𝑐)
Resolução:
Perceba que:
2 ∙ √𝑏 ∙ (𝑎 − 𝑐) = 2 ∙ √𝑏 ∙ √𝑎 − 𝑐
Vamos então para a igualdade inicial:
√𝑎 + 𝑏 − 𝑐 − 2√𝑏 ∙ (𝑎 − 𝑐) =
√(√𝑎 − 𝑐 − √𝑏)
2
= √𝑎 − 𝑐 − √𝑏
Obs: Considerando 𝑎 > 𝑐 e 𝑏 > 0 e 𝑎 − 𝑐 > 𝑏
5)(Prof. Carlos Loureiro) Simplifique
𝐸 =
√20 − √35 − √25 + √√1024
5
3
5
√576 − √392 + √450 − √441
Resolução:
√√1024
5
= 2
√576 − √441 = 24 − 21 = 3
−√392 + √450 = −14√2 + 15√2 = √2
Então:
𝐸 =
√20 − √35 − √25 + 2
3
5
3√2
=
=
√20 − √35 − 3
5
3√2
=
√20 − 2
3√2
=
3√2
3 + √2
Racionalizando o denominador:
9√2 − 6
7
6)(Prof. Carlos Loureiro) Simplifique:
√
2 + √3
2 − √3
+ √
2 − √3
2 + √3
Resposta: 4

217
QUADRO
Algumas questões não podem ser resolvidas pelas
técnicas apresentadas. Veja um exemplo do Prof.
Carlos Loureiro (questão do Colégio Naval).
Sendo
𝐴 = √4 − √10 + 2√5
𝐵 = √4 + √10 + 2√5
Determine A+B.
Resolução.
Usando o quadrado da Soma, temos que:
𝐴2
= 4 − √10 + 2√5
𝐵2
= 4 + √10 + 2√5
𝐴 ∙ 𝐵 = √42 − (10 + 2√5)
2
= √16 − 10 − 2√5
= √6 − 2√5
Agora eu preciso converter o radical duplo:
√6 − 2√5
Que é igual a √5 − 1
Então:
2 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵 = 2√5 − 2
Então:
(𝐴 + 𝐵)2
= 8 + 2√5 − 2 = 6 + 2√5
𝐴 + 𝐵 = √6 + 2√5 = √5 + 1
E essa é a resposta.
5) (UNIFENAS – 1998) A expressão 3
2
6 
tem o mesmo valor que:
a) )
2
3
(
5 
b) )
2
6
(
3 
c) )
2
2
(
4 
d) )
3
72
(
4 
e) )
2
6
( 
6) (Olimpíada Paulista de Matemática – Fase
Final – 8ª série – 1990) As expressões são
números inteiros. Determine esses números.
a) 6
2
7
6
2
7 

 ;
b) 3
3
3
3
4
2
4
4
4
2
4
4 



 .
(Resposta por adivinhação ou tentativa não vale.)
QUADRO
O prof. Carlos Loureiro nos apresenta técnicas
a)√7 + √48 = √7 + √4 ∙ 12 = √7 + √4 ∙ √12 =
√7 + 2√12
Soma = 7
Produto = 12
Os números são 3 e 4
√7 + √48 = √4 + √3 = 2 + √3
Você sabe justificar esse método?
1)(Prof. Carlos Loureiro) Simplifique os radicais
duplos (no caderno):
a)√4 + √7
b) √2 + √3
c) √5 + √21
d) √3 − 2√2
e) √6 − 2√5
f) √7 − 2√6
g) √2(4 − 2√3)
h) √12 + √80
i) √31 − 12√3
j) √30 − 12√6
k) √
1
2
(23 + 3√5)
l) √7 + 2√6 + √6 − 2√5
m) √7 + 4√3 + √7 − 4√3
n) √(2 + √3) ∙ √7 − 4√3
o) √3 + 2√2 + √3 − 2√2
p) √17 − 4√9 + 4√5

218
q) √1 + √3 + √13 + √48
r) √7 + 4√5 + 2√9 + 2√7 − 2√6
s) √2 − √3 + √9 + 5√3 − √3(√3 + 2) + √4 + 2√3
t)
√
1 + 2√1 + 2√1 + 2√1 + ⋯ + 2√3 + 2√2
u) √3 + √7
4
∙ √√13 − √7 − √5 − √7
v) √√97 − 56√3
4
Radical Duplo Cúbico
QUADRO
Para simplificar um radical, como, por exemplo
√26 + 15√3
3
Podemos tentar escrever ele como uma soma de
cubos, veja:
26 + 15√3 = 23
+ 3 ∙ 22
∙ √3 + 3 ∙ 2√3
2
+ √3
3
ou seja
26 + 15√3 = (2 + √3)
3
Também é possível supor que
√26 + 15√3
3
= 𝑎 + 𝑏√3
Temos que (𝑎 + 𝑏√3)
3
= 𝑎(𝑎2
+ 9𝑏2) + 𝑏(3𝑎2
+
3𝑏2)√3
Portanto temos que encontrar valores inteiros tais
que:
{
𝑎2(𝑎2
+ 9𝑏2) = 26
𝑏(3𝑎2
+ 3𝑏2) = 15
Podemos verificar que a única solução é 𝑎 = 2 e 𝑏 =
1 (investigamos todas as fatorações de 26 e 15 para
achar as respostas inteiras).
1) Simplifique o radical duplo √20 + 14√2
3
.
2)Analise a técnica do Prof. Paulo Mendes e justifique
o método:
QUADRO
Outra forma de resolver radicais cúbicos:
√7 + 5√2
3
+ √7 − 5√2
3
Considere que 𝑎3
+ 𝑏3
= (𝑎 + 𝑏)3
− 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏), que
é uma variação do cubo da soma.
Chamando 𝑎 = √7 + 5√2
3
e 𝑏 = √7 − 5√2
3
, e 𝑥 =
𝑎 + 𝑏 temos que
𝑎3
+ 𝑏3
= 14
𝑎𝑏 = −1
Então:
𝑎3
+ 𝑏3
= (𝑎 + 𝑏)3
− 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)
14 = (𝑎 + 𝑏)3
+ 3(𝑎 + 𝑏)
14 = 𝑥3
+ 3𝑥
𝑥3
+ 3𝑥 − 14 = 0
Essa equação pode ser resolvida da seguinte forma:
𝑥3
− 8 + 3𝑥 − 6 = 0
(𝑥 − 2)(𝑥2
+ 2𝑥 + 4) + 3(𝑥 − 2) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥2
+ 2𝑥 + 4 + 3) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥2
+ 2𝑥 + 7) = 0
Note que usamos a fórmula da diferença entre dois
cubos (veja casos de fatoração).
Pela Lei dos Produtos Nulos
𝑥 − 2 = 0 ou 𝑥2
+ 2𝑥 + 7 = 0
Como 𝑥2
+ 2𝑥 + 7 = 0 não tem soluções, a solução
dessa equação é 𝑥 = 2
Veremos que há maneira alternativa de resolver essa
questão.
1)(Prof. Paulo Mendes) Resolva
√2 + √5
3
+ √2 − √5
3
2)(Prof. Paulo Mendes) Resolva:
√5 + 2√13
3
+ √5 − 2√13
3

219
Respostas:
1) 1 2) 1
QUADRO
As técnicas a seguir, bem como os exemplos, são do
prof. José Carlos Loureiro, do Rio de Janeiro, no
auxílio aos seus alunos que querem prestar o
Colégio Naval. Não encontramos em livros de
preparação específica para escolas militares ou
olímpicos, como todos do Rufino (comuns e
olímpicos), coleção do Aref, apostilas Pró-Militar,
livros estrangeiros, etc.
a)√7 + 5√2
3
Primeiramente esses radical duplo só tem solução se
7 + 5√2 for um cubo perfeito (em ℤ[√3].
Portanto, escrevemos que (𝑎 + 𝑏)3
= 7 + 5√2,
sendo que 𝑎 + 𝑏 será a resposta do exercício.
Para isso vamos começar transformando 5√2 em
uma soma de um cubo de √2:
5√2 = 2√2 + 3√2
Note que 2√2 = (√2)
3
(em geral usamos a idéia de
que 𝑎(√𝑎) = (√𝑎)
3
)
Então temos provavelmente que:
𝑏 = √2
Podemos escrever 3√2 = 3 ∙ 12
√2, que é parte de
um cubo perfeito , então temos que provavelmente:
𝑎 = 1
Precisamos verificar que
√7 + 5√2
3
= √(1 + √2)
3
3
= 1 + √2
Vamos verificar que, utilizando-se do produto notável
(𝑎 + 𝑏)3
= 𝑎3
+ 3𝑎2
𝑏 + 3𝑎𝑏2
+ 𝑏3
:
(1 + √2)
3
= 13
+ 3 ∙ 12
∙ √2 + 3 ∙ 1 ∙ (√2)
2
+ (√2)
3
= 1 + 3√2 + 6 + 2√2 = 7 + 5√2
Portanto
√7 + 5√2
3
= 1 + √2
Esse tipo de questão é muito comum no Colégio
Naval, porém, essa técnica só vai funcionar em
cubos perfeitos.
Vamos ver outros casos do prof. Carlos Loureiro:
b)(Adaptada do IME) √20 + 14√2
3
Vamos achar a resposta 𝑎 + 𝑏 tal que (𝑎 + 𝑏)3
=
20 + 14√2
Vamos usar a mesma técnica:
14√2 = 2√2 + 12√2
E temos
2√2 = (√2)
3
⇒ 𝑏 = √2
E
12√2 = 3 ∙ 4 ∙ √2 = 3 ∙ 22
∙ √2 ⇒ 𝑎 = 2
Verificando no cubo da soma:
(2 + √2)
3
= 23
+ 3 ∙ 22
∙ √2 + 3 ∙ 2 ∙ (√2)
2
+ (√2)
3
= 8 + 12√2 + 12 + 2√2
= 20 + 14√2
Então:
√20 + 14√2
3
= 2 + √2
Note que se o número anterior ao 14 não fosse 20 o
radical não poderia ser simplificado utilizando-se
desse método.
O 20 pode ser calculado da seguinte forma 𝑎3
+
3𝑎𝑏2
= 23
+ 3 ∙ 2 ∙ (√2)
2
= 8 + 12 = 20 (verifique o
item a)
c)√25 + 22√2
3
Vamos achar 𝑎 + 𝑏 de modo que (𝑎 + 𝑏)3
= 25 +
22√2
Veja que nesse caso temos um problema
22√2 = 2√2 + 20√2
Não conseguiríamos achar um 𝑎, que teria que ser
múltiplo de três.
O prof. Carlos Loureiro arrumou uma forma de
“arrumar” esse radical
22√2 = 11√8
Agora fica fácil:
11√8 = 8√8 + 3√8
Então:
8√8 = (√8)
3
⇒ 𝑏 = √8
E
3√8 = 3 ∙ 13
∙ √8 ⇒ 𝑎 = 1
Verifique que
(1 + √8)
3
= 13
+ 3 ∙ 12
∙ √8 + 3 ∙ 1 ∙ (√8)
2
+ (√8)
3
= 1 + 3√8 + 24 + 8√8 = 25 + 11√8
Portanto a simplificação do radical é:
1 + √8 = 1 + 2√2 ⇒ 𝑎 =
Perceba que 𝑎3
+ 3𝑎𝑏2
= 13
+ 3 ∙ 1 ∙ √8
2
= 1 + 24 =
25
O próximo exemplo também é do prof. Carlos
Loureiro, sendo uma questão tipo teste:
d) Se √45 + 29√2
3
= 𝑎 + 𝑏√2 o valor de a-b é
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)-1
Vamos achar (𝑋 + 𝑌)3
= 45 + 29√2 para não
misturar com a e b do enunciado.
Temos que
29√2 = 2√2 + 27√2
Então
2√2 = (√2)
3
⇒ 𝑌 = √2
E:
27√2 = 3 ∙ 9 ∙ √2 = 3 ∙ 32
∙ √2 ⇒ 𝑋 = 3
Vamos verificar que a resposta é 3 + √2 é a
simplificação do radical duplo √45 + 29√2
3
.

220
(3 + √2)
3
= 33
+ 3 ∙ 32
∙ √2 + 3 ∙ 3 ∙ (√2)
2
+ (√2)
3
= 27 + 27√2 + 18 + 2√2
= 45 + 29√2
Confirmamos então que 𝑎 = 3 e 𝑏 = 1 e portanto 𝑎 −
𝑏 = 2, alternativa C.
Note que a verificação poderia ter sido feito por 𝑋3
+
3𝑋𝑌2
= 45
Vejamos um outro caso, também resolvido pelo
método do Prof. Carlos Loureiro:
e)√2 + √5
3
Nesse caso √5 pode escrito da seguinte forma:
√5 =
8√5
8
=
5√5
8
+
3√5
8
O 8 se justifica por ser um cubo perfeito e
5√5
8
= (
√5
2
)
3
⇒ 𝑏 =
√5
2
E
3√5
8
= 3 ∙ (
1
2
)
2
∙
√5
2
⇒ 𝑎 =
1
2
Podemos verificar isso efetuando
(
1
2
+
√5
2
)
3
= 2 + √5
O que confirma nossa solução:
√2 + √5
3
=
1 + √5
2
Veja agora a resolução de um exercício da Escola
Politécnica – 1968, resolvido pelo prof. Carlos
Loureiro:
f)Mostre que é inteiro o número real √2 +
10
9
√3
3
+
√2 −
10
9
√3
3
Resolução:
Como
√2 +
10
9
√3
3
= √
54
27
+
30
27
√3
3
3
= √
54 + 30√3
27
3
=
√54 + 30√3
3
3
Analogamente com √2 −
10
9
√3
3
Vamos então separar conforme o método do prof.
Loureiro:
30√3 = 27√3 + 3√3
3√3 = (√3)
2
⇒ 𝑏 = √3
27√3 = 3 ∙ 32
∙ √3 ⇒ 𝑎 = 3
Dá para verificar que
Então:
√2 +
10
9
√3
3
=
3 + √3
3
√2 −
10
9
√3
3
=
3 − √3
3
Como 𝑎3
+ 3𝑎𝑏2
= 54, temos que
√2 +
10
9
√3
3
+ √2 −
10
9
√3
3
=
3 + √3
3
+
3 − √3
3
= 2
g)Resolva √2 + √5
3
+ √2 − √5
3
Esse caso agora necessita que a gente reescreva
√2 + √5
3
+ √2 − √5
3
= √16+8√5
8
+
3
√16−8√5
8
3
16 + 8√5 = 1 + 15 + 3√5 + 5√5
Logo 16 + 8√5 = (1 + √5)
3
e 16 − 8√5 = (1 − √5)
3
Logo a expressão tem valor 1.
Veja um exemplo diferente:
√126 + 90√2
3
Esse exemplo só tem solução se notarmos que
√18(7 + 5√2)
3
= √18
3
∙ √7 + 5√2
3
Já determinamos que √7 + 5√2
3
= 1 + √2, então
√18(7 + 5√2)
3
= √18
3
∙ (1 + √2) = √18
3
+ √18
3
√2
1)(Prof. Carlos Loureiro) Simplifique os radicais
duplos (no caderno):
a))√26 + 15√3
3
b)√10 + 6√3
3
c)√38 + 17√5
3
d)√72 + 32√5
3
e)√22 + 10√7
3
Respostas:
a)2 + √3 b)1 + √3 c)2 + √5 d)3 + √5 e)1 + √7
2)(Prof. Carlos Loureiro) Simplifique o radical duplo
a)√145 + 204√3
3
. Dica: use 204√3 = 51√48
b)√116 + 90√2
Respostas:
a)1 + 4√3 b)2 + 3√2
3)Foi divulgada uma “técnica” para resolver radicais do
tipo √7 + 5√2
3
√7 + 5√2
3
= 𝑎 + √2
𝑎 = √
5 − 2
3
= 1
a)A técnica parece funcionar em vários casos. Tente
justificar o método, apresentar inconvenientes e
limitações e explica-lo.
b)Como você utilizaria essa técnica para resolver
√25 + 22√2
3

221
3)(Prof. Carlos Loureiro) Simplifique
√5 + 2√13
3
Use que 5 + 2√13 =
40+16√13
8
Resposta:
1+√13
2
3)(Prof. Paulo Mendes) Resolva os radicais duplos os
transformando em radicais simples:
a)√145 + 196√3
3
b)√116 + 90√2
3
c)√207 + 94√5
3
d)√388 + 25√243
3
Resposta b)2 + 3√2 c)3 + 2√5 d)4 + 3√3
4)Avalie a técnica de resolução de radicais duplos
cúbicos do prof. Paulo Mendes e tente resolver alguns
casos com o método:
5)Como não há livros em língua portuguesa sobre o
assunto, proliferam métodos criados por diversos
professores. Observe esse outro método, tente
compreender e justificar os procedimentos:
a)
b)

222
Utilize esse método para resolver:
a)√145 + 204√3
3
b)√5 + 2√13
3
c)√116 + 90√2
3
d)√25 + 22√2
3
Respostas:
a)
b)
c)
d)
6)Avalie a técnica a seguir:

223
7) Simplifique o radical duplo √7√20
3
− 19
6
Resposta √
5
3
3
− √
2
3
3
8)Racionalize o denominador
1
√2√2+3
4
Resposta √√2 − 1
Testes de Vestibular e Exames
1)(Colégio Naval) O valor de
√ √8
4
+√√2−1 −√ √8
4
−√√2−1
√ √8
4
−√√2+1
é:
a)1 b)√2 c)2 d)2√2 e)3√2
Resposta: B
2)(Colégio Naval) O resultado mais simples para a
expressão
√(√48 + 7)
2
4
+ √(√48 − 7)
2
4
é:
a)2√3 b)4√3
4
c)4 d)2√7 e)√4√3 + 7 +
√4√3 − 7
Resposta: C
3)(Colégio Naval) O número real √26 − 15√3
3
é igual
a:
a)5 − √3 b)√7 − 4√3 c)3 −
√2
d)√13 − 3√3 e)2
Resposta: B
4)(EPCAR) Sendo 𝑥 e 𝑦 números naturais, com 𝑥 > 𝑦,
a expressão
√𝟐𝒙 + 𝟐√𝒙𝟐 − 𝒚𝟐
equivale a:
a)√𝑥 + √𝑦 b)√𝑥 + √𝑥 − 𝑦
c)2√𝑥 + 𝑦 + 2√𝑥 − 𝑦
d)√𝑥 + 𝑦 + √𝑦 e)√𝑥 + 𝑦 + √𝑥 − 𝑦
Resposta: E
5)(Concurso Oficial – Magistério de Matemática -
EsFCEx - 2019) O número irracional 𝑝 = √7 − √24
pode ser escrito sob a forma de radicais simples.
Considerando a afirmativa acima, avalie as asserções
e a relação proposta entre elas.
I)O valor de "𝑝" na forma de radicais simples é √6 − 1
PORQUE
II)Em algumas expressões com radicais duplos, a
fatoração pode ser desenvolvida por meio de uma
equivalência com a expressão (𝑥 − 𝑦)3
= 𝑥3
− 3𝑥2
𝑦 +
3𝑥𝑦2
− 𝑦3
. A respeito dessas asserções, assinale a
alternativa correta.
a)As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a
II é um justificativa da I.
b)As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas
a II não é uma justificativa da I.
c)A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é
uma proposição falsa.
d)A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma
proposição verdadeira.
e)As asserções I e II são proposições falsas.
6)(EPCAR - 2019) Considere os números reais 𝑥, 𝑦 e 𝑧,
tais que:
𝑥 = √2 + √3
𝑦 = √2 + √2 + √3
𝑧 =
√(
√2 + √2 + √2 + √3
)
∙
(
√2 − √2 + √2 + √3
)
Simplificando a expressão (𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧)−1
∙
1
2−√3
, obtém-se
a)2 − √3 b)1 c)2 + √3 d)2√3
7)(Colégio Naval) Sejam os números naturais ‘m’ e ‘n’,
tais que 0 < 𝑚 ≤ 2018 e 𝑛 = √𝑚 − √𝑚2 − 49 . Dentre
as opções a seguir, marque a apresenta o valor de
10𝑛
𝑚.
a)250 b)360 c)380 d)420 e)540
8)(Concurso de Marinheiro – EAM – 2018) Se 𝐴 =
√√6 − 2 ∙ √2 + √6, então o valor de 𝐴2
é:
a)1 b)2 c)4 d)6 e)36
9)(EPCAR – 2017) sejam A e B os valores das
expressões a seguir:
𝐴 =
√6 + 2√5 ∙ √6 − 2√5
√7 + 4√3 + √7 − 4√3
𝐵 =
(0,000001)2
∙ (0,01)−3
(
1
4
)
−1
(
1
25
)
−1 ∙ (
1
10
)
2
Cada um desses valores pode ser colocado em uma
das caixas a seguir, conforme a especificação de cada
uma, a saber:

224
Dessa forma, podemos afirmar que uma combinação
correta para valores A e B e as caixas (I), (II) e (III) é,
respectivamente:
a)A(II) e B(I) b)A(I) e B(III) c)A(III) e B(II) d)A(I)
e B(II)
10)(Fórum Pi) Determine o valor de 𝑥 =
√−√3 + 8√7 + 4√3, calcule o valor de 𝑥𝑥𝑥
.
Resposta: 16
11)(ProblemasTeoremas.Wordpress) Mostre que:
3
√7 − 2√10
+
4
√8 + 4√3
=
1
√11 − 2√30
EXERCÍCIOS OPTATIVOS
1) Calcule as seguintes raízes: 169 ;
3
125 ;
4
625 ; 3
343 ;
4
81; 6
729 ;
7
128 ; 10
1024 .
2) Resolva as expressões abaixo:
a)
 
 
    
 
  
0
3
2
3
1
9 8
2
2 27
b) 46 1 64
 
c)
  

3 3
1 8 4
9 16
3) Determine o valor de x, de modo a obter
afirmações verdadeiras:
3
2
x  ;
3
20
x  ;
3
64 x

4)Calcule:
1
2
64 ;
1
2
16
25
 
 
 
;
0,5
100 ;
0,25
625 ;
1
3
8
27
 
 
 
;
1
5
( 32)
 ;
1
2
4
(2 ) ;
5) Complete de modo a obter sentenças
verdadeiras:
13.__ 13
 ; 2 7.___ 14
 ; 5 2.___ 10

3 2
5 .___ 5
 ;
3
6.___ 6
 ; 4
27.___ 3
 .
5) Qual é o valor da expressão:
a)
4 49 3 3 1
. 1 : 1
7 64 5 5 3
   
   
   
   
Testes
1)(CESGRANRIO) Um número real x, que satisfaz
35 39
 
x é:
a) 5,7 b) 5,8 c) 6
d) 6,3 e) 6,6
2)(F.C.CHAGAS) O número 2352 corresponde
a:
a) 4 7 b) 4 21 c) 28 3
d) 28 21 e) 56 3
3)(UnB) A expressão (21/2
)-1/2
equivale a:
a) 2 b) 2
4
c)
1
2
d)
1
2
4)(UFMG) Efetuando as operações indicadas na
expressão: 1
3
0 01 0 12 0 14 0 04
2
( , , ) ( , ) ,
x   obtemos:
a) 0,220 b) 0,256
c) 0,290 d) 0,560
e) 0,650
5)(FEI) A soma a a
3 4
 é igual a:
a) a
7
b) a7
12
c) 2
7
a
d) a a
3
12 4
 e) n.d.a.
6)(UFMG) O quociente
( ):
7 3 5 48 2 192 3 3
  é igual a:
a) 3 3 b)2 3 c)
3
3
d) 2 e) 1
7)(UFGO) O número 18 8 2
  é igual a:
a) 8 b) 4 c) 0
d) 10 2
 e) 18 6

8)(UFRS) O valor de 2 2
3
8


 

 é :
a) 2 22
3
b) 2 2
6 2
3
c) 2
d) 4 e) 8
9)(PUC) O valor numérico da expressão
2 21
2
xy x y
  para x=12 e y=3, é igual a:

225
a) 0 b) 9 c) -3 d)3
10)(CESGRANRIO) Racionalizando o
denominador, vemos que a razão
1 3
3 1


é igual a:
a) 3 1
 b) 1 2 3
 c) 3 2

b) d) 2 3
 e) 2 2 3

11)(FUVEST) O valor da expressão
2 2
2 1


é:
a) 2 b)
1
2
c) 2
d)
1
2
e) 2 1

12) (UnB) Sendo x um número real maior que zero,
a expressão
x
x4
5
vale:
a) x
10
b) x

4
5
c) x
4
10
d) nenhuma destas
13)A diferença 8 9
0 666 0 5
, .... ,
 é igual a:
a)2 b)1 c) 2 3

d) -2 e)  2 2
14)Calculando a a a a
1 1 1
  
obtém-se:
a)
1
a
6 b) 4a-1
c) a-1
b) d) a
8
e) a 1

15)
2
3
8
2
3
8
2
3
2
3
. .


é igual a:
a) 1 b) -1 c) 2,5
d) 0 e) 23
16)O valor da expressão (0,0641/3
)(0,06251/4
) é:
a) 0,1 b) 0,2
c) 0,01 d) 0,02
17)(UnB) A seqüência correta em que se
encontram os números:
A B C
  
3 7 3 2 7
9 15 8
17
8
, , , ( , )
a) C<B<A b) A<B<C
c) A<C<B d) nenhuma dessas
18)(MACK) Dos valores abaixo, o que está mais
próximo
0 04
3
,
é:
a) 0,0015 b) 0,015 c) 0,15
d) 1,5 e) nenhuma delas
19)Escrever o radical 2 2
3
. na forma de uma
potência de expoente racional.
20) (PUC) A expressão com radicais
8 18 2 2
  é igual a:
a) 2 b) 12
c)  3 2 d)  8
21) (FACULDADES OBJETIVO) Qual o valor da
expressão:
4 8
2 3 6
3
4
3
2
2
3
3
2
0 1
0 2





















. .
?
23) (MACK) Qual o valor de
( , ) . , . .
?
0 005 0 000075
10
510 2
3
2
3
4
1
3
1
3



















 


226
B5.2 AULA 26 – Equações Fracionárias
Equações Fracionárias é um assunto fundamental, indispensável, e que será
retomado de forma mais profunda no PODEMOS B6, onde trataremos de
equações fracionárias do 2º grau e sistemas de equações fracionárias. Nesse
módulo teremos apenas um "cheirinho" do assunto. Não há espaço de
resolução.
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o xxx
atividade.
Equações Fracionárias do 1º Grau
QUADRO
Exemplo 1:
3
𝑥
+
5
2
= 4
Condição de Existência – denominador não pode
ser zero
𝑥 ≠ 0
Logo:
𝑈 = ℝ − {0}
OBS: ℝ − {0} = ℝ∗
O mmc de 𝑥 e 2 é 2𝑥:
6
2𝑥
+
5𝑥
2𝑥
=
8𝑥
2𝑥
Como 2𝑥 não é zero, podemos cancelar os
denominadores
6 + 5𝑥 = 8𝑥
8𝑥 − 5𝑥 = 6
3𝑥 = 6
𝑥 =
6
3
𝑥 = 2
Logo:
𝑆 = {2}
Exemplo 2
2𝑥
𝑥 + 3
− 2 =
5
𝑥
Condições de Existência:
𝑥 + 3 ≠ 0 → 𝑥 ≠ −3
𝑥 ≠ 0
𝑈 = ℝ − {−3,0}
MMC dos denominadores
𝑥(𝑥 + 3)
Resolução:
2𝑥2
𝑥(𝑥 + 3)
−
2𝑥(𝑥 + 3)
𝑥(𝑥 + 3)
=
5(𝑥 + 3)
𝑥(𝑥 + 3)
2𝑥2
− 2𝑥(𝑥 + 3) = 5(𝑥 + 3)
2𝑥2
− 2𝑥2
− 6𝑥 = 5𝑥 + 15
−6𝑥 − 5𝑥 = 15
−11𝑥 = 15
11𝑥 = −15
𝑥 = −
15
11
Solução:
𝑆 = {−
15
11
}

227
Exemplo 3
6
𝑥2 − 9
+
𝑥 + 4
𝑥 + 3
=
𝑥 + 6
𝑥 − 3
Condição de Existência
(𝑥2
− 9) = (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
𝑥 + 3 ≠ 0 → 𝑥 ≠ −3
𝑥 − 3 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 3
𝑈 = ℝ − {−3,3}
MMC dos denominadores:
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
Resolução:
6
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
+
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3)
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
=
(𝑥 + 6)(𝑥 + 3)
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
6 + (𝑥 + 4)(𝑥 − 3) = (𝑥 + 6)(𝑥 + 3)
6 + 𝑥2
+ 4𝑥 − 3𝑥 − 12 = 𝑥2
+ 6𝑥 + 3𝑥 + 18
4𝑥 − 3𝑥 − 6𝑥 − 3𝑥 = +18 + 12 − 6
−8𝑥 = +24
8𝑥 = −24
𝑥 = −
24
8
𝑥 = −3
Mas como -3 está excluído da condição de
existência
𝑆 = ∅
1)(Edwaldo Bianchini) Resolva as equações
fracionárias em seu caderno. A condição de
existência precisa ser encontrada:
a)
4
5
−
1
𝑥
=
17
15
𝑆 = {−3}
b)2 +
2
𝑥
=
1
2𝑥
𝑆 = {−
3
4
}
c)
1
2𝑥
+
3
4
=
4
3𝑥
+
1
3
𝑆 = {2}
d)
1
𝑥
+
2
𝑥
=
3
2𝑥2 𝑆 = {
1
2
}
e)
𝑥−2
𝑥
=
1
2
𝑆 = {4}
f)
3𝑥−1
2𝑥
=
2
5
𝑆 = {
5
11
}
2) (Edwaldo Bianchini) Resolva as equações
a)
12
𝑥
=
4
𝑥−2
𝑆 = {3}
b)
4𝑥
3𝑥−2
= 2 𝑆 = {2}
c)
2
𝑥−3
−
1
4
=
5
𝑥−3
−
1
3
𝑆 = {39}
d)
8
𝑥−1
=
2
3𝑥−1
𝑆 = {
3
11
}
e)
𝑥+4
𝑥−5
=
𝑥−3
𝑥+1
𝑆 = {
11
13
}
f)
5𝑥−1
𝑥+2
=
5𝑥+1
𝑥−2
𝑆 = {0}
3) (Edwaldo Bianchini) Resolva as equações
a)
8
𝑥2−4
+
𝑥+1
𝑥−2
=
𝑥
𝑥+2
𝑆 = ∅
b)
𝑥+3
𝑥−1
+
2
𝑥2−1
=
𝑥−2
𝑥+1
𝑆 = {−
3
7
}
c)
2
𝑥−3
+
4
𝑥2−9
= 0 𝑆 = {−5}
d)
3𝑥
𝑥−4
−
𝑥+1
𝑥+4
=
2𝑥2+19
𝑥2−16
𝑆 = {1}
e)
𝑥−1
𝑥(𝑥+3)
+
1
𝑥−3
=
2𝑥2+6
𝑥(𝑥2−9)
𝑆 = ∅
f)
𝑥+2
2𝑥−1
−
𝑥−3
𝑥−5
=
−8+3𝑥−𝑥2
(𝑥−5)(2𝑥−1)
𝑆 = ∅
*4) (Edwaldo Bianchini) Resolva as equações
a)
2
𝑥+2
+
8𝑥−1
𝑥2+5𝑥+6
=
5
𝑥+3
𝑆 = {1}
b)
𝑥
𝑥−1
+
2𝑥
𝑥+2
=
3𝑥2−𝑥+2
𝑥2+𝑥−2
𝑆 = {2}
c)
𝑥+7
𝑥+3
−
𝑥−4
𝑥−3
=
3𝑥+1
𝑥2−9
𝑆 = {5}
d)
𝑥+7
𝑥+5
−
𝑥+6
𝑥+4
=
𝑥
𝑥2+9𝑥+20
𝑆 = {−2}
5) (Adaptado – Brasil Escola) Associe os
problemas com as equações correspondentes:
a)R$ 14.000,00 deveriam ser distribuídos
igualmente a um certo número de pessoas. Antes
de a distribuição ser feita, 10 pessoas foram
embora, sendo necessário distribuir apenas R$
12.000,00 para que cada um recebesse o mesmo
valor que receberia no inicio. Qual era o número
de pessoas inicialmente?
b)Carlos executou um trabalho em 8 dias. Mário
executou o mesmo trabalho em x dias. Juntos,
eles executaram o mesmo trabalho em 3 dias.
Determine o valor de x.
c)Um veículo com uma velocidade média percorre
4000 km que separam a cidade A da cidade B em
x horas. Outro veículo, com a mesma velocidade
média do primeiro, percorre os 2200 km que
separam a cidade C da cidade D em (x – 12)
horas. Determine o valor de x. Calculamos a
velocidade média de um móvel dividindo o espaço
percorrido por ele pelo tempo gasto no percurso.
( ) ( )
( )

228
6) Resolva os problemas obrigatoriamente por
equações:
a)(Brasil Escola) Uma confecção produzia
diariamente 200 calças. Após a contratação de 20
costureiras, a fábrica passou a produzir 240
calças. Quantas costureiras trabalhavam nessa
confecção antes dessa contratação?
b) b)A soma de um número com o inverso do seu
consecutivo é igual ao próprio número menos uma
unidade. Que número é esse?
c)A razão entre a idade que Luciana terá daqui a
5 anos e a idade que ela tinha há 5 anos é 3/2.
Qual a idade atual de Luciana?
7) Numa distribuição de 720 kg de alimentos, duas
famílias não compareceram, o que permitiu que
cada uma das outras famílias recebesse 40
quilogramas de alimentos.
a) Quantas eram as famílias que deveriam receber
alimentos?
b) Quantas famílias compareceram?
c) Se todas as famílias tivessem comparecido,
quantos quilogramas de alimentos cada uma
receberia?
Os exercícios com o * necessitam do
Aprofundamento da aula 5

229
B5.3 AULA 27 – Relações
Relações é outro assunto que sumiu dos livros didáticos e foi excluído dos
vestibulares após o fracasso da Matemática Moderna - um movimento de
ensino da Matemática dos anos 60. Mas relações ajuda na compreensão dos
conceitos abstratos da Matemática e um conceito fundamental: o de
FUNÇÃO!
ROTEIRO DE ESTUDOS
ASSISTA AOS
VÍDEOS
Plataforma PODEMOS
RESOLVA
EXERCÍCIOS DA
PLATAFORMA
ESTUDE ESSA
APOSTILA
COMO PROCEDER?
o RELAÇÕES
atividade.
Relação Binária
QUADRO
é uma sentença que compara duas coisas:
- x é irmão de y
- x é pai de y
- x é menor que y
- x é perpendicular a y
isso são relações binárias entre x e y
Relações são sentenças abertas de duas
variáveis
Uma relação depende de dois conjuntos
todos os valores possíveis de x - Domínio
(conjunto A)
todos os valores possíveis ou previsíveis de y -
Contradomínio (conjunto B)
A relação é o conjunto de todos pares
ordenados (x,y) do produto cartesiano AxB,
onde a sentença é verdadeira.
Quando associamos todos os valores x com
valores y, esses valores de y são chamados de
Imagem do conjunto
Abaixo a relação y=x-2 com dois diagramas
dados:
A={0,1,2,3} é o domínio, B={-2,-1,2,3,2} é o
contradomínio. O subconjunto {-2,-1,2,3} é a
imagem.
Abaixo, a imagem circulada:

230
Exemplo 1
Dados
𝐴 = {−4, −1,4,6}
𝐵 = {−3, −2,0,2,3}
E a relação 𝑅 = {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐵 / 𝑎 = 2𝑏}.
a) Determine R pela listagem dos elementos
Resolução: Temos que associar um número
a∈A com um número b∈B, de maneira que o
valor de a seja o dobro de b. 𝑅 =
{(−4, −2), (4,2), (6,3)}
Note que -1 não associa com nenhum elemento
de B, portanto, não aparece na relação (e não
faz parte do domínio).
b) Plote R no Plano Cartesiano
Resolução:
c) Faça os diagramas de Venn
Resolução:
d) Qual é o Domínio e qual é a Imagem de R?
Resolução: Note que nenhuma seta sai de -1,
portanto, não está no domínio, portanto 𝐷(𝑅) =
{−4,4,6}. Já a imagem é “onde chegam as
setas”, ou seja 𝐼𝑚(𝐵) = {−2,2,3}.
Exemplo 2
Sejam
𝐴 = {−2,0,1,3}
𝐵 = {−4, −1,2}
E a relação 𝑅 = {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐵 / 𝑎 < 𝑏}.
Resolução: Vou associar cada elemento a do
conjunto A com um elemento b do conjunto B de
forma que a seja menor que b, ou seja: 𝑅 =
{(−2, −1), (−2,2), (0,2), (1,2)}
Resolução:
Resolução:
𝐷(𝑅) = {−2,0,1}
𝐼𝑚(𝑅) = {−1, −2}
IMPORTANTE OBSERVAR que a relação de A
em B é um subconjunto do Produto Cartesiano,
ou seja:
𝑅 ⊂ 𝐴 × 𝐵
EXERCÍCIOS (Lista livremente copiada de
Joaquim Professor Wordpress)
1)Sejam
𝐴 = {0,1,2,3,4}
𝐵 = {0,1,3,5,6,7}
E a relação 𝑅 = {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐵 / 𝑎 < 𝑏}.

231
2) Sejam
𝐴 = {0,1,2,3,4}
𝐵 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}
E a relação 𝑅 = {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐵 / 2𝑎 = 𝑏}.
3) Obtenha o gráfico cartesiano da relação
definida por 𝑅 = {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐴 / 𝑥 = 𝑦}, sabendo
que 𝐴 = {1,2,3,4,5}.
4) Obtenha o gráfico cartesiano da relação 𝑅 =
{(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐴 / 𝑥 = 𝑦}, sabendo que 𝐴 = [1,5].
Basta você pensar que vai entender qual é a solução desse
problema!! Dica: é uma reta

232
5) Obtenha o gráfico cartesiano da relação 𝑅 =
{(𝑎, 𝑏) ∈ ℝ × ℝ / 𝑥 = 𝑦}.
As duas questões anteriores, ajudam a
entender esta
6) Sejam os conjuntos
𝐴 = {−2, −1,0,1,2,3}
𝐵 = {−1,0,2,5}
E a relação: 𝑅 = {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐵 / 𝑥 + 2 = 𝑦}.
7) Sejam os conjuntos
𝐴 = {−2, −1,0,1}
𝐵 = {−1,0,1,2,3,4}
E as relações: 𝑅1 = {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐵 /𝑦 = 𝑥2
} e
𝑅2 = {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐵 /𝑦 = 𝑥 − 5}.
Liste os conjuntos
8) Dado 𝐴 = {0,1,2,3,4}, determine as relações a
seguir:
a) 𝑅1 = {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴2
/𝑦 = 𝑥2
}
b) 𝑅2 = {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴2
/𝑦 = 𝑥}
c) 𝑅3 = {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴2
/𝑦 = 𝑥 − 2}
9) Considere os conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ∗
/ 𝑥 ≤ 2} e
𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ / 2 ≤ 𝑥 ≤ 4}
a) Determine 𝑅 = {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐵 /𝑦 = 𝑥 − 5}.
b) Determine o domínio e a imagem de R
c) Represente R no plano cartesiano e por meio
de diagrama de flechas.
10) Considere os conjuntos 𝐴 = {0,1,4,5,9,10} e
𝐵 = {−2,0,2,3,4,5,8}. Se F é uma relação de A em
B, que se define por 𝑦 = √𝑥 + 2 quantos são os
elementos de F.

233
11) Observe o diagrama abaixo, que ilustra uma
relação S do conjunto 𝐴 = {1,2,3,4} no conjunto
𝐵 = {−1,2,0,7,9}
Marque a única
afirmativa CORRETA:
a) D(S)={2,4} e Im(S)={-1,0}
b) D(S)={2,4} e Im(S)={2,7,9}
c) D(S)={1,3} e Im(S)={2,7,9}
d) D(S)={1,3} e Im(S)={-1,0}
e) D(S)=A e Im(S)=B
12)Observe o gráfico de uma relação F de ℝ em
ℝ. Determine o domínio e a imagem de F (são
intervalos):
1)Se
𝐴 = {1,2,3,4,5}
𝐵 = {1,2,3,4}
Dada a relação:
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝐴 × 𝐵 | 𝑥 < 𝑦}
a) Liste os elementos:
b) Faça os diagramas de Venn correspondentes
(com as flechas):
c) Represente esses pontos no Plano Cartesiano:
2) Dados
𝐴 = {1,2,3,4,5}
𝐵 = {1,2,3,4,5,6}
Dada a relação:
𝑥𝑅𝑦 ⟺ 𝑦 = 𝑥 + 2
(com as flechas):
3) Dado:
𝐴 = {−1,0,1,2}
Dada a relação:
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝐴2 | 𝑥2
= 𝑦²}
(com as flechas):

234
4) Represente no plano cartesiano a relação
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)𝜖ℝ2 | 𝑥 = 𝑦}
4) Se:
𝐴 = {𝑥𝜖ℝ |1 ≤ 𝑥 ≤ 4}
𝐵 = {𝑥𝜖ℝ |2 ≤ 𝑦 ≤ 3}
Represente a relação
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝐴 × 𝐵 | 𝑥 = 𝑦}
5) Dado o conjunto:
𝐴 = {1,2,3,4,5}
Quais são os pares que solucionem as relações:
a)𝑅 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝐴2 | 𝑚𝑑𝑐(𝑥, 𝑦) = 2}
b) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝐴2 |𝑥 𝑒 𝑦 𝑠ã𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖}
6) Liste o DOMÍNIO e a IMAGEM dos conjuntos:
a) {(1,1), (1,3), (1,4), (2,3), (2,5)}
b) {(-3,1), (-4,-2), (4,1)}
7) Seja o conjunto 𝐴 = {−1,0,1,2} e dada a relação
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝐴2 | 𝑥2
= 𝑦²}.
Determine:
a) A Imagem
b) O Domínio
c) O Contradomínio
Relação Inversa
QUADRO
Definimos da seguinte maneira a relação
inversa 𝑅−1
Dado 𝑅−1
= {(𝑦, 𝑥)𝜖𝐵 × 𝐴 / (𝑥, 𝑦)𝜖𝑅}, dizemos
que 𝑅−1
é a relação inversa de 𝑅.
Exemplos (do livro Iezzi e Dolce):
1) Dadas as relações, determine as suas relações
inversas 𝑅−1
:
a)𝑅 = {(1,2), (3,1), (2,3)}
b)𝑅 = {(1, −1), (2, −1), (3, −1), (−2,1)}
c)𝑅 = {(−3, −2), (1,3), (−2, −3), (3,1)}
2) Encontre os elementos e esboce os gráficos
de 𝑅 e 𝑅−1
, relações binárias em 𝐴 = {(𝑥, 𝑦)𝜖ℕ/
𝑥 ≤ 10} nos seguintes casos:
a) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝐴2 |𝑥 + 𝑦 = 8}

235
b) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝐴2 | 𝑥 + 2𝑦 = 10}
c) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝐴2 | (𝑥 − 3)2
+ 1}
d)𝑅 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝐴2 | 𝑦 = 2𝑥
}
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
(Do livro de Gelson Iezzi e Osvaldo Dolce – Fundamentos de
Matemática Elementar – v1)
PRODUTO CARTESIANO
1)Dados os conjuntos A={1,2,3,4} e B=[1,4], represente
graficamente (𝐴 × 𝐵) ∪ (𝐵 × 𝐴).
2)Sejam os conjuntos A, B e C tais que 𝐴 ⊂ 𝐵 ⊂ 𝐶 .
Estabelecer as relações de inclusão entre os conjuntos AxA,
AxB, AxC, BxA, BxB, BxC, CxA, CxB e CxC
3)Sabendo que {(1,2),(4,2)} ⊂ 𝐴2
e 𝑛(𝐴2) = 9, represente
pelos elementos o conjunto 𝐴2
.
4)Se {(1,−2), (3,0)} ⊂ 𝐴2
e 𝑛(𝐴2) = 16 então represente 𝐴2
pelos seus elementos.
5)Considerando 𝐴 ⊂ 𝐵, {(0,5),(−1,2),(2,−1)} ⊂ 𝐴 × 𝐵 e
𝑛(𝐴 × 𝐵) = 12, represente 𝐴 × 𝐵 pelos seus elementos.
RELAÇÕES
6) Dado o conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ / −7 ≤ 𝑚 ≤ 7}. Construa o
gráfico cartesiano da relação
𝑥𝑅𝑦 → 𝑥2
+ 𝑦2
= 25
7)Se R e S são as relações binárias de 𝐴 = { 𝑥 ∈ ℤ / −2 ≤ 𝑥 ≤
5} em 𝐵 = { 𝑥 ∈ ℤ / −2 ≤ 𝑦 ≤ 3} definidas por
𝑥𝑅𝑦 → 2 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 (𝑥 − 𝑦)
𝑥𝑆𝑦 → (𝑥 − 1)2
= (𝑦 − 2)2
Pedem-se:
a) as representações cartesianas de R e de S
b) o domínio e a imagem de R e de S
c) 𝑅 ∩ 𝑆
8)Dado os conjuntos 𝐴 = { 𝑥 ∈ ℤ / 1 ≤ 𝑥 ≤ 6} e 𝐵 = { 𝑥 ∈
ℤ / 2 ≤ 𝑥 ≤ 10} e as seguintes relações binárias, construa os
gráficos das relações e de suas inversas:
a) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 / 𝑥 = 𝑦}.
b) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 / 𝑥 = 2𝑦}.
c) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 / 𝑦 = 𝑥 + 2}.
d) 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 / 𝑥 + 𝑦 = 7}.

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