1. ‫ﺝ ا‬ ‫ﺕ ل ‪ B‬إﻝ ‪. C‬‬ ‫اﻝ‬ ‫زا‬ ‫‪ABC‬‬ ‫رة اﻝ‬ ‫د‬ ‫4-‬ ‫ا رس ا ا‬
‫ی ا ﻥ‬ ‫ا‬
‫ا ــــــــــــــــــــــــــ رس‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫:‬ ‫‪G‬‬ ‫‪o‬وﻝ‬ ‫آ‬ ‫ع‬ ‫ازي أ‬ ‫‪ABCD‬‬ ‫ﻝ‬
‫→‪‬‬ ‫1‬ ‫3‬
‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫‪AG = AB + AD‬‬ ‫’‪M‬‬ ‫‪B‬ه ا‬ ‫ل‪A‬إ‬ ‫زاﺡ ا‬ ‫‪M‬‬ ‫رة ﻥ‬ ‫–‬
‫2‬ ‫2‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫’‪AB = MM‬‬ ‫عوﻥ‬ ‫ازي ا‬ ‫‪ABM’M‬‬
‫أن ‪DG = Ao‬‬ ‫ء‪ G‬و‬ ‫1- أ‬
‫:‬ ‫ﺥ‬
‫1‬
‫→‪‬‬ ‫5‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫‪AH = AB – AD‬‬ ‫‪H‬‬ ‫2-‬ ‫→‪‬‬
‫2‬ ‫2‬ ‫‪AB‬‬ ‫زاﺡ ذات ا‬ ‫ا ا‬ ‫‪ M‬و‪N‬‬ ‫ر‬ ‫إ ذا آ ﻥ ’‪ M‬و’‪N‬‬
‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫ن:‬
‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫أن ‪HG= 4 AD‬‬ ‫ء‪ H‬و‬ ‫أ‬ ‫‪M’N’ = MN‬‬
‫‪o‬و‪G‬و‪H‬‬ ‫أن اﻝ‬ ‫3-‬ ‫:‬ ‫ﺥ‬
‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫ع‬ ‫ازي ا‬ ‫‪ABCD‬‬ ‫نا‬ ‫إذا آ ن ‪AB = DC‬‬
‫ی ا‬ ‫ا‬
‫ریــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫ا‬
‫ع‬ ‫ازي أ‬ ‫‪ABCD‬‬ ‫ﻝ‬ ‫ی ا ول‬ ‫ا‬
‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫‪CM= CA + CD‬‬ ‫:‬ ‫و‪M‬‬
‫]‪[BM‬‬ ‫أن ‪ A‬ه‬ ‫1-‬ ‫‪ABC‬‬ ‫ﻝ‬
‫→‪‬‬
‫ذات اﻝ‬ ‫زا‬ ‫رة ‪A‬‬ ‫ء اﻝ‬ ‫1- أ‬
‫→‪‬‬
‫‪BD‬‬ ‫ذات اﻝ‬ ‫زا‬ ‫رة ‪D‬‬ ‫‪E‬ه‬ ‫2- ﻝ‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪D‬‬
‫]‪[BE‬‬ ‫أن ‪ D‬ه‬ ‫‪ADCB‬‬ ‫اﻝ‬ ‫2- ا‬
‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫‪AE = AD + AC‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ء اﻝ‬ ‫3- أ‬

2. ‫ی ا ا‬ ‫ا‬
‫ف‬ ‫ا‬ [AB] I‫و‬ ABC ‫ﻝ‬
→
BC ‫ذات اﻝ‬ ‫زا‬ I ‫رة‬ J ‫ء‬ ‫1- أ‬
→ →
‫ح‬ ‫ا‬ BF = 2 IJ F‫ء‬ ‫2- أ‬
→
F ‫ ه‬BC ‫ذات اﻝ‬ ‫زا‬ C ‫رة‬ ‫أن‬ -3
‫ار‬ ‫ا‬ F, J , A ‫أن اﻝ‬ ‫عوا‬ ‫ازي ا‬ IAJC ‫أن‬ -4
‫ی ا‬ ‫ا‬
‫ا‬
‫آ دا ﺕ اﻝ‬ o ‫و‬ ABC ‫ﻝ‬
(BC) ‫ﻝ‬ ‫ ﻝ‬o ‫ﺙ‬ D ‫وﻝ‬
‫ا‬ → → →
oB + oC = oD ‫أن‬ -1
→ → → →
oH = oA + oB + oC H ‫ء‬ ‫2- أ‬
→ →
‫ا‬ (AH) ⊥ (BC) ‫أن‬ ‫ و ا‬AH = oD ‫أن‬ -3
ABC ‫ﻝ‬ ‫ ﻝ‬H ‫ذا ﺕ‬
ABC ‫اﻝ‬ ‫آ ﺙ‬ G ‫4- ﻝ‬
→ → → →
oA + oB + oC = 3 oG ‫أن‬
G‫و‬H‫و‬o ‫أن اﻝ‬ ‫وا‬

3. →
BC ‫زا‬ E ‫ ه‬C ‫رة‬ ‫و ﻝ ﻝ‬ ‫ـــ ت‬ ‫ــ ریـــــــ ا زاﺡــ و ا‬ ‫ﺡـــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
DCE ‫ ه اﻝ‬ABC ‫رة اﻝ‬ ‫إذن‬
:‫ی ا ول‬ ‫ﺡ ا‬
→
: ‫ی ا ﻥ‬ ‫ﺡ ا‬ BC ‫ذات اﻝ‬ ‫زا‬ A ‫رة‬ D -1
→ →
A
AD = BC : ‫إذن‬
→ 1 → 3 → D
AG = AB + AD ‫1- ﻝ ی‬ ‫ع‬ ‫ازي ا‬ ABCD ‫و ﻝ ﻝ‬
2 2 → → →
A B
AE = AD + AC ‫3- ﻝ ی‬
E B → → → →
C
AD + DE = AD × AC ‫إذن‬
→ 1 →3 → →
AD + DG = AB + AD → →
2 2 o DE = EC ‫و‬
D
→ 1 1 → → C ‫ع‬ ‫ازي ا‬ ADEC ‫ر‬ E‫إ ء‬ ‫و ﻝ ﻝ ی‬
DG = AB + AD
2 2 ‫ ؟‬C ‫ إﻝ‬B ‫ﺕ ل‬ ‫اﻝ‬ ‫زا‬ ABC ‫رة اﻝ‬ -4
G
1 → →
BC
→
‫ذات اﻝ‬ ‫زا‬ ABC ‫رة اﻝ‬ ‫ه‬
= (AB + AD)
2 →
BC ‫زا‬ D ‫ ه‬A ‫رة‬ (1) ‫ل اﻝ ال‬ ‫ﻝی‬
:‫ع ن‬ ‫ازي أ‬ ABCD ‫أن‬ →
→ → → BC ‫زا‬ C ‫ ﺕ ل إﻝ‬B ‫ ن‬C ‫ ه‬B ‫رة‬ ‫ﺙ‬ ‫ﺝ‬
AB + AD = AC
‫ع‬ ‫ازي ا‬ ADEC (3) ‫ل اﻝ ال‬ ‫ﻝی آﻝ‬
→ 1 →
DG = AC → →
AE = AD + AC
→
‫نﻝ ی‬
2
→ → → →
1 → AC + CE = AD + AC : ‫إذن‬
= (2 Ao) → →
2 AD = CE ‫إذن‬
→ → →
= Ao AD = BC ‫وﻝ ی‬
→ →
‫و ﻝ ﻝ‬
→ →
DG = Ao CE = BC ‫إذن‬

4. ‫ع‬ ‫ازي ا‬ DGAo ‫إذن‬ → 1 →
AH = AB ‫2- ﻝ ی‬
→ → 2
oG = AD ‫إذن‬
→ →
HG= 4 AD (2) ‫اﻝ ال‬ ‫و‬ H
→ → →
HG = 4 AD = 4 oG ‫إذن‬
H‫و‬G‫و‬o ‫و ﻝ ﻝ‬
: ‫ی ا‬ ‫ﺡ ا‬ A B
→ → →
CM = CA + CD ‫1- ﻝ ی‬ o
→ → → →
D
CA + AM = CA + BA C
A → →
M B
AM = BA ‫و ﻝ ﻝ‬
→ → → 1
→ 5 → → G
MA = AB ‫أو‬ AG + GH = AB – AD
2 2
[MB] A ‫إذن‬
C 1→ 3 1
→ 5→ → →
D AB + AD + GH = AB – AD
2 2 2 2
E -2 → 5 3 → →
GH = - AD – AD
<== BD
→
‫ذات اﻝ‬ ‫زا‬ D ‫رة‬ ‫ ه‬E ‫أن‬ 2 2
→
DE = BD
→
8 →
= - AD
→ → → 2
DB + BE = BD →
→ → = - 4 AD
BE = 2 BD → →
HG = 4 AD
1
→ →
BD = BE
2
→ →
[BE] ‫ ه‬D ‫و ﻝ ﻝ‬ Do = Ao ‫اﻝ ال )1( ﻝ ی‬ -3

5. ‫ع‬ ‫ازي ا‬ AJCI ‫إذن اﻝ‬ : ‫ی ا ا‬ ‫ﺡ ا‬
→ 1 → → →
IJ = BF ‫و‬ IJ = BC ‫ﻝی‬ :‫ج‬ ‫ا‬
2 →
BC ‫ذات اﻝ‬ ‫زا‬ I ‫رة‬ J -1
1
→ → → →
F‫ و‬C, B ‫و ﻝ ﻝ‬ BC = BF ‫إذن‬ BC = IJ : ‫إذن‬
2
→ → ‫ع‬ ‫ازي ا‬ (IJCB) ‫ر‬ J‫إ ء‬ ‫و ﻝ ﻝ ی‬
(‫م‬ ‫د‬ k , BC = k BF‫ن‬ ) → →
‫اﻝ‬ ‫ أ‬BF = 2 IJ F‫ء‬ ‫2- إ‬
: ‫ی ا‬ ‫ﺡ ا‬ A
→ → →
I J
oB + oC = oD ‫أﺝ اﻝ ه أن‬ -1
H
‫ع‬ ‫ازي أ‬ oBDC ‫أن اﻝ‬ ‫أن‬ ‫ی‬ B C F
(BC) ‫ﻝ‬ ‫ ﻝ‬o ‫ﺙ‬ D ‫أن‬ →
H
o F ‫ ه‬BC ‫ذات اﻝ‬ ‫زا‬ C ‫رة‬ ‫ن أن‬ ‫أﺝ ا‬ -3
(1) Co = CD ‫ و‬Bo = BD ‫ن‬ → →
BC = CF : ‫أن‬ ‫أن‬ ‫ی‬
B C
[BC] ‫اﻝ‬ ‫ن إﻝ وا‬ ‫ ی‬o ‫ و‬D ‫أن‬ ‫و‬ → →
D BF = 2 IJ ‫ل اﻝ ال )2( ﻝ ی‬
(2) BD = DC ‫و‬ oB = oC ‫ن‬ → → →
BC + CF = 2 BC ‫أو‬
oB = BD = DC = oC :‫أن‬ (2) ‫)1( و‬ ‫و ﻝ ﻝ‬ → → →
CF = 2 BC - BC
‫ان إذن‬ ‫ا‬ ‫و‬ ‫ی‬ ‫أ‬ ‫ ﺝ‬oBDC ‫إذن اﻝ‬ → →
→ → → CF = BC
oD = oB + oC : ‫ج أن‬ ‫ا‬ ‫عو ﻝ ﻝ ی‬ ‫ازي ا‬ ‫إذن ه‬ → → → →
→ → → → → → (1) IB = JC ‫ع و‬ ‫ازي ا‬ IJCB ‫ ن‬BC = IJ ‫أن‬ -4
oH = oA + oD :‫ إذن‬oD = oB + oC ‫اﻝ ال )1( ﻝ ی‬ -2 → →
AI = IB ‫[ إذن‬AB] ‫ه‬I ‫ى‬ ‫ﺝ‬
‫ع‬ ‫ازي ا‬ oAHD ‫ر اﻝ‬ H ‫إ ء‬ ‫و ﻝ ﻝ ی‬ → →
AI = JC (1) ‫و ﻝ ﻝ‬
(D ‫ و‬H , A , o ‫ع‬ ‫ازي ا‬ ‫رؤوس‬ ‫مﺕ ﺕ‬ ‫)ا‬

6. ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫‪oH = oA + oD‬‬ ‫:‬ ‫اﻝ‬ ‫ﺵل‬ ‫ل‬ ‫3-‬
‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫ا رس ا‬ ‫‪oA + AH = oA + oD‬‬
‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫‪AH = oD‬‬ ‫:‬ ‫ال‬ ‫ا‬
‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫)‪(1) (AH) ⁄⁄ (oD‬‬ ‫ن‬ ‫أن ‪AH = oD‬‬
‫ا ــــــــــــــــــــــــــ رس‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫أن : )‪(2) (BC) ⊥ (oD‬‬ ‫)‪ (BC‬ی‬ ‫ﻝ‬ ‫‪ A‬ﻝ‬ ‫ﺙ‬ ‫وﻝ ی ‪D‬‬
‫)‪(BC‬‬ ‫دي‬ ‫أن )‪(AH‬‬ ‫ل )1( و )2(‬
‫– إذا آ ن )‪ A(xA , yA‬و )‪ B(xB , yB‬ن :‬ ‫‪ABC‬‬ ‫اﻝ‬ ‫آ ﺕ‬ ‫ج:‪H‬ﺕ‬ ‫ا‬
‫→‪‬‬
‫• )‪AB(xB - xA , yB – xA‬‬ ‫‪H‬‬ ‫اﻝ‬ ‫‪ ABC‬ﺕ‬ ‫ت اﻝ‬ ‫أن ارﺕ‬ ‫ی‬
‫‪xA + xB yA + yB‬‬ ‫‪ ABC‬إذن :‬ ‫اﻝ‬ ‫آ ﺙ‬ ‫4- ‪G‬‬
‫]‪[AB‬‬ ‫(‪I‬‬ ‫,‬ ‫• )‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫2‬ ‫2‬ ‫ت(‬ ‫اﻝ‬ ‫0 = ‪) GA + GB + GC‬‬
‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫• 2)‪AB = (xB – xA)2 + (yB – yA‬‬ ‫0 = ‪Go + oA + Go + oB + Go + oC‬‬
‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫0 = ‪3 Go + oA + oB + oC‬‬ ‫إذن :‬
‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫ریــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫ا‬ ‫‪(3) oA + oB + oC = 3 oG‬‬ ‫أو‬
‫ی ا ول‬ ‫ا‬ ‫ج:‬ ‫ا‬
‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫‪(4) oH + oB + oC = oH‬‬ ‫اﻝ ال )2( ﻝ ی :‬
‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫)2 , 2( ‪ A‬و )3 , 1-( ‪ B‬و )3 , 0( ‪C‬‬ ‫أن ‪oH = 3 oG‬‬ ‫)3( و)4(‬ ‫إذن‬
‫‪o‬و‪G‬و‪H‬‬ ‫و ﻝ ﻝ اﻝ‬
‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬ ‫→‪‬‬
‫‪ AB‬و ‪AB + AC‬‬ ‫آ‬ ‫د إ اﺙ‬ ‫1-‬
‫ت ‪ AB‬و ‪ BC‬و ‪AC‬‬ ‫اﻝ‬ ‫2- أ‬
‫ع‬ ‫ازي أ‬ ‫ی ن ‪ABCD‬‬ ‫‪D‬‬ ‫د إ اﺙ‬ ‫3-‬